Parti ele di erentiaalvergelijkingen met niet-lokale...

Faculteit Ingenieurswetenschappen en ArchitectuurVakgroep Wiskundige Analyse

Voorzitter: Prof. Dr. M. Slodicka

Partiele differentiaalvergelijkingen met niet-lokalerandcondities

door

Marijke Grimmonprez

Promotor: Prof. Dr. M. Slodicka

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad vanMaster in de Wiskunde,

afstudeerrichtingToegepaste Wiskunde

Academiejaar 2010–2011

Voorwoord

Toen ik voor het eerst over ‘partiele differentiaalvergelijkingen’ en ‘benaderingsmethoden’las, stelde ik me de vraag: “Wat zijn deze partiele differentiaalvergelijkingen en benade-ringsmethoden en wat zijn de toepassingen hiervan?”

Via het vak ‘Partiele Differentiaalvergelijkingen’ uit de masteropleiding wiskunde aan deUniversiteit van Gent, kreeg ik een eerste indruk over deze begrippen. Ik kwam te wetendat de existentie en de uniciteit van een klassieke oplossing van een randwaardenprob-leem niet vanzelfsprekend is. Steeds meer geraakte ik geboeid door dit onderwerp. Devakken ‘Toegepaste functionaalanalyse’ en ‘Benaderingsmethoden voor randwaardenpro-blemen’ kwamen op mijn lijstje van keuzevakken in de master. Bovendien vernam ik dathet mogelijk was om met het werk van analytici en ingenieurs in contact te komen via eenmasterproef. Zo nam ik contact op met Prof. M. Slodicka, voorzitter van de VakgroepWiskundige Analyse. Die stelde voor me te begeleiden bij het zoeken naar een sterkeoplossing van partiele differentiaalvergelijkingen met niet-lokale randcondities.

Mijn dank wil ik graag betuigen aan iedereen die me geholpen heeft bij het tot standbrengen van deze masterproef.

In het bijzonder dank ik alle docenten van de Universiteit Gent die hebben bijgedragenin mijn vorming tot Master in de Wiskunde. Hierbij denk ik vooral aan mijn promotor,Prof. M. Slodicka, bij wie ik steeds terecht kon. Daarnaast gaat mijn dank ook uit naarDr. S. Durand voor zijn hulp bij het programmeren in Matlab.

Ik wil bovendien mijn ouders bedanken voor de financiele en morele steun tijdens mijnopleiding als Master in de Wiskunde en voor alle kansen die ze me tot hiertoe gegevenhebben. Ik dank tenslotte mijn vriend, die steeds voor mij klaar staat. Bedankt.

Kalken, 27 mei 2011M. Grimmonprez

i

Toelating tot bruikleen

“De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delenvan de scriptie te kopieren voor persoonlijk gebruik.Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder metbetrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen vanresultaten uit deze scriptie.”

Kalken, 27 mei 2011M. Grimmonprez

ii

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

2 Theoretisch kader 32.1 Enkele begrippen uit de functionaalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Ruimten van meetbare functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Genormeerde lineaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Ruimten van continue functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Inproductruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.5 Banachruimten en Hilbertruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.6 Sobolevruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Partiele differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Classificatie van PDV’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Randwaardenproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Abstracte variationele formulering van elliptische randwaardenpro-

blemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.4 Galerkin benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.5 Eindige elementenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Probleemstelling 35

4 Lineair stationair probleem 394.1 Theoretische analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op Ω1, Ω2 en Ω3 . . . 404.1.2 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op volledig Ω . . . . . 45

4.2 Numeriek experiment: lineair stationair probleem . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Lineair parabolisch probleem 675.1 Theoretische analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1.1 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op ieder discretisatie-tijdstip op volledig Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1.2 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op volledig (0, T ]× Ω 715.2 Numeriek experiment: lineair parabolisch probleem . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Semilineair parabolisch probleem 976.1 Theoretische analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.1.1 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op ieder discretisatie-tijdstip op volledig Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.1.2 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op volledig (0, T ]× Ω 1016.2 Numeriek experiment: semilineair parabolisch probleem . . . . . . . . . . . 101

iii

iv

7 Conclusie 118

A Appendix 119A.1 Hulpstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119A.2 Maplecode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120A.3 Matlabcode: lineair stationair probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A.4 Matlabcode: lineair parabolisch probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.5 Matlabcode: semilineair parabolisch probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Bibliografie 142

Lijst van figuren 144

Lijst van tabellen 146

iv

Hoofdstuk 1

Inleiding

Zoals gewone differentiaalvergelijkingen zijn partiele differentiaalvergelijkingen vergelijkin-gen waarin de onbekende een functie voorstelt. Bovendien komen in deze vergelijkingeneen of meerdere partiele afgeleiden van deze onbekende functie voor. Vandaar de benam-ing. Partiele differentiaalvergelijkingen worden meestal opgelost a.d.h.v. randconditiesdie het gedrag van de oplossing op de rand van het beschouwde domein uitdrukken. Dezerandcondities geven de oplossing, de flux of een combinatie van beide lokaal. Vandaar datze lokale randcondities genoemd worden.

Het niet-lineair randwaardenprobleem (RWP) van het type

u′′(x) + f(x, u(x), u′(x)) = 0, x ∈ (a, b)

komt voor in veel fysische en wiskundige toepassingen. Zoals eerder gezegd, worden insommige van die toepassingen voorwaarden op de oplossing lokaal opgelegd. In anderegevallen worden niet-lokale voorwaarden opgelegd. Dit zijn bijvoorbeeld drie-punts voor-waarden zoals

u′(a) = 0, u(c) = u(b), a < c < b

of vier-punts voorwaarden zoals

u(a) = u(c), u(d) = u(b), a < c < d < b.

Dergelijke problemen en hun veralgemening naar niet-homogene meer-punts randwaar-denproblemen zijn de laatste eeuwen veel onderzocht [1, 2, 3]. Om aan te tonen datdeze problemen goed gedefinieerd zijn in de betekenis van Hadamard wordt vaak gebruiktgemaakt van Greense functies in combinatie met de methode van ‘lower and upper solu-tions’ [4, 5].

De bedoeling van deze scriptie is om het lineair stationair vier-punts randwaardenprobleemvan de tweede orde

u(x)− u′′(x) = f(x) x ∈ (a, b);u(a) = u(c), a < c < d < b;u(d) = u(b), a < c < d < b,

het lineair parabolisch vier-punts randwaardenprobleem van de tweede orde

1

2

∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = f(t, x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c), t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(t, d) = u(t, b), t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(0, x) = u0(x), x ∈ (a, b)

(1.1)

en het semilineair parabolisch vier-punts randwaardenprobleem van de tweede orde

∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = f(u(t, x)) + g(t, x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c), t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(t, d) = u(t, b), t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(0, x) = u0(x), x ∈ (a, b)

(1.2)

te onderzoeken.

Beginwaardenproblemen zoals (1.1) en (1.2) kunnen een diffusieproces modelleren, bij-voorbeeld de warmtevergelijking waarbij de temperatuur in ieder randpunt gelijk wordtgehouden aan de temperatuur in een inwendig punt. Over deze problemen is in de liter-atuur weinig informatie beschikbaar. De reden zou kunnen zijn dat de differentiaaloperatorAu = ∂tu + u − ∂xxu samen met de niet-lokale randvoorwaarden niet elliptisch is. Ditzorgt ervoor dat de theorie omtrent elliptische partiele differentiaalvergelijkingen (Lax-Milgram), welke een standaard oplossingsmethode is, niet kan worden toegepast.

In deze thesis zullen we een nieuwe oplossingsmethode ontwikkelen. Hiervoor zullen wegebruik maken van de geschikte parametrisering van de problemen en van het principevan lineaire superpositie, gecombineerd met de Rothemethode. De plaatsdiscretisatie ishierbij gebaseerd op de eindige elementenmethode.

In het bijzonder is deze scriptie als volgt ingedeeld.

Het tweede hoofdstuk biedt een theoretisch kader teneinde de probleemstelling beter tebegrijpen. Hierin worden enkele begrippen uit de functionaalanalyse en enkele benade-ringsmethoden voor randwaardenproblemen beschreven. We gaan er vanuit dat de lezerenige kennis heeft over de reele analyse en Lebesgue-integralen.In het derde hoofdstuk wordt de probleemstelling geformuleerd waarvoor we in deze thesiseen oplossing proberen zoeken.Het vierde hoofdstuk is een behandeling van het lineair stationair randwaardenprobleemvan de tweede orde met ongekende niet-lokale randcondities waarin we zoeken naar eenmanier om de sterke oplossing van dit probleem te benaderen. De bekomen oplossings-methode wordt vervolgens gestaafd in enkele numerieke experimenten. Hiervoor wordtgebruik gemaakt van de wiskundige programma’s Maple en Matlab.Vervolgens wordt in het vijfde hoofdstuk getracht de oplossingsmethode te veralgemenenvoor een lineair parabolisch begin- en randwaardenprobleem van de tweede orde met ongek-ende niet-lokale randcondities. Ook hier worden enkele numerieke experimenten opgezet.Hoofdstuk 6 is een behandeling van een semilineair parabolisch begin- en randwaarden-probleem van de tweede orde met ongekende niet-lokale randcondities, aangevuld metnumerieke experimenten.In hoofdstuk 7 wordt een evaluatie gemaakt over deze scriptie en wordt weergegeven inhoeverre de vooropgestelde doelstellingen bereikt werden. Tenslotte richt ik een woordjetot diegenen die, net zoals mij, interesse hebben in partiele differentiaalvergelijkingen.

2

Hoofdstuk 2

Theoretisch kader

In dit hoofdstuk voeren we enkele begrippen in uit de functionaalanalyse die aan de basisliggen van deze scriptie.

Verder leggen we uit wat een partiele diferentiaalvergelijking is en welke soorten er zijn.

Tenslotte beschrijven we enkele benaderingsmethoden vor randwaardenproblemen.

2.1 Enkele begrippen uit de functionaalanalyse

2.1.1 Ruimten van meetbare functies

In deze paragraaf beschouwen we complexe functies f : Ω→ C, met Ω ⊂ RN , N ∈ N0, hetdomein van f . Merk hierbij op dat een reele functie een bijzonder geval is van een complexefunctie. Alle eigenschappen blijven dus mutatis mutandis gelden voor reele functies.

Definitie 2.1.1 (Domein). Een domein is een open samenhangende deelverzameling1 Ωvan RN .

Definitie 2.1.2 (Begrensd domein). Een begrensd domein Ω ⊂ RN is een domein meteen stuksgewijze gladde rand ∂Ω. Dit wil zeggen dat ∂Ω bestaat uit een eindig aantalgladde delen en dat een uitwendige normaalvector ν bestaat in bijna alle punten van ∂Ω.

Definitie 2.1.3 (Lebesguemeetbare verzameling). Verzamelingen waaraan een volume ofmaat2 kan worden toegekend worden Lebesguemeetbaar genoemd.

Definitie 2.1.4 (Lebesguemeetbare functie). Stel X een verzameling. Een functie f :X → R is Lebesguemeetbaar als voor elke a ∈ R geldt dat de verzameling

x ∈ X | f(x) > a

meetbaar is.

Definitie 2.1.5. Definieer voor 1 6 p <∞

Lp(Ω) :=

f : Ω→ C | f Lebesguemeetbaar en

∫Ω|f(x)|pdx < +∞

.

1Een definitie van ‘samenhangende deelverzameling’ is terug te vinden in [6].2Een definitie van ‘maat’ terug te vinden op in [7].

3

2.1. ENKELE BEGRIPPEN UIT DE FUNCTIONAALANALYSE 4

In het bijzonder is L1(Ω) de ruimte van alle functies die Lebesguemeetbaar en Lebesgue-integreerbaar zijn in Ω en L2(Ω) de ruimte van alle functies die Lebesguemeetbaar zijn inΩ met modulus die kwadratisch integreerbaar is in Ω, m.a.w.

L1(Ω) :=


∫Ω|f(x)|dx < +∞

;

L2(Ω) :=


∫Ω|f(x)|2dx < +∞

;

Stel verder L∞(Ω) de ruimte van functies die meetbaar zijn in Ω en bovendien a.e.3 be-grensd zijn in Ω, m.a.w.

L∞(Ω) :=

f : Ω→ C | f Lebesguemeetbaar en sup

a.e.|f(x)| < +∞

.

Definitie 2.1.6 (Gelijkheid in Lp(Ω)). Twee functies f en g ∈ Lp(Ω) worden ‘equivalent’of simpelweg ‘gelijk’ genoemd in de ruimte Lp(Ω), notatie: f = g in Lp(Ω), indien f = ga.e. in Ω. Voor functies die niet gelijk zijn in Lp(Ω), noteert men f 6= g in Lp(Ω).

Stelling 2.1.7. Zij 1 6 q < p 6 +∞. Dan geldt

Lp(Ω) ⊂ Lq(Ω).

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [8], pp. 264− 265.

Stelling 2.1.8. De ruimten Lp(Ω), 1 6 p 6 +∞, zijn lineaire ruimten voor de gewoneoptelling en de vermenigvuldiging met scalairen.

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [8], pp. 264.

2.1.2 Genormeerde lineaire ruimten

In wat volgt beschouwen we een lineaire ruimte V over C, de complexe getallenverzameling.De dimensie van V is niet noodzakelijk eindig.

Definitie 2.1.9 (Norm). Een norm in V is een afbeelding, genoteerd ‖·‖, van V in R+

(de verzameling van de niet-negatieve reele getallen)

‖·‖ : V → R+,

die

(i) positief definiet is: ∀u ∈ V : ‖u‖ > 0 ∧ ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 in V,

(ii) homogeen is: ‖αu‖ = |α| · ‖u‖ , ∀u ∈ V, ∀α ∈ C,

en voldoet aan

(iii) de driehoeksongelijkheid: ‖u+ v‖ 6 ‖u‖+ ‖v‖ , ∀u, v ∈ V.

Opmerking 2.1.10. Uit (ii) volgt dat de implicatie in (i) ook in de omgekeerde richtinggeldt: ‖0‖ = 0.

3almost everywhere, bijna overal, d.w.z. op een deelverzameling van Ω met maat nul na.

4


Opmerking 2.1.11 (Tweede driehoeksongelijkheid). Uit (iii) volgt dat

|‖u‖ − ‖v‖| 6 ‖u− v‖ .

Voorbeeld 2.1.12.

(i) Op de vectorruimte RN kan men volgende norm definieren:

‖(x1, . . . , xN )‖RN =√x2

1 + . . .+ x2N ,

met (x1, . . . , xN ) ∈ RN . Deze norm wordt de Euclidische norm genoemd. De afstandtussen twee punten x = (x1, . . . , xN ) en y = (y1, . . . , yN ) in RN wordt gegeven door

d(x,y) =√

(x1 − y1)2 + . . .+ (xN − yN )2.

(ii) Zij B([a, b]) de ruimte van alle begrensde functies over een interval [a, b] (d.w.z.∀ f ∈ B([a, b]), ∃M ∈ R+ zodat ∀x ∈ [a, b]: | f(x) |6M), dan definieert

‖f‖B([a,b]) = supx∈[a,b]

| f(x) |

een norm over B([a, b]), welke de supremumnorm of de Tchebycheff-norm genoemdwordt.

Definitie 2.1.13 (Genormeerde ruimte). Een lineaire ruimte V voorzien van een norm iseen genormeerde ruimte. Het niet-negatief getal ‖u‖ heet de ‘norm van u’, ∀u ∈ V .

Voorbeeld 2.1.14. Op de ruimten Lp(Ω) (p = 1, 2,∞) wordt een norm gedefinieerdm.b.v.

‖f‖L1(Ω) =

∫Ω| f(x) | dx

‖f‖L2(Ω) =

(∫Ω| f(x) |2 dx

) 12

‖f‖L∞(Ω) = supa.e.| f(x) |

Algemeen definieert

‖f‖Lp(Ω) =

(∫Ω| f(x) |p dx

) 1p

,

een norm in Lp(Ω), 1 6 p <∞.

De ruimten Lp(Ω), 1 6 p 6∞, zijn aldus genormeerde ruimten.

Stelling 2.1.15. Stel X en Y twee genormeerde ruimten, met X ⊂ Y . Dan bestaat eenpositieve constante C > 0, zodat

‖u‖Y 6 C ‖u‖X , ∀u ∈ X.

Definitie 2.1.16 (Equivalentie van normen). Twee normen ‖·‖1 en ‖·‖2 in een genor-meerde ruimte V zijn equivalent als en slechts als er twee positieve constanten C1 en C2

bestaan, zodat ∀u ∈ V geldt dat

C1 ‖u‖1 6 ‖u‖2 6 C2 ‖u‖1 .

5


Definitie 2.1.17 (Convergentie in de norm). De rij (fn)n∈N convergeert sterk in eengenormeerde ruimte V naar f of f is de limiet van (fn)n∈N in V , genoteerd als

fn → f of f = limn→∞

fn,

indien de rij niet-negatieve getallen (‖fn − f‖V )n∈N naar nul convergeert, d.w.z.

‖fn − f‖V → 0, als n→∞.

Eigenschap 2.1.18.

(i) De limiet van een convergente rij is uniek: fn → f, fn → f∗ ⇒ f = f∗;

(ii) fn → f, gn → g ⇒ fn + gn → f + g;

(iii) fn → f, αn → α ((αn)n∈N numerieke rij) ⇒ αnfn → αf ;

(iv) fn → f ⇒ ‖fn‖ → ‖f‖.

Indien bovendien de norm geassocieerd is aan een inproduct (zie sectie 2.1.4) dan geldt debijkomende eigenschap

(v) fn → f, gn → g ⇒ (fn, gn)→ (f, g).

Definitie 2.1.19 (Adherentie). De adherentie van een deelverzameling E van een genor-meerde ruimte V , genoteerd als E, is de verzameling van de limieten van alle convergenterijen van elementen van E.

Definitie 2.1.20 (Gesloten). Een deelverzameling E van een genormeerde ruimte V heetgesloten indien E = E.

Eigenschap 2.1.21 (Eigenschappen van de adherentie van E ⊂ V ).

(i) E ⊂ E;

(ii) E ⊂ F ⊂ V ⇒ E ⊂ F ;

(iii) E = E;

(iv) E lineaire deelruimte van V ⇒ E lineaire deelruimte van V.

Definitie 2.1.22 (Dichtheid). Een deelverzameling E van een genormeerde ruimte V heetdicht in V indien elke element van V de limiet is van een convergente rij van elementenvan E, m.a.w. indien elk element uit V willekeurig dicht kan benaderd worden door eenelement uit E:

E dicht in V ⇔ E = V

⇔ (∀f ∈ V ) (∀ ε > 0) (∃fn ∈ E : ‖f − fn‖V < ε) .

Definitie 2.1.23 (Drager van een functie). De drager van een functie f : Ω ⊂ RN → Rwordt gedefinieerd als

[f ] = x ∈ Ω | f(x) 6= 0.

Hierbij is de afsluiting of adherentie genomen m.b.t. de gewone afstandsnorm in RN ,gedefinieerd in Voorbeeld 2.1.12.

6


2.1.3 Ruimten van continue functies

In deze paragraaf beschouwen we opnieuw complexe functies f : Ω → C, met Ω ⊂ RN ,N ∈ N0, het domein van f .

Definitie 2.1.24 (Continu-uniform continu).

(i) Een functie f : Ω→ C is continu als en slechts als

(∀x,y ∈ Ω)(∀ε > 0)(∃δ > 0 : ‖x− y‖RN < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε).

(ii) Een functie f : Ω→ C is uniform continu als en slechts als

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x,y ∈ Ω : ‖x− y‖RN < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε).

Opmerking 2.1.25. In wat volgt noteren we hogere orde afgeleiden van functies met demulti-indexnotatie.

∀α = (α1, . . . , αd) met |α| = α1 + α2 + . . .+ αd :

Dαϕ :=∂|α|ϕ

∂x1α1 . . . ∂xd

αd. (2.1)

Definitie 2.1.26. Zij Ω ⊂ RN .

(i) De verzameling van alle continue functies in C, gedefinieerd over Ω, noteren we met

C0(Ω) := f : Ω→ C | f continu over Ω .

(ii) De verzameling van alle functies uit C0(Ω) die begrensd en uniform continu zijn opΩ, noteren we met

C0(Ω) :=f ∈ C0(Ω) | f begrensd en uniform continu op Ω

.

(iii) Als m ∈ N, dan noteren we met Cm(Ω) de verzameling van alle functies f ∈ C0(Ω)waarvan alle partiele afgeleiden Dαf tot de orde m bestaan (dus bestaan voor alleα waarvoor geldt dat |α| 6 m) en continu zijn:

Cm(Ω) :=f ∈ C0(Ω) | Dαf ∈ C0(Ω), ∀α, |α |6 m

.

(iv) Met Cm(Ω) noteren we de verzameling van alle functies f ∈ Cm(Ω) waarvoor geldtdat Dαf ∈ C0(Ω) voor alle |α| 6 m:

Cm(Ω) :=f ∈ Cm(Ω) | Dαf ∈ C0(Ω), ∀α, |α| 6 m

.

(v) C∞(Ω) is de verzameling van alle functies gedefinieerd op Ω die continue afgelei-den hebben van om het even welke orde, m.a.w. de verzameling van alle functiesgedefinieerd op Ω die onbeperkt continu diferentieerbaar zijn:

C∞(Ω) :=v ∈ C0(Ω) | v ∈ Ck(Ω), ∀k ∈ N

.

(vi) C∞(Ω) staat voor de ruimte van functies die onbeperkt continu differentieerbaar zijnin Ω en die samen met hun afgeleiden van alle orden continu extendeerbaar zijn totΩ:

C∞(Ω) :=v ∈ C0(Ω) | v ∈ Ck(Ω), ∀k ∈ N

.

7


(vii) De ruimte van functies die onbeperkt continu differentieerbaar zijn en een compactedrager in Ω hebben, noteren we met

D(Ω) = C∞0 (Ω) := f ∈ C∞(Ω) | [f ] is compact .

Deze ruimte wordt de Schwarz-ruimte genoemd.

Stelling 2.1.27 (Verband continue en uniform continue functies). Een uniform continuefunctie is continu, maar het omgekeerde is algemeen niet waar.

Eigenschap 2.1.28.

(i) C0(Ω) is dicht in L2(Ω);

(ii) D(Ω) is dicht in L2(Ω).

2.1.4 Inproductruimten

Definitie 2.1.29 (Inproduct). Een inproduct in een lineaire ruimte V is een afbeelding,genoteerd (·, ·),

(·, ·) : V × V → C,

waarvoor

(i) de additiviteit: (u+ v, w) = (u,w) + (v, w) , ∀u, v, w ∈ V ,

(ii) de homogeniteit: (αu, v) = α · (u, v) , ∀u, v ∈ V, ∀α ∈ C en

(iii) de Hermitische symmetrie: (u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ Vgelden en die

(iv) positief definiet is: (u, u) > 0, ∀u ∈ V ∧ (u, u) = 0 ⇒ u = 0 in V.

Opmerking 2.1.30 (Notatie). In de literatuur wordt een inproduct in een lineaire ruimteook vaak genoteerd als 〈·, ·〉.

Definitie 2.1.31 (Inproductruimte). Een lineaire ruimte waarop een inproduct gedefini-eerd is, noemt men een inproductruimte. Ook de term prehilbertruimte wordt gebruikt.

Voorbeeld 2.1.32.

(i) De ruimte C([a, b]), [a, b] ⊂ R, met inproduct (f, g ∈ C([a, b]))

(f, g)C([a,b]) :=

∫ b

af(x)g(x)dx

is een inproductruimte.

(ii) De ruimte L2(Ω), Ω ⊂ RN , met inproduct (f, g ∈ L2(Ω))

(f, g)L2(Ω) :=

∫Ωf(x)g(x)dx

is een inproductruimte.

(iii) De ruimte CN van de geordende N -tallen complexe getallen z = (z1, z2, . . . , zN ),zj ∈ C, j = 1, . . . , N , met inproduct

(z1, z2

)=

N∑j=1

z1j z

2j , z1 = (z1

1 , z12 , . . . , z

1N ), z2 = (z2

1 , z22 , . . . , z

2N ) (2.2)

is een eindigdimensionale inproductruimte.

8


Opmerking 2.1.33. In de ruimte Lp(Ω), p 6= 2, is geen inproduct gedefinieerd. Dezeruimte is dus geen inproductruimte.

Eigenschap 2.1.34 (Lineariteit, anti-lineariteit van het inproduct). Het inproduct islineair in de eerste en anti-lineair in de tweede component, m.a.w. ∀ fj , gk ∈ V en ∀αj , βk ∈C geldt dat n∑

j=1

αjfj ,m∑j=1

βkgk

=n∑j=1

m∑k=1

αjβk (fj , gk) .


Opmerking 2.1.35. Is V een reele lineaire ruimte met inproduct (·, ·) : V × V → R, danis dit inproduct lineair in de eerste en in de tweede component.

Stelling 2.1.36. Elke inproductruimte V is een genormeerde ruimte met norm ‖u‖ =√〈u, u〉. Men zegt dat deze norm geassocieerd is aan het inproduct.


Een inproductruimte is dus steeds een genormeerde ruimte. Het omgekeerde geldt echterniet: niet elke genormeerde ruimte is een inproductruimte. Er bestaan echter een nodigeen voldoende voorwaarde opdat een genormeerde ruimte een inproductruimte zou zijn.

Stelling 2.1.37 (Nodige voorwaarde). In een inproductruimte V geldt de parallellogramwet

‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2 ‖u‖2 + 2 ‖v‖2 ,

∀u, v ∈ V .

Stelling 2.1.38 (Voldoende voorwaarde). Als in een genormeerde ruimte de parallel-logramwet geldt, dan bestaat er een inproduct waarvoor ‖u‖2 = (u, u) , ∀u ∈ V .

Stelling 2.1.39 (De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz). In een inproductruimte V geldtdat

|(u, v)| 6 ‖u‖ · ‖v‖ , ∀u, v ∈ V,

waarbij de gelijkheid optreedt als en slechts dan als u en v lineair afhankelijk zijn.


Gevolg 2.1.40 (Ongelijkheid van Holder). Zij f, g ∈ L2(Ω), dan geldt∣∣∣∣∫Ωf(x)g(x)dx

∣∣∣∣ 6 ‖f‖L2(Ω) ‖g‖L2(Ω) ,

het gelijkheidsteken slechts voorkomend indien αf + βg = 0 in L2(Ω), α en β ∈ R nietbeide nul.

Opmerking 2.1.41. Bovenstaande stelling is de Holderongelijkheid voor integralen metp = q = 2 (zie Stelling A.1.1).

Definitie 2.1.42 (Orthogonale elementen in een inproductruimte). f en g zijn orthogonaleelementen in een inproductruimte V , genoteerd als f ⊥ g, indien (f, g) = 0.

9


Definitie 2.1.43 (Orthogonaal systeem - Orthonormaal systeem - Orthonormale rij). Eenverzameling vectoren in een inproductruimte wordt een orthogonaal systeem genoemd alsgeen enkele ervan de nulvector is en als elke twee verschillende vectoren uit die verzamelingorthogonaal zijn. Als bovendien alle vectoren uit een orthogonaal systeem eenheidsvec-toren zijn, dan spreekt men van een orthonormaal systeem.Als het orthonormaal systeem een rij is, spreekt men van een orthonormale rij.

Definitie 2.1.44 (Volledige orthonormale rij). Een orthonormale rij (fn)n∈N in een in-productruimte wordt volledig genoemd als voor elk element f in die ruimte geldt:

f =

∞∑j=1

〈f, fj〉fj .

Bovendien is deze reeksontwikkeling uniek.

Opmerking 2.1.45. In het vervolg van deze thesis zal V steeds een reele inproductruimtevoorstellen. Bijgevolg zal het inproduct in V een afbeelding zijn, voorgesteld door

(·, ·) : V × V → R.

Alle vermelde eigenschappen blijven mutatis mutandis geldig. We merken hier in hetbijzonder op dat de Hermitische symmetrie zich in dit geval herleidt tot de gewone sym-metrie, m.a.w.

(u, v) = (v, u) , ∀u, v ∈ V.

Definitie 2.1.46 (Euclidische ruimte). Een reele inproductruimte die eindigdimensionaalis, noemt men een Euclidische ruimte.

2.1.5 Banachruimten en Hilbertruimten

In een genormeerde ruimte bestaat het concept ‘compleetheid’, gedefinieerd aan de handvan Cauchyrijen.

Definitie 2.1.47 (Cauchyrij). Een rij (fn)n∈N in een genormeerde ruimte V heet eenCauchyrij indien

‖fp − fq‖V → 0, als p, q → +∞.

Eigenschap 2.1.48 (Eigenschappen van Cauchyrijen).

(i) Stel (fn)N∈N en (gn)n∈N Cauchyrijen in een genormeerde ruimte, dan is (fn + gn)n∈Neen Cauchyrij in V ;

(ii) Als (fn)n∈N een Cauchyrij is in een genormeerde ruimte en (αn)n∈N een convergentenumerieke rij, dan is (αnfn)n∈N een Cauchyrij in V ;

(iii) Als (fn)n∈N een Cauchyrij is in een genormeerde ruimte, dan is (‖fn‖)n∈N een con-vergente rij in R+;

(iv) Stel (fn)n∈N en (gn)n∈N Cauchyrijen voor een norm geassocieerd aan een inproduct,dan is ((fn, gn))n∈N een convergente rij in C.

Stelling 2.1.49. Elke convergente rij in een genormeerde ruimte is een Cauchyrij. Hetomgekeerde is, in het algemeen, niet waar.


10


Definitie 2.1.50 (compleet). Een genormeerde ruimte V voldoet aan het criterium vanCauchy als elke Cauchyrij in die ruimte convergeert naar een element van die ruimte. Menzegt dan dat V (rij)compleet is.

Definitie 2.1.51 (Banachruimte). Een complete, genormeerde ruimte heet een Banach-ruimte.

Definitie 2.1.52. Stel 1 6 p < ∞, Ω een begrensde open deelverzameling van RN ,N ∈ N0, en X een Banachruimte met norm ‖.‖X . Stel dan

Lp(Ω, X) :=

g : Ω −→ X |

(∫Ω‖g‖pX dx

)1/p

<∞

.

De geassocieerde norm in deze ruimte wordt gegeven door

‖g‖Lp(Ω,X) =

(∫Ω‖g‖pX

)1/p

.

Voorbeeld 2.1.53 (Banachruimte).

(i) Lp(Ω), 1 6 p <∞, gedefinieerd in Definitie 2.1.5, is een Banachruimte.

(ii) Lp(Ω, X), gedefinieerd in Definitie 2.1.52 is een Banachruimte.

Aangezien een inproductruimte ook een genormeerde ruimte is, bestaat in een inproduct-ruimte automatisch het concept ‘compleetheid’.

Definitie 2.1.54 (Hilbertruimte). Een Hilbertruimte is een complete inproductruimtem.b.t. geassocieerde norm.

Opmerking 2.1.55. Iedere Hilbertruimte is een Banachruimte, maar niet omgekeerd:opdat een Banachruimte een Hilbertruimte zou zijn, moet die Banachruimte eveneens eeninproductruimte zijn, m.a.w. de norm in de ruimte moet afgeleid zijn van een inproductin de ruimte. Een Banachruimte is dus een Hilbertruimte als de parallellogramwet geldt.

Voorbeeld 2.1.56.

(i) Iedere eindigdimensionale inproductruimte is een Hilbertruimte voor de geassocieerdenorm. I.h.b. is de N -dimensionale ruimte CN , voorzien van het inproduct in (2.2)een Hilbertruimte.

(ii) De ruimte L2(Ω) is een Hilbertruimte voor de norm norm gedefinieerd in Voorbeeld2.1.14. Deze norm is namelijk geassocieerd aan het inproduct in L2(Ω), gedefinieerdin Voorbeeld 2.1.32.

(iii) De ruimte L2(Ω, X) is een Hilbertruimte voor de geassocieerde norm, gedefinieerd inDefinitie 2.1.52.

Definitie 2.1.57 (Separabele Hilbertruimte). Een Hilbertruimte heet separabel als ze eenvolledige orthonormale rij bevat.

Voorbeeld 2.1.58. De ruimte L2((0, T ), L2(Ω)), Ω ⊂ RN , is een separabele Hilbert-ruimte.

Definitie 2.1.59 (Functionaal). Zij V een Hilbertruimte met inproduct (·, ·), welke denorm ‖u‖ =

√(u, u) voortbrengt. Een afbeelding f : V → R wordt een functionaal op V

genoemd. De waarde van f in u wordt genoteerd door f(u).

11


Definitie 2.1.60 (Lineaire functionaal). Een functionaal f op een Hilbertruimte V wordtlineair genoemd als en slechts als

f(αu+ βv) = αf(u) + βf(v), ∀u, v ∈ D(f), ∀α, β ∈ R,

waarbij D(f) staat voor het domein (definitieverzameling) van de functionaal f .

Definitie 2.1.61 (Begrensde lineaire functionaal). Een lineaire functionaal f is begrensdals en slecht als

sup‖u‖V 61

|f(u)| < +∞.

Definitie 2.1.62. De verzameling van alle lineaire begrensde functionalen op V , L(V,R),is een Banachruimte. Deze ruimte wordt ook de duale ruimte van V genoemd en genoteerddoor V ∗. Een norm in deze ruimte wordt gedefinieerd door

‖f‖V ∗ = sup‖u‖V 61

|f(u)|.

Opmerking 2.1.63. Een functionaal kan eveneens gedefinieerd worden in een Banach-ruimte X. De verzameling van alle lineaire begrensde functionalen op X wordt dan deduale ruimte van X genoemd en genoteerd door X∗.

Stelling 2.1.64 (Riesz representatiestelling). Stel V een Hilbertruimte met inproduct (·, ·).Elke lineaire begrensde functionaal f op V kan geschreven worden als

f(v) = (u, v)V ,∀v ∈ V.

Het element u ∈ V is uniek bepaald. Bovendien is ‖f‖V ∗ = ‖u‖V .

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [12], pp. 55 of [8], pp. 498− 499.

Definitie 2.1.65 (Zwakke convergentie). Stel V een Hilbertruimte en V ∗ de duale vanV . Een rij (un)n∈N ⊂ V is zwak convergent als en slechts als er een u ∈ V bestaat zodanigdat

limn→∞

f(un) = f(u), ∀f ∈ V ∗.

Het element u wordt de zwakke limiet van de rij (un)n∈N genoemd. We noteren dit doorun u in V .

Opmerking 2.1.66.

(i) Uit de Riesz representatiestelling volgt dat V ∗ ∼= V.

(ii) De zwakke limiet is uniek als hij bestaat.

(iii) Sterke convergentie impliceert zwakke convergentie.

(iv) Als de rij (un)n∈N zwak convergeert in V, dan is ze begrensd, i.e. er bestaat eenC > 0 zodanig dat ‖un‖V 6 C, ∀n ∈ N.

Definitie 2.1.67 (Zwak compact). Een verzameling M in een Banachruimte X is zwakcompact als men voor elke begrensde rij (un)n∈N ⊂ M een deelrij (unk)nk∈N kan vindendie zwak convergeert naar een u ∈M , i.e.,

f(unk)→ f(u), ∀f ∈ X∗.

Stelling 2.1.68. Stel V een separabele Hilbertruimte. Dan is elke begrensde verzamelingin V zwak compact.

12



Gevolg 2.1.69. Stel (un)n∈N een begrensde rij in een separabele Hilbertruimte V . Danbestaat er een zwak convergente deelrij (unk)nk∈N met limiet u in V , i.e.

f(unk)→ f(u), ∀f ∈ V ∗.

Tot slot definieren we nog een bilineaire vorm op een Hilbertruimte.

Definitie 2.1.70 (Bilineaire vorm). Zij V een Hilbertruimte met inproduct (·, ·), welkede norm ‖u‖ =

√(u, u) voortbrengt. De afbeelding a : V × V → R is een bilineaire vorm

op V , als

a(α1u1+β1v1, α2u2+β2v2) = α1α2a(u1, u2)+β1β2a(v1, v2)+α1β2a(u1, v2)+α2β1a(v1, u2),

∀ α1, α2, β1, β2 ∈ R en u1, u2, v1, v2 ∈ V .

De bilineaire vorm a(·, ·) is

(i) symmetrisch alsa(u, v) = a(v, u), ∀u, v ∈ V,

(ii) begrensd of continu als er een CM ∈ R+ bestaat zodanig dat

|a(u, v)| 6 CM ‖u‖V ‖v‖V , ∀u, v ∈ V,

(iii) V -elliptisch of sterk coercief als er een Cm ∈ R+ bestaat zodanig dat

Cm ‖u‖2V 6 a(u, u), ∀u ∈ V.

2.1.6 Sobolevruimten

In dit deel leggen we een basis voor de theorie van de abstracte variationele randwaar-denproblemen. We voeren het begrip ‘Sobolevruimten’ in en bespreken hun voornaamsteeigenschappen.De Sobolevruimten spelen een belangrijke rol in een algemene behandeling van bredeklassen van randwaardenproblemen voor gewone en partiele differentiaalvergelijkingen.

Eerst en vooral willen we in deze paragraaf voor functies die (eventueel) geen gewone ofklassieke afgeleide van een bepaalde orde hebben, een ‘veralgemeende’ of ‘zwakke’ afgeleideinvoeren. Het vertrekpunt is een eigenschap die een klassieke afgeleide, als die bestaat,heeft. Die eigenschap volgt uit de klassieke formule van de partiele integratie voor ‘brave’functies, gedefinieerd in een begrensd domein met ‘brave’ grens. We beschouwen enkeldomeinen met een zogenaamde ‘Lipschitz-grens’. De precieze definitie van dit concept isvrij ingewikkeld en wordt hier achterwege gelaten, aangezien we in de rest van deze thesisenkel eendimensionale problemen zullen bekijken en in een dimensie een domein uiteraardeen interval is.

Via de definitie van ‘veralgemeende’ afgeleide komen we tot de definitie van een Sobo-levruimte. We bekijken verschillende soorten Sobolevruimten en eigenschappen van dezeruimten.

Vervolgens vermelden we een Sobolev-inbeddingstheorema in een dimensie.

13


Tenslotte voeren we de spooroperator en de normale afgeleide in en geven we de stellingvan Green in Sobolevruimten.

Telkens wordt extra nadruk gelegd op het eendimensionaal geval, aangezien we in de restvan deze thesis slechts problemen met een plaatsvariabele zullen beschouwen.

Stelling 2.1.71 (Partiele integratie). Zij Ω = (a, b) ⊂ R een domein (interval). Zij u env ∈ C1([a, b]) (dwz. dat u en v, alsook u′ = du

dx en v′ = dvdx continu zijn in (a, b) en continu

extendeerbaar tot [a, b]). Dan geldt∫ b

au′(x)v(x)dx = −

∫ b

au(x)v′(x)dx+ u(b)v(b)− u(a)v(a).

Indien u of v nul is in de randpunten, verdwijnen de twee laatste termen in deze uit-drukking. I.h.b. geldt

Gevolg 2.1.72.∫ ba u′(x)ϕ(x)dx = −

∫ ba u(x)ϕ′(x)dx, ∀u ∈ C1([a, b]) en ∀ϕ ∈ D((a, b)).

Opmerking 2.1.73. Stelling 2.1.71 en gevolg 2.1.72 zijn ook geldig voor functies uitH1(Ω), met Ω = (a, b) (zie stelling 2.1.115 en gevolg 2.1.116).

Voor functies van meerdere veranderlijken kunnen we volgende stelling poneren.

Stelling 2.1.74 (Stelling van Green of stelling over de partiele integratie van functies vanmeerdere veranderlijken). Zij Ω ⊂ RN , N ∈ N0, een domein met een Lipschitzgrens. Zijnu en v ∈ C1(Ω) (dwz. dat u en v, alsook ∂u

∂xien ∂v

∂xi, i = 1, . . . , N continu zijn in Ω en

continu extendeerbaar tot Ω = Ω ∪ ∂Ω, ∂Ω grens). Dan geldt∫Ωu∂v

∂xidx =

∫∂Ωuvνids−

∫Ω

∂u

∂xivdx, i = 1, . . . , N,

met νi de i-de coordinaat van de eenheidsvector ν langs de uitwendige normaal op ∂Ω.


Opmerking 2.1.75. In een dimensie herleidt de stelling van Green zich tot stelling 2.1.71.

Indien u of v a.e. nul is op ∂Ω, verdwijnt de integraal over ∂Ω in stelling 2.1.74. I.h.b.geldt

Gevolg 2.1.76.∫

Ω∂u∂xiϕdx = −

∫Ω u

∂ϕ∂xidx, ∀u ∈ C1(Ω) en ∀ϕ ∈ D(Ω), i = 1, . . . , N .

Opmerking 2.1.77. De stelling van Green en het gevolg zijn ook geldig voor functie uitH1(Ω), Ω ⊂ RN , N ∈ N (zie stelling 2.1.113 en gevolg 2.1.114).

Hernemen we deze procedure voor de hogere orde afgeleiden, waarbij we gebruik makenvan de multi-indexnotatie, gedefinieerd in (2.1), dan bekomen we algemeen

Gevolg 2.1.78.∫ΩϕDαudx = (−1)|α|

∫ΩuDαϕdx,∀u ∈ Cm(Ω) en ∀ϕ ∈ D(Ω),∀α met |α| 6 m,m ∈ N0.

In 1 dimensie, waarbij we Dku = u(k) de k-de orde afgeleide van u stellen, herleidt ditzich tot∫ b

aϕDkudx = (−1)k

∫ b

auDkϕdx,∀u ∈ Cm([a, b]) en ∀ϕ ∈ D((a, b)), ∀k 6 m,m ∈ N0.

14


Dit suggereert de volgende definitie.

