Rekenregels van machten - mathima.be · G18 70 rekenregels van machten Op verkenning Machten...
Transcript of Rekenregels van machten - mathima.be · G18 70 rekenregels van machten Op verkenning Machten...
69
A B C Verder oefenen?
1 Welke uitdrukking is gelijk aan 100? –100 1 ( 2 · 5 ) 2 25 4 oef. 67
2 Welke macht is het grootst? 5 –2 ( –3 ) 0 ( 1 ��4 ) –1 oef. 68
3 Welk getal is het grondtal in de macht – 2 3 ? 2 –2 3 oef. 63
InhoudG18 Machten vermenigvuldigen en delen p. 70G19 Een macht tot een macht verheffen p. 74G20 Een product en een quotiënt tot een macht
verheffen p. 76G21 Rekenregels van machten noteren in symbolen p. 80
Dit heb je nodig• leerwerkboek p. 69 - 82• oefenboek nr. 293 - 354• rekenmachine
Test jezelfElke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.
Dit kun je al1 machten met een natuurlijke exponent berekenen2 machten met een gehele exponent berekenen3 terminologie in verband met de machtsverheffing correct gebruiken
Rekenregels van machten4
( 2 · 5 )2
( 1�4 )–1
2
G18
70 rekenregels van machten
Op verkenning
Machten vermenigvuldigen en delen
a Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen• Vul de tabel in.
2 3 · 2 6 a 2 · a 5
Noteer elke macht als een vermenigvuldiging. = ( ) · ( ) =
Werk de haakjes weg. = =
Welke eigenschap pas je toe?
Noteer het resultaat als één macht.= =
• Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
noteer elke macht als een vermenigvuldiging noteer indien mogelijk het resultaat als één macht
a 3 · a 2 =
( –1 ��2 ) 2 · ( –1 ��2 ) = 6 2 · 4 2 =
3 –2 · 3 3 =
x · x 3 · x –2 =
a 6 · b =
5 –3 · 5 –2 =
• Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat doe je telkens met het grondtal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat doe je telkens met de exponenten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Je ontdekte hoe je machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
– Neem 2 3 · 2 6 = 2 3+6 = 2 9
– Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 3 en 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.
– Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Noteer a –3 met een positieve exponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welk getal kun je a zeker niet vervangen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 · 2 · 2
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 a · a · a · a · a · a · a
(a · a) · (a · a · a · a · a)
29 a7
Het vermenigvuldigen is associatief in q.
Het vermenigvuldigen is associatief in q.
(a · a · a) · (a · a) = a · a · a · a · a
[ ( –1 ��2 ) · ( –1 ��2 ) ] · ( –1 ��2 ) = –1 ��2 · –1 ��2 · –1 ��2
6 · 6 · 4 · 4
1 ��3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 · 3 · 3 ��3 · 3 = 3
x · (x · x · x) · 1 ��x · x = x · x · x · x ��x · x = x · x
(a · a · a · a · a · a) · b
1 ��5 · 5 · 5 · 1 ��5 · 5 = 1 ��5 · 5 · 5 · 5 · 5
a5
( –1 ��2 ) 3
62 · 42
3
x2
a6 · b
1 ��55 = 5–5
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Als de factoren machten zijn met hetzelfde grondtal.Je behoudt het grondtal.Je telt de exponenten op.
ak · ap = ak + p
Door alle gehele getallen. 1 ��a3 Door 0; 1 ��0 is niet gedefinieerd.
Door alle rationale getallen,maar niet door 0.
�
71
Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen
Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen:• Behoud het grondtal.• Tel de exponenten op.
a is een rationaal getal verschillend van 0k en p zijn gehele getallen.
a k · a p = a k+p 5 2 · 5 3 = 5 2+3 = 5 5 a –8 · a –3 = a –8+ ( –3 ) = a –11 = ( 1 ��a ) 11
= 1 �� a 11
CONTROLE 11 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
5 2 · 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 6 · d –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 3 · 6 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 9 · a –14 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b Machten met eenzelfde grondtal delen• Vul de tabel in.
