Rekenregels van machten - mathima.be · G18 70 rekenregels van machten Op verkenning Machten...

14
69 A B C Verder oefenen? 1 Welke uitdrukking is gelijk aan 100? –100 1 ( 2 · 5 ) 25 4 oef. 67 2 Welke macht is het grootst? 5 –2 ( –3 ) 0 ( 1 4 ) oef. 68 3 Welk getal is het grondtal in de macht –2 3 ? 2 –2 3 oef. 63 Inhoud G18 Machten vermenigvuldigen en delen p. 70 G19 Een macht tot een macht verheffen p. 74 G20 Een product en een quotiënt tot een macht verheffen p. 76 G21 Rekenregels van machten noteren in symbolen p. 80 Dit heb je nodig leerwerkboek p. 69 - 82 oefenboek nr. 293 - 354 rekenmachine Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. Dit kun je al 1 machten met een natuurlijke exponent berekenen 2 machten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verband met de machtsverheffing correct gebruiken Rekenregels van machten 4 ( 2 · 5 ) 2 ( 1 4 ) –1 2

Transcript of Rekenregels van machten - mathima.be · G18 70 rekenregels van machten Op verkenning Machten...

69

A B C Verder oefenen?

1 Welke uitdrukking is gelijk aan 100? –100 1 ( 2 · 5 ) 2 25 4 oef. 67

2 Welke macht is het grootst? 5 –2 ( –3 ) 0 ( 1 ��4 ) –1 oef. 68

3 Welk getal is het grondtal in de macht – 2 3 ? 2 –2 3 oef. 63

InhoudG18 Machten vermenigvuldigen en delen p. 70G19 Een macht tot een macht verheffen p. 74G20 Een product en een quotiënt tot een macht

verheffen p. 76G21 Rekenregels van machten noteren in symbolen p. 80

Dit heb je nodig• leerwerkboek p. 69 - 82• oefenboek nr. 293 - 354• rekenmachine

Test jezelfElke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.

Dit kun je al1 machten met een natuurlijke exponent berekenen2 machten met een gehele exponent berekenen3 terminologie in verband met de machtsverheffing correct gebruiken

Rekenregels van machten4

( 2 · 5 )2

( 1�4 )–1

2

G18

70 rekenregels van machten

Op verkenning

Machten vermenigvuldigen en delen

a Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen• Vul de tabel in.

2 3 · 2 6 a 2 · a 5

Noteer elke macht als een vermenigvuldiging. = ( ) · ( ) =

Werk de haakjes weg. = =

Welke eigenschap pas je toe?

Noteer het resultaat als één macht.= =

• Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

noteer elke macht als een vermenigvuldiging noteer indien mogelijk het resultaat als één macht

a 3 · a 2 =

( –1 ��2 ) 2 · ( –1 ��2 ) = 6 2 · 4 2 =

3 –2 · 3 3 =

x · x 3 · x –2 =

a 6 · b =

5 –3 · 5 –2 =

• Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat doe je telkens met het grondtal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat doe je telkens met de exponenten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Je ontdekte hoe je machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.

– Neem 2 3 · 2 6 = 2 3+6 = 2 9

– Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 3 en 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.

– Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Noteer a –3 met een positieve exponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welk getal kun je a zeker niet vervangen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 · 2 · 2

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 a · a · a · a · a · a · a

(a · a) · (a · a · a · a · a)

29 a7

Het vermenigvuldigen is associatief in q.

Het vermenigvuldigen is associatief in q.

(a · a · a) · (a · a) = a · a · a · a · a

[ ( –1 ��2 ) · ( –1 ��2 ) ] · ( –1 ��2 ) = –1 ��2 · –1 ��2 · –1 ��2

6 · 6 · 4 · 4

1 ��3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 · 3 · 3 ��3 · 3 = 3

x · (x · x · x) · 1 ��x · x = x · x · x · x ��x · x = x · x

(a · a · a · a · a · a) · b

1 ��5 · 5 · 5 · 1 ��5 · 5 = 1 ��5 · 5 · 5 · 5 · 5

a5

( –1 ��2 ) 3

62 · 42

3

x2

a6 · b

1 ��55 = 5–5

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

Als de factoren machten zijn met hetzelfde grondtal.Je behoudt het grondtal.Je telt de exponenten op.

ak · ap = ak + p

Door alle gehele getallen. 1 ��a3 Door 0; 1 ��0 is niet gedefinieerd.

