Natuurkunde

Wisselwerking & Beweging

VWO

2 Veranderende krachten

2

Wisselwerking & Beweging

VWO

2 Veranderende krachten

Dit materiaal is bedoeld voor evaluatief gebruik

Lesplanning hoofdstuk 2

Les Kern/Keus Onderwerp

1 2 lessen? 1 Inleiding

Een wereld vol krachten

Hoe Fignon de Tour had kunnen winnen

vraag 1 t/m 6

begriptest 42 t/m 44

2 2 Afstand en versnelling

Bij veranderende krachten

Oppervlakte en raaklijn

vraag 7 t/m 9

begriptest 45 t/m 49

oefenopgave 60

3

Keuze

3 Parachutespringen

Veilig springen en landen

vraag 10 t/m 12

begriptest 50 t/m 53

oefenopgave 61

4 4 De Bungee Catapult

De kracht van een bungeekoord

Bewegen onder invloed van de veerkracht

vraag 12 t/m 16

begriptest 54 t/m 58

oefenopgave 62

5 Keuze

5 Drie krachten

Een computermodel voor de Bungee Catapult

Demping bij auto‟s en bruggen.

vraag 17 t/m 21

begriptest 59

6 6 Dynamische Modellen

Oefenen met Powersim Modellen van bewegingen

7 7 Dynamische Modellen

Algemeen model van bewegingen

oefenopgave 63

8 2 lessen? 8 Dynamische Modellen

Toepassing van het algemeen model

oefenopgave 64

9 Keuze

9 Afsluiting

Terugblik en samenvatting

4

1 Inleiding

Een wereld vol krachten

Wat gaan we doen?

In dit hoofdstuk gaan we verder met de invloed van krachten op

bewegingen. Daarbij kijken we naar situaties waarbij meerdere krachten

samenwerken en situaties waarbij sommige krachten niet constant zijn.

Welke krachten ken je? Van welke factoren hangen die krachten af?

Wat gebeurt er met de snelheid als de krachten niet constant zijn?

Veranderende krachten

Tot nu toe hebben we steeds naar situaties gekeken waarin slechts één kracht

werkt die bovendien constant is. Een constante kracht zorgt voor een constante

versnelling of vertraging. Als er meerdere krachten op hetzelfde voorwerp

werken dan kijken we naar de somkracht of nettokracht.

1 Een wereld vol krachten

Op de onderstaande foto‟s zie je situaties waarbij meerdere krachten werken.

Noteer zoveel mogelijk verschillende krachten en geef aan van welke factoren

die krachten afhangen.

zwaartekracht – hangt af van de massa (is dus meestal constant)

Nieuwe begrippen in

deze paragraaf

Luchtwrijving

Voorwaartse kracht

Nettokracht

Krachtenevenwicht

6

Luchtwrijving overwinnen

In de drie situaties op de onderstaande foto‟s zijn steeds twee krachten van

belang, een constante kracht (bijvoorbeeld de zwaartekracht of de trapkracht) en

een kracht die van grootte kan veranderen (de luchtwrijving).

De luchtwrijving is bij de start van de tijdrit en bij het begin van de

parachutesprong nog nul, maar naarmate de snelheid hoger wordt zal de

luchtwrijving ook toenemen.

In die situaties zoeken we naar een antwoord op de volgende vragen:

Wat gebeurt er met de snelheid als sommige krachten niet constant zijn?

Hoe hoog is de maximale snelheid? Hoe kun je die snelheid groter of kleiner maken?

2 De start van de tijdrit

Bij wielrennen is een tijdrit vaak erg belangrijk. Zo verloor de Fransman Fignon

de Tour de France in de afsluitende tijdrit. In deze opgave kijken we naar de

start van een tijdrit. Daarbij nemen we aan dat de wielrenner voor een constante

voorwaartse kracht zorgt. De luchtwrijving hangt van de snelheid af.

a Voorspel met een grafiek hoe de snelheid van de wielrenner verandert

gedurende de eerste minuut direct na de start van de tijdrit. Het gaat alleen

om de vorm van de grafiek.

b Leg met behulp van de twee krachten uit waarom je deze grafiek verwacht.

Plan van aanpak

In het eerste deel van de tijdrit neemt de snelheid alsmaar toe. De luchtwrijving

is dan niet constant. Het plan van aanpak wordt dan:

Ga na hoe de luchtwrijving afhangt van de snelheid.

Gebruik de methode van Newton om per tijdstap de snelheid te berekenen.

Figuur 1 – Laurent Fignon

tijdens de afsluitende tijdrit.

Uitwerking

Tijdens de tijdrit werken er twee krachten: de trapkracht van de wielrenner en de

luchtwrijving. Andere krachten zoals de rolweerstand en wrijving in de

draaiende delen van de fiets worden verwaarloosd. De voorwaartse kracht is

constant. De luchtwrijving Fw,l hangt af van de grootte en vorm van de

wielrenner, de luchtdichtheid en de snelheid.

Luchtwrijving

De luchtwrijving Fw,l op een wielrenner of auto hangt af van de stroomlijn,

het frontaal oppervlak, de luchtdichtheid en de snelheid:

2

21

, vAcF wlw

Uit de formule blijkt dat de luchtwrijving evenredig is met de stroomlijnfactor cw, het frontaal oppervlak A (in m²) en de luchtdichtheid ρ (in kg/m³). De

luchtwrijving is kwadratisch evenredig met de snelheid v (in m/s). Bij grotere snelheden neemt de luchtwrijving dus sterk toe..

Omdat de stroomlijn cw, het frontaal oppervlak A en de luchtdichtheid ρ in veel situaties constant zijn wordt de formule voor de luchtwrijving vaak

vereenvoudigd tot:

2

, vkF lw

3 Trapkracht en luchtwrijving

Tijdens de tijdrit werken er twee krachten: de trapkracht van de wielrenner en de

luchtwrijving. Andere krachten zoals de rolweerstand en wrijving in de

draaiende delen van de fiets worden verwaarloosd.

De formule voor de luchtwrijving wordt vaak vereenvoudigd tot:

2

, vkF lw

a Leg in je eigen woorden uit waarom de formule voor de luchtwrijving bij de

tijdrit vereenvoudigd kan worden tot Fw,l = k·v².

Voor de tijdrit van Fignon geldt: cw = 0,82, A = 0,37 m² en ρ = 1,28 kg/m³.

b Laat zien dat bij Fignon geldt k = 0,194 (met eenheid kg/m = N/(m/s)²).

c Bereken de grootte van de luchtwrijving op Fignon bij een snelheid van 36

km/h (dat is 10 m/s).

De luchtwrijving is, zelfs bij een snelheid van 36 km/h, niet bijzonder groot. De

wielrenner oefent op de pedalen een kracht uit die tijdens een tijdrit wel zo‟n

300 N kan bedragen. Die kracht wordt via tandwielen, ketting en wiel omgezet

in een veel kleinere voorwaartse kracht. Tijdens de start van de tijdrit van

Fignon was de constante voorwaartse kracht 42,5 N.

d Heeft Fignon bij 36 km/h al zijn maximale snelheid behaald? Leg uit.

Figuur 3 – Het bepalen van het

frontaal oppervlak van een wielrenner.

Figuur 2 – Bij wielrennen is de

luchtwrijving de belangrijkste

factor, de rolweerstand is een

stuk kleiner.

8

4 Constructie van de start van een tijdrit

In het eerste deel van de tijdrit vertrekt de wielrenner vanuit stilstand. De groei

van de snelheid in de eerste tijdstap hangt af van de twee krachten die op de

wielrenner werken.

We nemen aan dat alle krachten tijdens de hele tijdstap constant blijven. De

krachten zijn dus gelijk aan de krachten bij het begin van de tijdstap.

De kracht die de wielrenner op de pedalen uitoefent wordt omgezet in een

voorwaartse kracht van 42,5 N. De wielrenner inclusief fiets heeft een massa

van 85 kg. Voor de luchtwrijving op de wielrenner geldt:

2

, 194,0 vF lw

a Leg uit dat tijdens de eerste tijdstap geldt: Fnetto = 42,5 N.

De snelheidtoename v wordt bepaald met de nettokracht Fnetto.

vmtFnetto

b Bereken de snelheidstoename v tijdens de eerste tijdstap van 10 s.

c Hoe groot zijn aan het begin van de tweede tijdstap de snelheid en de

luchtwrijving?

d Ga met een berekening na dat tijdens de tweede tijdstap geldt: v = 4,4 m/s.

In de volgende tijdstappen zal de snelheid blijven groeien. Voor de toename van

de snelheid geldt F t = m v.

e Bereken voor de volgende tijdstappen de nettokracht Fnetto en de

snelheidstoename Δv. Vul de tabel volledig in.

tijdstap snelheid v

(m/s)

voorwaartse kracht Fvw (N)

luchtwrijving

Fw,l (N)

Nettokracht

Fnetto (N)

v

(m/s)

0 – 10 s 0 42,5 0 42,5 5,0 m/s

10 – 20 s 5,0 m/s 42,5 0,194×5²=.... 4,4 m/s

20 – 30 s 9,4 m/s 42,5 17,1 25,4

30 – 40 s 42,5

40 – 50 s 42,5

50 – 60 s 42,5

60 – 70 s

70 – 80 s

Figuur 5 – Tijdens de start van

de tijdrit is de voorwaartse

kracht groter dan de

luchtwrijving.

5 Een grafiek van de snelheid

Met behulp van de tabel uit de vorige opgave is een grafiek te tekenen van de

snelheid gedurende de eerste minuut.

a Maak de onderstaande grafiek af.

b Heeft de wielrenner na 80 s de maximale snelheid bereikt? Leg uit.

c Hoe zou je de maximale snelheid kunnen berekenen met behulp van de twee

krachten? Leg uit en geef een berekening.

EXTRA: Een kleinere tijdstap

Bij de berekeningen is een tijdstap van 10 seconde gebruikt. Daarbij is

aangenomen dat de krachten tijdens die tijdstap niet veranderen. De

luchtwrijving was daardoor nul tijdens de eerste tien seconde.

d Wat gebeurt er in werkelijkheid met de luchtwrijving tijdens de eerste tien

seconde?

Om een betere grafiek te krijgen zou je de tijdstap een stuk kleiner moeten

maken, bijvoorbeeld 1,0 of 0,1 seconde.

e Wat betekent dat voor de grafiek van de snelheid? Zal de snelheid na 10

seconde dan groter worden, kleiner worden of gelijk blijven? Leg uit.

f Wat betekent een kleinere tijdstap voor het tijdstip waarop de wielrenner de

maximale snelheid bereikt? Schets de grafiek in de bovenstaande figuur.

Hoe pak je een vraag met meerdere krachten aan?

A. Welke krachten werken er in deze situatie?

B. Wat weet je van de grootte, de richting en het aangrijpingspunt van de krachten?

C. Als alle krachten bekend zijn, dan kun je de som van de krachten bepalen.

10

6 Toepassing: Had Fignon de Tour kunnen winnen?

De Ronde van Frankrijk in 1989 werd beslist in de laatste tijdrit. De drager van

de gele trui, de Fransman Laurent Fignon, had een voorsprong van 50 s op zijn

naaste concurrent, Greg Lemond. Dat leek voldoende maar dankzij voor die tijd

revolutionaire aanpassingen won Lemond de tijdrit met 58 seconde voorsprong

en de Tour met 8 seconde – het kleinste verschil ooit.

