Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

40
1 Logica & Verzamelingen Prof. Dr J.-J. Ch. Meyer ICS - UU Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 2 Logica & Verzamelingen Logica: Verplicht boek “The Essence of Logic” door John Kelly, Prentice Hall Verzamelingen: Verplicht boek “Set Theory and Related Topics” door Seymour Lipschutz, Schaum’s Outlines, McGraw-Hill Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 3 Logica λογικη (logikè) = de logos (rede) betreffend Definities van ‘logica’ De kunst van het redeneren Leer omtrent het opstellen van begripsoordelen en het trekken van gevolgtrekkingen uit twee bijeenbehorende oordelen Denkleer Leer van het juist redeneren Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 4 Raakvlakken Argumentatieleer Kennisrepresentatie Inferentie(systemen) Cognitieve psychologie & AI descriptief gebruik van logica Normatieve wetten prescriptief gebruik van logica Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 5 Geschiedenis van de logica Aristoteles syllogismen Leibniz characteristica universalis, ars combinatoria Boole boole’se algebra Frege Begriffschrift Peano axioma’s rekenkunde Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 6 Geschiedenis van de logica Russell & Principia Mathematica Whitehead Hilbert formalistische wiskunde Gödel (on)volledigheidsstellingen Tarski semantiek Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus waarheidstafels

Transcript of Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

Page 1: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

1

Logica & Verzamelingen

Prof. Dr J.-J. Ch. MeyerICS - UU

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 2

Logica & Verzamelingen

� Logica:� Verplicht boek “The Essence of Logic” door

John Kelly, Prentice Hall

� Verzamelingen:� Verplicht boek “Set Theory and Related

Topics” door Seymour Lipschutz, Schaum’s Outlines, McGraw-Hill

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 3

Logica

� λογικη (logikè) = de logos (rede) betreffend� Definities van ‘logica’

� De kunst van het redeneren� Leer omtrent het opstellen van begripsoordelen en

het trekken van gevolgtrekkingen uit tweebijeenbehorende oordelen

� Denkleer� Leer van het juist redeneren

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 4

Raakvlakken

� Argumentatieleer� Kennisrepresentatie� Inferentie(systemen)� Cognitieve psychologie & AI

� descriptief gebruik van logica

� Normatieve wetten� prescriptief gebruik van logica

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 5

Geschiedenis van de logica

� Aristoteles syllogismen� Leibniz characteristica universalis,

ars combinatoria� Boole boole’se algebra

� Frege Begriffschrift� Peano axioma’s rekenkunde

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 6

Geschiedenis van de logica

� Russell & Principia MathematicaWhitehead

� Hilbert formalistische wiskunde� Gödel (on)volledigheidsstellingen

� Tarski semantiek� Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus

waarheidstafels

Page 2: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

2

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 7

Correspondentie

� Syntax ↔ Semantiek (betekenis)

� taal ↔ wereld� propositie ↔ feit� prim. prop. ↔ stand van zaken� naam ↔ object

� Bewijsbaarh. ↔ Waarheid� Formalisme ↔ Model

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 8

Logica & (wiskundig) redeneren

� Contrapositie� Stelling: P ⇒ Q� Bewijs: bewijs ¬Q ⇒ ¬P

� Reductio ad absurdum (bewijs uit hetongerijmde)� Stelling: P� Bewijs: neem aan ¬P. Dan … :

contradictie. ∴ P

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 9

Logica & (wiskundig) redeneren

Voorbeeld contrapositie:� Stelling: even(n2) ⇒ even(n)� Bewijs: we bewijzen:� ¬even(n) ⇒ ¬even(n2)

� Bewijs: oneven(n) ⇒n = 2a + 1 (a ∈ N) ⇒n2 = 4a2 + 4a + 1 ⇒oneven(n2) Q.E.D.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 10

Logica & (wiskundig) redenerenVoorbeeld Reductio ad absurdum� Stelling: Er zijn oneindig veel priemgetallen

(P)� Bewijs: Stel ¬P: er zijn slechts eindig veel

priemgetallen: p1, …, pn.� Beschouw nu m = (p1• …• pn) + 1. Nu pi is

geen deler van m (voor alle i). Dus m is priem. Echter m ≠ pi (voor alle i) omdat m>pi(alle i). Contradictie. Dus P: er zijn oneindigveel priemgetallen. Q.E.D.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 11

Logica & informatica

� Hardware poorten, circuits� Software programma’s

� i.h.b. logisch programmeren (PROLOG)

� Theorie wiskundig en logisch van aard

� i.h.b. programmacorrectheid

� Applicaties� Gegevens- en kennisbanken� Kunstmatige intelligentie en

kennisrepresentatie (expertsystemen)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 12

Waarschuwing vooraf!

� Object van studie van de logica is hetredeneren, maar om erover te pratenredeneren we vaak ook in ‘meta-taal’.

� Soms gaan we zelfs op nog hogereniveaus praten: redeneren over eenmeta-notie…

� Dit kan soms verwarrend zijn. Houdaltijd het niveau goed in de gaten!

Page 3: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

3

Basistheorie propositielogica

waarheidstafelslogische equivalentie

logisch gevolg

consistentie en geldigheidLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 14

Basisingrediënten logica

� Logische connectieven� ∧ en

� ∨ of

� ¬ niet

� → impliceert, als … dan …

� ↔ bi-impliceert, als en slechts als

� Proposities worden opgebouwd m.b.v. dezelogische connectieven (en atomen)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 15

Waarheidswaarden

� Een propositie heeft eenwaarheidswaarde: waar (T) of onwaar(F)

� We schrijven v(A) voor de waarheidswaarde (‘value’) van A

� T en F worden soms ook welaangegeven met 1 resp. 0

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 16

Waarheidstafels

� Waarheidstafels geven een uitputtendeopsomming van waarheidswaarden van de constituerende proposities van eenlogische uitdrukking

� Bijv. voor de negatie geldt:� v(¬A) = T als v(A) = F� v(¬A) = F als v(A) = T

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 17

Waarheidstafel van ‘niet’

FT

TF

¬AA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 18

Waarheidstafel voor ‘en’

TTT

FFT

FTF

FFF

A∧BBA

Page 4: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

4

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 19

Waarheidstafel voor ‘of’

TTT

TFT

TTF

FFF

A∨BBA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 20

Waarheidstafel voor ‘als-dan’

TTT

FFT

TTF

TFF

A→BBA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 21

Waarheidstafel voor ‘aesa’

TTT

FFT

FTF

TFF

A↔BBA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 22

Opmerking over implicatie� De implicatie in klassieke propositielogica

komt niet helemaal overeen met de ‘als …dan’ in natuurlijke taal!

� Vergelijk:� Als de maan van kaas is, dan zal het oppervlak

wel lekker smaken� Als de maan van kaas is, dan is 2 x 2 = 5

� Beide proposities zijn waar omdat de premisse onwaar is, maar de eerste lijkt veel‘zinniger’ dan de tweede!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 23

Alternatieve representatie

� Boomvorm� Bijv. voor ‘en’:

A

B B

F

F F

T

TT

TFFF

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 24

Alternatieve beschrijvingwaarheidstafelsGegeven v: atomen → {F, T}, breid v uit op

complexe proposities:� v(¬A) = T ⇔ niet v(A) = T

� v(A ∧ B) = T ⇔ v(A) = T en v(B) = T

� v(A ∨ B) = T ⇔ v(A) = T of v(B) = T

� v(A → B) = T ⇔ als v(A) = T dan v(B) = T

� v(A ↔ B) = T ⇔ v(A) = T aesa v(B) = T

� v(0) = F

Page 5: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

5

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 25

WaarheidstoekenningsfunctieGegeven valuatiefct v: atomen → {0,1}, breid v

uit tot complexe proposities als volgt:� v(¬A) = 1 − v(A)� v(A ∧ B) = min {v(A), v(B)}� v(A ∨ B) = max {v(A), v(B)}� v(A → B) = max {1 − v(A), v(B)}� v(A ↔ B) = min{ max {1 − v(A), v(B)},

max {1 − v(B), v(A)} }� v(0) = 0

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 26

Nog een alternatieve definitie

� Door i.p.v. v(A) = T te schrijven v ⊨ A (“v maakt A waar”), krijgen we de zgn. Tarskiaanse waarheidsdefinitie voorpropositielogica

� Tarskiaanse definities kunnen worden gegeneraliseerd tot de meer complexelogica’s die we later nog zullen zien(predicatenlogica en de logica’s in het vakLogica voor AI).