Definitie 2.1.79 (Veralgemeende of zwakke afgeleide). We noemen v(α) ∈ Lp(Ω) eenveralgemeende of zwakke afgeleide van de orde |α| of een (α)-afgeleide van een functieu ∈ Lp(Ω) indien geldt dat∫ b

av(α)ϕdx = (−1)|α|

∫ΩuDαϕdx, ∀ϕ ∈ D(Ω).

We noteren dan v(α) = Dαu, met D0u = u.

In een dimensie wordt dit:

We noemen v(k) ∈ Lp((a, b)), (a, b) ⊂ R, een veralgemeende of zwakke afgeleide van deorde k, k ∈ N0 van een functie u ∈ Lp((a, b)) indien geldt dat∫ b

av(k)ϕdx = (−1)k

∫ b

auϕ(k)dx, ∀ϕ ∈ D((a, b)).

We noteren dan v(k) = Dku, met D0u = u. Voor de eerste orde afgeleide wordt ook denotatie u′ gehanteerd en voor de tweede orde afgeleide u′′.

Opmerking 2.1.80. In deze definitie is u ∈ Lp(Ω) verondersteld en wordt direct geeıstdat v(α) ∈ Lp(Ω).

Deze definitie is slechts zinvol als

(i) v(α) - als die bestaat - eenduidig bepaald is door u.

(ii) de veralgemeende afgeleide samenvalt met de klassieke afgeleide indien deze laatstebestaat.

Dit volgt uit de volgende twee stellingen.

Stelling 2.1.81 (Uniciteit). Zij v(α) en v(α) ∈ Lp(Ω) veralgemeende afgeleiden vaneenzelfde u ∈ Lp(Ω), dan is v(α) = v(α) in Lp(Ω).


Stelling 2.1.82 (Een klassieke afgeleide is een veralgemeende). Zij u ∈ Cm(Ω). Danbestaan alle veralgemeende afgeleiden van u tot en met de orde m en elke veralgemeendeafgeleide Dαu, |α| 6 m, valt samen met de corresponderende klassieke afgeleide.


Opmerking 2.1.83 (1D). Stellingen 2.1.81 en 2.1.82 kunnen ook voor het eendimensionaalgeval geformuleerd worden.

Hieronder geven we enkele eigenschappen van veralgemeende afgeleiden. Ook deze zijnalgemeen geldig. Ze gelden dus in het bijzonder in een dimensie.

Eigenschap 2.1.84.

(i) Bestaan Dαu en Dαv, dan bestaat ook Dα(u+ v) en

Dα(u+ v) = Dαu+Dαv in Lp(Ω).

15


(ii) Bestaan Dβu en Dα(Dβu

), dan bestaat ook Dα+βu en

Dα(Dβu

)= Dα+βu in Lp(Ω),

met α+ β de som van de N -tallen α = (α1, . . . , αN ) en β = (β1, . . . , βN ).

(iii) Indien alle veralgemeende afgeleiden van de eerste orde ∂u∂xi∈ C0(Ω), i = 1, . . . , N ,

dan is u ∈ C1(Ω).

Nu kunnen we overgaan tot de definitie van Sobolevruimten W k,p(Ω) en Hk,p(Ω) metk ∈ N, p > 1 en Ω ∈ RN , N ∈ N0. Voor het eendimensionaal geval noteren we voor deeenvoud (a, b) eveneens met Ω en [a, b] met Ω.

Definitie 2.1.85 (seminorm). Zij i ∈ N en p > 1. De seminorm van de i-de afgeleide vanu ∈ C∞(Ω), met Ω ⊂ RN , N ∈ N0, is

|u|i,p,Ω :=

∑|α|=i

∫Ω|Dαu|p dx

1p

=

∑|α|=i

‖Dαu‖pLp(Ω)

1p

.

De sommatie gaat over alle multi-indices α met lengte i.

In het bijzonder is de seminorm van de i-de afgeleide van u ∈ C∞(Ω), met Ω = (a, b) ⊂ R,i ∈ N en p > 1, gedefinieerd als

|u|i,p,Ω =

(∫ b

a

∣∣Diu∣∣p dx) 1

p

=∥∥Diu

∥∥Lp(Ω)

.

Definitie 2.1.86. Zij k, i ∈ N en p > 1. ∀u ∈ Ck(Ω), k ∈ N, kunnen we de volgende normin termen van de seminormen definieren:

‖u‖k,p,Ω :=

(k∑i=0

|u|pi,p,Ω

) 1p

=

k∑i=0

∑|α|=i

∫Ω|Dαu|p dx

1p

=

∑|α|6k

∫Ω|Dαu|p dx

1p

=

∑|α|6k

‖Dαu‖pLp(Ω)

1p

. (2.3)

16


In het bijzonder is de norm van u ∈ Ck(Ω), k, i ∈ N, p > 1 en Ω = (a, b) ⊂ R, als volgtgedefinieerd in termen van de seminormen:

‖u‖k,p,Ω =

(k∑i=0

|u|pi,p,Ω

) 1p

=

(k∑i=0

∫ b

a

∣∣Diu∣∣p dx)

1p

=

(k∑i=0

∥∥Diu∥∥pLp(Ω)

) 1p

. (2.4)

Definitie 2.1.87 (Sobolevruimten W k,p(Ω) en W k,p0 (Ω)). De ruimte C∞(Ω) met de norm

(2.3) (norm (2.4) in 1D) is een genormeerde ruimte, maar is niet gesloten en niet dichtin Lp(Ω). De afsluiting van C∞(Ω) met betrekking tot de norm (2.3) (norm (2.4) in 1D)wordt genoteerd door W k,p(Ω) en een Sobolevruimte genoemd.

De Sobolevruimte W k,p0 (Ω) kan op analoge wijze gedefinieerd worden, als sluiting van

C∞0 (Ω) met betrekking tot de norm (2.3) (norm (2.4) in 1D).

Eigenschap 2.1.88. Stel k ∈ N, p > 1 en Ω een domein in RN met Lipschitzgrens ∂Ω.Dan geldt

(i) W k,p(Ω) en W k,p0 (Ω) zijn Banachruimten,

(ii) W k,p0 (Ω) ⊂W k,p(Ω).

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [17], pp. 256 en 271 of [18], pp. 170.

Definitie 2.1.89 (Sobolevruimten Hk(Ω) en Hk0 (Ω)). Stel p = 2. De norm (2.3) induceert

het volgende scalair product in W k,2(Ω)

(u, v)k,2,Ω :=∑|α|6k

(Dαu,Dαv) .

Een norm in deze ruimte wordt gegeven door

‖u‖k,2,Ω :=

∑|α|6k

‖Dαu‖2L2(Ω)

12

. (2.5)

In het bijzonder induceert de norm (2.4) het volgende scalair product in W k,2(Ω), Ω ⊂ R,

(u, v)k,2,Ω =

k∑i=0

∫ b

aDiuDivdx.

Een norm in deze ruimte wordt gegeven door

‖u‖k,2,Ω =

(k∑i=0

∥∥Diu∥∥2

L2(Ω)

) 12

.

De ruimte W k,2(Ω) wordt in de literatuur vaak genoteerd als Hk(Ω). Analoog wordt de

ruimte W k,20 vaak genoteerd door Hk

0 (Ω).

17


Eigenschap 2.1.90. De ruimten Hk(Ω) en Hk0 (Ω) zijn Hilbertruimten.

Opmerking 2.1.91.

(i) Hk0 (Ω) is niet dicht in Hk(Ω).

(ii) H0(Ω) = L2(Ω).

Stelling 2.1.92. Hk(Ω), k ∈ N is een separabele Hilbertruimte.

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [17], pp. 256 en 264.

Definitie 2.1.93 (Sobolevruimten Hk,p(Ω) en Hk,p0 (Ω)). Zij k ∈ N en p > 1. Hk,p(Ω) is

de verzameling van alle functies u ∈ Lp(Ω) waarvan de veralgemeende afgeleiden Dαu ∈Lp(Ω) bestaan voor alle α met |α| 6 k. De norm in deze ruimte is

‖u‖Hk,p(Ω) :=∑|α|6k

∥∥∥D(α)u∥∥∥Lp(Ω)

. (2.6)

In het bijzonder wordt de Sobolevruimte Hk,p(Ω), Ω ⊂ R, k ∈ N en p > 1, gedefinieerd alsde verzameling van alle functies u ∈ Lp(Ω) waarvan de veralgemeende afgeleiden Diu totop de orde k bestaan en tot Lp(Ω) behoren. De norm in deze ruimte is

‖u‖Hk,p(Ω) =

k∑i=0

∥∥Diu∥∥Lp(Ω)

. (2.7)

De sluiting van C∞0 (Ω) m.b.t. de norm van Hk,p(Ω) wordt genoteerd door Hk,p0 (Ω).

Gevolg 2.1.94. Zij Ω ⊂ RN , N ∈ N0, een domein met Lipschitzgrens (in het bijzonderΩ ⊂ R een interval), dan geldt

Cm(Ω) ⊂ Hm,p(Ω), ∀m ∈ N.

Eigenschap 2.1.95. Stel k, l ∈ N en Ω een domein in RN . Dan geldt:

(i) is l < k, dan is Hk,p(Ω) ⊂ H l,p(Ω);

(ii) is u ∈ Hk,p(Ω) en is l +m 6 k, dan is

Dl (Dmu) = Dm(Dlu) = Dl+mu.

Stelling 2.1.96. Stel k ∈ N en Ω een domein in RN . Dan geldt:

(i) ∀p ∈ [1,∞]: Hk,p0 (Ω) = W k,p

0 (Ω);

(ii) als Ω een Lipschitzgrens heeft: ∀p ∈ [1,∞): Hk,p(Ω) = W k,p(Ω).

Gevolg 2.1.97. Stel k ∈ N, 1 6 p <∞ en Ω een domein in RN . Dan volgt uit eigenschap2.1.88 en uit stelling 2.1.96:

(i) Hk,p0 (Ω) is een Banachruimte,

(ii) als het domein Ω een Lipschitzgrens heeft, dan is Hk,p(Ω) een Banachruimte en isC∞(Ω) dicht in Hk,p(Ω).

18


Gevolg 2.1.98. Zij k ∈ N en Ω een domein in RN met Lipschitzgrens (in heb bijzondereen interval in R). Dan is Hk,2(Ω) = W k,2(Ω) = Hk(Ω). De norm in (2.6) (in hetbijzonder (2.7)), met p = 2, is dan eveneens een norm in Hk(Ω) die we zullen voorstellendoor

‖u‖Hk(Ω) = ‖u‖k,Ω =∑|α|6k

∥∥∥D(α)u∥∥∥L2(Ω)

. (2.8)

Analoog is Hk,20 (Ω) = W k,2

0 (Ω) = Hk0 (Ω), met norm gelijk aan de norm in Hk(Ω),

aangezien W k,20 (Ω) ⊂W k,2(Ω).

Eigenschap 2.1.99. Zij k ∈ N en Ω een domein in RN met Lipschitzgrens (in het bijzon-der een interval in R). De normen (2.5) en (2.8) zijn equivalente normen in Hk(Ω).

Voor veralgemeende afgeleiden noteert men, net zoals voor klassieke afgeleiden, de vector( ∂u∂x1

, ∂u∂x2, . . . , ∂u

∂xN) als ∇u, de veralgemeende gradient. Aldus kan het inproduct in H1(Ω)

geschreven worden als

(u, v)H1(Ω) = (u, v) + (∇u,∇v)

en de norm als

‖u‖H1(Ω) = ‖u‖L2(Ω) + ‖∇u‖L2(Ω) . (2.9)

Is u ∈ H2(Ω), dan noteert men, net zoals voor klassieke afgeleiden,

∆u =

N∑i=1

∂2u

∂x2i

voor de veralgemeende Laplaciaan. Het inproduct in H2(Ω) kan dan geschreven wordenals

(u, v)H2(Ω) = (u, v) + (∇u,∇v) + (∆u,∆v)

en de norm als

‖u‖H2(Ω) = ‖u‖L2(Ω) + ‖∇u‖L2(Ω) + ‖∆u‖L2(Ω) . (2.10)

Hieronder formuleren we nog een belangrijke stelling die verder in deze thesis nog aan bodzal komen.

Stelling 2.1.100 (Sobolev-inbeddingstheorema in 1D). Zij Ω = (a, b) ⊂ R een intervalen p > 1. Dan geldt dat H1,p(Ω) continu is ingebed in C0(Ω).

Nu gaan we het gedrag van een functie karakteriseren in de omgeving van de rand ∂Ω. Alsu ∈ C0(Ω) zou zijn, dan zou het probleem eenvoudig zijn: het spoor van u op ∂Ω kan dangedefinieerd worden door middel van de waarden van u op ∂Ω, maar niet elke functie uitHk(Ω) is zo ‘braaf’. Om het spoor voor een willekeurige u te kunnen definieren hebbenwe een nieuwe functieruimte nodig, namelijk de ruimte L2(∂Ω).

19


Definitie 2.1.101. Zij Ω een begrensd domein met Lipschitzgrens ∂Ω, dan kan voorfuncties u(S), S ∈ ∂Ω, de notie Lebesguemeetbaarheid en Lebesgue-integreerbaarheidover ∂Ω worden ingevoerd. De verzameling van alle functies, gedefinieerd op ∂Ω dieLebesguemeetbaar en kwadratisch integreerbaar zijn over ∂Ω wordt dan voorgesteld door

L2(∂Ω) =

u(S) | u(S) is Lebesguemeetbaar over ∂Ω en

∫∂Ωu2(S)dS < +∞

.

Voorzien van de gewone optelling van functies en vermenigvuldiging met (reele) scalairenwordt L2(∂Ω) een lineaire ruimte.

Door

(u, v)∂Ω :=

∫∂Ωu(S)v(S)dS

en ‖u‖∂Ω :=

√∫∂Ωu2(S)dS

wordt in L2(∂Ω) een inproduct en geassocieerde norm gedefinieerd. Tenslotte is L2(∂Ω)compleet voor de ingevoerde norm en dus een Hilbertruimte.

Opmerking 2.1.102. In een dimensie bestaat ∂Ω slechts uit twee punten, nl. a en b alsΩ = (a, b). Het inproduct en de norm in L2(∂Ω) worden dan gegeven door:

(u, v)∂Ω = u(b)v(b)− u(a)v(a)

en ‖u‖∂Ω =√u(b)2 − u(a)2.

We kunnen nu het spoor van u ∈ H1(Ω) en dus a fortiori van u ∈ Hk(Ω), k > 1, invoeren.

Stelling 2.1.103 (Spoorstelling). Stel u ∈ H1(Ω). Er bestaat een unieke lineaire afbeel-ding, genoteerd γ,

γ : H1(Ω)→ L2(∂Ω)

die voldoet aan

(i) γ(u) = u|∂Ω, ∀u ∈ H1(Ω) ∩ C0(Ω),

(ii) ∃ C(Ω) > 0 zodat‖γ(u)‖∂Ω 6 C ‖u‖H1(Ω) , ∀u ∈ H1(Ω).

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [19].

Opmerking 2.1.104.

(i) γ wordt de spooroperator genoemd, γ(u) wordt het spoor van u genoemd. De on-gelijkheid in stelling 2.1.103 (ii) wordt de ongelijkheid van het spoor of de spooron-gelijkheid genoemd. Ze drukt uit dat de spooroperator een begrensde of continueoperator is van H1(Ω) in L2(∂Ω). D.w.z.: zij (um)m∈N ⊂ H1(Ω), dan geldt:

um → u in H1(Ω)⇒ γ(um)→ γ(u) in L2(∂Ω).

(ii) Legt men in een randwaardenprobleem de volgende randconditie op:

u = g op ∂Ω,

dan bedoelt men dat u ∈ H1(Ω) en dat g ∈ L2(∂Ω) het voorgeschreven spoor van uop ∂Ω is.

20


Gevolg 2.1.105. Zij Ω ⊂ RN , N ∈ N0, dan geldt dat

H10 (Ω) =

u | u ∈ H1(Ω) en γ(u) = 0 in L2(∂Ω)

.

Is in het bijzonder Ω = (a, b) een interval in R, dan geldt dat

H10 ((a, b)) =

u | u ∈ H1((a, b)) en (γu)(a) = (γu)(b) = 0

.

Opmerking 2.1.106. In wat volgt noteren we γ(u) gewoon als u wanneer uit de contextduidelijk is dat het over het spoor van u gaat.

Stelling 2.1.107 (Friedrichsongelijkheid). Zij Ω een begrensd domein in RN met Lip-schitzgrens ∂Ω, dan bestaat een constante C > 0, enkel afhankelijk van Ω zodanig dat

∥∥uH1(Ω)

∥∥26 C

[N∑i=1

∫Ω

(∂u

∂xi

)2

dx+

∫∂Ωu2(S)dS

], ∀u ∈ H1(Ω).

Dit kan eveneens als volgt genoteerd worden:

‖u‖2H1(Ω) 6 C[‖∇u‖2L2(Ω) + ‖γu‖2∂Ω

], ∀u ∈ H1(Ω).

Hierin staan ∂u∂xi, i = 1, . . . , N , voor de eerste orde veralgemeende afgeleiden van u, is u(S)

het spoor van u op ∂Ω en is ∇u de veralgemeende gradient van u.

Zij in het bijzonder Ω = (a, b) een interval in R, dan bestaat een constante C > 0, enkelafhankelijk van Ω, zodat

‖u‖2H1(Ω) 6 C

[∫ b

a(u′(x))2dx+ u2(a) + u2(b)

], ∀u ∈ H1(Ω).

Dit kan eveneens genoteerd worden als

‖u‖2H1(Ω) 6 C[∥∥u′∥∥2

L2(Ω)+ u2(a) + u2(b)

], ∀u ∈ H1(Ω).

In beide uitdrukkingen staat u′ voor de eerste orde veralgemeende afgeleide van u.

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [20], pp. 188 voor N = 1, 2.

Opmerking 2.1.108.

(i) Wegens de definitie van de Sobolevnorm ‖.‖H1(Ω), zie (2.6), volgt uit stelling 2.1.107dat er een constante C∗ bestaat, enkel afhankelijk van Ω, zodat

‖u‖2L2(Ω) 6 C∗[‖∇u‖2L2(Ω) + ‖γu‖2∂Ω

], ∀u ∈ H1(Ω).

(ii) Een bijzonder geval van stelling 2.1.107 is

‖u‖2H1(Ω) 6 C ‖∇u‖2L2(Ω) , ∀u ∈ H10 (Ω).

Gevolg 2.1.109 (Equivalente normen in H10 (Ω)). Zij Ω een begrensd domein in RN . Er

bestaan twee positieve constanten C1 en C2, zodat

C1 ‖∇u‖L2(Ω) 6 ‖u‖H1(Ω) 6 C2 ‖∇u‖L2(Ω) , ∀u ∈ H10 (Ω),

m.a.w. ‖∇u‖L2(Ω) en ‖u‖H1(Ω) zijn twee equivalente normen in H10 (Ω).

Zij in het bijzonder Ω een interval in R, dan bestaan twee positieve constanten C1 en C2,zodat

C1

∥∥u′∥∥L2(Ω)

6 ‖u‖H1(Ω) 6 C2

∥∥u′∥∥L2(Ω)

, ∀u ∈ H10 (Ω).

21


Bewijs. Uit de definitie van de norm in H1(Ω) volgt dat

‖∇u‖L2(Ω) 6 ‖u‖L2(Ω) + ‖∇u‖L2(Ω) = ‖u‖H1(Ω) , ∀u ∈ H10 (Ω) ⊂ H1(Ω).

Stel C1 = 1 en de linkerongelijkheid is bewezen. De rechterongelijkheid volgt onmiddelijkuit opmerking 2.1.108 (ii).

Gevolg 2.1.110. In de rest van deze thesis stellen we

‖u‖H10 (Ω) :=

∥∥u′∥∥L2(Ω)

. (2.11)

Equivalentie tussen de norm in H10 (Ω) en de norm geerfd van H1(Ω) wordt weergegeven

door gevolg 2.1.109.

Opdat we de formule van Green (stelling 2.1.74), geldig voor C1(Ω)-functies, zouden kun-nen veralgemenen tot functies uit H1(Ω), voeren we eerst nog het begrip ‘veralgemeendenormale afgeleide’ in.

Indien u ∈ H2(Ω) (en a fortiori indien u ∈ Hk(Ω), k > 2) dan geldt dat

∂u

∂xi∈ H1(Ω), i = 1, . . . , N.

De eerste orde veralgemeende afgeleiden bezitten dus een spoor op de rand ∂Ω, genoteerd

γ(∂u∂xi

)∈ L2(∂Ω). Daar de eenheidsvector ν langs de uitwendige normaal (bijna overal)

bestaat op de Lipschitzgrens ∂Ω, kan nu de veralgemeende afgeleide van u ∈ H2(Ω) langsdie normaal worden ingevoerd.

Definitie 2.1.111. Zij u ∈ H2(Ω) dan definieren we de veralgemeende normale afgeleidevan u in S ∈ ∂Ω door

∂u

∂ν(S) =

N∑i=1

νi(S)γ

(∂u

∂xi

)=

d∑i=1

νi(S)∂u(S)

∂xi

met νi(S) de i-de coordinaat van de eenheidsvector ν(S) langs de uitwendige normaal inS op ∂Ω.

Eigenschap 2.1.112. ∂u∂ν = ∇u · ν ∈ L2(∂Ω).

Stelling 2.1.113 (Green).

(i) Zij u, v ∈ H1(Ω) en zij ∂Ω de Lipschitzgrens van Ω, dan is(∂u

∂xi, v

)+

(u,

∂v

∂xi

)= (νiγ(u), γ(v))∂Ω , i = 1, 2, . . . , N.

(ii) Is u ∈ H2(Ω), v ∈ H1(Ω) en zij ∂Ω de Lipschitzgrens van Ω, dan geldt dat

(∆u, v) + (∇u,∇v) =

(∂u

∂ν, γ(v)

)∂Ω

.

Hierin zijn ∂u∂xi, 1 6 i 6 N , de veralgemeende eerste orde afgeleiden van u, is γu het spoor

van u, is ∇u de veralgemeende gradient van u en is ∆u de veralgemeende Laplaciaan vanu. Bovendien is ∂u

∂ν de veralgemeende normale afgeleide van u en is νi de i-de coordinaatvan de eenheidsvector ν langs de uitwendige normaal op ∂Ω. Tenslotte staat (·, ·) voor hetinproduct in L2(Ω) en (·, ·)∂Ω voor het inproduct in L2(∂Ω).

22

2.2. PARTIELE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 23


Gevolg 2.1.114.

(i) Zij u ∈ H1(Ω), dan is(∂u

∂xi, ϕ

)= −

(u,∂ϕ

∂xi

), ∀ϕ ∈ D(Ω), i = 1, 2, . . . , N.

(ii) Zij u ∈ H2(Ω), dan geldt dat

(∆u, ϕ) = − (∇u,∇v) , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Stelling 2.1.115 (Green in 1D).

(i) Zij u, v ∈ H1(Ω) met Ω = (a, b) een interval in R. Dan is(u′, v

)+(u, v′

)= u(b)v(b)− u(a)v(a).

(ii) Zij u ∈ H2(Ω) en v ∈ H1(Ω) met Ω = (a, b) een interval in R. Dan is(u′′, v

)+(u′, v′

)= u′(b)v(b)− u′(a)v(a).

Hierin is u′ de eerste-orde veralgemeende afgeleide van u en u′′ de tweede-orde veralge-meende afgeleide van u. Bovendien staat (·, ·) voor het inproduct in L2((a, b)).

Gevolg 2.1.116.

(i) Zij u ∈ H1(Ω), met Ω = (a, b) een interval in R. Dan is(u′, ϕ

)= −

(u, ϕ′

), ∀ϕ ∈ D(Ω).

(ii) Zij u ∈ H2(Ω), met Ω = (a, b) een interval in R. Dan is(u′′, ϕ

)= −

(u′, ϕ′

), ∀ϕ ∈ D(Ω).

2.2 Partiele differentiaalvergelijkingen

Een partiele differentiaalvergelijking (PDV) beschrijft een relatie tussen een onbekendefunctie en een of meerdere van zijn partiele afgeleiden. Betreft het een functie van slechtseen veranderlijke, dan spreken we over een gewone differentiaalvergelijking (ODV). PDV’sverschijnen regelmatig in de fysica en de ingenieurswetenschappen. Recent is er ook eentoename in het gebruik van partiele differentiaalvergelijkingen in gebieden zoals biologie,chemie, computerwetenschappen en economie. In principe probeert men in elke weten-schap waar er een interactie is tussen een aantal onafhankelijke variabelen functies in dievariabelen te definieren. Vervolgens modelleert men verscheidene processen door vergelij-kingen voor deze functies te construeren.

Aan een PDV worden meestal bijkomende condities, zoals begincondities en/of randcon-dities, toegevoegd om de uniciteit van de oplossing te waarborgen.

De analyse van PDV’s heeft vele facetten. Het ontwikkelen van methoden om de exacteoplossing te vinden is de klassieke benadering die de negentiende eeuw domineerde. De

23


methode van de karakteristieken van Hamilton leidde tot grote vooruitgang in o.a. ana-lytische mechanica. De Fourier methode onthulde een oplossing voor het warmtetransporten de golfvergelijking. Tenslotte werd de methode van Green belangrijk in de ontwikke-ling van de theorie van electromagnetisme. De grootste vooruitgang in PDV’s werd echterbereikt de laatste 50 jaar met de introductie van numerieke methoden. Dit laat ons toecomputers te gebruiken om PDV’s op te lossen. De theoretische analyse van de oplossing,gebaseerd op functionaalanalytische methoden, blijft echter belangrijk. In het algemeenkomt de vergelijking voort uit een model voor een fysisch probleem. Het is niet onmid-dellijk duidelijk dat het model inderdaad consistent is in die zin dat het tot een oplosbarePDV leidt. Bovendien is het in de meeste gevallen gewenst dat er een unieke oplossing isen dat die stabiel is onder kleine perturbaties van de data. Dan weet men namelijk dateen numerieke methode de gezochte oplossing inderdaad kan benaderen. Als de oplossingechter niet continu afhangt van de data kan een kleine fout in de data grote verschillen inde oplossing van de numerieke methode impliceren. Een theoretische analyse van de PDVlaat ons toe te controleren of aan deze voorwaarden voldaan is.

De fundamentele theoretische vraag is aldus of het probleem, bestaande uit een PDV enbijhorende randvoorwaarden, wel gesteld is in de betekenis van Hadamard.

Definitie 2.2.1 (Wel gesteld, Hadamard). Een probleem is goed gedefinieerd of welgesteld in de betekenis van Hadamard als het aan volgende criteria voldoet

(i) (Existentie) het probleem heeft een oplossing,

(ii) (Uniciteit) er is niet meer dan 1 oplossing,

(iii) (Stabiliteit) een kleine wijziging in de differentiaalvergelijking of in de randconditiesgeeft aanleiding tot een kleine wijziging in de oplossing, m.a.w. de oplossing hangtcontinu af van de data.

Als een of meerdere van de bovenstaande condities niet geldt, dan zeggen we dat hetprobleem ‘slecht gesteld’ is.

2.2.1 Classificatie van PDV’s

We beschouwen een domein Ω ⊂ RN , n ∈ N0, en een functie u : Ω ⊂ RN → R inCm(Ω),m ∈ N.

Definitie 2.2.2. Een uitdrukking van de vorm

F(x, D(m,0,...,0)u, . . . ,Dαu, . . . ,D(0,0,...,0)u

)= 0, x ∈ Ω,

met |α| 6 m wordt een PDV van de orde m genoemd.

Definitie 2.2.3.

(i) Een PDV is lineair als ze de volgende vorm heeft:∑|α|6k

aαDαu = 0, x ∈ Ω.

(ii) Een PDV is semilineair als ze de volgende vorm heeft:

F(x, Dβu

)+∑|α|=k

aαDαu = 0, x ∈ Ω,

met |β| 6 k − 1.

24


(iii) Een PDV is quasilineair als ze de volgende vorm heeft:

F(x, Dβu

)+∑|α|=k

aα

(x, Dβu

)Dαu = 0, x ∈ Ω,

met |β| 6 k − 1.

Een PDV is dus lineair als alle coefficienten aα onafhankelijk zijn van de oplossing.Een PDV is semilineair als de hoogste orde coefficienten onafhankelijk zijn van de op-lossing, maar niet alle andere termen lineair zijn in de oplossing. Als ook de hoogste ordecoefficienten afhankelijk zijn van de oplossing wordt een PDV quasilineair genoemd.

We geven enkele belangrijke voorbeelden van PDV’s.

Voorbeeld 2.2.4. Stel f : Ω→ R. Enkele voorbeelden van PDV’s zijn:

(i) de Laplacevergelijking

∆u =N∑i=1

∂2xixiu = 0;

(ii) de warmtevergelijking∂tu−∆u = f ;

(iii) de golfvergelijking∂ttu−∆u = f ;

(iv) de reactie-diffusie vergelijking

∂tu−∆u = f(u).

Definitie 2.2.5. Een lineaire PDV van de tweede orde in Ω ⊂ RN heeft de volgende vorm

N∑i,j=1

aij(x)∂2u(x)

∂xi∂xj+

N∑i=1

bi(x)∂u(x)

∂xi+ c(x)u(x) = f(x), (2.12)

waarbij aij , bi, c, f : Ω→ R, i, j = 1, . . . , N . Deze vergelijking heet

(i) homogeen als f = 0,

(ii) inhomogeen als f 6= 0,

(iii) met constante coefficienten als alle coefficienten constant zijn.

Het hoofddeel van deze vergelijking is het deel dat de hoogste afgeleiden van de onbekendefunctie u bevat, namelijk

N∑i,j=1

aij(x)∂2u(x)

∂xi∂xj.

In dit multidimensionaal geval wordt het karakter van de PDV bepaald door de eigen-waarden van de matrix A = (aij)i,j=1,...,N .

Definitie 2.2.6. De PDV (2.12) heet

(i) parabolisch als er minstens een eigenwaarde nul is,

(ii) elliptisch als alle eigenwaarde verschillend zijn van nul en hetzelfde teken hebben,

25


(iii) hyperbolisch als alle eigenwaarden verschillend zijn van nul en op een na hetzelfdeteken hebben.

Voorbeeld 2.2.7.

(i) De Laplacevergelijking is een lineaire elliptische PDV;

(ii) De warmtevergelijking is een lineaire parabolische PDV;

(iii) De golfvergelijking is een lineaire hyperbolische PDV;

(iv) De reactie-diffusie vergelijking is een niet-lineaire parabolische PDV.

2.2.2 Randwaardenproblemen

Definitie 2.2.8 (Randwaardenprobleem). Een randwaardenprobleem is een differentiaal-vergelijking samen met een verzameling van aanvullende voorwaarden, de randconditiesgenoemd.

Definitie 2.2.9. De drie meest voorkomende randcondities zijn:

(i) een Dirichlet-randconditie: deze specificeert de waarde die een oplossing van eenPDV moet aannemen op (een deel van) de rand van het domein. Bijvoorbeeld

u = g op ∂Ω,

met u de onbekende oplossing gedefinieerd op het domein Ω en g een functie gedefi-nieerd op de rand ∂Ω;

(ii) een Neumann-randconditie: deze specificeert de waarde die de normale afgeleidevan de oplossing van een PDV moet aannemen op (een deel van) de rand van hetdomein. Bijvoorbeeld

∂u

∂ν= g op ∂Ω,

met u de onbekende oplossing gedefinieerd op het domein Ω, ν de eenheidsvectorlangs de uitwendige normaal en g een functie gedefinieerd op de rand ∂Ω;

(iii) een Robin-, Newton-, of Cauchy-randconditie: deze specificeert de waarde dieeen lineaire combinatie van de normale afgeleide van de oplossing van een PDV metde oplossing zelf moet aannemen op (een deel van) de rand van het domein. Het isdus een combinatie van een Dirichlet- en Neumann-randconditie. Bijvoorbeeld

au+ b∂u

∂ν= g op ∂Ω,

met a, b ∈ R0, u de onbekende functie gedefinieerd op het domein Ω, ν de eenheids-vector langs de uitwendige normaal en g een functie gedefinieerd op de rand ∂Ω. Hetis ook mogelijk dat a en b functies zijn.

Opmerking 2.2.10. Alle soorten randcondities kunnen gecombineerd worden. Bijvoor-beeld Dirichlet op ΓD, Neumann op ΓN en Robin op ΓR, samen met de voorwaarde dat

∂Ω = ΓD ∪ ΓN ∪ ΓR

en de voorwaarde dat alle randdelen ΓD,ΓN en ΓR disjunct zijn, d.w.z. dat

ΓD ∩ ΓN = ΓN ∩ ΓR = ΓR ∩ ΓD = ∅.

26


Het volgende homogeen elliptisch randwaardenprobleem, bestaande uit een gewone diffe-rentiaalvergelijking met Dirichlet-randcondities, zal in dit werk regelmatig terugkeren:

ru− u′′ = 0 in Ω = (a, b);u(a) = α;u(b) = β,

(2.13)

met r ∈ R0.

Een exacte oplossing van elliptische randwaardenproblemen van deze vorm kan gemakkelijkbepaald worden. We vermelden hieronder een werkwijze om de exacte oplossing te bepalen.We merken hierbij op dat we gebruik zullen maken van de formule

exp(x)− exp(−x)

2= sinh(x), ∀x ∈ R. (2.14)

We vermelden hier ook reeds de volgende formule voor cosh(x), die verder in deze thesisnog gebruikt zal worden:

exp(x) + exp(−x)

2= cosh(x), ∀x ∈ R. (2.15)

De algemene vorm van een oplossing van ru− u′′ = 0 is

u(x) = c1 exp(λ1x) + c2 exp(λ2x),

met λ1 en λ2 de oplossingen van de karakteristieke vergelijking

r − λ2 = 0,

m.a.w.

λ1 =√r en λ2 = −

√r.

HIeruit volgt dat

u(x) = c1 exp(√rx) + c2 exp(−

√rx). (2.16)

Om de coefficienten c1 en c2 te vinden, maken we gebruik van de randcondities. Er geldtdat

u(a) = c1 exp(√ra) + c2 exp(−

√ra);

u(b) = c1 exp(√rb) + c2 exp(−

√rb).

of α = c1 exp(

√ra) + c2 exp(−

√ra);

β = c1 exp(√rb) + c2 exp(−

√rb).

(2.17)

Dit stelsel lossen we op naar c1 en c2. Hiertoe vermenigvuldigen we de eerste vergelijkingvan (2.17) met exp(−

√rb) en de tweede vergelijking van (2.17) met exp(−

√ra) en trekken

de resultaten van elkaar af. We bekomen dat

c1

[exp

(√ra)· exp

(−√rb)− exp

(√rb)· exp

(−√ra)]

= α exp(−√rb)− β exp

(−√ra).

27


Hieruit volgt dat

c1 =α exp (−

√rb)− β exp (−

√ra)

exp (√ra) · exp (−

√rb)− exp (

√rb) · exp (−

√ra)

=α exp (−


√ra)

exp (√r(a− b))− exp (

√r(b− a))

=α exp (−


√ra)

2 sinh (√r(a− b))

.

Vermenigvuldigen we vervolgens α met exp(√rb) en β met exp(

√ra) en trekken we de

resultaten van elkaar af, dan bekomen we op analoge manier dat

c2 =β exp (

√ra)− α exp (

√rb)


.

Substitueren we tenslotte de bekomen uitdrukkingen voor c1 en c2 in (2.16) dan bekomenwe:

u(x) =α exp (−


√ra)


exp(√rx)

+β exp (

√ra)− α exp (

√rb)


exp(−√rx). (2.18)

2.2.3 Abstracte variationele formulering van elliptische randwaarden-problemen

In wat volgt leggen we een basis voor het oplossen van elliptische randwaardenproblemen.

Veronderstel dat we een partiele differentiaalvergelijking van de vorm

Au = f, (2.19)

met A een gegeven lineaire differentiaaloperator van de tweede orde en f een gegevencontinue functie, willen oplossen. Een klassieke oplossing van deze differentiaalverge-lijking is een functie u die continue afgeleiden tot en met de tweede orde heeft, m.a.w.u ∈ C2(Ω). In dat geval zal de PDV puntsgewijze vervult zijn, d.w.z. in alle punten vanhet beschouwde domein. In vele toepassingen bestaat zo’n klassieke oplossing echter niet.We moeten daarom een oplossing zoeken met zwakkere eigenschappen. Op dit momentkomen de randcondities, die gewoonlijk voorkomen bij een PDV, in het spel. De keuzevan de testruimte V wordt namelijk op deze randcondities afgestemd. Vervolgens zien wevergelijking (2.19) als een vergelijking in de duale ruimte V ∗ en beschouwen beide zijdenvan deze vergelijking als een functionaal. Wanneer we een functionaal toepassen op eenelement van V krijgen we een reeel getal. We vermenigvuldigen beide zijden van (2.19)met een willekeurige ϕ ∈ V en integreren de bekomen vergelijking over Ω. We krijgen∫

ΩAuϕ =

∫Ωfϕ =: f(ϕ), ∀ϕ ∈ V. (2.20)

Deze formule bevat nog steeds afgeleiden tot en met de tweede orde van de onbekende u.Het is echter niet meer noodzakelijk dat u ∈ C2(Ω). De enige noodzaak is dat de integralendie in (2.20) voorkomen bestaan, dus dat de oplossing u veralgemeende afgeleiden tot enmet de tweede orde heeft, m.a.w. dat u ∈ H2(Ω). Deze oplossing wordt een sterke

28


oplossing van het probleem genoemd. Om deze voorwaarde nog te verzwakken kunnenwe via de stelling van Green (of via de stelling van de partiele integratie in 1D) eenafgeleide van de oplossing naar de testfunctie ϕ verschuiven. Zo vinden we de variationeleformulering van het probleem. Deze formulering is van de vorm

a(u, ϕ) = f(ϕ), ∀ϕ ∈ V,

met a een bilineaire vorm geınduceerd door de differentiaaloperator A en f(·) een lineairefunctionaal geınduceerd door de bronterm f en gedefinieerd als f(·) = (f, ·).Deze uitdrukking is geen vergelijking meer, maar een integraalidentiteit die voldaan moetzijn voor alle testfuncties. De functie u die deze identiteit oplost, wordt een zwakke ofvariationele oplossing genoemd van het probleem. De enige eis die aan deze functienog wordt opgelegd is dat die veralgemeende afgeleiden van de eerste orde bezit, dus datu ∈ H1(Ω).

Definitie 2.2.11 (Probleem (V, a, f)). Stel a(·, ·) een V -elliptische en continue bilineairevorm in de Hilbertruimte V . Veronderstel f ∈ V ∗. Het element u ∈ V wordt de variationeleof zwakke oplossing genoemd van het probleem (V, a, f) als

a(u, ϕ) = f(ϕ), ∀ϕ ∈ V.

Het probleem wordt gegeven door de bilineaire vorm a(·, ·), de functionaal f en de Hil-bertruimte V . Vandaar dat we van het probleem (V, a, f) spreken.

Stelling 2.2.12 (Lax-Milgramlemma). Stel a(·, ·) een V -elliptische en continue bilineairevorm in de Hilbertruimte V. Veronderstel f ∈ V ∗. Dan bestaat er een unieke zwakkeoplossing van het probleem (V, a, f).

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [12], pp. 62 of [18], pp. 214− 215.

2.2.4 Galerkin benadering

De oplossing van het probleem (V, a, f) is een element van de Hilbertruimte V . Deze ruimteis oneindig dimensionaal. De Galerking benadering van de oplossing wordt bekomen uiteen interne benadering van het variationeel randwaardenprobleem (V, a, f). We kiezenhiertoe een eindig dimensionale deelruimte Vh van V en proberen het discrete analogon van(V, a, f), genoteerd als (Vh, a, f), op te lossen. We lossen m.a.w. het variationeel probleem(V, a, f) op in een eindigdimensionale deelruimte Vh van V . Het discrete analogon kunnenwe als volgt definieren.

Definitie 2.2.13 (Probleem (Vh, a, f)). Stel a(·, ·) een V -elliptische en continue bilineairevorm in de Hilbertruimte V . Veronderstel f ∈ V ∗ en Vh een eindig dimensionale deelruimtevan V. Een element uh ∈ Vh wordt een oplossing van het probleem (Vh, a, f) genoemd alsen slechts als

a(uh, ϕh) = f(ϕh), ∀ϕh ∈ Vh.

Het element uh wordt de Galerkin benadering van de oplossing u van het probleem (V, a, f)genoemd.

Opmerking 2.2.14.

(i) De parameter h wordt de approximatieparameter of netparameter genoemd. Zonderverlies van algemeenheid kunnen we veronderstellen dat h ∈ (0, 1]. De parameterh beschrijft de kwaliteit van de benadering: hoe dichter h bij nul, hoe beter debenadering (zie sectie 2.2.5 voor voorbeelden).

29


(ii) Het eindig dimensionaal probleem (Vh, a, f) heeft exact dezelfde vorm als het origineleprobleem (V, a, f). Het enige verschil tussen beide problemen is dat de testfunctiesin (Vh, a, f) genomen zijn uit de eindig dimensionale deelruimte Vh in plaats van devolledige ruimte V.

(iii) Alle eigenschappen van de bilineaire vorm a(·, ·), die geldig zijn in V , zijn automatischook geldig in Vh. Bijgevolg volgt de existentie en uniciteit van de oplossing van hetprobleem (Vh, a, f) uit het Lax-Milgramlemma (zie stelling 2.2.12).

In wat volgt proberen we het eindigdimensionaal probleem (Vh, a, f) te herleiden tot eenalgebraısch probleem.

