razafintsalamaFrancoisG ESPA DNR 09

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE

DEPARTEMENT GENIE ELECTRIQUE

/INGENIERIE ET GESTION DE PROJETS

THESE

POUR L’OBTENTION DE

DOCTORAT

CONTRIBUTION A L’ETUDE DE L’IMPACT D’UN JET LIQUIDE BIDIMENSIONNEL SUR UN PLAN.

Soutenu publiquement par : RAZAFINTSALAMA François Guy

Le 07 Novembre 2009 devant la commission d’examen composée de

Président : RAMANATSIZEHENA Pascal, Professeur à l’Ecole Supérieur Polytechnique Antananarivo

Directeur de thèse : RAKOTOVAO José Denis, Professeur à l’Ecole Supérieur Polytechnique Antananarivo

Rapporteur : RATIARISON Adolphe, Professeur à la Faculté des sciences Antananarivo Examinateurs : ANDRIAMORASATA Josoa, Professeur à l’Ecole Supérieur Polytechnique Antananarivo RAVELOSON Elysé, Professeur à l’Ecole Supérieur Polytechnique

Antananarivo

Antananarivo-ESPA

Année 2009

REMERCIEMENTS Nous tenons à témoigner ici notre profonde gratitude et à adresser nos sincères

remerciements à tous ceux qui ont contribué de près ou de loin à la réalisation de cette thèse. Qu’il nous soit permis d’exprimer particulièrement notre reconnaissance :

- A Monsieur RAMANATSIZEHENA Pascal, Professeur et Directeur de l’Ecole Supérieur Polytechnique d’Antananarivo (E.S.P.A) qui nous a fait le grand honneur d’accepter la présidence de jury de cette thèse ;

- A Monsieur RAKOTOVAO José Denis, Professeur à l’Ecole Supérieur Polytechnique d’Antananarivo, de son sincère volontariat pour encadrer ma thèse.

- A Monsieur RATIARISON Adolphe, Professeur à la Faculté des Sciences d’Antananarivo, pour son encouragement discret ainsi qu’accepter d’être membre du jury.

- A Monsieur ANDRIAMORASATA Josoa, Professeur à l’Ecole Supérieur Polytechnique d’Antananarivo d’avoir bien voulu consacrer son temps comme jury.

- A Monsieur RAVELOSON Elysé, Professeur à l’Ecole Supérieur Polytechnique d’Antananarivo, car malgré ses occupations déjà nombreuses, nous fait l’honneur parmi les membres du jury.

- A Monsieur DUMARGUE Paul, Professeur à l’Université de la Rochelle, de sa confiance en me proposant ce sujet de thèse.

- A ma fille Volaharihanta, d’avoir délaisser son précieux temps, jours que de nuits, pour participer à l’édition de cette thèse.

Sommaire

Liste des principaux symboles I

Introduction générale 1

Chapitre 0 : Système de coordonnées

4

1 Choix du système de coordonnées 4

2 Les équations de l’écoulement dans le système de coordonnées

(ϕ,ψ) 7

Chapitre I : Etude du jet incliné en fluide parfait à profil

uniforme à l’infini amont en impact sur une plaque infinie

11

1 Définition de l’écoulement 11

2 Choix du système de coordonnées 13

3 Ecriture adimensionnelle des équations du mouvement

17

Chapitre II : Etude du jet incliné en fluide parfait incliné à profil

uniforme à l’infini amont en impact sur une plaque infinie 22

1 Formulation du problème

22

2 Etude du jet plan irrotationnel d’un fluide parfait en impact incliné

sur une plaque plane

27

Chapitre III : Etude de la couche limite pariétale 36

1 Introduction 36

2 Principe de la modélisation de l’écoulement visqueux par la méthode

des développements asymptotiques raccordés 37

3 Les équations de la couche limite d’ordre 1 et ε 50

4 Résolution des équations de la couche limite d’ordre 1

57

5 Résolution des équations de la couche limite d’ordre ε

63

Chapitre IV : Etude de l’écoulement extérieur 70

1 Introduction 70

2 Les équations de perturbation de l’écoulement extérieur d’ordre ε 71

3 Principe de la méthode de résolution

76

4 Recherche de la transformation [Δ] → [D'] 79

5 Obtention d'approximations uniformes à l'aide de développements

composites – Conclusion 94

Conclusion générale 101

Bibliographie 102

Annexes 104

I

LISTE DES PRINCIPAUX SYMBOLES

Symboles latins Cf Coefficient de frottement Cp Développement composite d’ordre p ds Elément de longueur e(φ) Epaisseur de déplacement liquide Ep Opérateur de développement extérieur d’ordre p F Potentiel complexe Fr

Nombre de FROUDE : Fr=gL

U

o

20

g Gravité h Coefficient de la métrique dans le nouveau système de coordonnées Hp Opérateur de développement intérieur d’ordre p L0 Largeur du jet infini amont →n

Vecteur unitaire normal à la ligne de courant

P Pression motrice pa Pression atmosphérique Re

Nombre de REYNOLDS : ν

00ULRe =

→t

Vecteur unitaire tangente à la ligne de courant

⇒

T Tenseur des contraintes dans la phase liquide

⇒

T a Tenseur des contraintes dans la phase gazeuse (air)

u Composante horizontale du vecteur

→U

Uo Vitesse du jet à l’infini amont U Module de la vitesse →U

Vecteur vitesse

Ue Vitesse au voisinage du point d’arrêt v

Composante verticale du vecteur →U

W Vitesse complexe We

Nombre de WEBER : We=σ

020 LPU

x Abscisse d’un point d’écoulement y Ordonnée d’un point d’écoulement

*1Y Ordonnée d’un point dans la couche limite

Z Point de l’écoulement

II

Lettres grecques

0α Angle d’inclinaison du jet

ε Epaisseur adimensionnelle de la couche limite : ε= 2

1−

eR

γN Courbure moyenne

θ Angle polaire du vecteur →U

ρ Masse volumique

ν Viscosité cinématique

τ Taux de cisaillement

φ Fonction potentiel des vitesses

ψ Fonction de courant

ψ d Ligne de courant à la surface à droite du jet

ψ 0 Ligne de courant passant au point d’arrêt

ψ g Ligne de courant à la surface à gauche du jet

ψ * Potentiel courant dans la couche limite

- 1 -

INTRODUCTION GENERALE

La grande diversité des écoulements à travers les orifices nous amène à tenter de les classer en trois principales catégories

En premier, les écoulements confinés qui regroupent les cas dont le domaine

est intégralement limité par des parois, par exemple les écoulements en conduites En second, les écoulements en jets dont les caractéristiques sont donnés par le

fait que le fluide, à la sortie de l’office, n’est plus limité par une paroi, par exemple le jet libre qui présente une surface avec un autre fluide soit un gaz ou bien un liquide non miscible.

En troisième, les écoulements du type mixte, c'est-à-dire, ceux qui sont

limités à la sortie de l’orifice à la fois par une paroi et une surface libre.

La modélisation de ces deux dernières catégories est particulièrement difficile, en raison principalement d’une frontière libre dont la position est inconnue et parfois mouvante. Celle-ci dépend de nombreux paramètres hydrodynamiques, principalement des nombres de Reynolds et de Froude, ainsi que dans une moindre mesure en général de nombre Weber qui caractérise l’importance de tension superficielle.

Malgré le développement de méthodes numériques, consistant le plus souvent

à approcher la forme exacte de la surface libre par des approximations successives, cette difficulté est loin d’être résolue de façon satisfaisante dans de nombreux cas, à cet égard le choix d’un système de coordonnées adapté à la description de l’écoulement s’avère essentiel ; certains auteurs tels DUDA & WRENTAS (1967) (1) et plus récemment TAKAHASHI (1982) (2) et TSUKIJI (1987) (3) préconisent l’utilisation de système de coordonnées curvilignes lié aux lignes de courant.

Cette option facilite considérablement la formulation des conditions

aux limites sur les frontières déformables aux prix d’une complexité des équations de Navier Stockes.

Les écoulements à surface libre, principalement les jets présentent une autre

caractéristique telle qu’on a de vastes régions à faible gradient de vitesse pour des nombres de Reynolds élevés, nous pouvons ainsi négliger les effets visqueux dans ces régions en première approximation.

Dans l’application, le but de cette étude est entre autre d’améliorer le profil

des pales de turbines hydroélectriques.

- 2 -

Dès lors, on peut construire des modèles approchés basés sur le concept de fluide parfait et dans le cas des écoulements plan incompressibles et irrotationnels de fluide parfait, l’existence d’un potentiel de vitesses permet, en se plaçant dans le cadre de la théorie des fonctions de la variable complexe, d’utiliser des techniques mathématiques de résolution très appropriées, particulièrement la méthode des transformations conformes. Nous devons le développement de cette méthode à de nombreux auteurs tels BIRKHOFF et ZARANTELLO (1957) (4) ou LAURENTIEV et CHABAT (1966) (5).

Malgré l’élaboration de dictionnaires d’applications conformes , il est assez

rare que l’on puisse obtenir des domaines transformés coïncidant exactement avec le domaine physique de l’écoulement sur la totalité du contour ou d’avoir des expressions convenables à la fois de l’application et de son inverse, on doit parfois se satisfaire d’ajustements ponctuels sur certaine parties de la frontière.

Par ailleurs, l’application de certains théorèmes fondamentaux de la théorie

des fonctions de la variable complexe justifie, sous des hypothèses de régularité des contours, l’approximation par des développements asymptotiques de la transformation conforme entre deux domaines voisins.

De tels développements n’ont pas rigoureusement toutes les propriétés

des transformations conformes, mais leur utilisation, à bon escient, ouvre en pratique de large champ d’applications.

Dans le cas des jets à écoulement de type mixte, appelés encore jets de parois,

les modèles en fluides parfaits s’avèrent insuffisants pour décrire à eux seuls, l’écoulement dans sa totalité. En effet, au contact d’une paroi se développe une couche limite à l’intérieur de la laquelle les forces de frottement visqueux doivent être prises en considération. Dans cette région, l’écoulement est décrit en première approximation par les équations de Prandtl et déterminé par les conditions aux limites. Le freinage subi par le fluide près d’une paroi a pour effet d’écarter de celle-ci les lignes de courant, ce qui engendre une perturbation de l’écoulement extérieur.

Il en résulte un couplage entre les régions intérieures et extérieures à la couche limite qui peut être étudié de façon systématique, à différent ordre d’approximations, par la méthode des développements asymptotiques raccordés .

Le travail que nous présentons ici s’inscrit dans ce contexte. Il s’agit

de modéliser l’écoulement à surface libre d’un fluide et cet écoulement est de type jet en impact incliné sur une plaque horizontale.

- 3 -

Le mémoire comporte une introduction décrivant les équations fondamentales dans un système de coordonnées curvilignes lié aux lignes de courant.

On traitera le mémoire en quatre chapitres portant sur l’étude du jet incliné sur

une plaque plane infinie. Dans le premier chapitre, on commence d’abord par définir précisément

la géométrie et les conditions de l’écoulement. On établit par la suite la formulation des équations générales et des conditions aux limites du problème, dans le système de coordonnées curvilignes lié aux lignes de courant.

L’étude se fera sur les jets inclinés à profil uniforme en amont sur une plaque

infinie. Le second chapitre est consacré à l’étude de l’écoulement plan

et irrotationnel d’un fluide parfait issu d’un jet incliné à profil uniforme en amont sur une plaque infinie horizontale. La méthode de résolution fait appel à des techniques de transformations conformes dans le plan complexe.

Le troisième chapitre a pour objet l’étude de la couche limite pariétale.

Après avoir rappelé brièvement le principe de la méthode des développements asymptotiques raccordés, on établit les équations de la couche limite aux deux premiers ordres d’approximation. L’équation de Prandtl est résolue par la méthode de Runge-Kutta.

Le quatrième chapitre traite de la perturbation apportée à l’écoulement

extérieur par son interaction avec la couche limite. On utilise cette fois une technique de transformations conformes couplée avec une méthode de petites perturbations. L’influence du nombre de Reynolds sur les champs de vitesses et de pression extérieure, ainsi que sur la position de la surface libre est mise en évidence au moyen d’expressions explicites. Des solutions sont finalement proposées pour toutes ces grandeurs sous la forme de développements composites donnant des approximations uniformes dans tout le domaine de l’écoulement.

Dans l’application, le but de cette étude est entre autre d’améliorer le profil des

pales des turbines hydro électriques.

- 4 -

C H A P I T R E 0 : SYSTEME DE COORDONNEES

1 -Choix du système de coordonnées. Le choix d’un système est fondamental dans la formulation d’un problème

de mécanique des fluides. Les systèmes les plus utilisés, système cartésien ou polaire, se révèlent souvent mal adaptés lorsque l’écoulement est limité par des parois de formes compliquées ou par des surfaces libres de profils inconnus.

L’utilisation des lignes de courant, comme courbes coordonnées, présente à cet égard des avantages appréciables, comme en témoignent bon nombre d’analyses d’écoulement, notamment les études de couche limite.

Au prix d’une réelle complication apportée aux équations de mouvement, la formulation des conditions aux limite s’en trouve considérablement simplifier.

1.1- Introduction du système de coordonnées curvilignes (φ,ψ) Le plan dans lequel nous étudions l’écoulement est rapporté à deux axes Ox et

Oy rectangulaires et situés respectivement dans le plan en amont du jet et dans le plan de ruissellement du film.

