Hoeken op de cirkel Cosinus en sinusVergelijkingen met cosinus en sinus Los op: cos(x) = 1 2. We...
4
Zomercursus wiskunde B Goniometrie Jolien Oomens [email protected] Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 7 juli 2017 Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B Hoeken in radialen 45 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 30 ◦ 60 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 150 ◦ 210 ◦ 225 ◦ 240 ◦ 270 ◦ 300 ◦ 315 ◦ 330 ◦ 0 ◦ 360 ◦ 0 2π π π 2 π 6 3π 2 π 4 π 3 2π 3 3π 4 5π 6 7π 6 5π 4 4π 3 5π 3 7π 4 11π 6 Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B Hoeken op de cirkel cos α = x P sin α = y P P α 1 1 Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B Cosinus en sinus α 0 π 6 π 4 π 3 π 2 π cos α = x P 1 1 2 √ 3 1 2 √ 2 1 2 0 - 1 sin α = y P 0 1 2 1 2 √ 2 1 2 √ 3 1 0 0 2π π π 2 3π 2 π 4 π 6 π 3 2π 3 3π 4 5π 6 7π 6 5π 4 4π 3 5π 3 7π 4 11π 6 Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Transcript of Hoeken op de cirkel Cosinus en sinusVergelijkingen met cosinus en sinus Los op: cos(x) = 1 2. We...
Zomercursus wiskunde BGoniometrie
Jolien [email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor WiskundeFaculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
7 juli 2017
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Hoeken in radialen
45◦
90◦
180◦
30◦
60◦120◦
135◦
150◦
210◦
225◦
240◦
270◦
300◦
315◦
330◦
0◦
360◦0
2ππ
π2
π6
3π2
π4
π3
2π3
3π4
5π6
7π6
5π4
4π3
5π3
7π4
11π6
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Hoeken op de cirkel
cosα = xP
sinα = yPP
α1
1
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Cosinus en sinus
α 0 π6
π4
π3
π2 π
cosα = xP 1 12
√3 1
2
√2 1
2 0 − 1
sinα = yP 0 12
12
√2 1
2
√3 1 0
02π
π
π2
3π2
π4
π6
π3
2π3
3π4
5π6
7π6
5π4
4π3
5π3
7π4
11π6
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Rekenen met sinus en cosinus
Bereken:
sinπ = 0
cos(−π) = −1cos 3π
2 = 0
cos π6 = 1
2
√3
α 0 π6
π4
π3
π2
cosα 1 12
√3 1
2
√2 1
2 0
sinα 0 12
12
√2 1
2
√3 1
0
2ππ
π2
3π2
π4
π6
π3
2π3
3π4
5π6
7π6
5π4
4π3
5π3
7π4
11π6
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Rekenen met sinus en cosinus
Bereken:
sin 2π3 = sin π
3 = 12
√3
cos 5π4 = − cos 7π
4 = − cos π4 = −1
2
√2
sin 11π6 = − sin π
6 = −12
α 0 π6
π4
π3
π2
cosα 1 12
√3 1
2
√2 1
2 0
sinα 0 12
12
√2 1
2
√3 1
0
2ππ
π2
3π2
π4
π6
π3
2π3
3π4
5π6
7π6
5π4
4π3
5π3
7π4
11π6
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Grafieken van de cosinus en sinus
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Vergelijkingen met cosinus en sinus
Los op: cos(x) = 12 .
We vinden x = π3 + k · 2π of x = 5π
3 + k · 2π met k geheel.
−π −π2
π2
π 3π2
2π 5π2
3π
-1
1
0
y = cos x
02π
π
π2
3π2
π4
π6
π3
2π3
3π4
5π6
7π6
5π4
4π3
5π3
7π4
11π6
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Vergelijkingen met cosinus en sinus
Gegeven 1 oplossing x0 voor cos x = u, hoe vinden we de rest?We zien dat −x0 ook een oplossing is. Alle oplossingen:
x = x0 + k · 2π of x = −x0 + k · 2π, k geheel.
Nu sin x = u, met 1 oplossing x0:
x = x0 + k · 2π of x = π − x0 + k · 2π, k geheel.
Voorbeeld: sin x = 12
√3.