Stel hiertoe ϕiNi=1 een basis van de N -dimensionele deelruimte Vh, i.e. Vh = [ϕ1, . . . , ϕN ]van V , met h = 1

N . De oplossing uh ∈ Vh van (Vh, a, f) is dan te schrijven als een lineairecombinatie van de basisfuncties van Vh:

uh =N∑j=1

cjϕj .

We substitueren deze uitdrukking in het probleem (Vh, a, f) en stellen ϕh = ϕi, 1 6 i 6 N .We vinden

a

N∑j=1

cjϕj , ϕi

= f (ϕi) , 1 6 i 6 N

⇔N∑j=1

cja(ϕj , ϕi) = f(ϕi), 1 6 i 6 N.

Bijgevolg is c = [c1, . . . , cN ]T de oplossing van het algebraısch systeem

Mc = f , (2.21)

waarbij f = [f(ϕ1), . . . , f(ϕN )]T en

M =

a(ϕ1, ϕ1) a(ϕ2, ϕ1) . . . a(ϕn, ϕ1)a(ϕ1, ϕ2) a(ϕ2, ϕ2) . . . a(ϕn, ϕ2)

......

......

a(ϕ1, ϕn) a(ϕ2, ϕn) . . . a(ϕn, ϕn)

.

Eigenschap 2.2.15. De matrix M is positief definiet.

Bewijs. Dit volgt uit de V -ellipticiteit van a. Er bestaat namelijk een constante Cm > 0,zodat ∀λ = (λ1, . . . , λN )T 6= (0, . . . , 0)T :

0 <

∥∥∥∥∥N∑i=1

λiϕi

∥∥∥∥∥2

61

Cma

N∑i=1

λiϕi,

N∑j=1

λjϕj

=1

Cm

N∑i=1

N∑j=1

λiλja (ϕi, ϕj) =1

CmλTMλ.

Gevolg 2.2.16. De matrix M is regulier. Aldus bestaat een unieke oplossing van hetalgebraısch systeem (2.21).

30


Opmerking 2.2.17.

(i) Een matrix M is positief definiet als βTMβ > 0 voor alle β 6= 0.

(ii) Een positief definiete matrix is regulier (zie bijvoorbeeld [21], pp. 760).

Het probleem (Vh, a, f) kan dus volgens bovenstaande werkwijze gereduceerd worden toteen algebraısch systeem (2.21). Dit systeem kan opgelost worden door een geschikte alge-braısche solver zoals Matlab, Maple,. . . . Op deze manier krijgen we een uniek bepaaldeuh als de oplossing van (Vh, a, f). Dit is een benadering van de oplossing u van (V, a, f).Onder een benadering verstaan we het feit dat we het probleem (V, a, f) hebben opgelostin Vh.

Hieronder geven we enkele resultaten over de fout van de benadering.

Lemma 2.2.18 (Lemma van Cea). Stel u de oplossing van het probleem (V, a, f) en uhde Galerkin benadering van u in de ruimte Vh. Dan bestaat een positieve C > 0 zodat

‖u− uh‖V 6 C infv∈Vh‖u− v‖V .


Opmerking 2.2.19.

(i) De constante C in het lemma van Cea is onafhankelijk van de oplossing en van denetparameter h.

(ii) Het lemma van Cea stelt dat de benaderingsfout kan geschat worden door de benader-ing van de volledige ruimte V door zijn deelruimte Vh. Dit verklaart de beschouwingvan deelruimten Vh die V benaderen met een voldoende nauwkeurigheid. Het is nietvoldoende om een deelruimte Vh te nemen.

Definitie 2.2.20. Stel u de oplossing van het probleem (V, a, f) en uh de Galerkin be-nadering van die oplossing in de deelruimte Vh. We zeggen dat de rij van Galerkin bena-deringen convergeert naar de oplossing u ∈ V, als

limh→0‖u− uh‖V = 0.

Opmerking 2.2.21. Uit het lemma van Cea volgt dat we een rij moeten construeren vaneindig dimensionale deelruimten Vh ⊂ V , waarvoor geldt dat

infv∈Vh‖u− v‖V → 0 als h→ 0, ∀u ∈ V.

Als dit geldt, convergeren de Galerkin benaderingen uh namelijk naar de exacte oplossingu van (V, a, f).

2.2.5 Eindige elementenmethode

De eindige elementenmethode is een efficiente methode voor het oplossen van partieledifferentiaalvergelijkingen van het elliptisch type of het parabolisch type met bijhorendebegin- en/of randcondities. Overeenkomstig het lemma van Cea kunnen we stellen dat deconvergentie van de benaderende oplossing uh van probleem (Vh, a, f) naar de exacte op-lossing u van probleem (V, a, f) afhangt van de constructie van een rij eindig dimensionaledeelruimten Vh ⊂ V . We leggen het idee van de eindige elementenmethode (EEM) uit voorelliptische problemen in 1D. Vervolgens leggen we uit hoe we een parabolisch probleem ineen plaatsveranderlijke zullen discretiseren in de tijd. Zo bekomen we op ieder tijdstip eenelliptisch probleem in 1D waarvan we de oplossing benaderen m.b.v. de EEM.

31


Elliptisch probleem in 1D

De EEM voor een elliptisch randwaardenprobleem is gebaseerd op een variationele formu-lering van het beschouwde probleem en verloopt in twee stappen.

1. Eerst wordt een geschikte keuze van een eindig dimensionale deelruimte Vh van Vgemaakt. De ruimte V van testfuncties is hierbij over het algemeen een geschikte So-bolevruimte, waarvan de elementen voldoen aan randcondities van het beschouwdeprobleem.Men verdeelt het domein Ω ⊂ R (een interval) in een aantal disjuncte open deelge-

bieden Ωi (deelintervallen), 1 6 i 6 N , met Ω =N⋃i=1

Ωi. Deze deelintervallen worden

de elementen genoemd.

De exacte oplossing u zal eerst in het volledige domein benaderd worden door vol-doende gladde functies op elke Ωi. Dan wordt de benadering van u op het volledigedomein Ω bestudeerd.

Zonder de algemeenheid te schaden, mogen we veronderstellen dat Ω = (a, b). Webeschouwen de partitie

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−1 < xN = b

van Ω, waarbij x0, x1, . . . , xN de knooppunten genoemd worden.We stellen Ωi = (xi−1, xi) voor i = 1, . . . , N , met hi = |Ωi| = xi − xi−1. De grootstelengte van alle deelintervallen wordt genoteerd door

h = max16i6N

hi

en wordt de netparameter genoemd.

Stel Pk(Ωi) de verzameling van alle polynomen van graad kleiner dan of gelijk aan kdie gedefinieerd zijn op Ωi. We introduceren de notatie

Xm,kh =

ϕ ∈ Cm(Ω) : ϕ|Ωi

∈ Pk(Ωi), i = 1, . . . , N.

De elementen van Xm,kh hebben continue afgeleiden tot en met de orde m in het

volledige domein Ω, terwijl de restrictie van een element uit Xm,kh op Ωi een poly-

noom is met graad kleiner dan of gelijk aan k. We nemen Vh een eindigdimensionaledeelruimte van een gekozen Xm,k

h en wel zodanig dat de functies uit Vh aan de voor-waarden uit V voldoen. Als m = 0 spreekt men over de Lagrange EEM. De elementenuit X0,k

h zijn dan globaal continu. Het geval m > 0 wordt de Hermit EEM genoemd.

2. Vervolgens wordt een keuze gemaakt van een cardinale basis ϕi van Vh. Die keuzewordt zo gemaakt dat het opbouwen en het oplossen van het algebraısch probleem -het eindige elementenstelsel - op een computationeel voordelige wijze kan verlopen.Bovendien wordt deze basis afgeleid uit een basis van Xm,k

h , via de extra voorwaardendie aan de functies uit Vh zijn opgelegd.

We geven hieronder als voorbeeld X0,kh met bijhorende basis. De Langrange EEM

die met deze ruimte correspondeert, zullen we later in deze thesis nog gebruiken.

32


Voorbeeld 2.2.22.

De ruimte X0,1h is eindig dimensionaal. Een basis wordt gecreeerd door de functies

ϕi ∈ X0,1h , i = 0, . . . , N , die voldoen aan ϕi(xj) = δi,j , 0 6 i, j 6 N en gedefinieerd

worden door

ϕi(x) =

x−xi−1

hix ∈ (xi−1, xi] ,

1− x−xihi+1

x ∈ (xi, xi+1),

0 elders.

Als v ∈ X0,1h , dan geldt bovendien dat v op unieke manier kan geschreven worden als

lineaire combinatie van de basisfuncties, met als coefficienten de waarden van v in deknooppunten. Er geldt dus:

v(x) =

N∑i=0

v(xi)ϕi(x). (2.22)

De Lagrange-polynomen ϕi worden ook ‘hoedfuncties’ genoemd, omwille van de vorm.Hieronder worden een, respectievelijk drie hoedfuncties weergegeven. Het is duidelijkdat op een element slechts twee hoedfuncties verschillend zijn van nul.

Parabolisch probleem in een plaatsveranderlijke

De exacte oplossing u(t, x) van een parabolisch begin- en randwaardenprobleem in eenplaatsveranderlijke x waarbij enkel de eerste-orde partiele afgeleide naar de tijd voorkomt,kan benaderd worden via de volgende oplossingsmethode die bestaat uit vier stappen.

1. Eerst passen we de Rothemethode toe. Neem hiervoor Nt ∈ N. We splitsen hettijdsinterval [0, T ] op in Nt gelijke deelintervallen [ti−1, ti] (equidistante partitie) meti = 1, . . . , Nt en ti = iτ met τ = T

Nt< 1.

Eerst introduceren we de volgende notaties voor elke functie z(t, x), nl.

zi(x) ≈ z(ti, x), i = 0, . . . , Nt

en

δzi(x) =zi(x)− zi−1(x)

τ, i = 1, . . . , Nt.

De tijdsafgeleide ∂tu van de exacte oplossing u(t, x) die in de differentiaalvergelijkingvoorkomt, gaan we op ieder discretisatietijdstip ti, i = 1, . . . , Nt, benaderen door hetachterwaarts verschil

∂tu(ti, x) ≈ δui(x) =ui(x)− ui−1(x)

τ.

33


Er blijft een recurrent systeem van elliptische randwaardenproblemen in ui(x), i =1, . . . , Nt, over. We zoeken dus een benadering van de oplossing op ieder tijdstip ti,i = 1, . . . , Nt.

2. Van de bekomen elliptische randwaardenproblemen ter bepaling van de oplossing opieder discretisatietijdstip wordt een variationele formulering opgesteld.

3. In een derde stap voeren we de EEM voor elliptische randwaardenproblemen in 1Duit op ieder variationeel probleem corresponderende met de elliptische randwaarden-problemen uit het recurrent systeem. Op deze manier bekomen we een benaderingvan de oplossing ui(x) op ieder discretisatietijdstip ti, 1 6 i 6 Nt.

4. Tenslotte verlengen we de functies ui in het volledige tijdsinterval [0, T ]. Dit kan optwee manieren. We definieren een stuksgewijze constante functie in de tijd

un(t) =

u0 voor t = 0;ui voor t ∈ (ti−1, ti];

en een stuksgewijze lineaire continue functie in de tijd

un(t) =

u0 voor t = 0;ui−1 + (t− ti−1)δui voor t ∈ (ti−1, ti].

(2.23)

Beide functies worden de Rothefuncties genoemd.

Tot slot van dit hoofdstuk kunnen we de volgende stelling formuleren.

Stelling 2.2.23. Voor elke k > 1, h ∈ (0, 1] en Ω een interval in R geldt dat

X0,kh ⊂ H1(Ω).

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [22], pp. 1.125.

34

Hoofdstuk 3

Probleemstelling

Beschouw een staaf met lengte |b− a|. Stel bovendien c en d twee inwendige punten vandeze staaf waarin zich twee sensoren bevinden die de temperatuur in deze punten meten.Het domein Ω = (a, b) ⊂ R is opgesplitst in drie disjuncte deelintervallen, genoteerd alsΩ1, Ω2 en Ω3. Zonder de algemeenheid te schaden, mogen we onderstellen dat 0 6 a <c < d < b.

De temperatuur in de staaf stellen we voor door u. Het warmtetransport in deze staafgebeurt via conductie, d.i. geleiding, overdracht van warmte in een materiaal door hetfysisch contact van twee lichamen met een verschillende temperatuur, waarbij warmtestroomt van deeltjes met hogere kinetische energie (grotere bewegingssnelheid impliceertgrotere temperatuur) naar minder energierijke (koudere) deeltjes.

De warmtevergelijking modelleert dit warmtetransport in de tijd. Zonder de algemeenheidte schaden mogen we onderstellen dat het proces start op t = 0 en dat we de observatiestoppen op t = T . Bovendien beschouwen we de oplossing op t = 0 gekend. Het tijdsinter-val waarover we de partiele differentiaalvergelijking beschouwen is aldus gelijk aan (0, T ].In een dimensie is de warmtevergelijking van de vorm

∂tu− k∂xxu = f, in (0, T ]× Ω,

metu : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ u(t, x)

de temperatuur in de staaf als functie van de tijd en plaats,

k : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ k(t, x)

de diffusiecoefficient en

f : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ f(t, x)

35

36

een bronterm. Deze modelleert alle externe bronnen die zorgen voor warmtewinst of -verlies (bijvoorbeeld radiator, airco, koelkast,...).

Voor de bepaling van u(t, x) op elk tijdstip t > 0 en op elke plaats x ∈ Ω voegt men aan dewarmtevergelijking steeds informatie toe over de warmte in de staaf op het begintijdstipt = 0. De begintoestand u(0, x) kan men dan voorstellen door u0(x) en wordt de beginvoor-waarde genoemd. Verder legt men vaak ook de waarden van de oplossing in de randpuntena en b van het beschouwde interval op als randvoorwaarden waaraan een oplossing vanhet probleem moet voldoen. Deze randvoorwaarden noemt men lokaal en stellen we voordoor respectievelijk α(t) en β(t). Zo bekomt men het begin- en randwaardenprobleem

∂tu(t, x)− k∂xxu(t, x) = f(t, x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = α(t) t ∈ (0, T ];u(t, b) = β(t) t ∈ (0, T ];u(0, x) = u0(x) x ∈ (a, b),

met u, k en f zoals voorheen,

α : [0, T ]→ R : t→ α(t)

enβ : [0, T ]→ R : t→ β(t).

Dergelijke problemen zijn al vaak onderzocht. In dit werk passen we daarom de warmtev-ergelijking aan en veronderstellen we dat de warmte zich in de staaf verplaatst volgens delineaire partiele differentiaalvergelijking

∂tu+ u− ∂xxu = f, in (0, T ]× Ω,

met u en f zoals voorheen,

of de semilineaire partiele differentiaalvergelijking

∂tu+ u− ∂xxu = f(u) + g, in (0, T ]× Ω,

met u zoals voorheen,f : R→ R : u(t, x)→ f(u(t, x))

een bronterm die niet-lineair is in de onbekende u en

g : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ g(t, x)

een bronterm die wel lineair is in de oplossing u.

Opnieuw is het de bedoeling om op elk tijdstip t > 0 en op elke plaats x ∈ Ω de tempera-tuur in de staaf te bepalen. Hiertoe onderstellen we dus de hoeveelheid warmte op t = 0,u0(x), gekend. In plaats van echter gekende randcondities toe te voegen, onderstellen wede randcondities ongekend. Bovendien plaatsen we in de randpunten a en b een warmte-bron.

36

37

We formuleren de volgende onderzoeksvraag:

‘Welke warmte moeten de warmtebronnen in de randpunten a en b op ieder tijdstip uit-stralen, zodat op ieder tijdstip de temperatuur in punt a gelijk is aan de gemeten tem-peratuur in punt c en de temperatuur in punt b gelijk is aan de gemeten temperatuur inpunt d en zodat het beschouwde probleem met de bekomen randcondities een unieke sterkeoplossing bezit? Wat is bovendien die unieke sterke oplossing?’

We spreken over gecontroleerde verwarming in de randpunten, waarbij de temperatuur inde randpunten a en b gelijk wordt gemaakt aan de temperatuur in de inwendige puntenc en d. Merk hierbij op dat het ook mogelijk is dat de randpunten hiervoor afgekoeldmoeten worden. In dat geval spreken we over gecontroleerde afkoeling.

We beschouwen aldus de volgende parabolische randwaardenproblemen

∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = f(t, x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t) t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(t, d) = u(t, b) = β(t) t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(0, x) = u0(x) x ∈ (a, b)

en

∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = f(u(t, x)) + g(t, x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t) t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(t, d) = u(t, b) = β(t) t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(0, x) = u0(x) x ∈ (a, b),

met α(t) en β(t) onbekend.

Dergelijke problemen noemen we problemen met niet-lokale randcondities: de waarde vande oplossing in de randpunten worden gerelateerd aan de waarde van de oplossing in in-wendige punten zijn.

We ontwikkelen in dit werk een methode om een antwoord te vinden op de gestelde on-derzoeksvraag. Bovendien gaan we op zoek naar een benadering van de unieke sterkeoplossing van het beschouwde probleem en bekijken we de fout op deze benadering.

Om dit te kunnen realiseren behandelen we in hoofdstuk 4 eerst het lineair stationairprobleem

ru− u′′ = f x ∈ (a, b);u(a) = u(c) = α, a < c < d < b;u(d) = u(b) = β, a < c < d < b,

metu : Ω→ R : x→ u(x)

de temperatuur in de staaf als functie van de plaats,

f : Ω→ R : x→ f(x)

37

38

een bronterm die lineair is in de onbekende u, α, β ∈ R onbekend en r ∈ R+0 .

Hierbij formuleren we een gelijkaardige onderzoeksvraag:

‘Welke warmte moeten de warmtebronnen in de randpunten a en b uitstralen, zodat detemperatuur in punt a gelijk is aan de gemeten temperatuur in punt c en de temperatuurin punt b gelijk is aan de gemeten temperatuur in punt d en zodat het beschouwde pro-bleem met de bekomen randcondities een unieke sterke oplossing bezit? Wat is bovendiendie unieke sterke oplossing?’

We zullen in het hoofdstuk 4 bewijzen dat slechts een unieke α en slechts een uniekeβ bestaan zodat probleem (3.1) een unieke sterke oplossing heeft. Na deze waardenbepaald te hebben, stellen we een methode op om de unieke sterke oplossing te benaderen.Tenslotte bepalen we de gemaakte fout op de benadering.

38

Hoofdstuk 4

Lineair stationair probleem

In dit hoofdstuk onderzoeken we onderstaand lineair stationair probleem:ru− u′′ = f in Ω = (a, b);u(a) = u(c) = α;u(b) = u(d) = β,

(4.1)


de temperatuur in de staaf als functie van de plaats,

f : Ω→ R : x→ f(x)

een bronterm die lineair is in de onbekende u en

α, β ∈ R onbekend , r ∈ R+0 , 0 6 a < c < d < b.

Hierbij wordt f ∈ L2(Ω) verondersteld.



We splitsen het interval Ω = (a, b) op in 3 deelintervallen Ω1 = (a, c), Ω2 = (c, d) enΩ3 = (d, b), Ω = ∪3

i=1Ωi en gaan eerst op zoek naar een zwakke oplossing van (4.1) in dezedeelintervallen via de standaard-methode, nl. de stelling van Lax-Milgram. Deze stan-daard oplossingsmethode zal echter niet tot de uniciteit van een zwakke oplossing leiden,aangezien α en β ongekend zijn en voor elke keuze van α, β ∈ R het probleem een andereunieke zwakke oplossing heeft.

Bijgevolg beschouwen we probleem (4.1), waarbij we de Dirichlet-randcondities α en βgekend veronderstellen. In dat geval kunnen we namelijk wel aantonen dat er een uniekezwakke oplossing bestaat op ieder deelinterval. Bovendien zal blijken dat deze zwakkeoplossingen eveneens sterke oplossingen zijn.

39

4.1. THEORETISCHE ANALYSE 40

In het bijzonder beschouwen we het probleem op Ω2 en bewijzen hiervoor het bestaan ende uniciteit van een sterke oplossing uαβ van probleem (4.1) met gekende randcondities.Dit probleem wordt als volgt weergegeven:

ru− u′′ = f in Ω2 = (c, d);u(c) = α;u(d) = β.

(4.2)

Hieruit volgt onmiddellijk het bestaan en de uniciteit van een sterke oplossing uα op Ω1 enuβ op Ω3, aangezien het probleem op Ω1 en Ω3 bijzondere gevallen zijn van het probleemop Ω2.

Vervolgens tonen we aan dat er slechts unieke waarden voor α en β bestaan zodat deexistentie en uniciteit van een sterke oplossing op volledig Ω verzekerd is. Deze oplossingzal gegeven worden door

u =

uα in Ω1;uαβ in Ω2;uβ in Ω3.

Bovendien ontwikkelen we een methode om die unieke waarden voor α en β, evenals debijhorende unieke sterke oplossing te benaderen.

Tenslotte programmeren we de gevonden oplossingsmethode in Matlab en passen deze toeop een voorbeeld. De nauwkeurigheid van de methode wordt nagegaan door de fout op debenaderende oplossing te bekijken.

Opmerking 4.0.24. In het vervolg stellen we C (en andere constanten) een generiekeconstante die van plaats tot plaats mag verschillen. Met ε stellen we een generieke positievekleine constante voor en met Cε stellen we een positieve grote constante afhankelijk van εvoor.

4.1 Theoretische analyse

4.1.1 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op Ω1, Ω2 en Ω3

We proberen eerst via de standaardoplossingsmethode aan te tonen dat het probleemmet ongekende Dirichlet-randcondities op een deelinterval, bijvoorbeeld op het tweededeelinterval, nl.

ru2 − u′′2 = f in Ω2 = (c, d);u2(c) = α;u2(d) = β

(4.3)

40


een unieke sterke oplossing heeft. Dit betekent dat we een oplossing, genoteerd uαβ, inH2(Ω) zoeken en de uniciteit hiervan moeten aantonen. Hiertoe moeten we eerst en vooralde variationele vorm van dit probleem bepalen.

Opdat we het variationeel vraagstuk kunnen opstellen, maken we de niet-homogene Diri-chlet-randcondities homogeen door een lineaire transformatie u = v + G door te voeren,waarbij G de verlenging is van de randvoorwaarden op volledig Ω2. De eenvoudigsteverlenging die we kunnen beschouwen is een rechte in de variabele x door de punten (c, α)en (d, β), met als vergelijking:

G(x)− α =β − αd− c

(x− c)

⇒ G(x) =β − αd− c

x− cβ − αdd− c

. (4.4)

Merk hierbij op dat G′′ = 0 en

∥∥G′∥∥L2(Ω2)

=

∥∥∥∥β − αd− c

∥∥∥∥L2(Ω2)

=

∣∣∣∣β − αd− c

∣∣∣∣√|Ω2|

6 C |β − α| . (4.5)

Hieruit volgt dat

∥∥G′∥∥2

L2(Ω2)6 C |β − α|2

6 C(α2 + β2

). (4.6)

Bovendien geldt dat

‖G‖L2(Ω2) =

∥∥∥∥β − αd− cx− cβ − αd

d− c

∥∥∥∥L2(Ω2)

6

∥∥∥∥β − αd− cx

∥∥∥∥L2(Ω2)

+

∥∥∥∥cβ − αdd− c

∥∥∥∥L2(Ω2)

=

∣∣∣∣β − αd− c

∣∣∣∣ ‖x‖+

∣∣∣∣cβ − αdd− c

∣∣∣∣√|Ω2|

6 C |β − α|6 C (|β|+ |α|) , (4.7)

waarbij in de tweede en in de laatste stap de driehoeksongelijkheid werd toegepast.

Hieruit volgt dat

‖G‖2L2(Ω2) 6 C (|β|+ |α|)2

6 C(α2 + β2

). (4.8)

Uit dit alles kunnen we besluiten dat G ∈ H1(Ω2) voor elke vaste keuze van α, β ∈ R.

41


Door uitvoering van de lineaire transformatie wordt het randwaardenprobleem omgevormdtot een probleem in de onbekende v(x), nl.

rv − v′′ = f − rG in Ω2;v(c) = 0;v(d) = 0.

(4.9)

Het opstellen van het variationeel vraagstuk van probleem (4.9) verloopt in 3 stappen. Inde eerste stap worden beide leden van de differentiaalvergelijking vermenigvuldigd met eentestfunctie ϕ ∈ H1

0 (Ω2) =: V . In deze ruimte beschouwen we de norm ‖u‖V = ‖u‖H10 (Ω2) =

‖u′‖L2(Ω2) =: ‖u′‖. Na integratie over Ω2 vinden we dan

(rv, ϕ)−(v′′, ϕ

)= (f − rG, ϕ) , ∀ϕ ∈ V,

waarbij (f, g) =∫ dc fgdx. Eliminatie van de tweede orde afgeleide via partiele integratie

in de tweede stap levert

(rv, ϕ) +(v′, ϕ′

)− v′(d)ϕ(d) + v′(c)ϕ(c) = (f − rG, ϕ) , ∀ϕ ∈ V.

Aangezien ϕ ∈ H10 (Ω2) en dus nul is in de randpunten c en d, wordt deze variationele

formulering vereenvoudigd tot

(rv, ϕ) +(v′, ϕ′

)= (f − rG, ϕ) , ∀ϕ ∈ V. (4.10)

De klassieke oplossing v blijkt aldus te voldoen aan het variationeel randwaardenprobleem

v ∈ V : a(v, ϕ) = (F,ϕ) , ∀ϕ ∈ V,

met

a(v, ϕ) = (rv, ϕ) +(v′, ϕ′

)en

(F,ϕ) = (f − rG, ϕ) .

In wat volgt, proberen we eerst de existentie en uniciteit van een zwakke oplossing vαβvan (4.9) in de ruimte van testfuncties V aan te tonen. Aangezien probleem (4.9) eenelliptisch probleem is, gaan we na of de variationele formulering (4.10) voldoet aan devoorwaarden uit de stelling van Lax-Milgram. Deze standaard oplossingsmethode levertdan automatisch de existentie en uniciteit van een zwakke oplossing vαβ ∈ V van (4.9).We moeten aldus aantonen dat a(·, ·) een V -elliptische begrensde bilineaire vorm is opH1

0 (Ω2)×H10 (Ω2) en dat (F, ·) een begrensde lineaire functionaal is op H1

0 (Ω2). Voor ditlaatste zullen we moeten onderstellen dat f ∈ L2(Ω2).

• a(·, ·) is bilineairNeem u, v, ϕ ∈ V en s ∈ R. Dan geldt dat a(·, ·) lineair is in het eerste argument.Uit de lineariteit van de integraal volgt immers dat

a(u+ sv, ϕ) = (r(u+ sv), ϕ) +((u+ sv)′, ϕ′

)= (ru, ϕ) + s (rv, ϕ) +

(u′, ϕ′

)+ s

(v′, ϕ′

)= (ru, ϕ) +

(u′, ϕ′

)+ s

[(rv, ϕ) +

(v′, ϕ′

)]= a(u, ϕ) + sa(v, ϕ).

Analoog kunnen we de lineariteit in het tweede argument aantonen:

a(u, ϕ1 + sϕ2) = a(u, ϕ1) + sa(u, ϕ2), ∀u, ϕ1, ϕ2 ∈ V, s ∈ R.

42


• a(·, ·) is V -elliptisch

Uit de definitie van de norm in H10 (Ω2) (zie (2.11)) volgt

a(v, v) = (rv, v) +(v′, v′

)= r ‖v‖2 +

∥∥v′∥∥2

> r ‖v‖2V , ∀v ∈ V.

• a(·, ·) is begrensd

Door gebruik te maken van de driehoeksongelijkheid, van Cauchy-Schwarz en deequivalentie van normen in H1

0 (Ω2) en H1(Ω2), bekomen we

|a(v, ϕ)| =∣∣(rv, ϕ) +

(v′, ϕ′

)∣∣6 |(rv, ϕ)|+

∣∣(v′, ϕ′)∣∣6 r ‖v‖ ‖ϕ‖+

∥∥v′∥∥∥∥ϕ′∥∥6 r

(‖v‖+

∥∥v′∥∥) ‖ϕ‖+(‖v‖+

∥∥v′∥∥) ∥∥ϕ′∥∥= r

(‖v‖+

∥∥v′∥∥) (‖ϕ‖+∥∥ϕ′∥∥)

6 C ‖v‖H1(Ω2) ‖ϕ‖H1(Ω2)

6 C ‖v‖V ‖ϕ‖V , ∀v, ϕ ∈ V.

• (F, ·) is een begrensde lineaire functionaal als f ∈ L2(Ω2).De lineariteit volgt onmiddellijk uit de lineariteit van integralen.Voor de begrensdheid maken we gebruik van Cauchy-Schwarz, van de driehoekson-gelijkheid, van 4.7, van de onderstelling dat f ∈ L2(Ω2) en van de equivalentie vande normen in H1(Ω2) en H1

0 (Ω2).

|(F,ϕ)| = |(f − rG, ϕ)|6 ‖f − rG‖ ‖ϕ‖6 (‖f‖+ r ‖G‖) ‖ϕ‖6 (C + |β|+ |α|) ‖ϕ‖6 (C + |β|+ |α|) ‖ϕ‖H1(Ω2)

6 (C + |β|+ |α|) ‖ϕ‖V , ∀ϕ ∈ V. (4.11)

Aangezien α = u(c) en β = u(d) ongekend zijn en we aldus geen afschattingen hiervoorhebben, merken we op dat de standaard oplossingsmethode, nl. het toepassen van destelling van Lax-Milgram op de variationele formulering van probleem (4.9), de uniciteitvan een zwakke oplossing vαβ van probleem (4.9) niet verzekert. We kunnen namelijkniet aantonen dat de laatste voorwaarde uit deze stelling voldaan is, nl. dat (F, ·) eenbegrensde lineaire functionaal is die onafhankelijk is van α en β.

Voor gekende α, β ∈ R hebben we echter∥∥G′∥∥L2(Ω2)

6 C;∥∥G′∥∥2

L2(Ω2)6 C;

‖G‖L2(Ω2) 6 C;

‖G‖2L2(Ω2) 6 C.

De vier voorwaarden uit de stelling van Lax-Milgram zijn dus in dit geval wel voldaan,waardoor we kunnen besluiten dat volgende stelling geldig is.

43


Hulpstelling 4.1.1. Zij f ∈ L2(Ω2) en α en β gekend. Dan bestaat een unieke zwakkeoplossing vαβ van probleem (4.9) in de ruimte van testfuncties V .

Hieruit volgt ook volgende stelling:

Hulpstelling 4.1.2. Zij f ∈ L2(Ω2) en α en β gekend. Dan bestaat een unieke zwakkeoplossing uαβ ∈ H1(Ω2) van probleem (4.2).

Bewijs. Er geldt per constructie dat uαβ = vαβ + G. Aangezien vαβ ∈ H10 (Ω2) en G ∈

H1(Ω2) volgt hieruit dat uαβ ∈ H1(Ω2). Bovendien impliceert de uniciteit van vβ deuniciteit van uαβ.

In wat volgt tonen we aan dat de unieke zwakke oplossing uαβ eveneens een sterke oplossingis van probleem (4.2), wanneer de Dirichlet-randcondities gekend zijn.

Stelling 4.1.3. Zij f ∈ L2(Ω2) en α en β gekend. Dan bestaat een unieke sterke oplossinguαβ ∈ H2(Ω2) van probleem (4.2).

Bewijs. Uit (4.10) volgt, na substitutie van v door uαβ −G, dat deze unieke uαβ voldoetaan

(ruαβ, ϕ) +(u′αβ, ϕ

′) = (f, ϕ) +(G′, ϕ′

), ∀ϕ ∈ V. (4.12)

Vooreerst zoeken we een afschatting van uαβ in de H1(Ω2)-norm. Stel hiertoe ϕ = uαβ−Gin (4.12). Dan bekomen we, na toepassing van de driehoeksongelijkheid, van Cauchy-Schwarz en van de Young ongelijkheid met ongelijke gewichten (stelling A.1.3) dat

r ‖uαβ‖2 +∥∥u′αβ∥∥2

= (f, uαβ)− (f,G) + r (uαβ, G) +(u′αβ, G

′)+(G′, u′αβ −G′

)6

∣∣∣(f, uαβ)− (f,G) + r (uαβ, G) + 2(u′αβ, G

′)− ∥∥G′∥∥2∣∣∣

6 |(f, uαβ)|+ |(f,G)|+ r |(uαβ, G)|+ 2∣∣(u′αβ, G′)∣∣+

∥∥G′∥∥2

6 ‖f‖ ‖uαβ‖+ ‖f‖ ‖G‖+ r ‖uαβ‖ ‖G‖+ 2∥∥u′αβ∥∥∥∥G′∥∥+

∥∥G′∥∥2

6 (‖f‖+ r ‖G‖) ‖uαβ‖+ ‖f‖ ‖G‖+ 2∥∥u′αβ∥∥∥∥G′∥∥+

∥∥G′∥∥2

6 Cε (‖f‖+ r ‖G‖)2 + ε ‖uαβ‖2 + 2Cε∥∥G′∥∥2

+ 2ε∥∥u′αβ∥∥2

+1

2‖f‖2 +

1

2‖G‖2 +

∥∥G′∥∥2

6 Cε (‖f‖+ r ‖G‖)2 + ε ‖uαβ‖2 + Cε∥∥G′∥∥2

+ ε∥∥u′αβ∥∥2

+ ‖f‖2

+ ‖G‖2 .

Hieruit volgt dat

(r − ε) ‖uαβ‖2 + (1− ε)∥∥u′αβ∥∥2

6 Cε (‖f‖+ r ‖G‖)2 + Cε∥∥G′∥∥2

+ ‖f‖2 + ‖G‖2

of

min(r − ε, 1− ε)[‖uαβ‖2 +

∥∥u′αβ∥∥2]6 Cε (‖f‖+ r ‖G‖)2 + Cε

∥∥G′∥∥2+ ‖f‖2 + ‖G‖2 .

44


Kies nu ε > 0, zodat min(r−ε, 1−ε) > 0, dan bekomen we na wegdelen van min(r−ε, 1−ε)en vergroten van het rechterlid

‖uαβ‖2 +∥∥u′αβ∥∥2

6 C[(‖f‖+ r ‖G‖)2 +

∥∥G′∥∥2+ ‖f‖2 + ‖G‖2

]6 C

[‖f‖2 + r ‖G‖2 + β2 + α2

]6 C

[‖f‖2 + α2 + β2

]6 C.

Uit de stelling van Gilbarg-Trudinger (zie stelling A.1.4) volgt tenslotte dat

‖uαβ‖2H2(Ω2) 6 C(‖f‖2 + α2 + β2 + ‖G‖2H2(Ω2)

)= C

(‖f‖2 + α2 + β2 + ‖G‖2 +

∥∥G′∥∥2+∥∥G′′∥∥2

)6 C

(‖f‖2 + α2 + β2

)(4.13)

6 C.

Hieruit kunnen we besluiten dat de unieke zwakke oplossing uαβ van (4.2) eveneens eensterke oplossing is van (4.2). De uniciteit van de zwakke oplossing impliceert de uniciteitvan de sterke oplossing.

Analoog vinden we de existentie en uniciteit van de sterke oplossingen uα en uβ van dedeelproblemen op respectievelijk Ω1 en op Ω3, wanneer de Dirichletrandcondities α en βgekend verondersteld zijn.

4.1.2 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op volledig Ω

Stel

u =

uα in Ω1;uαβ in Ω2;uβ in Ω3.

(4.14)

Als u ∈ H1(Ω) dan is u een zwakke oplossing op volledig Ω. Dit is het geval, aangezienuα ∈ H1(Ω1), uαβ ∈ H1(Ω2) en uβ ∈ H1(Ω3) en bovendien uα(c) = uαβ(c) en uαβ(d) =uβ(d), m.a.w. u continu in de verdeelpunten c en d.

Voor iedere waarde van α en β hebben we echter een andere zwakke oplossing u, wantandere zwakke oplossingen uα, uαβ en uβ van de deelproblemen op respectievelijk Ω1, Ω2

en Ω3. In wat volgt tonen we aan dat er slechts een koppel (α, β) mogelijk is opdat decorresponderende zwakke oplossing u ook een sterke oplossing zou zijn van (4.1).

Voor de gezochte sterke oplossing moet gelden dat u ∈ H2(Ω) en dus u′ ∈ H1(Ω). Hiervoorleggen we een aantal voorwaarden op waaraan de oplossing u moet voldoen om een elementvan H2(Ω2) te zijn.

u ∈ H2(Ω) ⇔ uα ∈ H2(Ω1)

en uαβ ∈ H2(Ω2)

en uβ ∈ H2(Ω3)

en u′α(c) = u′αβ(c)

en u′αβ(d) = u′β(d). (4.15)

45


We hebben reeds aangetoond dat de eerste drie voorwaarden voldaan zijn.Om het unieke koppel (α, β) te vinden, waarvoor de corresponderende zwakke oplossing uook een sterke oplossing zou zijn van (4.1), maken we gebruik van het principe van line-aire superpositie. Hierbij bekijken we probleem (4.1) met gekend veronderstelde Dirichlet-randcondities op ieder deelgebied afzonderlijk, waarna we het opsplitsen in hulpproblemen.We merken hierbij op dat het bestaan van een unieke sterke oplossing van deze hulppro-blemen onmiddellijk volgt uit het feit dat deze problemen bijzondere gevallen zijn vanprobleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities.

1. Bekijk het probleem ruα − u′′α = f in Ω1;uα(a) = α;uα(c) = α.

Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in twee hulpproblemen 1A en 1B. Beidehulpproblemen zijn een bijzonder geval van probleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities en hebben aldus een unieke zwakke oplossing die eveneens een uniekesterke oplossing is.

1A

rz1 − z′′1 = f in Ω1;z1(a) = 0;z1(c) = 0

en

1B

rw1 − w′′1 = 0 in Ω1;w1(a) = 1;w1(c) = 1.

Hierdoor geldt voor probleem 1 dat

uα = z1 + αw1. (4.16)

2. Bekijk het probleem ruαβ − u′′αβ = f in Ω2;

uαβ(c) = α;uαβ(d) = β.

Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in drie hulpproblemen 2A, 2B en 2C, die eenbijzonder geval zijn van probleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities en alduselk een unieke zwakke oplossing hebben die eveneens een unieke sterke oplossing is.

2A

rz2 − z′′2 = f in Ω2;z2(c) = 0;z2(d) = 0,

2B

rv2 − v′′2 = 0 in Ω2;v2(c) = 1;v2(d) = 0

en

2C

rw2 − w′′2 = 0 in Ω2;w2(c) = 0;w2(d) = 1.


uαβ = z2 + αv2 + βw2. (4.17)

46


3. Bekijk het probleem ruβ − u′′β = f in Ω3;

uβ(d) = β;uβ(b) = β.

Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in twee hulpproblemen 3A en 3B, die eenbijzonder geval zijn van probleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities en alduselk een unieke zwakke oplossing hebben die eveneens een unieke sterke oplossing is.

3A

rz3 − z′′3 = f in Ω3;z3(d) = 0;z3(b) = 0

en

3B

rw3 − w′′3 = 0 in Ω3;w3(d) = 1;w3(b) = 1.


uβ = z3 + βw3. (4.18)

Eerst bepalen we de oplossing van de homogene hulpproblemen exact. We maken hiervoorgebruik van (2.18). We bekomen

w1(x) =exp (−

√rc)− exp (−

√ra)

2 sinh (√r(a− c))

exp(√rx)

+exp (

√ra)− exp (

√rc)


exp(−√rx)

; (4.19)

v2(x) = − exp (−√rd)

2 sinh (√r(d− c))

exp(√rx)

+exp (

√rd)


exp(−√rx)

; (4.20)

w2(x) =exp (−

√rc)

2 sinh√r(d− c))

exp(√rx)− exp (

√rc)


exp(−√rx)

; (4.21)

w3(x) =exp (−

√rb)− exp (−

√rd)

2 sinh (√r(d− b))

exp(√rx)

+exp (

√rd)− exp (

√rb)

2 sinh (√r(d− b))

exp(−√rx). (4.22)

Deze resultaten werden gecontroleerd in Maple (zie Appendix A.2). Hierbij merken weop dat in Maple de notatie in exponentielen gehanteerd wordt. Uit (2.14) en (2.15) volgtechter onmiddellijk de gelijkheid met de gevonden resultaten.

We stellen nu de nodige eisen uit (4.15), namelijk datu′α(c) = u′αβ(c);

u′β(d) = u′αβ(d).(4.23)

Substitueren we vervolgens de uitdrukkingen (4.16), (4.17) en (4.18) in (4.23) dan bekomenwe het volgende stelsel van vergelijkingen:

z′1(c) + αw′1(c) = z′2(c) + αv′2(c) + βw′2(c);z′3(d) + βw′3(d) = z′2(d) + αv′2(d) + βw′2(d)

47


of dus (w′1(c)− v′2(c))α− w′2(c)β = z′2(c)− z′1(c);−v′2(d)α+ (w′3(d)− w′2(d))β = z′2(d)− z′3(d).

(4.24)

In matrixnotatie is dit(w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(αβ

)=

(z′2(c)− z′1(c)z′2(d)− z′3(d)

). (4.25)

Als de matrix

M :=

(w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(4.26)

regulier is, d.w.z. det(M) 6= 0, dan heeft het probleem een unieke oplossing voor α en βdie voldoet aan de gestelde voorwaarden in (4.23). Aangezien we de oplossingen van dehomogene hulpproblemen exact berekend hebben, kunnen we de matrix M gemakkelijkopstellen.

