Basisboek Wiskunde 2HP

of 163/163
BASISBOEK WISKUNDE Jan van de Craats en Rob Bosch Tweede editie
  • date post

    04-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    1.271
  • download

    125

Embed Size (px)

Transcript of Basisboek Wiskunde 2HP

BASISBOEKWISKUNDEJan van de Craats en Rob BoschTweedeeditieISBN: 978-90-430-1673-5NUR: 123Trefw: wiskunde, wiskundeonderwijsDit is een uitgave van Pearson Education Benelux bv,Postbus 75598, 1070 AN AmsterdamWebsite: www.pearsoneducation.nl e-mail: [email protected] en LATEX-opmaak: Jan van de CraatsOmslag: Inkahootz, AmsterdamProf. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit vanAmsterdam en de Open Universiteit, dr. R. Bosch is universitair hoofddocentwiskunde aan de Nederlandse Defensie Academie.Dit boek is gedrukt op een papiersoort die niet met chloorhoudende chemicali en is gebleekt.Hierdoor is de productie van dit boek minder belastend voor het milieu.Copyright c (2009 Jan van de Craats en Rob BoschAll rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in anyform or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording orby any information storage retrieval system, without permission of the publisher.Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, op-geslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vormof op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopie en, opnamen, of eni-ge andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever.Voor zover het maken van kopie en uit deze uitgaven is toegestaan op grond van artikel16B Auteurswet 1912 j het Besluit van 20 juni 1974, St.b. 351, zoals gewijzigd bij Besluitvan 23 augustus 1985, St.b. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoorwettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan de Stichting Reprorecht. Voorhet overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers of anderecompilatie- of andere werken (artikel 16 Auteurswet 1912), in welke vorm dan ook,dient men zich tot de uitgever te wenden.LeeswijzerDit is een oefenboek. Elk hoofdstuk begint op de linkerbladzijde met opgaven.Je kunt er direct mee aan de slag, want de eerste opgaven zijn altijd gemakke-lijk. Geleidelijk worden ze moeilijker. Zodra je een opgave gemaakt hebt, kunje je antwoord achterin controleren.Op de rechterbladzijden staat, heel beknopt, de theorie die je nodig hebt omde opgaven links te kunnen maken. Je kunt daar naar behoefte gebruik vanmaken. Kom je termen of begrippen tegen die daar niet verklaard worden,dan kun je via het trefwoordenregister dat achterin het boek staat, de plaatsvinden waar die uitleg w el staat.Belangrijke formules, denities en stellingen zijn op de rechterbladzijden inde kleur blauw gedrukt. De meeste ervan vind je ook weer terug in het for-muleoverzicht op bladzijde ?? en verder.In dit boek werken we met een decimale punt, en niet met een decimale kom-ma, in overeenstemming met wat thans algemeen gebruikelijk is in de inter-nationale wetenschappelijke en technische literatuur.HetGrieksealfabet A alfa B b` eta gamma delta E epsilon Z z` eta H ` eta th` eta I jota K kappa lambda M mu N nu xio O omicron pi P rho sigma T tau upsilon phi X chi psi omegaDit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.iiiInhoudsopgaveVoorwoord 1I Getallen 51 Rekenen met gehele getallen 6Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen . . . . . . . . . . . . . 7Delen met rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Delers en priemgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9De ggd en het kgv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Rekenen met breuken 12Rationale getallen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Optellen en aftrekken van breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Vermenigvuldigen en delen van breuken . . . . . . . . . . . . . 173 Machten en wortels 18Gehele machten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Wortels van gehele getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Wortels van breuken in standaardvorm . . . . . . . . . . . . . . 23Hogeremachtswortels in standaardvorm . . . . . . . . . . . . . . 25Gebroken machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II Algebra 294 Rekenen met letters 30Prioriteitsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Rekenen met machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Haakjes uitwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Factoren buiten haakjes brengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37De bananenformule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Merkwaardige producten 40Het kwadraat van een som of een verschil. . . . . . . . . . . . . 41Het verschil van twee kwadraten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.v6 Breuken met letters 46Splitsen en onder e en noemer brengen. . . . . . . . . . . . . . . 47Breuken vereenvoudigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III Getallenrijen 517 Faculteiten en binomiaalco efci enten 52De formules voor (a + b)3en (a + b)4. . . . . . . . . . . . . . . . 53Binomiaalco efci enten en de driehoek van Pascal . . . . . . . . 55Het berekenen van binomiaalco efci enten . . . . . . . . . . . . . 57Het binomium van Newton en de sigma-notatie . . . . . . . . . 598 Rijen en limieten 60Rekenkundige rijen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Meetkundige rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Repeterende decimale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Speciale limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Limieten van quoti enten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Snelle stijgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Wat is precies de limiet van een rij?. . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV Vergelijkingen 719 Eerstegraadsvergelijkingen 72Algemene oplossingsregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ongelijkheden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Een vergelijking reduceren tot een eerstegraadsvergelijking . . . 7710Tweedegraadsvergelijkingen 78Tweedegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Kwadraatafsplitsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81De abc-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311Stelsels eerstegraadsvergelijkingen 84Twee vergelijkingen met twee onbekenden . . . . . . . . . . . . 85Drie vergelijkingen met drie onbekenden . . . . . . . . . . . . . 87V Meetkunde 8912Lijnen in het vlak 90De vergelijking van een lijn in het vlak. . . . . . . . . . . . . . . 91De vergelijking van de lijn door twee punten . . . . . . . . . . . 93Het snijpunt van twee lijnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9513Afstanden en hoeken 96Afstand en middelloodlijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97De normaalvector van een lijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Loodrechte stand van lijnen en vectoren. . . . . . . . . . . . . . 101Het inproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103viDit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.14Cirkels 104Cirkelvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105De snijpunten van een cirkel en een lijn . . . . . . . . . . . . . . 107De snijpunten van twee cirkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Raaklijnen aan een cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11115Meetkunde in de ruimte 112Co ordinaten en inproduct in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . 113Vlakken en normaalvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Evenwijdige en elkaar snijdende vlakken . . . . . . . . . . . . . 117De drievlakkenstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Bollen en raakvlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121VI Functies 12316Functies en graeken 124Eerstegraadsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Tweedegraadsfuncties en parabolen . . . . . . . . . . . . . . . . 127Snijpunten van graeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Gebroken lineaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Machtsfuncties, wortelfuncties en de absolute-waardefunctie . . 133Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13717Goniometrie 138Hoekmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139De sinus, de cosinus en de tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 141De tangens op de raaklijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143De rechthoekige driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Optelformules en dubbele-hoekformules . . . . . . . . . . . . . 145Graeken van goniometrische functies. . . . . . . . . . . . . . . 147De arcsinus, de arccosinus en de arctangens. . . . . . . . . . . . 149De graeken van de arcsinus, de arccosinus en de arctangens . . 151Een standaardlimiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Driehoeksmeting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15518Exponenti ele functies en logaritmen 156Exponenti ele functies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159De functie exen de natuurlijke logaritme . . . . . . . . . . . . . 161Meer over de natuurlijke logaritmefunctie. . . . . . . . . . . . . 163Standaardlimieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.vii19Geparametriseerde krommen 166Krommen in het vlak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Poolco ordinaten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Krommen in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Rechte lijnen in parametervorm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173VII Calculus 17520Differenti eren 176Raaklijn en afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Rekenregels en standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . 179Differentieerbaarheid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Hogere afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Stijgen, dalen en het teken van de afgeleide . . . . . . . . . . . . 185Extreme waarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Stationaire punten en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Puzzelen met functies en hun afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . 19121Differentialen en integralen 192Differentialen denitie en rekenregels . . . . . . . . . . . . . . 193Foutenschattingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Hoe goed is de differentiaal als benadering? . . . . . . . . . . . . 197Een oppervlakteberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Oppervlakte en primitieve functie . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Integralen algemene denitie en rekenregels . . . . . . . . . . 203Primitieven van standaardfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Nogmaals het verband tussen oppervlakte en integraal . . . . . 207Onbepaalde integralen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209De primitieve functies vanf (x) =1x. . . . . . . . . . . . . . . . 21122Integratietechnieken 212De substitutieregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Expliciete substituties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Gemengde opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Voorbeelden van partieel integreren . . . . . . . . . . . . . . . . 219Oneigenlijke integralen van type 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Oneigenlijke integralen van type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Sommen en integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Numerieke integratiemethoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Is primitiveren in formulevorm altijd mogelijk? . . . . . . . . . . 229viiiDit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.23Toepassingen 230De raakvector aan een geparametriseerde kromme. . . . . . . . 231De lengte van een kromme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233De inhoud van een omwentelingslichaam. . . . . . . . . . . . . 235De oppervlakte van een omwentelingsoppervlak . . . . . . . . . 237Exponenti ele groei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Logistische groei het lijnelementenveld . . . . . . . . . . . . . 241Logistische groei de oplossingsfuncties . . . . . . . . . . . . . 