Basisboek Wiskunde 2HP

163
BASISBOEK WISKUNDE Jan van de Craats en Rob Bosch Tweede editie

Transcript of Basisboek Wiskunde 2HP

Page 1: Basisboek Wiskunde 2HP

BASISBOEK WISKUNDE

Jan van de Craats en Rob Bosch

Tweede editie

Page 2: Basisboek Wiskunde 2HP

ISBN: 978-90-430-1673-5NUR: 123Trefw: wiskunde, wiskundeonderwijs

Dit is een uitgave van Pearson Education Benelux bv,Postbus 75598, 1070 AN AmsterdamWebsite: www.pearsoneducation.nl – e-mail: [email protected]

Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de CraatsOmslag: Inkahootz, Amsterdam

Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit vanAmsterdam en de Open Universiteit, dr. R. Bosch is universitair hoofddocentwiskunde aan de Nederlandse Defensie Academie.

Dit boek is gedrukt op een papiersoort die niet met chloorhoudende chemicalien is gebleekt.Hierdoor is de productie van dit boek minder belastend voor het milieu.

Copyright c© 2009 Jan van de Craats en Rob Bosch

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in anyform or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording orby any information storage retrieval system, without permission of the publisher.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, op-geslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vormof op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieen, opnamen, of eni-ge andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieen uit deze uitgaven is toegestaan op grond van artikel16B Auteurswet 1912 j∗ het Besluit van 20 juni 1974, St.b. 351, zoals gewijzigd bij Besluitvan 23 augustus 1985, St.b. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoorwettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht. Voorhet overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers of anderecompilatie- of andere werken (artikel 16 Auteurswet 1912), in welke vorm dan ook,dient men zich tot de uitgever te wenden.

Page 3: Basisboek Wiskunde 2HP

Leeswijzer

Dit is een oefenboek. Elk hoofdstuk begint op de linkerbladzijde met opgaven.Je kunt er direct mee aan de slag, want de eerste opgaven zijn altijd gemakke-lijk. Geleidelijk worden ze moeilijker. Zodra je een opgave gemaakt hebt, kunje je antwoord achterin controleren.

Op de rechterbladzijden staat, heel beknopt, de theorie die je nodig hebt omde opgaven links te kunnen maken. Je kunt daar naar behoefte gebruik vanmaken. Kom je termen of begrippen tegen die daar niet verklaard worden,dan kun je via het trefwoordenregister dat achterin het boek staat, de plaatsvinden waar die uitleg wel staat.

Belangrijke formules, definities en stellingen zijn op de rechterbladzijden inde kleur blauw gedrukt. De meeste ervan vind je ook weer terug in het for-muleoverzicht op bladzijde ?? en verder.

In dit boek werken we met een decimale punt, en niet met een decimale kom-ma, in overeenstemming met wat thans algemeen gebruikelijk is in de inter-nationale wetenschappelijke en technische literatuur.

Het Griekse alfabet

α A alfaβ B betaγ Γ gammaδ ∆ deltaε E epsilonζ Z zetaη H etaϑ Θ theta

ι I jotaκ K kappaλ Λ lambdaµ M muν N nuξ Ξ xio O omicronπ Π pi

ρ P rhoσ Σ sigmaτ T tauυ Υ upsilonϕ Φ phiχ X chiψ Ψ psiω Ω omega

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

iii

Page 4: Basisboek Wiskunde 2HP
Page 5: Basisboek Wiskunde 2HP

Inhoudsopgave

Voorwoord 1

I Getallen 51 Rekenen met gehele getallen 6

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . 7Delen met rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Delers en priemgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9De ggd en het kgv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Rekenen met breuken 12Rationale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Optellen en aftrekken van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Vermenigvuldigen en delen van breuken . . . . . . . . . . . . . 17

3 Machten en wortels 18Gehele machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Wortels van gehele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Wortels van breuken in standaardvorm . . . . . . . . . . . . . . 23Hogeremachtswortels in standaardvorm . . . . . . . . . . . . . . 25Gebroken machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Algebra 294 Rekenen met letters 30

Prioriteitsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Rekenen met machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Haakjes uitwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Factoren buiten haakjes brengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37De bananenformule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Merkwaardige producten 40Het kwadraat van een som of een verschil . . . . . . . . . . . . . 41Het verschil van twee kwadraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

v

Page 6: Basisboek Wiskunde 2HP

6 Breuken met letters 46Splitsen en onder een noemer brengen . . . . . . . . . . . . . . . 47Breuken vereenvoudigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III Getallenrijen 517 Faculteiten en binomiaalcoefficienten 52

De formules voor (a + b)3 en (a + b)4 . . . . . . . . . . . . . . . . 53Binomiaalcoefficienten en de driehoek van Pascal . . . . . . . . 55Het berekenen van binomiaalcoefficienten . . . . . . . . . . . . . 57Het binomium van Newton en de sigma-notatie . . . . . . . . . 59

8 Rijen en limieten 60Rekenkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Meetkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Repeterende decimale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Speciale limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Limieten van quotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Snelle stijgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Wat is precies de limiet van een rij? . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

IV Vergelijkingen 719 Eerstegraadsvergelijkingen 72

Algemene oplossingsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Een vergelijking reduceren tot een eerstegraadsvergelijking . . . 77

10 Tweedegraadsvergelijkingen 78Tweedegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Kwadraatafsplitsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81De abc-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11 Stelsels eerstegraadsvergelijkingen 84Twee vergelijkingen met twee onbekenden . . . . . . . . . . . . 85Drie vergelijkingen met drie onbekenden . . . . . . . . . . . . . 87

V Meetkunde 8912 Lijnen in het vlak 90

De vergelijking van een lijn in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . 91De vergelijking van de lijn door twee punten . . . . . . . . . . . 93Het snijpunt van twee lijnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

13 Afstanden en hoeken 96Afstand en middelloodlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97De normaalvector van een lijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Loodrechte stand van lijnen en vectoren . . . . . . . . . . . . . . 101Het inproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

vi

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 7: Basisboek Wiskunde 2HP

14 Cirkels 104Cirkelvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105De snijpunten van een cirkel en een lijn . . . . . . . . . . . . . . 107De snijpunten van twee cirkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Raaklijnen aan een cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

15 Meetkunde in de ruimte 112Coordinaten en inproduct in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . 113Vlakken en normaalvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Evenwijdige en elkaar snijdende vlakken . . . . . . . . . . . . . 117De drievlakkenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Bollen en raakvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

VI Functies 12316 Functies en grafieken 124

Eerstegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Tweedegraadsfuncties en parabolen . . . . . . . . . . . . . . . . 127Snijpunten van grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Gebroken lineaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Machtsfuncties, wortelfuncties en de absolute-waardefunctie . . 133Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

17 Goniometrie 138Hoekmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139De sinus, de cosinus en de tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 141De tangens op de raaklijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143De rechthoekige driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Optelformules en dubbele-hoekformules . . . . . . . . . . . . . 145Grafieken van goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . 147De arcsinus, de arccosinus en de arctangens . . . . . . . . . . . . 149De grafieken van de arcsinus, de arccosinus en de arctangens . . 151Een standaardlimiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Driehoeksmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

18 Exponentiele functies en logaritmen 156Exponentiele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159De functie e x en de natuurlijke logaritme . . . . . . . . . . . . . 161Meer over de natuurlijke logaritmefunctie . . . . . . . . . . . . . 163Standaardlimieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

vii

Page 8: Basisboek Wiskunde 2HP

19 Geparametriseerde krommen 166Krommen in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Poolcoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Krommen in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Rechte lijnen in parametervorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

VII Calculus 17520 Differentieren 176

Raaklijn en afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Rekenregels en standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . 179Differentieerbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Hogere afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Stijgen, dalen en het teken van de afgeleide . . . . . . . . . . . . 185Extreme waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Stationaire punten en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Puzzelen met functies en hun afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . 191

21 Differentialen en integralen 192Differentialen – definitie en rekenregels . . . . . . . . . . . . . . 193Foutenschattingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Hoe goed is de differentiaal als benadering? . . . . . . . . . . . . 197Een oppervlakteberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Oppervlakte en primitieve functie . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Integralen – algemene definitie en rekenregels . . . . . . . . . . 203Primitieven van standaardfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Nogmaals het verband tussen oppervlakte en integraal . . . . . 207Onbepaalde integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209De primitieve functies van f (x) = 1

x . . . . . . . . . . . . . . . . 211

22 Integratietechnieken 212De substitutieregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Expliciete substituties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Gemengde opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Voorbeelden van partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . . 219Oneigenlijke integralen van type 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Oneigenlijke integralen van type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Sommen en integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Numerieke integratiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Is primitiveren in formulevorm altijd mogelijk? . . . . . . . . . . 229

viii

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 9: Basisboek Wiskunde 2HP

23 Toepassingen 230De raakvector aan een geparametriseerde kromme . . . . . . . . 231De lengte van een kromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233De inhoud van een omwentelingslichaam . . . . . . . . . . . . . 235De oppervlakte van een omwentelingsoppervlak . . . . . . . . . 237Exponentiele groei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Logistische groei – het lijnelementenveld . . . . . . . . . . . . . 241Logistische groei – de oplossingsfuncties . . . . . . . . . . . . . 243

VIII Achtergronden 24524 Reele getallen en coordinaten 247

De reele getallenrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247De accolade-notatie voor verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . 248Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Wiskunde en werkelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Coordinaten in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249De stelling van Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Coordinaten in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

25 Functies, limieten en continuıteit 253Functie, domein en bereik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Inverteerbare functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Periodiciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Continuıteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

26 Aanvullende afleidingen 261Inproduct en cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Exponentiele en logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . 261Rekenregels voor afgeleide functies . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Differentialen en de kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

ix

Page 10: Basisboek Wiskunde 2HP

Dankbetuiging

Veel lezers en gebruikers hebben in 2005 commentaar gegeven op voorlopigeinternetversies van dit boek en daarbij onduidelijkheden en fouten gesigna-leerd. Met nadruk willen we in dit verband Frank Heierman bedanken, die degehele tekst nauwkeurig heeft doorgelezen en tal van nuttige suggesties voorverbeteringen heeft gedaan. Daarnaast zijn we ook Henk Pfaltzgraff, Hans DePrez, Erica Mulder, Rinse Poortinga, Jaap de Jonge, Jantine Bloemhof, Wou-ter Berkelmans en Pia Pfluger erkentelijk voor hun commentaar. Chris Zaal,Andre Heck en Wybo Dekker hebben ons met raad en daad bijgestaan. RosaGarcia Lopez en Eveline Korving van Pearson Education Benelux danken wevoor de plezierige en stimulerende samenwerking.

Sinds enige jaren is Marc Appels onze uitgever bij Pearson. Het is een grootgenoegen met hem samen te werken. Ook de verdere contacten met directieen medewerkers van Pearson verlopen altijd buitengewoon plezierig, efficienten professioneel. Namen noemen brengt het risico met zich mee dat we stillewerkers vergeten. Daarom bij deze een collectief dankwoord voor allemaal!

De auteurs

x

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 11: Basisboek Wiskunde 2HP

Voorwoord

Dit boek bevat alle basiswiskunde die nodig is als ingangsniveau voor eenuniversitaire of hogeschoolstudie op het gebied van de betavakken, informa-tica, economie en verwante studierichtingen. Voor betastudies zijn alle behan-delde onderwerpen van belang, voor informatica en economische richtingenkunnen sommige stukken uit de hoofdstukken 17 (goniometrie), 22 (integra-tietechnieken) en 23 (toepassingen) terzijde gelaten worden. Met basiswiskun-de bedoelen we algebra, getallenrijen, vergelijkingen, meetkunde, functies encalculus (dat wil zeggen differentiaal- en integraalrekening). Kansrekeningen statistiek – aparte wiskundevakken met een eigen invalshoek – behande-len we niet.

In de hier gekozen didactische opzet staat oefenen centraal. Net als bijiedere vaardigheid, of het nu om voetballen, pianospelen of het leren van eenvreemde taal gaat, is er ook maar een manier om wiskunde onder de knie tekrijgen: veel oefenen. Bij voetballen moet je trainen, bij pianospelen studerenen bij het leren van een vreemde taal woordjes leren. Zonder basistechniekkom je nergens; bij wiskunde is het niet anders.

Waarom wiskunde leren? Natuurlijk gaat het de meeste gebruikers uit-eindelijk om toepassingen in hun vak. Maar daarbij kun je wiskunde als taalen als instrument niet missen. Wie bijvoorbeeld een studieboek op het gebiedvan de exacte vakken openslaat, ziet vaak een stortvloed aan formules. For-mules die wetmatigheden in het vak uitdrukken die met behulp van wiskun-dige technieken afgeleid zijn. Via wiskundige bewerkingen worden ze metandere formules gecombineerd om weer nieuwe wetmatigheden op het spoorte komen. Die manipulaties omvatten gewone algebraısche omvormingen,maar ook het toepassen van logaritmen, exponentiele functies, goniometrie,differentieren, integreren en nog veel meer. Dat zijn wiskundige techniekendie de gebruiker moet leren hanteren. Het invullen van getalswaarden in for-mules om in een concreet geval een numeriek eindresultaat te verkrijgen, isdaarbij slechts bijzaak; waar het om gaat, zijn de ideeen die erachter zitten, dewegen naar nieuwe formules en de nieuwe inzichten die je daardoor verwerft.

Het hoofddoel van wiskundeonderwijs dat voorbereidt op het hoger on-derwijs moet dan ook het aanleren van die universele wiskundige vaardig-heden zijn. Universeel, omdat dezelfde wiskundige technieken in de meestuiteenlopende vakgebieden toegepast worden. Formulevaardigheid verwer-

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

1

Page 12: Basisboek Wiskunde 2HP

Voorwoord

ven, daar draait het vooral om. En vaardigheid in het omgaan met functies enhun grafieken. Gecijferdheid, het handig kunnen rekenen en het vlot kunnenwerken met getallen, is bij dit alles slechts een klein onderdeel. De rol van eenrekenmachine (al dan niet grafisch) is in dit boek dan ook uitermate beschei-den; we zullen er nauwelijks gebruik van maken. Waar zo’n apparaat bij hetmaken van de opgaven noodzakelijk is, hebben we dat expliciet aangegeven.

Voor wie is dit boek bedoeld?Om te beginnen voor alle scholieren en studenten die zich bij wiskunde onze-ker voelen omdat er gaten in hun basiskennis zitten. Zij kunnen hun wiskun-dige vaardigheden hiermee bijspijkeren. Maar het kan ook gebruikt wordenals leerboek of als cursusboek. Door de doordachte, stapsgewijze opbouw vande stof met korte toelichtingen is het geschikt voor zelfstudie. Toch zal het al-tijd moeilijk blijven een vak als wiskunde helemaal door zelfstudie te leren:de waarde van een goede leraar als gids door de lastige materie kan moeilijkoverschat worden.

Hoe zit dit boek in elkaar?Alle hoofdstukken (op de laatste drie na) zijn op dezelfde manier opgebouwd:op de linkerbladzijden opgaven, op de rechterbladzijden de bijbehorende uit-leg. De gebruiker wordt uitdrukkelijk uitgenodigd om eerst aan de opgavenlinks te beginnen. Wie vastloopt, onbekende begrippen of notaties tegenkomtof bepaalde details niet helemaal goed meer weet, raadpleegt de tekst rechtsen indien nodig het trefwoordenregister. De opgaven zijn zorgvuldig uitgeko-zen: eenvoudig beginnen met veel soortgelijke sommen om de vaardighedengoed te oefenen. Met heel kleine stapjes wordt de moeilijkheid geleidelijk op-gevoerd. Wie alle opgaven van een hoofdstuk gemaakt heeft, kan er zeker vanzijn dat hij of zij de stof begrijpt en beheerst.

Bij onze uitleg gaan we niet op alle wiskundige finesses in. Wie meer overde wiskundige achtergronden wil weten, vindt achterin drie hoofdstukkenzonder opgaven met verdere verklaringen. Ze staan niet voor niets achterin:alleen wie al behoorlijk wiskundig bedreven is, zal ze kunnen waarderen. Ende lezer die er niet aan toe komt, heeft geen probleem: wat voor de toepas-singen nodig is, staat in de eerdere hoofdstukken. Een formuleoverzicht, eentrefwoordenregister en een volledige antwoordenlijst completeren het boek.

Bij de tweede editieWanneer een boek binnen vier jaar acht drukken bereikt, kun je gerust van eensucces spreken. Dat stemt tot dankbaarheid. Van heel wat gebruikers hebbenwe positieve reacties ontvangen, soms met suggesties voor verbeteringen. Ge-signaleerde fouten in de antwoordenlijst konden we telkens al in de volgendedruk corrigeren. De eerste auteur houdt een erratalijst bij op zijn homepage(gemakkelijk te vinden via Google). Daarnaast konden we tussentijds enigekleine verbeteringen in de tekst doorvoeren. Zo ontstond een steeds beterproduct.

2

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 13: Basisboek Wiskunde 2HP

Maar volmaakt was het niet: gebruikers meldden ons dat we sommige onder-werpen te summier behandeld hadden en dat er in enkele gevallen ook be-hoefte was aan meer opgaven op elementair niveau. Een apart probleem washet gebrek aan rekenvaardigheid onder studenten: de vrucht van falend re-kenonderwijs op de basisschool. Om dit te repareren, hebben we het Basisboekrekenen geschreven. Wie al in de eerste hoofdstukken van Basisboek wiskundevastloopt op rekenproblemen, zou dat boek eerst door moeten werken, liefstvan a tot z.

Met deze tweede editie van Basisboek wiskunde zijn we in de gelegenheidenige meer ingrijpende wijzigingen en uitbreidingen aan te brengen. Aan deopzet en de structuur van onze succesformule veranderen we echter niets: hel-dere opbouw, opgaven links, uitleg en theorie rechts. Er zijn ook geen nieuweonderwerpen toegevoegd; de hoofdstukindeling is ongewijzigd gebleven.

De belangrijkste wijzigingenDe belangrijkste veranderingen zijn de volgende. De algebra-hoofdstukken 4en 5 zijn beter gestructureerd. Hoofdstuk 8 (rijen en limieten) is uitgebreid. Inde meetkunde-hoofdstukken 12 tot en met 15 zijn tekstverbeteringen aange-bracht en enige minder geslaagde opgaven verwijderd.

In hoofdstuk 16 is in verband met de factorstelling een eenvoudig gevalvan de staartdeling voor polynomen toegevoegd, samen met een aantal nieu-we opgaven. Substantiele uitbreidingen zijn er in de hoofdstukken 17 (gonio-metrie) en 18 (exponentiele functies en logaritmen). Deze hoofdstukken zijndeels herschreven om beter aan te sluiten op de voorkennis van scholieren inhet voortgezet onderwijs. Ook de calculus-hoofdstukken 20, 21 en 22 hebbenwe nog een keer onder handen genomen. Daarbij is tevens de opgavencollec-tie aangevuld.

Niet alle suggesties voor wijzigingen en verbeteringen die we de afgelo-pen jaren ontvingen, hebben we overgenomen. Wel hebben we ze allemaalzeer serieus in overweging genomen. Maar in een klein aantal gevallen had-den we andere ideeen over wat belangrijk is voor onze doelgroep en hoe jebepaalde stukken wiskunde voor hen zou moeten presenteren.

De vraag van enige gebruikers om ook aandacht te schenken aan on-derwerpen als matrixrekening en complexe getallen, hebben we niet geho-noreerd. Daaraan wordt tegemoetgekomen in het Vervolgboek wiskunde van deeerste auteur dat eveneens in 2009 bij Pearson is verschenen.

Veel dank!Zonder anderen tekort te willen doen, willen we in de eerste plaats Lia vanAsselt, Henri Ruizenaar, Frank Arnouts, Doortje Goldbach, Abdelhak El Ja-zouli, Robbert van Aalst en Rene van Hassel bedanken. Hun commentaarheeft tot substantiele verbeteringen geleid. Ook de opmerkingen van Jan Es-sers, Jan Los, Wim Caspers, Adri van den Boom, C.E. van Wijk, G.J.J. Baas,Erik Beijeman, Hermien Beverdam, A. Dolfing, en Marjan van der Vegt heb-

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

3

Page 14: Basisboek Wiskunde 2HP

Voorwoord

ben we zeer op prijs gesteld. Daarnaast zijn we de gebruikers die fouten inde antwoordenlijst hebben gesignaleerd, zeer erkentelijk: Nabi Abudaldah,ing. A.S. Tigelaar, N.J. Schoonderbeek, Evert van de Vrie, Mathijs Schuts, NielDogger, Paul Bles, J. Bon, Max van den Aker, Evelien de Greef, Bas Bemel-mans, Kevin de Berk, Veditam Bishoen, Loek Spitz en Robert van Eekhout.Een antwoordenlijst zonder fouten is ons doel; alle bijdragen die dat ideaaldichterbij brengen, zijn welkom!

We hopen dat ook de tweede editie van Basisboek wiskunde voor studenten enscholieren een betrouwbare gids in de wiskunde zal zijn.

Oosterhout en Breda, maart 2009,Jan van de Craats en Rob Bosch

4

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 15: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

√2 e π− 22

7 − 85

311

94

−3 −2 −1 0 1 2 3

Dit deel gaat over het rekenen met getallen. Ze komen in aller-lei soorten voor: positieve getallen, negatieve getallen, gehelegetallen, rationale en irrationale getallen. De getallen

√2, π

en e zijn voorbeelden van irrationale getallen. In de hogerewiskunde wordt ook met imaginaire en complexe getallen ge-werkt, maar in dit boek zullen we ons beperken tot de reele ge-tallen, dat wil zeggen de getallen die je meetkundig voor kuntstellen als punten op een getallenlijn.

In de eerste twee hoofdstukken worden de rekenvaardighe-den van de basisschool (optellen, aftrekken, vermenigvuldi-gen en delen van gehele getallen en breuken) in kort bestekopgehaald. Wie hier moeite mee heeft, doet er verstandig aanom eerst ons Basisboek rekenen (Pearson Education, 2007) doorte werken.

Page 16: Basisboek Wiskunde 2HP

1 Rekenen met gehele getallen

Voer de volgende berekeningen uit:

1.1a. 873

1121718157

3461+

· · ·b. 1578

95537218212

4139+

· · ·

1.2a. 9134

4319−

· · ·b. 4585

3287−

· · ·c. 7033

1398−

· · ·

1.3 Bereken:a. 34× 89b. 67× 46c. 61× 93d. 55× 11e. 78× 38

1.4 Bereken:a. 354× 83b. 67× 546c. 461× 79d. 655× 102e. 178× 398

Bereken het quotient en de rest met behulp van een staartdeling:

1.5a. 154 : 13b. 435 : 27c. 631 : 23d. 467 : 17e. 780 : 37

1.6a. 2334 : 53b. 6463 : 101c. 7682 : 59d. 6178 : 451e. 5811 : 67

1.7a. 15457 : 11b. 4534 : 97c. 63321 : 23d. 56467 : 179e. 78620 : 307

1.8a. 42334 : 41b. 13467 : 101c. 35641 : 99d. 16155 : 215e. 92183 : 83

6

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 17: Basisboek Wiskunde 2HP

1 Rekenen met gehele getallen

Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen

De rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .is de rij van de positieve gehele getallen.Met deze rij leert ieder kind tellen. Op-tellen, aftrekken en vermenigvuldigenvan zulke getallen zonder rekenmachi-ne leer je op de basisschool. Hiernaaststaan voorbeelden.

34129571812

1431+

2797

81353297

−4838

431728

×3448862

3017

313768

Delen met rest

Delen zonder rekenmachine gaat meteen staartdeling. Hiernaast zie je destaartdeling voor 83218 : 37, dat wilzeggen 83218 gedeeld door 37. Hetquotient 2249 vind je rechtsboven, en derest 5 onderaan de staart. De staartde-ling leert dat

83218 = 2249× 37 + 5

We kunnen dit ook schrijven als

8321837

= 2249 +5

37

Het rechterlid wordt meestal vereen-voudigd tot 2249 5

37 , zodat we krijgen

8321837

= 22495

37

37/

83218∖

224974 ↑92 quotient74

181148

338333

5 ← rest

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

7

Page 18: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

Ontbind de volgende getallen in priemfactoren:

1.9a. 24b. 72c. 250d. 96e. 98

1.10a. 288b. 1024c. 315d. 396e. 1875

1.11a. 972b. 676c. 2025d. 1122e. 860

1.12a. 255b. 441c. 722d. 432e. 985

1.13a. 2000b. 2001c. 2002d. 2003e. 2004

1.14a. je geboortejaarb. je postcodec. je pincode

Bepaal alle delers van de volgende getallen. Werk nauwkeurig en systema-tisch, want als je niet goed oplet, mis je er snel een paar. Het is handig omeerst de priemontbinding van zo’n getal op te schrijven.

1.15a. 12b. 20c. 32d. 108e. 144

1.16a. 72b. 100c. 1001d. 561e. 196

8

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 19: Basisboek Wiskunde 2HP

1 Rekenen met gehele getallen

Delers en priemgetallen

Soms gaat een deling op, dat wil zeggen dat de rest nul is. Zo is bijvoorbeeld238 : 17 = 14. Dan geldt dus 238 = 14× 17. De getallen 14 en 17 heten delersvan 238 en de schrijfwijze 238 = 14 × 17 heet een ontbinding in factoren van238. De woorden ‘deler’ en ‘factor’ zijn in dit verband synoniemen.

Van de beide delers is 14 zelf ook weer te ontbinden, namelijk als 14 = 2× 7,maar verder kan de ontbinding van 238 niet worden voortgezet, want 2, 7en 17 zijn alle drie priemgetallen, dat wil zeggen getallen die niet in kleinerefactoren zijn te ontbinden. Daarmee is de ontbinding in priemfactoren van 238gevonden: 238 = 2× 7× 17.

Omdat 238 = 1× 238 ook een ontbinding van 238 is, zijn 1 en 238 ook delersvan 238. Elk getal heeft 1 en zichzelf als deler. De interessante, echte delers zijnechter de delers die groter dan 1 zijn en kleiner dan het getal zelf. De priem-getallen zijn de getallen die groter dan 1 zijn en geen echte delers hebben. Derij van alle priemgetallen begint als volgt:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, . . .

Elk geheel getal dat groter dan 1 is,kan ontbonden worden in priem-factoren. Hiernaast staat in voor-beelden geıllustreerd hoe je zo’npriemontbinding vindt door syste-matisch naar steeds grotere priem-delers te zoeken. Telkens als je ereen vindt, deel je die uit, en ga jemet het quotient verder.

1802

902

453

153

55

1

5853

1953

655

1313

1

30033

10017

14311

1313

1

Je bent klaar als je op 1 bent uitgekomen. De priemfactoren staan rechts. Uitde drie ladderdiagrammen lezen we de priemontbindingen af:

180 = 2× 2× 3× 3× 5 = 22 × 32 × 5585 = 3× 3× 5× 13 = 32 × 5× 13

3003 = 3× 7× 11× 13

Je ziet dat het handig is om priemfactoren die vaker dan een keer voorkomen,samen te nemen als een macht: 22 = 2× 2 en 32 = 3× 3. Nog meer voorbeel-den (maak zelf de ladderdiagrammen):

120 = 2× 2× 2× 3× 5 = 23 × 3× 581 = 3× 3× 3× 3 = 34

48 = 2× 2× 2× 2× 3 = 24 × 3

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

9

Page 20: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

Bepaal de grootste gemene deler (ggd) van:

1.17a. 12 en 30b. 24 en 84c. 27 en 45d. 32 en 56e. 34 en 85

1.18a. 45 en 225b. 144 en 216c. 90 en 196d. 243 en 135e. 288 en 168

1.19a. 1024 en 864b. 1122 en 1815c. 875 en 1125d. 1960 en 6370e. 1024 en 1152

1.20a. 1243 en 1244b. 1721 en 1726c. 875 en 900d. 1960 en 5880e. 1024 en 2024

Bepaal het kleinste gemene veelvoud (kgv) van:

1.21a. 12 en 30b. 27 en 45c. 18 en 63d. 16 en 40e. 33 en 121

1.22a. 52 en 39b. 64 en 80c. 144 en 240d. 169 en 130e. 68 en 51

1.23a. 250 en 125b. 144 en 216c. 520 en 390d. 888 en 185e. 124 en 341

1.24a. 240 en 180b. 276 en 414c. 588 en 504d. 315 en 189e. 403 en 221

Bepaal de ggd en het kgv van:

1.25a. 9, 12 en 30b. 24, 30 en 36c. 10, 15 en 35d. 18, 27 en 63e. 21, 24 en 27

1.26a. 28, 35 en 49b. 64, 80 en 112c. 39, 52 en 130d. 144, 168 en 252e. 189, 252 en 315

10

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 21: Basisboek Wiskunde 2HP

1 Rekenen met gehele getallen

De ggd en het kgv

Twee getallen kunnen delers gemeen hebben. De grootste gemene deler (ggd)is, zoals de naam al zegt, hun grootste gemeenschappelijke deler. Wanneer deontbinding in priemfactoren van beide getallen bekend is, kan de ggd hieruitdirect worden afgelezen. Zo hebben we op bladzijde 9 de volgende priemont-bindingen gevonden:

180 = 22 × 32 × 5585 = 32 × 5× 13

3003 = 3× 7× 11× 13

Hieruit zien we dat

ggd(180, 585) = ggd(22 × 32 × 5 , 32 × 5× 13) = 32 × 5 = 45ggd(180, 3003) = ggd(22 × 32 × 5 , 3× 7× 11× 13) = 3ggd(585, 3003) = ggd(32 × 5× 13 , 3× 7× 11× 13) = 3× 13 = 39

Het kleinste gemene veelvoud (kgv) van twee getallen is het kleinste getal datzowel een veelvoud van het ene getal, als van het andere getal is. Met anderewoorden, het is het kleinste getal dat door allebei die getallen deelbaar is. Ookhet kgv kan uit de priemontbindingen worden afgelezen. Zo is

kgv(180, 585) = kgv(22 × 32 × 5 , 32 × 5× 13) = 22 × 32 × 5× 13 = 2340

Een handige eigenschap van de ggd en het kgv van twee getallen is dat hunproduct gelijk is aan het product van de beide getallen. Zo is

ggd(180, 585)× kgv(180, 585) = 45× 2340 = 105300 = 180× 585

Ook van meer dan twee getallen kun je de ggd en het kgv direct uit hun priem-ontbindingen aflezen. Zo is

ggd(180, 585, 3003) = 3

kgv(180, 585, 3003) = 22 × 32 × 5× 7× 11× 13 = 180180

Een slim ideeEr is een methode om de ggd van twee getallen te bepalen waarbij priemontbindingenniet nodig zijn, en die vaak veel sneller werkt. Het basisidee is dat de ggd van tweegetallen ook een deler moet zijn van het verschil van die twee getallen. Zie je ookwaarom dit zo is?Zo moet ggd(4352, 4342) ook een deler zijn van 4352− 4342 = 10. Het getal 10 heeftalleen maar de priemdelers 2 en 5. Het is duidelijk dat 5 geen deler is van de beidegetallen, maar 2 wel, en dus geldt ggd(4352, 4342) = 2. Wie slim is kan zich door ditidee te gebruiken veel rekenwerk besparen!

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

11

Page 22: Basisboek Wiskunde 2HP

2 Rekenen met breuken

2.1 Vereenvoudig:

a.1520

b.1845

c.2149

d.2781

e.2496

2.2 Vereenvoudig:

a.60

144

b.144216

c.135243

d.864

1024

e.168288

2.3 Maak gelijknamig:

a.13

en14

b.25

en37

c.49

en25

d.7

11en

34

e.2

13en

512

2.4 Maak gelijknamig:

a.16

en19

b.310

en215

c.38

en56

d.59

en712

e.320

en18

2.5 Maak gelijknamig:

a.13

,14

en15

b.23

,35

en27

c.14

,16

en19

d.2

10,

115

en56

e.5

12,

718

en38

2.6 Maak gelijknamig:

a.2

27,

536

en5

24

b.7

15,

320

en56

c.4

21,

314

en7

30

d.4

63,

542

en1

56

e.5

78,

539

en3

65

Bepaal telkens welke van de volgende twee breuken de grootste is door zeeerst gelijknamig te maken.

2.7

a.518

en6

19

b.715

en5

12

c.920

en1118

d.1136

en9

32

e.2063

en2572

2.8

a.47

en23

b.1485

en751

c.2663

en3984

d.3190

en2372

e.3780

en2960

12

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 23: Basisboek Wiskunde 2HP

2 Rekenen met breuken

Rationale getallen

De rij . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . is de rij van alle gehele getallen. Een meet-kundig beeld ervan geeft de getallenlijn die hieronder is getekend.

−3 −2 −1 0 1 2 3

Ook de rationale getallen, dat wil zeggen de getallen die als een breuk geschre-ven kunnen worden, liggen op de getallenlijn. Hieronder zijn enige rationalegetallen op die lijn aangegeven.

− 227 − 8

53

11289

53

−3 −2 −1 0 1 2 3

In een breuk staan twee gehele getallen, de teller en de noemer, gescheidendoor een horizontale of een schuine breukstreep. Zo is 28 de teller en 6 denoemer van de breuk 28

6 . De noemer van een breuk mag niet nul zijn. Een ra-tionaal getal is een getal dat je als breuk kunt schrijven, maar die schrijfwijzeligt niet ondubbelzinnig vast: als je teller en noemer met hetzelfde gehele ge-tal (ongelijk aan nul) vermenigvuldigt of door een gemeenschappelijke delerdeelt, verandert de waarde ervan niet. Zo is

286

=143

=−14−3

=7015

Breuken als −53 en 22

−7 schrijven we meestal als − 53 , respectievelijk − 22

7 . Ookgehele getallen kun je als breuk schrijven, bijvoorbeeld 7 = 7

1 , −3 = − 31 en

0 = 01 . De gehele getallen behoren dus ook tot de rationale getallen.

Delen van teller en noemer door dezelfde factor (groter dan 1) heet vereenvou-digen. Zo kun je 28

6 vereenvoudigen tot 143 door teller en noemer door 2 te

delen. Een breuk is onvereenvoudigbaar als de grootste gemene deler (ggd) vanteller en noemer 1 is. Zo is 14

3 een onvereenvoudigbare breuk, maar 286 niet.

Je kunt van elke breuk een onvereenvoudigbare breuk maken door teller ennoemer te delen door hun ggd.

Breuken heten gelijknamig als ze dezelfde noemer hebben. Twee breuken kunje altijd gelijknamig maken. Voorbeeld: 4

15 en 521 zijn niet gelijknamig. Je kunt

ze gelijknamig maken door ze allebei als noemer 15 × 21 = 315 te geven:415 = 84

315 en 521 = 75

315 . Maar als je als gemeenschappelijke noemer het kgv vande oorspronkelijke noemers kiest, in dit geval dus kgv(15, 21) = 105, krijg jede eenvoudigste gelijknamige breuken, namelijk 28

105 en 25105 .

