PORTFOLIO WISKUNDE - WikiMedicawikimedica.medica.be/wiki/images/6/6d/Portfolio_Wiskunde.pdf ·...

PORTFOLIO WISKUNDE

Inhoudstafel

1 Basiswiskunde en rekenregels2 Elementaire functies3 Grafieken tekenen4 Recursie- en Differentievergelijking5 Limieten6 Afgeleiden7 Toepassingen van afgeleiden in calculus8 Asymptoten9 Integralen10 Differentiaalvergelijkingen11 Stelsels en Matrices12 Functies met meer variabelen13 Evenwichten en stabiliteit14 Biologische modellen

1 Janko Pallay, BMW 19 11

1 Basiswiskunde en rekenregels

1.1 Rechten

y− y1=y2− y1

x2−x1(x− x1)

l 1∥l 2 als m1=m2

l 1⊥l 2 als m1×m2=−1

1.2 Cirkel

r 2=( x−x0)2+ ( y− y0)

2 met afstandsformule (voor straal) d (P ,Q)=√(( x2−x1)2+ ( y1− y1)

2)

vb. cirkel door punt (5,7) met M (2,3)straal = √((5−2)2+ (7−3)2)=√(9+ 16)=5vergelijking: 52=(x−2)2+ ( y−3)2

1.3 Goniometriegraden360 °

= rad2π

tanθ= sinθcos θ

secθ= 1cosθ

cscθ= 1sinθ

cotθ= 1tanθ

sin 2θ+ cos2θ=1sin2θcos2θ

+ 1= 1cos2θ

tan 2θ+ 1=sec2θ

Bijzondere hoeken

α 0 π/6 π/4 π/3 π/2

Sin α 0 1/2 V2/2 V3/2 1

Cos α 1 V3/2 V2/2 1/2 0

Tan α 0 V3/3 1 V3 X

Verwante hoeken

sin (−α )=−sin (α )cos (−α )=cos(α )

tan (−α )=−tan (α )

sin(π2−α )=cosα

cos (π2−α )=sinα

tan (π2−α )=cot α

sin(π−α )=sinαcos (π−α )=−cos(α )tan (π−α )=−tan(α )

sin(π+ α )=−sin αcos (π+ α )=−cos (α )tan (π+ α )=tan(α )


Som en verschil Formules van Simpson

Dubbele hoek

Driehoekena2=b2+ c2−2.b.c.cos A

1.4 Exponentenar×a s=ar+ s

ar

as =ar−s

a−r=1a r

(a×b)r=ar×br

(ab)

r

=ar

br

(ar)s=ar×s

1.5 Logaritmenx=loga y→ y=a x

loga (x× y )=loga x+ loga y

loga (xy)=loga x−loga y

loga x r=r×loga x

loga b=log blog a

log10 x=log xloge x=ln x

loga ax=xa loga x= x


2 Elementaire functies

2.1 Even en onevenf (x )= f (−x)→ even→ y−asals symmetrief (x )=− f (−x )→ oneven→ oorsprong als symmetrie

2.2 Samengestelde functies( f o g)( x)= f ( g (x )) lees: f ná g

vb. { f x =2x3=u

g x= x3

f o g x= f g x = f x3=2x33g o f =g f x =g 2x3=2x33

2.3 Veelterm functiesf (x )=ao x0+ a1 x1+ a2 x2+ ...+ an−1 xn−1+ an x n

n is even -> functie is evenn is oneven -> functie is oneven

2.4 Rationale functies

f (x )= p( x)q( x)

q( x)≠0

Concreet: Michaelis-Menten model (enzymenreacties)

r (N )= aNk+ N

N≥0a , k=positieve constantenk=half −verzadigingsconstante

2.5 Machtsfunctiesf (x )=xr r∈ℝ

2.6 Exponentiële functiesf (x )=a x met:a=1→ constante functie y=1x=10< a< 1→ dalende functiea> 1→ stijgende functiea< 0→ onmogelijk , zie logaritmische functies (2.8)

2.7 Inverse functiesf −1( x)≠ f (x)−1

→ 1f (x )

f [ f −1(x )]= xf −1 [ f ( x)]=x

vb.f x = y=x35x3= y−5x= 3 y−5 f −1x = 3 x−5

Niet alle functie hebben inverse: één-één regelAls een horizontale lijn de grafiek slecht in één punt snijdt, heeft deze een inverse.


2.8 Logaritmische functiesZijn de inverse van exponentiële functies.

f (x )=a x→ f −1( x)=loga x a≠1,a> 0 Geen negatief logaritme!!

