Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Szamıtogepes Grafika
Valasek [email protected]
Eotvos Lorand TudomanyegyetemInformatikai Kar
2016/2017. tavaszi felev
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...)
→ az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A virtualis vilagunkban talalhato osszetett alakzatokat (haz, fastb.) tobb, kisebb epıtoelembol is osszerakhatjuk (ajto, ablak,levelek...) → az alakzat reszeit el kell helyeznunk a terben
Az alakzatokat el kell helyeznunk a vilagban, mozgatnunk kelloket stb.
A virtualis vilagunkbol egy ketdimenzios kepet is elo kellallıtanunk
→ A fenti lepesekhez mind szuksegunk lesz geometriaitranszformaciokra, amelyekkel az alakzatainkatmegvaltoztathatjuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalni
pont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sık
illeszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsa
legyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok
Az elvarasaink
minden pontot lehessen transzformalnipont kepe legyen pont, egyenes kepe egyenes, sık kepe sıkilleszkedest tartsalegyen egyertelmu es egyertelmuen megfordıthato
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk
→ a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk → a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk → a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Megjegyzes
A pontjainkat a szamıtogepen valamilyenkoordinata-rendszerben taroljuk → a transzformaciok ezeken akoordinatakon vegzett muveletek
A tovabbiakban azonosıtsuk az Euklideszi ter, E3 (vagy sık,E2) elemeit a R3 (vagy R2) valos vektorterunk elemeivel
Ehhez rogzıtunk egy O ∈ E3 pontot, origot, es minden q ∈ E3
ponthoz a p = q−O vektort rendeljuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)
φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Linearis lekepezesek
Kiemelt jelentosege lesz a linearis lekepezeseknek, azaz azon φlekepezeseknek, amelyekre teljesul, hogy ∀a,b ∈ R3 es λ ∈ Reseten
φ(a + b) = φ(a) + φ(b) (additıv)φ(λa) = λφ(a) (homogen)
Emlekezteto: az f : Rn → Rm linearis lekepezeseket egyA ∈ Rm×nmatrixszal fel tudjuk ırni; ekkor f (x) = Ax, x ∈ Rn.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv es affin transzformaciok - definıciok
Az idealis sıkkal kibovıtett euklideszi ter onmagara valo,kolcsonosen egyertelmu, pont-, egyenes-, sık-, es illeszkedesttarto lekepezeseit kollineacioknak, vagy projektıvtranszformacioknak nevezzuk.
Affin transzformaciok a projektıv transzformacioknak az azalcsoportja, amelyek a (kibovıtett) ter ”kozonseges”,euklideszi reszet onmagara kepezik le, es az idealis sıkot isonmagara kepezi le.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv es affin transzformaciok - definıciok
Az idealis sıkkal kibovıtett euklideszi ter onmagara valo,kolcsonosen egyertelmu, pont-, egyenes-, sık-, es illeszkedesttarto lekepezeseit kollineacioknak, vagy projektıvtranszformacioknak nevezzuk.
Affin transzformaciok a projektıv transzformacioknak az azalcsoportja, amelyek a (kibovıtett) ter ”kozonseges”,euklideszi reszet onmagara kepezik le, es az idealis sıkot isonmagara kepezi le.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel
→ ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)
letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)
a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Tulajdonsagok
A projektıv es affin transzformaciok algebrai csoportotalkotnak a konkatenacio (transzformaciok kompozıcioja)muveletevel → ez mit jelent?
