Logica de 2do. Orden

8/17/2019 Logica de 2do. Orden

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Lógica de 2do. Orden



Introducción

El lenguaje de la lógica de segundo orden extiende el

lenguaje de la lógica de primer orden, al permitir la

cuantificación de los símbolos de predicados y símbolos

de función.

2Lógica de 2Do. Orden



Introducción

La necesidad de la lógica de segundo orden se refleja en el

axioma de inducción de la aritmtica de Giuseppe

Piano:

Para cualquier conjunto X de números

enteros, si 0 ! X y además n ! X → n+1 !

X , entonces se tiene que X = N

"Lógica de 2Do. Orden



Introducción

#odemos expresar de manera cuantificable $ue

propiedades existen, por ejemplo%

&odo indi'iduo tiene una propiedad o no la tiene esto

seria%

ᵾ# ᵾx (#x v ¬#x)

*Lógica de 2Do. Orden



#ropiedades del L+O

Ventajas:

La lógica de segundo orden se parece a LP1, se pueden cuantificar

preposiciones adems de las 'ariables como en LP1

Este lenguaje es mas expresi'o

Desventajas:

-o tiene la propiedad de completitud( lo $ue propicio a $ue no fuera muy

usada)

La logica de segundo orden con semantica estandar es incompleta por lo cual

no se pueden demostrar todas las 'erdades expresables.

Lógica de 2Do. Orden



L#O 'ersus L+O

La lógica de predicados es el trmino general para todas

las lógicas $ue utili/an predicados, esta la lógica se

opone a la lógica proposicional, $ue simplemente utili/a

símbolos y sin la capacidad de 0acer la predicación.

por ejemplo, p (x).

Quoran(Josh) +e puede decir $ue Josh es un Quoran




L#O 'ersus L+O

La lógica de predicados es una extensión de la lógica

proposicional, la lógica de predicados tambin es

compatible con la capacidad de tener 'ariables y

cuantificadores.

∀ x y.p(x,y)∃

“Para todo predicado p , ya sea p(x) o ¬p(x) es verdadero,

independientemente lo q sea x ”

Lógica de 2Do. Orden



L#O 'ersus L+O

Preposición es cual$uier oración $ue solo toma dos 'alores , 'erdadero o falso perono ambos

p v q “ Ana estudia Ing. en Ciencias Comp. o Ingles3

Predicado es una oración afirmati'a $ue contiene una o mas 'ariables $ue al

particulari/arse se con'ierte en preposición

A ={ x / P(x) }

P(x) anuncia las condiciones $ se deben cumplir en 4 A”

P(x) “ x es divisor de 6”




+emntica

La semntica establece un significado en el lenguaje.

La lógica de primer orden tiene una sola semntica, en ladel segundo orden existen dos, la semántica estándar

y la semántica Henkin




+emntica Estndar

7signa una interpretación a las oraciones del lenguaje, sus

propiedades se deben interpretar como subconjunto del

dominio

+ea 7 8 9:,2; #ot(7)89<,9:;,92;,9:,2;;

Las 'ariables ranguean en el conjunto de los subconjuntos de

D.

=na característica cla'e de los >semntica estndar> es $ue, para $ue una sola

'ariable de lugar predicado X , el cuantificador X ∀ se extiende sobre todo

el conjunto de poder del uni'erso del discurso.

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+emntica @eneral

El concepto de semántica genera para la lógica de

segundo orden e'ita cual$uier pretensión de $ue la

operación de configuración de energía es un recursobien entendido fijo. En su lugar, el rango de la

cuantificador ∀ X se debe especificar directamente.

