Розробка уроку алгебри для 9 класу

Вчитель: Сафонова Олена Миколаївна, Теплівська ЗОШ І-ІІІ ступенів

Тема. Статистичні дані. Способи подання даних. Частота. Середнє значення

Мета:

навчальна: сформувати в учнів уявлення про предмет вивчення математичної статистики. Працювати над усвідомленим розумінням змісту понять: вибіркова сукупність або вибірка; статистичний ряд; частота вибірки, відносна частота вибірки; центральні тенденції вибірки (мода, медіана, середнє значення), полігон частот та гістограма. Працювати над формуванням умінь: наводити приклади подання статистичних даних у вигляді таблиць та графіків (гістограм); розв'язувати задачі, що передбачають подання статистичних даних у вигляді таблиць та графіків та знаходити центральні тенденції вибірки;

виховна: виховувати працьовитість, акуратність та уважність при оформленні письмових завдань, активність, інтерес до математики;

розвиваюча: розвивати пам'ять, увагу, логічне мислення, розумову діяльність, уміння учнів робити порівняльний аналіз та систематизувати матеріал, спонукати до пізнавальної діяльності;

контролююча: контролювати виконання правил техніки безпеки та санітарно-гігієнічних норм при роботі за комп’ютером.

Тип уроку. Урок комбінований

Методи: наочно-ілюстрований, репродуктивний, частково-пошуковий, передбачення, порівняльний аналіз, узагальнення

Міжпредметні зв’язки. Математика – історія, економіка, інформатика

Обладнання. Дошка, відеопроектор, екран, комп'ютери, програмне забезпечення MsExcel, опорний конспект, роздавальний матеріал з умовами задач

Основні поняття та терміни: варіаційний ряд, вибірка, розмах вибірки, мода, частота, відносна частота, медіана, середнє значення, полігон, гістограма. 

Епіграф: «Статистика знає все»І.Ільф, Є.Петров

План уроку

1 Організація класу. Створення емоційного настрою (2 хв.)2 Перевірка домашнього завдання (3 хв.)

1

3 Мотивація навчальної діяльності (5 хв.) «Історична довідка», кросворд4 Сприймання і усвідомлення нового матеріалу (10 хв.) Лекція у супроводі опорного конспекту та комп’ютерної презентації5 Узагальнення і систематизація нового матеріалу (20 хв.) 1. Коментоване розв’язування задач за комп’ютером. 2. Робота за комп’ютером (виконання індивідуального завдання).6 Підсумок (3 хв.) 7 Домашнє завдання. Оцінювання уроку (2 хв.)

Хід уроку

І. Організація класу. Створення емоційного настрою

Вчитель. Добрий день, учні та шановні гості! Я радо вітаю вас на нашому уроці. Щиро сподіваюсь на те, що вам буде цікаво. Звертаюсь до учнів: не хвилюйтесь, нічого не бійтеся, працюйте в звичайному режимі, будьте активними і все у нас вийде. Найголовніше – усвідомити новий матеріал та навчитися використовувати його для розв’язування різноманітних завдань. Бажаю успіху!

Вчитель. Перед тим, як почати урок, давайте собі уявімо, що ми від нього чекаємо?

Метод передбачення

Я навожу вам приклади, так званих, «передбачень» на наш урок. Доповніть ці «передбачення» такими, якими б хотілося вам особисто.

Я передбачаю, що на сьогоднішньому уроці мені буде цікаво.Я передбачаю, що сьогодні я дізнаюся щось нове.Я передбачаю, що буду активно і плідно працювати весь урок.

Вчитель. Дякую вам і сподіваюся, що ваші передбачення справдяться! Що ж, починаємо наш урок!

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Вчитель. Перед тим, як почати розгляд нової теми, нам з вами необхідно перевірити домашнє завдання. Ми зробимо це наступним чином:

Взаємоперевірка (учні обмінюються зошитами та перевіряють домашнє завдання один одного. Оцінюється правильність, акуратність та раціональність обраного метода розв’язання).

Вчитель. Оскільки ми з вами працюємо на довірі, то я пропоную після перевірки виставити об’єктивні та обґрунтовані оцінки за домашнє завдання у зошити, які ви перевіряли.

