Programmeren met Wiris - Telenetusers.telenet.be/wiskunde/handleidingv2/Wiris 2...Integratie van de...

Integratie van de informatica in de wiskunde WIRIS 2.0

©2OO4 [email protected] website www.wirisonline.net 64

14 Programmeren met Wiris

De toepassingsmogelijkheden van Wiris zijn uit te breiden door het schrijven van programma’s en het gebruik van zogenaamde bibliotheken. Deze bibliotheken zijn vergelijkbaar met o.a. de utility-files van Derive of de macro’s van Cabri.

In deze paragraaf illustreren wij de belangrijkste programmeeropdrachten van Wiris aan de hand van een aantal eenvoudige voorbeelden. In één van de volgende onderdelen van deze cursus worden een aantal nieuwe functies besproen die beschikbaar zijn via de bibliotheken die werden ontwikkeld door het nascholingsteam van het VVKSO. Gevorderde gebruikers kunnen zich verdiepen in deze bibliotheken die door het VVKSO werden ontwikkeld.

14.1 Eenzijdige selectie: “als … dan”

Voorbeeld 1: een programma voor het berekenen van de absolute waarde van een gegeven getal.

De eerste opdrachtregel dient om een gegeven getal in te geven.

Open vervolgens via de menubalk van Wiris het onderdeel “Programmeren” en klik op de knop “als” .

”als” wordt gebruikt voor een test en een sprong. Indien de voorwaarde waar is (logische waarde is 1) dan wordt de opdracht die onmiddellijk na “als” volgt uitgevoerd. Indien voorwaarde vals is (logische waarde is 0) dan wordt de opdracht die onmiddellijk na “als” volgt overgeslagen.



Voorbeeld 2: een functie voor het bepalen van de absolute waarde van een getal (versie 1)

Men kan het resultaat van een programmeeropdracht toekennen aan een functie.

Merk op dat deze functie ABS(x) nog moet aangepast worden om ook een resultaat te geven in andere situaties.

Voorbeeld 3: een functie voor het bepalen van het tegengestelde van een getal.

Als voorwaarde onderzoekt men of het gegeven getal reëel is. Uiteraard geeft dit hier geen resultaat indien het gegeven getal een complex getal is.

14.2 Tweezijdige selectie: “als…dan…anders”

Indien de voorwaarde waar is (logische waarde is 1) dan wordt de opdracht die onmiddellijk na “als” volgt uitgevoerd. Indien voorwaarde vals is (logische waarde is 0) dan wordt de opdracht die onmiddellijk na “anders” volgt uitgevoerd.



Voorbeeld 1: aanpassing ABS(…) functie (versie 2)

Voorbeeld 2: Vitruvius, de gulden snede en Leonardo da Vinci



14.3 Programmeren van lussen: “voor…doe”

“Voor…doe” is een commando waarbij een opdracht wordt uitgevoerd zolang de eindwaarde van de teller niet bereikt is.

Voorbeeld 1 De som van de kwadraten van een aantal getallen uit een verzameling berekenen.

Voorbeeld 2 Benadering van het groeigetal e

Voorbeeld 3 Berekening van de verhouding tussen 2 opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci. Deze verhouding nadert tot het gulden snede getal Φ

Opmerking: Meerdere uit te voeren opdrachten binnen een programma kan men ingeven met Shift Enter



Voorbeeld 4

Indien men de opdracht plot wil gebruiken binnen een lus, dan moet hieraan het attribuut bereken=waar worden toegevoegd.

14.4 Meerdere programmeeropdrachten

Voorbeeld 1: De halveringsmethode voor het benaderen van de wortels van een vergelijking.

In dit geval is het interessant om vooreerst de grafiek te plotten om geschikte startwaarden te vinden.

Voorbeeld 2: Bepaal alle getallen bestaande uit 2 cijfers zodanig dat xx + yy +zz = xyz



15 Stelsels en de methode van Gauss-Jordan

15.1 Stelsels in Wiris

Het is in Wiris geen enkel probleem om stelsels met lineaire vergelijkingen op te lossen; bepaalde stelsels met juist één oplossing, strijdige stelsel zonder oplossing,onbepaalde stelsels met oneindig veel oplossingen, of zelfs stelsels met parameters. Gebruik daartoe de knop “Stelsel oplossen” in de werkbalk “Bewerkingen”

en kies het aantal vergelijkingen.

Los de volgende stelsels op. Heeft men te maken met een bepaald, strijdig of onbepaald stelsel ? Noteer ook (het aantal) oplossingen.

Voorbeeld 1 Bepaald, strijdig of onbepaald Aantal oplossingen

Voorbeeld 2

Voorbeeld 3

15.2 Een stelsel met parameters

Let op ! Jij moet de vermenigvuldiging tussen m en een andere variabele expliciet ingeven, dus m*x. Indien jij mx intikt dan wordt dit door Wiris beschouwd als de variabele met de naam mx

Dit antwoord moet men de nodige omzichtigheid geïnterpreteerd worden ! Het geval m =1 werd apart gezet, maar het geval m = -1 wordt niet vermeld.



15.3 Gebruik van de bibliotheek Gauss-Jordan

Bibliotheek van Gauss-Jordan versie 1 en versie 2

Tijdens het schooljaar 2005-2006 werd de bibliotheek Gauss-Jordan v1 uitgewerkt en ter beschikking gesteld door het nascholingsteam van het VVKSO. In deze bibliotheek zijn een aantal nieuwe functies beschikbaar, waarmee het mogelijk is de bekende rijoperaties uit te voeren.

Deze extra functies worden als volgt afgekort;

• rw(A,i,j) in de matrix A de i-de en de j-de rij omwisselen van plaats. • rd(A,i,d) in de matrix A de i-de rij delen door d

• rv(A,i,k) in de matrix A de i-de rij vermenigvuldigen met k

• rc(A,p,i,q,j) rijcombinatie p keer i-de rij min q keer j-de rij

Men bekomt uiteindelijk…



15.4 Oefeningen

1° Los het volgende (bepaalde) stelsel op met de met de methode van Gauss-Jordan

2° Los het volgende (onbepaalde) stelsel op met de met de methode van Gauss-Jordan

3° Bepaal de inverse matrix van A met de methode van de rij-operaties

4° Vraagstuk

In een afdeling van een autofabriek worden drie modellen A, B en C gemaakt.

