Linearis Algebra

BUDAPESTI KOZGAZDASAGTUDOMANYIEGYETEM

Puskas Csaba, Szabo Imre, Tallos Peter

LINEARIS ALGEBRA

JEGYZET

BUDAPEST, 1997

A szerzok Linearis Algebra, illetve Linearis Algebra II. c. jegyzeteinek atdolgozottkiadasa.

iEloszo

Ez a jegyzet a Budapesti Kozgazdasagtudomanyi Egyetem hallgatoinak masodikfeleves linearis algebrai tanulmanyait szeretne segteni. A jegyzet az alapszintumatematika oktatasban resztvevo hallgatok linearis algebra tananyagat tartalmazza.A linearis algebra eredetileg linearis egyenletrendszerek megoldasaval foglalkozott,ezert eloszor csak a matrixaritmetika es determinanselmelet tartozott targyahoz.Donto hatassal volt fejlodesere, az a felismeres, hogy a mindennapi ertelembenvett ter geometriajanak altalanostasakent kapott vektorterek elmelete a linearisegyenletrendszerek problemakoret mas megvilagtasba helyezi. Ebben a jegyzetbena vektorterek elmeletenek elemeit targyaljuk, es a matrixaritmetika ennek a celnaka szolgalataba van alltva. Ugy erezzuk, hogy gy konnyebben megmutatkozik minda tetelek melyebb ertelme es az azok kozotti kapcsolat. Ez a feleptes lehetove teszi,hogy az itt nyert eredmenyeket mind a matematikan belul, mind mas tudomany-teruleteken is alkalmazzak.

Szoljunk nehany szot a jegyzet szerkezeterol es jelolesmodjarol. Eloszor akesobbiekben sokat hasznalt matrixaritmetika elemeit gyujtottuk ossze, majd be-mutatjuk az absztrakt vektortereket, es legfontosabb tulajdonsagaikkal jellemezzukazokat. Ezutan raterunk a linearis lekepezesek es transzformaciok targyalasara.Ezek reprezentacioja teremti meg a kapcsolatot a matrixaritmetikaval. Ezt kovetoenmar eleget tudunk ahhoz, hogy a linearis egyenletrendszerek megoldasat elegansankezelhessuk. Ezutan az euklideszi terek targyalasa kovetkezik, majd a linearis transz-formaciok sajatertekeinek es sajatvektorainak meghatarozasara adunk modszert.Vegul a tobbvaltozos fuggvenyek lokalis szelsoertekeinek meghatarozasakor elenged-hetetlen kvadratikus alakok es azok definitsegenek vizsgalata kovetkezik. Az utolsohatodik fejezet a tobbvaltozos fuggvenytan elemeinek linearis algebrai eszkozokkelvalo targyalasat tartalmazza.

A bevezetett fogalmak tobbseget szamozott definciokban adjuk meg, neha azon-ban a gordulekenyseg erdekeben csak doltbetus szedessel hvjuk fel rajuk a figyel-met. A tetelek es alltasok tripla szamozasa megmutatja, hogy mely fejezet, melyikpontjanak hanyadik tetelerol vagy alltasarol van szo.

A Faktorterek cmu szakasz jelzessel van ellatva, ami azt jelzi, hogy ismeretenelkul is ertheto a tovabbi anyag, de ugy gondoltuk, hogy elolvasasa hozzajarulhata vektorterek elmeletenek jobb megertesehez.

A jegyzet elso ot fejezetet Puskas Csaba, mg az utoso hatodik fejezetet SzaboImre es Tallos Peter rtak.

Itt hvjuk fel a figyelmet arra, hogy az egy-egy pontot lezaro feladatok es gyako-rlatok nem potolhatjak a feladatgyujtemenyt. Ebbol a szempontbol ez a jegyzetmeglehetosen hianyos.

Tudjuk, hogy minden igyekezetunk ellenere meg mindig maradtak hibak,elrasok, bar a kollegaink nagyon sokat felfedeztek es azokat termeszetesen ki-javtottuk.

A jegyzetet szedesi munkai a TEX kiadvanyszerkeszto szoftver LaTEX valtozata-val, az abrak pedig a PICTEX szoftverrel keszultek.

Budapest, 1997. februar 6.Puskas Csaba, Szabo Imre, Tallos Peter

Tartalomjegyzek

Eloszo i

Tartalomjegyzek iii

1 Vektorterek es elemi tulajdonsagaik 11.1 Matrixaritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 A matrixmuveletek tulajdonsagai . . . . . . . . . . . . . . . . 6A matrixok osszeadasanak tulajdonsagai . . . . . . . . . . . . 6A matrixok skalarral valo szorzasanak tulajdonsagai . . . . . 6A matrixok szorzasanak tulajdonsagai . . . . . . . . . . . . . 7A matrixok szorzasanak es osszeadasanak kapcsolata . . . . . 8

1.2 Specialis matrixok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Vektorok a skon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 A vektorter fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Peldak vektorterekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Alterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Linearis fuggetlenseg es osszefuggoseg . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7 Vektorter dimenzioja es bazisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Koordinata reprezentacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8.1 Elemi bazistranszformacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.8.2 Az elemi bazistranszformacio nehany alkalmazasa . . . . . . . 46

Vektorrendszerek linearis fuggetlensegenek, illetve osszefuggo-segenek vizsgalata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kompatibilitas vizsgalat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Linearis lekepezesek, transzformaciok 512.1 A linearis lekepezesek elemi tulajdonsagai . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.1 Peldak linearis lekepezesekre es transzformaciokra . . . . . . 522.1.2 Linearis lekepezesek magtere es keptere . . . . . . . . . . . . 54

2.2 Muveletek linearis lekepezesekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.1 Linearis lekepezesek osszeadasa es szorzasa skalarral . . . . . 562.2.2 Linearis lekepezesek szorzasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.3 Linearis transzformaciok inverze . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Peldak invertalhato linearis transzformaciokra . . . . . . . . . 602.2.4 Faktorterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3 Matrix reprezentacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

iii

iv TARTALOMJEGYZEK

2.3.1 A linearis lekepezesekkel es matrixokkal vegzett muveletekkapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Matrixok es linearis lekepezesek osszeadasnak kapcsolata . . 67Matrixok es linearis lekepezesek skalarral valo szorzasanak

kapcsolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Matrixok, illetve linearis lekepezesek szorzasanak kapcsolata . 69Linearis lekepezesek es transzformaciok szorzasanak tulaj-

donsagai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.2 Linearis transzformaciok inverzenek matrixa . . . . . . . . . . 72

2.4 Altalanos bazistranszformacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.1 Linearis transzformacio matrixa uj bazisban . . . . . . . . . . 74

2.5 Matrixok bazisfaktorizacioja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 Alkalmazasok 833.1 Linearis egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.1.1 Homogen linearis egyenletrendszerek megoldasa . . . . . . . . 863.1.2 Inhomogen linearis egyenletrendszerek megoldasa . . . . . . . 89

3.2 Matrixegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3 Matrix inverzenek numerikus meghatarozasa . . . . . . . . . . . . . 94

4 Euklideszi terek 974.1 Skalaris szorzatos terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2 A transzponalt linearis lekepezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3 Geometriai fogalmak altalanostasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.1 Terelemek tavolsaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Pont es egyenes tavolsaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Pont es hipersk tavolsaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Parhuzamos hiperskok tavolsaga . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4 Uniter terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5 Invarians alterek 1315.1 Invarians alterek, transzformaciok polinomjai . . . . . . . . . . . . . 131

5.1.1 Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.1.2 Linearis transzformaciok es matrixaik polinomjai . . . . . . . 138

5.2 Sajatvektorok es sajatertekek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3 A sk elemi linearis transzformacioi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4 Eklideszi terek linearis transzformacioi . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.4.1 Szimmetrikus linearis transzformaciok . . . . . . . . . . . . . 1495.4.2 Ortogonalis linearis transzformaciok . . . . . . . . . . . . . . 151

5.5 Kvadratikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6 Differencialszamtas 1596.1 Matrixok normaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.2 Differencialhatosag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3 Parcialis derivaltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.4 Folytonos differencialhatosag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.5 Masodrendu derivaltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.6 A szelsoertek masodrendu feltetelei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

TARTALOMJEGYZEK v

6.7 Az implicitfuggveny-tetel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.8 Felteteles szelsoertek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

vi TARTALOMJEGYZEK

1. Fejezet

Vektorterek es elemitulajdonsagaik

Ebben a fejezetben eloszor a matrix fogalmaval, a matrixokkal vegzett muveletekkel,es azok tulajdonsagaival ismerkedunk meg. Ezutan a koznapi ertelemben vett skvektorain ertelmezett osszeadas es vektorok valos szamokkal valo szorzasanak tula-jdonsagait vizsgaljuk. A szerzett tapasztalatok birtokaban definialjuk az absztraktvektorter fogalmat. Mar itt szeretnenk arra biztatni az olvasot, hogy a kesobbiekbenbevezetett fogalmak es alltasok pontos megertese erdekeben mindig vizsgalja meg,hogy a szobanforgo fogalomnak, illetve alltasnak mi a geometriai jelentese a skones a terben. A geometriai modell, bar nem helyettesti a bizonytast, de segti amegertest.