Figuur 1 – Laurent Fignon (links) en Greg Lemond (rechts) tijdens de tijdrit in 1989. Fignon

reed toen nog in de gele trui.

a In figuur 1 zie je Fignon en Lemond tijdens die tijdrit. Welke verschillen

merk je op tussen beide wielrenners en fietsen?

b Hoeveel tijdwinst denk je zelf dat Lemond haalde uit de vernieuwingen aan

zijn fiets, zijn kleding en zijn houding? Geef een schatting, de tijdrit ging

over 24,5 km.

De afsluitende tijdrit van de Ronde van Frankrijk van 1989 ging van Versailles

naar Parijs over een afstand van 24,5 km. Fignon heeft daar 27 minuten en 55

seconden over gedaan. Voor de luchtwrijving op Fignon geldt Fw,l = 0,194 v².

c Bereken met deze gegevens de gemiddelde snelheid van Fignon en daarmee

de gemiddelde kracht die hij tijdens de tijdrit leverde.

Wetenschappers hebben berekend dat Fignon zijn luchtwrijving met 2% had

kunnen verlagen als hij ook de beschikking had gehad over het materiaal

waarmee Lemond reed.

d Laat zien dat dan zou gelden Fw,l = 0,190 v² en bereken welke gemiddelde snelheid daarbij hoort. Neem aan dat de voorwaartse kracht constant is en

even groot als bij vraag c.

e Hoeveel tijdwinst zou Fignon hebben gehaald uit deze verbeteringen? Zou

hij daarmee de Tour de France hebben kunnen winnen?

Figuur 6 - Fignon won wél de

Tour van 1983 en 1984.

Conclusie

We hebben nu gezien dat:

Voor de luchtwrijving geldt: Fw,l = ½·cw·A·ρ·v². De formule wordt vaak

afgekort tot Fw,l = k·v².

In een situatie waar krachten in één lijn werken is de nettokracht gelijk aan

de som van de krachten.

Bij een constante snelheid is de nettokracht nul. Dan is er sprake van

krachtenevenwicht.

De constructiemethode laat zien dat de snelheid in de eerste 60 seconde

voortdurend toeneemt, maar de groei van de snelheid vlakt af omdat de

luchtwrijving steeds groter wordt.

Nettokracht

Als er meerdere krachten in één lijn op een voorwerp werken dan is de

nettokracht gelijk aan de som van de krachten.

Krachten die in dezelfde richting werken worden bij elkaar opgeteld, bij

krachten die tegengesteld werken wordt het verschil genomen.

Fnetto = som krachten

Als de nettokracht niet nul is dan zal het voorwerp versnellen of vertragen.

Voor de versnelling a en de snelheidstoename Δv gelden:

Fnetto = m·a en Fnetto·Δt = m·Δv

Oefenopgaven

Na dit onderdeel moet je

de volgende vragen

kunnen maken:

Begripstest 42 t/m 44

Oefenopgave 60

12

2 Afstand en versnelling

Bij veranderende krachten

Wat gaan we doen?

In de vorige paragraaf hebben we gezien hoe de snelheid verandert bij

beweging waarbij luchtwrijving een rol speelt. Bij dit soort bewegingen is

ook sprake van een versnelling en een afstand.

Hoe bepaal je de versnelling en de afstand bij een beweging met veranderende krachten?

Bij de start van de tijdrit van Fignon neemt de snelheid geleidelijk toe. Met de

methode van Newton kan een grafiek van de snelheid getekend worden. Aan de

hand van deze grafiek wordt de versnelling en de afstand onderzocht.

7 Snelheid en versnelling

In de onderstaande figuur zie je de grafiek van de snelheid van Fignon volgens

de methode van Newton. Deze methode is een benadering van de echte

beweging. De massa m = 85 kg, Fvoorw = 42,5 N en Fw,l = 0,194 v²

a Hoe kun je aan de grafiek zien dat in elke tijdstap de versnelling constant is?

b Tijdens de eerste tijdstap is de versnelling 0,50 m/s². Klopt dat met de grafiek?

c Beschrijf in je eigen woorden hoe je de versnelling kunt bepalen tijdens de

derde tijdstap, van t = 20 tot t = 30 s. Geef ook de berekening.

Nieuwe begrippen in

deze paragraaf

Raaklijnmethode

Oppervlaktemethode

d Klopt de versnelling met de nettokracht Fnetto = 25,4 N tijdens deze tijdstap? Controleer dit met een berekening.

8 Snelheid en afstand

In de onderstaande figuur zie je de grafiek van de snelheid volgens de methode

van Newton.

a Leg uit dat in de eerste tijdstap (0-10 s) een afstand van 25 m wordt

afgelegd. Denk aan de oppervlaktemethode van hoofdstuk 1.

b Bepaal de verplaatsing tijdens de tweede tijdstap met behulp van het

gearceerde gedeelte onder de grafiek.

Tijdens de derde tijdstap neemt de snelheid toe van 9,4 m/s tot 12,4 m/s.

c Bereken eerst de gemiddelde snelheid en bereken daarna de verplaatsing

tijdens de derde tijdstap.

d Leg uit of laat zien dat de oppervlakte onder de grafiek (tussen t = 20 en t =

30 s) even groot is als de verplaatsing die je met de gemiddelde snelheid

berekend hebt.

14

9 De tijdrit met een computermodel

Met een computermodel kan het verloop van de snelheid in veel kleinere stapjes

berekend worden. Het computermodel „Tijdrit deel 1‟ berekent de snelheid en de

afstand. In het model kan de trapkracht en de luchtwrijving ingesteld worden.

Voor Fignon geldt k = 0,194, dat geeft de volgende grafiek:

a Hoe kun je aan de grafiek zien dat de versnelling in het begin 0,5 m/s² is?

Na 23 s is de snelheid 10,0 m/s geworden. De raaklijn aan de grafiek in dit punt

is met een stippellijn getekend.

b Bepaal de versnelling op t = 23 s met behulp van de helling van de raaklijn.

c Bereken bij deze snelheid van 10 m/s de grootte van de luchtwrijving.

Bereken daarmee de nettokracht en de versnelling. Klopt het antwoord met

de helling van de raaklijn?

Na twee minuten is de snelheid constant geworden.

d Bereken deze snelheid met behulp van de twee krachten (zie 5c). Controleer

of de berekende waarde overeen komt met de snelheid in het model.

Door gebruik te maken van een ligstuur, een dicht achterwiel en een aangepaste

helm kan Fignon de luchtwrijving verlagen zodat k = 0,190.

e Gebruik (indien mogelijk) het computermodel om na te gaan hoe de afstand

en de snelheid veranderen als k = 0,190.

Figuur 5 – Computermodel voor

de tijdrit van Fignon. Op de

wielrenner werken twee

krachten. De snelheid en de

afstand zijn in het scherm

weergegeven.

Conclusie

We hebben nu gezien dat:

In een snelheid-tijd-diagram is de helling van de lijn gelijk aan de

versnelling van het voorwerp.

Bij veranderende krachten is deze helling niet constant. Teken een raaklijn

en bepaal daarvan de helling.

In een snelheid-tijd-diagram is de oppervlakte onder het diagram gelijk aan

de verplaatsing van het voorwerp.

Bij veranderende krachten is deze oppervlakte te benaderen door de

oppervlakte af te schatten met rechthoeken en driehoeken.

Overzicht wrijvingskrachten

Er bestaan verschillende soorten wrijvingskrachten, en dat zijn lang niet

altijd ongunstige krachten, soms zelfs onmisbaar.

Schuifwrijving – om te remmen of om je af te zetten

Schuifwrijving ontstaat wanneer twee voorwerpen langs elkaar schuiven,

maar ook bij het afzetten van je voeten op de vloer. De grootte van de

schuifwrijving is evenredig met de „druk‟ van de twee voorwerpen op elkaar

en hangt af van de ruwheid van de twee oppervlakken.

De formule voor de maximale schuifwrijving is:

In deze formule is Fw,s de maximale schuifwrijving (in N), f de

wrijvingscoëfficiënt en Fn de normaalkracht (in N). De normaalkracht is de

kracht waarmee de twee voorwerpen op elkaar gedrukt worden.

Rolwrijving

De grootte van de rolwrijving is evenredig met de „druk‟ van fietsband op

de weg. De rolwrijving hangt ook af van de vorm van de band, het materiaal

en de luchtdruk in de band. De rolwrijving is in veel situaties constant.

De formule voor de rolwrijving is:

In deze formule is Fw,r de rolwrijving (in N), cr de rolwrijvingscoëfficiënt

(zonder eenheid) en Fn de normaalkracht (in N).

Luchtwrijving

Bij het fietsen stroomt de lucht langs je lichaam en de fiets. Je botst als het

ware voortdurend tegen de lucht aan. Op je lichaam en de fiets wordt dan

een luchtwrijving uitgeoefend. De grootte van de luchtwrijving hangt af van

de snelheid, het frontaal oppervlak, de luchtdichtheid en de stroomlijn. Hoe

groter de snelheid is, des te groter is de luchtwrijving.

De formule voor de luchtwrijving is:

In deze formule is Fw,l de luchtwrijving (in N), cw de luchtwrijvings-

coëfficiënt (zonder eenheid), A het frontaal oppervlak (in m²), de

dichtheid van de lucht (in kg/m³) en v de snelheid (in m/s). In de formule geeft de luchtwrijvingscoëfficiënt cw de invloed van de stroomlijn: hoe beter

de stroomlijn is, des te kleiner is de cw-waarde.

w,s nF f F

w,r r nF c F

21w,l w2

F c A v

Figuur 7 – Het zichtbare

gevolg van schuifwrijving.

Figuur 8 – De rolwrijving Fw,r

hangt af van de massa: hoe

meer passagiers en/of bagage,

des te groter is de rolwrijving.

Figuur 9 – De rolwrijving Fw,r

hangt ook af van de

vervorming van de opper-

vlakken die elkaar raken: hoe

zachter de banden zijn

opgepompt, des te groter is de

vervorming en des te groter is de rolwrijving.

Oefenopgaven

Na dit onderdeel moet je

de volgende vragen

kunnen maken:

Begripstest 45 t/m 49

Oefenopgave 60

16

3 Parachutespringen

Veilig springen en landen

Wat gaan we doen?

Stel dat jij vanaf grote hoogte uit het vliegtuig springt, dan zou je wellicht de

volgende vragen hebben:

Welke snelheid zou je maximaal kunnen halen tijdens de vrije val?

Vanaf welke hoogte zou je moeten springen om die snelheid te halen?

Hoe groot zou je parachute moeten zijn om veilig te landen?

Een parachutesprong bestaat uit twee delen. Tijdens het eerste deel van de

sprong is de parachute nog gesloten. Na enige tijd opent de parachutist zijn

parachute en begint het tweede deel van de sprong.

