Siste Made Co Orden a Das Polar Es

7/24/2019 Siste Made Co Orden a Das Polar Es

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1Ingeniera Civil, Geolgica y Minas 2014-0

CURSO: GEOMETRA ANALTICA Y LGEBRA

Tema :

Un sistema de coordenadas es un mtodo para especificar el lugar de un punto en el plano.

Hasta ahora hemos manejado el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) que

describe los lugares mediante una cuadrcula ortogonal en el cual se representa a un punto

mediante un par ordenado de nmeros llamados coordenadas.

El uso de las coordenadas rectangulares es similar a localizar un lugar en una ciudad cuando se

dice, por ejemplo, que est en la esquina de la calle 48 y la Avenida 7. Pero tambin podramos

describir lo anterior diciendo que est a 3 millas al noroeste del centro. En lugar de especificar

su ubicacin con una cuadrcula de calles y avenidas, la podemos describir citando su distancia

y direccin respecto a un punto fijo.

Aqu se describe un sistema de coordenadas introducido por Newton, llamado sistema

coordenado polar, que es ms conveniente para muchos propsitos.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

El sistema de coordenadas polares es un sistemade coordenadas bidimensional en el cual cada

punto o posicin del plano se determina por un

ngulo y unadistancia.

Se elige un punto en el plano que se llama polo

(origen) y se identifica con O . Luego se dibuja un

rayo (semirrecta) que empieza en O llamado ejepolar. Este eje se traza por lo comnhorizontalmente a la derecha, y corresponde al eje

COORDENADAS POLARES
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Distanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas


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x positivo en coordenadas cartesianas.

Si P es cualquier otro punto en el plano, sea r la distanciade O a P y sea el ngulo

(medido grados o en radianes) entre el eje polar y la recta OPcomo en la figura, por lo tanto

el punto P se representa mediante otro par ordenado ,r y llamaremos r, coordenadas polares de P.

Usaremos la convencin de que es un ngulo es positivosi se mide en el sentido contrarioalas manecillas del reloj desde el eje polar y negativosi se mide en el sentido de las manecillasdel reloj.

Si 0r ,entonces 0P , independientemente del valor de , por lo que 0, representaal polo para cualquier valor de .

Se considera que la distancia r es una distancia no dirigida, es decir que es un nmero nonegativo. Sin embargo, en algunos casos es conveniente pensar que r es una distanciadirigida, que puedes ser a veces un nmero negativo. Se aceptar esta posibilidad de aqu en

adelante.

Interpretaremos a la distancia positiva r como la distancia medida sobre el lado final del

ngulo de direccin , a partir de O .

Interpretaremos una distancia negativa r como la distancia r medida a lo largo del

segmento cuyo punto inicial es O pero que tiene el sentido opuesto al del lado final de .

Grficas de puntos en coordenadas polares

Ubicaremos en el plano al punto P cuyas coordenadas polares son:

2, 85 .Para ello mediremos un ngulo cuya medida sea -85, como elngulo es negativo, entonces dibujaremos el ngulo en sentido

horario.

Entonces sobre el lado final de , mediremos dos unidades de

distancia a partir del polo O , y llamaremos Pal punto as localizado.


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Ejemplo:Ubique en el plano al punto P cuyas coordenadas polares son:

a) 51,4

b) 2,3

c) 2

2,

3

d) 33,

4

En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene slo una representacin, pero en elsistema de coordenadas polarescada punto tiene muchas representaciones. Por ejemplo, el

punto5

1,4

del ejemplo anterior se podra escribir como 1, 3 / 4 o 1, 13 / 4 , o

1, /4

De hecho, puesto que una rotacin completa en sentido contrario a las manecillas del reloj

est dada por un ngulo 2 , el punto representado por coordenadas polares ,r serepresenta tambin por:

, 2r n y , 2 1r n Donde n es cualquier entero. Recordar 180

Ejemplo Ubique en el plano al punto Pcuyas coordenadas polares son 1,30 , y escriba

tres pares ms de coordenadas de P.Solucin:


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Los tres pares de coordenadas de Prequeridas son:

Para 1n , 1r , 30 , entonces 1,30 360 1,390

Para 1n 1,30 360 ( 1, 330 )

Para 0n ,en , 2 1r n tenemos 1 , 30 180 1, 210

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, puede ser muy

sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ngulos y magnitudes.