M11 = w′1(c)− v′2(c)

=√r ·[

exp (−√rc)−

√r exp (−

√ra)


exp(√rc)

−exp (√ra)− exp (

√rc)


exp(−√rc)]

(4.27)

−√r ·[− exp (−

√rd)

2 sinh ((d− c))exp

(√rc)− exp (

√rd)


exp(−√rc)]

=√r ·[

1− exp (√r(c− a))


− exp (√r(a− c))− 1


]+√r ·[

exp (√r(c− d))


+exp (

√r(d− c))


]=√r ·[

2


− exp (√r(a− c)) + exp (

√r(c− a))


]+√r · exp (

√r(c− d)) + exp (

√r(d− c))


=√r ·[

1

sinh (√r(a− c))

− cosh (√r(a− c))

sinh (√r(a− c))

+cosh (

√r(d− c))

sinh (√r(d− c))

]=√r · sinh (

√r(d− c))− cosh (

√r(a− c)) sinh (

√r(d− c))

sinh (√r(a− c)) sinh (

√r(d− c))

+√r · cosh (

√r(d− c)) sinh (

√r(a− c))


√r(d− c))

=√r · sinh (

√r(d− c)) sinh (

√r((a− c)− (d− c)))


√r(d− c))

=√r · sinh (

√r(d− c)) + sinh (

√r(a− d))

sinh (√r(c− a)) sinh (

√r(c− d))

,

waarbij in de voorlaatste gelijkheid gebruik werd gemaakt van de formule

sinh(x− y) = sinh(x) cosh(y)− cosh(x) sinh(y), ∀x, y ∈ R

48


en in de laatste gelijkheid van de formule

sinh(−x) = − sinh(x), ∀x ∈ R. (4.28)

Op analoge manier bekomen we het tweede diagonaalelement:

M22 = w′3(d)− w′2(d)

= −√r · sinh (

√r(b− c)) + sinh (

√r(c− d))

sinh (√r(d− b)) sinh (

√r(c− d))

. (4.29)

De niet-diagonaalelementen worden als volgt berekend:

M12 = −w′2(c)

= −√r ·[

exp (−√rc)


exp(√rc)

+exp (

√rc)


exp(−√rc)]

= −√r ·[

1


+1


]=

√r

sinh (√r(c− d))

. (4.30)

Op analoge wijze bekomen we

M21 = −v′2(d)

= −√r

sinh (√r(c− d))

. (4.31)

Vervolgens bepalen we det(M):

det(M) = M11M22 −M12M21

= −r · sinh (√r(d− c)) + sinh (

√r(a− d))

sinh (√r(c− a)) sinh (

√r(c− d))

· sinh (√r(b− c)) + sinh (

√r(c− d))

sinh (√r(d− b)) sinh (

√r(c− d))

+r

sinh2 (√r(c− d))

= −r [sinh (√r(d− c)) + sinh (

√r(a− d))] [sinh (

√r(b− c)) + sinh (

√r(c− d))]

sinh (√r(c− a)) sinh2 (

√r(c− d)) sinh (

√r(d− b))

+r


.

De matrix M is regulier als en slechts als det(M) 6= 0. Aan deze voorwaarde is voldaan,aangezien we kunnen aantonen dat det(M) < 0. Er geldt namelijk dat det(M) < 0 als enslecht als

r [sinh (√r(d− c)) + sinh (

√r(a− d))] [sinh (

√r(b− c)) + sinh (

√r(c− d))]

sinh (√r(c− a)) sinh2 (

√r(c− d)) sinh (

√r(d− b))

>r


⇔[sinh

(√r(d− c)

)+ sinh

(√r(a− d)

)] [sinh

(√r(b− c)

)+ sinh

(√r(c− d)

)]< sinh

(√r(c− a)

)sinh

(√r(d− b)

)⇔[sinh

(√r(d− c)

)+ sinh

(√r(a− d)

)] [sinh

(√r(c− b)

)+ sinh

(√r(d− c)

)]> sinh

(√r(c− a)

)sinh

(√r(b− d)

),

49


waarbij in de eerste equivalentie gebruik werd gemaakt van het feit dat c − a > 0 end − b < 0 en dus, wegens het stijgend karakter van sinh(x) en het feit dat

√r > 0,

sinh (√r(c− a)) > 0 en sinh (

√r(d− b)) < 0 en dus sinh (

√r(c− a))·sinh (

√r(d− b)) < 0.

In de tweede equivalentie werd gebruik gemaakt van formule (4.28).

Uit c− a < d− a, b− d < b− c, d− c > 0, het feit dat sinh (√r(d− c)) > 0 en uit formule

(4.28) volgt dat

sinh(√r(c− a)

)sinh

(√r(b− d)

)< sinh

(√r(d− a)

)sinh

(√r(b− c)

)<

[sinh

(√r(d− c)

)+ sinh

(√r(a− d)

)]·[sinh

(√r(c− b)

)+ sinh

(√r(d− c)

)],

wat we wilden aantonen.

Ook deze resultaten werden gecontroleerd met Maple (zie Appendix A.2). Uit (2.14) en(2.15) volgt onmiddellijk de gelijkheid met de gevonden resultaten.

Bovendien vinden we m.b.v. Maple dat

det(M) = 0⇔ d = −b+ c+ a⇔ d+ b = a+ c,

wat onmogelijk is, aangezien 0 6 a < c < d < b bij onderstelling. Dit bevestigd nogmaalsdat det(M) 6= 0 en dus dat M regulier is.

Bijgevolg bestaan er een unieke waarden voor α en β, zodat de unieke zwakke oplossing(4.14) eveneens de unieke sterke oplossing is van het lineair probleem (4.1). Deze uniekeα en β worden bekomen door stelsel (4.24) op te lossen naar α en β of als volgt uitmatrixvergelijking (4.25) (

αβ

)= M−1

(z′2(c)− z′1(c)z′2(d)− z′3(d)

).

Opmerking 4.1.4. Aangezien er unieke waarden voor α en β bestaan zodat de zwakkeoplossing (4.14) eveneens de sterke oplossing is van het lineair probleem (4.1), zullen we inwat volgt de unieke uα, uαβ en uβ die hiermee corresponderen, noteren als respectievelijku1, u2 en u3. Hierbij verwijst de index naar het interval waarover de oplossing gezochtwerd.

Tenslotte kunnen we de volgende stelling poneren:

Stelling 4.1.5. Stel 0 6 a < c < d < b. Dan bestaat een unieke sterke oplossingu ∈ H2(Ω) van (4.1). Bovendien bestaat een constante C > 0, zodat

‖u‖H2(Ω) 6 C ‖f‖L2(Ω) .

Bewijs. Het bestaan van een unieke sterke oplossing u ∈ H2(Ω) van (4.1) werd reedsaangetoond. Het is namelijk de functie

u =

u1 in Ω1;u2 in Ω2;u3 in Ω3,

50


met

u1 = z1 + αw1;

u2 = z2 + αv2 + βw2;

u3 = z3 + βw3,

waarbij α en β bekomen worden door het stelsel (4.25) op te lossen naar α en β.

Eerst zoeken we een afschatting voor de unieke waarden α en β waarmee de unieke sterke

oplossing correspondeert. We moeten hiervoor afschattingen vanM−1 en

(z′2(c)− z′1(c)z′2(d)− z′3(d)

)vinden, aangezien ∥∥∥∥( α

β

)∥∥∥∥ 6∥∥M−1

∥∥∥∥∥∥( z′2(c)− z′1(c)z′2(d)− z′3(d)

)∥∥∥∥ .De matrix M is regulier en dus M−1 is begrensd, stel

∥∥M−1∥∥ 6 C, (C > 0). Bovendien

geldt voor de oplossingen z1, z2 en z3 van respectievelijk probleem 1A, 2A en 3A dat

z′1(c) 6∥∥z′1∥∥C(Ω1)

6 C∥∥z′1∥∥H1(Ω1)

6 C ‖z1‖H2(Ω1) 6 C ‖f‖L2(Ω1) 6 C ‖f‖L2(Ω) ;

z′2(c) 6∥∥z′2∥∥C(Ω2)

6 C∥∥z′2∥∥H1(Ω2)

6 C ‖z2‖H2(Ω2) 6 C ‖f‖L2(Ω2) 6 C ‖f‖L2(Ω) ;

z′2(d) 6∥∥z′2∥∥C(Ω2)

6 C∥∥z′2∥∥H1(Ω2)

6 C ‖z2‖H2(Ω2) 6 C ‖f‖L2(Ω2) 6 C ‖f‖L2(Ω) ;

z′3(d) 6∥∥z′3∥∥C(Ω3)

6 C∥∥z′3∥∥H1(Ω3)

6 C ‖z3‖H2(Ω3) 6 C ‖f‖L2(Ω3) 6 C ‖f‖L2(Ω) ,

De tweede ongelijkheid is geldig omwille van het Sobolev-inbeddingstheorema in 1D (ziestelling 2.1.100), gecombineerd met stelling 2.1.15. De derde ongelijkheid maakt gebruikvan de definitie van de norm in H2(Ωi), 1 6 i 6 3 (zie (2.10)). De laatste ongelijkheidsteunt telkens op de stelling van Gilbarg-Trudinger (stelling A.1.4).

Uit deze ongelijkheden en rekening houdende met het feit dat∥∥M−1

∥∥ 6 C volgt dat voorα en β de volgende afschattingen geldig zijn:

|α| 6 C ‖f‖L2(Ω) ,

|β| 6 C ‖f‖L2(Ω) .

Uit (4.13) en uit bovenstaande afschattingen voor α en β volgt vervolgens dat

‖u2‖2H2(Ω2) 6 C(‖f‖2 + α2 + β2

)6 C ‖f‖2 .

Op analoge wijze bekomen we:

‖u1‖2H2(Ω1) 6 C ‖f‖2 ,

‖u3‖2H2(Ω3) 6 C ‖f‖2 .

Uit dit alles kunnen we besluiten dat

‖u‖2H2(Ω) 6 C(‖u1‖2H2(Ω1) + ‖u2‖2H2(Ω2) + ‖u3‖2H2(Ω3)

)6 C ‖f‖2 ,

en dus

‖u‖H2(Ω) 6 C ‖f‖ ,

wat we wilden bewijzen.

51

4.2. NUMERIEK EXPERIMENT: LINEAIR STATIONAIR PROBLEEM 52

4.2 Numeriek experiment: lineair stationair probleem

In deze sectie leggen we uit hoe een numeriek experiment, waarin de unieke sterke oplossingu ∈ H2(Ω) van probleem (4.1) wordt benaderd, in Matlab wordt opgezet. Het probleemluidt dus: zoek een sterke oplossing u ∈ H2(Ω) van het probleem

ru− u′′ = f in Ω = (a, b);u(a) = u(c) = α;u(b) = u(d) = β,

(4.32)


de onbekende temperatuur in de staaf als functie van de plaats,

f : Ω→ R : x→ f(x)


α, β ∈ R, r ∈ R+0 .

Hierbij zijn de randvoorwaarden α en β ongekend. Deze moeten dus, net zoals de sterkeoplossing van het probleem, numeriek benaderd worden.

We herhalen de onderzoeksvraag:


Het numeriek experiment (zie Bijlage A.3) verloopt volgens onderstaande redenering.

1. Schrijf de exacte oplossing uexact(x) voor en bereken

f(x) = ruexact(x)− u′′exact(x).

Merk hierbij op dat de exacte oplossing en de randpunten (a, c, d en b) van dedeelintervallen zodanig gekozen moeten zijn dat

uexact(a) = uexact(c)

en

uexact(b) = uexact(d).

2. Veronderstel vervolgens de exacte oplossing ongekend (deze willen we benaderen).In de vorige sectie toonden we aan dat er slechts 1 koppel (α,β) bestaat zodat hetprobleem (4.32) een unieke sterke oplossing in H2(Ω) heeft. We herinneren eraan datdeze α en β de warmte voorstellen die de warmtebronnen in de randpunten a en bmoeten uitstralen zodat de temperatuur in punt a gelijk is aan de gemeten tempe-ratuur in punt c en de temperatuur in punt b gelijk is aan de gemeten temperatuurin punt d. Deze waarden zijn dus in de praktijk ongekend en moeten dus eveneens

52


benaderd worden.

Om een benadering van dit unieke koppel (α,β) te vinden, splitsen we zoals voorheenhet interval Ω = (a, b) op in 3 deelintervallen Ω1 = (a, c), Ω2 = (c, d) en Ω3 = (d, b).Vervolgens passen we het principe van lineaire superpositie toe, zoals uitgelegd in desectie 4.1.2. De oplossingen w1, v2, w2 en w3 van de homogene hulpproblemen opalle deelintervallen berekenen we exact. Deze problemen zijn voor iedere bronterm fdezelfde. De oplossingen worden dus steeds weergegeven door (4.19), (4.20), (4.21) en(4.22). In Matlab wordt een functie gecreeerd die deze oplossingen bepaalt op basisvan de vorm (2.18) van de oplossing van het algemeen homogeen stelsel (2.13) metDirichlet-randcondities. De oplossingen z1, z2 en z3 van de inhomogene hulpproble-men op alle deelintervallen benaderen we numeriek in Matlab, m.b.v. de Langrangeeindige elementenmethode. Ter illustratie bekijken we wat deze eindige elementen-methode inhoudt voor het inhomogeen hulpprobleem op Ω1. Voor de inhomogenehulpproblemen op de andere intervallen kunnen we een analoge werkwijze hanteren.We vermelden eerst nog even het beschouwde inhomogeen hulpprobleem:

rz1 − z′′1 = f in Ω1;z1(a) = 0;z1(c) = 0.

(4.33)

Van dit probleem stellen we eerst het variationeel vraagstuk op. De EEM is namelijkgebaseerd op de variationele formulering (zie sectie 2.2.5). Aangezien probleem (4.33)dezelfde vorm heeft als probleem (4.9), bekomen we onderstaande variationele for-mulering, die analoog is aan de variationele formulering (4.10) van probleem (4.9).

zoek z1 ∈ H10 (Ω1) := V waarvoor a(z1, ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ V,

meta(z1, ϕ) = (rz1, ϕ) +

(z′1, ϕ

′) .Hierbij is (f, g) =

∫ ca fgdx.

Vervolgens passen we de twee stappen in de EEM toe, zoals uitgelegd in sectie 2.2.5.

(a) Eerst wordt een geschikte keuze van een eindig dimensionale Galerkin-deelruimteVh van V gemaakt. De ruimte V van testfuncties is hierbij de SobolevruimteH1

0 (Ω1), waarvan de elementen voldoen aan de randcondities van het beschouwdeprobleem.We splitsen het domein Ω1 op in een eindig aantal disjuncte open deelintervallen(xi−1, xi), 1 6 i 6 N , waarbij

a = x0 < x1 < x2 < ... < xN−1 < xN = c

de equidistante knooppunten zijn, met xi − xi−1 = h1, 1 6 i 6 N , de netpara-meter. De index 1 bij h1 maakt duidelijk dat h1 de netparameter is van de EEMvoor het inhomogeen probleem op Ω1.Nadien kiezen we

Vh1 =v : v ∈ X0,1

h1en v(a) = v(c) = 0

.

We herinneren eraan dat de functies uit X0,1h1

continue, stuksgewijze veelterm-functies van graad 1 (stuksgewijze lineaire functies) over Ω1 zijn, stuksgewijze

53


m.b.t. de beschouwde partitie. M.a.w.

X0,1h1

=v ∈ C0(Ω1)|v|(xi−1,xi)

∈ P1((xi−1, xi)), 1 6 i 6 N,

met P1((xi−1, xi)) de verzameling van alle polynomen van graad kleiner dan ofgelijk aan 1 op (xi−1, xi).

Er geldt (zie [27], stelling 2.2.22) dat Vh1 ⊂ V . Bijgevolg kunnen we stellen dat

(rz1, ϕ) +(z′1, ϕ

′) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ Vh1 . (4.34)

(b) Vervolgens wordt een keuze gemaakt van een cardinale basis van Vh1 . We weten(zie voorbeeld 2.2.22) dat een basis van X0,1

h1gegeven wordt door de stuksgewijze

lineaire Lagrange-polynomen ϕiNi=0, die gedefinieerd zijn door

ϕi(x) =

x−xi−1

h1x ∈ (xi−1, xi],

1− x−xih1

x ∈ (xi, xi+1),

0 elders.

(4.35)

en voldoen aan ϕi(xj) = δi,j , 0 6 i, j 6 N .

We zoeken nu een basis van Vh1 ⊂ X0,1h1

.

Neem hiertoe een willekeurig element v ∈ Vh1 . Aangezien Vh1 ⊂ X0,1h1

geldt dat

v ∈ X0,1h1

. Uit (2.22) volgt dat v op een unieke manier kan geschreven worden

als lineaire combinatie van de basisfuncties van X0,1h1

, met als coefficienten dewaarden van v in de knooppunten. Er geldt:

v(x) =

N∑i=0

v(xi)ϕi(x)

= v(x0)ϕ0(x) + v(xN )ϕN (x) +N−1∑i=1

v(xi)ϕi(x)

=N−1∑i=1

v(xi)ϕi(x), (4.36)

aangezien v ∈ Vh1 en dus v(x0) = v(xN ) = 0.

We tonen aan dat ϕiN−1i=1 een basis is van Vh1 . We herinneren eraan dat een

verzameling elementen uit Vh1 een basis is van Vh1 als deze elementen lineaironafhankelijk en voortbrengend zijn.

(i) Lineair onafhankelijk: ϕi, 1 6 i 6 N − 1, zijn lineair onafhankelijk als

N−1∑i=1

ciϕi ≡ 0⇒ ci = 0, 1 6 i 6 N − 1.

Als∑N−1

i=1 ciϕi ≡ 0, dan ook

N−1∑i=1

ciϕi(xj) = 0, 1 6 j 6 N − 1

mcj = 0, 1 6 j 6 N − 1

54


en dus ϕi, 1 6 i 6 N − 1, zijn lineair onafhankelijk.

(ii) Voortbrengend: Dit volgt uit (4.36).

Hieruit kunnen we besluiten dat ϕiN−1i=1 een basis is van Vh1 .

Aangzien ϕiN−1i=1 een basis is van Vh1 , stellen we ϕ = ϕi, 1 6 i 6 N − 1, in de

variationele formulering (4.34). Zo bekomen we:

(rz1, ϕi) +(z′1, ϕ

′i

)= (f, ϕi), 1 6 i 6 N − 1. (4.37)

We zoeken nu de Galerkin benadering z1,N ∈ Vh1 van de oplossing van (4.37). Hiertoestellen we (zie sectie 2.2.4)

z1,N =

N−1∑j=1

c1,jϕj ,

waarbij de onderindex N in z1,N verwijst naar het aantal discretisatie-intervallen uitde EEM en de onderindex 1 in c1,j aantoont dat dit de coefficienten zijn in de ont-wikkeling van z1,N in de basis van Vh1 .

We substitueren deze benadering van z1 in (4.37). Dit herleidt het probleem tot:zoek c1,j := z1,j ≈ z1(xj), 1 6 j 6 N − 1, waarvoor

N−1∑j=1

rc1,j (ϕj , ϕi) +

N−1∑j=1

c1,j

(ϕ′j , ϕ

′i

)= (f, ϕi) , 1 6 i 6 N − 1.

In matrixnotatie wordt dit: zoek c1 = [c1,1, c1,2, . . . , c1,N−1]T waarvoor

(rM +K)c1 = F . (4.38)

Hierbij is

M = (Mij)N−1i,j=1 , metMij =

∫ c

aϕjϕidx

K = (Kij)N−1i,j=1 , metKij =

∫ c

aϕ′jϕ

′idx

en

F = (Fi)N−1i=1 , metFi =

∫ c

afϕidx

We berekenen vervolgens de elementen van M en K analytisch. Er geldt dat

Mij =

∫ c

aϕjϕidx =

N∑i=1

∫ xi

xi−1

ϕjϕidx

en

Kij =

∫ c

aϕ′jϕ

′idx =

N∑i=1

∫ xi

xi−1

ϕ′jϕ′idx

De integraal over (xi−1, xi) is slechts verschillend van nul als en ϕi en ϕj verschillendzijn van 0 in dat interval. Opdat dus niet alle termen zouden verdwijnen in boven-staande sommen, moet |i − j| 6 1. De matrices M en K zijn aldus tridiagonaal.Bovendien zijn M en K symmetrisch, aangezien Mij = Mji en Kij = Kji. Het vol-staat dus onderstaande elementen te berekenen om de matrices M en K volledig tekennen. In de berekeningen wordt gebruik gemaakt van (4.35).

55


• i = j

Mii =1

h21

∫ xi

xi−1

(x− xi−1)2dx+1

h21

∫ xi+1

xi

(x− xi+1)2dx

=1

h21

∫ xi

xi−1

(x− xi−1)2d(x− xi−1) +1

h21

∫ xi+1

xi

(x− xi+1)2d(x− xi+1)

=1

h21

[(x− xi−1)3

3

]xixi−1

+1

h21

[(x− xi+1)3

3

]xi+1

xi

=1

h21

h31

3+

1

h21

h31

3

=2

3h1;

Kii =1

h21

∫ xi

xi−1

dx+1

h21

∫ xi+1

xi

dx

=1

h21

(xi − xi−1) +1

h21

(xi+1 − xi)

=1

h1+

1

h1

=2

h1.

• |i− j| = 1

Mi,i+1 = Mi+1,i = − 1

h21

∫ xi+1

xi

(x− xi+1)(x− xi)dx

= − 1

h21

∫ h1

0p(p− h1)dp

= − 1

h21

[p3

3− h1

p2

2

]h1

0

= − 1

h21

(h3

1

3− h1

h21

2

)=

h1

6,

waarbij de substitutie p = x− xi werd uitgevoerd;

Ki,i+1 = Ki+1,i = − 1

h21

∫ xi+1

xi

dx

= − 1

h21

(xi+1 − xi) = − 1

h1.

In Matlab worden twee functies gecreeerd die deze matrices opvullen.

De elementen van F worden in Matlab numeriek benaderd m.b.v. de Trapezium-regel. Hiertoe worden de integralen eerst als volgt herschaald naar integralen over

56


het interval (0, 1):

Fi =1

h1

∫ xi

xi−1

f(x)(x− xi−1)dx− 1

h1

∫ xi+1

xi

f(x)(x− xi+1)dx

= h1

∫ 1

0f(xi−1 + h1p)pdp− h1

∫ 1

0f(xi + h1p)(p− 1)dp, i = 1, . . . , N − 1,

waarbij in de eerste integraal de substitutie p = x−xi−1

h1en in de tweede integraal de

substitutie p = x−xih1

werd doorgevoerd.

Tenslotte wordt de oplossing van het inhomogeen hulpprobleem (4.33) in de knoop-punten benaderd door het stelsel (4.38) op te lossen naar c1. Er geldt namelijk datc1,j ≈ z1(xj), 1 6 j 6 N − 1.

Zoals eerder gezegd, worden op analoge manier de oplossingen z2 en z3 van hetinhomogeen probleem op respectievelijk Ω2 en Ω3 benaderd in de knooppunten vanrespectievelijk Ω2 en Ω3. We merken hierbij op dat in ieder deelinterval hetzelfdeaantal discretisatie-intervallen genomen wordt.

3. Zoals blijkt uit de vorige sectie vinden we een benadering van het unieke koppel (α,β)door het stelsel(

w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(αβ

)=

(z′2,N (c)− z′1,N (c)

z′2,N (d)− z′3,N (d)

)(4.39)

op te lossen naar α en β. Hiertoe berekenen we de afgeleiden die in dit stelselvoorkomen. De afgeleiden w′1(c), w′2(c), w′3(d), w′2(d), v′2(c) en v′2(d) berekenen weexact. Dit is mogelijk aangezien we de functies w1(x), w2(x), w3(x) en v2(x) exactkennen. De andere afgeleiden berekenen we als volgt: we weten dat

z1,N (x) =

N−1∑i=1

c1,iϕi(x), met ϕiN−1i=1 basis van Vh1 ,

z2,N (x) =

N−1∑i=1

c2,iϕi(x), met ϕiN−1i=1 basis van Vh2 ,

z3,N (x) =N−1∑i=1

c3,iϕi(x), met ϕiN−1i=1 basis van Vh3 .

Bovendien kunnen we de afgeleiden van de basisfuncties berekenen. De afgeleidenvan de basisfuncties ϕiN−1

i=1 in Vh1 worden bijvoorbeeld gegeven door (zie (4.35))

ϕ′i(x) =

1h1

x ∈ (xi−1, xi),

− 1h1

x ∈ (xi, xi+1),

0 x ∈ (a, xi−1) ∪ (xi+1, c).

Voor de afgeleiden van de basisfuncties in Vh2 en Vh3 vinden we analoge resultaten.De afgeleiden van de basisfuncties zijn dus niet gedefinieerd in de knooppunten endus ook niet in de verdeelpunten c en d. De afgeleiden waar we naar op zoek zijn, zijndus linkerafgeleiden of rechterafgeleiden, die we voor de eenvoud noteren als gewone

57


afgeleiden. We bekomen dat

z′1,N (c) = −c1,N−1

h1(linkerafgeleide), (4.40)

z′2,N (c) =c2,2

h2(rechterafgeleide), (4.41)

z′2,N (d) = −c2,N−1

h2(linkerafgeleide), (4.42)

z′3,N (d) =c3,2

h3(rechterafgeleide). (4.43)

Voor de eenvoud noteren we de benaderende waarden van α en β ook door α en β.

4. Aangezien we nu beschikken over een benadering van het unieke koppel (α, β), kunnende unieke sterke oplossingen u1 op Ω1, u2 op Ω2 en u3 op Ω3 benaderd worden in deverdeelpunten xj (0 6 j 6 N) van ieder deelinterval via

u1,j = z1,j + αw1(a+ jh1);

u2,j = z2,j + αv2(c+ jh2) + βw3(c+ jh2);

u3,j = z3,j + βw3(d+ jh3),

waarbij h1, h2 en h3 de netparameters zijn in respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3. Bovendienis u1,j ≈ u1(a+jh1), u2,j ≈ u2(c+jh2) en u3,j ≈ u3(d+jh3), 0 6 j 6 N . Merk hierbijop dat z1,0 := z1(a) = 0, z1,N := z1(c) = 0, z2,0 := z2(c) = 0, z2,N := z2(d) = 0,z3,0 := z3(d) = 0 en z3,N := z3(b) = 0.

5. De fouten op α en β worden bepaald. Hieruit kan de benaderende α en β afgeleidworden, aangezien we de exacte α en β kunnen berekenen uit de voorgeschrevenexacte oplossing. De fout op α en β berekenen we als |α− uexact(a)|, respectievelijk|β − uexact(c)|.

Tenslotte wordt de fout op de numerieke oplossing in de L2(Ω)-norm benaderd. De in-tegraal over Ω wordt hierbij geschreven als som van integralen over de plaatsdiscretisatie-intervallen, welke benaderd worden met de Simpsonregel.

‖u− uexact‖2L2(Ω)

=

∫ b

a

|u− uexact|2 dx

≈N−1∑j=0

h1

6

[(u1,j − uexact(a+ jh1))

2+ 4

(u1,j + u1,j+1

2− uexact

(a+ jh1 +

h1

2

))2

+ (u1,j+1 − uexact(a+ (j + 1)h1))2]

+

N−1∑j=0

h2

6

[(u2,j − uexact(c+ jh2))

2+ 4

(u2,j + u2,j+1

2− uexact

(c+ jh2 +

h2

2

))2

+ (u2,j+1 − uexact(c+ (j + 1)h2))2]

+

N−1∑j=0

h3

6

[(u3,j − uexact(d+ jh3)) + 4

(u3,j + u3,j+1

2− uexact

(d+ jh3 +

h3

2

))2

+ (u3,j+1 − uexact(d+ (j + 1)h3)2]. (4.44)

58


Voorbeeld 4.2.1. We herhalen kort de procedure van het numeriek experiment, toegepastop een specifiek voorbeeld. Nadien worden de resultaten weergegeven.

1. Stel uexact = sin(x), a = π3 , c = 2π

3 , d = 4π3 en b = 5π

3 .Merk op dat

α = uexact(a) = uexact(c) =

√3

2;

β = uexact(d) = uexact(b) = −√

3

2.

De exacte oplossing is dus goed gekozen. We bekomen dat

f(x) = ruexact(x)− u′′exact(x) = (r + 1) sin(x).

Het beschouwde probleem is aldusru− u′′ = (r + 1) sin(x) in Ω = (a, b);u(a) = u(c) = α;u(b) = u(d) = β.

2. De oplossingen van de homogene hulpproblemen werden reeds berekend (zie (4.19),(4.20), (4.21) en (4.22)). De oplossingen van de inhomogene hulpproblemen bekomenwe m.b.v. de eindige elementenmethode. We merken hierbij op dat de netparameterop Ω1 gelijk is aan die op Ω3, aangezien deze deelintervallen dezelfde lengte hebben enin beide intervallen hetzelfde aantal discretisatie-intervallen gekozen wordt. Boven-dien is de netparameter op Ω2 dubbel zo groot als die op de andere deelintervallen.Het programma in Matlab levert ons z1,N , z2,N en z3,N als vectoren die de waardenvan de benaderende deeloplossingen bevatten in de N + 1 knooppunten van respec-tievelijk Ω1, Ω2 en Ω3.

3. Een benadering van het gezochte unieke koppel (α, β) wordt bepaald uit stelsel (4.39).

4. De unieke sterke oplossingen u1 op Ω1, u2 op Ω2 en u3 op Ω3 worden benaderd in deverdeelpunten xj (0 6 j 6 N) van ieder deelinterval.

5. De fout op α en β berekend. Tenslotte wordt de fout in de L2(Ω)-norm benaderdm.b.v. formule (4.44).

We passen de bovenstaande procedure toe op probleem (4.32), met de parameter r ach-tereenvolgens gelijk aan 1, 20, 3000 en 1

300 .Hierbij stellen we het aantal discretisatie-intervallen N = 2m, 1 6 m 6 12. In tabel 4.1wordt de fout bij de verschillende waarden van r en van N weergegeven, afgerond op 4cijfers na de komma. Figuur 4.1 en Figuur 4.2 plotten de logaritme van de fout t.o.v. delogaritme van het aantal discretisatiepunten N bij verschillende waarden van r.

59


Tabel 4.1: De fout op de numerieke oplossing bij verschillende waarden van N en r

N r = 1 r = 20 r = 3000 r = 1300

2 1.0126 0.8213 0.9840 1.057022 0.5432 0.4316 0.6401 0.571023 0.2832 0.2486 0.4174 0.292724 0.1450 0.1409 0.2585 0.147725 0.0734 0.0765 0.1519 0.074126 0.0370 0.0401 0.0891 0.037127 0.0185 0.0205 0.0522 0.018628 0.0093 0.0104 0.0293 0.009329 0.0046 0.0052 0.0157 0.0046210 0.0023 0.0026 0.0081 0.0023211 0.0012 0.0013 0.0042 0.0012212 0.0006 0.0007 0.0021 0.0006

(a) r = 1 (b) r = 20

Figuur 4.1: log(fout) t.o.v. log(N) bij r = 1 en r = 20

(a) r = 3000 (b) r = 1300

Figuur 4.2: log(fout) t.o.v. log(N) bij r = 3000 en r = 1300

60


Uit Figuur 4.1 en Figuur 4.2 kunnen we besluiten dat de ontwikkelde methode een efficientemethode is om de unieke sterke oplossing van het beschouwde probleem te benaderen. Bijde verschillende waarden van de parameter r daalt de fout namelijk wanneer het aan-tal discretisatie-intervallen toeneemt. Het komt er dus op neer het aantal discretisatie-intervallen op te drijven om de nauwkeurigheid van de resultaten te verhogen.

Om de oorzaak van de tamelijk grote fouten bij kleine waarden van N te achterhalen,plotten we de exacte oplossing en de benaderende oplossing op 1 grafiek. Dit doen we vooreen klein aantal discretisatie-intervallen en voor een groot aantal disretisatie-intervallenbij iedere beschouwde waarde van de paramter r. De resultaten zijn terug te vinden inFiguur 4.3, 4.4, 4.5 en 4.6. We kunnen vermoeden dat de grote fouten bij kleine N teverklaren zijn door het feit dat de inhomogene problemen opgelost zijn m.b.v. de EEM ende nauwkeurigheid van deze methode afhankelijk is van het aantal gekozen discretisatie-intervallen N : hoe groter N , hoe hoger de nauwkeurigheid en dus hoe kleiner de fout.

(a) N = 25 (b) N = 212

Figuur 4.3: De numerieke en exacte oplossing bij r = 1, N = 25 (links) en r = 1, N = 212

(rechts)

(a) N = 24 (b) N = 212


(rechts)

61


(a) N = 27 (b) N = 212


(rechts)

(a) N = 25 (b) N = 212

Figuur 4.6: De numerieke en exacte oplossing bij r = 1300 , N = 25 (links) en r = 3000, N = 212

(rechts)

Deze grafieken bevestigen ons vermoeden. We kunnen hieruit afleiden dat de fout vooralveroorzaakt wordt door een foute benadering van de waarden α en β in de grenspunten a, b,c en d wanneer het aantal discretisatie-intervallen te klein is. Wat heeft dit dan te makenmet de onnauwkeurige benadering van de oplossing van de inhomogene hulpproblemenvia de EEM? Wel, een benadering van de waarden α en β in de grenspunten van dedeelintervallen wordt bekomen door het stelsel(

w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(αβ

)=

(z′2,N (c)− z′1,N (c)

z′2,N (d)− z′3,N (d)

)(4.45)

op te lossen naar α en β. De nauwkeurigheid van de benadering van α en β is dus bepaalddoor de nauwkeurigheid van de benaderende oplossingen van de inhomogene hulpproble-men, wiens afgeleiden voorkomen in het rechterlid van dit stelsel. Zoals eerder gezegd isde nauwkeurigheid van de benaderende oplossingen van de inhomogene hulpproblemen opzijn beurt bepaald door het aantal discretisatie-intervallen. De inhomogene hulpproble-men zijn namelijk opgelost m.b.v. de EEM. Hoe groter N dus is, hoe nauwkeuriger deelementen in het rechterlid van het stelsel zijn en hoe nauwkeuriger α en β benaderd wor-den via de oplossing van dit stelsel. Wanneer echter N te klein gekozen is, zit er reeds een

62


grote fout op het rechterlid van het stelsel, waardoor ook α en β niet nauwkeurig benaderdkunnen worden. Bijgevolg krijgen we bij te kleine waarden van N een onnauwkeurige be-nadering van de oplossingen u1 = z1 + αw1, u2 = z2 + αv2 + βw2 en u3 = z3 + βw3 oprespectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3 en dus van de totale oplossing op volledig Ω. Dit is duidelijkte merken in Figuur 4.3, 4.4, 4.5 en 4.6.

Dat α en β niet nauwkeurig benaderd worden als N te klein is, wordt ook duidelijk uitFiguur 4.7, 4.8, 4.9 en 4.10 die de logaritme van de fout op α en op β t.o.v. de logaritmevan N bij een bepaalde waarde van r plotten, evenals uit Tabel 4.2 van de fout op α en βbij verschillende waarden van N en van r, afgerond op 4 cijfers na de komma. We hebbenenkel de tabel weergegeven van de fout op α, aangezien de fout op β nagenoeg dezelfde is.Dit is eveneens zichtbaar in Figuur 4.3, 4.4, 4.5 en 4.6. We merken op dat naarmate Nstijgt, de fout op α en de fout op β dalen bij iedere waarde van r.

(a) r = 1 (b) r = 20

Figuur 4.7: log(fout op α) t.o.v. log(N) bij r = 1 en r = 20

(a) r = 3000 (b) r = 1300

Figuur 4.8: log(fout op α) t.o.v. log(N) bij r = 3000 en r = 1300

63


(a) r = 1 (b) r = 20

Figuur 4.9: log(fout op β) t.o.v. log(N) bij r = 1 en r = 20

(a) r = 3000 (b) r = 1300

Figuur 4.10: log(fout op β) t.o.v. log(N) bij r = 3000 en r = 1300

Tabel 4.2: De fout op de numerieke benadering van α bij verschillende waarden van N en r

N r = 1 r = 20 r = 3000 r = 1300

2 0.5998 0.6516 0.8405 0.598122 0.3400 0.4558 0.8112 0.332523 0.1810 0.2904 0.7557 0.172924 0.0934 0.1685 0.6590 0.087825 0.0475 0.0917 0.5182 0.044226 0.0239 0.0480 0.3597 0.022227 0.0120 0.0246 0.2224 0.011128 0.0060 0.0124 0.1260 0.005629 0.0030 0.0063 0.0675 0.0028210 0.0015 0.0031 0.0350 0.0014211 0.0008 0.0016 0.0178 0.0007212 0.0004 0.0008 0.0090 0.0003

64


Bovendien merken we nog iets anders op. In Figuur 4.3, 4.4, 4.5 en 4.5 is de voogeschrevencontinuıteit van de afgeleide van de benaderende oplossing in de verdeelpunten c en d, nl.

u′1,N (c) = u′2,N (c);

u′2,N (d) = u′3,N (d),(4.46)

waaruit (4.45) volgt, niet zichtbaar. In de verdeelpunten c en d komen namelijk knikkenvoor. We vermoeden dat we dit kunnen verklaren door de manier waarop de afgeleiden in(4.46) berekend werden. Aangezien

u1,N = z1,N + αw1,

u2,N = z2,N + αv2 + βw2,

u3,N = z3,N + αw3,

is stelsel (4.46) equivalent met het stelselz′1,N (c) + αw′1(c) = z′2,N (c) + αv′2(c) + βw′2(c);

z′3,N (d) + βw′3(d) = z′2,N (d) + αv′2(d) + βw′2(d).(4.47)

Aangezien we de oplossingen van de inhomogene hulpproblemen, nl. w1(x), w2(x), v2(x) enw3(x) exact berekend hebben, werden ook de afgeleiden van deze functies die voorkomen instelsel (4.47) exact berekend. De andere afgeleiden van de benaderende oplossingen van deinhomogene hulpproblemen, nl. z1,N (x), z2,N (x) en z3,N (x), zijn rechter- of linkerafgelei-den, weergegeven door (4.40), (4.41), (4.42) en (4.43). We legden dus de voorwaarden

− c1,N−1

h1+ αw′1(c) =

c2,2h2

+ αv′2(c) + βw′2(c);c3,2h3

+ βw′3(d) = − c2,N−1

h2+ αv′2(d) + βw′2(d).

(4.48)

op.

Opdat nu de continuıteit van de afgeleide van de numerieke oplossing in c en d zichtbaarzou zijn op de grafiek van de numerieke oplossing, moeten andere voorwaarden opgelegdworden. Dan zouden de afgeleiden die voorkomen in (4.46) volledig numeriek berekendmoeten worden. Dit wil zeggen dat we de gelijkheden in (4.46) zouden moeten opleggenop de benaderingen van de linker- of rechterafgeleiden in de punten c en d, die weergegevenworden door

u′1,N (c) ≈u1,N (c)− u1,N (a+ (N − 1)h1)

h1

= αw1(c)− w1(a+ (N − 1)h1)

h1−z1,N (c)− z1,N (a+ (N − 1)h1)

h1

= αw1(c)− w1(a+ (N − 1)h1)

h1−c1,N−1

h1,

u′2,N (c) ≈u2,N (c+ h2)− u2,N (c)

h2

= αv2(c+ h2)− v2(c)

h1+ β

w2(c+ h2)− w2(c)

h1+z2,N (c+ h2)− z2,N (c)

h2

= αv2(c+ h2)− v2(c)

h1+ β

w2(c+ h2)− w2(c)

h1+c2,2

h2,

65


u′2,N (d) ≈u2,N (d)− u2,N (c+ (N − 1)h2)

h2

= αv2(d)− v2(c+ (N − 1)h2)

h2+ β

w2(d)− w2(c+ (N − 1)h2)

h2

−z2,N (d)− z2,N (c+ (N − 1)h2)

h2

= αv2(d)− v2(c+ (N − 1)h2)

h2+ β

w2(d)− w2(c+ (N − 1)h2)

h2−c2,N−1

h2,

u′3,N (d) ≈u3,N (d+ h3)− u3,N (d)

h3

= βw3(d+ h3)− w3(d)

h3+z3,N (d+ h3)− z3,N (d)

h3

= βw3(d+ h3)− w3(d)

h3+c3,2

h3.

We zouden m.a.w. de volgende gelijkheden moeten opleggen:

αv2(c+ h2)− v2(c)

h1+ β

w2(c+ h2)− w2(c)

h1+c2,2

h2

= αw1(c)− w1(a+ (N − 1)h1)

h1−c1,N−1

h1, (4.49)

αv2(d)− v2(c+ (N − 1)h2)

h2+ β

w2(d)− w2(c+ (N − 1)h2)

h2−c2,N−1

h2

= βw3(d+ h3)− w3(d)

h3+c3,2

h3. (4.50)

Zoals eerder gezegd, werden echter andere gelijkheden opgelegd, waardoor het niet abnor-maal is dat aan (4.49) en (4.50) niet voldaan is en de continuıteit van de afgeleide van denumerieke oplossing in de verdeelpunten c en d niet zichtbaar is op de grafieken. Naar-mate echter N steeds groter wordt (en dus h1, h2 en h3 verkleinen), zullen de gelijkheden(4.49) en (4.50) steeds dichter naderen naar de opgelegde gelijkheden in (4.48), aangeziende benaderingen van de linker- of rechterafgeleiden van w1, w2, v2 en w3 dan naderen naarde exacte afgeleiden. Hierdoor zal de opgelegde continuıteitsvoorwaarde van de afgeleidein de punten c en d steeds meer zichtbaar worden op de grafieken en zullen de knikkenverminderen, naarmate N toeneemt. In combinatie met een betere benadering van dewaarden van α en β door een betere benadering van de oplossingen van de inhomogenehulpproblemen via de EEM, vermoeden we aldus bij voldoende grote N een goede benader-ing van de sterke oplossing. Het komt er dus op neer het aantal discretisatie-intervallenop te drijven om de nauwkeurigheid van de resultaten te verhogen.