A kozgazdasz hallgatok szamara a valos koordinataterek ismerete a legfontosabb,megis, ahol a minden vektorterre jellemzo tulajdonsagokat targyaljuk, a tisztabbfogalomalkotas erdekeben nem hasznaljuk a vektorok koordinatait.

1.1 Matrixaritmetika

A linearis algebrai problemak numerikus megoldasa az esetek nagy tobbsegebenmatrixaritmetikai operaciok elvegzeset kvanja a feladat megoldojatol. Ezert ebbenaz elso pontban a matrix fogalmaval es az ezekkel vegzett muveletekkel fogunk megis-merkedni. Matrixokkal mar szamtalanszor talalkozott az olvaso, csak nem biztos,hogy azokat matrixnak neveztek. Szamtastechnikaban peldaul a matrix nev helyetta tomb nev hasznalatos, mg a mindennapi eletben egyszeruen csak szamtablazatrolbeszelunk. A matrix valojaban nem mas, mint egy teglalap alaku szamtablazat. Amatrix elemei tehat szamok, es a szamokkal vegzett muveletekre fogjuk visszavezetnia matrixokkal vegrehajtando muveleteket. Meg kell itt jegyezni, hogy a matematikakulonbozo teruletein ertelmeznek nemcsak szamokbol felepulo matrixokat is, de ami celjainknak tokeletesen megfelelnek a szammatrixok. Persze meg meg kell aztis mondanunk, hogy milyen szamok lesznek a vizsgalando matrixok elemei. Erre akerdesre azt lehet valaszolni, hogy az esetek tobbsegeben valos szamok, es mindenesetben olyan szamok, amelyeken ugyanolyan tulajdonsagu muveletek vegezhetok,mint a valos szamok halmazan, azaz valamilyen szamtestest elemeibol eptjuk majdfel a matrixokat. Az algebrai strukturakkal valo ismerkedes soran, mar talalkoztunk

1

2 1. FEJEZET VEKTORTEREK ES ELEMI TULAJDONSAGAIK

a test fogalmaval, most megis ujra megadjuk annak definciojat.

1.1.1 Defincio. Az F ketmuveletes algebrai strukturat testnek nevezzuk, ha amuveletek melyeket osszeadasnak, illetve szorzasnak hvunk es jelolesukre a +,illetve jeleket hasznaljuk - eleget tesznek az alabb felsorolt tulajdonsagoknak.Barmely , , F-re:

1. + = + (az osszeadas kommutatv),

2. + ( + ) = (+ ) + (az osszeadas asszociatv),

3. ( 0 F) : 0 + = + 0 = (van zeroelem F-ben),4. ( F) : ( () F) : + () = () + = 0 (minden elemnek van

negatvja),

a. = (a szorzas kommutatv),b. ( ) = ( ) (a szorzas asszociatv),c. ( 1 F) : 1 = 1 = (van egysegelem F-ben),d. ((6= 0) F) : (1 F) : 1 = 1 = 1 (minden nemzero elemnek

van reciproka),

A. (+ ) = + es (+ ) = + (a szorzas az osszeadasravonatkozoan disztributv).

A jol ismert szamhalmazaink kozul a racionalis szamok, a valos szamok es akomplex szamok alkotnak testet a szokasos osszeadas es szorzas muveletekkel. Van-nak azonban veges testek is, peldaul veges testet kapunk, ha tetszoleges p prmszameseten a {0, 1, . . . , (p 1)} halmazon ugy definialjuk ket elem osszeget/szorzatat,hogy kepezzuk elobb a kozonseges osszeguket/szorzatukat, majd a kapott eredmenyp-vel valo osztasa utani maradekat vesszuk. p = 5 eseten az alabbi tablazatokbanbemutatjuk az osszeadas es szorzas fenti ertelmezeset:

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

es

0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Az olvaso konnyen ellenorizheti, hogy a test definciojaban megkovetelt tulaj-donsagok mind egyike teljesul. A jolismert szamtestek es a most mutatott vegestestek egy le nyeges tulajdonsagban kulonboznek: nevezetesen, ha 6= 0 a test egytetszoleges eleme es n egy pozitv egesz, akkor az n amin olyan n tagu osszegetkell ertenunk, melynek minden tagja a racionalis, valos, vagy komplex szamoktesteben sohasem nulla, mg a veges testekben lehet nulla. Azt a legkisebb pozitvn egesz szamot, amelyre n = 0 teljesul a test tetszoleges 6= 0 elemere, a test

1.1. MATRIXARITMETIKA 3

karakterisztikajanak nevezzuk, es ha ilyen pozitv egesz szam nem letezik, akkor atestet 0-karakterisztikajunak mondjuk. A {0, 1, 2, 3, 4} halmazon a fenti muveletitablakkal ertelmezett test karakterisztikaja ot, peldaul az 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 , denem nehez ellenorizni, hogy a 2, 3, 4 elemekre is teljesul, hogy otszorosuk nulla azadott testben.

Tevedes lenne azt gondolni, hogy csak a racionalis, valos, vagy a komplex szamokteste 0-karakterisz tikaju, peldaul az a + b

2 alaku szamok halmaza, ahol a es b

racionalisak a valos szamhalmaznak valodi, de a racionalis szamok halmazanalbovebb reszhalmaza a szokasos osszeadas es szorzas muveletekkel 0-karakterisz-tikaju test. Persze linearis algebrai tanulmanyaink soran legtobbszor szamon valosszamot es nehanyszor komplex szamot fogunk erteni, de az altolanosthatosagot azzaljelezzuk, hogy a szobanforgo szamtestet F-fel fogjuk jelolni..

1.1.2 Defincio. Legyen F egy tetszoleges szamtest es jelolje I az {1, . . . ,m}es J pedig az {1, . . . , n} termeszetes szamok halmazat. Az A : I J F alakufuggvenyeket m n tipusu F test feletti matrixoknak nevezzuk.

Azonnal megjegyezzuk, hogy amint azt a sorozatok eseteben is tettuk, ame-lyek a termeszetes szamok halmazan ertelmezett fuggvenyek, de a fuggvenyertekekrendszerevel reprezentaltuk azokat, a matrixokat is a fuggvenyertekek rendszerevelreprezentalhatjuk, amelyeket m sorbol es n oszlopbol allo teglalap alaku tablazatbarendezunk:

A =

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

.Ennek megfeleloen azon, hogy az A matrix tipusa m n azt kell erteni, hogy msora es n oszlopa van. A matrixok jelolesere vastagon szedett nagy betuket fo-gunk hasznalni, de sokszor egy ugynevezett altalanos elemevel is hvatkozhatunk amatrixra, amelyet szogletes zarojelek koze runk. Peldaul, a fenti A matrixra az[ij ] jellel is utalhatunk. Itt ij persze az i-dik sorban es j-dik oszlopban levo F-beli szam. Mielott a matrixokkal muveleteket hajtanank vegre, meg kell mondnunk,hogy mikor tekintunk ket matrixot egyenlonek.

Az A es B matrixok egyenlok, ha tipusaik azonos es az azonos pozcioban levoelemeik egyenlok. Formalizalva a fentieket, az

A =

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

es

B =

11 12 . . . 1`21 22 . . . 2`...

.... . .

...k1 k2 . . . k`

matrixokra

A = B m = k, n = ` es i(= 1, . . . ,m); j(= 1, . . . , n) : ij = ij .


Ezek utan mar definialhatjuk matrixok osszeadasat a kovetkezokeppen: ketazonos tipusu A = [ij ] es B = [ij ] matrix osszeadasat az

[ij ] + [ij ]def= [ij + ij ]

egyenloseg ertelmezi. Tehat ket matrix osszege csak akkor van ertelmezve, ha ti-pusaik megegyeznek, es az osszegmatrix i-dik soranak j-dik eleme az osszeadandomatrixok i-dik soraban es j-dik oszlopaban levo elemek osszege.