a konkatenacio asszociatıv (a muveletek csoportosıthatok)letezik egysegelem (egysegtranszformacio)a dimenziotarto transzformacioknak van inverze (vissza lehetcsinalni)
Figyeljunk: a csoport nem kommutatıv!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok megadhatoak egy linearistranszformacio es egy eltolas segıtsegevel, azaz haϕ : R3 → R3 affin transzformacio, akkor letezik A ∈ R3×3 esb ∈ R3, hogy ∀x ∈ R3-ra
ϕ(x) = Ax + b
A matrix-vektor szorzast ilyen sorrendben vegezzuk el, azaz: amatrix a bal-, a vektor a jobboldalon all
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok megadhatoak egy linearistranszformacio es egy eltolas segıtsegevel, azaz haϕ : R3 → R3 affin transzformacio, akkor letezik A ∈ R3×3 esb ∈ R3, hogy ∀x ∈ R3-ra
ϕ(x) = Ax + b
A matrix-vektor szorzast ilyen sorrendben vegezzuk el, azaz: amatrix a bal-, a vektor a jobboldalon all
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
A ϕ(x) = Ax + b megadas homogen koordinatak segıtsegevelegyetlen matrix-vektor szorzassal is felırhato:
[A b
[0, 0, 0] 1
]∈ R4×4
Ugyanis ekkor[A b
[0, 0, 0] 1
]·[x1
]=
[A · x + b · 10 · x + 1 · 1
]=
[A · x + b
1
]
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
A ϕ(x) = Ax + b megadas homogen koordinatak segıtsegevelegyetlen matrix-vektor szorzassal is felırhato:
[A b
[0, 0, 0] 1
]∈ R4×4
Ugyanis ekkor[A b
[0, 0, 0] 1
]·[x1
]=
[A · x + b · 10 · x + 1 · 1
]=
[A · x + b
1
]
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
A ϕ(x) = Ax + b megadas homogen koordinatak segıtsegevelegyetlen matrix-vektor szorzassal is felırhato:
[A b
[0, 0, 0] 1
]∈ R4×4
Ugyanis ekkor[A b
[0, 0, 0] 1
]·[x1
]=
[A · x + b · 10 · x + 1 · 1
]=
[A · x + b
1
]
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b
= A∑n
i=0 αixi +∑n
i=0 αib=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok tulajdonsagai
Az affin transzformaciok a baricentrikus koordinatakatervenyben hagyjak (mas szoval a baricentrikus koordinatakaffin invariansak)
Biz.: legyenek a tetszoleges x baricentrikus koordinatai xi -krevonatkoztatva αi , ekkorϕ(x) = ϕ(
∑ni=0 αixi )
= (A∑n
i=0 αixi ) + b= A
∑ni=0 αixi +
∑ni=0 αib
=∑n
i=0 αi (Axi + b) =∑n
i=0 αiϕ(xi )
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok megadasa
En-ben egy affin transzformaciot egyertelmuen meghatarozn + 1 altalanos allasu pont es annak kepe
Azaz, peldaul sıkban ha adott harom altalanos allasu
pi =
xiyi1
, i = 0, 1, 2
pont es ezek kepei, rendre
qi =
x ′iy ′i1
, i = 0, 1, 2
akkor pi -ket qi -kbe atvivo R ∈ R3×3 transzformaciora
R · [p0,p1,p2] = [q0,q1,q2]⇒ R = [q0,q1,q2] · [p0,p1,p2]−1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Affin transzformaciok megadasa
En-ben egy affin transzformaciot egyertelmuen meghatarozn + 1 altalanos allasu pont es annak kepeAzaz, peldaul sıkban ha adott harom altalanos allasu
pi =
xiyi1
, i = 0, 1, 2
pont es ezek kepei, rendre
qi =
x ′iy ′i1
, i = 0, 1, 2
akkor pi -ket qi -kbe atvivo R ∈ R3×3 transzformaciora
R · [p0,p1,p2] = [q0,q1,q2]⇒ R = [q0,q1,q2] · [p0,p1,p2]−1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv transzformaciok megadasa
En-ben egy projektıv transzformaciot egyertelmuenmeghataroz n + 2 altalanos allasu pont es annak kepe
Tehat sıkban 4: legyen P ∈ R3×3 es α0, α1, α2, α3 ∈ R, ekkormegoldando P-re
P · [p0,p1,p2,p3] = [α0q0, α1q1, α2q2, α3q3]
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Projektıv transzformaciok megadasa
En-ben egy projektıv transzformaciot egyertelmuenmeghataroz n + 2 altalanos allasu pont es annak kepe