10 Maximumsnelheid

We nemen aan dat jij vanaf grote hoogte uit het vliegtuig springt.

a Geef eerst een voorspelling bij de drie vragen: Wat is de maximale snelheid

tijdens de vrije val? Vanaf welke hoogte moet je springen? Hoe groot moet

de parachute zijn om veilig te landen?

Om de maximumsnelheid te kunnen berekenen zijn enkele gegevens nodig.

b Vul de lijst met gegevens aan met een schatting voor jouw situatie..

massa (inclusief bepakking) m = . . . . kg

stroomlijn cw = 0,90

frontaal oppervlak A = . . . . m²

luchtdichtheid ρ = 1,2 kg/m³

c Bereken met deze gegevens de waarde van k in de formule Fw,l = k v²

d Bereken jouw maximale snelheid in m/s en in km/h.

Nieuwe begrippen in

deze paragraaf

Frontaal oppervlak

cw-waarde

Luchtdichtheid

Figuur 10 – Welke snelheid haal

je tijdens de vrije val?

Figuur 11 – Het frontaal

oppervlak bij fietsen is ongeveer

0,5 m²

11 De hoogte van de sprong

De tweede vraag is: “Vanaf welke hoogte je moet springen om de

maximumsnelheid te halen?”. Die vraag kunnen we beantwoorden met behulp

van de oppervlakte onder de grafiek van de snelheid.

In de onderstaande figuur is een begin gemaakt met het tekenen van een grafiek

van de snelheid van een parachutespringer. De sprong begint op t = 0 s.

a Leg uit waardoor de snelheid in de eerste seconde gegroeid is tot bijna 10

m/s.

b Teken in het diagram de maximale snelheid als een horizontale stippellijn.

c Schets vervolgens de grafiek van de snelheid tijdens de val.

d Na hoeveel seconde (ongeveer) bereik je de maximumsnelheid?

Vanaf welke hoogte moet je nu tenminste springen om de maximumsnelheid te

halen? Neem aan dat de snelheid na 20 s constant is geworden. De afstand die je

in die 20 s hebt afgelegd is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek.

e Maak een schatting van de oppervlakte onder de grafiek tot t = 20 s. Gebruik

een driehoek en een rechthoek om een goede schatting te maken.

Om veilig te landen moet op een hoogte van tenminste 200 m de parachute

geopend worden (er moet ook tijd zijn om de noodparachute te openen).

f Vanaf welke hoogte moet je minstens springen om de maximumsnelheid te

halen?

18

12 De landing

Bij de landing is het van belang dat de snelheid niet te groot is. Bij militairen

wordt daarvoor een snelheid van 18 km/h (5 m/s) genomen. Die snelheid krijg je

b.v. ook als je vanaf een hoogte van 1,3 m rechtopstaand naar beneden springt

a Vind je dit een redelijke snelheid? Durf je zelf van 1,3 m hoogte te springen?

b Controleer met een berekening dat bij een val over een afstand van 1,3 m de

eindsnelheid 5,0 m/s wordt. Verwaarloos hier de luchtwrijving.

c Op zeeniveau geldt ρ = 1,27 kg/m³ en bij de parachute geldt cw = 1,2 . Bereken hoe groot het frontaal oppervlak A van de parachute moet zijn.

EXTRA: Een Fransman is er ooit in geslaagd om bij een vrije val een grotere

snelheid te bereiken dan de geluidssnelheid. Dat is alleen mogelijk op zeer grote

hoogte waar de luchtdichtheid zeer laag is.

d Bereken met jouw gegevens bij welke luchtdichtheid de evenwichtssnelheid

gelijk is aan de geluidssnelheid (340 m/s).

Ter vergelijking: Op grotere hoogte daalt de luchtdruk exponentieel: elke 5,5 km

halveert de luchtdruk. Om de geluidssnelheid te halen moest de Fransman van

een hoogte van meer dan 40 km springen.

Conclusie

In deze paragraaf zijn de volgende aspecten aan bod gekomen:

Bij een vrije val neemt de snelheid toe zolang de luchtwrijving kleiner is

dan de zwaartekracht.

Na verloop van tijd ontstaat er een krachtenevenwicht en wordt de snelheid

constant.

In een snelheid-tijd-diagram is de helling van de lijn (of van de raaklijn)

gelijk aan de versnelling van het voorwerp.

In een snelheid-tijd-diagram is de oppervlakte onder het diagram gelijk aan

de verplaatsing van het voorwerp. Deze oppervlakte is te benaderen door

de oppervlakte af te schatten met rechthoeken en driehoeken.

Oefenopgaven

Na dit onderdeel moet je

de volgende vragen

kunnen maken:

Begripstest 50 t/m 53

Oefenopgave 61

Figuur 11 – De daalsnelheid

van de klassiek militaire

koepelvormige parachutes

ligt rond de 18 km/h.

4 De Bungee Catapult

Met hoge snelheid naar boven

Wat gaan we doen?

Een lancering met de Bungee Catapult is een spectaculaire attractie. Tijdens

de lancering zakt je maag al in je schoenen. In zo‟n apparaat ben je een

prooi van de G-krachten. Wat zijn dat eigenlijk en is dat niet gevaarlijk?

De veerkracht van de bungeekoorden zorgen voor een veranderende kracht.

In dit geval hangt de kracht af van de positie.

Wat voor soort beweging ontstaat bij een kracht die afhangt van de plaats?

Hoe kun je de spectaculaire effecten tijdens de lancering verklaren met

behulp van mechanica? Welke veiligheidseisen gelden daarbij?

Wat voel je in de Bungee Catapult?

De Bungee Catapult is een spectaculaire attractie waarbij de deelnemers aan

elastische bungeekoorden omhoog geschoten worden. Bij een eenvoudige

catapult word je aan een gordel om je lichaam omhoog geschoten. Bij een grote

attractie wordt een cabine met twee inzittenden gebruikt.

De cabine wordt met een elektromagneet vastgehouden terwijl de twee armen

van de installatie worden uitgeschoven zodat het elastiek gespannen wordt. Na

het uitschakelen van de magneet wordt de cabine met een grote versnelling tot

een maximale hoogte van 55 m.

Figuur 12 – Bungee Catapult met koorden aan het lichaam of met een cabine.

G-versnelling

In het dagelijks gebruik wordt vaak gesproken over G-krachten, maar het is

beter om te spreken over de G-versnelling. De spectaculaire effecten worden

immers veroorzaakt doordat je versnelt of vertraagt. Met de G-versnelling

vergelijken we de versnelling met de valversnelling g. Een versnelling van 3g

betekent dat de versnelling drie keer zo groot is als g, dus 3 9,8 = 29,4 m/s².

Veiligheidseisen: Voor pretparkattracties zoals de Bungee Catapult geldt dat de

G-versnelling nooit hoger mag zijn dan 5g. Daarnaast geldt er bij elke installatie

een maximale hoogte.

Nieuwe begrippen in

deze paragraaf

Veerkracht

Veerconstante

Wet van Hooke

G-versnelling

20

13 Oriëntatie op de situatie

In de vier plaatjes van figuur 13 is het eerste deel van de lancering weergegeven.

A – Het moment van lancering, de cabine schiet hierna omhoog.

B – Het punt waar de snelheid maximaal is.

C – Boven dit punt leveren de elastieken geen kracht omhoog meer.

D – Het hoogste punt.

a Wat denk je dat je tijdens de beweging van figuur 13 voelt? Waar voel je

jezelf zwaarder? En waar lichter?

b Bekijk het deel tussen punt B en punt C. Is de cabine daar aan het vertragen

of versnellen? Leg uit in welke richting de nettokracht werkt.

c Waar is de versnelling het hoogst, denk je?

d Wat kun je zeggen over de nettokracht in punt B?

e Leg uit dat tussen punt C en D de versnelling bijna constant is.

Plan van aanpak

Bij de Bungee Catapult werken drie krachten: zwaartekracht, de veerkracht en

de luchtwrijving. In eerste instantie zullen we de luchtwrijving verwaarlozen.

Het plan van aanpak bestaat uit:

Een formule opstellen voor de veerkracht.

Met de constructiemethode van Newton onderzoeken hoe de beweging verloopt onder invloed van twee krachten.

De tijdstap verkleinen met een computermodel en onderzoeken wat er tijdens

de beweging gebeurt.

A B C

D

Figuur 13 – Verschillende momenten tijdens de lancering van de cabine.

Hoe pak je een vraag met meerdere krachten aan?

A. Welke krachten werken er in deze situatie?

B. Wat weet je van de grootte, de richting en het aangrijpingspunt van de krachten?

C. Als alle krachten bekend zijn, dan kun je de som van de krachten bepalen.

D. Als je niet alle krachten weet dan kun je de onbekende kracht bepalen uit het krachtenevenwicht of de nettokracht.

Uitvoering

Bij de uitvoering van de volgende onderdelen (uitrekken spiraalveer, uitrekken

elastiek en de constructietekening) kan het werk binnen de klas verdeeld

worden. Na afloop worden de resultaten met elkaar gedeeld (expertmethode).

De kracht van een bungeekoord

We zijn op zoek naar het verband tussen de veerkracht en de uitrekking van het

koord. Bij een metalen spiraalveer is dat een evenredig verband:

We noemen dit de wet van Hooke: vF C u

In deze formule is Fv de veerkracht (in newton) en u de uitrekking van de veer

(in meter). De evenredigheidsconstante C noemen we de veerconstante (in N/m).

14 Onderzoek naar de veerkracht

Een bungeekoord is gemaakt van elastiek. Geldt voor zo‟n koord ook de wet van

Hooke? In het onderzoek naar de kracht van het bungeekoord is de

onderzoeksvraag:

Rekt een elastiek op dezelfde manier uit als een spiraalveer?Is bij een elastiek de veerkracht evenredig met de uitrekking van het elastiek?

Gebruik een opstelling zoals in figuur 14 is getekend. Verdeel de taken.

a Onderzoek of bij de spiraalveer de veerkracht evenredig is met de uitrekking.

Teken een grafiek van je metingen

b Onderzoek of bij het elastiek de veerkracht evenredig is met de uitrekking.

Teken een grafiek van je metingen.

De veerconstante C van de spiraalveer heeft als eenheid N/m.

c Leg uit wat de eenheid N/m „betekent‟.

d Bepaal de veerconstante van de spiraalveer.

e Is bij het elastiek een evenredig verband een goede benadering? Zo ja, bepaal dan de veerconstante. Zo nee, welk verband is het dan?

Figuur 14 –Is de uitrekking van

een bungeekoord te vergelijken

met een spiraalveer of een

elastiek?

22

Bewegen onder invloed van de veerkracht

Een voorwerp met een massa van 0,50 kg hangt aan een spiraalveer met een

veerconstante van 80 N/m. In de evenwichtsstand met hoogte h = 0 m is de

nettokracht op het voorwerp nul. Als het voorwerp naar beneden wordt

getrokken, werkt er een nettokracht omhoog. Daarvoor geldt:

Het min-teken geeft aan dat de nettokracht omhoog is gericht als het voorwerp

naar beneden wordt getrokken.

