Stroming van water rond een cilindervormige...

Stroming van water rond een

cilindervormige brugpijler

Hans Oosterhuis

Bachelorscriptie Technische Wiskunde

Augustus 2009

Stroming van water rond eencilindervormige brugpijler

Samenvatting

In deze bachelorscriptie gaan we een wiskundige beschrijving geven van de stroming vanwater rond cilindervormige brugpijlers. Allereerst gaan we een betrekkelijk eenvoudig modelopstellen voor golven in water van constante eindige diepte. Met behulp van dat model gaanwe bekijken wat er gebeurt wanneer we een eenvoudige golf tegen een of meerdere cilindersaan laten stromen. We gaan bepalen hoe het wateroppervlak rond de cilinder(s) eruit ziet enuitrekenen hoe hoog het water tegen de cilinder(s) omhoog stroomt. Ook gaan we voor desituatie van een cilinder uitrekenen hoe groot de kracht is die op de cilinder werkt, doordater golven tegenaan stromen, en zullen we nagaan hoe die kracht beınvloed wordt door degolflengte en de grootte van de cilinder. Ten slotte gaan we de stroming rond een cilindernumeriek (op de computer) uitrekenen met behulp van het simulatieprogramma Comflow.De resultaten daarvan vergelijken we met de resultaten die we met ’pen en papier’ gevondenhebben.

Bachelorscriptie Technische WiskundeAuteur: Hans OosterhuisBegeleiders: dr. ir. R. Luppes en prof. dr. A. E. P. VeldmanDatum: Augustus 2009

Instituut voor Wiskunde en InformaticaPostbus 4079700 AK Groningen

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

2 Het model 32.1 Basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Gelineariseerde golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Eindige diepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Diffractie ten gevolge van een cilinder 93.1 Diffractiepatroon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Grafische weergave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Run-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Enkelvoudige ingaande golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 Andere ingaande golf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Krachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Diffractie ten gevolge van twee cilinders 234.1 Diffractiepatroon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Speciale gevallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Grafische weergave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.1 Hoek van de ingaande golf β = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.2 Hoek van de ingaande golf β = −π

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.3 Hoek van de ingaande golf β = −π

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Comflow 415.1 Een cilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Twee cilinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Conclusies 47

iii

iv INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1

Inleiding

Als je boven op een brug met cilindervormige pijlers staat, dan kun je soms in het water mooiediffractiepatronen zien. Die worden veroorzaakt doordat golven, bijvoorbeeld veroorzaaktdoor een boot, tegen de brugpijlers aanstromen en daardoor in alle richtingen verstrooidworden en dan met elkaar gaan interfereren. Ze zullen elkaar op bepaalde plekken versterkenen op andere plekken juist uitdoven, zodat er een diffractiepatroon ontstaat.In de komende hoofdstukken gaan we een wiskundige beschrijving geven van de stromingvan water rond zo’n cilindervormige brugpijler, met behulp van potentiaaltheorie. Daartoegaan we eerst een model opstellen voor golven in water van constante eindige diepte, waarbijwe een aantal aannames maken om het model te kunnen lineariseren, omdat het andersveel te ingewikkeld wordt. Met dat model kunnen we een algemene formule bepalen voorgolven in water van constante eindige diepte. Vervolgens laten we een eenvoudige sinusgolftegen een cilinder aanstromen (de ingaande golf), waardoor een diffractiegolf onstaat. Metbehulp van ons model kunnen we bepalen hoe die diffractiegolf eruit ziet, hierbij moeten wede Laplacevergelijking oplossen in poolcoordinaten. De volledige stroming rond de cilinderwordt dan gegeven door de superpositie van de ingaande golf en de diffractiegolf.We gaan allereerst kijken naar de situatie met een cilinder. Voor dit geval gaan we ook eenformule afleiden voor de kracht die op de cilinder werkt als gevolg van de golven die er tegegaanstromen. We zullen kijken hoe die kracht afhangt van de golflengte en de cilinderstraal.Vervolgens zullen we het probleem uitbreiden naar twee cilinders, met willekeurige straal enpositie ten opzichte van elkaar. Voor beide situaties zullen we analytisch een formule opstellendie de vorm van het wateroppervlak rond de desbetreffende cilinder beschrijft. Ook gaan we inbeide gevallen kijken hoe ver het water bij de pijlers omhoog stroomt, de zogenaamde run-up.Dit is interessant om naar te kijken, omdat we hiermee bijvoorbeeld kunnen nagaan hoe hoogeen boorplatform boven het zeeniveau moet liggen om te voorkomen dat hij van onderen natwordt wanneer er op zee hoge golven zijn, die tegen de steunpilaren van het platform omhoogstromen. Hierbij moeten we ons wel realiseren dat we lineaire theorie gebruiken, die slechtseen benadering van de werkelijkheid is. Een benadering die slechter wordt, naarmate we metgrotere en hogere golven te maken hebben.Ten slotte gaan we kijken naar het numerieke aspect. We willen de waterstroming op decomputer simuleren met behulp van het programma Comflow. Met dit programma kan menwaterstromingen en golven behoorlijk natuurgetrouw simuleren, zonder allerlei beperkendeaannames en vereenvoudigingen. Het programma gebruikt geen lineaire theorie maar deNavier-Stokes vergelijkingen. Dit zijn niet-lineaire partiele differentiaalvergelijkingen die de

1

2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

stroming van vloeistoffen beschrijven. De resultaten hiervan gaan we vergelijken met deanalytische oplossingen die volgen uit de potentiaaltheorie. Op deze manier kunnen we nagaanin hoeverre de gelineariseerde theorie een goede beschrijving van de werkelijkheid geeft.

Hoofdstuk 2

Het model

2.1 Basisvergelijkingen

We gaan eerst een model maken waarmee het vrije oppervlak van een watermassa berekendkan worden, zie [11]. In rusttoestand ligt het vrije oppervlak op z = 0. Aan de onderkantwordt het water begrensd door de bodem, die gegeven wordt door z = −h(x, y). De vormvan het vrije oppervlak, wanneer het water gaat golven, wordt gegeven door de vergelijkingz = η(x, y, t). We doen nu een aantal aannames om het model eenvoudig te houden. Wenemen aan dat het water niet-viskeus en onsamendrukbaar is. Verder nemen we aan dat destroming rotatievrij is, dat betekent dat de snelheid wordt gegeven door de gradient van eenandere functie, oftewel v = ∇Φ. Hierin is Φ de snelheidspotentiaal. Omdat we het wateronsamendrukbaar veronderstellen, geldt er dat

∇ · v = 0

Combinatie van deze twee vergelijkingen levert de potentiaalvergelijking op

∆Φ = Φxx + Φyy + Φzz = 0. (2.1)

In het water geldt de wet van Bernoulli voor een incompressibele, instationaire, rotatievrijestroming

Φt +12|∇Φ|2 +

p

ρ+ gz = constant, overal in de vloeistof. (2.2)

Om de potentiaalvergelijking op te kunnen lossen, hebben we een aantal randvoorwaardennodig.

1. Op het wateroppervlak (z = η) is de druk p gelijk aan de atmosferische druk, patm.Hieruit kunnen we de dynamische vrije-oppervlakteconditie afleiden

Φt +12

(Φ2x + Φ2

y + Φ2z) + gη = 0 op z = η(x, y).

Dit is gewoon de wet van Bernoulli op het wateroppervlak waarbij de constante gelijkis aan patm

ρ .

2. Op het vrije oppervlak moet de normaalcomponent van de vloeistofsnelheid gelijk zijnaan de normaalsnelheid van de waterdeeltjes op het vrije oppervlak, dat wil zeggen, een

3

4 HOOFDSTUK 2. HET MODEL

deeltje dat op het wateroppervlak ligt moet op het oppervlak blijven. Hieruit kunnenwe de kinematische vrije-oppervlakteconditie afleiden

ηt + Φxηx + Φyηy = Φz op z = η(x, y).

3. Verder moet de normaalsnelheid op de bodem gelijk aan nul zijn, omdat er niets doorde bodem heen kan stromen. Hieruit kunnen we ten slotte de bodemconditie afleiden

Φxhx + Φyhy + Φz = 0 op z = −h(x, y).