2

ІІІ. Мотивація навчання нового матеріалу

«Історична довідка»

«Статистика знає все» - такими словами починається друга частина роману І.Ільфа і Є.Петрова «Дванадцять стільців». Щоб підкреслити значення статистики у повсякденному житті, наведу приклад прогнозування результатів президентських виборів у США 1936 року. Тоді кандидатами на виборах були Ф.Рузвельт і А.Ландон. Редакція одного вельми поважного журналу вирішила провести опитування виборців за телефонними довідниками. По всій країні були розіслані понад 10 мільйонів листівок із проханням назвати прізвище майбутнього президента. Згодом журнал проінформував, що на майбутніх виборах президентом США з великою перевагою буде обрано А.Ландона.

Паралельне опитування здійснили соціологи Дж. Геллап і Е. Роупер, опираючись на вибірку, яка нараховувала лише 4 000 респондентів. Незважаючи на те, що редакція журналу опитала 10 мільйонів виборців, витратила величезні кошти на розповсюдження листівок, збирання та обробку даних, їх прогноз виявися хибним, бо опирався на думку лише тих виборців, які мали телефони. Прогноз же соціологів майже збігся з результатами виборів.

Перші статистичні дослідження були проведені в Англії та Німеччині. У середині ХVІІ ст. в Англії виник науковий напрямок, який отримав назву «політична арифметика». Його започаткували У.Петті (1623 – 1687) та Дж.Граунт (1620 – 1674), які на основі вивчення інформації про масові суспільні процеси намагалися відкрити закономірності суспільного життя. Поряд зі школою «політичної арифметики» в Англії розвивалася школа описової статистики, або «державознавство», в Німеччині. Розвиток «політичної арифметики» та «державознавства» сприяв появі науки статистики. Термін «статистика» походить від латинського слова status, яке в перекладі означає «стан» (речей, явищ).

Вчитель. Тепер я пропоную вам відгадати кросворд. Він не зовсім звичайний: деякі слова або може, навіть й усі, ви вже чули, але не уявляли собі, що вони мають відношення до математики. Перед кожним з вас лежать аркуші, на яких питання до кросворду. Ви уважно читаєте їх, підіймаєте руку й відповідаєте на питання, але обов’язково називаєте його номер. Якщо ви правильно розгадаєте кросворд, то у виділеному стовпчику зможете прочитати прізвище вченого, без якого не було б нашого сьогоднішнього уроку.

Вчитель. До речі, вам буде завдання: деякі терміни, які є основними при вивченні цієї теми не зустрічаються у нашому кросворді (вам необхідно буде

3

доповнити їх та записати на дошці), а інші – зайві. Для цих слів треба дати відповідь на таке питання: з якого розділу, де зустрічаються?

1м о д 9а2р о з м а х

3м е д і а н а4с е р е д н є а р и ф м е т и ч н е

5й м о в і р н і с т ь6ч а с т о т а

7п о л і г о н8м о д у л ь1. Її показують манекенниці на подіумі, навіть існують її тижні у Парижі. 2. Серед птахів - він найбільший у альбатроса (до 325 см). Цей термін використовується також у боксерів.3. Відрізок, який поєднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.4. Сума чисел, поділена на їхню кількість.5. Вона буває малоймовірною, достовірною. Її величина не може бути більшою за 1.6. Фізична величина, обернена до періоду.7. Ділянка місцевості, обладнана для проведення навчальних стрільб, випробовувань озброєння й техніки. В математиці цей термін означає многокутник.8. Відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число на координатній прямій. Записується, наприклад, так │х│.9. Вчений, який вперше ввів термін «статистика».Примітка. Зайві слова: ймовірність, модуль. Ймовірність зустрічається у розділі «Теорія ймовірностей», модуль – «Координати у просторі», «Рівняння», «Нерівності».Не вистачає слів: варіанта, гістограма, варіаційний ряд, об’єм. ІV. Сприймання і усвідомлення нового матеріалуВчитель. На сьогоднішнім уроці ми з вами розглянемо математичну статистику та її основні поняття: вибірка, варіаційний ряд, розмах, мода, медіана, середнє значення , полігон, гістограма; навчимося складати частотні таблиці, знаходити міри центральної тенденції вибірки, будувати полігон частот та гістограми за

допомогою комп’ютера. Але спочатку послухайте повідомлення про людину, яка вперше використала слово «статистика». Саме його прізвище виявилося ключовим при відгадуванні кросворду. Віталій Власенко. Ахенваль – німецький філософ, економіст, історик, юрист, педагог, один з засновників статистики.

