Ontwerp van een vakwerk : keuze van de

staafprofielen

A. Audenaert

8 oktober 2004

1 Lijst van symbolen

A = oppervlakte [mm2]

E = elasticiteitsmodulus [N/mm2]

ft = treksterkte [N/mm2]

fy = vloeigrens [N/mm2]

I = traagheidsmoment [mm4]

i = traagheidsstraal [mm]

Lk = kniklengte [mm]

N = normaalkracht [N ]

Nkr = kritieke normaalkracht bij nazicht op knik[N ]

Np = vloeinormaalkracht[N ]

λ = slankheid[-]

λ′ = relatieve slankheid [-]

ωbuc = knikfactor [-]

1

2 Inleiding

De berekening van staalconstructies is voornamelijk gebaseerd op het ge-bruik van normen. Uitgebreide gegevens, richtlijnen en voorschriften zijnvastgelegd in de technische grondslagen voor bouwconstructies (TGB 1990).

De TGB-staalconstructies bestaat uit de volgende delen:

NEN 6770 Basiseisen en rekenregels voor overwegend statisch belaste con-structies

NEN 6771 Stabiliteit

NEN 6772 Verbindingen

NEN 6773 Basiseisen, rekenregels en beproevingen voor overwegend sta-tisch belaste dunwandige koudgevormde stalen profielen en geprofi-leerde platen

NEN 6774 Eisen aan staalkwaliteit voor constructiestaalsoorten in relatietot het brosse breukgedrag, voor overwegend statisch belaste construc-ties

3 Staaf belast op zuivere trek

Een staaf in een vakwerk heeft zijn maximale treksterkte bereikt indienover de volledige doorsnede de treksterkte ft bereikt is. De waarden van ft

voor de verschillende staalsoorten staat vermeld in de tabel van figuur 1.Onder deze veronderstelling kan dan de minimale doorsnede voor het profielberekend worden.

A =N

ft(1)

4 Staaf belast op zuivere druk

Een vakwerkstaaf heeft zijn maximale druksterkte bereikt indien over devolledige doorsnede de vloeispanning fy bereikt is. De waarden van fy voor

2

de verschillende staalsoorten staat vermeld in de tabel van figuur 1. On-der deze veronderstelling kan dan de minimale doorsnede voor het profielberekend worden.

A =Np

fy(2)

5 Nazicht op knik van gedrukte staven

Voor gedrukte staven dient echter een bijkomende controle te gebeuren, aan-gezien slanke staven onder een te zware last de neiging hebben om zijdelingsuit te buigen. Dit verschijnsel noemen we ’knik’. In (Hibbler, 1997) wordtde Euler-kniklast afgeleid.

Nkr =π2EI

L2=

π2EAi2

L2=

π2E

λ2A =

π2E

λ2fyAfy =

Np

λ′2(3)

met

i =√

IA de traagheidsstraal van de doorsnede

λ = Li de slankheid van de staaf

λ′ = λ

π√

Efy

de relatieve slankheid van de staaf

Voor een staaf met relatieve slankheid λ′ = 1 is de kritieke belasting vanEuler Nkr gelijk aan de vloeinormaalkracht Np.

5.1 Afwijkingen ten opzichte van de ideale staaf van Euler

Nog gesteld dat stalen drukstaven in wrijvingloze scharnieren eindigen (Lk =L), wijken ze in werkelijkheid in vele opzichten af van het theoretische modelvan Euler :

• Een staaf is niet perfect recht

• Er bestaan meestal eigenspanningen in de staaf

• Het materiaal gedraagt zich niet oneindig elastisch

• de vloeispanning is niet dezelfde voor alle vezels van de staaf

• de belasting werkt excentrisch op de staafeinden

3

• de staaf is niet perfect prismatisch

De bepaling van de geldende kniklengte Lk, afhankelijk van de soortbevestiging in de steunpunten staat beschreven in Figuur 2. vloeigrens,treksterkte F3/121. Al de gebruikte tabellen komen uit het polytechnischzakboek (Leijendeckers p.H.H., 2002).