2.2 Gelineariseerde golven

Om het model verder te vereenvoudigen, nemen we aan dat Φ en η en hun afgeleiden kleinzijn, zodat we bovenstaande randvoorwaarden kunnen lineariseren. Verder nemen we aan datde bodem vlak is, oftewel h = constant. We krijgen dan als dynamische randvoorwaarde

Φt + gη = 0 op z = 0, (2.3)

als kinematische randvoorwaarde

ηt = Φz op z = 0 (2.4)

en als bodemconditie

Φz = 0 op z = −h. (2.5)

Uit vergelijking (2.3) en (2.4) kunnen we η elimineren, zodat er een randvoorwaarde voor Φalleen ontstaat

Φtt + gΦz = 0 op z = 0. (2.6)

Uit deze vergelijking kunnen we straks de dispersierelatie afleiden, die een verband geefttussen de golflengte en de voortplantingssnelheid van een golf. Nu kunnen we met behulp vanbovenstaande randvoorwaarden de potentiaalvergelijking oplossen en vervolgens met behulpvan (2.3) de vorm van het vrije oppervlak, η, bepalen.

We gaan nu de Laplacevergelijking oplossen met behulp van separatie van variabelen. Daartoeschrijven we de oplossing als

Φ(x, y, z, t) = Re{W (x, y)Z(z)T (t)}.

Substitutie hiervan in de potentiaalvergelijking (2.1) levert

Wxx(x, y)Z(z)T (t) +Wyy(x, y)Z(z)T (t) +W (x, y)Z′′(z)T (t) = 0.

Vervolgens delen we door W (x, y)Z(z)T (t) en krijgen we

Wxx(x, y) +Wyy(x, y)W (x, y)

+Z

′′(z)

Z(z)= 0.

2.3. EINDIGE DIEPTE 5

We hebben nu een term die van x en y afhangt en een term die van z afhangt. Deze termenmoeten aan elkaar gelijk zijn en dat kan alleen als ze beide gelijk zijn aan een constante, dus

Wxx(x, y) +Wyy(x, y)W (x, y)

=−Z ′′

(z)Z(z)

= C

⇒ Z′′(z) + CZ(z) = 0.

We moeten nu kiezen of we C positief of negatief nemen. Bij een positieve C wordt deoplossing een complexe e-macht en dus periodiek. We zijn hier niet geınteresseerd in eenoplossing die periodiek is in de z-richting, dus nemen we C negatief, dus C = −k2 (metk > 0). We krijgen nu als oplossing

Z′′(z)− k2Z(z) = 0 ⇒ Z(z) = C1e

kz + C2e−kz.

De constanten C1 en C2 zullen we later specificeren. De functie T (t) kunnen we vinden metbehulp van randvoorwaarde (2.6)

W (x, y)Z(z)T′′(t) + gW (x, y)Z

′(z)T (t) = 0 op z = 0

⇒ (C1ekz + C2e

−kz)T′′(t) + gk(C1e

kz − C2e−kz)T (t) = 0 op z = 0

⇒ (C1 + C2)T′′(t) + gk(C1 − C2)T (t) = 0

⇒ T′′(t) + gk

C1 − C2

C1 + C2T (t) = 0.

Deze vergelijking heeft als oplossing een periodieke functie met een complexe e-macht. Wenemen hiervoor eiωt. De functie T (t) wordt dan

T (t) = D1eiωt +D2e

−iωt

en de frequentie ω volgt uit

ω2 = gkC1 − C2

C1 + C2(2.7)

Dit wordt ook wel de dispersierelatie genoemd. Hierin is k het golfgetal, k = 2π/λ, waarbij λde golflengte is. We kiezen nu D1 = 0 en D2 = 1, zodat T (t) = e−iωt.

2.3 Eindige diepte

Omdat we te maken hebben met golven op constante eindige diepte, moet voldaan wordenaan bodemvoorwaarde (2.5)

Z′(−h) = C1ke

−kh + C2kekh = 0

⇒ C2 = C1e−2kh

⇒ Z(z) = C1ekz + C1e

−kz−2kh

We kiezen nu C1 = − igω

ekh

2 cosh kh , hiermee krijgen we

Z(z) = − igω

ek(z+h) + e−k(z+h)

2 cosh kh= − ig

ω

cosh k(z + h)cosh kh


ω2 = gkC1 − C2

C1 + C2= gk

ekh − e−kh

ekh + e−kh= gk tanh kh

Dus de golfsnelheid wordt gegeven door

c ≡ ω

k=√g

ktanh kh. (2.8)

De potentiaal wordt nu

Φ(x, y, z, t) = Re{− igωW (x, y)


e−iωt}

(2.9)

Substitutie hiervan in de dynamische randvoorwaarde (2.3) levert

η(x, y, t) = Re{W (x, y) e−iωt

}De functie W (x, y) gaan we later bepalen, in het vervolg zullen we die schrijven als η(x, y).Nemen we voor η(x, y, t) een eenvoudige golf, bijvoorbeeld ηI(x, y, t) = A cos (kx− ωt), dankrijgen we ηI(x, y) = Aeikx en de potentiaal hiervan is

ΦI(x, y, z, t) = Re{− igA

ω


ei(kx−ωt)}. (2.10)

Hierin is A de amplitude van de golf, dat wil zeggen, de maximale uitwijking ten opzichtevan hoogte nul. Deze ηI(x, y, t) is de golf die we straks tegen een cilinder aan laten stromenen noemen we ook wel de ingaande golf. Om de notatie in het vervolg wat korter te houden,definieren we een nieuwe potentiaal φ(x, y, z) die niet meer van de tijd afhangt, via

Φ ≡ Re{φ e−iωt

}, dus

φ = − igωη(x, y)


.

De potentiaal van de ingaande golf wordt, in deze notatie

φI = − igAω


eikx.

We gaan straks bij het bepalen van de functie η(x, y) poolcoordinaten gebruiken, omdat weeen randvoorwaarde op de cilinderwand krijgen. De ingaande golf wordt in poolcoordinaten

ηI = Aeikx = Aeikr cos θ

= A

∞∑m=0

εm(i)mJm(kr) cosmθ

met εm ={

1, m = 02, m = 1, 2, ...

[2, vgl. 8.511(4)].De potentialen worden in poolcoordinaten

φ(r, θ, z) = − igωη(r, θ)


, (2.11)

2.3. EINDIGE DIEPTE 7

φI(r, θ, z) = − igAω


eikr cos θ. (2.12)

De Laplaceoperator is in poolcoordinaten

∆ =∂2

∂r2+

1r

∂

∂r+

1r2

∂2

∂θ2+

∂2

∂z2.

Hoofdstuk 3

Diffractie ten gevolge van eencilinder

Nu we de potentiaal van een golf op constante eindige diepte gevonden hebben, kunnen wegaan kijken naar wat er gebeurt wanneer we zo’n golf tegen een cilindervormig object latenstromen. De potentiaal van het golfpatroon dat we dan krijgen kunnen we opsplitsen in depotentiaal van de ingaande golf φI (2.12) en de diffractiepotentiaal, φD. Deze diffractiepo-tentiaal is de potentiaal van de golven die veroorzaakt worden door de cilinder.De totale potentiaal φ (2.11) is gelijk aan de som van φI en φD.

3.1 Diffractiepatroon

De diffractiepotentiaal volgt nu uit φD = φ− φI

φD(r, θ, z) = − igω


[η(r, θ)−Aeikr cos θ

]= − igA

ω


ψ(r, θ),

waarbij

ψ(r, θ) ≡ η(r, θ)A

− eikr cos θ. (3.1)

Het doel is nu om de functie η(r, θ) te vinden. Dit doen we door een differentiaalvergelijkingvoor ψ(r, θ) op te stellen en daaruit ψ(r, θ) op te lossen. Vervolgens kunnen we onmiddelijkη(r, θ) vinden met behulp van (3.1) en daaruit de vorm van het vrije oppervlak bepalen.φD is een potentiaal en moet dus voldoen aan de potentiaalvergelijking

∆φD = − igω

[∂2

∂r2+

1r

∂

∂r+

1r2

∂2

∂θ2+

∂2

∂z2

]ψ(r, θ)


= 0

⇒(∂2

∂r2+

1r

∂

∂r+

1r2

∂2

∂θ2+ k2

)ψ(r, θ) = 0. (3.2)

Omdat er geen water door de cilinderwand kan stromen, moet gelden dat

9

10 HOOFDSTUK 3. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN EEN CILINDER

∂φ

∂n= 0 op r = a

⇒ ∂φD

∂r= −∂φ

I

∂rop r = a.