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 27

Waarheidsdefinitie à la Tarski� v ⊨ p ⇔ v(p) = T voor atoom p� v ⊨ ¬A ⇔ v ⊭ A� v ⊨ A ∧ B ⇔ v ⊨ A en v ⊨ B� v ⊨ A ∨ B ⇔ v ⊨ A of v ⊨ B� v ⊨ A → B ⇔ als v ⊨ A dan v ⊨ B� v ⊨ A ↔ B ⇔ v ⊨ A aesa v ⊨ B

� v ⊭ 0

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 28

Model van een bewering

� De waarheidswaarde van een beweringhangt af van de waarheidstoekenning aan deatomen die erin voorkomen.

� Een waarheidstoekenning aan de atomenzodanig dat v(A) = T wordt een model van de bewering A genoemd� [Met de Tarskiaanse waarheidsdefinitie (v ⊨ A) in

gedachten, kunnen we in feite dat model (die waarheidstoekenning) aanduiden met v zelf]

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 29

Model van een verzamelingbeweringen� Zij {A1, …, An} een verzameling

beweringen. � Een waarheidstoekenning aan atomen

is een model van de verzameling{A1, …, An} als geldt dat die waarheidstoekenning elke Ai waarmaakt, d.w.z. v(A1) = … = v(An) = Tonder die waarheidstoekenning.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 30

Tautologie en contradictie

� Als een logische expressie in allegevallen de waarheidswaarde T heeft, noemen we deze expressie eentautologie.

� Als een logische expressie in allegevallen de waarheidswaarde F heeft, noemen we deze expressie eencontradictie.

Page 6: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

6

31

Voorbeeld: (A∧∧∧∧B)→→→→ (C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C))

TTTFFTTTT

TTTTFTFTTTTFFTFTFTTTTTTFFFTTTTFFFTTFTTTTFFFTFTTFFTFTFF

TTTTTFFFF

(A∧∧∧∧B)→→→→(C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C))

C∨∨∨∨(¬B→→→→¬C)

¬B→→→→¬C¬C¬BA∧BCBA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 32

Voorbeeld: P∧¬P

FFT

FTF

P∧¬P¬PP

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 33

N.B.

� Een contradictie A heeft geen modellen, d.w.z. geen waarheidstoekenning aande atomen zodat v(A) = T.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 34

Logische equivalentie

� Twee logische expressies zijn logischequivalent als ze dezelfdewaarheidstafel hebben (d.w.z. bij elketoekenning van waarheidswaarden aande atomen dezelfde waarheidswaarde)

� Notatie: A ≡ B : A en B zijn logischequivalent

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 35

Voorbeeld

TTT

FFT

FTF

FFF

A∧BBA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 36

Voorbeeld

TFFFTT

FTTFFT

FTFTTF

FTTTFF

¬(¬A∨¬B)¬A∨¬B¬B¬ABA

Page 7: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

7

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 37

Voorbeeld

� Dus:

A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 38

Stelling

A ≡ B

A ↔ B is een tautologie

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 39

Bewijs

A ≡ B ⇔

[voor alle v: v(A) = T ⇔ v(B) = T] ⇔

[voor alle v: v(A ↔ B ) = T] ⇔

A ↔ B is een tautologie

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 40

Nogmaals tautologie en contradictie

� We gebruiken het symbool 1 om eenpropositie aan te duiden die altijdwaarheidswaarde T (1) heeft.

� We gebruiken het symbool 0 om eenpropositie aan te duiden die altijdwaarheidswaarde F (0) heeft.

� Voor een tautologie A geldt dus A ≡ 1� En voor een contradictie A geldt A ≡ 0

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 41

Wetten van logischeequivalentie

� A ∧ 0 ≡ 0� A ∧ 1 ≡ A� A ∨ 0 ≡ A� A ∨ 1 ≡ 1� A ∧ A ≡ A� A ∨ A ≡ A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 42

Wetten van logischeequivalentie� A ∧ 0 ≡ 0� A ∧ 1 ≡ A� A ∨ 0 ≡ A� A ∨ 1 ≡ 1� A ∧ A ≡ A� A ∨ A ≡ A� A ∧ ¬A ≡ 0� A ∨ ¬A ≡ 1� ¬¬A ≡ A

� A ∧ B ≡ B ∧ A� A ∨ B ≡ B ∨ A� A ∧ (A ∨ B) ≡ A� A ∨ (A ∧ B) ≡ A� A ∨ (¬A ∧ B) ≡ A ∨ B� A ∧ (¬A ∨ B) ≡ A ∧ B� (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ≡ A� A → B ≡ ¬A ∨ B� A → B ≡ ¬(A ∧ ¬B)

Page 8: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

8

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 43

Wetten van logischeequivalentie (2)

� Distributiviteit� A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)� A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

� Wetten van De Morgan� ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B� ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

� Logische equivalentie voldoet aan de wetten van een Boole’se algebra.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 44

Eliminatie van connectieven� We hebben gezien dat A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B)

� Dat wil dus zeggen dat uitdrukkingen met ∧kunnen worden uitgedrukt in ¬ en ∨, en dus‘geëlimineerd’.

� Verder geldt: A → B ≡ ¬A ∨ B� En A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ (¬A ∨ B) ∧

(¬B ∨ A)� Dus we kunnen volstaan met de

connectievenverzameling {¬, ∨}

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 45

Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling

� {¬, ∨} heet een voldoende (in Kelly ‘sufficient’ genoemd) verzamelingconnectieven. Andere van zulkevoldoende connectievenverzamelingenzijn:

� {¬, ∧}� {→, 0}

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 46

Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling� {¬, ∧} is voldoende:

� A ∨ B ≡ ¬(¬A ∧ ¬B)� A → B ≡ ¬A ∨ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)� A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ …

� {→, 0} is voldoende:� ¬A ≡ A → 0� A ∨ B ≡ ¬(¬A) ∨ B ≡ ¬A → B ≡ (A → 0) → B� A ∧ B ≡ ¬(¬A ∨ ¬B) ≡ ¬(A → ¬B) ≡

(A → (B → 0)) → 0� A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) ≡ …

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 47

Voldoende (‘sufficient’) connectievenverzameling

� {|}, waarbij ‘|’ de zgn ‘nand’ is� P | Q ≡ ¬(P ∧ Q)

� ¬P ≡ P | P� P ∧ Q ≡ ¬(P | Q) ≡ (P | Q) | (P | Q)

� {↓}, waarbij ‘↓’de zgn ‘nor’ is� P ↓ Q ≡ ¬(P ∨ Q)

� ¬P ≡ P ↓ P� P ∨ Q ≡ ¬(P ↓ Q) ≡ (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 48

Consistentie

� Een verzameling beweringen is consistent als ze alle tegelijk waarkunnen zijn; anders inconsistent

� Om de consistentie van {A1, …, An} te controleren maken we dus eenwaarheidstafel van de bewering A1∧ …∧ An en kijken of v(A1∧ … ∧ An) = T in de tafel ergens voorkomt.

Page 9: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

9

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 49

Voorbeeld

� {P, ¬Q, Q →¬P} is consistent

� {P, Q, Q →¬P} is inconsistent

50

{P, ¬Q, Q →¬P} is consistent

F

F

T

T

¬P

FTFTF

FTTFF

FFFTT

TTTFT

P ∧¬Q ∧(Q→¬P)

Q →¬P¬QQP

51

{P, Q, Q →¬P} is inconsistent

F

F

T

T

¬P

FTTF

FTFF

FFTT

FTFT

P ∧ Q ∧(Q→¬P)

Q →¬PQP

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 52

N.B.

� We merken dus op dat geldt:

{A} is inconsistent ⇔ A ≡ 0

� Niet: {A} is consistent ⇔ A ≡ 1� (alleen ‘⇐’)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 53

Argumenten: geldigheid

� Beschouw het argument:� Als het regent, dan worden de daken nat� Het regent� Dus: de daken worden nat

� In formele logica:� R → N� R� ∴∴∴∴ N

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 54

Checken van geldigheid

� Om de geldigheid van een argument te controleren moeten we nagaan of als de premissen waar zijn ook de conclusievan het argument waar is

� Formeler: bekijk argument A1, …, An ∴∴∴∴ B

� Dit is geldig als v(A1) = T en … en v(An) = T impliceert dat v(B) = T

Page 10: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

10

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 55

Logisch gevolg

� Als de conditie� v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T

geldt, dan noemen we B een logischgevolg van A1, …, An

� Notatie: A1, …, An ⊨ B� Dus: als A1, …, An ⊨ B geldt dan is het

argument A1, …, An ∴∴∴∴ B geldig!!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 56

Voorbeeld

� Het argument

R → N, R ∴∴∴∴ Nis geldig, omdat geldt dat

R → N, R ⊨ N(en dit kunnen we weer checken m.b.v. waarheidstafels.)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 57

Voorbeeld

TTTTT

FFFFT

TFTTF

FFTFF

N(R → N) ∧ R

R → NNR

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 58

Voorbeeld

T

T

T

T

((R → N) ∧ R) → N

TTTT

FFFT

TFTF

FFFF

N(R → N) ∧ R

NR

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 59

Observatie

� We zien dus� Enerzijds:

R → N, R ⊨ N

� Anderzijds:

((R → N) ∧ R) → N is een tautologie

� Dit is niet toevallig

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 60

Stelling

A1, …, An ⊨ B

(A1 ∧ … ∧ An) → B is een tautologie

Page 11: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

11

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 61

BewijsA1, …, An ⊨ B ⇔

[voor alle v: v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T] ⇔

[voor alle v: v(A1 ∧ … ∧ An) = T ⇒ v(B) = T] ⇔

[voor alle v: v(A1 ∧ … ∧ An → B ) = T] ⇔

(A1 ∧ … ∧ An) → B is een tautologieLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 62

Nogmaals logisch gevolg

� De conditie� v(A1) = T en … en v(An) = T ⇒ v(B) = T

zegt in feite dat een willekeurig model van {A1, …, An } ook een model van B is.

