Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de - Telenetusers.telenet.be/nele.vanderbusse/cursus...

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende

Naam: ……………………………………….…

- 145 -

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

2egraad met één onbekende

1. Instap (boek pag 107)

a. Van een rechthoek is de lengte driemaal zo groot als de breedte. De oppervlakte

bedraag 108 m2. Bepaal de beide afmetingen.

Oplossing: Formule : A = ........................................

Vergelijking: ............................................

Oplossing : ................................................................................................

................................................................................................

b. Bij onderstaande rechthoek en ruit staan de maatgetallen van de afmetingen

uitgedrukt in cm. Bepaal x zo dat de rechthoek en de ruit dezelfde oppervlakte

hebben.

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

Geg : lengte : l = x

Breedte : b = 3x

Oppervlakte : A = …………. Gevr : l = ? b = ?


Naam: ……………………………………….…

- 146 -

Besluit: Zowel in het eerste als het tweede voorbeeld vinden we een vergelijking van

de ........................................................................................met één onbekende.

Een vierkantsvergelijking van de tweede graad met één onbekende noemen we ook

een vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking.

We kunnen zo een vergelijking steeds herleiden naar de standaardvorm:

02=++ cbxax met ∈a |R0 en ∈cb, |R

Opmerking:

Als b= 0 of c = 0 dan spreken we van een onvolledige vierkantsvergelijking: Stel c = 0 dan krijg je volgende onvolledige vierkantsvergelijking : 02

=+ bxax Stel b = 0 : 02

=+ cax Stel b= 0 en c= 0 : 02

=ax 2. Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijkingen (boek pag 108)

02=ax met b = c = 0

Voorbeeld: 05 2=x

.............................⇔

.............................⇔

Algemene oplossingsmethode:

02=ax want 0≠a

02=⇔ x want 000 =∨=⇔=⋅ xxxx

0=⇔ x

}{0=Opl


Naam: ……………………………………….…

- 147 -

02=+ cax met b = 0

Voorbeeld: 0322 2=−x

.............................⇔ .............................⇔ 0322 2

=+x

.............................⇔ .............................⇔ Algemene oplossingsmethode:

02=+ cax

a

cx

cax

−=⇔

−=⇔

2

2

Los op:

.....................................0753 2⇔=−x

....................................⇔ .....................................⇔ Opl = .......................

.....................................0753 2⇔=+x

....................................⇔ .....................................⇔ Opl = .......................

a

cx

a

cx

a

c −−=∨

−=>

−:0

noplossingegeen:0<−

a

c

−

−−

=a

c

a

cOpl ,

{ } ..............==Opl


Naam: ……………………………………….…

- 148 -

002

==+ cmetbxax

Voorbeeld:

.............................................

.............................................

............................................053 2

⇔

⇔

⇔=− xx

.............................................

.............................................

............................................0147 2

⇔

⇔

⇔=− xx

Algemene oplossingsmethode:

( )

a

bxx

baxx

baxxbxax

−=∨=⇔

=+∨=⇔

=+⇔=+

0

00

002

Samenvatting

Opl = ………….

Opl = ………….

Opl =

−

0,a

b

Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijking:

02=ax 0=⇔ x }{0=Opl

02=+ cax

a

cx

−=⇔

2 0>−

a

c:

−

−−

=a

c

a

cOpl ,

0<−

a

c: { } ..............==Opl

a

bxxbxax

−=∨=⇔=+ 002

Opl =

−

0,a

b


Naam: ……………………………………….…

- 149 -

Opgave pag 109 nr. 1

a. 053 2

=− xx

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔ Opl = …………………

Proef :

b. 025,02=−y

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

Opl = …………………

Proef :

c. 0492=+z

.............................................⇔

Opl = …………………

Proef :

d. 07 2=x

.............................................⇔

Opl = …………………

Proef :

e. 012181 2=−a

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

Opl = …………………

Proef :


Naam: ……………………………………….…

- 150 -

f. x

x

36

5

4

2

=

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

Opl = …………………

Proef :

g. ( ) ( ) 7713 =++ xx

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔ Opl = …………………

Proef :

h. ( ) ( ) 6835 +=++ bbb

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔ Opl = …………………

Proef :

i. ( ) ( ) 0551 =++− yy

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔ Opl = …………………

Proef :