Door alle rationale getallen,maar niet door 0.

71

Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen

Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen:• Behoud het grondtal.• Tel de exponenten op.

a is een rationaal getal verschillend van 0k en p zijn gehele getallen.

a k · a p = a k+p 5 2 · 5 3 = 5 2+3 = 5 5 a –8 · a –3 = a –8+ ( –3 ) = a –11 = ( 1 ��a ) 11

= 1 �� a 11

CONTROLE 11 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

5 2 · 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d 6 · d –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 3 · 6 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a 9 · a –14 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Machten met eenzelfde grondtal delen• Vul de tabel in.

2 6 �� 2 2 ( a ≠ 0 ) a 2 : a 5

Noteer elke macht als een vermenigvuldiging. = =

Vereenvoudig. = =

Noteer het resultaat als één macht.= =

• Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor ≠ 0.

noteer elke macht als een vermenigvuldiging noteer indien mogelijk het resultaat als één macht

4 6 �� 4 2 =

( –5 ) 3 : ( –5 ) 2 =

h 2 �� h 2 =

3 2 �� 2 3 =

2 –4 : 2 3 =

z 3 : z –2 =

10 3 : 3 –3 =

a –3 : a –3 =

• Wanneer kun je het resultaat noteren als één macht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat doe je telkens met het grondtal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat doe je telkens met de exponenten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 + 1 = 53 = 125 125 · 216 = 27 000d6 + (–6) = d0 = 1 a9 + (–14) = a9 – 14 = a–5 = 1 ��a5

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

2 · 2 · 2 · 2

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4

(–5) · (–5) · (–5)4 · 4

44

h0 = 1 h · h ��h · h

1 ��27 = 2–7 1 ��2 · 2 · 2 · 2 : (2 · 2 · 2) = 1 ����2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

103 · 3310 · 10 · 10 : 1 ��3 · 3 · 3 = 10 · 10 · 10 · 3 · 3 · 3

(–5)1 = –5

32 ��23 3 · 3 ��2 · 2 · 2

z5z · z · z : 1 ��z · z = z · z · z · z · z

a0 = 1

Als het deeltal en de deler

Je behoudt het grondtal.Je bepaalt het verschil van de exponent van het deeltal en de exponent van de deler.

machten zijn met hetzelfde grondtal.

1 ��a · a · a : 1 ��a · a · a = 1 ��a · a · a · a · a · a = a · a · a ��a · a · a

(–5) · (–5)

24 1 ��a3 = a–3

1 ��a · a · a

a · a2 · 2 a · a · a · a · a

G18

72 rekenregels van machten

Oefeningen

Machten vermenigvuldigen en delen (vervolg)

• Je ontdekt hier hoe je machten met eenzelfde grondtal deelt. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.

– Neem 2 6 : 2 2 = 2 6–2 = 2 4

– Vervang het grondtal 2 door de letter a en de exponenten 2 en 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .door de letters k en p. Noteer de gelijkheid met letters.

– Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Noteer a –3 met een positieve exponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welk getal kun je a zeker niet vervangen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welke getallen kun je a wel vervangen in deze gelijkheid?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rekenregel – machten met eenzelfde grondtal delen

Machten met eenzelfde grondtal delen:• Behoud het grondtal.• Trek de exponenten van elkaar af

(exponent van het deeltal – expo-nent van de deler).

a is een rationaal getalverschillend van 0.k en p zijn gehele getallen.

a k : a p = a k – p

9 8 : 9 6 = 9 8–6 = 9 2 = 81

( x ≠ 0 ) x 9 �� x 2 = x 9–2 = x 7

10 –4 : 10 –2 = 10 –4–(–2) = 10 –4+2 = 10 –2 =

( 1 ��10 ) 2 = 1 �� 10 2 = 1 ��100

CONTROLE 12 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

15 8 �� 15 7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 3 : 6 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d 7 : d 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p 9

�� p –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.

1 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.