Un plano con estas caractersticas se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste decircunferencias concntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ngulos

de inclinacin.

RELACIN ENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES

Con frecuencia se presentan casos en donde se deben manejar en forma simultnea

coordenadas polares y rectangulares.la relacin

entre los dos sistemas se ilustra a continuacin:

Supongamos que la parte positiva del eje x coincida

con el eje polar, y el polo con el origen. Entonces un

punto dado P tendr coordenadas rectangulares

,x y y coordenadas polares ,r .


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Trazando por Pla perpendicular AP, en el tringulo rectngulo OAP, se tiene:

cosx r y rsen 2 2 2r x y

De donde se obtiene

2 2r x y 2 2 2 0r x y

2 2cos

x

x y

2 2

ysen

x y

Luego, tan yx

, por tanto

arctan y

x

Sistema rectangular ,x y a Sistema polar ,r

,P x y 2 2r x y

arctan y

x

Sistema polar ,r a Sistema rectangular ,x y

,P r cosx r y rsen

Ejemplo (Conversin de coordenadas rectangulares a polares) Determinar las coordenadas

polares correspondientes al punto P 1, 3 Solucin:

Con 1x e 3y , obtenemos

2

21 3 2r

Por lo que 2r 2r

Tambin tan 3y

x , por lo que

360 60 300 180 60 120

O bien5

3

2

3


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Como el punto Pest en el cuarto cuadrante, se representa en coordenadas polares en la

forma P 52,

3

, o como P 22,

3

Ejemplo (Conversin de coordenadas polares a rectangulares) Determinar la

coordenada cartesiana correspondiente al punto P 12,6

Solucin

Con 12r y 306

,

tenemos:

cos 12cos 303

12cos 30 12 6 32

x r

12s 30

1 12 30 12 6

2

y rsen x en

sen

Por lo tanto, la coordenada rectangular es

6 3 , 6P

Ejemplo Hallar la ecuacin polar del lugar geomtrico cuya ecuacin rectangular es

2 3y x

Solucin:

Sustituyendo cosx r , y rsen ; en la ecuacin:

2 3

2 cos 3

y x

rsen r

2 cos 3rsen r

2cos 3r sen

3

2cosr sen

Ejemplo Hallar la ecuacin rectangular del lugar geomtrico cuya polar es2

1 cosr

Solucin:

Excluyendo los valores de para los cuales 1 cos 0 , se puede escribir

1 cos 2r

cos 2r r

Teniendo en cuenta que, cosx r y 2 2r x y

Sustituyendo esto en la ecuacin:


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cos 2r r

2 2 2x y x

2 2 2x y x

Elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:

2

22 2 2x y x

2 2 24 4x y x x 2 4 4y x

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES

Sean 1 1 1,P r , 2 2 2,P r dos puntos dados

cualesquiera. Se trata de hallar la distancia d entre1

Py

2P , en donde 1 2d PP

2 2

1 2 1 2 1 22 cos( )d r r r r

Ejemplo Hallar la distancia entre los puntos

6;15 y 8;75 .Solucin:

2 26 8 2(6)(8)cos(75 15 )d

36 64 96cos(60)d


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136 64 96 2 13 7.21

2

d

REA DE UN TRINGULO

Sean los vrtices del tringulo (0,0) ,

1 1,r y 2 2,r

1

1( )

2Area OP h

Pero, 2 2 1h OP sen

2 2 1 r sen

Entonces

1 2 2 11

2Area r r sen

EJERCICIOS

1. Trace la grafica de los puntos cuyas coordenadas polares se dan, y escriba tres pares

mas de coordenadas polares de ese punto

a. 3;

6

b. 2;23

c. 1;

d.

5; 2 3

e. 3;56

f.