Hierin is a de straal van de cilinder. Combinatie van (2.11) en (2.12) levert nu op

∂ψ

∂r= − ∂

∂r

(eikr cos θ

)= − ∂

∂r

( ∞∑m=0

εm(i)mJm(kr) cosmθ

)op r = a. (3.3)

We proberen nu een oplossing van de vorm

ψ =∞∑m=0

εmAm Fm(kr) cosmθ. (3.4)

Hierin zijn Am constantes. Substitutie in vergelijking (3.2) levert(∂2

∂r2+

1r

∂

∂r− m2

r2+ k2

)Fm(kr) = 0.

Dit is de m-de orde Besselvergelijking. Oplossingen hiervan worden gegeven door lineairecombinaties van de Besselfuncties van de eerste soort en de tweede soort, resp.

Jm(kr) en Ym(kr).

Om de juiste lineaire combinatie te bepalen, kijken we naar de voorwaarde waar ψ aan moetvoldoen:

ψ(r, θ) ∼ eikr als r →∞. (3.5)

Het asymptotische gedrag van de Besselfuncties voor r →∞ wordt gegeven door

Jm(kr) ∼(

2πkr

)1/2

cos(kr − 1

2mπ − π

4

),

Ym(kr) ∼(

2πkr

)1/2

sin(kr − 1

2mπ − π

4

).

Dus de Hankelfunctie

Hm(kr) ≡ Jm(kr) + iYm(kr) ∼(

2πkr

)1/2

ei(kr−12mπ−π

4 ) als r → ∞

en hiermee is dus aan voorwaarde (3.5) voldaan. ψ(r, θ) wordt nu gegeven door

ψ(r, θ) =∞∑m=0

εmAm Hm(kr) cosmθ. (3.6)

Uit vergelijking (3.3) volgt dat

3.1. DIFFRACTIEPATROON 11

∂ψ

∂r

∣∣∣∣r=a

= −k∞∑m=0

εm(i)mJ′m(ka) cosmθ. (3.7)

Differentiatie van vergelijking(3.6) naar r levert

∂ψ

∂r

∣∣∣∣r=a

= k

∞∑m=0

εmAmH′m(ka) cosmθ. (3.8)

Door vergelijking (3.7) en (3.8) met elkaar te vergelijken volgt nu dat

AmH′m(ka) = −(i)m J

′m(ka),

dus

Am = −(i)mJ

′m(ka)

H ′m(ka)

waarbij H′m(s) ≡ dHm/ds. Uit vergelijking (3.1) volgt dat

η(r, θ) = A(eikr cos θ + ψ(r, θ)

)= A

∞∑m=0

εm(i)m(Jm(kr)−Hm(kr)

J′m(ka)

H ′m(ka)

)cosmθ. (3.9)

De vorm van het vrije oppervlak rond de cilinder wordt nu gegeven door

η(r, θ, t) = Re

{Ae−iωt

∞∑m=0

εm(i)m(Jm(kr)−Hm(kr)

J′m(ka)

H ′m(ka)

)cosmθ

}. (3.10)

Deze gelineariseerde theorie is door verschillende mensen vergeleken met experimentele resul-taten. Uit experimenteel onderzoek van Chakrabarti en Tam [1] is gebleken dat de theorieeen redelijk goede overeenkomst vertoont met de werkelijkheid voor 0.2 < ka < 0.65, waarbijde golfamplitude klein is, 0.1 < kA < 0.38. Ook uit andere experimenten zijn dergelijkeconclusies getrokken, zie bijvoorbeeld [4] en [9]. Het is gebleken dat de lineaire theorie overhet algemeen niet nauwkeurig is voor het schatten van de run-up (zie paragraaf 3.2.1). Maar,wanneer kA naar nul gaat (oneindig kleine amplitude ten opzichte van de golflengte), be-nadert de lineaire oplossing de werkelijkheid, ongeacht de waarde van ka. Anders gezegd, inde limiet kA→ 0 vormt de lineaire theorie een belangrijke basisoplossing.


3.1.1 Grafische weergave

Nu we de formule voor het vrije oppervlak gevonden hebben, kunnen we het vrije oppervlakgrafisch weergeven, bijvoorbeeld met behulp van Mathematica. Hier volgt een aantal plaat-jes van het vrije oppervlak van een golf die tegen een cilinder aanstroomt, op verschillendetijdstippen. Het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes is steeds even groot en heteerste plaatje volgt op het laatste, er is dus een hele periode weergegeven. De golf komt vanrechts en de zwarte lijn op de cilinder geeft de hoogte van het water in rusttoestand weer(z = 0).

Figuur 3.1: Golfpatroon rond een cilinder over een periode, λ = 1.5 m, a = 0.3 m.

3.2. RUN-UP 13

3.2 Run-up

3.2.1 Enkelvoudige ingaande golf

Een interessant verschijnsel is de run-up, dit is de maximale hoogte die het water op de cilinderbereikt. Om de run-up te vinden moeten we dus op elk punt van de cilinder de uitdrukkingRe{η(a, θ) eiωt} maximaliseren over t. Hierin is η(a, θ) een complexe functie, stel u(s)+ iv(s).We willen nu een uitdrukking vinden voor

maxt

Re{

[u(s) + iv(s)]eiωt}.

We gaan kijken naar een willekeurig punt s, zodat u(s) = a en v(s) = b (a is hier niet decilinderdoorsnede)

maxα

Re{

(a+ bi)eiα}

= maxα

(a cosα− b sinα)

Om het maximum te vinden differentieren we naar α

d

dα(a cosα− b sinα) = −(a sinα+ b cosα).

Dit moet gelijk aan nul zijn, dusa sinα = −b cosα

⇒ tanα = − ba

Het extremum van Re{

(a+ bi)eiα}

wordt dus aangenomen in

α∗ = arctan(− ba

).

Aangezien het minimum en het maximum van η(r, θ, t) in absolute waarde gelijk zijn, hoevenwe ons niet druk te maken over de vraag of deze α∗ het maximum of het minimum geeft.Het maximum van Re

{[u(s) + iv(s)]eiωt

}over t wordt nu gegeven door

|a cosα∗ − b sinα∗| =

∣∣∣∣∣a 1√1 + b2

a2

− b −b/a√1 + b2

a2

∣∣∣∣∣=

a2

√a2 + b2

+b2√

a2 + b2

=√a2 + b2 = abs(a+ bi). (3.11)

Hierin hebben we gebruik gemaakt van het feit dat

sin (arctanx) =x√

1 + x2en cos (arctanx) =

1√1 + x2

.

Aangezien (3.11) waar is voor willekeurige s, geldt er dat

maxt

η(r, θ, t) = abs(η(r, θ)

).


Hieronder volgen enkele plaatjes van de run-up, voor verschillende waarden van ka. De plotis gemaakt in poolcoordinaten, hierin geeft θ de positie op de cilinder aan en is r de maximalewaterhoogte. De ingaande golf komt van links en heeft amplitude 0.1.

Figuur 3.2: Run-up voor ka = 0.5, 1, 3, 5.

Om mogelijke verwarring te voorkomen, deze plaatjes corresponderen niet met een momen-topname in de tijd. Voor elk punt op de cilinder is de maximale waterhoogte op dat puntweergegeven. Figuur 3.2 kan ook gevonden worden in [8].

3.2. RUN-UP 15

We kunnen hier ook 3D-plaatjes van maken, door de absolute waarde van η(r, θ), vergelijking(3.10), te plotten in cilindercoordinaten. Hieronder volgen enkele plaatjes daarvan, geplotvoor −π ≤ θ ≤ 0, met A = 0.15. Ook hier hebben we geen momentopnames in de tijd.