WEER? 293 - 296

MEER? 297 - 299

a 5 3 · 5 = ������������������

b a 6 · a 35 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c b 102 · b –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d 4 2 – 4 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e 1 45 · 1 14 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f 10 2 · 2 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.

WEER? 300 - 302

MEER? 303 - 306

a 4 4 ��4 = ������������������

b 125 5 �� 125 4

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c d 2 : d 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d 3 8 : 3 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e 6 2 : 100 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f f 19 �� f 6

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak : ap = ak – p

Door alle gehele getallen. 1 ��a3 Door 0; 1 ��0 is niet gedefinieerd.

Door alle rationale getallen, maar niet door 0.

158 – 7 = 151 = 15 d7 – 5 = d2

a6 + 35 = a41

1255 – 4 = 1251 = 125

145 + 14 = 159 = 1

36 : 10 000 = 0,0036

16 – 64 = –48

38 – 8 = 30 = 1

b102 + (–2) = b100

d2 – 6 = d–4 = 1 ��d4

100 · 4 = 400

f19 – 6 = f13

1728 : 216 = 8 p9 – (–2) = p9 + 2 = p11

73

Wat moet je kunnen?

� machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen � machten met eenzelfde grondtal delen � de rekenregels verwoorden

3 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.

WEER? 307 - 312

MEER? 313314

a 3 3 : 3 –1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b 99 132 · 99 –133 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c 99 1 · 1 99 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d ( –3 ) 2

�� ( –3 ) –1

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e 0,1 2 · 0,1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f 5 3 + 5 –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g 102 10 : 102 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h d –2 · d –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 In het midden van een vijver groeit een witte waterlelie. De lelie breidt zich zo snel uit, dat het aantal bloemen elke dag verdubbelt. Als de drijfplant ongestoord kan groeien dan is de vijver volledig bedekt in 12 dagen.

MEER? 315316

a Vul in de tabel de tweede rij aan die het verband aangeeft tussen de tijd en het aantal bloemen.b Noteer in de laatste rij het aantal bloemen als een macht met grondtal 2.

tijd (in dagen) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

aantal bloemen 1 2 4

als macht 2 n

c Zoek het antwoord op onderstaande vragen. Je mag hiervoor alleen een beroep doen op de machten uit de laatste rij van de tabel en op de gepaste rekenregel.

– Na hoeveel dagen is de vijver half bedekt?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Na vier dagen is 1 m 2 van de vijver gevuld met 2 4 bloemen. Wat is de oppervlakte van de vijver?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33–(–1) = 34 = 81

99132 + (–133) = 99132 – 133 = 99–1 = 1 ��99

99 · 1 = 99

(–3)2 – (–1) = (–3)2 + 1 = (–3)3 = –27

0,12 + 1 = 0,13 = 0,001

125 + 1 ��25 = 125 + 0,04 = 125,04

10210 – 9 = 1021 = 102

d–2 + (–6) = d–2 – 6 = d–8 = 1 ��d8

8

212 : 2 = 212 – 1 = 211

Na 11 dagen is de vijver half bedekt.

212 : 24 = 28 = 256De oppervlakte van de vijver is 256 m2.

2320

16

2421

32

2522

64

26

128

27

1024

210

256

28

2048

211

512

29

4096

212

G19

74 rekenregels van machten

Op verkenning

Een macht tot een macht verheffen

• Vul de tabel in.

( 3 2 ) 3 ( a ≠ 0 ) ( a 2 ) 3

Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging van kwadraten.

= =

Noteer het resultaat als één macht. = =

• Vul de tabel in.De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

noteer de macht als een vermenigvuldiging noteer het resultaat als één macht

( ( –4 ) 4 ) 2

=

( 3 5 ) 3 =

( b 2 ) 6 =

( ( 5 ��k ) –3 ) 2 =

( a –2 ) 2 =

( 0 2 ) 5 =

• Hoe kun je een macht tot een macht verheffen?

– Wat doe je telkens met het grondtal? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat doe je telkens met de exponenten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Je ontdekt hier hoe je een macht tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. – Neem ( 4 2 ) 3 = 4 2·3 = 4 6

– Vervang het grondtal 4 door de letter a en de exponenten 2 en 3 door de letters k en p.