� M.a.w. A1, …, An ⊨ B

zegt dat:“elk model van A1, …, An is ook ‘n model van B”

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 63

Ongeldige argumenten� Om te laten zien dat een argument

A1, …, An ∴∴∴∴ Bongeldig is, moeten we dus aantonen dat

A1, …, An ⊭ B.� D.w.z. dat er een model van {A1, …, An} is dat

geen model van B is!!!� M.a.w. we moeten in de waarheidstafel

zoeken naar een rij waar v(A1) = … = v(An) = T en v(B) = F.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 64

Voorbeeld

� A, B → A ∴∴∴∴ B is geen geldig argument.

� Bewijs: we laten zien A, B → A ⊭ B

� M.a.w. dat er een model is van {A, B →A} dat geen model van B is

� M.a.w. dat er in de waarheidstafel eenrij is met v(A) = v(B → A) =T en v(B) = F.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 65

Voorbeeld

TTTTT

FTTFT

TFFTF

FFTFF

B(B → A) ∧ A

B → ABA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 66

Refutatiestrategie voorgeldigheid

� Om te zien of een argument A1, …, An∴∴∴∴ B geldig is moeten we dus nagaan of A1, …, An ⊨ B geldt.

� Hiervoor moeten we dus nagaan of elk model van {A1, …, An} ook een model van B is.

� We kunnen ook kijken of er een model van de verzameling {A1, …, An, ¬B} is.

Page 12: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

12

67

Refutatiestrategie voorgeldigheid� Als dit niet het geval is (en dus de

verzameling {A1, …, An, ¬B} inconsistent is!), dan: voor alle waarheidstoekenningen v aanatomen geldt: � v(A1 ∧ …∧ An ∧ ¬B) = F, d.w.z. � v(A1 ∧ …∧ An ) = F of v(¬B) = F. D.w.z. � Als v(A1 ∧ …∧ An ) = T (≠ F) dan v(¬B) = F, dus

v(B) = T.

� D.w.z. elk model van {A1, …, An} is een model van B.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 68

Refutatiestrategie voorgeldigheid

� Dus voor geldigheid van A1, …, An ∴∴∴∴ Bkun je ook laten zien dat de verzameling{A1, …, An, ¬B} inconsistent is!!!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 69

Stelling

A1, …, An ⊨ B

{A1, …, An, ¬B} is inconsistent

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 70

Voorbeeld: R → N, R ∴∴∴∴ N:inconsistentie {R → N, R, ¬N}

FFTTT

FTFFT

FFTTF

FTTFF

(R → N) ∧R∧¬N

¬NR → NNR

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 71

Toepassing: logische circuits

∧A

A

A

B

BA∧B

¬A

A∨B

¬

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 72

Van waarheidsfct naar circuit

� Gegeven een (waarheidstafel voor een) waarheidsfunctie R kunnen we op systematische manier een logischcircuit maken dat R realiseert:� Beschouw alle rijen waarvoor v(R) = T:

� Iedere rij levert een disjunct op die zelf bestaatuit een conjunctie van zgn literals.

� Vereenvoudig zo mogelijk mbv regels voor≡.

Page 13: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

13

73

Voorbeeld

FTTTTFTTTTFTFFFTFTTF

TFTFFTFFFFFFR(A,B,C)CBA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 74

Voorbeeld

� Deze procedure levert nu op voor R:(¬A ∧B ∧ ¬C) ∨(A ∧¬B ∧ C) ∨(A ∧ B ∧ ¬C)

� Een formule in zgn ‘Disjunctieve Normaalvorm’(DNF)

� Dit is logisch equivalent (≡) met:(B ∧ ¬C) ∨ (A ∧¬B ∧ C)

� Hiervoor circuit maken

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 75

Rechtvaardiging methode

� Beschouw tafel voor R uit het voorbeeld: uitdeze tafel blijkt: (voor alle v):� v(R) = T ⇔

(v(A) = F en v(B) = T en v(C) = F) of(v(A) = T en v(B) = F en v(C) = T) of

(v(A) = T en v(B) = T en v(C) = F) ⇔(v(¬A) = T en v(B) = T en v(¬C) = T) of(v(A) = T en v(¬B) = T en v(C) = T) of

(v(A) = T en v(B) = T en v(¬C) = T) ⇔

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 76

Rechtvaardiging methodev(¬A ∧ B ∧ ¬C) = T ofv(A ∧ ¬B ∧ C) = T ofv(A ∧ B ∧ ¬C) = T ⇔v((¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨(A ∧ ¬B ∧ C) ∨(A ∧ B ∧ ¬C))= T

� D.w.z.

R ≡ (¬A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 77

Functionele volledigheid� Gevolg: Elke waarheidsfunctie R (zoals

weergegeven door een waarheidstafel) is uitdrukbaar m.b.v. de logische connectieven¬, ∧ en ∨.

� Daarom heet een verzameling connectievenals {¬, ∧, ∨} ook wel functioneel volledig(functionally complete).

� Maar met wat we eerder hebben gezien zijndus ook verzamelingen als {¬, ∨}, {¬, ∧}, {→, 0}, {|} en {↓} functioneel volledig!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 78

Alternatieve methoden om geldigheid formules te bepalen

� In de praktijk is het werken met waarheidstafels onhandig omdat ze erg grootworden in een beetje realistische toepassing: een waarheidstafel met n atomen heeft 2n

rijen.� Voor het vaststellen van geldigheid alle rijen

te bekijken: (te)veel werk.� Zoeken naar alternatieven: bijv. zgn.

semantische tableaux en (natuurlijke) deductie.

Page 14: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

14

Semantische tableaux

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 80

Semantische tableaux� Een semantisch tableau is een (vertakkende)

sequentie van propositionele vormen, geconstrueerd volgens bepaalde regels, vaakgerepresenteerd in een boom

� Deze methode levert modellen voor eenformule als deze bestaan: ze geeft op systematische wijze aan welke atomen waarmoeten worden gemaakt om een formulewaar te maken, en geeft ook aan als dit nietkan!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 81

Regels semantische tableaux

� Regel 1 (A ∧ B)

A ∧ BA

B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 82

Regels semantische tableaux

� Regel 2 (A ∨ B)

A ∨ B

A B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 83

Regels semantische tableaux

� Regel 3 (A → B)

A → B

¬A B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 84

Regels semantische tableaux

� Regel 4 (A ↔ B)

A ↔ B

A ∧ B ¬A ∧ ¬B

Page 15: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

15

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 85

Regels semantische tableaux

� Regel 5 (¬¬A)

¬¬AA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 86

Regels semantische tableaux

� Regel 6 (¬(A ∧ B))

¬(A ∧ B)

¬A ¬B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 87

Regels semantische tableaux

� Regel 7 (¬(A ∨ B))

¬(A ∨ B) ¬A

¬B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 88

Regels semantische tableaux

� Regel 8 (¬(A → B))

¬(A → B) A

¬B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 89

Regels semantische tableaux

� Regel 9 (¬(A ↔ B))

¬(A ↔ B)

A ∧ ¬B ¬A ∧ B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 90

Regels semantische tableaux

� Regel 0� Als een logische vorm A en z’n negatie ¬A

in een tak van tableau voorkomt is dezeinconsistent en wordt deze gesloten(‘closed’).

Page 16: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

16

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 91

Voorbeeld: {¬(A → B), ¬A ∨ B} is inconsistent

¬(A → B)¬A ∨ B

¬A B

A A¬B ¬B

closed closed Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 92

Nogmaals en nu handiger

¬(A → B)¬A ∨ B

A¬B

¬A Bclosed closed

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 93

Wel of geen modellen?

