Redeneren over kennis: herbekeken

Logica met verstekwaarden

Circumscriptie Autoepistemische logica

Gesloten wereld

Redeneren met verstekwaarden

Problemen

Redeneren over kennis: herbekeken



Gesloten wereld


Problemen

• Gegeven:– Alle vogels vliegen.– Victor is een vogel.

• Bewijs dat Victor vliegt.

x.(vogel(x) vliegt(x)).vogel(victor)

Vorige keer…

vliegt(victor)

vogel(victor)

vliegt(X) :- vogel(X).

vogel(victor).



Gesloten wereld


Problemen

Bijkomende informatie

Ik heet Victor!

Alle vogels vliegen.

Struisvogels zijn vogels.

Struisvogels vliegen niet.

Victor is een struisvogel.



Gesloten wereld


Problemen

Victor vliegt?vliegt(X) :- vogel(X).

vogel(X) :- struisvogel(X).

niet_vliegt(X) :- struisvogel(X).

struisvogel(victor).

vliegt(victor)

vogel(victor)

vliegt(X) :- vogel(X).

niet_vliegt(victor)

struisvogel(victor)

vogel(X) :- struisvogel(X).


struisvogel(victor)

niet_vliegt(X) :- struisvogel(X).


Alle vogels vliegen.

Struisvogels zijn vogels.

Struisvogels vliegen niet.

Victor is een struisvogel.



Gesloten wereld


Problemen

Redeneren: monotoon en niet-monotoon

• Oud redeneren blijft altijd geldig!– ` is monotoon:

als Δ ` φ dan voor ieder Γ, ΔΓ ` φ

• Menselijk redeneren is niet monotoon.– We kunnen onze beslissingen herzien.

• Hoe weten we welke kennisonderdeel het meest geschikt is?



Gesloten wereld


Problemen

Oplossing: Redeneren met verstekwaarden

• Neem aan dat een vogel vliegt tenzij het bekend is dat hij niet vliegt.

• Neem aan dat de maximale snelheid 50 km/u is tenzij het anders aangegeven is.



Gesloten wereld


Problemen

Internationale handel

• “Free-on-Board” betekent o.a.

• koper is aansprakelijk voor schade ontstaan op zee; – tenzij, verkoper de spullen niet goed ingepakt

heeft; • tenzij, de verkoper door de koper niet geïnformeerd

was over de extreme vervoersomstandigheden waardoor de schade ontstaan is



Gesloten wereld


Problemen

Verstekwaarden

• uitzonderingen

• gewoontes, richtlijnen, normale gang van zaken

• vaak: impliciete kennis– Kees is een jongensnaam– maar Kees Flodder



Gesloten wereld


Problemen

• Verstekwaarden of geen verstekwaarden?A. Jan is 43 jaar oud.

B. Uilen jagen ‘s nachts.



Gesloten wereld


Problemen

Formalisering van het redeneren met de verstekwaarden

1. Aanname van een gesloten wereld (Closed-world assumption, CWA)

2. Circumscriptie

3. Logica met verstekwaarden

4. Autoepistemische logica



Gesloten wereld


Problemen

Zijn er vluchten vanuit Eindhoven naar Turijn?

Aanname van een gesloten wereld

Opmerkingen:• minder ware stellingen dan valse,• vals = niet in het lijstje van de ware stellingen



Gesloten wereld


Problemen

• Neem aan dat atomaire p false is tenzij het bekend is dat p true is.

• Formeel: KB+ = KB {p | p is atomaire en KB ² p} KB – kennisbank, gegeven kennis

Aanname van een gesloten wereld (CWA)



Gesloten wereld


Problemen

Zijn er vluchten vanuit Eindhoven naar Turijn?

Aanname van een gesloten wereld

Nee

Omdat we niet weten dat ze er zijn!



Gesloten wereld


Problemen

KB = “Het is een vaas of het zijn twee gezichten.”