4

Готфрід Ахенваль народився 20 жовтня 1719 року в Ельбінзі(Німеччина) у родині бізнесмена. З 1738 по 1743 роки навчався у Йєнському університеті ім. Ф.Шиллера, університеті Галле Віттенберг та Лейпцігському університеті. З 1746 року читав лекції студентам у Марбурському університеті. З 1748 року У Гьотінгенському університеті – професор філософії, права. Він викладав на кафедрі історії та статистики, яку ж сам і заснував.Ахенваль вважається засновником статистики як науки тому, що він не тільки сформулював точне означення всіх її складових та визначив її задачі та цілі, а й тому, що він перший ввів у науковий обіг слово «статистика» в 1749 році.Помер Г.Ахенваль 1 травня 1772 року у місті Гьотінгем. Вчитель. Для того, щоб ви поглибили своє розуміння змісту і суті математичної статистики, Ігор підготував повідомлення з історії її виникнення.Ігор Чепіга. Математична статистика, як один з розділів прикладної математики, започаткував швейцарський математик Якоб Бернуллі (1654–1705). Значних результатів у цій царині досяг також відомий український математик Віктор Якович Буняковський (1804–1889). Він народився в містечку Бар на Вінничині. Після навчання у Парижі працював професором у Петербурзі. Буняковький є автором понад 100 наукових праць, написаних в основному французькою мовою. Був почесним членом усіх університетів Російської імперії, віце-президентом Академії наук, головним експертом уряду з питань статистики страхування. Вчитель. Перед тим, як почати працювати за комп’ютерами, давайте пригадаємо правила техніки безпеки. Чого не можна робити під час праці за комп’ютером?Презентація. «Статистичні дані»Вчитель. Ви, очевидно, не раз слухали дані стану погоди в різних куточках планети, результатів виборів, соціальних опитувань. Це статистичні дані. Статистичні дані дозволяють не тільки охопити картину певного питання на даний час, а й планувати необхідні дії на майбутнє. Так, статистичні дані про зайнятість населення дозволяють визначити, яку кількість спеціалістів і якої кваліфікації слід готувати, у якому регіоні варто споруджувати те чи інше підприємство. Методи збирання, обробки, інтерпретації даних вивчає окремий розділ прикладної математики – математична статистика. Постановка проблеми: швейній майстерні треба знати, скільки чоловічих пальт і яких розмірів треба пошити. Як це з’ясувати? Шляхи вирішення проблеми: опитати всіх надто довго і дорого. Тому роблять вибірку: опитують вибірково кілька десятків або сотень чоловіків. Припустимо, що, опитавши 50 чоловіків, їх розміри записали у таблицю.

5

Утворилася вибірка з 50 значень (даних). Для зручності її групують у класи (за розмірами) і відмічають, скільки значень вибірки містить кожний клас.

Розмір пальта 42 44 46 48 50 52 54Кількість чоловіків 3 4 5 9 15 8 6

Такі таблиці називаються частотними. В них числа другого ряду – частоти; вони показують як часто зустрічається у вибірці ті чи інші її значення.

Статистика оперує певними поняттями (використання опорного конспекту).Опорний конспектВаріаційний ряд

Це спосіб запису вибірки, за якого її елементи впорядковані за величиною.

Варіанта Одне із значень вибіркиРозмах вибірки

Це різниця між найбільшим і найменшим елементами

вибіркової сукупності: xmax−xmin

Частота Число, яке показує, скільки разів повторюється елемент вибіркиВідносна частота

Відношення відповідної частоти до величини вибірки, записане у відсотках

Об’єм вибірки

Кількість елементів у вибірці

Медіана вибірки

Той її елемент, який поділяє варіаційний ряд навпіл. Причому, якщо число елементів у вибірці парне, медіана – середнє арифметичне двох чисел, які поділяють цей ряд навпіл

Мода вибірки Значення того елемента, який трапляється найчастіше. Якщо таких чисел декілька, то вибірка – мультимодальна

Середнє значення вибірки

Число, яке дорівнює середньому арифметичному усіх елементів вибірки

Полігон частот

Ламана з вершинами у точках (ai, bi), i = 1, 2, …, k. Тут ai, - значення і-ї варіанти, а bi – відповідна цій варіанті частота.

Гістограма Стовпчаста діаграма (від грецьких histos – стовп і gramma – написання)

Вчитель. (фізкультхвилинка)Ми старанно дуже вчились,Трошки вже і потомились.Разом всі тихенько встали,Пальчики порозминали.Ніжками потупали,Тишу скрізь послухали.Помаленьку присідайте,Обережненько вставайте.

6

Руки вгору, руки вниз, Подивились пильно скрізь. Головою покрутилиІ за парти всі присіли.Вчитель. Тепер давайте повернемося до нашого кросворду і назвемо, яких понять математичної статистики не вистачає.(Учні відповідають)

Приклад Економіст, аналізуючи тарифні розряди працівників одного з цехів заводу, вибрав документи 20 робітників і склав статистичну таблицю розподілу вибірки.