� Als alle takken ‘sluiten’ dan is de verzameling proposities waar je meebegon inconsistent (d.w.z. heeft geenmodel)

� Als minstens een tak ‘open’ blijft, geeftdit een model voor de verzamelingproposities!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 94

Voorbeeld: {P, Q, Q →¬P} is inconsistent

PQ

Q →¬P

¬Q ¬Pclosed closed

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 95

Voorbeeld: {P, ¬Q, Q →¬P} is consistent

P¬Q

Q →¬P

¬Q ¬P

closedModel: v(Q)=F, v(P)=T

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 96

Geldigheid van een formule

� Semantische tableaux leveren eensystematische manier om modellen van een propositie te vinden

� Als een propositie geen modellen heeft, is deze inconsistent

� Geldigheid is indirect te checken via:� A is geldig ⇔ ¬A is inconsistent

(contradictie)

Page 17: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

17

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 97

Voorbeeld: A ∨ (¬B → ¬A) is geldig (tautologie)

¬(A ∨ (¬B → ¬A))¬A

¬(¬B → ¬A)¬B

¬¬AA

closedLogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 98

Semantische tableaux en argumenten� We kunnen de semantische tableaux

methode ook gebruiken om te checken of argumenten geldig zijn

� Beschouw weer het argument:R → N, R ∴∴∴∴ N

� We hebben eerder gezien dat om de geldigheid hiervan aan te tonen hetvoldoende is om aan te tonen dat de verzameling {R → N, R, ¬N} inconsistent is, d.w.z. geen modellen heeft.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 99

Semantische tableaux en argumenten� We doen dit nu met semant. tableaux:

R → NR

¬N

¬R Nclosed closed

� Dwz geen modellen: {R → N, R, ¬N} incon-sistent, dus argument R → N, R ∴∴∴∴ N geldig

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 100

Semantische tableaux en argumenten

� A, B → A ∴∴∴∴ B is geen geldig argument.� We laten met sem. tableaux zien dat de verzameling

{A, B → A, ¬B} consistent is, d.w.z. een model heeft:A

B → A¬B

¬B Anot closed not closed model v(A)=T, v(B)=F

Natuurlijke deductie

Gentzen systeemSequentencalculus

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 102

Deductie

� Tot nu toe voornamelijk ‘semantisch’naar logica gekeken:

� De noties waarheid, geldigheid, model, tautologie, logisch gevolg (⊨) stondencentraal

� Nu meer syntactisch (formeel in letterlijke zin): deductie of afleidbaarheidin een formeel systeem

Page 18: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

18

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 103

Natuurlijke deductie

� Voorgesteld als ‘natuurlijk’ alternatiefvoor de Hilbert-stijl axiomatischesystemen van het volgend hoofdstuk

� Deductie zonder axioma’s maar loutermet regels

� Notatie: ⊥ = 0 (falsum)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 104

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (1): ∧I (∧-introductie)

A B

A ∧ B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 105

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (2): ∧E (∧-eliminatie)

A ∧ BA

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 106

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (3): ∧E (∧-eliminatie)

A ∧ BB

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 107

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (4): ∨I (∨-introductie)

A____A ∨ B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 108

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (5): ∨I (∨-introductie)

B____A ∨ B

Page 19: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

19

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 109

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (6): ∨E (∨-eliminatie)

A B. .

. .

A ∨ B C CC

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 110

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (7): →I (→-introductie)A..

C_____A → C

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 111

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (8): →E (→-eliminatie)

A A →CC

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 112

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (9a): ⊥-introductie

A ¬A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 113

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (9): ⊥-eliminatie

⊥C

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 114

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (10): RAA (Reductio Ad Absurdum)

¬A..⊥_____A

Page 20: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

20

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 115

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (10a): RAA (Reductio Ad Absurdum)

A..⊥_____

¬A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 116

Regels van natuurlijkedeductie

� Regel (11): Id (Identiteit)

A A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 117

Natuurlijke deducties

� Deductie C uit assumpties A1, …, An

� Notatie: {A1, …, An} ⊢ C� Notatie: ⊢ C i.p.v. Ø ⊢ C

� L&V.natdeduct.ppt

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 118

Voorbeeld natuurlijke deductie

� {A∧B} ⊢ B ∧ A� Bewijs:

A∧B A∧BB A___________

B ∧ A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 119

Voorbeeld natuurlijke deductie� ⊢ (A ∧ B) → (B ∧ A)� Bewijs:

A∧B A∧BB A___________

B ∧ A______________(A ∧ B) → (B ∧ A)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 120

Voorbeeld natuurlijke deductie

� {B} ⊢ (A → B) � Bewijs:

AB_____B_____

A → B

Page 21: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

21

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 121

{¬A} ⊢ (A → B)

� Bewijs:¬A A_____

⊥_____B_____

A → B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 122

{A ∨ B, ¬B} ⊢ A

B ¬B______A ⊥_____

A∨B A A__________A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 123

⊢ ¬¬A → A

� Bewijs:¬A1 ¬¬A2_______

⊥_______A_______

¬¬A → A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 124

⊢ (¬B → ¬A) → (A → B)

¬B1 ¬B → ¬A3_____________

¬A A2_______

⊥____B_____

A → B__________________(¬B → ¬A) → (A → B)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 125

Sequentencalculus

� De sequentencalculus combineert tweezaken:� De ‘natuurlijke’ wijze van bewijzen (zoals in

natuurlijke deductie)� Het gebruik van de strategie om een

tegenmodel te trachten te vinden (zoals bijsemantische tableaux)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 126

Sequent

� Een sequent is een paar (L,R) waarbij L en R beide (evt. lege) rijen proposities zijn

� Notatie: L ⇒ R� Deze notatie is ingegeven door de

interpretatie van een sequent:� L ⇒ R betekent dat minstens één van de

proposities in L onwaar zijn of minstens één van de proposities in R waar zijn

Page 22: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

22

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 127

Interpretatie van sequenten

� Bijv. A, B, C ⇒ D, E� (Equivalente) interpretaties:

� Als A en B en C waar dan D of E waar� A of B of C onwaar of D of E waar� Als D en E onwaar dan A of B of C onwaar

� Een sequent kan worden gezien als eenargument gecodeerd in een objecttaal

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 128

Onwaarheid van een sequent

� Bijv. de sequent

A, B, C ⇒ D, E� is onwaar als:� A en B en C waar en D en E onwaar

� [v(A) = v(B) = v(C) = T en v(D) = v(E) = F]

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 129

Deductie van sequenten

� We gaan in de calculus sequentenafleiden met behulp van regels

� Bewijzen zien er dus uit als:

L0 ⇒ R0

L1 ⇒ R1

.

Ln ⇒ Rn

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 130

Regels van de sequentencalculus

� Regel (1): R∧

Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2 ⇒ B, ∆2_______________________________

Γ1, Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1, ∆2

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 131

Rechtvaardiging Regel (1)

� We laten zien: als conclusie onwaar dan (minstens een) premisse onwaar.

� Stel dus Γ1, Γ2 ⇒ A ∧ B, ∆1, ∆2 onwaar.� Dan: v(Γ1) = v(Γ2) = T en v(A ∧ B) = v(∆1) =

v(∆2) = F� Notatie: v(∆) = T/F ⇔ v(D) = T/F voor alle D ∈ ∆.

� Dus v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en [v(A) = F of v(B) = F] en v(∆1) = F en v(∆2) = F

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 132

Rechtvaardiging Regel (1)� Dus:

� Of: [v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en v(A) = F en v(∆1) = Fen v(∆2) = F]

� Of: [v(Γ1) = T en v(Γ2) = T en v(B) = F en v(∆1) = Fen v(∆2) = F]

� Dus:� Of: v(Γ1) = T en v(A) = v(∆1) = F� Of: v(Γ2) = T en v(B) = v(∆2) = F

� Dus Γ1 ⇒ A, ∆1 is onwaar of Γ2 ⇒ B, ∆2 is onwaar Q.E.D.