Peldaul, az

A =

[2 0 6

1 9 2

]es B =

[1 2 34 5 6

]matrixok osszege az

A+B =

[3 2 93 4 4

].

Ertelmezzuk matrixoknak szammal valo szorzatat is az alabbi definialo egyenlo-seggel:

A = [ij ]def= [ij ] .

Szavakkal megfogalmazva ugyanezt egy A matrix szammal valo szorzatat meg-kapjuk, ha az A matrix minden elemet megszorozzuk a szammal.

Peldaul az

A =

[2 0 6

1 9 2

]matrix 3-szorosa:

3 A =[

6 0 183 27 6

].

Az osszeadasra es a szammal valo szorzasra tamaszkodva kepezhetjuk azonostipusu matrixok ugynevezett linearis kombinaciojat a kovetkezokeppen:

1.1.3 Defincio. Az A1, . . . ,Ak azonos tipusu matrixok 1, . . . , k skalarokkalkepzett linearis kombinaciojan a

1A1 + + kAkmatrixot ertjuk.

Amatrixok szorzasanak definialasakor fontos szerepet jatszanak azok a matrixok,amelyeknek csak egyetlen sora vagy csak egyetlen oszlopa van. Az 1 n tipusumatrixokat sorvektoroknak, mg az m 1 tipusuakat oszlopvektoroknak is fogjuknevezni es jelolesukre vastagon szedett kisbetuket fogunk hasznalni. Idonkent, hakulon is hangsulyozni kivanjuk, hogy sorvektorrol van szo, azt a felso indexszeljeloljuk.

Ertelmezzuk ket azonos elemszamu vektor belso szorzatat, vagy masnevenskalaris szorzatat az alabbi modon:

1.1.4 Defincio. Az a = [1, . . . , p] es a b = [1, . . . , p] vektorok belso szorzatanaz

a b def=pi=1

ii


szamot ertjuk.

A definciobol vilagos, hogy csak azonos elemszamu vektorok belso szorzataletezik es a gyakran hasznalt skalaris szorzat elnevezes onnan ered, hogy a szorzateredmenye egy szam, amelynek szinonmaja a skalar.

Ket A es B matrix A B szorzatat csak abban az esetben ertelmezzuk, hakepezheto az A matrix sorainak es a B matrix oszlopainak a belso szorzata, vagyami ugyanaz, ha az A oszlopainak a szama egyenlo a B sorainak a szamaval.

1.1.5 Defincio. Jelolje az mn tipusu A matrix i-dik sorat ai (i = 1, . . .m) es aznp tipusu B matrix j-dik oszlopat bj (j = 1, . . . , p) . Ekkor az A B szorzatmatrixertelmezve van, tipusa m p es a szorzat i-dik soraban a j-dik elem ai bj , mindeni(= 1, . . .m) es j(= 1, . . . , p) indexparra.

Reszletesen kirva a defincioban lertakat:

A B =

a1 b1 a1 b2 . . . a1 bpa2 b1 a2 b2 . . . a2 bp

......

. . ....

am b1 am b2 . . . am bp

.

Amint az a fenti definciobol is kiderul, a matrixok szorzasanal a tenyezok sor-rendje lenyeges, hiszen a baloldali tenyezo sorvektorainak es a jobboldali tenyezooszlopvektorainak kell kepezzuk a belso szorzatait, hogy megkapjuk a szorzatmatrixelemeit. Ezt hangsulyozando celszeru a fenti szorzatmatrixot

A B =

a1 b1 a1 b2 . . . a1 bpa2 b1 a2 b2 . . . a2 bp

......

. . ....


.

alakban rni.Ezt a jelolest az is indokolja, hogy amg egy sorvektornak (sormatrixnak) es

egy oszlopvektornak (oszlopmatrixnak) a szorzata csak akkor letezik, ha azonoselemszamuak, addig egy oszlopvektornak es egy sorvektornak a szorzata a fentiszorzasdefincio szerint mindig letezik. Valoban, ha

a =

12...m

es b = [1, 2, . . . , n] ,

akkor szorzatuk

a b =

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

egymn tipusu matrix, amelyet az a es b vektorok diadikus szorzatanak nevezunk.


1.1.1 A matrixmuveletek tulajdonsagai

Az elozoekben definialtunk nehany matrixokkal vegrehajthato muveletet. Ebbenaz alpontban megvizsgaljuk, hogy a szamokkal vegzett muveleteink tulajdonsagaikozul melyek maradnak ervenyesek es melyek vesztik ervenyuket a matrixmuveletekeseteben.

A matrixok osszeadasanak tulajdonsagai

1. Az A = [ij ] es B = [ij ] azonos tipusu matrixok osszege

[ij ] + [ij ] = [ij + ij ] = [ij + ij ] = [ij ] + [ij ]

fuggetlen a tenyezok sorendjetol, hiszen az osszeadas elemeik osszadasara van vis-szavezetve es az elemeik egy test elemei, amelyben az osszeadas kommutatv. Ebbolkovetkezik, hogy a matrixok osszeadasa is kommutatv muvelet.2. Teljesen hasonloan kapjuk, hogy a matrixok osszeadasa asszociatv is.3. Amint a szamok osszeadasanal, letezik egy neutralis (reprodukalo) elem a nulla,ugyanugy tetszoleges m n tipusu matrixok eseten az ugynevezett nullmatrix(jelolese: O = [0]), amelynek minden eleme nulla, neutralis elem lesz a matrixokosszeadasara nezve.4. Barmely A = [ij ] matrixnak letezik az ellentettje is a A = [ij ] matrix,amely eleget tesz az A+ (A) = O egyenlosegnek.

Osszefoglalva a fentiekben felsorolt tulajdonsagokat azt mondhatjuk, hogy azm n tipusu F test feletti matrixok az osszeadas muvelettel kommutatv csoportotalkotnak.

A matrixok skalarral valo szorzasanak tulajdonsagai

1. Ha ket skalar osszegevel (+ )-val szorozzuk az A = [ij ] matrixot, akkor a

(+ )[ij ] = [(+ )ij ] = [ij + ij ] = [ij ] + [ij ]

egyenlosegek mutatjak, hogy ugyanazt kapjuk, mint az A -szorosanak es az A -szorosanak az osszeget, tehat fennall az

(+ )A = A+ A

egyenloseg.2. Egy skalarral szorozva ket matrix osszeget, a

([ij ] + [ij ]) = [ij + ij ] = [(ij + ij)] = [ij + ij ] = [ij ] + [ij ]

szamolas szerint ugynazt kapjuk mintha elobb az egyik, majd a masik matrixotszoroznank a skalarral, majd pedig az gy kapott matrixokat osszeadnank. Ezt atulajdonsagot tehat gy formalizalhatjuk:

(A+B) = A+ B .


3. Tekintsuk most egy matrixnak skalarok szorzataval valo szorzatat. A

()[ij ] = [()ij ] = [(ij)] = [ij ] = ([ij ])

egyenlosegsorozat mutatja, hogy elobb az egyik skalarral szorozva kapunk egymatrixot, majd ezt kell szorozni a masik skalarral. Tekintve, hogy testbeli elemekszorzasa kommutatv, ezt a tulajdonsagot gy formalizalhatjuk:

()A = (A) = (A) .

4. Ha a test 1-gyel jelolt egysegelemevel szorozzuk a matrixot, akkor annak mindeneleme valtozatlan marad, azaz

1A = A .

A matrixok szorzasanak tulajdonsagai

1. Amint az mar a definciobol is azonnal kovetkezik, a matrixok szorzasmuveletenem kommutatv, sot az altalanos esetben az m n tipusu A es az n p tipusu Bmatrixok A B szorzata letezik, ugyanakkor m 6= p eseten a B A szorzat megcsaknem is letezik. Nem kommutatv a szorzas akkor sem, ha a tenyezok ugynevezettkvadratikus (negyzetes) matrixok, amelyekben a sorok es oszlopok szama mege-gyezik, amint azt az alabbi egyszeru pelda mutatja. Legyen

A =

[0 11 0

]es B =

[1 21 2

],

Ekkor az

A B =[1 21 2

]mg a B A =

[2 12 1

].

2. Talan meglepo ezek utan, hogy a matrixok szorzasa is asszociatv. Ezt bi-zonytando legyenek A m n tipusu, B n p tipusu es C pedig p q tipusumatrixok:

A =

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

, B =11 12 . . . 1p21 22 . . . 2p...

.... . .