243VIII Achtergronden 24524Re ele getallen en co ordinaten 247De re ele getallenrechte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247De accolade-notatie voor verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . 248Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Wiskunde en werkelijkheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Co ordinaten in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249De stelling van Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Co ordinaten in de ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25225Functies, limieten en continuteit 253Functie, domein en bereik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Inverteerbare functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Periodiciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Continuteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25726Aanvullende aeidingen 261Inproduct en cosinusregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Exponenti ele en logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . 261Rekenregels voor afgeleide functies . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Differentialen en de kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.ixDankbetuigingVeel lezers en gebruikers hebben in 2005 commentaar gegeven op voorlopigeinternetversies van dit boek en daarbij onduidelijkheden en fouten gesigna-leerd. Met nadruk willen we in dit verband Frank Heierman bedanken, die degehele tekst nauwkeurig heeft doorgelezen en tal van nuttige suggesties voorverbeteringen heeft gedaan. Daarnaast zijn we ook Henk Pfaltzgraff, Hans DePrez, Erica Mulder, Rinse Poortinga, Jaap de Jonge, Jantine Bloemhof, Wou-ter Berkelmans en Pia Puger erkentelijk voor hun commentaar. Chris Zaal,Andr e Heck en Wybo Dekker hebben ons met raad en daad bijgestaan. RosaGarcia Lopez en Eveline Korving van Pearson Education Benelux danken wevoor de plezierige en stimulerende samenwerking.Sinds enige jaren is Marc Appels onze uitgever bij Pearson. Het is een grootgenoegen met hem samen te werken. Ook de verdere contacten met directieen medewerkers van Pearson verlopen altijd buitengewoon plezierig, efci enten professioneel. Namen noemen brengt het risico met zich mee dat we stillewerkers vergeten. Daarom bij deze een collectief dankwoord voor allemaal!De auteursxDit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.VoorwoordDit boek bevat alle basiswiskunde die nodig is als ingangsniveau voor eenuniversitaire of hogeschoolstudie op het gebied van de b` etavakken, informa-tica, economie en verwante studierichtingen. Voor b` etastudies zijn alle behan-delde onderwerpen van belang, voor informatica en economische richtingenkunnen sommige stukken uit de hoofdstukken 17 (goniometrie), 22 (integra-tietechnieken) en 23 (toepassingen) terzijde gelaten worden. Met basiswiskun-de bedoelen we algebra, getallenrijen, vergelijkingen, meetkunde, functies encalculus (dat wil zeggen differentiaal- en integraalrekening). Kansrekeningen statistiek aparte wiskundevakken met een eigen invalshoek behande-len we niet.In de hier gekozen didactische opzet staat oefenen centraal. Net als bijiedere vaardigheid, of het nu om voetballen, pianospelen of het leren van eenvreemde taal gaat, is er ook maar e en manier om wiskunde onder de knie tekrijgen: veel oefenen. Bij voetballen moet je trainen, bij pianospelen studerenen bij het leren van een vreemde taal woordjes leren. Zonder basistechniekkom je nergens; bij wiskunde is het niet anders.Waarom wiskunde leren? Natuurlijk gaat het de meeste gebruikers uit-eindelijk om toepassingen in hun vak. Maar daarbij kun je wiskunde als taalen als instrument niet missen. Wie bijvoorbeeld een studieboek op het gebiedvan de exacte vakken openslaat, ziet vaak een stortvloed aan formules. For-mules die wetmatigheden in het vak uitdrukken die met behulp van wiskun-dige technieken afgeleid zijn. Via wiskundige bewerkingen worden ze metandere formules gecombineerd om weer nieuwe wetmatigheden op het spoorte komen. Die manipulaties omvatten gewone algebrasche omvormingen,maar ook het toepassen van logaritmen, exponenti ele functies, goniometrie,differenti eren, integreren en nog veel meer. Dat zijn wiskundige techniekendie de gebruiker moet leren hanteren. Het invullen van getalswaarden in for-mules om in een concreet geval een numeriek eindresultaat te verkrijgen, isdaarbij slechts bijzaak; waar het om gaat, zijn de idee en die erachter zitten, dewegen naar nieuwe formules en de nieuwe inzichten die je daardoor verwerft.Het hoofddoel van wiskundeonderwijs dat voorbereidt op het hoger on-derwijs moet dan ook het aanleren van die universele wiskundige vaardig-heden zijn. Universeel, omdat dezelfde wiskundige technieken in de meestuiteenlopende vakgebieden toegepast worden. Formulevaardigheid verwer-Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.1Voorwoordven, daar draait het vooral om. En vaardigheid in het omgaan met functies enhun graeken. Gecijferdheid, het handig kunnen rekenen en het vlot kunnenwerken met getallen, is bij dit alles slechts een klein onderdeel. De rol van eenrekenmachine (al dan niet grasch) is in dit boek dan ook uitermate beschei-den; we zullen er nauwelijks gebruik van maken. Waar zon apparaat bij hetmaken van de opgaven noodzakelijk is, hebben we dat expliciet aangegeven.Voorwieisditboekbedoeld?Om te beginnen voor alle scholieren en studenten die zich bij wiskunde onze-ker voelen omdat er gaten in hun basiskennis zitten. Zij kunnen hun wiskun-dige vaardigheden hiermee bijspijkeren. Maar het kan ook gebruikt wordenals leerboek of als cursusboek. Door de doordachte, stapsgewijze opbouw vande stof met korte toelichtingen is het geschikt voor zelfstudie. Toch zal het al-tijd moeilijk blijven een vak als wiskunde helemaal door zelfstudie te leren:de waarde van een goede leraar als gids door de lastige materie kan moeilijkoverschat worden.Hoezitditboekinelkaar?Alle hoofdstukken (op de laatste drie na) zijn op dezelfde manier opgebouwd:op de linkerbladzijden opgaven, op de rechterbladzijden de bijbehorende uit-leg. De gebruiker wordt uitdrukkelijk uitgenodigd om eerst aan de opgavenlinks te beginnen. Wie vastloopt, onbekende begrippen of notaties tegenkomtof bepaalde details niet helemaal goed meer weet, raadpleegt de tekst rechtsen indien nodig het trefwoordenregister. De opgaven zijn zorgvuldig uitgeko-zen: eenvoudig beginnen met veel soortgelijke sommen om de vaardighedengoed te oefenen. Met heel kleine stapjes wordt de moeilijkheid geleidelijk op-gevoerd. Wie alle opgaven van een hoofdstuk gemaakt heeft, kan er zeker vanzijn dat hij of zij de stof begrijpt en beheerst.Bij onze uitleg gaan we niet op alle wiskundige nesses in. Wie meer overdewiskundigeachtergrondenwilweten, vindtachterindriehoofdstukkenzonder opgaven met verdere verklaringen. Ze staan niet voor niets achterin:alleen wie al behoorlijk wiskundig bedreven is, zal ze kunnen waarderen. Ende lezer die er niet aan toe komt, heeft geen probleem: wat voor de toepas-singen nodig is, staat in de eerdere hoofdstukken. Een formuleoverzicht, eentrefwoordenregister en een volledige antwoordenlijst completeren het boek.BijdetweedeeditieWanneer een boek binnen vier jaar acht drukken bereikt, kun je gerust van eensucces spreken. Dat stemt tot dankbaarheid. Van heel wat gebruikers hebbenwe positieve reacties ontvangen, soms met suggesties voor verbeteringen. Ge-signaleerde fouten in de antwoordenlijst konden we telkens al in de volgendedruk corrigeren. De eerste auteur houdt een erratalijst bij op zijn homepage(gemakkelijk te vinden via Google). Daarnaast konden we tussentijds enigekleineverbeteringenindetekstdoorvoeren. Zoontstondeensteedsbeterproduct.2Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.Maar volmaakt was het niet: gebruikers meldden ons dat we sommige onder-werpen te summier behandeld hadden en dat er in enkele gevallen ook be-hoefte was aan meer opgaven op elementair niveau. Een apart probleem washet gebrek aan rekenvaardigheid onder studenten: de vrucht van falend re-kenonderwijs op de basisschool. Om dit te repareren, hebben we het Basisboekrekenen geschreven. Wie al in de eerste hoofdstukken van Basisboek wiskundevastloopt op rekenproblemen, zou dat boek eerst door moeten werken, liefstvan a tot z.Met deze tweede editie van Basisboek wiskunde zijn we in de gelegenheidenige meer ingrijpende wijzigingen en uitbreidingen aan te brengen. Aan deopzet en de structuur van onze succesformule veranderen we echter niets: hel-dere opbouw, opgaven links, uitleg en theorie rechts. Er zijn ook geen nieuweonderwerpen toegevoegd; de hoofdstukindeling is ongewijzigd gebleven.DebelangrijkstewijzigingenDe belangrijkste veranderingen zijn de volgende. De algebra-hoofdstukken 4en 5 zijn beter gestructureerd. Hoofdstuk 8 (rijen en limieten) is uitgebreid. Inde meetkunde-hoofdstukken 12 tot en met 15 zijn tekstverbeteringen aange-bracht en enige minder geslaagde opgaven verwijderd.In hoofdstuk 16 is in verband met de factorstelling een eenvoudig gevalvan de staartdeling voor polynomen toegevoegd, samen met een aantal nieu-we opgaven. Substanti ele uitbreidingen zijn er in de hoofdstukken 17 (gonio-metrie) en 18 (exponenti ele functies en logaritmen). Deze hoofdstukken zijndeels herschreven om beter aan te sluiten op de voorkennis van scholieren inhet voortgezet onderwijs. Ook de calculus-hoofdstukken 20, 21 en 22 hebbenwe nog een keer onder handen genomen. Daarbij is tevens de opgavencollec-tie aangevuld.Niet alle suggesties voor wijzigingen en verbeteringen die we de afgelo-pen jaren ontvingen, hebben we overgenomen. Wel hebben we ze allemaalzeer serieus in overweging genomen. Maar in een klein aantal gevallen had-den we andere idee en over wat belangrijk is voor onze doelgroep en hoe jebepaalde stukken wiskunde voor hen zou moeten presenteren.Devraagvanenigegebruikersomookaandachtteschenkenaanon-derwerpenalsmatrixrekeningencomplexegetallen, hebbenwenietgeho-noreerd. Daaraan wordt tegemoetgekomen in het Vervolgboek wiskunde van deeerste auteur dat eveneens in 2009 bij Pearson is verschenen.Veel dank!Zonder anderen tekort te willen doen, willen we in de eerste plaats Lia vanAsselt, Henri Ruizenaar, Frank Arnouts, Doortje Goldbach, Abdelhak El Ja-zouli, Robbert van Aalst en Ren e van Hassel bedanken. Hun commentaarheeft tot substanti ele verbeteringen geleid. Ook de opmerkingen van Jan Es-sers, Jan Los, Wim Caspers, Adri van den Boom, C.E. van Wijk, G.J.J. Baas,Erik Beijeman, Hermien Beverdam, A. Dolng, en Marjan van der Vegt heb-Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.3Voorwoordben we zeer op prijs gesteld. Daarnaast zijn we de gebruikers die fouten inde antwoordenlijst hebben gesignaleerd, zeer erkentelijk: Nabi Abudaldah,ing. A.S. Tigelaar, N.J. Schoonderbeek, Evert van de Vrie, Mathijs Schuts, Ni elDogger, Paul Bles, J. Bon, Max van den Aker, Evelien de Greef, Bas Bemel-mans, Kevin de Berk, Veditam Bishoen, Loek Spitz en Robert van Eekhout.Een antwoordenlijst zonder fouten is ons doel; alle bijdragen die dat ideaaldichterbij brengen, zijn welkom!We hopen dat ook de tweede editie van Basisboek wiskunde voor studenten enscholieren een betrouwbare gids in de wiskunde zal zijn.Oosterhout en Breda, maart 2009,Jan van de Craats en Rob Bosch4Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.I Getallen2e 22785311943 2 1 0 1 2 3Dit deel gaat over het rekenen met getallen. Ze komen in aller-lei soorten voor: positieve getallen, negatieve getallen, gehelegetallen, rationale en irrationale getallen. De getallen 2, en ezijn voorbeelden van irrationale getallen. In de hogerewiskunde wordt ook met imaginaire en complexe getallen ge-werkt, maar in dit boek zullen we ons beperken tot de re ele ge-tallen, dat wil zeggen de getallen die je meetkundig voor kuntstellen als punten op een getallenlijn.In de eerste twee hoofdstukken worden de rekenvaardighe-den van de basisschool (optellen, aftrekken, vermenigvuldi-gen en delen van gehele getallen en breuken) in kort bestekopgehaald. Wie hier moeite mee heeft, doet er verstandig aanom eerst ons Basisboek rekenen (Pearson Education, 2007) doorte werken.1 RekenenmetgehelegetallenVoer de volgende berekeningen uit:1.1a. 87311217181573461+