Page 23: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

23

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 133

Regels van de sequentencalculus

� Regel (2): L∧

Γ, A ⇒ ∆________________

Γ, A ∧ B ⇒ ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 134

Regels van de sequentencalculus

� Regel (3): L∧

Γ, B ⇒ ∆________________

Γ, A ∧ B ⇒ ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 135

Regels van de sequentencalculus

� Regel (4): R∨

Γ ⇒ A, ∆________________

Γ ⇒ A ∨ B, ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 136

Regels van de sequentencalculus

� Regel (5): R∨

Γ ⇒ B, ∆________________

Γ ⇒ A ∨ B, ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 137

Regels van de sequentencalculus

� Regel (6): L∨

Γ1, A ⇒ ∆1 Γ2, B ⇒ ∆2_______________________________

Γ1, Γ2, A ∨ B ⇒ ∆1, ∆2

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 138

Regels van de sequentencalculus

� Regel (7): R→

Γ, A ⇒ B, ∆__________________

Γ ⇒ A → B, ∆

Page 24: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

24

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 139

Regels van de sequentencalculus

� Regel (8): L→

Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2, B ⇒ ∆2_______________________________

Γ1, Γ2, A → B ⇒ ∆1, ∆2

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 140

Regels van de sequentencalculus

� Regel (9): R¬

Γ, A ⇒ ∆______________

Γ ⇒ ¬A, ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 141

Regels van de sequentencalculus

� Regel (10): L¬

Γ ⇒ A, ∆______________

Γ, ¬A ⇒ ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 142

Regels van de sequentencalculus

� Regel (11): RT

Γ ⇒ ∆____________

Γ ⇒ A, ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 143

Regels van de sequentencalculus

� Regel (12): LT

Γ ⇒ ∆____________

Γ, A ⇒ ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 144

Regels van de sequentencalculus

� Regel (13): RC

Γ ⇒ A, A, ∆________________

Γ⇒ A, ∆

Page 25: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

25

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 145

Regels van de sequentencalculus

� Regel (14): RC

Γ, A, A ⇒ ∆________________

Γ, A ⇒ ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 146

Regels van de sequentencalculus

� Regel (15): RR

Γ ⇒ A, B, ∆________________

Γ⇒ B, A, ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 147

Regels van de sequentencalculus

� Regel (16): LR

Γ, A, B ⇒ ∆________________

Γ, B, A ⇒ ∆

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 148

Regels van de sequentencalculus

� Regel (17): Cut

Γ1 ⇒ A, ∆1 Γ2, A ⇒ ∆2_______________________________

Γ1, Γ2 ⇒ ∆1, ∆2

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 149

Regels van de sequentencalculus

� Regel (18): Id

A ⇒ A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 150

Voorbeeld bewijssequentencalculus

� ⇒ A → (B → A)� Bewijs:

� A ⇒ A� A, B ⇒ A� A ⇒ B → A� ⇒ A → (B → A)

Page 26: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

26

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 151

Voorbeeld bewijssequentencalculus

� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)� Bewijs:

� A ⇒ A B ⇒ B� ⇒ ¬A, A ¬B, B ⇒� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 152

Bewijsstrategie

� Zo’n bewijs is i.h.a. nog best moeilijk te vinden

� Gelukkig is er een bewijsstrategie die ons kan helpen: nl. probeer de te bewijzen formule te falsificeren!

� Zet de formules die dan waar moeten zijnlinks en de formules die onwaar moeten zijnrechts, en ga dan door met het achterwaartsconstrueren van het bewijs

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 153

Bewijsstrategie� Ik moet bewijzen de sequent L ⇒ R� Stel L ⇒ R onwaar� Dan alle wff in L waar en alle wff in R onwaar� Analyse levert een nieuwe sequent L’ ⇒ R’

die dan ook onwaar is� Maar dan betekent als L’ ⇒ R’ waar dan ook

L ⇒ R waar (“contrapositie op metaniveau”)� Maar dan een stukje bewijs gevonden:

L’ ⇒ R’L ⇒ R Logica &

Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 154

Voorbeeld� We willen bewijzen:� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)� De rechtse formule (en dan ook de sequent)

is onwaar als:� (¬A → ¬B) waar en (B → A) onwaar� zet (¬A → ¬B) links en (B → A) rechts

� ¬A → ¬B ⇒ B → A� [als vorige sequent onwaar, ook deze onwaar; en

dus omgekeerd, als deze waar ook vorige waar!]

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 155

Voorbeeld

� Rechtse formule B → A is onwaar als� B waar en A onwaar� Zet B links en A rechts

� ¬A → ¬B, B ⇒ A� Linkse formule ¬A → ¬B is waar als

� ¬A onwaar of ¬B waar� Splitsing in 2 sequenten:

� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ ALogica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 156

Voorbeeld

� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ A� Linker sequent ¬A onwaar maken, dus A

waar maken en links zetten� Rechter sequent ¬B waar maken, dus B

onwaar maken en rechts zetten

� A, B ⇒ A B ⇒ A, B� Deze volgen direct uit A ⇒ A en B ⇒ B via LT

en RT, en zijn dus niet onwaar te maken!

Page 27: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

27

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 157

Voorbeeld

� Dus bewijs:� A ⇒ A B ⇒ B� A, B ⇒ A B ⇒ A, B� B ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒ A� ¬A → ¬B, B, B ⇒ A, A� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 158

Voorbeeld

� Bewijs te vereenvoudigen:� A ⇒ A B ⇒ B�

� ⇒ ¬A, A B, ¬B ⇒�

� ¬A → ¬B, B ⇒ A� ¬A → ¬B ⇒ B → A� ⇒ (¬A → ¬B) → (B → A)

Axiomatische propositielogica

Hilbert systeem

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 160

Axiomatische systemen

� Een axiomatisch (Hilbert) systeembestaat uit:� Alfabet Σ van symbolen� Verzameling WF van welgevormde

formules (wff’s): WF ⊆ Σ*� Verzameling Ax van axioma’s: Ax ⊆ WF� Verzameling R van (afleidings)regels

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 161

Deductie (afleiding)

� Deductie in een axiomatisch systeem� Een rij van wff F1, F2, …, Fn, zdd. voor elke

i:� Fi is een axioma in Ax� Fi is een hypothese in H� Fi kan worden afgeleid uit voorgaande formules

m.b.v. de afleidingsregels

� Notatie: H ⊢⊢⊢⊢ Fn

� Notatie: ⊢⊢⊢⊢ Fn i.p.v. Ø ⊢⊢⊢⊢ Fn (Fn is theorema)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 162

MIU systeem (Hofstadter)

� Σ = {M, I, U}� WF = {M, I, U}*� Ax = {MI}� R = {

}

xI___

xIU

Mx___

Mxx

xIIIy___

xUy

xUUy_____

xy

Page 28: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

28

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 163

Alleidingen in MIU

� Eenvoudig volgende theorema’s te bewijzen:� ⊢ MUI� ⊢ MUIIU� ⊢ MIUU

� (Meta-)Stelling: ⊬⊬⊬⊬ MU

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 164

Een Hilbert systeem voorpropositielogica

� Systeem AL is gedefinieerd door:

� Σ = {¬, →, (, ), p0, p1, p2, …, pn, …}

� WF = {x ∈ Σ* | x = pi (voor i ∈ N)of x = ¬A (voor een A ∈ WF) of x = A → B (voor A, B ∈ WF)}

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 165

Systeem AL

� Axioma’s Ax:� A →→→→ (B →→→→ A)� (A →→→→ (B →→→→ C)) →→→→ ((A →→→→ B) →→→→ (A →→→→ C)) � (¬A →→→→ ¬B) →→→→ (B →→→→ A)

� Regels R:� Uit A, A →→→→ B is B afleidbaar (Modus Ponens)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 166

Voorbeeld deductie

� ⊢((p2 → p3) → (p2 → p2))� Bewijs:1. p2 → (p3 → p2)2. (p2 → (p3 → p2)) → ((p2 → p3) → (p2 → p2))3. ((p2 → p3) → (p2 → p2))

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 167

Gezondheid van AL� Met behulp van het axiomatische systeem AL

kun je theorema’s afleiden� Wil het systeem AL nuttig zijn zou je

verwachten dat alle af te leiden theorema’stautologieen zijn!

� D.w.z. voor alle F ∈ WF geldt:⊢F ⇒ ⊨F

� Dit heet de gezondheid (‘soundness’) van AL� Stelling: AL is gezond.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 168

Volledigheid van AL

� Nog mooier is het natuurlijk als ook hetomgekeerde geldt:

� Alle tautologieen zijn afleidbaar in AL, d.w.z. voor alle F ∈ WF geldt

⊨ F ⇒ ⊢ F� Dit heet de volledigheid

(‘completeness’) van AL� Stelling: AL is volledig.

Page 29: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

29

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 169

Bewijzen van gezondheid en volledigheid

� De gezondheid van AL is eenvoudig te bewijzen met inductie naar de lengte van afleidingen:� Basis: bewijs: axioma’s zijn geldig (tautologieën)� Inductiestap: het toepassen van de regel MP

behoudt geldigheid: bewijs dat als ⊨ A en ⊨ A → B dan ⊨ B.

