Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard … · 2013-09-15 · oefening 3 (sinus...

Differentiëren

Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden

© Wisnet-HBO

update maart 2011

VoorkennisRepeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren.Draai eventueel het overzicht van standaardafgeleiden en rekenregels uit en neem het erbij als je de volgende oefeningen doet.Ga anders nog naar de les Wat is Differentiëren en de les Rekenregels en Standaardafgeleiden.

Neem pen en papier om de training te doenLET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. GA steeds op een rode invoerregel staan en druk op Enter.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet (zie paragraaf Maplet Instructie)

Oefeningen met alle regels en standaardafgeleiden

Neem pen en papier om de oefeningen te doen.

Je kunt ook de onderstaande sommen in het Maplet invoeren (zie voor het Maplet bijMaplet Openen).Het is een instructie om met de rekenregels te leren werken . Je krijgt dan stap voor stap begeleiding welke rekenregels je moet gebruiken.

Werken met het Maplet "instructie om met de rekenregels teleren werken"

Ga in de onderstaande oefeningen steeds op de rode invoerregel staan en druk op Enter. Vervolgens open je eventueel de knop van het antwoord en door op de rode invoer te gaan staan en op Enter te drukken, krijg je het antwoord.

LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik dus voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met

oefening 1 (machtsfuncties en kettingregel)Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is.Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.

1Differentiëer naar x.

antwoord

met het Maplet


antwoord

met het Maplet


aanwijzingStel .

antwoord

met het Maplet


antwoord

aanwijzingBij deze functie moet je de kettingregel gebruiken. Stel daarvoor .De afgeleide van u is u ' = 2.met het Maplet


antwoord

aanwijzingLet op dat a een constante is. De afgeleide van een constante is 0.met het Maplet


aanwijzing

Let op dat a constant is. Natuurlijk is dan ook een constante.

antwoord

met het Maplet


antwoord

aanwijzing

Let op dat en werk dan weer met de machtregel.Kijk ook eventueel nog bij de les met wortelvormen en de rekenregels voor machten (bij Breuken).met het Maplet


antwoord

met het Maplet


antwoord

met het Maplet


aanwijzing 1Stel .De afgeleide van u is u ' = 2.aanwijzing 2

de afgeleide van kun je met de machtregel bepalen.

=

antwoord1

met het Maplet


Aanwijzing:

Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel.

antwoord


Aanwijzing:

Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel.

antwoord

oefening 2 (quotiëntregel)

1 met wortelDifferentiëer naar x en herleid tot één breuk

antwoord

aanwijzingKijk nog eens naar de rekenregels bij de quotiëntregel.

UitwerkingMet de quotiëntregel:

f' =

Teller en noemer met vermenigvuldigen:

=

In de teller de haakjes wegwerken:

=

Herleiden:

Eventueel kan het minteken voor de breuk gehaald worden:

2 met wortelDifferentiëer naar x en herleid tot één breuk

antwoord


UitwerkingMet de quotiëntregel:

f' =

Teller en noemer met vermenigvuldigen:

=

In de teller de haakjes wegwerken:

=

Herleiden:

Er kan boven en onder nog gedeeld worden door :

Eventueel kan er nog buiten haakjes gehaald worden.

3 met sinus en cosinusDifferentiëer naar x en herleid tot één breuk

antwoord


UitwerkingMet de quotiëntregel krijg je in één keer één breuk:

=

f' =

Verder alles zo laten staan, het kan niet verder vereenvoudigd worden.

oefening 3 (sinus en cosinus en kettingregel)Neem pen en papier om de oefeningen te doen. Je hebt de afgeleiden van de standaardfuncties nodig. Kijk in de tabel.Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is.Ga in de onderstaande oefeningen steeds op de rode invoerregel staan en druk op Enter. Vervolgens open je eventueel de knop van het antwoord en door op de rode invoer tegaan staan en op Enter te drukken, krijg je het antwoord.

LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met

Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.


aanwijzingGebruik de som/verschil-regelantwoord


aanwijzingGebruik de somregel en daarna de kettingregel (bij de sinus).antwoord


aanwijzingGebruik de kettingregel waarbij je kunt stellen .

De functie is dan .De afgeleide van u is u ' = .

antwoord

aanwijzingVergeet niet de kettingregel toe te passen!


aanwijzingVergeet niet de kettingregel toe te passen.Stel met a als constante.

antwoord


aanwijzingHierbij moet je de uitgebreide kettingregel toepassen.stel stel en stel

met en .

De afgeleide van f naar x kun je dan formuleren als:

Zie ook het voorbeeld bij de uitleg van de kettingregel.antwoord


antwoord

7Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)

antwoord

8

Differentiëer naar x. (Zie ook som 5.)

antwoord


antwoord


antwoord


aanwijzingZie het verschil met opgave 10!!antwoord

12Differentiëer naar a.

aanwijzingZie het verschil met som 11!! Er moet nu gedifferentiëerd worden naar a.!!antwoord

oefening 4 (met logaritme en exponentiële functie en

kettingregel)Je kunt in de volgende sommen iets veranderen. Als je daarna op het antwoord klikt, dan is het antwoord aangepast aan de verandering die je zelf maakte. Dus verander iets en kijk wat het effect is.Bepaal de afgeleide van de volgende functies waarbij steeds x de variabele is.LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met


antwoord


antwoord


aanwijzingGebruik de productregel.antwoord


aanwijzingGebruik de kettingregel voor beide termen!

antwoord


aanwijzingVergeet niet de kettingregel te gebruiken.antwoord


antwoord1

aanwijzingKijk nog eens naar de rekenregels van logaritmen (bij Standaardfuncties).Daar zul je zien dat .Als je dit differentiëert, zul je ontdekken dat wegvalt want dat is een constante.


antwoord

aanwijzingLet op dat een exponentiële functie is en dat een machtsfunctie is.

oefening 5 (met momentenlijn en dwarskrachtenlijn)

In de volgende opgaven is steeds x de variabele, is de dwarskrachtenlijn en is de momentenlijn.