KB+ = KB {p | p is atomaire en KB ² p}

A. KB+ ² “Het is een vaas” C. A en B

B. KB+ ² “Het is geen vaas” D. nog A nog B



Gesloten wereld


Problemen

Inconsistente KB+

KB+ = KB {p | p is atomaire en KB ² p}• KB = vaas Ç gezichten• KB+ = {vaasÇgezichten, :vaas, :gezichten}

– Let op: (vaasÇgezichten)Æ (:vaas)Æ (:gezichten) = false.

– KB+ is inconsistent

• “ ² als zodra de formules van waar zijn, is ook waar” – Waar voor iedere , o.a. voor vaas en:vaas



Gesloten wereld


Problemen

Gesloten wereld: voor- en nadelen

Eenvoudig en intuïtief.KB+ kan inconsistent zijn in de

aanwezigheid van disjuncties. Makkelijk uit te breiden voor de

propositiesVeel moeilijker voor de

predikatenlogica• Meer: Brachman, Levesque 11.2.



Gesloten wereld


Problemen

Huiswerk 3

• Soms: Prolog = de aanname van een gesloten wereld.

• NIET JUIST!– Prolog = negatie als eindig falen (negation as

finite failure).

• Zoek uit wat het verschil is tussen de twee, besprek de voor- en de nadelen.

• Deadline: 24 april 2007.



Gesloten wereld


Problemen

CircumscriptieStruisvogels zijn niet de

enige vogels die niet vliegen…– pinguins– speelgoed– kakapo

Abnormaal

Doel: Trek conclusies die de verzameling van de abnormale objecten zo klein mogelijk maken



Gesloten wereld


Problemen

Intuïtie

Gegeven 8x ((vogel(X) ab(X))! vliegt(x))Æ vogel(vincent) Æ vogel(victor) Æ ab(victor)

Dus

8x ((vogel(x) Æ :vliegt(x)) Ç (x = victor) ! ab(x)).

CIRC vervangt ! door ´Dus

8x [ab(x)´ (x=victor Ç (vogel(x)Æ :vliegt(x)))]



Gesloten wereld


Problemen

Circumscriptie

• Predikaat ab• Neem aan dat p

false is tenzij het ab “kleiner” maakt.

• p·q:– 8x (p(x)! q(x))

• p´q: – 8x (p(x)$ q(x))

• p<q: – (p·q)Æ : (p´q)

8x (vogel(X) ab(X))! vliegt(x)Æ vogel(vincent) Ævogel(victor) Æ ab(victor)

Neem aan: ab(vincent) anders is ab “groter”.

Dus vliegt(vincent)!



Gesloten wereld


Problemen

Circumscriptie

CIRC[;P] = (P) Æ :9p [(p)Æ p<P]– formule– P te minimaliseren predikaat – p predikaatvariabel met evenveel argumenten

als P

• Abnormale dingen zijn alleen diegene die echt abnormaal moeten zijn!



Gesloten wereld


Problemen

• Groep A: CIRC[P(a)ÆP(b); P]– a en b zijn de enige waarden van P: 8x [P(x)´ x

= a Ç x = b]

• Groep B: CIRC[:P(a); P] – er zijn geen P: 8x :P(x)



Gesloten wereld


Problemen

Nogmaals…

• Groep A: CIRC[8x P(x); P]– alle x zijn P: 8x P(x)

• Groep B: CIRC[9x P(x); P]– er is maar één x dat P: 9x 8y [P(y)´ x = y]



Gesloten wereld


Problemen

Te kort door de bocht?

voorbeeld´ 8x ((vogel(X) ab(X))! vliegt(x)) Æ vogel(vincent)Æ

8x (struisvogel(x) ! (vogel(x)Æ :vliegt(x))

• CIRC[voorbeeld;ab] ² 8x (struisvogel(x) ! ab(X))• CIRC[voorbeeld;ab] ² :9x struisvogel(x)

Dat willen we niet! Struisvogels bestaan wel…



Gesloten wereld


Problemen

Variabele en vaste predikaten

• Doel: maak de verzameling van de abnormale objecten zo klein mogelijk– Maar behoud sommige predikaten vast!