Figuur 3.3: Run-up in 3D voor ka = 0.5, 1, 3, 5.


3.2.2 Andere ingaande golf

We kunnen ook kijken naar andere ingaande golven, bijvoorbeeld de som van twee cosinussenmet verschillende periodes. We krijgen dan bijvoorbeeld

ηI(r, θ) = A eikr cos θ +B eilr cos θ

Voor deze twee cosinussen kunnen we apart de waterhoogte η1(r, θ) en η2(r, θ) uitrekenen metvergelijking (3.9), het enige verschil tussen beide is het golfgetal en de amplitude. De vormvan het vrije oppervlak wordt dan gegeven door de som van η1, η2 en ηI , dus

η(r, θ) = A

∞∑m=0

εm(i)m(Hm(kr)

J′m(ka)

H ′m(ka)

)cosmθ +

B∞∑m=0

εm(i)m(Hm(lr)

J′m(la)

H ′m(la)

)cosmθ +A eikr cos θ +B eilr cos θ

Op de volgende pagina staat een voorbeeld daarvan in figuur 3.5, met k = 2π2.2 , l = 2π

1.3 , a = 0.3,A = 0.2 en B = 0.1.

De run-up bij twee ingaande golven kunnen we eenvoudig vinden. Stel de waterhoogte wordtgegeven door ηA + ηB = u(s) + iv(s) + u(s) + iv(s), dan is de run-up gelijk aan

maxα

Re{

(ηA + ηB)eiα}

= maxα

Re{

[(u+ u) + i(v + v)][cosα+ i sinα]}

= maxα

[(u+ u) cosα+ (v + v) sinα] =

√(u+ u)2 + (v + v)2 = |ηA + ηB|.

(zie paragraaf 3.2.1).In de situatie van figuur 3.5 ziet de run-up er als volgt uit

Figuur 3.4: Run-up bij 2 golven met k = 2π2.2 , l = 2π

1.3 , a = 0.3, A = 0.2 en B = 0.1.

3.2. RUN-UP 17

Figuur 3.5: Som van twee cosinussen als ingaande golf over een periode, k = 2π2.2 , l = 2π

1.3 ,a = 0.3, A = 0.2 en B = 0.1..

Het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes is steeds even groot en het eerste plaatjevolgt op het laatste.


3.3 Krachten

Met behulp van de potentiaal die we gevonden hebben, kunnen we ook uitrekenen wat dekracht is die op de cilinder werkt, ten gevolge van een golf die er tegenaan stroomt. Daartoerekenen we eerst de druk op de cilinder uit. De dynamische druk kunnen we vinden met behulpvan de wet van Bernoulli (2.2). Linearisatie van deze vergelijking, waarbij de constante gelijkis aan patm

ρ , levert

Φt +p

ρ+ gz =

patm

ρ

⇒ p = patm − ρΦt − ρgz. (3.12)

Hierin is p de totale druk, d.w.z. de hydrostatische druk (phydr) plus de dynamische druk(pdyn). De hydrostatische druk wordt hier gegeven door phydr = patm − ρgz. Substitutiehiervan in vergelijking (3.12) levert

p = patm − ρΦt − (patm − phydr)

⇒ pdyn = −ρΦt = Re{iωρφ e−iωt

}.

We gaan nu net als bij de potentiaal een nieuwe druk definieren die niet van de tijd afhangtvia

pdyn(r, θ, z, t) ≡ Re{pdyne

−iωt} (3.13)

⇒ pdyn(r, θ, z) = iωρφ = ρgηcosh k(z + h)

cosh kh

De dynamische druk op de cilinder (r = a) is dus

pdyn(a, θ, z) = ρgAcosh k(z + h)

cosh kh

∞∑m=0

εm(i)m(Jm(ka)−Hm(ka)

J′m(ka)

H ′m(ka)

)cosmθ

Met behulp van de Wronski identiteit

Jn(ζ)H′n(ζ)− J ′

n(ζ)Hn(ζ) =2iπζ

kunnen we dit vereenvoudigen tot

pdyn(a, θ, z) = ρgAcosh k(z + h)

cosh kh

∞∑m=0

2 (i)(m+1)εm cosmθπkaH ′

m(ka).

We kunnen nu uitrekenen wat de horizontale kracht in de richting van de golf op een horizon-taal plakje van eenheid dikte is:

dFx

dz= −a

∫ 2π

0pdyn(a, θ, z) cos θ dθ

= −aρgA 2πka


∞∑m=0

((i)(m+1)εmH ′m(ka)

∫ 2π

0cosmθ cos θ dθ

)

3.3. KRACHTEN 19

Aangezien we hier over een geheel aantal periodes integreren, blijft alleen de term m = 1, diecorrespondeert met cos2 θ, van de som over:

dFx

dz= aρgA

2πka

2H

′1(ka)


∫ 2π

0cos2 θ dθ

= aρgA2πka

1H

′1(ka)


∫ 2π

0(1 + cos 2θ) dθ

=4Aka

ρga

H′1(ka)


. (3.14)

De totale horizontale kracht op de cilinder kunnen we nu vinden door (3.14) te integrerenover het deel van de cilinder dat onder water staat:

Fx =∫ 0

−h

dFx

dzdz

=4Aka

ρga

H′1(ka)

1cosh kh

∫ 0

−hcosh k(z + h) dz

=4Aka

ρga

H′1(ka)

1cosh kh

1k

sinh kh

=4ρgAahkaH

′1(ka)

tanh khkh

.

Het totale moment op de cilinder, om een as die evenwijdig is aan de y-as en door de bodemvan de cilinder gaat, wordt gegeven door


My = −∫ 0

−h(z + h)

dFx

dzdz

= −hFx −∫ 0

−hzdFx

dzdz

= −hFx −4Aka

ρga

H′1(ka)

1cosh kh

∫ 0

−hz cosh k(z + h) dz

= −hFx −4Aka

ρga

H′1(ka)

1cosh kh

[z

ksinh k(z + h)

∣∣∣∣0−h− 1k

∫ 0

−hsinh k(z + h) dz

]

= −h 4ρgAahkaH

′1(ka)

tanh khkh

+4Aka

ρga

H′1(ka)

1cosh kh

1k2

(cosh kh− 1)

= − 4ρgAakaH

′1(ka)

[h sinh khk cosh kh

− cosh kh− 1k2 cosh kh

]

= − 4ρgAah2

kaH′1(ka)

[kh sinh kh− cosh kh+ 1

(kh)2 cosh kh

].

De formules voor de kracht en het moment zijn voor het eerst gepubliceerd door McCamy enFuchs [7].

Uit (3.13) volgt dat we Fx en My weer tijdsafhankelijk kunnen maken via Fx = Re{Fxe−iωt}

en Fx = Re{Mye−iωt}. Het maximum van deze functies over de tijd wordt gegeven door resp.

|Fx| en |My|, zoals we hebben gezien in paragraaf 3.2.1.

3.3. KRACHTEN 21

We gaan nu kijken hoe de totale horizontale kracht op de cilinder afhangt van de golflengteen de cilinderdoorsnede. Hiervoor maken we een grafiek, die hieronder is weergegeven. Hierinhebben we de absolute waarde van Fx geplot tegen a en λ.

Figuur 3.6: Totale kracht op de cilinder.

In de grafiek is te zien dat voor vaste λ, de maximale kracht toeneemt als cilinderdoorsnedea groter wordt, zoals te verwachten. Wanneer a vast is, neemt de kracht eerst ook toe als degolflengte groter wordt. Dit komt doordat langere golven een grotere snelheid hebben, zoalswe kunnen zien in vergelijking (2.8). Maar vanaf een bepaalde golflengte neemt de krachtweer af, hiervoor hebben we geen verklaring kunnen vinden. De grafiek van het moment |My|tegen a en λ heeft nagenoeg dezelfde vorm.

Het verband tussen a en λmax (de golflengte waarvoor de kracht maximaal is) is niet lineair,zoals we kunnen zien in figuur 3.7. Het is wel een monotoon stijgend verband.