2 6 �� 2 2 ( a ≠ 0 ) a 2 : a 5
Noteer elke macht als een vermenigvuldiging. = =
Vereenvoudig. = =
Noteer het resultaat als één macht.= =
• Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor ≠ 0.
noteer elke macht als een vermenigvuldiging noteer indien mogelijk het resultaat als één macht
4 6 �� 4 2 =
( –5 ) 3 : ( –5 ) 2 =
h 2 �� h 2 =
3 2 �� 2 3 =
2 –4 : 2 3 =
z 3 : z –2 =
10 3 : 3 –3 =
a –3 : a –3 =
• Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat doe je telkens met het grondtal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat doe je telkens met de exponenten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 + 1 = 53 = 125 125 · 216 = 27 000d6 + (–6) = d0 = 1 a9 + (–14) = a9 – 14 = a–5 = 1 ��a5
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
2 · 2 · 2 · 2
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4
(–5) · (–5) · (–5)4 · 4
44
h0 = 1 h · h ��h · h
1 ��27 = 2–7 1 ��2 · 2 · 2 · 2 : (2 · 2 · 2) = 1 ����2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
103 · 3310 · 10 · 10 : 1 ��3 · 3 · 3 = 10 · 10 · 10 · 3 · 3 · 3
(–5)1 = –5
32 ��23 3 · 3 ��2 · 2 · 2
z5z · z · z : 1 ��z · z = z · z · z · z · z
a0 = 1
Als het deeltal en de deler
Je behoudt het grondtal.Je bepaalt het verschil van de exponent van het deeltal en de exponent van de deler.
machten zijn met hetzelfde grondtal.
1 ��a · a · a : 1 ��a · a · a = 1 ��a · a · a · a · a · a = a · a · a ��a · a · a
(–5) · (–5)
24 1 ��a3 = a–3
1 ��a · a · a
a · a2 · 2 a · a · a · a · a
G18
72 rekenregels van machten
Oefeningen
Machten vermenigvuldigen en delen (vervolg)
• Je ontdekt hier hoe je machten met eenzelfde grondtal deelt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
– Neem 2 6 : 2 2 = 2 6–2 = 2 4
– Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 2 en 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.
– Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Noteer a –3 met een positieve exponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welk getal kun je a zeker niet vervangen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal delen
Machten met eenzelfde grondtal delen:• Behoud het grondtal.• Trek de exponenten van elkaar af
(exponent van het deeltal – expo-nent van de deler).
a is een rationaal getalverschillend van 0.k en p zijn gehele getallen.
a k : a p = a k – p
9 8 : 9 6 = 9 8–6 = 9 2 = 81
( x ≠ 0 ) x 9 �� x 2 = x 9–2 = x 7
10 –4 : 10 –2 = 10 –4–(–2) = 10 –4+2 = 10 –2 =
( 1 ��10 ) 2 = 1 �� 10 2 = 1 ��100
CONTROLE 12 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
15 8 �� 15 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 3 : 6 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 7 : d 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p 9
�� p –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
1 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
WEER? 293 - 296
MEER? 297 - 299
a 5 3 · 5 = ������������������
b a 6 · a 35 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c b 102 · b –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 4 2 – 4 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 1 45 · 1 14 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 10 2 · 2 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
WEER? 300 - 302
MEER? 303 - 306
a 4 4 ��4 = ������������������
b 125 5 �� 125 4
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c d 2 : d 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 3 8 : 3 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 6 2 : 100 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f f 19 �� f 6
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ak : ap = ak – p
Door alle gehele getallen. 1 ��a3 Door 0; 1 ��0 is niet gedefinieerd.
Door alle rationale getallen, maar niet door 0.