De ”European Convention for Constructional Steelwork”(ECCS) heefteen grootscheeps programma van berekeningen, van metingen aan indu-striele stalen producten, van drukproeven op gewalste en geconstrueerdedrukstaven en van statistisch onderzoek van resultaten van waarnemingenen berekeningen uitgevoerd. Dit leidde tot het opstellen van de zogenaamdeknikkrommen van de ECCS. De ECCS stelde 5 krommen voor, genaamd,a0, a, b, c en d. De kromme a0 wordt enkel gebruikt voor staven van staalmet een vloeigrens hoger dan 430N/mm2 en d enkel voor profielen waarvande dikte plaatselijk groter is dan 40 mm.

De knikkrommen worden hier weergegeven onder de vorm van een ta-bel in Figuur 4. Voor knikfactor ωbuc wordt hierin weergegeven in functievan de relatieve slankheid λ′. Welke kromme dient gebruikt te worden isprofielafhankelijk. Deze keuze wordt bepaald in figuur 3.

Volgende formule bepaalt aldus de minimale doorsnede, nodig om knikte weerstaan:

A =Nkr

ωbucfy(4)

In de Figuren 5, 6, 7, 8, 9 en 10 staan de gegevens van enkele veelge-bruikte gewalste I-profielen.

6 Voorbeeld

We bepalen voor het vakwerk van Figuur 60 uit de cursus mechanica vanmachinestructuren (pagina EV.41) welk I-profiel moet gekozen worden voorde staaf ac. Het stalen (E = 210Gpa) vakwerk wordt vervaardigd uit S235en de verbinding tussen de verschillende staven mag zuiver schanierend be-schouwd worden.

Sac = −200kN

fyd = 235N/mm2

4

Om te voldoen aan de voorwaarde van vergelijking (2) dient de opper-vlakte van de doorsnede minstens volgende waarde te bedragen.

A = 200∗103N

235N/mm2 = 851mm2

Een IPE100 profiel voldoet aan deze voorwaarde. Er moet nu ook nog eennazicht op knik gebeuren. Aangezien de staaf aan beide zijden scharnierendbevestigd is, is de kniklengte van de staaf Lk = L = 5000mm .

IPE100

A = 1032mm2

iz = 12.4mm

λ = 5000mm12.4mm = 403.22

λ′ = 403.22

π

√

210∗103N/mm2

235N/mm2

= 4.29

Deze waarde van λ′ valt buiten alle weergegeven waarden van Figuur 4.Deze staaf zal dus zeker knikken. Ter bevestiging doen we het nazicht metde hoogst getabelleerde knikfactor voor het gekozen profiel. Het IPE100 iseen gewalst profiel waarvan de flensdikte t < 40mm en h/b > 1.2. De z-as isde zwakke as, dus in Figuur 3 zien we dat hier de knikfactor moet bepaaldworden aan de hand van kromme b van de ECCS. De laatst getabelleerdewaarde voor ωbuc = 0.1 voor λ′ = 3 (voor λ′ = 4.29 zal dus nog een lagerewaarde gelden voor de knikfactor).

A = 200∗103N

0.1∗235N/mm2 = 8510mm2

De oppervlakte van een IPE100-profiel is dus zeker te klein om knik teweerstaan. Omdat we de hoogte van het profiel niet te veel willen opdrijvenom zo tot een grotere oppervlakte te komen kiezen we voor een ander typeprofiel, een breedflensbalk, dat voor dezelfde hoogte een grotere oppervlakteheeft. We gaan na of een HEA100-profiel al zou voldoen.