15 Constructie volgens Newton

Het voorwerp wordt 1,0 m naar beneden getrokken, zodat voor de beginpositie

in figuur 16 geldt: h = –1,0 m. De beginsnelheid is nul.

a Ga na dat in de beginpositie geldt: Fnetto = 80 N.

De nettokracht zorgt voor een snelheidsverandering v van het gewichtje van 0,50 kg. De tijdstap bij deze constructie is Δt = 0,050 s.

b Ga na dat in de beginpositie voor de snelheidstoename geldt Δv =8,0 m/s.

In de onderstaande tabel zijn de berekeningen weergegeven waarbij de positie

stap voor stap berekend wordt.

tijdstap

(s)

positie h

(m)

nettokracht

Fnetto (N)

v

(m/s)

snelheid

v (m/s)

verplaatsing

s = v t

0,00 – 0,05 -1,0 80 8,0 m/s 8,0 0,4

0,05 – 0,10 -0,60 48 4,8 m/s 12,8 0,64

0,10 – 0,15 0,04 -3 -0,3 12,5 0,63

0,25 – 0,20 0,67 -54 -5,4 7,1 0,36

0,20 – 0,25 1,03 -82 -8,2 -1,1

0,25 – 0,30

0,30 – 0,35

c Ga na dat steeds geldt Fnetto = -80 h. Ga na dat v steeds berekend wordt

met F t = m v.

d Leg in je eigen woorden uit hoe de kolom snelheid v berekend wordt.

e Leg in je eigen woorden uit hoe de positie h berekend wordt.

f Teken de constructie t/m de laatste positie. Komt het resultaat van de

constructie overeen met de beweging van een massa aan een veer?

Figuur 16 – Constructie van

de beweging van een massa

aan een veer.

evenwichth = 0 m

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

16 Op-en-neer bewegen

Met de methode van Newton wordt duidelijk hoe het op-en-neer bewegen

ontstaat als gevolg van een kracht die afhangt van de plaats. Vanaf het loslaten

onderaan beweegt het voorwerp omhoog in de richting van de evenwichtsstand.

Geleidelijk wordt dan de nettokracht kleiner. In de evenwichtsstand is de

nettokracht nul.

a Leg in je eigen woorden uit hoe het komt dat het voorwerp na de

evenwichtsstand nog verder beweegt. Geldt hier dan niet dat het voorwerp

stil moet staan als de nettokracht nul is?

De veerkracht zorgt voor het versnellen en vertragen van het voorwerp.

b Beschrijf nauwkeurig op welke stukken het voorwerp versnelt en op welke

stukken het voorwerp vertraagt.

c In welke positie(s) is de versnelling het grootst?

d Bereken de maximale waarde van de versnelling (in m/s²). Druk de waarde van de versnelling uit in g.

In een attractiepark mag de versnelling niet groter worden dan 5g. Dat wordt meestal gedaan door de massa aan te passen.

e Hoe groot moet de massa van het voorwerp aan de veer zijn om ervoor te

zorgen dat de maximale versnelling 5g is?

Conclusie

We hebben nu gezien dat:

Voor de veerkracht geldt: Fveer = -C·u. Een uitgerekte veer oefent deze kracht uit op de voorwerpen waar de veer aan vast zit.

De op-en-neer-beweging ontstaat doordat de nettokracht steeds in de

richting van de evenwichtsstand werkt.

Het voorwerp versnelt zolang het naar de evenwichtsstand toe beweegt, pas

daarna begint het met vertragen.

In attractieparken zorgen de versnellingen en vertragingen voor het gevoel

dat vaak omschreven wordt als G-kracht.

Een versnelling van 5g betekent dat de versnelling vijf keer zo groot is als

de valversnelling g.

Oefenopgaven

Na dit onderdeel moet je

de volgende vragen

kunnen maken:

Begripstest 54 t/m 58

Oefenopgave 62

24

5 Drie krachten

Een computermodel

Wat gaan we doen?

In de vorige les is een beweging onderzocht waarbij twee krachten werken,

de veerkracht en de zwaartekracht. Bij een Bungee Catapult speelt ook de

luchtwrijving een rol. Daarnaast is tijdens een deel van de beweging de

veerkracht nul.

Met een computermodel onderzoeken welke invloed de drie krachten

hebben op de beweging van de Bungee Catapult.

Onderzoeken hoe aan de veiligheidseisen over de G-versnellingen en de

maximale hoogte voldaan kan worden.

Veiligheidseisen: de versnelling is maximaal 5g, de hoogte maximaal 55 m.

Een computermodel van de Bungee Catapult

In het model van de Bungee Catapult wordt een cabine met twee personen

weggeschoten. De cabine wordt met een elektromagneet vastgehouden terwijl de

twee armen van de installatie worden uitgeschoven zodat het elastiek gespannen

wordt. Na het uitschakelen van de magneet wordt de cabine omhoog geschoten

De startwaarden van het model zijn: massa = 250 kg, hoogte = 35 m,

veerconstante = 675 N/m (van de bungeekoorden samen).

17 G-versnellingen en versnelling

Eén van de veiligheidseisen bij de Bungee Catapult is de maximale hoogte.

a Open het model „Bungee Catapult‟ en start de simulatie. Hoe hoog komt de

cabine in dit voorbeeld?

Figuur 18 – G-versnellingmeter en grafiek van de hoogte.

Het model laat met een G-meter zien wat er tijdens de lancering gebeurt.

b Hoe groot is tijdens deze lancering de maximale G-versnelling? Gebruik de slider om de beweging te onderzoeken.

Figuur 17 – De armen van de

installatie kunnen uitgeschoven worden

Figuur 19 – Met de buttons kan

het model gestart en gestopt

worden. Met de slider kan de

beweging onderzocht worden

(nadat de model doorgerekend is).

Nieuwe begrippen in

deze paragraaf

G-versnelling

Veiligheidseisen

Demping

Resonantie

De grootste G-versnelling treedt op direct na de lancering.

c Voel je je dan zwaarder of juist lichter?

d Hoe groot is de G-versnelling op het hoogste punt? Leg uit.

18 De hoogte van de bungee-armen aanpassen

Deze Bungee Catapult voldoet wel aan de veiligheidseisen, maar is niet erg

spectaculair. De proefpersoon komt niet eens boven de palen uit en de maximale

G-versnelling is niet erg groot. Door de armen verder uit te schuiven verandert

de hoogte en worden de bungeekoorden meer gespannen.

a Pas de hoogte van de armen van de Bungee Catapult zo aan dat de lancering

wel spectaculair is maar toch binnen de veiligheidseisen blijft. Wat is de

optimale hoogte van de armen van de installatie?

b Hoe groot is dan de maximale G-versnelling? Hoe hoog komt de cabine?

De totale massa is 250 kg. Dat werd veroorzaakt door twee zware personen in de

cabine. Wat zal er gebeuren als er vervolgens twee lichte personen instappen?

c Verander de massa in 150 kg en start het model. Leg kort uit wat er gebeurt.

Een manier om deze lancering veilig te maken is het verlagen van de hoogte.

d Verander de waarde van de hoogte van de armen van de installatie tot de

maximale G-versnelling bij de start 5g is. Noteer de hoogte van de armen.

e Leg uit waardoor de cabine nu niet een hoogte van 55 m bereikt.

Het aanpassen van de hoogte van de armen is kennelijk geen goede manier om

te compenseren voor zwaardere of lichtere personen. De beheerder van de

installatie heeft twee andere mogelijkheden om hiervoor te compenseren:

- Het aanpassen van de veerconstante van de koorden.

- Het aanpassen van de totale massa van de cabine.

f Welk van deze mogelijkheden is in de praktijk het eenvoudigst uit te voeren?

Leg uit.

Figuur 20 – Startwaarden van

het model.

26

19 De invloed van drie krachten

Bij de beweging van de cabine spelen drie krachten een rol: de zwaartekracht, de

veerkracht en de luchtwrijving. In de onderstaande grafiek is met twee

horizontale lijnen waar de evenwichtsstand ligt (op ca 16 m hoogte) en in welk

deel van de beweging de bungeekoorden niet gespannen zijn (boven 20 m).

Figuur 21 – De gedempte trilling bij de Bungee Catapult.

a Welke invloed heeft de luchtwrijving op de beweging?

Tijdens een deel van de beweging is de invloed van de zwaartekracht veel groter

dan de invloed van de andere twee krachten.

b In welk deel van de beweging is dat het geval?

c Hoe kun je aan de G-meter zien dat de invloed van de zwaartekracht in dit

deel veel groter is dan de invloed van de andere krachten?

d Welke vorm heeft de grafiek van de hoogte in dit deel? Hoe komt dat?

De evenwichtsstand ligt op een hoogte van ongeveer 16 m. Uiteindelijk zal de

cabine op die hoogte tot stilstand komen (maar dat duurt wel erg lang).

e Welke twee krachten zijn op die hoogte in evenwicht?

f Hoe komt het dat het deel onder de evenwichtsstand veel korter duurt dan

het deel boven de evenwichtsstand? Van welke kracht is de invloed hier heel

groot?

g Is het deel onder de evenwichtsstand een beweging waarbij de nettokracht

constant is? Leg uit.

evenwichtsstand

bungeekoord niet gespannen: vrije vlucht

20 Toepassing: demping bij een auto

Om een beetje soepel over een hobbelige weg te rijden heeft een auto

schokbrekers die zorgen voor demping en vering. De metalen spiraalveren

leveren de veerkracht, de olie binnen de cilinders zorgt voor demping. Hierbij

spelen dezelfde drie krachten een rol: zwaartekracht, veerkracht en wrijving.

a Leg uit dat bij een auto de wrijving een veel grotere invloed heeft op de

beweging dan bij de Bungee Catapult. Hoe zou de auto na een hobbel

bewegen als de wrijving heel klein zou zijn?

Naast de schokbrekers is ook de massa van de auto belangrijk voor het gedrag

op de weg.

b Hoe verandert de beweging van een auto na een hobbel als de auto heel

zwaar beladen is?

Het computermodel „autodemping‟ is gemaakt om te onderzoeken wat er

gebeurt als een auto over een hobbel rijdt of door een kuil gaat. In het model zijn

de massa van de auto, de veerkracht van de vering en de demping (wrijving) van

de schokbrekers opgenomen.

c Open het model „Autodemping‟ en laat het model lopen. Het model rijdt één

keer over een drempel. Daarna kun je zelf een kuil of een hobbel nabootsen

door de auto op te pakken en omhoog of omlaag te bewegen.

d Onderzoek wat er gebeurt als je de auto door kuilen en over hobbels laat

gaan.

e Vind je dat de schokbreking van de auto goed werkt? Is de demping te slap

of te sterk? Leg uit.

Bij schokbrekers is het erg belangrijk dat de massa, de vering en de demping

goed op elkaar zijn afgesteld. Dat wordt kritische demping genoemd. Het model

start met de volgende waarden: massa = 1200 kg, vering = 8000 N/m en

demping = 3000 N/(m/s).

f Verander de demping totdat de auto zonder te „deinen‟ over de drempel gaat.

Bij welke waarde wordt de demping (ongeveer) kritisch?