Naam: ……………………………………….…

- 151 -

j. ( ) 42 2+=+ xx

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔ Opl = …………………

Proef :

k. ( ) ( ) ( ) ( )xxxx 212111 +−=+−

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔ Opl = …………………

Proef :

l. ( ) xx 122532 2−=−

.............................................⇔

.............................................⇔

.............................................⇔

Opl = …………………

Proef :


Naam: ……………………………………….…

- 152 -

3. Oplossen van een volledige vierkantsvergelijking (boek pag 110):

Voorbeeld:

02142=−− xx

We vullen de eerste 2 termen aan zodat we een volkomen kwadraat krijgen

( ) 021..................222=−−+⋅−⇔ xx

( ) 0214........ 2=−−−⇔ x

( ) 25.......... 2=−⇔ x

( ) ( ) 525....... −=−∨=−⇔ xx

.................................. =∨=⇔ xx

Opl = { } Algemene methode:

02=++ cbxax

Omdat 0≠a krijgen we een gelijkwaardige vgl als we beide leden vermenigvuldigen met 4a

0444 22=++ acabxxa

We vullen de eerste 2 termen aan zodat we een volkomen kwadraat krijgen

( ) 04224 2222=+−+⋅+⇔ acbbabxxa

( ) ( ) 042 22=−−+⇔ acbbax

( ) acbbax 42 22−=+⇔

De uitdrukking acb 42− noemen we de discriminant van de

vierkantsvergelijking en stellen we voor door een D

( ) Dbax =+⇔22


Naam: ……………………………………….…

- 153 -

Geval 1: D < 0

( ) 02 2<=+ Dbax Geen oplossingen in |R

Geval 2: D = 0

( ) 02 2==+ Dbax

( ) 02 2=+⇔ bax

02 =+⇔ bax

bax −=⇔ 2

a

bx

2

−=⇔ Één dubbele oplossing ( twee gelijke oplossingen) in |R

Geval 3: D > 0

( ) 02 2>=+ Dbax

DbaxDbax −=+∨+=+⇔ 22

DbaxDbax −−=∨+−=⇔ 22

a

Dbx

a

Dbx

22

−−=∨

+−=⇔ Twee oplossingen in |R

Uitgewerkt voorbeeld:

02142

=−− xx D = acb 42− = .................................

= .................................

=∨=⇔ 21 xx

........................... 21 =∨=⇔ xx

........................... 21 =∨=⇔ xx

........................... 21 =∨=⇔ xx Opl = { }


Naam: ……………………………………….…

- 154 -

Opgave: boek pag 113 nr.2 : Los op in |R a. 02092

=+− xx acbD 42−=

= ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL Proef:

b. 0822=−− xx acbD 42

−= = ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx


Naam: ……………………………………….…

- 155 -

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL Proef:

c. 012=−− xx acbD 42

−= = ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL Proef:


Naam: ……………………………………….…

- 156 -

d.

02832=−+ xx acbD 42

−= = ..................... = ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL Proef:

t. 122−= xx

.......................................⇔ .......................=D

= ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx


Naam: ……………………………………….…

- 157 -

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL

Proef:

u. 48192−= xx

.......................................⇔ .......................=D

= ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL Proef:


Naam: ……………………………………….…

- 158 -

Opgave: boek pag 113 nr. 3 : Los op in |R . Gebruik hiervoor een ZRM en rond de eventuele wortels af op 0,001 a. 018,417,22

=−+ xx .......................=D = ..................... = .....................

............................

......................................

........................

.......................................21 =∨=⇔ xx

............................

...................................

........................

.....................................21 =∨=⇔ xx

.................................................................... 21 =∨=⇔ xx

................................................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }.............................=OPL Proef:

b. 022,084,05 2=−− aa .......................=D

= ..................... = .....................

............................

......................................

........................

.......................................21 =∨=⇔ xx

............................

...................................

........................

.....................................21 =∨=⇔ xx


Naam: ……………………………………….…

- 159 -

.................................................................... 21 =∨=⇔ xx

................................................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }..................................=OPL Proef:

Opgave: boek pag 116 nr. 18 : Los op in |R a. ( ) xx 9122 2

=+

..................................................⇔

..................................................⇔ .......................=D = ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL

Proef:


Naam: ……………………………………….…

- 160 -

b. ( ) ( )22110 +=+ xxx

..................................................⇔

..................................................⇔ .......................=D = ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

.............................................. 21 =∨=⇔ xx

{ }................=OPL

Proef:

c. ( ) 5645 −=− yyy

..................................................⇔

..................................................⇔ .......................=D = ..................... = .....................

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ yy

............................