• CIRC[(P,Z);P;Z] = (P,Z)Æ :9p,z[(p,z)Æ p<P]– , P, p – zoals eerder– Z lijst van de variabele predikaten – z lijst van de predikaatvariabelen voor de variabele

predikaten



Gesloten wereld


Problemen

Variabele en vaste predikaten

• CIRC[(P,Z);P;Z] =

(P,Z)Æ :9p,z[(p,z)Æ p<P]

• In ons geval:– CIRC[voorbeeld; ab; vogel, vliegt]:

8x [ab(x)´ struisvogel(x)] – Struisvogels zijn enige abnormale wezens…



Gesloten wereld


Problemen

• CIRC[P(a)ÆP(b); P]– a en b zijn de enige waarden van P: – 8x [P(x)´ x = a Ç x = b]

• CIRC[P(a)ÆP(b); P; a, b] - ???A. Hetzelfde als CIRC[P(a) Æ P(b); P]

B. Niet hetzelfde.



Gesloten wereld


Problemen

CIRC vs. CIRC

• Stelling

CIRC[(P,Z);P;Z] = (P,Z)Æ CIRC[9z (P,z);P]• Bij ons

CIRC[P(a)ÆP(b); P; a, b] = Stelling

P(a)ÆP(b)Æ CIRC[9z1,z2 P(z1)Æ P(z2); P]

= Logica

P(a)ÆP(b)Æ CIRC[9z P(z); P] = Groep D

P(a)ÆP(b)Æ 9x 8y [P(y)´ x = y] = Logica

8x [P(x)´ x=a]Æ a=b



Gesloten wereld


Problemen

Circumscriptie: voor- en nadelen

Expliciet redeneren over “abnormale” objectenFormules zijn van tweede orde logica

– Moeilijk mee te rekenen

Resultaten zijn niet altijd uitdrukbaar in de eerste orde logica– CIRC(P(a)Æ8x[P(x)!P(f(x))];P) = {a, f(a), f(f(a)), …}



Gesloten wereld


Problemen

SCAN Execution Protocol

Input file for the translation program

…

circ(['all x (((vogel(x) & -vliegt(x)) | (x = victor)) -> ab(x))'],['ab'],[]).

Activation of the translation and SCAN

…

result

(all x0 (-ab(x0) | (vogel(x0) & -vliegt(x0)) | x0 = victor))



Gesloten wereld


Problemen

Huiswerk 4

• Hoe moeilijk is het berekenen van CIRC? Bespreek de complexiteit van de prepositionele circumscriptie.– Th. Eiter, G. Gottlob: Propositional Circumscription and

Extended Closed-World Reasoning are p2-Complete.

Theor. Comput. Sci. 114(2): 231-245 (1993) – L. M. Kirousis, Ph. G. Kolaitis: A Dichotomy in the

Complexity of Propositional Circumscription. Theory Comput. Syst. 37(6): 695-715

• Wat is een prepositionele circumscriptie? Wat is p2?

Over welke dichotomie gaat het?• Deadline: 24 april 2007.



Gesloten wereld


Problemen

SkiprobleemAls vandaag

de laatste werkdag is

voor de vakantie

en er is geen reden om

aan te nemen dat er niet

genoeg sneeuw ligt

dan gaat Johan skiën



Gesloten wereld


Problemen


• :/als – geldt en – het is consistent om te geloven – dan

• 8x (struisvogel(x)! ab(x))

8x (struisvogel(x)! vogel(x))

vogel(x): :ab(x)/vliegt(x)• Struisvogels vliegen niet, andere vogels wel.



Gesloten wereld


Problemen


• 8x (struisvogel(x)! ab(x))

8x (struisvogel(x)! vogel(x))

struisvogel(victor)

vogel(x): :ab(x)/vliegt(x)

• Uitbreiding:

KB+ = { | EOL [ { | :/2 Verstekregels, 2 KB+, : 2 KB+} ² }



Gesloten wereld


Problemen

KB+ = { | EOL [ { | :/2 Verstekregels, 2 KB+, : 2 KB+} ² }

KB0 = KB

KB1 = { | EOL [ { | :/2 Verstekregels, 2 KB0, : 2 KB0} ² }


…

Tot aan de vaste punt!