Voor de assemblage zijn er 52 manuren nodig voor model A, 78 voor model B en 94 voor model C.

In deze afdeling werken 260 arbeiders gedurende 32 uur per week.

De verkoopsafdeling voorspelt dat de vraag naar model A dubbel zo groot is als de vraag naar model B en dat de vraag naar model C 10% van de productie bedraagt.

a) Hoeveel auto’s zal men per week produceren, rekening houdend met de prognoses van de marketingafdeling ?

b) Hoeveel auto’s kan men produceren indien er in plaats van 32 uur per week door de arbeiders 36 uur per week wordt gewerkt.



16 Extra voorbeelden

16.1 Voorbeeld 1: de opdracht interpoleer

Bepaal de vergelijking van een veeltermfunctie door de punten (-5,-2);(2,-3);(5,-4) en (7,5)

Het is vervolgens mogelijk om de punten A,B,C,D te verslepen in het grafisch venster.

Met de knop waarde kan men het voorschrift van deze functie opvragen.



16.2 Voorbeeld 2: reële en complexe nulpunten van een veeltermfunctie

Wij laten vooreerst een derdegraads-veeltermfunctie tekenen door 4 punten.

Vervolgens berekent men de reële en ook complexe wortels van de bijhorende veeltermvergelijking. Deze oplossingen stelt men grafisch voor. Bij het verslepen van de oorspronkelijke punten wordt de grafiek gewijzigd. In het tweede geval worden de toegevoegde complexe wortels zichtbaar in het grafiekvenster !!

16.3 Voorbeeld 3: benadering van π met de formule Vieta

Tekst en formules kunnen geïntegreerd worden in eenzelfde webpagina met Wirisonline.

Het aantal opdrachten is verrassend klein.



16.4 Voorbeeld 4: de superformule

Deelnemers aan het congres van de VVWL op 1 en 2 juli 2004 waren in de gelegenheid om een voordracht i.v.m. de superformule te volgen (Johan Gielis).

De Superformule is een veralgemening van de formule voor cirkel en ellips, en van de Euclidische afstandsmaat. Met de formule kunnen punten op een éénheidscirkel tussen nul en oneindig worden getransformeerd, maar behoudt de figuur haar initiële symmetrie.

Met de Superformule kunnen op een eenvoudige manier talrijke natuurlijke vormen zoals bloemen, zeesterren en schelpen, en meetkundige vormen worden beschreven.

Met Wirisonline is het vrij eenvoudig om de invloed van de verschillende parameters in deze formule te onderzoeken. De opdracht in poolcoördinaten is:

Al naar gelang van de waarden voor de parameters bekomt men volgende krommen.



16.5 Voorbeeld 5: methode van Gauss-Jordan

De talrijke mogelijkheden van Wirisonline kunnen sterk worden uitgebreid door het aanwenden van de programmeerfaciliteiten en de creatie van bibliotheken.

Wij illustreren dit met het stap voor stap herleiden van een matrix tot zijn rijcanonieke gedaante met behulp van elementaire rij-operaties.

Vaak slagen leerlingen er niet in om dit soort oefeningen tot een goed einde te brengen. Door het aanwenden van de PC doorgronden zij enerzijds de betekenis van rij-operaties en slagen zij er anderzijds in om de gegeven matrix te herleiden tot zijn canonieke vorm. Dit bestand neemt de redeneringen van de methode niet weg, integendeel. Leerlingen kunnen het rekenwerk in eerste instantie aan de PC overlaten om zodoende de methode goed in te oefenen. Alvast een motivatie voor leerlingen die minder aanleg voor wiskunde hebben.

Na het openen van de webpagina kunnen leerlingen onmiddellijk gebruik maken van een bibliotheek van extra functies.

Deze bibliotheek van functies (utility) moet niet apart worden ingeladen maar zit ingebed in de webpagina. Deze extra functies worden als volgt afgekort;

• rw(A,i,j) in de matrix A de i-de en de j-de rij omwisselen van plaats.

• rd(A,i,d) in de matrix A de i-de rij delen door d

• rv(A,i,k) in de matrix A de i-de rij vermenigvuldigen met k



Vorige opdracht aanpassen

• rc(A,p,i,q,j) rijcombinatie p keer i-de rij min q keer j-de rij

Leerkrachten met weinig programmeerervaring kunnen dit bestand snel aanpassen aan de notaties van hun handboek. Leerlingen kunnen op die manier zonder rekenfouten de methode van de elementaire rij-operaties en het herleiden van een matrix tot zijn canonieke vorm inoefenen.

Men bekomt uiteindelijk…



17 Het nut van bibliotheken in Wiris

Reeds eerder werd uitgelegd dat Wiris steeds één blok tegelijk verwerkt. Dit betekent dat er geen overdracht is tussen blokken en dat een variabele die in het ene blok een waarde heeft gekregen niet wordt overgedragen naar een volgend blok. Dit kan enerzijds een nadeel zijn, maar biedt anderzijds ook de mogelijkheid om voor variabelen in verschillende blokken, eenzelfde naam te gebruiken.

17.1 Werken met meerdere blokken

Aangezien de variabelen a en b enkel gekend zijn in de eerste blok, worden de coördinaten van de Top niet berekend.

Deze beperking kan jij omzeilen door gebruik te maken van bibliotheken.

Om een bibliotheek te maken, begin jij met een nieuw blok, en dan klik jij in de werkbalk

“Programmeren” op de knop . Jij kan de bibliotheek sluiten en openen door te klikken op de pijltjes.

Aangezien de variabelen a, b, c en het functievoorschrift f worden gedefinieerd in de bibliotheek, zijn deze gekend in alle volgende berekeningsblokken.

D is enkel in het tweede blok gekend en moet dus in blok 3 opnieuw gedefinieerd worden.

Je kan ook meerdere bibliotheken in eenzelfde pagina maken.



