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Mathematica & RSA

Hiroshi ToyoizumiWASEDA Univ.

toyoizumi@waseda.jp

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今日のテーマ

Mathematicaを使って、公開鍵暗号方式による暗号化をやってみよう。

Mathematicaを使って、公開鍵暗号方式による暗号をクラックしてみよう。

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暗号技術によるセキュリティ強化

暗号化：知られたくない重要な情報は暗号化する。

認証：自分が誰かを証明する。

公開鍵暗号系PKI：Public Key Infrustructure

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非対称暗号鍵方式（公開鍵暗号方式）

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実際の暗号通信

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公開かぎと電子署名

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暗号化の方式非対称鍵 RSA最も有名で最も広く使用されているアルゴリズム。アルゴリズムの名前は、3人の開発者のRonald Rivest氏、Adi Shamir氏、Leonald Adleman氏の頭文字を取って付けられた。米国RSAセキュリティ社が特許を持っていたが、2000年9月特許の期限切れを迎えた。暗号、電子署名、鍵配送の機能を持つ

DSAアメリカの電子署名標準アルゴリズム。電子署名のみの機能を持ち、暗号化の機能は持っていない

Diffie-HellmanWhitfield Diffie氏とMartin E. Hellman氏によって開発されたアルゴリズムで、鍵配送の機能のみ持っている。ちなみに「公開鍵暗号」は Diffie氏によって考案され、1976年に Hellman氏との共同論文「New Directions in Cryptography」で発表された。RSA社の3人は、この論文を読んで感嘆し、RSAの開発を始めた

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Mathematicaの整数論関数

Mod GCD FactorInteger Divisors Prime PrimeQ ExtendGCD EulerPhi

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CharacterCode

ToCharacterCode["string"] gives a list of theinteger codes corresponding to the charactersin a string.

In[1]:= ToCharacterCode["Everything is an expression."]Out[1]={69,118,101,114,121,116,104,105,110,103,32,105,1

15,32,97,110,32,101,120,112,114,101,115,115,105,111,110,46}

In[2]:= FromCharacterCode[%]Out[2]= Everything is an expression.

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Mod

Mod[m, n] givesthe remainder ondivision of m byn.

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GCD

GCDgives thegreatestcommondivisor oftheintegers

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FactorInteger[n]

FactorInteger[n]gives a list ofthe primefactors of theinteger n,together withtheir exponents.

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Divisors[n]

Divisors[n]gives a list ofthe integersthat divide n.

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Prime

Prime[n]gives the n-th primenumber.

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PrimeQ[expr]

PrimeQ[expr]yields True ifexpr is a primenumber, andyields Falseotherwise.n

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ExtendedGCD

The first element in the output from ExtendedGCD[n,m] is the greatest common divisor of the integers n andm.

In[1]:={g,{r,s}}=ExtendedGCD[n=45,m=36]Out[1]= {9,{1,-1}}In[2]:= GCD[45,36]Out[2]= 9

The second element is a pair of integers. The linearcombination of n and m with these as coefficients givesthe gcd.

In[3]:= nr+msOut[3]= 9

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互いに素な場合

These two numbers are relatively prime.In[4]:= {g, {r, s}} = ExtendedGCD[2^100 + 3, 3^50 + 8])Out[4]={1,{62013782892351778750374,-109502757290992473821761130785}}

Therefore this linear combination gives 1.In[5]:= (2^100 + 3) r + (3^50 + 8) sOut[5]= 1

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EulerPhi[n]

EulerPhi[n] gives the Euler totient function φ(n) . EulerPhi[n] gives the number of positive integers less than or

equal to n which are relatively prime to n.

Up to 10 there are four numbers relatively prime to 10. In[1]:= EulerPhi[10] Out[1]= 4 In[2]:= Select[Range[10],GCD[#1,10]==1&] Out[2]= {1,3,7,9}

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Eulerの定理

自然数ｎと整数aで、GCD(a,n)=1

のとき

a＾φ(n) = 1 mod n

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Eulerの定理の例In[1]:=GCD[5, 17]Out[1]=1

In[2]:=EulerPhi[17]Out[2]=16

In[3]:=Mod[5^EulerPhi[17], 17]Out[3]=1In[5]:=Mod[10^EulerPhi[17], 17]Out[5]=1

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RSA暗号方式

２つの鍵（公開鍵・秘密鍵）をつかう。暗号文の解読が困難である。公開鍵から秘密鍵を推測することが困難である。

キーポイント：大きな数の因数分解が困難である。

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非対称暗号鍵方式（公開鍵暗号方式）

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公開鍵と秘密鍵の作り方（１）

e:一つ目の鍵二つ大きな素数を（ｐ、ｑ）を選ぶ。

p=5, q=17In[2]:=PrimeQ[5]Out[2]=TrueIn[3]:=PrimeQ[17]Out[3]=True

pとｑの積ｎを計算する。 n = p q = 85

φ(n)=(p-1)(q-1)を計算する (p-1)(q-1) = 64

(p-1)(q-1)と互いに素な整数eをみつける e = 3

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公開鍵と秘密鍵の作り方（２）

ｄ:二つ目の鍵e d = 1 mod (p-1)(q-1)となるようにdを選ぶ。 d=43と選ぶと e d = 3*43 = 129 = 64 *2 +1 = 1 mod 64