Figuur 3.7: λmax als functie van a.

Hoofdstuk 4

Diffractie ten gevolge van tweecilinders

4.1 Diffractiepatroon

Om het probleem met twee cilinders aan te pakken, gebruiken we drie poolcoordinatenstelselsin het (x, y)-vlak:

1. (r, θ) met als middelpunt de oorsprong van het (x, y)-vlak.

2. (r1, θ1) met als middelpunt het middelpunt van de eerste cilinder (x1, y1).

3. (r2, θ2) met als middelpunt het middelpunt van cilinder twee (x2, y2).

In onderstaande figuur is een en ander ter verduidelijking weergegeven.

Figuur 4.1: Bovenaanzicht van de twee cilinders.

23

24 HOOFDSTUK 4. DIFFRACTIE TEN GEVOLGE VAN TWEE CILINDERS

Een punt (rj , θj) kunnen we in (x, y)-coordinaten schrijven via

x = xj + rj cos θj en y = yj + rj sin θj (j = 1, 2).

Om de notatie in het vervolg wat korter te houden, gaan we de potentiaal φ ontbinden als

φ(r, θ, z) = ϕ(r, θ) χ(z), met

χ(z) = − igAω


en ϕ(r, θ) =1Aη(r, θ).

De amplitude van de golf is namelijk evenredig met χ(z), zoals we hebben gezien in paragraaf3.1.De ingaande golf komt aan onder een hoek θ = β en heeft als potentiaal

ϕI = eik(x cosβ+y sinβ) = eikr cos (θ−β).

Voor beide cilinders definieren we als volgt een fasefactor Ij (j = 1, 2)

Ij ≡ eik(xj cosβ+yj sinβ)

= eik[(x−rj cos θj) cosβ+(y−rj sin θj) sinβ]

= eik(x cosβ+y sinβ) e−ikrj(cosθj cosβ+sin θj sinβ)

= ϕI e−ikrj cos (θj−β)

De fasefactor is een constante, aangezien de posities van de middelpunten van de cilinders(xj , yj) constant zijn. In termen van deze fasefactor kunnen we de potentiaal van de ingaandegolf herschrijven als

ϕI = Ij eikrj cos (θj−β) = Ij

∞∑n=−∞

(i)n ein(θj−β)Jn(krj) = Ij

∞∑n=−∞

ein(θj−β+π2)Jn(krj).

[2, vgl. 8.511(4)]. Hierin bepaalt j de keuze van het coordinatenstelsel. Wanneer dezeingaande golf tegen cilinder 1 aanstroomt, zal die cilinder een (diffractie)golf producerendie op zijn beurt tegen cilinder 2 aanstroomt waardoor deze cilinder ook een diffractiegolfzal produceren, enzovoort. We kunnen al deze effecten samen beschrijven door voor beidecilinders een algemene diffractiepotentiaal op te stellen, die de golven die bij die cilinderwegstromen beschrijft. Een algemene vorm van zo’n diffractiepotentiaal voor cilinder j is(vergelijk (3.4))

ϕDj (rj , θj) =∞∑

n=−∞Anj Znj Hn(krj) einθj

waarbijAnj complexe coefficienten zijn die we nog moeten oplossen en Znj ≡ J′n(kaj)/H

′n(kaj).

Er geldt immers (∂2

∂r2j+

1rj

∂

∂rj+

1r2j

∂2

∂θ2j

+∂2

∂z2

)ϕD(rj , θj)χ(z)


=

(∂2

∂r2j+

1rj

∂

∂rj+

1r2j

∂2

∂θ2j

+ k2

)ϕD(rj , θj)χ(z)

= χ(z)∞∑

n=−∞Anj Znj e

inθj

(∂2

∂r2j+

1rj

∂

∂rj− n2

r2j+ k2

)Hn(krj) = 0.

De totale potentiaal wordt hiermee

ϕ = ϕI(rj , θj) +2∑p=1

ϕDp (rp, θp)

= Ij

∞∑n=−∞

ein(θj−β+π2)Jn(krj) +

2∑p=1

∞∑n=−∞

Anp Znp Hn(krp) einθp ,

j mag hier zowel 1 als 2 worden genomen.

Door de wand van de cilinders kan geen water stromen, de potentiaal moet dus voldoen aande randvoorwaarde

∂ϕ

∂r1= 0 op r1 = a1 en

∂ϕ

∂r2= 0 op r2 = a2. (4.1)

De totale potentiaal ϕ hangt af van (r1, θ1) en (r2, θ2). Om deze randvoorwaarde te kunnentoepassen, moeten we ϕ uitdrukken in termen van een van deze coordinatenstelsels, bijvoor-beeld (r1, θ1). Hiervoor gebruiken we een stelling voor het optellen van Besselfuncties [2, vgl.8.530].

Hn(kr2) ein(θ2−α21) =∞∑

m=−∞Hn+m(kR21) Jm(kr1) eim(π−θ1+α21), r1 < R21.

De betekenis van R21 en α21 kan worden gevonden in figuur 4.1 (ontleend aan [6]). Metbehulp van deze stelling krijgen we


ϕ(r1, θ1) = I1

∞∑n=−∞

ein(θ1−β+π2)Jn(kr1) +

∞∑n=−∞

An1 Zn1 Hn(kr1) einθ1

+∞∑

n=−∞An2 Zn2

( ∞∑m=−∞

Hn+m(kR21) Jm(kr1) eim(π−θ1+α21) einα21

)

=∞∑

n=−∞I1 Jn(kr1) ein(θ1−β+π

2) +

∞∑n=−∞

An1 Zn1 Hn(kr1) einθ1

+∞∑

n=−∞An2 Zn2

( ∞∑m=−∞

Hn+m(kR21) Jm(kr1) eim(π−θ1) ei(n+m)α21

)

=∞∑

n=−∞I1 Jn(kr1) ein(θ1−β+π

2) +

∞∑m=−∞

Am1 Zm1 Hm(kr1) eimθ1

+∞∑

m=−∞

( ∞∑n=−∞

An2 Zn2 Hn−m(kR21) ei(n−m)α21

)Jm(kr1) eimθ1 . (4.2)

In de laatste stap hebben we m vervangen door −m en gebruik gemaakt van het feit dat

J−m = (−1)mJm = eimπJm.

Vergelijking (4.2) is alleen geldig voor r1 < R21, dwz. in de open schijf met middelpunt(r1, θ1) en straal R21. Vervolgens kunnen we hier de randvoorwaarde (4.1) op toepassen door(4.2) te differentieren naar r1 en vervolgens op nul te stellen

0 =∂ϕ

∂r1

∣∣∣∣r1=a1

= I1

∞∑m=−∞

kJ′m(ka1) eim(θ1−β+π

2) +

∞∑m=−∞

Am1J

′m(ka1)

H ′m(ka1)

kH′m(ka1) eimθ1

+∞∑

m=−∞

( ∞∑n=−∞


)kJ

′m(ka1) eimθ1

= I1

∞∑m=−∞

J′m(ka1) eim(θ1−β+π

2)

+∞∑

m=−∞

(Am1 +

∞∑n=−∞


)J

′m(ka1) eimθ1

=∞∑

m=−∞

(I1 e

im(π2−β) +Am1 +

∞∑n=−∞


)× J ′

m(ka1) eimθ1 .