– Noteer de gelijkheid met letters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welke getallen kun je k en p vervangen in deze gelijkheid?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Mag je a door alle getallen vervangen? Verklaar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 · 32 · 32

(–4)4 · (–4)4 (–4)8

b2 · b2 · b2 · b2 · b2 · b2 b12

a–2 · a–2 a–4 = ( 1 ��a ) 4

35 · 35 · 35 315

( 5 ��k ) –3 · ( 5 ��k ) –3

( 5 ��k ) –6 = ( k ��5 ) 6

02 · 02 · 02 · 02 · 02 010 = 0

a2 · a2 · a2

36 a6

Je behoudt het grondtal.Je vermenigvuldigt de exponenten.

(ak)p = ak · p

Door alle gehele getallen.

Door alle rationale getallen, maar niet door 0.

75

Wat moet je kunnen?

� een macht tot een macht verheffen � de rekenregel verwoorden

Oefeningen

Rekenregel – een macht tot een macht verheffen

Een macht tot een macht verheffen:• Behoud het grondtal.• Vermenigvuldig de exponenten.

a is een rationaal getal verschillend van 0.k en p zijn gehele getallen.

( a k ) p = a k·p

( 2 2 ) 3 = 2 2·3 = 2 6 = 64

( 5 –1 ) –2 = 5 (–1)·(–2) = 5 2 = 25

( a 3 ) 5 = a 3·5 = a 15

Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.

5 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.

WEER? 317 - 319

MEER? 320 - 323

a ( 2 2 ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b ( 9 –2 ) –1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c ( a –3 ) –4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d ( ( –g ) 2 ) –3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e ( 2 3 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ( a 8 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.

WEER? 324

MEER? 325326

a ( 10 4 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b p 3 · p –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c a –2 : a –4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d ( k 3 ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e b 5 �� b 2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f x –2 · x –3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Vul in. Verklaar door de oplossing te berekenen met machten van 10.

a 1 triljard : duizend = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b 1 miljard · 1 biljard = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c 1 triljoen : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 1 miljoen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d 1 miljoen · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 1 quadriljard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e (1 miljard ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f (1 quadriljoen ) 0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 327

�� ������� ��� ��

�� ����������� �� �

�� ������� ��� �� �

�� ����������� �� ��

�� �������� ��� �� ��

�� ������������ �� �

�� ����������� ��� �� �

�� ��������������� �� �

22 · 3 = 26 = 64 (–g)–6 = ( – 1 ��g ) 6 = 1 ��g6

9–2 · (–1) = 92 = 81 23 · (–2) = 2–6 = ( 1 ��2 ) 6 = 1 ��26 = 1 ��64

a–3 · (–4) = a12

104 · 2 = 108 = 100 000 000 k3 · 3 = k9

p3 + (–2) = p3 – 2 = p b5 – 2 = b3

a–2 – (–4) = a–2 + 4 = a2

1 triljoen1 quadriljoen

1 biljoen1 triljard

1 triljoen1

1021 : 103 = 1018

109 · 1015 = 1024

1018 ��1012 = 106

106 · 1021 = 1027

(109)2 = 1018

(1027)0 = 1

x–2 + (–3) = x–5 = ( 1 ��x ) 5 = 1 ��x5

(a)8 · 2 = (a)16 = a16

G20

76 rekenregels van machten

Op verkenning

Een product en een quotiënt tot een macht verheffen

a Een product tot een macht verheffen• Vul de tabel in.

( 2 · 4 ) 3 ( 5a ) 3

Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging.

( ) · ( ) · ( ) ( ) · ( ) · ( ) Plaats de gelijke factoren samen tussen haakjes.

( ) · ( ) ( ) · ( ) Welke eigenschappen van bewerkingen pas je toe?

Noteer als een vermenigvuldiging van twee machten.

• Vul de tabel in.De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

noteer de macht als een vermenigvuldiging.plaats de gelijke factoren samen tussen de haakjes

noteer het resultaat als een vermenigvuldiging van machten

( a · b ) 3 =

( –9 · 5 ) 2 =

( xyz ) –2 = 1 �� (xyz) 2

( –1 ��2 a 2 ) 3 =• Hoe kun je een product tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met de factoren?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Je ontdekte hoe je een product tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren. – Neem ( 2 · 4 ) 3 = 2 3 · 4 3 – Vervang de factoren 2 en 4 door de letters a en b en de exponent 3 door de letter m.