2.9 goniometrische functief (x )=a.sin(bx+ c)+ d met

a=amplitude2π

b= periode

c=horiz. verschd=vert. versch

3 Grafieken tekenen

3.1 Transformatiesy= f (x )

y= f (x )+ a verticale verschuiving y= f (x−c) horizontale verschuivingy=− f (x) spiegeling rond x-asy= f (−x) spiegeling rond y-as

3.2 Logaritmische ijking

3.2.1 SEMI- LOG ploty=b .a x

log y=log b .a xY=log blog ax

Y=log b x log aY=log a . xlogb y=axb

Y=axblog y=axb10log y=10axb

y=10ax .10b

y=10ax10b y=a x.b

3.2.2 LOG-LOG ploty=b xr

log y=log b xrY=log blog x r

Y=log br log xY=r Xlog b y=axb

Y=aXblog y=a log xblog y=log xab10log y=10logxab

y=10logxa

.10b

y=xa .10b y=xab


4 Recursie- en differentievergelijkingen

4.1 RecursiefN t1=N t . R

- Tijd is impliciet (niet af te lezen)- R is de groeifactor (rico van de rechte)

-N t

N t1= 1

R= ouders

kinderen=cte

4.2 ExplicietN t=N 0 Rt

- Tijd is expliciet (aflezen op x-as)- N0 is beginaantal- R is de groeifactor

R1 dan f x∞R=1 dan f x N 0

0R1dan f x0

4.3 VerschilRecursievergelijking

N t1= f N tmet gegeven N 0

DifferentievergelijkingN= f N t−N t=g N tmet gegeven N 0

5 Limieten

5.1 Bestaande limietenvb. lim

x5x2=25

5.2 Linker- en rechterlimiet

vb.

limx0+

∣x∣x =1

limx0-

∣x∣x=−1

limx0

∣x∣x=onbestaand


5.3 Onbestaande limieten

vb. limx∞sin x =onbestaand Want sin x varieert tussen -1 en 1 (divergeert)

5.4 Rekenregelslimx ca.f x =a lim

xcf x

limx c[ f xg x ]=lim

x cf xlim

xcg x

limx c[ f x .g x ]=lim

xcf x. lim

xcg x

limx c

f xg x

=limxc

f x

limxc

g xals g x≠0

5.5 Continuïteitx=c lim

x cf x= f c dan is de functie continu in c

5.6 Limieten bij oneindig

limx∞

f x =limx∞

p x q x

={0L≠0bestaat niet∞

als gr pgr q als gr p=gr q als gr pgr q

5.7 Sandwich theoremaAls f x ≤g x≤hx en lim

xcf x =lim

xchx =L

dan limxc

g x=L

vb.

limx∞e−x . cos10x

−1≤cos10x≤1−e− x≤e−x . cos10x≤e−x

limx∞−e−x =lim

x∞e−x=0

dus limx∞e−x . cos10x=0

5.8 Bijzondere goniometrische limieten

limx0

sin xx=0 lim

x0

1−cos xx

=0


6 Afgeleiden

6.1 AlgemeenN t=

N th−N t th−t

=N th−N t

hDit is de gemiddelde verandering

= rico van rechte door [t, N(t)] en [t+h, N(t+h)]

Voor ogenblikkelijke verandering moet het interval zo klein mogelijk zijn, dus h zo klein mogelijk

limh 0

N th−N t h

f ' x= limh0

f xh− f x h

,indien limh 0

bestaat (Rechte)

f ' c=limh 0

f ch− f ch =rico raaklijn in punt C (Getal)

vergelijking raaklijn: y− f c = f ' cx−c

vergelijking normaal (loodrecht op raaklijn): y− f c = −1f ' c

x−c

Notatie:

nde afgeleide: d n ydxn

6.2 Toegepaste voorbeelden6.2.1 Afgeleide van een constante functie f(x)=a

f ' x=limh 0

f xh− f xh

=limh0

a−ah=lim

h0

0h=0

opm.: h≠0 maar NADERT 0 lang rechts en links (anders delen door nul!)6.2.2 Afgeleide van een lineaire functie f(x)=mx+b

f ' x=limh 0

f xh− f xh

=limh0

m xhb−mxbh

=limh0

mxmhb−mxbh

=limh0

mhh=m

opm.: h≠0 maar NADERT 0 lang rechts en links (anders delen door nul!)Men ziet dat een constante functie een bijzonder geval is van de lineaire functie, met m=0.