Gesloten wereld


Problemen

KB+grasIsNat

grasIsNat : regen / regen

grasIsNat (regen sprinkler) : regen / regen

KB0 = {grasIsNat}


Alleen de eerste verstekregel is van toepassing: KB1 = {grasIsNat, regen}

KB2: De tweede regel is niet van toepassing (regen 2 KB1). Dus KB+ = KB1



Gesloten wereld


Problemen

bierliefhebber(x): :sportief(x)/bierbuikje(x) 8x (student(x)! bierliefhebber(x))

8x (student(x)! sportief(x))

student(martijn)

A. bierbuikje(martijn) 2 KB+

B. bierbuikje(martijn) 2 KB+



Gesloten wereld


Problemen

• Wat betekent :/ ?A. Altijd true

B. Altijd false

C. Als x waar is, neem aan ook dat x zolang x consistent is.

D. Als x waar is, neem aan ook dat x zolang x inconsistent is.



Gesloten wereld


Problemen

Verstekwaarden?

Richard Nixon, Kwaker en republikein

Republikeinen zijn gewoonlijk

geen pacifisten.

Kwakers zijn gewoonlijk pacifisten



Gesloten wereld


Problemen

Kwaker(nixon) Republikein(nixon)

Kwaker(x):Pacifist(x) /Pacifist(x)

Republikein(x): :Pacifist(x) /:Pacifist(x)

Wat denken jullie? Waarom?

A.Pacifist(nixon)

B. :Pacifist(nixon)



Gesloten wereld


Problemen

Er zijn dus twee verschillende KB+’s!

Een met Nixon – pacifist en

een met Nixon – geen pacifist…



Gesloten wereld


Problemen

Kwaker(nixon)

Republikein(nixon)

A. Goedgelovig redeneren: kies één KB+ en geloof erin: :Pacifist(nixon) of Pacifist(nixon)

B. Sceptisch redeneren: geloof in als in alle mogelijke KB+ voorkomt: :Pacifist(nixon)

Pacifist(nixon)



Gesloten wereld


Problemen

Problemen: goedgelovig

• De keuze van KB+ lijkt willekeurig…



Gesloten wereld


Problemen

Problemen: sceptisch

Niet echt intuïtief:grasIsNat

grasIsNat : regen / regen

grasIsNat (regen sprinkler) : regen / regen

KB={grasIsNat}

gelooft in regen en regen sprinkler

KB = {grasIsNat,regen sprinkler}

gelooft in regen niet meer.



Gesloten wereld


Problemen



Gesloten wereld


Problemen

Huiswerk 5

• Veel verschillende varianten van verstekregels

• Kies er één van, bestudeer en vat samen!

• Zoek bijvoorbeeld: priorities, quasi-default, cautious semantics, justified semantics, cumulative default logics, …




Gesloten wereld


Problemen

Verstekregels:voor- en nadelen

Expliciet gebruik maken van de verstekwaarden… maar geen mogelijkheden om over de regels

zelf te redeneren– “Als :/ dan ::/ :” is niet uit te drukken!

Meestal intuïtief …maar niet altijd

– true:p/:p (probeer thuis)



Gesloten wereld


Problemen

Autoepistemische logica

• – ikweet[Moore]– ik geloof in [Marek, Truszczyński]

• Let op!– :“ik weet niet of waar is”– :“ik weet dat niet waar is”



Gesloten wereld


Problemen

Formaliseer het leerproces volgens de onderwijskunde

A. Onbewust onbekwaam: ik weet niet dat ik nietweet.

– ::

B. Bewust onbekwaam: ik weet dat ik niet weet.– :

C. Bewust bekwaam: ik weet dat ik weet.–

D. Onbewust bekwaam: ik weet niet dat ik weet.– :



Gesloten wereld


Problemen

Wat heeft het met verstekwaarden te

maken? • KB+ is een stabiele uitbreiding van KB als

– KB+² ) 2 KB+

– 2KB+ ) 2 KB+

– KB+ ) :2 KB+

• KB* zodanig dat – als KB*` dan 2 KBvoor alle stabiele

uitbreidingen KB+ .– als KB*` dan ja!