158 – 7 = 151 = 15 d7 – 5 = d2
a6 + 35 = a41
1255 – 4 = 1251 = 125
145 + 14 = 159 = 1
36 : 10 000 = 0,0036
16 – 64 = –48
38 – 8 = 30 = 1
b102 + (–2) = b100
d2 – 6 = d–4 = 1 ��d4
100 · 4 = 400
f19 – 6 = f13
1728 : 216 = 8 p9 – (–2) = p9 + 2 = p11
73
Wat moet je kunnen?
� machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen � machten met eenzelfde grondtal delen � de rekenregels verwoorden
3 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
WEER? 307 - 312
MEER? 313314
a 3 3 : 3 –1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 99 132 · 99 –133 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 99 1 · 1 99 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d ( –3 ) 2
�� ( –3 ) –1
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 0,1 2 · 0,1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 5 3 + 5 –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g 102 10 : 102 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h d –2 · d –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 In het midden van een vijver groeit een witte waterlelie. De lelie breidt zich zo snel uit, dat het aantal bloemen elke dag verdubbelt. Als de drijfplant ongestoord kan groeien dan is de vijver volledig bedekt in 12 dagen.
MEER? 315316
a Vul in de tabel de tweede rij aan die het verband aangeeft tussen de tijd en het aantal bloemen.b Noteer in de laatste rij het aantal bloemen als een macht met grondtal 2.
tijd (in dagen) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
aantal bloemen 1 2 4
als macht 2 n
c Zoek het antwoord op onderstaande vragen. Je mag hiervoor alleen een beroep doen op de machten uit de laatste rij van de tabel en op de gepaste rekenregel.
– Na hoeveel dagen is de vijver half bedekt?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Na vier dagen is 1 m 2 van de vijver gevuld met 2 4 bloemen. Wat is de oppervlakte van de vijver?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33–(–1) = 34 = 81
99132 + (–133) = 99132 – 133 = 99–1 = 1 ��99
99 · 1 = 99
(–3)2 – (–1) = (–3)2 + 1 = (–3)3 = –27
0,12 + 1 = 0,13 = 0,001
125 + 1 ��25 = 125 + 0,04 = 125,04
10210 – 9 = 1021 = 102
d–2 + (–6) = d–2 – 6 = d–8 = 1 ��d8
8
212 : 2 = 212 – 1 = 211
Na 11 dagen is de vijver half bedekt.
212 : 24 = 28 = 256De oppervlakte van de vijver is 256 m2.
2320
16
2421
32
2522
64
26
128
27
1024
210
256
28
2048
211
512
29
4096
212
G19
74 rekenregels van machten
Op verkenning
Een macht tot een macht verheffen
• Vul de tabel in.
( 3 2 ) 3 ( a ≠ 0 ) ( a 2 ) 3
Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging van kwadraten.
= =
Noteer het resultaat als één macht. = =
• Vul de tabel in.De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
noteer de macht als een vermenigvuldiging noteer het resultaat als één macht
( ( –4 ) 4 ) 2
=
( 3 5 ) 3 =
( b 2 ) 6 =
( ( 5 ��k ) –3 ) 2 =
( a –2 ) 2 =
( 0 2 ) 5 =
• Hoe kun je een macht tot een macht verheffen?
– Wat doe je telkens met het grondtal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat doe je telkens met de exponenten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Je ontdekt hier hoe je een macht tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. – Neem ( 4 2 ) 3 = 4 2·3 = 4 6
– Vervang het grondtal 4 door de letter a en de exponenten 2 en 3 door de letters k en p.
– Noteer de gelijkheid met letters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Mag je a door alle getallen vervangen? Verklaar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 · 32 · 32
(–4)4 · (–4)4 (–4)8
b2 · b2 · b2 · b2 · b2 · b2 b12
a–2 · a–2 a–4 = ( 1 ��a ) 4
35 · 35 · 35 315
( 5 ��k ) –3 · ( 5 ��k ) –3
( 5 ��k ) –6 = ( k ��5 ) 6
02 · 02 · 02 · 02 · 02 010 = 0
a2 · a2 · a2
36 a6
Je behoudt het grondtal.Je vermenigvuldigt de exponenten.