Tot slot merken we op dat we de knikken in de verdeelpunten c en d vermoedelijk zoudenkunnen vermijden door de inhomogene hulpproblemen eveneens numeriek op te lossen. Indat geval zijn de opgelegde voorwaarden (4.46) namelijk de gelijkheden (4.49) en (4.50)die voldaan moeten zijn om de continuıteit van de afgeleide van de numerieke oplossing inc en d op de grafieken waar te nemen. we kozen ervoor om de inhomogene hulpproblemenexact op te lossen, omdat de fout dan kleiner is, aangezien minder numerieke berekeningenworden uitgevoerd. De prijs die we hiervoor betalen zijn de knikken op de figuren.

We besluiten nogmaals dat de ontwikkelde methode een efficiente methode is om de uniekesterke oplossing van het beschouwde probleem te benaderen, op voorwaarde dat het aantaldiscretisatie-intervallen voldoende groot genomen wordt.

66

Hoofdstuk 5

Lineair parabolisch probleem

In dit hoofdstuk onderzoeken we onderstaand lineair parabolisch probleem:∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = f(t, x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t) t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(t, d) = u(t, b) = β(t) t ∈ (0, T ], a < c < d < b;u(0, x) = u0(x), x ∈ (a, b)

(5.1)

metu : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ u(t, x)

de onbekende temperatuur in de staaf als functie van de tijd en plaats,

f : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ f(t, x)


α : [0, T ]→ R : t→ α(t)

enβ : [0, T ]→ R : t→ β(t).

de niet-lokale randcondities, welke ongekend zijn.

Hierbij wordt voor de beginconditie u0 verondersteld dat u0 ∈ L2(Ω).



Opmerking 5.0.2. We spreken van een klassieke oplossing u(t, x) van probleem (5.1)als u(t, ·) ∈ C2(Ω), ∀t ∈ [0, T ] en ∂tu(t, .) ∈ C(Ω), ∀t ∈ [0, T ]. Een oplossing u ∈L2((0, T ), H2(Ω)) van probleem (5.1), met ∂tu ∈ L2((0, T ), L2(Ω)), noemen we een sterkeoplossing van dat probleem. Tenslotte wordt een oplossing u ∈ L2((0, T ), H1(Ω)) vanprobleem (5.1), met ∂tu ∈ L2((0, T ), L2(Ω)), een zwakke oplossing genoemd.

67


Opmerking 5.0.3. In de partiele differentiaalvergelijking van probleem (5.1) komt eenterm u voor. Dit zorgt ervoor dat het probleem zich herleidt tot probleem (4.32) indiende exacte oplossing tijdsonafhankelijk is. Voor dit tijdsonafhankelijk probleem weten wenamelijk uit hoofdstuk 4 dat de unieke randvoorwaarden en de corresponderende sterkeoplossing in H2(Ω) numeriek benaderd kunnen worden.

Eerst en vooral passen we de Rothemethode toe, waarbij we het beschouwde tijdsinter-val opsplitsen in Nt discretisatie-intervallen, om tot een recurrent systeem van elliptischerandwaardenproblemen in de onbekende u(k)(x) ≈ u(tk, x), k = 1, . . . , Nt, te komen. Wetonen aan dat op ieder tijdstip tk, k = 1, . . . , Nt, een uniek koppel (α(tk), β(tk)) bestaat,zodat de existentie en uniciteit van een sterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω) op volledig Ω ver-zekerd is.

We hebben dan echter slechts het bestaan van een unieke sterke oplossing op ieder dis-cretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, aangetoond. Daarom verlengen we de functies u(k)(x)in het volledige tijdsinterval [0, T ], zodat we een oplossing vinden die continu is in detijdsvariabele. Dit doen we a.d.h.v. de Rothefuncties.

Het theoretisch aantonen van de existentie en uniciteit van een sterke oplossing u ∈L2((0, T ), H2(Ω)) valt buiten het bestek van deze thesis. We vermoeden dat hiervoor ge-bruik zal moeten gemaakt worden van de theorie van semigroepen van lineaire operatoren.

In Matlab programmeren we vervolgens de oplossingsmethode om op ieder tijdstip tk,1 6 k 6 Nt, het unieke koppel (α(tk), β(tk)), evenals de bijhorende unieke sterke oplossingu(k) ∈ H2(Ω), te benaderen.We passen deze oplossingsmethode tenslotte toe op twee voorbeelden. De nauwkeurigheidvan de methode wordt nagegaan door de fout op de benaderingen te bekijken.


5.1.1 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op ieder discretisa-tietijdstip op volledig Ω

Zoals eerder gezegd passen we eerst de Rothemethode toe voor de tijdsdisretisatie. Wesplitsen hierbij het tijdsinterval [0, T ] op in Nt gelijke deelintervallen [tk−1, tk], 1 6 k 6Nt. De lengte van een tijdsinterval bedraagt dan τ = T

Nt. Vervolgens benaderen we de

tijdsafgeleide in ieder discretisatietijdstip tk = kτ , 1 6 k 6 Nt, door de achterwaartsedifferentiebenadering:

∂tu(tk, x) ≈ δu(k)(x) =u(k)(x)− u(k−1)(x)

τ,

waarbij u(k)(x) ≈ u(tk, x), 1 6 k 6 Nt.

Zo bekomen we op ieder discretisatietijdstip tk = kτ , 1 6 k 6 Nt, een lineair tijdson-afhankelijk probleem ter bepaling van de onbekende u(k)(x) ≈ u(tk, x). Op tijdstip tk,1 6 k 6 Nt, houdt dit probleem in: zoek een sterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω) van hetprobleem

(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x) = f (k)(x) + u(k−1)(x)

τ x ∈ Ω = (a, b);

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk),

(5.2)

68


met f (k)(x) = f(tk, x) en α(tk), β(tk) ∈ R ongekend. Hierbij merken we op dat u(0)(x) =u0(x) exact gekend is.

Op ieder tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, hebben we dus een lineair stationair probleem ter be-paling van de onbekende u(k). De vorm van het lineair stationair probleem op tijdstiptk, 1 6 k 6 Nt, is dezelfde als het behandelde probleem in hoofdstuk 4, met r = 1 + 1

τ ,

f = f (k)+ u(k−1)

τ en α(tk), β(tk) ∈ R ongekend. We weten uit het vorige hoofdstuk dat voordergelijke problemen unieke waarden van α(tk) en β(tk) bestaan zodat de corresponderendeoplossing van het probleem een sterke oplossing is, m.a.w. zodanig dat u(k) ∈ H2(Ω). Dezewaarden kunnen we bepalen via het principe van lineaire superpositie zoals in hoofdstuk 4.

Hiervoor veronderstellen we eerst α(tk) en β(tk) gekend en bekijken we, analoog als in hetvorige hoofdstuk, probleem (5.2) op ieder deelgebied afzonderlijk, waarna we het opsplitsenin hulpproblemen.

1. Bekijk op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, het probleem(1 + 1

τ

)u

(k)α − u(k)

α′′ = f (k) + u

(k−1)ατ in Ω1;

u(k)α (a) = α(tk);

u(k)α (c) = α(tk),

met u(0)α = u0|Ω1

. Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in twee hulpproblemen 1A

en 1B. Beide hulpproblemen zijn een bijzonder geval van probleem (4.2) met gekendeDirichlet-randcondities en hebben aldus een unieke zwakke oplossing die eveneens eenunieke sterke oplossing is.

1A

(1 + 1

τ

)z

(k)1 − z(k)

1′′ = f (k) + u

(k−1)ατ in Ω1;

z(k)1 (a) = 0;

z(k)1 (c) = 0

en

1B

(1 + 1

τ

)w1 − w

′′1 = 0 in Ω1;

w1(a) = 1;w1(c) = 1.


u(k)α = z

(k)1 + α(tk)w1, 1 6 k 6 Nt.


τ

)u

(k)αβ − u

(k)αβ′′ = f (k) +

u(k−1)αβ

τ in Ω2;

u(k)αβ (c) = α(tk);

u(k)αβ (d) = β(tk),

met u(0)αβ = u0|Ω2

. Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in drie hulpproblemen 2A,

2B en 2C, die een bijzonder geval zijn van probleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities en aldus elk een unieke zwakke oplossing hebben die eveneens een

69


unieke sterke oplossing is.

2A

(1 + 1

τ

)z

(k)2 − z(k)

2′′ = f (k) +

u(k−1)αβ

τ in Ω2;

z(k)2 (c) = 0;

z(k)2 (d) = 0,

2B

(1 + 1

τ

)v2 − v′′2 = 0 in Ω2;

v2(c) = 1;v2(d) = 0.

en

2C

(1 + 1

τ

)w2 − w′′2 = 0 in Ω2;

w2(c) = 0;w2(d) = 1.


u(k)αβ = z

(k)2 + α(tk)v2 + β(tk)w2, 1 6 k 6 Nt.


τ

)u

(k)β − u

(k)β′′ = f (k) +

u(k−1)β

τ in Ω3;

u(k)β (d) = β(tk);

u(k)β (b) = β(tk),

met u(0)β = u0|Ω3

. Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in twee hulpproblemen

3A en 3B, die een bijzonder geval zijn van probleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities en aldus elk een unieke zwakke oplossing hebben die tevens een uniekesterke oplossing is.

3A

(1 + 1

τ

)z

(k)3 − z(k)

3′′ = f (k) +

u(k−1)β

τ in Ω3;

z(k)3 (d) = 0;

z(k)3 (b) = 0

en

3B

(1 + 1

τ

)w3 − w′′3 = 0 in Ω3;

w3(d) = 1;w3(b) = 1.


u(k)β = z

(k)3 + β(tk)w3, 1 6 k 6 Nt.

We merken op dat de homogene hulpproblemen niet afhankelijk zijn van de tijd, aangezienhet rechterlid van de differentiaalvergelijking in deze hulpproblemen nul is en de Dirichlet-randvoorwaarden reeel zijn op elk discretisatietijdstip. Bovendien hebben deze homogenehulpproblemen dezelfde vorm als de gewone differentiaalvergelijking in (2.13). De oplos-singen van deze hulpproblemen worden dus, overeenkomstig met de oplossing (2.18) van

70


het homogeen elliptisch randwaardenprobleem (2.13), gegeven door

w1(x) =exp

(−√

1 + 1τ c)− exp

(−√

1 + 1τ a)

2 sinh[√

1 + 1τ (a− c)

] exp

(√1 +

1

τx

)

+exp

(√1 + 1

τ a)− exp

(√1 + 1

τ c)

2 sinh[√

1 + 1τ (a− c)

] exp

(−√

1 +1

τx

); (5.3)

v2(x) = −exp

(−√

1 + 1τ d)

2 sinh[√

1 + 1τ (d− c)

] exp

(√1 +

1

τx

)

+exp

(√1 + 1

τ d)

2 sinh[√

1 + 1τ (d− c)

] exp

(−√

1 +1

τx

); (5.4)

w2(x) =exp

(−√

1 + 1τ c)

2 sinh[√

1 + 1τ (d− c)

] exp

(√1 +

1

τx

)

−exp

(√1 + 1

τ c)

2 sinh[√

1 + 1τ (d− c)

] exp

(−√

1 +1

τx

); (5.5)

w3(x) =exp

(−√

1 + 1τ b)− exp

(−√

1 + 1τ d)

2 sinh[√

1 + 1τ (d− b)

] exp

(√1 +

1

τx

)

+exp

(√1 + 1

τ d)− exp

(√1 + 1

τ b)

2 sinh[√

1 + 1τ (d− b)

] exp

(−√

1 +1

τx

). (5.6)

In het vorige hoofdstuk hebben we vervolgens bewezen dat er slechts een uniek koppel(α(tk), β(tk)) bestaat, waarvoor

u(k) =

u

(k)α in Ω1;

u(k)αβ in Ω2;

u(k)β in Ω3

een sterke oplossing is van probleem (5.2). Bovendien toonden we aan dat dit uniekekoppel benaderd kan worden door de oplossing van het stelsel(

w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(α(tk)β(tk)

)=

(z

(k)2′(c)− z(k)

1′(c)

z(k)2′(d)− z(k)

3′(d)

).

Uit dit alles kunnen we besluiten dat op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, probleem(5.2) een unieke sterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω) bezit.

5.1.2 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op volledig (0, T ]×Ω

Tot nu toe hebben we slechts het bestaan van een unieke sterke oplossing op ieder discretisatie-tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, aangetoond. In deze paragraaf verlengen we de functies u(k)(x) in

71

5.2. NUMERIEK EXPERIMENT: LINEAIR PARABOLISCH PROBLEEM 72

het volledige tijdsinterval [0, T ], om een oplossing te vinden die continu is in de tijdsvari-abele. Dit doen we a.d.h.v. de stuksgewijze lineaire continue Rothefuncties, continu in detijd (zie ook (2.23)),

uNt(t) =

u0 voor t = 0;

u(k−1) + (t− tk−1)δu(k) voor t ∈ (tk−1, tk].

Zoals eerder gezegd, valt een onderzoek naar de stabiliteit van een oplossing van probleem(5.1) op volledig (0, T ] × Ω buiten het bestek van deze thesis. We gaan dus onmiddellijkover tot het opstellen van een numeriek experiment in Matlab.

5.2 Numeriek experiment: lineair parabolisch probleem

In deze sectie leggen we uit hoe een numeriek experiment, waarin een unieke sterke oplos-sing van het lineair parabolisch probleem (5.1) op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt,wordt benaderd, in Matlab wordt opgezet.De onderzoeksvraag luidt:


Het numeriek experiment (zie Bijlage A.4) verloopt volgens onderstaande redenering.

1. Schrijf de exacte oplossing uexact(t, x) voor en bereken

f(t, x) = ∂tuexact(t, x) + uexact(t, x)− ∂xxuexact(t, x).

Merk hierbij op dat de exacte oplossing en de randpunten (a, c, d en b) van dedeelintervallen zodanig gekozen moeten zijn dat, ∀t ∈ (0, T ]

uexact(t, a) = uexact(t, c);

uexact(t, b) = uexact(t, d).

Bereken bovendien de exacte oplossing u0(x) op tijdstip t = 0.

2. Veronderstel vervolgens de exacte oplossing ongekend (deze willen we benaderen).Voer de tijdsdiscretisatie uit, bekijk het lineair stationair probleem op ieder discreti-satietijdstip tk, k = 1, . . . , Nt en zoek hiervan een sterke oplossing. M.a.w. zoek eensterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω), ∀k = 1, . . . Nt, van het probleem

(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x) = f (k)(x) + u(k−1)(x)

τ x ∈ Ω = (a, b);

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk),

(5.7)

met f (k)(x) = f(tk, x). Hierbij merken we op dat u(0)(x) = u0(x) exact gekend is.We herinneren eraan dat α(tk) en β(tk) de warmte voorstellen die de warmtebronnenop tijdstip tk in de randpunten a en b moeten uitstralen zodat op ieder tijdstip detemperatuur in punt a gelijk is aan de gemeten temperatuur in punt c en de tempe-ratuur in punt b gelijk is aan de gemeten temperatuur in punt d. Deze waarden zijn

72


dus in de praktijk ongekend en moeten eveneens benaderd worden.

We weten uit hoofdstuk 4 dat voor het lineair stationair probleem (5.7) unieke rand-waarden α(tk) en β(tk) bestaan zodat de corresponderende oplossing van het pro-bleem een sterke oplossing is, m.a.w. zodanig dat u(k) ∈ H2(Ω).

Om een benadering van dit unieke koppel (α(tk),β(tk)) te vinden, splitsen we zoalsvoorheen het interval Ω = (a, b) op in 3 deelintervallen Ω1 = (a, c), Ω2 = (c, d) enΩ3 = (d, b). Vervolgens passen we het principe van lineaire superpositie toe, zoalsuitgelegd in de vorige sectie.

Zoals eerder gezegd, zijn de homogene hulpproblemen op alle deelintervallen nietafhankelijk van de tijd. We berekenen de oplossingen w1, v2, w2 en w3 van deze ho-mogene hulpproblemen exact. Deze problemen zijn voor iedere bronterm f dezelfde.De oplossingen worden dus steeds weergegeven door (5.3), (5.4), (5.5) en (5.6). InMatlab wordt gebruik gemaakt van dezelfde functie uit het numeriek experiment van

het lineair stationair probleem om deze oplossingen te bepalen. De oplossingen z(k)1 ,

z(k)2 en z

(k)3 van de inhomogene hulpproblemen op alle deelintervallen benaderen we

numeriek in Matlab, m.b.v. de Langrange eindige elementenmethode. Ter illustratiebekijken we wat deze eindige elementenmethode inhoudt voor het inhomogeen hulp-probleem op Ω1. Voor de inhomogene problemen op de andere intervallen kunnenwe een analoge werkwijze hanteren. We vermelden eerst nog even het beschouwdeinhomogeen hulpprobleem op Ω1.

(1 + 1

τ

)z

(k)1 − z(k)

1′′ = f (k) +

u(k−1)1τ in Ω1;

z(k)1 (a) = 0;

z(k)1 (c) = 0.

De variationele formulering van dit inhomogeen hulpprobleem ter bepaling van z(k)1

wordt op tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, gegeven door(1 +

1

τ

)(z

(k)1 , ϕ

)+(z

(k)1′, ϕ′

)=(f (k), ϕ

)+

(u

(k−1)1

τ, ϕ

), ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω1) =: V.(5.8)

We passen vervolgens de twee stappen in de EEM voor elliptische problemen toe,zoals uitgelegd in sectie (2.2.5).

(a) We benaderen de testruimte V door een eidigdimensionale deelruimte. We nemendezelfde eindigdimensionale deelruimte Vh1 als bij het numeriek experiment inhoofdstuk 4, namelijk

Vh1 =v : v ∈ X0,1

h1en v(a) = v(c) = 0

,

metX0,1h1

=v ∈ C0(Ω1)|v|(xi−1,xi)

∈ P1((xi−1, xi)), 1 6 i 6 N,

waarbij N het aantal discretisatie-intervallen is in de plaats op ieder deelintervalΩ1, Ω2 en Ω3.

(b) In de eindigdimensionale deelruimte Vh1 kiezen we vervolgens een basis. Ook hiernemen we dezelfde basis als in hoofdstuk 4, nl. ϕiN−1

i=1 , gedefinieerd als

ϕi(x) =

x−xi−1

h1x ∈ (xi−1, xi],

1− x−xih1

x ∈ (xi, xi+1),

0 elders.

, (5.9)

73


met ϕi(xj) = δi,j , 1 6 i, j 6 N − 1 en h1 de netparameter.

Aangezien Vh1 ⊂ V volgt uit (5.8) dat(1 +

1

τ

)(z

(k)1 , ϕ

)+(z

(k)1′, ϕ′

)=(f (k), ϕ

)+

(u

(k−1)1

τ, ϕ

), ∀ϕ ∈ Vh1 ,

wat equivalent is met(1 +

1

τ

)(z

(k)1 , ϕi

)+(z

(k)1′, ϕ′i

)=(f (k), ϕi

)+

(u

(k−1)1

τ, ϕi

), 1 6 i 6 N − 1, (5.10)

aangezien ϕiN−1i=1 een basis is van Vh1 .

Voor de inhomogene hulpproblemen op de andere deelintervallen wordt op tijdstiptk, 1 6 k 6 Nt, een gelijkaardige variationele formulering gevonden.

We zoeken nu de Galerkin benadering z(k)1,N ∈ Vh1 van de oplossing z

(k)1 van (5.10).

Hiertoe stellen we

z(k)1,N =

N−1∑j=1

c(k)1,jϕj ,

waarbij de onderindex N in z(k)1,N verwijst naar het aantal discretisatie-intervallen uit

de EEM en de onderindex 1 in c(k)1,j aantoont dat dit de coefficienten zijn in de ont-

wikkeling van z(k)1,N in de basis van Vh1 .

We substitueren deze benadering van z(k)1 in (5.10). Dit herleidt het probleem tot:

zoek c(k)1,j := z

(k)1,j ≈ z

(k)1 (xj), 1 6 j 6 N − 1, waarvoor

N−1∑j=1

c(k)1,j (ϕj , ϕi) +

N−1∑j=1

c(k)1,j

(ϕ′j , ϕ

′i

)=(f (k), ϕi

)+

u(k−1)1,N

τ, ϕi

, 1 6 i 6 N − 1.

Hierbij is u(k−1)1,N ≈ u(k−1)

1 de benaderende oplossing op Ω1 op tijdstip tk−1, 1 6 k 6 N ,

verkregen via de EEM. We merken op dat u(k−1)1,N afhankelijk is van z

(k−1)1,N , wat afhangt

van N . Bijgevolg hangt ook u(k−1)1,N af van N .

In matrixnotatie wordt dit: zoek c(k)1 = [c

(k)1,1, c

(k)1,2, . . . , c

(k)1,N−1]T waarvoor[(

1 +1

τ

)M +K

]c(k)1 = F (k).

Hierbij is

M = (Mij)N−1i,j=1 , metMij =

∫ c

aϕj(x)ϕi(x)dx

K = (Kij)N−1i,j=1 , metKij =

∫ c

aϕ′j(x)ϕ′i(x)dx

74


en

F (k) =(F

(k)i

)N−1

i=1, met F

(k)i =

∫ c

af (k)(x)ϕi(x)dx+

1

τ

∫ c

au

(k−1)1,N (x)ϕi(x)dx.

De elementen van M en K zijn precies dezelfde als in het numeriek voorbeeld uithoofdstuk 4. We herinneren eraan dat dit twee symmetrische, tridiagonale matriceszijn, waarvoor in Matlab functies gecreeerd werden om deze matrices op te vullen.

Het integrandum van de integraal∫ ca u

(k−1)1,N (x)ϕi(x)dx uit F

(k)i , 1 6 i 6 N − 1,

1 6 k 6 Nt, bevat de benaderende oplossing op Ω1 op tijdstip tk−1. We weten dat debenaderingen van de oplossingen op de drie deelintervallen op tijdstip k, 1 6 k 6 Nt,in de discretisatiepunten xj , 0 6 j 6 N , berekend kunnen worden via

u(k)1,j = z

(k)1,j + α(k)w1(a+ jh1); (5.11)

u(k)2,j = z

(k)2,j + α(k)v2(c+ jh2) + β(tk)w2(c+ jh2); (5.12)

u(k)3,j = z

(k)3,j + β(k)w3(d+ jh3). (5.13)

Hierbij geldt dat u(k)1,j ≈ u1(tk, a+jh1), u

(k)2,j ≈ u2(tk, c+jh2) en u

(k)3,j ≈ u3(tk, d+jh3),

met h1, h2 en h3 de netparameters op respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3. Bovendien isα(k) ≈ α(tk) en β(k) ≈ β(tk).

Om z(k)1,N , z

(k)2,N en z

(k)3,N te kunnen bepalen, moeten aldus de benaderingen van de

unieke sterke oplossingen van de hulpproblemen op respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3 op

tijdstip tk−1, nl. u(k−1)1,N , u

(k−1)2,N en u

(k−1)3,N , gekend zijn en dus eveneens de benaderin-

gen α(k−1) en β(k−1) van respectievelijk α(tk−1) en β(tk−1).

Het komt er dus op neer de inhomogene hulpproblemen op opeenvolgende tijdstippen

te beschouwen en de benaderingen u(k−1)1,N , u

(k−1)2,N en u

(k−1)3,N van de unieke sterke op-

lossingen van de deelproblemen op respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3 te bepalen alvorensnaar het volgende tijdstip tk over te gaan.

We starten met k = 1. Op het tijdstip t1 zoeken we een benadering van z(1)1 , z

(1)2 en

z(1)3 in de N + 1 ruimtelijke discretisatiepunten van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3. We

merken hierbij op dat z(1)1,0 = z

(1)1 (a) = 0, z

(1)2,0 = z

(1)2 (c) = 0 en z

(1)3,0 = z

(1)3 (d) = 0,

alsook z(1)1,N = z

(1)1 (c) = 0, z

(1)2,N = z

(1)2 (d) = 0 en z

(1)3,N = z

(1)3 (b) = 0 exact gekend zijn.

Het stelsel [(1 +

1

τ

)M +K

]c(1)1 = F (0)

ter bepaling van een benadering van z(1)1 in de N − 1 interne discretisatiepunten van

Ω1, alsook de gelijkaardige stelsels ter bepaling van een benadering van z(1)2 en z

(1)3

in de interne discretisatiepunten van respectievelijk Ω2 en Ω3 kan zonder problemen

opgelost worden. We kennen namelijk u(0)1 = u0|Ω1

, u(0)2 = u0|Ω2

en u(0)3 = u0|Ω3

,

wat voorkomt in het integrandum van F(0)i , 1 6 i 6 N − 1. De integralen uit F

(0)i ,

1 6 i 6 N − 1 worden in Matlab berekend met de trapeziumregel, net zoals in

75


hoofdstuk 4. Vervolgens worden α(1) en β(1) bepaald door de matrixvergelijking(w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(α(t1)β(t1)

)=

(z

(1)2,N′(c)− z(1)

1,N′(c)

z(1)2,N′(d)− z(1)

3,N′(d)

)

op te lossen naar α(t1) en β(t1). De afgeleiden in het linkerlid van deze matrix-vergelijking worden exact berekend. De afgeleiden in het rechterlid zijn, net als inhoofdstuk 4, linker- of rechterafgeleiden. Deze afgeleiden worden dus gegeven door

z(1)1,N′(c) := −

c(1)1,N−1

h1(linkerafgeleide),

z(1)2,N′(c) :=

c(1)2,2

h2(rechterafgeleide),

z(1)2,N′(d) := −

c(1)2,N−1


z(1)3,N′(d) :=

c(1)3,2

h3(rechterafgeleide).

Op basis van deze informatie kunnen u(1)1,j , u

(1)2,j en u

(1)3,j , 0 6 j 6 N , berekend worden

uit

u(1)1,j = z

(1)1,j + α(1)w1(a+ jh1); (5.14)

u(1)2,j = z

(1)2,j + α(1)v2(c+ jh2) + β(1)w2(c+ jh2); (5.15)

u(1)3,j = z

(1)3,j + β(1)w3(d+ jh3). (5.16)

Beschouw vervolgens k = 2. Op het tijdstip t2 zoeken we een benadering van z(2)1 , z

(2)2

en z(2)3 in de N + 1 ruimtelijke discretisatiepunten van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3.

We merken hierbij op dat z(2)1,0 = z

(2)1 (a) = 0, z

(2)2,0 = z

(2)2 (c) = 0 en z

(2)3,0 = z

(2)3 (d) = 0,

alsook z(2)1,N = z

(2)1 (c) = 0, z

(2)2,N = z

(2)2 (d) = 0 en z

(2)3,N = z

(2)3 (b) = 0 exact gekend zijn.

We bekijken het stelsel ter bepaling van een benadering van z(2)1 in de N − 1 interne

ruimtelijke discretisatiepunten, nl.[(1 +

1

τ

)M +K

]c(2)1 = F (2).

Het integrandum van de integraal∫ ca u

(1)1,Nϕidx uit F

(2)i , 1 6 i 6 N − 1 bevat de

benaderende oplossing op Ω1 op tijdstip 1. Bijgevolg moeten we deze integralen

berekenen alvorens we het stelsel ter bepaling van een benadering van z(2)1 in de

N − 1 interne ruimtelijke discretisatiepunten van Ω1 kunnen oplossen. De integraal∫ ca u

(1)1,Nϕidx kunnen we, gebruik makende van de vergelijking van ϕi(x) (zie (5.9)),

als volgt opsplitsen:∫ c

au

(1)1,N (x)ϕi(x)dx =

1

h1

∫ xi

xi−1

u(1)1,N (x)(x− xi−1)dx− 1

h1

∫ xi+1

xi

u(1)1,N (x)(x− xi+1)dx.

Aangezien nu de waarden u(1)1 (a+ jh1), 0 6 j 6 N , reeds in de vorige stap benaderd

werden door u(1)1,j , 0 6 j 6 N , kunnen we via lineaire interpolatie de restricties van

76


u(1)1,N (x) tot [xi−1, xi] en tot [xi, xi+1] bepalen. Er geldt dat

u(1)1,N |[xi−1,xi] =

u(1)1,i − u

(1)1,i−1

h1(x− xi−1) + u

(1)1,i−1; (5.17)

u(1)1,N |[xi,xi+1] =

u(1)1,i+1 − u

(1)1,i

h1(x− xi) + u

(1)1,i . (5.18)

De integralen worden vervolgens berekend in Matlab m.b.v. de trapeziumregel. Netzoals in hoofdstuk 4 worden de integralen echter eerst herschaald naar integralen over[0, 1]. Zo bekomen we, rekening houdende met de resultaten uit hoofdstuk 4, dat

F(2)i =

∫ c

af (2)(x)ϕi(x)dx+

1

τ

∫ c

au

(1)1,N (x)ϕi(x)dx

= h1

∫ 1

0f (2)(xi−1 + hp) · pdp− h1

∫ 1

0f (2)(xi + hp) · (p− 1)dp

+h1

τ

∫ 1

0

[(u

(1)1,i − u

(1)1,i−1

)p+ u

(1)1,i−1

]pdp

−h1

τ

∫ 1

0

[(u

(1)1,i+1 − u

(1)1,i

)p+ u

(1)1,i

](p− 1)dp.

Analoge integralen moeten berekend worden om een benadering van z(2)2 en z

(2)3 in

de N−1 interne ruimtelijke discretisatiepunten van respectievelijk Ω2 en Ω3 te vinden.

Vervolgens kunnen we α(2) en β(2) bepalen door de matrixvergelijking(w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(α(t2)β(t2)

)=

(z

(2)2,N′(c)− z(2)

1,N′(c)

z(2)2,N′(d)− z(2)

3,N′(d)

)

op te lossen naar α(t2) en β(t2). De afgeleiden in deze matrixvergelijking worden opanaloge manier berekend als op tijdstip 1.

Op basis van deze informatie kunnen we dan u(2)1,j , u

(2)2,j en u

(2)3,j , 0 6 j 6 N , berekenen

uit respectievelijk (5.11), (5.12) en (5.13), met k = 2.

Deze werkwijze wordt herhaald voor de volgende tijdstippen.

3. Aangezien we enkel de waarden van α en β benaderd hebben in de discretisatietijd-stippen, voeren we een lineaire interpolatie uit om functies te bekomen die continuzijn in de tijd.

αNt(t) =

uexact(0, a) voor t = 0;

α(k−1) + (t− tk−1)δα(k) voor t ∈ (tk−1, tk], 16 k 6 Nt

en

βNt(t) =

uexact(0, b) voor t = 0;

β(k−1) + (t− tk−1)δβ(k) voor t ∈ (tk−1, tk], 16 k 6 Nt.

77


Vervolgens benaderen we de fout op αNt en βNt in de L2((0, T ))-norm. De integraalover (0, T ) wordt hierbij geschreven als som van integralen over de tijdsdiscretisatie-intervallen, welke berekend worden met een licht aangepaste vorm van de rechthoek-regel. We merken hierbij op dat we α(·) = uexact(·, a) en β(·) = uexact(·, b) telkensevalueren in het tijdstip in het midden van een tijdsdiscretisatie-interval, terwijl wede numerieke benaderingen evalueren in de tijdsdiscretisatiepunten zelf, aangeziendeze in het midden van een tijdsdiscretisatie-interval niet numeriek berekend werdenin Matlab. Dit heeft geen effect op de trend in de fout als functie van het aan-tal plaatsdiscretisatie-intervallen. Bovendien wordt de fout door deze ingreep amperbeınvloed wanneer we het aantal tijdsdiscretisatie-intervallen voldoende groot nemen.Ook zal de fout door deze ingreep zeker niet onderschat worden. Deze ingreep is dusgerechtvaardigd. De formules worden gegeven door

‖αNt(t)− uexact(t, a)‖2L2((0,T )) =

∫ T

0

|αNt(t)− uexact(t, a)|2 dt

≈Nt−1∑k=0

τ

(α(k) − uexact

((k +

1

2

)τ, a

))2

(5.19)

en

‖βNt(t)− uexact(t, b)‖2L2((0,T )) =

∫ T

0

|βNt(t)− uexact(t, b)|2 dt

≈Nt−1∑k=0

τ

(β(k) − uexact

((k +

1

2

)τ, b

))2

. (5.20)

Ook de onbekende oplossing u hebben we enkel benaderd in de discretisatietijd-stippen. We definieren de Rothefunctie uσ om een benadering van de oplossing tebekomen die continu is in de tijd.Stel σ = (Nt, N), dan wordt de Rothefunctie gegeven door

uσ(t) =

u

(0)N voor t = 0;

u(k−1)N + (t− tk−1)δu

(k)N voor t ∈ (tk−1, tk], 16 k 6 Nt,

(5.21)

met, voor 1 6 k 6 Nt,

u(k)N =

u

(k)1,N = z

(k)1,N + α(k)w1 in Ω1;

u(k)2,N = z

(k)2,N + α(k)v2 + β(k)w2 in Ω2;

u(k)3,N = z

(k)3,N + β(k)w3 in Ω3

(5.22)

de numerieke oplossing op volledig Ω.Deze Rothefunctie is dus continu in ruimte en tijd.

Tot slot wordt de fout op de Rothefunctie benaderd. Dit is de fout in de L2((0, T ),L2(Ω))-norm. De integraal over Ω wordt in deze benadering geschreven als somvan integralen over de plaatsdiscretisatie-intervallen, welke benaderd worden met deSimpsonregel. De integraal over (0, T ) wordt analoog benaderd als de integraal over

78


(0, T ) in de benadering van αNt en βNt . De formule is:

‖uσ − uexact‖2L2((0,T ),L2(Ω))

=

∫ T

0

∫ b

a|uσ − uexact|2 dxdt

≈Nt−1∑k=0

τ

N−1∑j=0

h1

6

[(u

(k)1,j − uexact

((k +

1

2

)τ, a+ jh1

))2

+4

(u

(k)1,j + u

(k)1,j+1

2− uexact

((k +

1

2

)τ, a+ jh1 +

h1

2

))2

+

(u

(k)1,j+1 − uexact

((k +

1

2

)τ, a+ (j + 1)h1

))2]

+N−1∑j=0

h2

6

[(u

(k)2,j − uexact

((k +

1

2

)τ, c+ jh2

))2

+4

(u

(k)2,j + u

(k)2,j+1

2− uexact

((k +

1

2

)τ, c+ jh2 +

h2

2

))2

+

(u

(k)2,j+1 − uexact

((k +

1

2

)τ, c+ (j + 1)h2

))2]

+N−1∑j=0

h3

6

[(u

(k)3,j − uexact

((k +

1

2

)τ, d+ jh3

))2

+4

(u

(k)3,j + u

(k)3,j+1

2− uexact

((k +

1

2

)τ, d+ jh3 +

h3

2

))2

+

(u

(k)3,j+1 − uexact

((k +

1

2

)τ, d+ (j + 1)h3

))2]]

, (5.23)

waarbij h1, h2 en h3 de netparameters zijn in respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3.

Voorbeeld 5.2.1. We herhalen kort de procedure van het numeriek experiment, toegepastop een specifiek voorbeeld. Nadien worden de resultaten weergegeven.

1. Stel a = π3 , c = 2π

3 , d = 4π3 en b = 5π

3 . Verder stellen we T = 1. Kies tenslotte deexacte oplossing uexact(t, x) = t · sin(x).

Merk op dat ∀t ∈ [0, 1]

α(t) = uexact(t, a) = uexact(t, c) = t ·√

3

2;

β(t) = uexact(t, d) = uexact(t, b) = −t ·√

3

2.

De exacte oplossing is dus goed gekozen. Er volgt:

f(t, x) = ∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = (1 + 2t) sin(x)

79


enu(0, x) = 0.

We bekomen aldus het probleem:∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = (1 + 2t) sin(x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t), t ∈ (0, T ];u(t, b) = u(t, d) = β(t), t ∈ (0, T ];u(0, x) = 0, x ∈ (a, b).

2. We splitsen het tijdsinterval [0, 1] op in Nt gelijke deelintervallen [tk−1, tk], 1 6 k 6Nt. Vervolgens benaderen we de tijdsafgeleide in ieder discretisatietijdstip tk = kτ ,1 6 k 6 Nt, door de achterwaartse differentiebenadering. Zo bekomen we op iederdiscretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, een niet-lineair stationair probleem ter bepalingvan de onbekende u(k)(x) ≈ u(tk, x):

(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x) = sin(x) + tk · sin(x) + u(k−1)(x)

τ x ∈ (a, b);

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk).

(5.24)

Voor iedere k, 1 6 k 6 Nt, vinden we een benadering van u(k) via het principe vanlineaire superpositie.De oplossingen w1, v2, w2 en w3 van de homogene hulpproblemen werden reeds be-rekend (zie (5.3), (5.4), (5.5) en (5.6)).De oplossingen van de inhomogene hulpproblemen op ieder tijdstip tk bekomen wem.b.v. de eindige elementenmethode. We merken hierbij op dat de netparameterop Ω1 gelijk is aan die op Ω3, aangezien deze deelintervallen dezelfde lengte hebben.Bovendien is de netparameter op Ω2 dubbel zo groot als die op de andere deelin-

tervallen. Het programma in Matlab levert ons z(k)1,N , z

(k)2,N en z

(k)3,N als vectoren die

de waarden van de benaderende deeloplossingen op tijdstip tk bevatten in de N + 1knooppunten van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3.Vervolgens berekent Matlab α(k) en β(k).

Tenslotte worden de benaderende waarden u(k)1,j , u

(k)2,j en u

(k)3,j in de discretisatiepunten

xj , 0 6 j 6 N , van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3 bepaald via respectievelijk (5.11),(5.12) en (5.13).

3. De fout op αNt en βNt in de L2((0, T ))-norm wordt benaderd m.b.v. formules(5.19) en (5.20). Tenslotte wordt ook de fout op de numerieke oplossing in deL2((0, T ), L2(Ω))-norm benaderd m.b.v. formule (5.23).

In Figuur 5.1 worden eerst en vooral de grafieken van de logaritme van de fout op denumerieke oplossing t.o.v. de logaritme van het aantal plaatsdicretisatie-intervallen N bijverschillende waarden van het aantal tijdsdiscretisatie-intervallen Nt weergegeven. Boven-dien worden de grafieken van de fout op de numerieke oplossing t.o.v. de tijdsstap τ bijverschillende waarden van het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen weergegeven in Figuur5.2.

80


Figuur 5.1: Voorbeeld 5.2.1: de logaritme van de fout op de numerieke oplossing t.o.v. log(N)bij verschillende waarden van Nt

Figuur 5.2: Voorbeeld 5.2.1: de fout op de numerieke oplossing t.o.v. τ bij verschillende waardenvan N

De waarden van de fout op de numerieke oplossing bij de verschillende waarden van N envan τ zijn in Tabel 5.1 terug te vinden, afgerond op 4 cijfers na de komma. De kleinstefout bij iedere waarde van N is in het rood weergegeven.

81


Tabel 5.1: Voorbeeld 5.2.1: de fout op de numerieke oplossing bij verschillende waarden van Nen τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.4158 0.2374 0.1719 0.1804 0.2408 0.3327 0.4310 0.5134 0.5708N = 26 0.4066 0.2182 0.1365 0.1209 0.1552 0.2297 0.3313 0.4370 0.5242N = 27 0.4021 0.2085 0.1179 0.0861 0.0964 0.1436 0.2256 0.3331 0.4431N = 28 0.3997 0.2036 0.1086 0.0677 0.0617 0.0848 0.1348 0.2247 0.3357N = 29 0.3986 0.2012 0.1039 0.0586 0.0430 0.0500 0.0793 0.1362 0.2250N = 210 0.3980 0.1999 0.1016 0.0541 0.0337 0.0311 0.0444 0.0768 0.1354N = 211 0.3977 0.1993 0.1005 0.0519 0.0292 0.0215 0.0254 0.0418 0.0756N = 212 0.3976 0.1990 0.0999 0.0508 0.0270 0.0168 0.0156 0.0227 0.0405

Uit Tabel 5.1 en uit Figuur 5.1 kunnen we onmiddellijk vermoeden dat, bij iedere waardevan Nt = 1

τ , de fout kleiner wordt naarmate het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen Ngroter wordt. Dit was te verwachten, aangezien we dit fenomeen ook zagen opduiken bij hetlineair stationair probleem. Wanneer N te klein is, zal, net als bij het lineair stationairprobleem, de fout vooral bepaald worden door de onnauwkeurige benaderingen van de

oplossingen z(k)1 , z

(k)2 en z

(k)3 van de inhomogene hulpproblemen, welke een onnauwkeurige

benadering van de waarden α(tk) en β(tk) op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt,opleveren. De benaderingen α(k) en β(k), 1 6 k 6 Nt, worden namelijk bekomen door dematrixvergelijking(

w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(α(tk)β(tk)

)=

(z

(k)2,N′(c)− z(k)

1,N′(c)

z(k)2,N′(d)− z(k)

3,N′(d)

)(5.25)

op te lossen naar α(tk) en β(tk).

Dat α en β niet nauwkeurig benaderd worden als N te klein is, wordt ook duidelijk uitFiguur 5.3 die de grafieken van de logaritme van de fout op αNt t.o.v. de logaritme vanN bij verschillende waarden van Nt weergeven, evenals uit Tabel 5.2 die de fout op αNtbij verschillende waarden van N en van Nt weergeeft, afgerond op 4 cijfers na de komma.Ook in deze tabel is de kleinste fout bij iedere waarde van N in het rood weergegeven.We merken op dat fout op βNt volledig dezelfde is als de fout op αNt . De grafiek van delogaritme van de fout op βNt t.o.v. de logaritme van N bij verschillende waarden van Nt

en de tabel van de fout op βNt bij verschillende waarden van N en van Nt is bijgevolgvolledig dezelfde als die voor αNt . We laten deze dus achterwege.