Noteer de gelijkheid met letters.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rekenregel – een product tot een macht verheffen

Een product tot een macht verheffen: verhef elke factor van het product tot die macht.

a en b zijn rationale getallen, ver-schillend van 0p is een geheel getal

( a · b ) p = a p · b p

( 9 · t ) 2 = 9 2 · t 2 = 81t 2

(x ≠ 0) ( 2x ) –1 = 2 –1 · x –1 = 1 ��2 · 1 ��x = 1 ��2x

( –0,5p ) 3 = ( –0,5 ) 3 · p 3 = –0,125 p 3

CONTROLE 13 Reken uit. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0. Pas de rekenregel toe indien mogelijk.

(–10p) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4 · a) –3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(–4x) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4 – x) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 · 4

2 · 2 · 2Het vermenigvuldigen is commu-

tatief en associatief in q.

= 23 · 43

(a · b) (a · b) (a · b) = (a · a · a) (b · b · b)

1 ��(xyz)(xyz) = 1 ��(xx)(yy)(zz)

(–9 · 5) · (–9 · 5) = ( (–9) · (–9) ) (5 · 5)

( –1 ��2 a2 ) ( –1 ��2 a2 ) ( –1 ��2 a2 ) = ( –1 ��2 · –1 ��2 · –1 ��2 ) · (a2 · a2 · a2)

Het vermenigvuldigen is commu-tatief en associatief in q.

= 53 · a3

a3 · b3

(–9)2 · 52

1 ��x2y2z2

( –1 ��2 ) 3 · (a2)3 = ( –1 ��2 ) 3 · a6

5 · 5 · 54 · 4 · 4 a · a · a

2 · 4 2 · 4 5 · a 5 · a 5 · a

Je verheft elke factor tot die macht.

Door alle gehele getallen.

(–10)4 · p4 = 10 000 p4 (–4)3x3 = –64x3

4–3 · a–3 = 1 ��43 · 1 ��a3 = 1 ��64a3 (4 – x) (4 – x) (4 – x)

Door alle rationale getallen, maar niet door 0. (ab)–2 = 1 ��a2 · 1 ��b2 a, b mogen niet gelijk zijn aan 0.

(a · b)m = am · bm

77

b Een quotiënt tot een macht verheffen• Vul de tabel in.

( 2 ��3 ) 3 (k ≠ 0) (7 : k) 3

Noteer de derdemacht als een vermenigvuldiging. = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Noteer op één breukstreep. = =

Noteer als een deling van twee machten. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Vul de tabel in. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

• Hoe kun je een quotiënt tot een macht verheffen? Wat doe je telkens met het deeltal en de deler?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Je ontdekt hier hoe je een quotiënt tot een macht verheft. Deze rekenregel kun je ook kort en wiskundig noteren.

– Neem ( 2 ��3 ) 4 = 2 4 �� 3 4

– Vervang het deeltal 2 door de letter a, de deler 3 door de letter b en exponent 4 door de letter m.

Noteer de gelijkheid met letters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welke getallen kun je m vervangen in deze gelijkheid?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Mag je a en b door alle getallen vervangen? Verklaar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

noteer de macht als een vermenigvuldiging. noteer op één breukstreep

noteer als een deling van twee machten

( 9 ��7 ) 3

=

( 14 : 3 ) 5 =

( –c ��d ) 2 =

( –2 : a 3 ) –2

Rekenregel – een quotiënt tot een macht verheffen

Een quotiënt tot een macht verheffen: verhef het deeltal en de deler tot die macht.

a en b zijn rationale getallen, verschillend van 0

p is een geheel getal

(a : b) p = a p : b p

(p ≠ 0) (4 : p) 2 = 4 2 : p 2 = 16 : p 2

( –10 ��7 ) 4 = (–10) 4 ��

7 4 = 10 000 ��2 401

CONTROLE 14 Reken uit. Pas indien mogelijk de rekenregel toe. De letters stellen rationale getallen voor verschillend van 0.