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

13

Page 24: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

Bereken:

2.9

a.13

+14

b.15− 1

6

c.17

+19

d.19− 1

11

e.12

+1

15

2.10

a.23

+34

b.35− 4

7

c.27

+34

d.49− 3

8

e.5

11+

415

2.11

a.16

+14

b.19− 2

15

c.38

+1

12

d.13

+56

e.4

15− 3

10

2.12

a.245

+121

b.527− 1

36

c.572

+760

d.334

+185

e.730

+8

105

2.13

a.13

+14

+15

b.12− 1

3+

17

c.14− 1

5+

19

d.12− 1

7− 1

3

e.18

+13− 1

5

2.14

a.12

+14

+18

b.13

+16

+14

c.1

12+

18− 1

2

d.19− 1

12+

118

e.110− 1

15+

16

2.15

a.12− 1

4+

18

b.13

+16− 1

4

c.1

12− 1

8− 1

2

d.19− 1

12− 1

18

e.1

10+

115

+16

2.16

a.13− 1

9+

127

b.12

+1

10− 2

15

c.1

18− 7

30− 3

20

d.3

14− 1

21+

56

e.25− 3

10+

415

2.17

a.25− 1

7− 1

10

b.32

+23− 5

6

c.821− 2

7+

34

d.211− 5

13+

12

e.417− 3

10+

25

14

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 25: Basisboek Wiskunde 2HP

2 Rekenen met breuken

Optellen en aftrekken van breuken

Optellen van twee gelijknamige breuken is eenvoudig: de noemer blijft het-zelfde en de tellers worden bij elkaar opgeteld. Hetzelfde geldt voor het af-trekken van gelijknamige breuken. Voorbeelden:

513

+1213

=1713

en5

13− 12

13=−713

= − 713

Zijn de breuken niet gelijknamig, dan moet je ze eerst gelijknamig maken.Het is weer het zuinigst om als gemeenschappelijke noemer het kgv van deafzonderlijke noemers te kiezen. Voorbeelden:

25

+83

=6

15+

4015

=4615

− 712

+415

= −3560

+1660

= −1960

−137− 18

5= −65

35− 126

35= −191

35

Ook wanneer je meer dan twee breuken moet optellen of aftrekken, is hethandig om ze eerst allemaal gelijknamig te maken. Het zuinigste is het om alsnoemer het kgv van de oorspronkelijke noemers te kiezen. Voorbeeld:

23

+3

10− 2

15=

2030

+9

30− 4

30=

2530

=56

Je ziet dat je je antwoord soms nog kunt vereenvoudigen.

Breuken en rationale getallenEen breuk is een schrijfwijze van een rationaal getal. Door teller en noemer met dezelfdefactor te vermenigvuldigen, verander je wel de breuk, maar niet het rationale getal daterdoor wordt voorgesteld. Je kunt ook zeggen dat de waarde van de breuk niet verandertals je teller en noemer met dezelfde factor vermenigvuldigt. De breuken 5

2 , 156 en 50

20hebben allemaal dezelfde waarde, en op de getallenlijn hebben ze ook allemaal dezelfdeplaats, namelijk halverwege 2 en 3.In de praktijk is men overigens meestal niet zo precies: vaak wordt ‘breuk’ gebruikt opplaatsen waar je strikt genomen ‘waarde van de breuk’ zou moeten zeggen. We doendat trouwens ook wanneer we schrijven 5

2 = 156 of wanneer we zeggen dat 5

2 gelijk is

aan 156 .

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

15

Page 26: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

Bereken:

2.18

a.23× 5

7

b.49× 2

5

c.2

13× 5

7

d.913× 7

2

e.130× 13

10

2.19

a.23× 9

2

b.89× 3

4

c.1415× 10

7

d.2512× 18

35

e.3621× 28

27

2.20

a.6340× 16

27

b.4925× 30

21

c.9926× 39

44

d.5136× 45

34

e.4657× 38

69

2.21

a.23× 6

5× 15

4

b.635× 15

4× 14

9

c.2633× 22

9× 15

39

d.1849× 35

12× 4

21

e.2415× 4

27× 45

16

2.22

a.23

:57

b.13

:12

c. 6 :15

d.65

:109

e.45

:57

2.23

a.23

:49

b.7

10:

2115

c. 10 :53

d.1225

:1835

e.2449

:3649

2.24

a.

2334

b.

659

10

c.

127914

2.25

a.

12

+13

14

+16

b.

59

+310

34− 8

9

c.

43− 3

423

+32

2.26

a.

27

+56

15

+34

b.

16− 5

327− 2

5

c.

35− 11

1267

+311

16

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 27: Basisboek Wiskunde 2HP

2 Rekenen met breuken

Vermenigvuldigen en delen van breuken

Het product van twee breuken is de breuk die als teller het product van detellers, en als noemer het product van de noemers heeft. Voorbeelden:

513× 12

7=

5× 1213× 7

=6091

en87× −5

11=

8× (−5)7× 11

= −4077

Voor delen van breuken geldt: delen door een breuk is vermenigvuldigen met deomgekeerde breuk. De omgekeerde breuk krijg je door teller en noemer te ver-wisselen. Voorbeelden:

513

:127

=5

13× 7

12=

35156

en87

:−511

=87× 11−5

= −8835

Soms gebruikt men ook een andere notatie voor het delen van breuken, name-lijk met de horizontale breukstreep. Voorbeeld:

513127

in plaats van5

13:

127

Er staat dan dus een ‘breuk’ met een breuk in de teller en een breuk in denoemer.

Andere notaties voor breukenIn plaats van een horizontale scheidingsstreep tussen teller en noemer wordt soms ookeen schuine streep gebruikt: 1/2 in plaats van 1

2 . Soms is het ook om typografischeredenen handiger om de schuine-streepnotatie te gebruiken. De notaties worden ook welsamen gebruikt, vaak ook weer om de typografie overzichtelijker te maken, bijvoorbeeld

5/1312/7

of513

/ 127

In sommige situaties kan het voordelen hebben om breuken in een gemengde notatie teschrijven, dat wil zeggen dat men het gehele deel ervan apart zet, bijvoorbeeld 2 1

2 in

plaats van 52 . Bij vermenigvuldigen en delen is die notatie echter niet handig, vandaar

dat we er in dit boek haast nooit gebruik van zullen maken.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

17

Page 28: Basisboek Wiskunde 2HP

3 Machten en wortels

Schrijf alle volgende uitdrukkingen als een geheel getal of als een onvereen-voudigbare breuk:

3.1a. 23

b. 32

c. 45

d. 54

e. 28

3.2a. (−2)3

b. (−3)2

c. (−4)5

d. (−5)4

e. (−2)6

3.3a. 2−3

b. 4−2

c. 3−4

d. 7−1

e. 2−7

3.4a. 20

b. 9−1

c. 11−2

d. 9−3

e. 10−4

3.5a. (−4)3

b. 3−5

c. (−3)−3

d. 24

e. (−2)−4

3.6a. (−2)0

b. 02

c. 12−1

d. (−7)2

e. (−2)−7

3.7a. ( 2

3 )2

b. ( 12 )4

c. ( 45 )3

d. ( 27 )2

3.8a. ( 2

3 )−2

b. ( 12 )−3

c. ( 79 )−1

d. ( 32 )−4

3.9a. ( 4

3 )−2

b. ( 12 )−4

c. ( 45 )−1

d. ( 23 )−5

3.10a. ( 1

4 )−1

b. ( 65 )0

c. ( 43 )3

d. ( 52 )−4

3.11a. ( 6

7 )2

b. ( 87 )0

c. ( 67 )−2

d. ( 27 )3

3.12a. ( 4

9 )3

b. ( 53 )−3

c. ( 511 )2

d. ( 36 )−5

18

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 29: Basisboek Wiskunde 2HP

3 Machten en wortels

Gehele machten

Voor ieder getal a ongelijk aan 0 en elk positief geheel getal k is

ak =k maal︷ ︸︸ ︷

a× a× · · · × aa0 = 1

a−k =1ak

Hiermee is an voor ieder geheel getal n gedefinieerd. Het getal a heet hetgrondtal en n heet de exponent. Voorbeelden:

74 = 7× 7× 7× 7 = 2401(−1

3

)0= 1(

38

)−1=

138

=83

10−3 =1

103 =1

1000

Eigenschappen:

an × am = an+m

an : am = an−m

(an)m = an×m

(a× b)n = an × bn( ab

)n=

an

bn

Een bijzondere plaats neemt het grondtal 0 in. We hebben hierboven a ongelijkaan 0 genomen om te voorkomen dat er bij een negatieve gehele exponent nin de macht an een breuk met nul in de noemer verschijnt.

Voor positieve gehele n definieert men echter gewoon 0n = 0, en verder ishet in de wiskunde ook gebruikelijk om 00 = 1 te definieren. Dat laatste iseenvoudig een afspraak die maakt dat bepaalde veel voorkomende formulesook voor 0 geldig blijven. Een voorbeeld is de formule a0 = 1, die nu dus vooralle a, ook voor a = 0, geldt. Het blijft echter een afspraak; zoek hier verderniets diepzinnigs achter!

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

19

Page 30: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

Schrijf alle volgende uitdrukkingen in standaardvorm, dat wil zeggen in devorm a

√b waarin a een geheel getal en

√b een onvereenvoudigbare wortel is.

3.13a.√

36b.√

81c.√

121d.√

64e.√

169

3.14a.√

225b.√

16c.√

196d.√

256e.√

441

3.15a.√

8b.√

12c.√

18d.√

24e.√

50

3.16a.√

72b.√

32c.√

20d.√

98e.√

40

3.17a.√

54b.√

99c.√

80d.√

96e.√

200

3.18a.√

147b.√

242c.√

125d.√

216e.√

288

3.19a.√

675b.√

405c.√

512d.√

338e.√

588

3.20a.√

1331b.√

972c.√

2025d.√

722e.√

676

3.21a.√

6×√

3b.√

10×√

15c. 2

√14×−3

√21

d. −4√

22× 5√

33e. 3

√30× 2

√42

3.22a.√

5×√

3b. −

√2×√

7c.√

3×√

5×√

2d. 2

√14× 3

√6

e. 3√

5×−2√

6× 4√

10

3.23a. 3

√6× 2

√15× 4

√10

b. −5√

5× 10√

10× 2√

2c. 2

√21×−

√14×−3

√10

d.√

15× 2√

3×−3√

35e. −3

√30× 12

√14×−2

√21

20

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 31: Basisboek Wiskunde 2HP

3 Machten en wortels

Wortels van gehele getallen

De wortel van een getal a ≥ 0 is het getal w waarvoor geldt dat w ≥ 0 enw2 = a is. Notatie: w =

√a.

Voorbeeld:√

25 = 5 want 52 = 25. Merk op dat ook (−5)2 = 25, dus ook−5 zou men misschien een ‘wortel van 25’ willen noemen. Zoals in de defi-nitie staat, wordt onder

√a echter uitsluitend het niet-negatieve getal verstaan

waarvan het kwadraat gelijk is aan a, dus√

25 = +5.

Het getal√

20 is geen geheel getal want 42 = 16 < 20 en 52 = 25 > 20 dus4 <

√20 < 5. Is

√20 misschien als een breuk te schrijven? Het antwoord

is nee: de wortel van een positief geheel getal dat zelf geen kwadraat vaneen geheel getal is, is altijd irrationaal, dat wil zeggen dat men zo’n getal nietals een breuk kan schrijven. Toch kan

√20 wel worden vereenvoudigd, want

20 = 22 × 5 dus√

20 =√

22 × 5 = 2×√

5. Die laatste uitdrukking schrijvenwe meestal korter als 2

√5.

De wortel√

a van een positief geheel getal a heet onvereenvoudigbaar als a geenkwadraat van een geheel getal groter dan 1 als deler heeft. Zo zijn

√21 =√

3× 7,√

66 =√

2× 3× 11 en√

91 =√

7× 13 onvereenvoudigbare wortels,maar

√63 niet, want

√63 =

√7× 9 =

√7× 32 = 3

√7.

Elke wortel van een positief geheel getal kan geschreven worden als een ge-heel getal of als het product van een geheel getal en een onvereenvoudigbarewortel. Deze schrijfwijze heet de standaardvorm van de wortel. Je vindt destandaardvorm door alle kwadraten ‘buiten de wortel te halen’. Voorbeeld:√

200 =√

102 × 2 = 10√

2.

Waarom√

20 irrationaal isOm aan te tonen dat

√20 irrationaal is, gebruiken we een bewijs uit het ongerijmde:

stel dat√

20 rationaal was. Dan zou je die wortel kunnen schrijven als een breuk p/qwaarin p en q positieve gehele getallen zijn met ggd(p, q) = 1. Uit

√20 = p/q volgt

20q2 = p2 oftewel 2× 2× 5× q2 = p2. Het linkerlid is deelbaar door 5, dus het rechterlidook. In de priemontbinding van p moet dan minstens een priemfactor 5 zitten, en inde priemontbinding van p2 zitten dus minstens twee factoren 5. Maar ggd(p, q) = 1,en dus bevat de priemontbinding van q geen factoren 5. De priemontbinding van 20q2

bevat dus precies een factor 5, terwijl we net hebben aangetoond dat die van p2 erminstens twee heeft. Dit is in tegenspraak met 20q2 = p2. Onze veronderstelling dat√

20 rationaal is, heeft dus tot een tegenspraak geleid. Conclusie: het getal√

20 isirrationaal. Zo’n zelfde irrationaliteitsbewijs kan gegeven worden voor de wortel van elkpositief geheel getal dat geen kwadraat is.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

21

Page 32: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

Schrijf alle volgende uitdrukkingen in standaardvorm, dat wil zeggen in devorm a

√b waarin a een geheel getal of een onvereenvoudigbare breuk, en

√b

een onvereenvoudigbare wortel is.

3.24

a.

(√3

2

)2

b.(

3√2

)2

c.

(√3√2

)2

d.

(√2

3

)3

e.

(2√

3√2

)3

3.25

a.

(√3√6

)3

b.

(2√

33√

2

)3

c.

(−√

72√

2

)4

d.

(√32

)3

e.

(√43

)5

3.26

a.

√23

b.

√32

c.

√65

d.

√72

e.

√27

3.27

a.

√5

12

b.

√4

27

c.

√9

20

d.

√615

e.

√732

3.28

a.√

3√2

b.√

5√3

c.√

7√11

d.√

11√5

e.√

2√11

3.29

a.3√

5√6

b.2√

3√10

c.4√

12√20

d.−5√

2√15

e.6√

63√

3

22

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 33: Basisboek Wiskunde 2HP

3 Machten en wortels

Wortels van breuken in standaardvorm

De wortel van een breuk met positieve teller en noemer is het quotient van de

wortel van de teller en de wortel van de noemer. Zo is

√49

=

√4√9

=23

. Ter

controle: inderdaad is(

23

)2=

49

.

De wortel van een positieve breuk kan altijd geschreven worden als een onver-eenvoudigbare breuk of als het product van een onvereenvoudigbare breuk eneen onvereenvoudigbare wortel. We noemen dit weer de standaardvorm vanzo’n wortel. Voorbeelden:√

43

=

√4× 33× 3

=23

√3 en

√1115

=

√11× 1515× 15

=115

√165

Je bepaalt zo’n standaardvorm dus door eerst teller en noemer te vermenig-vuldigen met een factor die ervoor zorgt dat de noemer een kwadraat van eengeheel getal wordt, en dus kan worden getrokken. Wanneer de wortel vande teller dan nog niet in standaardvorm staat, kan die worden vereenvoudigdtot een product van een geheel getal en een onvereenvoudigbare wortel, waar-mee dan de gezochte standaardvorm van de wortel van de breuk gevondenis. Op dezelfde manier kun je een wortel in de noemer van een breuk altijdwegwerken, en daarmee zo’n breuk weer in standaardvorm schrijven. Voor-beeld:

2√

3√7

=2√

3×√

7√7×√

7=

2√

217

=27

√21

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

23

Page 34: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

Schrijf alle volgende uitdrukkingen in standaardvorm.

3.30a. 3√8b. 4√81c. 3√125d. 5√1024e. 3√216

3.31a. 3√−27b. 4√16c. 5√243d. 7√−128e. 2√144

3.32a. 3√16b. 4√243c. 3√375d. 5√96e. 3√54

3.33a. 3√−40b. 4√48c. 5√320d. 3√432e. 6√192

3.34a. 3√5× 3√7b. 4√4× 4√14c. 3√6× 3√4d. 4√18× 4√45e. 5√16× 5√12

3.35a. 4√24× 4√54b. 3√36× 3√12c. 5√81× 5√15d. 6√288× 6√324e. 3√200× 3√35

3.36

a. 3

√1

343

b. 4

√−1681

c. 5

√32−243

d. 2

√36121

e. 4

√1296625

3.37

a. 3

√8

27

b. 4

√62516

c. 5

√32

243

d. 3

√216

1000

e. 2

√14425

3.38

a. 3

√14

b. 4

√2

27

c. 3

√3

25

d. 3

√59

e. 6

√38

3.39

a. 3

√524

b. 4

√7

72

c. 5

√5

648

d. 3

√9

100

3.40

a.3√23√3

b.4√34√8

c.5√1

5√16

d.6√6

6√81

3.41

a.3√−3

3√2

b.4√34√4

c.5√7

5√−27

d.3√353√36

24

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 35: Basisboek Wiskunde 2HP

3 Machten en wortels

Hogeremachtswortels in standaardvorm

De wortels uit de vorige paragraaf worden soms ook tweedemachtswortels ofvierkantswortels genoemd om ze te onderscheiden van de hogeremachtswor-tels die op een soortgelijke manier worden gedefinieerd.

Zo is de derdemachtswortel van een getal a het getal w waarvoor w3 = a. Nota-tie: 3√

a. Voorbeelden: 3√27 = 3 want 33 = 27 en 3√−8 = −2 want (−2)3 = −8.

Merk op dat derdemachtswortels ook uit negatieve getallen kunnen wordengetrokken, en dat er geen keuzemogelijkheid voor de wortel is: er is maar eengetal waarvan de derdemacht gelijk is aan 27, namelijk 3, en er is ook maareen getal waarvan de derdemacht gelijk is aan −8, namelijk −2.

In het algemeen is de n-demachtswortel n√

a van a het getal w waarvoor geldtdat wn = a. Wanneer n even is, moet a ≥ 0 zijn. In dat geval geldt ookwn = (−w)n, en dus zijn er dan twee mogelijke kandidaat-wortels. Bij af-spraak neemt men echter altijd de niet-negatieve w waarvoor wn = a.

Er zijn veel overeenkomsten tussen n-demachtswortels en gewone wortels,dat wil zeggen tweedemachtswortels:

• De n-demachtswortel van een geheel getal a is irrationaal tenzij a zelfeen n-demacht van een geheel getal is.

• De n-demachtswortel van een positief geheel getal a heet onvereenvou-digbaar wanneer a geen n-demacht behalve 1 als deler heeft.

• De n-demachtswortel van een breuk kan geschreven worden als eenbreuk of als het product van een breuk en een onvereenvoudigbare n-demachtswortel. Dit noemen we weer de standaardvorm van die wortel.

Voorbeelden voor derdemachtswortels: 3√24 is vereenvoudigbaar, want 3√24 =3√23 × 3 = 2 3√3, maar de wortels 3√18, 3√25 en 3√450 zijn onvereenvoudig-

baar. De standaardvorm van een derdemachtswortel van een breuk bepalenwe door teller en noemer met een zodanige factor te vermenigvuldigen dat denoemer een derdemacht wordt. Voorbeeld:

3

√1475

= 3

√2× 73× 52 = 3

√2× 7× 32 × 5

33 × 53 =115

3√630

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

25

Page 36: Basisboek Wiskunde 2HP

I Getallen

3.42 Schrijf als wortel:

a. 212

b. 332

c. 723

d. 554

e. 443

3.43 Schrijf als wortel:

a. 3−12

b. 7−32

c. 4−13

d. 9−25

e. 2−12

3.44 Schrijf als macht:

a. 3√5b. 2√7c. 4√2d. 6√12e. 5√5

3.45 Schrijf als macht:

a.1

2√5

b.1

3√6

c.1

2 4√2

d.3

2√3

e.7

5√7

3.46 Schrijf als machtvan 2:

a. 3√4b. 2√8c. 4√32d. 6√16e. 3√32

3.47 Schrijf als machtvan 2:

a.4

2√2

b.1

2 2√2

c.8

3√4

d.2

4√8

e.1

4 3√16

Schrijf de volgende uitdrukkingen als wortel in standaardvorm.

3.48a. 2√2× 3√2b. 3√3× 2√3c. 4√8× 3√16d. 5√27× 3√9e. 3√16× 6√16

3.49a. 2√7× 3√49b. 3√9× 2√3c. 4√25× 3√5d. 5√81× 4√27e. 4√49× 2√7

3.50a. 2√2 : 3√2b. 3√9 : 2√3c. 4√8 : 2√2d. 3√9 : 5√27e. 2√2 : 3√4

26

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 37: Basisboek Wiskunde 2HP

3 Machten en wortels

Gebroken machten

In deze paragraaf beperken we ons tot machten met een positief grondtal. Alsmn een breuk is met n > 1 definieren we

amn = n√am

In het bijzonder is (neem m = 1)

a1n = n√a

dusa

12 =√

a, a13 = 3√

a, a14 = 4√

a enzovoort.

Evenzo is (neem m = −1)

a−12 =

√a−1 =

√1a

=1√a

, a−13 =

3√

a−1 = 3

√1a

=1

3√

aenzovoort.

Verdere voorbeelden:

732 =

√73 = 7

√7, 5−

27 =

17√25

en 253 =

3√

25 = 2 3√4

Het laatste voorbeeld kun je ook als volgt vinden via 53 = 1 2

3 = 1 + 23 .

253 = 21+ 2

3 = 21 × 223 = 2

3√

22 = 2 3√4

Rekenregels voor machten:

ar × as = ar+s

ar : as = ar−s

(ar)s = ar×s

(a× b)r = ar × br( ab

)r=

ar

br

Deze rekenregels zijn geldig voor alle rationale getallen r en s en alle positievegetallen a en b.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

27

Page 38: Basisboek Wiskunde 2HP
Page 39: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

De algebra is de kunst van het rekenen met letters. Die let-ters stellen meestal getallen voor. In de eerste twee hoofd-stukken van dit deel behandelen we de grondprincipes vande algebra: prioriteitsregels, haakjes uitwerken, termen buitenhaakjes brengen, de bananenformule en de merkwaardige produc-ten. Het laatste hoofdstuk gaat over het rekenen met breukenwaarin letters voorkomen, met name over het vereenvoudi-gen, het onder een noemer brengen en het splitsen van zulkebreuken.

Page 40: Basisboek Wiskunde 2HP

4 Rekenen met letters

Bij de volgende opgaven gaat het er om de gegeven waarden in te vullen (tesubstitueren) in de gegeven algebraısche uitdrukking en het resultaat te bere-kenen. Voorbeeld: als je a = 5 substitueert in de uitdrukking 3a3 − 2a + 4 krijgje 3× 53 − 2× 5 + 4 = 375− 10 + 4 = 369.

4.1 Substitueer a = 3 ina. 2a2

b. −a2 + ac. 4a3 − 2ad. −3a3 − 3a2

e. a(2a− 3)

4.2 Substitueer a = −2 ina. 3a2

b. −a3 + ac. 3(a2 − 2a)d. −2a2 + ae. 2a(−a + 3)

4.3 Substitueer a = 4 ina. 3a2 − 2ab. −a3 + 2a2

c. −2(a2 − 2a)d. (2a− 4)(−a + 2)e. (3a− 4)2

4.4 Substitueer a = −3 ina. −a2 + 2ab. a3 − 2a2

c. −3(a2 − 2a)d. (2a− 1)(−3a + 2)e. (2a + 1)2

4.5 Substitueer a = 3 en b = 2 ina. 2a2bb. 3a2b2 − 2abc. −3a2b3 + 2ab2

d. 2a3b− 3ab3

e. −5ab2 − 2a2 + 3b3

4.6 Substitueer a = −2 en b = −3in

a. 3ab− ab. 2a2b− 2abc. −3ab2 + 3abd. a2b2 − 2a2b + ab2

e. −a2 + b2 + 4ab

4.7 Substitueer a = 5 en b = −2in

a. 3(ab)2 − 2abb. a(a + b)2 − (2a)2

c. −3ab(a + 2b)2

d. 3a(a− 2b)(a2 − 2ab)e. (a2b− 2ab2)2

4.8 Substitueer a = −2 en b = −1in

a. −(a2b)3 − 2(ab2)2

b. −b(3a2 − 2b)2

c. (3a2b− 2ab2)(2a2 − b2)d. (a2 + b2)(a2 − b2)

e.((−a2b + 2b)(ab2 − 2a)

)2

30

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 41: Basisboek Wiskunde 2HP

4 Rekenen met letters

Prioriteitsregels

Letters in algebraısche uitdrukkingen stellen in dit deel steeds getallen voor.Met die letters zijn dan ook gelijk rekenkundige bewerkingen gedefinieerd.Zo is a + b de som van a en b, a− b het verschil van a en b enzovoort.

Bij het vermenigvuldigen vervangen we het maalteken vaak door een punt, ofwe laten het helemaal weg. We schrijven dus vaak a · b of ab in plaats van a× b.Vaak gebruiken we ook mengvormen van letters en getallen: 2ab betekent2 × a × b. Het is gebruikelijk om in zulke mengvormen het getal voorop tezetten, dus 2ab en niet a2b of ab2.

Het is gebruikelijk om de volgende prioriteitsregels te hanteren:

a. Optellen en aftrekken geschieden in de volgorde waarin deze bewerkin-gen voorkomen, van links naar rechts.

b. Vermenigvuldigen en delen geschieden in de volgorde waarin deze be-werkingen voorkomen, van links naar rechts.

c. Vermenigvuldigen en delen hebben voorrang boven optellen en aftrek-ken.

We geven hieronder enige getallenvoorbeelden, waarbij we in het rechterlideerst de volgorde van de bewerkingen met haakjes expliciet aangeven en ver-volgens het antwoord berekenen.

5− 7 + 8 = (5− 7) + 8 = 64− 5× 3 = 4− (5× 3) = −119 + 14 : 7 = 9 + (14 : 7) = 1112 : 3× 4 = (12 : 3)× 4 = 16

Nu met letters. Het rechterlid geeft de uitrekenvolgorde met haakjes aan.

a− b + c = (a− b) + ca− bc = a− (b× c)a + b : c = a + (b : c)a : b× c = (a : b)× c

Let op: als je in het onderste voorbeeld het linkerlid noteert als a : bc zullenvelen dit opvatten als a : (b × c), en dat is echt iets anders dan (a : b) × c.Neem bijvoorbeeld a = 12, b = 3 en c = 4, dan is (12 : 3)× 4 = 16 maar12 : (3 × 4) = 1. Schrijf dus niet a : bc maar a : (bc) wanneer je dat laatstebedoelt. Meer in het algemeen:

Gebruik haakjes in alle gevallen waarin misverstanden omtrent de volgordevan het uitvoeren van algebraısche bewerkingen zouden kunnen ontstaan!

Vuistregel: beter te veel haakjes gebruiken dan te weinig!

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

31

Page 42: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk als een macht of eenproduct van machten.

4.9a. a3 · a5

b. b3 · b2

c. a4 · a7

d. b · b3

e. a7 · a7

4.10a. (a2)3

b. (b3)4

c. (a5)5

d. (b4)2

e. (a6)9

4.11a. (ab)4

b. (a2b3)2

c. (a4b)3

d. (a2b3)4

e. (a3b4)5

4.12a. a4 · a3 · ab. 2a5 · 3a5

c. 4a2 · 3a2 · 5a2

d. 5a3 · 6a4 · 7ae. a · 2a2 · 3a3

4.13a. (2a2)3

b. (3a3b4)4

c. (4a2b2)2

d. (5a5b3)3

e. (2ab5)4

4.14a. 3a2b · 5ab4

b. 6a3b4 · 4a6b2

c. 3a2b2 · 2a3b3

d. 7a5b3 · 5a7b5

e. 8a2b4 · 3ab2 · 6a5b4

4.15a. 3a2 · −2a3 · −4a5

b. −5a3 · 2a2 · −4a3 · 3a2

c. 4a2 · −2a4 · −5a5

d. 2a4 · −3a5 · −3a6

e. −3a2 · −2a4 · −4a

4.16a. (−2a2)3

b. (−3a3)2

c. (−5a4)4

d. (−a2b4)5

e. (−2a3b5)7

4.17a. 3a2 · (2a3)2

b. (−3a3)2 · (2a2)3

c. (3a4)3 · −5a6

d. 2a2 · (5a3)3 · 3a5

e. −2a5 · (−2a)5 · 5a2

4.18a. 2a3b4(−3a2b3)2

b. (−2a2b4)3(−3a2b5)2

c. 2a2b(−2a2b)2(−2a2b)3

d. 3a4b2(−3a2b4)3(−2a3b2)2

e. (2a3)4(−3b2)2(2a2b3)3

4.19a. (3a2b3c4)2(2ab2c3)3

b. (−2a3c4)2(−a2b3)3(2b3c2)4

c. 2a2c3(3a3b2c)4(−5ab2c5)d. (−2a3c)6(5a3b2)2(−5b3c4)4

e. −(−3a2b2c2)3(−2a3b3c3)2

4.20a.

((a3)4)3

b.((−a2)3(2a3)2)2

c.((2a2b3)2(−3a3b2)3)2

d.(−2a(−a3)2)5

e.(−2(−a2)3)2 (−3(−a4)2)3

32

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 43: Basisboek Wiskunde 2HP

4 Rekenen met letters

Rekenen met machten

In het vorige hoofdstuk hebben we onder andere de volgende rekenregelsvoor machten behandeld:

an × am = an+m

(an)m = an×m

(a× b)n = an × bn

We hebben toen alleen maar met concrete getallenvoorbeelden gerekend, maarnu kunnen we het ook met letters. In deze paragraaf zullen de exponentenwel steeds gegeven gehele getallen zijn, maar voor de grondtallen nemen wenu letters. Met de rekenregels kunnen we dan ingewikkelde algebraısche uit-drukkingen met machten vereenvoudigen.

We geven een aantal voorbeelden. Eerst vier eenvoudige gevallen.

a4 · a5 = a4+5 = a9

(a2)4 = a2×4 = a8

(ab)5 = a5 × b5 = a5b5

(a2b4)3 = (a2)3(b4)3 = a6b12

Nu met getallen erbij:

2a3 · 5a7 = (2× 5) a3+7 = 10 a10

(2a)4 · (5a)3 = (24 × 53) a4+3 = 2000 a7

(−2a)7 = (−2)7 a7 = −128 a7

(4a2)3 · (−5a)2 = 64 · 25 (a2)3 · a2 = 1600 a8

Maak nu alle opgaven op de tegenoverliggende bladzijde. Let daarbij ook opde mintekens, als die er zijn. Bedenk:

Een negatief getal tot een even macht geeft een positief getal.Een negatief getal tot een oneven macht geeft een negatief getal.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

33

Page 44: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

Werk bij de volgende opgaven de haakjes uit.

4.21a. 3(2a + 5)b. 8(5a− 2)c. −5(3a− 2)d. 12(−5a + 1)e. −7(7a + 6)

4.22a. 2a(a− 5)b. 7a(2a + 12)c. −13a(9a− 5)d. 8a(8a− 15)e. −21a(3a + 9)

4.23a. 2a(a2 + 9)b. 3a2(4a− 7)c. −5a2(2a2 + 4)d. 9a2(a2 + 2a)e. −3a(a2 − 4a)

4.24a. 4a2(3a2 + 2a + 3)b. −3a2(2a3 + 5a2 − a)c. 7a3(2a2 + 3a− 6)d. 12a2(−6a3 − 2a2 + a− 1)e. −5a2(3a4 + a2 − 2)

4.25a. 2(3a + 4b)b. −5(2a− 5b)c. 2a(a + 2b)d. 16a(−4a + 6b)e. −22a(8a− 11b)

4.26a. 3a(9a + 5b− 12)b. 2a2(7a− 6b)c. −8a2(7a + 4b− 1)d. 6a2(−2a + 2b + 2)e. −13a2(13a + 12b− 14)

4.27a. 2a2(3a2 + 2b− 3)b. −5a3(2a2 + a− 2b)c. 2b2(3a2 + 2b2)d. 4a3(−2a2 + 5b2 − 2b)e. −14b3(14a2 + 2a− 5b2)

4.28a. 2a2(a2 + 3ab)b. −5a2(3a2 + 2ab− 3b2)c. 2a3(3a3 + 2a2b2 − b2)d. −3a4(2a3 + 2a2b2 + 2ab2)e. 7a3(−7a3 + 3a2b− 4ab2)

4.29a. 2ab(a2 + 2ab− b2)b. −5ab(−3a2b + 2ab2 − 6b)c. 6ab2(2a2b− 5ab− b2)d. −12a2b2(−12a2b2 + 6ab− 12)e. 6ab2(2a2b + 9ab− ab2)

4.30a. a3b2(−5a2b3 + 2a2b2 − ab3)b. −a2b3(−a3b2 − a2b− 14)c. 15a4b3(−a3b4 − 6a2b3 + ab4)d. −a5b4(13a4b5 − 12a2b3 + 9ab5)e. 7a2b2(−7a3 − 7ab2 − 1)

4.31a. 2a(a + 6)− 4(a + 2)b. −4a(3a + 6) + 2(a− 3)c. 7a(−2a− 1)− 2a(−7a + 1)d. −8a(a− 8)− 2(−a + 5)e. 5a(2a− 5) + 5(2a− 1)f. −2a(a + 1)− (a− 1)

4.32a. 3a(a + 2b)− b(−2a + 2)b. −a(a− b) + b(−a + 1)c. 2a(2a + b)− 2b(−a + b)−

2(a− b)d. −b(−a + 2b) + 3(2a− b)−

a(2a + b)

34

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 45: Basisboek Wiskunde 2HP

4 Rekenen met letters

Haakjes uitwerken

De distributieve wetten luiden:

a(b + c) = ab + ac(a + b)c = ac + bc

Ze zijn algemeen geldig, welke getallen je ook invult voor a, b en c.Voorbeelden: 15(3 + 8) = 15× 3 + 15× 8 = 45 + 120 = 165,(3− 8)(−11) = 3× (−11) + (−8)× (−11) = −33 + 88 = 55.

Met de distributieve wetten kun je ‘haakjes uitwerken’. Voorbeelden:

5a2(4b− 2c) = 20a2b− 10a2c3ab(c + 2b) = 3abc + 6ab2

(5a− 2b)3c2 = 15ac2 − 6bc2

Let erop dat de distributieve wetten in hun meest eenvoudige, ‘kale’ vorm zijngeformuleerd, maar dat we bij de voorbeelden voor a, b en c allerlei algebra-ische uitdrukkingen hebben gesubstitueerd. Het is juist deze mogelijkheid ommet formules te manipuleren die de algebra tot zo’n nuttig instrument maakt.Bedenk ook dat het maalteken in al deze voorbeelden weggelaten is. Metmaaltekens luidt het eerste voorbeeld

5× a2 × (4× b− 2× c) = 20× a2 × b− 10× a2 × c

waarmee zo’n formule weliswaar omslachtiger, maar voor de beginner welbegrijpelijker wordt.

We kunnen het bovenstaande ook toepassen in samenstellingen en combina-ties. Voorbeelden:

3a(4b− 2c) + 2b(a− 3c) = 12ab− 6ac + 2ab− 6bc = 14ab− 6ac− 6bc4a(b + c)− 5a(2b− 3c) = 4ab + 4ac− 10ab + 15ac = −6ab + 19ac−2a(b− 3c)− 5c(a + 2b) = −2ab + 6ac− 5ac− 10bc = −2ab + ac− 10bc

Let in de laatste twee voorbeelden vooral op de tekens. Bedenk dat bij verme-nigvuldigen geldt:

Plus maal plus is plus Min maal plus is minPlus maal min is min Min maal min is plus

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

35

Page 46: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

Breng bij de volgende opgaven zo veel mogelijk factoren buiten haakjes.