82


Figuur 5.3: Voorbeeld 5.2.1: de logaritme van de fout op αNt (en βNt) t.o.v. log(N) bij verschil-lende waarden van Nt

Tabel 5.2: Voorbeeld 5.2.1: de fout op αNten βNt

bij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.2303 0.1380 0.1100 0.1263 0.1754 0.2450 0.3180 0.3789 0.4217N = 26 0.2234 0.1232 0.0829 0.0817 0.1118 0.1688 0.2442 0.3216 0.3849N = 27 0.2200 0.1157 0.0685 0.0553 0.0679 0.1050 0.1665 0.2455 0.3255N = 28 0.2182 0.1120 0.0613 0.0411 0.0418 0.0613 0.1020 0.1660 0.2474N = 29 0.2174 0.1101 0.0577 0.0340 0.0277 0.0353 0.0582 0.1008 0.1664N = 210 0.2169 0.1092 0.0559 0.0305 0.0204 0.0211 0.0322 0.0567 0.1003N = 211 0.2167 0.1087 0.0550 0.0288 0.0169 0.0138 0.0180 0.0307 0.0561N = 212 0.2166 0.1085 0.0546 0.0279 0.0152 0.0102 0.0106 0.0165 0.0300

Uit Figuur 5.3 en Tabel 5.2 kunnen we afleiden dat naarmate N stijgt, de fout op αNt(en op βNt) daalt bij iedere waarde van Nt. Dit fenomeen, alsook de vorm van de grafiekuit Figuur 5.3, zagen we reeds opduiken in Figuur 5.1 en in Tabel 5.1. Deze gelijkheidvan patronen in de fout op de exacte oplossing en de fout op de randcondities was teverwachten, aangezien de numerieke oplossing op ieder tijdstip is opgebouwd uit lineairecombinaties van α(k) en β(k) (zie 5.22) en de Rothefunctie hiervan een lineaire verlengingin de tijd is (zie 5.21).

We kunnen dus reeds vermoeden dat de benadering van de sterke oplossing u(k) van pro-bleem (5.24) op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, geen goede benadering is wanneerN te klein is. Bijgevolg zal de Rothefunctie uσ eveens geen goede benadering zijn van deoplossing u op volledig [0, T ]×Ω. Ook hier lijkt het er dus op neer te komen N voldoendegroot te nemen om de nauwkeurigheid te vergroten.

Wanneer we de vorm van de grafieken in Figuur 5.1 nader bekijken, lijken op het eerstezicht twee verschillende patronen voor te komen: een voor kleine waarden van Nt eneen voor grote waarden van Nt. De krommen bij kleine Nt lijken al snel naar een even-wichtstoestand te naderen, terwijl de krommen voor grotere Nt helemaal niet naar een

83


evenwichtstoestand lijken te naderen. We kunnen echter vermoeden dat ook bij groteNt de krommen uiteindelijk, wanneer we N nog verder zouden laten toenemen, naar eenevenwichtstoestand zouden naderen. Dit kunnen we als volgt beredeneren. We kunnenstellen dat

fout = foutNt + foutN , (5.26)

waarbij ‘fout’ staat voor de totale fout op de numerieke oplossing, ‘foutNt ’ voor het gedeeltevan de fout dat enkel veroorzaakt wordt door de tijdsdiscretisatie en ‘foutN ’ voor hetgedeelte van de fout dat enkel veroorzaakt wordt door de plaatsdiscretisatie. Hieruit volgtdat bij constant houden van het aantal tijdsdiscretisatie-intervallen Nt en het laten toene-men van het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen de totale fout gedomineerd wordt door‘foutN ’, zolang ‘foutN ’ substantieel groter is dan ‘foutNt ’. Eens echter ‘foutN ’ evenredigwordt met ‘foutNt ’ zijn uit de grafieken in Figuur 5.1 geen conclusies meer te trekkenomtrent de invloed van het verder vergroten van de parameter N op de totale fout. Wan-neer we namelijk N nog verder laten toenemen, wordt de fout niet langer gedomineerddoor ‘foutN ’, maar wel door ‘foutNt ’. Vandaar dat we aanvankelijk een duidelijke afnamevan de fout waarnemen naarmate N groter wordt, maar de fout vanaf een bepaald ogen-blik constant lijkt te blijven. Dit is het moment waarbij ‘foutN ’ evenredig wordt met‘foutNt ’ en de totale fout ongeveer gelijk wordt aan ‘foutNt ’, die constant wordt gehouden,aangezien Nt constant wordt gehouden.

Hetzelfde patroon treedt op bij de fout op αNt en βNt . Dit is zichtbaar in Figuur 5.3.

We bekijken nu de numerieke oplossing op een tijdstip. Er lijkt, net zoals bij het lineair

stationair probleem, niet voldaan te zijn aan de opgelegde voorwaarden u(k)α′(c) = u

(k)αβ′(c)

en u(k)αβ′(d) = u

(k)β′(d). Dit kan op volledig analoge manier als bij het lineair stationair

probleem verklaard worden. Kort kunnen we herhalen dat dit te wijten is aan het feit datde afgeleiden van de exacte oplossingen van de inhomogene hulpproblemen exact berekendzijn. We illustreren dit met grafieken van de exacte en numerieke oplossing bij N = 27

en τ = 2−7 op de tijdstippen t1 en t61 t.o.v. de plaatsveranderlijke x, terug te vinden inFiguur 5.4.

(a) t1 (b) t61

Figuur 5.4: Voorbeeld 5.2.1: de exacte en benaderende oplossing bij N = 27 en τ = 2−7 optijdstippen t1 en t61

Op de grafieken van de numerieke oplossing in Figuur 5.4 is een knik aanwezig in de

84


punten c en d. Deze knik wordt ook hier minder zichtbaar als we bij constant houden vanhet aantal tijdsdiscretistaie-intervallen het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen opdrijven.Figuur 5.5 toont de grafieken van de exacte en numerieke oplossing opnieuw bij τ = 2−7,maar met N = 212, op dezelfde tijdstippen als voordien t.o.v. de plaatsvariabele x.

(a) t1 (b) t61


We zien inderdaad dat de knikken minder zichtbaar zijn bij N = 212 dan bij N = 27.

Net als bij het lineair stationair probleem, kunnen we bovendien vermoeden dat de knikkenvermeden zouden kunnen worden door de inhomogene hulpproblemen, net zoals de homo-gene hulpproblemen, numeriek op te lossen. Hierdoor zou echter de fout vergroten, waar-door we er toch voor gekozen hebben de oplossingen van de inhomogene hulpproblemen,alsook de nodige afgeleiden hiervan, exact te bepalen.

Op basis van Figuur 5.4 en Figuur 5.5 kunnen we ook opmerken dat de fout op de nu-merieke oplossing op een bepaald tijdstip groter is dan de fout op de numerieke oplossingop een vorige tijdstip. Dit is logisch. De fout groeit met de tijd, aangezien in de numeriekeberekening van de oplossing op een bepaald tijdstip gebruik wordt gemaakt van de nu-merieke oplossing op het vorige tijdstip, die reeds een benadering is.

We mogen ten slotte niet vergeten dat bij het lineair parabolisch probleem nog een andereparameter in het spel is, nl. de tijdstap τ . Uit Figuur 5.2 en uit Tabel 5.1 volgt dat bijiedere waarde van N de fout eerst afneemt, maar nadien weer stijgt, naarmate τ kleinerwordt. Ook hier proberen we dit patroon te beredeneren aan de hand van formule (5.26).In Figuur 5.2 wordt N vastgehouden en wordt gekeken naar de evolutie van de totalefout bij afnemende waarde van τ . We kunnen op basis van formule (5.26) vermoeden datde totale fout zal gedomineerd worden door ‘foutNt ’ zolang ‘foutNt ’ substantieel groter isdan ‘foutN ’. Wanneer echter ‘foutNt ’ evenredig wordt met ‘foutN ’ zijn uit de grafieken inFiguur 5.2 geen conclusies meer te trekken omtrent de invloed van het verder verkleinenvan de parameter τ op de totale fout. Wanneer we namelijk τ nog verder laten afnemen,wordt de fout niet langer gedomineerd door ‘foutNt ’, maar wel door ‘foutN ’. Vandaardat we aanvankelijk een duidelijke afname van de fout waarnemen, naarmate τ kleinerwordt, maar de fout vanaf een bepaald ogenblik niet verder afneemt. Dit is het momentwaarbij ‘foutNt ’ evenredig wordt met ‘foutN ’. In tegenstelling tot bij Figuur 5.1 naderen

85


hier de grafieken duidelijk niet naar een evenwichtstoestand, naarmate τ verder afneemt.Uit deze grafiek kunnen we dus vermoeden dat er een relatie zou kunnen zijn tussen deparameters Nt en N . De enige mogelijkheid om deze relatie te achterhalen is echter deuitvoering van een theoretische foutenanalyse, welke buiten het bestek van deze thesis valt.

Als we in Tabel 5.1 de evolutie van de waarde van de kleinst mogelijke fout bij iedereN -waarde bekijken bij toenemende waarde van N , zien we dat deze steeds kleiner wordten optreedt bij steeds kleinere waarden van τ . Een mogelijkheid om de fout te verkleinen,zou dus kunnen zijn om Nt en N tegelijk te vergroten. Dit is ook op een andere manier afte leiden uit Figuur 5.2. De kleinste fout bij een vaste waarde van N bevindt zich in hetminimum van de kromme die correspondeert met deze N -waarde. Dit minimum wordtsteeds kleiner en komt voor bij steeds kleinere waarden van τ naarmate we N laten toene-men. Als we dus τ veel verkleinen, moeten we N vergroten om een kleine fout te behouden.

Hetzelfde patroon treedt op bij de fout op αNt en βNt . Dit is zichtbaar in Tabel 5.2 enin Figuur 5.6 die de grafiek van de fout op αNt t.o.v. τ bij verschillende waarden vanN weergeeft. Ook hier merken we op dat de grafiek van de fout op βNt t.o.v. τ bijverschillende waarden van N volledig dezelfde is als de grafiek in Figuur 5.6. Vandaar datwe deze achterwege laten.

Figuur 5.6: Voorbeeld 5.2.1: de fout op αNt(en βNt

) t.o.v. τ bij verschillende waarden van N

We merken nog op dat de stijging van de fout bij te kleine waarden van τ ook kan afgeleidworden uit het numeriek experiment voor het lineair stationair probleem. Uit Tabel 4.1,Figuur 4.1 en Figuur 4.2 uit het experiment van het lineair stationair probleem kunnen wenamelijk afleiden dat de fout groter wordt als r te groot wordt bij een vaste waarde vanN . Zo is bijvoorbeeld de fout bij N = 212 en r = 1 gelijk aan 0.0006, terwijl de fout bijN = 212 en r = 3000 gelijk is aan 0.0021. Een stijging van r in het lineair stationair pro-bleem komt overeen met een afname van τ bij het lineair parabolisch probleem, aangezien1 + 1

τ de rol van r overneemt in het lineair parabolisch probleem. Uit het lineair stationairprobleem konden we dus reeds vermoeden dat bij het lineair parabolisch probleem de foutopnieuw zou stijgen, wanneer τ te klein zou worden bij een vaste waarde van N .

86


Dat er een relatie zou kunnen zijn tussen de twee parameters τ en N (en dus tussen τ en h,met h de netparameter in het beschouwde deelinterval, welke afhankelijk is van de keuzevan het aantal discretisatie-intervallen N) kan eveneens afgeleid worden uit de matrixver-gelijking (5.25). De 2x2-matrix in deze vergelijking is tijdsonafhankelijk. De elementenhiervan worden bekomen door in de elementen (4.27), (4.29), (4.30) en (4.31) van de 2x2-matrix (4.26) in de matrixvergelijking ter bepaling van α en β in het lineair stationairprobleem de parameter r te vervangen door 1 + 1

τ . Het is dan onmiddellijk duidelijk dat

deze matrixelementen evenredig zijn met√

1 + 1τ . Bovendien zijn de matrixelementen van

de kolommatrix in het rechterlid van de matrixvergelijking (5.25) evenredig met 1h . De

elementen van deze kolommatrix zijn namelijk lineaire combinaties van numerieke afgelei-den van de benaderende oplossingen van de homogene hulpproblemen, welke evenredigzijn met 1

h . Op ieder tijdstip k, 1 6 k 6 Nt, worden deze numerieke afgeleiden namelijkgegeven door de linker- of rechterafgeleiden

z(k)1,N′(c) := −

c(k)1,N−1


z(k)2,N′(c) :=

c(k)2,2

h2(rechterafgeleide),

z(k)2,N′(d) := −

c(k)2,N−1


z(k)3,N′(d) :=

c(k)3,2

h3(rechterafgeleide).

Samengevat is het linkerlid van de matrixvergelijking (5.25) evenredig met√

1 + 1τ en

het rechterlid van deze matrixvergelijking evenredig met 1h , met h de netparameter in het

beschouwde interval. Aangezien α(k) en β(k) bepaald worden uit deze vergelijking, kunnenwe dus vermoeden dat de fout op α(k) en op β(k) mogelijks zal afhangen van de relatietussen τ en h.

We kunnen besluiten dat de ontwikkelde methode efficient is om het beschouwde lineairparabolisch probleem op te lossen als we voorzichtig omspringen met de keuze van deparameters τ en N . Voor dit voorbeeld hebben we ontdekt dat bij toename van N bij eenvaste waarde van τ de fout steeds daalt. Bij vaste N kunnen we echter τ niet willekeurigklein maken zonder dat de fout op een bepaald moment weer begint te stijgen. Het lijkterop neer te komen N en Nt tegelijk te vergroten om de meest nauwkeurige benaderendeoplossing te bekomen.

Meer kunnen we uit dit numeriek experiment momenteel niet afleiden, aangezien, zoalseerder gezegd, een theoretische foutenanalyse buiten het bestek van deze thesis valt.

87


Voorbeeld 5.2.2.

1. Stel a = π8 , c = 3π

8 , d = 5π8 en b = 7π

8 . Verder stellen we T = 1. Kies tenslotte deexacte oplossing u(t, x) = cos(t)− sin(2x).

Merk op dat ∀t ∈ [0, 1]

α(t) = uexact(t, a) = uexact(t, c) = cos(t)−√

2

2;

β(t) = uexact(t, d) = uexact(t, b) = cos(t) +

√2

2.

De exacte oplossing is dus goed gekozen.

Er volgt:

f(t, x) = ∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x)

= − sin(t) + cos(t)− sin(2x)− 4 sin(2x)

= − sin(t) + cos(t)− 5 sin(2x).

enu(0, x) = 1− sin(2x).

We bekomen aldus het probleem:∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x) = − sin(t) + cos(t)− 5 sin(2x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t), t ∈ (0, T ];u(t, b) = u(t, d) = β(t), t ∈ (0, T ];u(0, x) = 1− sin(2x), x ∈ (a, b).


(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x) = − sin(tk) + cos(tk)− 5 sin(2x) x ∈ (a, b);

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk);

(5.27)

Voor iedere k, 1 6 k 6 Nt, vinden we een benadering van u(k) via het principe vanlineaire superpositie.

De oplossingen w1, v2, w2 en w3 van de homogene hulpproblemen werden reedsberekend (zie (5.3), (5.4), (5.5) en (5.6)).

De oplossingen van de inhomogene hulpproblemen op ieder tijdstip tk bekomen wem.b.v. de eindige elementenmethode. We merken hierbij op dat de netparameterop Ω1 gelijk is aan die op Ω2 en Ω3 aangezien de drie deelintervallen dezelfde lengte

hebben. Het programma in Matlab levert ons z(k)1,N , z

(k)2,N en z


de waarden van de benaderde deeloplossingen op tijdstip tk bevatten in de N + 1knooppunten van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3.

Vervolgens berekend Matlab α(k) en β(k).

Tenslotte worden de benaderde waarden u(k)1,j , u

(k)2,j en u

(k)3,j in alle discretisatiepunten


88



Eerst plotten we de logaritme van de fout op de numerieke oplossing t.o.v. de logaritmevan het aantal plaatsdicretisatie-intervallen N bij verschillende waarden van het aantaltijdsdiscretisatie-intervallen Nt. We plotten eveneens de fout op de numerieke oplossingt.o.v. de tijdsstap τ bij verschillende waarden van het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen.De grafieken worden respectievelijk in Figuur 5.7 en in Figuur 5.8 weergegeven.

Figuur 5.7: Voorbeeld 5.2.2: de logaritme van de fout t.o.v. log(N) bij verschillende waardenvan Nt

Figuur 5.8: Voorbeeld 5.2.2: de fout t.o.v. τ bij verschillende waarden van N

89


De waarden van de fouten bij de verschillende waarden van N en van τ worden in Tabel5.3 weergegeven, afgerond op 4 cijfers na de komma. De kleinste fout per waarde van τ isin het blauw weergegeven. Merk hierbij op dat vanaf τ = 2−5 niets is aangeduid, omwillevan het feit dat de kleinste fout bij deze waarden van τ voorkomt bij grotere waarden vanN dan diegene die in de tabel vermeld worden.


τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0632 0.0514 0.1269 0.2459 0.4238 0.6560 0.9010 1.1076 1.2548N = 26 0.0701 0.0235 0.0599 0.1311 0.2471 0.4256 0.6611 0.9103 1.1119N = 27 0.0751 0.0235 0.0248 0.0654 0.1335 0.2485 0.4280 0.6661 0.9181N = 28 0.0779 0.0288 0.0098 0.0302 0.0683 0.1348 0.2496 0.4302 0.6703N = 29 0.0793 0.0322 0.0099 0.0123 0.0333 0.0698 0.1356 0.2505 0.4319N = 210 0.0801 0.0341 0.0129 0.0045 0.0152 0.0349 0.0706 0.1361 0.2512N = 211 0.0805 0.0351 0.0148 0.0045 0.0061 0.0168 0.0357 0.0710 0.1365

In tegenstelling tot bij voorbeeld 5.2.1, leiden we bij dit voorbeeld uit Tabel 5.3 en uitFiguur 5.7 af dat, bij iedere waarde van Nt = 1

τ , de fout niet onbeperkt kleiner wordtnaarmate het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen N groter wordt. Vanaf een bepaaldewaarde van N begint de fout weer te stijgen. Hier impliceert een toename van N bijconstante waarde van τ dus niet noodzakelijk een verhoging van de nauwkeurigheid. Wekunnen dit verschijnsel beredeneren op basis van formule (5.26). We herinneren eraan datbij het constant houden van het aantal tijdsdiscretisatie-intervallen Nt en het laten toene-men van het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen de totale fout gedomineerd wordt door‘foutN ’, zolang ‘foutN ’ substantieel groter is dan ‘foutNt ’. Eens echter ‘foutN ’ evenredigwordt met ‘foutNt ’ zijn uit de grafieken in Figuur 5.7 geen conclusies meer te trekkenomtrent de invloed van het verder vergroten van de parameter N op de totale fout. Wan-neer we namelijk N nog verder laten toenemen, wordt de fout niet langer gedomineerddoor ‘foutN ’, maar wel door ‘foutNt ’. Net als bij voorbeeld 5.2.1 zien we aanvankelijkeen duidelijke afname van de fout, naarmate N groter wordt. In tegenstelling tot bijvoorbeeld 5.2.1 begint de fout vanaf een bepaald ogenblik te stijgen en nadert die nietonmiddellijk naar een evenwichtstoestand. Dit is het moment waarbij ‘foutN ’ evenredigwordt met ‘foutNt ’. Bij dit voorbeeld kunnen we dus reeds uit Figuur 5.7 vermoeden dater een relatie zou kunnen zijn tussen de parameters Nt en N , aangezien de grafieken nietonmiddellijk naar een evenwichtstoestand naderen na de daling.

Als we de evolutie van de waarde van de kleinst mogelijke fout bij iedere Nt-waarde be-kijken bij toenemende waarde van Nt, zien we dat deze steeds kleiner wordt en optreedtbij steeds grotere waarden van N . Dit is een eerste aanwijzing dat het erop lijkt neer tekomen Nt en N tegelijk te vergroten om de fout te verkleinen.

Ongeveer hetzelfde patroon duikt op bij de fout op αNt en βNt . Dit wordt duidelijk uitFiguur 5.9 en uit Figuur 5.10 die de grafieken van de logaritme van de fout op respec-tievelijk αNt en βNt t.o.v. de logaritme van N bij verschillende waarden van Nt bevatten,evenals uit Tabel 5.4 en uit Tabel 5.5 die de fout op respectievelijk αNt en βNt bij verschil-lende waarden van N en van Nt bevatten, afgerond op 4 cijfers na de komma. Ook in dezetabellen is, indien mogelijk, de kleinste fout per waarde van Nt in het blauw weergegeven.We merken op dat, in tegenstelling tot bij voorbeeld 5.2.1, de fout op βNt verschilt van defout op αNt .

90


Figuur 5.9: Voorbeeld 5.2.2: de logaritme van de fout op αNt t.o.v. log(N) bij verschillendewaarden van Nt

Figuur 5.10: Voorbeeld 5.2.2: de logaritme van de fout op βNtt.o.v. log(N) bij verschillende

waarden van Nt

91


Tabel 5.4: Voorbeeld 5.2.2: de fout op αNt bij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0540 0.0134 0.0249 0.0733 0.1365 0.2022 0.2442 0.2505 0.2364N = 26 0.0533 0.0181 0.0086 0.0397 0.0851 0.1469 0.2113 0.2507 0.2536N = 27 0.0530 0.0207 0.0020 0.0189 0.0473 0.0914 0.1526 0.2163 0.2542N = 28 0.0528 0.0221 0.0060 0.0074 0.0241 0.0512 0.0948 0.1558 0.2192N = 29 0.0528 0.0228 0.0084 0.0017 0.0113 0.0267 0.0532 0.0965 0.1576N = 210 0.0527 0.0231 0.0097 0.0023 0.0046 0.0132 0.0280 0.0542 0.0975N = 211 0.0527 0.0233 0.0103 0.0037 0.0012 0.0061 0.0142 0.0287 0.0547

Tabel 5.5: Voorbeeld 5.2.2: de fout op βNtbij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0229 0.0579 0.1333 0.2456 0.4157 0.6430 0.8920 1.1121 1.2756N = 26 0.0348 0.0191 0.0646 0.1313 0.2407 0.4119 0.6435 0.8979 1.1221N = 27 0.0434 0.0062 0.0280 0.0663 0.1298 0.2387 0.4113 0.6460 0.9040N = 28 0.0480 0.0137 0.0095 0.0315 0.0667 0.1291 0.2381 0.4119 0.6489N = 29 0.0503 0.0185 0.0033 0.0136 0.0330 0.0669 0.1289 0.2380 0.4128N = 210 0.0515 0.0210 0.0065 0.0047 0.0155 0.0336 0.0670 0.1288 0.2382N = 211 0.0521 0.0222 0.0086 0.0019 0.0067 0.0164 0.0340 0.0670 0.1288

In Tabel 5.6 is de kleinste fout op de numerieke oplossing bij iedere waarde van N in hetrood weergegeven. In Tabel 5.7 en in Tabel 5.8 is de kleinste fout op respectievelijk αNten βNt bij iedere waarde van N eveneens in het rood aangeduid.


τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0632 0.0514 0.1269 0.2459 0.4238 0.6560 0.9010 1.1076 1.2548N = 26 0.0701 0.0235 0.0599 0.1311 0.2471 0.4256 0.6611 0.9103 1.1119N = 27 0.0751 0.0235 0.0248 0.0654 0.1335 0.2485 0.4280 0.6661 0.9181N = 28 0.0779 0.0288 0.0098 0.0302 0.0683 0.1348 0.2496 0.4302 0.6703N = 29 0.0793 0.0322 0.0099 0.0123 0.0333 0.0698 0.1356 0.2505 0.4319N = 210 0.0801 0.0341 0.0129 0.0045 0.0152 0.0349 0.0706 0.1361 0.2512N = 211 0.0805 0.0351 0.0148 0.0045 0.0061 0.0168 0.0357 0.0710 0.1365

Tabel 5.7: Voorbeeld 5.2.2: de fout op αNtbij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0540 0.0134 0.0249 0.0733 0.1365 0.2022 0.2442 0.2505 0.2364N = 26 0.0533 0.0181 0.0086 0.0397 0.0851 0.1469 0.2113 0.2507 0.2536N = 27 0.0530 0.0207 0.0020 0.0189 0.0473 0.0914 0.1526 0.2163 0.2542N = 28 0.0528 0.0221 0.0060 0.0074 0.0241 0.0512 0.0948 0.1558 0.2192N = 29 0.0528 0.0228 0.0084 0.0017 0.0113 0.0267 0.0532 0.0965 0.1576N = 210 0.0527 0.0231 0.0097 0.0023 0.0046 0.0132 0.0280 0.0542 0.0975N = 211 0.0527 0.0233 0.0103 0.0037 0.0012 0.0061 0.0142 0.0287 0.0547

92


Tabel 5.8: Voorbeeld 5.2.2: de fout op βNt bij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.02290 0.0579 0.1333 0.2456 0.4157 0.6430 0.8920 1.1121 1.2756N = 26 0.0348 0.0191 0.0646 0.1313 0.2407 0.4119 0.6435 0.8979 1.1221N = 27 0.0434 0.0062 0.0280 0.0663 0.1298 0.2387 0.4113 0.6460 0.9040N = 28 0.0480 0.0137 0.0095 0.0315 0.0667 0.1291 0.2381 0.4119 0.6489N = 29 0.0503 0.0185 0.0033 0.0136 0.0330 0.0669 0.1289 0.2380 0.4128N = 210 0.0515 0.0210 0.0065 0.0047 0.0155 0.0336 0.0670 0.1288 0.2382N = 211 0.0521 0.0222 0.0086 0.0019 0.0067 0.0164 0.0340 0.0670 0.1288

Uit Figuur 5.8 en uit Tabel 5.6 volgt dat bij iedere vaste waarde van N de fout eerstafneemt, maar nadien weer stijgt, naarmate τ kleiner wordt. We herinneren eraan datbij het constant houden van het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen de fout gedomineerdwordt door ‘foutNt ’ zolang ‘foutNt ’ substantieel groter is dan ‘foutN ’. Wanneer echter‘foutNt ’ evenredig wordt met ‘foutN ’ zijn uit de grafieken in Figuur 5.2 geen conclusiesmeer te trekken omtrent de invloed van het verder verkleinen van de parameter τ op detotale fout. Wanneer we namelijk τ nog verder laten afnemen, wordt de fout niet langergedomineerd door ‘foutNt ’, maar wel door ‘foutN ’. Vandaar dat we, net als bij voorbeeld5.2.1, aanvankelijk een duidelijke afname van de fout waarnemen, naarmate Nt groterwordt, maar de fout vanaf een bepaald ogenblik niet verder afneemt. Dit is het momentwaarbij ‘foutNt ’ evenredig wordt met ‘foutN ’. De grafieken in Figuur 5.8 naderen duidelijkniet naar een evenwichtstoestand, naarmate τ verder afneemt. Uit deze grafiek kunnen wedus opnieuw vermoeden dat er een relatie zou kunnen zijn tussen de parameters Nt en N .

Als we ook hier de evolutie van de waarde van de kleinst mogelijke fout bij iedere N -waarde bekijken bij toenemende waarde van N , zien we dat deze, net als bij voorbeeld5.2.1, kleiner lijkt te worden. Bovendien zal deze waarde optreden bij steeds kleinere waar-den van τ naarmate we N laten toenemen. Dit is analoog als bij voorbeeld 5.2.1 eveneensaf te leiden uit Figuur 5.8. Dit is een tweede aanwijzing voor het feit dat het erop neerlijkt te komen om Nt en N tegelijk te vergroten om de fout te verkleinen.

Een licht ander fenomeen treedt op bij de fout op αNt en βNt . Dit is zichtbaar in Tabel 5.7en in Tabel 5.8, alsook in Figuur 5.11 en in Figuur 5.12 waarin de grafieken van de fout oprespectievelijk αNt en βNt t.o.v. τ bij verschillende waarden van N worden weergegeven.

93


Figuur 5.11: Voorbeeld 5.2.2: de fout op αNtt.o.v. τ bij verschillende waarden van N

Figuur 5.12: Voorbeeld 5.2.2: de fout op βNtt.o.v. τ bij verschillende waarden van N

Uit Tabel 5.7 en uit Figuur 5.11 volgt dat bij iedere vaste waarde van N de fout op αNt ,analoog als de fout op uσ, eerst afneemt, maar nadien weer stijgt, naarmate τ kleinerwordt. De waarde van de kleinst mogelijke fout bij iedere N -waarde wordt echter nietsteeds kleiner, maar treedt wel op bij steeds kleinere waarden van τ naarmate we N latentoenemen. Voor de fout op βNt is in Tabel 5.8 en in Figuur 5.12 hetzelfde waar te nemen.Dit zou weer kunnen wijzen op het bestaan van een relatie tussen de parameters N en Nt.

In vergelijking met voorbeeld 5.2.1 moet in dit voorbeeld bij een vaste N -waarde τ minderklein zijn om de kleinste fout bij die N -waarde te bekomen. Bovendien is de waarde van

94


die kleinst mogelijke fout kleiner dan bij voorbeeld 5.2.1. We bekomen hier dus over hetalgemeen betere benaderingen van de sterke oplossing van het beschouwde probleem, bijeen optimale combinatie van de parameters.

Wanneer we de numerieke oplossing op een tijdstip bekijken, lijkt, in vergelijking met

voorbeeld 5.2.1, beter voldaan te zijn aan de opgelegde voorwaarden u(k)α′(c) = u

(k)αβ′(c)

en u(k)αβ′(d) = u

(k)β′(d). Toch is er bij te kleine waarden van N nog een lichte knik te

bespeuren. De aanwezigheid van deze knik kan op volledig analoge manier als bij voorbeeld5.2.1 verklaard worden. We vermoeden dat de exacte en benaderende afgeleiden vande oplossingen van de inhomogene hulpproblemen weinig verschillen en dat daardoor decontinuıteit van de afgeleide van de benaderende oplossing in de de verdeelpunten c end beter zichtbaar is op de grafieken. Ook hier verkleinen de knikken naarmate N groterwordt. Ter illustratie worden in Figuur 5.13 en Figuur 5.14 de grafieken van de exacte ennumerieke oplossing bij respectievelijk N = 25 en τ = 2−4 en N = 210 en τ = 2−4 op detijdstippen t1 en t15 t.o.v. de plaatsveranderlijke x weergegeven.

(a) t1 (b) t15


(a) t1 (b) t15


95


Op basis van Figuur 5.13 en Figuur 5.14 kunnen we bovendien, net als bij voorbeeld 5.2.1,opmerken dat de fout op de numerieke oplossing op een bepaald tijdstip groter is dan defout op de numerieke oplossing op een vorige tijdstip.

We kunnen ook hier besluiten dat de ontwikkelde methode efficient is om het beschouwdelineair parabolisch probleem op te lossen als we voorzichtig omspringen met de keuze vande parameters τ en N . Voor dit voorbeeld hebben we ontdekt dat bij toename van N bijeen vaste waarde van τ de fout aanvankelijk daalt, maar nadien weer stijgt. Bij vaste τkunnen we N dus niet willekeurig vergroten zonder dat de fout op een bepaald ogenblikbegint te stijgen. Bij vaste N zien we een gelijkaardig patroon optreden: τ kunnen we nietwillekeurig klein maken zonder dat de fout op een bepaald moment weer begint te stijgen.Net als bij voorbeeld 5.2.1 lijkt het erop neer te komen N en Nt tegelijk te vergroten omde meest nauwkeurige benaderende oplossing te bekomen.

Algemeen kunnen we besluiten dat de ontwikkelde methode efficient is om lineaire pa-rabolische problemen op te lossen als we voorzichtig omspringen met de keuze van deparameters τ en N . Het lijkt erop neer te komen bij ieder voorbeeld de eventuele linktussen deze parameters te achterhalen en de parameters zodanig te kiezen dat de foutzo klein mogelijk is. We vermoeden dat de meest nauwkeurige resultaten steeds zullenbekomen worden door N en Nt tegelijk te vergroten. Een theoretische foutenanalyse ishier echter aangewezen om correcte conclusies te kunnen trekken.

96

Hoofdstuk 6

Semilineair parabolisch probleem

In dit hoofdstuk onderzoeken we onderstaand semilineair parabolisch probleem:∂tu(t, x) + u− ∂xxu(t, x) = f(u(t, x)) + g(t, x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t), t ∈ (0, T ];u(t, b) = u(t, d) = β(t), t ∈ (0, T ];u(0, x) = u0(x), x ∈ (a, b),

(6.1)

metu : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ u(t, x)

de onbekende temperatuur in de staaf als functie van de tijd en plaats,

f : R→ R : u(t, x)→ f(u(t, x))

een bronterm die niet-lineair is in de onbekende u,

g : [0, T ]× Ω→ R : (t, x)→ g(t, x)

een correctieterm die we zullen nodig hebben in de numerieke experimenten en die lineairis in de onbekende u en

α : [0, T ]→ R : t→ α(t)

enβ : [0, T ]→ R : t→ β(t).

de niet-lokale randcondities, welke ongekend zijn.

Hierbij wordt voor de beginconditie u0 verondersteld dat u0 ∈ L2(Ω).



97


Opmerking 6.0.3. We spreken van een klassieke oplossing u(t, x) van probleem (6.1)als u(t, ·) ∈ C2(Ω), ∀t ∈ [0, T ] en ∂tu(t, .) ∈ C(Ω), ∀t ∈ [0, T ]. Een oplossing u ∈L2((0, T ), H2(Ω)) van probleem (6.1), met ∂tu ∈ L2((0, T ), L2(Ω)), noemen we een sterkeoplossing van dat probleem. Tenslotte wordt een oplossing u ∈ L2((0, T ), H1(Ω)) vanprobleem (6.1), met ∂tu ∈ L2((0, T ), L2(Ω)), een zwakke oplossing genoemd.

Opmerking 6.0.4. In de partiele differentiaalvergelijking komt een term u voor. Ditzorgt ervoor dat het probleem zich herleidt tot probleem (4.32) indien de exacte oplossingtijdsafhankelijk is. Voor dit tijdsonafhankelijk probleem weten we namelijk uit hoofd-stuk 4 dat de unieke randvoorwaarden en de corresponderende sterke oplossing in H2(Ω)numeriek benaderd kunnen worden.

Zoals in hoofdstuk 5 passen we eerst en vooral de Rothemethode toe om tot een recur-rent systeem van elliptische randwaardenproblemen in de onbekende u(k)(x) ≈ u(tk, x),k = 1, . . . , Nt, te komen. We tonen aan dat op ieder tijdstip tk, k = 1, . . . , Nt, een uniekkoppel (α(tk), β(tk)) bestaat, zodat de existentie en uniciteit van een sterke oplossingu(k) ∈ H2(Ω) op volledig Ω verzekerd is.

We hebben dan echter slechts het bestaan van een unieke sterke oplossing op ieder dis-cretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, aangetoond. Daarom verlengen we de functies u(k)(x)in het volledige tijdsinterval [0, T ], zodat we een oplossing vinden die continu is in detijdsvariabele. Dit doen we a.d.h.v. de Rothefuncties.

Het theoretisch aantonen van de existentie en uniciteit van een sterke oplossing u ∈L2((0, T ), H2(Ω)) van dit semilineair probleem valt buiten het bestek van deze thesis.

In Matlab programmeren we vervolgens de oplossingsmethode om op ieder tijdstip tk,1 6 k 6 Nt, het unieke koppel (α(tk), β(tk)), evenals de bijhorende unieke sterke oplossingu(k) ∈ H2(Ω), te benaderen.We passen deze oplossingsmethode tenslotte toe op twee voorbeelden. De nauwkeurigheidvan de methode wordt nagegaan door de fout op de benaderingen te bekijken.


6.1.1 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op ieder discretisa-tietijdstip op volledig Ω

Zoals gewoonlijk passen we eerst de Rothemethode toe voor de tijdsdisretisatie. We split-sen hierbij het tijdsinterval [0, T ] op in Nt gelijke deelintervallen [tk−1, tk], 1 6 k 6 Nt.De lengte van een tijdsinterval bedraagt dan τ = T

Nt. Vervolgens benaderen we de tijdsaf-

geleide in ieder discretisatietijdstip tk = kτ , 1 6 k 6 Nt, door de achterwaartse differen-tiebenadering:

∂tu(tk, x) ≈ δu(k)(x) =u(k)(x)− u(k−1)(x)

τ,

waarbij u(k)(x) ≈ u(tk, x), 1 6 k 6 Nt.

Door f(u(k)(x)) ≈ f(u(tk, x)) te vervangen door f(uk−1(x)) ≈ f(u(tk−1, x)) bekomen weop ieder discretisatietijdstip tk = kτ , 1 6 k 6 Nt, een lineair tijdsonafhankelijk probleemter bepaling van de onbekende u(k). Op tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, houdt dit probleem in:

98


zoek een sterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω) van het probleem(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x) = f(u(k−1)(x)) + g(k)(x) + u(k−1)(x)

τ x ∈ Ω = (a, b);

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk),

(6.2)

met g(k)(x) = g(tk, x). Hierbij merken we op dat u(0)(x) = u0(x) exact gekend is.

Op ieder tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, hebben we dus een lineair stationair probleem ter be-paling van de onbekende u(k). We weten uit hoofdstuk 4 dat voor dergelijke problemenunieke waarden van α(tk) en β(tk) bestaan zodat de corresponderende oplossing van hetprobleem een sterke oplossing is, m.a.w. zodanig dat u(k) ∈ H2(Ω). Deze waarden kunnenwe bepalen via het principe van lineaire superpositie zoals in hoofdstukken 4 en 5.

Hiervoor veronderstellen we eerst α(tk) en β(tk) gekend en bekijken we, analoog als in hetvorige hoofdstuk, probleem (6.2) op ieder deelgebied afzonderlijk, waarna we het opsplitsenin hulpproblemen.


τ

)u

(k)α − u(k)

α′′ = f(u

(k−1)α ) + g(k) + u

(k−1)ατ in Ω1;

u(k)α (a) = α(tk),

u(k)α (c) = α(tk),

met u(0)α = u0|Ω1

. Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in twee hulpproblemen 1A

en 1B. Beide hulpproblemen zijn een bijzonder geval van probleem (4.2) met gekendeDirichlet-randcondities en hebben aldus een unieke zwakke oplossing die eveneens eenunieke sterke oplossing is.

1A

(1 + 1

τ

)z

(k)1 − z(k)

1′′ = f(u

(k−1)α ) + g(k) + u

(k−1)ατ in Ω1;

z(k)1 (a) = 0;

z(k)1 (c) = 0

en

1B

(1 + 1

τ

)w1 − w

′′1 = 0 in Ω1;

w1(a) = 1;w1(c) = 1.


u(k)α = z

(k)1 + α(tk)w1, 1 6 k 6 Nt.

2. Bekijk op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt,het probleem(1 + 1

τ

)u

(k)αβ − u

(k)αβ′′ = f(u

(k−1)αβ ) + g(k) +

u(k−1)αβ

τ in Ω2;

u(k)αβ (c) = α(tk);

u(k)αβ (d) = β(tk),

met u(0)αβ = u0|Ω2

. Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in drie hulpproblemen 2A,

2B en 2C, die een bijzonder geval zijn van probleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities en aldus elk een unieke zwakke oplossing hebben die eveneens een

99


unieke sterke oplossing is.

2A

(1 + 1

τ

)z

(k)2 − z(k)

2′′ = f(u

(k−1)αβ ) + g(k) +

u(k−1)αβ

τ in Ω2;

z(k)2 (c) = 0;

z(k)2 (d) = 0,

2B

(1 + 1

τ

)v2 − v′′2 = 0 in Ω2;

v2(c) = 1;v2(d) = 0

en

2C

(1 + 1

τ

)w2 − w′′2 = 0 in Ω2;

w2(c) = 0;w2(d) = 1.


u(k)αβ = z

(k)2 + α(tk)v2 + β(tk)w2, 1 6 k 6 Nt.

3. Bekijk op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt,het probleem(1 + 1

τ

)u

(k)β − u

(k)β′′ = f(u

(k−1)β ) + g(k) +

u(k−1)β

τ in Ω3;

u(k)β (d) = β;

u(k)β (b) = β,

met u(0)β = u0|Ω3

. Dit deelprobleem kunnen we opsplitsen in twee hulpproblemen

3A en 3B, die een bijzonder geval zijn van probleem (4.2) met gekende Dirichlet-randcondities en aldus elk een unieke zwakke oplossing hebben die tevens een uniekesterke oplossing is.

3A

(1 + 1

τ

)z

(k)3 − z(k)

3′′ = f(u

(k−1)β ) + g(k) +

u(k−1)β

τ in Ω3;

z(k)3 (d) = 0;

z(k)3 (b) = 0

en

3B

(1 + 1

τ

)w3 − w′′3 = 0 in Ω3;

w3(d) = 1;w3(b) = 1.


u(k)β = z

(k)3 + β(tk)w3, 1 6 k 6 Nt.

We merken op dat de homogene hulpproblemen niet afhankelijk zijn van de tijd, aangezienhet rechterlid van de differentiaalvergelijking in deze hulpproblemen nul is en de Dirichlet-randvoorwaarden reeel zijn op elk discretisatietijdstip. Bovendien zijn deze homogenehulpproblemen exact dezelfde als de homogene hulpproblemen uit hoofdstuk 5. De oplos-singen van deze hulpproblemen worden dus gegeven door (5.3), (5.4), (5.5) en (5.6).Net als in hoofdstukken 4 en 5 weten we dat er slechts een uniek koppel (α(tk), β(tk))bestaat, waarvoor

u(k) =

u

(k)α in Ω1;

u(k)αβ in Ω2;

u(k)β in Ω3

100

6.2. NUMERIEK EXPERIMENT: SEMILINEAIR PARABOLISCH PROBLEEM 101

een sterke oplossing is van probleem (6.2). Bovendien kan dit unieke koppel benaderdworden door de oplossing van het stelsel(

w′1(c)− v′2(c) −w′2(c)−v′2(d) w′3(d)− w′2(d)

)(α(tk)β(tk)

)=

(z

(k)2′(c)− z(k)

1′(c)

z(k)2′(d)− z(k)

3′(d)

).