120,3

g.

6

11,4

h. 2;2

i.

2

11,3

j.

150,4

2. Escribe las coordenadas polares los de cada uno de los puntos siguientes en

coordenadas rectangulares, y traza la grafica.

a. 5;5I

b. 2 3 ; 2J

c.3 1

;

3 3

K

d. 1; 1L

e. 3;1M


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f. 5;0N 3. Encuentra las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas polares

son:

a. 3;3

F

b. 5;7

4G

c. 3;34

H

d. 3;I

e.3

2;4

J

f.5

4;6

K

g.

71;

6L

4. Transforme la ecuacin rectangular dada en una ecuacin polar y trazar la grafica

a. 2 26x y y

b. 1xy

c. 3 4 0x y

d.

2 4y x

e. xy3

3

f. 2 2 2 0x y x

g.

2 2 9x y

h. 2 2 4x y

i. 09643 22 xyx

j.

142 xy

k.

02

22 yyx

l. 2 2 2 24x y x y

m.

22322 4 yxyx n. 0;222322 ayxayx o.

222322 yxyx p. 22222322 16 yxyxyx

5. Transforme la ecuacin polar dada en una ecuacin rectangular

a. cos 1r b. 2cos 3r sen

c. 2 cosr d.

1 2cosr

e. 0)(cos4)(sin 32 r

f.3

2 3r

sen

g. 2cos(2 )r

h.

2 9s (2 )r en

i.1

1 cosr

j. 22 2

20

5cos 4r

sen

k.3

2 cosr

l. 2 2cosr

m. 2 cos 2 2r

n.

csc cotr

6. Demostrar que los puntos 1;3

A

, 3;6

B

, 1;0C , son los vrtices de un

triangulo equiltero.

7. Hallar el permetro del cuadriltero cuyos vrtices son 0;19 , 1;3

, 2;4

,

3;0

8.

Hallar el area del triangulo cuyos vrtices son los puntos:

a. 0;0A , 6;20B , 9;50C


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b. 2;23

A

, 2;3

B

, 3;6

C

c. 1;3

A

, 5;6

B

, 3;6

C

d. 0;0A , 5;4

B

, 4;12

C

9. Hallar la longitud de los lados y el area del triangulo cuyos vrtices son:

a. 1;3

A

, 2;6

B

, 3;6

C

b. 2;8

A

, 4;38

B

, 3;78

C

10.

Encuentra la distancia entre cada uno de los siguientes casos. Usa coordenadas

polares. Traza la grafica

a)

3;6

S

, 4;56

T

b) 7;135Q , 4;225R

c) 3;60A , 5;315B

d) 5; 120M , 4;150N

GRFICA DE ECUACIONES POLARES

La grfica de una ecuacin polar es el conjunto de puntos con al menos un par de coordenadas

polares que satisfagan dicha ecuacin ( ( )r f ).

Para trazar la grfica de una ecuacin en coordenadas polares ( , ) 0E r es conveniente

realizar los siguientes pasos:

I)

Intersecciones

a) Con el eje polar:

i) Hacer 0 , para hallar valores

reales de r en el eje polar

ii)

Hacer , para hallar valores

reales de r .En general, hacer n ,n Z .

b) Con el eje normal.

i) Hacer2

, para hallar.

ii) Hacer3

2

, para hallar r. En

general hacer 2 12

n ,

donde k es un nmero entero

II) Simetras

a) Con relacin al origen (Polo):

Al cambiar:

i) por

ii)

rpor r Si la ecuacin de la curva no vara, es simtrica

P ( r , )

( r , )


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b) Con relacin al eje polar:

Al cambiar:

i) por

ii) por y r por r simultneamente

Si la ecuacin de la curva no vara, es simtrica.

c) Con relacin al eje normal:

La ecuacin debe verificar:

i) por

ii)

por y r por r simultneamente

Si la ecuacin de la curva no vara, es simtrica

III) Extensin Se determina la variacin de ry

IV) Tangentes Cuando el polo (origen) pertenece a la curva, al hacer 0r se obtiene

( ) 0f que es una ecuacin trigonomtrica que al resolverla para da:

1 2, , ...., n .