b. 1578955372182124139+

1.2a. 91344319

b. 45853287

c. 70331398

1.3 Bereken:a. 34 89b. 67 46c. 61 93d. 55 11e. 78 381.4 Bereken:a. 354 83b. 67 546c. 461 79d. 655 102e. 178 398Bereken het quoti ent en de rest met behulp van een staartdeling:1.5a. 154: 13b. 435: 27c. 631: 23d. 467: 17e. 780: 371.6a. 2334: 53b. 6463: 101c. 7682: 59d. 6178: 451e. 5811: 671.7a. 15457: 11b. 4534: 97c. 63321: 23d. 56467: 179e. 78620: 3071.8a. 42334: 41b. 13467: 101c. 35641: 99d. 16155: 215e. 92183: 836Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.1 RekenenmetgehelegetallenOptellen,aftrekkenenvermenigvuldigenDe rij 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, . . .is de rij van de positieve gehele getallen.Met deze rij leert ieder kind tellen. Op-tellen, aftrekken en vermenigvuldigenvan zulke getallen zonder rekenmachi-ne leer je op de basisschool. Hiernaaststaan voorbeelden.341295718121431+2797813532974838431728

34488623017313768DelenmetrestDelenzonderrekenmachinegaatmeteenstaartdeling. Hiernaast ziejedestaartdelingvoor83218 : 37, datwilzeggen83218gedeelddoor 37. Hetquoti ent 2249 vind je rechtsboven, en derest 5 onderaan de staart. De staartde-ling leert dat83218 = 2249 37 +5We kunnen dit ook schrijven als8321837= 2249 +537Het rechterlidwordt meestal vereen-voudigd tot 2249537, zodat we krijgen8321837= 2249 53737