⊨ ∀ P [φ s! si y sólo si para cada "#ary relaci$n% en el " universo relación -lugar, tenemos φ⊨ &s ']

::Lógica de 2Do. Orden



+emntica @eneral

El n #lugar relaci$n universo para cada entero positi'o n,

debe ser una colección de n#relaciones ary en el uni'erso

del discurso, en particular el uni'erso relación :Alugar

debe 0aber alguna colección de subconjuntos del

uni'erso. #or lo tanto, es parte del conjunto de energía

del uni'erso

El n #lugar función universal para cada entero positi'o n,

debe ser una colección de n#funciones en el uni'erso del

discurso.

:2Lógica de 2Do. Orden



+emntica @eneral

La principal característica de los semántica general es

consecuencia de la lógica de primer, junto con los axiomas de

comprensión, así una sentencia es válida en la semántica

general si y sólo si se implica lógicamente (en lógica de

primer orden por el conjunto de axiomas de comprensión!

:"Lógica de 2Do. Orden



+emntica @eneral

"sta reducción de los rendimientos de la lógica de primer orden a la ve# los

siguientes resultados$

I. (Enumerability) 'n un lengua(e de segundo orden con un n)mero finito de

s*m+olos no l$gicos, el con(unto de frases que son vlidos en los semntica

general es computa+lemente enumera+le. 'sto es de+ido a que el con(unto de

axiomas de comprensi$n es un con(unto computa+le -con(unto recursivo

II. (Compacto) /n con(unto de oraciones tiene un modelo general si cada

su+con(unto finito tiene un modelo general.

III. (Löwenheim-Skolem) 0i un con(unto de oraciones tiene un modelo general,

entonces tiene un modelo general conta+le.

:*Lógica de 2Do. Orden



+emantica de 2Do. orden

Trminos% +e definen como 'ariables de primer orden $ue contienen

símbolos de una función f de un índice o nBmero de argumentos r, s,

C

t %%8 x f(t:, . . . , tn) !"rmu#as$ %doptamos algunas veces la notación de punto en un

cuanti&icador para declarar ue su alcance se considera lo más lejos posile

sintácticamente

%%8 #(Ft) 7 G H 7 H 7 H x7 7∧ ∨ ∀ ∀

las variale x y ) se consideran ligadas en las &órmulas x% y )%∀ ∀respectivamente

:Lógica de 2Do. Orden



+emantica de 2Do. orden

Predicados% los predicados pueden ser 'ariables de segundo

orden , símbolos de predicado # de una signatura fija J o

bien predicados por comprensión

K. # %%8 # K

El numero de argumentos define la longitud del 'ector, la cual

representa tuplas




+emntica de 2Do. orden

Sustitución: La sustitución de 'ariables de primer orden

por trminos en un trmino r,

denotada se define como la sustitución textualde cada presencia de xi por ti en r!

:Lógica de 2Do. Orden




La condición de las cuantificaciones de primer orden puede

cumplirse al renombrar la 'ariante ligada x

Esta con'ención se conoce como !"equivaencia#

por ejemplo%

5x#(x) y 5y#(y) son formulas ! "equivaentes#





La sustitución de una 'ariable de segundo orden $ por el

predicado P en el predicado Q, denotada Q[ $ := P ] se

define como sigue%

$ [ $ := P ] = P

% [ $ := P ] = %

P [ $ := P ] = P f~ x j Ag[ $ := P ] = f~ x j A[ $ := P ]g




+intaxis% ariables

Las 'ariable nAarias se ocupan de relaciones sobre estos

elementos, por ejemplo%

x*,x+,xx. aun$ue son trminos de primer orden, con la

relación $ se transforma en una formula atómica

$ (x*,x+,xx. )

2?Lógica de 2Do. Orden



Lógica monódica

La lógica es el fragmento de la lógica de segundo orden

completa permitiendo la cuantificación sólo sobre

elementos y predicados mondicos .

es decir, $ue sólo se extienden sobre subgrupos, o

subgrupos normales , etc.