Uit de laatste gelijkheid moeten we de coefficientenAm1 oplossen. Deze som is niets anders daneen lineaire combinatie van de functies eimθ1 . Uit de Fouriertheorie weten we dat de functieseimθ1 een basis vormen en dus lineair onafhankelijk zijn. Om uit de lineaire combinatie nulte krijgen, moeten alle coefficienten (van de lineaire combinatie) dus gelijk aan nul zijn. Ditbetekent dat de uitdrukking tussen haakjes gelijk aan nul moet zijn voor iedere m. Hiermeekomen we tot een oneindig stelsel vergelijkingen voor Am1

Am1 +∞∑

n=−∞An2 Zn2 Hn−m(kR21) ei(n−m)α21 = −I1 eim(π

2−β), −∞ < m <∞. (4.3)

Deze uitdrukking kunnen we vervolgens substitueren in vergelijking (4.2)

ϕ(r1, θ1) =∞∑

n=−∞

(I1 Jn(kr1) ein(θ1−β+π

2) +An1 Zn1 Hn(kr1) einθ1

)+

∞∑m=−∞

(−Am1 − I1 eim(π

2−β))Jm(kr1) eimθ1

=∞∑

n=−∞

(I1 Jn(kr1) ein(π

2−β) +An1 Zn1 Hn(kr1)−An1Jn(kr1)

− I1 Jn(kr1) ein(π2−β))einθ1

=∞∑

n=−∞An1

(Zn1 Hn(kr1)− Jn(kr1)

)einθ1 , r1 < R21. (4.4)

De waterhoogte in de buurt van cilinder 1 wordt nu gegeven door

η(r1, θ1, t) = Re

{Ae−iωt

∞∑n=−∞

An1


)einθ1

}, r1 < R21. (4.5)

Immers, η(r1, θ1, t) = Re{η(r1, θ1) e−iωt} en η(r1, θ1) = A ϕ(r1, θ1). Hiermee hebben weeen eenvoudige formule gevonden voor de waterhoogte in de buurt van cilinder 1, waarbijde coefficienten An1 nog moeten worden opgelost uit een oneindig stelsel vergelijkingen. Omdat te doen hebben we nog een stelsel vergelijkingen nodig. Die kunnen we krijgen door derandvoorwaarde (4.1) toe te passen op ϕ(r2, θ2). We krijgen dan precies dezelfde afleiding alshierboven, maar dan met alle enen en tweeen omgewisseld. Dat levert de volgende vergelijkingvoor de coefficienten Am2 en de potentiaal op

Am2 +∞∑

n=−∞An1 Zn1 Hn−m(kR12) ei(n−m)α12 = −I2 eim(π

2−β), −∞ < m <∞. (4.6)


ϕ(r2, θ2) =∞∑

n=−∞An2


)einθ2 , r2 < R12.

De beide vergelijkingen voor de coefficienten (4.3) en (4.6) kunnen we nu combineren tot eenlineair stelsel vergelijkingen voor Am1 alleen

Am1 +∞∑

n=−∞

(−I2 ein(π

2−β) −

∞∑p=−∞

Ap1 Zp1 Hp−n(kR12) ei(p−n)α12

)

× Zn2 Hn−m(kR21) ei(n−m)α21 = −I1 eim(π2−β), −∞ < m <∞.

Om dit oneindige systeem op te kunnen lossen, gaan we het afbreken bij m = −M en M ,zodat we een lineair stelsel van 2M + 1 vergelijkingen krijgen met evenveel onbekenden

Am1 +M∑

n=−M

−I2 ein(π2−β) −

M∑p=−M

Ap1 Zp1 Hp−n(kR12) ei(p−n)α12

× Zn2 Hn−m(kR21) ei(n−m)α21 = −I1 eim(π

2−β), −M ≤ m ≤M. (4.7)

Als we dit stelsel hebben opgelost, weten we de coefficienten Am1 en kunnen we vervolgens metbehulp van (4.6) onmiddelijk de coefficienten Am2 vinden. Met behulp van de coefficientenAm1 en Am2 kunnen we dan de vorm van het vrije oppervlak bepalen rond beide cilinders.Wanneer we M = 5 kiezen, krijgen we een hoge nauwkeurigheid vlakbij de cilinder, maarverder bij de cilinder vandaan wordt de nauwkeurigheid slechter. Dit komt doordat de termenAn1 (Zn1Hn(kr1)− Jn(kr1)) einθ1 in vergelijking (4.4) langzamer naar nul convergeren voorgrotere r1 (in de buurt van R12) dan voor kleinere r1 (in de buurt van a1). Dit kunnen wemooi zien in onderstaande figuur waarin we het reele en imaginaire deel van de termen geplothebben voor n = 6, 8 en 10, en met a1 = 0.3, R12 = 2.5, λ = 2, β = −π

2 en θ1 = 0.

Figuur 4.2: Het reele (links) en imaginaire (rechts) deel van de termen in vgl (4.4) voor n = 6,8 en 10.

De afleiding in deze paragraaf is ontleend aan [5].

4.2. SPECIALE GEVALLEN 29

4.2 Speciale gevallen

Ter controle van de formules die we zojuist gevonden hebben, gaan we die nu toepassen op desituatie met slechts een cilinder om te kijken of we dan de formule uit paragraaf 3.1 krijgen.Dit kunnen we doen door in vergelijking (4.3) de straal a2 naar nul te laten gaan, waardoorcilinder 2 als het ware oneindig klein wordt. J

′n(ka2)/H

′n(ka2) gaat dan naar nul (voor alle

n), dus Zn2 gaat naar nul. Verder zetten we cilinder 1 in de oorsprong, zodat x1 = y1 = 0.Het stelsel vergelijkingen voor An1 (4.3) vereenvoudigt hiermee tot

An1 = −I1 ein(π2−β) = −eik(x1 cosβ+y1 sinβ) ein(π

2−β) = −(i)n, −∞ < n <∞. (4.8)

Aangezien de hoek van de ingaande golf hier niet meer van invloed is, hebben we β = 0gekozen. Substitutie in (4.4) levert

ϕ(r, θ) =∞∑

n=−∞−(−i)n


)einθ1

=∞∑n=0

εn(i)n(Jn(kr)−Hn(kr)

J′n(ka)

H ′n(ka)

)cosnθ.

Dit is precies de uitdrukking die we in paragraaf 3.1 gevonden hadden (3.9).De laatste gelijkheid geldt, aangezien

∞∑n=−∞

(i)nJn(z)einθ = J0(z) +∞∑n=1

((i)nJn(z)einθ + (i)−nJ−n(z)e−inθ

)= J0(z) +

∞∑n=1

((i)neinθ + (i)−n(−1)ne−inθ

)Jn(z)

= J0(z) +∞∑n=1

2(i)nJn(z) cosnθ

=∞∑n=0

εn(i)nJn(z) cosnθ.

Hierin mogen we Jn vervangen door Hn.

We zouden de oplossing voor een cilinder in principe ook moeten kunnen krijgen door deafstand tussen de twee cilinders, R12, op nul te stellen, zodat de cilinders samenvallen. Echter,Im{Hn(kR12)} → ±∞ als R12 → 0, dus het is niet echt mogelijk de coefficienten Am1 uit terekenen voor R12 = 0.


4.3 Grafische weergave

In deze paragraaf staan een heleboel plaatjes van het vrije oppervlak (4.5) bij een golf dietegen twee cilinders aanstroomt, voor verschillende waardes van de hoek van de ingaande golfβ, verschillende stralen van de cilinders, a1 en a2, en verschillende posities van de cilinders.Cilinder 1 staat in de oorsprong van het (x, y)-stelsel en cilinder 2 staat ergens op de x-as. Deamplitude van de ingaande golf Ap is in alle gevallen gelijk aan 0.15. We hebben steeds hetdiffractiepatroon rond cilinder 1 en 2 weergegeven. Voor elke groep van 8 plaatjes geldt steedsdat het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende plaatjes even groot is en het eerste plaatjeop het laatste plaatje volgt. Er is dus steeds een periode weergegeven. Om deze plaatjeste kunnen maken hebben we met Mathematica het lineaire stelsel voor de coefficienten (4.7)opgelost voor M = 5. Dat levert een hoge nauwkeurigheid op vlakbij de cilinders, verderbij de cilinders vandaan wordt de nauwkeurigheid wat slechter. We hebben dus meer termen(grotere M) nodig om ook daar hoge nauwkeurigheid te krijgen. Echter, hoe meer termen wemeenemen, hoe langer het duurt om met Mathematica de plaatjes te tekenen, daarom hebbenwe gekozen voor M = 5. Door M te verhogen van 5 naar 6 veranderden de waardes vanη(r, θ, t) slechts met maximaal een honderdste. Om de nauwkeurigheid nog wat te verhogen,hebben we de ingaande golf geschreven als eikr cos (θ−β) in plaats van als oneindige som. Duswe hebben de volgende formule gebruik voor de plaatjes

η(rj , θj , t) = Re{A e−iωt ϕ(rj , θj)

}, en

ϕ(rj , θj) =∞∑

n=−∞

(Anj Znj Hn(krj)−Anj Jn(krj)− Ij Jn(krj) ein(π

2−β)

)einθj

+ eikrj cos (θj−β), j = 1, 2.