Net zoals in hoofdstuk 5 kunnen we besluiten dat op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6Nt, probleem (6.2) een unieke sterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω) bezit.

6.1.2 Existentie en uniciteit van de sterke oplossing op volledig (0, T ]×Ω

Tot nu toe hebben we slechts het bestaan van een unieke sterke oplossing op ieder discretisatie-tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, aangetoond. In deze paragraaf verlengen we de functies u(k)(x)in het volledige tijdsinterval [0, T ], om een oplossing te vinden die continu is in de tijds-variabele. Dit doen we, net zoals in hoofdstuk 5 a.d.h.v. stuksgewijze lineaire continueRothefuncties, continu in de tijd (zie ook (2.23)).Zoals eerder gezegd, valt een onderzoek naar de stabiliteit van een oplossing van probleem(6.1) op volledig (0, T ] × Ω buiten het bestek van deze thesis. We gaan dus onmiddellijkover tot het opstellen van een numeriek experiment in Matlab.

6.2 Numeriek experiment: semilineair parabolisch probleem

In deze sectie leggen we uit hoe een numeriek experiment, waarin een unieke sterke oplos-sing van het lineair parabolisch probleem (6.1) op ieder discretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt,wordt benaderd, in Matlab wordt opgezet.De onderzoeksvraag luidt:


Het numeriek experiment (zie Bijlage A.5) is opgebouwd volgens een gelijkaardige redener-ing als het numeriek experiment voor het lineair parabolisch probleem. Er zijn echter eenaantal aanpassingen. We overlopen daarom nog even kort de verschillende stappen in demethode. Daarbij wordt vooral de nadruk gelegd op de verschillen met het programmavoor het lineair parabolisch probleem.

1. Schrijf de exacte oplossing uexact(t, x) en de niet-lineaire bronterm f(u) voor. Berekenvervolgens de correctieterm

g(t, x) = ∂tuexact(t, x) + uexact(t, x)− ∂xxuexact(t, x)− f(u(t, x)).

Merk op dat de exacte oplossing en de randpunten zodanig gekozen moeten zijn dat,∀t ∈ (0, T ]

uexact(t, a) = uexact(t, c);

uexact(t, b) = uexact(t, d).

Ook moet de oplossing op het begintijdstip t = 0, nl. u0(x), berekend worden.

101


2. In stap 2 wordt op analoge wijze als bij het lineair parabolisch probleem het tijds-interval [0, T ] opgesplitst in Nt gelijke deelintervallen [tk−1, tk], 1 6 k 6 Nt. Wevervangen vervolgens f(u(k)(x)) ≈ f(u(tk, x)) door f(u(k−1)(x)) ≈ f(u(tk−1, x)). Viade achterwaartse differentiebenadering van de tijdsafgeleide in ieder discretisatietijd-stip bekomen we op ieder tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, een lineair stationair probleem enzoeken hiervan een sterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω). Het probleem luidt dus: zoek eensterke oplossing u(k) ∈ H2(Ω), ∀k = 1, . . . Nt, van het probleem(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x) = f

(u(k−1)(x)

)+ g(k)(x) + u(k−1)(x)

τ x ∈ Ω = (a, b) ;

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk),

met g(k)(x) = g(tk, x). Hierbij merken we op dat u(0)(x) = u0(x) exact gekend is.We herinneren eraan dat α(tk) en β(tk) de warmte voorstellen die de warmtebronnenop tijdstip tk in de randpunten a en b moeten uitstralen, zodat op ieder tijdstip detemperatuur in punt a gelijk is aan de gemeten temperatuur in punt c en de tempe-ratuur in punt b gelijk is aan de gemeten temperatuur in punt d. Deze waarden zijndus in de praktijk ongekend en moeten eveneens benaderd worden.

Verder verloopt deze stap analoog als voor het lineair parabolisch probleem. Er wordteveneens gebruik gemaakt van het principe van lineaire superpositie om de uniekesterke oplossing op ieder discretisatietijdstip en op ieder deelinterval te benaderen.De oplossingen w1, v2, w2 en w3 van de homogene hulpproblemen worden ook hierexact berekend. In Matlab wordt gebruik gemaakt van de functie uit het numeriekexperiment van het lineair stationair om deze oplossingen te bepalen.

De inhomogene hulpproblemen worden ook in dit geval opgelost via de Lagrange-EEM. Het is alweer noodzakelijk om de inhomogene hulpproblemen op opeenvolgende

tijdstippen te beschouwen en de benaderingen u(k−1)1,N , u

(k−1)2,N en u

(k−1)3,N van de unieke

sterke oplossingen van de deelproblemen op respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3 te bepalenalvorens naar het volgende discretisatietijdstip tk over te gaan.

Het enige verschil met het programma voor het lineair parabolisch probleem zit in deberekening van F (k) uit het algebraısch symsteem ter bepaling van een benaderingvan de unieke sterke oplossing van de inhomogene hulpproblemen in de N −1 interneknooppunten, welke gegeven wordt door[(

1 +1

τ

)M +K

]c(k) = F (k).

Voor het inhomogeen hulpprobleem op Ω1 geldt bijvoorbeeld dat

F (k) =(F

(k)i

)N−1

i=1,

met

F(k)i =

∫ c

af(u

(k−1)1,N (x)

)ϕi(x)dx+

∫ c

ag(k)(x)ϕi(x)dx+

1

τ

∫ c

au

(k−1)1,N (x)ϕi(x)dx.(6.3)

Analoge uitdrukkingen worden bekomen voor het rechterlid van het algebraısch sys-teem ter bepaling van een benadering van de unieke sterke oplossing van de inhomo-gene hulpproblemen op de andere deelintervallen.

102


De integralen in (6.3) kunnen, volledige analoog als bij het lineair parabolisch pro-bleem, geschreven worden als som van integralen over de relevante discretisatie-

intervallen waarin ϕi verschillend is van 0. Als bovendien u(k−1)1,N in een integraal

voorkomt, wordt ook hier de restrictie van deze functie tot die relevante discretisatie-intervallen bekomen via analoge lineaire interpolatie als in (5.17) en (5.18). Vervol-gens worden de integralen via analoge substituties als in hoofdstuk 5 herschaald naarhet interval [0, 1]. Zo bekomen we bijvoorbeeld voor het inhomogeen hulpprobleemop Ω1 op ieder tijdstip tk, 1 6 k 6 Nt,

F(k)i =

∫ c

af(u

(k−1)1,N (x)

)ϕi(x)dx+

∫ c

ag(k)(x)ϕi(x)dx+

1

τ

∫ c

au

(k−1)1,N (x)ϕi(x)dx

= h1

∫ 1

0f((u

(k−1)1,i − u(k−1)

1,i−1

)p+ u

(k−1)1,i−1

)pdp

−h1

∫ 1

0f((u

(k−1)1,i+1 − u

(k−1)1,i

)p+ u

(k−1)1,i

)(p− 1)dp

+h1

∫ 1

0g(k)(xi−1 + h1p)pdp− h1

∫ 1

0g(k)(xi + h1p)(p− 1)dp

+h1

τ

∫ 1

0

[(u

(k−1)1,i − u(k−1)

1,i−1

)p+ u

(k−1)1,i−1

]pdp

−h1

τ

∫ 1

0

[(u

(k−1)1,i+1 − u

(k−1)1,i

)p+ u

(k−1)1,i

](p− 1)dp.

De integralen in bovenstaande uitdrukking worden berekend met behulp van detrapeziumregel in Matlab.

Analoge uitdrukkingen worden bekomen bij de inhomogene hulpproblemen op de an-dere deelintervallen.

We merken hierbij op dat het resultaat, net als bij het lineair parabolisch probleem, is

dat we benaderende waarden u(k)1,j , u

(k)2,j en u

(k)3,j in de discretisatiepunten xj , 0 6 j 6 N ,

van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3 op ieder disretisatietijdstip tk, 1 6 k 6 Nt, gevondenhebben.

3. We beschouwen de functies

αNt(t) =

uexact(0, a) voor t = 0;

α(k−1) + (t− tk−1)δα(k) voor t ∈ (tk−1, tk], 16 k 6 Nt,

βNt(t) =

uexact(0, c) voor t = 0;

β(k−1) + (t− tk−1)δβ(k) voor t ∈ (tk−1, tk], 16 k 6 Nt

en

uσ(t) =

u

(0)N voor t = 0;

u(k−1)N + (t− tk−1)δu

(k)N voor t ∈ (tk−1, tk], 16 k 6 Nt,

met, ∀k = 1, . . . , Nt,

u(k)N =

u

(k)1,N in Ω1;

u(k)2,N in Ω2;

u(k)3,N in Ω3

103


de numerieke oplossing op volledig Ω.

De fouten op αNt en βNt in de L2((0, T ))-norm worden benaderd m.b.v. formules(5.19) en (5.20). Tenslotte wordt ook de fout op de numerieke oplossing in deL2((0, T ), L2(Ω))-norm benaderd m.b.v. formule (5.23).

Voorbeeld 6.2.1.

1. Stel a = π3 , c = 2π

3 , d = 4π3 en b = 5π

3 . Stel bovendien T = 1. Kies tenslotte de exacteoplossing u(t, x) = t sin(x) en f(u) = u2.Merk op dat ∀t ∈ [0, 1]

α(t) = uexact(t, a) = uexact(t, c) = t

√3

2

en

β(t) = uexact(t, d) = uexact(t, b) = −t√

3

2.

De exacte oplossing is dus goed gekozen.Er volgt:

g(t, x) = ∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x)− f(u(t, x))

= sin(x) + t sin(x) + t sin(x)− t2 sin2(x)

= sin(x) + 2t sin(x)− t2 sin2(x)

enu(0, x) = 0.

We bekomen dus het probleem:∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x)

= f(u(t, x)) + sin(x) + 2t sin(x)− t2 sin2(x) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t), t ∈ (0, T ];u(t, b) = u(t, d) = β(t), t ∈ (0, T ];u(0, x) = 0, x ∈ (a, b).


(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x)

= f(u(k−1)(x)

)+ sin(x) + 2tk sin(x)− t2k sin2(x) + u(k−1)(x)

τ x ∈ (a, b);

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk).

(6.4)

Voor iedere k, 1 6 k 6 Nt, vinden we een benadering van u(k) via het principe vanlineaire superpositie.De oplossingen w1, v2, w2 en w3 van de homogene hulpproblemen werden reeds be-rekend (zie (5.3), (5.4), (5.5) en (5.6)).De oplossingen van de inhomogene hulpproblemen op ieder tijdstip tk bekomen we

104


m.b.v. de eindige elementenmethode. We merken hierbij op dat de netparameterop Ω1 gelijk is aan die op Ω3, aangezien deze deelintervallen dezelfde lengte hebben.Bovendien is de netparameter op Ω2 dubbel zo groot als die op de andere deelin-

tervallen. Het programma in Matlab levert ons z(k)1,N , z

(k)2,N en z


de waarden van de benaderende oplossingen van de inhomogene hulpproblemen optijdstip tk bevatten in de N + 1 knooppunten van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3.Vervolgens berekend Matlab α(k) en β(k).


(k)2,j en u



3. De fouten op αNt en βNt in de L2((0, T ))-norm wordent benaderd m.b.v. formules(5.19) en (5.20). Tenslotte wordt ook de fout op de numerieke oplossing in deL2((0, T ), L2(Ω))-norm benaderd m.b.v. formule (5.23).

We merken op dat we dezelfde exacte oplossing en dezelfde waarden van a, b, c en d gekozenhebben als in voorbeeld 5.2.1. Dit maakt het mogelijk te controleren of het programmavoor het semilineair parabolisch probleem correct is opgesteld. De fouten op de numeriekeoplossing van het lineair parabolisch probleem en op de numerieke oplossing van het semi-lineair parabolisch probleem moeten dan nagenoeg hetzelfde patroon vertonen. Het enigeverschil zit namelijk in de manier waarop het rechterlid van de differentiaalvergelijking inMatlab berekend wordt.

De grafieken van de logaritme van de fout op de numerieke oplossing t.o.v. de logaritmevan het aantal plaatsdicretisatie-intervallen N bij verschillende waarden van het aantaltijdsdiscretisatie-intervallen Nt worden weergegeven in Figuur 6.1. In Figuur 6.2 zijn degrafieken van de fout op de numerieke oplossing t.o.v. de tijdsstap τ bij verschillendewaarden van het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen N terug te vinden.

Figuur 6.1: Voorbeeld 6.2.1: de logaritme van de fout t.o.v. log(N) bij verschillende waardenvan Nt

105


Figuur 6.2: Voorbeeld 6.2.1: de fout t.o.v. τ bij verschillende waarden van N

De waarden van de fouten bij de verschillende waarden van N en van τ worden in Tabel6.1 weergegeven, afgerond op 4 cijfers na de komma. De kleinste fout bij iedere waardevan N is in het rood aangeduid.


τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.4208 0.2486 0.1830 0.1900 0.2499 0.3412 0.4382 0.5190 0.5753N = 26 0.4121 0.2302 0.1481 0.1304 0.1638 0.2387 0.3400 0.4441 0.5296N = 27 0.4077 0.2209 0.1297 0.0952 0.1039 0.1515 0.2346 0.3418 0.4502N = 28 0.4055 0.2162 0.1204 0.0763 0.0681 0.0910 0.1459 0.2336 0.3444N = 29 0.4044 0.2139 0.1158 0.0668 0.0487 0.0547 0.0848 0.1435 0.2338N = 210 0.4038 0.2127 0.1135 0.0621 0.0389 0.0348 0.0482 0.0818 0.1426N = 211 0.4035 0.2122 0.1123 0.0598 0.0340 0.0246 0.0281 0.0450 0.0805N = 212 0.4034 0.2119 0.1117 0.0587 0.0317 0.0196 0.0176 0.0248 0.0435

Aangezien de grafieken in Figuur 6.1 en in Figuur 6.2 nagenoeg dezelfde vorm hebben alsde grafieken in Figuur 5.1 en in Figuur 5.2 uit voorbeeld 5.2.1, mogen we aannemen dathet programma voor het semilineair parabolisch probleem correct is opgesteld. De vormvan de grafieken kan op analoge manier verklaard worden als in voorbeeld 5.2.1, m.b.v.formule (5.26).

Uit Tabel 6.1 en uit Figuur 6.1 kunnen we onmiddellijk vermoeden dat, bij iedere waardevan Nt = 1

τ , de fout kleiner wordt naarmate het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen Ngroter wordt. Dit kan op dezelfde manier verklaard worden als in voorbeeld 5.2.1. Hetlijkt er dus, net als bij voorbeeld 5.2.1 op neer te komen N voldoende groot te nemen omde nauwkeurigheid te vergroten.

Bovendien lijken de grafieken uit Figuur 6.1, net als bij voorbeeld 5.2.1, naar een even-wichtstoestand te naderen. Ook dit kan op analoge manier als in voorbeeld 5.2.1 verklaard

106


worden m.b.v. formule (5.26).

Hetzelfde patroon nemen we waar in Figuur 6.3 die de grafieken van de logaritme van defout op αNt t.o.v. de logaritme van N bij verschillende waarden van Nt bevatten, evenalsin Tabel 6.2 van de fout op αNt bij verschillende waarden van N en van Nt, afgerond op 4cijfers na de komma. In deze tabellen is eveneens de kleinste fout bij iedere waarde van Nin het rood weergegeven. Net als bij voorbeeld 5.2.1 is de fout op βNt nagenoeg dezelfdeals de fout op αNt . Tabellen en grafieken hiervan laten we dus achterwege.

Figuur 6.3: Voorbeeld 6.2.1: de logaritme van de fout op αNtt.o.v. log(N) bij verschillende

waarden van Nt


τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.2564 0.1680 0.1356 0.1491 0.1985 0.2681 0.3382 0.3942 0.4325N = 26 0.2498 0.1528 0.1069 0.1015 0.1316 0.1911 0.2675 0.3418 0.3999N = 27 0.2465 0.1449 0.0911 0.0723 0.0835 0.1231 0.1884 0.2688 0.3456N = 28 0.2448 0.1409 0.0828 0.0562 0.0539 0.0744 0.1191 0.1879 0.2707N = 29 0.2440 0.1388 0.0786 0.0477 0.0375 0.0445 0.0699 0.1175 0.1882N = 210 0.2435 0.1378 0.0765 0.0434 0.0289 0.0278 0.0397 0.0677 0.1168N = 211 0.2433 0.1373 0.0754 0.0413 0.0245 0.0191 0.0230 0.0374 0.0667N = 212 0.2432 0.1371 0.0749 0.0402 0.0223 0.0146 0.0141 0.0206 0.0363

Uit Figuur 6.2 en uit Tabel 6.1 volgt bovendien, net als bij voorbeeld 5.2.1, dat bij iederewaarde van N de fout op de numerieke oplossing eerst afneemt, maar nadien weer stijgt,naarmate τ kleiner wordt. Dit kan op analoge manier als in voorbeeld 5.2.1 verklaardworden m.b.v. formule (5.26). We herinneren eraan dat dit een aanwijzing kan zijn vanhet bestaan van een relatie tussen de parameters Nt en N .

Als we de evolutie van de waarde van de kleinst mogelijke fout bij iedere N -waarde be-kijken bij toenemende waarde van N , zien we ook hier dat deze steeds kleiner wordt enoptreedt bij steeds kleinere waarden van τ . Het lijkt er dus ook hier op neer te komen om

107


Nt en N tegelijk te vergroten om de fout te verkleinen. Dit is, analoog als bij voorbeeld5.2.1, ook op een andere manier af te leiden uit Figuur 6.2. De kleinste fout bij een vastewaarde van N bevindt zich in het minimum van de kromme die correspondeert met dezeN -waarde. Dit minimum wordt steeds kleiner en komt voor bij steeds kleinere waardenvan τ naarmate we N laten toenemen. Als we dus τ veel verkleinen, moeten we N ver-groten om een kleine fout te behouden.

Ook dit patroon vinden we terug op de grafieken van de fout op αNt t.o.v. τ bij verschil-lende waarden van N in Figuur 6.4 en in Tabel 6.2.


Als we de fouten op de numerieke oplossing van het semilineair parabolisch probleem ver-gelijken met de fouten op de numerieke oplossing van het lineair prarabolisch probleem,kunnen we hierbij opmerken dat de fouten bij het semilineair parabolisch probleem groterzijn dan die bij het lineair parabolisch probleem. Dit was te verwachten, aangezien hetsemilineair probleem meer dan het lineair probleem gebruik maakt van de numerieke op-lossing op het vorige tijdstip om de oplossing op een bepaald tijdstip te benaderen. Foutenstapelen zich dus sneller op.

Analoge conclusies als in voorbeeld 5.2.1 kunnen getrokken worden rond de continuıteitvan de afgeleide van de benaderende oplossing in de verdeelpunten c en d. Kort samengevatkunnen we opmerken dat, wanneer we de numerieke oplossing op een tijdstip bekijken, niet

voldaan lijkt te zijn aan de opgelegde voorwaarden u(k)α′(c) = u

(k)αβ′(c) en u

(k)αβ′(d) = u

(k)β′(d).

Dit is te wijten aan het feit dat de afgeleiden van de exacte oplossingen van de inhomogenehulpproblemen exact berekend zijn. Ter verduidelijking worden hieronder de grafiekenvan de exacte en numerieke oplossing bij N = 27 en τ = 2−7 op de tijdstippen t1 en t61

weergegeven in Figuur 6.5. Bovendien zijn in Figuur 6.6 de grafieken van de exacte ennumerieke oplossing bij N = 210 en τ = 2−7 op dezelfde tijdstippen terug te vinden.

108


(a) t1 (b) t15


(a) t1 (b) t15


Op de grafieken van de numerieke oplossing in Figuur 6.5 is een knik aanwezig in de pun-ten c en d. Deze knik wordt ook hier minder zichtbaar als we bij constant houden vanhet aantal tijdsdiscretisatie-intervallen het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen opdrijven.Dit is op te merken uit de grafieken van de numerieke oplossing in Figuur 6.6.

Ook bij dit voorbeeld kunnen we bovendien vermoeden dat de knikken vermeden zoudenkunnen worden door de inhomogene hulpproblemen, net zoals de homogene hulpproble-men, numeriek op te lossen. Zoals in de numerieke experimenten van het lineair parabolischprobleem zou de fout dan vergroten, waardoor we er toch voor gekozen hebben de oplos-singen van de inhomogene hulpproblemen, alsook de nodige afgeleiden hiervan, exact tebepalen.

Op basis van Figuur 6.5 en Figuur 6.6 kunnen we tenslotte nogmaals opmerken dat defout op de numerieke oplossing op een bepaald tijdstip groter is dan de fout op de nu-merieke oplossing op een vorige tijdstip. Dit kan op analoge manier verklaard worden alsin voorbeeld 5.2.1.

109


We besluiten, net als bij het lineair parabolisch probleem, dat de ontwikkelde methode ef-ficient is om het beschouwde semilineair parabolisch probleem op te lossen als we voorzichtigomspringen met de keuze van de parameters τ en N . Voor dit voorbeeld daalt de foutwanneer N toeneemt bij een vaste waarde van τ . Bij vaste N kunnen we echter τ nietwillekeurig klein maken zonder dat de fout op een bepaald moment weer begint te stijgen.Het lijkt erop neer te komen N en Nt tegelijk te vergroten om de meest nauwkeurigebenaderende oplossing te bekomen.

Voorbeeld 6.2.2.

1. Stel a = π8 , c = 3π

8 , d = 5π8 en b = 7π

8 . Stel bovendien T = 1. Kies tenslotte de exacteoplossing u(t, x) = cos(t)− sin(2x) en f(u) = u2.Merk op dat ∀t ∈ [0, 1]

α(t) = uexact(t, a) = uexact(t, c) = cos(t)−√

2

2

en

β(t) = uexact(t, d) = uexact(t, b) = cos(t) +

√2

2.

De exacte oplossing is dus goed gekozen.

Er volgt:

g(t, x) = ∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x)− f(u(t, x))

= − sin(t) + cos(t)− sin(2x)− 4 sin(2x)

− cos2(t) + 2 cos(t) sin(2x)− sin2(2x)

= − sin(t) + cos(t) (1− cos(t) + 2 sin(2x))− sin(2x) (5 + sin(2x)) .

enu(0, x) = 1− sin(2x).

We bekomen aldus het probleem:

∂tu(t, x) + u(t, x)− ∂xxu(t, x)= u2(x)− sin(t) + cos(t) (1− cos(t) + 2 sin(2x))

− sin(2x) (5 + sin(2x)) t ∈ (0, T ], x ∈ (a, b);u(t, a) = u(t, c) = α(t), t ∈ (0, T ];u(t, b) = u(t, d) = β(t), t ∈ (0, T ];u(0, x) = 1− sin(2x), x ∈ (a, b).


(1 + 1

τ

)u(k)(x)− u(k)′′(x)

=(u(k−1)(x)

)2 − sin(tk) + cos(tk) (1− cos(tk) + 2 sin(2x))

− sin(2x) (5 + sin(2x)) + u(k−1)(x)τ x ∈ (a, b);

u(k)(a) = u(k)(c) = α(tk);

u(k)(b) = u(k)(d) = β(tk);

(6.5)

110


Voor iedere k, 1 6 k 6 Nt, vinden we een benadering van u(k) via het principe vanlineaire superpositie.De oplossingen w1, v2, w2 en w3 van de homogene hulpproblemen werden reedsberekend (zie (5.3), (5.4), (5.5) en (5.6)).De oplossingen van de inhomogene hulpproblemen op ieder tijdstip tk bekomen wem.b.v. de eindige elementenmethode. We merken hierbij op dat de netparameter opΩ1 gelijk is aan die op Ω2 en Ω3, aangezien de drie deelintervallen dezelfde lengte

hebben. Het programma in Matlab levert ons z(k)1,N , z

(k)2,N en z


de waarden van de benaderende deeloplossingen op tijdstip tk bevatten in de N + 1knooppunten van respectievelijk Ω1, Ω2 en Ω3.Vervolgens berekend Matlab α(k) en β(k).


(k)2,j en u




We merken op dat we dezelfde exacte oplossing en dezelfde waarden van a, b, c en dgekozen hebben als in voorbeeld 5.2.2.

In Figuur 6.7 worden de grafieken van de logaritme van de fout op de numerieke oplossingt.o.v. de logaritme van het aantal plaatsdicretisatie-intervallenN bij verschillende waardenvan het aantal tijdsdiscretisatie-intervallen Nt weergegeven. Figuur 6.8 toont de grafiekenvan de fout op de numerieke oplossing t.o.v. de tijdsstap τ bij verschillende waarden vanhet aantal plaatsdiscretisatie-intervallen.

Figuur 6.7: Voorbeeld 6.2.2: de logaritme van de fout op de numerieke oplossing t.o.v. log(N)bij verschillende waarden van Nt

111


Figuur 6.8: Voorbeeld 6.2.2: de fout op de numerieke oplossing t.o.v. τ bij verschillende waardenvan N

We merken ook bij dit voorbeeld op dat de grafieken in Figuur 6.7 en in Figuur 6.8 nage-noeg dezelfde vorm hebben als de grafieken in Figuur 5.7 en in Figuur 5.8 uit voorbeeld5.2.2. De vorm kan dus op analoge manier als in voorbeeld 5.2.2 verklaard worden m.b.v.de formule in (5.26).

De waarden van de fouten op de numerieke oplossing bij de verschillende waarden vanN en van τ worden in Tabel 6.3 weergegeven, afgerond op 4 cijfers na de komma. Dekleinste fout per waarde van Nt is in het blauw weergegeven. Merk hierbij op dat vanafτ = 2−6 niets is aangeduid, omwille van het feit dat de kleinste fout bij deze waarden vanτ voorkomt bij grotere waarden van N dan diegene die in de tabel vermeld worden.


τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.1318 0.0351 0.1988 0.4525 0.7486 1.0345 1.2585 1.4058 1.4945N = 26 0.1467 0.0562 0.0786 0.2519 0.4878 0.7703 1.0493 1.2701 1.4155N = 27 0.1547 0.0821 0.0165 0.1218 0.2826 0.5076 0.7833 1.0591 1.2783N = 28 0.1588 0.0963 0.0309 0.0470 0.1475 0.2995 0.5185 0.7911 1.0656N = 29 0.1609 0.1035 0.0485 0.0092 0.0687 0.1616 0.3084 0.5246 0.7959N = 210 0.1619 0.1072 0.0578 0.0169 0.0269 0.0807 0.1690 0.3132 0.5280N = 211 0.1624 0.1091 0.0625 0.0270 0.0050 0.0367 0.0871 0.1728 0.3157

Zoals bij voorbeeld 5.2.2, leiden we uit Tabel 6.3 en uit Figuur 6.7 af dat, bij iedere waardevan Nt = 1

τ , de fout niet onbeperkt kleiner wordt naarmate het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen N groter wordt. Vanaf een bepaalde waarde van N begint de fout weer te stij-gen. Hier impliceert een toename van N bij constante waarde van τ dus niet noodzakelijkeen verhoging van de nauwkeurigheid. De grafieken naderen niet naar een evenwichtstoes-tand. Dit verschijnsel kan analoog als in voorbeeld 5.2.2 verklaard worden m.b.v. formule(5.26) en zou kunnen wijzen op het bestaan van een eventuele relatie tussen de parametersNt en N .

112


Als we de evolutie van de waarde van de kleinst mogelijke fout bij iedere Nt-waarde be-kijken bij toenemende waarde van Nt, zien we dat deze steeds kleiner wordt en optreedtbij steeds grotere waarden van N . Dit is een aanwijzing dat het erop neer lijkt te komenom Nt en N tegelijk te vergroten om de fout te verkleinen.

Hetzelfde patroon verschijnt in Figuur 6.9 en Figuur 6.10, de grafieken van de logaritme vande fout op respectievelijk αNt en βNt t.o.v. de logaritme van het aantal plaatsdiscretisatie-intervallen N bij verschillende waarden van het aantal tijdsdiscretisatie-intervallen Nt.Ook in Tabel 6.4 en in Tabel 6.5, die de fout weergeven op respectievelijk αNt en βNtbij verschillende waarden van N en τ , is dit patroon terug te vinden. De kleinste foutbij verschillende waarden van Nt is, indien mogelijk, ook in deze tabellen in het blauwweergegeven.

Figuur 6.9: Voorbeeld 6.2.2: de logaritme van de fout op αNt t.o.v. log(N) bij verschillendewaarden van Nt

Figuur 6.10: Voorbeeld 6.2.2: de logaritme van de fout op βNtt.o.v. log(N) bij verschillende

waarden van Nt

113


Tabel 6.4: Voorbeeld 6.2.2: de fout op αNt bij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0876 0.0276 0.0453 0.1326 0.2237 0.2909 0.3105 0.2898 0.2569N = 26 0.0875 0.0387 0.0128 0.0752 0.1539 0.2387 0.3010 0.3161 0.2912N = 27 0.0874 0.0448 0.0067 0.0355 0.0912 0.1653 0.2467 0.3064 0.3187N = 28 0.0874 0.0480 0.0170 0.0120 0.0477 0.0996 0.1713 0.2511 0.3093N = 29 0.0874 0.0496 0.0224 0.0017 0.0218 0.0541 0.1040 0.1744 0.2535N = 210 0.0874 0.0504 0.0252 0.0079 0.0077 0.0270 0.0574 0.1063 0.1762N = 211 0.0874 0.0508 0.0266 0.0113 0.0010 0.0121 0.0296 0.0591 0.1075

Tabel 6.5: Voorbeeld 6.2.2: de fout op βNtbij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0783 0.0331 0.1924 0.4133 0.6743 0.9329 1.1458 1.2968 1.3956N = 26 0.0997 0.0306 0.0803 0.2307 0.4372 0.6879 0.9421 1.1538 1.3046N = 27 0.1106 0.0579 0.0194 0.1131 0.2532 0.4509 0.6965 0.9488 1.1602N = 28 0.1160 0.0725 0.0210 0.0455 0.1327 0.2656 0.4587 0.7020 0.9537N = 29 0.1188 0.0799 0.0370 0.0107 0.0625 0.1434 0.2723 0.4631 0.7055N = 210 0.1202 0.0837 0.0456 0.0125 0.0245 0.0719 0.1492 0.2759 0.4656N = 211 0.1208 0.0856 0.0500 0.0213 0.0057 0.0330 0.0769 0.1521 0.2778

In Tabel 6.6 is de kleinste fout op de numerieke oplossing bij iedere waarde van N in hetrood weergeven. In Tabel 6.7 en in Tabel 6.8 is de kleinste fout op respectievelijk αNt enβNt bij iedere waarde van N eveneens in het rood aangeduid.


τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.1318 0.0351 0.1988 0.4525 0.7486 1.0345 1.2585 1.4058 1.4945N = 26 0.1467 0.0562 0.0786 0.2519 0.4878 0.7703 1.0493 1.2701 1.4155N = 27 0.1547 0.0821 0.0165 0.1218 0.2826 0.5076 0.7833 1.0591 1.2783N = 28 0.1588 0.0963 0.0309 0.0470 0.1475 0.2995 0.5185 0.7911 1.0656N = 29 0.1609 0.1035 0.0485 0.0092 0.0687 0.1616 0.3084 0.5246 0.7959N = 210 0.1619 0.1072 0.0578 0.0169 0.0269 0.0807 0.1690 0.3132 0.5280N = 211 0.1624 0.1091 0.0625 0.0270 0.0050 0.0367 0.0871 0.1728 0.3157


τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0876 0.0276 0.0453 0.1326 0.2237 0.2909 0.3105 0.2898 0.2569N = 26 0.0875 0.0387 0.0128 0.0752 0.1539 0.2387 0.3010 0.3161 0.2912N = 27 0.0874 0.0448 0.0067 0.0355 0.0912 0.1653 0.2467 0.3064 0.3187N = 28 0.0874 0.0480 0.0170 0.0120 0.0477 0.0996 0.1713 0.2511 0.3093N = 29 0.0874 0.0496 0.0224 0.0017 0.0218 0.0541 0.1040 0.1744 0.2535N = 210 0.0874 0.0504 0.0252 0.0079 0.0077 0.0270 0.0574 0.1063 0.1762N = 211 0.0874 0.0508 0.0266 0.0113 0.0010 0.0121 0.0296 0.0591 0.1075

114


Tabel 6.8: Voorbeeld 6.2.2: de fout op βNt bij verschillende waarden van N en τ

τ = 2−1 τ = 2−2 τ = 2−3 τ = 2−4 τ = 2−5 τ = 2−6 τ = 2−7 τ = 2−8 τ = 2−9

N = 25 0.0783 0.0331 0.1924 0.4133 0.6743 0.9329 1.1458 1.2968 1.3956N = 26 0.0997 0.0306 0.0803 0.2307 0.4372 0.6879 0.9421 1.1538 1.3046N = 27 0.1106 0.0579 0.0194 0.1131 0.2532 0.4509 0.6965 0.9488 1.1602N = 28 0.1160 0.0725 0.0210 0.0455 0.1327 0.2656 0.4587 0.7020 0.9537N = 29 0.1188 0.0799 0.0370 0.0107 0.0625 0.1434 0.2723 0.4631 0.7055N = 210 0.1202 0.0837 0.0456 0.0125 0.0245 0.0719 0.1492 0.2759 0.4656N = 211 0.1208 0.0856 0.0500 0.0213 0.0057 0.0330 0.0769 0.1521 0.2778

Uit Figuur 6.8 en uit Tabel 6.3 volgt, net als bij voorbeeld 5.2.2 dat bij iedere waardevan N de fout eerst afneemt, maar nadien weer stijgt, naarmate τ kleiner wordt. Dit kanop dezelfde manier als in voorbeeld 5.2.2 verklaard worden m.b.v. formule (5.26) en zoukunnen wijzen op het bestaan van een relatie tussen de parameters Nt en N .

Als we ook hier de evolutie van de waarde van de kleinst mogelijke fout bij iedere N -waardebekijken bij toenemende waarde van N , zien we dat deze niet steeds kleiner wordt. Wel zaldeze waarde optreden bij steeds kleinere waarden van τ naarmate we N laten toenemen.Ook hieruit kunnen we een relatie tussen de parameters Nt en N vermoeden.

Hetzelfde patroon treedt op bij de fout op αNt en βNt . Dit is zichtbaar in Tabel 6.7 enin Tabel 6.8, alsook in Figuur 6.11 en in Figuur 6.12 waarin de grafieken van de fout oprespectievelijk αNt en βNt t.o.v. τ bij verschillende waarden van N worden weergegeven.


115


Figuur 6.12: Voorbeeld 6.2.2: de fout op βNtt.o.v. τ bij verschillende waarden van N

Als we de fouten op de numerieke oplossing van het semilineair parabolisch probleem ver-gelijken met de fouten op de numerieke oplossing van het lineair prarabolisch probleem,kunnen we hierbij opnieuw opmerken dat de fouten bij het semilineair parabolisch pro-bleem groter zijn dan die bij het lineair parabolisch probleem.

Analoge conclusies als in 5.2.2 kunnen bovendien getrokken worden m.b.t. de continuıteitvan de afgeleide van de benaderende oplossing in de verdeelpunten c en d. Kort samengevat

lijkt beter voldaan te zijn aan de opgelegde voorwaarden u(k)α′(c) = u

(k)αβ′(c) en u

(k)αβ′(d) =

u(k)β′(d). Toch is er bij te kleine waarde van N nog een lichte knik te bespeuren. De

aanwezigheid van deze knik kan op volledig analoge manier als bij voorbeeld 5.2.1 verklaardworden. Ook hier verkleinen de knikken naarmate N groter wordt. Ter illustratie wordenin Figuur 6.13 en Figuur 6.14 de exacte en numerieke oplossing bij respectievelijk N = 26

en τ = 2−4 en N = 29 en τ = 2−4 weergegeven op de tijdstippen t1 en t11.

(a) t1 (b) t15


116


(a) t1 (b) t15


Op basis van Figuur 6.13 en Figuur 6.14 kunnen we ten slotte, net als bij voorbeeld 5.2.1,opmerken dat de fout op de numerieke oplossing op een bepaald tijdstip groter is dan defout op de numerieke oplossing op een vorige tijdstip.

We besluiten, net als bij het lineair parabolisch probleem, dat de ontwikkelde methode ef-ficient is om het beschouwde semilineair parabolisch probleem op te lossen als we voorzichtigomspringen met de keuze van de parameters τ en N . Bij dit voorbeeld daalt de fout aan-vankelijk bij toename van N bij een vaste waarde van τ , maar op een bepaald momentbegint de fout weer te stijgen. Bij vaste τ kunnen we N dus niet willekeurig vergrotenzonder dat de fout op een bepaald ogenblik begint te stijgen. Bij vaste N zien we eengelijkaardig patroon optreden: τ kunnen we niet willekeurig klein maken zonder dat defout op een bepaald moment weer begint te stijgen. Het lijkt erop neer te komen N en Nt

tegelijk te vergroten om de meest nauwkeurige benaderende oplossing te bekomen.

Algemeen kunnen we besluiten dat de ontwikkelde methode efficient is om semilineaireparabolische problemen op te lossen als we voorzichtig omspringen met de keuze van deparameters τ en N . Het lijkt erop neer te komen bij ieder voorbeeld de link tussen dezeparameters te achterhalen en de parameters zodanig te kiezen dat de fout zo klein mogelijkis. We vermoeden dat de meest nauwkeurige resultaten steeds zullen bekomen worden doorN en Nt tegelijk te vergroten. Een theoretische foutenanalyse is hier echter aangewezenom correcte conclusies te kunnen trekken.

117

Hoofdstuk 7

Conclusie

We presenteerden in hoofdstuk 4 een lineair stationair randwaardenprobleem met onbe-kende niet-lokale Dirichlet-randcondities. Voor dit probleem ontwikkelden we een nieuweoplossingsmethode, gebruik makende van een geschikte parametrisering van het probleemen van het principe van lineaire superpositie. De discretisatie baseerden we hierbij op deeindige elementenmethode. We toonden aan dat unieke randvoorwaarden bestaan opdathet probleem een unieke sterke oplossing bezit. Vervolgens schreven we een algoritme inMatlab om die unieke randvoorwaarden, alsook de unieke sterke oplossing numeriek tebenaderen.

In hoofdstuk 5 breidden we het algoritme voor het lineair stationair probleem uit naareen algoritme voor een lineair parabolisch begin- en randwaardenprobleem met onbe-kende niet-lokale Dirichlet-randcondities. Hier combineerden we een geschikte parametri-sering van het probleem en het principe van lineaire superpositie met de Rothemethode.De eindige elementenmethode kwam hierbij aan bod voor de plaatsdiscretisatie. Hieruitbesloten we dat voorzichtig moet omgegaan worden met de keuze van de parameters voorde plaatsen tijdsdiscretisatie. We vermoedden dat het er steeds op neer zal komen hetaantal plaatsdiscretisatie-intervallen en het aantal tijdsdiscretisatie-intervallen tegelijk tevergroten om de meest nauwkeurige benaderingen te bekomen. Een theoretische fouten-analyse is hier echter aangewezen om correcte conclusies te kunnen trekken.

Bovendien schreven we in hoofdstuk 6 een algoritme voor een semilineair parabolischbegin- en randwaardenprobleem met onbekende niet-lokale Dirichlet-randcondities. Ookhier combineerden we een geschikte parametrisering van het probleem en het principevan lineaire superpositie met de Rothemethode en gebruikten we de eindige elementen-methode voor de plaatsdiscretisatie. We poneerden dezelfde vermoedens als bij het lineairparabolisch probleem.

Tot slot opent dit werk een poort naar toekomstig onderzoek. Vooreerst kan voor detijdsafhankelijke problemen de stabiliteit van een oplossing op het volledige domein, nl.(0, T ]×Ω, onderzocht worden. Bovendien kan een theoretische foutenanalyse meer duide-lijkheid brengen over een eventuele relatie tussen de parameter voor de tijdsdiscretisatieen de parameter voor de plaatsdiscretisatie bij de tijdsafhankelijke problemen.

118

Bijlage A

Appendix

A.1 Hulpstellingen

Stelling A.1.1 (Holderongelijkheid voor integralen). Stel 1 6 p, q < ∞, 1p + 1

q = 1 enf, g : Ω→ R. Dan is ∣∣∣∣∫

Ωfg

∣∣∣∣ 6 (∫Ω|f |p

) 1p(∫

Ω|f |q) 1q

.


Hulpstelling A.1.2 (Young ongelijkheid met gelijke gewichten). Stel a, b ∈ R+. Dangeldt

ab 61

2a2 +

1

2b2.

Bewijs.

0 6 (a− b)2

⇔ 2ab 6 a2 + b2

⇔ ab 6a2

2+b2

2.

Hulpstelling A.1.3 (Young ongelijkheid met ongelijke gewichten). Stel a, b, ε ∈ R+. Dangeldt

ab 6 εa2 +b2

4ε= εa2 + Cεb

2.

Bewijs. Stel a = a√2ε

en b =√

2εb, met a, b ∈ R+. Stel bovendien ε ∈ R+. Dan is

ab = ab 6a2

2+b2

2= εa2 +

b2

4ε.

Stel tenslotte 14ε = Cε, dan volgt hieruit het gestelde.