Тарифний розряд

2 3 4 5 6

Кількість робітників

3 5 6 5 1

Полігон частот Гістограма

V. Узагальнення і систематизація вивченого матеріалу1. Коментоване розв’язування задач (за допомогою комп’ютера). На кожній парті знаходяться картки із завданнями.Завдання 1. Продавець на ринку, закупивши оптом лимони, продає їх поштучно за такою ціною:

50 г – 60 г – 70 коп.60 г – 70 г – 90 коп.70 г – 80 г – 1 грн. 10 коп.80 г – 90 г – 1 грн. 30 коп.90 г – 100 г – 1 грн. 40 коп.100 г – 120 г – 1 грн. 50 коп.Складіть таблицю даних задачі. Побудуйте полігон частот та гістограму.Маса, г 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-120Ціна, коп.

70 90 110 130 140 150

7

50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-1200

20

40

60

80

100

120

140

160

Продаж лимонів

Маса, г

Ціна

, коп

.

Гістограма

50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-1200

20

40

60

80

100

120

140

160

Продаж лимонів

Полігон частотЗавдання 2. На заводі протягом семигодинного робочого дня робітник виготовляв: 10, 8, 11, 12, 11, 9, 7 деталей. Знайти моду, медіану, середнє

значення. Побудуйте гістограму.

Відповідь: мода — 11, медіана — 10, середнє значення - 9 57 .

години 1 2 3 4 5 6 7кількість деталей 10 8 11 12 11 9 7

8

1 2 3 4 5 6 70123456789

10111213

Праця робітника за день

години

Кіль

кість

дет

алей

Завдання 3. Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася на перекладині. Результати підтягування були такі: 12, 14, 9, 10, 10, 12, 11, 8, 9, 7, 10, 10, 13, 15, 10, 9, 14, 10, 11, 13. Знайти моду, медіану.Скласти частотну таблицю та побудувати полігон.Відповідь: мода — 10, медіана — 10. Кількістьучнів

1 1 3 6 2 2 2 2 1

Кількістьпідтягувань

7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

Підтягування учнів

Кількість підтягувань

Кіл

ькіс

ть у

чнів

Завдання 4. Як ви гадаєте, який середній зріст учнів вашого класу? Що для цього треба зробити?(Знайти середнє арифметичне всіх значень). Чи обов’язково для цього впорядковувати вибірку?

9

Давайте перевіримо!(На слайді записані дані зросту учнів класу. Необхідно знайти середнє арифметичне цих чисел)(см): 171, 145, 150, 169, 153, 163, 152, 171, 156, 163, 168, 175.Вірно, середній зріст учнів вашого класу – 161см.Завдання 5. А який «наймодніший» місяць для народження у всіх присутніх? Як це визначити?(Скласти частотну таблицю у зошиті)

Місяць Сі-чень

Лю-тий

Бере-зень

Кві-тень

Тра-вень

Чер-вень

Ли-пень

Сер-пень

Вере-сень

Жов-тень

Листо-пад

Гру-день

Кількістьднів народ-ження

Що в нас вийшло?Вчитель. Ваші очі вже, мабуть, стомилися? Давайте допоможемо їм трішечки відпочити. (Зарядка для очей) Раз, два - рівно голова! Три, чотири, п’ять - будем очі затулять. Шість, сім - знов відкрили І на вісім затулили. Міцно, міцно потримали. І все знову починали. Два рази так повторили, За роботу знову сіли.2. Робота за комп’ютером.Вчитель. Біля кожного з вас є картка з завданням, яке необхідно виконати індивідуально за допомогою комп’ютера. Завдання 6. Це вибірка ваших оцінок з алгебри протягом листопада 2013 року – січня 2014 року. Вам необхідно знайти центральні тенденції вибірки (у зошиті), скласти частотну таблицю, для неї побудувати гістограму та полігон (програмне забезпечення MsExcel). Потім порівняйте ваші дані з сусідом та зробіть висновок. (Див. додатки 1-5)Завдання 7. Завдання ЗНО та ДПА (9клас), в яких зустрічаються відомості статистики.1.(ЗНО 2008, завд.6) В уривку художнього твору 47 слів мають різну кількість букв. Укажіть моду (мода - це те значення випадкової величини, яке зустрічається найчастіше) даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігона частот.