EXTRA: Als een auto zeer zwaar beladen wordt dan verandert het rijgedrag van

de auto. Eigenlijk moeten vering en demping opnieuw worden afgesteld.

g Verdubbel de massa van de auto. Pas daarna de vering en demping aan zodat

de auto op dezelfde manier reageert als bij de vorige vraag (geen deining en

een even korte reactietijd).

Figuur 37 – Schokbrekers combineren vering en demping.

Figuur 38 – De auto deint na de

hobbel nog even na.

Figuur 39 – Startwaarden in het

model.

28

21 Toepassing: Demping bij bruggen

Ook bij bruggen spelen de zwaartekracht, de veerkracht en de demping een rol.

Daarnaast is er nog sprake van andere krachten zoals de kracht van de wind of

van het verkeer dat over de brug rijdt. Zo bleek al vrij snel na het in gebruik

nemen van de nieuwe Erasmusbrug over de Maas in Rotterdam dat er iets mis

was. Onder bepaalde weersomstandigheden raakten de tuikabels van de brug

sterker dan verwacht in trilling. Alle schokdempers moesten worden vervangen.

Figuur 40 – De Erasmusbrug in Rotterdam en het vervangen van de schokdempers.

De trillingen zijn te vergelijken met het klapperen van een touwtje tegen een

vlaggenmast. In theorie is dat te voorkomen door de massa, de veerkracht of de

wrijving aan te passen.

a Leg uit waarom het bij de Erasmusbrug niet goed mogelijk om de massa of

de veerkracht aan te passen.

Een beroemd voorbeeld van resonantie bij een brug is de Tacoma Narrows

Bridge, een hangbrug met een lengte van maar liefst 1,6 km lengte in de

Verenigde Staten. Het was op dat moment de derde langste brug van de wereld.

De eerste versie van de brug stortte op 7 november 1940, kort na de voltooiing,

op spectaculaire wijze in door trillingen die werden veroorzaakt door de wind.

Figuur 33 – De Tacoma Narrows Bridge, een lange en smalle hangbrug.

b Bekijk het filmpje (te vinden op internet) en leg in je eigen woorden uit

waardoor de brug kon instorten door de wind.

De Tacoma Narrows Bridge is een klassieke hangbrug. De betonnen constructie

met daarop het relatief slappe wegdek hangt met verticale tuien aan dikke kabels

die in een boog tussen de pilaren aan de zijkanten gespannen zijn. Na het

instorten van de brug is een nieuwe versie gebouwd die veel beter tegen invloed

van de wind bestand was.

c Wat zou men aan het ontwerp hebben kunnen veranderen om de brug beter

bestand te maken tegen de invloed van de wind? Noem meerdere factoren en

beschrijf hoe die aanpassing werkt.

Hoe pak je een vraag met meerdere krachten aan?

A. Welke krachten werken er in deze situatie?

B. Wat weet je van de grootte, de richting en het aangrijpingspunt van de krachten?

C. Als alle krachten bekend zijn, dan kun je de som van de krachten bepalen.

EXTRA: Een computermodel voor de beweging van de brug

De beweging van de brug is een goed voorbeeld van resonantie: een gedempte trilling die door een aandrijvende kracht een steeds grotere amplitude krijgt.

Figuur 34 – De trilling van het wegdek wordt in het model weergegeven door een balk.

d Open het model „Resonantie Tacoma brug‟. Laat het model lopen. Beschrijf

wat je ziet gebeuren.

Er zijn in het model geschaalde waardes gebruikt, onder andere omdat het

anders uren kan duren voordat de brug in beweging komt:

m = 100 kg C = 100 N/m dempingfactor k = 1 N/(m/s)

windkracht Fmax = 1 N windfrequentie f = 0,10 Hz.

De brug is voor de stellen als een massa van 100 kg die hangt aan een veer met

een veerconstante van 100 N/m. Voor de trillingstijd geldt:

2πm

TC

e Ga met een berekening na dat de trillingstijd van de brug 6,3 s is.

f Onderzoek met het model wat er gebeurt als de wind blaast met een

frequentie die past bij deze trillingstijd.

De frequentie van de wind is niet constant, maar varieert van 0,5 Hz tot 30 Hz.

g Ga met het model na hoe je de brug veilig kunt maken.

Figuur 36 – Startwaarden in het

model.

Figuur 35 – De massa en de

veerconstante bepalen de

trillingstijd van een massa-veersysteem.

Oefenopgaven

Na dit onderdeel moet je

de volgende vragen

kunnen maken:

Begripstest 59

Oefenopgave 13

30

6 Dynamische Modellen

Oefenles: werken met Powersim

Wat gaan we doen?

Een dynamisch model is een beschrijving van een proces van veranderingen.

Een model gaat meestal uit van een bestaande situatie, een tijdstap en een

veranderingsproces. Bewegingen van voorwerpen onder invloed van

krachten zijn dan ook goed met een dynamisch model te beschrijven.

Hoe bouw je een model met het programma Powersim?

Oefenen met Powersim

In deze paragraaf wordt gebruik gemaakt van het programma PowerSim om

dynamische modellen te bouwen. Andere programma‟s zoals Coach6 zijn ook

geschikt voor het bouwen van modellen. Deze les leent zich ook voor een

klassikale demonstratie door de docent.

Voorbeeld van een model

Een voorbeeld van een dynamisch model is de beschrijving van een

griepepidemie. In het model voor griepepidemie wordt de toestand beschreven

met verschillende groepen mensen die gezond, ziek of immuun zien. Het aantal

mensen in een groep verandert door genezing of besmetting. Het model rekent

dus met aantallen mensen. Het bijbehorende modelplaatje zag er zo uit:

gezond

besmetti ngsfactor

imm uunziek

besmetti ng genezing

ziekteduur

Figuur 3.1 Model griepepidemie 2

De kern van zo‟n model bestaat uit rechthoeken en stroompijlen. De

rechthoeken zijn de toestandsvariabelen, zij beschrijven de bestaande situatie.

De stroompijlen geven aan hoeveel er per stap verschuift. In dit model wordt de

(begin)situatie weergegeven door drie rechthoeken. De rechthoek „ziek‟ kun je

opvatten als een voorraadvat waarin op ieder moment een aantal mensen zit.

De veranderingen in het model worden weergegeven door stroompijlen. De

stroompijl „besmetting‟ geeft aan hoeveel mensen er per tijdseenheid in het vat

naar binnen „stromen‟. De stroompijl „genezing‟ wijst het vat uit en geeft aan

hoeveel mensen er per tijdseenheid uitstromen.

Daarnaast zie je in zo‟n model constante factoren (een ruit), rekenvariabelen

(een cirkel) en relatiepijlen. Een rekenvariabelen bevat een formule waarmee

bijvoorbeeld het aantal besmettingen berekend kan worden. De relatiepijlen

geven aan welke variabelen invloed hebben op die formule.

Voor de computer maakt het niets uit dat dit model over griep gaat. Een vergelijkbaar modelplaatje zou je ook kunnen tekenen voor de hoeveelheid geld

in je portemonnee, de hoeveelheid lading op een condensator, de hoeveelheid

warmte in een huis, of zelfs de snelheid van een fiets.

Figuur 3.2 – Verschillende voorbeelden

van Powersimmodellen

NLT-module

Het lesmateriaal bij het

onderwerp dynamische

modellen vormt een

onderdeel van de NLT-

module Dynamische

Modellen VWO.

inkomsten uitgaven

warmteverli eswarmteinstroom

warmte_in_hui s

geld_in_portemonnee

22 Een model van de snelheid van een fiets

Het onderstaande modelplaatje gaat over de snelheid van een fiets. De toename

van de snelheid hangt af van hoe hard je trapt en van de massa.

snelheid

toename afname

trapkracht massa variabele1 variabele2

Figuur 3.3 – Powersimmodellen snelheden fiets

a Hoe noem je in deze situatie „wat er per tijdseenheid bijkomt of vanaf gaat‟?

b Bij de afname van de snelheid zijn twee variabelen getekend die invloed

hebben op de afname. Welke variabelen zouden dat kunnen zijn?

De stroompijl afname wijst naar een wolkje. Dat betekent dat als de snelheid

afneemt die afname niet ergens anders heen gaat maar in het „niets‟ verdwijnt.

Ook de toename van de snelheid komt uit het „niets‟.

23 Een emmer vullen

Het rekenen door bij te houden wat er bij komt en wat er af gaat, is de kern van

systeemdynamisch modelleren. Hoewel het wiskundig niet uitmaakt waar het

model over gaat, is het handig een situatie te kiezen die jij je goed kunt

voorstellen. In dit hoofdstuk modelleren we daarom het stromen van water in

allerlei situaties.

Als je een lege emmer van 10 liter onder een stromende kraan zet loopt hij vol,

en je kunt bij gegeven instroom makkelijk uitrekenen hoeveel water er op

tijdstip t in de emmer zit.

Bij een normale kraan stroomt er 9,0 liter water per minuut uit de kraan.

a Hoeveel liter water stroomt er dan per seconde uit de kraan?

b Schets de hoeveelheid water V in de emmer als functie van de tijd.

c Welke betekenis heeft de helling van de grafiek die je getekend hebt?

Figuur 3.4 - Emmer onder de

kraan.

32

24 Een lekkende emmer vullen

Als de emmer lek is wordt het een ander verhaal. De instroom uit de kraan is

constant, maar de uitstroom niet. Hoe voller de emmer wordt, des te groter

wordt de uitstroom. Stel je de situatie voor dat er in de bodem van de emmer een

klein rond gaatje zit. En dat er een constante stroom water uit de kraan komt.

a Hoe verandert dan de hoeveelheid water in de emmer in de loop van de tijd?

Het antwoord hangt natuurlijk af van hoe hard de kraan staat en hoe groot

het gaatje is. Schets in een grafiek enkele mogelijke uitkomsten.

Figuur - Grafiek vol lopen van een lekkende emmer.

b Hoe loopt de emmer leeg als bij een volle emmer de kraan dichtgedraaid

wordt? Schets een grafiek in hetzelfde diagram, begin bij 10 liter.

c Als het goed is heb je in deze grafiek gebogen lijnen getekend en bij de

vorige vraag een rechte lijn (tot de emmer overstroomt). Verklaar het

verschil.

Een formule voor de uitstroom

Je hebt nu globaal geschetst hoe het waterpeil in het emmertje verloopt. Om een

model te bouwen heb je een formule voor de uitstroom nodig. De uitstroom kun

je door meting bepalen. Voor deze emmer is dat:

uitstroom = gatr V20,19 ,

met uitstroom in liter/s, rgat in cm en V in liter.

25 Een model bouwen in Powersim

Bij het bouwen van een computermodel in Powersim teken je eerst het

modelplaatje, dan vul je de formules in en tenslotte laat je het model

doorrekenen. Je ziet dan vanzelf de gezochte uitkomsten verschijnen.

Het plaatje van het model dat je gaat bouwen, ziet er als volgt uit:

Figuur 3.8

a Start Powersim.