Stelling A.1.4 (Gilbarg-Trudinger). Zij u ∈ H1(Ω) een zwakke oplossing van de vergeli-jking Lu = f , waarbij L strikt elliptisch is in Ω en f ∈ L2(Ω). Onderstel verder dat ereen functie ϕ ∈ H2(Ω) bestaat, zodat u− ϕ ∈ H1

0 (Ω). Dan is eveneens u ∈ H2(Ω) en

‖u‖H2(Ω) 6 C(‖u‖L2(Ω) + ‖f‖L2(Ω) + ‖ϕ‖H2(Ω)

).

Bewijs. Zie bijvoorbeeld [24],pp. 186− 187.

119

A.2. MAPLECODE 120

A.2 Maplecode

In deze Maple-code worden de oplossingen van de inhomogene hulpproblemen van hetlineair stationair probleem bepaald. Bovendien wordt de matrix M opgesteld en wordt dedeterminant hiervan bepaald.

120

(7)(7)

(5)(5)

OOOO OOOO

OOOO OOOO

(8)(8)

(2)(2)

(1)(1)

OOOO OOOO

OOOO OOOO

OOOO OOOO

(3)(3)

(6)(6)

(4)(4)

OOOO OOOO

OOOO OOOO

OOOO OOOO

OOOO OOOO restart;

with(linalg):with(LinearAlgebra):pde:=r*u(t,x)- diff( u(x), x$2 ):

ode1B:=r*w_1(x)-diff(w_1(x),x,x)=0:RC1B:=w_1(a)=1,w_1(c)=1:w1:=rhs(dsolve(ode1B,RC1B));

w1 := KeK r a

KeK r c e r x

KeK r a e r cCeK r c e r a

Ce r a

Ke r c eK r x

KeK r a e r cCeK r c e r a

ode2B:=r*w_2(x)-diff(w_2(x),x,x)=0:RC2B:=w_2(c)=0,w_2(d)=1:w2:=rhs(dsolve(ode2B,RC2B));

w2 := KeK r c e r x

KeK r c e r dCeK r d e r c

Ce r c eK r x


ode2C:=r*v_2(x)-diff(v_2(x),x,x)=0:RC2C:=v_2(c)=1,v_2(d)=0:v2:=rhs(dsolve(ode2C,RC2C));

v2 :=eK r d e r x


Ke r d eK r x


ode3B:=r*w_3(x)-diff(w_3(x),x,x)=0:RC3B:=w_3(d)=1,w_3(b)=1:w3:=rhs(dsolve(ode3B,RC3B));

w3 := KKeK r b

CeK r d e r x

eK r b e r dKeK r d e r b

CKe r b

Ce r d eK r x

eK r b e r dKeK r d e r b

M:=Matrix(2);

M :=0 0

0 0

M[1,1]:=simplify(subs(x=c,diff(w1-v2,x)));

M1, 1 := K2 r KeK r aKd

CeK r cKdKe r cKd

Ce r aKd

eK r aKcKe r aKc eK r cKd

Ke r cKd

M[1,2]:=simplify(subs(x=c,diff(-w2,x)));

M1, 2 := K2 r

eK r cKdKe r cKd

M[2,1]:=simplify(subs(x=d,diff(-v2,x)));

(10)(10)

OOOO OOOO

OOOO OOOO

(11)(11)

(9)(9)

OOOO OOOO OOOO OOOO

OOOO OOOO

(8)(8)M2, 1 :=2 r

eK r cKdKe r cKd

M[2,2]:=simplify(subs(x=d,diff(w3-w2,x)));

M2, 2 := K2 r eK r bKc

CeK r cKdKe r cKd

Ke r bKc

eK r bKdKe r bKd eK r cKd

Ke r cKd

M[1,1]*M[2,2]-M[1,2]*M[2,1];

4 r KeK r aKdCeK r cKd

Ke r cKdCe r aKd eK r bKc

CeK r cKd

Ke r cKdKe r bKc eK r aKc

Ke r aKc eK r cKd

Ke r cKd2

eK r bKdKe r bKd

C4 r

eK r cKdKe r cKd

2

with(linalg):solve(det(M)=0);

a = a, b = b, c = c, d = cCaKb, r = r

A.3. MATLABCODE: LINEAIR STATIONAIR PROBLEEM 123

A.3 Matlabcode: lineair stationair probleem

function F = build_F(N, h, xPoints, f)

%N is the number of subintervals

%h is the stepsize

%xPoints is an array with the gridpoints x_i,i=0..N

%f is a function

p = [0:0.01:1];

for k = 1:N-1

fVal1 = f(xPoints(k)+h*p).*p;

I1 = trapz(p,fVal1);

fVal2 = f(xPoints(k+1)+h*p).*(p-1);


F(k,1) = h*(I1-I2);

end

function K = build_K(N, h)


%h is the stepsize

K = sparse(N-1, N-1);

for k = 2:N-1

K(k,k) = 2/h;

K(k,k-1) = -1/h;

K(k-1,k) = -1/h;

end

K(1,1) = 2/h;

function M = build_M(N, h)


%h is the stepsize

M = sparse(N-1, N-1);

for k = 2:N-1

M(k,k) = 2*h/3;

M(k,k-1) = h/6;

M(k-1,k) = h/6;

end

M(1,1) = 2*h/3;

123


function u = exactsolve_Elliptich(v, w, alpha, beta, s, xPoints)

% This method determines the exact solution of the BVP

% ru - u_xx = 0

% u(v) = alpha

% u(w) = beta

% s = sqrt(r)

% xPoints is an array with the gridpoints x_i,i=0..N (place discretization)

C1 = (alpha*exp(-s*w)-beta*exp(-s*v))/(2*sinh(s*(v-w)));

C2 = (beta*exp(s*v)-alpha*exp(s*w))/(2*sinh(s*(v-w)));

u = C1*exp(s*xPoints)+C2*exp(-s*xPoints);

function C = solve_Ellipticnh(v,w,alpha,beta,f,N,r)

% This method solves the BVP

% ru - u_xx = f

% u(v) = alpha

% u(w) = beta

% N is the number of subintervals in [v,w] for FEM

h = (w-v)/N;

xPoints = [v:h:w];

A = (r).*build_M(N,h)+build_K(N,h);

F = build_F(N, h, xPoints, f);

sol = bicgstab(A,F,1e-6,100000);

C(1) = alpha;

C(2:N) = sol;

C(N+1) = beta;

%plot(xPoints,C,’bx’)

function error = main(N)

%Interval

a = pi/3;

c = 2*pi/3;

d = 4*pi/3;

b=5*pi/3;

%Exact solution and source term

r=1;

%r=20;

%r=3000;

%r=1/300;

124


exact_sol=@(x)(sin(x));

f=@(x)((r+1)*sin(x));

%Stepsize on the subintervals

h1=(c-a)/N;

h2=(d-c)/N;

%Gridpoints on each subinterval

xPoints1 = a:h1:c;

xPoints2 = c:h2:d;

xPoints3 = d:h1:b;

s = sqrt(r);

%Solutions homogeneous elliptic problems

w1 = exactsolve_Elliptich(a,c,1,1,s,xPoints1);

v2 = exactsolve_Elliptich(c,d,1,0,s,xPoints2);

w2 = exactsolve_Elliptich(c,d,0,1,s,xPoints2);

w3 = exactsolve_Elliptich(d,b,1,1,s,xPoints3);

% M matrix in the system of equations for determining (alpha, beta)

MM(1,1) = s*(sinh(s*(d-c))+sinh(s*(a-d)))/(sinh(s*(c-a))*sinh(s*(c-d)));

MM(1,2) = s/sinh(s*(c-d));

MM(2,1) = -s/sinh(s*(c-d));

MM(2,2) = -s*(sinh(s*(b-c))+sinh(s*(c-d)))/(sinh(s*(d-b))*sinh(s*(c-d)));

%solutions non-homogeneous elliptic problems

z1=solve_Ellipticnh(a,c,0,0,f,N,r);

z2=solve_Ellipticnh(c,d,0,0,f,N,r);

z3=solve_Ellipticnh(d,b,0,0,f,N,r);

%K matrix in the system of equations for determing (alpha, beta)

K(1,1) = z2(2)/h2 + z1(N)/h1;

K(2,1) = -z3(2)/h1 - z2(N)/h2;

%Computation of (alpha, beta)

alphabeta=MM\K;

%Computation of the error on alpha and beta

error(2)=abs(alphabeta(1)-exact_sol(pi/3));

error(3)=abs(alphabeta(2)-exact_sol(4*pi/3));

%Approximation of the solution on each subinterval

u1 = z1+alphabeta(1).*w1;

u2 = z2+alphabeta(1).*v2+alphabeta(2).*w2;

u3 = z3+alphabeta(2).*w3;

%Computation of the error on the numerical solution

125


error(1)=0;

for i=1:N

error(1) = error(1) + h1/6*((u1(i)-exact_sol(xPoints1(i)))^2

+4.*((u1(i)+u1(i+1))/2-exact_sol(xPoints1(i)+h1/2))^2

+(u1(i+1)-exact_sol(xPoints1(i+1)))^2) +h2/6*((u2(i)

-exact_sol(xPoints2(i)))^2 +4.*((u2(i)+u2(i+1))/2

-exact_sol(xPoints2(i)+h2/2))^2 +(u2(i+1)-exact_sol(xPoints2(i+1)))^2)

+h1/6*((u3(i)-exact_sol(xPoints3(i)))^2+4*((u3(i)+u3(i+1))/2

-exact_sol(xPoints3(i)+h1/2))^2+(u3(i+1)-exact_sol(xPoints3(i+1)))^2);

end

error(1)=sqrt(error(1));

%Solution on the entire interval

u_tot=[u1 u2 u3]’;

%Gridpoints on the entire interval

xPoints=[xPoints1 xPoints2 xPoints3]’;

%Figure of exact and numerical solution

figure

%axis([a b 0 2])

plot(xPoints,u_tot,’bx’)

hold on

plot(xPoints,exact_sol(xPoints),’-r’)

legend(’benaderde oplossing’,’exacte oplossing’)

clear all

% This file plots the log of the error against the

% log of the number of subintervals, the log of the

% error on alpha against the log of the number of subintervals and

% the log of the error on beta against the log of the

% number of subintervals.

clear all

for nSpace=1:12

logsteps(nSpace,1) = log10(2^(nSpace));

errornumalphabeta = main(2^nSpace);

error(nSpace) = errornumalphabeta(1);

erroralpha(nSpace) = errornumalphabeta(2);

errorbeta(nSpace) = errornumalphabeta(3);

logerror(nSpace) = log10(errornumalphabeta(1));

logerroralpha(nSpace) = log10(errornumalphabeta(2));

logerrorbeta(nSpace) = log10(errornumalphabeta(3));

end

figure(1)

hold on

loglog(logsteps, logerror, ’kx’)

xlabel(’log(N)’)

126

A.4. MATLABCODE: LINEAIR PARABOLISCH PROBLEEM 127

ylabel(’log(error)’)

figure(2)

hold on

loglog(logsteps, logerroralpha, ’kx’)


ylabel(’log(error \alpha)’)

figure(3)

hold on

loglog(logsteps, logerrorbeta, ’kx’)


ylabel(’log(error \beta)’)

A.4 Matlabcode: lineair parabolisch probleem

function F = build_F(N, h, xPoints, f, l, previous,tau)


%h is the stepsize


%(place discretization)

%f is a function

%l is the timestep

%previous is the numerical solution on the previous timestep l-1

%tau is the stepsize (time discretization)

p = [0:0.01:1];

for k = 1:N-1

fVal1 = f(l*tau,xPoints(k)+h*p).*p;


fVal2 = f(l*tau,xPoints(k+1)+h*p).*(p-1);


fVal3 = ((previous(k+1)-previous(k))*p+previous(k)).*p;

I3 = trapz(p, fVal3);

fVal4 = ((previous(k+2)-previous(k+1))*p+previous(k+1)).*(p-1);


F(k,1) = h*(I1-I2+1/tau*I3-1/tau*I4);

end



%h is the stepsize


127


for k = 2:N-1

K(k,k) = 2/h;

K(k,k-1) = -1/h;

K(k-1,k) = -1/h;

end

K(1,1) = 2/h;



%h is the stepsize


for k = 2:N-1

M(k,k) = 2*h/3;

M(k,k-1) = h/6;

M(k-1,k) = h/6;

end

M(1,1) = 2*h/3;



% ru - u_xx = 0

% u(v) = alpha

% u(w) = beta

% s = sqrt(r)





function C = solve_Ellipticnh(v,w,alpha,beta,N, f,tau,l, previous)

% This method solves the BVP at timestep l

% (1+1/tau)u^(l)(x) - u^(l)’’(x) = f(l*tau,x)-u^(l-1)(x)/tau

% u^(l)(v) = alpha

% u^(l)(w) = beta


% tau is the stepsize (time discretization)

% previous is the numerical solution on timestep l-1

h = (w-v)/N;

128


xPoints = v:h:w;

A = (1+1/tau).*build_M(N,h)+build_K(N,h);

F = build_F(N, h, xPoints, f, l, previous,tau);


C(1) = alpha;

C(2:N) = sol;

C(N+1) = beta;


function error = compute_errorlpp(N, Ntime)

%Example 1

%Interval

a = pi/3;

c = 2.*pi/3;

d = 4.*pi/3;

b=5.*pi/3;


exact_sol=@(t,x)(t*sin(x));

f=@(t,x)((1+2*t)*sin(x));

%Example 2

%Interval

%a=pi/8;

%c=3.*pi/8;

%d=5.*pi/8;

%b=7.*pi/8;


%exact_sol=@(t,x)(cos(t)-sin(2*x));

%f=@(t,x)(-sin(t)+cos(t)-5*sin(2*x));

T=1;

%Figure of exact and numerical solution at several timesteps if plotstep is

%different from 0

plotstep = 0;

%Timesteps

tau=T/Ntime;

%Stepsize on the space-subintervals

129


h1=(c-a)/N;

h2=(d-c)/N;

%Gridpoints on each space-subinterval

xPoints1 = a:h1:c;

xPoints2 = c:h2:d;

xPoints3 = d:h1:b;

s = sqrt(1+1/tau);






% M matrix in the system of equations for determining (alpha, beta)


MM(1,2) = s/sinh(s*(c-d));

MM(2,1) = -s/sinh(s*(c-d));


%Solution at t=0 on each space-subinterval

u1prev = exact_sol(0,xPoints1);



error(1)=0;

error(2)=0;

error(3)=0;

for i=1:N

error(1)

=error(1)+h1/6*((u1prev(i)-exact_sol((0.5)*tau,xPoints1(i)))^2+

4*((u1prev(i)+u1prev(i+1))/2-exact_sol((0.5)*tau,xPoints1(i)+h1/2))^2

+(u1prev(i+1)-exact_sol((0.5)*tau,xPoints1(i+1)))^2)

+h2/6*((u2prev(i)-exact_sol((0.5)*tau,xPoints2(i)))^2+



+h1/6*((u3prev(i)-exact_sol((0.5).*tau,xPoints3(i)))^2+


+(u3prev(i+1)-exact_sol((0.5)*tau,xPoints3(i+1)))^2);

end

alpha(1)=exact_sol(0,a);

beta(1)=exact_sol(0,b);

for l=1:Ntime

130


%solutions non-homogeneous elliptic problems at timestep l

z1 = solve_Ellipticnh(a,c,0,0,N,f,tau, l,u1prev);

z2 = solve_Ellipticnh(c,d,0,0,N,f,tau, l,u2prev);

z3 = solve_Ellipticnh(d,b,0,0,N,f,tau, l,u3prev);

%K matrix in the system of equations for determing (alpha^(l), beta^(l))

K(1,1) = z2(2)/h2 + z1(N)/h1;

K(2,1) = -z2(N)/h2 - z3(2)/h1;

%Computation of (alpha^(l), beta^(l))

alphabeta = MM\K;

%Saving (alpha^(l), beta^(l))

alpha(l+1) = alphabeta(1);

beta(l+1) = alphabeta(2);

%Approximation of the solution on each subinterval at timestep l

u1prev = alphabeta(1)*w1+z1;

u2prev = alphabeta(1)*v2+alphabeta(2)*w2+z2;

u3prev = alphabeta(2)*w3+z3;


for i=1:N

error(1)

=error(1)+h1/6*((u1prev(i)-exact_sol((l+0.5)*tau,xPoints1(i)))^2+

4*((u1prev(i)+u1prev(i+1))/2-exact_sol((l+0.5)*tau,xPoints1(i)+h1/2))^2

+(u1prev(i+1)-exact_sol((l+0.5)*tau,xPoints1(i+1)))^2)

+h2/6*((u2prev(i)-exact_sol((l+0.5)*tau,xPoints2(i)))^2+



+h1/6*((u3prev(i)-exact_sol((l+0.5).*tau,xPoints3(i)))^2+


+(u3prev(i+1)-exact_sol((l+0.5)*tau,xPoints3(i+1)))^2);

end


uTot(:,l) = [u1prev u2prev u3prev]’;

end

for i=1:N

error(1)

=error(1)-(h1/6*((u1prev(i)-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints1(i)))^2+

4*((u1prev(i)+u1prev(i+1))/2-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints1(i)+h1/2))^2

+(u1prev(i+1)-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints1(i+1)))^2)

+h2/6*((u2prev(i)-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints2(i)))^2+



+h1/6*((u3prev(i)-exact_sol((Ntime+0.5).*tau,xPoints3(i)))^2+


131


+(u3prev(i+1)-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints3(i+1)))^2));

end

error(1)=sqrt(tau.*error(1));


xPoints_tot = [xPoints1 xPoints2 xPoints3];


for i=1:Ntime

error(2)=error(2)+tau*(alpha(i)-exact_sol((i-0.5)*tau,a))^2;

error(3)=error(3)+tau*(beta(i)-exact_sol((i-0.5)*tau,b))^2;

end



%Figure of exact and numerical solution at several timesteps

if plotstep

for e=1:20:Ntime

figure

plot(xPoints_tot, uTot(:,e),’kx’)

hold on

plot(xPoints_tot, exact_sol(e*tau,xPoints_tot),’r-’)

legend(’num’,’exact’)

end

end

clear all

% This file contains a loop that plots the error against the timestep for

% several numbers of space-subintervals, a loop that plots the log of the

% error against the log of the number of space-subintervals for several

% numbers of timesteps, a loop that plots the error on alpha

% against the timestep for several numbers of space-subintervals,

% a loop that plots the log of the error against the log of the number

% of space-subintervals for several numbers of timesteps,

% a loop that plots the error on alpha against the timestep for

% several numbers of space-subintervals and


% of space-subintervals for several numbers of timesteps, .

nSpace = 12;

for nSpace=1:12

logN(nSpace,1)=log10(2^nSpace);

for n=1:9

n

timesteps(n,1)=2^(-n);

errornumalphabeta = compute_errorlpp(2^nSpace,2^n);

error(n,nSpace) = errornumalphabeta(1);

erroralpha(n,nSpace)=errornumalphabeta(2);

132


errorbeta(n,nSpace)=errornumalphabeta(3);

logerror(n,nSpace)=log10(error(n,nSpace));

logerroralpha(n,nSpace)=log10(erroralpha(n,nSpace));

logerrorbeta(n,nSpace)=log10(errorbeta(n,nSpace));

end

end

figure(1)

hold on

for nSpace=5:12

loglog(timesteps, error(:,nSpace))

end

xlabel(’\tau’)

ylabel(’error’)

legend(’N=2^5’,’N=2^6’,’N=2^7’,’N=2^8’,’N=2^9’,’N=2^10’, ’N=2^11’,

’N=2^12’)

figure(2)

hold on

for n=1:9

loglog(logN,logerror(n,:))

end



legend(’N_t=2^1’,’N_t=2^2’,’N_t=2^3’,’N_t=2^4’,’N_t=2^5’,’N_t=2^6’,

’N_t=2^7’,’N_t=2^8’, ’N_t=2^9’)

figure(3)

hold on

for nSpace=5:12

loglog(timesteps,erroralpha(:,nSpace))

end

xlabel(’\tau’)

ylabel(’error \alpha’)

legend(’N=2^5’,’N=2^6’,’N=2^7’,’N=2^8’,’N=2^9’,’N=2^10’,’N=2^11’,

’N=2^12’)

figure(4)

hold on

for n=1:9

loglog(logN,logerroralpha(n,:))

end


ylabel(’log(error \alpha))’)


’N_t=2^7’,’N_t=2^8’, ’N_t=2^9’)

133

A.5. MATLABCODE: SEMILINEAIR PARABOLISCH PROBLEEM 134

figure(5)

hold on

for nSpace=5:12

loglog(timesteps,errorbeta(:,nSpace))

end

xlabel(’\tau’)

ylabel(’error \beta’)

legend(’N=2^5’,’N=2^6’,’N=2^7’,’N=2^8’,’N=2^9’,’N=2^10’,’N=2^11’,

’N=2^12’)

figure(6)

hold on

for n=1:9

loglog(logN,logerrorbeta(n,:))

end




’N_t=2^7’,’N_t=2^8’, ’N_t=2^9’)

A.5 Matlabcode: semilineair parabolisch probleem

function F = build_F(N, h, xPoints, f, g, l, previous,tau)


%h is the stepsize


%(place discretization)

%f and g are functions

%l is the timestep

%previous is the numerical solution on the previous timestep l-1

%tau is the stepsize (time discretization)

p = [0:0.01:1];

for k = 1:N-1

fVal1 = g(l*tau,xPoints(k)+h*p).*p;


fVal2 = g(l*tau,xPoints(k+1)+h*p).*(p-1);


fVal3 = ((previous(k+1)-previous(k))*p+previous(k)).*p;


fVal4 = ((previous(k+2)-previous(k+1))*p+previous(k+1)).*(p-1);


fVal5 = f((previous(k+1)-previous(k))*p+previous(k)).*p;

134



fVal6 = f((previous(k+2)-previous(k+1))*p+previous(k+1)).*(p-1);


F(k,1) = h*(I1-I2+1/tau*I3-1/tau*I4+I5-I6);

end


%N is number of subintervals

%h is the stepsize


for k = 2:N-1

K(k,k) = 2/h;

K(k,k-1) = -1/h;

K(k-1,k) = -1/h;

end

K(1,1) = 2/h;


%N is number of subintervals

%h is the stepsize


for k = 2:N-1

M(k,k) = 2*h/3;

M(k,k-1) = h/6;

M(k-1,k) = h/6;

end

M(1,1) = 2*h/3;



% ru - u_xx = 0

% u(v) = alpha

% u(w) = beta

% s = sqrt(r)





135


function C = solve_Ellipticnh(v, w, alpha, beta, f, g, N, tau, l, previous)

% This method solves the BVP at timestep l

% (1+1/tau)u^(l)(x) - u^(l)’’(x) = f(u^(l-1)(x))+ g(l*tau,x)

% + u^(l-1)(x)/tau

% u^(l)(v) = alpha

% u^(l)(w) = beta


% tau is the stepsize (time discretization)

% previous is the numerical solution on timestep l-1

h = (w-v)/N;

xPoints = v:h:w;

A = (1+1/tau)*build_M(N,h)+build_K(N,h);

F = build_F(N, h, xPoints, f, g, l, previous, tau);


C(1) = alpha;

C(2:N) = sol;

C(N+1) = beta;


function error = compute_errorslpp(N, Ntime)

%Example 1

%Interval

a = pi/3;

c = 2.*pi/3;

d = 4.*pi/3;

b=5.*pi/3;

%Exact solution, source term and correction term

exact_sol=@(t,x)(t*sin(x));

f=@(y)(y.^2);

g=@(t,x)(sin(x)+2*t*sin(x)-t.^2*(sin(x)).^2);

%Example 2

%Interval

%a=pi/8;

%c=3.*pi/8;

%d=5.*pi/8;

%b=7.*pi/8;

136


%Exact solution, source term and correction term

%exact_sol=@(t,x)(cos(t)-sin(2*x));

%f=@(y)(y.^2);

%g=@(t,x)(-sin(t)+cos(t).*(1-cos(t)+2*sin(2*x))-sin(2*x).*(5+sin(2*x)));

T=1;

%Figure of exact and numerical solution at several timesteps if plotstep is

%different from 0

plotstep = 0;

%Timesteps

tau=T/Ntime;

%Stepsize on the space-subintervals

h1=(c-a)/N;

h2=(d-c)/N;

%gridpoints on each subinterval

xPoints1 = a:h1:c;

xPoints2 = c:h2:d;

xPoints3 = d:h1:b;

%Gridpoints on each space-subinterval

s = sqrt(1+1/tau);






%M matrix in the system of equations for determining (alpha, beta)


MM(1,2) = s/sinh(s*(c-d));

MM(2,1) = -s/sinh(s*(c-d));


%Solution at t=0 on each space-subinterval




error(1)=0;

error(2)=0;

error(3)=0;

for i=1:N

error(1)

137


=error(1)+h1/6*((u1prev(i)-exact_sol((0.5)*tau,xPoints1(i)))^2+



+h2/6*((u2prev(i)-exact_sol((0.5)*tau,xPoints2(i)))^2+



+h1/6*((u3prev(i)-exact_sol((0.5).*tau,xPoints3(i)))^2+


+(u3prev(i+1)-exact_sol((0.5)*tau,xPoints3(i+1)))^2);

end

alpha(1)=exact_sol(0,a);

beta(1)=exact_sol(0,b);

for l=1:Ntime

%solutions non-homogeneous elliptic problems at timestep l

z1 = solve_Ellipticnh(a,c,0,0,f,g,N,tau, l,u1prev);

z2 = solve_Ellipticnh(c,d,0,0,f,g,N,tau, l,u2prev);

z3 = solve_Ellipticnh(d,b,0,0,f,g,N,tau, l,u3prev);

%K matrix in the system of equations for determing (alpha^(l),beta^(l))

K(1,1) = z2(2)/h2 + z1(N)/h1;

K(2,1) = -z2(N)/h2 - z3(2)/h1;

%Computation of (alpha^(l), beta^(l))

alphabeta = MM\K;

%Saving (alpha^(l), beta^(l))

alpha(l+1) = alphabeta(1);

beta(l+1) = alphabeta(2);

%Approximation of the solution on each subinterval at timestep l

u1prev = alphabeta(1)*w1 + z1;

u2prev = alphabeta(1)*v2 + alphabeta(2)*w2 + z2;

u3prev = alphabeta(2)*w3 + z3;


for i=1:N

error(1)

= error(1)+h1/6*((u1prev(i)-exact_sol((l+0.5)*tau,xPoints1(i)))^2+








+(u3prev(i+1)-exact_sol((l+0.5)*tau,xPoints3(i+1)))^2);

138


end


uTot(:,l) = [u1prev u2prev u3prev]’;

end

for i=1:N

error(1)

=error(1)-(h1/6*((u1prev(i)-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints1(i)))^2+



+h2/6*((u2prev(i)-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints2(i)))^2+



+h1/6*((u3prev(i)-exact_sol((Ntime+0.5).*tau,xPoints3(i)))^2+


+(u3prev(i+1)-exact_sol((Ntime+0.5)*tau,xPoints3(i+1)))^2));

end

error(1)=sqrt(tau*error(1));


xPoints_tot = [xPoints1 xPoints2 xPoints3];


for i=1:Ntime

error(2)=error(2)+tau*(alpha(i)-exact_sol((i-0.5)*tau,a))^2;

error(3)=error(3)+tau*(beta(i)-exact_sol((i-0.5)*tau,b))^2;

end



%Figure of exact and numerical solution at several timesteps

if plotstep

for e=1:plotstep:Ntime

figure

plot(xPoints_tot, uTot(:,e),’kx’)

hold on

plot(xPoints_tot, exact_sol(e*tau,xPoints_tot),’r-’)

legend(’num’,’exact’)

end

end

% This file contains a loop that plots the error against the timestep for

% several numbers of space-subintervals, a loop that plots the log of the

% error against the log of the number of space-subintervals for several

% numbers of timesteps, a loop that plots the error on alpha

% against the timestep for several numbers of space-subintervals,


139


% of space-subintervals for several numbers of timesteps,

% a loop that plots the error on alpha against the timestep for

% several numbers of space-subintervals and


% of space-subintervals for several numbers of timesteps, .

clear all

nSpace = 11;

for nSpace=1:12

logN(nSpace,1)=log10(2^nSpace);

for n=1:9

n

timesteps(n,1)=2^(-n);

errornumalphabeta = compute_errorslpp(2^nSpace,2^n);

error(n,nSpace) = errornumalphabeta(1);

erroralpha(n,nSpace)=errornumalphabeta(2);

errorbeta(n,nSpace)=errornumalphabeta(3);

logerror(n,nSpace)=log10(error(n,nSpace));

logerroralpha(n,nSpace)=log10(erroralpha(n,nSpace));

logerrorbeta(n,nSpace)=log10(errorbeta(n,nSpace));

end

end

figure(1)

hold on

for nSpace=5:11

loglog(timesteps, error(:,nSpace))

end

xlabel(’\tau’)

ylabel(’error’)

legend(’N=2^5’,’N=2^6’,’N=2^7’,’N=2^8’,’N=2^9’,’N=2^10’, ’N=2^11’)

figure(2)

hold on

for n=1:9

loglog(logN,logerror(n,:))

end




’N_t=2^7’,’N_t=2^8’, ’N_t=2^9’)

figure(3)

hold on

for nSpace=5:11

loglog(timesteps,erroralpha(:,nSpace))

140


end

xlabel(’\tau’)

ylabel(’error \alpha’)

legend(’N=2^5’,’N=2^6’,’N=2^7’,’N=2^8’,’N=2^9’,’N=2^10’,’N=2^11’)

figure(4)

hold on

for n=1:9

loglog(logN,logerroralpha(n,:))

end


ylabel(’log(error \alpha))’)


’N_t=2^7’,’N_t=2^8’, ’N_t=2^9’)

figure(5)

hold on

for nSpace=5:11

loglog(timesteps,errorbeta(:,nSpace))

end

xlabel(’\tau’)

ylabel(’error \beta’)

legend(’N=2^5’,’N=2^6’,’N=2^7’,’N=2^8’,’N=2^9’,’N=2^10’,’N=2^11’)

figure(6)

hold on

for n=1:9

loglog(logN,logerrorbeta(n,:))

end




’N_t=2^7’,’N_t=2^8’, ’N_t=2^9’)

141

Bibliografie

[1] S.K. Ntouyas. Nonlocal initial and boundary value problems: A survey. In P. DrabekA. Canada and A. Fonda, Handbook of Differential Equations: Ordinary DifferentialEquations, volume 2, pages 461-557. 2006.

[2] C.P. Gupta and S.I. Trofimchuk, Solvability of a multipoint boundary value problemand related a priori estimates. Can. Appl. Math. Q., 6(1):45-60, 1998.

[3] R. Ma. A survey on nonlocal boundary value problems. Applied Mathematics E-Notes,7:257-279, 2007.

[4] Z. Zhao. Solutions and Greens functions for some linear second-order three-pointboundary value problems I, 2007.

[5] R. A. Khan. Positive solutions of four-point singular boundary value problems, 2008.

[6] Insall, Matt and Weisstein, Eric W. Connected Set From MathWorld–A WolframWeb Resource. Geraadpleegd op 26 mei 2011, http://mathworld.wolfram.com/

ConnectedSet.html.

[7] Cortzen, Allan and Weisstein, Eric W. Measure From MathWorld–A Wolfram WebResource. Geraadpleegd op 26 mei 2011, http://mathworld.wolfram.com/Measure.html.

[8] J. Tinsley Oden, L.F. Demkowicz, Applied Functional Analysis, Taylor Francis Ltd,2010.

[9] Tsoy-Wo Ma, Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations,World Scientific, 2002.

[10] Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis, Funcional Analysis: An Introduction, Ame-rican Mathematical Society, 2004.

[11] Tsoy-Wo Ma, Classical analysis on normed spaces, World Scientific, 1995.

[12] Susanne C. Brenner, L. Ridgway Scott, The mathematical theory of finite elementmethods, Springer, 2002.

[13] M. Giaquinta, G. Modica, Mathematical Analysis: Linear and Metric Structures andContinuity, Birkhauser, 2007.

[14] L. C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.

[15] K. Atkinson, W. Han, Theoretical Numerical Analysis: A Functional Analysis Frame-work, Springer, 2009.

[16] P. Knabner, L. Angermann, Numerical methods for elliptic and parabolic partial dif-ferential equations, Springer, 2003.

[17] A. Kufner, O. John, S. Fucık, Function Spaces. Monograpfs and textbooks on mecha-nics of solids and fluids., Noordhoff International Publishing, Leyden, 1977.

[18] D. Mitrovic en D. Zubrinic, Fundamentals of applied functional analysis, AddisonWesley Longman Limited, 1998.

142

http://mathworld.wolfram.com/ConnectedSet.html

http://mathworld.wolfram.com/ConnectedSet.html

http://mathworld.wolfram.com/Measure.html

http://mathworld.wolfram.com/Measure.html

BIBLIOGRAFIE 143

[19] Z. Ding, A proof of the trace theorem of sobolev spaces on Lipschitz domains, AmericanMathematical Society, Volume 124, Nummer 2, Februari 1996.

[20] K. Rektorys, Variational methods in mathematics, science, and engineering, Kluwer,1980.

[21] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to algorithms,The Massachusetts Institute of Technology, 2003.

[22] H. Kardestuncer, D. H. Norrie, Finite Element Handbook, McGraw-Hill, 1987.

[23] R. L. Wheeden, A. Zygmund, Measure and integral: an introduction to real analysis,Marcel Dekker, Inc., 1977.

[24] D. Gilbarg, N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order.Springer, 1977.

[25] P. Solın, Partial Differential Equations and the finite element method. Hoboken, NewJersey: John Wiley Sons, Inc., 2006.

[26] M. Slodicka, Partial Differential Equations, Universiteit Gent, Vakgroep WiskundigeAnalyse, 2009.

[27] R. Van Keer, Benaderingsmethoden voor randwaardenproblemen, Universiteit Gent,vakgroep Wiskundige Analyse, 2009.

[28] K. Van Bockstal, Bepaling van een onbekende diffusiecoefficient in een parabolischbegin- en randwaardenprobleem, Universiteit Gent, Vakgroep Wiskunige Analyse,2010.

[29] Maple: Solving Ordinary Differential Equations. Geraadpleegd op 16 november 2010,http://evlm.stuba.sk/~partner7/STUDENTBOOK/Chapter3.pdf.

[30] Prof. K. G. TeBeest (2008).MAPLE: Matrix Algebra. Geraadpleegd op 16 november2010, http://www.kettering.edu/acad/scimath/appmath/maple/linalg6.html.

[31] Overzicht van de gebruikte commandos in Maple. Geraadpleegd op 23 novem-ber 2010, http://ingenia.kahosl.be/acmin/1e%20jaar/Lesaanvullingen/

wiskunde/1KAN-maplecommandos.pdf.

[32] Maple V by Example. Geraadpleegd op 24 november 2010, http://www.math.neu.edu/~lovett/math/mapletut/datatype.html.

[33] A. Van der Meer (2010). Mapleboek 2006. Geraadpleegd op 26 november 2010, http://www.math.utwente.nl/maple/2006/.

[34] Wikipedia, the free encyclopedia, http://en.wikipedia.org/.

143

http://evlm.stuba.sk/~partner7/STUDENTBOOK/Chapter3.pdf

http://www.kettering.edu/acad/scimath/appmath/maple/linalg6.html

http://ingenia.kahosl.be/acmin/1e%20jaar/Lesaanvullingen/wiskunde/1KAN-maplecommandos.pdf

http://ingenia.kahosl.be/acmin/1e%20jaar/Lesaanvullingen/wiskunde/1KAN-maplecommandos.pdf

http://www.math.neu.edu/~lovett/math/mapletut/datatype.html

http://www.math.neu.edu/~lovett/math/mapletut/datatype.html

http://www.math.utwente.nl/maple/2006/

http://www.math.utwente.nl/maple/2006/

http://en.wikipedia.org/

Lijst van figuren

4.1 log(fout) t.o.v. log(N) bij r = 1 en r = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 log(fout) t.o.v. log(N) bij r = 3000 en r = 1

300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 De numerieke en exacte oplossing bij r = 1, N = 25 (links) en r = 1,

N = 212 (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 De numerieke en exacte oplossing bij r = 20, N = 24 (links) en r = 20,

N = 212 (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5 De numerieke en exacte oplossing bij r = 3000, N = 27 (links) en r = 3000,

N = 212 (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 De numerieke en exacte oplossing bij r = 1

300 , N = 25 (links) en r = 3000,N = 212 (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7 log(fout op α) t.o.v. log(N) bij r = 1 en r = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 634.8 log(fout op α) t.o.v. log(N) bij r = 3000 en r = 1

300 . . . . . . . . . . . . . 634.9 log(fout op β) t.o.v. log(N) bij r = 1 en r = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 644.10 log(fout op β) t.o.v. log(N) bij r = 3000 en r = 1

300 . . . . . . . . . . . . . 64

5.1 Voorbeeld 5.2.1: de logaritme van de fout op de numerieke oplossing t.o.v.log(N) bij verschillende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Voorbeeld 5.2.1: de fout op de numerieke oplossing t.o.v. τ bij verschillendewaarden van N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3 Voorbeeld 5.2.1: de logaritme van de fout op αNt (en βNt) t.o.v. log(N) bijverschillende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4 Voorbeeld 5.2.1: de exacte en benaderende oplossing bij N = 27 en τ = 2−7

op tijdstippen t1 en t61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Voorbeeld 5.2.1: de exacte en benaderende oplossing bij N = 212 en τ = 2−7

op tijdstippen t1 en t61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.6 Voorbeeld 5.2.1: de fout op αNt (en βNt) t.o.v. τ bij verschillende waarden

van N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.7 Voorbeeld 5.2.2: de logaritme van de fout t.o.v. log(N) bij verschillende

waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.8 Voorbeeld 5.2.2: de fout t.o.v. τ bij verschillende waarden van N . . . . . . 895.9 Voorbeeld 5.2.2: de logaritme van de fout op αNt t.o.v. log(N) bij verschil-

lende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.10 Voorbeeld 5.2.2: de logaritme van de fout op βNt t.o.v. log(N) bij verschil-

lende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.11 Voorbeeld 5.2.2: de fout op αNt t.o.v. τ bij verschillende waarden van N . . 945.12 Voorbeeld 5.2.2: de fout op βNt t.o.v. τ bij verschillende waarden van N . . 945.13 Voorbeeld 5.2.2: de exacte en benaderende oplossing bij N = 25 en τ = 2−4

op tijdstippen t1 en t15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

144

LIJST VAN FIGUREN 145

5.14 Voorbeeld 5.2.2: de exacte en benaderende oplossing bij N = 210 en τ = 2−4


6.1 Voorbeeld 6.2.1: de logaritme van de fout t.o.v. log(N) bij verschillendewaarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2 Voorbeeld 6.2.1: de fout t.o.v. τ bij verschillende waarden van N . . . . . . 1066.3 Voorbeeld 6.2.1: de logaritme van de fout op αNt t.o.v. log(N) bij verschil-

lende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4 Voorbeeld 6.2.1: de fout op αNt t.o.v. τ bij verschillende waarden van N . . 1086.5 Voorbeeld 6.2.1: de exacte en benaderende oplossing bij N = 27 en τ = 2−7


op tijdstippen t1 en t61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.7 Voorbeeld 6.2.2: de logaritme van de fout op de numerieke oplossing t.o.v.

log(N) bij verschillende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.8 Voorbeeld 6.2.2: de fout op de numerieke oplossing t.o.v. τ bij verschillende

waarden van N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.9 Voorbeeld 6.2.2: de logaritme van de fout op αNt t.o.v. log(N) bij verschil-

lende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.10 Voorbeeld 6.2.2: de logaritme van de fout op βNt t.o.v. log(N) bij verschil-

lende waarden van Nt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.11 Voorbeeld 6.2.2: de fout op αNt t.o.v. τ bij verschillende waarden van N . . 1156.12 Voorbeeld 6.2.2: de fout op βNt t.o.v. τ bij verschillende waarden van N . . 1166.13 Voorbeeld 6.2.2: de exacte en benaderende oplossing bij N = 26 en τ = 2−4



145

Lijst van tabellen

4.1 De fout op de numerieke oplossing bij verschillende waarden van N en r . . 604.2 De fout op de numerieke benadering van α bij verschillende waarden van

N en r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1 Voorbeeld 5.2.1: de fout op de numerieke oplossing bij verschillende waardenvan N en τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Voorbeeld 5.2.1: de fout op αNt en βNt bij verschillende waarden van N en τ 835.3 Voorbeeld 5.2.2: de fout op de numerieke oplossing bij verschillende waarden

van N en τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4 Voorbeeld 5.2.2: de fout op αNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 925.5 Voorbeeld 5.2.2: de fout op βNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 925.6 Voorbeeld 5.2.2: de fout op de numerieke oplossing bij verschillende waarden

van N en τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7 Voorbeeld 5.2.2: de fout op αNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 925.8 Voorbeeld 5.2.2: de fout op βNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 93

6.1 Voorbeeld 6.2.1: de fout op de numerieke oplossing bij verschillende waardenvan N en τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2 Voorbeeld 6.2.1: de fout op αNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 1076.3 Voorbeeld 6.2.2: de fout op de numerieke oplossing bij verschillende waarden

van N en τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.4 Voorbeeld 6.2.2: de fout op αNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 1146.5 Voorbeeld 6.2.2: de fout op βNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 1146.6 Voorbeeld 6.2.2: de fout op de numerieke oplossing bij verschillende waarden

van N en τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.7 Voorbeeld 6.2.2: de fout op αNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 1146.8 Voorbeeld 6.2.2: de fout op βNt bij verschillende waarden van N en τ . . . 115

146

Parti ele di erentiaalvergelijkingen met niet-lokale...

Documents

Transcript of Parti ele di erentiaalvergelijkingen met niet-lokale...