Nous désignons par u et v les composantes du vecteur vitesseU et par U le module de cette vitesse.

L’écoulement étant incompressible et permanent.

divU = 0 (0.1)

Soit yv

xu

∂∂+∂

∂ = 0 (0.2)

La relation (0.2) montre qu’il existe une fonction de courant ψ telle que :

u yψ

∂∂= v =

xψ

∂∂− (0.3)

. de sorte que la forme différentielle dψ = -vdx + udy (0.4) est une différentielle exacte.

- 5 -

Lorsqu’il existe pour l’écoulement un potentiel de vitesses, il est de même de la forme différentielle.

dφ = udx + vdy (0.5) Par analogie, nous introduisons ici une fonction φ telle que dφ = (K/U) (udx + vdy) (0.6)

soit une forme différentielle exacte.

Le terme K intervenant dans le facteur K/U est une fonction inconnue de (x, y). Sa signification géométrique sera précisée ultérieurement.

Les champs de vecteurs

yuxvψgrad +−= (0.7)

y)vx(K/U)(ugrad +=ϕ (0.8) sont orthogonaux. i.e.

0gradψ.grad =ϕ (0.9)

ψ et φ forment donc un système de coordonnées curvilignes orthogonales.

1.2- Relations entre les coordonnées (x,y) et (φ,ψ).

Introduisons l’angle polaire θ du vecteur u, il vient :

u = U cosθ (0.10) v = U sinθ (0.11)

De (0.7) et (0.8), on déduit :

xψ

∂∂ = - U sinθ (0.12)

Ucosθy

ψ =∂∂

(0.13)

Kcosθx

=∂∂ϕ (0.14)

Ksinθy

=∂∂ϕ (0.15)

- 6 -

Nous allons effectuer un changement de variables qui nous fait passer des coordonnées (x,y) aux coordonnées (φ,ψ).

(x ,y) → (φ, ψ) (0.16)

Au niveau des dérivations, les formules de passage obtenues à partir de

(0.12) à (0.15) à s’écrivent :

ϕϕϕ

∂∂+∂

∂−=∂∂

∂∂+∂

∂∂∂=∂

∂ Kcosθψ

Usinθxψx.

ψ

x (0.17)

ϕϕϕ

∂∂+∂

∂=∂∂

∂∂+∂

∂∂∂=∂

∂ Ksinθψ

Ucosθyψy

ψ

y (0.18)

En notant que :

xxgrad =

yygrad =

Il vient, compte tenu de (0.17) et (0.18) :

ϕ∂∂x = (1/K) cosθ (0.19)

ψ∂∂x = - (1/U) sinθ (0.20)

ϕ∂∂y = (1/K) sinθ (0.21)

ψ∂∂y = (1/U) cosθ (0.22)

- 7 -

1-3 Expression de la métrique

En coordonnées cartésiennes (x, y, z), la métrique ou élément de

longueur ds est donnée par : (ds)² = (dx)² + (dy)² + (dz)² (0.23) En coordonnées curvilignes (φ,ψ,z), elle prend la forme : (ds)² = h²ı (dφ)² + h²2 (dψ)² + h²з (dz)² (0.24) On obtient facilement les nouveaux coefficients hı, h2, hз de la métrique

à partir des relations (0.19) à (0.22), il vient : hı = (1/K) h2 = (1/U) hз = 1 (0.25)

Ces résultats donnent une interprétation géométrique simple de la fonction K.

Ils expliquent également la symétrie des rôles joués par K et U dans les relations précédentes.

2. Les équations de l’écoulement dans le système de coordonnées (φ,ψ)

2-1.Les équations de Navier Stokes

Compte tenu des hypothèses faites sur l’écoulement, l’équation vectorielle de

Navier Stokes se réduit à :

Uν∆Pgrad(1/ρ1U).Ugrad( +−= (0.26)

U devant satisfaire en outre l’équation de continuité (0.1) ρ,ν désignent respectivement la masse volumique et la viscosité cinématique.

- 8 -

P représente la pression motrice, qui regroupe la pression et la force de pesanteur.

P = p + ρgy (0.27)

Dans la base )nt,( associée au système de coordonnées (φ,ψ) l’expression de la vitesse est de :

t u.U= (0.28) Puisque ce champ est tangent aux lignes de courant :

- 9 -

Comme 0=∂∂z

et

hı, h2, hз désignant toujours les coefficients de la nouvelle métrique, exprimons

les différents termes de l’équation (0.26) :

a) grad U t).xt(Uh11

ϕ∂∂= + )nxt(

ψU

h21

∂∂ -

ψh1U

h1h21

∂∂ )txn( + )zxz(h3

h1h3Un)xn(

ψh2

h1h2U

ϕ∂∂+∂

∂

Soit, compte tenu (0.25)

gradU = )nxt(ψUU)txt(UK ∂

∂+∂∂

ϕ + )txn(ψK

KU 2

∂∂ - K )nxn(U

ϕ∂∂

(0.29)

D’où :

grad( nψ

K

K

Ut

UK.UU).U

3

∂∂+

∂∂=

ϕ (0.30)

b) Pgrad =1

1h

tPϕ∂

∂ + nψP

h21

∂∂ (0.31)

nψPUtPK ∂

∂+∂∂= ϕ

c) U)rot(rotU)rot(rotUdivgradU∆ −=−=

Or

zV3zψ

(U/K)KUz

ψ

(h1U)

h1h2

1Urot =

∂∂−=

∂∂−= (0.32)

- 10 -

D’où:

n(h3V3)

h1h3

1t

ψ

(h3V3)

h2h3

1U∆

ϕ∂∂+

∂∂−= (0.33)

n)]K

U(

ψ[KUKt)]

K

U(

ψ[KUψ

U∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

ϕ

Finalement on obtient pour les projections l’équation de

Navier-Stokes (0.26)

suivant la tangentet aux lignes de courant

)]KU(

ψ[KUψ

νUρ

PKUKU ∂∂

∂∂+∂

∂−=∂∂

ϕϕ (0.34)

suivant la normale n aux lignes de courant :

)]KU(

ψ[KUνK

ψP(U/

ψK/K)(U3

∂∂

∂∂−∂

∂−=∂∂

ϕ)ρ (0.35)

NB : les équation s Naviers-Stokes ,en coordonnées cartésiennes :

)²

²

²

²(

1

y

u

x

u

x

P

y

uv

x

uu

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂ ν

ρ

)²

²

²

²(

1

y

v

x

v

y

P

y

vv

x

vu

∂∂+

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂ ν

ρ

- 11 -

C H A P I T R E I

Etude du jet incliné en fluide parfait à profil uniforme à l’infini amont en

impact sur une plaque infinie.

Etablissement des équations fondamentales de l’écoulement

Dans ce premier chapitre nous commençons par définir la géométrie et

les caractéristiques hydrodynamiques de l’écoulement que nous nous proposons d’étudier.

Nous établissons ensuite les équations générales et les conditions aux limites du problème

dans le système de coordonnées lié au réseau constitué par les lignes de courant et leur

trajectoire orthogonale.

1. Définition de l’écoulement :

Il s’agit d’un jet bidimensionnel de liquide newtonien en impact incliné sur une plaque

plane. L’écoulement est considéré comme étant laminaire, incompressible, isotherme

et permanent. A l’amont de l’impact,la dynamique du jet libre est supposée connue, en

particulier le champ de vitesses Uο et le profil géométrique de largeur Lο.

- 12 -

1.1 Caractéristiques géométriques.

1.1-a) le profil géométrique amont à une largeur de Lο et une hauteur infinie.

1.1-b) le plan d’impact à une longueur illimitée.

1.2 Caractéristiques hydrodynamiques..

1.2-a) L’écoulement à l’amont est caractérisé par un profil de vitesses uniforme

Uο. Le débit volumique est imposé.

1-2-b) Le régime d’écoulement est laminaire, incompressible et isotherme.

1-2-c) Le fluide est Newtonien.

- 13 -

2. Choix du système de coordonnées

Le choix du système de coordonnées (φ, ψ) est déjà décrit dans l’introduction.

Les équations de l’écoulement dans le système de coordonnées (φ, ψ)

2.1-1 Le domaine d’étude

a) les lignes de courant extrêmes ψο,ψg, et ψd sont constitués respectivement:

voir figure

- du profil ACB ou ACD ou C est le point d’arrêt

- de la trace de surface libre AD

- de la trace de surface libre AB

- La condition de conservation du débit volumique nous donne:

. ψd = UοLο (1 + cosαο)/2

. ψg = - UοLο (1 – cosαο)/2

. ψο = 0

b) la coordonnée φ varie de - ∞ (au point D) à + ∞ (au pont B). On a choisi

la valeur

φ = φο = 0 à la ligne équipotentielle passant par le point d’arrêt C.

Dans le plan (φ, ψ) le domaine d’étude est donc constitué par la bande :

- ∞ < φ < +∞ , ψg ≤ ψ ≤ ψd

- 14 -

2.1-2 Conditions aux limites sur le plan d’impact.

La condition d’adhérence du liquide sur la plaque le vecteur U = 0 se traduit par :

θ = 0 , U = 0, y = 0 pour ψ = 0 (I.1)

2.1-3 Conditions aux limites à l’infini amont

Avant l’impact à grande distance de la plaque, le profil de vitesse est connu

θ = θο =αο , ψg ≤ ψ ≤ ψd Limφ = - ∞

U = Uο et Lim y = +∞ (I.2)

2.1-4 Conditions d’équilibre dynamique sur la surface libre

a) équation de conservation de l’impulsion à l’interface.

Soit T le tenseur des contraintes dans la phase liquide, Ta celui correspondant

à la phase gazeuse (air). La conservation de l’impulsion sur la surface libre se traduit par

l’équation vectorielle.

]TaT[ − n . = σγ n (I.3)

Où σ est la tension superficielle, γ la courbure moyenne de l’interface orientée par

le vecteur normal unité n dirigé vers l’extérieur du domaine.

L’air étant assimilé à un fluide parfait isobare, le tenseur des contraintes Ta

se réduit à : IpaT −=

p désignant la pression atmosphérique et I de tenseur unité.

Quant au liquide, nous supposons qu’il est Newtonien :

D2µIpT +−= (I.4)

- 15 -

Où D est le tenseur des vitesses de déformation défini par :

U)*gradUgrad(21D += (I.5)

Dans le nouveau système de coordonnées, ce tenseur s’écrit, compte tenu

de (0.25)

)txnnxt(ψ

(KU)UK

21)nxntxt(UKD +∂

∂+−∂∂= ϕ (I.6)

La condition (I.3) s’écrit donc, en projection

Pour : ψ = (+ ou -) UοLο [1(+ ou -) cosα]/2 et -∞ ≤ φ ≤ +∞

- suivant la normale n à la surface libre :

p – pa + 2µK ϕ∂∂U + σ nγ = 0 (I.7)

- suivant la tangente t à la surface libre :

µ 0ψ

KUKU =∂

∂ (I.8)

b) Calcul de la courbure moyenne.

La courbure moyenne γn de l’interface est égale, au signe près, à la divergence de

surface du vecteur normal unitaire n.

γn = - divs n (I.9)

- 16 -

Le scalaire divsn représente la trace du tenseur gradient de surface du vecteurn

défini par :

grads 2n1 snxz

snxtn ∂

∂+∂∂=

(I.10)

où s1 et s2 sont les abscisses curvilignes sur les courbes cste de la surface

libre au point considéré φ = cste . et ψ = cste

D’après (0.24) et (0.25)

ϕϕ ∂∂=∂

∂=∂∂ nKn

h1

sn

11

0zn

h1

sn

22=∂

∂=∂∂ (I.11)

puisque n ycosθoxsinθ +−= (I.12)

il vient tθ

)ysinθx(cosθcn

ϕϕ ∂∂−=+−=

∂∂

(I.13)

D’où h gradsn )txt(θϕ∂∂−= (I.14)

et en prenant la trace de ce tenseur :

ϕ∂∂= θKγn (I.15)

- 17 -

3 . Ecriture adimensionnelle des équations du mouvement

Afin d’alléger les équations du mouvement et pour leur donner un caractère universel,

nous les écrivons sous forme adimensionnelle.

Choisissons respectivement comme longueur et vitesse de référence les grandeurs

Lο et Uο, qui caractérisent l’écoulement du jet à l’infini amont.

Introduisons alors les variables adimensionnelles suivantes :

x = (x/Lο) y = (y/Lο) U = ( U/Uο) K = (K/Uο)

P = P/(pUο²) φ = φ/(UοLο) ψ = ψ/(UοLο) (I.16)

D’une façon générale tout symbole désignera par la suite une grandeur sans dimension.

Les équations et les conditions aux limites de l’écoulement s’écrivent alors sous

la forme.

3.1 – Equations de Navier Stokes :

3.1-1 suivant la tangente t aux lignes de courant

)]K

U(ψ

[KUψ

UR

1PK

UKU

c ∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂

ϕϕ (I.17 )

3.1-2 Suivant la normale n aux lignes de courant

)]

K

U(

ψ[KUK

R

1

ψ

PU

ψ

K

K c

3

U∂∂

∂∂−

∂∂−=

∂∂

ϕ (I.18)

- 18 -

On y voit apparaître deux paramètres adimensionnels :

- le nombre de Reynolds : Rc = (Uοlο/V)

(I.19)

- le nombre de Froude : Fr = (Uο²/g lο) (I.20)

Par l’intermédiaire de la relation :

P = p + (1/Fr) y (I.21)

Ces deux nombres caractérisent respectivement le rapport des forces

d’inertie aux forces de viscosité et de gravité.