...n1 n2 . . . np

es

C =

11 12 . . . 1q21 22 . . . 2q...

.... . .

...p1 p2 . . . pq

,Ekkor az (A B) C matrix i-edik soranak j-edik eleme, amint azt a

ps=1

(nt=1

itts

)sj =

ps=1

nt=1

(itts)sj =


ps=1

nt=1

it(tssj) =nt=1

it

( ps=1

tssj

),

egyenlosegsorozat bal- es jobboldala mutatja megegyezik az A (B C) matrix i-ediksoranak j-edik elemevel tetszoleges i(= 1, . . . ,m) es j(= 1, . . . , q) indexparra es ezeppen a szorzas asszociatv voltat igazolja.3. A matrixok szorzasa nem-kommutatv leven, egyaltalan nem meglepo, hogyaltalaban nincs olyan matrix, amellyel akar balrol, akar jobbrol szorozva egymn (m 6= n) tipusu matrixot, azt valtozatlanul hagyja. Letezik viszont barmelymatrixhoz kulon balodali es kulon jobboldali egysegelem. Tetszoleges rogztett ntermeszetes szamra jelolje En azt az n n-es matrixot, amelynek ij eleme 1, hai = j es 0, ha i 6= j, azaz

En =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

.Akkor, amint az konnyen ellenorizheto,

Em A = A es A En = A ,

tehat Em baloldali es En pedig jobboldali egysegelem. Persze a negyzetes matrixokeseteben a baloldali es jobboldali egysegelem megegyezik.4. A testet alkoto szamok szorzasanal azt is megfigyelhettuk, hogy minden nem-nulla szamnak van multiplikatv inverze, amellyel a szamot szorozva az egysegelemetkapjuk. A matrixok szorzasa altalaban nem invertalhato, meg akkor sem, ha csupankavadratikus matrixokra szortkozunk. Ennek igazolasahoz tovabbi linearis algebraiismeretekre van szukseg, ezert kesobbre halasztjuk.

A matrixok szorzasanak es osszeadasanak kapcsolata

Az alabbiakban igazoljuk, hogy a matrixok szorzasa disztributv, azok osszeadasaranezve. Legyen

A =

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

B =11 12 . . . 1p21 22 . . . 2p...

.... . .

...n1 n2 . . . np

es

C =

11 12 . . . 1p21 22 . . . 2p...

.... . .

...n1 n2 . . . np

tetszoleges matrixok. Az A (B+C) matrix i-edik soranak j-edik eleme a

nt=1

it(tj + tj) =nt=1

(ittj + ittj) =nt=1

ittj +nt=1

ittj

1.2. SPECIALIS MATRIXOK 9

egyenlosegsorozat bal es jobboldala szerint megegyezik az A B + A C matrixi-edik soranak j-edik elemevel tetszoleges i(= 1, . . . ,m) es j(= 1, . . . , p) indexpareseten, es eppen ezt kellett megmutatnunk.

1.2 Specialis matrixok

Ebben az a pontban nehany nevezetes matrixszal ismerkedunk meg, amelyekkelkesobbi tanulmanyaink soran meg talalkozni fogunk.

Mar az elozoekben szo volt a kvadratikus, vagy mas neven negyzetes matrixokrol,amelyekben a sorok es oszlopok szama megegyezik. A kvadratikus matrixok sorainaka szamat a matrix rendjenek fogjuk nevezni.

A negyzetes matrixok fodiagonalisan az azonos sor es oszlopindexu elemeinek azosszesseget ertjuk. Egy kvadratikus matrixot diagonalis matrixnak nevezunk, ha afodiagonalisan kvuli elemei mind zerok. Ha A n-edrendu diagonalis matrix, akkorgyakran csupan fodiagonalisbeli elemeinek feltuntetesevel, < 11, 22, . . . , nn >modon jeloljuk. Vegyuk eszre, hogy minden n-re az En-nel jelolt n-edrenduegysegmatrix is diagonalis matrix, amelyben minden fodiagonalisbeli elem 1.

Egy n-edrendu A = [ij ] matrixot em szimmetrikusnak mondunk, ha invarianssorainak es oszlopainak felcserelesere nezve, azaz formalizalva ugyanezt, ha ij = jiminden i, j(= 1, . . . , n) indexpar eseten.

Jeloljuk A-gal azt a matrixot, amelyet ugy kapunk A-bol, hogy annak soraitoszlopaival csereljuk fel, tehat, ha

A =

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

akkor A =11 21 . . . m112 22 . . . m2...

.... . .

...1n 2n . . . mn

.

Az gy kapott A matrixot az A transzponaltjanak nevezzuk.A transzponalt fogalmanak az ismereteben azt mondhatjuk, hogy egy A matrix

pontosan akkor szimmetrikus, ha megegyezik a transzponaltjaval, azaz A = A .Ha az A matrix elemei tortenetesen komplex szamok, akkor az A-gal jelolt

matrix jelentese kicsit modosul. Ekkor A azt a matrixot jeloli, amelyet ugy kapunkA-bol, hogy sorait es oszlopait felcsereljuk es minden elemet komplex konjugaltjaracsereljuk. Ebben az esetben az A matrixot az A matrix adjungaltjanak hvjuk. Haaz A matrix megegyezik az adjungaltjaval, akkor onadjungaltnak nevezzuk. Tekin-tettel arra, hogy a valos szamok halmaza tekintheto ugy, mint a komplex szamokreszhalmaza, beszelhetunk valos elemu matrixok adjungaltjairol is, persze egy valoselemu matrix adjungaltja es transzponaltja ugyanaz. Peldaul az onadjungalt valoselemu matrixok a szimmetrikus matrixok. Ez az oka annak, hogy jelolesben nemteszunk kulonbseget egy matrix adjungaltja es transzponaltja kozott. Mint azt latnifogjuk, komplex vektorterekben ugyis csak az adjungalasnak van igazi szerepe, atranszponalasnak nincs.

Mielott a permutalo matrix fogalmaval megismerkednenk, fel kell hvjuk az olvaso


figyelmet a matrixok szorzasaval kapcsolatos nehany erdekessegre. Ha az

A

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

matrixot megszorozzuk egy n elemu

x =

12...n

oszlopvektorral, akkor az

A x =

11 12 . . . 1n21 22 . . . 2n...

.... . .

...m1 m2 . . . mn

12...n

=

111 + 212 + . . .+ n1n121 + 222 + . . .+ n2n

... +... +

. . . +...

1m1 + 2m2 + . . .+ nmn

=

1

1121...

m1

+ 2

1222...

m2

+ + n

1n2n...

mn

oszlopvektort kapjuk, tehat a szorzat az A matrix oszlopainak az x vektor kompo-nenseivel alkotott linearis kombinacioja.

Jeloljuk ei-vel i(= 1, . . . , n) azt az n elemu oszlopvektort, amelynek i-edikkomponense 1, mg minden mas komponense 0, amelyet a tovabbiakban i-edikegysegvektornak fogunk nevezni. A fentiek alapjan allthatjuk, hogy ha egy m ntipusu A matrixot az i-edik egysegvektorral szorozzuk jobbrol, akkor eredmenyul azA matrix i-edik oszlopat kapjuk.

Teljesen hasonlo egyszeru szamolassal mutathatjuk meg, hogy ha az y =[1, 2, . . . , m] sorvektorral szorozzuk az A matrixot balrol, akkor a szorzat a

1a1 + 2a2 + + mam

sorvektor, ahol ai i(= 1, . . . ,m) az A matrix i-edik sorat jeloli. Tehat egy sorvek-tor es egy matrix szorzata a matrix sorainak a sorvektor komponenseivel, mintskalaregyutthatokkal kepzett linearis kombinacioja. Ennek megfeleloen, ha ej melemu j-edik egysegvektor, akkor az ej A szorzat az A matrix j-edik sora.

Tekintsuk most ket matrix az

A =

a1a2...am

es a B = [b1,b2, . . . ,bp] AB =a1 b1 a1 b2 . . . a1 bpa2 b1 a2 b2 . . . a2 bp

......

. . ....


1.3. VEKTOROK A SKON 11

szorzatat. Vegyuk eszre, hogy a szorzat oszlopait, illetve sorait

[Ab1,Ab2 . . . ,Abp] =

a1Ba2B...

amB

alakban is rhatjuk, tehat a szorzat minden oszlopa a baloldali matrix oszlopainaklinearis kombinacioja, illetve a szorzat minden sora a jobboldali matrix sorainaklinearis kombinacioja.