4.33a. 6a + 12b. 12a + 16c. 9a− 12d. 15a− 10e. 27a + 81

4.34a. 3a− 6b + 9b. 12a + 8b− 16c. 9a + 12b + 3d. 30a− 24b + 60e. 24a + 60b− 36

4.35a. −6a + 9b− 15b. −14a + 35b− 21c. −18a− 24b− 12cd. −28a− 70b + 42ce. −45a + 27b− 63c− 18

4.36a. a2 + ab. a3 − a2

c. a3 − a2 + ad. a4 + a3 − a2

e. a6 − a4 + a3

4.37a. 3a2 + 6ab. 9a3 + 6a2 − 3ac. 15a4 − 10a3 + 25a2

d. 27a6 − 18a4 − 36a2

e. 48a4 − 24a3 + 36a2 + 60a

4.38a. 3a2b + 6abb. 9a2b− 9ab2

c. 12ab2 − 4abd. 14a2b2 − 21ab2

e. 18a2b2 − 15a2b4.39

a. 3a3b2 + 6a2bb. 6a4b3 − 9a3b2 + 12a2bc. 10a3b2c2 − 5a2bc2 − 15abcd. 8a6b5c4 − 12a4b4c3 + 20a3b4c3

e. a3b3c3 + a3b3c2 + a3b3c

4.40a. −4a2b3c2 + 2a2b2c2 − 6a2bc2

b. a6b5c4 − a4b6c4 − a3b7c3

c. −2a3c4 + 2a2b2c3 − 4a2bc2

d. −a7b6 + a6b7 − a5b6

e. −a8b7c6 − a7b6c7 + a6b6c6

4.41a. a(b + 3) + 3(b + 3)b. a(b− 1)− 2(b− 1)c. 2a(b + 4) + 7(b + 4)d. a2(2b− 1) + 2(2b− 1)e. a(b− 2)− (b− 2)

4.42a. a2(b + 1)− a(b + 1)b. 6a(2b + 1) + 12(2b + 1)c. −2a(b− 1) + 4(b− 1)d. a3(4b + 3)− a2(4b + 3)e. −6a2(2b + 3)− 9a(2b + 3)

4.43a. (a + 1)(b + 1) + 3(b + 1)b. (2a− 1)(b + 1) + (2a− 1)(b− 1)c. (a + 3)(2b− 1)+

(2a− 1)(2b− 1)d. (a− 1)(a + 3) + (a + 2)(a + 3)e. (a + 1)2 + (a + 1)

4.44a. 2(a + 3)2 + 4(a + 3)b. (a + 3)2(b + 1)− 2(a + 3)(b + 1)c. (a− 1)2(a + 2)− (a− 1)(a + 2)2

d. 3(a + 2)2(a− 2)+9(a + 2)(a− 2)2

e. −2(a + 4)3 + 6(a + 4)2(a + 2)

36

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 47: Basisboek Wiskunde 2HP

4 Rekenen met letters

Factoren buiten haakjes brengen

De distributieve wetten kun je ook andersom lezen:

ab + ac = a(b + c)ac + bc = (a + b)c

en ze op die manier gebruiken om een factor buiten haakjes te brengen. Wegeven weer een aantal voorbeelden. Eerst brengen we alleen maar gehelegetallen buiten haakjes:

3a + 12 = 3(a + 4)27a + 45b− 9 = 9(3a + 5b− 1)

Maar het kan ook met letters of combinaties van letters en getallen:

a4 − a = a(a3 − 1)15a2b + 5ab3 = 5ab(3a + b2)

Of zelfs met hele algebraısche uitdrukkingen:

(a + 1)b− 3(a + 1) = (a + 1)(b− 3)7a2(b2 − 3)− 35(b2 − 3) = 7(a2 − 5)(b2 − 3)

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

37

Page 48: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

Werk de haakjes uit.

4.45a. (a + 3)(a + 1)b. (2a + 3)(a + 3)c. (a− 6)(3a + 1)d. (4a− 5)(5a + 4)e. (3a + 9)(2a− 5)f. (6a− 12)(4a + 10)

4.46a. (−3a + 8)(8a− 3)b. (7a + 12)(8a− 11)c. (17a + 1)(a− 17)d. (−2a + 6)(−3a− 6)e. (a + 3)(b− 5)f. (2a + 8)(3b + 5)

4.47a. (−4a + 1)(b− 1)b. (3a− 1)(−b + 3)c. (13a + 12)(12b− 13)d. (a2 + 4)(a− 4)e. (a− 1)(a2 + 7)f. (a2 + 3)(a2 + 9)

4.48a. (2a2 − 7)(a + 7)b. (−3a2 + 2)(−2a2 + 3)c. (a2 + 2a)(2a2 − a)d. (3a2 − 4a)(−2a2 + 5a)e. (−6a2 + 5)(a2 + a)f. (9a2 + 7a)(2a2 − 7a)

4.49a. (−8a2 − 3a)(3a2 − 8a)b. (2a3 − a)(−5a2 + 4)c. (−a3 + a2)(a2 + a)d. (9a4 − 5a2)(6a3 + 2a2)e. (7a3 − 1)(8a3 − 5a)f. (−6a5 − 5a4)(−4a3 − 3a2)

4.50a. (2ab + a)(3ab− b)b. (3a2b + ab)(2ab2 − 3ab)c. (−2a2b2 + 3a2b)(2ab2 − 2ab)d. (8a3b2 − 6ab3)(−4a2b3 − 2ab2)e. (−a5b3 + a3b5)(a3b5 − ab7)f. (2a + 3)(a2 + 2a− 2)

4.51a. (−3a + 2)(4a2 − a + 1)b. (2a + b)(a + b + 4)c. (−3a + 3b)(3a− 3b− 3)d. (9a + 2)(2a− 9b + 1)e. (a2 + a)(a2 − a + 1)f. (2a2 + 2a− 1)(3a + 2)

4.52a. (−2a− 1)(−a2 − 3a− 4)b. (a− b− 1)(a + b)c. (a2 + ab + b2)(a2 − b2)d. (a + 1)(a + 2)(a + 3)e. (a− 1)(a + 2)(a− 3)f. (2a + 1)(a− 1)(2a + 3)

4.53a. (2a + b)(a− b)(2a− b)b. (5a− 4b)(4a− 3b)(3a− 2b)c. −3a(a2 + 3)(a− 2)d. (−3a + 1)(a + 3)(−a + 1)e. 2a2(a2 − 1)(a2 + 2)f. (a2b− ab)(ab2 + ab)(a + b)

4.54a. 3a2b(a2 − b2)(2a + 2b)b. (a + 1)(a3 + a2 − a + 2)c. (a2 + 2a + 1)(a2 − a + 2)d. (−2a2 + 3a + 1)(3a2 − 2a− 1)e. 3a(a2 + 1)(a2 − 2a + 4)f. (2a + b− 5)(5a− 2b + 2)

38

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 49: Basisboek Wiskunde 2HP

4 Rekenen met letters

De bananenformule

Voor het product van twee sommen van twee termen geldt de formule

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

die, zoals de boogjes al aangeven, ontstaat door twee maal een distributievewet toe te passen:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

De boogjes vormen een handig geheugensteuntje; vanwege de vorm van deboogjes wordt deze formule soms de bananenformule genoemd. Ook deze for-mule kan weer in allerlei gecompliceerdere situaties gebruikt worden. Voor-beeld:

(3a2 + 7bc)(5ab− 2c) = 15a3b− 6a2c + 35ab2c− 14bc2

In sommige gevallen kunnen na uitwerken van de haakjes met behulp van debananenformule nog termen worden samengenomen. Voorbeeld:

(5a + 3b)(2a− 7b) = 10a2 − 35ab + 6ab− 21b2 = 10a2 − 29ab− 21b2

Wanneer er meer dan twee termen tussen haakjes staan, gaat het uitwerkenvolgens hetzelfde principe als bij de bananenformule. Voorbeeld:

(3a + 2b)(2c− d + 8e) = 3a(2c− d + 8e) + 2b(2c− d + 8e)= 6ac− 3ad + 24ae + 4bc− 2bd + 16be

Producten met meer dan twee factoren werk je stap voor stap uit. Voorbeeld:

(3a + 2b)(a− 4b)(2a + c) = (3a2 − 12ab + 2ab− 8b2)(2a + c)= (3a2 − 10ab− 8b2)(2a + c)= 6a3 + 3a2c− 20a2b− 10abc− 16ab2 − 8b2c

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

39

Page 50: Basisboek Wiskunde 2HP

5 Merkwaardige producten

Werk de haakjes uit:

5.1a. (a + 6)2

b. (a− 2)2

c. (a + 11)2

d. (a− 9)2

e. (a + 1)2

5.2a. (b + 5)2

b. (b− 12)2

c. (b + 13)2

d. (b− 7)2

e. (b + 8)2

5.3a. (a + 14)2

b. (−b + 5)2

c. (a− 15)2

d. (−b− 2)2

e. (−a + 10)2

5.4a. (2a + 5)2

b. (3a− 6)2

c. (11a + 2)2

d. (4a− 9)2

e. (13a + 14)2

5.5a. (5b + 2)2

b. (2a− 3)2

c. (9b + 7)2

d. (4a− 3)2

e. (8b + 1)2

5.6a. (2a + 5b)2

b. (3a− 13b)2

c. (a + 2b)2

d. (2a− b)2

e. (6a + 7b)2

5.7a. (12a− 5b)2

b. (−2a + b)2

c. (7a− 5b)2

d. (−14a + 3)2

e. (a + 11b)2

5.8a. (a2 + 5)2

b. (a2 − 3)2

c. (b2 − 1)2

d. (a3 + 2)2

e. (b4 − 7)2

5.9a. (2a + 7b)2

b. (3a + 8b)2

c. (5a− 9b)2

d. (7a− 8b)2

e. (6a− 11b)2

5.10a. (a2 + 3)2

b. (b2 − 4)2

c. (2a3 − 13)2

d. (5b2 + 14)2

e. (−12a3 − 5)2

5.11a. (2a2 − 3b)2

b. (3a2 + 2b)2

c. (9a2 − 5b2)2

d. (12a3 + 2b2)2

e. (20a2 − 6b3)2

5.12a. (2a + 3)2 + (a− 1)2

b. (a− 5)2 − (a + 4)2

c. (3a− 1)2 − (2a− 3)2

d. (2a + b)2 + (a + 2b)2

e. (−7a2 + 9b2)2 − (9a2 − 7b2)2

40

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 51: Basisboek Wiskunde 2HP

5 Merkwaardige producten

Het kwadraat van een som of een verschil

Enige bijzondere gevallen van de bananenformule worden zo vaak gebruiktdat ze een eigen naam gekregen hebben. Ze heten merkwaardige producten.

De eerste twee merkwaardige producten die we hier behandelen verschillenalleen in het teken. Eigenlijk zou het tweede product niet apart vermeld hoe-ven te worden, want het ontstaat uit het eerste door b te vervangen door −b.Toch is het handig om de beide gevallen paraat te hebben.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

Men leidt ze als volgt uit de bananenformule af:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = (a− b)(a− b) = a2 − ab− ab + b2 = a2 − 2ab + b2

Als vermakelijke, maar op zichzelf natuurlijk niet erg belangrijke toepassingberekenen we 20032 en 19982 uit het hoofd:

20032 = (2000 + 3)2 = 20002 + 2× 2000× 3 + 32

= 4 000 000 + 12 000 + 9 = 4 012 009

en

19982 = (2000− 2)2 = 20002 − 2× 2000× 2 + 22

= 4 000 000− 8 000 + 4 = 3 992 004

Belangrijker zijn natuurlijk de algebraısche toepassingen, dat wil zeggen toe-passingen waarbij formules in een andere vorm worden geschreven. Hier zijnenige voorbeelden:

(a + 4)2 = a2 + 8a + 16(a− 2b)2 = a2 − 4ab + 4b2

(2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

41

Page 52: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

Ontbind de volgende uitdrukkingen in factoren:

5.13a. a2 − 16b. a2 − 1c. a2 − 144d. a2 − 81e. a2 − 121

5.14a. a2 − 36b. a2 − 4c. a2 − 169d. a2 − 256e. a2 − 1024

5.15a. 4a2 − 9b. 9a2 − 1c. 16a2 − 25d. 25a2 − 81e. 144a2 − 169

5.16a. 36a2 − 49b. 64a2 − 121c. 400a2 − 441d. 196a2 − 225e. 144a2 − 49

5.17a. a2 − b2

b. 4a2 − 25b2

c. 9a2 − b2

d. 16a2 − 81b2

e. 196a2 − 169b2

5.18a. a2b2 − 4b. a2b2 − 625c. 9a2b2 − 25c2

d. 25a2 − 16b2c2

e. 100a2b2 − 9c2

5.19a. a4 − b2

b. 25a4 − 16b2

c. 16a4 − b4

d. 81a4 − 16b4

e. 256a4 − 625b4

5.20a. a4b2 − 1b. a2b4 − c2

c. a4 − 81b4c4

d. a8 − b8

e. 256a8 − b8

5.21a. a3 − ab. 8a2 − 50c. 27a2 − 12b2

d. 125a3 − 45ae. 600a5 − 24a3

5.22a. 3a2b3 − 27bb. 128a3b3 − 18abc. a6b3 − a2bd. −5a3b3c + 125abce. 3a2b− 3b

5.23a. a5 − ab. 2a5 − 32ac. a5b5 − 81abd. −a7 + 625ae. a9b− 256ab9

5.24a. (a + 3)2 − (a + 2)2

b. (2a− 1)2 − (a + 2)2

c. (a + 5)2 − (2a + 3)2

d. (a + 1)2 − (3a− 1)2

e. (2a + 1)2 − (3a + 2)2

Werk de haakjes uit:

5.25a. (a− 2)(a + 2)b. (a + 7)(a− 7)c. (a− 3)(a + 3)d. (a + 12)(a− 12)e. (a− 11)(a + 11)

5.26a. (2a− 5)(2a + 5)b. (3a− 1)(3a + 1)c. (4a + 3)(4a− 3)d. (9a− 12)(9a + 12)e. (13a + 14)(13a− 14)

42

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 53: Basisboek Wiskunde 2HP

5 Merkwaardige producten

Het verschil van twee kwadraten

Het volgende merkwaardige product gaat over het verschil van twee kwadra-ten:

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

Ook dit product kan direct uit de bananenformule worden afgeleid:

(a + b)(a− b) = a2 − ab + ab− b2 = a2 − b2

Als vermakelijke toepassing berekenen we uit het hoofd:

1997× 2003 = 20002 − 32 = 4 000 000− 9 = 3 999 991

Ook hier gaat het natuurlijk weer vooral om de algebraısche toepassingen,dat wil zeggen toepassingen waarbij formules in een andere vorm wordengeschreven. Hier zijn enige voorbeelden:

a2 − 25 = (a + 5)(a− 5)4a2b2 − 1 = (2ab + 1)(2ab− 1)a6 − 9b6 = (a3 + 3b3)(a3 − 3b3)

In deze gevallen wordt het linkerlid, dat telkens het verschil is van twee kwa-draten, ontbonden in twee factoren. Maar je kunt dit merkwaardige product na-tuurlijk ook de andere kant op gebruiken, en zo’n product van twee factorendie alleen een minteken schelen, dus schrijven als het verschil van twee kwa-draten. Ook dat wordt in de dagelijkse wiskundepraktijk heel vaak gebruikt.Voorbeelden:

(a + 2b)(a− 2b) = a2 − 4b2

(3a + 5)(3a− 5) = 9a2 − 25(a2 − b2)(a2 + b2) = a4 − b4

Op de bladzijde hiertegenover en op de volgende bladzijde staan opgavenwaarmee je dit alles kunt oefenen.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

43

Page 54: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

Werk de haakjes uit:

5.27a. (6a− 9)(6a + 9)b. (15a− 1)(15a + 1)c. (7a− 8)(7a + 8)d. (16a + 5)(16a− 5)e. (21a + 25)(21a− 25)

5.28a. (a2 − 5)(a2 + 5)b. (a2 + 9)(a2 − 9)c. (2a2 − 3)(2a2 + 3)d. (6a2 − 5)(6a2 + 5)e. (9a2 − 11)(9a2 + 11)

5.29a. (a3 − 4)(a3 + 4)b. (a5 + 10)(a5 − 10)c. (9a2 + 2)(9a2 − 2)d. (11a4 − 3)(11a4 + 3)e. (12a6 + 13)(12a6 − 13)

5.30a. (2a + 3b)(2a− 3b)b. (6a− 10b)(6a + 10b)c. (9a + 2b)(9a− 2b)d. (7a− 5b)(7a + 5b)e. (a− 20b)(a + 20b)

5.31a. (a2 + b)(a2 − b)b. (2a2 + 3b)(2a2 − 3b)c. (5a2 − 3b2)(5a2 + 3b2)d. (6a2 − 11b2)(6a2 + 11b2)e. (13a2 + 15b2)(13a2 − 15b2)

5.32a. (a3 + 2b2)(a3 − 2b2)b. (2a2 + 9b3)(2a2 − 9b3)c. (5a4 + 3b3)(5a4 − 3b3)d. (7a2 − 19b4)(7a2 + 19b4)e. (15a5 − 8b4)(15a5 + 8b4)

5.33a. (2ab + c)(2ab− c)b. (3a2b + 2c)(3a2b− 2c)c. (5ab2 + c2)(5ab2 − c2)d. (9a2b2 − 4c2)(9a2b2 + 4c2)e. (18a3b2 − 7c3)(18a3b2 + 7c3)

5.34a. (2a2 − 3bc2)(2a2 + 3bc2)b. (7a3b− 8c3)(7a3b + 8c3)c. (13a5b3 + 14c5)(13a5b3 − 14c5)d. (5abc + 1)(5abc− 1)e. (9a2bc3 + 7)(9a2bc3 − 7)

Gemengde opgaven: werk steeds de haakjes uit

5.35a. (a + 4)2

b. (a + 4)(a− 4)c. (a + 4)(a + 3)d. 4(a + 3)e. (a− 4)(a + 3)

5.36a. (a− 7)(a + 6)b. (a + 7)2

c. (a− 6)(a + 6)d. (a− 6)2

e. (2a + 6)(a− 6)

44

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 55: Basisboek Wiskunde 2HP

5 Merkwaardige producten

5.37a. (a + 13)2

b. (a− 14)2

c. (a + 13)(a− 14)d. (a− 13)(3a + 13)e. (13a− 14)(14a + 13)

5.38a. (2a + 8)2

b. (a− 8)(a− 2)c. 2a(a− 8) + a(a− 2)d. (2a− 8)(2a + 8)e. (2a + 4)(a + 2)

5.39a. (a− 17)(a + 4)b. (a− 17)2

c. (a + 17)(a− 4)d. (4a− 17)(4a + 17)e. (4a + 17)(17a− 4)

5.40a. (a + 21)2

b. (a + 21)(a− 12)c. (21a− 12)(21a + 12)d. (a− 12)2

e. (12a− 21)(a + 12)5.41

a. (a2 − 4)(a2 + 2a + 1)b. (a− 2)(a + 2)(a + 1)2

c. ((a− 1)(a + 1))2

d. (4a2 + 24a + 9)(a2 − 1)e. (a− 1)(a + 1)(2a + 3)2

5.42a. (a2 + 2a + 1)(a2 − 2a + 1)b. (a + 1)2(a− 1)2

c. (a2 − 1)2

d. (2a + 3)2(2a− 3)2

e. (a + 1)4

5.43a. (a2 + 1)(a− 1)(a + 1)b. 2a(2a + 3)(2a− 3)c. (a− 2)(a2 + 4)(a + 2)d. 6a2(3a2 + 2)(3a2 − 2)e. 2a(a− 5)(a2 + 25)(a + 5)

5.44 Bereken uit het hoofd:a. 17 · 23b. 45 · 55c. 69 · 71d. 93 · 87e. 66 · 74

5.45a. (a + 1)2 + (a + 5)2

b. (a + 5)(a− 5) + (a− 1)2

c. (a + 1)(a + 5)− (a− 1)(a− 5)d. (5a + 1)(a− 1) + (a− 5)(a + 1)e. (5a− 1)(5a + 1)− (5a− 1)2

5.46a. (3a− 7)(3a + 7)− (3a− 7)2

b. 3a(3a + 7)− 7a(3a + 7)c. (9a + 2)2 − (a2 − 2)(a2 + 2)d. (a2 + 2)(a2 + 3)− (a2 − 2)2

e. (a2 − 1)(a2 + 1) + (a2 + 1)2

5.47a. (a− 1)(a + 1)(a + 2)(a− 2)b. (a + 5)(a− 4)(a− 5)(a + 4)c. (a2 + 1)(a2 − 1)(a2 + 2)(a2 − 2)d. (a + 2)(a + 1)2

e. (a + 2)3

5.48a. 2a(a + 1)2 − 3a(a + 3)2

b. −a(a + 2)(a− 2) + a(a + 2)2

c. 2a(a + 2)(a + 3)−3a(a− 2)(a− 3)

d. 5a(a− 5)2 + 25(a + 5)(a− 5)e. a2(a + 3)(a− 1)−

(a2 + 1)(a2 − 3)

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

45

Page 56: Basisboek Wiskunde 2HP

6 Breuken met letters

Splits in breuken met slechts een term in de teller (zie het eerste voorbeeld opde volgende bladzijde).

6.1

a.a + 3a− 3

b.2a + 3b

a− b

c.a2 + 3a + 1

a2 − 3

d.2a− b + 3

ab− 3

e.2− 5ab− a3

6.2

a.a2 + b2

a2 − b2

b.ab + bc− ca

a− 2b

c.b2 − 1a2 − 1

d.4abc + 5

c− ab

e.5ab2 − abc

ab− c

Breng onder een noemer. Werk daarna in het eindresultaat alle haakjes uit.

6.3

a.1

a− 3− 1

a + 3

b.1

a− 3+

1a + 3

c.2

a− 3− 1

a + 3

d.1

a− 3+

aa + 3

e.a

a− 3− a

a + 3

6.4

a.a + 1a− 2

− a− 1a + 3

b.a + 1a− 1

+a− 1a + 1

c.a

a + 4− a

a + 3

d.3a− 5a− 1

+2a + 3a− 2

e.4− a4 + a

− 2 + a2− a

6.5

a.a

a− b− b

a− 2b

b.1

a− b+

1a + b

c.2

a− b− 2a

a− 2

d.1

a− b+

a2a + 3b

e.a + ba− 3

− a− ba + 3

6.6

a.a + ba− c

− a− ba + c

b.2a + 1a− b

+a− 2a + b

c.4− aa + 4b

− ab4a + b

d.a− 5cb− c

+2b + 3a− b

e.a

4 + a + b− 2 + a

4− a + b

46

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 57: Basisboek Wiskunde 2HP

6 Breuken met letters

Splitsen en onder een noemer brengen

Ook in breuken kunnen letters voorkomen. Voorbeelden:

a + 3b2a− 5c

,b

a2 − 1,

a + b1 + a2 + b2

Het worden gewone breuken zodra je getallen voor de letters invult. Het enigewaar je bij dat invullen voor op moet passen, is dat de noemer niet nul magworden. Zo mag je in de eerste breuk bijvoorbeeld niet a = 5 en c = 2 invullen,en in de tweede breuk niet a = 1 of a = −1. In het vervolg zullen we dergelijkevoorwaarden meestal niet expliciet vermelden. We gaan er dan stilzwijgendvan uit dat de getalswaarden van de letters, als ze gekozen worden, buitendeze ‘verboden’ gebieden blijven.

Het rekenen met breuken waarin letters voorkomen, gaat in principe op de-zelfde manier als het rekenen met gewone breuken. Wat veel voorkomt, is hetsplitsen van breuken of het onder een noemer brengen als tussenstap bij hetoptellen of aftrekken. We geven een paar voorbeelden. Eerst een voorbeeldvan splitsen:

a + 3b2a− 5c

=a

2a− 5c+

3b2a− 5c

Als je voor de letters getallen invult, klopt het altijd (natuurlijk mits de noemerniet nul wordt). Neem je bijvoorbeeld a = 4, b = 3, c = 1, dan krijg je

4 + 3× 32× 4− 5× 1

=4

2× 4− 5× 1+

3× 32× 4− 5× 1

en dat klopt want 133 = 4

3 + 93 . Bij de volgende voorbeelden worden de breu-

ken eerst onder een noemer gebracht en vervolgens samengevoegd. Ook datkun je weer aan de hand van getallenvoorbeelden controleren.

ab− b

a=

a2

ab− b2

ab=

a2 − b2

ab

1a− 1

− 1a + 1

=a + 1

(a− 1)(a + 1)− a− 1

(a− 1)(a + 1)=

2a2 − 1

a + 3b2a− 5

+b

a2 − 1=

(a + 3b)(a2 − 1)(2a− 5)(a2 − 1)

+b(2a− 5)

(a2 − 1)(2a− 5)

=(a + 3b)(a2 − 1) + b(2a− 5)

(2a− 5)(a2 − 1)

Indien gewenst kun je in het laatste voorbeeld in de teller en de noemer vanhet eindresultaat nog de haakjes uitwerken.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

47

Page 58: Basisboek Wiskunde 2HP

II Algebra

Vereenvoudig de volgende breuken zo veel mogelijk.

6.7

a.3a + 189b− 6

b.a2 + aa + 1

c.4a− 22a2 − a

d.a + 2b

a2 − 4b2

e.ab + b3

b2 − 3b

6.8

a.a2b + ab2

3abc

b.a2 − 4aa + 2a2

c.4ab− 3ab2

a2 − abc

d.a2 + 2ab + b2

a2 − b2

e.a4 − b2

a2 − bBreng onder een noemer en vereenvoudig zo mogelijk.

6.9

a.1

a− 3− 1

a2 − 9

b.1

a− 3− a

a2 − 9

c.a2 + 1a− 3

− a2 − 1a + 3

d.b

a− b+

ab− a

e.a2 − 1a− 1

− a2 + 1a + 1

6.10

a.a + b

a− 2b− a− 2b

a + b

b.a2 + aba2 − b2 + a− 1

c.a

a2 − 4− 2

4− a2

d.3a− 2b

a− b+

2a + 3b3a

e.4− a

a− 4 + a

2a

48

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 59: Basisboek Wiskunde 2HP

6 Breuken met letters

Breuken vereenvoudigen

Net zoals bij gewone breuken, kun je ook bij breuken met letters soms vereen-voudigingen aanbrengen door teller en noemer door hetzelfde getal te delen:

3a + 9b2

6a− 3=

a + 3b2

2a− 1

Teller en noemer zijn hier door 3 gedeeld. Ook delen door een letter is somsmogelijk:

7bb + 2b3 =

71 + 2b2

Er zit hier echter een addertje onder het gras: we hebben teller en noemerdoor b gedeeld, maar dat mag alleen als b 6= 0 is. Het linkerlid is voor b = 0namelijk niet gedefinieerd (want dan staat er 0

0 ), terwijl het rechterlid voorb = 0 gewoon het getal 7 als uitkomst levert. Wanneer we precies zijn, moetenwe dus eigenlijk zeggen

7bb + 2b3 =

71 + 2b2 als b 6= 0

Nog een voorbeeld:

a2 − 4a− 2

=(a− 2)(a + 2)

a− 2= a + 2 als a 6= 2

Hierin is de teller eerst via het merkwaardige product a2 − 4 = (a− 2)(a + 2)in twee factoren gesplitst, waarna een van beide factoren weggedeeld konworden, met natuurlijk als voorwaarde dat die factor niet nul mag zijn, van-daar a 6= 2.

In het volgende voorbeeld is de voorwaarde iets ingewikkelder omdat er tweeletters in voorkomen:

a2 − b2

a + b=

(a− b)(a + b)a + b

= a− b als a + b 6= 0

Hierin levert de voorwaarde a + b 6= 0 dus oneindig veel combinaties vana en b op waarbij het linkerlid 0

0 geeft en dus niet gedefinieerd is, maar hetrechterlid gewoon een getalswaarde voorstelt. Neem bijvoorbeeld a = 1 enb = −1, dan is het linkerlid 0

0 , maar het rechterlid is 2. Of neem a = −137en b = 137, waardoor het rechterlid −274 wordt terwijl het linkerlid weer 0

0geeft.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

49

Page 60: Basisboek Wiskunde 2HP
Page 61: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

12 −

14 + 1

8 −116 + 1

32 −1

64 + · · · = 13

Als je de formule (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 wilt generaliseren totformules voor (a + b)3, (a + b)4, . . ., ontdek je al snel regelmati-ge patronen. Je kunt ze rangschikken in de driehoek van Pascal.De getallen in die driehoek zijn de binomiaalcoefficienten. Wezullen laten zien hoe je ze snel kunt berekenen. Het binomiumvan Newton geeft een algemene uitdrukking voor de formulevoor (a + b)n in termen van de binomiaalcoefficienten. We in-troduceren daarbij de ook elders in de wiskunde veel gebruik-te sigma-notatie voor sommen van getallenrijen. In een volgendhoofdstuk stappen we over op rekenkundige en meetkundigegetallenrijen en hun somformules. Ten slotte leggen we uit watwe in het algemeen verstaan onder de limiet van een getallen-rij.

Page 62: Basisboek Wiskunde 2HP

7 Faculteiten en binomiaalcoefficienten

Werk met behulp van de formules op de volgende bladzijde de haakjes uit envereenvoudig indien mogelijk:

7.1a. (a + 1)3

b. (a− 1)3

c. (2a− 1)3

d. (a + 2)3

e. (2a− 3)3

7.2a. (1− a2)3

b. (ab + 1)3

c. (a + 2b)3

d. (a2 − b2)3

e. (2a− 5b)3

7.3a. (2a− 1)3 + (a− 2)3

b. (a− 2b)3

c. (a + 3b)3

d. (5a + 2)3

e. (a− 7)3 + (a + 7)3

7.4a. (a2 − b)3

b. (a4 + 2b2)3

c. (a + 2b)3 + (a− 2b)3

d. (a + 2b)3 − (a− 2b)3

e. (a + 2b)3 − (2a + b)3

7.5a. (a + 1)4

b. (a− 1)4

c. (2a− 1)4

d. (a + 2)4

e. (2a− 3)4

7.6a. (1− a2)4

b. (ab + 1)4

c. (a + 2b)4

d. (a2 − b2)4

e. (a− b)4 + (a + b)4

52

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 63: Basisboek Wiskunde 2HP

7 Faculteiten en binomiaalcoefficienten

De formules voor (a + b)3 en (a + b)4

Het merkwaardige product (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 vormt het uitgangspuntvoor de afleiding van formules voor (a + b)n voor grotere waarden van ndan 2. We beginnen met het geval n = 3.

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2) (merkwaardig product)

= a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)= a3 + 2a2b + ab2

+ a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Je ziet hoe we gebruik hebben gemaakt van het merkwaardig product voor(a + b)2 en vervolgens stap voor stap de haakjes hebben uitgewerkt. In devierde en vijfde regel hebben we gelijksoortige termen onder elkaar gezet,waardoor we ze in de zesde regel gemakkelijk konden optellen. Het resul-taat is de formule

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Gewapend met deze formule kunnen we nu op dezelfde manier het gevaln = 4 aanpakken:

(a + b)4 = (a + b)(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (formule voor (a + b)3)= a(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + b(a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3

+ a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

met als resultaat de formule

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

53

Page 64: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

Opgaven over de driehoek van Pascal

7.7 Vul de driehoek van Pascal op de bladzijde hiertegenover aan met derijen voor n = 8, n = 9 en n = 10.

7.8 Werk met behulp van de vorige opgave de haakjes uit in (a + 1)8, (a− 1)9

en (a− b)10.

7.9 Als je in de driehoek van Pascal de getallen op de n-de rij bij elkaar optelt,krijg je als uitkomst 2n. Controleer dit voor n = 1 tot en met n = 10, en geefvervolgens een verklaring door in de uitdrukking voor (a + b)n de getallena = 1 en b = 1 te substitueren.

7.10 Als je in de driehoek van Pascal de getallen op de n-de rij, afwisselendvoorzien van plus- en mintekens, bij elkaar optelt, krijg je als uitkomst 0. Con-troleer dit voor n = 1 tot en met n = 10, en geef vervolgens een verklaringdoor in de uitdrukking voor (a + b)n de getallen a = 1 en b = −1 te substitue-ren.

7.11 Vervang in de driehoek van Pascal elk even getal door een 0 en elk on-even getal door een 1. Teken de eerste 20 rijen van de ‘binaire driehoek vanPascal’ die je dan krijgt, en verklaar het patroon dat je ziet ontstaan. Een mooievariant krijg je als je alle nullen door open plaatsen vervangt en alle enen doorsterretjes.

54

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 65: Basisboek Wiskunde 2HP

7 Faculteiten en binomiaalcoefficienten

Binomiaalcoefficienten en de driehoek van Pascal

Tot nu toe hebben we de volgende formules afgeleid:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

We hebben de termen systematisch gerangschikt naar dalende machten van aen stijgende machten van b. Elke keer gaat de macht van a een stapje omlaag,en die van b een stapje omhoog. De gehele getallen die ervoor staan, hetenbinomiaalcoefficienten. Voor n = 2 zijn het de getallen 1, 2 en 1, voor n = 3 zijnhet 1, 3, 3 en 1, en voor n = 4 zijn het 1, 4, 6, 4 en 1. Overigens, de coefficienten1 zie je natuurlijk niet terug in de formules: we schrijven a2 in plaats van 1a2

enzovoort. Maar je vindt ze wel terug in de driehoek van Pascal, waaruit je allebinomiaalcoefficienten kunt aflezen:

1 ← n = 01 1 ← n = 1

1 2 1 ← n = 21 3 3 1 ← n = 3

1 4 6 4 1 ← n = 41 5 10 10 5 1 ← n = 5

1 6 15 20 15 6 1 ← n = 61 7 21 35 35 21 7 1 ← n = 7

· · · · · ·De driehoek van Pascal

Hieruit zie je bijvoorbeeld dat

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

Bovenin hebben we ook de gevallen n = 0 en n = 1 opgenomen, in overeen-stemming met (a + b)0 = 1 en (a + b)1 = a + b. De driehoek van Pascal isgeconstrueerd volgens de volgende regel:

Langs de linker- en de rechterrand staan enen en verder is elk getal de somvan zijn linker- en rechterbovenbuur.

Als je de afleidingen op bladzijde 53 voor n = 3 en n = 4 hebt gevolgd, zulje begrijpen waarom deze regel algemeen opgaat. Met deze regel kun je dedriehoek van Pascal zo ver voortzetten als je wilt.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

55

Page 66: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

Bereken de volgende binomiaalcoefficienten(

nk

)met behulp van de formule

van de bladzijde hiertegenover. Pas daarbij telkens eerst de onder die formulebeschreven vereenvoudiging toe en deel daarna ook nog alle overblijvendefactoren uit de noemer tegen factoren in de teller weg alvorens de berekeningdaadwerkelijk uit te voeren. (Dat kan altijd, want er moet een geheel getaluitkomen!) Controleer voor n ≤ 10 je uitkomsten met behulp van de driehoekvan Pascal.