............................

........................

........................21 =∨=⇔ yy

.............................................. 21 =∨=⇔ yy


Naam: ……………………………………….…

- 161 -

.............................................. 21 =∨=⇔ yy

{ }................=OPL

Proef:

Opgave: boek pag 116 nr. 19 : Los op in |R a. ( ) ( ) 24125 22

++=+ xx

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

{ }................=OPL

Proef:


Naam: ……………………………………….…

- 162 -

b. ( ) ( )( )yyy 21211 2+−−−=−

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

{ }................=OPL

Proef:

Opgave: boek pag 116 nr. 22 : Los op in |R a. ( ) 553

2=−x

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

{ }................=OPL

Proef:


Naam: ……………………………………….…

- 163 -

b. 03322=+− yy

..................................................⇔

..................................................⇔

..................................................⇔

{ }................=OPL

Proef:

Samenvatting

Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijking:

02=ax 0=⇔ x }{ .............=Opl

02=+ cax

a

cx

−=⇔

2 0>−

a

c: { }........................=Opl

0<−

a

c: { } ..............==Opl

a

bxxbxax

−=∨=⇔=+ 002

Opl = { }...............

Oplossen van een volledige vierkantsvergelijking

)1(02=++ cbxax .............................=D

........................................)1(:0 =< OplD

.......................................................)1(:0 =⇔= OplD

.....................................................)1(:0 =⇔> OplD


Naam: ……………………………………….…

- 164 -

4. Som en Product van de wortels van een vierkantsvergelijking

∈=++ ametcbxax 02 |R0 ∈cben , |R

acba

Dbx

a

Dbx 4Dmet

222

21 −=+−

=∨−−

=⇔

Som van de wortels Product van de wortels

( )

a

b

a

b

a

DbDb

a

DbDb

a

Db

a

DbxxS

−=

−=

+−−−=

+−+−−=

+−+

−−=+=

2

2

2

2

2221

( ) ( )( ) ( )

( )

a

c

a

ac

a

acbb

a

acbb

a

Db

aa

DbDb

a

Db

a

DbxxP

=

=

+−=

−−=

−=

⋅

+−⋅−−=

+−

−−==

2

2

22

2

2

21

4

4

4

4

24

422

4

22

2.

2.

Besluit: Voor de vergelijking ∈=++ ametcbxax 02 |R0 ∈cben , |R en met wortels

21 xenx geldt:

a

cxxPen

a

bxxS =⋅=−=+= 2121


Naam: ……………………………………….…

- 165 -

Oplossen van een tweedegraadsvergelijking met som en product van de wortels

Voorbeeld 1 :

{ }..........................

.............................................................

.....................

...............................

................:Product

..............................

................:Som

065

21

21

21

21

2

=

==⇔

==

===⋅=

=−=−=+=

=+−

Opl

xenx

xenx

a

cxxP

a

bxxS

xx

Voorbeeld 2 :

{ }..........................

.............................................................

.....................

...............................

................:Product

..............................

................:Som

0158

21

21

21

21

2

=

==⇔

==

===⋅=

=−=−=+=

=+−

Opl

xenx

xenx

a

cxxP

a

bxxS

xx

Voorbeeld 3:

{ }..........................

.............................................................

.....................

...............................

................:Product

..............................

................:Som

089

21

21

21

21

2

=

==⇔

==

===⋅=

=−=−=+=

=++

Opl

xenx

xenx

a

cxxP

a

bxxS

xx


Naam: ……………………………………….…

- 166 -

Toepassing: Bepaal de som en het product van de wortels zonder de wortels zelf te

berekenen:

1.

........................

.........:Product

.........................

..........:Som

049147

21

21

2

===⋅=

=−=−=+=

=−−

a

cxxP

a

bxxS

xx

2.

...........................

............:Product

.........................

...........:Som

032

21

21

2

===⋅=

=−=−=+=

=−−

a

cxxP

a

bxxS

xx

3.

..........................

............:Product

........................

..........:Som

........................................................

5,375,04

21

21

2

===⋅=

=−=−=+=

⇔

+=

a

cxxP

a

bxxS

xx

4.

( )

...............................

................:Product

..............................

................:Som

................................................................21212

21

21

2

===⋅=

==−=+=

⇔=−+−

a

cxxP

a

bxxS

xx


Naam: ……………………………………….…

- 167 -

Los op met som en product:

1.

{ }.........................

....................

.......

........

.......:Product

....................

.......