3.2- Equations complémentaires liant les coordonnées cartésiennes aux coordonnées

curvilignes :

Introduisons la variable complexe

Z = x + i y (I.22)

En combinant les relations (0.19), (0.20), (0.21), (0.22) écrites sous forme

adimensionnelle, on obtient :

eiθ

K1Z=∂

∂ϕ (I.23)

eiθ

U1

ψZ=∂

∂ (I.24)

- 19 -

Ces deux équations déterminent la position du point courant M dans le plan (x, y) en fonction des champs U (φ, ψ), θ (φ, ψ), K (φ, ψ).

En éliminant Z dans (I.23) et (I.24) on obtient deux autres équations

qui complètent (I.17) et (I.18) pour la détermination des champs

U (φ, ψ), θ (φ, ψ), K (φ, ψ) P (φ, ψ)

)

U

1(

ψ

θ.

K

1

ϕ∂∂=

∂∂

(I.25)

)

K

1(

ψ

θ

U

1

∂∂=

∂∂ϕ (I.26)

On vérifie facilement que (I.25) s’identifie à l’équation de

conservation (0.2).

3.3 Conditions aux limites.

3.3 -1 sur le plan d’impact θ = 0, U = 0, y = 0, pour ψ = 0

(I.27) 3.3.-2 A l’infini amont θ = αο, x → - ∞, y→ + ∞, U = Uο, pour φ→ - ∞ (I.28)

- 20 -

3.3 -3 Sur la surface libre pour ψd = (1 + cosαο)/2 et ψg = - (1 – cosαο)/2 ψd = (1 + cosαο)/2 ou ψg = - (1- cosαο)/2 - suivant la normale à l’interface :

0θK

W1UK

R2

PPccα

=∂∂+∂

∂+− ϕϕ (I.29) - suivant la tangente à l’interface :

0(KU)

ψKU

R1

c=∂

∂ (I.30)

La condition (I.29) fait apparaître un troisième paramètre adimensionnel : Le nombre Wc = ρU²οLο/σ (I.31)

Qui caractérise le rapport des formes d’inertie aux forces de tension superficielle

- 21 -

En conclusion avec les équations et les conditions aux limites que nous venons

d’établir nous disposons maintenant d’un ensemble complet de relations entre quatre

fonctions scalaires représentatives de l’écoulement :

Le couple (U,θ) définissant le vecteur vitesse, la pression P et le coefficient K

caractéristique de la nouvelle métrique.

Le choix des coordonnées curvilignes (φ,ψ) comme variables d’espace simplifie

considérablement l’écriture des conditions limites sur la surface libre, ce qui favorise dans

une certaine mesure la résolution du système.

Les quatre fonctions précisées, une fois déterminées, on peut alors passer du plan

(φ,ψ) au plan de l’écoulement (x, y), en résolvant les équations (I.23) et (I.24).

Cette formulation sera mise à profit dans les chapitres suivants pour en déduire

un modèle théorique de l’écoulement dans le cas particulier des grands nombres de

Reynolds, Froude, et Weber.

- 22 -

C H A P I T R E II

ETUDE DU JET EN FLUIDE PARFAIT INCLINE A PROFIL

UNIFORME A L’INFINI AMONT SUR UNE PLAQUE INFINIE

1 – Formulation du Problème

1.1 Introduction : L’étude de l’écoulement que nous avons défini le premier chapitre est d’un abord

difficile en raison, notamment, du fait de l’inclinaison du jet et de la présence au-dessus du

plan d’impact, d’une surface libre de profil inconnu.

Le présent chapitre est consacré à une approche théorique du problème dans le cas

idéal d’un fluide parfait en écoulement irrotationnel.

Pour simplifier, on considérera que la distance en amont de l’écoulement du jet et la

longueur du plan d’impact sont illimitées.

Fig II - 1

- 23 -

La méthode de résolution que nous présentons ici s’inscrit dans le cadre de la théorie

des écoulements plans et irrotationnels des fluides parfaits incompressibles.

Elle fait appel aux propriétés des fonctions holomorphes et des transformations

conformes dans le plan complexe.

Partant des équations générales établies dans le chapitre précédent nous allons montrer

que l’étude de l’écoulement pour un fluide parfait peut en effet se réduire à la recherche

d’une correspondance conforme entre deux domaines du plan complexe.

1.2– Les équations d’EULER

Pour un fluide sans viscosité, les équations (I.17) et (I.18) se réduisent aux équations

d’Euler, obtenues en faisant tendre le nombre de Reynolds vers l’infini :

ϕϕ ∂∂−=∂

∂ PUU (II.1)

ψP

ψK/K)(U

2

∂∂−=∂

∂ (II.2)

1.3– Conditions aux limites

Les conditions aux limites se déduisent des conditions (I.27) à (I.30) en augmentant

indéfiniment le nombre de Froude et Weber c'est-à-dire en éloignant l’écoulement en amont

ainsi que le plan d’impact et en considérant que le fluide est parfait.

1.3- 1 Sur le plan d’impact :

θ = 0 , y = 0 pour ψ = 0 (II.3)

La condition d’adhérence du fluide est remplacée par la condition de glissement.

- 24 -

1.2-1 Sur la surface libre

La condition (I.29) se réduit à :

-∞ ≤ φ ≤ + ∞ et ψο = (1 +cos αο)/2 , ο = - (1-cos αο) /2

P - Pa = 0 (II.4)

1.3-3 A l’infini amont

θ = αο , U = 1 , P = Pο , x = - ∞

y = +∞ , φ = -∞ (II.5)

1.4.- Equations de Bernouilli

L’intégration de l’équation d’Euler (II.1) conduit à la formulation de Bernouilli.

(1/2) U² + P = A (ψ) (II.6)

D’après la condition (II.5) la vitesse et la pression motrice sont constantes dans la

mesure qu’on s’éloigne suffisamment du plan d’impact, donc

A (ψ) = A = Cste (II.7)

Us et Ps désignant la vitesse et la pression motrice sur la surface libre, l’équation (II.6)

devient :

(1/2)(U² - +)Us2 P – Ps = 0 (II.8)

- 25 -

La relation (II.8) permet de déterminer la pression motrice lorsque l’on connaît le

champ des vitesses.

1.5 - Irrotationnalité de l’écoulement. Potentiel des vitesses. Compte tenu de (II.8) l’équation d’Euler (II.2) peut être écrite sous la forme :

- 0)KU(

ψKU =∂

∂ (II.9)

Le premier nombre de (II.9) représente d’après (0.32) l’unique composante du

rotationnel de la vitesse.

L’écoulement est donc irrotationnel : ϕ représente le potentiel des vitesses, défini

par :

yvxu.grad +=ϕ (II.10)

La comparaison de (II.10) et (0.8) montre alors qu’on peut identifier K et U en tout

point de l’écoulement, soit en adimensionnel :

K = U (II.11)

Les équations complémentaires (I.25) et (I.26) deviennent dans ces conditions

0ψθUU =∂

∂+∂∂

ϕ (II.12)

0θUψU =∂

∂−∂∂

ϕ (II.13)

- 26 -

Les relations (II.12) et (II.13) expriment respectivement les conditions

d’incompressibilité et d’irrotationnalité de l’écoulement.

1.6 Potentiel et vitesses complexes.

Compte tenu des relations (I.23) et (I.24) et (II .11) la différentielle totale

dψψZdZdZ ∂

∂+∂∂= ϕϕ

(II.14)

peut-être exprimé sous la forme :

)id/U)(d(dZ eiθ ψϕ+= (II.15)

Introduisons dans la relation (II.15) les grandeurs complexes.

F = φ + ỉψ

(II.16)

W = u – iv = U-iθ (II.17)

appelées respectivement potentiel et vitesse complexes adimensionnels de

l’écoulement.

Il vient :

W = (dZ/dF) -1 (II.18)

On voit donc que la description cinématique de l’écoulement peut être entièrement

déduite de la fonction Z (F).

- 27 -

Cette propriété est en fait caractéristique de tout écoulement plan irrotationnel

d’un fluide parfait incompressible.

La suite de ce chapitre va, dès lors, être consacrée à la recherche d’une expression

de la fonction Z (F).

La méthode va consister à élaborer une transformation conforme définie dans

la bande (∆) :

(- ∞<φ< + ∞, ψg≤ψ≤ψd) du plan complexe F et à valeurs dans le plan

complexe des Z (figure II.2)

Fig II-2

2 – Etude du jet Plan irrotationnel d’un fluide parfait en impact

incliné sur une plaque plane

La transformation permettant de passer du domaine [F] du plan des F au domaine [Z ]

du plan des Z (fig. II 3) peut être décomposée en un produit de trois transformations

conformes :

- 28 -

F G [F] → [ Σ] → [W]

Où [Σ] représente le domaine du plan Σ = µ + iν définie par ν ≥ 0

La troisième transformation entre le plan [W] et le plan [Z] est donnée par

la relation (II-8).

En effet, le domaine [W], c'est-à-dire le demi disque supérieur, représente le champ

des vitesses conjuguées de l’écoulement du jet représenté par le domaine plan [Z]

- 29 -

Fig II -3

- 30 -

On a donc :

dWdW

d

d

dF

WdF

WZ

ΣΣ

== ∫∫11

(II.19)

2.1 La transformation : Σ = F (F) ou F = F 1− (Σ)

2.1-1 Forme générale La transformation de Schwartz-Christoffel fait correspondre, au demi-plan

supérieur [Σ], le domaine polygonal [F] a) La transformation de Schwartz-Christoffel

Considérons un polygone [fig. II.4] dans un plan [w] ayant wı, w2………, wn

sommets d’angles intérieurs α1, α2,…..,αn respectifs. Les images respectives des points w1, w2,……,wn dans le plan [z] seront x1, x2,…..xn sur l’axe des réels [fig.II. 5]

Fig II-4 Fig II-5

- 31 -

Une transformation appliquant le domaine intérieur R du polygone sur le demi-plan ouvert de R’ du plan [z] et la frontière du polygone sur l’axe des réels est donnée par :

(dw/dz) = A (z –x1)

( 1α /п)-1(z-x2) ( 2α /п)-1………(z-xn)

( 1)/ −παn ( I.20) où w = A ∫ (z –x1)

( 1α /п)-1(z-x2) ( 2α /п)-1………(z-xn)

( nα /п)-1 dz + B (II..21) avec A et B des constantes.

On remarque les propriétés suivantes : 1) trois parmi les point x1, x2,……….xn, peuvent être choisi arbitrairement. 2) les constantes A et B déterminant le côté l’orientation et la position

du polygone 3) Il est plus commode de choisir un point xn à l’infini auquel cas le dernier

facteur de (II.20) et (II.21) n’y figure pas. 4) Un polygone infini ouvert peut être considéré comme cas limite de polygone

fermé.

b) Détermination de la fonction : F = F -1 (Σ)

1 ) Posons tout d’abord la fonction notée G -1 appliquant du plan des W sur le plan des Σ définie par :

G )W

1(W

2

1(W)

1+−=

− (II.22)

Voir [fig.II.3]

- 32 -

G -1 (A) = A = µA = - cosα0

G -1 (B) = B = µB = -1

G -1(C) = C = µc = ∞ G -1 (D) = D = µd = 1 (II.23)

Soit F une transformation conforme de [Σ] dans [F] telle que :

A = F -1 (µA) B = F -1(µB) C = F -1 (µ→∞) D = F -1(µD) (II.24) Son expression est donnée par l’intégrale de Schwartz-Christoffel

F-1 (Σ) = A’ ∫(Σ-µA)-1 (Σ-µB)-1 (Σ-µD)-1 dΣ + D’ (II.25) Compte tenu de (II.23).

F-1 (Σ) = A’ ∫ (Σ+ cosαo)-1 (Σ² -1)-1 dΣ + D’ (II.26)

Après décomposition en éléments simples il vient que :

1))(Σcos2(1

1

1))(Σcos2(1

1

)cos(Σ

1

1

1

cosαΣ

1

ααααsinΣ 0000

220 +−

+−+

++

−=−+

(II.27) On voit que :

F-1 (Σ)

)1()1(sin 2

cos1

2

cos1

0

0

200

cos'

+Σ−Σ+−

+Σ−−= ααα

αLog

A +D’ (II.28)

2) Calcul des coefficients A’ et D’ :

On a : O = C = F-1(C) = lim F-1(µ→ + ∞) (II.29)

- 33 -

En effectuant le développement limité d’ordre 1 au voisinage de l’∞ de la

fonction F-1(Σ), on a :

0 = lim F-1(µ→ + ∞) = D’ (II.30)

Pour trouver le coefficient A’ , on constate que le O dans le domaine

[Σ] se transforme dans le domaine [F] en un point sur la ligne de courant

ψg tel que Im F-1(0) = (- 1 + cosαo) /2. Dès lors :

F-1(0) = ]αα

cos[Log

αsin

A'

11)(α

)/2cos(1)/2sco(10α

000

2 +−−− (II.31)

Ce qui implique : A’ = - (sin²αo) / п (II.32)

3 ) La fonction F = F-1(Σ) s’écrit alors :

F -1

(Σ) = (1 / п)Log[(Σ + cosαo) / (Σ – 1)(1-cosαo) / 2(Σ +1)(1+cosαo) / 2] (II.33)

Voir FIG. II.3 PAGE 25

2. 2- La transformation : W = G (Σ) ou Σ = G -1 (W)

On a posé voir (II.22) que G -1 (W)=[ (-1/2) (W + (1/W)]

C’est une transformation conforme appliquant le domaine demi-plan supérieur [Σ] au demi-disque supérieur de rayon 1 du plan des W.