(ak)p = ak · p
Door alle gehele getallen.
Door alle rationale getallen, maar niet door 0.
75
Wat moet je kunnen?
� een macht tot een macht verheffen � de rekenregel verwoorden
Oefeningen
Rekenregel – een macht tot een macht verheffen
Een macht tot een macht verheffen:• Behoud het grondtal.• Vermenigvuldig de exponenten.
a is een rationaal getal verschillend van 0.k en p zijn gehele getallen.
( a k ) p = a k·p
( 2 2 ) 3 = 2 2·3 = 2 6 = 64
( 5 –1 ) –2 = 5 (–1)·(–2) = 5 2 = 25
( a 3 ) 5 = a 3·5 = a 15
Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
5 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.
WEER? 317 - 319
MEER? 320 - 323
a ( 2 2 ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b ( 9 –2 ) –1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c ( a –3 ) –4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d ( ( –g ) 2 ) –3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ( 2 3 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f ( a 8 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.
WEER? 324
MEER? 325326
a ( 10 4 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b p 3 · p –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c a –2 : a –4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d ( k 3 ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e b 5 �� b 2
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f x –2 · x –3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Vul in. Verklaar door de oplossing te berekenen met machten van 10.
a 1 triljard : duizend = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 1 miljard · 1 biljard = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 1 triljoen : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 1 miljoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 1 miljoen · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 1 quadriljard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e (1 miljard ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (1 quadriljoen ) 0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER? 327
�� ������� ��� ��
�� ����������� �� �
�� ������� ��� �� �
�� ����������� �� ��
�� �������� ��� �� ��
�� ������������ �� �
�� ����������� ��� �� �
�� ��������������� �� �
22 · 3 = 26 = 64 (–g)–6 = ( – 1 ��g ) 6 = 1 ��g6
9–2 · (–1) = 92 = 81 23 · (–2) = 2–6 = ( 1 ��2 ) 6 = 1 ��26 = 1 ��64
a–3 · (–4) = a12
104 · 2 = 108 = 100 000 000 k3 · 3 = k9
p3 + (–2) = p3 – 2 = p b5 – 2 = b3
a–2 – (–4) = a–2 + 4 = a2
1 triljoen1 quadriljoen
1 biljoen1 triljard
1 triljoen1
1021 : 103 = 1018
109 · 1015 = 1024
1018 ��1012 = 106
106 · 1021 = 1027
(109)2 = 1018
(1027)0 = 1
x–2 + (–3) = x–5 = ( 1 ��x ) 5 = 1 ��x5
(a)8 · 2 = (a)16 = a16
�
G20
76 rekenregels van machten
Op verkenning
Een product en een quotiënt tot een macht verheffen
a Een product tot een macht verheffen• Vul de tabel in.
( 2 · 4 ) 3 ( 5a ) 3
Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging.
( ) · ( ) · ( ) ( ) · ( ) · ( ) Plaats de gelijke factoren samen tussen haakjes.
( ) · ( ) ( ) · ( ) Welke eigenschappen van bewerkingen pas je toe?
Noteer als een vermenigvuldiging van twee machten.
• Vul de tabel in.De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
noteer de macht als een vermenigvuldiging.plaats de gelijke factoren samen tussen de haakjes
noteer het resultaat als een vermenigvuldiging van machten
( a · b ) 3 =
( –9 · 5 ) 2 =
( xyz ) –2 = 1 �� (xyz) 2
( –1 ��2 a 2 ) 3 =• Hoe kun je een product tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met de factoren?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Je ontdekte hoe je een product tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. – Neem ( 2 · 4 ) 3 = 2 3 · 4 3 – Vervang de factoren 2 en 4 door de letters a en b en de exponent 3 door de letter m.