4.3.1 Hoek van de ingaande golf β = 0

Onderstaande figuur geeft de situatie voor β = 0 weer. De cilinderstralen zijn beide 0.3 ende afstand tussen de middelpunten van de cilinders R12 is gelijk aan 2.5. De verhoudingen inde figuur zijn niet helemaal correct.

Figuur 4.3: Situatie voor β = 0.

4.3. GRAFISCHE WEERGAVE 31

De run-up bij beide cilinders ziet er in deze situatie als volgt uit

Figuur 4.4: Run-up bij cilinder 1 (links) en 2 (rechts).

De ingaande golf komt hier van links, zoals in figuur 4.3. Opvallend is hier, dat juist aande achterkant van de tweede cilinder, het water heel hoog komt, en aan de voorkant niet.Blijkbaar versterken de diffractiegolven en de ingaande golf elkaar aan de achterkant en dovenze elkaar gedeeltelijk uit aan de voorkant.Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voordeze situatie.


Figuur 4.5: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a1 = a2 = 0.3, R12 = 2.5.


Figuur 4.6: Golfpatroon rond cilinder 2, λ = 1.6, a1 = a2 = 0.3, R12 = 2.5.


4.3.2 Hoek van de ingaande golf β = −π4

Onderstaande figuur geeft de situatie voor β = −π4 weer. De afmetingen zijn weer: a1 = 0.3,

a2 = 0.4 en R12 = 2.5. De verhoudingen in de figuur zijn niet helemaal correct.

Figuur 4.7: Situatie voor β = −π4 .



Opvallend is hier dat rond het punt θ = −π/4 op cilinder 2 de run-up bijna nul is. Dushet water beweegt daar nauwelijks op en neer. Blijkbaar doven de ingaande golf en dediffractiegolven elkaar daar vrijwel uit.Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voordeze situatie.


Figuur 4.9: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5.


Figuur 4.10: Golfpatroon rond cilinder 2, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5.

We zien hier dat rond het punt θ = −π/4 op cilinder 2 (precies tegenover de plek waar deingaande golf cilinder 2 als eerste raakt) het water nauwelijks op en neer gaat. Dit is inovereenstemming met wat we in het figuur van de run-up hebben gezien.


4.3.3 Hoek van de ingaande golf β = −π2

In onderstaande figuur is de situatie voor β = −π2 weergegeven. De straal van cilinder 1 is

gelijk aan 0.3 en die van cilinder 2 is gelijk aan 0.4 en de afstand tussen de cilinders is weer2.5. De verhoudingen in de figuur zijn ook hier niet helemaal correct.

Figuur 4.11: Situatie voor β = −π2 .



Als de twee cilinders dezelfde straal zouden hebben, dan zouden de plaatjes van de run-upelkaars gespiegelden (in de verticale as) zijn. Nu wijken ze iets van elkaar af.Op de volgende twee pagina’s staan plaatjes van het wateroppervlak rond cilinder 1 en 2 voordeze situatie. Deze plaatjes zijn iets gedraaid ten behoeve van de zichtbaarheid.


Figuur 4.13: Golfpatroon rond cilinder 1, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5. De golfkomt hier van ’rechtsboven’.


Figuur 4.14: Golfpatroon rond cilinder 2, λ = 1.6, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 = 2.5. De golfkomt hier van ’linksboven’.

Hoofdstuk 5

Comflow

In dit hoofdstuk gaan we de stroming rond een cilinder numeriek uitrekenen met behulp vanhet simulatieprogramma Comflow, zie [3] en [10]. Dit programma kan waterstromingen engolven behoorlijk natuurgetrouw simuleren. Het gebruikt geen gelineariseerde theorie, maarde volledige Navier-Stokes vergelijkingen. Het programma legt een driedimensionaal grid overde watermassa en de cilinder en rekent vervolgens voor elke cel in het grid uit in hoeverredeze gevuld is met water en in welke richting en met welke snelheid dit water beweegt, vooropeenvolgende tijdstippen. Tussen twee tijdstippen zit een tijdsverschil van ongeveer 10−4

seconden. Na afloop van de simulatie kun je voor al die tijdstippen de waterhoogte bekijken.Als je het grid fijner maakt, wordt de uitkomst van de simulatie nauwkeuriger, maar duurtde simulatie ook langer, omdat er meer cellen zijn.

5.1 Een cilinder

We zijn hier geınteresseerd in de run-up aan de voor- en achterkant van de cilinder. Inparagraaf 3.2 hebben we gezien hoe we die analytisch kunnen uitrekenen. Nu gaan we derun-up bepalen met Comflow. We gaan kijken naar een cilinder met straal 0.3 m waar eengolf tegenaan stroomt met golflengte 2 m en twee amplitudes: 0.075 m (kA = 0.236) en0.15 m (kA = 0.471). We hebben meerdere simulaties uitgevoerd met steeds een wat fijnergrid en verschillende domeinen. Bij het fijnste grid duurde de simulatie enkele dagen. Inonderstaande tabel staan de resultaten hiervan.

A = 0.075 A = 0.15θ = 0 θ = π θ = 0 θ = π

Analytisch − 0.0676 + 0.1286 − 0.135 + 0.257Comflow 1 − 0.045 + 0.15 − 0.075 + 0.3Comflow 2 − 0.05 + 0.175 − 0.08 + 0.25Comflow 3 − 0.05 + 0.15 − 0.09 + 0.33

Tabel 5.1: Run-up aan de voor- en achterkant van de cilinder, analytisch en met Comflow.

41

42 HOOFDSTUK 5. COMFLOW

De keuze voor het domein en het grid bij de verschillende simulaties met Comflow is te vindenin tabel 5.2.

Comflow 1 as min max cellen stretchingx - 2 + 4 90 1y - 2 + 2 60 1z - 3 + 1 80 1.03

Comflow 2 as min max cellen stretchingx - 2 + 4 120 1y - 2 + 2 80 1z - 3 + 1 120 1.03

Comflow 3 as min max cellen stretchingx - 0.9 + 2.4 130 1.02y - 0.85 + 0.85 136 1z - 2.4 + 0.4 120 1.02

Tabel 5.2: Domein en grid bij de simulaties Comflow 1, 2 en 3.

Stretching op bijvoorbeeld de z-as zorgt ervoor dat de cellen rond het vlak z = 0 klein zijn,zodat je daar een hogere nauwkeurigheid hebt, en verder bij dat vlak vandaan steeds groterworden. Op deze manier kunnen we een hoge nauwkeurigheid rond de cilinder hebben zonderal teveel cellen nodig te hebben. Bij de laatste simulatie (Comflow 3) hebben we al ruim 2miljoen cellen. Dat is vrij veel, de simulatie duurde dan ook enkele dagen.

In tabel 5.1 kunnen we zien dat de run-up aan de voorkant van de cilinder (θ = π) volgensComflow groter is dan volgens de analytische oplossing. Dit is in overeenstemming met in hetverleden uitgevoerde experimenten (zie [4]): de run-up aan de voorkant is volgens de lineairetheorie lager dan de werkelijke run-up. Uit dezelfde experimenten is gebleken dat de run-upaan de achterkant van de cilinder in werkelijkheid ook groter is dan wat de lineaire theorievoorspelt. In de tabel zien we echter dat de run-up bij een amplitude van 0.075 volgensComflow aan de achterkant juist iets kleiner is dan volgens de theorie en bij een amplitudevan 0.15 zelfs veel kleiner, tot wel 45 %. Het is niet vreemd dat de run-up zo sterk afwijktbij een amplitude van 0.15, aangezien kA dan vrij groot is (0.471), en de lineaire theorie dusslechts beperkt geldig is.