17.2 Uitbreidingen voor Wiris in een bibliotheek definiëren

Heb jij commando’s nodig die niet standaard voorzien zijn in Wiris, dan kan jij deze zelf definiëren of eventueel programmeren in een bibliotheek. Wij illustreren dit met het commando teken.

a) Verschil tussen de commando’s plot en voorstelling

Wiris biedt standaard twee commando’s om grafische objecten weer te geven namelijk plot( ) en voorstelling( ).

Bij het commando voorstelling( ) worden de grenzen automatisch aangepast, zodanig dat de belangrijke elementen van de grafiek (snijpunten X-as en snijpunt Y-as, extrema, eventuele buigpunten en asymptoten asymptoten worden weergegeven. Wiris hanteert hierbij een eigen kleurencode; zwart voor de grafiek, blauw voor de snijpunten met de X-as, rood voor de extrema, roze voor de buigpunten enz. Uiteraard kunnen deze kleuren niet worden aangepast.

Merk ook op dat door de knop “Waarde” in te drukken, de coördinaten of de vergelijkingen van de getekende elementen kunnen worden afgelezen in het grafiekvenster.

Bij het commando plot( ) wordt de grafiek standaard getekend in een grafiekvenster met de oorsprong in het midden en waarbij op de X-as en Y-as het interval [-10,10] wordt afgebeeld. Indien de grafiek van bvb de parabool f(x) = (x - 17)² +23 wordt geplot, dan moet men uitzoomen

om de top van deze parabool te zien en de grafiek laten hertekenen met Erg handig hierbij is ook het commando verhouding( ), waarmee het mogelijk is om de verhoudingen tussen de X-as en de Y-as in te stellen.

b) Attributen van het commando plot

De kenmerken van het commando plot kan jij instellen door het toevoegen van attributen zoals kleur, lijndikte, puntgrootte. Deze attributen moeten steeds in een lijst (tussen accoladen) staan.

c) Attributen van het plotvenster (plotter)

Met de functie plot kan jij enkel de attributen van het grafisch object (punt, rechte, cirkel, grafiek van een functie, kromme …) laten wijzigen.

Met het toevoegen van de attributen voor plotter kan in in volgend voorbeeld in het grafiekvenster de grenzen op de X-as van 15 tot 35 en op de Y-as van 30 tot 50 nemen



Nog enkele handige tips !

Dit grafiekvenster is makkelijk te manipuleren met de knoppen en De gewijzigde instellingen kunnen vervolgens worden overgebracht naar het algebravenster met

Voor het afdrukken van het grafiekscherm is het soms interessant om de kleuren van het rooster en de assen te wijzigen.

Door het attribuut “informatie” van het grafiekvenster plotter gelijk te stellen aan “waarde” , zorg jij ervoor dat jij in het grafiekvenster onmiddellijk de coördinaten of de vergelijkingen kan aflezen. Merk op dat elk grafiekvenster een nummer krijgt.

d) Meerdere grafieken tegelijk tekenen

Met de opdracht plot kan jij ook meerdere grafieken (of andere grafische objecten) tegelijk tekenen. Jij plaatst de voorschriften van de functies in een lijst.

e) Functies met parameters

Het vorige voorbeeld opent mogelijkheden voor het tekenen van een functie met parameters, voor verschillende waarden van deze parameter. Met behulp van de “met”-constructie kan men immers een lijst maken waarin deze parameter varieert.

Dit levert echter een foutmelding op !!

Na toevoeging van het eigenaardige attribuut bereken=waar wordt de bundel wel getekend.



BESLUIT

Omdat deze werkwijze voor leerlingen nogal onhandig is zit er in de bibliotheek “Studie van functies” een nieuwe functie “teken” die naast “plot” en “voorstelling” een aantal voordelen heeft.

Deze nieuwe functie “teken” is gewoon de plotfunctie waarvoor het attribuut “bereken” reeds op “waar” is gezet.

Bovendien werd de knop “Waarde” in het grafiekvenster geactiveerd met het attribuut “informatie=waarde”

Deze nieuwe tekenfunctie werd verder verfijnd in de VVKSO-bibliotheek “Studie van functies”



18 Bewaren van lesmateriaal met Wiris

Indien jij een webpagina met opdrachten en uitdrukkingen opslaat dan sla jij eigenlijk de oorspronkelijke webpagina op, d.w.z. de webpagina met hierin het applet met de lege interface. Dus alle ingevoerde opdrachtregels gaan verloren.

Om ook jouw ingevoerde opdrachten op te slaan moet Wiris vooreerst een nieuwe webpagina maken, waarbij jouw invoer in de broncode verwerkt wordt. Hiervoor ga je als volgt tewerk.

Stap1

Typ de gewenste opdrachten in het algebravenster en laat het resultaat eventueel berekenen;

Stap 2

Klik in de werkbalk “Bestand” van het Wirisapplet op de knop

Je krijgt dan een dialoogvenster “Opties opslaan”

De eerste keuze (die standaard is aangeduid) is de eenvoudigste. Klik op “OK”

Er wordt een nieuw venster gecreëerd waarin het applet staat met jouw ingevoerde opdrachten en berekeningen

Stap 3

Bewaar deze nieuwe webpagina via de menukeuze “Bestand/Opslaan als…” in jouw browser (Internet Explorer of Firefox…)

De opgeslagen webpagina kan dan worden geopend vanaf de harde schijf, eventueel gepubliceerd worden op het Internet of via email verzonden worden. Merk op dat Wiris geen apart bestandstype gebruikt maar een eenvoudig htm-bestand. Van zodra deze webpagina contact zoekt met de Wirisonline-server, voor het uitvoeren van nieuwe berekeningen moet de gebruikersnaam en het wachtwoord worden ingegeven. (tenzij men de pagina opent op een computer die al werd aangemeld)



19 Bibliotheek Studie van functies

Met het commando voorstelling(f(x)) wordt de grafiek van een algebraïsche functie getekend met alle belangrijke elementen zoals snijpunten met x-as en y-as, extrema, buigpunten, symmetrie-as, top, eventuele asymptoten. Dit commando voorstelling is bruikbaar voor zowat alle algebraïsche functies (veeltermfuncties, rationale functies, irrationale functies)

Bij het toepassen van dit commando op goniometrische, logaritmische en andere transcendente functies bekomt men als resultaat een gewone plot.