Noteer de gelijkheid met letters.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekenregel – een product tot een macht verheffen
Een product tot een macht verheffen: verhef elke factor van het product tot die macht.
a en b zijn rationale getallen, ver-schillend van 0p is een geheel getal
( a · b ) p = a p · b p
( 9 · t ) 2 = 9 2 · t 2 = 81t 2
(x ≠ 0) ( 2x ) –1 = 2 –1 · x –1 = 1 ��2 · 1 ��x = 1 ��2x
( –0,5p ) 3 = ( –0,5 ) 3 · p 3 = –0,125 p 3
CONTROLE 13 Reken uit. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. Pas de rekenregel toe indien mogelijk.
(–10p) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(4 · a) –3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(–4x) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(4 – x) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 · 4
2 · 2 · 2Het vermenigvuldigen is commu-
tatief en associatief in q.
= 23 · 43
(a · b) (a · b) (a · b) = (a · a · a) (b · b · b)
1 ��(xyz)(xyz) = 1 ��(xx)(yy)(zz)
(–9 · 5) · (–9 · 5) = ( (–9) · (–9) ) (5 · 5)
( –1 ��2 a2 ) ( –1 ��2 a2 ) ( –1 ��2 a2 ) = ( –1 ��2 · –1 ��2 · –1 ��2 ) · (a2 · a2 · a2)
Het vermenigvuldigen is commu-tatief en associatief in q.
= 53 · a3
a3 · b3
(–9)2 · 52
1 ��x2y2z2
( –1 ��2 ) 3 · (a2)3 = ( –1 ��2 ) 3 · a6
5 · 5 · 54 · 4 · 4 a · a · a
2 · 4 2 · 4 5 · a 5 · a 5 · a
Je verheft elke factor tot die macht.
Door alle gehele getallen.
(–10)4 · p4 = 10 000 p4 (–4)3x3 = –64x3
4–3 · a–3 = 1 ��43 · 1 ��a3 = 1 ��64a3 (4 – x) (4 – x) (4 – x)
Door alle rationale getallen, maar niet door 0. (ab)–2 = 1 ��a2 · 1 ��b2 a, b mogen niet gelijk zijn aan 0.
(a · b)m = am · bm
�
77
b Een quotiënt tot een macht verheffen• Vul de tabel in.
( 2 ��3 ) 3 (k ≠ 0) (7 : k) 3
Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging. = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Noteer op één breukstreep. = =
Noteer als een deling van twee machten. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
• Hoe kun je een quotiënt tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met het deeltal en de deler?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Je ontdekt hier hoe je een quotiënt tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.
– Neem ( 2 ��3 ) 4 = 2 4 �� 3 4
– Vervang het deeltal 2 door de letter a, de deler 3 door de letter b en exponent 4 door de letter m.
Noteer de gelijkheid met letters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
noteer de macht als een vermenigvuldiging. noteer op één breukstreep
noteer als een deling van twee machten
( 9 ��7 ) 3
=
( 14 : 3 ) 5 =
( –c ��d ) 2 =
( –2 : a 3 ) –2
Rekenregel – een quotiënt tot een macht verheffen
Een quotiënt tot een macht verheffen: verhef het deeltal en de deler tot die macht.
a en b zijn rationale getallen, verschillend van 0
p is een geheel getal
(a : b) p = a p : b p
(p ≠ 0) (4 : p) 2 = 4 2 : p 2 = 16 : p 2
( –10 ��7 ) 4 = (–10) 4 ��
7 4 = 10 000 ��2 401
CONTROLE 14 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.