Het middelpunt van het model is de emmer, of beter gezegd, de hoeveelheid

water in de emmer. Die teken je eerst:

Powersim

Het programma Powersim

(Constructor Lite) is

freeware en is te vinden op

het internet. Er zijn ook

vergelijkbare programma‟s

zoals Coach6

b Klik op en klik op het witte veld waar je de

voorraadgrootheid wilt plaatsen. Je ziet:

Als je nu de gewenste naam typt verschijnt die in plaats van „Level_1‟. In iedere

variabele die je toevoegt zal een vraagtekentje te zien zijn. Dit geeft aan dat je

daar later nog een waarde of een formule moet invullen.

c Noteer de naam water_in_emmer bij de voorraadgrootheid.

De hoeveelheid water kan alleen veranderen door een instroom, of een

uitstroom, dus de volgende stap is het toevoegen van een stroompijl. We

beginnen met de instroom.

d Selecteer de stroompijl en trek een pijl vanuit het „niets‟ naar de

voorraadgrootheid. De voorraadgrootheid kleurt nu zwart. Laat de muisknop

los.

Figuur 3.10

e Geef de instroomvariabele de naam instroom.

Je model ziet er nu zo uit:

Figuur 3.11

Je ziet nu twee vraagtekens. Als je op beide plaatsen een getal invult dan heb je

een eerste werkend model. Bij water_in_emmer moet het model een

beginhoeveelheid weten om van daar uit verder te rekenen.

f Dubbelklik op „water_in_emmer‟ en type in het vak „definition‟ een

redelijke beginwaarde (in liter). Noteer de waarde die je gebruikt.

g Dubbelklik nu op „instroom‟ en vul weer een redelijke waarde in (in liter/s).

Het model is nu klaar. Om de resultaten te bekijken is een grafiek handig.

h Selecteer de button voor een tijd-diagram en plaats deze binnen het

witte gebied op de plaats waar je de grafiek wilt hebben.

i Sleep daarna de voorraadgrootheid „water_in_emmer‟ in de grafiek. Deze

grootheid wordt automatisch langs de verticale as geplaatst, langs de

horizontale as zie je de tijd.

j Je model is klaar. Je kunt de startknop klikken om het model te laten

doorrekenen.

Als het goed is, zie je zoiets:

Figuur 3.13

Dit is aardig realistisch, behalve dat in werkelijkheid de emmer bij 10 liter vol

is. Je kunt dit corrigeren door verfijningen in te bouwen. Je kunt ook gedurende

het modelleren bedenken dat het model alleen bruikbaar is, zolang de emmer

niet overstroomt.

Figuur 3.9 – De menubalk van

Powersim met onderaan de

buttons om het model te bouwen.

Fig. 3.12 - Buttons voor

o.a. tabel, tijd-diagram en grafiek in de menubalk

34

26 Een gat in het model

Het wordt interessanter als je ook de uitstroom modelleert.

a Bouw daarvoor je model uit tot het onderstaande plaatje.

b Vul voor r_gat de waarde 0,5 in.

Figuur 3.14

De uitstroom heeft geen vaste waarde, de uitstroom wordt gegeven door de

formule

Vruitstroom gat219,0

Om de uitstroom te berekenen heeft Powersim de waarde van water_in_emmer

en van r_gat nodig. Dat geef je in het model aan met relatiepijlen.

c Trek relatiepijlen van water_in_emmer en van r_gat naar uitstroom (zie

figuur)

Figuur 3.15

Om voor de uitstroom de juiste formule in te vullen ga je als volgt te werk:

d Dubbelklik op uitstroom, de editor wordt geopend.

e In het vakje „Linked Variables‟ zie je de variabelen die je mag gebruiken in

je formule. Door dubbelklikken kun je deze kopiëren naar het definition-vak

maar je kunt ook gewoon typen.

f Vul in het definition-vak de gegeven formule in. Powersim gebruikt voor het

wortelteken de afkorting sqrt (square root, ofwel de vierkantswortel)

0.19*r_gat^2*sqrt(water_in_emmer)

g Heeft het model na 100 seconde een evenwicht bereikt?

h Sla dit model op. Je gaat het in de volgende paragraaf weer gebruiken.

27 De resultaten van het model

Om de resultaten van het model nauwkeurig te bekijken is een tabel handig.

a Selecteer de button voor een tabel en plaats deze in het witte vlak op de

plaats waar je de tabel wilt hebben.

b Sleep zowel de voorraadgrootheid „water_in_emmer‟ als de variabel

„uitstroom‟ in de tabel.

c Kies voor de instroom de waarde 0.02 en laat het model lopen.

d Hoeveel water zit er na 100 seconde in de emmer? Is er dan evenwicht?

In Powersimformules gebruik je als

decimaalteken een punt!

Fig. 3.16 – De waarde van de

voorraadgrootheid is aan de

bovenkant zichtbaar. In het

blokje is een mini-grafiek getekend.

Na verloop van tijd ontstaat er evenwicht. De hoeveelheid water in de emmer

hangt natuurlijk af van de instroom uit de kraan.

e Onderzoek voor verschillende waarde van de

instroom welk evenwicht bereikt wordt. Noteer de

antwoorden in de tabel.

f Schets het verband (globaal) in een grafiek

g Wat voor soort verband (of soort evenredigheid) is er tussen het evenwicht

en de instroom?

28 Een leeglopende emmer

In deze opgave kijken we naar de situatie waarbij de kraan dicht is en de emmer

leegstroomt. Gebruik je model om antwoord te vinden op de volgende vragen:

a Draai de kraan dicht. Hoe lang duurt het voordat een volle emmer helemaal

leeg is?

De leeglooptijd hangt af van de hoeveelheid water aan het begin.

b Onderzoek voor verschillende waarde van de

beginhoeveelheid hoe groot de leeglooptijd is.

Noteer de antwoorden in de tabel.

c Teken globaal een grafiek.

d Is de leeglooptijd evenredig met de hoeveelheid water? Zo ja, laat dat zien.

Zo nee, welk verband is er dan wel?

instroom

(liter/s)

evenwicht

(liter)

0,02

0,05

0,10

0,15

0,20

1. De tijd in het model aanpassen

2. Als er na 100 seconde nog geen evenwicht is, kun je

het model langer laten

doorrekenen: kies in het

menu: Simulate voor

Simulation setup.

3. Vul bij Stop time de gewenste eindtijd in.

hoeveelheid

(liter)

leeglooptijd

(s)

10

5

2

1

0,5

36

7 Dynamische Modellen

Een model bouwen voor bewegingen

Wat gaan we doen?

Bij het beschrijven van bewegingen staan de begrippen kracht, versnelling

en snelheidsverandering centraal. Omdat die begrippen in élke beweging

dezelfde rol spelen ligt het voor de hand om een algemeen model voor

bewegingen te maken dat in elke situatie bruikbaar is. Het startprobleem

(neerkomende kogels) wordt gebruikt om een algemeen model te vinden.

Hoe bouw je een algemeen model voor bewegingen op?

Hoe kun je met het model bewegingen onderzoeken?

Modellen van bewegingen

Bij het onderwerp bewegingen en krachten zijn veel situaties te vinden waarbij

een model gebruikt wordt om voorspellingen te doen of om verbeteringen aan te

brengen. Enkele voorbeelden van dit soort situaties:

- de lancering van raketten

- een flight-simulator voor het trainen van piloten

- de invloed van luchtwrijving en gewichtbesparing bij wielrennen

Om een algemeen geldend computermodel voor bewegingen op te stellen maken

we gebruik van een probleem uit een praktijksituatie.

29 Praktijksituatie: Neerkomende kogels

Iemand plaatste op internet de volgende vraag:

Bespreek de Knagende Vraag in je groep. Noteer daarbij zoveel mogelijk

verklaringen, oorzaken of vragen.

Om tot een antwoord te komen, kijken we eerst naar de beweging van de kogel.

Daarbij komen vragen naar voren als “Hoe hard komt een kogel uit een

pistool?”, “Met welke snelheid komt de kogel op de grond?”, “Hoe hoog komt

de kogel?” en “Hoe lang is de kogel in de lucht?”. En je gaat deze beantwoorden

met behulp van een model.

Vreugdeschoten

Bij vreugdevolle gebeurtenissen schieten mensen soms met een

pistool in de lucht ten overstaan van een grote menigte. Waarom

raakt er nooit iemand gewond als de kogel weer naar beneden

valt?

Bron: www.intermediar.nl rubriek Knagende vragen

Figuur 5.7 Vreugdeschot

NLT-module

Het lesmateriaal is een

onderdeel van de module

Dynamische Modellen.

http://www.intermediar.nl/

Plan van aanpak

We kijken naar de situatie dat de kogel recht omhoog geschoten wordt. Daarbij

werken twee krachten: de zwaartekracht en de luchtwrijving. De beweging

bestaat uit twee delen: omhoog en omlaag.

Het plan van aanpak bestaat uit:

Een model bouwen voor een situatie zonder luchtwrijving. De zwaartekracht

zorgt dan voor het afnemen en toenemen van de snelheid.

Het model uitbreiden voor de hoogte van de kogel.

De luchtwrijving toevoegen aan het model.

30 Uitvoering: Een eenvoudig model

Als eerste wordt een eenvoudig model opgesteld dat later uitgebreid wordt. Voor

het eenvoudige model beginnen we met twee aannames:

Er is geen luchtwrijving.

De kogel wordt verticaal omhoog geschoten.

Met deze twee aannames wordt de beweging van de kogel een rechtlijnige

beweging met slechts één kracht: de zwaartekracht.

a Wat voor soort beweging is de beweging omhoog van de kogel?

b Wat voor soort beweging is de beweging omlaag van de kogel?

In figuur 23 is het eenvoudige model voor een versnelde beweging

weergegeven. Een constante kracht F werkt op een massa m die daardoor een

versnelling a krijgt. De versnelling zorgt ervoor dat de snelheid v verandert.

NLT- Dynamische modellenVersnelde Beweging 1

?

snelheid_v?

versnelli ng_a

?

kracht_F

?

massa_m

Figuur 23 – Een model voor snelheid en versnelling

In het model in figuur 5.8 is de versnelling de instroom bij de snelheid.

c Lees in het kader wat de betekenis van een instroompijl is en leg in je eigen

woorden uit waarom de versnelling de instroom van de snelheid is.

d Is het model in figuur 5.8 geschikt voor de beweging omhoog, de beweging

omlaag, of voor beide bewegingen? Leg uit.

Instroompijl

De waarde van de

instroompijl versnelling geeft aan hoeveel de

variabele snelheid per

tijdseenheid toeneemt. Als

de waarde van de

instroompijl negatief is

dan neemt de snelheid af.

38

Positief of negatief

Een vertraagde beweging omhoog is een beweging met een positieve snelheid

en een negatieve versnelling. De snelheid neemt dan af.

Na het hoogste punt wordt de snelheid negatief. Omdat de versnelling negatief

blijft wordt de snelheid steeds meer groter negatief. Het voorwerp heeft een

steeds grotere snelheid omlaag.

Om het model goed te laten werken moet bij elke kracht, snelheid, versnelling of

positie nagegaan worden of de waarde positief of negatief is. Meestal wordt

omhoog als positief gezien, naar beneden als negatief.