Deze bibliotheek “Studie van functies, is een aanvulling zijn van de bestaande Wirisfuncties, gemaakt naar aanleiding van de derde sessie van de nascholing "ICT-integratie voor wiskundeleerkrachten" van het VVKSO gedurende het schooljaar 2004-2005.



Bijzonder nuttig zijn o.a. de commando’s voor het maken van tabellen van functiewaarden.

Bij het aanbrengen van het limietbegrip bieden rlimiet, llimiet en tlimiet didactisch gezien heel wat mogelijkheden.

Samengevat in tlimiet (totale limiet)

Een uitgebreide beschrijving van de verschillende commando’s van deze bibliotheek is online te raadplegen met de “Referentie voor de functies in de VVKSO-Bib”



Bijlage Overzicht van de functies in de VVKSO-bibliotheek “Studie van functies”

Hieronder volgt een lijst van de functies uit de “VVKSO-bibliotheek – Studie van functies”. De functies zijn gegroepeerd volgens het resultaat dat ze opleveren. Bij elke functie staat aangegeven welke argumenten moeten of kunnen meegegeven worden met de functie. Als een argument tussen vierkante haakjes staat, dan betekent dit dat het argument optioneel is, m.a.w. dat je het al dan niet kan meegeven.

Functies die een tabel opleveren

vtabel( Uitdrukking(en) , [Var] , Xwaarden , [Titel(s)] )

Resultaat: een tabel met in de eerste kolom alle “Xwaarden”, en in de andere kolommen de overeenkomstige waarde(n) van de “Uitdrukking(en)”. De tabel krijgt automatisch een titelrij, behalve als “Titel(s)” opgegeven wordt.

• Uitdrukking(en): Eén of meerdere uitdrukkingen met minstens één variabele erin. Meerdere uitdrukkingen moeten in een lijst of vector staan.

• Var: Optioneel. Als in “Uitdrukking(en)” meerdere variabelen voorkomen, dan kan je hier opgeven welke variabele de “Xwaarden” zal toegewezen krijgen.

• Xwaarden: Een bereik (type a..b..c), lijst of vector van getalwaarden, die moeten uitgezet worden in de tabel.

• Titel(s): Optioneel. Eén of meerdere uitdrukkingen of strings (tekst tussen aanhalingstekens). Meerdere moeten in een lijst of vector staan. Er moeten altijd evenveel “Titel(s)” als “Uitdrukking(en)” zijn.

htabel( Uitdrukking(en) , [Var] , Xwaarden , [Titel(s)] )

Volledig analoog met “vtabel”, maar getransponeerd.

tekenschema( Functie(s) )

Resultaat: een horizontale tabel met in de eerste rij getalwaarden van de (enige) variabele, die voorkomt in “Uitdrukking(en)”, en in de volgende rij(en) de tekens van de “Uitdrukking(en)”

• Functie(s): Eén of meerdere functievoorschriften in één variabele. Meerdere uitdrukkingen moeten in een lijst of vector staan.

llimiet( Functie(s) , Xwaarde , [Titel(s)] )

Resultaat: een tabel met in de eerste kolom een rij van waarden die links convergeert naar “Xwaarde”. In de volgende kolommen staan de overeenkomstige waarden van de “Functie(s)”. Bovenaan staan automatisch titels, tenzij de “Titel(s)” zijn opgegeven (aantal moet gelijk zijn aan het aantal “Functie(s)” ). Onderaan is er een rij met de linkerlimietwaarden van de “Functie(s)”.


• Xwaarde: Eén getal. Het is het getal waar de (enige) variabele in “Functie(s)” naar toe moet naderen.

• Titel(s): Optioneel. Eén of meerdere uitdrukkingen of strings (tekst tussen aanhalingstekens). Meerdere moeten in een lijst of vector staan. Er moeten altijd evenveel “Titel(s)” als “Functie(s)” zijn.

rlimiet( Functie(s) , Xwaarde , [Titel(s)] )

tlimiet( Functie(s) , Xwaarde , [Titel(s)] )

Volledig analoog als “llimiet”, maar voor rechter-, resp. tweezijdige limiet.



toename( Functie , Xwaarden , [Type] )

Resultaat: een tabel met in de eerste kolom de “Xwaarden”, in de tweede kolom de bijhorende waarden van “Functie”, in de derde kolom de toenamen van “Functie” en in een vierde kolom lijnstukken of punten (afhankelijk van “Type”), bedoeld om de tabel te laten tekenen met de functie “teken”.

• Functie: Eén functievoorschrift in één variabele. • Xwaarden: Een bereik (type a..b..c), lijst of vector van getalwaarden, die moeten uitgezet worden in

de tabel. • Type: Optioneel. Moet zijn {type=lijn} of {type=punt}. Als je dit argument niet meegeeft, dan wordt

standaard {type=lijn} genomen.

gem_toename( Functie , Xwaarden , [Type] )

Analoog met “toename”, maar met in de derde kolom de gemiddelde toenamen i.p.v. de toenamen.

Een functie die een tekening oplevert

teken( [Grafiekvenster] , Objecten , [Attributen] )

Resultaat: alle “Objecten” worden getekend in “Grafiekvenster”, met de opgegeven “Attributen”. Het attribuut informatie=”waarde” van het grafiekvenster wordt automatisch ingesteld.

• Grafiekvenster: Optioneel. De naam van een grafiekvenster (plotter). Als dit argument niet opgegeven wordt dan wordt in het standaardgrafiekvenster “Plotter1” getekend.

• Objecten: Eén of meerdere grafische objecten (punten, rechten, cirkels, enz…) of functievoorschriften. Meerdere objecten moeten in een lijst, vector of matrix staan. Als de objecten in een matrix staan worden wel alleen de grafische objecten getekend, de functievoorschriften dus niet.

• Attributen: Een lijst van attributen van de getekende objecten, zoals puntgrootte, lijndikte, kleur, enz…

Functies die (een) punt(en) opleveren

punten( Functie(s) , Xwaarden )

Resultaat: een lijst van Wiris-puntobjecten (x,f(x)) met x in Xwaarden en f in Functie(s). De functie loopt niet vast op eventuele x-waarden die buiten het domein van de functie vallen. Deze worden gewoon overgeslagen.