(1 : 4) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( a ��3 ) –4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( –2 ��5 ) 3
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( –0,5 ��p ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 ��3 2 ��3 2 ��3 7 7 7k k k
2 · 2 · 2 7 · 7 · 73 · 3 · 3
23 ��33 7
3 ��k3
k · k · k
( 9 ��7 ) ( 9 ��7 ) ( 9 ��7 ) = 9 · 9 · 9 ��7 · 7 · 7 93 ��73
145 ��35
(–c)2
��d2 = c2
a6 ��(–2)2 = (–2)–2
��a–6
( 14 ��3 ) 5 = 14 · 14 · 14 · 14 · 14 ����3 · 3 · 3 · 3 · 3
( –c ��d ) ( –c ��d ) = –c · (–c) ��d · d
( –2 ��a3 ) –2 = ( a3
��–2 ) 2 = ( a3 ��–2 ) ( a3
��–2 ) = a3 · a3 ��(–2) · (–2)
Je verheft het deeltal en de deler tot die macht.
(a : b)m = am : bm ( a ��b
) m = a m �� b m
Door alle gehele getallen.
Door alle rationale getallen, maar niet door 0. De noemer mag niet gelijk zijn aan 0.
( 1 ��4 ) 3 = 13 ��43 = 1 ��64
( 3 ��a ) 4 = 34 ��a4 = 81 ��a4
–23 ��53 = –8 ��125
(–0,5)2
��p2 = 0,25 ��p2
G20
78 rekenregels van machten
Een product en een quotiënt tot een macht verheffen (vervolg)
Oefeningen
Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
8 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.
WEER? 328329
MEER? 330
9 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.
WEER? 331332
a (–5 · x) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b (–2 · 10) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c (a · x) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 100 · (–a) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ( 5 ��2 ) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b ( 3 ��p ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c ( m ��k ) 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d (–3 : 11) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.
WEER? 333 - 335
MEER? 336 - 341 a ( –5 · 10 –2 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b ( 3 ��10 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c (–3) 2
�� (–3) 1
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d d –2 · d –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ( 10 –4 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f f –1 �� f 9
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g (–2ab) –5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h – ( 3 2 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� � ��� � ��� � ����
� � �!� � ��� � ����
( � � ) ��� � ����
( ������) � ��� � � ��� � � ( ��!���) � ��� � � �!� � �
(–5)3 · x3 = –125x3
54 ��24 = 625 ��16 m
8 ��k8
33 ��p3 = 27 ��p3 ( –3 ��11 ) 2 = (–3)2
��112 = 9 ��121
(–2)4 · 104 = 16 · 10 000 = 160 000
a4x4
100a2
(–5)2 (10–2)2 = 25 · 10–4 = 25 · ( 1 ��10 ) 4 = 25 ��10000 = 1 ��400
( 10 ��3 ) 2 = (10)2
��(3)2 = 100 ��9
(–3)2 – 1 = (–3)1 = –3
d–2 + (–6) = d–8 = 1 ��d8
10–4 · (–2) = 108 = 100 000 000
f –1 – 9 = f –10 = 1 ��f 10
( – 1 ��2ab ) 5 = – 1 ��25a5b5 = – 1 ��32a5b5
–32 · (–2) = –3–4 = – ( 1 ��3 ) 4 = – 1 ��81
79
Wat moet je kunnen?
� een product tot een macht verheffen � een quotiënt tot een macht verheffen
� de rekenregels verwoorden
11 a Reken uit. Let op de volgorde van de bewerkingen.
(5 + 2) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 + 2 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b Kun je hier één van de rekenregels toepassen? Verklaar.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Vul in met = of ≠. Verklaar.
(1 + 5) 2 . . . . . . . . 1 2 + 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2 · 10) 2 . . . . . . . . 2 2 · 10 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2 · b) 2 . . . . . . . . 2 2 · b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2 – b) 2 . . . . . . . . 2 2 – b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a + 3) 2 . . . . . . . . a 2 + 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a · b) 2 . . . . . . . . a 2 b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER? 342
72 = 49 25 + 4 = 29
Neen, de macht van een som is niet gelijk aan de som van de machten.