7.12

a.(

42

)b.

(50

)c.

(44

)d.

(53

)e.

(63

)

7.13

a.(

71

)b.

(64

)c.

(75

)d.

(72

)e.

(77

)

7.14

a.(

82

)b.

(93

)c.

(98

)d.

(84

)e.

(85

)

7.15

a.(

83

)b.

(94

)c.

(97

)d.

(73

)e.

(96

)

7.16

a.(

120

)b.

(1514

)c.

(135

)d.

(212

)e.

(1814

)

7.17

a.(

127

)b.

(115

)c.

(482

)d.

(493

)e.

(5048

)

7.18

a.(

173

)b.

(5150

)c.

(129

)

7.19

a.(

423

)b.

(136

)c.

(275

)

7.20

a.(

7875

)b.

(145

)c.

(284

)

56

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 67: Basisboek Wiskunde 2HP

7 Faculteiten en binomiaalcoefficienten

Het berekenen van binomiaalcoefficienten

Met behulp van de driehoek van Pascal kun je alle binomiaalcoefficienten be-rekenen. Voor grote waarden van n is dat echter nogal bewerkelijk. Omdatdie binomiaalcoefficienten bij veel toepassingen een rol spelen (onder anderein de kansrekening), is het goed om ook een formule te hebben om ze directte berekenen. Alvorens die te geven, maken we enige notatieafspraken.

Op de horizontale rij bij n = 2 van de driehoek van Pascal vind je drie coeffici-enten: 1, 2 en 1. In het algemeen vind je op de n-de rij n + 1 coefficienten. Wenummeren ze van links naar rechts van 0 tot en met n. De k-de coefficient opde n-de rij noteren we als

(nk), uitgesproken als ‘n boven k’. Voorbeelden:(

30

)= 1,

(31

)= 3,

(42

)= 6,

(66

)= 1 en

(74

)= 35

Een andere notatie die we vaak zullen gebruiken is die van k!, uitgesprokenals ‘k-faculteit’. We definieren:

0! = 1k! = 1× · · · × k voor elk positief geheel getal k

Voorbeelden: 1! = 1, 2! = 1× 2 = 2, 3! = 1× 2× 3 = 6 en 7! = 1× 2× 3× 4×5× 6× 7 = 5040.

Met deze notatieafspraken geldt de volgende formule:(nk

)=

n!k!(n− k)!

Let echter op: Bij het daadwerkelijk berekenen van binomiaalcoefficienten moetje nooit die drie faculteiten afzonderlijk berekenen. In de breuk in het rechter-lid kun je altijd de grootste van de twee faculteiten uit de noemer wegdelentegen het beginstuk van n!. Omdat k-faculteit zeer snel groeit met k is het zelfsbij berekeningen met een rekenmachine of computer lonend om deze vereen-voudiging toe te passen. Voorbeeld:(

73

)=

7!3! 4!

=1× 2× · · · × 7

(1× 2× 3)× (1× 2× 3× 4)=

7× 6× 51× 2× 3

= 35

Dit is heel makkelijk te onthouden: in teller en noemer staan evenveel factoren(drie in dit geval), in de noemer staat een faculteit (hier 3!) en in de teller staannet zo veel factoren, aftellend vanaf n, dus in dit geval 7× 6× 5.Leer de volgende bijzondere gevallen uit je hoofd:(

n0

)=(

nn

)= 1,

(n1

)=(

nn− 1

)= n,

(n2

)=(

nn− 2

)=

12

n(n− 1)

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

57

Page 68: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

Schrijf met behulp van het binomium van Newton in de sigma-notatie:

7.21a. (a + 1)7

b. (a− 1)12

c. (a + 10)12

d. (2a− 1)9

e. (2a + b)10

7.22a. (a + 5)7

b. (1− a)5

c. (ab + 1)18

d. (a + 2b)9

e. (a− b)8

Bereken de volgende sommen met behulp van het binomium van Newton;kies daartoe telkens geschikte waarden voor a en b. Voorbeeld:

5

∑k=0

(5k

)=(

50

)+(

51

)+ · · ·+

(55

)= (1 + 1)5 = 25 = 32

Hier hebben we het binomium (a + b)5 genomen met a = b = 1.

7.23

a.8

∑k=0

(8k

)

b.8

∑k=0

(8k

)(−1)k

c.8

∑k=0

(8k

)2k

7.24

a.8

∑k=0

(8k

)(−2)k

b.n

∑k=0

(nk

)c.

n

∑k=0

(nk

)(−1)k

De volgende opgaven zijn bedoeld als verdere oefening met de sigma-notatie.De opdracht luidt telkens: bereken de gegeven som.

7.25

a.6

∑k=0

k2

b.4

∑k=−4

k3

c.7

∑k=3

(2k + 4)

7.26

a.4

∑j=−1

(j2 − 1)

b.3

∑j=1

(j +1j)

c.5

∑j=2

j4

58

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 69: Basisboek Wiskunde 2HP

7 Faculteiten en binomiaalcoefficienten

Het binomium van Newton en de sigma-notatie

Op de n-de rij van de driehoek van Pascal staan de binomiaalcoefficienten(n

0),(n

1), . . .,

(nn), en dus geldt

(a + b)n =(

n0

)an +

(n1

)an−1b + · · ·+

(n

n− 1

)abn−1 +

(nn

)bn

Deze formule staat bekend als het binomium van Newton.

Letterlijk betekent binomium tweeterm. Dat slaat op de twee termen a en btussen de haakjes van het linkerlid. De binomiaalcoefficienten kunnen bere-kend worden met behulp van de driehoek van Pascal of met de formule vanbladzijde 57.

De n + 1 termen in het rechterlid van de bovenstaande formule hebben alle-maal dezelfde vorm, namelijk een product van een binomiaalcoefficient

(nk),

een macht van a en een macht van b. Zelfs de eerste term(n

0)an en de laatste

term(n

n)bn zijn van die vorm, want daar zijn de ‘ontbrekende’ machten van

respectievelijk b en a te schrijven als b0 en a0.

Alle termen zijn dus van de vorm(n

k)an−kbk, waarbij k loopt van 0 tot en met

n. In zo’n situatie, waarbij een aantal gelijksoortige termen bij elkaar opgeteldmoeten worden, en waarbij alleen een ‘index’ k van term tot term verandert,wordt vaak een notatie met behulp van de Griekse hoofdletter Σ (sigma) ge-bruikt. In deze notatie wordt de formule voor het binomium van Newton

(a + b)n =n

∑k=0

(nk

)an−kbk

waarbij dus rechts van de sigma de algemene uitdrukking met een letter k(de zogenaamde sommatie-index) erin staat, en onder en boven de sigma debegin- en eindwaarde van de sommatie-index k. In plaats van de letter k kannatuurlijk ook elke andere letter als sommatie-index gebruikt worden.

We geven nog twee voorbeelden van de sigma-notatie voor een som:

5

∑k=1

k2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52

2

∑j=−2

3j = 3−2 + 3−1 + 30 + 31 + 32

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

59

Page 70: Basisboek Wiskunde 2HP

8 Rijen en limieten

8.1 Bereken de som van de volgende rijen getallen.

a. Alle positieve gehele getallen van 1 tot en met 2003.b. Alle positieve gehele getallen van drie cijfers.c. Alle oneven getallen tussen 1000 en 2000.d. Alle positieve gehele getallen van hoogstens drie cijfers die op het cijfer

3 eindigen.e. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 2

of het cijfer 7.f. Alle positieve gehele getallen van vier cijfers die eindigen op het cijfer 6

of het cijfer 7.

8.2 Bereken de volgende sommen:

a.20

∑k=1

(3k + 2)

b.70

∑k=10

(7k− 2)

c.30

∑k=3

(8k + 7)

d.14

∑k=0

(5k + 3)

e.22

∑k=−2

(100k + 10)

8.3 De deelnemers aan een hardloopwedstrijd dragen de startnummers 1 toten met 97. Een van de lopers merkt op dat de som van alle even startnummersgelijk is aan de som van alle oneven startnummers. Daarbij telt hij zijn eigenstartnummer niet mee. Wat is zijn startnummer? (Nederlandse WiskundeOlympiade, eerste ronde, 1997.)

60

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 71: Basisboek Wiskunde 2HP

8 Rijen en limieten

Rekenkundige rijen

Een rekenkundige rij is een rij getallen a1, a2, a3, . . . waarvoor geldt dat het ver-schil ak+1 − ak tussen twee opvolgende termen van de rij constant is. Heteenvoudigste voorbeeld is de rij 1, 2, 3, 4, 5, . . . van alle positieve gehele getal-len. Het verschil is dan telkens gelijk aan 1. Een ander voorbeeld is de rij3, 8, 13, 18, 23, 28, . . .. Hierbij is het constante verschil telkens 5.

Het verhaal gaat dat de grote wiskundige Gauss als schooljongen in de reken-les aan het werk gezet werd. Hij moest alle getallen van 1 tot en met 100 bijelkaar optellen. Tot verbazing van de meester gaf hij vrijwel onmiddellijk uithet hoofd het antwoord: 5050. Zijn idee was: schrijf die som in gedachtentweemaal op, eenmaal van 1 tot en met 100, en daaronder nog een keer, maardan in de omgekeerde volgorde, dus van 100 tot en met 1. Verticaal krijg jedan telkens twee getallen die samen 101 zijn:

1 + 2 + · · · + 99 + 100100 + 99 + · · · + 2 + 1

101 + 101 + · · · + 101 + 101

Er zijn 100 termen in de rij, dus je krijgt 100× 101 = 10100. Maar dat is tweemaal de gewenste som, dus de gevraagde uitkomst is hiervan de helft, dat wilzeggen 5050. Algemeen leid je op dezelfde manier af dat 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =12 n(n + 1).

De truc van Gauss kun je bij alle rekenkundige rijen toepassen. Als je de soma1 + a2 + · · · + an−1 + an van de eerste n termen van zo’n rij wilt berekenen,schrijf je die som tweemaal onder elkaar op, eenmaal gewoon en eenmaalomgekeerd. Verticaal opgeteld krijg je dan steeds hetzelfde getal, namelijka1 + an, en de gevraagde som is dus 1

2 n(a1 + an).

Met behulp van de sigma-notatie (zie bladzijde 59) kunnen we dit als volgtsamenvatten:

Als a1, a2, a3, . . . een rekenkundige rij is, dan geldtn

∑k=1

ak =12

n(a1 + an)

Dit is de somformule voor een rekenkundige rij.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

61

Page 72: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

8.4 Bereken de som van de volgende meetkundige rijen.

a. 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·+ 256b. 1 + 1

2 + 14 + 1

8 + · · ·+ 1256

c. 2 + 6 + 18 + 54 + · · ·+ 1458d. 2

3 + 49 + · · ·+ 64

729

e. 310 + 3

100 + · · ·+ 310 000 000

8.5 Bereken de som van de volgende oneindige meetkundige rijen.

a. 4 + 2 + 1 + 12 + 1

4 + 18 + · · ·

b. 1 + 23 + 4

9 + · · ·c. 1− 7

8 + 4964 −

343512 + · · ·

d. 7 + 710 + 7

100 + · · ·e. 1− 9

10 + 81100 −

7291000 + · · ·

8.6 Bereken de som van de volgende oneindige meetkundige rijen. Geef ooktelkens aan wat de reden r is.

a. 0.1− 0.01 + 0.001− 0.0001 + · · ·b. 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + · · ·c. 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + · · ·d. 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + · · ·e. 0.98− 0.0098 + 0.000098− · · ·

8.7 Toon met behulp van de vorige opgave aan dat

a. 0.3333 . . . = 13

b. 0.9999 . . . = 1c. 0.12121212 . . . = 4

33

d. 0.0012121212 . . . = 43300 (Hint: 0.0012121212 . . . = 1

100 × 0.12121212 . . .)

e. 10.3333 . . . = 313 (Hint: 10.33333 . . . = 10 + 0.33333 . . .)

8.8 Bereken voor de volgende waarden van r met behulp van een rekenma-chine of een computer benaderingen van de getallen r100 en r1000. Schrijf jeantwoorden in de vorm m × 10k met 0.1 ≤ m < 1 en k geheel. Rond m af opvijf decimalen.

a. r = 0.2b. r = 0.5c. r = 0.7d. r = 0.9e. r = 0.99

62

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 73: Basisboek Wiskunde 2HP

8 Rijen en limieten

Meetkundige rijen

Soms is het handig om de nummering van de termen van een getallenrij nietmet 1 te laten beginnen, maar bijvoorbeeld met 0 omdat daardoor bepaaldeformules eenvoudiger worden. We zullen dat bij de meetkundige rijen doen.

Een rij a0, a1, a2, . . . heet een meetkundige rij met reden r als voor elke n geldtdat an+1 = anr. Elke term ontstaat dus uit zijn voorganger door die met r tevermenigvuldigen. Een voorbeeld is de rij 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . ., waarbij elketerm twee maal zo groot is als zijn voorganger. In dat geval is dus r = 2.

Als we de beginterm a0 kortweg a noemen, geldt a1 = ar, a2 = a1r = ar2 en-zovoort. In het algemeen geldt voor elke n dat an = arn. Iedere meetkundigerij kan dus geschreven worden in de vorm

a, ar, ar2, ar3, ar4, . . .

Ook voor een meetkundige rij bestaat er een eenvoudige formule voor de somsn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1 van de eerste n termen. Om die te vinden,merken we op dat rsn = ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn zodat sn− rsn = a− arn (alletussentermen vallen tegen elkaar weg). Wanneer r 6= 1 kunnen we hieruit snoplossen: sn = a(1− rn)/(1− r).

Met behulp van de sigma-notatie geeft dit de somformule voor de (eindige) meet-kundige rij:

n−1

∑k=0

ark =a(1− rn)

1− rmits r 6= 1

Stel nu dat voor de reden r geldt dat −1 < r < 1. Dan nadert, als n steedsgroter wordt, het getal rn steeds dichter tot nul. Voorbeeld: als r = 0.95dan is r100 ≈ 0.0059205 en r1000 ≈ 0.52918× 10−22. We schrijven symbolischlimn→∞ rn = 0, in woorden: de limiet van rn voor n naar oneindig is 0. Als je dittoepast op de bovenstaande somformule voor de meetkundige rij, krijg je desomformule voor de oneindige meetkundige rij:

∑k=0

ark =a

1− rmits −1 < r < 1

Let hierbij op het symbool ∞ (‘oneindig’) boven het somteken.Voorbeeld: neem a = 1

2 en r = − 12 , dan is

∑k=0

12(−1

2)k =

12

1 + 12

=13

oftewel, in uitgeschreven vorm:

12− 1

4+

18− 1

16+

132− 1

64+ · · · =

13

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

63

Page 74: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

Schrijf bij de volgende opgaven het gegeven repeterende decimale getal alseen onvereenvoudigbare breuk. Neem daarbij aan dat de getoonde regelmaatzich onbeperkt voortzet: alle decimale getallen zijn vanaf het begin of vanafeen zekere decimaal periodiek.

8.9a. 0.222222222222 . . .b. 0.313131313131 . . .c. 1.999999999999 . . .d. 0.123123123123 . . .e. 0.123333333333 . . .

8.10a. 0.101010101010 . . .b. 0.330330330330 . . .c. 1.211211211211 . . .d. 0.000111111111 . . .e. 3.091919191919 . . .

8.11a. 22.24444444444 . . .b. 0.700700700700 . . .c. 0.699699699699 . . .d. 8.124444444444 . . .e. 1.131313131313 . . .

8.12a. 0.111109999999 . . .b. 0.365656565656 . . .c. 3.141514151415 . . .d. 2.718281828182 . . .e. 0.090909090909 . . .

8.13 Bereken voor de volgende waarden van r met behulp van een rekenma-chine of een computer benaderingen van de getallen r101 en r1001. Schrijf jeantwoorden in de vorm ±m× 10k met 0.1 ≤ m < 1 en k geheel. Rond m af opvijf decimalen.

a. r = 1.02b. r = −2c. r = 10.1d. r = −0.999e. r = 9.99

Bereken met behulp van een rekenmachine of een computer voor de volgen-de rijen a1, a2, a3, . . . benaderingen van de getallen a100 en a1000. Schrijf jeantwoorden in de vorm m × 10k met 0.1 ≤ m < 1 en k geheel. Rond m af opvijf decimalen. Van elke rij is de algemene term an door een formule gegeven.

8.14a. an = n2

b. an = n−3

c. an = n−1.1

d. an = n1000.1

e. an =√

n

8.15a. an = n−0.333

b. an = n√10c. an = n√1000d. an = n√0.01e. an = n√0.9

64

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 75: Basisboek Wiskunde 2HP

8 Rijen en limieten

Repeterende decimale getallen

Op bladzijde 62 zagen we dat repeterende decimale getallen zoals 0.333333 . . .of 0.12121212 . . . opgevat kunnen worden als som van een oneindige meet-kundige rij. Als je zo’n som uitrekent, krijg je een breuk, in de gegeven voor-beelden respectievelijk 1

3 en 433 . Ook wanneer zo’n decimaal getal pas vanaf

een bepaald moment repeterend is, stelt het een breuk voor. Irrationale getal-len, dat wil zeggen getallen die niet als een breuk geschreven kunnen wordenzoals

√2 of π, hebben daarom een decimale schrijfwijze die nooit repeterend

wordt.

Speciale limieten

Bij veel rijen a0, a1, a2, . . . is het belangrijk te weten wat er op den duur metde termen gebeurt, dat wil zeggen wat er gebeurt met an als n naar oneindiggaat. Bij de meetkundige rij 1, r, r2, r3, . . . met −1 < r < 1 weten we al datlimn→∞ rn = 0. Hieronder vind je een volledig overzicht van het gedrag vanrn als n → ∞ zoals dat afhangt van r.

limn→∞

rn = ∞ als r > 1

rn = 1 als r = 1

limn→∞

rn = 0 als − 1 < r < 1

rn = (−1)n = ±1 als r = −1

limn→∞

|r|n = ∞ als r < −1

Hier zijn nog een paar typen rijen met een limietwaarde die je moet kennen.

De rij 1, 4, 9, 16, 25 . . . met als n-de term an = n2 heeft limiet oneindig. Informule: lim

n→∞n2 = ∞. In het algemeen geldt

limn→∞

np = ∞ voor elk getal p > 0

De rij 1, 14 , 1

9 , 116 , 1

25 . . . met als n-de term an =1n2 heeft limiet 0. In formule:

limn→∞

1n2 = 0. In het algemeen geldt

limn→∞

1np = 0 voor elk getal p > 0

De rij 2,√

2, 3√2, 4√2, 5√2, . . . met als algemene term an = n√2 heeft limiet 1. Informule: lim

n→∞n√2 = 1. In het algemeen geldt

limn→∞

n√

p = 1 voor elk getal p > 0

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

65

Page 76: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

8.16

a. limn→∞

n + 1n

b. limn→∞

2nn + 12

c. limn→∞

n2 − 1n2 + 1

d. limn→∞

n2 + 2n + 53n2 − 2

e. limn→∞

n3 + 3n2

3n4 + 4

f. limn→∞

2n4 − 6n2

5n4 + 4

8.17

a. limn→∞

2n +√

nn−√

n

b. limn→∞

10n + 4n2 + 4

c. limn→∞

2n5

4n4 + 5n2 − 3

d. limn→∞

8n3 + 4n + 78n3 − 4n− 7

e. limn→∞

n + 1n

n− 2n

f. limn→∞

3n3 − 5n2

n4 + n2 − 2

8.18

a. limn→∞

n3 − 1n3 + n2

b. limn→∞

2n2

n√

n + 2

c. limn→∞

4n2 + 5n + n√

n3n2 − 2n− 1

d. limn→∞

n2 + 1n√

n2 + n

e. limn→∞

4n4 + 15n4 + 1000n3

8.19

a. limn→∞

(89

)n

b. limn→∞

(−9

8

)n

c. limn→∞

n

√89

d. limn→∞

n

√98

e. limn→∞

1.0001n

8.20

a. limn→∞

n3

3n

b. limn→∞

2n2

1 + 2n (Hint: deel teller en noemer door 2n)

c. limn→∞

n!3n

d. limn→∞

nn

n!

e. limn→∞

nn

nn + n!(Hint: deel teller en noemer door nn)

66

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 77: Basisboek Wiskunde 2HP

8 Rijen en limieten

Limieten van quotienten

Bij het berekenen van limieten van uitdrukkingen die de vorm hebben van eenbreuk waarin teller en noemer beide naar oneindig gaan, is het vaak handigom teller en noemer eerst te delen door een ‘dominante term’ in de noemer(bijvoorbeeld de hoogste macht). Voorbeeld:

limn→∞

2n2 − 3n + 43n2 + 4n + 9

= limn→∞

2− 3n + 4

n2

3 + 4n + 9

n2

Omdat 3n → 0, 4

n2 → 0, 4n → 0 en 9

n2 → 0 zien we nu onmiddellijk dat degevraagde limiet gelijk is aan 2

3 .

In zulke gevallen is het makkelijk om de dominante term te bepalen: neemgewoon de hoogste macht. Maar het kan ook dat er naast machten ook anderetermen in voorkomen, zoals n! of 2n. Wat is dan de dominante term? Wie winthet als n naar oneindig gaat? Daarover gaat de volgende paragraaf.

Snelle stijgers

We vergelijken de volgende rijen:

a. 1, 2100, 3100, 4100, 5100, . . . met als algemene term an = n100

b. 100, 1002, 1003, 1004, 1005, . . . met als algemene term bn = 100n

c. 1, 2, 6, 24, 120, . . . met als algemene term cn = n!

d. 1, 22, 33, 44, 55, . . . met als algemene term dn = nn

Allemaal hebben ze oneindig als limiet, maar welke rij stijgt op den duur hetsnelst? Voor n = 100 zijn an, bn en dn onderling gelijk, namelijk 100100 =10200, een 1 gevolgd door 200 nullen, terwijl cn = 100! = 1× 2× 3× · · · × 100duidelijk veel kleiner is (het is een getal van ‘slechts’ 158 cijfers). Maar voorn = 1000 is het beeld heel anders: an = 10300, bn = 102000, cn ≈ 0.40× 102568,dn = 103000. Dit patroon blijft behouden: bn stijgt op den duur veel snellerdan an, cn stijgt op den duur veel sneller dan bn, en dn stijgt op den duur veelsneller dan cn. In het algemeen geldt:

limn→∞

np

an = 0 als a > 1, limn→∞

an

n!= 0, lim

n→∞

n!nn = 0

Hierboven hebben we die limieten toegelicht voor p = 100 en a = 100. Ove-rigens, zie je zelf waarom de eerste limiet vanzelfsprekend is als p ≤ 0 is?Voor p > 0 is dat niet zo: de teller np en de noemer an gaan dan allebei naaroneindig. De noemer wint het echter op den duur.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

67

Page 78: Basisboek Wiskunde 2HP

III Getallenrijen

Bereken de volgende limieten. Ook bij de limieten op deze bladzijde is hetvaak mogelijk teller en noemer te delen door een geschikt gekozen ‘domi-nante term’ van de noemer, waarna de oplossing volgt door een van de driestandaardlimieten op de vorige bladzijde toe te passen. Voorbeeld:

limn→∞

n2 + 2n

n2 − 2n = limn→∞

(n2/2n) + 1(n2/2n)− 1

= −1

want limn→∞

n2

2n = 0 volgens de eerste standaardlimiet (met p = a = 2).

8.21

a. limn→∞

2n + 13n + 1

b. limn→∞

2n − 2−n

2n − 1

c. limn→∞

2n+1 + 12n + 1

d. limn→∞

3n − 2n

3n + 2n

e. limn→∞

23n − 123n + 32n

8.22

a. limn→∞

n3 − 3n

n3 + 3n

b. limn→∞

2n2

n + 2−n

c. limn→∞

n2 + n!3n − n!

d. limn→∞

nn + 3n!nn + (3n)!

e. limn→∞

n! + 3n9 − 7nn + 3n9 + 7

8.23

a. limn→∞

n3 + 3√

n3n

b. limn→∞

2n + 1000n1000

c. limn→∞

2n + 4n

3n

d. limn→∞

2n

nn + 2n

e. limn→∞

1.002n

n1000 + 1.001n

8.24a. lim

n→∞n10 0.9999n

b. limn→∞

(n2 + 3n− 7)(

12

)n−1

c. limn→∞

(n + 3)!n! + 2n

d. limn→∞

2n

1 + (n + 1)!

e. limn→∞

2n + (n + 1)!3n + n!

68

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 79: Basisboek Wiskunde 2HP

8 Rijen en limieten

Wat is precies de limiet van een rij?

Op de vorige bladzijden hebben we al met limieten van rijen kennisgemaakt.We zullen nu precies omschrijven wat we in het algemeen bij een getallenrija1, a2, a3, . . . onder een limiet verstaan. We geven ook telkens twee notaties,een notatie met de letters ‘lim’, en een ‘pijlennotatie’, die ook vaak gebruiktwordt. Daarnaast zal ook het symbool ∞ (‘oneindig’) worden gebruikt. Dat isgeen reeel getal, maar een symbool dat in de omschrijving in de rechterkolomnader verklaard wordt.

‘lim’-notatie: pijlennotatie: omschrijving:lim

n→∞an = L an → L als n → ∞ Bij ieder positief getal p (hoe

klein ook) is er een term aN inde rij waarvoor geldt dat alletermen an met n > N voldoenaan |an − L| < p.

limn→∞

an = ∞ an → ∞ als n → ∞ Bij ieder positief getal P (hoegroot ook) is er een term aN inde rij waarvoor geldt dat alletermen an met n > N voldoenaan an > P.

limn→∞

an = −∞ an → −∞ als n → ∞ Dit betekent eenvoudig datlim

n→∞(−an) = ∞.

Niet alle rijen hebben overigens een limiet in een van de bovenvermelde vor-men. Zo heeft de rij waarvan de n-de term gelijk is aan (−1)n (de meetkundi-ge rij met reden (−1)) geen eindige of oneindige limiet, want de termen ervanzijn afwisselend +1 en −1. Evenmin heeft de meetkundige rij (−2)n een li-miet: de termen ervan stijgen weliswaar in absolute waarde boven elke grensuit, maar ze zijn om en om positief en negatief, dus er blijven ook altijd termenaanwezig die niet boven zo’n grens uitkomen.

We benadrukken nogmaals dat ∞ en −∞ geen reele getallen zijn, maar sym-bolen die we gebruiken om het limietgedrag van bepaalde rijen aan te geven.Met enige voorzichtigheid kun je er toch mee rekenen. Als bijvoorbeeld voor

een rij a1, a2, a3, . . . geldt dat limn→∞

an = ∞ dan geldt voor de rij1a1

,1a2

,1a3

, . . .

dat limn→∞

1an

= 0. De reden is duidelijk: als de getallen an op den duur boven

iedere grens uitstijgen, zullen de getallen1an

op den duur steeds dichter bij 0

komen. Op bladzijde 65 en in de opgaven vind je hier voorbeelden van.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

69

Page 80: Basisboek Wiskunde 2HP
Page 81: Basisboek Wiskunde 2HP

IV Vergelijkingen

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a

In veel toepassingen van de wiskunde moeten vergelijkingenof ongelijkheden worden opgelost. Je moet dan alle getallenbepalen die aan een of meer gegeven vergelijkingen of on-gelijkheden voldoen. In dit deel leren we de meest elemen-taire oplossingstechnieken. In het bijzonder geven we me-thodes om eerstegraadsvergelijkingen en tweedegraadsverge-lijkingen op te lossen. De beroemde abc-formule is daarvaneen belangrijk voorbeeld. In het laatste hoofdstuk behande-len we een oplossingsmethode voor eenvoudige stelsels eer-stegraadsvergelijkingen.

Page 82: Basisboek Wiskunde 2HP

9 Eerstegraadsvergelijkingen

Bepaal de oplossing x van elk van de volgende vergelijkingen.

9.1a. x + 7 = 10b. x− 12 = 4c. x + 3 = −10d. x− 10 = −7e. x + 8 = 0

9.2a. −x + 15 = 6b. −x− 7 = 10c. −x + 17 = −10d. −x− 8 = −9e. −x− 19 = 0

9.3a. 2x + 7 = 9b. 3x− 8 = 7c. 4x + 3 = 11d. 9x− 10 = 17e. 6x + 6 = 0

9.4a. −3x + 15 = 21b. −2x− 7 = 11c. −5x + 17 = 32d. −4x− 8 = 16e. −6x− 18 = 0

9.5a. 2x + 9 = 12b. 3x− 12 = 9c. −4x + 3 = −11d. 5x− 12 = 17e. −6x + 9 = 0

9.6a. −x− 15 = 6b. −9x− 7 = −10c. 6x + 17 = 12d. −9x− 18 = −6e. 5x− 19 = 0

9.7a. x + 7 = 10− 2xb. x− 12 = 4 + 5xc. 2x + 3 = −10 + xd. 3x− 10 = 2x− 7e. 5x + 9 = 2x

9.8a. −x + 15 = 6− 4xb. −2x− 7 = 2x− 10c. 3x + 17 = −11 + xd. −x− 8 = −9x− 4e. 2x− 19 = 19− 2x

9.9a. x− 12 = 3− 4xb. −3x + 5 = 2x− 8c. −x + 7 = −12− xd. 4x− 1 = −7x + 4e. 2x + 12 = 9 + 4x

Werk bij de volgende opgaven eerst de breuken weg door het linker- en rech-terlid te vermenigvuldigen met een geschikt getal (eigenschap V2).

9.10a. 1

2 x + 32 = 1 + 5

2 xb. − 1

3 x− 23 = 4

3 x− 1

c. 25 x + 3

5 = − 35 −

15 x

d. − 37 x− 3

7 = − 67 −

17 x

e. 29 x− 1

9 = x− 29

9.11a. 1

3 x + 32 = 1 + 1

6 xb. − 2

3 x− 34 = 4

3 x− 1

c. 25 x + 5

3 = − 56 −

23 x

d. − 29 x− 1

4 = − 32 −

16 x

e. 18 x− 5

6 = x− 34

9.12a. 3(x + 4) = −2(x + 8)b. −2(x− 3) + 1 = −3(−x + 7) + 2c. 2− (x + 4) = −2(x + 1)− 3

9.13a. 6(−x + 2)− (x− 3) = 3(−x + 1)b. 2x− (−x + 1) = −3(−x + 1)c. 5(−2x + 3) + (2x− 5) = 4(x− 4)

72

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 83: Basisboek Wiskunde 2HP

9 Eerstegraadsvergelijkingen

Algemene oplossingsregels

Stel dat van een getal x gegeven is dat het voldoet aan de volgende vergelij-king:

3x + 7 = −2x + 1

en dat gevraagd wordt x te bepalen.

Oplossing:

1. tel bij het linker- en rechterlid 2x op: 5x + 7 = 1,

2. tel bij het linker- en rechterlid −7 op: 5x = −6,

3. deel het linker- en rechterlid door 5: x = −65

.

Hiermee is in drie stappen het onbekende getal x gevonden. Ter controle kunje de gevonden waarde x = − 6

5 in de oorspronkelijke vergelijking substituerenen constateren dat het klopt.

We hebben gebruikgemaakt van de volgende algemene regels:

V1. De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je bij het linker- enrechterlid hetzelfde getal optelt.

V2. De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je het linker- enrechterlid met hetzelfde getal vermenigvuldigt of door hetzelfde getal deelt,mits dat getal niet 0 is.

De beide eerste stappen van de oplossing in het gegeven voorbeeld kun je ookzien als

het verplaatsen van een term van de ene kant van het gelijkteken naar de ande-re kant waarbij die term van teken wisselt (van plus naar min of omgekeerd).

Dat is de manier waarop regel V1 meestal wordt gebruikt. In stap 1 hebbenwe de term −2x van het rechterlid naar het linkerlid overgebracht, en in stap2 de term +7 van het linkerlid naar het rechterlid.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

73

Page 84: Basisboek Wiskunde 2HP

IV Vergelijkingen

Schrijf de volgende ongelijkheden in een van de volgende gedaanten:x < a, x ≤ a, x > a of x ≥ a.

Voorbeeld: −3x + 7 > 5. Aftrekken van 7 geeft −3x > −2 en delen door −3geeft vervolgens x < 2

3 .

9.14a. x + 6 < 8b. x− 8 > 6c. x + 9 ≤ 7d. x− 1 ≥ −3e. x + 6 > 7

9.15a. −2x + 4 < 8b. −3x− 8 > 7c. −5x + 9 ≤ −6d. −4x + 1 ≥ −3e. −2x + 6 > 5

9.16a. 2x + 6 < x− 8b. 3x− 8 > 7− 2xc. x + 9 ≤ 7− 3xd. 2x− 1 ≥ x− 3e. 5x + 6 > 3x + 7

9.17a. −2x + 6 < x + 9b. x− 8 > 3x + 6c. 2x + 9 ≤ 3x + 1d. −3x− 1 ≥ 3− xe. 5x + 6 > 7x + 2

9.18a. 1

2 x + 1 < 2− 13 x

b. 23 x− 1

2 > 1 + 13 x

c. 34 x + 1

2 ≤12 x− 1

4

d. 16 x− 1

3 ≥23 x− 1

6

e. 25 x− 5

2 > 12 x− 2

5

9.19a. − 3

2 x− 1 < 2− 14 x

b. 15 x− 1

2 > 1 + 25 x

c. − 34 x + 1

3 ≤12 x− 5

6

d. 27 x− 1

2 ≥12 x− 3

7

e. − 35 x− 5

2 > − 12 x + 2

5

Schrijf de volgende ongelijkheden in een van de volgende gedaanten:a < x < b, a ≤ x < b, a < x ≤ b of a ≤ x ≤ b.

Voorbeeld: −2 ≤ 3− 6x < 4. Aftrekken van 3 geeft −5 ≤ −6x < 1 en delendoor −6 geeft vervolgens 5

6 ≥ x > − 16 dus − 1

6 < x ≤ 56 .

9.20a. −3 < x + 1 < 4b. 2 < 2x + 4 < 6c. 0 ≤ 3x + 6 < 9d. −6 < 4x− 2 ≤ 4e. 1 ≤ 1 + 2x ≤ 2

9.21a. −3 < −x + 1 < 2b. 2 < 2x− 4 < 4c. 0 ≤ −3x + 9 < 6d. −6 < −4x + 2 ≤ 4e. −1 ≤ 1− 2x ≤ 0

74

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 85: Basisboek Wiskunde 2HP

9 Eerstegraadsvergelijkingen

Ongelijkheden

Het manipuleren van ongelijkheden vergt iets meer zorg dan het manipulerenvan vergelijkingen. Toch zijn er ook overeenkomsten. Ongelijkheden komenvoor in vier gedaanten:

a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b.

Ze betekenen respectievelijk ‘a is kleiner dan b’,‘a is kleiner dan of gelijk aanb’, ‘a is groter dan b’ en ‘a is groter dan of gelijk aan b’. Uiteraard betekenta > b dus hetzelfde als b < a, en a ≥ b hetzelfde als b ≤ a. Verder geldt devolgende regel:

O1. De geldigheid van een ongelijkheid verandert niet als je bij het linker- enrechterlid hetzelfde getal optelt.

Deze regel heeft net als bij vergelijkingen tot gevolg dat je een term van hetene lid naar het andere lid mag overbrengen mits je daarbij het teken van dieterm omdraait (van plus naar min of omgekeerd).