• Xwaarden: Een bereik (type a..b..c), lijst of vector van getalwaarden, waarvoor punten moeten berekend worden.

snijpunten( F1 , F2 )

Resultaat: een lijst van Wiris-puntobjecten die overeenkomen met de snijpunten van F1 en F2.

• F1: Eén functie in één variabele • F2: Eén functie in dezelfde variabele als F1

nulpunten( Functie )

Resultaat: een lijst van de nulpunten van “Functie” (als Wiris-puntobjecten)

• Functie: Eén functie in één variabele

kritischepunten( Functie )

= nulpunten( eerste afgeleide van “Functie” )

kandidaatbuigpunten( Functie )

= nulpunten( tweede afgeleide van “Functie” )



Functies die (een) rechte(n) opleveren

Raaklijn( Functie(s) , Xwaard(en) | Punt(en) )

Resultaat: een lijst van Wiris-rechteobjecten (je ziet de vergelijkingen) die overeenkomen met de raaklijnen aan de grafieken van de “Functie(s)” in de verschillende “Xwaard(en)” of “Punt(en)” (van de “Punt(en)” wordt wel enkel de x-coördinaat gebruikt)

Opmerking: de naam van de functie begint met een hoofdletter omdat “raaklijn” ook al in een andere betekenis bestaat (raaklijn aan cirkel of kegelsnede)

• Functie(s): Eén of meerder functievoorschriften in één variabele. Meerdere moeten in een lijst of vector staan.

• Xwaard(en): Eén of meerdere getalwaarden. Meerdere moeten in een lijst of vector staan. • of Punten(en): Eén of meerder Wiris-puntobjecten. Meerdere moeten in een lijst of vector staan.

Van die punten wordt enkel de x-coördinaat gebruikt. Er is dus geen controle of die punten wel op de grafieken ligt.

normaal( Functie(s) , Xwaard(en) | Punt(en) )

Analoog met “Raaklijn”.

VA( Functie ) , SA( Functie ) en HA( Functie )

Resultaat: een lijst van Wiris-rechteobjecten, die overeenkomen met resp. de verticale, schuine of horizontale asymptoten van “Functie”.

Opmerking: de horizontale asymptoten komen ook al voor in de lijst van de schuine asymptoten (horizontaal = schuin met rico 0)

• Functie: Eén functie in één variabele

asymptoten( Functie )

Analoog met voorgaande, maar de functie geeft alle asymptoten.

Functies die waar/vals opleveren

linkscontinu( Functie , Var , Xwaarde )

Resultaat: waar als “Functie” linkscontinu is in “Var” = “Xwaarde”, anders vals

Opmerking: de berekening hangt af van de limietberekeningen in Wiris, en daar loopt het soms wel eens fout (zie bijvoorbeeld onderaan blz. 12). Deze functie is dus zeker niet onfeilbaar!

• Functie: Eén functie in één variabele • Var: De variabele die voorkomt in “Functie” • Xwaarde: De waarde waarin de continuïteit van “Functie” moet onderzocht worden.

rechtscontinu( Functie , Var , Xwaarde )

continu( Functie , Var , Xwaarde )

Analoog met voorgaande.

oneindig?( X )

Resultaat: waar als “X” = - ∞ of + ∞, anders vals



Allerlei

oplossingen( Vergelijking | Stelsel , [Variabele(n)] )

Resultaat: een lijst met de oplossingen voor “Variabele(n)” van “Vergelijking” of van “Stelsel”. Als er één “Variabele(n)” is, dan krijg je dus een lijst van getallen, zijn er twee “Variabele(n)” dan krijg je een lijst van Wiris-puntobjecten, waarvan de coördinaten de oplossingen zijn voor de twee “Variabele(n)”, zijn er meer dan twee “Variabele(n)” dan krijg je een lijst van vectoren, waarvan de elementen de oplossingen zijn voor de “Variabele(n)”.

Opmerking: het gemakkelijkste om deze functie in te voeren is te klikken op de knoppen “vergelijking oplossen” of “stelsel oplossen” van de werkbalk “Bewerkingen”, en nadien de letters “ing” tussenvoegen.

• Vergelijking: een vergelijking • of Stelsel: een stelsel (= een lijst van vergelijkingen) • Variabele(n): Optioneel. Eén of meerdere variabelen die moeten opgelost worden.

Als het over een vergelijking gaat dan kan je maar één variabele opgeven, gaat het over een stelsel dan moet je de “Variabele(n)” in een lijst zetten, ook als wil je slechts één variabele oplossen.

dms( X )

Resultaat: “X” radialen omgezet naar graden, minuten en seconden.

• X: een reëel getal

Term( Uitdrukking , N )

Resultaat: de Nde term van “Uitdrukking”. Hierbij worden de termen van “Uitdrukking” gerangschikt van de hoogste graad naar de laagste graad (ook negatieve graden zijn toegelaten).

Opmerking: de functienaam begint met een hoofdletter omdat “term” al bestaat in Wiris. De Wiris-functie “term” doet precies hetzelfde als “Term”, maar werkt niet als er negatieve graden in de uitdrukking voorkomen. Deze functie is vooral bedoeld om bij het binomium van Newton de termen van de ontwikkeling op te vragen.

• Uitdrukking: een rationale uitdrukking in één variabele • N: een natuurlijk getal (tussen 1 en het aantal termen van “Uitdrukking”)



Bijlage 3 Overzicht van de functies in de VVKSO-bibliotheek “Gauss-Jordan”

Bij elke functie staat aangegeven welke argumenten moeten of kunnen meegegeven worden met de functie. Als een argument tussen vierkante haakjes staat, dan betekent dit dat het argument optioneel is, m.a.w. dat je al dan niet kan meegeven.

Bij de belangrijkste functies is het resultaat meestal een lijst, waarvan het eerste element een matrix is, en het tweede een matrix met een beschrijving van de verrichte rij-operaties. Om daarop verder te kunnen bouwen kunnen dergelijke lijsten ook gebruikt worden als argument van die functies, i.p.v. een matrix. We zullen hieronder dergelijke lijsten GJ-lijsten noemen.