� Het bewijzen van de volledigheid van AL is veel moeilijker en vereist veel techniek.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 170

Andere axiomatischesystemen� Er zijn naast AL vele andere gezonde en

volledige axiomatische systemen voor de propositielogica voorgesteld.

� Voorbeeld (Lukasiewicz):� Axioma’s:

� (¬A →→→→ A) →→→→ A� A →→→→ (¬A →→→→ B)� (A →→→→ B) →→→→ ((B →→→→ C) →→→→ (A →→→→ C))

� Regel� Modus ponens

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 171

Extreme voorbeelden� Meredith

� Axioma� [(((A →→→→ B) →→→→ (¬C →→→→ ¬D)) →→→→ C) →→→→ E] →→→→ [(E →→→→ A) →→→→ (D →→→→ A)]

� Regel� Modus ponens

� Nicod� Axioma

� (A | (B | C)) | {[D |(D | D)] | [(E | B) | ((A | F) | (A | F))]}

� Regel� Uit A en A | (B | C) kunnen we C afleiden

Resolutie in propositielogica

normaalvormenresolutie

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 173

Introductie

� Resolutie is een mechanischebewijsmethode ontwikkeld door Robinson in de zestiger jaren.

� Het vormt de basis voor een heel programmeerparadigma: het zgn. logisch programmeren (met alsbekendste voorbeeld PROLOG).

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 174

Normaalvormen

� Literal� Atoom of negatie van een atoom

� Conjunctieve normaalvorm (CNF)� Conjunctie van disjuncties van literals� Vb. (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ s ∨ t) ∧ (¬p ∨ r)

� Disjunctieve normaalvorm (DNF)� Disjunctie van conjuncties van literals� Vb. (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬q ∧ s ∧ t) ∨ (¬p ∧ r)

Page 30: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

30

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 175

Clauses � Clause

� (Eindige) disjunctie van literals� Clause vaak als een verzameling literals

gerepresenteerd� N.B. De lege clause stelt dus een disjunctie met 0

disjuncten voor, d.w.z. ⊥ = 0!!

� Een wff in CNF is een conjunctie van clauses� Representatie: verzameling clauses� N.B. De lege verz. clauses is een conjunctie met 0

conjuncten en stelt 1 (true) voor!!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 176

Converteren naar CNF

� Stappen:1. Elimineer ↔ dmv A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)2. Elimineer → dmv A → B ≡ ¬A ∨ B3. Zorg ervoor dat de negatietekens direct voor

atomen staan mbv De Morgan’s wetten¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B en ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B

4. Elimineer dubbele negaties mbv ¬¬A ≡ A5. Gebruik de distributieve wet A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨

B) ∧ (A ∨ C)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 177

Voorbeeld� (¬p ∧ (¬q → r)) ↔ s� ((¬p ∧ (¬q → r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (¬q → r)))� ((¬p ∧ (¬¬q ∨ r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (¬¬q ∨ r)))� ((¬p ∧ (q ∨ r)) → s) ∧ (s →(¬p ∧ (q ∨ r)))� (¬(¬p ∧ (q ∨ r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� ((¬¬p ∨ ¬(q ∨ r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� ((p ∨ (¬q ∧ ¬r)) ∨ s) ∧ (¬s ∨ (¬p ∧ (q ∨ r)))� (((p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬r)) ∨ s) ∧ ((¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ (q ∨ r)))� (((p ∨ ¬q) ∨ s) ∧ ((p ∨ ¬r) ∨ s)) ∧ ((¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ (q ∨ r)))

� (p ∨ ¬q ∨ s) ∧ (p ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬s ∨ ¬p) ∧ (¬s ∨ q ∨ r)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 178

Representatie van een CNF� Een formule in CNF is een conjunctie van

clauses, gerepresenteerd als verzamelingclausesBijv. Formule in CNF: � (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ s ∨ t) ∧ (¬p ∨ r)wordt gerepresenteerd als:� {(p ∨ q ∨ ¬r), (¬q ∨ s ∨ t), (¬p ∨ r)}En zelfs als verzameling van verzamelingen:� {{p, q, ¬r}, {¬q, s, t}, {¬p, r}}

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 179

Complementair paar, resolvent

� Literals p en ¬p heten eencomplementair paarZij C1 en C2 clauses die eencomplementair paar λ, ¬λ bevatten

� Resolvent van clauses C1 en C2:� res(C1, C2) = (C1 \ {λ}) ∪ (C2 \ {¬λ}) � Vb. res({p, ¬q}, {q, ¬r}) = {p, ¬r}

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 180

Resolutieprincipe� Stelling: C1 ∧ C2 ⊨ res(C1, C2)

� Bewijs: Zij C1= {p1, p2, …, pm, λ} en C2 = {q1, q2, …, qn, ¬λ}. Dan: res(C1, C2) = {p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}. Beschouw nu een valuatie v met v(C1) = v(C2) = T. Twee gevallen:

� v(λ) = F: dan v(pi) = T voor een i, omdat v(C1) = T. Dusdan ook v({p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}) = T. Dusv(res(C1, C2)) = T

� v(λ) = T: dan v(¬λ) = F, en dus v(qi) = T voor een i, omdat v(C2) = T. Dus ook v(res(C1, C2) )= v({p1, p2, …, pm, q1, q2, …, qn}) = T.

Dus C1 ∧ C2 ⊨ res(C1, C2) q.e.d.

Page 31: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

31

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 181

Resolutie-deductie

� Een resolutie-deductie van een clause C uit een verzameling S van clauses:� is ‘n eindige rij clauses C1, C2, …, Cn = C,

zdd. iedere Ci is:� Hetzij een element van S� Hetzij een resolvent van twee clauses uit S of

eerdere elementen uit de rij

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 182

Voorbeeld� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ⊨ (r ∨ s)� Afleiding (in boomrepresentatie):

{p, q, r} {¬q, s} {¬p, s}

{p, r, s}

{r, s}

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 183

Resolutie-refutatie

� Om S ⊨ C te bewijzen kunnen we ookrefutatie bewijzen van S ∧ ¬C, die we dan evt. eerst even in CNF moeten brengen. D.w.z. we bewijzen dan: S ∧ ¬C ⊨⊥.

� Voorbeeld: � (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ⊨ (r ∨ s)� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬(r ∨ s) ⊨⊥� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬r ∧ ¬s ⊨⊥

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 184

Voorbeeld (vervolg)� (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ s) ∧ (¬p ∨ s) ∧ ¬r ∧ ¬s ⊨⊥� Afleiding:{p, q, r} {¬q, s} {¬p, s} {¬r} {¬s}

{p, r, s}

{r, s}

{s}{ }

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 185

Geldigheid van een argument� We kunnen resolutie ook gebruiken voor het

checken van de geldigheid van een argument� We bezien weer het voorbeeld:

R → N, R ∴∴∴∴ N� We weten dat dit argument geldig is als

R → N, R ⊨ N� Equivalent: als

R → N, R, ¬N ⊨ ⊥Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 186

Geldigheid van een argument

� (R → N) ∧ R ∧ ¬NEerst omschrijven naar CNF:

� (¬R ∨ N) ∧ R ∧ ¬NGerepresenteerd als

� {(¬R ∨ N), R, ¬N} Of ook:� {{¬R, N}, {R}, {¬N}}

Page 32: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

32

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 187

Geldigheid van een argument

� Afleiding:{¬R, N} {R} {¬N}

{N} {¬N}

{ }

Introductie predicatenlogica

objecten, predicaten, functieskwantoren

1e orde talen

substituties, interpretaties

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 189

Syllogistische redeneringen

� Syllogistische redeneringen zoals� Alle mensen zijn sterfelijk� Socrates is een mens∴∴∴∴ Socrates is sterfelijk

kunnen niet met propositielogicaworden geanalyseerd

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 190

Objecten, predicaten, kwantoren

� Nodig:� Objecten, zoals Socrates� Predicaten, zoals sterfelijk� Kwantoren, zoals ‘alle’

� Redenering wordt nu formeel:� ∀x : M(x) → S(x)� M(s)∴∴∴∴ S(s)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 191

Kwantoren

� Universele kwantor� Notatie: ∀� “voor alle”� Bijv. “(∀x)M(x)” of “(x) M(x)” of “∀x : M(x)”

� Existentiële kwantor� Notatie: ∃� “er is een”� Bijv. “(∃x)M(x)” of “∃x : M(x)”

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 192

Belangrijke formules

� Alle A zijn B:� Voor alle x: als x is A dan x is B� (∀x)(A(x) → B(x))

� Sommige A zijn B:� Er is x: x is A en x is B� (∃x)(A(x) ∧ B(x))

Page 33: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

33

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 193

N.B.