Entonces, las rectas 1 2, , ...., n son las rectas tangentes en el

origen de la curva ( )r f

V) Tabulacin Se determina los valores de rcorrespondiente a los valores asignados a

VI) Trazado de la grfica En un sistema de coordenadas polares (es preferible usar la roseta

polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva

EJEMPLO1 Construir la grfica de la ecuacin polar 1 cosr

Solucin:Intersecciones:


0 . Entonces, 1 cos0 0r

. Entonces, 1 cos 2r

Hay dos puntos de interseccin, dado que

los puntos 0,0 y 2, son distintos.

b)

Con el eje normal.

2

. Entonces, 1 cos 1

2r

3

2

. Entonces, 1 cos 1

2r


los puntos 1,2

y3

1,2

son

distintos.


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Simetras:

a)

Con relacin al origen (Polo): por

1 cos 1 ( cos ) 1 cosr .Entonces no es simtrica porque la ecuacin de la curva cambia.

b)

Con relacin al eje polar: por

1 cos 1 cosr .Essimtricaporque la ecuacin de la curva no cambia.

c) Con relacin al eje normal: por

1 cos 1 cosr .No es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia.

Extensin:Determinaremos la variacin de ry

- - Como 1 cos 1

Multiplicando por (-1), se tiene 1 cos 1 Sumando 1: 2 1 cos 0

r

Se tiene: 0 2r

Tangentes: Hacer 0r , entonces: 1 cos 0 cos 1 0, 2

Las tangentes son: 0, 360

Tabulacin:Trazado de la grfica:

r

0 0

10 0.015

30 0.134

603

0.5

902

1

2120

3

31.5

2

150 1.86

2


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EJEMPLO2 Construir la grfica de la

ecuacin polar 10 3r sen Solucin:Intersecciones:

a)

Con el eje polar:

0 . Entonces, 10 0 0r sen

. Entonces, 10 3 0r sen

El nico punto de interseccin es el polo.

b) Con el eje normal.2

.

Entonces,10 3 102r sen

3

2

. Entonces,

910 10

2r sen

Hay un punto de interseccin, dado que

los puntos 10,2

y

310,

2

son los

mismos.

Simetras:

a) Con relacin al origen (Polo): por

10 3 10 3r sen sen .Entonces no es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia

b) Con relacin al eje polar: por

10 3 10 3r sen sen .No es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia

c)

Con relacin al eje normal: por


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10 3 10 3r sen sen .Essimtricaporque la ecuacin de la curva no cambia.

Tangentes: Hacer 0r , entones:

10 3 0sen

3 0sen 3 n , nes entero

3

n

Para 0n , 0

Para 1n , 603

Para 2n ,2

1203

Para 3n ,3

1803

Para 4n ,4

2403

Para 5n ,5

3003

Las tangentes son: 0, 60 , 120, 180, 240 , 300 , 360


- R - Como 1 3 1sen

Multiplicando por (10), se tiene 10 3 10sen Se tiene: 10 10r

Tabulacin: Trazado de la grfica:

r

0 0

10 5

15 5 2

30 10

40 5 3

60 0

90 -10

100 5 3

120 0130 5


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EJEMPLO3 Construir lagrfica de la ecuacin polar

1 2cosr

Solucin:Intersecciones:

a)

Con el eje polar:

0 . Entonces,1 2cos(0 ) 1r

. Entonces,1 2cos 3r

Hay dos puntos de interseccin, los cualesson dados por 1,0 y 3,


2

. Entonces, 1 2cos 1

2r

3

2

. Entonces, 1 2cos 1

2r

Hay dos puntos de interseccin, los cuales

son dados por 1,2

y3

1,2

Simetras:

a)

Con relacin al origen (Polo): por

1 2cos 1 2( cos ) 1 2cosr .Entonces no es simtrica porque la ecuacin de la curva cambia.

b) Con relacin al eje polar: por

1 2cos 1 2cosr .Essimtricaporque la ecuacin de la curva no cambia.

c) Con relacin al eje normal: por

1 2cos 1 2cosr .No es simtricaporque la ecuacin de la curva cambia.