Van stelsel naar uitgebreide matrix, en omgekeerd

um( Stelsel [, Variabelenlijst] )

Resultaat: zet het “Stelsel” om in een uitgebreide matrix.

• Stelsel: Een Wiris-stelsel = een lijst van vergelijkingen (vergeet niet dat het gelijkheidsteken in een vgl een booleaanse bewerking is). Je kan een stelsel invoeren via de knoppen in de werkbalk “Bewerkingen”.

• Variabelenlijst: Optioneel. Als een stelsel parameters heeft, dan moet je hier de onbekenden van het stelsel meegeven in een lijst.

stelsel( Matrix|GJ-Lijst )

Resultaat: zet een “Matrix” of de matrix van de “GJ-Lijst” om in een stelsel.

Opmerking: een stelsel is in Wiris een lijst van vergelijkingen. Bij het invoeren van een lijst kan je eventueel gebruik maken van verticale lijsten, door tussen de elementen op <Shift Enter> te drukken i.p.v. een komma te tikken. De elementen (bij een stelsel: vergelijkingen) worden dan onder elkaar geplaatst. Jammer genoeg wordt na een berekening een lijst altijd horizontaal weergegeven. Om in het resultaat van de functie “stelsel” de vergelijkingen toch onder elkaar weer te geven, is er voor geopteerd om de vergelijkingen in een matrix te zetten. Daardoor is het resultaat, in de ogen van Wiris, geen stelsel, en kan daarop dus ook niet de functie “oplossen” toegepast worden. Daarom is er in de bibliotheek ook een functie “oplossingen” voorzien, om het resultaat van “stelsel” toch te kunnen oplossen.

Rijoperaties op een matrix

rw( Matrix|GJ-Lijst , i , j )

Resultaat: geeft een GJ-Lijst terug, waarbij in de “Matrix” de ide en de jde rij verwisseld zijn.

• Matrix|GJ-Lijst: een matrix of een matrix in een GJ-Lijst (zie vooraan de paragraaf).

• i en j: rij-indexen. Moeten natuurlijke getallen zijn, kleiner of gelijk aan het aantal rijen van “Matrix”

rd( Matrix|GJ-Lijst [, i] [, k] [, OK] )

Resultaat: geeft een GJ-lijst terug, waarbij de ide rij of alle rijen van “Matrix” gedeeld is/zijn door “k” of door de ggd van de elementen van die rij.


• i: Optioneel. Een rij-index. Moet een natuurlijk getal zijn, kleiner of gelijk aan het aantal rijen van “Matrix”. Als “i” niet gebruikt wordt, dan worden alle rijen gedeeld door hun spilelement (= het eerste getal op die rij dat verschilt van nul) Als “i” wel gebruikt wordt, dan wordt enkel de ide rij gedeeld.

• k: Optioneel. Als “k” gebruikt wordt dan wordt de ide rij gedeeld door k. Als “k” niet gebruikt wordt, dan wordt de ide rij gedeeld door de ggd van die rij.

• OK: Optioneel. Als het opgegeven wordt, dan moet dit de booleaanse waarde “waar” zijn. In plaats van “waar” kan je ook de ingebouwde variabele “OK” gebruiken. Als “OK” niet gebruikt wordt, dan wordt de deling van de rij niet uitgevoerd als in de deler (k of ggd) een parameter voorkomt. Je krijgt dan de matrix terug, met een melding dat een bespreking nodig is. Als “OK” wel gebruikt wordt en gelijk is aan “OK” of “waar”, dan wordt de deling van de rij altijd uitgevoerd, ook al zit er een parameter in de deler.



Voorbeelden: rd(A,i,k): de ide rij van A wordt gedeeld door k, als k geen parameters bevat

rd(A,i,k,OK): de ide rij van A wordt altijd gedeeld door k, ook als k parameters bevat

rd(A,i): de ide rij van A wordt gedeeld door de ggd van de ide rij, als die ggd geen parameters bevat

rd(A,i,OK): de ide rij van A wordt altijd gedeeld door de ggd van de ide rij, ook als die ggd parameters bevat

rd(A): Alle rijen van A worden gedeeld door hun spilelement (eerste getal op die rij dat niet nul is), op voorwaarde dat die spilelementen geen parameters bevatten.

rd(A,OK): Alle rijen van A worden steeds gedeeld door hun spilelement (eerste getal op die rij dat niet nul is), ook als die spilelementen parameters bevatten.

rv( Matrix|GJ-Lijst , i , k , [OK] )

Analoog met “rd”, maar de rij wordt vermenigvuldigd met “k” i.p.v. gedeeld.

Opmerking: “i” en “k” zijn hier niet optioneel, enkel “OK” kan weggelaten worden. De reden is dat er geen zinvolle betekenissen zijn als “i” of “k” niet opgegeven worden.

rc( Matrix|GJ-Lijst [, i] [, k] [, j] [, m] [, OK] )

Resultaat: geeft een GJ-lijst terug, waarbij op de matrix één of meerdere rijcombinaties zijn uitgevoerd.


• i en j: Optioneel. rij-indices. Moeten natuurlijke getal zijn, kleiner of gelijk aan het aantal rijen van “Matrix”. Als beiden gebruikt worden, dan wordt de ide rij vervangen door ofwel + m*rijj, ofwel door + rijj, afhankelijk van het feit of “k” en “m” al dan niet gebruikt werden. Je kan ook enkel “i” gebruiken. Dan worden “k”, “j” en “m” niet meegegeven! De ide rij wordt dan gebruikt om de andere rijen op te ruimen. Als beiden niet gebruikt worden (dan mag je “k” en “m” ook niet opgeven), dan wordt “Matrix” volledig gereduceerd.

• k en m: Optioneel. Dit zijn de factoren waarmee resp. de ide en de jde rij vermenigvuldigd worden. Beide getallen moeten ofwel beiden opgegeven worden, ofwel beiden niet. Als ze (beiden) niet gebruikt worden, dan worden beide rijen met 1 vermenigvuldigd.