On rappelle que ces demi-disques représentent le champ des vitesses conjuguées du jet.

En effet, on vérifie aisément que ce demi-disque présente bien toutes les

conditions aux limites données précédemment (voir figures II.3).

- 34 -

2. 3- La transformation : Z = Z (W)

Compte tenu des relations (II.18) et (II.19)

Z = ∫ (1/w)( F -1)’(Σ) . (G -1)’(W).dW (II.34)

a) calcul de Z :

Z )]dW1(121)].[

1Σ1)

2cos1

(1Σ

1)2

cos1(

cosΣ1(

π1[

W1

Wαα

α2

00

0

−−+

+−−

−−

+=∫

(II.35) or Σ = -(1/2)(W +(1/W))

]dW1

][2

cos1

2

cos1

12Wcos1[Z

ww

1)(wα

1)(wα

αw2

2

20

20

0

2

−+−

−−

+−=

−+∫ (II.36)

Finalement :

Z-Z0 )]α0sinα0cosW

Arctg(α02sinw21

1α02Wcosw2Logα0cos

W1

W1[Logπ

1 −+

−

+−+

−+=

(II.37)

Avec Z0α0sinα0αcosW

Arctgα02sinπ

1 −−=

- 35 -

b) calcul de x :

x - x0π1= [

21 Log

v2u)(1 2v2u)(1 2

+−++ +

4u²v²v²)²u²(12uv)²vα0(2cos1)²uα02cosv2u2(

Logα0cos21

++−−++−−

+sinvα0sinuα0cos

Arctgα0sinα0sinvα0cosu

Arctgα0 −−−+

−]

avec x0 )α0sinα0cos

Arctg(α0sinπ

2 −−=

b) calcul de y

y- y0 =u1

vArctg

u1

v[Arctgπ

1

−−

+−

+sin)2cos(uv)2(sin

)2cos(uv)2(sinLog

αααα

α00

000 −++

−+−

+cos ]1cos2

2cos2[

0

220

0 +−−−

u

uvvArctg

vu ααα

-cos ]1

2[ 220 vuuvArctg+−α ] avec y0=0 (II.39)

2.4 Cas particulier pour 20πα =

- 36 -

C H A P I T R E III

ETUDE DE LA COUCHE LIMITE PARIETA LE

1 - Introduction :

Dans le chapitre précédent nous avons procédé à une première approche théorique

du problème du jet, dans le cas idéal d’un fluide parfait en écoulement irrationnel. Dans ce modèle, la hauteur du jet et la longueur du plan de ruissellement sont illimitées.

Une approche plus réaliste de l’écoulement, tel qu’il a été défini au début

de notre étude, nécessite la prise en compte d’effets importants dus à la présence de forts gradients de vitesse suivant la direction oy, au voisinage d’une zone du plan d’impact. C’est l’objet du présent chapitre et du suivant.

Dans ce but et afin de pouvoir utiliser comme base de départ les résultats

obtenus dans le cas d’un fluide parfait, nous considérons comme satisfaites les conditions suivantes :

- La hauteur du jet est suffisamment haute pour avoir un profil de vitesse

uniforme en amont.

- Cette vitesse est suffisamment grande et une viscosité du fluide assez faible pour se trouver devant un cas d’écoulement à grand nombre de Reynolds tout en restant compatible avec l’existence d’un régime laminaire lisse.

Dès lors la prise en compte de la viscosité s’effectuera de manière classique, en distinguant deux régions dans l’écoulement.

- Une couche limite pariétale de faible épaisseur, qui se développe de part

et d’autre du point d’arrêt, et que nous appellerons région interne.

- Une région externe constituant le corps de l’écoulement où les effets visqueux sont peu importants.

Le présent chapitre est consacré à l’étude de la couche limite. Le chapitre

suivant traitera de la région externe. Une solution globale sera ensuite proposée pour l’écoulement tout entier.

- 37 -

Compte tenu que le nombre de REYNOLDS est grand devant l’unité, la solution d’Euler constitue une approche satisfaisante de l’écoulement dans le corps du jet.

Elle n’est plus valable par contre, au voisinage du plan d’impact dû

à la viscosité.

L’influence de cette viscosité sur les grandeurs hydrodynamiques de l’écoulement peut être exprimée en fonction des coordonnées (φ, ψ) sous la forme

de développements asymptotiques par rapport à la séquence (εk).

2 - Principe de la modélisation de l’écoulement visqueux par la méthode des développements asymptotiques raccordés.

2-1 Les développements extérieurs.

Introduisons le paramètre de perturbation

Reε α−= α › 0

La valeur de α sera choisie ultérieurement, de sorte que ε soit caractéristique de l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche limite.

Dans l’hypothèse de grand nombre de Reynolds ε est un nombre petit devant l’unité.

Re ›› 1 ε ‹‹ 1

On appelle développements extérieurs d’ordre εn de la solution des équations visqueux.

εε 0(ψ),(U k0

+= ∑=

ϕn

k

kU n) (III-3-a)

- 38 -

)(0),(0

εθε ψϕθ n

k

n

k

k +=∑=

(III-3-b)

)(0),(0

εε ψϕ n

k

n

k

k

KK +=∑=

(III-3-c)

)(0),(0

εε ψϕ n

k

n

k

k

PP +=∑=

(III-3-d)

)(0),(0

εε ψϕ n

k

n

k

n

ZZ +=∑=

(III-3-e)

Les termes ε0=1 représentant la solution des équations de l’écoulement d’un fluide parfait, encore appelées équations d’Euler, que nous avons déterminés dans le chapitre II.

Et la notation 0(εn) signifie que :

0),(

lim0

=∑−

→ ε

ψϕε

εn

Ukk

kUn

(III-4)

La solution approchée (III-3) n’est uniformément valable dans l’intervalle Ψ

appartenant à [½(cos 10−α ) ,½(cos )]1

0+α . En effet, la perturbation au champ

de vitesses d’Euler ),(0

ψϕU par le paramètre ε ne satisfait pas la condition

U(φ,ψ)= 0, imposée sur la paroi. Cette paroi est dite singulière pour φ=0

- 39 -

2-2. Les développements asymptotiques intérieurs.

La recherche d’une représentation asymptotique de la solution dans la couche

limite par rapport à la même séquence (ε k), nécessite un changement d’échelle sur

la coordonnée ψ .En effet, dans cette région, les valeurs prises par ψ sont d’ordre ε.

Introduisons donc la nouvelle variable :

ψ*= εψ

(III-5)

de sorte que ψ* est d’ordre unité dans la couche limite .

On appelle alors les développements intérieurs de la solution des équations

générales, pour la séquence (ε k), les développements asymptotiques suivants :

U*= ψϕε ,(0 *∑n

K

k

U *) +0(ε n) (III-6-a)

)(0*),(*0

* εθε ψϕθ nn

k

k +=∑ (III-6-b)

K*= )(0*),(*0

εε ψϕ n

K

nk

K +∑ (III-6-c)

P*= *),(.0

* ψϕε∑n

K

k p +0( )ε n (III-6-d)

Z*=∑n

K

k

Z0

*.ε )(0*),( εψϕ n+ (III-6-e)

- 40 -

2.3 Règle de raccordement asymptotique

Les développements extérieurs (III-3) et intérieurs (III-6) ne sont pas valables dans la même région de l’écoulement, aucun d’eux ne pouvant représenter à lui seul

la solution dans tout l’intervalle ψє [½(cos ]1cos2

1),1

00+− αα

La solution de l’écoulement, respectivement à l’extérieur et à l’intérieur

de la couche limite, est représentée par deux développements asymptotiques au voisinage ε = 0 exprimés en fonction de (φ,ψ*)

Pour des raisons évidentes de continuité, ces deux développements doivent

se raccorder à la frontière de la couche limite, c'est-à-dire y être identifiés terme à terme.

Dès lors, définissons les développements extérieurs sur la frontière de la couche

limite, c'est-à-dire au voisinage du plan d’impact Ψ = 0, ce qui requiert la connaissance du comportement de la solution d’Euler en fonction des variables (φ, ψ*) au voisinage de ε = 0 pour ψ* fixé.

2-3-1 Développements extérieurs au voisinage du point d’arrêt.

Cependant, comme on veut diriger notre étude dans un voisinage proche du

point d'arrêt on pourra donc considérer que : Si F= φ +iψ la vitesse complexe conjuguée W(F) est petite

Dès lors, d’après (II.33) et comme Σ = - ½ ( W

W1+ ) et

)1)1 00cos1cos1

0

2

((

1cos2

WwWe

F

−+ +−

+−= αα

απ (III.7.a)

Alors πF = 2 )(038 33

00

22

0

2

sinsin wWW COS ++ ααα (III.7.b)

- 41 -

On pourra alors définir la fonction W(F) par le développement inverse du précèdent.

Pour cela, considérons ekArgFi

IFIF)(

.π+=

On gardera en notation eiArgF

IFIF = (III.7.c)

On trouve les deux valeurs de W(F) correspondant chacune à l'écoulement à

droite et à gauche de l'axe confondu à la fonction courant 0=ψ

)(sin

cos

3

2

sin2

2)(

02

0

0

FOFFFw +−−= παα

απ

(III.8-a)

et )(sin

cos

3

2

sin2

2)(

02

0

0

FOFFFw +−= παα

απ

(III

8-b)

Paragraphe (III-8-c) :

On note que si on applique les changements de variables suivants :

00 0 απα −→

)()( 0 FwFw −→ (III-8-c)

L'équation (III-7-b) est invariant c'est à dire qu'on retrouve à partir de la valeur

de l'une, celle de l'autre en appliquant (III-8-c).

En effectuant le développement de Uc au voisinage de c=o, il vient que :

Uc = +−− ϕααπϕ

απ

02

0

0 sin

cos

3sin2

2 0( )2ε (III-9-a)

- 42 -

De même, sachant que 2222*ψεϕ +=F

Et que Arg F= Arc tg ϕ

ψε *

Il s'ensuit que :

)(0*

sin

cos

3

21

sin

cos

3

221

2

1 3

0

0

0

0

εϕ

ψ

ϕααπ

ϕααπ

εθ +

+

+−=c (III-9-b)

Pc = )(0)1(2

1 22 ερ +−+ Ca U (III-9-c)

Kc = )(0 2ε+cU (III-9-d)

Xc = ( ) )(0sin2

1sin

cos

3

2

sin2

2sin

4 2

02

02

0

00

2 εϕα

πααπ

αϕπ

απ

+

+−+ (III-9-e)

Yc = )(0*

sin

cos

3

2

sin2

2sin

4. 2

02

0

00

2 εϕ

ψϕααπ

αϕπ

απ

ε +

− (III-9-f)

Zc = χ c + iγc

- 43 -

Les développements extérieurs s'écrivent donc :

Uc = Uo ( )ϕ + O ( )2ε (III-10-a)

)(0*),( 31 εψϕθεθ +=c (III-10-b)

Pc = Po( )(0) 2εϕ + (III-10-c)

Kc = Ko ( )ϕ + 0( )2ε (III-10-d)

Xc = Xo ( )(0) 2εϕ + (III-10-e)

Yc = )(0*),( 2εψϕε +Yo (III-10-f)

Zc = xc + iYc (III-10-g)

2-3-2 Règle de raccordement asymptotique de M.D Van Dyke

Afin de déterminer complètement les développements extérieurs et intérieurs,

il faut remplacer les données manquantes, en exploitant le fait que les deux

développements relatifs à une même fonction doivent être raccordés, c'est à dire relié

d'une certaine manière l'un à l'autre.

Le procédé de raccordement peut prendre des formes variées, pour être

cependant utilisable, il doit permettre de déterminer de proche en proche les termes

de chaque développement à des ordres d'approximation nε de plus en plus élevés.

Nous utiliserons ici la règle de raccordement asymptotique de M.D Van Dyke [ ]5

- 44 -

Enoncé et formulation de la règle de raccordement de M.D. Van Dyke :

Soit F une fonction représentant une grandeur physique de l'écoulement

(par exemple, la vitesse u ou la pression p), solution du système d'équations

générales et deux entiers p et q tels que :

0 ≤ p ≤ n , 0 ≤ q ≤ n

La règle de Van Dyke peut s'énoncer ainsi :

"le développement intérieur de qε du développement extérieur

d'ordre pε de F est égal au développement extérieur d'ordre pε de son

développement intérieur d'ordre qε "

Avec les notations de L.E. Fraenkel, cette règle s'écrit sous la forme générale :

Hq (Ep F) = Ep (Hq F) (III-11)

Ep désigne l'opérateur qui associe à F, son développement extérieur d'ordre pε

exprimé en fonction des variables extérieures ( *),ψϕ

HqF = (k

q

k

k F∑=

ε ),ψϕ (III-12)

- 45 -

Hq désigne l'opérateur qui associe à F son développement intérieur d'ordre qε

exprimé en fonction des variables intérieures ( *),ψϕ

HqF = *k

q

ok

k F∑=

ε ( *),ψϕ (III-13)

Hq(EpF) représente alors le développement intérieur d'ordre qε de la fonction

Ep(F) = ∑=

p

okk

k Fε ( *), ψεϕ (III-14)

Et Ep(HqF) le développement extérieur d'ordre pε de la fonction

Hq F = ),(*

εψϕε∑

=

q

okk

k F (III-15)

La relation (III-11) exprime la commutativité des opérations Ep et Hq.