6.3 Productregelh ' x= f ' x . g x g ' x . f x

h x = f x . g x dus rechthoekh x x = f x x. g x x

Alles delen door Δx en limieten nemen


hx x−hx =opp 1opp 2[ f x x − f x ]×g x[ g x x−g x ]× f x x

6.4 Quotiëntregel

h ' x= f ' x×g x −g ' x × f x g x 2

6.5 Kettingregel f o g ' x = f ' [ g x ]×g ' x

vb. dydx3x2−12=2×3x2−1×3

6.6 Impliciet afleiden

Strategie: Afleiden naar x, dan oplossen naar dydx

vb.

dydx

van y3 x2− y x2 y2=x

ddx

y3 x2−ddx

y xddx

2 y2=ddx

x

2 x y3x23 y2 dydx−[ ydy

dx x]4 y dy

dx=1

dydx3 y2 x2−x4y2 x y3− y=1

dydx= y1−2 x y3

3 y2 x2−x4 y

ddx

y3 x2=2 x y3 x23 y2 dydx

ddx

y x=1 ydydx x

ddx

2 y2=4 y dydx

6.7 Afgeleiden van goniometrische functies

6.8 Afgeleiden van exponentiële functiesddx=ax= d

dxe ln ax

=e ln ax ddx x ln a =a x ln a

ddx

e g x=eg x ×g ' x


6.9 Afgeleide van inverse functiesddx

f −1x = 1f ' [ f −1x ]

of dydx= 1

dydx

6.10 Afgeleide van logaritmische functiesddx

ln x= f −1x = 1f ' [ f −1x]

= 1eln x=

1x

ddx

loga x= ddx

ln xln a=

1x

ln a−0. ln x

ln a 2= 1

x ln addx

ln f x= f ' x f x vb.

ddx

ln 3x= 33x=1

xddx

ln x21= 2xx21

7 Toepassingen van afgeleiden in calculus

7.1 Mean Value theoremAls f continu is over [a,b] en afleidbaar over ]a,b[ dan bestaat een punt c Є ]a, ,b[ zodat

f b− f a b−a

= f ' c

7.2 Stijgen of dalenf ' x0∀ x∈a ,b f is stijgend over [a ,b]f ' x0∀ x∈a ,b f is dalend over [a ,b]

7.3 Hol en bolf ' ' x 0∀ x∈[a ,b] f ishol over [a ,b]f ' ' x 0∀ x∈[a ,b] f is bol over [a ,b ]

7.4 Relatieve extremaf ' c=0en f ' ' c0 relatief minimum voor x=cf ' c=0en f ' ' c0 relatief maximum voor x=c

7.5 Buigpuntenf ' ' c =0en f ' ' verandert van teken x=c is buigpunt

7.6 Regel van l'Hospital∀ lim

x af x =lim

xag x=0

∀ limx a

f x =limxa

g x=∞

als limx a

f x g x

=L

dan limxa

f ' xg ' x

=L

vb.

limx2

x6−64x2−4

=00

MAAR

limx2

x6−64x2−4

=limx2

6 x5

2 x =6×25

2×2 =6×23=48


7.7 LinearisatieOver een kort interval kan de raaklijn de oorspronkelijke functie benaderen.

L x= f a f ' a x−a≈ f xvb. Waarde van √65=?

We weten dat f x = x en f ' x= 12 x

en kennen √64 in de buurt van √65.

L x= f a f ' a x−a = f 64 f ' 6465−64=8 1161=8,0625≈8,062257

8 Asymptoten

8.1 Verticale asymptootlimxc+

f x =±∞ of limxc -

f x =±∞ x=cVA

Kortom: nulpunten van de noemer die geen nulpunten van de teller zijn

8.2 OpeningenNulpunten van de noemer die wel nulpunten van de teller zijn

8.3 Horizontale asymptotenlim

x∞f x =b of lim

x−∞f x =b y=bHA

Kortom: gedrag van functie naar oneindig, dus limiet nemen. (Coeff. Hoogste graad teller/ coeff. Hoogste graad noemer)

8.4 Schuine asymptootEnkel als: graad teller = graad noemer +1Euclidische deling uitvoeren, rest gaat naar 0 bij x→oneindig


9 Integralen

9.1 Riemann som

- f(x) is het integrand- a is de ondersom- b is de bovensom

- ck is het midden van Δxk

- ck . xk = Opp. Rechthoek

- som v. Opp= integraal

9.2 Eigenschappen

∫a

a

f x dx=0

∫a

b

f x dx=−∫b

a

f xdx

∫a

b

k f x dx=k∫a

b

f xdx k=cte

∫a

b

[ f xg x]dx=∫a

b

f xdx∫a

b

g xdx

∫a

b

f x dx=∫a

c

f x dx∫c

b

f xdx

als f x ≥0over [a ,b] geldt

∫a

b

f x dx≥0

als f x ≤g xover [a ,b ] geldt

∫a

b

f xdx≤∫a

b

g xdx

als m≤ f x≤M over [a ,b] geldt

m b−a ≤∫a

b

f xdx≤M b−a

9.3 Fundamentele stelling van de calculus (1)

Als f continu is over [a, b], dan is de functie F gegeven door F x =∫a

x

f udu a≤x≤b is

continu over [a, b] en afleidbaar over ]a, b[ met ddx

F x = f x .