Tangentes: Hacer 0r , entones: 1 2cos 0

150 10

180 0

210 -10

240 0270 10

300 0

330 -10

360 0


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1cos

2

60, 300



- R - Como 1 cos 1

Se tiene: 1 3r

Tabulacin:

0 10 30 40

603

902

2

1203

135 150 170

r -1 -0.96 -0.73 -0.53 0 1 2 2.41 2.76 2.96 3

Trazado de la grfica:


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EJEMPLO4 Construir la grfica de la ecuacin polar 2 9cos2r

Solucin:

Intersecciones:


0 . Entonces, 2 9cos2(0) 9r 2 9 3r r

. Entonces,2 9cos2( ) 9cos360 9r

2 9 3r r


los puntos 3,0 y 3,0

equivalentemente 3, , 3,


2

. Entonces,

2 9cos 2 9cos 92

r

2 9r , no existe3

2

. Entonces,

2 39cos2 9cos3 92

r

2 9r , no existe

No existen puntos de interseccin.

Simetras:La curva es simtrica con respecto al polo y con respecto al eje polar.

Tangentes:Hacer 0r , entones: 9cos 2 0

cos2 0 3

2 , 22 2

3

4 4


2 cos2 3 cos2r 0 0 1 3

15 30 0,866 8,2

30 60 0,5 1,2

45 90 0 0


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La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas

cos; 0, 0

r a ba b

r a bsen

Se denomina limazn(figura en forma de caracol) y su forma depende de las relaciones entrea y b as:

- Si a b


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-

Si 0 1a

b , se llama limazncon nudo.

- Si1 2a

b , se llama

cardioidecon hendidura.

- Si 2a

b , se llama limaznconvexo.

La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas:

2 2

2 2

cos2

s 2

r a

r a en

Representan curvas en forma de aspa de hlice y se denominan lemniscatas


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La grfica de una ecuacin de cualquiera de las formas:

cosr a n

r a sen n

Representa una rosade nptalos, si n es impar.Representa una rosade 2nptalos, si n es par.


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EJERCICIOS

1.

Trace la grfica de las siguientes ecuaciones:

a.

5

1 cosr

b.

4

1 cosr

c. 4cos3r

d. 2cos 4r (rosa de 8 ptalos)

e.

16

4 5sinr

f.

1 2sinr

g. 2 16sin 2r

h. 2 6sin 2r

i.

3sin

2r

j.3

r cos2

k. 2 4sin 2r l. 2 2cosr

m. 2 cos 4r

n. 3 cos 4r

o. 2 3cosr

p. 2cos 2r

q. sin 2r r.

2 3sinr

s.22sec

2r

t.

cos 24r

u. 2 cos 4r

v. 2 24 5sin 1r

w. 2 4 2r sen (lemniscata)

x. 2 tanr sen (Cisoide)

y. 2sec 1r (concoide de Nicmedes)z.

2 3r sen (caracol con lazo)

ECUACIN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES

Sea L una recta cualquiera que no pasa por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a

L , que se intercepta en N . Sea el ngulo que hace el eje polar con la normal ONy p la

medida del segmento ON. Finalmente sea ( , )P r un punto cualquiera de L .

En el tringulo ONPse tiene:

cos p

r

Por lo tanto cosr p

Es la ecuacin polar de la recta L .

Casos particulares:


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a)

Recta perpendicular al eje polar, est a la derechadel polo; haciendo

0 , entonces cosr p

b) Recta perpendicular al eje polar, est a la izquierda del polo; haciendo

0 , entonces cosr p

c)

Rectaparalela al eje polar, est arribadel polo; haciendo

902

, entonces cos 90r p

r sen p d) Recta paralela al eje polar, est debajodel polo; haciendo

3

2702

, entonces cos 270r p

Que es lo mismo que r sen p e)

Rectas tales que contienen al polo.