• OK: Optioneel. Als het opgegeven wordt, dan moet dit de booleaanse waarde “waar” zijn. In plaats van “waar” kan je ook de ingebouwde variabele “OK” gebruiken. Als “OK” niet gebruikt wordt, dan wordt de rijcombinatie niet uitgevoerd als in de factor van de ide rij (k of spil) een parameter voorkomt. Je krijgt dan de matrix terug, met een melding dat een bespreking nodig is. Als “OK” wel gebruikt wordt en gelijk is aan “OK” of “waar”, dan wordt de rijcombinatie altijd uitgevoerd, ook al zit er een parameter in de factor van de ide rij.

Voorbeelden:

rc(A,i,k,j,m): de ide rij wordt vervangen door + m*rijj , als k geen parameters bevat.

rc(A,i,k,j,m,OK): de ide rij wordt altijd vervangen door + m*rijj , zelfs als k parameters bevat.

rc(A,i,j): de ide rij wordt vervangen door + rijj . Het gebruik van “OK” is hier niet zinvol.

rc(A,i): de ide rij wordt gebruikt om de andere rijen op te ruimen als het spilelement geen parameters bevat. D.w.z. dat de elementen op die rijen, die op de spilkolom van de ide rij staan, opgeruimd worden (= 0 gemaakt worden door een gepaste rijcombinatie).

rc(A,i,OK): de ide rij wordt gebruikt om de andere rijen op te ruimen, ook als het spilelement parameters bevat.

rc(A): rc(A,i) wordt toegepast, waarbij “i” alle rij-indices doorloopt. Nadat dit gebeurt is, wordt nog eens rd(A) uitgevoerd om alle spilelementen op 1 te zetten. Het proces stopt als één van de spillen een parameter bevat.

rc(A,OK): zoals hierboven, maar het proces loopt altijd door, ook al bevatten de spillen parameters.



Hulpfuncties

oplossingen( Matrix [, Variabelenlijst] )

Resultaat: de oplossingen van het stelsel van vergelijkingen, die de elementen zijn van “Matrix”.

• Matrix: een matrix, met op elke rij één vergelijking. De bedoeling is dat “Matrix” het resultaat is van de functie “stelsel”, die hoger beschreven is.

• Variabelenlijst: een lijst met onbekenden die moeten opgelost worden. Enkel nodig indien er parameters in de vergelijkingen zitten, of indien je de hoofdonbekenden bij een onbepaald stelsel zelf wil kiezen.

leesM( GJ-Lijst )

Resultaat: het eerste element van “GJ-Lijst” (= de matrix)

leesC( GJ-Lijst )

Resultaat: het tweede element van “GJ-Lijst” (= de matrix met de beschrijvingen van de rij-operaties)

spil( Vector )

Resultaat: het eerste element van “Vector” dat niet nul is.

• Vector: de bedoeling is dat je hier een rij van een matrix opgeeft. De rijen van een matrix zijn immers vectoren. Als A een matrix is, dan is A2 de 2de rij van A.

spilkolom( Vector )

Resultaat: de kolomindex van de spil van “Vector”.

• Vector: de bedoeling is dat je hier een rij van een matrix opgeeft. De rijen van een matrix zijn immers vectoren. Als A een matrix is, dan is A2 de 2de rij van A.



Een algebraïsche eigenaardigheid ! Opgave 1 Inleidende opdracht

a) Beschouw de grafieken van een derdegraadsfunctie f(x) = x³ - 5x² + 2x + 9 en een lineaire functie g(x) = -2x + 5. De rechte is zodanig gelegen dat er drie verschillende snijpunten zijn met de grafiek van f.

b) Bepaal de x-coördinaten van de snijpunten van beide grafieken met een passende algebraïsche oplossingsmethode. Denk hierbij aan de methode van Horner.

Controleer jouw resultaten met Wirisonline.

Schets de grafieken en bepaal de x-coördinaten van de gevraagde snijpunten.

Commando’s: plot, voorstelling, oplossen …



c) Maak de som van de coördinaten van deze snijpunten en vergelijk met de coëfficiënten van de gegeven functie f.

x1 + x2 + x3 =

d) Onderzoek aandachtig de volgende grafiek en bepaal het voorschrift. Vergelijk met de grafieken van f en g.

Wat is het mogelijk verband met de gevraagde x-coördinaten ? Controleer het gevonden voorschrift met de opdracht voorstelling. Lees ten slotte de gevraagde x-coördinaten af m.b.v. de knop waarde in het grafiekvenster.

e) Herhaal dit voor f(x) = x³ +4x² + 3x + 5 en g(x) = 2x + 7

x1 + x2 + x3 =

f) Formuleer jouw vermoeden. Welke merkwaardige eigenschap heb jij ontdekt ?



Opgave 2 Uitgebreider onderzoek

Het was mogelijk om, in beide hoger vermelde voorbeelden, de x-coördinaten van de gevraagde punten via algebraïsche weg te berekenen. De opgaven waren immers goed gekozen. Uiteraard is het niet steeds mogelijk om (met de methode van Horner) langs algebraïsche weg deze oplossingen manueel te berekenen.

a) Onderzoek deze eigenschap ook voor de onderstaande voorbeelden. Schets daartoe beide grafieken, bereken de x-coördinaten van de snijpunten, tel deze resultaten op en vergelijk met de opgave.

* f(x) = x³ - 7x² + 3x + 8 en g(x) = -3x + 4

x1 + x2 + x3 =

* f(x) = x³ -5.x² + 2x + 9 en g(x) = -2x + 6

x1 + x2 + x3 =

b) Kies nu zelf een aantal derdegraadsfuncties en een passende rechte. Controleer of deze eigenschap ook geldig is in deze situaties.

* f(x) = ………………………….. en g(x) = …………

x1 + x2 + x3 =

* f(x) = ………………………….. en g(x) = …………

x1 + x2 + x3 =

* f(x) = ………………………….. en g(x) = …………

x1 + x2 + x3 =

c) Besluit: formuleer de gevonden eigenschap !

Opgave 3 Algemeen bewijs

De onderzochte voorbeelden zijn uiteraard GEEN bewijs voor de gevonden eigenschap ! Geef een algemeen geldig bewijs!



Grafische voorstellingen kunnen vaak helpen om een inzicht te krijgen in het verloop van een verschijnsel. Als men een probleem kan weergeven met een functievoorschrift, dan kan met met ICT de grafiek laten tekenen, berekeningen laten uitvoeren en desgevallend belangrijke kenmerkende eigenschappen aflezen. Met de opdracht voorstelling kunnen leerlingen de belangrijkste kenmerken van de grafiek van een functie aflezen op het grafische scherm. Het aantal te kennen commando’s kan beperkt worden toe het strikte minimum.