(1 : 4) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( a ��3 ) –4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( –2 ��5 ) 3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( –0,5 ��p ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 ��3 2 ��3 2 ��3 7 7 7k k k

2 · 2 · 2 7 · 7 · 73 · 3 · 3

23 ��33 7

3 ��k3

k · k · k

( 9 ��7 ) ( 9 ��7 ) ( 9 ��7 ) = 9 · 9 · 9 ��7 · 7 · 7 93 ��73

145 ��35

(–c)2

��d2 = c2

a6 ��(–2)2 = (–2)–2

��a–6

( 14 ��3 ) 5 = 14 · 14 · 14 · 14 · 14 ����3 · 3 · 3 · 3 · 3

( –c ��d ) ( –c ��d ) = –c · (–c) ��d · d

( –2 ��a3 ) –2 = ( a3

��–2 ) 2 = ( a3 ��–2 ) ( a3

��–2 ) = a3 · a3 ��(–2) · (–2)

Je verheft het deeltal en de deler tot die macht.

(a : b)m = am : bm ( a ��b

) m = a m �� b m

Door alle gehele getallen.

Door alle rationale getallen, maar niet door 0. De noemer mag niet gelijk zijn aan 0.

( 1 ��4 ) 3 = 13 ��43 = 1 ��64

( 3 ��a ) 4 = 34 ��a4 = 81 ��a4

–23 ��53 = –8 ��125

(–0,5)2

��p2 = 0,25 ��p2

G20

78 rekenregels van machten

Een product en een quotiënt tot een macht verheffen (vervolg)

Oefeningen

Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.

8 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.

WEER? 328329

MEER? 330

9 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.

WEER? 331332

a (–5 · x) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b (–2 · 10) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c (a · x) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d 100 · (–a) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a ( 5 ��2 ) 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b ( 3 ��p ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c ( m ��k ) 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d (–3 : 11) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 • Reken uit. • Pas de gepaste rekenregel toe.

WEER? 333 - 335

MEER? 336 - 341 a ( –5 · 10 –2 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b ( 3 ��10 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c (–3) 2

�� (–3) 1

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d d –2 · d –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e ( 10 –4 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f f –1 �� f 9

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g (–2ab) –5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h – ( 3 2 ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� � ��� � ��� � ����

� � �!� � ��� � ����

( � � ) ��� � ����

( ������) � ��� � � ��� � � ( ��!���) � ��� � � �!� � �

(–5)3 · x3 = –125x3

54 ��24 = 625 ��16 m

8 ��k8

33 ��p3 = 27 ��p3 ( –3 ��11 ) 2 = (–3)2

��112 = 9 ��121

(–2)4 · 104 = 16 · 10 000 = 160 000

a4x4

100a2

(–5)2 (10–2)2 = 25 · 10–4 = 25 · ( 1 ��10 ) 4 = 25 ��10000 = 1 ��400

( 10 ��3 ) 2 = (10)2

��(3)2 = 100 ��9

(–3)2 – 1 = (–3)1 = –3

d–2 + (–6) = d–8 = 1 ��d8

10–4 · (–2) = 108 = 100 000 000

f –1 – 9 = f –10 = 1 ��f 10

( – 1 ��2ab ) 5 = – 1 ��25a5b5 = – 1 ��32a5b5

–32 · (–2) = –3–4 = – ( 1 ��3 ) 4 = – 1 ��81

79

Wat moet je kunnen?

� een product tot een macht verheffen � een quotiënt tot een macht verheffen

� de rekenregels verwoorden

11 a Reken uit. Let op de volgorde van de bewerkingen.

(5 + 2) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 + 2 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Kun je hier één van de rekenregels toepassen? Verklaar.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Vul in met = of ≠. Verklaar.

(1 + 5) 2 . . . . . . . . 1 2 + 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2 · 10) 2 . . . . . . . . 2 2 · 10 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2 · b) 2 . . . . . . . . 2 2 · b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2 – b) 2 . . . . . . . . 2 2 – b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a + 3) 2 . . . . . . . . a 2 + 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a · b) 2 . . . . . . . . a 2 b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 342

72 = 49 25 + 4 = 29

Neen, de macht van een som is niet gelijk aan de som van de machten.