M.a.w. Is een integraal het inverse van een afgeleide.

9.4 Fundamentele stelling van de calculus (2)

Als f continu is over [a, b] dan geldt ∫a

b

f x dx=F b−F a waar F(x) de primitieve functie is

van f(x), zo dat F'(x)=f(x).


∫a

b

f x dx= lim∣∣P∣∣0∑k=1

n

f ck xk

9.5 Primitive functies (anti-afgeleiden)

F x =∫a

x

f udu=∫a

b

f udu∫b

x

f udu=CG x

Primitieve functies van eenzelfde functie f(u) verschillen onderling slecht in een constante (C).

∫ f xdxonbepaalde integraal

=C∫a

x

f udu

9.6 Formules voor integralen

9.7 Toepassingen9.7.1 Oppervlakteberekening

Als f en g continu zijn over [a, b] en f(x) ≥ g(x) ∀ x Є [a, b] dan is de oppervlakte tussen f en g over

[a, b] gelijk aan A=∫a

b

[ f x−g x ] dx

9.7.2 Cumulatieve verandering

Definitie onbepaalde integraal (9.5)

N(t) – N(0) is de cumulatieve verandering (van populatiegrootte tussen 0 en t)


dNdt= f t

∫ dNdt=∫

0

t

f uduC

N t =∫0

t

f uduC

N t =∫0

t

f uduN 0

N t −N 0=∫0

t

f udu

N t −N 0=∫0

t dNdu

du

C=?

N 0=∫0

0

f uduC=0C=C

9.7.3 Gemiddelde waardenAls f continu is over [a, b] dan is de gemiddelde waarde van f over [a, b]

f gem=1

b−a∫ab

f x dx

Ook bestaat er een punt c Є [a, b] zodat f c b−a=∫a

b

f xdx

9.7.4 Volume van omwentelingslichamen

V=∫a

b

[ f x ]2 dx

9.8 Substitutie als oplosmethode

∫ f [ g x] .g ' xdx=∫ f u duWerkwijze:

∫ 1x ln x

dxu=ln xdudx=1

xA dx=x du

∫ 1x ln x

=∫ 1xu

xdu=∫ 1u

du ln∣u∣c ln∣ln∣xc

Opm: Bij bepaalde integralen: ook grenzen aanpassen

vb. ∫1

2 3x21x3 x

dx

u=x3xdudx=3 x21

BOVENDIENals x=1 u=2als x=2u=10

∫2

10 duu[ ln∣u∣]2

10=ln 10−ln 2=ln 102=ln 5

9.9 Splitsen in partieelbreuken als oplosmethode9.9.1 Noemer bevat verschillende factoren met nulpunt1

x x−1 A

x B

x−1=

Ax−1B xx x−1

= ABx−A

x x−1 A=−1

B=11x x−1

=−1x1

x−19.9.2 Noemer is een product van gelijke factoren met nulpunt

1)

x x12

Ax1

B x12

=A x1 x12

B x12

=Ax1Bx12

=AxABx12

A=1B=−1

xx12

=1x1

−1x12

2) 1

x2x1 A

x B

x2C

x19.9.3 Noemer met verschillende factoren zonder reëel nulpunt

2 x3−x22 x−2x22x21

A xBx22

C xDx21

9.9.4 Noemer met gelijke factoren zonder reëel nulpuntx2x1 x212

A xBx21

C xDx212


9.10 Partiële integratie als oplosmethode

∫u dv=uv−∫ v duvb. ∫ x sin x v '=sin x v=−cos x

u=x u '=1∫u dv=uv−∫ v du=x −cos x −∫−cos x1=−x cos xsin x

9.11 Hulpmiddeltjes voor de oplossing van integralen

– Herschrijf de integraal: tan x= sincos x

– Vereenvoudig integraal – Herschrijf u: u=2x-1 → x=1/2(u-1) ∫ x 2 x−1– Vermenigvuldig met 1 (Part. Integreren): u= f(x), v'=1– Herhaaldelijk integreren (sin, cos, e)– Euclidische deling bij rationale functies

– “+ a – a” x

x−2= x2−2

x2=1− 2

x2– meestal: u=veelterm, ln, Bgtan, Bgsin ..– meestal: v=sin, cos, ex...– x2−2 x5=x 2−2 x14=x−124

10 Differentiaal vergelijkingen

10.1 Algemeen

vb. d 2 ydx2

dydx= x y is een vergelijking die de vergelijking van een afgeleide functie bevat.