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ｄの選び方

e d = 1 mod (p-1)(q-1)となるｄは以下のように選ぶことができる。

e d = 1- k (p-1)(q-1)e d +k (p-1)(q-1) = 1

これを満たすｄはExtendedGCDによって求めることができる。

{1,{d,k}}=ExtendedGCD[e, (p-1)(q-1)] dには、(p-1)(q-1)を法とする不定性があるので、適当に、 (p-1)(q-1)のα倍を足して調整して、ｄを正に選ぶ。

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ｄの選び方の例

e = 3, (p-1)(q-1)=64のときIn[7]:=｛g, {d, k}} = ExtendedGCD[3, 64]Out[7]={1,{-21,1}}In[8]:=d + 64Out[8]=43

よって、ｄは４３とすればよい

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暗号の通信の準備

Bobが公開暗号鍵として(e,n)を公開する。

AliceはBobの公開暗号鍵を入手する。

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Aliceの暗号文の作り方

Mを暗号にしたい文章とする。（但しＭ＜ｎ）Bobの公開鍵（e,n)を使い、暗号文Cを作る。

C = M^e mod n

例　(e,n) = (3, 85), M=77

In[1]:=Mod[77^3, 85]Out[1]=83

したがって、暗号文Cは８３となる。

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Bobの暗号文の解読の仕方

Aliceから暗号文Cを受け取る自分だけが知っている秘密鍵dを使って、暗号文を解読する。

C^d = M mod n

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暗号文解読の例

例　(ｄ,n) = (43, 85), C=83

In[1]:=Mod[83^43, 85]Out[1]=77

したがって、暗号化されたメッセージMは７７であることがわかる。

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クラックの仕方

Bobの公開鍵(e,n)を手に入れる。ｎを因数分解して、p,qを推測する。ｐ,qとeを使ってｄを推測する。Aliceが作った暗号文を(d,n)を使って解読する。

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Exercise 1.

Check Euler’s Theorem by Mathematica.Make a list of the function

f(m)=Mod[a^(m),n] from m=１ to theEuler number of n, where a is anarbitrary number, n is a prime number.

Check when does f(m)=1 hold fordifferent values of a and n?

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Exercise 2. Encrypt your message

Set a particular phrase as your message.Convert your message into a sequence of integers M.Choose a pair of 2-digit prime numbers (p,q) and

derive the keys (d,e,n).Encrypt M into C by the key (e,n).Check if C can be decrypted by the key (d,n).Option: Ask your neighbors to decrypt C by disclosing

your public key (e,n).

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Exercise 3.　Crack my message

Crack me!Public key: (e,n) = (937, 46127)

Encrypted　message:　{14942, 16840, 39519, 6259, 6259, 12812,33935, 2736, 6259, 30900, 39211, 32709, 4943, 39211, 34710, 4943,45747, 6259, 19266, 19461, 25615, 27469, 6259, 6259, 14942, 1494,39519, 6259, 7357, 12408, 39211, 6259, 40186, 2736, 10334, 6259,45747, 4943, 44980, 15131, 40186, 19991, 34710, 6259, 34710, 33935,30900, 37515, 6259, 42569, 4943, 37515, 37515, 12408, 41505, 4943,6259, 22680, 30900, 34710, 33935, 2736, 10334, 34710, 6259, 10334,37515, 30900, 39211, 41505, 6259, 34710, 33935, 4943, 6259, 24879,4943, 40186, 37515, 27469}

Guess my original message and my secret key.

Option: Answer my questions in the original message.

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Exercise 4 (Option). PerformanceEvaluation of Cracking

Use Timing[ ] function and estimate theCPU time required to crack RSA withgiven n.

Draw the graph (log-log plot?) of CPUtime with different n.

Discuss the possibility of cracking whenn is large.

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Timing

Timing[expr] evaluates expr, and returns alist of time used, together with the resultobtained.

Timing gives the CPU time in seconds,multiplied by the symbol Second.Example:Here is the CPU time needed to compute a

large factorial number.In[11]:=Timing[10^10!]Out[11]={5.8 Second,Null}