83218

224974 92 quoti ent741811483383335 restDit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.7I GetallenOntbind de volgende getallen in priemfactoren:1.9a. 24b. 72c. 250d. 96e. 981.10a. 288b. 1024c. 315d. 396e. 18751.11a. 972b. 676c. 2025d. 1122e. 8601.12a. 255b. 441c. 722d. 432e. 9851.13a. 2000b. 2001c. 2002d. 2003e. 20041.14a. je geboortejaarb. je postcodec. je pincodeBepaal alle delers van de volgende getallen. Werk nauwkeurig en systema-tisch, want als je niet goed oplet, mis je er snel een paar. Het is handig omeerst de priemontbinding van zon getal op te schrijven.1.15a. 12b. 20c. 32d. 108e. 1441.16a. 72b. 100c. 1001d. 561e. 1968Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.1 RekenenmetgehelegetallenDelersenpriemgetallenSoms gaat een deling op, dat wil zeggen dat de rest nul is. Zo is bijvoorbeeld238 : 17 = 14.Dan geldt dus 238 = 14 17.De getallen 14 en 17 heten delersvan 238 en de schrijfwijze 238=1417 heet een ontbinding in factoren van238. De woorden deler en factor zijn in dit verband synoniemen.Van de beide delers is 14 zelf ook weer te ontbinden, namelijk als 14 = 2 7,maar verder kan de ontbinding van 238 niet worden voortgezet, want 2, 7en 17 zijn alle drie priemgetallen, dat wil zeggen getallen die niet in kleinerefactoren zijn te ontbinden. Daarmee is de ontbinding in priemfactoren van 238gevonden: 238 = 2 7 17.Omdat 238 = 1 238 ook een ontbinding van 238 is, zijn 1 en 238 ook delersvan 238. Elk getal heeft 1 en zichzelf als deler. De interessante, echte delers zijnechter de delers die groter dan 1 zijn en kleiner dan het getal zelf. De priem-getallen zijn de getallen die groter dan 1 zijn en geen echte delers hebben. Derij van alle priemgetallen begint als volgt:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, . . .Elk geheel getal dat groter dan 1 is,kanontbondenwordeninpriem-factoren. Hiernaaststaatinvoor-beeldengellustreerdhoejezonpriemontbindingvindt door syste-matisch naar steeds grotere priem-delers te zoeken. Telkens als je ereen vindt,deel je die uit,en ga jemet het quoti ent verder.1802902453153551585319536551313130033100171431113131Je bent klaar als je op 1 bent uitgekomen. De priemfactoren staan rechts. Uitde drie ladderdiagrammen lezen we de priemontbindingen af:180 = 2 2 3 3 5 = 22325585 = 3 3 5 13 = 325 133003 = 3 7 11 13Je ziet dat het handig is om priemfactoren die vaker dan e en keer voorkomen,samen te nemen als een macht: 22= 2 2 en 32= 3 3. Nog meer voorbeel-den (maak zelf de ladderdiagrammen):120 = 2 2 2 3 5 = 233 581 = 3 3 3 3 = 3448 = 2 2 2 2 3 = 243Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.9I GetallenBepaal de grootste gemene deler (ggd) van:1.17a. 12 en 30b. 24 en 84c. 27 en 45d. 32 en 56e. 34 en 851.18a. 45 en 225b. 144 en 216c. 90 en 196d. 243 en 135e. 288 en 1681.19a. 1024 en 864b. 1122 en 1815c. 875 en 1125d. 1960 en 6370e. 1024 en 11521.20a. 1243 en 1244b. 1721 en 1726c. 875 en 900d. 1960 en 5880e. 1024 en 2024Bepaal het kleinste gemene veelvoud (kgv) van:1.21a. 12 en 30b. 27 en 45c. 18 en 63d. 16 en 40e. 33 en 1211.22a. 52 en 39b. 64 en 80c. 144 en 240d. 169 en 130e. 68 en 511.23a. 250 en 125b. 144 en 216c. 520 en 390d. 888 en 185e. 124 en 3411.24a. 240 en 180b. 276 en 414c. 588 en 504d. 315 en 189e. 403 en 221Bepaal de ggd en het kgv van:1.25a. 9, 12 en 30b. 24, 30 en 36c. 10, 15 en 35d. 18, 27 en 63e. 21, 24 en 271.26a. 28, 35 en 49b. 64, 80 en 112c. 39, 52 en 130d. 144, 168 en 252e. 189, 252 en 31510Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.1 RekenenmetgehelegetallenDeggdenhetkgvTwee getallen kunnen delers gemeen hebben. De grootste gemene deler (ggd)is, zoals de naam al zegt, hun grootste gemeenschappelijke deler. Wanneer deontbinding in priemfactoren van beide getallen bekend is, kan de ggd hieruitdirect worden afgelezen. Zo hebben we op bladzijde 9 de volgende priemont-bindingen gevonden:180 = 22325585 = 325 133003 = 3 7 11 13Hieruit zien we datggd(180, 585) = ggd(22325 , 325 13) = 325 = 45ggd(180, 3003) = ggd(22325 , 3 7 11 13) = 3ggd(585, 3003) = ggd(325 13 , 3 7 11 13) = 3 13 = 39Het kleinste gemene veelvoud (kgv) van twee getallen is het kleinste getal datzowel een veelvoud van het ene getal, als van het andere getal is. Met anderewoorden, het is het kleinste getal dat door allebei die getallen deelbaar is. Ookhet kgv kan uit de priemontbindingen worden afgelezen. Zo iskgv(180, 585) = kgv(22325 , 325 13) = 22325 13 = 2340Een handige eigenschap van de ggd en het kgv van twee getallen is dat hunproduct gelijk is aan het product van de beide getallen. Zo isggd(180, 585) kgv(180, 585) = 45 2340 = 105300 = 180 585Ook van meer dan twee getallen kun je de ggd en het kgv direct uit hun priem-ontbindingen aezen. Zo isggd(180, 585, 3003) = 3kgv(180, 585, 3003) = 22325 7 11 13 =180180EenslimideeEriseenmethodeomdeggdvantweegetallentebepalenwaarbij priemontbindingennietnodigzijn, endievaakveel sneller werkt. Hetbasisideeisdatdeggdvantweegetallenookeendeler moet zijnvanhet verschil vandietweegetallen. Ziejeookwaaromditzois?Zomoetggd(4352, 4342)ookeendelerzijnvan 4352 4342 = 10. Hetgetal 10heeftalleenmaar depriemdelers2en5. Het isduidelijkdat5geendeler isvandebeidegetallen, maar 2wel, endusgeldtggd(4352, 4342) = 2. Wieslimiskanzichdoorditideetegebruikenveelrekenwerkbesparen!Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.112 Rekenenmetbreuken2.1 Vereenvoudig:a.1520b.1845c.2149d.2781e.24962.2 Vereenvoudig:a.60144b.144216c.135243d.8641024e.1682882.3 Maak gelijknamig:a.13 en 14b.25 en 37c.49 en 25d.711 en 34e.213 en5122.4 Maak gelijknamig:a.16 en 19b.310 en215c.38 en 56d.59 en712e.320 en 182.5 Maak gelijknamig:a.13 ,14 en 15b.23 ,35 en 27c.14 ,16 en 19d.210 ,115 en 56e.512 ,718 en 382.6 Maak gelijknamig:a.227 ,536 en524b.715 ,320 en 56c.421 ,314 en730d.463 ,542 en156e.578 ,539 en365Bepaal telkens welke van de volgende twee breuken de grootste is door zeeerst gelijknamig te maken.2.7a.518 en619b.715 en512c.920 en 1118d.1136 en932e.2063 en 25722.8a.47 en 23b.1485 en751c.2663 en 3984d.3190 en 2372e.3780 en 296012Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.2 RekenenmetbreukenRationalegetallenDe rij . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . is de rij van alle gehele getallen. Een meet-kundig beeld ervan geeft de getallenlijn die hieronder is getekend.3 2 1 0 1 2 3Ook de rationale getallen, dat wil zeggen de getallen die als een breuk geschre-ven kunnen worden, liggen op de getallenlijn. Hieronder zijn enige rationalegetallen op die lijn aangegeven.22785311289533 2 1 0 1 2 3In een breuk staan twee gehele getallen, de teller en de noemer, gescheidendoor een horizontale of een schuine breukstreep. Zo is 28 de teller en 6 denoemer van de breuk286 . De noemer van een breuk mag niet nul zijn. Een ra-tionaal getal is een getal dat je als breuk kunt schrijven, maar die schrijfwijzeligt niet ondubbelzinnig vast: als je teller en noemer met hetzelfde gehele ge-tal (ongelijk aan nul) vermenigvuldigt of door een gemeenschappelijke delerdeelt, verandert de waarde ervan niet. Zo is286=143= 143=7015Breuken als53en227schrijven we meestal als 53, respectievelijk 227 . Ookgehele getallen kun je als breuk schrijven, bijvoorbeeld 7=71, 3= 31en0 =01. De gehele getallen behoren dus ook tot de rationale getallen.Delen van teller en noemer door dezelfde factor (groter dan 1) heet vereenvou-digen. Zo kun je286vereenvoudigen tot143door teller en noemer door 2 tedelen. Een breuk is onvereenvoudigbaar als de grootste gemene deler (ggd) vanteller en noemer 1 is. Zo is143een onvereenvoudigbare breuk, maar286niet.Je kunt van elke breuk een onvereenvoudigbare breuk maken door teller ennoemer te delen door hun ggd.Breuken heten gelijknamig als ze dezelfde noemer hebben. Twee breuken kunje altijd gelijknamig maken. Voorbeeld:415 en521 zijn niet gelijknamig. Je kuntzegelijknamigmakendoorzeallebeialsnoemer1521 =315tegeven:415=84315 en521=75315. Maar als je als gemeenschappelijke noemer het kgv vande oorspronkelijke noemers kiest, in dit geval dus kgv(15, 21)= 105, krijg jede eenvoudigste gelijknamige breuken, namelijk28105 en25105.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.13I GetallenBereken:2.9a.13 + 14b.15 16c.17 + 19d.19 111e.12 +1152.10a.23 + 34b.35 47c.27 + 34d.49 38e.511 +4152.11a.16 + 14b.19 215c.38 +112d.13 + 56e.415 3102.12a.245 +121b.527 136c.572 +760d.334 +185e.730 +81052.13a.13 + 14 + 15b.12 13 + 17c.14 15 + 19d.12 17 13e.18 + 13 152.14a.12 + 14 + 18b.13 + 16 + 14c.112 + 18 12d.19 112 +118e.110 115 + 162.15a.12 14 + 18b.13 + 16 14c.112 18 12d.19 112 118e.110 +115 + 162.16a.13 19 +127b.12 +110 215c.118 730 320d.314 121 + 56e.25 310 +4152.17a.25 17 110b.32 + 23 56c.821 27 + 34d.211 513 + 12e.417 310 + 2514Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.2 RekenenmetbreukenOptellenenaftrekkenvanbreukenOptellen van twee gelijknamige breuken is eenvoudig: de noemer blijft het-zelfde en de tellers worden bij elkaar opgeteld. Hetzelfde geldt voor het af-trekken van gelijknamige breuken. Voorbeelden:513 + 1213=1713en513 1213= 713= 713Zijndebreukennietgelijknamig, danmoetjezeeerstgelijknamigmaken.Het is weer het zuinigst om als gemeenschappelijke noemer het kgv van deafzonderlijke noemers te kiezen. Voorbeelden:25 + 83=615 + 4015=4615 712 +415= 3560 + 1660= 1960137 185= 6535 12635= 19135Ookwanneerjemeerdantweebreukenmoetoptellenofaftrekken, ishethandig om ze eerst allemaal gelijknamig te maken. Het zuinigste is het om alsnoemer het kgv van de oorspronkelijke noemers te kiezen. Voorbeeld:23 +310 215=2030 +930 430=2530=56Je ziet dat je je antwoord soms nog kunt vereenvoudigen.BreukenenrationalegetallenEen breuk is een schrijfwijzevan een rationaal getal. Door teller en noemer met dezelfdefactortevermenigvuldigen,veranderjewel debreuk,maarniethetrationalegetal daterdoor wordt voorgesteld. Je kunt ook zeggen dat de waardevan de breuk niet verandertalsjetellerennoemermetdezelfdefactorvermenigvuldigt. Debreuken52,156en5020hebbenallemaaldezelfdewaarde,enopdegetallenlijnhebbenzeookallemaaldezelfdeplaats,namelijkhalverwege 2en 3.Indepraktijkismenoverigensmeestal nietzoprecies: vaakwordtbreukgebruiktopplaatsenwaarjestriktgenomenwaardevandebreuk zoumoetenzeggen. Wedoendattrouwensookwanneerweschrijven52=156of wanneerwezeggendat52gelijkisaan156.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.15I GetallenBereken:2.18a.23 57b.49 25c.213 57d.913 72e.130 13102.19a.23 92b.89 34c.1415 107d.2512 1835e.3621 28272.20a.6340 1627b.4925 3021c.9926 3944d.5136 4534e.4657 38692.21a.23 65 154b.635 154

149c.2633 229

1539d.1849 3512 421e.2415 427 45162.22a.23:57b.13:12c. 6 :15d.65:109e.45:572.23a.23:49b.710:2115c. 10:53d.1225:1835e.2449:36492.24a.2334b.65910c.1279142.25a.12 + 1314 + 16b.59 +31034 89c.43 3423 + 322.26a.27 + 5615 + 34b.16 5327 25c.35 111267 +31116Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.2 RekenenmetbreukenVermenigvuldigenendelenvanbreukenHet product van twee breuken is de breuk die als teller het product van detellers, en als noemer het product van de noemers heeft. Voorbeelden:513 127=5 1213 7=6091en87 511=8 (5)7 11= 4077Voor delen van breuken geldt: delen door een breuk is vermenigvuldigen met deomgekeerde breuk. De omgekeerde breuk krijg je door teller en noemer te ver-wisselen. Voorbeelden:513:127=513 712=35156en87:511=87 115= 8835Soms gebruikt men ook een andere notatie voor het delen van breuken, name-lijk met de horizontale breukstreep. Voorbeeld:513127in plaats van513:127Er staat dan dus een breuk met een breuk in de teller en een breuk in denoemer.AnderenotatiesvoorbreukenInplaatsvaneenhorizontalescheidingsstreeptussentellerennoemerwordtsomsookeenschuinestreepgebruikt: 1/2inplaatsvan12. Somsishetookomtypograscheredenen handiger om de schuine-streepnotatie te gebruiken. De notaties worden ook welsamen gebruikt, vaak ook weer om de typograe overzichtelijker te maken, bijvoorbeeld5/1312/7of513