10

А Б В Г Д2 4 5 8 102. (ЗНО 2011, завд.20) О шостій годині ранку визначено температуру на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено у таблиці.Температура (у градусах)

1 3 4 Х

Кількість метеостанцій

2 3 4 1

Визначте х, якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює 3,5°С.

(х=8)( 2+9+16+х10

=3,5)

3. (ДПА 9кл. 2013, в.14, завд.1.7)Укажіть медіану вибірки 7, 12, 15, 17, 19, 23, 25, 31. А) 17; Б) 19; В) 18; Г) 204. (ДПА 9кл. 2013, в.32, завд.1.8)Протягом восьмигодинного робочого дня робітник щогодини виготовляв 12; 10; 8; 11; 9; 12; 10; 8 деталей. Знайдіть середнє значення даної вибірки. А) 11; Б) 9; В) 10; Г) 12.VI. Підсумок уроку.Вчитель. Сьогодні ми з вами розглянули математичну статистику та її основні поняття. Мені б хотілося вам поставити питання: чи справдилися ваші сподівання? Якщо ні, то як ви гадаєте, чому?Ви сьогодні плідно працювали, найактивнішими були…, вони отримують наступні оцінки…VII. Домашнє завданняВчитель. Ви отримуєте незвичайне домашнє завдання: вам необхідно дослідити температурні показники повітря до наступного уроку (за годинами:

11

наприклад, вранці перед школою, потім після приходу зі школи і перед сном), порівняти їх з показниками минулого року (для цього необхідно зайти в Інтернет, якщо вдома немає підключення – в комп’ютерному класі). Для всіх даних треба створити частотну таблицю, знайти центральні тенденції вибірки та побудувати гістограму.

2.(ЗНО 2010, завд.14) Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість опадів (у мм), що випали упродовж року в місті N. Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.

І. Улітку опадів випало менше, ніж навесні.

ІІ. У вересні опадів випало у 1,5 рази більше, ніж у жовтні.

ІІІ. Середня місячна кількість опадів за рік становить 19 мм.

січе

нь

люти

й

бере

зень

квіт

ень

трав

ень

черв

ень

липе

нь

серп

ень

вере

сень

жов

тень

лист

опад

груд

ень0

5

10

15

20

25

Кіль

кіст

ь оп

адів

, мм

12

Додаток 1

Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок 7 12

1 20123456789

10111213

Успішність Власенка Віталія

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 20123456789

10111213

Успішність

БалиКіл

ькість

оціно

к

мода 12медіана 12середнє значення

11,63

1 2 30123456789

101112

Успішність Кравця Володимира

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 2 30123456789

101112

Успішність

Бали

Кількі

сть оц

інок

мода 10медіана 10середнє значення 9,8

13

Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок

1 2 11

Додаток 2Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок

1 2 5

1 2 30

1

2

3

4

5

6

Успішність Кудреватих Маргарити

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 2 30

1

2

3

4

5

6

Успішність

БалиКіл

ькість

оціно

к

мода 6медіана 6середнє значення 5,5Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок

1 7 3

1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

Успішність Назарової Інни

Бали

Кількіс

ть оцін

ок

1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

Успішність

Бали

Кількі

сть оц

інок

мода 9медіана 9середнє значення

9,2

Додаток 314

Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок 1 5 1 1

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

Успішність Попової Антоніни

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

Успішність

БалиКіл

ькість

оціно

к

мода 5медіана 5середнє значення

5,3

Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок 6 6 1

1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

Успішність Смагла Дмитра

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

Успішність

Бали

Кількі

сть оц

інок

мода 8 та 9медіана 9середнє значення 8,6

Додаток 4Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15

Кількість оцінок

3 3 1 3

1 2 3 40

1

2

3

4

Успішність Снігура Ігоря

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 2 3 40

1

2

3

4

Успішність

Бали

Кількіс

ть оцін

ок

мода1,2,4

медіана 2середнє значення 2,4

Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок 1 8

1 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Успішність Чепіги Ігоря

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Успішність

Бали

Кількі

сть оц

інок

мода 10медіана 10середнє значення

9,9

Додаток 5

16

Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок 3 5

1 20

1

2

3

4

5

6

Успішність Тананової Христини

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 20

1

2

3

4

5

6

Успішність

Бали

Кількіс

ть оцін

окмода 6медіана 6середнє значення

5,6

Бал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Кількість оцінок

2 3 1 4

1 2 3 40

1

2

3

4

5

Успішність Юхнова Михайла

Бали

Кількі

сть оц

інок

1 2 3 40

1

2

3

4

5

Успішність

Бали

Кількі

сть оц

інок

мода 4

медіана2,5

середнє значення

2,7

17