Gesloten wereld


Problemen

Waarom is KB* interessant?

• We kunnen ermee rekenen!

• KB* = KB + vier axioma’s + alle prepositionele tautologieën

• `:– Meervoudig Modus Ponens:

{1 ! 2, …, n! n, } ` n.– Noodzak: `



Gesloten wereld


Problemen

Waarom zijn stabiele KB+ interessant?

• Axioma's:– K: ( ! ) ! ( ! )– T: ! – 4: ! – 5::!:

zijn willekeurige formules!

• Axioma’s + afleidingsregels = S5



Gesloten wereld


Problemen

Vraag: KB* ` (p Ç :p)A. JaB. NeeC. Afhankelijk van de waarde van p

KB* = KB + vier axioma’s + alle prepositionele tautologieën

–MMP: {1 ! 2, …, n! n, } ` n.–Noodzak: `



Gesloten wereld


Problemen

Wat hebben we gedaan?

1. Neem één van de feiten:• prepositionele tautologie, of• een instance van een axioma zijn willekeurige formules!

2. Pas één van de afleidingsregels toe.

3. Herhaal het proces tot dat het nodige bewezen is!



Gesloten wereld


Problemen

Een groter voorbeeld

¤( ! ) ! ¤(¤ ! ¤)“Weten = toepassen”

Als ik een regel weet dan weet ik dat als ik een antecedent weet, weet ik ook het gevolg

Hoe kunnen we het bewijzen?

• [K] ¤(!) ! (¤ ! ¤)

• [N] ¤(¤(!) ! (¤ ! ¤))

• [K] ¤(¤(!) ! (¤ ! ¤)) ! (¤¤( !) ! ¤(¤ ! ¤) )

• [MPP] ¤¤( !) ! ¤(¤ ! ¤)

• [4] ¤(!) ! ¤¤(!)

• [MMP] ¤(!) ! ¤(¤ ! ¤).

K: ( ! ) ! ( ! )

T: ! 4: ! 5::!:

Meervoudig Modus Ponens: {1 ! 2, …, n! n, } ` n.Noodzak: `



Gesloten wereld


Problemen

Bewijs

¤( ! :¤) ! ( ! ¤:¤)

Thuisoefening



Gesloten wereld


Problemen

?



Gesloten wereld


Problemen

Logisch programmeren

S5

Basiskennis Feiten en regels Axioma’s en tautologieën

Afleidingsregel Resolutie Meervoudig Modus Ponens, Noodzak

Vervolgvak: 2IF40 Proving with computer assistance



Gesloten wereld


Problemen

Autoepistemisch: voor- en nadelen

Expliciet gebruik maken van kennis over kennis Goed geschikt voor modelleren van

verschillende agenten Ieder agent zijn eigen axioma’s en afleidingsregels Toepassing: verificatie van de

beveiligingsprotocollen

…



Gesloten wereld


Problemen

Huiswerk 6

• ¤p wordt ook gebruikt als “altijd p” of als “het is verplicht dat”– Lees over modale logica’s– Voorbeelden van: temporele, deontische logica’s– Kies een.

• Schrijf een verslag: modale logica’s in het algemeen, voorbeeld van een temporele/deontische logica, axioma’s die ervoor van toepassing zijn.




Gesloten wereld


Problemen

Wat hebben we gezien?

1. Problemen met monotoon redeneren2. Oplossing: redeneren met verstek

waarden3. Vijf aanpakken:

1. Aanname van een gesloten wereld (Closed-world assumption, CWA)

2. Negatie als falen (Negation as failure)3. Circumscriptie4. Logica met verstekwaarden5. Autoepistemische logica



Gesloten wereld


Problemen

Redeneren over kennis: herbekeken

Documents

Transcript of Redeneren over kennis: herbekeken