Differentiaal vergelijkingen van de vormdydx= f x g y worden opgelost m.b.v. scheiding van

variabelen.

Delen door g(y)

stel y= u(x), dan is dy/ dx = u'(x)

integreren naar x

g(u(x)) = g(y) & u'(x) dx = dy


dydx= f x g y

1

g y dydx= f x

1

g u x u ' x = f x

∫ 1g u x

u ' x dx=∫ f xdx

∫ 1g y

dy=∫ f x dx

10.2 Pure time vergelijkingenEnkel afhankelijk van de tijd (x)

dydx= f x

∫ dy=∫ f x dxy=∫ f xdx

10.3 Autonome vergelijkingendydx=g y

dyg y

=dx

10.3.1 g y =k y−a dyy−a

=k dx y≠a

∫ dyy−a

=∫ k dx

ln∣y−a∣=k xC1

∣y−a∣=ek xC 1

∣y−a∣=eC 1ek x

y=±eC1 ek xay=C. ek xa met C=±eC1

10.3.2 g y =k y−a y−b– a=b

∫ dy y−a y−a

=∫ dy y−a2

=∫ k dx

−1y−a

=k xC y=a−1k xC

– a≠b

∫ dy y−a y−b

=∫ k dx oplossen met partieelbreuken (9.9)

1a−b

[ ln∣y−a∣− ln∣y−b∣]=k xC1

[...]

y=a−bC e ka−b x

1−C ek a−b x

10.4 Allometrische groei1L1

dL1

dt=k 1

L2

dL2

dtals k=1 → isometrischals k≠1 → allometrischIntegreren geeft: L1=C L2

k


11 Matrices en lineaire algebra

11.1 Stelsels vergelijkingen

Stelsels worden opgelost door substituties, eliminatie of gelijkstelling.

11.2 Het begrip matrix

met m = # rijen n = # kolommen

m x n de dimmensie van de matrix

11.3 Matrix transponeren

A=[1 42 53 6] A '=[1 2 3

4 5 6] Gerbuikt voor betere leesbaarheid in teksten.

11.4 Bewerkingen met matrices11.4.1 Optellen

AB=BAABC=ABC A0=A 0=nulmatrix

11.4.2 Vermenigvuldigen!! Volgorde belangrijk !!!! # kolommen A = # rijen B!!

Als A=[aij ] m× len B=[b ij] l×n

DAN C=ABm×n

en [cij ]=∑k=1

l

a ik bkj

Komt neer op vermenigvuldigen van ide rij met jde kolom.

ABC=ACBCABC =ABACABC=ABC A0=0 A=0An×n Ak=A k−1 A=A Ak−1

vb. A2=A A A3=A A A


[ a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn]

11.5 Eenheidsmatrix

Vermenigvuldigen met eenheidsmatrix [1 0 00 1 00 0 1] levert geen verandering op.

A I=I A=AI k= I k∈ℤ

11.6 Inverse matrixAls A een inverse matrix A−1 heeft, geldt A A−1¿ A−1 A= IIndien A geen inverse matrix A−1 heeft, noemt men A singulier, indien wel heet A nonsingulier.A−1−1=AAB −1=A−1 B−1

Als A=[a11 a12

a21 a22]dan A−1= 1

a11 a22−a21 a12 determinant

×[ a11 −a12

−a21 a22 ]11.6.1 Berekenen van inverse matrix

[a bc d∣1 0

0 1] omvormentot

[1 00 1∣e f

g h ]

[e fg h ] = [a b

c d ]−1

11.7 Leslie Matrix11.7.1 Algemeen

← # 0-jarigen← # 1-jarigen← # 2-jarigen← # m-jarigen

Aantal 1-jarigen volgend jaar = aantal 0-jarigen die dit jaar overleven met P0 de overlevingskans.

Aantal 0-jarigen volgend jaar=aantal nakomelingen van alle generaties dit jaar met F0

de vruchtbaarheidscijfer.

11.7.2 Stabiele leetijdsverdelingAls men herhaaldelijk de Leslie-matrix uitvoert, stelt men volgende relaties vast.


N t =[N 0 t N 1t N 2 t N m t

]N 1t1=P0 N 0t N 2t1=P1 N 1t

N m t1=Pm−1 N m−1N 0t1=F 0 N 0t F 1 N 1t ...F m N mt

L=[F 0 F 1 ... F m−1 F m

P0 0 ... 0 00 P1 ... 0 0... ... ... ... ...0 0 0 Pm−1 0

] N t1=L N t

←verhouding 0-jarigen over totaal = leeftijdsverdeling

De grootste eigenwaarde bepaalt de groei van de populatie bij een Leslie matrix. De overeenkomstige eigenvector is de stabiele leeftijdsverdeling.