31 Omhoog en omlaag

Om het model in twee richtingen te laten werken is het nodig om een positieve

en een negatieve richting te kiezen. In dit soort situaties wordt omhoog als

positief gezien, naar beneden als negatief.

a Welke van de vier vakjes in het model van figuur 23 heeft, in het geval van

de kogel die omhoog geschoten wordt, aan het begin een negatieve waarde?

In figuur 24 vind je enkele gegevens over het pistool dat door de Nederlandse

politie gebruikt wordt.

b Welke van de vier modelvariabelen uit figuur 23 zijn met deze gegevens te

bepalen? Noteer de gegevens.

c Met welke formule bereken je de zwaartekracht?

d Is de zwaartekracht positief of negatief?

Open het model Versnelde Beweging 1. Dit model is het begin van een model

voor een versnelde beweging.

32 Model Versnelde Beweging

Model Versnelde Beweging 1 gaat alleen over snelheid en versnelling. De

versnelling a hangt af van de kracht F en de massa m: F = m a .

a Welke formule moet je nu in het model invullen om de versnelling a te berekenen?

De enige kracht in dit model is de zwaartekracht. In plaats van steeds de waarde

uitrekenen, kun je deze ook laten berekenen met een formule.

b Trek een relatiepijl van massa naar kracht en noteer de formule waarmee je de zwaartekracht kunt berekenen uit de massa in het model. Denk aan de

negatieve waarde voor de zwaartekracht!

c Kies de massa en de beginsnelheid van de kogel van een Walther P5 (zie

figuur 5.8). Laat het model lopen.

Figuur 24 – Een Walther P5

kaliber kogel 9 mm

frontaal oppervlak 6,4 10-5 m²

massa 9 gram

afschietsnelheid 350 m/s

cw-waarde 0,2 à 0,3

luchtdichtheid 1,3 kg/m³

33 Na het hoogste punt

De snelheid van de kogel neemt af naarmate de kogel hoger komt. Zodra de

kogel weer naar beneden komt neemt de snelheid weer toe. De snelheid wordt

dan negatief.

a Breid het model uit met een grafiek van de snelheid en teken de grafiek.

Tim e

sne

lhe

id_

v

0 10 20 30 40 50 60 70

-300

-200

-100

0

100

200

300

Figuur 25 – Snelheid-tijd-diagram van de kogel

b Klopt de grafiek met je verwachtingen? Noteer wat wel en niet overeenkomt.

Op een gegeven moment wordt de snelheid van de kogel nul.

c Bepaal zo nauwkeurig mogelijk op welk tijdstip de snelheid nul wordt.

d Wat betekent dat voor de beweging van de kogel?

e Maak met behulp van de grafiek een schatting van de tijd die de kogel

onderweg is van het afvuren tot het hoogste punt.

f Maak met behulp van de grafiek van de snelheid een schatting van de hoogte

die de kogel bereikt.

34 Het model uitbreiden

Het model Versnelde Beweging 1 gaat alleen over snelheid en versnelling. In de

eerste uitbreiding van het model wordt de hoogte die de kogel bereikt

opgenomen. Tijdens het vallen wordt de snelheid van het voorwerp steeds

groter, en de afstand die het voorwerp binnen één seconde aflegt wordt dus ook

steeds groter.

a Voeg een niveauvariabele hoogte_h toe en vul de beginwaarde in.

b Teken een instroompijl bij de hoogte, en zorg dat de waarde van de instroom

gelijk is aan de snelheid.

c Leg in je eigen woorden uit waarom de instroom van de afstand de snelheid

moet zijn. Gebruik in je uitleg het begrip tijdstap of de formule voor Δs.

Wiskunde D Dynamische modellenVersnelde Beweging en afstand

snelheid_v

versnelli ng_a

kracht_Fmassa_m

?

hoogte_h

Figuur 26 - Model met snelheid

en afstand

40

Met het uitgebreide model is het mogelijk om een grafiek van de hoogte van de

kogel te tekenen.

Tim e

ho

og

te_

h0 10 20 30 40 50 60 70

0

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

Figuur 27 – Hoogte-tijd-diagram van de kogel

d Laat het model een grafiek tekenen van de hoogte. Neem het resultaat over

in figuur 27.

e Hoe hoog komt de kogel? Klopt je antwoord met de voorspelling?

f Controleer of de tijdstap van het model klein genoeg is om de maximale

hoogte nauwkeurig te bepalen.

g Sla het model op als Versnelde Beweging 2.

35 De invloed van de luchtwrijving

Het eenvoudige model van het pistoolschot gaat uit van een beweging zonder

luchtwrijving, in de praktijk zal de luchtwrijving wel degelijk invloed hebben.

Voordat het model uitgebreid wordt stellen we een voorspelling op.

a Zal de kogel in werkelijkheid hoger of minder hoog komen dan in het

eenvoudige model?

b Zal de kogel in werkelijkheid korter of langer in de lucht zijn dan in het

eenvoudige model?

c Zal de kogel in werkelijkheid met een hogere of lagere snelheid op de grond

komen dan in het eenvoudige model?

d Schets in de grafieken van de snelheid en de afstand een voorspelling van de

beweging met luchtwrijving.

36 Luchtwrijving

Voor de luchtwrijving van een kogel geldt: 2

21

, vAcF wlw

a Bereken met de formule de grootte van de luchtwrijving van de kogel van de

Walther P5 direct na het verlaten van de loop.

Figuur 28 - Een Walther P5

kaliber kogel 9 mm

frontaal oppervlak 6,4 10-5 m²

massa 9 gram

afschietsnelheid 350 m/s

cw-waarde 0,2

luchtdichtheid 1,3 kg/m³

b Breid het model uit met een rekenvariabele F_lucht.

c Breid het model uit met drie constanten: cw_waarde, oppervlak_A en luchtdichtheid.

d Trek alle benodigde relatiepijlen, denk ook aan de snelheid.

e Hoe moet de formule voor de versnelling aangepast worden?

37 Positieve en negatieve luchtwrijving

De luchtwrijving heeft ook een richting. Als de kogel omhoog beweegt dan is de luchtwrijving negatief. Omgekeerd moet de luchtwrijving positief zijn als de

kogel omlaag beweegt. Lees het bovenstaande kader over het IF-statment.

a Leg uit dat met deze formule de luchtwrijving negatief is als de kogel

omhoog gaat, en positief als de kogel naar beneden gaat.

b Noteer de formule voor Flucht in het model.

c Laat het model lopen en teken grafieken voor de hoogte en voor de snelheid.

Pas indien nodig de assen aan en schets de grafieken in figuur 29.

Figuur 29 – Snelheid-tijd-diagram en hoogte-tijd-diagram van de kogel met luchtwrijving

d Welke maximale hoogte bereikt de kogel?

IF-statement gebruiken

De luchtwrijving heeft ook een richting. Als de kogel omhoog beweegt dan is

de luchtwrijving naar beneden gericht (negatief). Omgekeerd moet de

luchtwrijving positief zijn als de kogel omlaag beweegt.

In de formule wordt het kwadraat van de snelheid gebruikt. De uitkomst is

dus altijd negatief! In het model kan de luchtwrijving op een juiste manier ingevoerd worden met de onderstaande formule voor de luchtwrijving:

IF( v>0 , -0,5*cw*A*ρ*v^2 , 0,5*cw*A*ρ*v^2)

Het IF-statement betekent dat als de voorwaarde ( v>0) klopt de eerste

formule wordt gebruikt. Als de voorwaarde niet klopt wordt de tweede

formule gebruikt.

Tim e

sne

lhe

id_

v

0 5 10 15 20 25 30 35

-100

0

100

200

300

Tim e

hoo

gte

_h

0 5 10 15 20 25 30 35

0

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

42

e Hoe lang is de kogel onderweg?

f Met welke snelheid bereikt de kogel de grond?

g Sla het model op als KOGEL1.

38 Evaluatie: Resultaten van het model

Het model voor de kogel lijkt realistisch. Kan de Knagende Vraag over het

vreugdevuur hiermee beantwoord worden?

Geef antwoord op de onderstaande vragen met behulp van de resultaten van je

model èn de informatie in de bron „Losse flodders of dodelijke schoten‟.

a Kan een neervallende kogel dodelijk zijn? Licht toe.

b Is een kogel lang genoeg in de lucht om met de wind meegenomen te

worden? Licht toe.

c Maak een afweging naar aanleiding van de vraag:

Is het vreugdevuur nu wel of niet gevaarlijk?

Losse flodders of dodelijke schoten?

Knagende vraag: Vreugdeschoten

Bij vreugdevolle gebeurtenissen schieten

mensen soms met een pistool in de lucht ten overstaan van een grote menigte.

Waarom raakt er nooit iemand gewond als de kogel weer naar beneden valt?

Antwoord R. Kollerie, Arnhem:

Als deze pistoolschoten of zelfs machinegeweersalvo's afgevuurd worden met echte kogels, vallen soms wel degelijk doden. Tijdens de onrusten in Albanië waren er waarnemers die hun verontrusting uitspraken over het aantal doden en gewonden dat op deze manier werd veroorzaakt.

Antwoord Nico Verschuren, Amsterdam:

Een verticaal afgevuurde kogel kan een grote hoogte bereiken. Afhankelijk van het type, komt het

projectiel tot duizend à 2.500 meter boven de grond. Het duurt daarbij soms meer dan een minuut voordat de kogel weer terugkeert op aarde. Al die tijd is de kogel ten prooi aan zijwind. Zelfs een kogel die recht omhoog wordt afgevuurd, krijgt daardoor meestal een behoorlijke horizontale snelheid. Daardoor is de kans gering dat de kogel neerkomt binnen een straal van honderd meter van de schutter.

Antwoord Peter Kooistra, Amsterdam:

Aan het begin van de vorige eeuw werd dit door verschillende kogelexperts gemeten, meldt Peter. De 7,6 mm kaliber kogels deden er bijna twintig seconden over om een hoogte te bereiken van ruim 2,5 km. Daarna deden ze er meer dan dertig seconden over om weer neer te komen in het meer, met een snelheid van honderd meter per seconde. Hoe dodelijk is zo'n kogel? Kooistra: 'Bij zo'n vijftig meter per seconde dringt de kogel door de huid. De inslag van zo'n kogel kan dus soms dodelijk te zijn'

Bron: www.intermediair.nl

8 Dynamische Modellen

Het algemeen model gebruiken

Wat gaan we doen?

In de vorige les is aan de hand van een praktijksituatie (vallende kogels) een

model ontwikkeld waarmee alle bewegingen die langs een rechte lijn

verlopen onderzocht kunnen worden.

Hoe kun je met het model bewegingen onderzoeken?

Algemeen model van bewegingen

In het onderstaande figuur is het algemeen model voor bewegingen

weergegeven. In dit model zijn, naast snelheid, versnelling en afstand, drie

krachten opgenomen die samen een totale kracht of resultante leveren. Het

model is gemaakt voor bewegingen langs een rechte lijn. NLT - Dynamische modellenAlgemeen model bewegingen

total e_kracht_F

?

kracht_F3

?

kracht_F1

?

kracht_F2

versnelli ng_a

verplaatsing

snelheid_v

?

massa_m

afstand_s

Figuur 30 – Een algemeen model voor bewegingen en krachten

39 Het algemeen model

Het model in figuur 30 lijkt veel op het laatste model van de verticale baan van

de kogel. Er zijn ook verschillen.

a Vergelijk het algemene model met het model van de kogel. Welke

verschillen zie je?

b Dit model kun je ook gebruiken voor de remweg van een auto. Hoe zorg je

dat de snelheid van de auto afneemt?