Ha egy n-edrendu kvadratikus matrix megkaphato az n-edrendu En egysegmat-rix oszlopainak (vagy sorainak) atrendezesevel akkor permutalo matrixnak nevezzuk.

Az elnevezes a fenti eszrevetelek alapjan ertheto, hiszen, ha az A =[a1,a2, . . . ,an matrixot megszorozzuk a P = [ei1 , ei2 , . . . , ein ] permutalo matrix-szal (itt az i1, i2, . . . , in szamok az 1, 2, . . . , n szamok valamely permutacioja), akkoraz eredmeny

A P = [ai1 ,ai2 , . . . ,ain ] ,tehat olyan matrix, amelynek oszlopai az A matrix oszlopainak atrendezesevel (per-mutaciojaval) kaphato. Hasonloan, egy A matrixot balrol szorozva egy permutalomatrixszal, az az A matrix sorait permutalja.

A kovetkezo fogalom megfogalmazasa elott megjegyezzuk, hogy a matrixokszorzasanak ertelmezese alapjan bevezethetjuk kvadratikus matrixok hatvanyozasataz alabbi rekurzv defincioval: ha A n-edrendu matrix, akkor A0 def= En es barmelyk 1-re legyen Ak def= A Ak1 .

A valos szamok viselkedesetol elteroen egy nemnulla matrix valamely hatvanya,lehet nullmatrix, amint azt az alabbi pelda mutatja. Ha

A =

[0 10 0

], akkor A2 =

[0 00 0

]= O .

Egy n-edrendu A matrixot k-adfokban nilpotensnek nevezunk, ha Ak1 6= O deAk = O .

A kovetkezo elnevezes mar arra utal, hogy a matrixok szoros kapcsolatban van-nak bizonyos lekepezesekkel. Egy kvadratikus A matrixot vetto vagy mas nevenprojektv matrixnak nevezunk, ha eleget tesz az A2 = A feltetelnek.

Ezzel a bevezetovel egyelore felfuggesztjuk a matrixokkal kapcsolatos ismereteinkgyaraptasat, azzal az igerettel, hogy linearis algebrai tanulmanyaink soran leptennyomon talalkozni fogunk azokkal es lesz alkalmunk tovabbi tanulmanyozasukra.

1.3 Vektorok a skon

A linearis algebra, vagy kifejezobb neven a vektorterek elmelete a kozepiskola-ban tanult vektoralgebra, illetve koordinatageometria altalanostasa. Ezert eb-ben a bevezeto szakaszban a kozepiskolaban tanult, skbeli vektorok algebrajanakosszefoglalasat talalja az olvaso, hangsulyozva azokat a tulajdonsagokat, amelyek akesobbiekben definialt absztrakt vektorterek ertelmezesenel elengedhetetlenek.


A vektorok bevezeteset az az eszrevetel tette szuksegesse, hogy bizonyos mennyi-segek matematikai jellemzesere a szamok nem elegendoek, peldaul egy mozgo ob-jektum viselkedesenek lerasakor nemcsak az objektum sebessegenek nagysaga, demozgasanak iranya is fontos jellemzo. Hasonloan, egy testre hato ero okozta elmoz-dulas nemcsak az ero nagysaganak, hanem iranyanak is fuggvenye.

Az ilyen es hasonlo mennyisegek jellemzesere hasznaltuk a vektorokat, amelyeketiranytott szakaszok reprezentaltak. Tekintettel arra, hogy peldaul egy objektumraegyszerre tobb ero is hathat es azok osszhatasa donti el az objektum mozgasat,szukseges, hogy ez az osszhatas kiszamthato legyen az osszetevok ismereteben.Ezert celszeru a vektorok osszeadasat ertelmezni. Persze az osszeadast ugy kvantukdefinialni, hogy az egyes erohatasokat reprezentalo vektorok osszege alkalmas le-gyen az ugynevezett, eredo ero reprezentalasara. Sok esetben, peldaul gyorsabbmozgas elerese erdekeben meg kell sokszorozni egy objektumra hato erot. Eza vektorokkal valo reprezentacio nyelven azt jelenti, hogy egy vektornak szammalvalo szorzatat is kellett definialnunk. Ha az objektumra hato eroket vektorokkalkvanjuk reprezentalni, akkor tekintve, hogy az ero fuggetlen az objektum terbelihelyetol, celszero ket vektort egyenlonek tekinteni, amennyiben azok hossza is esiranya is egyenlo. Az alabbiakban a sk egy rogztett pontjabol kiindulo ugynevezetthelyvektorok halmazan ertelmezett osszeadas es skalarral valo szorzas tulajdonsagaitfoglaljuk ossze. Annak erdekeben, hogy abraink szemleletesek legyenek, a vektorokatDescartesfele derekszogu koordinata rendszerben helyeztuk el, de hangsulyozni sze-retnenk, hogy sem a vektorok osszeadasanal, sem azok skalarral valo szorzasakor akoordinata rendszer felvetele nem szukseges, annak, a definialando muveletek szem-szogebol nincs szerepe.

Ket a es b vektor osszeadasa a paralelogramma szabaly alapjan tortenik, azalabbi 1.1.a. abranak megfeleloen:

Termeszetesen ertelmeznunk kell olyan vektorok osszeadasat is, amelyeknekazonos, vagy ellentetes az iranya. Ebben az esetben a masodik osszeadandot azelso vegpontjaba helyezzuk es az elso kezdopontjabol a masodik vegpontjaba mu-tato vektorral definialjuk osszeguket. (lasd az 1.1.b. es 1.1.c. abrakat!) A vektorokosszeadasanak fenti definciojabol azonnal adodik, hogy az osszeg fuggetlen az ossze-adandok sorrendjetol, azaz a vektorok osszeadasa kommutatv. Adjunk most osszeharom vektort, az a-t, b-t es c-t. Ez ketfele sorrendben lehetseges, nevezetesenhozzaadhatjuk a-hoz a (b+ c) osszeget, de az (a+ b)-hez is hozzaadhato a c vektor.Az 1.2.a. abran az elso, az 1.2.b. abran pedig a masodik sorrendnek megfeleloenkepeztuk harom vektor osszeget.

Azt tapasztaljuk, hogy ugyanaz a vektor adodik mindket esetben. A vektorokosszeadasa tehat asszociatv. Vektoraink halmazaban a zero hosszusagu azzal atulajdonsaggal rendelkezik, hogy azt barmely a vektorhoz hozzaadhatjuk anelkul,hogy azt megvaltoztatna. Tehat ugyanolyan szerepet jatszik, mint a 0 a szamokosszeadasanal. Kepezzuk most egy tetszoleges a vektornak olyan a-val jelolt vek-torral valo osszeget, amelynek a hossza megegyezik a hosszaval, de iranya ellentetes.Az 1.3 abra mutat egy ilyen esetet.

Az osszeg a zero hosszusagu vektor.Foglaljuk ossze a vektorok V halmazan ertelmezett osszeadas fent illusztralt tu-

lajdonsagait. Tetszoleges a, b, es c V eseten:

1.3. VEKTOROK A SKON 13

a

b

a+ b

a.

a

b

a+ b

b.

a

b

a+ b

c.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

................................................................

................................................................

................................................................

................................................................

..........................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................

..........................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................

..........................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................

....................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

..........................

. . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

. . .. . ..

..............

1.1. abra: Vektorok osszeadasanak ertelmezese

1. a+ b = b+ a (a vektorok osszeadasa kommutatv),

2. a+ (b+ c) = (a+ b) + c (a vektorok osszeadasa asszociatv),

3. ( 0 V ) : 0 + a = a+ 0 = a (letezik zerovektor),

4. ( a V ) : ( (a) V ) : a + (a) = (a) + a = 0 (minden vektornak vanellentettje).

Megallapthatjuk tehat, hogy a skbeli vektorok az osszeadas muvelettel kom-mutatv csoportot vagy mas neven Abel-csoportot alkot. Definialjuk egy vektornakszammal valo szorzasat az 1.4.a., illetve az 1.4.b. abraknak megfeleloen.

Tehat egy a vektor -szorosa legyen olyan vektor, amelynek hossza a hossza-nak ||-szorosa iranya pedig a iranyaval megegyezo, illetve azzal ellentetes, aszerinthogy pozitv vagy negatv. Megvizsgaljuk, hogy a skalarokkal valo, fent definialtszorzasnak milyen tulajdonsagai vannak.

Az 1.5.a. es az 1.5.b. abrak arrol arulkodnak, hogy ugyanazt az eredmenytkapjuk, ha ket vektor osszeget szorozzuk meg egy skalarral, mint amikor elobb azosszeadando vektorokat szorozzuk meg a szammal, s csak az gy megvaltoztatottvektorokat adjuk ossze.