127In sommige situaties kan het voordelen hebben om breuken in een gemengde notatieteschrijven, datwil zeggendatmenhetgeheledeel ervanapartzet, bijvoorbeeld212inplaatsvan52. Bij vermenigvuldigenendelenisdienotatieechterniethandig,vandaardatweerinditboekhaastnooitgebruikvanzullenmaken.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.173 MachtenenwortelsSchrijf alle volgende uitdrukkingen als een geheel getal of als een onvereen-voudigbare breuk:3.1a. 23b. 32c. 45d. 54e. 283.2a. (2)3b. (3)2c. (4)5d. (5)4e. (2)63.3a. 23b. 42c. 34d. 71e. 273.4a. 20b. 91c. 112d. 93e. 1043.5a. (4)3b. 35c. (3)3d. 24e. (2)43.6a. (2)0b. 02c. 121d. (7)2e. (2)73.7a. (23)2b. (12)4c. (45)3d. (27)23.8a. (23)2b. (12)3c. (79)1d. (32)43.9a. (43)2b. (12)4c. (45)1d. (23)53.10a. (14)1b. (65)0c. (43)3d. (52)43.11a. (67)2b. (87)0c. (67)2d. (27)33.12a. (49)3b. (53)3c. (511)2d. (36)518Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.3 MachtenenwortelsGehelemachtenVoor ieder getal a ongelijk aan 0 en elk positief geheel getal k isak=k maal. .. .aa aa0= 1ak=1akHiermeeisanvooriedergeheelgetalngedenieerd. Hetgetalaheethetgrondtal en n heet de exponent. Voorbeelden:74= 7 7 7 7 = 2401

13

0= 1

38

1=138=83103=1103=11000Eigenschappen:anam= an+man: am= anm(an)m= anm(a b)n= anbn

ab

n=anbnEen bijzondere plaats neemt het grondtal 0 in. We hebben hierboven a ongelijkaan 0 genomen om te voorkomen dat er bij een negatieve gehele exponent nin de macht aneen breuk met nul in de noemer verschijnt.Voor positieve gehele n denieert men echter gewoon 0n=0,en verder ishet in de wiskunde ook gebruikelijk om 00=1 te deni eren. Dat laatste iseenvoudig een afspraak die maakt dat bepaalde veel voorkomende formulesook voor 0 geldig blijven. Een voorbeeld is de formule a0= 1, die nu dus vooralle a, ook voor a=0, geldt. Het blijft echter een afspraak; zoek hier verderniets diepzinnigs achter!Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.19I GetallenSchrijf alle volgende uitdrukkingen in standaardvorm, dat wil zeggen in devorm ab waarin a een geheel getal enb een onvereenvoudigbare wortel is.3.13a.36b.81c.121d.64e.1693.14a.225b.16c.196d.256e.4413.15a.8b.12c.18d.24e.503.16a.72b.32c.20d.98e.403.17a.54b.99c.80d.96e.2003.18a.147b.242c.125d.216e.2883.19a.675b.405c.512d.338e.5883.20a.1331b.972c.2025d.722e.6763.21a.6 3b.10 15c. 214 321d. 422 533e. 330 2423.22a.5 3b. 2 7c.3 5 2d. 214 36e. 35 26 4103.23a. 36 215 410b. 55 1010 22c. 221 14 310d.15 23 335e. 330 1214 22120Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.3 MachtenenwortelsWortelsvangehelegetallenDe wortel van een getala 0 is het getal w waarvoor geldt dat w 0 enw2= a is. Notatie: w =a.Voorbeeld: 25=5 want 52=25. Merk op dat ook (5)2=25, dus ook5 zou men misschien een wortel van 25 willen noemen. Zoals in de de-nitie staat, wordt ondera echter uitsluitend het niet-negatieve getal verstaanwaarvan het kwadraat gelijk is aan a, dus25 = +5.Het getal 20 is geen geheel getal want 42=1620 dus4 1, limnann!= 0, limnn!nn= 0Hierboven hebben we die limieten toegelicht voor p = 100 en a = 100. Ove-rigens, zie je zelf waarom de eerste limiet vanzelfsprekend is alsp 0 is?Voor p> 0 is dat niet zo:de teller npen de noemer angaan dan allebei naaroneindig. De noemer wint het echter op den duur.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.67III GetallenrijenBereken de volgende limieten. Ook bij de limieten op deze bladzijde is hetvaakmogelijktellerennoemertedelendooreengeschiktgekozendomi-nante term van de noemer, waarna de oplossing volgt door een van de driestandaardlimieten op de vorige bladzijde toe te passen. Voorbeeld:limnn2+2nn22n=limn(n2/2n) +1(n2/2n) 1= 1want limnn22n= 0 volgens de eerste standaardlimiet (met p = a = 2).8.21a. limn2n+13n+1b. limn2n2n2n1c. limn2n+1+12n+1d. limn3n2n3n+2ne. limn23n123n+32n8.22a. limnn33nn3+3nb. limn2n2n +2nc. limnn2+ n!3nn!d. limnnn+3n!nn+ (3n)!e. limnn! +3n97nn+3n9+78.23a. limnn3+3n3nb. limn2n+1000n1000c. limn2n+4n3nd. limn2nnn+2ne. limn1.002nn1000+1.001n8.24a. limnn100.9999nb. limn(n2+3n 7)