........

.......:Som

................................................................0145

21

21

2

=

====⋅=

==−=−=+=

⇔=−+

Opl

a

cxxP

a

bxxS

xx

2.

{ }.........................

....................

.......

........

.......:Product

....................

.......

........

.......:Som

................................................................0103

21

21

2

=

====⋅=

==−=−=+=

⇔=−−

Opl

a

cxxP

a

bxxS

xx

3. ( )

{ }.........................

....................

.......

........

.......:Product

....................

.......

........

.......:Som

................................................................0

21

21

2

=

===⋅=

==−=+=

⇔=−−−

Opl

xxP

xxS

abxbax

4. ( )

{ }.........................

....................

.......

........

.......:Product

....................

.......

........

.......:Som

................................................................033

21

21

2

=

===⋅=

==−=+=

⇔=+++

Opl

xxP

xxS

axax

5.

{ }.........................

.............:Product

........:Som

................................................................042

21

21

222

=

=⋅=

=+=

⇔=−+−

Opl

xxP

xxS

baaxx


Naam: ……………………………………….…

- 168 -

Van de volgende gedeeltelijke gegeven vierkantsvergelijkingen is een wortel x1

gegeven. Bepaal x2 :

1.

........

.......:Som

...........

.........................

.......:Product

........................408.........

21

2

221

212

−=+=

=⇒

=⋅⇒=⋅=

===−+

xxS

x

xxxP

xxxx

2.

........

.......:Som

...........

........................

.......:Product

........................206.........5

21

2

221

212

−=+=

=⇒

=⋅⇒=⋅=

===−+

xxS

x

xxxP

xxxx

Geef een vierkantsvergelijking als de wortels gekend zijn:

1.

0.........................

0.......................

..........................................

3

12

2

2

2121

21

=++⇔

=++

===−==+=

==

xx

xx

a

cxxPen

a

bxxS

xenx

2.

0.........................

0.......................

..........................................

3

7

7

3

2

2

2121

21

=++⇔

=++

===−==+=

==

xx

xx

a

cxxPen

a

bxxS

xenx


Naam: ……………………………………….…

- 169 -

Samenvatting

Bepaal som en product: Vergewis je er wel van of de vierkantswortel wel reeele wortels heeft: 1.

022)1( 22=+−+− aaxax

......................

...............................

................:Product

...................

................

................:Som

21

21

21

==

===⋅=

=

−=−=+=

xenx

a

cxxP

a

bxxS

2.

.........................

................

................:Product

................

................:Som

0121312

21

21

21

2

==

==⋅=

−=−=+=

=++

xenx

a

cxxP

a

bxxS

xx

3.

.....................

...............................

................:Product

..................

................

................:Som

0116

21

21

21

2

==

===⋅=

=

−=−=+=

=−

xenx

a

cxxP

a

bxxS

x

Voor de vergelijking 02=++ cbxax

∈amet |R0 ∈cben , |R en met wortels 21 xenx geldt:

a

cxxPen

a

bxxS =⋅=−=+= 2121


Naam: ……………………………………….…

- 170 -

Los op in |R met som en product : 1.

........................................................

........................

.........:Product

.........................

..........:Som

02012

21

21

21

2

==⇔

===⋅=

=−=−=+=

=++

xenx

a

cxxP

a

bxxS

xx

2.

{ }........................

........................................................

........................

.........:Product

...........

..........:Som

01122123

21

21

21

2

=

==⇔

===⋅=

−=−=+=

=−−

Opl

xenx

a

cxxP

a

bxxS

xx

Geef een vierkantsvergelijking als de wortels gekend zijn:

1.

0.............................x

0.......................x

.......................................................................

....................................................................

3535

2

2

21

21

21

=+⇔

=++

====

−===+=

−=+=

x

x

a

cxxP

a

bxxS

xenx


Naam: ……………………………………….…

- 171 -

Opgave (boek pag 113 nr. 2) Oplossing Evaluatie

e.

02292=−+ xx

{ }2,11−=Opl

f.

012=++ xx

{}=Opl

g.

0156 2=+− xx

=2

1,

3

1Opl

h.

0452=−+ xx

+−−−

=2

415,

2

415Opl

i.

0128 2=−+ xx

{ }25.0;5,0−=Opl

j.

022 2=−− xx

+−

=4

171,

4

171Opl

k.

02832=−− xx

{ }7,4−=Opl

l.

054249 2=+− xx

=7

5,

7

1Opl

m.