A skalarok osszegevel valo szorzata egy a vektornak az 1.6.a. es 1.6.b. abrakalapjan ugyanazt a vektort eredmenyezi, mint annak a ket vektornak az osszege,amit az egyik, majd masik skalarral valo szorzassal kaptunk a-bol.


ab a+ b

c

(a+ b) + c

a.

ab

c

b+ c a+ (b+ c)

b.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

..............................................................................................................................................................

.......................................................................................... ..........................

..........................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

..........................

........................................................................

........................................................................

........................................................................

........................................................................

...................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................

.......................................................................................... ..........................

..........................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

..........................

..........................................................................................................................................................................................................................

..........................

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. .. .

. .. .

. ...................

...................................... . .

. .. .

. .. . .

..........

..................................

1.2. abra: A vektorok osszeadasanak asszociativitasa

a

a

0..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

.......................................................................................................................................................................................................................... ...............................................

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

............................................................................

..........................................

..........................................

..........................................

..........................................

.......................................................

1.3. abra: Letezik nullvektor

Az 1.7.a. illetve 1.7.b. abrak azt mutatjak, hogy skalarok szorzataval ugy is lehetszorozni egy vektort, hogy elobb szorzunk az egyik skalarral, majd az gy kapott vek-tort szorozzuk a masik skalarral.

A skalarokkal valo szorzas definciojabol azonnal adodik az a teny, hogy barmelyvektor 1-szerese a vektort nem valtoztatja meg.

Osszefoglalva, ha a es b V tetszoleges vektorok es es tetszoleges valosszamok, akkor ervenyesek az alabbi tulajdonsagok:

(a) (a+ b) = a+ b,(b) (+ )a = a+ a,(c) ()a = (a) = (a)(d) 1a = a.A vektorok skalarokkal valo szorzasa nem ugyanolyan muvelet, mint azok ossze-

adasa, hiszen ebben az esetben egy masik halmaz, peldankban a valos szamokhalmazanak elemei hatnak a vektorokra. Azt mondjuk, hogy a skalarok, mintoperatorok hatnak a vektorokra. A valos szamhalmaz a sk vektorainak ugynevezettoperatortartomanya.

A skbeli helyvektorok V halmaza a definialt osszeadassal es valos skalarokkalvalo szorzassal egy peldat szolgaltat vektorterre, melyekkel e jegyzetben foglalkozni

1.4. A VEKTORTER FOGALMA 15

a

2a

a.

a

12a b.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

....................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................

..........................

1.4. abra: Vektor skalarral valo szorzasa

1.5. abra: Osszegvektor szorzasa szammal

fogunk. A vektorterek szamos helyen ujra meg ujra felbukkantak, es felbukkannaktanulmanyaik soran, persze mas es mas kontosben. Itt elobb, es mar a kozep-iskolaban is, mint iranytott szakaszok jelentkeztek, de valamely [a, b] intervallumonertelmezett valos fuggvenyek is vektorteret alkotnak a szokasos fuggvenyosszeadas-sal es a szammal valo szokasos szorzassal. Ami kozos ezekben a vektorterekbenaz, hogy (1) az ertelmezett osszeadas muvelet tulajdonsagai azonosak, (2) valami-lyen skalarhalmaz hasonlo a valos szamok halmazahoz elemei operatorokkenthatnak a vektorter elemeire, es ugyanolyan tulajdonsagokkal jellemezheto hatasuk,mint azt a fenti (a) (d) pontokban lattuk.

Persze, azt pontosan meg kell mondanunk, hogy milyen skalarhalmazt tekinthe-tunk a valos szamok halmazahoz hasonlonak. Erre roviden azt valaszolhatjuk, hogya skalarok strukturajatol azt kell megkovetelni, hogy test legyen.

1.4 A vektorter fogalma

Az elozo szakaszban egy konkret vektorterrel ismerkedtunk meg, a koznapi erte-lemben vett sk, ugynevezett helyvektorainak terevel. Most megadjuk a vektorterabsztrakt definciojat, hogy azutan a minden vektorterre jellemzo tulajdonsagokat


a(+ )a

a.

a

a a+ a

b.

= 12 = 1

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

....................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................

1.6. abra: Vektor szorzasa szamok osszegevel

a()a

a.

a

a

(a)

= 3 = 23

b.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

.................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................

..........................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.7. abra: Vektor szorzasa szamok szorzataval

ne kelljen minden konkret vektorter eseten kulon-kulon igazolnunk, tehessuk aztaltalanosan.

1.4.1 Defincio. Legyen V egy halmaz, amelyben ertelmezve van egy osszeadasmuvelet az alabb felsorolt tulajdonsagokkal:

(i) (x, y V ) : x+ y = y + x,(ii) (x, y, z V ) : x+ (y + z) = (x+ y) + z,(iii) ( 0 V ) : (x V ) : 0 + x = x,(iv) (x V ) : ( (x) V ) : x+ (x) = 0.Legyen F olyan halmaz, amelyen ertelmezett egy osszeadas es egy szorzas muvelet,amelyekre nezve F testet alkot. Az F elemei legyenek operatorai V -nek, azaz ( F)-re

x x (x V )lekepezes, a kovetkezo tulajdonsagokkal:(, F) es (x, y V )-re(a) (x+ y) = x+ y,


(b) (+ )x = x+ x,

(c) ()x = (x),

(d) 1x = x, ahol 1 F az F test egysegeleme.

Akkor a V halmazt az F test feletti vektorternek nevezzuk.

A V halmaz elemeit vektoroknak, az F test elemeit skalaroknak hvjuk. A fentidefincioban ugyanazt a + szimbolumot hasznaltuk mind a vektorok, mind a skalarokosszeadasanak jelolesere, de ez nem okozhat felreertest, hiszen a skalarok jeloleseregorog, mg a vektorok jelolesere latin betuket hasznalunk, gy mindenutt nyilvanvalo,hogy vektorok vagy skalarok osszeadasarol van e szo, egyedul a zero vektor es a zeroskalar megkulonbozteteserol nem gondoskodik jelolesrendszerunk, mindkettot a 0szimbolum reprezentalja, de a kornyezet itt is az olvaso segtsegere lesz annak ki-derteseben, hogy a zero skalarra vagy a zerusvektorra utal a 0 jel. A skalarokszorzatat egyszeruen a tenyezok egymas melle rasaval jeloltuk, csakugy mint egy F operator altal az x V vektorhoz rendelt x V vektort. Egy operator altalindukalt hozzarendelest egyszeruen skalarral valo szorzasnak fogjuk hvni.

Vizsgalataink idonkent valamely jol ismert szamtest feletti vektorterekreiranyulnak. Ilyenkor a kovetkezo terminologiat hasznaljuk. Az F feletti V vek-torteret racionalis vektorternek mondjuk, ha a skalarok csak racionalis szamok lehet-nek, ha valos szamok a skalarok, akkor V -t valos vektorternek hvjuk, es ha komplexszamok a vektorok operatorai, akkor V -t komplex vektorternek nevezzuk. Bar a vek-torter definciojaban semmifele kikotest nem tettunk az F test karakterisztikajat il-letoen, es az elmelet alltasainak tulnyomo tobbsege tetszoleges karakterisztikaju testfeletti vektorterekre is ervenyes, de mi ebben a jegyzetben csak 0-karakterisztikajutestek feletti vektorterekkel foglalkozunk.

1.4.1 Peldak vektorterekre

1. A bevezeto szakaszban megismert, a sk egy rogztett pontjabol, mint kez-dopontbol kiindulo helyvektorok a paralelogrammaszabaly szerinti osszeadasmuvelettel es a megismert valos szamokkal valo szorzassal, valos vektorter.

2. A matrixaritmetikarol szolo pontban lattuk, hogy veve az osszes mn tipusuF test feletti matrixok Fmn-nel jelolt halmazat, az a matrixok osszeadas-muveletevel es az F-beli skalarokkal valo szorzassal, vektorteret kapunk.

3. Tekintsuk az osszes t valtozoju, valos egyutthatos polinomok R[t] halmazat. A

p(t) = 0 + 1t+ + mtm

m-edfoku es aq(t) = 0 + 1t+ + ntn

n-edfoku polinomok osszege legyen

p(t) + q(t) def= (0 + 0) + (1 + 1)t+ + (n + n)tn,


ha m = n,

p(t) + q(t) def= (0 + 0) + (1 + 1)t+ + (n + n)tn + + mtm,ha m > n es

p(t) + q(t) def= (0 + 0) + (1 + 1)t+ + (m + m)tm + + ntn

n > m eseten.