� Volgorde kwantoren essentieel:� Groot verschil:

� (∀x)(∃y)A(x,y)� Voor elke x is er een y zdd A(x,y)

� (∃y)(∀x)A(x,y)� Er is een y zdd voor elke x A(x,y)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 194

Kwantoren en eindig domein

� Als het domein van kwantificatie eindigis, zeg {a1, …, an}, zijn de universele en existentiele kwantoren eigenlijk nietsmeer dan een afkorting van een eindigeconjunctie resp. disjunctie:� (∀x)A(x) = A(a1) ∧ … ∧ A(an) � (∃x)A(x) = A(a1) ∨ … ∨ A(an)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 195

Verband tussen ∀ en ∃� (∃x)A(x) ↔ ¬(∀x)¬A(x)

� (∀x)A(x) ↔ ¬(∃x)¬A(x)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 196

Functiesymbolen

� We kunnen in de predicatenlogicafuncties (of liever functiesymbolen) gebruiken om te verwijzen naarobjecten

� Voorbeeld: Moeder(a), Succ(n)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 197

1e orde talen

� Een 1e orde taal L bevat de volgendeingrediënten:� Alfabet

� Termen

� Welgevormde formules (wff’s)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 198

Alfabet

� Alfabet van L:� Constanten c1, …, cn, …� Variabelen x1, …, xn, …� Functiesymbolen f11, …, fn1

1, …, f12, …, fn22, …, f13,

…, fn33, …, …

� Predicaatsymbolen P11, …, Pm1

1, …, P12, …, Pm2

2, …, P1

3, …, Pm33, …, …

� Logische symbolen ¬, ∧, ∨, →, ↔, ∀, ∃� Punctuatiesymbolen (, ), ,

Page 34: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

34

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 199

Ariteit

� Het superscript bij de predicaten- en functiesymbolen slaat op de zgn. ariteit, d.w.z. het aantal argumenten

� Bijv. P73(x, y, z)

� Bijv. f52(x, y)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 200

Termen

� Termen worden recursief gedefinieerd:� Iedere constante is een term� Iedere variabele is een term� Als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is ook

fin(t1, t2, …, tn) een term� Niets anders is een term

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 201

Welgevormde formules

� Ook welgevormde formules (wff) worden recursief gedefinieerd:� Als t1, t2, …, tn termen zijn, dan is

Pin(t1, t2, …, tn) een wff

� Als A en B wff’s zijn, dan zijn ook ¬A, A ∧ B, A ∨B, A → B en A ↔ B wff’s

� Als A een wff is, dan zijn ook (∀xi)A en (∃ xi)A wff’s

� Niets anders is een wff

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 202

Kwantoren: scope en binding

� Scope van een kwantor� In (∀x)A en (∃x)A is A de scope van de

betreffende kwantor

� Binding van voorkomens van variabelen� Als een variabele x voorkomt in de scope

van een kwantor (∀x) of (∃x), heet ditvoorkomen gebonden; anders vrij

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 203

Voorbeelden

� In (∃x)A(x,c) komt x gebonden voor� In (∃x)(A(x,c) ∧ B(y)) komt x gebonden

voor en y vrij

� In (∃x)(A(x,y) ∧ (∀y)B(y)) komt x gebonden voor en y zowel gebondenals vrij!!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 204

Gesloten wff’s

� Een wff is gesloten als deze geen vrijevoorkomens van variabelen bevat

� Voorbeelden:� A(c1, f(c2)) gesloten� (∀x)(∀y) A(x, f(y)) gesloten� (∀x) A(x, f(y)) niet gesloten

Page 35: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

35

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 205

Substitutie� Substitutie van term t voor variabele x in

formule A : � Vervang elk vrij voorkomen van x in A door t� Officiële notatie: A[t/x]� Kelly’s notatie: A(x) --substitutie t voor x--> A(t)

� Bij substitutie moeten we uitkijken dat we geen ongewenste verbanden tussenvariabelen aan brengen, bijv.� (∀x) A(y) --substitutie x voor y--> (∀x) A(x) !

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 206

Substitutie, vrij voor x

� We mogen alleen t voor x in A substitueren als t vrij is voor x in A.

� Een term t is vrij voor xi in een wff A� Als geen vrije voorkomens van xi binnen

de scope van (∀xk) of (∃xk) vallen, waarbijxk in t voorkomt

� Bijv. term x is niet vrij voor y in (∀x) A(y),want er is een vrij voorkomen van y binnende scope van (∀x)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 207

Semantiek

� Tot nu toe hebben we het alleen gehadover de syntax van een 1e orde taal.

� Nu gaan we over naar de semantiek(betekenis).

� Hiertoe hebben we 2 dingen nodig:� Een niet-leeg domein D van objecten� Een interpretatie-functie I

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 208

Interpretaties

� Een interpretatie(functie) I interpreteert

� Constante ci: I(ci) = ci ∈ D� Functiesymbool fin : I(fin) = fin : Dn → D� Predicaatsymbool Pi

n: I(Pin) = Ri

n ⊆ Dn

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 209

Valuaties (bedelingen)

� Een valuatie (of bedeling) m.b.t. eeninterpretatie I is een functie v van de termen van L naar het domein D zdd.� v(ci) = I(ci) voor constante ci

� v(fin(t1, t2, …, tn)) = fin(v(t1), v(t2), …, v(tn))� v(xi) ∈ D, d.w.z. iedere variabele heeft een

waarde in D

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 210

Voorbeeld

� D = N (verz. natuurlijke getallen)� Gegeven I, v met

� I(S) = Succ, I(+) = +, I(0) = 0

� v(+(S(0), x)) =+(v(S(0)), v(x)) =+(Succ(v(0)), v(x)) =+(Succ(0), v(x)) =+(1, v(x)) = v(x) + 1

Page 36: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

36

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 211

Varianten van valuaties� Gegeven een valuatie v� We definieren een relatie op valuaties

v’ =x v� “v’ is een x-variant van v” of “v’ is gelijk aan v, evt.

op x na” (Kelly spreekt van ‘x-equivalent’)� voor alle variabelen y ≠ x: v’(y) = v(y) (en voor alle

constanten, functie- en predicatensymbolen zijn v en v’ ook gelijk)

� M.a.w. v’ en v kunnen alleen in hun waarde voor x verschillen, dus niet noodzakelijk v(x) = v’(x)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 212

Satisfactierelatie ⊨� Zij I een interpretatie van L, en v een valuatie

mbt I. Dan definieren we vervolgens v ⊨ A (vmaakt A waar, ‘v satisfies A’) zoals op de volgende slide.

� N.B. eigenlijk meer correcte notatie: I, v ⊨ A� Notatie: alhoewel v als functie eigenlijk alleen

op termen is gedefinieerd, schrijven we ookwel v(A) voor de waarheidswaarde van wff A:� v(A) = T ⇔ v ⊨ A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 213

Satisfactie (Tarskiaansesemantiek)

� v ⊨ Pin(t1, t2, …, tn) ⇔ Ri

n(v(t1), v(t2), …, v(tn)) geldt� v ⊨ ¬A ⇔ v ⊭ A� v ⊨ A ∧ B ⇔ v ⊨ A en v ⊨ B� v ⊨ A ∨ B ⇔ v ⊨ A of v ⊨ B� v ⊨ A → B ⇔ als v ⊨ A dan v ⊨ B� v ⊨ A ↔ B ⇔ v ⊨ A aesa v ⊨ B� v ⊨ (∀xi)A ⇔ v’ ⊨ A voor alle v’ =xi v� v ⊨ (∃xi)A ⇔ v’ ⊨ A voor een v’ =xi v

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 214

Voorbeeld: Er is een even natuurlijk getal� D = N, geg. I, v met I(Even)= Even� v ⊨ (∃x) Even(x) ⇔� v’ ⊨ Even(x) voor een v’ met v’ =x v ⇔� er is v’ en m ∈ D : v’ ⊨ Even(x) en v’(x)=m en

v’(y) = v(y) voor alle y ≠ x ⇔� er is v’ en m ∈ D : Even(v’(x)) en v’(x)=m en

v’(y) = v(y) voor alle y ≠ x ⇔� er is een m ∈ D : Even(m) ⇔� true

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 215

Waarheid

� Een wff A is waar in een interpretatie I� Notatie: I ⊨ A� Als voor elke valuatie v mbt I geldt: v ⊨ A

� Een wff A is onwaar in een interpretatie� Als voor elke v mbt I geldt: v ⊭ A� N.B. Dit is niet hetzelfde als I ⊭ A