Tehat sıkban 4: legyen P ∈ R3×3 es α0, α1, α2, α3 ∈ R, ekkormegoldando P-re
P · [p0,p1,p2,p3] = [α0q0, α1q1, α2q2, α3q3]
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformaciok altalaban
Transzformaciok osztalyozasa
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:
x′ = x + d
Altalaban T(dx , dy , dz)-vel jeloljuk
Matrix alakhoz homogen koordinatak kellenek, w = 1valasztassal es akkor a kovetkezo 4× 4-es matrixszal adhatomeg:
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:
x′ = x + d
Altalaban T(dx , dy , dz)-vel jeloljuk
Matrix alakhoz homogen koordinatak kellenek, w = 1valasztassal es akkor a kovetkezo 4× 4-es matrixszal adhatomeg:
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk:
x′ = x + d
Altalaban T(dx , dy , dz)-vel jeloljuk
Matrix alakhoz homogen koordinatak kellenek, w = 1valasztassal es akkor a kovetkezo 4× 4-es matrixszal adhatomeg:
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Eltolas
Hiszen ha homogen koordinatait hasznaljuk az x pontnak,akkor
1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1
·
xyz1
=
1 · x + 0 · y + 0 · z + 1 · dx0 · x + 1 · y + 0 · z + 1 · dy0 · x + 0 · y + 1 · z + 1 · dz
1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Tulajdonsagok
Az affin transzformaciok egy kommutatıv reszcsoportjatalkotjak
A T(a, b, c) inverze T−1(a, b, c) = T(−a,−b,−c)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Eltolas
Tulajdonsagok
Az affin transzformaciok egy kommutatıv reszcsoportjatalkotjak
A T(a, b, c) inverze T−1(a, b, c) = T(−a,−b,−c)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas
Negyjegyu fuggvenytablazatbol:Forgatas XY sıkban (gyakorlatilag a Z tegely korul) θ szoggel:
x ′ = x cos θ − y sin θ
y ′ = x sin θ + y cos θ.
Matrix alakban:[x ′
y ′
]= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θcos θ
]=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
Hasonloan kaphatjuk XZ es YZ sıkokon is.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas
Negyjegyu fuggvenytablazatbol:Forgatas XY sıkban (gyakorlatilag a Z tegely korul) θ szoggel:
x ′ = x cos θ − y sin θ
y ′ = x sin θ + y cos θ.
Matrix alakban:[x ′
y ′
]= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θcos θ
]=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
Hasonloan kaphatjuk XZ es YZ sıkokon is.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas
Negyjegyu fuggvenytablazatbol:Forgatas XY sıkban (gyakorlatilag a Z tegely korul) θ szoggel:
x ′ = x cos θ − y sin θ
y ′ = x sin θ + y cos θ.
Matrix alakban:[x ′
y ′
]= x
[cos θsin θ
]+ y
[− sin θcos θ
]=
[cos θ − sin θsin θ cos θ
] [xy
]
Hasonloan kaphatjuk XZ es YZ sıkokon is.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Forgatas matrixok
Z tegely menten
RZ (θ) =
c −s 0 0s c 0 00 0 1 00 0 0 1
,Y tegely menten
RY (θ) =
c 0 s 00 1 0 0−s 0 c 00 0 0 1
,X tegely menten
RX (θ) =
1 0 0 00 c −s 00 s c 00 0 0 1
,ahol c = cos θ es s = sin θ.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tulajdonsagok
Az azonos tengely koruli elforgatasok az affin transzformaciokegy kommutatıv reszcsoportjat alkotjak
A terbeli forgatas matrixahoz eleg egy 3× 3 matrix (linearistranszformacio)
Az eltolas es forgatas sorrendje nem cserelheto!
A forgatas inverze az eredeti forgatas nagysagaval megegyezo,de ellentetes iranyu elforgatas
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges forgatas
Tetszoleges orientacio eloallıthato a harom forgatas egymas utanihasznalataval.