031415 2=++ xx

−−=3

1,

5

3Opl

n.

035122=−−− xx

{ }5,7 −−=Opl

o.

014133 2=+− xx

=3

7,2Opl

p.

0437 2=+− xx

{}=Opl

q.

01 2=−− xx

+−−−

=2

51,

2

51Opl

Toets jezelf !!!


Naam: ……………………………………….…

- 172 -

r.

15 2=+ xx

+−−−

=10

211,

10

211Opl

s.

6582=+ xx

{ }5,13−=Opl


c.

0042,07,25,0 2=++ xx

{ }016,0;384,5 −−=Opl

d. 082,078,43,2 2=++− yy

{ }238,2;159,0−=Opl

e. 0082,4222,53 2=−− xx

{ }326,2;585,0−=Opl

f.

0928,0778,25 2=++ bb

{}=Opl

g.

060242187,512 2=−− xx

{ }647,6;222,3−=Opl

h.

0072,154,1091,6 2=−−− zz

{ }110,0;416,1 −−=Opl


d.

( )277314 −=− yyy

032849 2=−+−⇔ yy

=7

3,

7

1Opl

e.

( )zzz −=+ 121

012 2=+−⇔ zz

{ }=Opl

f.

( )zzz −=− 43272

027124 2=−−⇔ zz

{ }5,4;5,1−=Opl

g.

( )1873 +=− aaa

0758 2=−−−⇔ aa

{ }=Opl

h.

( )aa 3131 −=

0139 2=+−⇔ aa

{ }=Opl


Naam: ……………………………………….…

- 173 -

i.

( ) ( )bbb −=+ 36418

072182=+−⇔ bb

{ }12,6=Opl

021317 2=−+⇔ bb

j.

( ) 273120 2++=+ bbbb

+−−−

=34

30513,

34

30513Opl

k.

( ) 011 =−+ pp

012=++−⇔ pp

+−

=2

51,

2

51Opl

l.

02517814 2=−+− pp

025178142 =−+−⇔ pp

{ }=Opl


c.

( ) 251232 2+=+ xx

0164 2=−⇔ x

{ }2,2−=Opl

d.

( ) ( ) 9213 222+−=++− aaaa

0122=+−⇔ aa

{ }1=Opl

e.

( ) ( )( )42211 23++−=+− xxxx

01833 2=++−⇔ xx

{ }3,2−=Opl

f.

( ) ( )233 23 −+=+ zzz

023318 2=++⇔ zz

−−

= 1,8

23Opl

g.

( ) ( ) 20132222

++=+ xx

0124 2=−⇔ x

{ }3,3−=Opl

h.

( ) ( ) ( )233 412 +=−−+ bbb

078 2=−+⇔ bb

−=8

7,1Opl


Naam: ……………………………………….…

- 174 -

5. Vraagstukken die leiden tot een vierkantsvergelijking

Voorbeeld 1 ( boek pag 113 )

Oplossingsmethode : Oplossing:

Lees de opgave aandachtig en onderlijn

het gegeven.

Noteer de gelijkheid.

Gelijkheid:

..................................................................

.................................................................

Kies de onbekende en noteer dit in de

2e kolom

Onbekende

........................................................

Onderlijn het gevraagde en stel de

vierkantsvergelijking op.

Noteer deze vierkantsvgl in de 2e kolom.

Vierkantsvergelijking:

..........................................................

Los de vierkantsvergelijking op :

Oplossen van de vierkantsvergelijking:

..................................................................

..................................................................

..................................................................

..................................................................

Formuleer het antwoord in de 2e kolom

..................................................................

Maak de proef (controleer steeds jezelf)

..................................................................

Het product van twee opeenvolgende getallen is 56.

Bepaal die twee getallen.


Naam: ……………………………………….…

- 175 -

Opgave : boek pag 115 nr. 4

Oplossingsmethode : Oplossing:

Lees de opgave aandachtig en onderlijn

het gegeven.

Noteer de gelijkheid.

Gelijkheid:

..................................................................

.................................................................

Kies de onbekende en noteer dit in de

2e kolom

Onbekende

........................................................

Onderlijn het gevraagde en stel de

vierkantsvergelijking op.

Noteer deze vierkantsvgl in de 2e kolom.

Vierkantsvergelijking:

..........................................................

Los de vierkantsvergelijking op :

Oplossen van de vierkantsvergelijking:

..................................................................

..................................................................

..................................................................

..................................................................