12

n1c. limn(n +3)!n! +2nd. limn2n1 + (n +1)!e. limn2n+ (n +1)!3n+ n!68Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.8 RijenenlimietenWatispreciesdelimietvaneenrij?Op de vorige bladzijden hebben we al met limieten van rijen kennisgemaakt.We zullen nu precies omschrijven wat we in het algemeen bij een getallenrija1, a2, a3, . . . onder een limiet verstaan. We geven ook telkens twee notaties,een notatie met de letters lim, en een pijlennotatie, die ook vaak gebruiktwordt. Daarnaast zal ook het symbool (oneindig) worden gebruikt. Dat isgeen re eel getal, maar een symbool dat in de omschrijving in de rechterkolomnader verklaard wordt.lim-notatie: pijlennotatie: omschrijving:limnan = L an Lals n Bij iederpositief getal p(hoeklein ook) is er een term aNinderij waarvoorgeldtdatalletermen an met n>N voldoenaan [an L[ < p.limnan = an als n Bij iederpositief getal P(hoegroot ook) is er een term aN inderij waarvoorgeldtdatalletermen an met n>N voldoenaan an> P.limnan = an als n Dit betekent eenvoudig datlimn(an) = .Niet alle rijen hebben overigens een limiet in een van de bovenvermelde vor-men. Zo heeft de rij waarvan de n-de term gelijk is aan (1)n(de meetkundi-ge rij met reden (1)) geen eindige of oneindige limiet, want de termen ervanzijn afwisselend +1 en 1. Evenmin heeft de meetkundige rij (2)neen li-miet: de termen ervan stijgen weliswaar in absolute waarde boven elke grensuit, maar ze zijn om en om positief en negatief, dus er blijven ook altijd termenaanwezig die niet boven zon grens uitkomen.We benadrukken nogmaals dat en geen re ele getallen zijn, maar sym-bolen die we gebruiken om het limietgedrag van bepaalde rijen aan te geven.Met enige voorzichtigheid kun je er toch mee rekenen. Als bijvoorbeeld vooreen rij a1, a2, a3, . . . geldt dat limnan= dan geldt voor de rij1a1,1a2,1a3, . . .dat limn1an= 0. De reden is duidelijk: als de getallen an op den duur boveniedere grens uitstijgen, zullen de getallen1anop den duur steeds dichter bij 0komen. Op bladzijde 65 en in de opgaven vind je hier voorbeelden van.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.69IV Vergelijkingenx1,2 = b b24ac2aIn veel toepassingen van de wiskunde moeten vergelijkingenof ongelijkheden worden opgelost. Je moet dan alle getallenbepalendieaaneenofmeergegevenvergelijkingenofon-gelijkheden voldoen. In dit deel leren we de meest elemen-taireoplossingstechnieken. Inhetbijzondergevenweme-thodes om eerstegraadsvergelijkingen en tweedegraadsverge-lijkingen op te lossen. De beroemdeabc-formule is daarvaneen belangrijk voorbeeld. In het laatste hoofdstuk behande-len we een oplossingsmethode voor eenvoudige stelsels eer-stegraadsvergelijkingen.9 EerstegraadsvergelijkingenBepaal de oplossing x van elk van de volgende vergelijkingen.9.1a. x +7 = 10b. x 12 = 4c. x +3 = 10d. x 10 = 7e. x +8 = 09.2a. x +15 = 6b. x 7 = 10c. x +17 = 10d. x 8 = 9e. x 19 = 09.3a. 2x +7 = 9b. 3x 8 = 7c. 4x +3 = 11d. 9x 10 = 17e. 6x +6 = 09.4a. 3x +15 = 21b. 2x 7 = 11c. 5x +17 = 32d. 4x 8 = 16e. 6x 18 = 09.5a. 2x +9 = 12b. 3x 12 = 9c. 4x +3 = 11d. 5x 12 = 17e. 6x +9 = 09.6a. x 15 = 6b. 9x 7 = 10c. 6x +17 = 12d. 9x 18 = 6e. 5x 19 = 09.7a. x +7 = 10 2xb. x 12 = 4 +5xc. 2x +3 = 10 + xd. 3x 10 = 2x 7e. 5x +9 = 2x9.8a. x +15 = 6 4xb. 2x 7 = 2x 10c. 3x +17 = 11 + xd. x 8 = 9x 4e. 2x 19 = 19 2x9.9a. x 12 = 3 4xb. 3x +5 = 2x 8c. x +7 = 12 xd. 4x 1 = 7x +4e. 2x +12 = 9 +4xWerk bij de volgende opgaven eerst de breuken weg door het linker- en rech-terlid te vermenigvuldigen met een geschikt getal (eigenschap V2).9.10a.12x +32= 1 +52xb. 13x 23=43x 1c.25x +35= 35 15xd. 37x 37= 67 17xe.29x 19= x 299.11a.13x +32= 1 +16xb. 23x 34=43x 1c.25x +53= 56 23xd. 29x 14= 32 16xe.18x 56= x 349.12a. 3(x +4) = 2(x +8)b. 2(x 3) +1 = 3(x +7) +2c. 2 (x +4) = 2(x +1) 39.13a. 6(x +2) (x 3) = 3(x +1)b. 2x (x +1) = 3(x +1)c. 5(2x +3) + (2x 5) = 4(x 4)72Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.9 EerstegraadsvergelijkingenAlgemeneoplossingsregelsStel dat van een getal x gegeven is dat het voldoet aan de volgende vergelij-king:3x +7 = 2x +1en dat gevraagd wordt x te bepalen.Oplossing:1. tel bij het linker- en rechterlid 2x op: 5x +7 = 1,2. tel bij het linker- en rechterlid 7 op: 5x = 6,3. deel het linker- en rechterlid door 5: x = 65.Hiermee is in drie stappen het onbekende getal x gevonden. Ter controle kunje de gevonden waarde x = 65 in de oorspronkelijke vergelijking substituerenen constateren dat het klopt.We hebben gebruikgemaakt van de volgende algemene regels:V1. De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je bij het linker- enrechterlid hetzelfde getal optelt.V2. De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je het linker- enrechterlid met hetzelfde getal vermenigvuldigt of door hetzelfde getal deelt,mits dat getal niet 0 is.De beide eerste stappen van de oplossing in het gegeven voorbeeld kun je ookzien alshet verplaatsen van een termvan de ene kant van het gelijkteken naar de ande-re kant waarbij die term van teken wisselt (van plus naar min of omgekeerd).Dat is de manier waarop regel V1 meestal wordt gebruikt. In stap 1 hebbenwe de term 2x van het rechterlid naar het linkerlid overgebracht, en in stap2 de term +7 van het linkerlid naar het rechterlid.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.73IV VergelijkingenSchrijf de volgende ongelijkheden in een van de volgende gedaanten:x< a, x a, x> a of x a.Voorbeeld: 3x + 7> 5. Aftrekken van 7 geeft 3x> 2 en delen door 3geeft vervolgens x 6c. x +9 7d. x 1 3e. x +6 > 79.15a. 2x +4 < 8b. 3x 8 > 7c. 5x +9 6d. 4x +1 3e. 2x +6 > 59.16a. 2x +6 < x 8b. 3x 8 > 7 2xc. x +9 7 3xd. 2x 1 x 3e. 5x +6 > 3x +79.17a. 2x +6 < x +9b. x 8 > 3x +6c. 2x +9 3x +1d. 3x 1 3 xe. 5x +6 > 7x +29.18a.12x +1 < 2 13xb.23x 12> 1 +13xc.34x +12 12x 14d.16x 13 23x 16e.25x 52>12x 259.19a. 32x 1 < 2 14xb.15x 12> 1 +25xc. 34x +13 12x 56d.27x 12 12x 37e. 35x 52> 12x +25Schrijf de volgende ongelijkheden in een van de volgende gedaanten:a < x< b, a x< b, a < x b of a x b.Voorbeeld: 2 3 6x< 4. Aftrekken van 3 geeft 5 6x< 1 en delendoor 6 geeft vervolgens56 x> 16 dus 16< x 56.9.20a. 3 < x +1 < 4b. 2 < 2x +4 < 6c. 0 3x +6 < 9d. 6 < 4x 2 4e. 1 1 +2x 29.21a. 3 < x +1 < 2b. 2 < 2x 4 < 4c. 0 3x +9 < 6d. 6 < 4x +2 4e. 1 1 2x 074Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.9 EerstegraadsvergelijkingenOngelijkhedenHet manipuleren van ongelijkheden vergt iets meer zorg dan het manipulerenvan vergelijkingen. Toch zijn er ook overeenkomsten. Ongelijkheden komenvoor in vier gedaanten:a < b, a b, a > b, a b.Ze betekenen respectievelijk a is kleiner dan b,a is kleiner dan of gelijk aanb, a is groter dan b en a is groter dan of gelijk aan b. Uiteraard betekenta>b dus hetzelfde als b b > c maarniet ac, ook al zouden wel de afzonderlijke ongelijkheden ac geldig zijn. De reden is dat je in dat geval wel weet dat a en c allebeikleiner dan b zijn,maar dat je hieruit over de onderlinge relatie van a en cniets kunt concluderen.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.75IV VergelijkingenBepaal alle oplossingen x van de volgende vergelijkingen.9.22a.1x +1= 5b.xx 4= 2c.2x +1x= 3d.4x 1x 3= 2e.x +73x +8= 19.23a.2x3x 4= 1b.8x4x 4= 2c.4 4xx 1= 3d.2x +34x= 6e.x 5x 4= 19.24a. (x +1)2= 1b. (x 4)2= 9c. (1 x)2= 25d. (2x +1)2= 4e. (3x +1)2= 169.25a. (x +2)2= 3b. (x 1)2= 2c. (3 x)2= 5d. (2x +1)2= 6e. (6 2x)2= 89.26a. (x 1)3= 1b. (x +4)3= 8c. (1 x)3= 1d. (2x 1)3= 27e. (4x 1)3= 649.27a. (x 2)4= 1b. (x +1)4= 16c. (3 2x)4= 4d. (2x +3)4= 81e. (4 3x)4= 6259.28a. (x +1)2= (2x 1)2b. (3x 1)2= (x 1)2c. (x +1)2= (2x +1)2d. (2x +5)2= (3 x)2e. (4x +3)2= x29.29a. (x +2)2= 4x2b. (2x +1)2= 4(x +1)2c. (x +2)2= 9(x +2)2d. 4(x +1)2= 25(x 1)2e. 9(2x +1)2= 4(1 2x)276Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.9 EerstegraadsvergelijkingenEenvergelijkingreducerentoteeneerstegraadsvergelijkingEen vergelijking van de vormax + b = 0waarin x een onbekend getal is en a en b gegeven (bekende) getallen zijn meta = 0, heet een eerstegraadsvergelijking in x. De vergelijkingen van bladzijde 52kunnen allemaal in deze vorm worden geschreven. Zon vergelijking kunnenwe met behulp van de regels V1 en V2 van bladzijde 73 oplossen. De oplossingis danx = baIn bepaalde gevallen kun je gecompliceerdere vergelijkingen tot eerstegraads-vergelijkingen terugbrengen.Voorbeeld 1:3x +24x 5= 2Door het linker- en rechterlid met 4x 5 te vermenigvuldigen, ontstaat devergelijking3x +2 = 2(4x 5)die met de methode van bladzijde 73 kan worden opgelost. Het resultaat isx =125 , zoals je zelf kunt nagaan.We maakten bij de eerste stap dus gebruik van regel V2. Dit is slechts toege-staan als het getal 4x 5 waarmee we het linker- en rechterlid vermenigvul-digd hebben, ongelijk aan 0 is. Omdat we x in dit stadium van de oplossings-methode nog niet kenden, wisten we toen ook nog niet of 4x 5 = 0 is. Datkonden we pas controleren toen we de nieuwe vergelijking naar x hadden op-gelost. Zon controle achteraf is niet overbodig, zoals je kunt zien in sommigevan de opgaven op de tegenoverliggende bladzijde.Voorbeeld 2:(3x 1)2= 4Als x voldoet, moet het kwadraat van 3x 1 gelijk zijn aan 4. Dat wil zeggendat 3x 1 gelijk is aan +2 of 2. Er zijn dus twee mogelijkheden:3x 1 = 2 en 3x 1 = 2met als oplossingen x = 1 en x = 13 (ga dit zelf na).Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.7710 TweedegraadsvergelijkingenBepaal alle oplossingen x van de volgende vergelijkingen.10.1a. x2= 9b. 4x2= 16c. 3x2+1 = 13d. 2x2+21 = 3e. 2x248 = 5010.2a. 3x22 = x2+2b. x215 = 2x22c. 12 x2= x24d. 3(2 x2) = x2+6e. 2(1 x2) = x210.3a.12x2= 2b.23x2=12c.32x2=23d.45x2=54e. 2x2=9410.4a.12x2+23=56b.13x212=14c. 25x237=43d.18x2+34=52e.13(x212) =1410.5a. x(x +3) = 0b. (x +1)(x 5) = 0c. (x 1)(x +1) = 0d. (x +7)(x 2) = 0e. (x 3)(x +9) = 010.6a. x(2x 1) = 0b. (2x +1)(x 3) = 0c. (3x +2)(2x 3) = 0d. (5x +3)(3x 5) = 0e. (2 3x)(3x 2) = 010.7a. 3(x 1)(x +3) = 0b. 5(x 1)(x +5) = 0c. 2(2x +1)(3x 4) = 0d. 4(3x +2)(6x +3) = 0e. 5(3x 2)(3x +2) = 010.8a. (12x +3)(x 23) = 0b. (23x 45)(13x 27) = 0c.12(34x 43)(13x 12) = 078Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.10 TweedegraadsvergelijkingenTweedegraadsvergelijkingenEen vergelijking van de vormax2+ bx + c = 0waarin x een onbekende is en a, b en c gegeven (bekende) getallen zijn meta = 0, heet een tweedegraadsvergelijking in x. Vaak wordt ook de term vierkants-vergelijking gebruikt.Zon vergelijking heeft 0, 1 of 2 oplossingen, dat wil zeggen er zijn 0, 1 of 2getallen x die aan de vergelijking voldoen. Die oplossingen worden ook welwortels van de vergelijking genoemd, hoewel er in de schrijfwijze van die ge-tallen helemaal geen wortels in de zin van hoofdstuk 3 hoeven voor te komen.We geven van elk van de drie gevallen een voorbeeld.1. De vergelijking x2+1 = 0 heeft geen oplossingen, want het linkerlid is voorelke keuze van x groter dan of gelijk aan 1 (een kwadraat is altijd groter danof gelijk aan 0).2. De vergelijking x2+ 2x + 1 = 0 heeft e en oplossing, want het linkerlid kangeschreven worden als (x +1)2, en dat is alleen maar gelijk aan 0 als x +1 = 0is, dat wil zeggen als x = 1.3. Devergelijkingx2 1 =0heefttweeoplossingen, namelijkx =1enx = 1.In sommige gevallen vereist het oplossen van een tweedegraadsvergelijkinggeen speciale techniek. Als voorbeeld nemen wex23x = 0Door deze vergelijking te schrijven alsx(x 3) = 0en op te merken dat het product van twee getallen die beide ongelijk aan 0zijn, ook altijd ongelijk aan 0 is, zien we dat x = 0 of x 3 = 0 moet zijn.Deoplossingen zijn dus x = 0 en x = 3.Wat we net hebben gebruikt, kunnen we ook formuleren als een algemeneeigenschap van getallen die we nog vaak zullen toepassen:ab = 0 a = 0of b = 0waarbij of zo moet worden opgevat dat a en b ook beide nul kunnen zijn.Immers, als minstens e en van de getallen a en b gelijk aan nul is, is ab ooknul, en als geen van beide nul is, is hun product ook niet nul.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.79IV VergelijkingenLos de volgende vergelijkingen op via kwadraatafsplitsen.10.9a. x2+4x +1 = 0b. x2+6x 2 = 0c. x2+8x +3 = 0d. x22x 1 = 0e. x2+10x +5 = 010.10a. x212x +6 = 0b. x213x 7 = 0c. x2+ x 42 = 0d. x212x +27 = 0e. x2+6x 12 = 010.11a. x2+7x 1 = 0b. x2+3x 4 = 0c. x2+4x +4 = 0d. x24x 4 = 0e. x211x +7 = 010.12a. x2+20x +60 = 0b. x218x 80 = 0c. x2+13x 42 = 0d. x215x +56 = 0e. x2+60x +800 = 010.13a. x2+12x 34= 0b. x2+43x 59= 0c. x213x 19= 0d. x2+32x 58= 0e. x225x 15= 010.14a. x2+34x 38= 0b. x2+52x +32= 0c. x223x +19= 0d. x232x 34= 0e. x2+45x 45= 0Soms kun je een vergelijking die er niet uitziet als een tweedegraadsvergelij-king door een truc tot een tweedegraadsvergelijking terugbrengen.Voorbeeld: x46x216 = 0.Dit is een vierdegraadsvergelijking, maar door y=x2te stellen, wordt heteen tweedegraadsvergelijking: y2 6y 16=0. Kwadraatafsplitsen geeft(y 3)2=25 dus y 3= 5 met als oplossingen y=8 en y= 2. Maaromdat y = x2is, levert y = 2 geen oplossingen. Een kwadraat kan immersniet negatief zijn. De oplossingen zijn dus x = 8 = 22.10.15a. x4+4x25 = 0b. x46x2= 7c. x4+4x2+4 = 0d. x44x2+4 = 0e. x611x3= 1210.16a. x 2x = 3 (stel y =x)b. x 18x +17 = 0c. x +4x = 21d. x 15x +26 = 0e. x +6x = 780Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.10 TweedegraadsvergelijkingenKwadraatafsplitsenOm de vergelijkingx26x +3 = 0op te lossen, schrijven we die vergelijking alsx26x +9 = 6waardoor het linkerlid een volledig kwadraat wordt, namelijk het kwadraatvan x 3, want (x 3)2= x26x + 9. Het oplossen van de vergelijking diedan ontstaat, is eenvoudig:(x 3)2= 6zodatx 3 =6 of x 3 = 6en de beide oplossingen zijn dusx = 3 +6 en x = 3 6Dezemethodeisalgemeenbruikbaaralsdeco efci entvanx2gelijkaan1is. Neem dan de helft van de co efci ent van x om in het linkerlid een volledigkwadraat te maken, en in het rechterlid een constante, dat wil zeggen een getaldat niet van x afhangt. Is die constante positief of nul, dan kun je worteltrek-ken, en daarmee de vergelijking oplossen. Is de constante negatief, dan zijn ergeen oplossingen, want het linkerlid is een kwadraat, en dus niet-negatief.We geven nog een voorbeeld:x2+10x +20 = 0De helft van 10 is 5 en (x + 5)2= x2+ 10x + 25. We herschrijven de vergelij-king dus alsx2+10x +25 = 5oftewel(x +5)2= 5zodatx +5 =5 of x +5 = 5De oplossingen zijn daaromx = 5 +5 en x = 5 5Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.81IV VergelijkingenLos de volgende vergelijkingen op met behulp van de abc-formule.10.17a. x2+5x +1 = 0b. x23x +2 = 0c. x2+7x +3 = 0d. x2 x +1 = 0e. x2+11x +11 = 010.18a. x2+3x +1 = 0b. x24x +3 = 0c. x2+9x 2 = 0d. x212x +3 = 0e. x25x +1 = 010.19a. 2x2+4x +3 = 0b. 2x212x +9 = 0c. 3x2+12x 8 = 0d. 4x2+12x +1 = 0e. 6x212x 1 = 010.20a. 2x2+ x 1 = 0b. 3x2+2x +1 = 0c. 2x2+8x 2 = 0d. 6x2+18x +7 = 0e. 4x28x +1 = 010.21a. x2+2x +1 = 0b. 2x2+8x 3 = 0c. 3x2+9x 1 = 0d. 4x212x +9 = 0e. x2+ x +1 = 010.22a. 3x24x +3 = 0b. 2x2+3x +2 = 0c. 4x2+6x +5 = 0d. 6x2+18x 1 = 0e. x2 x 1 = 010.23a.12x2+ x 1 = 0b.23x2+2x 3 = 0c.12x2 x 1 = 0d.45x2+3x 2 = 0e.52x2+5x 2 = 010.24a.12x2+32x 14= 0b. 23x2+13x 12= 0c.34x2+38x 34= 0d.25x2+35x 54= 0e. 32x2+14x 18= 010.25a. x(1 x) = 2b. (3x +1)(x +3) = 1c. (x 2)(2 3x) = xd. (5 x)(5 + x) = 5e. (1 x)(2 x) = 3 x10.26a. (x24)(x21) = 5b. (1 x2)(1 +2x2) = x2c. (x 1)(x 3) = 1d.x(1 +x) = 1 xe. (1 x3)(2 x3) = x382Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.10 TweedegraadsvergelijkingenDeabc-formuleDe methode van het kwadraatafsplitsen kunnen we ook in het algemene gevaltoepassen. Om breuken in de aeiding zo veel mogelijk te vermijden, zullenwe het recept een klein beetje aanpassen.Stel dat gegeven is de tweedegraadsvergelijkingax2+ bx + c = 0met a = 0. Vermenigvuldig het linker- en rechterlid met 4a4a2x2+4ab x +4ac = 0en schrijf dit als4a2x2+4ab x + b2= b24aczodat het linkerlid een volledig kwadraat wordt, namelijk het kwadraat van2ax + b, want (2ax + b)2= 4a2x2+4abx + b2. De vergelijking wordt dan(2ax + b)2= b24acHet rechterlid b24ac wordt de discriminant genoemd. Als de discriminantnegatief is, heeft de vergelijking geen oplossingen, want het linkerlid is niet-negatief omdat het een kwadraat is.Is de discriminant positief of nul, dan geeft worteltrekken2ax + b =b24ac of 2ax + b = b24acwaaruit de oplossingen volgen:x = b +b24ac2aen x = b b24ac2aAls de discriminant nul is, vallen de beide oplossingen samen. Men schrijft deoplossingen vaak als e en formule:x1,2 = b b24ac2aDit is de beroemde abc-formule, ook wel de wortelformule genoemd.