De macht van een som is niet gelijk aan de

som van de machten.

De rekenregel voor de macht van

een product.

De rekenregel voor de macht van

een product.

De rekenregel voor de macht van

een product.

De macht van een som is niet gelijk aan de

som van de machten.

De macht van een som is niet gelijk aan de

som van de machten.

=

=

=

G21

80 rekenregels van machten

Op verkenning

Rekenregels van machten noteren in symbolen

• Vul aan: Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Vul aan: a p · . . . . . . . . . . = a p + k

– Door welke getallen kun je in deze gelijkheid de letter a vervangen? Je onderzocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord vol-ledig in symbolen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Door welke getallen kun je in deze gelijkheid p en k vervangen? Je onder-zocht dit in de ‘op verkenning’ van les G18. Noteer je antwoord volledig in symbolen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Noteer de volledige rekenregel in symbolen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rekenregels van machten

Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen.

Machten met eenzelfde grondtal delen.

Een macht tot een macht verheffen.

Een product tot een macht verheffen.

Een quotiënt tot een macht verheffen.

∀ a, b ∊ q0, ∀ p, k ∊ z:

a p · a k = a p + k

a p : a k = a p – k

( a p ) k = a p · k

(a · b) p = a p · b p

(a : b) p = a p : b p

12 6 · 12 –4 = 12 2

10 –3 : 10 2 = 10 –5

( 25 –2 ) –2 = 25 4

(6de) 3 = 6 3 d 3 e 3 = 216 d 3 e 3

(4 : c) 2 = 4 2 : c 2 = 16 : c 2 (c ≠ 0)

Oefeningen

Algemene opmerkingen bij de oefeningen: – Als een letter als grondtal wordt gebruikt, dan stelt deze letter een waarde voor verschillend van 0. – Vermijd negatieve exponenten in het eindresultaat.

12 Juist of fout? Verklaar.

a ∀ a, b ∊ q0, ∀ m ∊ n: (a · b) m = a m · b m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b ∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a : b) m = a m : b m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c ∀ a, b ∊ q, ∀ m ∊ n: (a + b) m = a m + b m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 343

MEER? 344

13 Reken uit.

a (–2 a 3 ) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b ( a p ) –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c ( r ��s ) –t–8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 345346

MEER? 347 - 349

behoud je het grondtal en tel je de exponenten op.

a ∊ q0

p, k ∊ z

a ∊ q0 , p, k ∊ z: ap · ak = ap+k

ak

Juist de rekenregel geldt ook voor m ∊ z, dus ook voor m ∊ N

Fout, het moet zijn: a, b ∊ q0

Fout, de macht van een som is niet gelijk aan de

som van de machten.

(–2)2 · (a3)2 = 4a6

a–2p = 1 ��a2p

( r ��s ) –(t+8) = ( s ��r ) (t+8) = st + 8

��rt + 8

81

Wat moet je kunnen?

� de rekenregels van machten in symbolen weergeven

14 • Reken uit. • Pas indien mogelijk de gepaste rekenregel toe.

WEER? 350

MEER? 351352

a 2 0 · 2 –1 · 2 –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b 2 0 + 2 –1 + 2 –2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c ( a 0 ) –4 + ( a 4 ) 0 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d x · x –5 + x 2 · x –6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a Reken uit en geef het antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.

a ( 5 · 10 8 ) · ( 2 · 10 7 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b ( 3,5 · 10 –8 ) · ( 4 · 10 3 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c ( 5 · 10 –6 ) · ( 25 · 10 8 ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d ( 0,1 · 10 –2 ) –110 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

WEER? 353

MEER? 354

b Een lichtjaar is de afstand die een lichtstraal met een snelheid van 300 000 km per seconde aflegt in één jaar. Een lichtjaar is 9,461 · 10 12 km. De Andromedanevel ligt op een afstand van ongeveer 2,2 miljoen lichtjaar. Bereken de afstand aarde-Andromeda in km. Geef je antwoord in de wetenschappelijke schrijfwijze.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . .. . . .. . .. . .. . ... . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . . . .

d 10 p �� 10 p–6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e (19 + a 7 ) 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ( x –2 ) –3 + ( x –6 ) –1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