Bij het vermenigvuldigen van het linker- en rechterlid met hetzelfde getal (on-gelijk aan nul) moet je oppassen:

O2. De geldigheid van een ongelijkheid verandert niet als je het linker- enrechterlid met hetzelfde positieve getal vermenigvuldigt of door hetzelfde po-sitieve getal deelt.

O3. Als je het linker- en rechterlid van een ongelijkheid met hetzelfde nega-tieve getal vermenigvuldigt of door hetzelfde negatieve getal deelt, moet je hetongelijkheidsteken omklappen.

Soms worden gelijksoortige ongelijkheden aan elkaar gekoppeld. Zo betekenta < b ≤ c dat b groter dan a en kleiner dan of gelijk aan c is. Men combineertechter nooit ongelijksoortige ongelijkheden: combinaties van ‘groter’ en ‘klei-ner’ in een keten komen nooit voor. Je kunt dus wel schrijven a > b > c maarniet a < b > c, ook al zouden wel de afzonderlijke ongelijkheden a < b enb > c geldig zijn. De reden is dat je in dat geval wel weet dat a en c allebeikleiner dan b zijn, maar dat je hieruit over de onderlinge relatie van a en cniets kunt concluderen.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

75

Page 86: Basisboek Wiskunde 2HP

IV Vergelijkingen

Bepaal alle oplossingen x van de volgende vergelijkingen.

9.22

a.1

x + 1= 5

b.x

x− 4= 2

c.2x + 1

x= −3

d.4x− 1x− 3

= −2

e.x + 7−3x + 8

= 1

9.23

a.2x

3x− 4= −1

b.8x

4x− 4= 2

c.4− 4xx− 1

= −3

d.2x + 3

4x= 6

e.x− 5x− 4

= 1

9.24a. (x + 1)2 = 1b. (x− 4)2 = 9c. (1− x)2 = 25d. (2x + 1)2 = 4e. (−3x + 1)2 = 16

9.25a. (x + 2)2 = 3b. (x− 1)2 = 2c. (3− x)2 = 5d. (2x + 1)2 = 6e. (6− 2x)2 = 8

9.26a. (x− 1)3 = 1b. (x + 4)3 = −8c. (1− x)3 = 1d. (2x− 1)3 = 27e. (−4x− 1)3 = 64

9.27a. (x− 2)4 = 1b. (x + 1)4 = 16c. (3− 2x)4 = 4d. (2x + 3)4 = 81e. (4− 3x)4 = 625

9.28a. (x + 1)2 = (2x− 1)2

b. (3x− 1)2 = (x− 1)2

c. (x + 1)2 = (−2x + 1)2

d. (2x + 5)2 = (3− x)2

e. (4x + 3)2 = x2

9.29a. (x + 2)2 = 4x2

b. (2x + 1)2 = 4(x + 1)2

c. (−x + 2)2 = 9(x + 2)2

d. 4(x + 1)2 = 25(x− 1)2

e. 9(2x + 1)2 = 4(1− 2x)2

76

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 87: Basisboek Wiskunde 2HP

9 Eerstegraadsvergelijkingen

Een vergelijking reduceren tot een eerstegraadsvergelijking

Een vergelijking van de vorm

ax + b = 0

waarin x een onbekend getal is en a en b gegeven (bekende) getallen zijn meta 6= 0, heet een eerstegraadsvergelijking in x. De vergelijkingen van bladzijde 52kunnen allemaal in deze vorm worden geschreven. Zo’n vergelijking kunnenwe met behulp van de regels V1 en V2 van bladzijde 73 oplossen. De oplossingis dan

x = − ba

In bepaalde gevallen kun je gecompliceerdere vergelijkingen tot eerstegraads-vergelijkingen terugbrengen.

Voorbeeld 1:3x + 24x− 5

= 2

Door het linker- en rechterlid met 4x − 5 te vermenigvuldigen, ontstaat devergelijking

3x + 2 = 2(4x− 5)

die met de methode van bladzijde 73 kan worden opgelost. Het resultaat isx = 12

5 , zoals je zelf kunt nagaan.

We maakten bij de eerste stap dus gebruik van regel V2. Dit is slechts toege-staan als het getal 4x − 5 waarmee we het linker- en rechterlid vermenigvul-digd hebben, ongelijk aan 0 is. Omdat we x in dit stadium van de oplossings-methode nog niet kenden, wisten we toen ook nog niet of 4x − 5 6= 0 is. Datkonden we pas controleren toen we de nieuwe vergelijking naar x hadden op-gelost. Zo’n controle achteraf is niet overbodig, zoals je kunt zien in sommigevan de opgaven op de tegenoverliggende bladzijde.

Voorbeeld 2:(3x− 1)2 = 4

Als x voldoet, moet het kwadraat van 3x− 1 gelijk zijn aan 4. Dat wil zeggendat 3x− 1 gelijk is aan +2 of −2. Er zijn dus twee mogelijkheden:

3x− 1 = 2 en 3x− 1 = −2

met als oplossingen x = 1 en x = − 13 (ga dit zelf na).

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

77

Page 88: Basisboek Wiskunde 2HP

10 Tweedegraadsvergelijkingen

Bepaal alle oplossingen x van de volgende vergelijkingen.

10.1a. x2 = 9b. 4x2 = 16c. 3x2 + 1 = 13d. −2x2 + 21 = 3e. 2x2 − 48 = 50

10.2a. 3x2 − 2 = x2 + 2b. x2 − 15 = 2x2 − 2c. 12− x2 = x2 − 4d. 3(2− x2) = x2 + 6e. −2(1− x2) = x2

10.3a. 1

2 x2 = 2

b. 23 x2 = 1

2

c. 32 x2 = 2

3

d. 45 x2 = 5

4

e. 2x2 = 94

10.4a. 1

2 x2 + 23 = 5

6

b. 13 x2 − 1

2 = 14

c. − 25 x2 − 3

7 = 43

d. 18 x2 + 3

4 = 52

e. 13 (x2 − 1

2 ) = 14

10.5a. x(x + 3) = 0b. (x + 1)(x− 5) = 0c. (x− 1)(x + 1) = 0d. (x + 7)(x− 2) = 0e. (x− 3)(x + 9) = 0

10.6a. x(2x− 1) = 0b. (2x + 1)(x− 3) = 0c. (3x + 2)(2x− 3) = 0d. (5x + 3)(3x− 5) = 0e. (2− 3x)(3x− 2) = 0

10.7a. 3(x− 1)(x + 3) = 0b. 5(x− 1)(x + 5) = 0c. −2(2x + 1)(3x− 4) = 0d. 4(3x + 2)(6x + 3) = 0e. −5(3x− 2)(3x + 2) = 0

10.8a. ( 1

2 x + 3)(x− 23 ) = 0

b. ( 23 x− 4

5 )( 13 x− 2

7 ) = 0

c. 12 ( 3

4 x− 43 )( 1

3 x− 12 ) = 0

78

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 89: Basisboek Wiskunde 2HP

10 Tweedegraadsvergelijkingen

Tweedegraadsvergelijkingen

Een vergelijking van de vorm

ax2 + bx + c = 0

waarin x een onbekende is en a, b en c gegeven (bekende) getallen zijn meta 6= 0, heet een tweedegraadsvergelijking in x. Vaak wordt ook de term vierkants-vergelijking gebruikt.

Zo’n vergelijking heeft 0, 1 of 2 oplossingen, dat wil zeggen er zijn 0, 1 of 2getallen x die aan de vergelijking voldoen. Die oplossingen worden ook welwortels van de vergelijking genoemd, hoewel er in de schrijfwijze van die ge-tallen helemaal geen wortels in de zin van hoofdstuk 3 hoeven voor te komen.We geven van elk van de drie gevallen een voorbeeld.

1. De vergelijking x2 + 1 = 0 heeft geen oplossingen, want het linkerlid is voorelke keuze van x groter dan of gelijk aan 1 (een kwadraat is altijd groter danof gelijk aan 0).

2. De vergelijking x2 + 2x + 1 = 0 heeft een oplossing, want het linkerlid kangeschreven worden als (x + 1)2, en dat is alleen maar gelijk aan 0 als x + 1 = 0is, dat wil zeggen als x = −1.

3. De vergelijking x2 − 1 = 0 heeft twee oplossingen, namelijk x = 1 enx = −1.

In sommige gevallen vereist het oplossen van een tweedegraadsvergelijkinggeen speciale techniek. Als voorbeeld nemen we

x2 − 3x = 0

Door deze vergelijking te schrijven als

x(x− 3) = 0

en op te merken dat het product van twee getallen die beide ongelijk aan 0zijn, ook altijd ongelijk aan 0 is, zien we dat x = 0 of x − 3 = 0 moet zijn. Deoplossingen zijn dus x = 0 en x = 3.

Wat we net hebben gebruikt, kunnen we ook formuleren als een algemeneeigenschap van getallen die we nog vaak zullen toepassen:

a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 of b = 0

waarbij ‘of’ zo moet worden opgevat dat a en b ook beide nul kunnen zijn.Immers, als minstens een van de getallen a en b gelijk aan nul is, is a · b ooknul, en als geen van beide nul is, is hun product ook niet nul.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

79

Page 90: Basisboek Wiskunde 2HP

IV Vergelijkingen

Los de volgende vergelijkingen op via kwadraatafsplitsen.

10.9a. x2 + 4x + 1 = 0b. x2 + 6x− 2 = 0c. x2 + 8x + 3 = 0d. x2 − 2x− 1 = 0e. x2 + 10x + 5 = 0

10.10a. x2 − 12x + 6 = 0b. x2 − 13x− 7 = 0c. x2 + x− 42 = 0d. x2 − 12x + 27 = 0e. x2 + 6x− 12 = 0

10.11a. x2 + 7x− 1 = 0b. x2 + 3x− 4 = 0c. x2 + 4x + 4 = 0d. x2 − 4x− 4 = 0e. x2 − 11x + 7 = 0

10.12a. x2 + 20x + 60 = 0b. x2 − 18x− 80 = 0c. x2 + 13x− 42 = 0d. x2 − 15x + 56 = 0e. x2 + 60x + 800 = 0

10.13a. x2 + 1

2 x− 34 = 0

b. x2 + 43 x− 5

9 = 0

c. x2 − 13 x− 1

9 = 0

d. x2 + 32 x− 5

8 = 0

e. x2 − 25 x− 1

5 = 0

10.14a. x2 + 3

4 x− 38 = 0

b. x2 + 52 x + 3

2 = 0

c. x2 − 23 x + 1

9 = 0

d. x2 − 32 x− 3

4 = 0

e. x2 + 45 x− 4

5 = 0

Soms kun je een vergelijking die er niet uitziet als een tweedegraadsvergelij-king door een truc tot een tweedegraadsvergelijking terugbrengen.Voorbeeld: x4 − 6x2 − 16 = 0.Dit is een vierdegraadsvergelijking, maar door y = x2 te stellen, wordt heteen tweedegraadsvergelijking: y2 − 6y − 16 = 0. Kwadraatafsplitsen geeft(y − 3)2 = 25 dus y − 3 = ±5 met als oplossingen y = 8 en y = −2. Maaromdat y = x2 is, levert y = −2 geen oplossingen. Een kwadraat kan immersniet negatief zijn. De oplossingen zijn dus x = ±

√8 = ±2

√2.

10.15a. x4 + 4x2 − 5 = 0b. x4 − 6x2 = 7c. x4 + 4x2 + 4 = 0d. x4 − 4x2 + 4 = 0e. x6 − 11x3 = 12

10.16a. x− 2

√x = 3 (stel y =

√x)

b. x− 18√

x + 17 = 0c. x + 4

√x = 21

d. x− 15√

x + 26 = 0e. x + 6

√x = 7

80

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 91: Basisboek Wiskunde 2HP

10 Tweedegraadsvergelijkingen

Kwadraatafsplitsen

Om de vergelijkingx2 − 6x + 3 = 0

op te lossen, schrijven we die vergelijking als

x2 − 6x + 9 = 6

waardoor het linkerlid een volledig kwadraat wordt, namelijk het kwadraatvan x − 3, want (x − 3)2 = x2 − 6x + 9. Het oplossen van de vergelijking diedan ontstaat, is eenvoudig:

(x− 3)2 = 6

zodatx− 3 =

√6 of x− 3 = −

√6

en de beide oplossingen zijn dus

x = 3 +√

6 en x = 3−√

6

Deze methode is algemeen bruikbaar als de coefficient van x2 gelijk aan 1is. Neem dan de helft van de coefficient van x om in het linkerlid een volledigkwadraat te maken, en in het rechterlid een constante, dat wil zeggen een getaldat niet van x afhangt. Is die constante positief of nul, dan kun je worteltrek-ken, en daarmee de vergelijking oplossen. Is de constante negatief, dan zijn ergeen oplossingen, want het linkerlid is een kwadraat, en dus niet-negatief.

We geven nog een voorbeeld:

x2 + 10x + 20 = 0

De helft van 10 is 5 en (x + 5)2 = x2 + 10x + 25. We herschrijven de vergelij-king dus als

x2 + 10x + 25 = 5

oftewel(x + 5)2 = 5

zodatx + 5 =

√5 of x + 5 = −

√5

De oplossingen zijn daarom

x = −5 +√

5 en x = −5−√

5

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

81

Page 92: Basisboek Wiskunde 2HP

IV Vergelijkingen

Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de abc-formule.

10.17a. x2 + 5x + 1 = 0b. x2 − 3x + 2 = 0c. x2 + 7x + 3 = 0d. x2 − x + 1 = 0e. x2 + 11x + 11 = 0

10.18a. x2 + 3x + 1 = 0b. x2 − 4x + 3 = 0c. x2 + 9x− 2 = 0d. x2 − 12x + 3 = 0e. x2 − 5x + 1 = 0

10.19a. 2x2 + 4x + 3 = 0b. 2x2 − 12x + 9 = 0c. 3x2 + 12x− 8 = 0d. 4x2 + 12x + 1 = 0e. 6x2 − 12x− 1 = 0

10.20a. 2x2 + x− 1 = 0b. 3x2 + 2x + 1 = 0c. 2x2 + 8x− 2 = 0d. 6x2 + 18x + 7 = 0e. 4x2 − 8x + 1 = 0

10.21a. −x2 + 2x + 1 = 0b. −2x2 + 8x− 3 = 0c. −3x2 + 9x− 1 = 0d. −4x2 − 12x + 9 = 0e. −x2 + x + 1 = 0

10.22a. 3x2 − 4x + 3 = 0b. −2x2 + 3x + 2 = 0c. −4x2 + 6x + 5 = 0d. 6x2 + 18x− 1 = 0e. −x2 − x− 1 = 0

10.23a. 1

2 x2 + x− 1 = 0

b. 23 x2 + 2x− 3 = 0

c. 12 x2 − x− 1 = 0

d. 45 x2 + 3x− 2 = 0

e. 52 x2 + 5x− 2 = 0

10.24a. 1

2 x2 + 32 x− 1

4 = 0

b. − 23 x2 + 1

3 x− 12 = 0

c. 34 x2 + 3

8 x− 34 = 0

d. 25 x2 + 3

5 x− 54 = 0

e. − 32 x2 + 1

4 x− 18 = 0

10.25a. x(1− x) = −2b. (3x + 1)(x + 3) = 1c. (x− 2)(2− 3x) = xd. (5− x)(5 + x) = 5e. (1− x)(2− x) = 3− x

10.26a. (x2 − 4)(x2 − 1) = 5b. (1− x2)(1 + 2x2) = x2

c. (√

x− 1)(√

x− 3) = 1d.√

x(1 +√

x) = 1−√

xe. (1− x3)(2− x3) = x3

82

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 93: Basisboek Wiskunde 2HP

10 Tweedegraadsvergelijkingen

De abc-formule

De methode van het kwadraatafsplitsen kunnen we ook in het algemene gevaltoepassen. Om breuken in de afleiding zo veel mogelijk te vermijden, zullenwe het recept een klein beetje aanpassen.

Stel dat gegeven is de tweedegraadsvergelijking

ax2 + bx + c = 0

met a 6= 0. Vermenigvuldig het linker- en rechterlid met 4a

4a2x2 + 4ab x + 4ac = 0

en schrijf dit als4a2x2 + 4ab x + b2 = b2 − 4ac

zodat het linkerlid een volledig kwadraat wordt, namelijk het kwadraat van2ax + b, want (2ax + b)2 = 4a2x2 + 4abx + b2. De vergelijking wordt dan

(2ax + b)2 = b2 − 4ac

Het rechterlid b2 − 4ac wordt de discriminant genoemd. Als de discriminantnegatief is, heeft de vergelijking geen oplossingen, want het linkerlid is niet-negatief omdat het een kwadraat is.

Is de discriminant positief of nul, dan geeft worteltrekken

2ax + b =√

b2 − 4ac of 2ax + b = −√

b2 − 4ac

waaruit de oplossingen volgen:

x =−b +

√b2 − 4ac

2aen x =

−b−√

b2 − 4ac2a

Als de discriminant nul is, vallen de beide oplossingen samen. Men schrijft deoplossingen vaak als een formule:

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2aDit is de beroemde abc-formule, ook wel de wortelformule genoemd.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

83

Page 94: Basisboek Wiskunde 2HP

11 Stelsels eerstegraadsvergelijkingen

Los de volgende stelsels vergelijkingen op.

11.1

a.

2x + 3y = 43x − 2y = 6

b.

3x + 5y = 8−x + 6y = 5

c.

5x + 2y = 32x − 4y = 6

d.

2x + 5y = 9−3x + 4y = −2

e.

2x − 4y = 34x − 2y = 3

11.2

a.

2x + 5y = 15x − 4y = 0

b.

7x − 5y = 14x − 7y = 13

c.

x − 3y = 7−5x + 2y = 4

d.

2x − 2y = 63x + 4y = −5

e.

7x + 5y = 13x − 4y = 25

11.3

a.

2x + 3y = 23x + 4y = 2

b.

2x − 3y = 13x − 4y = 0

c.

2x + 3y = 43x + 5y = 1

d.

2x − 7y = 5x − 4y = −1

e.

4x − 7y = 83x − 5y = 4

11.4

a.

x − 5y = 43x + 4y = 1

b.

3x − 7y = 23x − 4y = −2

c.

2x + 9y = 5−x − 4y = 2

d.

6x + 5y = 17x + 6y = 2

e.

5x − 3y = 78x − 5y = 2

84

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 95: Basisboek Wiskunde 2HP

11 Stelsels eerstegraadsvergelijkingen

Twee vergelijkingen met twee onbekenden

Stel dat van twee onbekende getallen x en y gegeven is dat ze voldoen aan elkvan de volgende twee eerstegraadsvergelijkingen:

2x + 5y = 93x − 4y = 2

Men noemt dit een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Degetallen x en y kunnen we op de volgende manier uit dit stelsel oplossen.

Vermenigvuldig in de eerste vergelijking het linker- en rechterlid met 3, en inde tweede vergelijking het linker- en rechterlid met 2, zodat de coefficientenvan x in beide vergelijkingen gelijk worden:

6x + 15y = 276x − 8y = 4

Trek vervolgens de tweede vergelijking van de eerste af. Je houdt dan eenvergelijking over waarin alleen nog maar de onbekende y voorkomt:

23y = 23

met als oplossing y = 1. Substitutie van deze waarde in een van de beideoorspronkelijke vergelijkingen geeft een vergelijking waaruit x kan wordenopgelost. We kiezen de eerste vergelijking:

2x + 5× 1 = 9

oftewel 2x = 4 dus x = 2.

Hiermee zijn de getallen x en y gevonden. Je kunt ter controle nagaan dat decombinatie x = 2 en y = 1 inderdaad aan de beide oorspronkelijke vergelij-kingen voldoet.

Deze methode is algemeen bruikbaar: vermenigvuldig de vergelijkingen metfactoren waardoor de coefficienten van x (of die van y) gelijk worden. Aftrek-ken geeft dan een vergelijking waarin alleen nog y (respectievelijk x) voor-komt. Daaruit kan y (respectievelijk x) worden opgelost, en substitutie vande gevonden waarde in een van de beide oorspronkelijke vergelijkingen geeftdan een vergelijking waarin alleen nog maar de andere onbekende voorkomt.Die kan vervolgens daaruit worden opgelost.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

85

Page 96: Basisboek Wiskunde 2HP

IV Vergelijkingen

Los de volgende stelsels vergelijkingen op.

11.5a.

x + 3y + z = 12x − y − 3z = −8−3x + 2y + 2z = 7

b.x − 4y + z = −2

−2x + 3y − 2z = −1−4x + y + z = −2

c.−2x + 2y + 3z = −3

x − 2y + 4z = 8−3x + y = −7

d.4x − 3y + z = 2−2x − y − 2z = 2− x + 2y + 4z = −9

e.x − 3y + z = −9x − y − 2z = −6

−4x + 3z = 7

11.6a.

x − 5y + z = −2x − 3y − 2z = 1

−3x + 5y + 7z = −4

b.−2x − y + 2z = 5

x + y − z = −3−3x + 2y − 6z = −5

c.x − 6y + z = −8− y − 2z = −1

−3x + 2y + 4z = 8

d.x − 2y + z = −5

−3x − y − 3z = 1−2x − 3y + 2z = −8

e.x − 8y + 3z = −9− 2y − 3z = 1

−4x + 5y = −3

Bij het oplossen van de volgende stelsels vergelijkingen gebeuren er vreemdedingen. Onderzoek wat er gebeurt, en probeer het te verklaren. Wat zou je indeze gevallen verstaan onder het ‘oplossen’ van het stelsel vergelijkingen?

11.7a.

x − 2y + z = 0x − y − 3z = 4

−4x + 6y + 4z = −8

b.x − 2y + z = 1x − y − 3z = 4

−4x + 6y + 4z = −9c.

x − 3y + z = −1−2x + y = 5

5y − 2z = −3

11.8a.

x − 3y + z = −2−2x + y = 4

5y − 2z = −1

b.x + 5y − 2z = 5

2x − 4z = 1−x + 5y + 2z = −4

c.x + 5y − 2z = 4

2x − 4z = −2−x + 5y + 2z = 6

86

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 97: Basisboek Wiskunde 2HP

11 Stelsels eerstegraadsvergelijkingen

Drie vergelijkingen met drie onbekenden

Wanneer we een stelsel van drie eerstegraadsvergelijkingen hebben voor dedrie onbekenden x, y en z, kunnen we als volgt te werk gaan. Neem bijvoor-beeld het stelsel x − 2y + z = 0

x − y − 3z = 4−4x + 5y + 9z = −9

Uit de eerste twee vergelijkingen kunnen we x elimineren door de eerste vande tweede af te trekken:

x − 2y + z = 0 (×− 1)x − y − 3z = 4 (×1)

y − 4z = 4

Uit de eerste en de derde vergelijking kunnen we x elimineren door vier maalde eerste bij de derde op te tellen:

x − 2y + z = 0 (×4)−4x + 5y + 9z = −9 (×1)

−3y + 13z = −9

Zo krijg je een stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden y en zy − 4z = 4

−3y + 13z = −9

dat je op de bekende manier op kunt lossen. Hier is het handig om drie maalde eerste vergelijking bij de tweede op te tellen, met als resultaat z = 3. Sub-stitutie van deze waarde in de eerste vergelijking geeft

y− 4× 3 = 4

dus y = 16. Vul je y = 16 en z = 3 in de eerste vergelijking van het oorspron-kelijke stelsel in, dan krijg je

x− 2× 16 + 3 = 0

met als oplossing x = 29. Hiermee is het stelsel opgelost. De gezochte waar-den zijn x = 29, y = 16, z = 3.

De methode is algemeen bruikbaar voor 3× 3-stelsels: elimineer een van deonbekenden uit twee paren vergelijkingen, los het resulterende stelsel vantwee vergelijkingen met twee onbekenden op, en bereken vervolgens via sub-stitutie ook de waarde van de geelimineerde onbekende.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

87

Page 98: Basisboek Wiskunde 2HP
Page 99: Basisboek Wiskunde 2HP

V Meetkunde

O x

y

De oude Grieken legden meer dan tweeduizend jaar geledenmet hun axiomatische methode de basis voor de ontwikkelingvan de klassieke meetkunde. In de zeventiende eeuw kwamenFermat en Descartes echter met een nieuw concept: meetkun-de met behulp van coordinaten. Dat is inmiddels de grondslaggeworden van vrijwel alle toepassingen van de meetkunde. Indit deel behandelen we de belangrijkste eigenschappen van lij-nen en cirkels in het vlak met behulp van coordinaten. In hetlaatste hoofdstuk zien we hoe dezelfde methoden ook toepas-baar zijn op vlakken en bollen in de ruimte.

Page 100: Basisboek Wiskunde 2HP

12 Lijnen in het vlak

In de volgende opgaven wordt aangenomen dat in het vlak een rechthoekigcoordinatenstelsel Oxy gekozen is. Je kunt het met ruitjespapier mooi in beeldbrengen.

Teken de volgende lijnen op ruitjespapier. Bepaal ook telkens de snijpuntenvan zo’n lijn met de x-as en de y-as (indien aanwezig).

12.1a. x + y = 1b. x− y = 0c. 2x + y = 2d. −x + 2y = −2e. x + 3y = 4

12.2a. x− 4y = −3b. 2x + 8y = −10c. −3x + y = 0d. 7x− 2y = −14e. −5x− 2y = 4

12.3a. x = 0b. x = −3c. x = 2yd. y = −1e. 3x = 2y + 1

Teken de volgende halfvlakken.

12.4a. x < 0b. x > −3c. x > yd. y < −2e. 3x < y

12.5a. x + y < 2b. 2x− y > 0c. 2x + y < 2d. −2x + 3y < −2e. 3x + 3y > 4

12.6a. 5x− 4y > 3b. −2x + 7y < −9c. −3x > y + 2d. 7x + 2 < ye. −5 < x + 2y

12.7 Teken de volgende lijnen in een figuur.

a. x + y = −1, x + y = 0, x + y = 1 en x + y = 2b. x− y = −1, x− y = 0, x− y = 1 en x− y = 2c. x + 2y = −1, x + 2y = 0, x + 2y = 1 en x + 2y = 2d. 2x + 2y = −1, 2x + 2y = 0, 2x + 2y = 1 en 2x + 2y = 2e. x = −2y, x = −y, x = 0, x = y en x = 2y

90

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 101: Basisboek Wiskunde 2HP

12 Lijnen in het vlak

De vergelijking van een lijn in het vlak

De vergelijking4x + 3y = 12

bevat twee onbekenden x en y. Een oplossing van deze vergelijking is duseen paar (x, y) dat aan de vergelijking voldoet. Zo is bijvoorbeeld (1, 8

3 ) eenoplossing, want als je x = 1, y = 8

3 invult, is aan de vergelijking voldaan.Maar er zijn nog meer oplossingen, bijvoorbeeld (3, 0), (0, 4) of (−1, 16

3 ).

In feite kun je een van de beide onbekenden x en y vrij kiezen, waarna deander uit de vergelijking kan worden opgelost. Wanneer je in het vlak eenrechthoekig coordinatenstelsel Oxy gekozen hebt, zijn de oplossingen van devergelijking de punten van een rechte lijn, in dit geval de lijn door (0, 4) en(3, 0). De punten (x, y) van die lijn zijn precies de punten waarvan de co-ordinaten voldoen aan de vergelijking 4x + 3y = 12.

De lijn met vergelijking 4x + 3y = 12verdeelt het vlak in twee halfvlakken.Voor de punten die in het ene halfvlakliggen, geldt 4x + 3y > 12, voor die inhet andere halfvlak geldt 4x + 3y < 12.Voor welk halfvlak welke ongelijkheidgeldt, bepaal je door een punt in tevullen: de oorsprong O voldoet aan4 × 0 + 3 × 0 < 12, dus het halfvlakwaar de oorsprong in zit, wordt gege-ven door 4x + 3y < 12.

O

-1

1

2

3

4

-1 1 2 3

4x + 3y < 12

5

4 5

x

y

4x + 3y = 12

4x + 3y > 12

In het algemeen stelt elke vergelijking van de vorm

ax + by = c

een rechte lijn voor. De enige voorwaarde is dat a en b niet allebei nul mogenzijn. Zo’n vergelijking is niet uniek bepaald: vermenigvuldig je het linker-en het rechterlid met hetzelfde getal (dat niet nul is), dan krijg je een anderevergelijking voor dezelfde lijn. Zo stelt 8x + 6y = 24 dezelfde lijn voor als4x + 3y = 12.

De snijpunten van een lijn met vergelijking ax + by = c met de y-as vind jedoor x = 0 te stellen. Dat levert y = c

b , dus het snijpunt is (0, cb ). Het snijpunt

met de x-as vind je door y = 0 te stellen. Dat levert het snijpunt ( ca , 0). De lijn

is horizontaal als a = 0 en verticaal als b = 0.

Een lijn ligt vast als je twee punten ervan kent. In de volgende paragraaf gevenwe je een eenvoudige methode om de vergelijking van een lijn te bepalen doortwee gegeven punten.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

91

Page 102: Basisboek Wiskunde 2HP

V Meetkunde

Bepaal in de volgende gevallen een vergelijking van de lijn door de twee ge-geven punten. Maak er ook een tekening bij.

12.8a. (3, 0) en (0, 3)b. (3, 0) en (2, 0)c. (−1, 0) en (0, 5)d. (−2, 0) en (0, 5)e. (−2,−1) en (−2,−2)

12.9a. (3, 0) en (0,−2)b. (3, 1) en (3,−1)c. (2, 0) en (0, 5)d. (−2, 2) en (2,−2)e. (1,−1) en (2, 0)

12.10a. (2, 1) en (1, 2)b. (2, 2) en (−2, 0)c. (−1, 1) en (1, 5)d. (−3,−1) en (−1, 5)e. (4,−1) en (−1,−2)

12.11a. (1,−2) en (3, 5)b. (7, 1) en (5,−1)c. (−1, 1) en (4, 5)d. (3,−2) en (2,−6)e. (4,−1) en (−1,−3)

12.12a. (4,−1) en (0, 0)b. (0, 0) en (2, 3)c. (−1, 0) en (1,−5)d. (−3, 4) en (4,−3)e. (−2, 0) en (−1,−2)

12.13a. (10, 0) en (0, 10)b. (3,−1) en (−3,−1)c. (5,−2) en (1, 3)d. (−2,−8) en (8,−2)e. (1,−1) en (2, 7)

De vergelijking (a1 − b1)(y− b2) = (a2 − b2)(x− b1) is de vergelijking van delijn door (a1, a2) en (b1, b2). Elk punt (x, y) dat aan die vergelijking voldoet, ligtop die lijn, en omgekeerd voldoet elk punt op die lijn ook aan die vergelijking.Een punt (c1, c2) ligt dus op de lijn door (a1, a2) en (b1, b2) als

(a1 − b1)(c2 − b2) = (a2 − b2)(c1 − b1)

Gebruik dit om te onderzoeken of de volgende drietallen punten op een lijnliggen. Maak er telkens ook ter controle een tekening bij.

12.14a. (2, 1), (3, 0) en (1, 2)b. (2, 2), (0, 1) en (−2, 0)c. (−1, 1), (3, 9) en (1, 5)d. (−3,−1), (0, 2) en (−1, 1)e. (4,−1), (1, 1) en (−1, 2)

12.15a. (1,−2), (0,−5) en (3, 4)b. (7, 1), (1,−5) en (5,−1)c. (−1, 1), (1, 3) en (4, 5)d. (3, 2), (−1,−10) en (2,−1)e. (4, 1), (0,−2) en (−1,−3)

92

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 103: Basisboek Wiskunde 2HP

12 Lijnen in het vlak

De vergelijking van de lijn door twee punten

Omdat de vergelijkingax + by = c

bij gegeven a, b en c een rechte lijn in het Oxy-vlak voorstelt (mits a en b nietbeide nul zijn), noemt men zo’n vergelijking een lineaire vergelijking in x eny. Omgekeerd hoort bij elke rechte lijn ook een lineaire vergelijking in x en ywaarin de coefficienten van x en y niet allebei nul zijn.

Voor een vergelijking door twee verschillende punten bestaat een overzichte-lijke formule:

Een vergelijking van de lijn door de punten (a1, a2) en (b1, b2) is(a1 − b1)(y− b2) = (a2 − b2)(x− b1)

Voorbeeld: een vergelijking van de lijndoor A = (−2, 2) en B = (3,−2) is

(−2− 3)(y + 2) = (2− (−2))(x− 3)

oftewel, na haakjes uitwerken en sorte-ren:

4x + 5y = 2

En inderdaad, als je (−2, 2) of (3,−2)in deze vergelijking invult klopt het,en aangezien een rechte lijn door tweepunten bepaald is, moet dit dus wel degezochte vergelijking zijn.

O

-1

1

2

3

-2

-3

-1 1 2 3-2-3

A

B

x

y

Om de algemene formule te verifieren, is het ook voldoende om te controlerendat (a1, a2) en (b1, b2) beide voldoen aan de vergelijking

(a1 − b1)(y− b2) = (a2 − b2)(x− b1)

Invullen van x = a1 en y = a2 geeft (a1 − b1)(a2 − b2) = (a2 − b2)(a1 − b1) endat klopt, en invullen van x = b1 en y = b2 maakt het linker- en het rechterlidbeide nul, dus dan klopt de vergelijking ook.

Het mooie van de bovenstaande formule is, dat hij altijd opgaat, zelfs als delijn verticaal is. Neem bijvoorbeeld de punten (3, 5) en (3, 7), dan geeft deformule

(3− 3)(y− 7) = (5− 7)(x− 3)

oftewel, na haakjes wegwerken en vereenvoudigen, de verticale lijn x = 3zoals we ook al direct hadden kunnen zien.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

93

Page 104: Basisboek Wiskunde 2HP

V Meetkunde

Bepaal in de volgende gevallen het snijpunt van de twee gegeven lijnen, voorzover ze niet evenwijdig zijn of samenvallen.

12.16a. x + y = 2

x− y = 1

b. x + y = 32x + y = 6

c. −5x + 2y = 4x− 3y = 0

d. x + y = 3−x− y = 7

e. 8x + 3y = 77y = −4

12.17a. x + 2y = −8

3x− 8y = 5

b. −2x + 7y = 3−5x− 2y = 6

c. 5x = 143x− 2y = 7

d. 4x = −179y = 11

e. 8x− 5y = 1−2x− 11y = 0

12.18a. x + y = 3

x− y = 5

b. 2x + y = 3−x− 2y = 6

c. −3x + 2y = 4x− 2y = 2

d. 4x− 7y = −25x + 4y = 11

e. x + 3y = 63x + 9y = −2

12.19a. −x + 2y = 9

13x− 8y = 15

b. 12x− 7y = 13−5x− y = 8

c. 5x + 8y = 149x− 12y = 5

d. 4x− 6y = −12−6x + 9y = 18

e. −8x + 3y = 53x− 7y = −12

12.20 Bepaal een vergelijking van

a. de lijn door (0, 0) die evenwijdig is aan x + y = 4b. de lijn door (1, 0) die evenwijdig is aan 2x− y = −2c. de lijn door (0, 3) die evenwijdig is aan −x + 4y = 5d. de lijn door (1,−1) die evenwijdig is aan −5x + 2y = −7e. de lijn door (−2, 5) die evenwijdig is aan 8x + 7y = 14

94

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 105: Basisboek Wiskunde 2HP

12 Lijnen in het vlak

Het snijpunt van twee lijnen

Twee verschillende lijnen in het vlak snijden elkaar in een punt of ze zijn even-wijdig. Als ze elkaar snijden, hoe bepaal je dan het snijpunt? We geven eenvoorbeeld. Stel dat de lijnen gegeven worden door de vergelijkingen

2x + 5y = 9 en 3x− 4y = 2

Hun snijpunt (x, y) voldoet dan aanbeide vergelijkingen, met anderewoorden, het is een oplossing van hetstelsel vergelijkingen

2x + 5y = 93x − 4y = 2

In hoofdstuk 11 hebben we laten zienhoe je zo’n stelsel oplost. Het snijpuntblijkt het punt (x, y) = (2, 1) te zijn.