11.8 Vectoren

x=[x1

x2]x=[r cos

r sin ]∣x∣= x1

2x22

x=[x1

x2] , y=[ y1

y2] x y=[ x1 y1

x2 y2] a x=[a x1

a x2]11.9 Lineaire afbeelding

[a 00 b][ x1

x 2]=[a x1

b x2] enkel uitrekken/inkrimpen

[x1

x2]=[r cosrsin ] R=[cos −sin

sin cos ]R[r cos

r sin ]=[r cos cos−sin sinr sincoscos sin]=[r cos

r sin ]gedraaid over een hoek θ

11.10 Eigenwaarden en eigenvectorenAls A een vierkantmatrix (n x n) is, dan is een niet-nulvector x dat voldoet aan A x= x een eigenvector van matrix A en is λ een eigenwaarde van matrix A.

11.10.1 Eigenwaarden en eigenvectoren berekenenA x= xA x− x=0A x− I x=0A− I x=0det A− I =0 zodat x≠0

det[a bc d ]−[− 0

0 −]=det[a− bc d−]=0


q0t =N 0t

N 0t1

q1t =N 1t

N 1t1}limt∞q0=lim

t∞q1=cte

p t =N 0t

N 0t N 1t =cte

vb.

A=[5 7−2 −4]

det[5− 7−2 −4−]=0

5−−4−−−2×7=01=3 of 2=−2

1=3

[5−3 7−2 −4−3][ x1

x2]=[00]2 x17 x 2=0−2 x1−7x2=0} x1=1, x2=

−27 u1[1−2

7 ]2=−2analoog

Grafisch:

U 1=[U a U b]U 2=[U cU d ]

Als 1≠2 dan zijn u1 en u2 lineair onafhankelijk.Gevolg: Men kan elke vector x schrijven als lineaire combinatie van twee eigenvectorenrightarrow x=a1 u1a2 u2

11.11 Toepassing: Macht van een matrix maal een vectorAn x=a11 u1a22 u2

A=[1 23 2] vraag : A10 x met x=[41]

{1=−1u1=[ 1−1]

2=4u2=[23]

[41 ]=a1[1−1]a2[23 ]={4=a12a2

1=−a13a2

{a1=2a2=1

A10 x=2×−110×[1−1]1×410×[23]=[20971543145 726]


12 Functies met meer variabelen

12.1 Algemeenvb. f x , y =sin xcos y De functie f is afhankelijk van x én y.Functies met twee variabelen worden voorgesteld op een driedimensionaal assenstelsel.

f x , y =sin xcos y

12.2 Partieel afgeleidenAls f een functies is met twee variabelen x en y, dan is de partieel afgeleide naar x gelijk aan∂ f x , y ∂ x

= f x x , y=limh0

f xh , y − f x , y h

en de partieel afgeleide naar y gelijk aan∂ f x , y ∂ y

= f y x , y =limh0

f x , yh− f x , y h

Praktisch komt het overeen met één variabele vastzetten en behandelen als een constante en afleiden naar de andere variabele.

vb.

f x , y =x2 ysin x∂ f x , y∂ x

=2 y xcos x

∂ f x , y∂ y =x2

12.2.1 Partiële afgeleiden van een hogere orde

f y x x , y= ∂2 f∂ x∂ y

=∂ f∂ x ∂ f

∂ y in dit geval eerst afleiden naar y, dan naar x.

12.3 Raakvlakken

Vergelijking van het raakvlak z: z−z0=∂ f x0, y0∂ x

x−x0∂ f x0, y0∂ y

y− y0

vb.

z= f x , y =4x2 y2 punt 1,2 ,8∂ f∂ x=8x1,2 ,88×1=8

∂ f∂ x=2y1,2,82×2=4

z−8=8 x−14 y−28 x4 y− z=8


12.4 DifferentieerbaarheidDe lineaire benadering van f x op x= x0 is L x= f x0 f ' x0x− x0De afstand tussen f x en L x is ∣ f x−Lx ∣=∣ f x − f x0− f ' x0x−x0∣Delen we de afstand door de afstand tussen x en x0 , namelijk ∣x−x0∣ vinden we dat∣ f x−Lx ∣∣x−x0∣

=∣ f x −L xx−x0 ∣=∣ f x− f x0− f ' x0x− x0

x− x0∣=∣ f x − f x0

x−x0− f ' x0∣

Vervangen we f ' x0 door f x − f x0

x− x0en de limiet neemt, krijgt men

limx x 0∣ f x −L x

x−x0∣=0 . We zeggen dat f differentieerbaar is, als het hieraan voldoet.