NLT-module

Het lesmateriaal is een

onderdeel van de module

Dynamische Modellen.

44

Toepassing algemeen model: Schaatsen

De eerste toepassing van het algemeen model gaat over schaatsen. Het ijsstadion

van Calgary is een zogenaamde „hooglandbaan‟ waar de luchtwrijving op een

schaatser relatief klein is.

Topsprinters beweren dat je in Calgary na de sprint wel een volle ronde van 400

m kunt doorglijden. Klopt deze bewering?

Om dit te onderzoekenzetten we eerst op een rij welke krachten er werken. De

twee krachten op een uitglijdende schaatser zijn de glijwrijving Fw,g (tussen de schaatsen en het ijs) en de luchtwrijving Fw,l (op het lichaam). De glijwrijving

Fw,g op de schaatser wordt gegeven door de volgende formule:

gmcFcF gnggw,

Hierin is cg de glijwrijvingscoëfficiënt, Fn de normaalkracht (van het ijs op de

schaatser), m de massa van de schaatser, en g de zwaartekrachtconstante (9,8

N/kg). Uit deze formule blijkt dat de glijwrijving tijdens het uitglijden constant

is.

Voor de luchtwrijving Fw,l op de schaatser geldt de volgende formule:

221

, vAcF wlw

Hierin is cw de luchtwrijvingscoëfficiënt (stroomlijnfactor), A de frontale

oppervlakte van de schaatser, de luchtdichtheid en v de snelheid van de schaatser. Uit deze formule blijkt dat de luchtwrijving tijdens het uitglijden niet

constant is.

40 Oriëntatie op het schaatsmodel

Naast de benodigde formules heb je een groot aantal gegevens nodig van

grootheden die in de berekeningen gebruikt worden.

a Stel een lijst op van alle grootheden waarvan de waarde voor dit probleem

van belang is. Noteer het symbool van de grootheid met de bijbehorende

eenheid (voor bijvoorbeeld de massa is dat: m in kg).

Als eerste moet je weten met welke snelheid de schaatser de finishlijn passeert.

Lees daarvoor het krantenartikel „ Snelste rondje aller tijden‟.

b Geef op basis van het artikel een redelijke schatting van de snelheid van een

topschaatser bij het passeren van de finishlijn.

Twee andere benodigde gegevens zijn de glijwrijvingscoëfficiënt cg en de massa m van de schaatser: cg = 0,0034 en m = 75 kg.

c Bereken de grootte van de glijwrijving Fw,g .

Voor de luchtwrijving gaat het om de luchtwrijvingscoëfficiënt cw en het

frontaal oppervlak A van de schaatser, en om de dichtheid van de lucht: cw =

0,70, A = 0,60 m² en = 1,02 kg/m³. Daardoor geldt: Fw,l = 0,214 v².

d Bereken de grootte van de luchtwrijving Fw,l bij het passeren van de finishlijn.

Snelste rondje aller

tijden

Jeremy Wotherspoon

verbeterde het afgelopen

weekeinde in Salt Lake City

het meest onderschatte

schaatswereldrecord: dat van

de snelste volle ronde van

400 meter. Tijdens zijn

wereldrecordrace over 1000

meter (1.07,72) legde de

Canadees de afstand tussen

200 en 600 meter af in 24,71

seconden.

bron: Volkskrant, 3-12-2001

Figuur 31 - Het testen van de

luchtwrijving van een schaatspak gebeurt in een windtunnel

Figuur 31 – De Olympic Oval in

Calgary

45

Direct na het passeren van de finishlijn neemt de snelheid van de schaatser af.

e Bereken de nettokracht en de vertraging direct na de finishlijn.

f Schets in de grafiek van figuur 32 hoe je verwacht dat de snelheid van de

schaatser zal afnemen. Gebruik daarbij de gegevens die je hiervoor

berekend hebt en noteer getallen langs de assen.

0

0 t

v

Figuur 32 - Voorspelling van het (v,t)-diagram van een uitglijdende schaatser.

Met behulp van de grafiek kun je een voorspelling maken over het uitglijden van

de schaatser na het passeren van de finishlijn.

g Schat hoe lang het duurt voordat de schaatser stilstaat.

h Schat welke afstand de schaatser tijdens het uitglijden aflegt.

41 Een model voor schaatsen bouwen

Open het „ Algemeen model voor bewegingen‟. Je gaat dit model aanpassen

voor de schaatser na het passeren van de finishlijn.

a Plaats de luchtwrijving en de glijwrijving in het model. Gebruik voor elke

symbool in de formules een aparte variabele (een constante) in het model.

b Trek de benodigde relatiepijlen en vul het model met formules en getallen.

c Breid het model uit met een grafiek voor de snelheid en een grafiek voor de

afstand.

d Laat het model lopen. Welke afstand haalt de uitglijdende schaatser?

e Hoe lang duurt het totdat de schaatser stilstaat?

f Nadat de snelheid nul is geworden, gebeurt er iets vreemds in het model.

Wat gebeurt er eigenlijk? Hoe kan dat?

Oefenopgaven

Na dit onderdeel moet je

de volgende vragen

kunnen maken:

Begripstest 35

Oefenopgave 16, 17

46

9 Afsluiting

Terugblik, samenvatting en oefening

Wat gaan we doen?

In dit hoofdstuk hebben we gewerkt aan het beantwoorden van de tweede

hoofdvraag:

Hoe pas je de methode van Newton toe in praktijksituaties op het gebied van

de sport, het verkeer en technisch natuurwetenschappelijk onderzoek?

In deze paragraaf kijken we eerst in grote lijnen terug naar wat we in

hoofdstuk 1 en 2 gedaan hebben en naar het antwoord op de tweede

hoofdvraag. Daarna ga je alle nieuwe begrippen en formules op een rij

zetten, en zo samenvatten wat er is geleerd.

Terugblik en samenvatting

In dit hoofdstuk hebben we gekeken naar situaties waarin meerdere krachten

werken en waarbij de krachten niet altijd constant zijn. In hoofdstuk 1 ging het

vooral om de positie van een bewegend voorwerp. In hoofdstuk 2 is dat

uitgebreid met het verklaren van de snelheid en de snelheidsverandering van

zo‟n voorwerp. Daarbij kwam het begrip versnelling goed van pas. Volgens de

tweede wet van Newton is de versnelling recht evenredig met de nettokracht die

op het voorwerp werkt, en omgekeerd evenredig met de massa van dat

voorwerp.

Voor het geval dat de kracht constant is, leverde die aanpak formules op die de

beweging beschrijven. Dat is een beweging waarin de versnelling constant is.

Het gaat daarbij niet alleen om een beweging met toenemende snelheid, ook

gelijkmatig afremmen is een voorbeeld van zo‟n beweging.

Als de kracht niet constant is, zijn er geen eenvoudige formules om te beweging

te beschrijven. Wel blijft Newton‟s aanpak bruikbaar in computermodellen.

Toepassen van Newton‟s aanpak komt dus neer op: ga na welke krachten er zijn,

bepaal (bijvoorbeeld experimenteel) hoe groot ze zijn en pas dan de

constructiemethode en de twee wetten toe om de bewegingen te beschrijven,

verklaren en voorspellen.

Het ging in dit hoofdstuk alleen om bewegingen in een rechte lijn: vallen,

optrekken, afremmen, op en neer veren enzovoort. Daarmee is de basis gelegd

voor het aanpakken van meer complexe bewegingen.

Nieuwe begrippen in

deze paragraaf

Derde wet van Newton

Interactie

Actiekracht

Reactiekracht

47

Samenvatting

In het onderstaande schema‟s zijn de begrippenlijst en de fromulelijst uit

hoofdstuk 2 uitgebreid met begrippen en formules uit hoofdstuk 3. Ga na of je

goed begrijpt wat elk begrip betekent en geef een korte omschrijving van het

begrip in je eigen woorden. Noteer zo mogelijk ook eenheden en symbolen.

Begrippen Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…

Zwaartekracht

Normaalkracht

Luchtwrijving

Schuifwrijving

Veerkracht

Veerconstante

Nettokracht

Versnelling

Valversnelling

Snelheidsverandering

Gemiddelde snelheid

Remweg

Oppervlakmethode in het

v,t-diagram

Autogordel

Kreukelzone

48

Formules Betekenis symbolen, eenheden, situatie waarbij de formule gebruikt wordt

zF m g

w,s nF f F

nettoF m a

tav (of v

at

)

( )v t a t

21

2( )s t a t

tvs gem

1rem begin rem2

s v t

( )v t g t

21

2( )s t g t

21w,l w2

F c A v

vF C u

49

Begripstest

42 Als een voorwerp geen versnelling heeft, kun je dan zeggen dat er geen krachten

op dat voorwerp worden uitgeoefend? Leg uit waarom wel of niet.

43 Op een voertuig worden verschillende krachten uitgeoefend. Wat weet je van de

nettokracht (of de resultante van de krachten) op het voertuig in elk van de

volgende vier situaties?

a Het voertuig staat stil.

b Het voertuig rijdt met een constante snelheid.

c Het voertuig trekt op.

d Het voertuig remt af.

44 In figuur 6 zie je de beweging van een voetbal na het nemen van een vrije trap.

a Teken in figuur 6 de krachten op de voetbal op het begintijdstip (bij het

trappen van de bal) en op minstens drie andere tijdstippen.

b Welke krachten veranderen niet tijdens de beweging van de bal? Leg uit

waarom.

c Welke krachten veranderen wel tijdens de beweging van de bal? Hoe

veranderen die krachten? Leg uit waarom.

45 In figuur 7 zie je het v,t-diagram van een optrekkende auto.

Figuur 7

a Leg uit dat de versnelling van de auto niet constant is.

b Wordt deze versnelling in de loop van de tijd groter of kleiner? Hoe zie je dat

aan het v,t-diagram?

c Teken een raaklijn op t = 10 s. Bepaal daarmee de versnelling.

d Bepaal de afstand tussen t = 0 en t = 25. Gebruik de oppervlakte onder de

grafiek.

46 Een boek met een massa van 1,5 kg ligt op een tafelblad. Hoe groot is de

zwaartekracht op het boek? Hoe groot is de nettokracht (of de resultante van de

krachten) op het boek? Hoe kan het dat de nettokracht deze waarde heeft?

47 Een vliegtuig vliegt met een constante snelheid van 1000 km/h onder invloed

van een constante stuwkracht van de motoren van 1,0·105 N. Hoe groot is de

versnelling van het vliegtuig? En hoe groot is de luchtwrijving op het vliegtuig?

Figuur 6 – De plaats van een

voetbal op een aantal opeen-

volgende tijdstippen.

50

48 Een auto rijdt met een constante snelheid van 5