R(α, β, γ) =cosα − sinα 0sinα cosα 0
0 0 1
· cosβ 0 sinβ
0 1 0− sinβ 0 cosβ
·1 0 0
0 cos γ − sin γ0 sin γ cos γ
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)
forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)
ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )
vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)
alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas
Az eddigieket felhasznalva:
toljuk el a forgatasi tengelyt az origoba (T)forgassuk be az egyik tengely korul a masik ketto sıkjaba(peldaul RZ -vel)ebben a sıkban a ket tengely kozul az egyikkel forgassuk be amasik tengelybe (peldaul RY )vegezzuk el az elforgatast (peldaul RX -szel, de: ez az uj (X”)tengely korul forgat!)alkalmazzuk az eddigi transzformaciok inverzeit
Azaz peldaul Mx = (T−1R−1Z R−1
Y RXRYRZT)x
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Tetszoleges tengely koruli forgatas - Rodrigues formula
Tetszoleges tengely kozuli forgatas megadhato egy zegysegvektorral, ami a forgatas tengelyet adja, es egy θ szoggel.Ezt ırja le a Rodrigues formula, aminek felhasznalasaval:
v′ = Rodrigues(θ, z)v
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Yaw, pitch, roll
Egy objektum fuggoleges- (yaw), kereszt- (pitch) eshossztengelye (roll) menti elfordulasait egyszerre adjuk meg.
Replulestanban es robotikaban eloszeretettel hasznaltmegadasi mod.
Gyakorlatilag megegyezik azzal, mintha harom ”kozonseges”tengely menti forgatast hasznalnank.
Csak akkor mukodik helyesen, ha az objetum tengelyei egybeesnek a koordinata rendszer tengelyeivel.
Legtobb API tamogatja.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Mozgas-transzformaciok
Az eltolasok es tengely koruli elforgatasmozgas-transzformaciok
A targyak alakjat es meretet nem valtoztatjak
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Forgatas
Mozgas-transzformaciok
Az eltolasok es tengely koruli elforgatasmozgas-transzformaciok
A targyak alakjat es meretet nem valtoztatjak
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Meretezes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Meretezes
Az x , y , z tengelyek menten ”szethuzzuk”, vagy”osszenyomjuk” az alakzatot, azaz mas lepteket valasztunk -egymastol fuggetlenul is akar
Matrix alakban:
S(sx , sy , sz) =
sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Meretezes
Az x , y , z tengelyek menten ”szethuzzuk”, vagy”osszenyomjuk” az alakzatot, azaz mas lepteket valasztunk -egymastol fuggetlenul is akar
Matrix alakban:
S(sx , sy , sz) =
sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkra
ha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyre
ha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: tukrozes
Ha sx , sy , sz valamelyike negatıv
ha egy negatıv: tukrozes az iranyra meroleges sıkraha ketto negatıv: tukrozes egy tengelyreha mindharom negatıv: kozeppontos tukrozes
Figyeljunk: ha paratlan szamu negatıv egyutthato van, akkora sodrasirany is megvaltozik!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Sodrasirany?
Az i, j, k bazisvektorokat felhasznalva, ha ϕ : R3 → R3 linearistranszformacio, akkor
ϕ(p) = ϕ(x i + y j + zk) = xϕ(i) + yϕ(j) + zϕ(k)
→ ha egy transzformacio matrixanak determinansa negatıv,akkor a sodrasirany (a targyak terbeli iranyıtasa) megvaltozik
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Sodrasirany?
Az i, j, k bazisvektorokat felhasznalva, ha ϕ : R3 → R3 linearistranszformacio, akkor
ϕ(p) = ϕ(x i + y j + zk) = xϕ(i) + yϕ(j) + zϕ(k)
→ ha egy transzformacio matrixanak determinansa negatıv,akkor a sodrasirany (a targyak terbeli iranyıtasa) megvaltozik
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Sodrasirany?
Az i, j, k bazisvektorokat felhasznalva, ha ϕ : R3 → R3 linearistranszformacio, akkor
ϕ(p) = ϕ(x i + y j + zk) = xϕ(i) + yϕ(j) + zϕ(k)
→ ha egy transzformacio matrixanak determinansa negatıv,akkor a sodrasirany (a targyak terbeli iranyıtasa) megvaltozik
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunk
ha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”
ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla!