2.3.3- Autres écritures particulières de la règle de M.D Van Dyke

a) Pour p = q = 0

Dans ce cas, la règle (III-11) prend une forme particulièrement remarquable

par sa simplicité.

En effet :

FoEoF = ( *,(), ψεϕψϕ Fo= ) (III-16)

εψϕψϕ ,(**),(* FoFoHoF == ) (III-17)

- 46 -

et par conséquent :

=HoEoF lim )),((lim*),( ψϕεψϕ FoFo = (III-18)

0→ε 0* →ψ

pour )(* xcfψ

*,(*lim),(*lim ψϕεψϕ FoFoEoHoF == ) (III-19)

0→ε ∞→*ψ

pour ψ fixé

d'où d'après (III-11)

)0,(),(lim*),(*lim ϕψϕψϕ FoFoFo == (III-20)

∞→*ψ 0→ψ

On reconnaît, sous la forme (III-20), la condition de raccordement usuelle

entre la solution des équations d'Euler et la solution des équations de Prandtl

- 47 -

b) Pour p = q = 1

On peut également donner, dans ce cas, une autre forme de la règle (III-11)

facile à utiliser :

),(),( 101 ψϕεψϕ FFFE +=

= *),(*),( 10 εψϕεεψϕ FF + (III-21)

*),(**),(* 101 ψϕεψϕ FFFH +=

= ),(*),(* 10 εψϕε

εψϕ FF + (III-22)

En supposant que 10 FetF admettant au voisinage de 0=ψ des

développements de Taylor respectivement d'ordre 1 et d'ordre ε

on peut écrire

E

+

∂∂

+= ,0)(F,0)(ψ

F*ψε,0)(FFH 1

0011 ϕϕϕ (III-23)

En supposant par ailleurs que *1F admet au voisinage de →*ψ +∞

un développement de la forme

)1(0)(**),(* 11 += ϕψψϕ KF (III-24)

On obtient

[ ])1(0)(**),(*limF 1011++= ϕψεψϕ KFHE (III-25)

- 48 -

L'application de (III-11) conduit alors compte tenu de (III-20) à la condition

)0,()0,(*)1(0)(* 10

1 ϕϕψ

ψϕψ FF

K +∂∂

=+ (III-26)

soit en passant à la limite :

)0,()0,(**),(*lim 10

1 ϕϕψ

ψψϕ FF

F =

∂∂

− (III-27)

2-4 Les développements composites

2-4-1 Forme générale

Dès lors que pour une fonction donnée les développements extérieurs (III-3)

et intérieurs (III-6) sont raccordés, on se pose le problème de savoir pour ϕ fixé,

pour quelle valeur de ψ doit on passer d'un développement à l'autre afin d'obtenir une

solution uniforme dans la meilleure approximation, dans tout le domaine

de l'écoulement. La réponse n'est pas simple ni unique. Compte tenu de l'existence

d'une zone commune de validité des deux développements, nous utiliserons ici

la méthode de composition additive proposée par Kaplan et P.A Lagerstrom et M.D

Van Dyke. Son principe est simple il consiste à faire la somme du développement

et du développement intérieur au même ordre ε P et à soustraire la part qu'ils on en

commun, de façon à ne pas la compter deux fois. La partie commune peut être

calculée comme le développement extérieur d'ordre ε P du développement intérieur

de même ordre ou inversement.

- 49 -

On obtient le résultat dit développement composite de la fonction F noté Cp F

comme résultat de l'opération

Cp F = (Ep + Hp - EpHp) F

= (Ep + Hp - HpEp) F (III-28)

La règle de raccordement asymptotique (III-11) implique que le développement

composite reproduit des développements extérieur et intérieur dans leur région

respective.

En effet :

Ep(Cp F) = Ep(Ep F) + Ep(Hp F) - Ep(Ep hp F) (III-29)

Or Ep(Ep F) = Ep F et Ep(Ep Hp F) = Ep Hp F (III-30)

D'où Ep (Cp F) = Ep F et de même Hp Cp F = Hp F (III-31)

De (III-31) on vérifie aisément que l'erreur entre F et Cp F est d'ordre ε P dans

les deux régions externe et interne. Cp F constitue donc une approximation uniforme

d'ordre ε P dans tout l'écoulement.

F = Cp f + O (ε P ) (III-32)

- 50 -

2-4-2- Expressions particulières d'ordre 1 et ε

a) à l'ordre 1

Co F = ( Eo + Ho - HoEo)F (III-33)

Soit Co F = Fo (ϕ, ψ) + Fo*(ϕ, ψ) - Fo (ϕ, 0) (III-34)

D'après (III-16), (III-17) et (III-20).

b) à l'ordre ε C1 F = (E1 FH1 - E1 H1)F =(E1+H1 - H1E1)F (III-35)

Soit d'après (III-21), (III-22) et (III-23).

C1 F = Co F + ε

∂∂

−−+ )0,(*0,(*),(*),( 0111 ϕ

ψψϕψϕψϕ F

FFF (III-36)

3-Les équations de la couche limite d'ordre 1 et εεεε.

L'étude de la couche limite pariétale consiste à déterminer les coefficients des

développements intérieurs de la solution des équations générales.

D'après le principe de moindre dégénérance, les coefficients de ε k dans les

développements intérieurs sont solution d'un système d'équations dégénérées appelé

dégénérescence intérieure à l'ordre ε k du système d'équations générales.

- 51 -

On obtient ce système :

- en effet le changement d'échelle défini par (III-5) dans les équations générales

dans les équation (I-17) à (I-26) et les conditions aux limites

- en y portant ensuite les développements intérieures (III-6) et en ne conservant

que les termes ε k en ordre.

Nous présentons ici les deux premières dégénérescences intérieures des

équations générales appelées également équations de la couche limite à l'ordre 1 et

à l'ordre ε ou encore équations de Prandtl pour l'ordre 1.

3.1. Les équations de la couche limite à l'ordre 1

3.1.1. Les équations de conservation de la quantité de mouvement.

Elles sont extraites des équations de Navier Stokes (I-17) et (I-18)

a) Suivant la tangente aux lignes de courant

Uo*ϕ∂

∂ *Uo

∂∂

∂∂+

∂∂−=

−)

*

*(

***

**

** 21

O

OOO

O K

UUK

K

UoPo

ψψε

ϕα (III-37)

Le nécessaire équilibre entre les termes d'inertie de viscosité et de pression

impose de prendre=α ½ dans la définition du paramètre de perturbation :

21−= eRε (III-38)

- 52 -

l'équation (III-37) s'écrit donc

U *0 ϕ∂

∂ *0U

∂∂

∂∂+

∂∂

−= )(*0

*0

**0

*0**

0

*0

*0

K

UUK

K

UP

ψψϕ (III-39)

b) Suivant la normale aux lignes de courant

*

*0

*

*0

*0

2*0

ψψ ∂∂

−=∂∂ PK

K

U (III-40)

3-1-2. Les équations complémentaires

Elles résultent des équations complémentaires générales (I-23) à (I-26)

a) Equations définissant *0θ et *0K

0*

*0 =

∂∂ψθ

(III-41-a)

0*

*0 =

∂∂ψK

- 53 -

b) Equations définissant *0Z

*0

*0

*0

K

eZ iθ

ϕ=

∂∂

(III-41-b)

0*

*0 =

∂∂ψZ

3-1-3. Les conditions aux limites

a) Condition d'adhérence pariétale

La vitesse doit s'annules sur le plan d'impact

0)0,(*0 =ϕU (III-42-a)

b) Conditions de raccordement avec les développements extérieurs

L'application de la règle de raccordement (III-20) se traduit par les conditions

lim )0,(),( 0**

0 ϕψϕ UU = (III-42-b)

∞→*ψ

lim )0,(),( 0**

0 ϕθψϕθ = (III-42-c)

∞→*ψ

- 54 -

lim )0,()0,(),( 0*0

**0 ϕϕψϕ UKK == (III-42-d)

∞→*ψ

lim )0,(),( 0**

0 ϕψϕ PP = (III-42-e)

∞→*ψ

lim )0,(),( 0**

0 ϕψϕ ZZ = (III-42-f)

∞→*ψ

3-2 - Les équations de la couche limite d'ordre ε

3-2-1- Les équations de conservation de la quantité de mouvement

Elles sont extraites des équations générales (I-16) et (I-17)

a) Suivant la tangente aux lignes de courant

( )

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−

∂∂

+∂∂−=

∂∂+

∂∂

+

2

*

*0

2*

*0

2*0

*1

*

*1

*

*0

2*

*1

2*0

*0*

*1

*

*0

2*

*1

2*0*

0

2*0

*0*

1

*1*

0

*1*

0*0

*0*

0*1

*1

*0

2

2.2

ϕψ

ψψψψψψ

ϕϕϕϕ

UUUU

UUUUU

KUKU

K

U

PK

PK

UUK

UUKUK

(III-43)

- 55 -

b) Suivant la normale aux lignes de courant.

*

*1

*

*1

*0

2*0

ψψ ∂∂

−=∂∂ PK

K

U (III-44)

3.2.2. Les équations complémentaires

Elles résultent des équations (I-23) à (I-26)

a) Equations définissant *1θ et *1K

ϕψθ

∂∂

−=∂∂ *

02*

0*

*1

*0

11 U

UK (III-45)

ϕθ

ψ ∂∂

−=∂∂ *

02*

0*

*1

2*0

11

U

K

K (III-46)

b) Equations définissant *1Z

=∂∂

ϕ

*1Z

-

− *

1*0

*1

*0

*0

θθ

iK

K

K

ei

(III-47)

=∂∂

*

*1

ϕZ

i*

*0

U

eiθ

(III-48)

- 56 -

3-2-3 Les conditions aux limites

a) Conditions sur le plan d’impact

0)0,(*

1 =ϕU 0)0,(*1 =ϕθ 0)0,(*

1 =ϕZ (III-49) b) Conditions de raccordement avec les développements extérieurs

D'après la règle de raccordement (III-27)

lim )0,()0,(),( 10***

1 ϕϕψ

ψψϕ UU

U =

∂∂

− (III-50-a)

∞→*ψ

lim )0,()0,(),( 10***

1 ϕϕψ

ψψϕ PP

P =

∂∂

− (III-50-b)

∞→*ψ

- 57 -

4-RESOLUTION DES EQUATIONS DE LA COUCHE

LIMITE D'ORDRE 1

4-1 Détermination de *0

*0

*0

*0 ,,, ZetKPθ

D'après (III-41), les termes *0

*0

*0

*0 ,,, ZetKPθ ne sont fonctions que de la

variable φ.

Compte tenu des conditions de raccordement (III-42) on en déduit la solution

triviale :

*0θ )0,(0 ϕθ= (III-51-a)

*0K )0,(0 ϕU= (III-51-b)

*

0P )0,(0 ϕP= (III-51-c)

*0Z )0,(0 ϕZ= (III-51-d)

Ainsi, à l'exception de *0U qui reste à déterminer les autres termes d'ordre 1

dans les développements intérieurs s'identifient avec les valeurs sur le plan d'impact

de leurs homologues dans les développements extérieurs.

- 58 -

4-2 Détermination de *0U

Compte tenu des résultats (III-51) l'équation (III-39) devient

∂∂

∂∂+

∂∂

=∂

∂*

*0*

0*0

*00

0

*0*

0 )0,()0,(

ψψϕϕ

ϕϕU

UU

UUU

UU (III-52)

Pour alléger notre écriture, notons désormais

)0,(0 ϕUUC = (III-53)

L'équation (III-52) se formule :

∂∂

∂∂+

∂∂

=∂

∂*

*0*

0*

*0

*0*

0 ψψϕϕU

UU

UUU

UU

C

CC (III-54)

On peut encore exprimer plus simplement ce système en faisant le changement

de variables.

( ) ( )*1

* ,, YUC→ψϕ (III-55)

où *1

*1

*1 iYxZ +=

- 59 -

La fonction *1Y est considérée maintenant comme variable d'espace. Elle

représente la cordonnée Y rapportée à la longueur Sdl 0Lε= caractéristique de

l'épaisseur de la couche limite.

En effet la règle de raccordement asymptotique (III-27) appliquée à la fonction

*Z s'écrit :

lim )0,()0,(),( 10***

1 ϕϕψ

ψψϕ ZZ

Z =

∂∂

− (III-56)

∞→*ψ

d'après (III-10) et (III-48)

lim SdlZYY === )0,()0,( 11*

1 ϕϕ (III-57)

∞→*ψ

Autrement dit *1Y rapportée la longueur )0,(1 ϕY nous donne les conditions aux

limites suivantes

Pour Y 0,0 *0

*1 == U (III-58)

Pour CUUY →+∞→ *0

*1 ,

- 60 -

Le module de )0,(1 ϕZ représente au facteur ε près, l'épaisseur de déplacement

de la paroi.

D'après (III-7-a) en calculant la dérivée ϕ∂

∂ 2CU

0

2

2

sin4.