Voor functies met twee onafhankelijke variabelen geldt dat ze differentieerbaar zijn in x0, y0

wanneer: limx , y x0, y0 ∣ f x , y−Lx , y

x−x02y− y0

2∣=0

Voor L x , y zie wat volgt

12.5 LineariseringAls f differentieerbaar is in x0, y0 dan is de linearisatie gegeven door:

L x , y = f x0, y0∂ f x0, y0∂ x

x−x0∂ f x0, y0∂ y

y− y0

De benadering L x , y ≈ f x , y heet standaard lineaire benadering of raakvlakbenadering.

12.6 Vector valued functionsWat als f :ℝnℝm

x1, x2, ... , xn[ f 1 x1, x2,... , xnf 2 x1, x2,... , xn

...f m x1, x2, ... , xn

]

Concreet voor f :ℝ2ℝ2

x , y [ f x , y g x , y ]

De linearisatie is

f x , y= f x0, y0∂ f x0, y0∂ x

x−x0∂ f x0, y0∂ y

y− y0

gx , y=g x0, y0∂ g x0, y0∂ x

x−x0∂ g x0, y0∂ y

y− y0

L x , y =[x , y x , y ]=[ f x0, y0

g x0, y0][ ∂ f x0, y0∂ x

x−x0∂ f x0, y0∂ y

y− y0

∂ g x0, y0∂ x

x−x0∂ g x0, y0∂ y

y− y0 ]

L x , y=[ f x0, y0g x0, y0][ ∂ f x0, y0

∂ x∂ f x0, y0∂ y

∂ g x0, y0∂ x

∂ g x0, y0∂ y

]

JacobiMatrix

[ x−x0

y− y0]


f i :ℝnℝm ,i=1,2 , .. , n

x1, x2,... , xn=[x1

x2

...xn][ f 1x1, x2,... , xn

f 2x1, x2,... , xn...

f mx1, x2,... , xn] Jacobi=[

∂ f 1

∂ x1...

∂ f 1

∂ xn

... ...∂ f m

∂ x1...

∂ f m

∂ xn

]Linearisatie van f in het punt x1* , x2“∗” , ... , x n* is dan

13 Evenwichten en stabiliteit

13.1 Evenwichten van differentievergelijkingenx t1= f x t t=0,1,2 , ...

Vaste punten: AnalytischGrafisch (snijpunten van 2 rechten)

13.2 Stabiliteit van evenwichten van differentievergelijkingenEen evenwicht x* van x t1 is stabiel als ∣ f∣' x “∗”1Bewijs:

Linearisering in x= x*

substitutie van x= x* z t

evenwicht, dus: f x *= x* , x* dan schrappen

Lineaire benadering

Vorm van exponentiële groei y t1=R y t met oplossing y t= y0 Rt

Voor ∣R∣1 geldt limx∞

Rt=0 . Hier is ∣R∣=∣ f ' x *∣ .

Dus als ∣ f ' x *∣1 zal z t naderen naar z *=0 en dus x t x als t∞ .

vb.

x t1=14−5

4x2 t=0,1 ,2 ,...

x=15

of x=−1

f ' x =−52 x

∣−52×1

5∣=∣−12∣1

stabiel

en ∣−52×−1∣=∣52∣1

onstabiel


x= f xx t1= f x t x t1=x t

x t=x*zt

x t1= f x t= f x *z t

L x= f x* f ' x*x−x *

L x* zt= f x * f ' x * z t

x t1=x*z t1≈ f x* f ' x * zt

z t1= f ' x* z t

L x1* , ... , xn*=[ f 1 x1 * , ... , xn *f 2 x1* , ... , xn*

...f m x1* ,... , xn*] J x1* , ... , xn *[ x1− x1*

...xn− xn*]

13.3 Evenwichten van differentiaalvergelijkingen

Als y een evenwichtspunt is van dydx=g y en dus g y =0 dan is:

y stabiel als de functie terugkeert naar y na een kleine storingy onstabiel als de functie niet terugkeert naar y na een kleine storing

13.4 Stabiliteit van evenwichten van differentiaalvergelijkingen13.4.1 Analytisch

Bewijs:

Stel y is een evenwichtspunt is van dydx=g y en dus g y =0

y=cte dus afgeleide is nul

Linearisering in y=y

Substitutie van y=y z

Lineaire benadering

Stel =g ' y , dan is z=g yz =dzdx met oplossing: z x=z 0e x .