A p(t) polinom valos szamszorosa pedig legyen

p(t) def= (0) + (1)t+ + (m)tm.Tekintve, hogy a polinomok osszeadasa az azonos fokszamu tagok egyutthatoi-nak osszeadasara van visszavezetve, azonnal adodik, hogy ez a muvelet asszo-ciatv es kommutatv, mivel a valos szamok osszeadasa rendelkezik ezekkela tulajdonsagokkal. Az azonosan zero polinom, tehat az, amelynek mindenegyutthatoja nulla, zeroelem a polinomok fent definialt osszeadasara nezve.Egy tetszoleges p(t) polinom ellentettje erre az osszeadasra nezve a 1p(t).A skalarokkal valo szorzastol megkovetelt tulajdonsagok teljesulese is azonnaladodik, ha figyelembe vesszuk, hogy a valos egyutthatoknak valos szamokkalvalo szorzasara vezettuk vissza a polinomok skalarral valo szorzasat. Igy apolinomok R[t] halmaza valos vektorter a definialt muveletekkel.

4. Legyen F az [a, b] zart intervallumon ertelmezett valos fuggvenyek halmaza.Ket f, g F fuggveny osszeget, illetve valos szammal valo szorzatatertelmezzuk a szokasos modon, azaz legyen x [a, b]-re

(f + g)(x) def= f(x) + g(x)

es(f)(x) def= f(x).

Konnyen ellenorizheto, hogy F valos vektorter az gy definialt muveletekkel.

5. Legyen S az osszes valos szamsorozat, azaz az osszes f : N R fuggvenyekhalmaza. Ertelmezzuk a szamsorozatok osszeadasat es valos szammal valoszorzasat a szokasos modon, azaz barmely ket {an} es {bn} szamsorozatralegyen

{an}+ {bn} def= {an + bn},illetve barmely valos szamra es {an} S-re legyen

{an} def= {an}.Az gy kapott struktura megint valos vektorter.

6. Jelolje Rn1[t] a legfeljebb n1-edfoku valos egyutthatos polinomok halmazates e halmazbeli polinomokra ugyanugy ertelmezzuk az osszadast es a valosszammal valo szorzast, mint azt az osszes polinomok R[t] vektortereben. Azttapasztalhatjuk, hogy Rn1[t] is valos vektorter.


7. Az alabb adott pelda kicsit mesterkeltnek hat, mert tisztan matematikai kon-strukcio. A szamtastechnikaban valamennyire jartas olvaso azonban mar ta-lalkozhatott olyan linearis elrendezesu tombokkel, amelyeknek valos szamok azelemei. Az azonos meretu tombok halmaza is vektorter megfelelo muveletekkel.Az elore bocsajtottakat pontostando jelolje R, mint altalaban, a valos szamokhalmazat es legyen Rn a rendezett valos szam-n-esek halmaza. Definialjunkosszeadast Rn-en a kovetkezokeppen: barmely

x =

1...n

es y = 1...n

-ra legyen x+ y def= 1 + 1...n + n

.Ugyancsak ertelmezzuk egy tetszoleges

x =

1...n

szam-n-es R skalarral valo szorzatat az

xdef=

1...n

egyenloseggel. Nagyon konnyen igazolhato, hogy Rn valos vektorter afentiekben definialt muveletekkel, amelyet n-dimenzios valos koordinatater-nek nevezunk. Az elnevezes magyarazatat kesobbre halasztjuk, egyelore csakarra emlekeztetnenk az olvasot, hogy a sk vektoraihoz is rendeltunk koordina-takat a kozepiskolaban, a koordinatatereknek hasonlo reprezentacios szerepuklesz a vektorterek elmeleteben, mint a skbeli helyvektorok koordinatainak akozepiskolai tanulmanyaik soran.

A figyelmes olvaso jogosan veti fel a kerdest, hogy milyen vektorteret kapunk,ha az Rn operatortartomanyakent csak a racionalis szamok testet vesszuk. Ter-meszetesen racionalis vektorteret, ami a fentiekben megadott tertol nagyonkulonbozik. Tehat egy vektorter megadasa nemcsak a vektorok halmazanak,de a skalarok halmazanak megadasat es a muveletek ertelmezeset is jelenti.

8. Tetszoleges F test eseten, hasonloan ertelmezve Fn-beli n-esek osszeadasat es azF-beli skalarokkal valo szorzasat, Fn vektorter lesz az F test felett, ez az ugyne-vezett n-dimenzios F-feletti koordinatater. Ebben az altalanos esetben is elo-fordulhat, hogy Fn operatortartomanyakent valamely F-tol kulonbozo testetveszunk, de arra minden esetben fel fogjuk hvni az olvaso figyelmet, es hakulon nem specifikaljuk a skalarok testet, akkor az Fn jelolessel mindig azn-dimenzios F feletti koordinataterre utalunk.

9. Utolso peldakent megmutatjuk, hogy egy tetszoleges F feletti V vektorter bir-tokaban hogyan lehet megkonstrualni egy masikat, az ugynevezett dualis vek-torteret.


1.4.2 Defincio. Legyen V egy tetszoleges F test feletti vektorter es jeloljeV az olyan y : V F lekepezesek, az ugynevezett linearis fuggvenyek vagymas neven linearis funkcionalok halmazat, amelyek eleget tesznek az alabbifeltetelnek:

v, w V : F : y(v + w) = y(v) + y(w) .Ertelmezzuk most a V halmazon az osszeadast a

y1, y2 V : v V : (y1 + y2)(v) def= y1(v) + y2(v)egyenloseggel es az F-beli skalarokkal valo szorzast pedig a

y V : F : v V : (y)(v) def= (y(v))egyenloseggel. A V vektorter ezekkel a muveletekkel F felett, amelyet a Vvektorter dualisanak nevezzuk.

Tulajdonkeppen igazolnunk kellene, hogy V valoban vektorter, de a reszleteses formalis bizonytast az olvasora bizzuk. Segtseget nyujthatnak ehhez akovetkezo megjegyzesek: Linearis fuggvenyek osszege is, egy linearis fuggvenyskalarszorosa is linearis fuggveny. A linearis fuggvenyek fenti osszeadasa kom-mutatv es asszociatv, hiszen a fuggvenyek osszeadasa vissza van vezetve afuggvenyek ertekeinek osszeadasara, es a fuggvenyertekek az F test elemei. Azazonosan zero fuggveny, tehat amely minden v V vektorhoz a zero skalartrendeli, a linearis fuggvenyek osszeadasara nezve zeroelem. Vegul, egy y li-nearis fuggveny ellentettje az a y fuggveny, amely barmely v V vektornala y(v) skalart veszi fel ertekul. Igy tehat a linearis fuggvenyek a definialtosszeadasra nezve Abel-csoportot alkotnak. Az, hogy az F test elemeivel valoszorzas ugyancsak eleget tesz a skalarokkal valo szorzastol megkovetelt negytulajdonsagnak, megint csak azonnal adodik abbol, hogy egy linearis fuggvenyskalarral valo szorzasa vissza van vezetve a fuggveny ertekeinek skalarral valoszorzasara.

Fel kell hvjuk az olvaso figyelmet arra a tenyre, hogy az Rn1[t] vektorter esaz Rn vektorter nagyon hasonloak, legalabbis ami elemeik osszeadasat, illetve ska-larral valo szorzasat illeti. Ugyanis, ha tetszoleges p(t) = 0 + 1t+ . . .+ n1tn1

polinomnak megfeleltetjuk az egyutthatokbol feleptett

a =

01...

n1

Rn-beli szam n-est, akkor ez egy olyan egyegyertelmu : Rn1[t] Rn meg-feleltetes, amely felcserelheto a vektorterbeli muveletekkel, azaz

(p(t) + q(t)) = (p(t)) + (q(t))

es(p(t)) = (p(t))


teljesul. Azt mondhatjuk tehat, hogy a vektorterek vegeredmenyben csak elemeikjeloleseben ternek el egymastol.

Ez az eszrevetel vezet el bennunket az izomorf vektorterek fogalmahoz.

1.4.3 Defincio. Legyenek V es W ugyanazon F test feletti vektorterek es legyen

: V W

bijektv lekepezes (egy-egyertelmu rakepezes), amely eleget tesz az alabbi feltetelnek:

x, y V : , F : (x+ y) = (x) + (y).Akkor a V es W vektortereket izomorfoknak nevezzuk. A : V W bijektvlekepezest izomorfizmusnak hvjuk.