2

1

απ

ϕϕ=

∂∂

∂∂

=∂∂

C

CC U

UU [ ]

CCCC U

UUU∂

∂−+− 4300 cos2cos21 αα

(III-59)

d'après (III-48)

*

1*

1*

*1*

** .

YY

YUU

∂∂=

∂∂

∂∂

=∂

∂ψψ

(III-60)

Les équations (III-52) et (III-54) peuvent donc s'écrire sous la forme :

En négligeant les termes d'ordre ε

[ ]2*

1

*0

2*0*

043

000

2cos2cos21

sin4 Y

UU

U

UUUUU C

CCCC ∂

∂=

−

∂∂

−+− ααα

π (III-61)

- 61 -

4-3 Recherche d'une solution asymptotique des équations de la couche limite d'ordre 1 au voisinage du point d'arrêt.

4-3-1 Forme de la vitesse

Au voisinage du point d'arrêt, la vitesse Uc est faible devant l'unité. On peut

chercher une solution asymptotique de l'équation (III-61) sous la forme d'un

développement limité du type :

)(0)( *10

*0 CC UUYFU += (III-62)

4-3-2 Solution de *0U

Reportons le développement (III-62) dans l'équation (III-61), ainsi que les

conditions aux limites (III-58). En ne conservant que les termes principaux en CU

nous aboutissons à l'équation différentielle.

0(1)(sin4 *

12

0*

1"

00

2

=−+ YFYFπ

α

avec 0)0(0 =F et limite 1)( *10 =YF (III-63)

+∞→*1Y

Rappelons que Z*=X*+iY* définisse l’affixe de à l’intérieur de la couche limite

- 62 -

Comme 02sin α étant un nombre strictement positif, posons

0

2

*1*

1 sin αY

Y = (III-64)

L'équation différentielle (III-63) avec ses conditions aux limites devient :

0)(1)(

4 *1

*0

*1

"0 =−+ YFYF

π

avec 0)0(0 =F et lim Fо(Y1α0*)=1 (III-65)

∞→*1Y

cette équation admet la solution exacte

2

)3

21()

3

21(

)3

21()

3

21(

3)(

2

2

2

*10

*1

1

−

−++

−−+=

Y

Y

e

eYF

π

π

(III-66)

soit encore

2

(3)( 2*10

πthYF = 2)*

1 −+ kY

(III-67)

en posant 3

2Argthk =

- 63 -

Le graphe de 0F est représenté en figure C0 ci-dessous

Au voisinage de 0*1 =Y , cette fonction admet le développement asymptotique

)(03

2*1

*10 YYF += π

5 - RESOLUTION DES EQUATIONS DE LA COUCHE LIMITE D'ORDRE εεεε

5-1 Détermination de *1

*1

*1

*1 ,,, PKZθ

5-1-1 Expression de *1θ

De l'équation complémentaire (III-45) et en appliquant les changements de

variables (III-59) et (III-60) on lire donc l'équation définissant *1θ

[ ]C

CCC U

YUUU

Y

*143

000

2*1

*1 cos2cos21

sin4−+−−=

∂∂ αα

απθ

(III-73)

- 64 -

5-1-2 Expression de *1

*1 KetZ

D'après (III-48) et (III-60) et comme 0)0,(0*0 == ϕθθ

on trouve donc *1

*1 iYZ = (III-74)

D'après (III-47), et (III-59) et (III-74) on trouve aussi que

0*1 =K (III-75)

N.B : On peut aussi tirer le résultat de *1K en appliquant la règle de raccordement

(III-27) et (III-46).

5-1-3 Expressions de *1P

La composante normale de l'équation de conservation de la quantité de

mouvement (III-44) devient

*

*1

*0

*0

ψ∂∂K

K

U=

*

*1

ψ∂∂

−P

(III-76)

Compte tenu de (III-75), la fonction *1P ne dépend pas de*ψ , en appliquant

donc la règle de raccordement (III-27) pour la grandeur *1P on trouve immédiatement

la solution triviale :

- 65 -

0)0,(),( 1*

1 == ϕψϕ PP (III-77)

5-2 Détermination de *1U

Pour cela, pour des raisons de commodité de calcul on passera au calcul de

*1

*1 UU ε=

L'équation de conservation de la quantité de mouvement suivant la tangente aux lignes

de courant s'écrira simplement dans les nouvelles cordonnées (III-59)

et (III-60)

[ ]2*

1

*1

*0

2*1

*0*

1*0

4300

02

)()()(cos2cos21

sin4 Y

UUU

U

UUUUUUU C

CCCC ∂

+∂=

−

∂+∂

+−+− ααα

π

(III-79)

Posons ∑−

+=4

1

1*1

k

kCkUFU (III-80)

La détermination de *1U revient donc à déterminer chacune des fonctions Fk.

Pour cela, en introduisant (III-80) dans l'équation (III-79) on aboutit, en ne

conservant que les termes principaux en PCU en identifiant termes à termes, au

système d'équations différentielles suivants :

- 66 -

a) 01sin4 2

0"

00

2

=−+ FFπ

α (III-81)

qui n'est autre que l'équation qui donne la solution à l'ordre 1 c'est à dire *0U

On se ramène donc de (III-63) à (III-68) [référence]

b) 0)1(cos23sin4 2

0010"

10

2

=−+− FFFF απ

α

c) 02cos64sin4 2

110020"

20

2

=−+− FFFFFF απ

α

d) [ ] 05124cos25sin4

212

02

120030"

30

2

=−−+++− FFFFFFFFF απ

α

e)

036

cos10cos10cos616sin4

2231

2103001002

040"

40

2

=−−

++−−+−

FFF

FFFFFFFFFF αααπ

α

On remarque que les équations a), b), c), d) sont linéaires.

- En introduisant le changement de variable (III-64)

- Du fait de la linéarité, en décomposant judicieusement

- En tenant des conditions aux limites sur le plan d'impact et en appliquant la

règle de raccordement (III-50-a)

- 67 -

On pourra donner les expressions plus simples du système d'équations

différentielles avec ses conditions aux limites.

a) 014 2

0"

0 =−+ FFπ

(III-82)

avec 1)(lim0)0( *100 == YFetF

∞→*1Y

b) 0)1(2)3(4 2

0110"

11 =−+− FFFFπ

pour 0111 cosαFF =

avec 0)(lim0)0( *11111 == YFetF

∞→*1Y

c) 0)26()4(4 2

11110210"

21 =−+− FFFFFFπ

pour 0212 cosα−= FF

avec 0)(lim0)0( *12121 == YFetF

∞→*1Y

d1) 0)1(2)5(4 2

0310"

31 =−+− FFFFπ

avec 0)(lim)0( *13131 =YFetF

∞→*1Y

d2) [ ] 0548)5(4

21112

11210320"

32 =−++− FFFFFFFFπ

avec etF )0(32 0)(lim *132 =YF

∞→*1Y

pour 03

320313 coscos αα FFF +=

- 68 -

e1) 01)6(4 2

0400"

40 =−+− FFFFπ

avec etF )0(40 0)(lim *140 =YF

*1Y →∞

e2) [ ] 06106)6(4

3111310110410"

41 =−++− FFFFFFFFFπ

avec etF )0("41 0)(lim *

141 =YF

*1Y →∞

c3) [ ] 0610103)6(4

321132021112

21420"

42 =−++−+− FFFFFFFFFFπ

avec etF )0("42 0)(2lim *

1 =YF s

*1Y →∞

pour 4204

4102

404 coscos FFFF αα ++=

Nous avons résolu les équations du système (III-82) par la méthode de

RUNGE-KUTTA d'ordre 4 avec un pas qui est le même pour toutes les équations

ainsi que la même valeur finale pour*1Y .

On donnera ses courbes représentatives ci-dessous on joindra la

programmation en Fortran à l’annexe.

- 69 -

Rappelons que la solution de la couche limite est égale à :

∑=

=4

*1 )(

okek UYFU

On peut voir donc l’affinement de la géométrie de la couche limite à travers

les graphes solutions )( *1YFk .

N.B : la dérivée de U : les courbes en vert nous fait percevoir l’allure des

perturbations des lignes de courant extérieurs à la couche limite. Cependant, ce n’est

pas l’objectif de ces travaux, pour la justifier.

Nous sommes donc amener à définir les développements extérieurs à la

couche, les perturbations doivent être d’ordre de l’épaisseur de la couche limite, de

façon à ce que la Méthode de Raccordement de M. D. VAN DYKE soit justifiée.

Cependant, l’étude de l’écoulement ne reste pas seulement dans le domaine de la

couche limite.

Les développements composites nous donnent des solutions uniformes sur tout le

domaine de l’écoulement.

- 70 -

C H A P I T R E I V

ETUDE DE L'ECOULEMENT EXTERIEUR

1-Introduction

Lorsque le nombre de Reynolds de l'écoulement est grand devant l'unité,

les effets visqueux à l'extérieur de la couche limite sont peu importants. Dans les

équations de Navier Stokes, les termes de viscosité, qui sont d'ordre 12 −= Reε ,

peuvent être négligés, ce qui permet d'assimiler l'écoulement extérieur à celui d'un

fluide parfait.

En utilisant la méthode des développements asymptotiques raccordés, nous

allons montrer, cependant, que la perturbation apportée par la couche limite

à l'écoulement extérieur est d’ordreε . Ceci est une conséquence du freinage exercé

par la paroi du plan d'impact sur le fluide qui tend à écarter de celle-ci les lignes de

courant. Nous montrerons que tout se passe alors comme si l'écoulement non

visqueux s'effectuait autour d'un profil fictif enrobant la paroi du plan sur une

certaine épaisseur.

Le contour du domaine de l'écoulement d'Euler subit donc, par rapport au cas

d'un fluide parfait, une légère modification de forme, en particulier la surface libre.

Le problème de perturbation qui en résulte sera traité au moyen d'une méthode

de transformation conforme associé à une technique de faibles perturbations.

- 71 -

2-Les équations de perturbation de l'écoulement

extérieur d'ordre ε.

2-1- Les équations de conservation de la quantité de mouvement.

Elles sont issues des équations générales (I-17) et (I-18)

On obtient ainsi :

2-1-1 Suivant la tangente aux lignes de courant :

ϕϕϕ ∂

∂−=

∂∂

+∂

∂ 110

01

PUU

UU (IV-1)

2-1-2 Suivant la normale aux lignes de courant

[ ]ψψψ ∂

∂−=

∂∂

−+∂∂ 10

101020

01

0

20 2

PKKUUK

K

UK

K

U (IV-2)

2-1-3 Equation de Bernouilli. Irrotationalité.

Les deux équations (IV-1) (IV-2) sont dépourvues de termes de viscosité.

Ceux-ci n'apparaissent en effet qu'à l'ordre .2ε L'écoulement extérieur, à l'ordre

d’approximationε , doit être considéré comme parfait.

- 72 -

L'équation (IV-1) s'intègre sous la forme :

)(101 ψAUUP +−= (IV-3)

Les conditions imposées à l'infini amont doivent rester inchangés et d'après la

condition (I-2) la vitesse et pression motrice sont constantes à l'infini amont du jet

D'où

0)(0,0 11 ==== csteAetUP ψ (IV-4)

On a donc en tout point

101 UUP −= (IV-5)

En portant l'expression (IV-5) dans l'équation (IV-2) on obtient :

00

11 =

−∂∂

U

UK

ψ (IV-6)

Le premier membre de (IV-7) représente d'après (O-32) l'expression perturbée

de l'unique composante du rotationnel de la vitesse. A l'ordre ε d'approximation,

l'écoulement extérieur est donc irrotationnel et l'on peut alors identifier 11 UetK

en tout point

11 UK = (IV-7)

- 73 -

2-2 Les équations complémentaires

Elles représentent les équations perturbées (I-23) à (I-26)

2-2-1 Equations définissant les équations 11 Uetθ

001

10

1 =∂∂

+∂∂

+∂∂

ψθ

ψθ

ϕUU

U (IV-8)

001

10

1 =∂∂

−∂∂

−∂∂

ψθ

ψθ

ϕUU

U (IV-9)

2-2-2 Equations définissant 1Z

−−=

∂∂

10

11

0

1 01 θ

ϕθ i

U

Ue

U

Z (IV-10)

−−=

∂∂

10

11

0

1 01 θ

ψθ i

U

Ue

U

Z (IV-11)

- 74 -

2-3 Les conditions avec limites

2-3-1 à l'infini amont du jet

Le champ de vitesse imposé à l'infini amont du jet doit rester inchangé. Les

perturbations relatives à U, θ, Z sont donc nulles :

Pour ∞−=+

≤≤− ϕαψα

et2

cos1

2

cos1 00

0,0,0,0 1111 ==== PZU θ (IV-13)

2-3-2 Raccordement avec la solution des équations de la couche limite

La règle de raccordement (III-27) appliquée aux développements intérieur et

extérieur d'ordre ε de la fonction Z s'écrit :

lim )0,()0,(),( 10***

1 ϕϕοψ

ψψϕ ZZ

Z =

∂∂

− (IV-14)

∞→*ψ

soit compte tenu de (III-57)

*111 lim)0,()0,( iYiYZ == ϕϕ (IV-15)

∞→*ψ

- 75 -

Cette expression montre clairement que le nombre )0,(1 ϕZ correspond à un

déplacement normal à la paroi du plan, dirigé vers l'intérieur du domaine

de l'écoulement. Le module de )0,(1 ϕZ représente, au facteur ε près, l'épaisseur

de déplacement :

*111 lim)0,()0,( YYZdl === ϕϕδ (IV 16)

∞→*ψ

On retrouve ainsi, comme conséquence de la règle de raccordement

asymptotique, le schéma classique qui permet de prendre en compte la modification

de l'écoulement extérieur induit par la couche limite, dans un système de

coordonnées ( ), *1YU c , ce schéma consiste à introduire artificiellement une épaisseur,

dite de déplacement, pour compenser dans l'écoulement extérieur la perte de débit

due à la présence de la couche limite; l'écoulement extérieur doit être alors considéré

comme celui d'un fluide parfait s'écoulant autour d'un profil fictif appelé surface

de déplacement, constitué par la paroi du plan enrober par l'épaisseur

de déplacement. Il en résulte qu'à l'intérieur du nouveau domaine d'écoulement,

les lignes de courant subissent un déplacement qui tend à les écarter de la paroi.