La ecuacin cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella es de la forma: y mx

Realizando las transformaciones respectivas:

cos

costan tan

y mx

rsen mr

senm

Por lo tanto si la recta L pasa por el polo, su ecuacin es de la forma k . Siendo kunaconstante que puede restringirse a valores no negativos menores de 180 .

Ejemplo Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 2;30P y es perpendicular aleje polar OX .Solucin:

La ecuacin de la recta es de la forma: cosr p . Pero como L est a la derecha

entonces la ecuacin es de la forma: cosr p .

Si 2;30P L , entonces: 2cos 30 p

32

2p

3 p

Luego la ecuacin de la recta es: cos 3r


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EJERCICIOS

1.

Deduce la ecuacin polar de la recta que pasa por el punto 4;3

P

y es

perpendicular al radio vector, y traza la grafica.

2.

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 2;150 y por el polo.

3. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 3; 30 y es paralela al eje OY.

4. Hallar la ecuacin de la recta que pase por el punto 4;30 y forme un ngulo de150 con el eje polar.

5. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 2 2;34

P

y es paralela al eje

polar.

6. Hallar la ecuacin en coordenadas polares de una recta que pasa por el punto

26;

3P

y es perpendicular al eje polar.

7. Hallar la ecuacin polar de la recta que pasa por los puntos1

24;

3P

y

2 2 2;

4P

.

8.

Deducir la ecuacin polar de una recta que pasa por el punto 2; 6P

con una

inclinacin respecto al eje polar de un ngulo2

3

.

9.

Hallar la ecuacin en coordenadas polares de una recta paralela al eje polar y situado

por debajo de l una distancia de 4 unidades.

10.Deducir la ecuacin de la recta si se dan, el segmento 2a que intercepte la recta en

el eje polar partiendo del polo, y el ngulo polar2

3

de la normal a esta recta.

11.

Deducir la ecuacin polar de la recta si se dan el ngulo

6

de inclinacin de la

recta respecto al eje polar y el segmento 6a , que intercepta la recta en el eje polar.

ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES

Sea 1( , )C r el centro de una circunferencia cualquiera de

radio R. Sea ( , )P r un punto cualquiera de la

circunferencia.

Teorema La ecuacin polar de una circunferencia de centro


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en el punto 1( , )C r , y radio igual R es:

2 2 2

1 12 cos( )r r r r R

Casos particularesa) Si el centro de la circunferencia est en eje polar, a la derechadel polo, y la circunferencia

pasa por l, se tiene :1

r R y 0 , entonces:

2 cos( )r R

- Si el centro de la circunferencia est en eje polar, a la izquierdadel polo, y la circunferencia

pasa por l, se tiene: r R y , entonces:2 cos( )r R

b)

Si el centro de la circunferencia est en eje normal OY, arriba del polo, y la circunferencia

pasa por l, entonces:1

r R ,2

, entonces:

2 sr R en - Si el centro de la circunferencia est en eje normal OY, debajo del polo, y la circunferencia

pasa por l, entonces:1r R ,

3

2

, entonces:

2 sr R en

c)

Si el centro de la circunferencia est en el polo,1

0r y la circunferencia se reduce a:

r R

Ejemplo Hallar la ecuacin polar de la circunferencia con centro (4,30)C y radio igual a 5.

Solucin

Por datos del problema se tiene,1

4r , 5R , 30 . Luego:2 2 22(4) cos( 30) 4 5r r

2 8 cos( 30) 16 25r r 2 8 cos( 30) 9 0r r


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Ejemplo Hallar el centro y el radio de la circunferencia 02034cos42 rsenrr .Solucin

Aplicando la ecuacin de la circunferencia 2 2 21 12 cos( )r r r r R , desarrollando seobtiene:

2 2 21 12 cos cos 0r rr sen sen r R

2 2 21 1 12 cos cos 0r r r r sen sen r R

O bien2 2 2

1 1 12 cos cos 2r r r r sen rsen r R

Comparando la ecuacin dada 02034cos42 rsenrr con esta ltima, tenemos:

(1) 12 cos 4r

(2) 12 4 3rsen y

(3)2 2

1 20r R

Dividiendo la ecuacin (2) por (1) 3tg , entonces 120 . Sustituyendo en (1),

4221

1 r

de donde

41 r .