Het was niet goed mogelijk om een simulatie te doen met een nog kleinere kA-waarde, waarbijde lineaire theorie nog dichter bij de werkelijkheid zit, aangezien we dan een heel fijn gridnodig hebben. Om een goede nauwkerigheid te behalen moeten we dan namelijk zo’n 20cellen in de verticale richting in de golf hebben, op een stukje van zeg 0.05 m. (A = 0.025 enkA = 0.078). Dan krijgen we dus of heel veel cellen, of we moeten veel stretchen, waardoorde simulatie instabieler wordt. Met nieuwe, krachtiger computers zou dit wel mogelijk zijn.

Hierna volgen nog een paar 3D-plaatjes van een golf die tegen de voorkant van de cilinderomhoog stroomt. Hierin hebben de parameters de volgende waardes: λ = 2 m, A = 0.15m en a = 0.3 m. De plaatjes zijn afkomstig uit een simulatie met Comflow. Tussen tweeopvolgende plaatjes zit ongeveer 0.04 seconden.

5.1. EEN CILINDER 43

Figuur 5.1: Een golf stroomt tegen de voorkant van een cilinder omhoog, simulatie metComflow. λ = 2 m, A = 0.15 m en a = 0.3 m, de tijd tussen twee figuren is ongeveer 0.04 s.


5.2 Twee cilinders

We hebben ook een simulatie uitgevoerd voor twee cilinders, met λ = 1.6, β = −π2 , a1 =

0.3, a2 = 0.4 en R12 = 2.5. Dit is dezelfde situatie als in paragraaf 4.3.2. Het middelpuntvan cilinder 1 staat in de oorsprong (0, 0, 0) en die van cilinder twee in het punt(-1.7678, -1.7678, 0). De golf komt van links en stroomt evenwijdig aan de x-as. De keuzevoor het domein en het grid staat in tabel 5.3.

as min max cellen stretchingx - 2.5 + 1.8 140 1.01y - 2.5 + 0.85 140 1z - 2.4 + 0.4 120 1.02

Tabel 5.3: Domein en grid bij simulatie van stroming rond twee cilinders.

Dit komt neer op ruim 2.3 miljoen cellen, wat vrij veel is, de simulatie duurde ruim een week.In paragraaf 4.3.2 hebben we gezien dat voor deze situatie het water rond het punt θ = −π/4van de tweede cilinder nauwelijks op en neer gaat. We zullen nu gaan kijken of we ditresultaat ook krijgen uit de simulatie met Comflow. Hieronder volgen enkele 3D-plaatjes vanhet water. In de linkerkolom is het water rond cilinder 2 weergegeven en in de rechterkolomeen overzicht van beide cilinders. Plaatjes die naast elkaar staan corresponderen met hetzelfdetijdstip. Tuseen twee opvolgende plaatjes zit ongeveer 0.07 seconden. In de figuur 5.2 kunnenwe zien dat het water aan de achterkant van de tweede cilinder (dus tegenover de plek waarde golf de cilinder als eerste raakt) inderdaad nauwelijks op en neer gaat, op de tijdstippendie zijn weergegeven. Het bleek dat iets verderop in de tijd het water toch enigszins gingbewegen. Er is hier dus zeker enige overeenkomst tussen de theorie en de simulatie. Echter,tussen de twee cilinders lijkt de ingaande golf nog vrijwel ongestoord. Misschien hebben wede simulatie nog niet lang genoeg laten doorgaan, zodat de diffractiegolf er nog niet duidelijkin zit en er nog geen evenwichtssituatie is ontstaan in de golven. Als we de simulatie echternog langer zouden laten doorgaan, krijgen we ook meer en meer last van numerieke foutenen van golven die vanaf de zijwanden terugkaatsen naar de cilinder(s). Hierdoor wordt desimulatie veel minder nauwkeurig en zijn de resultaten minder betrouwbaar.

5.2. TWEE CILINDERS 45

Figuur 5.2: Golfpatroon rond 2 cilinders, close-up van cilinder 2 (links) en overzicht van beidecilinders (rechts). De golf komt hier van links. λ = 1.6, β = −π/4, a1 = 0.3, a2 = 0.4, R12 =2.5. De tijd tussen opeenvolgende figuren is ongeveer 0.07 s.

Hoofdstuk 6

Conclusies

In de hoofdstukken 3 en 4 hebben we een analytische oplossing gevonden van de stroming vanwater rond een cilinder en rond twee cilinders van willekeurige straal en positie ten opzichtevan elkaar. Hiervoor hebben we gelineariseerde (potentiaal)theorie gebruikt, om de analyseniet al te ingewikkeld te maken. Hierbij hebben we ook bepaald hoe men de run-up kanbepalen en de kracht op de cilinder kan uitrekenen. Uit experimenten die in het verledengedaan zijn, zie [4] en [9], is gebleken dat de gelineariseerde theorie over het algemeen geengoede benadering van de werkelijkheid is, maar wanneer de amplitude van de ingaande golfheel klein is (kA → 0), vormt de gelineariseerde theorie wel een goede benadering van dewerkelijkheid.

In hoofdstuk 5 hebben we de stroming rond een en twee cilinders gesimuleerd met behulpvan Comflow. Hieruit bleek dat de run-up aan de voorkant van de cilinder groter is dan watde lineaire theorie voorspelt; dit is ook gebleken uit experimenten uit het verleden. Aan deachterkant van de cilinder was de run-up volgens Comflow juist iets kleiner dan volgens de an-alytische oplossing, terwijl die in werkelijkheid weer groter is, zo is gebleken uit experimenten(zie [4]). De afwijkingen zijn groter, wanneer de amplitude van de ingaande golf groter is.Dit is niet vreemd, want als die amplitude relatief groot is ten opzichte van de waterdiepte,mogen we eigenlijk niet lineariseren en is onze analytische oplossing slechts beperkt geldig.We hebben ook een situatie met twee cilinders gesimuleerd, de situatie van paragraaf 4.3.2.Hierin zagen we enige overeenkomst met de theorie, maar zeker ook verschillen. Om echtnauwkeurige resultaten uit de simulaties met Comflow te krijgen, hebben we een veel fijnergrid nodig. Dat is met de huidige computers nog niet haalbaar, binnen een redelijke rekentijd.

47

48 HOOFDSTUK 6. CONCLUSIES

Bibliografie

[1] S. K. Chakrabarti and W. A. Tam. Interaction of waves with large vertical cylinder.Journal of Ship Research, 19(1):23–33, 1975.

[2] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik. Tables of Integrals, Series and Products. AcademicPress, New York, fourth edition, 1980.

[3] K. M. T. Kleefsman, G. Fekken, A. E. P. Veldman, B. Iwanowski, and B. Buchner. Avolume-of-fluid based simulation method for wave impact problems. J. Comp. Phys.,206(1):363–393, 2005.

[4] D. L. Kriebel. Nonlinear wave interaction with a vertical circular cylinder. Part II: waverun-up. Ocean Engineering, 19(1):75–99, 1992.

[5] C. M. Linton and D. V. Evans. The interaction of waves with arrays of vertical circularcylinders. Journal of Fluid Mechanics, 215:549–569, 1992.

[6] C. M. Linton and P. McIver. Handbook of Mathematical Techniques for Wave / StructureInteractions. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2001.

[7] R. C. McCamy and R. A. Fuchs. Wave forces on piles: a diffraction theory. Tech.Memo 69, U.S. Army Corps of Engineers, 1954.

[8] C. C. Mei. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves. Wiley-Interscience, NewYork, 1983.

[9] M. T. Morris-Thomas and K. P. Thiagarajan. The run-up on a cylinder in progressivesurface gravity waves: harmonic components. Applied Ocean Research, 26:98–113, 2004.

[10] A. E. P. Veldman, J. Gerrits, R. Luppes, J. A. Helder, and J. P. B. Vreeburg. Thenumerical simulation of liquid sloshing on board spacecraft. J. Comp. Phys., 224:82–99,2007.

[11] A. E. P. Veldman and A. Velicka. Stromingleer. Dictaat, 2007.

49

Stroming van water rond een cilindervormige...

Documents

Transcript of Stroming van water rond een cilindervormige...