→ nincs inverz!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Meretezes
Specialis eset: vetıtes
Ha sx , sy , sz valamelyike nulla
ha egy nulla: az iranyra meroleges sıkra vetıtunkha ketto nulla: egy tengelyre ”vetıtunk”ha mindharom nulla: az origoba ”vetıtunk” mindent...
Eszrevetel: a determinans nulla! → nincs inverz!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Nyıras
Pelda
Ha egy pakli kartyat lerakunk az asztalra es a lapokat egyenletesenszetcsusztatjuk, de ugy, hogy a pakli meg ”allva” maradjon, az anyıras.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Nyıras
Ha peldaul minden pontban az x , y ertekeket z-vel aranyosmertekeben modosıtjuk:
N =
1 0 a 00 1 b 00 0 1 00 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Nyıras
Nyıras
Altalanosan:
N =
1 a b 00 1 c 00 0 1 00 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban?
Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′
→ x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Atteres uj koordinata-rendszerre
Atteres uj koordinata-rendszerre
Tegyuk fel, hogy az i, j, k ortonormalt bazisvektorok helyett atakarunk terni az u, v,w ortonormalt bazisra (az ujbazisvektorok koordinatait ismerjuk a regi bazisban).
Mik lesznek az eddig [x , y , z ]T koordinatakkal azonosıtottpont [x ′, y ′, z ′]T koordinatai az uj bazisban? Azaz milyenx ′, y ′, z ′-re teljesul, hogy x = x ′u + y ′v + z ′w?
x = [u, v,w]x′ = Bx′ → x′ = B−1x
Ortonormalt matrix inverze a matrix transzponaltja, ıgy az ujkoordinatakat ado M = B−1 matrixunk a kovetkezo alaku
M =
ux uy uz 0vx vy vz 0wx wy wz 00 0 0 1
Ha az uj origo koordinataja c, akkorM = B−1T (−cx ,−cy ,−cz)
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Kommutativitas
A matrix szorzas nem kommutatıv, ugyhogy altalaban nemigaz, hogy
ABv = BAv
Ez jo, mivel altalaban a transzformaciok sem kommutatıvak
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Pelda
Forgatas majd eltolas Eltolas majd forgatas
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Transzformacios matrixok determinansai
A meretezesnel lattuk, hogy ha egy vagy harom egyutthatojanegatıv a transzformacionak, akkor az megfordıtja asodrasiranyt.
Altalanos esetre megfogalmazva:
Ha det(A) > 0, akkor a sodras irany valtozatlan marad
Ha det(A) < 0, akkor a sodras irany megfordul
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?
NEM!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?
NEM!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?NEM!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Normalvektorok transzformacioja
Legyen g egy szakasz a sıkba, n normalvekotrral. Legyen S azx tengely menten ketszeres nyujtas leıro transzformacio.
Problema: g ′-t megkaphatjuk, ha eltranszformaljuk a ketvegpontjat. Mi a helyzet g ′ normalvektoraval? n′ = Sn lesz?NEM!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Vizsgaljuk a normalvektor altal megadott erintosık egyenletet!
Legyen p az erintosık egy pontja, ekkor x akkor es csak akkorvan rajta a sıkon, ha
〈x− p,n〉 = 0
Ekkor nyılvan, tetszoleges (invertalhato) A transzformaciomellett:
〈A−1A(x− p),n〉 = 0
A skalaris szorat es a matrix szorzas szabalyai alapjan kapjuk,hogy
〈A(x− p),(A−1
)Tn〉 = 0
Azaz a normalvektorokat az A matrix helyett annakinverztranszponaltjaval kell szorozni!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Megjegyzes
A sık affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaharom fuggetlen pont es azok kepe
A ter affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozza negyfuggetlen pont es azok kepe
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Attekintes
Megjegyzes
A sık affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaharom fuggetlen pont es azok kepe
A ter affin transzformacioit egyertelmuen meghatarozza negyfuggetlen pont es azok kepe
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Motivacio
A szınterunk kepet akarjuk eloallıtani: vetıteni egy sıkra
Az ember altal latott kepet nem lehet eloallıtani affintranszformaciok segıtsegevel. A ”tavolodo” parhuzamosokosszetartanak, nem maradnak parhuzamosak.