Met de tabel of sin−1 12
√3 op de rekenmachine vinden we een
oplossing x0 =π3 . Dit geeft
x = π3 + k · 2π of x = π − π
3 + k · 2π = 2π3 + k · 2π,
met k geheel.
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Goniometrische formules
Belangrijk om te weten:
tan x =sin x
cos x1 = sin2 x + cos2 x
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = 2 cos2 x − 1
= cos2 x − sin2 x .
α 0 π6
π4
π3
π2
cosα 1 12
√3 1
2
√2 1
2 0
sinα 0 12
12
√2 1
2
√3 1
tanα 0 1√3
1√3 −
cos x
sin xP
x1
1
1sin x
xcos x
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Ingewikkeldere opgaven
Los op: cos(2x − 1) = 12 .
α 0 π6
π4
π3
π2
cosα 1 12
√3 1
2
√2 1
2 0
sinα 0 12
12
√2 1
2
√3 1
0
2ππ
π2
3π2
π4
π6
π3
2π33π
45π6
7π6
5π4 4π
35π3
7π4
11π6
Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π
2x = ±13π + k · 2π + 1
x = ±16π + k · π + 1
2
met k geheel.Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Ingewikkeldere opgaven
Los op: sin(2x)−√2 sin(x) = 0. Dit geeft
2 cos(x) sin(x)−√2 sin(x) = 0
sin(x)(2 cos(x)−
√2)= 0
sin(x) = 0 of 2 cos(x)−√2 = 0
sin(x) = 0 of cos(x) =1
2
√2
α 0 π6
π4
π3
π2
cosα 1 12
√3 1
2
√2 1
2 0
sinα 0 12
12
√2 1
2
√3 1
0
2ππ
π2
3π2
π4
π6
π3
2π33π
45π6
7π6
5π4 4π
35π3
7π4
11π6Dus x = kπ of x = ±1
4π + k · 2π met k geheel.
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
Opgaven en indeling
Opgaven
17.12, 17.14, 17.15, 17.31 ab, 17.32 ab, 17.33 bc en de eerste tweeopgaven van het stencil.
Antwoorden van de opgaven staan achterin, uitwerkingen van deextra opgaven op http://www.bliggy.net/cursusB.html.
Groepen
De indeling is op basis van je achternaam:
A t/m D: zaal A1.14 (Gideon Jager)
E t/m Kuhl: zaal A1.30 (Jeroen Eijkens)
Kuhlhan t/m Seydel: zaal D1.114 (Sebastian Zur)
Simsir t/m Z: zaal D1.116 (Thijs Benjamins)
Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B
![˘ ˇˆ · lPn¾w ¹{ l ¾tIl· m\l?sI k nP¢ uBin wLx]k x] ! l imFx sn!x i¦g s¤w|lP k g s lPgPk nIk k i¤sz sm x]k mWtIl g s§ sg?x i.t.i.w. heij.k lPmon|izp>l?rk in sg](https://static.fdocuments.nl/doc/165x107/5e88b1e2cf964b2c3c4cb854/-lpnw-l-til-mlsi-k-np-ubin-wlxk-x-l-imfx-snx-ig-swlp.jpg)
![Perk Labs Inc....VVVR R W K X P O V R R W K X P O L VVVV Q K R T X K P U W Q K R T X K P U W ] ^ _ . ` a ^ b c a i ie ^ a c c ^ h e f g ^ i i g ^ a e e d ` ^ ` ` d h f f ^ h ` ` @](https://static.fdocuments.nl/doc/165x107/6089e4f863fdc61fcf69bdbc/perk-labs-inc-vvvr-r-w-k-x-p-o-v-r-r-w-k-x-p-o-l-vvvv-q-k-r-t-x-k-p-u-w-q-k.jpg)
![aflif{s ;'zf;g k|ltj]bg - Madhyapur Thimi · 2017. 10. 12. · u/L 3gfj:tLdf k|j]zsf] nflu ;xfos ;8s (Approach Road) x? lgdf{0f ul/g]5 . ;fF:s[lts ?kn] dxŒjk"0f{ lghL 3/x?nfO{ k/Dk/fut](https://static.fdocuments.nl/doc/165x107/6120064fdb684401be34f324/aflifs-zfg-kltjbg-madhyapur-thimi-2017-10-12-ul-3gfjtldf-kjzsf.jpg)