2.3.3. Sur la surface libre

a) la condition suivant la normale à la surface libre (I-29) s'écrit :

Pour +∞∞−−

=+

= pp ϕαψαψ etou2

cos1

2

cos1 00

011 0

11

011 =

∂∂

+∂∂

+−ϕθ

ϕθ

UUW

YF

PCr

(IV-17)

- 76 -

Soit encore, compte tenu de (IV-5)

+10UU 011 0

11

01 =

∂∂

+∂∂

−ϕθ

ϕθ

UUW

YF Cr

(IV-18)

Cette expression montre que l'interaction entre la couche limite et l'écoulement

extérieur doit nécessairement entraîner une modification du profil de la surface libre

à priori.

b) L'expression de la condition suivant la tangente à la surface libre (I-30) est

d'ordre 2ε elle n'est donc pas à considérer à ce niveau d'approximation.

3 - Principe de la méthode de résolution

Les équations complémentaires (IV-8) à (IV-11) complétées par les conditions

aux limites (IV-13) à (IV-19) forment un système linéaire d'équations aux dérivées

partielles. Les inconnues sont les fonctions 111 ,, ZU θ des variables ),( ψϕ définies sur

la bande +∞∞− pp ϕ , 2

cos1

2

cos1 00 αψα +≤≤

−

Différentes méthodes approchées sont envisageables pour résoudre le système

d'équations de perturbation.

- 77 -

Une méthode numérique parmi les plus classiques consisterait à appliquer un

schéma de résolution aux différences finies; le domaine de l'écoulement dans le plan

),( ψϕ peut être quadrillé par un maillage rectangulaire et la linéarité des équations

autorise l'emploi d'une procédure de résolution directe du système discrétisé.

Afin de maintenir une certaine continuité avec les techniques mises en œuvre

dans le chapitre II, nous avons préféré opter pour une méthode de perturbation

consistant à rechercher des transformations conformes entre des domaines ayant subi

de faibles déformations.

Dans cette perspective, considérant le domaine D' du plan iYxZ += défini

comme le domaine D ayant subi de faibles perturbations. Fig IV-1.

L'interaction de la couche limite avec l'écoulement extérieur ne perturbe que

faiblement la surface libre, quant à la surface de déplacement, elle reste très proche

de la paroi. Dans ces conditions, le domaine D’ainsi défini est très voisin du domaine

D considéré dans le chapitre II.

Partant de là, le problème va consister à élaborer une transformation conforme

approchée permettant de passer de la bande (∆) du plan des F = φ + iψ au domaine

(D') du plan Z = x + iy. Naturellement cette transformation ne pourra être réellement

explicitée que dans l'intervalle [ ]aa,−∈ϕ telle que CU soit considéré comme petit,

ce qui seul nous intéresse ici.

- 78 -

Fig IV 1

Les domaines D' et D ne diffèrent que par la forme et la position de la surface

libre ainsi que le profil pariétal, réel ou fictif.

L'élaboration de la transformation [∆] → [D'] va donc s'effectuer par

l'intermédiaire de quatre transformations conformes approchées K, F, G, H.

Ces approches se feront par une méthode de perturbation.

Dans un souci de cohérence avec le chapitre III en ce qui concerne le choix

des notations, nous affecterons de l'indice O tous les systèmes relatifs aux

transformations conformes introduites dans le chapitre II lors de l'étude de

l'écoulement extérieur non perturbé.

- 79 -

4- Recherche de la transformation [∆] → [D']

4-1 Schéma de composition de la transformation

Les domaines [D] et [D'] étant voisins nous allons rechercher la transformation

[∆] → [D'] en suivant un schéma de composition analogue et celui de la figure (II-3)

On passera ainsi du domaine [∆] au domaine [∆'] par la composée de quatre

applications conformes : H o G o F o K

[∆] → K [∆'] →F [П'] →G [Ω'] →H [D'] (IV-18)

où [∆'], [П'] et [Ω'] sont des domaines appartenant aux plans complexes de Г,

Σ, W respectivement voisins des domaines [∆], [П] et [Ω].

Soient Ho, Go et Fo les transformations impliquées dans le schéma de

composition Fig(II-3)

Nous choisirons ici de maintenir inchangées les applications :

a) F (Г) = Fo (Г) c'est à dire

Г =

+Σ−Σ

+ΣΠ

=Σ +−

−

2

cos1

2

cos10

1

00

)1()1(

cos1)( αα

αLog

0F (IV-19)

- 80 -

b) G ( )Σ =G o ( )Σ c'est-à-dire

)1

(2

1)(0

1

WWW +−==Σ

−

G (IV-20)

c)

H(W) = H o (W) = dWdW

d

d

d

d

dF

W⋅Σ⋅

ΣΓ×

Γ×∫

1 (IV-21)

- 81 -

Fig IV -2

- 82 -

4-2- Recherche de la fonction K

Nous chercherons K sous la forme

K(F) = Ko (F) + ε K1(F) + O (ε)

Où K1 est la perturbation qu'il convient d'apporter à Ko pour satisfaire, à l'ordre

(ε), le schéma de composition Fig (IV-2).

Compte tenu du paragraphe (III-8-c) on traitera l'écoulement à droite de l'axe

confondu avec la fonction courant correspondant à Ψ = 0

Soit )(ϕβ e= (IV-23)

L'équation de la frontière CB du domaine ∆' :

Pour 0≤ϕ on a évidemment

e ( 0) =ϕ (IV-24)

Pour ϕ >0 les valeurs de e( )ϕ doivent être de l'ordre de grandeur de l'épaisseur

de déplacement Sd = εSdl c'est à dire d'ordre ε. Nous poserons donc :

e ( )(0)(.) 1 εϕεϕ += e (IV-25)

- 83 -

Nous établirons plus loin une relation permettant de déterminer numériquement

le profil )(1 ϕe à partir des valeurs de Sdl calculées au moyen de (III-57).

On ne peut de ce fait espérer trouver une expression exacte pour

la transformation K(F). On approchera K(F) par son développement de Taylor au

point 2

)1(cos ++=

αϕ iF limité au premier ordre :

2

)cos1((

2

)1cos1()(')(),( 00 αϕαϕϕϕϕ +

−−+

++−−+= iFOiFKKFK

(IV-26)

Ce développement peut aussi s'écrire sous la forme :

+−−+

+−−++

+=

2

)cos1(0

2

)cos1(

2

)cos1(),( 00

100 αϕαϕαϕ iFiFaaiFK

(IV-27)

où les coefficients 10 aeta sont des fonctions de ϕ à déterminer.

Pour que les frontières supérieures des domaines ∆ et ∆' correspondent dans la

transformation Г= K(F,φ), il faut et il suffit que les coefficients 10 aeta soient réels.

- 84 -

Cherchons à exprimer les coefficients 10 aeta en fonctions de e (φ) afin qu'il en

soit de même pour la frontière des deux domaines.

Désignons par )()( ϕβϕα ΓΓ et , la partie réelle et la partie imaginaire de K

(F,ϕ ) sur la frontière inférieure CB de ∆' :

K (F = ),ϕϕ = )()( ϕβϕα ΓΓ + i (IV-28)

On peut écrire, en considérant,

- d'une part, l'équation de la frontière inférieure

)()(

)(

1 ϕεϕβϕϕα

e==

Γ

Γ

(IV-29)

- d'autre part, le développement (IV-56)

[ ]

[ ]2

)cos1()1(),()(

),()(

01

0

αϕϕϕβ

ϕϕϕα

+−===

===

Γ

Γ

aFKJm

aFKRe

(IV-30)

- 85 -

La relation (IV-58) résulte d'un choix arbitraire correspondant à l'expression

la plus simple de )(ϕαΓ qui satisfait la condition :

2

)cos1(0,

2

)cos1( 00 αα +=

+iiK (IV-31)

Par identification, on obtient immédiatement :

)(

cos1

21 1

01

0

ϕεαα

ϕ

ea

a

+−=

= (IV-32)

D'où en repartant ces résultats dans le développement (IV-27)

)(),(),( 1 εϕεϕ OFKFFK ++= (IV-33)

avec

+−−

+−=

2

)cos1(

cos1

2),( 0

01

αϕα

ϕ iFFK (IV-34)

4-3- Expression de la fonction Z

Soit un point quelconque du domaine ∆, d'affixe Ψ+= iF ϕ nous

allons déterminer de proche ses transformés successifs dans les domaines ∆', ∏', Ω'

et D'.

- 86 -

4-3-1. Expression de ),( ΨΓ ϕ

L'application ),( ϕFK fait correspondre au point Ψ+= iF ϕ du domaine ∆,

le point Γ du domaine ∆' défini par le développement (IV-33)

)(),(1 εϕε OFKF ++=Γ (IV-35)

Soit en fonction des variables ),( Ψϕ

)(),(),( 10 εψϕεψϕ O+Γ+Γ=Γ (IV-36)

avec )(

cos1

21),(

),(

10

0

1ϕψ

αψϕ

ψϕψϕ

ei

i

+−=Γ

+=Γ (IV-37)

4-3-2. Expression de ),( ψϕΣ

L'application )(ΓF fait correspondre au point Γ précédent le point Σ du

domaine 'Π défini par (IV-19)

)()( 10 Γ+Γ=Γ=Σ εoo FF (IV-39)

Soit en fonction des variables ψϕ et

)(),(),( 10 εψϕεψϕ O+Σ+Σ=Σ

- 87 -

Or le développement de (IV-39) nous donne

)()()()( 10'

0000 εε O+Γ⋅Γ+Γ=Γ FFF

= )()()(

)(0

''0

100 εε O

F+

ΣΓ

+ΓF (IV-40)

En identifiant :

)()(),(

)(),(

0''

0

11

000

ΣΓ=Σ

Γ=Σ

Fψϕ

ψϕ F (IV-41)

L'approche de la fonction∑ ),( ψϕ s'est fait par le développement de Taylor

au point ∑ +−=0

00 )

),(

1),((

2

1),(

ψϕψϕψϕ

WW de la fonction 0F .

On procédera de même pour les fonctions G 0et H 0

4-3-3 Expression de ),( ψϕW

L'application G 0 (∑ ) fait correspondre au point ∑ précèdent le point W du

domaine 'π défini par la fonction :

∑= )(1

W−

G = )(0

1

W−

G = )1

(2

1

WW +− (IV-42)

Soit en fonction des variables ϕ et ψ :

)(0),(),( 10 εψϕεψϕ ++= WWW (IV-43)

- 88 -

or =W G 0(∑ ) = G 0( ∑∑ + )10 ε

= G ∑ + ε)( 00 G ∑ ∑⋅ 10'0 )(

= G ∑∑

−−⋅⋅+ 1

0

'

0

1

0

'

0

100

)(

1

)(

1)(

Gτε

FW

(IV-44)

En identifiant :

[ ])),((),( 0000 ψϕψϕ KFG=W (IV-45-a)

Soit encore F en fonction de ),(0 ψϕW

)1()cos1(

)1()cos1()1cos2()(

00

00000

WLog

WLogWWLogi

−+−+−−+−=+

αααψϕπ

(IV-45-b)

1

0

'

0

1

0

'

0

11

)(

1

)(

1),( τψϕ ⋅

∑

⋅=−−

FG W

W (IV-46a)

Soit encore en fonction de ),(0 ψϕW

1

)1(

2

)cos1(

1

)1(

2

)cos1(

1cos

1

),(),(

0

00

0

00

002

0

20

101 −

++−

+−−

−

+−−

=W

W

W

W

WW

W

WW

αα

α

ψϕτπψϕ

(IV-46-b)

- 89 -

Pour les calculs de ),(0 ψϕW et ),(1 ψϕW , compte tenu qu'on a déterminé la

couche limite au voisinage proche de F=O c'est à dire pour φ petit, ils se procéderont

comme suit :

- Au voisinage de F=O, voir (III-8-a)

)(0)(sin

cos

3

1)(

sin2

2),(

02

02

00

1

FiiW ++−+−= ψϕπααψϕ

απψϕ

- En dehors de ce voisinage on calculera ),(0 ψϕW par interpolation de

l'équation (III-7-a)

- Sur la surface libre 0),(1 =ψϕτ d'après (IV-38)

4-3-4 Expression de ),( ψϕZ

L'application H (W) fait correspondre au point W précèdent, le point Z du

domaine D' défini par (IV-21)

)(0 WZ H=

Soit en fonction des variables ψϕ et

),(),( 10 ψϕεψϕ ZZZ ++= (IV-47)

- 90 -

or 10'0000 )()()( WWWW ⋅+= HHH ε

Les expressions de Zo et Z1 s'écriront

)( 000 WZ H=

10'01 )( WWZ ⋅= H (IV-48)

Soit encore compte tenu de (IV-21), (IV-44) et (IV-45)

[ ])),((( 00000 ψϕKFGH=Z (IV-49-a)

)()cos1

21(

),),(

),(1

000

11 ϕψ

αψϕψϕψϕτ

eW

i

WZ

+−⋅== (IV-49-b)

4-4- Expression des fonctions U( ),ψϕ et ),( ψϕθ

d'après (IV-43) la vitesse complexe peut être approché sous la forme :

++= )(01

0

10 εε

W

WWW (IV-50)

Lorsqu'on introduit les développements extérieurs de U et de θ dans la

définition de la vitesse complexe

θieUW −=

- 91 -

On peut alors exprimer celle-ci sous la forme

−+= −

10

10 10 θεθ

iU

UeUW

i (IV-51)

En composant (IV-50) et (IV-51) on obtient les relations

000

θieUW −= (IV-52)

10

1

0

1 θiU

U

W

W−= (IV-53)

On en déduit les résultats suivants :

00 WU = (IV-54)

00 ArgW−=θ (IV-55)

=

0

1

0

1

W

WR

U

Ue (IV-56)

−=

0

11 W

WJmθ (IV-57)

avec

−+

+−

+−

−−

+−

+−

=−

1

1

2

cos1

1

1

2

cos1

1cos2

)(cos1

21

0

00

0

00

002

0

10

10

0

1

W

W

W

W

WW

W

e

W

We ααα

ϕψα

π

(IV-58)

- 92 -

4-5- Modification du profil de la surface libre

D'après (IV-46-a), (IV-49-b), 0),(1 =ψϕZ pour 2

cos1 0αψ += la surface

libre ne se modifie qu'à l’ordre2ε .