Formuleer het antwoord in de 2e kolom

..................................................................

Maak de proef (controleer steeds jezelf)

..................................................................

De som van een reëel getal en zijn kwadraat is 20. Bepaal dit getal.


Naam: ……………………………………….…

- 176 -

Opgave ( boek pag 115) Oplossing Evaluatie

5. Bepaal twee reële getallen met som 2,5

en product 1,5.

:x 1ste reëel getal

y: 2de reëel getal

x + y = 2,5 -> y = 2,5 - x

x . y = 1,5

x . (2,5 - x) = 1,5 ⇔

- x² + 2,5x - 1,5 = 0 ⇔

x = 1 en y = 1,5

6. De som van twee reële getallen is 10;

de som van hun kwadraten is 68.

Bepaal die getallen.

:x 1ste reëel getal

y: 2de reëel getal

x + y = 10

x² + y² = 68

x² + (10 - x)² - 68 = 0 ⇔

2x² - 20x + 32 =0 ⇔

x = 2 en y = 8

7. Bepaal de afmetingen van een

rechthoek met een omtrek van 14 cm

en een oppervlakte van 10 cm² .

:x lengte rechthoek

y: breedte rechthoek

x + y = 14 : 2

x . y = 10

x . (7 - x) = 10 ⇔

-x² + 7x - 10 = 0 ⇔

x = 2 en y = 5

8. Een balk met een vierkant als

grondvlak heeft een inhoud van 1014

cm³ en is 24 cm hoog. Bereken de

lengte van een zijde van het grondvlak.

:x zijde grondvlak

24x² = 1014 ⇔

x = 6,5

Toets jezelf !!!!! :


Naam: ……………………………………….…

- 177 -

9. Van een rechthoek is de lengte

driemaal zo groot als de breedte. We

verminderen de lengte met 3m en we

verdubbelen de breedte. Nu is de

oppervlakte 10,23m² groter geworden.

Bepaal de oorspronkelijke afmetingen.

:x lengte

y: breedte

x = 3 y

(3y - 3) . (2y) = y . 3y + 10,23 ⇔

3y² - 6y - 10,23 = 0 ⇔

y = 3,1 en x = 9,3

10. Op onderstaande figuur zijn de

maatgetallen gegeven van de lengten

van de zijden uitgedrukt in cm. De

oppervlakte van de figuur bedraagt

128, 25 cm². Bereken x ?

:x zie tekening

(x+2)² - 4 =128,25 ⇔

x² + 4x - 128,25 = 0 ⇔

x = 9,5

11. In een rechthoekige driehoek is de

schuine zijde 1 cm langer dan de ene

rechthoekzijde en 18 cm langer dan de

andere. Bepaal de lengten van de

zijden.

:x lengte schuine zijde

x² = (x - 1)² + (x - 18)² ⇔

x² - 38x + 325 = 0 ⇔

x = 25

Antw: 25, 24, 7

13. Geef twee opeenvolgende gehele

getallen waarvoor de som van de

kwadraten gelijk is aan de vierdemacht

van 13.

x: eerste getal

y: tweede getal

x² + (x + 1)² = 134 ⇔

2x² + 2x - 28560 = 0 ⇔

x = 119 en y = 120


Naam: ……………………………………….…

- 178 -

14. De som van de kwadraten van drie

opeenvolgende getallen natuurlijke

getallen is 2189. Bepaal deze getallen.

:x eerste getal

x² + (x+1)² + (x+2)² = 2189 ⇔

3x² + 6x -2184 = 0 ⇔

x = 26

Antw: 26, 27, 28

15. Voor vier opeenvolgende gehele

getallen is het product van de laatste

drie 126 meer dan het product van de

eerste drie. Bepaal die getallen.

:x eerste getal

x . (x+1) . (x+2)+126=(x+1) . (x+2)

. (x+3)

⇔ 3x² + 9x -120 = 0

⇔ x = 5 en x = -8

Antw: -8, -7, -6, -5 of 5, 6, 7, 8

17. Michiel is 3 jaar ouder dan Rubben.

Het verschil van de derdemachten van

hun leeftijden is 1647. Bepaal die

leeftijden.

:x leeftijd Rubben

(x+3)³ - x³ = 1647 ⇔

x² + 3x -180 = 0

x = 12

Antw: 12, 15

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de - Telenetusers.telenet.be/nele.vanderbusse/cursus...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de - Telenetusers.telenet.be/nele.vanderbusse/cursus...