HEA100

A = 2124mm2

5

iz = 25.1mm

λ = 5000mm25.1mm = 199.2

λ′ = 199.2

π

√

210∗103N/mm2

235N/mm2

= 2.12

Voor dit profiel geldt t ≤ 80mm en h/b ≤ 1.2. De z-as is de zwakke as,dus in Figuur 3 zien we dat hier de knikfactor moet bepaald worden aan dehand van kromme c van de ECCS. Uit Figuur 4 kan dan na interpolatie dejuiste waarde van de knikfactor ωbuc bepaald worden.

ωbuc = 0.178

A = 200∗103N

0.178∗235N/mm2 = 4781.26mm2

Deze doorsnede volstaat dus nog steeds niet.

We proberen een iets grotere doorsnede, vb. HEA140.

HEA140

A = 3142mm2

iz = 35.2mm

λ = 5000mm35.2mm = 142.05

λ′ = 142.05

π

√

210∗103N/mm2

235N/mm2

= 1.51

Ook voor dit profiel geldt t ≤ 80mm en h/b ≤ 1.2 en moet dus gebruikgemaakt worden van knikkromme c.

ωbuc = 0.307

A = 200∗103N

0.307∗235N/mm2 = 2772.19mm2

Dit profiel kan dus aan knik weerstaan. We moeten nu nog nagaan ofer geen profiel kan gevonden worden met een kleiner doorsnede dat ook aanknik weerstaat. We voeren een controle uit voor het profiel dat net kleineris, nl. HEA120.

6

HEA120

A = 2534mm2

iz = 30.2mm

λ = 5000mm30.2mm = 165.56

λ′ = 165.56

π

√

210∗103N/mm2

235N/mm2

= 1.76

Ook voor dit profiel geldt t ≤ 80mm en h/b ≤ 1.2 en moet dus gebruikgemaakt worden van knikkromme c.

ωbuc = 0.242

A = 200∗103N

0.242∗235N/mm2 = 3516.79mm2

Dit profiel is dus niet bestand tegen knik. De berekening voor de pro-fielkeuze stopt hier dus, nl HEA 140.

7 Opgaven

1. Herbekijk het vakwerk, vervaardigd uit staal S235, van oefening 13 pEV.13 uit de cursus ’mechanica van objecten’ (Soudan, 2004). Bepaalde profielen van de drie staven die samenkomen in het punt e.

2. Bepaal voor het vakwerk, vervaardigd uit staal S235, van oefening 14p EV.13 uit de cursus ’mechanica van objecten’ (Soudan, 2004) deprofielen van de staven die samenkomen in de steunpunten a en b.

3. Ga na welke staven uit het vakwerk, vervaardigd uit staal S355, vanoefening 15 p EV.13 uit de cursus ’mechanica van objecten’ (Soudan,2004) het meest risico hebben op bezwijken. Doe een nazicht op treken op druk. (Tip : Let op voor de staven belast op druk : het zijn nietnoodzakelijk de staven waar de grootste drukkracht op werkt, die hetmeeste kans op bezwijken hebben)

7

Appendix I : References

Hibbler, R. C.: 1997, Sterkteleer voor technici, Academic Service, Schoon-hoven, Nederland.

Leijendeckers p.H.H., Fortuin J.B., v. H. F. e. S. G.: 2002, Polytechnisch

zakboek, Elsevier, Arnhem, Nederland.

Soudan, K.: 2004, Mechanica van objecten.

8

Figuur 1: Representatieve waarde voor vloeigrens en treksterkte voor ver-schillende staalsoorten

Figuur 2: Knikgevallen met bijhorende kniklengte

9

Figuur 3: Keuze knikkromme

10

Figuur 4: Tabel knikfactor in functie van de relatieve slankheid

11

Figuur 5: Gegevens IPE-profielen

12

Figuur 6: Vervolg gegevens IPE-profielen

13

Figuur 7: Gegevens HEA-profielen14

Figuur 8: Vervolg gegevens HEA-profielen

15

Figuur 9: Gegevens HEM-profielen

16

Figuur 10: Vervolg gegevens HEM-profielen

17