De macht van een som is niet gelijk aan de
som van de machten.
De rekenregel voor de macht van
een product.
De rekenregel voor de macht van
een product.
De rekenregel voor de macht van
een product.
De macht van een som is niet gelijk aan de
som van de machten.
De macht van een som is niet gelijk aan de
som van de machten.
≠
=
=
≠
≠
=
G21
80 rekenregels van machten
Op verkenning
Rekenregels van machten noteren in symbolen
• Vul aan: Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Vul aan: a p · . . . . . . . . . . = a p + k
– Door welke getallen kun je in deze gelijkheid de letter a vervangen? Je onderzocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord vol-ledig in symbolen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welke getallen kun je in deze gelijkheid p en k vervangen? Je onder-zocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord volledig in symbolen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Noteer de volledige rekenregel in symbolen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekenregels van machten
Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen.
Machten met eenzelfde grondtal delen.
Een macht tot een macht verheffen.
Een product tot een macht verheffen.
Een quotiënt tot een macht verheffen.
∀ a, b ∊ q0, ∀ p, k ∊ z:
a p · a k = a p + k
a p : a k = a p – k
( a p ) k = a p · k
(a · b) p = a p · b p
(a : b) p = a p : b p
12 6 · 12 –4 = 12 2
10 –3 : 10 2 = 10 –5
( 25 –2 ) –2 = 25 4
(6de) 3 = 6 3 d 3 e 3 = 216 d 3 e 3
(4 : c) 2 = 4 2 : c 2 = 16 : c 2 (c ≠ 0)
Oefeningen
Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.
12 Juist of fout? Verklaar.
a ∀ a, b ∊ q0, ∀ m ∊ n: (a · b) m = a m · b m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b ∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a : b) m = a m : b m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c ∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a + b) m = a m + b m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER? 343
MEER? 344
13 Reken uit.
a (–2 a 3 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b ( a p ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c ( r ��s ) –t–8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER? 345346
MEER? 347 - 349
behoud je het grondtal en tel je de exponenten op.
a ∊ q0
p, k ∊ z
a ∊ q0 , p, k ∊ z: ap · ak = ap+k
ak
Juist de rekenregel geldt ook voor m ∊ z, dus ook voor m ∊ N
Fout, het moet zijn: a, b ∊ q0
Fout, de macht van een som is niet gelijk aan de
som van de machten.
(–2)2 · (a3)2 = 4a6
a–2p = 1 ��a2p
( r ��s ) –(t+8) = ( s ��r ) (t+8) = st + 8
��rt + 8
81
Wat moet je kunnen?
� de rekenregels van machten in symbolen weergeven
14 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.
WEER? 350
MEER? 351352
a 2 0 · 2 –1 · 2 –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 2 0 + 2 –1 + 2 –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c ( a 0 ) –4 + ( a 4 ) 0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d x · x –5 + x 2 · x –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a Reken uit en geef het antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.
a ( 5 · 10 8 ) · ( 2 · 10 7 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b ( 3,5 · 10 –8 ) · ( 4 · 10 3 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c ( 5 · 10 –6 ) · ( 25 · 10 8 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d ( 0,1 · 10 –2 ) –110 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER? 353
MEER? 354
b Een lichtjaar is de afstand die een lichtstraal met een snelheid van 300 000 km per seconde aflegt in één jaar. Een lichtjaar is 9,461 · 10 12 km. De Andromedanevel ligt op een afstand van ongeveer 2,2 miljoen lichtjaar. Bereken de afstand aarde-Andromeda in km. Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . .. . . .. . .. . .. . ... . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . .
d 10 p �� 10 p–6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e (19 + a 7 ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f ( x –2 ) –3 + ( x –6 ) –1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
10p – (p – 6)= 10p – p + 6 = 106 = 1 000 000
Je kunt geen rekenregel toepassen omdat je geen regel kent om een som tot een macht te verheffen.