De (3) se tiene,216 20R , 6R .

Luego el centro de la circunferencia es el punto 1( , )C r = 4; 120 y su radio vale 6.


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EJERCICIOS

1. Deduce la ecuacin polar de la circunferencia que pasa por el polo y su centro est en

3;0C , y traza la grafica.2. Encuentra la ecuacin polar de la circunferencia con centro en 4;45C y que pasa

por el polo, y traza la grafica.

3.

Hallar la ecuacin polar de la circunferencia con centro en 8;3

y que pasa por el

punto2

4;3

.

4.

Halla la ecuacin polar de la circunferencia que pasa por el polo, por 3;90K y

4;0J , y traza la grafica.5.

Hallar la ecuacin polar de la circunferencia cuyo centro y radio son:

a. 4;0 , 4C R b. 5; , 5

2C R

3; ; 86

C R

6. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuacin polar:

a.

03)sin(3)cos(2 rrr

b.

05)sin(3)cos(332 rrr

c. )sin(32)cos(2 r

d.

05)sin(22)cos(222 rrr

e.

2 4 3 cos( ) 4 sin( ) 15 0r r r

ECUACIN POLAR DE CNICAS

Antes, se defini una parbola en funcin de un foco y una directriz, pero definimos a la elipse

e hiprbola en trminos de dos focos.

En esta seccin presentaremos un tratamiento ms unificado de los tres tipos de cnicas, en

funcin de un foco y una directriz.

Si colocamos el foco en el origen, entonces la ecuacin polar de una cnica es ms sencilla.

Adems, en la forma polar, la rotacin de las cnicas es simple. Las ecuaciones polares de las

elipses son fundamentales para deducir las leyes de Kepler del movimiento planetario.

Descripcin equivalente de las cnicas

Sean F un punto fijo (el foco) luna recta fija (la directriz) y e un nmero positivo fijo (la

excentricidad). El conjunto de todos los puntos P tales que la razn de la distancia de P a

F , y la distancia de Pa les igual a la constante e , es una cnica. Esto es, el conjunto de

todos los puntos tales que:

( , )

( , )

d P Fe

d P l

es una cnica.

La cnica es una: parbola si 1e , una elipse 1e o una hiprbola 1e .


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Supongamos una cnica cuyo foco coincide con el polo, el eje focal con el eje polar. Sea l la

directriz correspondiente del foco O; sta recta es perpendicular al eje polar, y seaD el punto

de interseccin. Designemos la distancia OD , entre el foco y la directriz, por la cantidad

positiva.

Si ( , )P r es cualquier punto cualquiera de la cnica,

entonces, por definicin de excentricidad:

POe

PC

Vemos que PC DB DO OB

cosp r Luego reemplazando

cos

PO re

PC p r

Despejando r:

1 cos

epr

e

0e , excentricidad; donde p es la distancia entre el foco (ubicado en el polo) y la directriz

correspondiente.

Directriz vertical

- Si el foco est en el polo y la directriz se encuentra a p unidades a la derecha del polo, la

ecuacin:

1 cos

epr

e

- Si el foco est en el polo y la directriz se encuentra apunidades a la izquierda del polo, la

ecuacin:

1 cos

epr

e

Directriz horizontal

- Si el eje focal coincide con el eje a 90, la ecuacin de la cnica es de la forma:

1

epr

e sen

En donde el signo depende si la directriz est arriba abajo del eje polar. Veamos los cuatro

tipos de ecuaciones polares para una parbola.


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Ejemplo1 Hallar la naturaleza de la cnica definida por la ecuacin12

4 3cosr

.

Solucin:Dividiendo numerador y denominador por 4 se obtiene la ecuacin

1234

4 3cos1 cos

4

3

4

r

Luego3

1

4

e , entonces la curva es una elipse. Como 3ep , entonces 4p , con lo cual

la directriz es perpendicular al eje polar y est a 4 unidades a la derecha del polo.