Als 0 , is limx∞

z x =0 .

Als 0 keert de functie terug naar haar evenwichtswaarde → stabiel evenwicht Als 0 keert de functie niet terug →onstabiel evenwicht. Gevolg uit z x=z 0e x

als 0 , hoe groter λ, hoe sneller het weggaat van de evenwichtswaardeals 0 , hoe negatiever λ, hoe sneller het terugkeert naar evenwicht.λ is een eigenwaarde en is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van g(y) in y

13.4.2 GrafischIs de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van g negatief (dalende functie) in een evenwichtspunt → stabiel evenwicht

y=yz−0, 0

als z0dydx0 y zal stijgen

als z0dydx0 y zal dalen

− y1, 0

als z0dydx0 y zal dalen

als z0dydx0 y zal stijgen

Boven x-as: pijltjes naar rechts Evenwicht stabiel als pijltjes Onder x-as: pijltjes naar links er naartoe aan


y=y zddx

y=ddx yz =d

dxz

dzdx=g y z

L y=g yg ' y y−y

L y=0g ' y y−y

L yz =g ' y yz−y =g ' y z

g ' y z≈g y z

13.5 Evenwichten en stabiliteit bij stelsels van differentiaalvergelijkingen (lineair)

[x1t1x2 t1]=[a11 a12

a21 a22]×[x1t x2t ]

x t =x t1 is het evenwicht en dit gebeurt als x t =[00]We schrijven

x 0=c1 u1c2 u2

x t =c11t u1c22

t u2(vector=lineaire combinatie van eigenvectoren, 11.10)

Als en slecht als ∣1∣1 én ∣2∣1 geldt limx∞

x t =[00] → Stabiel

Opm. 1 en2∉ℝ det A1 STABIEL

vb.

[x1t1x2t1]=[−0,4 0,2

−0,3 0,1]×[ x1t x2t ]

[00]is een evenwicht.

det [−0,4− 0,2−0,3− 0,1]

−0,4−0,1−−0,2−0,3 met {1=−0,12=−0,2} STABIEL

13.6 Evenwichten en stabiliteit bij stelsels van differentiaalvergelijkingen (niet-lineair)

{x1t1=F x1t , x2 t x2t1=G x1t , x2 t

met x1* , x2* als evenwichtspunt dat geldt voor

x1*=F x1* , x2* en x2 *=G x1* , x2*x1t =x1*z t en x2t =x2 *z t

L1 x1, x2=F x1 * , x2 *∂F x1 * , x2 *∂ x1 x1−x1* ∂F x1* , x2*

∂ x2 x 2−x2 *

=F x1* , x2*∂ F x1* , x2*∂ x1 z1t ∂F x1* , x2*

∂ x 2 z2t

x1 *z1t1≈F x1* , x2*x1*

∂F x1 * , x2 *∂ x1 z1t ∂ F x1 * , x2 *

∂ x2 z 2t

z1t1≈∂F x1 * , x2 *∂ x1 z1t ∂ F x1 * , x2 *

∂ x2 z 2t

L2x1, x2=G x1* , x2*∂G x1 * , x2 *∂ x1 x1−x1* ∂G x1* , x2*

∂ x2 x2− x2*

=G x1* , x2*∂G x1 * , x2 *∂ x1 z1 t ∂G x1 * , x2 *

∂ x2 z 2t

x2*z2t1≈G x1 * , x2 *x2*

∂G x1 * , x2 *∂ x1 z1t ∂G x1 * , x2 *

∂ x2 z2 t

z 2t1≈∂G x1 * , x2 *∂ x1 z1t ∂G x1 * , x2 *

∂ x2 z 2t


In matrix vorm

[z1 t1z 2t1]≈[ ∂F x1* , x2*

∂ x1 ∂F x1 * , x2 *∂ x2

∂G x1* , x2*∂ x1 ∂G x1* , x2*

∂ x2 ]×[ z1t z 2t ]

Men herkent hier de Jacobi-Matrix. Analoog aan de lineaire stelsels (13.5) kunnen we besluiten dat als beide eigenwaarden van de Jacobi-Matrix kleiner zijn dan 1 in hun absolute waarde, het evenwichtspunt stabiel is.Opm. 1 en2∉ℝ det A1 STABIEL


PORTFOLIO WISKUNDE - WikiMedicawikimedica.medica.be/wiki/images/6/6d/Portfolio_Wiskunde.pdf ·...

Documents

Transcript of PORTFOLIO WISKUNDE - WikiMedicawikimedica.medica.be/wiki/images/6/6d/Portfolio_Wiskunde.pdf ·...