O

-1

1

2

3

-1 1 2 3 4 5

x

y

3x − 4y = 2

2x + 5y = 9

Niet altijd hebben twee lijnen precies een snijpunt. Ze kunnen evenwijdig zijn,dan is er geen snijpunt, en ze kunnen ook samenvallen, dan zou je kunnenzeggen dat er oneindig veel snijpunten zijn. Hoe zie je dat aan de vergelijkin-gen?

Bij samenvallende lijnen zijn de twee vergelijkingen gelijk of een veelvoud vanelkaar; dat zie je onmiddellijk. Bij evenwijdige lijnen zijn, in de standaard-vorm ax + by = c, alleen de linkerleden gelijk of een veelvoud van elkaar.Neem bijvoorbeeld de lijnen −6x + 8y = 1 en 3x− 4y = 2. In het stelsel

−6x + 8y = 13x − 4y = 2

krijg je, als je de tweede vergelijking met een factor −2 vermenigvuldigt−6x + 8y = 1−6x + 8y = −4

Dat is een strijdig stelsel, dat wil zeggen dat er geen oplossingen (x, y) zijn. Deuitdrukking −6x + 8y kan immers niet tegelijkertijd 1 en −4 zijn. En lijnen diegeen snijpunt hebben, zijn evenwijdig.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

95

Page 106: Basisboek Wiskunde 2HP

13 Afstanden en hoeken

Bereken de afstand van de volgende paren punten

13.1a. (0, 0) en (0,−3)b. (2, 0) en (−2, 0)c. (0, 0) en (1,−5)d. (−1, 1) en (−3, 3)e. (2, 2) en (−4, 0)

13.2a. (1, 2) en (1,−2)b. (3,−1) en (4,−2)c. (−1,−3) en (3, 1)d. (−1, 0) en (0,−2)e. (1, 1) en (−2, 2)

13.3a. (3, 0) en (0, 3)b. (3, 0) en (2, 1)c. (−1, 0) en (1, 5)d. (−2, 1) en (3, 5)e. (−2,−1) en (−4,−2)

13.4a. (3, 2) en (1,−2)b. (3, 1) en (4,−1)c. (−2, 3) en (3, 5)d. (−1, 2) en (2,−2)e. (1,−1) en (2, 2)

Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn van elk van de volgende parenpunten. Teken alles ook op ruitjespapier.

13.5a. (3, 0) en (0, 3)b. (0, 0) en (2, 1)c. (−2, 0) en (0, 0)d. (−2, 1) en (2, 5)e. (−2,−1) en (−4,−2)

13.6a. (3, 2) en (1,−2)b. (3, 1) en (4,−1)c. (−2, 3) en (3, 5)d. (−1, 2) en (2,−2)e. (1,−1) en (2, 2)

13.7 Neem in de volgende opgaven eerst a = 2, b = 3, en teken je resultatenop ruitjespapier. Los daarna het algemene geval op.

a. Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn van (a, b) en (a,−b), als-mede een vergelijking van de lijn door (a, b) en (a,−b).

b. Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn van (a, b) en (b, a), alsme-de een vergelijking van de lijn door (a, b) en (b, a).

c. Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn van (a, b) en (−a,−b),alsmede een vergelijking van de lijn door (a, b) en (−a,−b).

d. Bepaal een vergelijking van de lijn door (1, 1) die loodrecht staat op deverbindingslijn van (0, 0) en (a, b).

e. Bepaal een vergelijking van de lijn door (a, b) die loodrecht staat op deverbindingslijn van (0, 0) en (a, b).

96

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 107: Basisboek Wiskunde 2HP

13 Afstanden en hoeken

Afstand en middelloodlijn

Een rechthoekig coordinatenstelsel Oxy wordt orthonormaal genoemd wan-neer de schaalverdelingen op de beide assen gelijk zijn. In meetkundige toe-passingen zullen we bijna altijd met zo’n orthonormaal coordinatenstelsel wer-ken.

In een orthonormaal coordinatenstelsel Oxy wordtvolgens de stelling van Pythagoras de afstandd(A, B) van de punten A = (a1, a2) en B = (b1, b2)gegeven door

d(A, B) =√

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2

Neem bijvoorbeeld A = (4, 9) en B = (8, 1), dan isd(A, B) =

√(4− 8)2 + (9− 1)2 =

√80 = 4

√5. O

A

B

a1 b1

a2

b2

De punten P waarvoor geldt dat d(P, A) = d(P, B) vormen de middelloodlijnvan A en B. Het is de lijn die het lijnstuk AB loodrecht middendoor deelt.

Hiernaast is als voorbeeld de middelloodlijn vanA = (3, 1) en B = (1, 5) getekend. Als P = (x, y)op de middelloodlijn ligt, dan is d(P, A) = d(P, B)dus√

(x− 3)2 + (y− 1)2 =√

(x− 1)2 + (y− 5)2

Kwadrateren en haakjes uitwerken geeft de verge-lijking

O

A

B

P

1 2 3 4 5x

y

1

2

3

4

5

x2 − 6x + 9 + y2 − 2y + 1 = x2 − 2x + 1 + y2 − 10y + 25

en dat kan worden vereenvoudigd tot een lineaire vergelijking, want de kwa-draten vallen tegen elkaar weg. Het resultaat is −4x + 8y = 16. Oftewel

−x + 2y = 4

Zo vinden we dus een vergelijking voor de middelloodlijn van A en B. Hetmidden (2, 3) van het lijnstuk AB ligt er op, en inderdaad snijdt de middel-loodlijn dat lijnstuk daar loodrecht.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

97

Page 108: Basisboek Wiskunde 2HP

V Meetkunde

In de volgende opgaven zijn telkens een vector n en een punt A gegeven.Bepaal de vergelijking van de lijn door A die n als normaalvector heeft.

Voorbeeld: n =(

32

), A = (1, 1).

De vergelijking heeft dan de vorm

3x + 2y = c

en invullen van de coordinaten van Ageeft 3× 1 + 2× 1 = c dus c = 5. Degevraagde vergelijking is daarom

3x + 2y = 5

n

AO

13.8

a. n =(

10

), A = (0,−3)

b. n =(

12

), A = (4, 3)

c. n =(

1−1

), A = (−1, 2)

d. n =(

4−3

), A = (5, 0)

e. n =(

7−6

), A = (1,−2)

13.9

a. n =(

11

), A = (2,−3)

b. n =(−13

), A = (4, 7)

c. n =(

5−8

), A = (5, 8)

d. n =(−29

), A = (2, 4)

e. n =(

5−7

), A = (8, 8)

13.10

a. n =(

22

), A = (1, 3)

b. n =(

03

), A = (−4, 2)

c. n =(

4−2

), A = (−3, 0)

d. n =(

5−1

), A = (−5, 2)

e. n =(

2−3

), A = (2,−1)

13.11

a. n =(

1−2

), A = (2, 3)

b. n =(−34

), A = (−3, 8)

c. n =(−26

), A = (−4, 7)

d. n =(

211

), A = (−2, 7)

e. n =(−7−5

), A = (5,−3)

98

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 109: Basisboek Wiskunde 2HP

13 Afstanden en hoeken

De normaalvector van een lijn

In veel toepassingen van de wiskunde wordt gewerkt met vectoren om groot-heden voor te stellen die een grootte en een richting hebben. Een vector is eenpijl met de desbetreffende grootte en richting. Gelijk gerichte pijlen die evenlang zijn, stellen dezelfde vector voor. Je kunt het beginpunt van een vector dusvrij kiezen. Vectoren geven we vaak aan door een vet gedrukte letter.

Is in een vlak een orthonormaal coordinaten-stelsel Oxy gegeven, dan kun je een vector vdie in dat vlak ligt coordinaten geven door depijl in de oorsprong te laten beginnen. De co-ordinaten van het eindpunt zijn dan de coordi-naten van de vector v. Om ze te onderschei-den van puntcoordinaten zetten we de coordi-naten van een vector onder elkaar. De vec-

tor v =(

ab

)is dus de vector die voorgesteld

wordt door de pijl die van de oorsprong O naarhet punt (a, b) loopt, of door iedere andere pijldie even groot is en dezelfde richting heeft.

O a

b

x

y

(a, b)

( ab )

( ab )

De middelloodlijn van (a, b) en (−a,−b) is de verzameling van alle puntendie gelijke afstand hebben tot (a, b) en (−a,−b). Het zijn de punten (x, y) dievoldoen aan

√(x− a)2 + (y− b)2 =

√(x + a)2 + (y + b)2. Na kwadrateren

en vereenvoudigen geeft dit ax + by = 0.

Dit is de vergelijking van een lijn die door de

oorsprong gaat. De vector(

ab

)staat blijkbaar

loodrecht op die lijn. Men noemt elke vectordie loodrecht staat op een lijn een normaalvec-tor van die lijn. Omdat ax + by = c voor elkekeuze van c een lijn voorstelt die evenwijdig ismet de lijn ax + by = 0, geldt dus:

Ox

y

(a, b)

(-a, -b)

ax + by = 0

( ab )

De vector(

ab

)is voor elke c een normaalvector van de lijn ax + by = c.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

99

Page 110: Basisboek Wiskunde 2HP

V Meetkunde

In de volgende opgaven zijn telkens een punt A en de vergelijking van eenlijn gegeven. Bepaal de vergelijking van de lijn door A die de gegeven lijnloodrecht snijdt.

Voorbeeld: A = (1, 2) en 3x + 4y = 5. Elke lijn loodrecht op deze lijn heefteen vergelijking van de vorm 4x − 3y = c (verwissel de coefficienten van xen y en voeg een minteken toe). Invullen van de coordinaten van A geeft4 × 1 − 3 × 2 = c dus c = −2. De gevraagde lijn heeft dus de vergelijking4x− 3y = −2.

13.12a. A = (2, 0), 2x− 3y = 4b. A = (3,−2), 4x + 5y = −1c. A = (−1, 1), x− 7y = 2d. A = (8,−6), 4x + 3y = 5e. A = (−2, 1), 3x− 3y = 1

13.13a. A = (0, 0), 4x− 9y = 1b. A = (0,−3), 2x + 7y = −2c. A = (−2, 1), −x + 5y = 3d. A = (4, 6), 4x + 5y = 8e. A = (−4, 1), 2x− 7y = 6

In de volgende opgaven zijn telkens een punt A en de vergelijking van een lijngegeven. Bepaal het voetpunt van de loodlijn uit A op de gegeven lijn (metandere woorden: bepaal de loodrechte projectie van A op de gegeven lijn).

Voorbeeld: A = (1, 2) en 3x + 4y = 5. De loodlijn door A heeft de vergelijking4x− 3y = −2 (zie boven). Het snijpunt van de beide lijnen is ( 7

25 , 2625 ).

13.14a. A = (1,−2), 2x− 3y = 0b. A = (1, 1), x + y = −1c. A = (2, 0), 2x− y = 1d. A = (1,−1), 2x + y = −2e. A = (−2, 2), x− 3y = 3

13.15a. A = (0, 5), x− 4y = 1b. A = (1,−3), x + 2y = −2c. A = (2,−1), −x + y = 3d. A = (−2, 2), 3x + y = 1e. A = (4, 0), 2x− y = 6

100

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 111: Basisboek Wiskunde 2HP

13 Afstanden en hoeken

Loodrechte stand van lijnen en vectoren

We hebben gezien dat de vector(

ab

)een normaalvector is van elke lijn van

de vorm ax + by = c, en in het bijzonder dus ook van de lijn ax + by = 0 diedoor de oorsprong gaat.

Voor elk punt (c, d) op die lijn ax + by = 0 geldt

ac + bd = 0. De bijbehorende vector(

cd

)staat

dan loodrecht op de vector(

ab

). We geven dit

aan met het teken ⊥. Er geldt dus(ab

)⊥(

cd

)⇐⇒ ac + bd = 0

Ox

y

(a, b)(c, d)

ax + by = 0

( ab )( c

d )

In het bijzonder staan de vectoren(−ba

)en(

b−a

)loodrecht op de vector

(ab

), want

(−b) × a + a × b = 0 en b × a + (−a) × b = 0.Deze vectoren hebben allemaal dezelfde leng-

te, en de eerste ontstaat uit(

ab

)door een rota-

tie over 90 graden tegen de klok in, de tweededoor een rotatie over 90 graden met de klokmee.

Ox

y

( ab )( -b

a )

( b-a )

Als we zeggen dat(

ab

)een normaalvector is van de lijn ax + by = c, gaan

we er stilzwijgend van uit dat a en b niet beide nul zijn, want in dat gevalis ax + by = c geen vergelijking van een lijn. Maar als vector kunnen we

natuurlijk wel over de nulvector 0 =(

00

)spreken. Het is de ‘pijl’ zonder

richting en met lengte nul. Omdat a × 0 + b × 0 = 0 is, spreken we af dat denulvector loodrecht staat op elke andere vector (en dus ook op zichzelf).

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

101

Page 112: Basisboek Wiskunde 2HP

V Meetkunde

In de volgende opgaven zijn telkens twee vectoren a en b gegeven. Berekende cosinus van de hoek tussen die vectoren en (met behulp van een rekenma-chine) die hoek in graden nauwkeurig.

Voorbeeld: a =(

11

), b =

(1−2

). Dan is |a| =

√2, |b| =

√5, 〈a, b〉 = −1 dus

cos ϕ = −1√2√

5= − 1

10

√10 ≈ −0.31623 en dus is ϕ ≈ 108.

13.16

a. a =(

10

), b =

(−11

)b. a =

(2−1

), b =

(12

)c. a =

(31

), b =

(32

)d. a =

(4−2

), b =

(01

)e. a =

(−2−1

), b =

(21

)

13.17

a. a =(

2−2

), b =

(12

)b. a =

(−10

), b =

(1−1

)c. a =

(40

), b =

(23

)d. a =

(51

), b =

(−15

)e. a =

(6−7

), b =

(11

)

In de volgende opgaven zijn telkens de vergelijkingen van twee lijnen gege-ven. Bereken met behulp van een rekenmachine de hoek waaronder ze elkaarsnijden in graden nauwkeurig. Neem die hoek steeds kleiner dan of gelijk aan90 graden.

Voorbeeld: x + y = −1, x − 2y = 4. De hoek tussen de twee lijnen is gelijk aan

de hoek tussen de normaalvectoren(

11

)en(

1−2

), en die is, afgerond, 108

(zie het voorbeeld hierboven). Dit is een stompe hoek; de scherpe hoek tussende twee lijnen is dus (afgerond) 180 − 108 = 72.

13.18a. x + y = 3, 2x− 3y = 4b. x− 2y = 5, 4x + 5y = −1c. 2x− 2y = 1, x + y = −3d. 2x− y = 3, x− y = 1e. x− 2y = −1, x + 3y = −3

13.19a. x + 2y = 0, 2x + 3y = 1b. −2x− y = 5, 4x = −1c. 3x + y = 1, −4x + y = −2d. 6x− 7y = 1, −2x− 3y = 0e. −3x− 2y = 2, 3x + y = 2

102

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 113: Basisboek Wiskunde 2HP

13 Afstanden en hoeken

Het inproduct

Bij elk tweetal vectoren a =(

a1a2

)en b =

(b1b2

)definieert men het inproduct,

notatie 〈a, b〉, door

〈a, b〉 = a1b1 + a2b2

Andere namen die hiervoor gebruikt worden, zijn inwendig product en scalairproduct. In de Engelstalige literatuur wordt ook vaak de term dot product ge-bruikt; het inproduct van a en b wordt dan genoteerd als a • b.

In de vorige paragraaf hebben we al gezien dat a⊥ b als 〈a, b〉 = 0 en omge-keerd. Verder volgt uit de stelling van Pythagoras dat voor de lengte |a| vaneen vector a geldt dat

|a| =√〈a, a〉 =

√a2

1 + a22

In het algemeen is er voor het inproduct een meetkundige interpretatie waar-uit deze beide eigenschappen als bijzondere gevallen voortvloeien. Men kannamelijk bewijzen dat

〈a, b〉 = |a||b| cos ϕ

waarin ϕ de hoek is die de twee vectoren met elkaar in de oorsprong maken.(Zie de bladzijden 141 en 143 voor de definitie van de cosinus.)

Merk op dat |b| cos ϕ de lengte is van de pro-jectie van de vector b op de drager van de vec-tor a (voorzien van een minteken als ϕ eenstompe hoek is, want dan is de cosinus nega-tief). Je kunt de rol van a en b daarbij natuur-lijk ook verwisselen: het inproduct is ook delengte van b maal de lengte van de projectievan a op de drager van b. Ook meetkundiggezien is het hiermee duidelijk dat het inpro-duct nul is als de vectoren loodrecht op elkaarstaan (want dan is cos ϕ = 0), en dat het gelijkis aan het kwadraat van de lengte als de beidevectoren samenvallen (want dan is cos ϕ = 1).

Ox

y

ϕ

b

a

|b|cos ϕ

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

103

Page 114: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

x

y

O 1 2 3-1-2-3

2

3

4

Een functie is een voorschrift om volgens een vaste, welbe-paalde regel uit een gegeven getal een ander getal, de func-tiewaarde, te maken. Zo produceert de wortelfunctie bij eengegeven getal x als functiewaarde de wortel

√x uit dat getal.

Vergelijk het met de worteltoets van een rekenmachine, die bijelk ‘invoergetal’ x dat je intoetst, in het venster het ‘uitvoerge-tal’√

x (afgerond op een vast aantal decimalen) laat zien.In dit deel behandelen we allerlei veel gebruikte functies enhun grafieken. In het laatste hoofdstuk beschrijven we gepa-rametriseerde krommen in het vlak en in de ruimte.

Page 115: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Bereken van de volgende lijnen in het vlak de richtingscoefficient:

16.1a. 3x + 5y = 4b. 2x = y + 7c. −4x + 2y = 3d. 5y = 7e. −x− 5y = 1

16.2a. 2x− 7y = −2b. x = 3y− 2c. −5x + 2y = −3d. 2x− 11y = 0e. x = 2y

Bereken met je rekenmachine van de volgende lijnen in het vlak de hellings-hoek in graden nauwkeurig:

16.3a. x− 3y = 2b. −3x = −y + 7c. 4x + 3y = 1d. y = 7xe. x− 4y = 2

16.4a. 5x− 2y = 12b. 4x = y + 8c. x− y = 3d. 12x + 11y = 12e. 3x = −y

Bereken met je rekenmachine van de volgende lijnen in het vlak de hellings-hoek in radialen in twee decimalen nauwkeurig:

16.5a. x− 3y = 2b. −3x = −y + 7c. 4x + 3y = 1d. y = 7xe. x− 4y = 2

16.6a. 5x− 2y = 12b. 4x = y + 8c. x− y = 3d. 12x + 11y = 12e. 3x = −y

Bepaal in de volgende opgaven de lineaire functie waarvan de grafiek de rech-te lijn is door P met richtingscoefficient m.

16.7a. P = (0, 0), m = 3b. P = (1,−1), m = −2c. P = (1, 2), m = 0.13d. P = (−1, 1), m = −1e. P = (2,−3), m = 4

16.8a. P = (4, 0), m = −4b. P = (3,−4), m = 2.22c. P = (−1,−3), m = 0d. P = (1,−1), m = −1.5e. P = (−1,−2), m = 0.4

124

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 116: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Eerstegraadsfuncties

De lineaire vergelijking 4x + 3y = 12kun je ook schrijven als

y = −43

x + 4

waarmee y als een functie van x ge-geven is: bij iedere x levert het rech-terlid − 4

3 x + 4 de bijbehorende waardevan y. De rechte lijn in het Oxy-vlakdie door de vergelijking wordt voorge-steld, is de grafiek van die functie.

O

-1

1

2

3

4

5

-1 1 2 3 4 5

x

y

y = − −43 x + 4

In het algemeen kun je elke lineaire vergelijking ax + by = c waarvoor geldtdat b 6= 0 is, schrijven in de vorm

y = mx + p

(neem m = −a/b en p = c/b). De voorwaarde b 6= 0 betekent dat de bijbeho-rende lijn in het Oxy-vlak niet verticaal is.

De functie f (x) = mx + p heet een eerstegraadsfunctie van x. Omdat de grafiekervan een rechte lijn is, spreekt men ook wel over een lineaire functie. Deuitdrukking mx + p is het functievoorschrift.

De coefficient m van x heet de rich-tingscoefficient. Bij een toename van hlengte-eenheden in de x-richting langsde grafiek hoort een toename van mhlengte-eenheden in de y-richting. Eenpositieve m hoort bij een stijgende gra-fiek, een negatieve m bij een dalendegrafiek.Als de schaaleenheden op de beide as-sen gelijk zijn gekozen, is m ook detangens van de hoek α die de grafiekmaakt met de richting van de x-as. Diehoek α heet de hellingshoek.

O

-1

1

2

3

4

5

-1 1 2 3 4 5

x

y

y = mx + pmh

hp

α

Bij hoekmeting in graden neemt men α tussen −90 en 90, bij hoekmeting inradialen neemt men α tussen −π

2 en π2 . Je kunt verder nog opmerken dat de

grafiek van de functie y = mx + p de y-as snijdt in het punt (0, p) want bijx = 0 hoort y = p.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

125

Page 117: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Bepaal de coordinaten (xt, yt) van de top van de volgende parabolen:

16.9a. y = x2 − 1b. y = −3x2 + 7c. y = (x + 1)2

d. y = −2(x− 2)2 + 1e. y = x2 + 2x

16.10a. y = (x + 3)2 + 4b. y = 2x2 − 8xc. y = −3x2 + 7x + 2d. y = 2x2 + 12x− 5e. y = 5x2 + 20x− 6

16.11a. y = x2 + 2x− 3b. y = x2 − 2x− 3c. y = x2 + 2x− 8d. y = 2x2 + x− 1e. y = 3x2 − x− 2

16.12a. y = −x2 − 2x + 3b. y = −x2 + 4x− 3c. y = −x2 − x + 2d. y = 2x2 − 3x− 2e. y = 3x2 + 2x− 1

Bepaal de vergelijking y = ax2 + bx + c van de parabool met de gegeven top Tdie ook nog door het gegeven punt P gaat.

16.13a. T = (0, 0) en P = (1, 2)b. T = (0, 0) en P = (−1,−2)c. T = (0, 0) en P = (2, 1)d. T = (0, 0) en P = (2,−2)e. T = (0, 0) en P = (−1,−5)

16.14a. T = (0, 1) en P = (1, 2)b. T = (0,−1) en P = (2,−2)c. T = (0,−2) en P = (−1,−5)d. T = (3, 0) en P = (−1,−2)e. T = (−2, 0) en P = (2, 1)

16.15a. T = (1, 2) en P = (2, 3)b. T = (−1, 2) en P = (1, 6)c. T = (2,−1) en P = (1, 1)d. T = (0, 3) en P = (1, 4)e. T = (−3, 0) en P = (−2, 3)

16.16a. T = (0, 0) en P = (3, 6)

b. T = (12

,−12) en P = (1,−1

4)

c. T = (13

,−1) en P = (23

,29)

d. T = (0,32) en P = (

12

, 2)

e. T = (−34

,34) en P = (−1

2,

78)

126

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 118: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Tweedegraadsfuncties en parabolen

Het functievoorschriftf (x) = −x2 + 4x + 1

definieert een tweedegraadsfunctie, ook wel kwadratische functie genoemd.

De grafiek ervan is een parabool, indit geval een bergparabool met zijn topin het punt T = (2, 5). We zien datonmiddellijk wanneer we het func-tievoorschrift via kwadraatafsplitsenschrijven als

f (x) = −(x2 − 4x + 4) + 5

= −(x− 2)2 + 5

Immers, de term −(x − 2)2 is altijd ne-gatief of nul, en alleen maar nul wan-neer x = 2 is. In dat geval is f (x) = 5en de coordinaten (xt, yt) van de top Tzijn dus (xt, yt) = (2, 5).

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

O

T

x

y

De parabool die de grafiek is van de functie f (x) = −x2 + 4x + 1 heeft alsvergelijking y = −x2 + 4x + 1. Alle punten (x, y) in het Oxy-vlak die aandeze vergelijking voldoen, liggen op de parabool en omgekeerd voldoen decoordinaten (x, y) van elk punt op de parabool ook aan deze vergelijking.

In het algemeen is f (x) = ax2 + bx + c het functievoorschrift van een tweede-graadsfunctie, mits natuurlijk a 6= 0 is. De grafiek ervan is een parabool metals vergelijking

y = ax2 + bx + c

Het is een dalparabool wanneer a > 0 is, en een bergparabool wanneer a < 0 is(zoals in het voorbeeld hierboven).

Het laagste, respectievelijk hoogste punt van de parabool heet de top (ook bijeen dalparabool!). De coordinaten (xt, yt) ervan bepaal je door net als in hetvoorbeeld hierboven eerst xt te berekenen via kwadraatafsplitsen. Daarnakun je yt via het functievoorschrift berekenen: yt = f (xt).

De algemene vergelijking van een parabool met top (xt, yt) is

y = a(x− xt)2 + yt

De constante a kun je berekenen als je de coordinaten kent van nog een anderpunt P op de parabool.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

127

Page 119: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Teken de grafieken van de functies f en g in een figuur en bereken hun snij-punten.

16.17a. f (x) = x2 + x− 2

g(x) = x + 2

b. f (x) = −x2 − 2x− 1g(x) = 2x + 3

c. f (x) = 2x2 + x− 3g(x) = −x− 3

d. f (x) = −2x2 + 5x− 2g(x) = 2x− 1

e. f (x) = 3x2 + x− 4g(x) = −3x− 5

16.18a. f (x) = x2 + 1

g(x) = −x2 + 3

b. f (x) = x2 + x− 2g(x) = x2 + 2x− 3

c. f (x) = 2x2 − x− 1g(x) = −x2 + 8x− 7

d. f (x) = −2x2 + 3x + 2g(x) = x2 + x + 1

e. f (x) = x2 − 2x− 3g(x) = −x2 + 2x− 5

Voor welke reele getallen x geldt f (x) ≥ g(x)?

16.19a. f (x) = x2 + x− 3

g(x) = −1

b. f (x) = x2 − 2x− 3g(x) = −2x− 2

c. f (x) = −x2 + 2x− 1g(x) = x− 3

d. f (x) = 2x2 − x− 1g(x) = 2x + 2

e. f (x) = −3x2 + x + 2g(x) = −x + 2

16.20a. f (x) = x2 + x− 3

g(x) = −x2 + 3x− 3

b. f (x) = x2 − x− 2g(x) = 2x2 − 3x− 4

c. f (x) = −x2 + 2x− 1g(x) = x2 − 3x + 2

d. f (x) = 2x2 − x− 1g(x) = −x2 + x + 4

e. f (x) = −3x2 + x + 2g(x) = 2x2 − 5x− 6

16.21 Voor welke reele getallen pheeft de grafiek van f geen snij-punten met de x-as?

a. f (x) = x2 + px + 1

b. f (x) = x2 − x + pc. f (x) = px2 + 2x− 1

d. f (x) = x2 + px + pe. f (x) = −x2 + px + p− 3

16.22 Voor welke reele getallen psnijdt de grafiek van f de x-as intwee verschillende punten?

a. f (x) = x2 + 2px− 1

b. f (x) = −x2 + x + p + 1

c. f (x) = px2 + 2x− 3

d. f (x) = x2 + px + p + 3

e. f (x) = (p + 1)x2 − px− 1

128

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 120: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Snijpunten van grafieken

Stel dat gegeven zijn de tweedegraads-functies

f (x) = 2x2 + 3x− 2

eng(x) = −x2 − 3x + 7

Voor de x-coordinaat van een snijpuntvan hun grafieken geldt f (x) = g(x),dus

2x2 + 3x− 2 = −x2 − 3x + 7

oftewel 3x2 + 6x − 9 = 0. De oplos-singen hiervan zijn x = 1 en x = −3.Omdat f (1) = g(1) = 3 en f (−3) =g(−3) = 7 zijn de coordinaten vansnijpunten van de twee parabolen dus(1, 3) en (−3, 7).Uit de grafieken lezen we verder af datf (x) ≤ g(x) wanneer −3 ≤ x ≤ 1 endat f (x) ≥ g(x) wanneer x ≤ −3 ofx ≥ 1.

-3 -2 -1 1 2-1

-2

-3

1

2

3

4

5

6

7

O x

y

f (x)

g (x)

De methode is algemeen bruikbaar. Als je voor twee verschillende functies fen g de eventuele snijpunten van hun grafieken zoekt, los je de vergelijkingf (x) = g(x) op om de x-coordinaten van de snijpunten te vinden. Invullenvan een gevonden x-coordinaat in een van de beide functievoorschriften geeftdan de bijbehorende y-coordinaat.

Wanneer de beide functies tweedegraadsfuncties zijn, is de vergelijking dieje oplost een tweedegraadsvergelijking (of eventueel een eerstegraadsverge-lijking), en dan zijn er dus hoogstens twee snijpunten.

Hetzelfde geldt voor het geval dat een van de twee functies een eerstegraads-functie, en de andere een tweedegraadsfunctie is.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

129

Page 121: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Teken de grafieken van de volgende functies. Bepaal daarbij in het bijzonderde horizontale en de verticale asymptoot en de eventuele snijpunten van degrafiek met de beide coordinaatassen.

16.23

a. f (x) =1

x− 1

b. f (x) =x + 1

x

c. f (x) =3

2x− 4

d. f (x) =2x

x− 5

e. f (x) =x + 2x− 2

16.24a. f (x) =

−x2x− 3

b. f (x) =x + 2

3x− 1

c. f (x) =2x− 41− 5x

d. f (x) =x + 3

4 + 7x

e. f (x) =3− 2x4x− 2

Bepaal met behulp van de grafiek van f voor welke reele getallen x geldt dat−1 ≤ f (x) ≤ 1.

16.25

a. f (x) =1

x + 3

b. f (x) =2x− 1x + 1

c. f (x) =5

x− 5

d. f (x) =2x

3− 2x

e. f (x) =3x− 12x + 2

16.26

a. f (x) =2− x

2x− 1

b. f (x) =2x− 23x + 4

c. f (x) =−x + 71− 3x

d. f (x) =2x + 24− 5x

e. f (x) =3− x2x + 4

Bereken de snijpunten van de grafieken van de volgende functies f en g.

16.27

a. f (x) =8

x + 3en g(x) = 2x

b. f (x) =2x− 4x + 1

en g(x) = 2− x

c. f (x) =8

5− xen g(x) = x + 4

d. f (x) =2x− 13− 2x

en g(x) = 3− 2x

16.28

a. f (x) =x + 3

2x + 1en g(x) = 3x− 5

b. f (x) =2

x + 3en g(x) = x + 2

c. f (x) =3x + 2x + 1

en g(x) = 2− x

d. f (x) =2 + 2x2x− 4

en g(x) = 3x− 5

130

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 122: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Gebroken lineaire functies

De functie

f (x) =2x + 4x− 3

waarvan het functievoorschrift een‘breuk’ is met een lineaire functie in deteller en een lineaire functie in de noe-mer, heet een gebroken lineaire functie.Voor x = 3 wordt de noemer nul, endan kan f (x) dus niet berekend wor-den. De grafiek van f heeft de vertica-le lijn x = 3 als verticale asymptoot. Na-dert x van boven tot 3, dan nadert f (x)tot +∞, nadert x van onder tot 3, dannadert f (x) tot −∞.

-10 -5 5 10 15

-15

-10

-5

5

10

15

O x

y

Wanneer we in het functievoorschrift teller en noemer delen door x, ontstaat

f (x) =2 + 4

x

1− 3x

Voor zeer grote positieve of negatieve waarden van x zijn 4x en 3

x zeer kleinegetallen, en dan is f (x) dus vrijwel gelijk aan 2

1 = 2. De horizontale lijn y = 2is daarom een horizontale asymptoot van de grafiek van f .

De algemene vorm van een gebroken lineaire functie is

f (x) =ax + bcx + d

waarbij we aannemen dat c 6= 0 (want anders is het een ‘gewone’ lineairefunctie). De horizontale asymptoot is de lijn y = a

c . Zo’n functie is niet ge-definieerd wanneer de noemer nul wordt, dus als x = − d

c . De verticale lijnx = − d

c is de verticale asymptoot van de grafiek, tenzij de teller voor x = − dc

ook nul is.

Dat laatste doet zich bijvoorbeeld voor bij de functie

f (x) =2x− 4−6x + 12

De noemer is nul voor x = 2, maar de teller is dan ook nul. Voor alle x 6= 2 geldtf (x) = − 1

3 (deel teller en noemer door 2x− 4), dus de grafiek is gewoon de horizontale

lijn y = − 13 met een onderbreking in het punt (2,− 1

3 ).

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

131

Page 123: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Teken de grafieken van de volgende functies. Werk de haakjes niet uit!

16.29a. f (x) = (x− 1)3

b. f (x) = x3 − 1

c. f (x) = 1− x4

d. f (x) = 1 + (x + 1)3

e. f (x) = (2x− 1)3

16.30a. f (x) =

√x− 1

b. f (x) = 3√x + 1

c. f (x) = 1− 4√2− x

d. f (x) = 3√4 + 7x

e. f (x) = 5√x− 2

16.31a. f (x) =

√x3

b. f (x) =3√

x2

c. f (x) =√|x|

d. f (x) =√|x|3

e. f (x) = | 3√

x|

16.32a. f (x) = |x|3

b. f (x) = |x− 1|3

c. f (x) = |1− x2|d. f (x) = |1 + x3|e. f (x) = |1− (x + 1)2|

Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op. Maak daarbij steeds ge-bruik van een tekening.

16.33a. x4 ≤ x3

b. x4 = |x|c. x4 ≥ |x|3

d. x4 ≥√

xe. x4 ≤ | 3

√x|

16.34a. |2x + 3| = 2

b. |2x− 3| = −2

c. |2x + 3| = 4xd. |2x + 3| ≥ |4x|e. |x2 − 2x| < 1

Ook bij de volgende opgaven is het handig eerst een (ruwe) tekening te ma-ken. Voorbeeld: Los op

√x + 2 = |x|. De tekening hieronder laat zien dat er

twee oplossingen zijn. Je vindt ze door de vergelijking te kwadrateren (als xaan de oorspronkelijke vergelijking voldoet, voldoet x ook aan de gekwadra-teerde vergelijking). Dit geeft x + 2 = x2, met als oplossingen (kwadraataf-splitsen of abc-formule) x = −1 en x = 2.