Como se trata de una elipse que tiene uno

de sus focos coincidentes con el polo y

directriz correspondiente: 4x p . Y la

ecuacin polar de la directrizes: cos 4r

a) Para 0 entonces12

4 3cos0

r

12 12

4 3 7


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b) Para entonces12 12

124 3cos 4 3

r

Luego las coordenadas de los vrtices son:

1

12,0

7V

, 2 12,V


1 cosr

.

Solucin

Por el dato del ejercicio se sabe qu; 1e , por lo tanto es una parbola. Como 2ep

entonces 2p , con lo cual la directriz es perpendicular al eje polar y est a 2 unidades a la

izquierda del polo.

Cuya ecuacin correspondiente a la directriz es: 2x p . Y su ecuacin polar

cos 2r

Para entonces2 2 2

11 cos 1 ( 1) 2

r

Por lo tanto el vrtice est en 1,V y directriz correspondiente: x p

2

Y la ecuacin polar de la directrizes:

cos 2r


2 4cosr

.

Solucin:Dividiendo numerador y denominador por 2 se obtiene la ecuacin

3 3

2 22 4cos 1 2cos

2

r

Comparando con la ecuacin1 cos

epr

e

tenemos: 2 1e .

Por lo que se trata de una hiprbola.

3

2ep

32

2p

3

4p


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Por lo tanto se tiene una hiprbola que tiene uno de sus focos en el polo y por directriz ms

prxima al polo.3

4x p .

Y la ecuacin polar de la directrizes:3

cos 4r

a) Para 0 entonces,3 3 1

2 4 cos0 2 4 2r

b) Para entonces,3 3 3

2 4cos 2 4 2r

Luego las coordenadas de los vrtices son:1

1,0

2V

,2

3,

2V

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar en la elipse12

3 2 cosr

, los puntos cuyos radios polares son iguales a 4 .

2. Hallar la ecuacin de la curva con foco en el polo, excentricidad1

2e y directriz

perpendicular al eje polar en el punto 4;0 .3.

Hallar la ecuacin de la parbola con foco en el polo y directriz perpendicular al eje

polar en el punto 3;0 4. En los siguientes ejercicios, decir la naturaleza de las cnicas siguientes, dar

excentricidad, vrtices, focos, directrices en funcin de sus direcciones con respecto al

eje polar y su distancia al polo y hacer la grafica

a.

12

6 sinr b.

6

3 5cos( )r


31/31

c.3

2 cos( )r

d.3

2 2sin( )

r

e.12

1 4sin( )r

f.6

2 3sin( )r

g.8

2 sin( )r

h.10

2 cos( )

r

i.16

5 3sin( )r

j. 1 2cos( ) 4r

EJERCICIOS DE APLICACION

1. Un satlite viaja alrededor de la Tierra en una rbita elptica que tiene a la tierra como

un foco y una excentricidad de1

3. La distancia ms cercana entre el satlite y la Tierra

es de 300 millas. Calcula la distancia ms lejana si el satlite se separa de la Tierra, y

traza la grafica.

2. Un satlite tiene rbita elptica en la cual la Tierra est en uno de los focos. En su

punto ms cercano (perigeo) se encuentra a 100 millas sobre la superficie terrestre; en

su punto ms alejado (apogeo) est a 500 millas. Determina una ecuacin polar de su

rbita. Considera que el radio de la Tierra es de 4000 millas.3.

Se pueden usar ecuaciones polares de cnicas para describir el movimiento de

cometas. Estas trayectorias se pueden graficar empleando la ecuacin polar:

1

1 cos

perr e

re

Donde e es la excentricidad de la cnica y perr es la distancia del perihelio medida en

UA. Determina la trayectoria para el cometa Halley: 0.5871perr , 0.9673e , y para

el cometa Encke: 0.3317perr , 0.8499e .

Siste Made Co Orden a Das Polar Es

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