L'équation (IV-18) est automatiquement vérifiée pour un nombre de Weber

grand qu'on s'est imposé.

4-6- Expression de la fonction )(1 ϕe

La restriction de la fonction ),(1 ψϕZ sur la paroi du plan d'impact est définie

par l'expression

=)0,(1 ϕZ lim cU

eiZ

)(),( 1

1

ϕψϕ = (IV-59)

Or d'après (III-48) et la règle de raccordement pour ),(1 ψϕZ illustrée par

(III-56) et (III-57), l'autre forme de ),(1 ψϕZ se traduit par : voir (IV-15) et (IV-16)

*11 lim)0,( iYZ =ϕ (IV-60)

+∞→*1Y

- 93 -

avec Sdl = )0,(1 ϕZ qui n'est autre que l'épaisseur de déplacement. Lorsque

l'on compare l'expression (IV-59) à l'expression (IV-60) on constate que la fonction

)(1 ϕe est approchée par l'expression

)(1 ϕe *1limYUC=

+∞→*1Y

On calculera *1limY à l'aide des graphes de *

1(YFij )

+∞→*1Y

Dans notre résolution numérique des *1(YFij ) on a constaté qu'à 410− près on

peut prendre que *1limY = 10

+∞→*1Y

CUe 10)(1 ≈ϕ (IV-62)

- 94 -

5- Obtention d'approximations uniformes à l'aide de

développements composites – Conclusion

A l'aide de transformations conformes et en utilisant une technique de petites

perturbations, nous venons d'exprimer les développements asymptotiques extérieurs

d'ordre є des principales grandeurs physiques de l'écoulement (vitesse, pression,

affixe des points)

Ainsi, nous allons clore cette étude en construisant, à partir des développements

asymptotiques intérieurs, déjà présentés dans le chapitre précédent et des

développements extérieurs de même ordre ελ et( ), des développements composites

donnant une approximation uniforme de la solution des équations générales dans tout

le domaine de l'écoulement.

5-1- Les développements composites d'ordre 1.

Ces développements se présentent sous la forme générale

)0,(),(~

),( 0**

00 ϕψϕψϕ FFFFC −+=

où F désigne une grandeur physique quelconque de l'écoulement. On obtient ainsi,

pour le vecteur vitesse ),( θU , la pression motrice P et l'affixe Z des point du plan,

les résultats suivants :

- 95 -

5-1-1 Vecteur vitesse

a) Module

)0,(),(),( 0*000 ϕψϕψϕ UUUUC −+= (IV-63)

soit compte tenu de (III-62)

[ ])(1)0,(),( *10000 YFUUUC −−= ϕψϕ (IV-64)

a) Angle polaire

)0,(),(),( 0*000 ϕθψϕθψϕθθ −+=C (IV-65)

Soit d'après (III-9-b) et (III-42-c)

),(00 ψϕθθ =C (IV-66)

5-1-2- Pression motrice

)0,(),(),( 0*

000 ϕψϕψϕ PPPPC −+= (IV-67)

Soit d'après (III-42-c)

),(00 ψϕPPC = (IV-68)

- 96 -

5-1-3- Affixe des points

)0,(),(),( 0*000 ϕψϕψϕ ZZZZC −+= (IV-68)

Soit d'après (III-42-f)

),(00 ψϕZPZ = (IV-70)

Les résultats (IV-66), (IV-68), et IV-70) sont triviaux, ils signifient que

la solution des équations d'Euler donne une approximation uniforme deθ , P, Z dans

tout le domaine de l'écoulement.

Le résultat (IV-64) présente plus d'intérêt, cependant, comme il fait apparaître,

au sein d'une même expression, les variables (),ψϕ et la variable intérieur*1Y , donc

de manière implicite le paramètre 21−= CRε , son exploitation n'est pas immédiate,

le calcul de )( *10 YF pour une valeur ),( ψϕ et un nombre є fixé est donnée à travers

le calcul du graphe de C0 dans le chapitre précédent.

- 97 -

5-2- Les développements composites d'ordre ε

Ces développements se présentent sous la forme générale :

∂∂

−−++= )0,()0,(),(),( 0*1

**1101 ϕ

ψψϕψϕψϕε F

FFFFCFC

On obtient, pour le vecteur vitesse ),( θU , la pression P et l'affixe Z des points

du plan les résultats suivants :

5-2-1 Vecteur vitesse

a) Module :

∂∂

−−++= )0,()0,(),(),( 0*1

**1101 ϕ

ψψϕψϕψϕε U

UUUUCUC (IV-71)

Soit compte tenu de (III-9-a), III-80) et (IV-64)

[ ] ∑=

++−−=4

1

1*1

*1001 )()(1),(

k

kCkC UYFYFUUUC ψϕ (IV-72)

- 98 -

b) Angle polaire

∂∂

−−++= )0,()0,(),(),( 0*1

**1101 ϕ

ψθψϕθψϕθψϕθεθθ CC (IV-73)

Soit compte tenu de (III-42-c) et (III-73) et (IV-66)

−−−+= *

1*

14

00

2101 lim)(cos21(sin4

),(),( YYUC Cαα

πψϕθεψϕθθ

+∞→*1Y (IV-74)

5-2-2 - Pression motrice

∂∂

−−++= )0,()0,(),(),( 0*1

**1101 ϕ

ψψϕψϕψϕε P

PPPPCPC (IV-75)

Soit compte tenu de (III-9-c), (IV-5) et (IV-68) et (III-77)

[ ])),( 1001 UUPPC −+= εψϕ (IV-76)

- 99 -

5-2-3- Affixe des points :

∂∂

−−++= )0,()0,(),(),( 0*1

**1101 ϕ

ψψϕψϕψϕε Z

ZZZZCZC

Soit compte tenu de (IV-60), (IV-15) et (IV-42-f) et (IV-70) et (IV-49-b)

[ ])lim(),(),( *1

*1101 YYiZZZC −++= ψϕεψϕ

+∞→*1Y

(IV-77)

- 100 -

5-3 Coefficient de frottement pariétal

Un fluide newtonien exerce, en tout point du plan d'impact de l'écoulement, une

contrainte tangentiellePτ , proportionnelle à la viscosité et la dérivée normale de la

vitesse au plan d'impact. Après adimensionnalisation, cette contrainte peut être

exprimée au premier ordre sous forme

)0,(*

1

*0 ϕετ

Y

UP ∂

∂= (III-69)

On appelle coefficient de frottement pariétal, la quantité

)0,(02

1 ϕτ

UC P

f = (III-70)

Compte tenu que CC UUetUYFU == )0,()( 0*

10*0 ϕ

Il vient

022

21

'00

2

sin3

)0(sin αεπαε==

C

Cf U

UFC (III-71)

- 101 -

CONCLUSION GENERALE

Nous avons souligné dans l’introduction ce que représente l’étude des impacts de jets et faisant un bilan rapide des travaux avec jets liquides en milieu gazeux.

Nous avons choisi de nous intéresser à l’impact normal ou incliné sur une plaque

plane, d’un jet bidimensionnel établi, doté d’un profil de vitesse uniforme, notre travail devant répondre à un double objectif :

Tout d’abord, trouver une solution approchée des équations de la couche limite dans la région d’écrasement du jet, pour les grands nombres de REYNOLDS et de FROUDE.

Ensuite, appliquer ces résultats à la résolution de solution homogène sur tout l’écoulement.

Nous avons été amenés, dans un premier temps, à présenter une formulation originale

des équations de NAVIERS-STOKES dans un système de coordonnées curvilignes lié aux lignes de courant et à leurs courbes orthogonales. Ce mode de repérage s’avère particulièrement intéressant en raison des simplifications qu’il apporte à l’écriture des conditions limites sur la frontière libre du jet. La composition des transformations conformes adéquates, en fluide parfait, nous décrit, à l’épaisseur de la couche limite près, l’écoulement extérieur à la couche par la méthode des faibles perturbations.

A partir de ce système d’équation, nous avons pu écrire les équations de la couche

limite hydrodynamique sous une forme facilitant le raccordement avec la solution de l’écoulement en fluide parfait proposé par M. D. VAN DYKE.

En utilisant successivement différentes méthodes de résolutions, de types

analytiques, semi analytiques et numériques, nous avons obtenu une solution approchée des équations de la couche limite du point d’impact jusqu’à la zone de transition avec le film établi.

La méthode de développement composite décrit uniformément l’écoulement du jet.

- 102 -

BBIIBBLLIIOOGGRRAAPPHHIIEE [ 1 ] K. TAKAHASHI

« A numerical analysis of flow using streamline coordinates (the case of two –

dimensional steady incompressible flow) »,

Bulletin of the JSME, vol. 25, N° 209, 1696 – 1702, 1982.

[ 2 ] M. LAVRENTIEV & B. CHABAT

« Effets hydrodynamiques et modèles mathématiques »

Editions MIR – MOSCOU.

[ 3 ] M. Henri VILLAT

Cours de l’Ecole Nationale Supérieure d’Aéronautique, « Mécanique des fluides »,

Edition GAUTHIER – VILLARS.

[ 4 ] Basile DEMTCHENKO

Institut de Mécanique des fluides de l’Université de Paris, « Problèmes mixtes

harmoniques en Hydrodynamique des fluides parfaits »

Editions GAUTHIER – VILLARS.

[ 5 ] M’hamed BANNOUR

Thèse de doctorat de troisième cycle, spécialité énergétique, « Contribution à l’étude

de l’impact normal d’un jet liquide bidimensionnel sur un plan. Calcul du transfert de

matière sur une surface active située dans le plan d’impact »

Université de Poitiers – U.F.R. Sciences fondamentales et appliquées [1987] ; 145 p.

- 103 -

[6] N. S. CLARKE,

« The asymptotic effects of surface tension and viscosity on an axially- symmetric

free jet of liquid under gravity. » [1969]

[7] C. PHILIPPE ,

« Contribution à l’étude du jet libre laminaire axisymétrique d’un liquide newtonien

à grands nombres de REYNOLDS et de FROUDE. » [1986]

[8] V. W. SCHACH,

« Umlenkung eines freien flüssigkeitsstrahles an einer ebenen platte » [1934]

[9] H. MIYAZAKI and E. SIlBERMAN ,

« Flow and heat transfer on a flat plat normal to a two-dimensional laminar jet issuing from a nozzle of finite height. » [1972]

[10] MITCHELL and HANRATTY , [1966] [11] DIMOPOULOS and HANRATTY , [1966] [12] L. MOLLET, P. DUMARGUE, M. DAGUENET et D. BODIOT ,

« Calcul du flux limite de diffusion sur une microélectrode de section circulaire-Equivalence avec une électrode de section rectangulaire. Vérification expérimentale dans le cas du disque tournant en régime laminaire. » [1974]

[13] Y. MIYAKE, E. MUKAI and Y. IEMOTO , « On a two-dimensional laminar liquid jet. » [1979] [14] J. M. BOUROT,

« Mécanique théorique des fluides parfaits. »

- 104 -

Annexes

i

Nombre de Pages : 104 Nombre de figures : 9 Nombres de graphes : 8

RESUME

On étudie l’impact d’un jet bidimensionnel sur une plaque plane. Le régime hydrodynamique est supposé laminaire et le profil de vitesse uniforme.

La solution de l’écoulement en fluide parfait est obtenue par composition de transformations conformes dans le plan.

Les équations de la couche limite sont intégrées analytiquement et numériquement suivant la méthode Runge - Kutta. On présente les solutions telles la vitesse ou la pression suivant la notation de Frankel.

We study the impact of two-dimensional liquid jet on a flat plate. The hydrodynamic speed is supposed laminar and the speed profile is uniform.

The solution of flow in perfect fluid is gotten by compositions of conforms transformations in the plane.

The equations of boundary layer are integrated in analytic solution and numerical solutions according to the Runge – Kutta method. We show the solutions like speed or pressure according to the Frankel notation.

Mots clés :

∼ Ecoulement permanent ∼ Fluide incompressible ∼ Impact de jet bidimensionnel ∼ Couche limite laminaire ∼ Raccordement asymptotique ∼ Transformation conforme

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