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 216

Geldig en contradictoir

� Een wff A van een 1e orde taal L is logischgeldig (valid) � Notatie: ⊨ A� Als I ⊨ A voor elke interpretatie I, d.w.z. waar voor

elke valuatie v mbt elke I

� Een wff A van een 1e orde taal L is contradictoir� Als A onwaar is in elke interpretatie I, d.w.z.

onwaar voor voor elke valuatie mbt elke I

Page 37: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

37

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 217

Geldige formules� ⊨(∀x)A ↔ ¬(∃x)¬A� ⊨(∃x)A ↔ ¬(∀x)¬A � ⊨(∀x)A → (∃x)A� ⊨(∀x)(∀y)A ↔ (∀y)(∀x)A� ⊨(∃x)(∃y)A ↔ (∃y)(∃x)A� ⊨(∃x)(∀y)A → (∀y)(∃x)A

� ⊨(∀x)A ↔ (∀y)A[y/x] als y niet in A voorkomt

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 218

Geldige formules

� ⊨(∀x)(A ∧ B) ↔ (∀x)A ∧ (∀x)B � ⊨(∃x)(A ∨ B) ↔ (∃x)A ∨ (∃x)B� ⊨(∀x)A ∨ (∀x)B → (∀x)(A ∨ B)� ⊨(∃x)(A ∧ B) → (∃x)A ∧ (∃x)B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 219

Geldige formules

� ⊨(∀x)(A → B) → ((∀x)A → (∀x)B) � ⊨(∀x)(A → B) → ((∃x)A → (∃x)B)� ⊨(∀x)(A → B) ↔ (A → (∀x)B)

als x niet vrij voorkomt in A� ⊨(∀x)(A → B) ↔ ((∃x)A → B)

als x niet vrij voorkomt in B

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 220

Volledige (wiskundige) inductie� Stel we willen bewijzen:� ∀n ∈ N : P(n)� Dan is het voldoende te bewijzen:

� P(0) [inductiebasis]� ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N : P(n) →→→→ P(n+1) [inductiestap]

� Alternatief (equivalent!):� P(0) [inductiebasis]� ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N : (∀∀∀∀k ∈∈∈∈ N : 1≤k<n: P(k)) →→→→ P(n)

[inductiestap]

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 221

Volledige inductie

� Volledige inductie is een zeer krachtigmiddel om eigenschappen te bewijzenover oneindige domeinen (zoals de natuurlijke getallen, maar ook bijv. oneindige verzamelingen formules!)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 222

Voorbeeld� P(n) ⇔ 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2� Claim: ∀n ∈ N+ : P(n)� Bewijs:

� Basis: Geldt P(1)? 1 = (1×2)/2 ok� Inductiestap: Stel P(n) voor n≥1. Dan te bew.

P(n+1): 1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) =(n(n+1) + 2(n+1))/2 =((n+1)(n+2))/2 ok

Page 38: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

38

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 223

Voorbeeld: Elke term heefteen even aantal haakjes� P(t) ⇔ t bevat even aantal haakjes� Claim: P(t) voor alle termen t

� Basis: t heeft lengte 1: P(t) geldt voor alleconstanten c en variabelen x (aantal = 0: even) ok

� Inductiestap: bekijk het geval t = fin(t1, t2, …, tn) en stel dat P(t’) geldt voor alle termen met kleinerelengte dan t. Het aantal haakjes in t is 2 + de somvan de aantallen haakjes in t1 t/m tn. Ind.hyp: alle tihebben kleinere lengte dan t en hebben dus eeneven aantal haakjes. Maar dan heeft ook t eeneven aantal haakjes. ok

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 224

Stelling: verband substitutiesen valuaties mbt termen

� Termen t en s, valuatie v� Def. valuatie v{d/x} door:

� v{d/x}(x) = d� v{d/x}(y) = v(y) voor y ≠ x

� Dan geldt:v{v(s)/x}(t) = v(t[s/x])

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 225

Bewijs� Met inductie naar opbouw t:

� Basis:� t = x: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(x) = v(s) = v(x[s/x])

= v(t[s/x])� t = y ≠ x: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(y) = v(y) = v(y[s/x]) =

v(t[s/x])� t = c: v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(c) = v(c) = v(c[s/x]) = v(t[s/x])

� Inductiestap:� t = f(t1,…tn): v{v(s)/x}(t) = v{v(s)/x}(f(t1,…,tn)) =

v{v(s)/x}(f)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) = v(f)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) = (IH:) v(f)(v(t1[s/x]),…, v(tn[s/x])) = v(f(t1[s/x],…tn[s/x])) = v(f(t1,…tn)[s/x]) =v(t[s/x])

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 226

Stelling: verband substitutiesen valuaties mbt formules

� A wff, s term die vrij is voor x in A� Dan geldt, voor alle v:

v{v(s)/x} ⊨ A(x) ⇔ v ⊨ A(s)� Officiele notatie:

v{v(s)/x} ⊨ A ⇔ v ⊨ A[s/x]ofwel

v{v(s)/x}(A) = v(A[s/x])

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 227

Bewijs

� Met inductie naar opbouw formule A:� Basis:

� A = Pi(t1,…, tn): v{v(s)/x} ⊨ Pi(t1,…, tn) ⇔v{v(s)/x}(Pi)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) ⇔v(Pi)(v{v(s)/x}(t1),…, v{v(s)/x}(tn)) ⇔ (stell.) v(Pi)(v(t1[s/x]),…, v(tn[s/x])) ⇔ v ⊨ Pi(t1[s/x], …, tn[s/x]) ⇔ v ⊨ Pi(t1, t2, …, tn)[s/x]

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 228

Bewijs� Inductiestap:

� A = ¬B: v{v(s)/x} ⊨ ¬B ⇔ v{v(s)/x} ⊭ B ⇔ (IH:) v ⊭ B[s/x] ⇔ v ⊨ ¬B[s/x]

� A = B ∧ B’, B ∨ B’, B → B’, B ↔ B’ analoog� A = (∀x)B: v{v(s)/x} ⊨ (∀x)B ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’ =x

v{v(s)/x} ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’ =x v ⇔ v ⊨ (∀x)B ⇔ v ⊨((∀x)B)[s/x]

� A = (∀y)B met y≠x: v{v(s)/x} ⊨ (∀y)B ⇔ v’ ⊨ B voor alle v’=y v{v(s)/x} ⇔ (IH:) v” ⊨ B[s/x] voor alle v” =y v ⇔ v ⊨(∀y)B[s/x] ⇔ v ⊨ ((∀y)B)[s/x]

� A = (∃x)B, (∃y)B analoog

Page 39: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

39

Semantische tableaux

voor de predicatenlogica

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 230

Semantische tableaux

� Ook voor de predicatenlogica kunnenwe werken met semantische tableaux

� In feite gebruiken we dezelfde regels alsvoor de propositielogica, aangevuld met een aantal regels voor de kwantoren.

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 231

Regels semantische tableaux

� Regel 10 (∀)

(∀x)A(x)A(t)

waarbij t een (willekeurige) term is

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 232

Regels semantische tableaux

� Regel 11 (∃)

(∃x)A(x)A(t)

waarbij t een term is die tot nu toe nogniet is gebruikt in de afleiding!!!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 233

Regels semantische tableaux

� Regel 12 (¬∀)

¬(∀x)A(x)(∃x)¬A(x)

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 234

Regels semantische tableaux

� Regel 13 (¬∃)

¬(∃x)A(x)(∀x)¬A(x)

Page 40: Logica & Verzamelingen Logica & Verzamelingen Logica ...

40

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 235

(∀x)A(x)→(∃y)A(y)

¬((∀x)A(x)→(∃y)A(y))(∀x)A(x)¬(∃y)A(y)(∀y)¬A(y)

¬A(a)A(a)

closed

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 236

Tot slot van het logica-deel� Dit was een inleiding in de logica en logische

technieken� Zoals we hebben gezien, zijn er vele logische

technieken, alleen al voor de klassiekepropositielogica (semantisch, bewijstheoretisch, computationeel)

� Belangrijk is die techniek(en) te gebruiken die voor de toepassing handig is en te allen tijdegoed in de gaten te houden waar je preciesmee bezig bent!!

Logica & Verzamelingen J.-J. Ch. Meyer 237

Mixed Engineering Principle (MEP)

� Het door elkaar gebruiken van verschillendetechnieken is uiterst gevaarlijk (er spelen dan diverse noties en interpretaties van formulesdoor elkaar) en is alleen voorbehouden aangevorderden (als je meer dan 3 cursussen(voortgezette) logica achter de kiezen hebt en precies begrijpt wat je aan het doen bent)!

� Dus niet doen op het tentamen!