O 1 2-1-2

1

x

y

|x|√x + 2

16.35 Los op:a.√

x = |x|b.√

x− 1 = |x− 2|c.√

x + 1 ≤ x− 1

d.√|1− x| ≥ x

e.√

2x + 1 ≤ |x + 1|

132

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 124: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Machtsfuncties, wortelfuncties en de absolute-waardefunctie

Hiernaast zijn in een figuur de gra-fieken getekend van de machtsfunctiesf (x) = xn voor n = 1, 2, 3, 4, 5. Al-lemaal gaan ze door de oorsprong endoor het punt (1, 1).Voor elke n > 1 heeft de grafiek vanxn in de oorsprong de x-as als raak-lijn. Voor even waarden van n nemende functies daar hun minimale waardeaan.Voor even waarden van n liggen degrafieken symmetrisch ten opzichtevan de y-as. Er geldt dan f (−x) = f (x)voor alle x. Voor oneven n zijn degrafieken puntsymmetrisch in de oor-sprong. Er geldt dan f (−x) = − f (x).

O 1 2-1-2

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

x

y

y = x

y = x2 y = x4

y = x3

y = x5

In het algemeen heet een functie f (x) even als f (−x) = f (x) voor alle x, enoneven als f (−x) = − f (x) voor alle x. Maar let op: niet iedere functie iseven of oneven. De meeste functies zijn geen van beide, neem bijvoorbeeld defunctie f (x) = x + 1, die even noch oneven is zoals je gemakkelijk nagaat.

In de tekening hiernaast staan de gra-fieken van de wortelfuncties f (x) = n

√x

voor n = 2, 3, 4, 5. Allemaal gaan zedoor de oorsprong en door het punt(1, 1). Voor even waarden van n zijndie functies alleen maar gedefinieerdvoor x ≥ 0, voor oneven n zijn ze ge-definieerd voor alle x. Al die grafie-ken hebben in de oorsprong de y-as alsraaklijn.

O 1 2-1-2

1

-1

x

yy = √x

y = 5√x

y = 3√x y = 4

√x

In de onderste tekening is de grafiekgetekend van de absolute-waardefunctief (x) = |x|, die gedefinieerd is door|x| = x als x ≥ 0 en |x| = −x als x ≤ 0.Voor alle x geldt dat |x|2 = x2. O 1 2-1-2

1

x

y

y = |x|

Merk op dat n√xn = |x| als n even is, en n√xn = x als n oneven is.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

133

Page 125: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

16.36 Geef voorbeelden van

a. een vijfdegraadspolynoom met vijf verschillende nulpunten,b. een vijfdegraadspolynoom met vier verschillende nulpunten,c. een vijfdegraadspolynoom met drie verschillende nulpunten,d. een vijfdegraadspolynoom met twee verschillende nulpunten,e. een vijfdegraadspolynoom met een nulpunt,f. een zesdegraadspolynoom zonder nulpunten.

De factorstelling op de volgende bladzijde zegt dat er bij elk nulpunt x = avan een polynoom f (x) van graad groter dan of gelijk aan 1 een polynoomg(x) hoort waarvoor geldt dat f (x) = (x− a)g(x). Neem bijvoorbeeld

f (x) = 3x4 − 7x3 + 3x2 − x− 2

Invullen laat zien dat f (2) = 0 dus x = 2 is een nulpunt. De volgende staart-deling levert het polynoom g(x) = 3x3 − x2 + x + 1.

x− 2/

3x4 − 7x3 + 3x2 − x− 2∖

3x3 − x2 + x + 1

3x4 − 6x3

− x3 + 3x2

− x3 + 2x2

x2 − xx2 − 2x

x− 2x− 2

0

Hieruit blijkt dat 3x4 − 7x3 + 3x2 − x− 2 = (x− 2)(3x3 − x2 + x + 1).

Ga bij de volgende opgaven na dat a een nulpunt van het gegeven polynoomf (x) is en bepaal vervolgens met een staartdeling het polynoom g(x) waar-voor geldt dat f (x) = (x− a)g(x).

16.37a. f (x) = x2 − x− 2, a = 2b. f (x) = 2x2 − 2, a = 1c. f (x) = x3 + 1, a = −1d. f (x) = x6 − 1, a = 1e. f (x) = 2x3 − 4x + 8, a = −2f. f (x) = x4 − 2x2 + 1, a = 1g. f (x) = −x3 − 3x2 + 12x− 4,

a = 2

16.38a. f (x) = 2x4 − 2, a = 1b. f (x) = x3 + x2 + 4, a = −2c. f (x) = x3 + 8, a = −2d. f (x) = x4 − 16, a = 2e. f (x) = x3 − 3x2 + 2x, a = 1f. f (x) = 2x3 − 4x + 8, a = −2g. f (x) = x4 − 9x3 − 6x2 − 4,

a = −1

134

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 126: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Polynomen

Hiernaast zie je de grafiek van de func-tie f (x) = x5 − 5x3 − x2 + 4x + 2. Deschaalverdelingen op de assen zijn ver-schillend gekozen.Je ziet drie nulpunten van deze func-tie, dat wil zeggen punten x waar-voor f (x) = 0 is. Of f (x) nog meernulpunten heeft, kun je zo direct nietzien: misschien liggen er verderopnaar links of naar rechts wel meer. Na-der onderzoek zou dat kunnen uitwij-zen.

O

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2 -1 1 2x

y

In het algemeen heet elke functie van de vorm

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

een polynoomfunctie, of, kortweg, een polynoom. Ook het Nederlandse woordveelterm wordt hiervoor wel gebruikt. De getallen ai heten de coefficienten. Weveronderstellen daarbij altijd dat de hoogste coefficient an niet nul is (anderszou je die term net zo goed weg kunnen laten). De andere coefficienten mogenwel nul zijn. Men noemt n de graad van het polynoom. Het hierboven gegevenvoorbeeld is dus een vijfdegraadspolynoom.

Van belang is de factorstelling:

Als f (x) een n-degraads polynoom is met n ≥ 1 en a is een reeel getal waar-voor geldt dat f (a) = 0, dan is er een polynoom g(x) van graad n − 1 zo,dat f (x) = (x− a)g(x).

Neem als voorbeeld f (x) = 3x4 − 7x3 + 3x2 − x − 2. Als je hier x = 2 invult,krijg je f (2) = 3 · 16 − 7 · 8 + 3 · 4 − 2 − 2 = 0 dus 2 is een nulpunt. De bij-behorende functie g(x) vind je via een staartdeling. Op de tegenoverliggendebladzijde is dat voorgedaan. Zo zie je dat f (x) = (x− 2)(3x3 − x2 + x + 1).

Als g(x) een nulpunt heeft, kun je daar ook weer zo’n eerstegraadsfactor uithalen, enzovoort, net zo lang totdat er een polynoom zonder nulpunten over-blijft. Elk polynoom f (x) is dus te schrijven als

f (x) = (x− a1) · · · (x− ak)h(x)waarbij h(x) een polynoom zonder nulpunten is. Gevolg:

Elk n-degraads polynoom met n ≥ 1 heeft hoogstens n nulpunten.

Zonder bewijs vermelden we nog de volgende stelling:

Elk n-degraads polynoom met n oneven heeft minstens een nulpunt.

In het bijzonder heeft elk derdegraadspolynoom dus minstens een nulpunt.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

135

Page 127: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

16.39 Zoek bij elke grafiek het bijpassende functievoorschrift. Motiveer jeantwoord. Gebruik geen grafische rekenmachine.

O x

yI

O x

yII

Ox

yIII

Ox

yIV

O x

yV

O x

yVI

O x

yVII

O x

yVIII

O x

yIX

a.x4 + 1x3 + x

d.x4 − 1

2x3 − 8x

g.x3 + 8

8(x− 1)2

b.x3 + 1

x3 − 4x

e.x5 + 1

5x3 − 20x

h.x3

x2 − 1

c.4x2

x2 + 1

f.x2

2x− 2

i.8x + 1x4 + 1

136

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 128: Basisboek Wiskunde 2HP

16 Functies en grafieken

Rationale functies

Hiernaast is de grafiek getekend vande functie

f (x) =(x2 + 1)(2x− 1)3(x− 1)2(x + 1)

Je ziet twee verticale asymptoten eneen horizontale asymptoot. De verti-cale asymptoten zijn de lijnen x = 1en x = −1, precies bij de waarden vanx waarvoor de noemer nul wordt. Dehorizontale asymptoot is de lijn y = 2

3 .De horizontale asymptoot geeft de li-mietwaarde van f (x) als x −→ +∞ enals x −→ −∞.

O

-4

-2

2

4

-2-4 2 4 x

y

Je vindt die limieten het gemakkelijkst als je f (x) schrijft als

f (x) =2x3 − x2 + 2x− 13x3 − 3x2 − 3x + 3

=2− 1

x + 2x2 − 1

x3

3− 3x −

3x2 + 3

x3

dus haakjes uitwerken en teller en noemer delen door de hoogste macht vanx. Het enige nulpunt van de functie is het punt waar de teller nul wordt, endat is als x = 1

2 .

Men noemt in het algemeen iedere functie waarvan het functievoorschrift ge-schreven kan worden als het quotient van twee polynomen een rationale func-tie. Zo’n functie is dus van de gedaante

f (x) =a(x)b(x)

=anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x + b0

We kunnen daarbij aannemen dat het tellerpolynoom a(x) en het noemerpo-lynoom b(x) geen gemeenschappelijke nulpunten hebben, want als die er welzijn, kunnen we ze via de factorstelling tegen elkaar wegdelen.

Als dat gebeurd is, zijn de nulpunten van de teller a(x) ook de nulpuntenvan f (x). De nulpunten van de noemer b(x) heten dan de polen van f (x). Bijelke pool hoort een verticale asymptoot.

Een horizontale asymptoot treedt alleen maar op als n ≤ m. Als n = m is

de lijn y =an

bnde horizontale asymptoot. Dit geval deed zich voor in het

hierboven getekende voorbeeld: daar was a3 = 2 en b3 = 3. Als n < m is dex-as de horizontale asymptoot. De limiet van f (x) voor x −→ ±∞ is dan nul.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

137

Page 129: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

Bereken de grootte van de volgende in graden gegeven hoeken in radialen.Geef exacte antwoorden!

17.1a. 30

b. 45

c. 60

d. 70

e. 15

17.2a. 20

b. 50

c. 80

d. 100

e. 150

17.3a. 130

b. 135

c. 200

d. 240

e. 330

Bereken de grootte van de volgende in radialen gegeven hoeken in graden.Geef exacte antwoorden!

17.4

a.16

π

b.76

π

c.13

π

d.23

π

e.14

π

17.5

a.54

π

b.5

12π

c.1124

π

d.158

π

e.2312

π

17.6

a.7172

π

b.4124

π

c.2518

π

d.1324

π

e.3136

π

Bereken bij de volgende draaiingshoeken de hoek α met 0 ≤ α < 360 diehetzelfde draaiingsresultaat geeft.

17.7a. −30

b. 445

c. −160

d. 700

e. 515

17.8a. −220

b. −650

c. 830

d. 1000

e. 1550

17.9a. −430

b. 935

c. 1200

d. −240

e. 730

17.10

a. Wat is de oppervlakte van de cirkelsector met straal 3 en een middel-puntshoek van 1 radiaal?

b. Wat is de oppervlakte van een halve cirkel met diameter 1 ?

c. Wat is de omtrek van een cirkel met oppervlakte 1 ?

138

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 130: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

Hoekmeting

Hoeken meten we in graden of in radi-alen. Hiernaast zie je de eenheidscirkelin het vlak (de cirkel met straal 1 ende oorsprong O als middelpunt) waar-op de beide verdelingen zijn aangege-ven. Een volledige rondgang telt 360graden, oftewel 2π radialen.Ook draaiingshoeken kunnen we ingraden of in radialen meten. De draai-ingsrichting is dan wel van belang: vol-gens afspraak geven we draaiingen inhet vlak tegen de klok in met een plus-teken aan, en draaiingen met de klokmee met een minteken.

O 0o

360o

30o

60o90o

120o

150o

180o

330o

300o

270o240o

210o

02π

π

π−2

3π2

Bij draaiingen kan de draaiingshoek natuurlijk ook groter dan 360 zijn. Voorhet resultaat maakt het niets uit of je er gehele veelvouden van 360 (of 2πradialen) bij optelt of van aftrekt.

De term radiaal komt van radius, het-geen straal betekent. Wanneer je opeen cirkel met straal r een boog met eenmiddelpuntshoek van α radialen te-kent, is de lengte van die boog preciesα × r. De hoekmaat in radialen geeftdus de verhouding tussen de boog-lengte en de straal, vandaar de naamradiaal. Bij een cirkel met straal r = 1is de booglengte precies gelijk aan demiddelpuntshoek α in radialen.

α × r

rα radialen

r

De omtrek van een cirkel met een straal r is 2πr. Bij een volledige rondganglangs een cirkel hoort dan ook een draaiingshoek van 2π radialen. Een hoekvan 1 radiaal is iets kleiner dan 60 graden, namelijk, in acht decimalen nauw-keurig, 57.29577950 graden. De exacte waarde is 360/(2π).

De oppervlakte van een cirkel met straal r is πr2, en de oppervlakte van een

sector met een middelpuntshoek van α radialen is daaromα

2π× πr2 =

12

αr2.

Later in dit hoofdstuk worden de goniometrische functies sin x, cos x en tan xbehandeld. Daarbij wordt uitsluitend met radialen gewerkt. In het vervolgzullen we daarom, tenzij expliciet anders aangegeven, hoeken ook steeds inradialen meten.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

139

Page 131: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

17.11

a. Toon met behulp van de stelling van Pythagoras (zie bladzijde 143) aandat de lengte van de zijden van een vierkant met diagonalen van lengte1 gelijk is aan 1

2

√2.

b. Toon met behulp van de stelling van Pythagoras aan dat de lengte vanelke zwaartelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte 1gelijk is aan 1

2

√3 (een zwaartelijn in een driehoek verbindt een hoekpunt

met het midden van de tegenoverliggende zijde.)

c. Verklaar hiermee de waarden voor α = 13 π, α = 1

4 π en α = 16 π in de

tabel op de volgende bladzijde (zie ook de onderstaande figuur).

Ox

y

11−2

1−2√3

1 1

π−3O

x

y

11−2√2

1−2√2

1

π−4O

x

y

1

1−2

1−2 √3

1

1π−6

Gebruik de tabel op de volgende bladzijde en een tekening van de eenheids-cirkel om de volgende sinussen, cosinussen en tangenten te berekenen. Geefdaarbij de plaats van elke hoek op de eenheidscirkel duidelijk aan en gebruikzo nodig symmetrie. Geef exacte antwoorden!

17.12a. sin 2

3 π

b. cos 34 π

c. cos 116 π

d. tan 54 π

e. sin 56 π

17.13a. sin 3π

b. tan 7π

c. cos−5π

d. tan 12π

e. sin−5π

17.14a. sin− 2

3 π

b. tan 74 π

c. cos− 76 π

d. tan− 53 π

e. sin 134 π

17.15a. tan 4

3 π

b. sin− 34 π

c. cos 113 π

d. tan− 154 π

e. cos− 236 π

17.16a. cos 13π

b. tan 17π

c. sin−7π

d. tan 11π

e. cos−8π

17.17a. sin 23

6 π

b. tan− 174 π

c. sin− 73 π

d. tan− 256 π

e. sin 234 π

140

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 132: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

De sinus, de cosinus en de tangens

Bij elke draaiingshoek α hoort eendraaiing in het vlak om de oorsprongover die hoek. Een positieve draaiings-hoek correspondeert met een draaiingtegen de klok in, een negatieve hoekhoort bij een draaiing met de klok mee.We kunnen zo’n draaiing aangeven viaeen boog van de eenheidscirkel metmiddelpuntshoek α die in (1, 0) begint.De coordinaten (x, y) van het eindpuntzijn dan respectievelijk de cosinus en desinus van α, dus

Ox

y

(1,0)

(cos α, sin α)

cos α

sin α

α

x = cos α en y = sin α

Omdat (x, y) op de eenheidscirkel ligt, geldt x2 + y2 = 1, dus

cos2 α + sin2 α = 1

Let hierbij op de notatie: cos2 α betekent (cos α)2 en sin2 α betekent (sin α)2.Deze notatievormen zijn algemeen gebruikelijk. Echter: cos α2 betekent cos(α2).Ook hier geldt weer: zet bij twijfel haakjes!

De tangens van α is het quotient van de sinus en de cosinus, in formule:

tan α =sin α

cos α

Uit de hier gegeven definities van de sinus en de cosinus met behulp van deeenheidscirkel volgen direct de volgende symmetrie-eigenschappen:

sin(−α) = − sin α, cos(−α) = cos α, tan(−α) = − tan α

Er zijn enige hoeken α met bijzondere waarden voor de sinus, de cosinus ende tangens. Voor 0 ≤ α ≤ π

2 (in radialen) geven we ze in de vorm van eentabel. Je moet de waarden uit die tabel uit je hoofd kennen.

α 0 16 π 1

4 π 13 π 1

2 π

sin α 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cos α 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0

tan α 0 13

√3 1

√3 −

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

141

Page 133: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

17.18 Voor elke α geldt −1 ≤ cos α ≤ 1 en −1 ≤ sin α ≤ 1. Zijn er ook zulkegrenzen voor de tangens? Ga ook aan de hand van het ‘raaklijnplaatje’ nawat er precies met de tangens gebeurt als het punt op de eenheidscirkel eenvolledige rondgang maakt.

In de volgende opgaven is van eenrechthoekige driehoek ABC zoals diehiernaast getekend is, telkens de scher-pe hoek α en een van de zijden gege-ven. Bereken de andere twee zijdenin vier decimalen nauwkeurig met be-hulp van een rekenmachine. A C

B

b

ac

α

17.19a. α = 32, c = 3

b. α = 63, c = 2

c. α = 46, a = 2

d. α = 85, c = 7

e. α = 12, b = 3

17.20a. α = 23, a = 3

b. α = 49, b = 2

c. α = 76, c = 8

d. α = 21, b = 2

e. α = 17, b = 4

17.21a. α = 1.1 rad, c = 3

b. α = 0.5 rad, c = 4

c. α = 0.2 rad, a = 2

d. α = 1.2 rad, b = 7

e. α = 0.7 rad, a = 3

In de volgende opgaven is van een hoek α met 0 < α < 12 π de sinus of de

cosinus gegeven. Bereken de cosinus respectievelijk de sinus van α en ook detangens. Geef exacte antwoorden!

Voorbeeld: sin α = 57 .

Teken een rechthoekige driehoek ABCzoals hiernaast met a = 5 en c = 7.Dan is inderdaad sin α = 5

7 . Pythago-ras geeft dan b =

√49− 25 =

√24 =

2√

6 en dus is cos α = bc = 2

7

√6 en

tan α = ab = 5

12

√6. A C

B

b

57

α

17.22a. sin α = 1

5

b. cos α = 27

c. sin α = 38

d. cos α = 25

e. cos α = 57

17.23a. sin α = 3

4

b. cos α = 16

c. sin α = 18

d. cos α = 58

e. cos α = 513

17.24a. sin α = 6

31

b. cos α = 423

c. sin α = 13

√5

d. cos α = 13

√7

e. cos α = 14

√10

142

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 134: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

De tangens op de raaklijn

Bij een punt op de eenheidscirkel met middelpuntshoek α vind je cos α ensin α als projecties op de x-as en de y-as. Maar ook de tangens van α kun je inbeeld brengen. Teken daartoe de verticale raaklijn in het punt (1, 0) en snijd deverlengde straal met die lijn. De y-coordinaat van het snijpunt is dan preciesgelijk aan tan α. Overigens, dit hangt samen met het feit dat het latijnse woordtangens letterlijk ‘rakend’ betekent. En het gebruikelijke meervoud van tangensis tangenten.

Ox

y

1cos α

sin α

tan α

α

Ox

y

1cos α

tan α

α

sin α

Ox

y

1

sin α

tan α

αcos α

Hierboven is de situatie voor verschillende waarden van α getekend, respec-tievelijk in het eerste, het tweede en het derde kwadrant. In het tweede kwa-drant is de sinus positief en de cosinus negatief, dus tan α = sin α

cos α is daarnegatief. In het derde kwadrant zijn de cosinus en de sinus beide negatief,dus daar is de tangens positief. In het vierde kwadrant (niet getekend) is decosinus positief, de sinus negatief en de tangens dus ook weer negatief.

Je ziet op deze manier dat voor elke hoek α geldt dat

tan(α + π) = tan α

De rechthoekige driehoek

Als ABC een rechthoekige driehoek ismet rechte hoek in C, scherpe hoekα bij A en zijden van lengte a, b enc tegenover respectievelijk A, B en C,dan gelden de volgende betrekkingen.Leer ze uit je hoofd!

A C

B

b

ac

α

sin α =ac

, cos α =bc

, tan α =ab

a2 + b2 = c2 (stelling van Pythagoras)

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

143

Page 135: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

17.25 Leid de volgende formules af. Je kunt daarbij gebruikmaken van deformules op bladzijde 141 en de optelformules van de volgende bladzijde.

a. cos 2α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2 sin2 α

b. 1 + tan2 α =1

cos2 α

c. tan(α + β) =tan α + tan β

1− tan α tan β

d. tan 2α =2 tan α

1− tan2 α

17.26 Bewijs dat cos(

π2 − x

)= sin x en sin

(π2 − x

)= cos x voor alle x.

17.27 Gebruik de relaties α = α+β2 + α−β

2 en β = α+β2 −

α−β2 om de volgende

formules af te leiden.

a. sin α + sin β = 2 sin α+β2 cos α−β

2

b. sin α− sin β = 2 sin α−β2 cos α+β

2

c. cos α + cos β = 2 cos α+β2 cos α−β

2

d. cos α− cos β = −2 sin α+β2 sin α−β

2

De dubbele-hoekformules cos 2α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2 sin2 α (zie boven) kunje ook gebruiken om sin α en cos α te berekenen als je cos 2α kent:

sin α = ±√

12 (1− cos 2α) en cos α = ±

√12 (1 + cos 2α)

Gebruik dit, en eventueel ook de optelformules, bij de volgende opgaven.

Voorbeeld: cos 512 π = ±

√12 (1 + cos 5

6 π) = ±√

12 (1− 1

2

√3) = 1

2

√2−√

3 want

cos 5π6 = − 1

2

√3 en de hoek 5

12 π ligt in het eerste kwadrant, dus de cosinuservan is positief.

17.28 Bereken exact:a. sin 1

8 π

b. cos 18 π

c. tan 18 π

d. sin 112 π

e. cos 112 π

17.29 Bereken exact:a. sin 3

8 π

b. cos 78 π

c. tan 58 π

d. sin 712 π

e. tan 712 π

17.30 Bereken exact:a. sin 11

8 π

b. cos 1712 π

c. tan 158 π

d. tan 1312 π

e. cos 138 π

144

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 136: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

Optelformules en dubbele-hoekformules

Naast de basisformule sin2 α + cos2 α = 1 en de ‘symmetrieformules’ vanbladzijde 141 zijn er nog twee andere fundamentele gonioformules:

cos(α + β) = cos α cos β− sin α sin βsin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

De geldigheid van deze formules illustreren we aan de hand van de onder-staande figuur. Maar eerst leiden we uit de optelformules een aantal andereformules af. In de opgaven hiernaast vragen we je zelf nog enige andere for-mules af te leiden. Een volledig formuleoverzicht vind je op bladzijde ??.

Als je in de optelformules β vervangt door −β krijg je

cos(α− β) = cos α cos β + sin α sin βsin(α− β) = sin α cos β− cos α sin β

Als je in de optelformules α = β neemt, krijg je de dubbele-hoekformules:

cos 2α = cos2 α− sin2 αsin 2α = 2 sin α cos α

Opgave 17.25a vraagt je de formule voor cos 2α uit te breiden tot

cos 2α = cos2 α− sin2 α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2 sin2 α

Een meetkundige illustratie van de optelformulesDe donkere rechthoekige driehoeken in de figuur hieronder hebben beide een scherpehoek α. De schuine zijde OQ van de onderste driehoek heeft lengte cos β, want OQis ook een rechthoekszijde van de rechthoekige driehoek OQP met scherpe hoek β enschuine zijde OP = 1. Evenzo geldt dat PQ = sin β.

Omdat de schuine zijde OQ van deonderste donkere driehoek lengtecos β heeft, zijn de lengten van derechthoekszijden cos α cos β (hori-zontale zijde) en sin α cos β (ver-ticale zijde). Evenzo hebben derechthoekszijden van de bovenstedonkere driehoek een lengte vancos α sin β (verticaal) en sin α sin β(horizontaal).

O (1, 0)

α

α

β

cos β

sin β

(cos α, sin α)

Q = (cos α cos β, sin α cos β)

P = (cos(α + β), sin(α + β))

De x-coordinaat van het punt P is nu enerzijds gelijk aan cos(α + β), want P hoortbij een draaiingshoek van α + β, en anderzijds gelijk aan cos α cos β − sin α sin β (hetverschil van de horizontale rechthoekszijden van de donkere driehoeken). Dit levert deeerste optelformule. De tweede optelformule volgt op analoge wijze uit het feit dat dey-coordinaat van P de som is van de lengten van de verticale rechthoekszijden van dedonkere driehoeken.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

145

Page 137: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Uit de tekening van de eenheidscirkel en de tabel op bladzijde 141 volgt datalle oplossingen van de vergelijking sin x = 1

2 geschreven kunnen worden alsx = 1

6 π + 2kπ of als x = 56 π + 2kπ voor een gehele waarde van k. Geef op

een dergelijke wijze alle oplossingen van de volgende vergelijkingen. Gebruikdaarbij steeds de eenheidscirkel en de tabel op bladzijde 141.

17.31a. sin x = − 1

2

b. cos x = 12

c. tan x = −1

17.32a. sin x = 1

2

√2

b. cos x = − 12

√3

c. tan x = −√

3

17.33a. tan x = 1

3

√3

b. cos x = − 12

√2

c. cos x = 0

Schets de grafiek van de volgende functies. Een ruwe schets is voldoende.Geef wel altijd de periodelengte aan alsmede de snijpunten van de grafiekmet de de x-as.

17.34a. sin(−x)

b. cos(−x)

c. tan(−x)

d. cos(x + 12 π)

e. sin(x− 12 π)

17.35a. tan(x + 1

2 π)

b. cos(x− 16 π)

c. sin(x + 23 π)

d. cos(x− 54 π)

e. tan(x− 13 π)

17.36a. tan(x + 1

6 π)

b. cos(x− 3π)

c. sin(x + 203 π)

d. cos(x− 154 π)

e. tan(x− 176 π)

17.37a. sin( 3

2 π − x)

b. cos( 14 π + x)

c. tan( 23 π − x)

d. cos( 53 π + x)

e. sin( 13 π − x)

17.38a. tan(2x)

b. cos(3x)

c. sin( 23 x)

d. cos( 54 x)

e. tan(8x)

17.39a. tan(3x + 1

6 π)

b. cos(2x− 3π)

c. sin(2x + 203 π)

d. cos( 12 x− 15

4 π)

e. tan( 13 x− 17

6 π)

17.40a. sin(2πx)

b. cos(3πx)

c. tan(πx)

d. cos(2πx + 12 π)

e. sin(2πx− 13 π)

17.41a. tan(6πx + π)

b. cos(4πx− 7π)

c. sin(2πx + 23 π)

d. cos( 54 πx− π)

e. tan( 13 πx + 2π)

17.42a. tan(πx + 1

6 π)

b. cos( 12 πx− 3π)

c. sin(7πx + 23 π)

d. cos(5πx− 54 π)

e. tan( 34 πx− 7

6 π)

146

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 138: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

Grafieken van goniometrische functies

0

-1

1

π−π

cos x

xπ−2

− π−2

0

-1

1

π−π π−2

− π−2

sin x

x

0

-1

-2

-3

1

2

3

π−π π−2

− π−2

tan x

x

Hierboven zijn de grafieken getekend van de functies sin x, cos x en tan x, metx in radialen. Die functies zijn periodiek: de sinus en de cosinus met periode2π, de tangens met periode π. De tangens heeft verticale asymptoten voorx = π

2 + kπ met k geheel, want voor die waarden van x is de cosinus nul, endan is tan x = (sin x)/(cos x) dus niet gedefinieerd. Neem bijvoorbeeld deasymptoot x = π

2 . Als x van onderen tot π2 nadert, gaat tan x naar +∞, maar

als x van boven tot π2 nadert, gaat tan x naar −∞. Notatie:

limx↑ π

2

tan x = +∞ en limx↓ π

2

tan x = −∞

De symmetrie-eigenschappen van de sinus, de cosinus en de tangens (ziebladzijde 141) zie je ook terug in de grafieken. Ter herinnering:

sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x, tan(−x) = − tan x

Hiernaast staan voorbeelden getekendvan twee veelgebruikte transformaties.In de bovenste figuur vind je behalvede grafiek van de functie sin x (zwart)ook die van sin 2x (blauw). De sinus-grafiek is in horizontale richting als hetware met een factor 2 samengedrukt.De periode is twee maal zo klein ge-worden: π in plaats van 2π.De onderste tekening toont naast degrafiek van cos x (zwart) ook die vande functie cos(x− π

3 ) (blauw). De cosi-nusgrafiek is nu in horizontale richtingover een afstand van π

3 naar rechts ver-schoven.

0

-1

π 2ππ−23π2

cos xcos ( x - π−3 )

x

y

0

-1

1

π 2ππ−23π2

sin x sin 2x

x

y

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

147

Page 139: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Bereken exact:

17.43a. arcsin−1

b. arccos 0

c. arctan−1

d. arcsin 12

√2

e. arccos− 12

√3

17.44a. arctan− 1

3

√3

b. arccos− 12

√2

c. arcsin 12

√3

d. arctan−√

3

e. arccos−1

17.45a. arctan(tan π)

b. arccos(cos−π)

c. arcsin(sin 3π)

d. arcsin(sin 23 π)

e. arctan(tan 54 π)

17.46 Stel α = arcsin 13 . Bereken exact:

a. cos α

b. tan α

c. sin 2α

d. cos(α + π

4)

e. cos 12 α

13

α

Bereken de exacte waarde van de volgende uitdrukkingen. Teken zo nodig alshulpfiguur een geschikt gekozen rechthoekige driehoek.

17.47a. sin(arcsin− 5

7 )

b. sin(arccos 0)

c. tan(arctan 34 )

d. cos(arctan 1)

e. sin(arctan−1)

17.48a. cos(arcsin 3

5 )

b. sin(arccos 23 )

c. cos(− arctan 34 )

d. tan(arcsin 57 )

e. sin(arctan−4)

17.49 Bereken

a. arcsin(cos 15 π) Hint: gebruik dat cos α = sin( π

2 − α)

b. arccos(sin 37 π)

c. arcsin(cos 23 π)

d. arcsin(cos 75 π)

e. arctan(tan 95 π)

148

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 140: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

De arcsinus, de arccosinus en de arctangens

Wanneer we van een (in radialen gemeten) hoek x weten dat sin x = 12 , dan

zijn er voor x nog oneindig veel mogelijkheden open. De sinus is namelijkeen periodieke functie, en bovendien wordt elke waarde (behalve 1 en −1)gedurende een periode twee maal aangenomen. Zo geldt sin x = 1

2 als x = 16 π

en als x = 56 π en bij elk van die hoeken kunnen we nog willekeurige gehele

veelvouden van 2π optellen.

Al die keuzemogelijkheden verdwijnen echter wanneer we afspreken dat we xbeperken tot het interval [−π

2 , π2 ], dat wil zeggen −π

2 ≤ x ≤ π2 . In de figuur

hieronder is het desbetreffende grafiekdeel dik gemaakt.

Voor de cosinus en de tangens, waarvoor soortgelijke problemen spelen, heeftmen eveneens zulke voorkeursintervallen afgesproken: [0, π] bij de cosinus,en 〈−π

2 , π2 〉 bij de tangens.

Wanneer er nu een waarde y0 gegeven is, is er steeds precies een x0 in hetvoorkeursinterval waarvoor respectievelijk geldt dat sin x0 = y0, cos x0 = y0of tan x0 = y0. In de figuur hieronder is aangegeven hoe je bij zo’n y0 debijbehorende x0 vindt.

0

-1

1

y0π−π

x0

x = arccos y

x

y

0

-1

1

y0π−π

x0

π−2

− π−2

x = arcsin y

x

y

0

-1

-2

-3

1

2

3

y0

π−πx0

π−2

− π−2

x = arctan y

x

y

De bijbehorende functies heten respectievelijk de arcsinus, de arccosinus en dearctangens. Ze worden meestal afgekort tot arcsin, arccos en arctan. Je vindtze ook op je rekenmachine, soms onder de namen sin−1, cos−1 en tan−1.

Er geldt dus:

x = arcsin y ⇐⇒ y = sin x en − 12 π ≤ x ≤ 1

2 π

x = arccos y ⇐⇒ y = cos x en 0 ≤ x ≤ π

x = arctan y ⇐⇒ y = tan x en − 12 π < x < 1

2 π

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

149

Page 141: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Schets de grafiek van de volgende functies. Een ruwe schets is voldoende. Gadaarbij eerst na voor welke waarden van x de functie gedefinieerd is, en welkefunctiewaarden de functie daarbij kan aannemen. Let ook op de snijpuntenmet de coordinaatassen en op eventuele asymptoten.

17.50a. arcsin 2x

b. arccos 2x

c. arctan−x

d. arcsin−2x

e. arccos− 13 x

17.51a. arcsin 1

3 x

b. arccos− 12 x

c. arctan−3x

d. arcsin(1− x)

e. arccos(1 + x)

17.52 Bereken de volgende limieten:

a. limx→∞

arctan 2x

b. limx→∞

arctan− 15 x

c. limx→−∞

arctan(x + 3)

d. limx→∞

arctan(2− 5x)

e. limx→−∞

arctan(x2)

17.53 Schets de grafiek van de volgende functies:

a. arctan(−3x + 1)

b. arcsin(1− 2x)

c. 12 π + arcsin x

d. arctan(1− x2)

e. arctan 1x

150

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 142: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

De grafieken van de arcsinus, de arccosinus en de arctangens

De functies arcsin x en arccos x hebben beide als domein het gesloten interval−1 ≤ x ≤ 1. Hun grafieken kun je afleiden uit de grafieken op bladzijde 149door de dikgekleurde delen te spiegelen in de lijn y = x. Hieronder zie je hetresultaat.

O-1

1

π−2

π−2-

arcsin x

x

O-1 1

π−2

π

arccos x

x

Op dezelfde manier krijg je de grafiek van de functie arctan x. Die functieis voor alle waarden van x gedefinieerd. De grafiek heeft twee horizontaleasymptoten: de lijnen y = − 1

2 π en y = 12 π.

O-1 1-2 2-3 3-4 4

π−2

π−2-

arctan x

x

De betekenis van de beide horizontale asymptoten is als volgt. De functiearctan x nadert voor x → ∞ steeds meer tot de limietwaarde 1

2 π. In formule:limx→∞ arctan x = 1

2 π. En arctan x nadert voor x → −∞ steeds meer tot delimietwaarde − 1

2 π. In formule: limx→−∞ arctan x = − 12 π.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

151

Page 143: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

Bereken de volgende limieten met behulp van de standaardlimiet van de vol-gende bladzijde. We geven twee voorbeelden.

Voorbeeld 1:

limx→0

sin 3xx

= limx→0

sin 3x3x

× 3 = 3× limy→0

sin yy

= 3× 1 = 3

Bij het tweede gelijkteken hebben we y = 3x gesteld. Als x → 0 dan geldty → 0 en omgekeerd.