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.8311 StelselseerstegraadsvergelijkingenLos de volgende stelsels vergelijkingen op.11.1a.2x + 3y = 43x 2y = 6b.3x + 5y = 8x + 6y = 5c.5x + 2y = 32x 4y = 6d.2x + 5y = 93x + 4y = 2e.2x 4y = 34x 2y = 311.2a.2x + 5y = 15x 4y = 0b.7x 5y = 14x 7y = 13c.x 3y = 75x + 2y = 4d.2x 2y = 63x + 4y = 5e.7x + 5y = 13x 4y = 2511.3a.2x + 3y = 23x + 4y = 2b.2x 3y = 13x 4y = 0c.2x + 3y = 43x + 5y = 1d.2x 7y = 5x 4y = 1e.4x 7y = 83x 5y = 411.4a.x 5y = 43x + 4y = 1b.3x 7y = 23x 4y = 2c.2x + 9y = 5x 4y = 2d.6x + 5y = 17x + 6y = 2e.5x 3y = 78x 5y = 284Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.11 StelselseerstegraadsvergelijkingenTweevergelijkingenmettweeonbekendenStel dat van twee onbekende getallen x en y gegeven is dat ze voldoen aan elkvan de volgende twee eerstegraadsvergelijkingen:2x + 5y = 93x 4y = 2Men noemt dit een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Degetallen x en y kunnen we op de volgende manier uit dit stelsel oplossen.Vermenigvuldig in de eerste vergelijking het linker- en rechterlid met 3, en inde tweede vergelijking het linker- en rechterlid met 2, zodat de co efci entenvan x in beide vergelijkingen gelijk worden:6x + 15y = 276x 8y = 4Trek vervolgens de tweede vergelijking van de eerste af. Je houdt dan eenvergelijking over waarin alleen nog maar de onbekende y voorkomt:23y = 23met als oplossing y=1. Substitutie van deze waarde in een van de beideoorspronkelijke vergelijkingen geeft een vergelijking waaruitxkan wordenopgelost. We kiezen de eerste vergelijking:2x +5 1 = 9oftewel 2x = 4 dus x = 2.Hiermee zijn de getallen x en y gevonden. Je kunt ter controle nagaan dat decombinatie x=2 en y=1 inderdaad aan de beide oorspronkelijke vergelij-kingen voldoet.Deze methode is algemeen bruikbaar: vermenigvuldig de vergelijkingen metfactoren waardoor de co efci enten van x (of die van y) gelijk worden. Aftrek-ken geeft dan een vergelijking waarin alleen nog y (respectievelijkx) voor-komt. Daaruit kan y (respectievelijk x) worden opgelost, en substitutie vande gevonden waarde in een van de beide oorspronkelijke vergelijkingen geeftdan een vergelijking waarin alleen nog maar de andere onbekende voorkomt.Die kan vervolgens daaruit worden opgelost.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.85IV VergelijkingenLos de volgende stelsels vergelijkingen op.11.5a.x + 3y + z = 12x y 3z = 83x + 2y + 2z = 7b.x 4y + z = 22x + 3y 2z = 14x + y + z = 2c.2x + 2y + 3z = 3x 2y + 4z = 83x + y = 7d.4x 3y + z = 22x y 2z = 2x + 2y + 4z = 9e.x 3y + z = 9x y 2z = 64x + 3z = 711.6a.x 5y + z = 2x 3y 2z = 13x + 5y + 7z = 4b.2x y + 2z = 5x + y z = 33x + 2y 6z = 5c.x 6y + z = 8 y 2z = 13x + 2y + 4z = 8d.x 2y + z = 53x y 3z = 12x 3y + 2z = 8e.x 8y + 3z = 9 2y 3z = 14x + 5y = 3Bij het oplossen van de volgende stelsels vergelijkingen gebeuren er vreemdedingen. Onderzoek wat er gebeurt, en probeer het te verklaren. Wat zou je indeze gevallen verstaan onder het oplossen van het stelsel vergelijkingen?11.7a.x 2y + z = 0x y 3z = 44x + 6y + 4z = 8b.x 2y + z = 1x y 3z = 44x + 6y + 4z = 9c.x 3y + z = 12x + y = 55y 2z = 311.8a.x 3y + z = 22x + y = 45y 2z = 1b.x + 5y 2z = 52x 4z = 1x + 5y + 2z = 4c.x + 5y 2z = 42x 4z = 2x + 5y + 2z = 686Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.11 StelselseerstegraadsvergelijkingenDrievergelijkingenmetdrieonbekendenWanneer we een stelsel van drie eerstegraadsvergelijkingen hebben voor dedrie onbekenden x, y en z, kunnen we als volgt te werk gaan. Neem bijvoor-beeld het stelselx 2y + z = 0x y 3z = 44x + 5y + 9z = 9Uit de eerste twee vergelijkingen kunnen we x elimineren door de eerste vande tweede af te trekken:x 2y + z = 0 (1)x y 3z = 4 (1)y 4z = 4Uit de eerste en de derde vergelijking kunnen we x elimineren door vier maalde eerste bij de derde op te tellen:x 2y + z = 0 (4)4x + 5y + 9z = 9 (1)3y + 13z = 9Zo krijg je een stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden y en zy 4z = 43y + 13z = 9dat je op de bekende manier op kunt lossen. Hier is het handig om drie maalde eerste vergelijking bij de tweede op te tellen, met als resultaat z = 3. Sub-stitutie van deze waarde in de eerste vergelijking geefty 4 3 = 4dus y = 16. Vul je y = 16 en z = 3 in de eerste vergelijking van het oorspron-kelijke stelsel in, dan krijg jex 2 16 +3 = 0met als oplossing x = 29. Hiermee is het stelsel opgelost. De gezochte waar-den zijn x = 29, y = 16, z = 3.De methode is algemeen bruikbaar voor 3 3-stelsels: elimineer e en van deonbekendenuittweeparenvergelijkingen, loshetresulterendestelselvantwee vergelijkingen met twee onbekenden op, en bereken vervolgens via sub-stitutie ook de waarde van de ge elimineerde onbekende.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.87V MeetkundeOxyDe oude Grieken legden meer dan tweeduizend jaar geledenmet hun axiomatische methode de basis voor de ontwikkelingvan de klassieke meetkunde. In de zeventiende eeuwkwamenFermat en Descartes echter met een nieuw concept: meetkun-de met behulp van co ordinaten. Dat is inmiddels de grondslaggeworden van vrijwel alle toepassingen van de meetkunde. Indit deel behandelen we de belangrijkste eigenschappen van lij-nen en cirkels in het vlak met behulp van co ordinaten. In hetlaatste hoofdstuk zien we hoe dezelfde methoden ook toepas-baar zijn op vlakken en bollen in de ruimte.12 LijneninhetvlakIn de volgende opgaven wordt aangenomen dat in het vlak een rechthoekigco ordinatenstelsel Oxy gekozen is. Je kunt het met ruitjespapier mooi in beeldbrengen.Teken de volgende lijnen op ruitjespapier. Bepaal ook telkens de snijpuntenvan zon lijn met de x-as en de y-as (indien aanwezig).12.1a. x + y = 1b. x y = 0c. 2x + y = 2d. x +2y = 2e. x +3y = 412.2a. x 4y = 3b. 2x +8y = 10c. 3x + y = 0d. 7x 2y = 14e. 5x 2y = 412.3a. x = 0b. x = 3c. x = 2yd. y = 1e. 3x = 2y +1Teken de volgende halfvlakken.12.4a. x< 0b. x> 3c. x> yd. y < 2e. 3x< y12.5a. x + y < 2b. 2x y > 0c. 2x + y < 2d. 2x +3y < 2e. 3x +3y > 412.6a. 5x 4y > 3b. 2x +7y < 9c. 3x> y +2d. 7x +2 < ye. 5 < x +2y12.7 Teken de volgende lijnen in e en guur.a. x + y = 1, x + y = 0, x + y = 1 en x + y = 2b. x y = 1, x y = 0, x y = 1 en x y = 2c. x +2y = 1, x +2y = 0, x +2y = 1 en x +2y = 2d. 2x +2y = 1, 2x +2y = 0, 2x +2y = 1 en 2x +2y = 2e. x = 2y, x = y, x = 0, x = y en x = 2y90Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats & Rob Bosch. Bestel de gedrukte, volledige versie vandit boek (inclusief een formuleoverzicht, de antwoorden van alle op-gaven en het trefwoordenregister) via de boekhandel of electronischop de site van de uitgever: http://www.pearsoneducation.nl. Deinternetversie mag uitsluitend voor eigen gebruik worden gedown-load. De (gedownloade) internetversie mag niet verspreid wordenonderderdenof gebruiktwordenophet intranetvaninstellingen,organisaties of bedrijven.12 LijneninhetvlakDevergelijkingvaneenlijninhetvlakDe vergelijking4x +3y = 12bevat twee onbekenden x en y. Een oplossing van deze vergelijking is duseen paar (x, y) dat aan de vergelijking voldoet. Zo is bijvoorbeeld (1, 83) eenoplossing, want als jex=1, y=83invult, is aan de vergelijking voldaan.Maar er zijn nog meer oplossingen, bijvoorbeeld (3, 0), (0, 4) of (1, 163 ).In feite kun je e en van de beide onbekendenxen y vrij kiezen, waarna deander uit de vergelijking kan worden opgelost. Wanneer je in het vlak eenrechthoekig co ordinatenstelsel Oxy gekozen hebt, zijn de oplossingen van devergelijking de punten van een rechte lijn, in dit geval de lijn door (0, 4) en(3, 0). De punten(x, y)van die lijn zijn precies de punten waarvan de co-ordinaten voldoen aan de vergelijking 4x +3y = 12.De lijn met vergelijking 4x + 3y=12verdeelt het vlak in twee halfvlakken.Voor de punten die in het ene halfvlakliggen, geldt 4x + 3y> 12, voor die inhet andere halfvlak geldt 4x +3y < 12.Voor welk halfvlak welke ongelijkheidgeldt, bepaal jedoor eenpunt intevullen: deoorsprongOvoldoet aan40 + 30 12In het algemeen stelt elke vergelijking van de vormax + by = ceen rechte lijn voor. De enige voorwaarde is dat a en b niet allebei nul mogenzijn. Zon vergelijking is niet uniek bepaald: vermenigvuldig je het linker-en het rechterlid met hetzelfde getal (dat niet nul is), dan krijg je een anderevergelijking voor dezelfde lijn. Zo stelt 8x + 6y=24 dezelfde lijn voor als4x +3y = 12.De snijpunten van een lijn met vergelijking ax + by=c met de y-as vind jedoor x = 0 te stellen. Dat levert y =cb, dus het snijpunt is (0,cb). Het snijpuntmet de x-as vind je door y = 0 te stellen. Dat levert het snijpunt ( ca, 0). De lijnis horizontaal als a = 0 en verticaal als b = 0.Een lijn ligt vast als je twee punten ervan kent. In de volgende paragraaf gevenwe je een eenvoudige methode om de vergelijking van een lijn te bepalen doortwee gegeven punten.Dit is de Internetversie van Basisboek Wiskunde, tweede editie vanJan van de Craats &