10p – (p – 6)= 10p – p + 6 = 106 = 1 000 000

Je kunt geen rekenregel toepassen omdat je geen regel kent om een som tot een macht te verheffen.

x6 + x6 = 2x6

2–3 = ( 1 ��2 ) 3 = 1 ��23 = 1 ��8

1 + 1 ��2 + 1 ��4 = 4 ��4 + 2 ��4 + 1 ��4 = 7 ��4

a0 + a0 = 1 + 1 = 2

x1 – 5 + x2 – 6 = x–4 + x–4 = 2x– 4 = 2 · ( 1 ��x ) 4 = 2 ��x4

5 · 108 · 2 · 107 = (5 · 2)(108 · 107) = 10 · 1015 = 1016 = 1 · 1016

3,5 · 10–8 · 4 · 103 = 14 · 10–5 = 1,4 · 10 · 10–5 = 1,4 · 10–4

5 · 10–6 · 25 · 108 = 125 · 102 = 1,25 · 102 · 102 = 1,25 · 104

(10–1 · 10–2)–110 = (10–3)–110 = 10330 = 1 · 10330

2,2 miljoen · 9,461 · 1012 km= 2,2 · 106 · 9,641 · 1012 km= 2,2 · 9,641 · 1012 · 106 km= 20,8142 · 1018 km= 2,08142 · 10 · 1018 kmDe afstand van de Andromedanevel tot de aarde is 2,08142 · 1019 km.

82 rekenregels van machten

Problemsolving

16 Bereken de som van de eerste 100 oneven getallen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 De toren van HanoiDe legende vertelt dat in de stad Benares onder keizer Fo Hi een boeddhistische tempel stond. De grote middenkoepel markeerde het midden van de wereld. In deze koepels waren priesters continu bezig met het verplaatsen van gouden schijven die op diamanten punten stonden. God plaatste 64 schijven van groot naar klein op één pin. Zodra de hele stapel naar een andere pin verplaatst is, zal dat het einde van de wereld betekenen. Reken uit hoe lang dit duurt als je elke seconde één schijf verplaatst.

Verplaats de toren door alle schijven te verplaatsen naar een ander stokje.a Er mag slechts 1 schijf tegelijk worden verplaatst.b Een grotere schijf mag nooit op een kleinere rusten.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 De drie hoeken van een driehoek zijn samen 180°. Van een driehoek ABC is hoek A drie keer zo groot als hoek B en half zo groot als hoek C. Hoe groot is hoek A?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Het product van twee gehele getallen is gelijk aan 25 · 3² · 5 · 7³.De som van deze getallen kan dan deelbaar zijn door:

A 3 B 5 C 8 D 10 E 49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

1 + 3 + 5 + 7 + ... = n2

n termen1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 = 1002 = 10 000

Is er een oneven aantal schijven, leg dan de eerste schijf op de stok waarop je uit-eindelijk wilt eindigen. Is er een even aantal schijven, leg dan de eerste schijf op een andere stok. Het aantal zetten is steeds het dubbele van de vorige stapel +1.

aantal schijven 1 2 3 4 5 n 64

aantal zetten 1 = 21 – 1 3 = 22 – 1 7 = 23 – 1 15 = 24 – 1 31 = 25 – 1 2n – 1 1,84467441

· 1019 = 264 – 1

Voor 64 schijven heb je ongeveer 5,8 · 1010 jaar nodig.

| A | = 3 | B | ⇒ | B | = 1 ��3 | A | en | A | = 1 ��2 | C | ⇒ | C | = 2 | A |

| A | + | B | + | C | = 180° | A | + 1 ��3 | A | + 2 | A | = 180°

De som kan niet deelbaar zijn door 5 want slechts één van de twee getallen is deelbaar door 5. De som kan dan zeker niet deelbaar zijn door 10.De som kan niet deelbaar zijn door 8 want 8 = 23 en 25 = 23 · 22. Slechts één van de termen is deelbaar door 8.

A 3

3 ( | A | + 1 ��3 | A | + 2 | A | ) = 3 · 180°3 | A | + | A | + 6 | A | = 540°10 | A | = 540° | A | = 540° : 10 | A | = 54°