Ez a latvany eloallıthato kozponti vetıtessel. Ez atranszformacio a homogen terben linearis transzformacio.
Az affin transzformaciok nem ”bantottak” az idealis elemeket,a fentiekhez azonban ez ”kell”
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Altalanos eset
Ha egy homogen transzformacios matrix utolso sora nem[0, 0, 0, 1], akkor az olyan homogen linearis transzformacio, ami azeuklideszi ternek nem linearis transzformacioja.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Parhuzamos vetıtes
A matrix ami megadja egyszeru, peldaul az XY sıkra valovetıtes
1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,
a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,
a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsaga
a tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Kozponti vetıtest valosıt meg.
Az origobol a z tengely menten ”nezunk” a terre.
A latoternek egy csonkagula felel meg.
A transzformacio a szem pozıcioban talalkozo vetıtoegyenesekbol parhuzamosokat csinal.
Parameterei:
a gula fuggoleges nyılasszoge,a gula alapjanak az oldalainak az aranya,a kozeli vagosık tavolsagaa tavoli vagosık tavolsaga
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Perspektıv transzformacio
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Homogen osztas
Mivel egy M ”valodi” projektıv transzformacio utolso soranem [0, 0, 0, 1]T , ezert
[x , y , z ,w ]T = Mv
transzformacio utan, w 6= 1 altalanos esetben.
Ha ezt a pontot az eukleideszi terbe szeretnenk atvinni (mertpl. meg akarjuk jelenıteni), akkor vegig kell osztanunk w -vel.
(Persze csak akkor, ha w 6= 0)
Ezt nevezzunk homogen osztasnak.
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
Vagyis:
x ′ =x
zd
y ′ =y
zd
z ′ =z
zd = d
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Kozeppontos vetıtes
Az origo, mint vetıtesi kozeppont es egy, attol a Z tengelymenten d egysegre talalhato, XY sıkkal parhuzamosvetıtosıkra valo vetıtes matrixa:
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1
d 0
Homogen osztas utan ( z
d -vel) a fentit kapjuk
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Megjegyzes
A sık projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzanegy fuggetlen pont es azok kepe
A ter projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaot fuggetlen pont es azok kepe
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Megjegyzes
A sık projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzanegy fuggetlen pont es azok kepe
A ter projektıv transzformacioit egyertelmuen meghatarozzaot fuggetlen pont es azok kepe
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Tartalom
1 Motivacio
2 TranszformaciokTranszformaciok altalaban
3 Nevezetes affin transzformaciokEltolasForgatasMeretezesNyırasAtteres uj koordinata-rendszerreAttekintes
4 Projektıv transzformacio
5 Osszegzes
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Mi tortenik, ha a vektorunk negyedik koordinataja nulla(vagyis ha vektort azonosıt a szamnegyes)?
Az eltolas resz nem hat ra!
Figyeljunk: nem mindenhol szoroznak jobbrol a vektorokkal!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Mi tortenik, ha a vektorunk negyedik koordinataja nulla(vagyis ha vektort azonosıt a szamnegyes)?
Az eltolas resz nem hat ra!
Figyeljunk: nem mindenhol szoroznak jobbrol a vektorokkal!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Mi tortenik, ha a vektorunk negyedik koordinataja nulla(vagyis ha vektort azonosıt a szamnegyes)?
Az eltolas resz nem hat ra!
Figyeljunk: nem mindenhol szoroznak jobbrol a vektorokkal!
Motivacio Transzformaciok Nevezetes affin transzformaciok Projektıv transzformacio Osszegzes
Transzformacios matrixok
Top Related