(Zie ook Sterkteleerboek en een les over Momentenlijn en Dwarskrachtenlijn .)De volgende betrekkingen moeten gelden:

De letter q staat voor de belasting op de balk en verder gaat het steeds over een balk met lengte L waarbij de variabele x steeds van links naar rechts genomen wordt. De letter x is dus de variabele. Alle andere letters zijn systeemconstanten.

1Gegeven is de momentenlijn op het traject . Bepaal de dwarskrachtenlijn voor dit traject.

(Ga na dat op en het moment gelijk is aan 0.)

antwoord

eventueel herleiden

2Gegeven is de dwarskrachtenlijn

Bepaal de belasting .

antwoord

3Gegeven is de belasting die niet constant is! op het traject .Naarmate x toeneemt, neemt ook de belasting toe (lineair met x).

Bepaal de dwarskrachtenlijn als in het beginpunt er een dwarskracht is

van .

antwoordProbeer een functie te vinden waarvoor geldt dat de afeleide van de dwarskrachtenlijn de belasting is.

Dit is de voorwaarde. Er geldt namelij dat de toename van de dwarskracht gelijk is aan de negatieve waarde van de belasting op iedere plaats.Bovendien moet de randvoorwaarde (rv) gelden.

Gemakkelijk is te berekenen wat de dwarskrachtenlijn dus is geweest.

Ga door differentiëren na dat hieruit weer de belasting tevoorschijn komt (met een minteken). De afgeleide van een constante is immers gelijk aan 0.In de volgende regel vindt er nog een vereenvoudiging plaats, maar beslist noodzakelijk is dat niet.

4Bepaal de functie van de Dwarskrachtenlijn als gegeven is dat op twee verschillende stukken de Momentenlijn bekend is.De letter L staat voor de lengte van de balk en de letter P staat voor de puntlast in het midden van de balk.

aanwijzing

Op de twee trajecten (links van het midden voor en rechts van het

midden voor ) is een verschillend functievoorschrift voor .

Behandel deze twee dus apart! antwoord

oefening 6 (met standaardfuncties, kettingregel, productregel en quotiëntregel)LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma.TIP: Gebruik voor moeilijke afleidingen ook eens het Maplet met

1Differentiëer de volgende functie naar t.

aanwijzingGebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.antwoord

2Differentiëer de volgende functie naar x.

aanwijzingGebruik de productregel en werk goed met de haakjes en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij. De afgeleide van een constante is gelijk aan 0.antwoord

Eventueel haakjes wegwerken (niet aan te raden):

3differentiëer de volgende functie naar t.

aanwijzingGebruik de quotiëntregel en werk goed met haakjes.

antwoord


aanwijzingDe quotiëntregel hoef je niet te gebruiken, want je kunt de functie ook schrijven

als en daarin is een constante.

antwoord


aanwijzing

Gebruik de machtregel. Schrijf eerst alle termen in de vorm .

antwoord

6Differentiëer de volgende functie naar t.

aanwijzingGebruik de machtregel en de kettingregel.

Schrijf de functie als .

antwoord

Eventueel kan het minteken voor de breuk nog ín de noemer van de breuk verwerkt worden.


aanwijzingGebruik de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.antwoord

8differentiëer de volgende functie naar t.

aanwijzingGebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.

Als je de functie (met de machtregels) schrijft als =

dan zie je het antwoord sneller.

antwoord

of met de rekenregels van machten korter geschreven:

9Differentiëer de volgende functie naar .

aanwijzing

Gebruik de kettingregel en de afgeleide van 1 is gelijk aa 0. Verder is

een constante.antwoord

10Differentiëer de volgende functie V naar r.

aanwijzingMisschien zie je het sneller als je de haakjes wegwerkt.

antwoord

eventueel één breuk van maken:

11Differentiëer de volgende functie y naar x.

aanwijzingGebruik de productregel.

antwoord

eventueel ontbinden:


aanwijzingGebruik de quotiëntregel en de kettingregel en de afgeleide van is gelijk aan 0.Werk goed met haakjes!antwoord


aanwijzingGebruik de productregel en de kettingregel en neem het lijstje met standaardafgeleiden erbij.antwoord

14Differentiëer de functie naar x

uitwerkingMet de quotiëntregel:

Teller en noemer met vermenigvuldigen

Teller verder uitwerken

Of het minteken voor de breuk:

met de computer


uitwerkingEerst teller en noemer delen door 2

Teller en noemer keer

Teller herleiden

Of het minteken voor de breuk halen:

met de computer


uitwerking

Teller en noemer met vermenigvuldigen

Teller herleiden

Of het minteken voor de breuk geschreven

met de computer

Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard … · 2013-09-15 · oefening 3 (sinus...

Documents

Transcript of Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard … · 2013-09-15 · oefening 3 (sinus...