Voorbeeld 2:

limx→0

sin 5xsin 4x

= limx→0

sin 5x5x

× 4xsin 4x

× 54

=54×

limx→0

sin 5x5x

limx→0

sin 4x4x

=54× 1

1=

54

17.54a. lim

x→0

xsin 2x

b. limx→0

xtan x

c. limx→0

sin 7xsin 3x

d. limx→0

sin 4xx cos x

e. limx→0

tan xsin 3x

17.55

a. limx→0

sin2 xx2

b. limx→0

tan2 4xx sin x

c. limx→0

1− cos 2x3x2

d. limx→0

1− cos xx

e. limx→0

x2

sin x tan 3x

Bereken de volgende limieten met behulp van een geschikt gekozen substitu-tie. Voor de eerste drie limieten kun je bijvoorbeeld y = x − π, y = x − π

2 ,respectievelijk y = arcsin x kiezen. Op die manier kun je zo’n limiet weerterugvoeren op een limiet waarin de standaardlimiet optreedt.

17.56

a. limx→π

sin xx− π

b. limx→ π

2

cos x2x− π

c. limx→0

arcsin x3x

d. limx→0

π2 − arccos x

x

e. limx→ π

4

sin x− cos xx− π

4

17.57

a. limx→0

arcsin xarctan x

b. limx→−1

sin 2πxtan 3πx

c. limx→∞

x sin1x

d. limx→1

arctan(x− 1)x− 1

e. limx→−∞

cos1x

152

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 144: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

Een standaardlimiet

Een belangrijke limiet in toepassingen van de goniometrie is

limx→0

sin xx

= 1

die betekent dat voor kleine waarden van x het quotientsin x

xvrijwel gelijk is

aan 1; hoe dichter x bij nul ligt, des te dichter ligt het quotient bij 1. Een anderemanier om hetzelfde te zeggen, is dat sin x voor kleine hoeken x (gemeten inradialen!) vrijwel gelijk is aan x, dus dat sin x ≈ x als x klein is. Je kunt datook zien in de grafiek van de sinus op bladzijde 147, die voor kleine waardenvan x vrijwel samenvalt met de lijn y = x. Een afleiding van die limiet vind jehieronder.

Een veel gebruikte toepassing hiervan is de volgende limiet:

limx→0

tan xx

= 1

Het bewijs ervan gaat als volgt:

limx→0

tan xx

= limx→0

sin xcos x

x= lim

x→0

sin xx cos x

= limx→0

sin xx× 1

cos x= 1× 1 = 1

want limx→0

cos x = cos 0 = 1.

Een meetkundig bewijs van de standaardlimiet

Omdat geldt dat sin(−x)(−x) = sin x

x is het voldoende om alleen

positieve waarden van x te bekijken.In de tekening zie je een sector OQP van de eenheidscirkelmet een middelpuntshoek 2x waarin ook nog de koorde PQen de raaklijnen PR en QR getekend zijn. Boog PQ heeftlengte 2x. Verder geldt PS = sin x en PR = tan x. Omdatde directe verbindingslijn PQ korter is dan de cirkelboog PQ,die op zijn beurt weer korter is dan de omweg PR + RQ,geldt 2 sin x < 2x < 2 tan x. Uit de eerste ongelijkheid volgtsin x

x < 1 en uit de tweede volgt sin xx > cos x, want tan x =

sin xcos x . Combinatie van deze beide ongelijkheden geeft

cos x <sin x

x< 1

O

P

Q

R1

1

xx

S

Als x naar nul gaat, gaat cos x naar 1, en voor het quotient sin xx , dat opgesloten zit

tussen cos x en 1, moet dus hetzelfde gelden. Hiermee is het bewijs geleverd.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

153

Page 145: Basisboek Wiskunde 2HP

VI Functies

17.58 Hieronder zijn telkens enige zijden en/of hoeken van een driehoek ge-geven. Bereken met behulp van je rekenmachine de gevraagde hoek of zijdeen vervolgens ook de oppervlakte O van de driehoek. Geef je antwoord invier decimalen nauwkeurig (geef hoeken in radialen).

a. α = 43, β = 82, a = 3. Bereken b en O.

b. α = 113, β = 43, b = 2. Bereken a en O.

c. α = 26, β = 93, a = 4. Bereken c en O.

d. α = 76, a = 5, c = 3. Bereken γ en O.

e. β = 36, a = 2, b = 4. Bereken α en O.

f. β = 1.7 rad, a = 3, b = 4. Bereken γ en O.

g. a = 4, b = 5, c = 6. Bereken γ en O.

h. a = 5, b = 5, c = 6. Bereken α en O.

i. β = 0.75 rad, b = 6, c = 5. Bereken a en O.

j. α = 71, b = 2, c = 3. Bereken a en O.

k. α = 58, a = 6, b = 5. Bereken c en O.

154

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 146: Basisboek Wiskunde 2HP

17 Goniometrie

Driehoeksmeting

Als ABC een willekeurige driehoekmet hoeken α, β en γ bij A, B en C, zij-den van lengte a, b en c tegenover A, Ben C, en oppervlakte O is, dan geldende volgende betrekkingen:

A B

C

c

ab

α β

γ

asin α

=b

sin β=

csin γ

(sinusregel)

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α (cosinusregel)

O = 12 bc sin α = 1

2 ca sin β = 12 ab sin γ (oppervlakteformule)

Bewijs van de sinusregel:

h = b sin α = a sin β dusa

sin α=

bsin β

en evenzoa

sin α=

csin γ

.

Bewijs van de oppervlakteformule:

O = 12 hc = 1

2 bc sin α, et cetera.

Bewijs van de cosinusregel:

A B

C

c1 c2

ab h

α β

a2 = h2 + c22 = (b2 − c2

1) + (c− c1)2 = b2 + c2 − 2c1c = b2 + c2 − 2bc cos α

In het geval dat hoek α een stompehoek is, zijn de bewijzen van de sinus-regel en de oppervlakteformule letter-lijk hetzelfde. Voor dat van de cosinus-regel moet je een kleine aanpassing uit-voeren (zie de figuur hiernaast). A BD

C

cc1

h ab

α β

Noem AD = c1 en BD = c2. Dan is c = AB = c2 − c1 en b = −c1 cos α wantomdat π

2 < α < π is, is cos α negatief. Er geldt dus:

a2 = h2 + c22 = (b2 − c2

1) + (c + c1)2 = b2 + c2 + 2c1c = b2 + c2 − 2bc cos α

waarmee ook in dit geval de cosinusregel bewezen is.

In het geval dat α een rechte hoek is, is de cosinusregel niets anders dan destelling van Pythagoras, nu in de vorm a2 = b2 + c2.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

155

Page 147: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

O

y-as

x x + dx

dx

dy = f ′(x)dx(x, f (x))

x-as

De differentiaalrekening en de integraalrekening – in de Ame-rikaanse literatuur samen vaak kortweg met de term ‘calculus’aangeduid als afkorting van differential and integral calculus –behoren ongetwijfeld tot de meest succesvolle onderdelen vande wiskunde. Toepassingen ervan strekken zich uit van ster-renkunde tot nanotechnologie, van civiele techniek tot quan-tummechanica, van natuur- en scheikunde tot economie, vankansrekening en statistiek tot populatiedynamica.Wij behandelen in dit boek voornamelijk de wiskundige tech-niek. Toch spelen toepassingen op de achtergrond een belang-rijke rol: onze behandeling is zo ingericht dat daar een opti-male basis voor wordt gelegd. Daarom wordt veel aandachtbesteed aan het werken met differentialen, want die zijn invrijwel alle toepassingen het aangrijpingspunt voor wiskun-dige modelvorming.

Page 148: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Op bladzijde 179 staan vijf rekenregels voor differentieren. Bij de opgaven opdeze bladzijde heb je alleen de eerste twee nodig:

(c f (x))′ = c f ′(x) voor elke constante c( f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

Verder moet je weten dat voor elk reeel getal p geldt dat (xp)′ = p xp−1.Bereken nu de afgeleide van de volgende functies.

20.1a. 2x− 3b. 2c. 4x2 + 1d. 10 x7

e. 4x + x3

20.2a. x3 − 3b. x2 − 2x + 1c. x4 − 3x3 + 2d. 8x8

e. x6 − 6x4

20.3a. 4x4 − 3x2 + 2b. 2000 x2000

c. 7x7 − 6x6

d. x3 + 7x7 − 12e. x2 − 5x3 + x

20.4a.√

xb. x

√x

Hint: x√

x = x3/2

c.√

x3

d. x2√xe.√

2xHint:

√2x =

√2√

x

20.5a. 3√

xb. x2/3

c. 4√

xd. x 4

√x

e. x2 5√x2

20.6a. 7√x2

b.√

3x3

c. 3√2x5

d. 4√x5

e.√

x7

20.7a. x−1

b. 2x−2

c. 3x−3

d. x−1/2

e. x−2/3

20.8a. x2.2

b. x4.7

c. x−1.6

d. x0.333

e. x−0.123

20.9

a.1x

b.3

2x

c.5x5

d.√

xx

e.1

x 3√

x

176

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 149: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Raaklijn en afgeleide

De grafieken van veel functies hebben in alle of bijna alle punten een ‘glad’verloop: als je steeds sterker op zo’n punt inzoomt, gaat de grafiek steedsmeer op een rechte lijn lijken. Die lijn is de raaklijn aan de grafiek in dat punt.

Hiernaast is de grafiek van zo’n func-tie f (x) getekend, met daarbij ook deraaklijn in het punt (a, f (a)). Vlak in debuurt van dat punt zijn grafiek en raak-lijn inderdaad nauwelijks van elkaar teonderscheiden. Als illustratie hiervanhebben we het kleine rechthoekje rondhet punt (a, f (a)) in de figuur erondernog eens vergroot weergegeven.

Als de raaklijn niet verticaal is, kande vergelijking ervan worden geschre-ven als y = f (a) + m(x− a) voor eenzekere m, de richtingscoefficient vande raaklijn. Voor x vlak bij a geldt danblijkbaar dat

f (x)− f (a)x− a

≈ m(x− a)x− a

= m

en die gelijkenis is beter naarmate xdichter bij a ligt.

O

y = f (a) + m(x - a)

x

y

f (a)

a

y = f (x)

a x

x - a

m(x - a)f(a)

f(x)f(x) - f(a)

Preciezer geformuleerd, met behulp van een limiet:

m = limx→a

f (x)− f (a)x− a

Men noemt m de afgeleide van f (x) in a, en gebruikt daarvoor de notatie f ′(a).

Wanneer een functie f (x) in alle punten van een interval een niet-verticaleraaklijn heeft, is er dus in elk punt x van dat interval een afgeleide f ′(x) ge-definieerd. Daarmee is de afgeleide op dat interval zelf een functie geworden,de afgeleide functie. Veel gebruikte notaties voor de afgeleide functie van f (x)

zijn naast f ′(x) ookd fdx

(x) end

dxf (x).

Het bepalen van de afgeleide van een gegeven functie heet differentieren.

Overigens, als f (x) een lineaire functie is, dus f (x) = mx + c, dan is de grafiekeen rechte lijn met richtingscoefficient m en dan valt de raaklijn in elk puntmet de grafiek samen. Voor elke x geldt dan f ′(x) = m. In het bijzonder is deafgeleide van elke constante functie nul.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

177

Page 150: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

Bereken met behulp van de kettingregel de afgeleide van de volgende func-ties. Voorbeelden:

1.((x3 − 1)5)′ = 5(x3 − 1)4 · 3x2 = 15x2(x3 − 1)4

2.(sin(x2 + 1)

)′ = (cos(x2 + 1)) · 2x = 2x cos(x2 + 1)

Let op: het is bij het toepassen van de kettingregel op een samengestelde func-tie f (g(x)) niet handig om de functies f en g eerst apart op te schrijven! Jemoet gewoon terwijl je differentieert de samengestelde functie f (g(x)) vanbuiten naar binnen toe afpellen zoals dat hierboven ook gedaan is. Vaak kun jeje antwoord daarna nog wat vereenvoudigen.

20.10a. (2 + 3x)3

b. (3− 5x)7

c. (1− 3x2)−1

d. (1−√

x)4

e. (x− x4)−2

20.11a. (2x− 3)5

b. (x2 + 5)−1

c.√

3x− 4d.√

x2 + xe. (x + 4x3)−3

20.12a.√

1 + x + x2

b. 3√1 + x + x2

c. (x2 − 1)4

d.√

x3 + 1e. (x2 + x)3/2

Bereken met behulp van de productregel de afgeleide van:

20.13a. x sin xb. x cos 2xc. x2 ln xd. (x + 1) tan xe. (2x + 1) ln x

20.14a.√

x + 1 ln xb. (sin x)(ln x2)c. x ln 3

√x

d. x ln(sin x)e.√

x ln(1− x2)

20.15a. x (2log x)b.√

x (5log x3)c. (x− 1)(2log x)d. xe−x

e. x2e−x2

Bereken met behulp van de quotientregel de afgeleide van:

20.16a.

xx + 1

b.x− 1x + 1

c.x2

x + 1

d.x

x2 + 1

e.x− 1x2 + x

20.17

a.√

xx− 1

b.x2 − 1x + 2

c.x2 − 1x2 + 1

d.2x− 34x + 1

e.1− x2− x

20.18

a.sin x

1 + cos x

b.cos xx + 1

c.arcsin x

x + 1

d.ln xsin x

e.e x

1 + e x

178

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 151: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Rekenregels en standaardafgeleiden

Rekenregels voor differentieerbare functies:(c f (x))′ = c f ′(x) voor elke constante c

( f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)( f (g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x) (kettingregel)

( f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) (productregel)(f (x)g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)(g(x))2 (quotientregel)

Standaardfuncties en hun afgeleiden:

f (x) f ′(x)

xp p xp−1 voor elke p

ax ax ln a voor elke a > 0

e x e x

alog x1

x ln avoor elke a > 0, a 6= 1

ln x1x

sin x cos x

cos x − sin x

tan x1

cos2 x

arcsin x1√

1− x2

arccos x − 1√1− x2

arctan x1

1 + x2

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

179

Page 152: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

Bereken de afgeleide van de volgende functies:

20.19a. sin(x− 3)b. cos(2x + 5)c. sin(3x− 4)d. cos(x2)e. sin

√x

20.20a. tan(x + 2)b. tan(2x− 4)c. sin(x2 − 1)d. cos(1/x)e. tan 3

√x

20.21a. arcsin 2xb. arcsin(x + 2)c. arccos(x2)d. arctan

√x

e. ln(cos x)20.22

a. e 2x+1

b. e 1−x

c. 2e−x

d. 3e 1−x

e. e x2

20.23a. e x2−x+1

b. e 1−x2

c. 3e 3−x

d. 2e√

x

e. e 1+√

x

20.24a. 2x+2

b. 31−x

c. 22−3x

d. 5x2

e. 33√x

20.25a. ln(1− 2x)b. ln(3x2 − 8)c. ln(3x− 4x2)d. ln(x3 + x6)e. ln(x2 + 1)

20.26a. ln

√x + 1

b. ln x2

c. ln 3√

xd. ln 3√1− xe. ln(4− x)2

20.27a. 2log xb. 3log x3

c. 10log(x + 1)d. 10log

√x + 1

e. 2log(x2 + x + 1)

Onderzoek bij de volgende functies voor welke x ze wel gedefinieerd, maarniet differentieerbaar zijn. Een ruwe schets van de grafiek kan je daarbij hel-pen!

20.28a. f (x) = |x− 1|b. f (x) = |x2 − 1|c. f (x) =

√|x|

d. f (x) = | ln(x− 1)|e. f (x) = e |x|

20.29a. f (x) = sin |x|b. f (x) = cos |x|c. f (x) = | sin x|d. f (x) = sin 3

√x

e. f (x) = ln(1 +√

x)

Bepaal die vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f (x) in het punt(a, f (a)) in de volgende gevallen (zie bladzijde 177):

20.30a. f (x) = 2x2 − 3, a = 1b. f (x) = x5 − 3x2 + 3, a = −1c. f (x) = 4x3 + 2x− 3, a = 0d. f (x) = 8x4 − x7, a = 2e. f (x) = 4x− 2x2 + x3, a = −1

20.31a. f (x) = x2 − 3x−1, a = 1b. f (x) = x2 − 3

√x− 3, a = 4

c. f (x) = x3 + x− 3, a = 0d. f (x) = x−4 − 2, a = 1e. f (x) = 8x− 2x2, a = −3

180

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 153: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Differentieerbaarheid

In de vorige paragraaf is f ′(a) gedefinieerd als

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)x− a

Het getal f ′(a) is de richtingscoefficient van de raaklijn aan de grafiek van f (x)in het punt (a, f (a)). Die limiet moet dan wel bestaan en bovendien eindigzijn, want we hebben aangenomen dat de raaklijn niet verticaal is. Wanneeraan deze beide voorwaarden voldaan is, heet f (x) differentieerbaar in a.

Niet elke functie is differentieerbaar inelk punt. Zo is bijvoorbeeld de functief (x) = |x| niet differentieerbaar in 0

omdatf (x)− f (0)

x− 0gelijk is aan 1 als

x > 0 is, en gelijk is aan −1 als x < 0 is.De limiet voor x → 0 bestaat dus niet.Ook aan de grafiek is dat te zien: dieheeft in de oorsprong een knikpunt. Bijhet inzoomen blijft die knik altijd zicht-baar aanwezig.

O 1 2-1-2

1

x

y

y = |x|

Maar ook als er wel een raaklijn is, hoeft een functie niet differentieerbaar tezijn, want zo’n raaklijn kan verticaal zijn. De limiet waarmee de afgeleidegedefinieerd wordt, is dan plus of min oneindig.

Zo is de de raaklijn aan de grafiek vande functie f (x) = 3

√x in de oorsprong

verticaal, en inderdaad is

limx→0

3√

x− 3√0x− 0

= limx→0

13√x2

= +∞

Voor x = 0 is de functie f (x) = 3√

x dusniet differentieerbaar.

O 1 2-1-2

1

-1

x

y

y = 3√x

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

181

Page 154: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

Bereken de tweede afgeleide van de volgende functies.

20.32a.√

x + 1

b.x− 1x + 1

c. ln(x2 + 1)

d. x ln xe. x sin xf. x2 cos 2x

20.33a. sin(

√x)

b. tan xc. arctan xd. x

√x− 1

e.sin x

xf. sin2 x

Bereken de tiende afgeleide van de volgende functies. Probeer daarbij eersteen patroon te ontdekken in de opvolgende afgeleiden.

20.34a. x9

b. x10

c. x11

d. e−x

e. e 2x

f. e x+1

20.35

a.1

x + 1b. ln xc. sin 2xd. sin

(x + π

4)

e. xe x

f. xe−x

182

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 155: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Hogere afgeleiden

Wanneer een functie f (x) differentieerbaar is in alle punten van een interval,kan de afgeleide functie ook weer een differentieerbare functie zijn. De af-geleide van de afgeleide heet dan de tweede afgeleide. Gebruikelijke notaties

daarvoor zijn f ′′(x),d2fdx2 (x) en

d2

dx2 f (x). (Let bij de laatste twee notaties op de

verschillende plaatsing van de ‘exponent’ 2 in de ‘teller’ en de ‘noemer’!)

Zo kunnen we doorgaan en de n-de afgeleide van een functie definieren als deafgeleide van de (n− 1)-e afgeleide wanneer die laatste een differentieerbarefunctie is. In het algemeen wordt voor de n-de afgeleide met n > 2 meestal

een van de volgende notaties gebruikt: f (n)(x),dnfdxn (x) of

dn

dxn f (x).

Sommige functies kunnen net zo vaak gedifferentieerd worden als we willen:voor elke n bestaat de n-de afgeleide. Men noemt zulke functies oneindig vaakdifferentieerbaar. We geven enige voorbeelden.

a. f (x) = xn, waarbij n een positief geheel getal is.Dan is f ′(x) = nxn−1, f ′′(x) = n(n − 1)xn−2 enzovoort. De exponentdaalt bij elke stap met 1, en de n-de afgeleide is een constante, namelijkn! (n-faculteit, zie bladzijde 57). Alle hogere afgeleiden zijn nul.

b. f (x) = e x. Dan is f (n)(x) = e x voor elke n.

c. f (x) = sin x. Dan is f ′(x) = cos x, f ′′(x) = − sin x, f (3)(x) = − cos x,f (4)(x) = sin x enzovoort.

d. f (x) = cos x. Dan is f ′(x) = − sin x, f ′′(x) = − cos x, f (3)(x) = sin x,f (4)(x) = cos x enzovoort.

e. f (x) =1x

. Omdat we f (x) ook kunnen schrijven als f (x) = x−1 zijn dehogere afgeleiden gemakkelijk te bepalen:f ′(x) = (−1)x−2 = −x−2,f ′′(x) = (−1)(−2)x−3 = 2!x−3,f (3)(x) = (−1)(−2)(−3)x−4 = −3!x−4 enzovoort.

f. f (x) =√

x = x12 . Dan is f ′(x) = 1

2 x−12 ,

f ′′(x) = ( 12 )(− 1

2 )x−32 = − 1

4 x−32 ,

f (3)(x) = ( 12 )(− 1

2 )(− 32 )x−

52 = 3

8 x−52 enzovoort.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

183

Page 156: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

Geef bij elk van de volgende functies de eventuele nulpunten van de afgeleideen de intervallen waarop de functie monotoon stijgend of dalend is.

20.36a. x3 + 1b. x4 − 4x3 + 4

c.x2 − 1x2 + 1

20.37a. x3 + xb. x6 − 6x + 3

c.1x2

20.38

a.x2 + 1x + 1

b. x3 − 2x2 + 3x− 1c. arctan x2

20.39 Ga na of de volgende uitspraken waar zijn of niet. Motiveer je ant-woord; geef in het geval dat zo’n uitspraak niet waar is een tegenvoorbeeld, datwil zeggen een voorbeeld van een functie f (x) op een interval I waarvoor deuitspraak niet geldig is.

a. Als f (x) monotoon stijgend is op I, dan is f (x) ook monotoon niet-dalend op I.

b. Als f (x) monotoon niet-stijgend is op I, dan is f (x) ook monotoon da-lend op I.

c. Een functie kan niet tegelijkertijd monotoon stijgend en monotoon da-lend zijn op I.

d. Een functie kan niet tegelijkertijd monotoon niet-stijgend en monotoonniet-dalend zijn op I.

e. Als f (x) monotoon stijgend en differentieerbaar is op I, dan is f ′(x) > 0voor alle x in I.

20.40 Ga na of de volgende uitspraken waar zijn of niet. Motiveer je ant-woord; geef in het geval dat zo’n uitspraak niet waar is een tegenvoorbeeld, datwil zeggen een voorbeeld van een functie f (x) op een interval I waarvoor deuitspraak niet geldig is.

a. Als f (x) monotoon stijgend is op I, dan is g(x) = ( f (x))2 ook monotoonstijgend op I.

b. Als f (x) monotoon stijgend is op I, dan is g(x) = ( f (x))3 ook monotoonstijgend op I.

c. Als f (x) monotoon dalend is op I, dan is g(x) = e− f (x) monotoon stij-gend op I.

20.41 Ga na of de volgende uitspraken waar zijn of niet. Motiveer je ant-woord; geef in het geval dat zo’n uitspraak niet waar is een tegenvoorbeeld, datwil zeggen een voorbeeld van functies f (x) en g(x) op een interval I waarvoorde uitspraak niet geldig is.

a. Als f (x) en g(x) monotoon stijgend zijn op I, dan is f (x) + g(x) ookmonotoon stijgend op I.

b. Als f (x) en g(x) monotoon stijgend zijn op I, dan is f (x) × g(x) ookmonotoon stijgend op I.

184

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 157: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Stijgen, dalen en het teken van de afgeleide

Stel dat een functie f (x) op een interval I gegeven is.

De functie f (x) heet monotoon stijgend op I als voor alle getallen x1en x2 uit I met x1 < x2 geldt dat f (x1) < f (x2).De functie f (x) heet monotoon niet-dalend op I als voor alle getallen x1en x2 uit I met x1 < x2 geldt dat f (x1) ≤ f (x2).De functie f (x) heet monotoon dalend op I als voor alle getallen x1 en x2uit I met x1 < x2 geldt dat f (x1) > f (x2).De functie f (x) heet monotoon niet-stijgend op I als voor alle getallen x1en x2 uit I met x1 < x2 geldt dat f (x1) ≥ f (x2).

monotoon stijgend monotoon niet-dalend monotoon dalend monotoon niet-stijgend

Het al of niet differentieerbaar zijn van f (x) speelt bij deze definities geen rol.Voor differentieerbare functies geldt de volgende stelling:

Stelling: Stel dat f (x) differentieerbaar is in alle punten van hetinterval I. Dan geldt:

a. als de functie f (x) monotoon niet-dalend is op het interval I, danis f ′(x) ≥ 0 voor alle x in I,

b. als de functie f (x) monotoon niet-stijgend is op het interval I,dan is f ′(x) ≤ 0 voor alle x in I,

c. als f ′(x) > 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon stijgend,

d. als f ′(x) ≥ 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon niet-dalend,

e. als f ′(x) < 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon dalend,

f. als f ′(x) ≤ 0 voor alle x in I, dan is f (x) monotoon niet-stijgend,

g. als f ′(x) = 0 voor alle x in I, dan is f (x) constant.

Het bewijs van de onderdelen (a) en (b) is niet moeilijk, dat van de andereonderdelen echter wel. We laten hier alle bewijzen achterwege.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

185

Page 158: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

Bepaal van de volgende functies de x-waarde van alle lokale en globale maxi-ma en minima en geef telkens aan om wat voor soort extremum het gaat.Maak bij deze opgaven steeds gebruik van een (ruwe) schets van de grafiekvan de functie en gebruik waar nodig ook de afgeleide.

20.42a. x3 − xb. x4 − 2x2

c. x4 − 6x2 + 5d. |x− 1|e. |x2 − 1|

20.43a. sin xb. sin x2

c. sin√

xd. sin |x|e. | sin x|

20.44a. x ln xb. (ln x)2

c. arcsin xd. ln cos xe. ln | cos x|

20.45a. xe x

b. e−x2

c. xe−x2

d. e sin x

e. e−|x|

20.46 Hieronder is de grafiek geschetst van de functie f (x) = sinπ

x.

x

y

a. Bepaal alle nulpunten.b. Bepaal de plaats van alle maxima en alle minima.c. Bereken limx→∞ f (x) en limx→−∞ f (x).d. Bestaat limx→0 f (x)? Motiveer je antwoord.

186

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 159: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Extreme waarden

Deze paragraaf gaat over maxima en minima van functies. Eerst zeggen weprecies wat we hieronder verstaan.

Als geldt dat f (x) ≤ f (c) voor alle x uit het domein van f (x), dan heetf (c) het globale maximum van de functie. Geldt f (x) ≥ f (c) voor alle xuit het domein, dan heet f (c) het globale minimum.Men noemt f (c) een lokaal maximum of lokaal minimum van f (x) als ereen getal r > 0 bestaat zo dat voor alle x uit het domein van f (x) met|x− c| < r geldt dat f (x) ≤ f (c), respectievelijk f (x) ≥ f (c).

De algemene term voor minimum of maxi-mum is extremum of extreme waarde. Eenglobaal maximum of minimum is ook al-tijd een lokaal maximum of minimum,maar het omgekeerde hoeft niet waar tezijn. Hiernaast is de grafiek van een vier-degraadspolynoom getekend met drie ex-tremen: een lokaal minimum, een lokaalmaximum en een globaal minimum, datnatuurlijk tegelijkertijd ook een lokaal mi-nimum is. Er is geen globaal maximum.

lokaal minimum

lokaal maximum

globaal minimum

Een term die ook vaak gebruikt wordt israndextremum. Dat is een extremum datoptreedt aan de rand van het domein vaneen functie. Neem bijvoorbeeld de func-tie g(x) =

√x, die als domein het interval

[0, ∞〉 heeft. Het globale minimum g(0) =0 treedt op voor x = 0, aan de rand van hetdomein.

O

g(x) = √x

randminimum (globaal)

Differentieerbaarheid speelt bij deze definities geen rol: zo is bijvoorbeeld hetglobale minimum van de functie f (x) = |x| gelijk aan f (0) = 0, ook al is diefunctie daar niet differentieerbaar (zie ook bladzijde 181).

Maar als een functie differentieerbaar is in een punt waar een lokaal (of glo-baal) maximum of minimum wordt aangenomen, dan is er met de afgeleideiets bijzonders aan de hand. Die is dan namelijk nul.

Stelling: Als een functie f (x) voor x = a een lokaal maximum ofminimum aanneemt en daar differentieerbaar is, dan is f ′(a) = 0.

Let op: het omgekeerde van deze stelling is niet waar: als f ′(a) = 0 is, hoeftf (x) in a geen lokaal maximum of minimum aan te nemen, denk maar aan defunctie f (x) = x3, die in x = 0 geen maximum of minimum aanneemt, maarwaarvoor wel geldt dat f ′(0) = 0.

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

187

Page 160: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

Bepaal alle stationaire punten en alle buigpunten van de volgende functies.

20.47a. x3

b. x3 − xc. x4 − x2 − 2x + 1d. x5 + 10x2 + 2

e.1

1 + x2

20.48a. sin xb. arctan xc. x2 ln xd. xe−x

e. e−x2

20.49 Hieronder zijn de grafieken getekend van de functie

f (x) =

x2 sin

π

xals x 6= 0

0 als x = 0

en de afgeleide functie f ′(x).

O x

y

f (x)

y = x2

y = −x2

x

y

f ′(x)

a. Laat zien dat −x2 ≤ f (x) ≤ x2 voor alle x en ga na voor welke waardenvan x geldt dat f (x) = −x2, respectievelijk f (x) = x2.

b. Geef een formule voor f ′(x) als x 6= 0.

c. Toon aan dat limx→0

f (x)x

= 0.

(Dit betekent dat f (x) differentieerbaar is in x = 0 en dat f ′(0) = 0.)

d. Bereken f ′( 12k ) en f ′( 1

2k+1 ) voor k geheel.

e. Laat zien dat limx→0

f ′(x) niet bestaat.

(Hieruit volgt dat f ′(x) niet continu is in x = 0.)

f. Neemt f (x) in x = 0 een lokaal minimum of maximum aan?

g. Is x = 0 een buigpunt van f (x)?

h. Zij g(x) = f (x) + x. Dan is g′(0) = 1. Is er een c > 0 zo, dat g(x)monotoon stijgend is op het interval (−c, c)?

188

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 161: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Stationaire punten en buigpunten

Als f (x) differentieerbaar is in a en f ′(a) = 0 dan is de raaklijn aan de grafiekdaar horizontaal, en dus is f (x) vlak in de buurt van a vrijwel constant. Mennoemt zo’n punt daarom een stationair punt.

Als f ′(a) = 0 heet a een stationair punt van f (x).

Lokale extrema van differentieerbare functies treden op in stationaire punten,maar een stationair punt hoeft nog niet een lokaal maximum of minimum opte leveren, zoals de functie f (x) = x3 laat zien (zie ook bladzijde 187).

Ook de lokale extrema van de afgeleide functie f ′(x) zijn bijzondere puntenvan de oorspronkelijke functie f (x). Het zijn de buigpunten.

Als f (x) een differentieerbare functie is, dan heet elk punt waar deafgeleide f ′(x) een lokaal minimum of maximum aanneemt een buig-punt van de functie f (x).

Hiernaast is als voorbeeld een grafiek vande functie f (x) = x5 − 5x3 − x2 + 4x + 2 ge-tekend, samen met een grafiek van deafgeleide functie f ′(x) = 5x4 − 15x2 − 2x + 4en een grafiek van de tweede afgeleidef ′′(x) = 20x3 − 30x− 2. (Let op de schaalver-delingen op de y-as, die zijn verschillend ge-kozen om duidelijke plaatjes te krijgen.)In de grafieken hebben we de lokale maximaen minima van f (x) en f ′(x) aangegeven metde bijbehorende horizontale raaklijnen. Tevenszijn de raaklijnen getekend in de buigpuntenvan f (x), dat wil zeggen de punten waar f ′(x)een lokaal maximum of minimum aanneemt.Omdat f ′(x) ook weer een differentieerbarefunctie is, geldt in die punten dus f ′′(x) = 0.Je ziet dat de grafiek van f (x) in de buigpun-ten de buigraaklijn doorsnijdt, en ook dat de‘bolling’ van de grafiek daar als het ware om-klapt. Dat correspondeert ermee dat f ′′(x) indie punten van teken wisselt. Als f ′′(x) > 0 is,is f ′(x) een stijgende functie, en dan neemt dehelling van de raaklijn aan de grafiek van f (x)dus toe. Als f ′′(x) < 0 is, dan is f ′(x) een da-lende functie, en dan neemt de helling van deraaklijn dus af.

O

-4-3-2-1

4

-2 -1 1 2x

yf (x)

O

-10

10

20

-2 -1 1 2x

yf ′(x)

O

-50

50

100

-2 -1 1 2x

yf ′′(x)

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

189

Page 162: Basisboek Wiskunde 2HP

VII Calculus

20.50 Van het polynoom f (x) = x5− 5x3− x2 + 4x + 2 is op bladzijde 189 eengrafiek getekend. Je ziet daarin drie nulpunten. Zijn er nog meer nulpunten?Zo ja, waar liggen ze ongeveer, zo nee, waarom zijn ze er niet?

20.51 Hieronder zijn in een willekeurige volgorde de grafieken getekend vantwee functies f (x) en g(x), hun afgeleiden f ′(x) en g′(x) en hun tweede afge-leiden f ′′(x) en g′′(x). Identificeer ze.

O-2 -1 1 2 x

yI

O-2 -1 1 2 x

yII

O-2 -1 1 2 x

yIII

O-2 -1 1 2 x

yIV

O-2 -1

1 2 x

yV

O-2 -1 1 2 x

yVI

20.52 Dezelfde vraag voor de volgende grafieken. Ook hier gaat het om tweefuncties f (x) en g(x), hun afgeleiden f ′(x) en g′(x) en hun tweede afgeleidenf ′′(x) en g′′(x). Identificeer ze.

O-2 -1 1 2

x

yI

O-2 -1 1 2

x

yII

O-2 -1 1 2

x

yIII

O-2 -1 1 2

x

yIV

O-2 -1 1 2

x

yV

O-2 -1 1 2

x

yVI

190

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

Page 163: Basisboek Wiskunde 2HP

20 Differentieren

Puzzelen met functies en hun afgeleiden

Bij het onderzoek naar eigenschappen van differentieerbare functies kunnende afgeleiden goede diensten bewijzen. Zo is er een verband tussen stijgenen dalen van de functie en het teken (plus of min) van de afgeleide (zie destelling op bladzijde 185). Met behulp van de nulpunten van de afgeleidekun je mogelijke extreme waarden van de functie op het spoor komen en metbehulp van de nulpunten van de tweede afgeleide de mogelijke buigpunten.Op de vorige bladzijden heb je hiermee al heel wat oefensommen gemaakt.

We sluiten dit hoofdstuk af met een paar puzzelopgaven waarbij je je kennisvan het verband tussen functies hun afgeleiden op een ongewone, uitdagendemanier kunt toetsen. Ze staan op de tegenoverliggende bladzijde. Je zult al jespeurzin nodig hebben om ze op te lossen!

Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonder derden of gebruikt worden op het intranet van instellingen,organisaties of bedrijven.

191