Stap 1: Start de Wirisonline-interface

Stap 2:

Klik op de tabblad “Bewerkingen” en de knop “Voorstelling”

Stap 3:

Typ de formule en laat de grafiek schetsen

Stap 4:

Klik in het grafiekvenster op de knop waarde en lees de gevraagde waarden af op het scherm door aanwijzing met de muis. Stap 5:

Met de opdracht oplossen( …= …) kan men, indien nodig, vergelijkingen oplossen.

Voorbeeld 1: bergbeklimmers De route gevolgd door een groep bergbeklimmers wordt beschreven door de volgende veeltermfunctie:

2 3( ) 90 10h t t t= −

h is de hoogte in meters

t de tijd in uren

t = 0 is het tijdstip waarop de groep begint met de bergbeklimming



Beantwoord de volgende vragen door gebruik te maken van Wirisonline

1. Schets de grafiek m.b.v. Wiris voor t ∈ [ -3 , 9] en h ∈ [0,1100]

2. Hoe lang duurt de tocht?

3. Hoe lang zijn de bergbeklimmers onderweg voor ze de top van de berg bereiken?

4. Op welke hoogte bevindt zich de top van de berg?

5. Hoe lang bevindt de groep zich hoger dan 1000 m ?

Voorbeeld 2: de vlucht van een luchtballon De vlucht van een luchtballon wordt beschreven door de formule:

3 41 1( ) 24 218 216

h t t t t= − + −

h stelt de hoogte voor in tientallen meter

t de tijd in uren

t = 0 is het tijdstip waarop de luchtballon boven de kerktoren vliegt



1. Schets de grafiek m.b.v. Wiriso

2. Hoe lang is men reeds onderweg indien men boven de kerktoren vliegt?

3. Hoe lang duurt de totale vlucht?

4. Op welke hoogte bevindt men zich indien men boven de kerktoren vliegt?

5. Hoelang vliegt men boven een hoogte van 180 m?

Voorbeeld 3: doorsnede van een rivier De doorsnede van een rivier in China kan beschreven worden door het functie voorschrift:

4 3 210 400 1600. 48000( )12000

x x x xd x − − + −=

d is de diepte van de rivier in m

d = 0 is de huidige waterstand

1. Schets de grafiek van deze functie met Wirisonline

2. Hoe breed is de rivier nu?

3. In het droge seizoen daalt de rivier 4 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Wat merk je op?

4. In het regenseizoen stijgt de rivier 3 meter ten opzichte van de huidige waterstand Hoeveel breder is de rivier dan t.o.v. het laagste pijl in het droge seizoen?



Voorbeeld 4: een duikboot Een duikboot verdwijnt voor iets langer dan 24 uur onder water. De functie die de diepte van de boot beshrijft in functie van de tijd wordt gegeven door:

4 3 2( ) 0,03. 1,52. 26, 4. 192.d t t t t t= − + −

d is de diepte in meter en t de tijd in uren

1. Schets de grafiek van deze functie met Wirisonline

2. Bereken om het uur hoe diep de boot zich bevond.

3. Wanneer kwam de boot opnieuw aan de oppervlakte?

4. Wanneer bevond de duikboot zich op het diepste punt en hoe diep was dit?

5. Eenmaal een diepte van meer dan 600 m bereikt, worden de reddingswerken in geval van een eventueel ongeval zeer moeilijk. Hoe lang bevond de duikboot zich dieper dan 600 m?

Voorbeeld 5: chocoladerepen In een chocoladefabriek worden chocoladerepen geproduceerd aan de lopende band. Het aantal geproduceerde repen per minuut is afhankelijk van de snelheid v van de machines in de verpakkingsafdeling. Dit aantal N in functie van de snelheid v wordt voorgesteld door:

3 2( ) 104. 51.N v v v v= − + +

v wordt gemeten in m/s waarbij 0≤ v ≤ 1

Schets de grafiek van deze functie met Wirisonline en onderzoek wanneer het aantal geproduceerde repen groter is dan 100 repen per minuut.



Voorbeeld 6: een sportvliegtuig Een sportvliegtuig vliegt van A naar B volgens de hoogtefunctie:

2 3 4( ) 192 88 16h t t t t t= − + −

h wordt gemeten in m en t in uur.

a) Een tijdje na het opstijgen komt het vliegtuig in een luchtzak terecht en verliest hoogte. Bepaal grafisch met Wirisonline het diepste punt. Op welk tijdstip was dit?

b) Kan jij op de grafiek aflezen wanneer het toestel zich het hoogst bevond?

Voorbeeld 7: teddyberen Een speelgoedfabrikant maakt o.a. teddyberen. De Teddyberen worden aan 6 Euro verkocht aan een groothandel. In dit vraagstuk bekijken wij de productie en de winst van één dag. Om de winst W te berekenen, moeten wij de de totale kost voor het maken van de teddyberen aftrekken van de totale opbrengst. De totale kosten die gemaakt worden om de teddyberen te produceren hangen af van het aantal geproduceerde teddyberen. De totale opbrengst is enkel afhankelijk van het aantal geproduceerde teddyberen. Wij nemen hiervoor de volgende formules:

3 20,1. 6 66

TK q q qTO q

= − + +=

Kosten en opbrengst in duizenden Euro’s en q in duizendtallen.

a) Bereken de winst in Euro bij een productie van 5000.

b) Schets de grafieken van TK en TO. Onderzoek bij welke aantallen teddyberen de fabrikant geen winst of verlies maakt. Geef jouw antwoord in een geheel aantal.

c) De fabrikant kan maximaal 10000 teddyberen per dag produceren. Kun jij nagaan voor welke aantal de winst maximaal is.

Programmeren met Wiris - Telenetusers.telenet.be/wiskunde/handleidingv2/Wiris 2...Integratie van de...

Documents

Transcript of Programmeren met Wiris - Telenetusers.telenet.be/wiskunde/handleidingv2/Wiris 2...Integratie van de...