x6 + x6 = 2x6
2–3 = ( 1 ��2 ) 3 = 1 ��23 = 1 ��8
1 + 1 ��2 + 1 ��4 = 4 ��4 + 2 ��4 + 1 ��4 = 7 ��4
a0 + a0 = 1 + 1 = 2
x1 – 5 + x2 – 6 = x–4 + x–4 = 2x– 4 = 2 · ( 1 ��x ) 4 = 2 ��x4
5 · 108 · 2 · 107 = (5 · 2)(108 · 107) = 10 · 1015 = 1016 = 1 · 1016
3,5 · 10–8 · 4 · 103 = 14 · 10–5 = 1,4 · 10 · 10–5 = 1,4 · 10–4
5 · 10–6 · 25 · 108 = 125 · 102 = 1,25 · 102 · 102 = 1,25 · 104
(10–1 · 10–2)–110 = (10–3)–110 = 10330 = 1 · 10330
2,2 miljoen · 9,461 · 1012 km= 2,2 · 106 · 9,641 · 1012 km= 2,2 · 9,641 · 1012 · 106 km= 20,8142 · 1018 km= 2,08142 · 10 · 1018 kmDe afstand van de Andromedanevel tot de aarde is 2,08142 · 1019 km.
82 rekenregels van machten
Problemsolving
16 Bereken de som van de eerste 100 oneven getallen.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 De toren van HanoiDe legende vertelt dat in de stad Benares onder keizer Fo Hi een boeddhistische tempel stond. De grote middenkoepel markeerde het midden van de wereld. In deze koepels waren priesters continu bezig met het verplaatsen van gouden schijven die op diamanten punten stonden. God plaatste 64 schijven van groot naar klein op één pin. Zodra de hele stapel naar een andere pin verplaatst is, zal dat het einde van de wereld betekenen. Reken uit hoe lang dit duurt als je elke seconde één schijf verplaatst.
Verplaats de toren door alle schijven te verplaatsen naar een ander stokje.a Er mag slechts 1 schijf tegelijk worden verplaatst.b Een grotere schijf mag nooit op een kleinere rusten.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Van een driehoek ABC is hoek A drie keer zo groot als hoek B en half zo groot als hoek C. Hoe groot is hoek A?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 Het product van twee gehele getallen is gelijk aan 25 · 3² · 5 · 7³.De som van deze getallen kan dan deelbaar zijn door:
A 3 B 5 C 8 D 10 E 49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + ... = n2
n termen1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 = 1002 = 10 000
Is er een oneven aantal schijven, leg dan de eerste schijf op de stok waarop je uit-eindelijk wilt eindigen. Is er een even aantal schijven, leg dan de eerste schijf op een andere stok. Het aantal zetten is steeds het dubbele van de vorige stapel +1.
aantal schijven 1 2 3 4 5 n 64
aantal zetten 1 = 21 – 1 3 = 22 – 1 7 = 23 – 1 15 = 24 – 1 31 = 25 – 1 2n – 1 1,84467441
· 1019 = 264 – 1
Voor 64 schijven heb je ongeveer 5,8 · 1010 jaar nodig.
| A | = 3 | B | ⇒ | B | = 1 ��3 | A | en | A | = 1 ��2 | C | ⇒ | C | = 2 | A |
| A | + | B | + | C | = 180° | A | + 1 ��3 | A | + 2 | A | = 180°
De som kan niet deelbaar zijn door 5 want slechts één van de twee getallen is deelbaar door 5. De som kan dan zeker niet deelbaar zijn door 10.De som kan niet deelbaar zijn door 8 want 8 = 23 en 25 = 23 · 22. Slechts één van de termen is deelbaar door 8.
A 3
3 ( | A | + 1 ��3 | A | + 2 | A | ) = 3 · 180°3 | A | + | A | + 6 | A | = 540°10 | A | = 540° | A | = 540° : 10 | A | = 54°