2:Lógica de 2Do. Orden



Lógica monódica

/upongamos ue $

para cada x, y / , no es 0 / ,ϵ ϵ

con (x, y, # 1, y para cada # / no es a lo sumo un par ( x, y ϵ ϵ

con ( x, y, # 12ϵ

tales 1 puede ser llamada una predicado emparejamiento!

"ntonces la verdadera (completo la teoría de segundo orden de / es interpretale en la

teoría monádica de (/, 1!

"n primer lugar, codi&icamos ternarios , cuaternarios , etc! , predicados por unos

inarios ! 3na ve# 4ec4o esto , podemos entonces codi&icamos un predicado inario 5

por un monádico predicado 6 #$ 4ay un par (x , y en 5 con (x, y, # 1 7ϵ




Lógica monódica

+e aMaden sólo 'ariables para subconjuntos de un cierto

dominio, se puede expresar%

1odos los perros son mam*feros (ᵾx D(x)G N (x))

y los mam*feros no son aves P( y N(y) H(y))Ǝ

entonces los perros no son aves G P(E/ D(/) H(/))

Entre tanto el lenguaje es mas expresi'o $ue el de la lógica

de trminos

2"Lógica de 2Do. Orden



7nali/is de Krege

El anlisis ordinario de Krege estu'o basado en elaborar

un lenguaje simbólico capa/ de expresar de una forma

mejor las lógicas.

2*Lógica de 2Do. Orden



+intaxis% Harras de Quicio y ontenido

8ediante estos símolos se puede expresar las conexiones

lógicas$

9egación

:ondicional

;gualdad de contenido"xpresión de generalidad





/u principal características son representar de &orma exacta las

&ormas y conexiones lógicas!

"n la preposición$ <"l =omre es racional>, decimos ue

si para todo “a& , si “a& es 2om+re, entonces “a& es

racional

“'l lengua(e de las ciencias de+e tener las mismas venta(as del lengua(e matemtico”

Friedrich Ludwig ottlob Frege





Krege representa 0ace uso de 'arios es$uemas para

representar juicio y deducciones con este tipo de

es$uemas




-oción de generalidad

Krege encontró una forma de expresar la generalidad

en la barra ocuparemos una función

(a)

+upongamos $ue es %&'ua# o ma(or a” $ue

representa X y a la 'ariable podemos decir $ue %




-oción de generalidad

#or lo cual la expresión seria% , $ue representa la

formula general, podemos decir $ue R 4es unnumero, la expresión general seria%

si a es <mayor igual a ?>a es <un numero>




+emntica de SenTin

=na de las principales características de la semntica de

SenTin es $ las 'ariables ren$uean sobre una colección

fija de subconjunto de D (dominio)

=na de las diferencias con la semntica estndar es $ue

no considera todo los subconjuntos del dominio.

"?Lógica de 2Do. Orden



Ntodo de SenTin

Hasa su semntica en el estudio de las estructuras

puedan interpretar los lenguajes formales

SenTin representa esta semntica con dos tipos de

estructuras%

Estructuras estndar Estructuras @enerales

":Lógica de 2Do. Orden



Estructuras Estndar

Interpretan un conjunto de sistemas de calculo de segundo

orden y constan de

Dominio

onjuntos

"2Lógica de 2Do. Orden



Estructuras Estndar

Las estructuras tienen un Dominio ) con cardinalidad

infinita, mientras

muestran $ue su cardinalidad no es numerable

SenTin encuentra $ue un dominio y la familia de

dominios mientras tengan ciertas

condiciones de clausura tendrían cardinalidad

numerable, este tipo de estructuras son las %Genera#es”

""Lógica de 2Do. Orden



Estructuras enerales

Nuestran $ue segBn el teorema de godel se puede

encontrar una formula 'alida, respecto la estructuras

estndar, $ue no es demostrable, es decir incompleto.

SenTin obser'o $ue existe una clase mas amplia de

modelos $ue proporcionan una interpretación para el

simbolismo.

"*Lógica de 2Do Orden

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