A valos egyutthatos legfeljebb n1-edfoku polinomok Rn1[t] tere es az Rn koor-dinatater tehat izomorfak. A bevezetoben vizsgalt skbeli helyvektorok vektortere esa ketdimenzios R2 koordinatater ugyancsak izomorfak. Kesobb meg szamos peldatfogunk latni vektorterek izomorfiajara, tobbek kozott azt is be fogjuk bizonytani,hogy az ugynevezett veges dimenzios vektorterek es dualisaik is izomorfak egymassal.

Az eddigiek szerint egy vektorterben lehet vektorokat skalarral szorozni, ami vek-tort eredmenyez, es vektorokat ossze lehet adni, aminek megint vektor az eredme-nye. Most ezen muveletekre tamaszkodva ertelmezzuk a linearis kombinacio fo-galmat. Ehhez szukseg van skalaroknak egy {1, . . . , n} es vektoroknak egyX = {x1, . . . , xn} rendszerere. Azert hasznaljuk itt a kicsit univerzalis rendszerelnevezest a halmaz helyett, mert megengedett, hogy ugyanaz a skalar, illetve vek-tor tobb peldanya is szerepeljen. Az X vektorrendszer {i, i = 1, . . . , n} skalarokkalkepzett linearis kombinacioja az

1x1 + + nxnvektor. A rovidseg kedveert sokszor hasznalni fogjuk a szummacios jelolest is, gypeldaul az elobbi linearis kombinaciot

ni=1 ixi-vel is fogjuk jelolni. Az is elofordul,

hogy a vektorok megkulonboztetesere egy I halmazbol valo indexeket hasznalunk,ilyen esetben azok linearis kombinaciojat

iI ixi-nek rjuk. A lenyeges az, hogy

amikor linearis kombinaciorol beszelunk, akkor egy olyan vektorra kell gondolnunk,amely eloallthato veges sok vektor skalarszorosainak osszegekent.

1. Gyakorlatok, feladatok

1. Mutassuk meg, hogy tetszoleges F test feletti V vektorterben

(a) az x vektor akkor es csak akkor a nullvektor, ha az F test zero eleme,vagy ha x a V zero vektora.

(b) az x( V ) vektor x ellentettje megkaphato ugy, hogy az F test 1egysegelemenek 1 ellentettjevel szorozzuk az x vektort, azaz x = 1x.

2. Legyen C[a,b] az [a, b] intervallumon folytonos valos fuggvenyek halmaza, ame-lyet a fuggvenyek szokasos osszeadasaval es valos szammal valo szokasos szor-zasaval teszunk strukturava. Igazolja, hogy az gy kapott struktura valos vek-torter.


3. Tekintsuk a valos szamok R halmazat a szokasos osszeadassal es valos szammalvalo szokasos szorzassal. Mutassuk meg, hogy R valos vektorter a fentimuveletekkel.

4. Legyen F tetszoleges test. Mutassuk meg, hogy csakugy, mint az elozo fela-datnal, F onmaga feletti vektorter.

5. Legyen F az otelemu veges test. Soroljuk meg az F2 koordinatater elemeit.

6. Legyenek V es W ugyanazon F test feletti vektorterek. Kepezzuk az V WDescartesszorzatot, es azon ertelmezzuk az osszeadast a kovetkezokeppen:

(v, w), (v, w) V W : (v, w) + (v, w) def= (v + v, w + w).

Definialjuk az F skalarral valo szorzast is az

(v, w) V W : F : (v, w) def= (v, w)

egyenloseggel. Az gy kapott strukturat jeloljuk V W -nel. Mutassuk meg,hogy V W vektorter az F test felett.

7. Legyen H tetszoleges nemures halmaz, F test es V az osszes olyan

f : H F

fuggvenyek halmaza, amelyek a H halmaz legfeljebb veges sok elemehez ren-delnek nemnulla skalart. Ertelmezzuk V -beli fuggvenyek osszeadasat mindenf, g V -re az

(f + g)(h) def= f(h) + g(h) (h H)es F-beli skalrral valo szorzasat az

(f)(h) def= f(h) (h H)

egyenloseggel. Mutassuk meg, hogy V F feletti vektorter.

8. + Jelolje R0n+ a pozitv valos szam n-esek halmazat. Definialjuk R0n+ -on azosszeadast a kovetkezokeppen:

x = [1, . . . , n], y = [1 . . . , n] R0n+ : x+ y def= [1 1, . . . , n n],

ahol a jobboldalon a pozitv valos koordinatak szokasos szorzata all. Es a valos skalarral valo szorzas legyen az

xdef= [(1), . . . , (n)]

egyenloseggel megadva. Mutassuk meg, hogy R0n+ valos vektorter ezekkel amuveletekkel.

1.5. ALTEREK 23

1.5 Alterek

Az elozoekben lattuk, hogy a sk helyvektorai valos vektorteret alkotnak. De az egyegyenesre eso helyvektorok alkotta reszhalmaz is vektorter. Igy az altalunk vizsgaltskbeli helyvektorok vektortereben vannak olyan reszhalmazok, amelyek maguk isvektorterek.

A vektorterekre felsorolt peldaink kozott szerepelt az osszes polinomok R[t] terees ugyancsak emltettuk a legfeljebb n 1-edfoku polinomok Rn1[t] linearis teret.Ez utobbi terben a muveletek ugyanugy voltak ertelmezve, mint az osszes polinomoktereben, tehat az Rn1[t] az R[t] vektorternek olyan reszhalmaza, ami maga is vek-torter.

1.5.1 Defincio. Legyen V vektorter az F test felett es legyen M olyan reszhalmazaV -nek, amely maga is F feletti vektorter az eredeti terben ertelmezett muveletekkel.Akkor M -et a V vektorter alterenek nevezzuk.

Az alterbeli vektorok osszeadasa, es skalarral valo szorzasa ugyanugy tortenik,mint az eredeti vektorterben, nem ertelmezunk uj muveleteket. Ezert a muveleteknyilvanvaloan rendelkeznek azokkal a tulajdonsagokkal, amelyeket a vektorterdefinciojaban megkoveteltunk. Ennek az eszrevetelnek egyszeru kovetkezmenye akovetkezo alltas.

1.5.2 Alltas. Egy F test feletti V vektorter valamely nemures M reszhalmazapontosan akkor alter, ha

(i) v, w M : v + w M,(ii) v M : F : v M teljesul.

Bizonytas. A szuksegesseg teljesen nyilvanvalo. Az elegendoseg igazolasahozcsak azt kell megmutatnunk, hogy a zerovektor es minden M -beli vektor ellentettjeis benne van M -ben. Ez viszont abbol adodik, hogy a zero skalarnak barmely vek-torral valo szorzata a zero vektort adja, es barmely vektor 1-gyel valo szorzataannak ellentettjet eredmenyezi. 2

Amikor egy vektorter valamely reszhalmazarol azt kell eldontenunk, hogy azalter-e, akkor leggyakrabban a kovetkezo alltas hasznalhato a kerdes megvala-szolasahoz.

1.5.3 Alltas. Egy F test feletti V vektorter valamely nemures M reszhalmazapontosan akkor alter, ha zart a ket tagu linearis kombinacio kepzesre nezve, azaz

v, w M : , F : v + w M.

Bizonytas. Tekintve, hogy az elozo tetel igaz, elegendo belatnunk azt, hogyez az alltas az elozovel ekvivalens. Valoban, ha M zart a skalarral valo szorzasra,akkor v, w M : , F : v, w M es a vektorok osszeadasara vonatkozozartsaga miatt, akkor v + w M .


Fordtva, a linearis kombinaciora vonatkozo zartsagbol az osszeadasra, illetvea skalarral valo szorzasra vonatkozo zartsag azert nylvanvalo, mert ezek specialislinearis kombinaciok. Ugyanis

v + w =

{v + w ha = = 1,v ha = 0.

2

Megjegyezzuk, hogy teljes indukcioval konnyen igazolhato, hogy ha egy vektorteregy reszhalmaza barmely ket vektoranak minden linearis kombinaciojat tartalmazza,akkor barmely veges sok vektoranak osszes linearis kombinaciojat is tartalmazza.

Az alterek kozott azt, amelynek egyetlen eleme a zerus vektor, azaz a {0} alteret,es az egesz vektorteret, mint onmaga alteret nem valodi altereknek mondjuk, a tobbialteret pedig valodi altereknek. Egy alter mindig tartalmazza legalabb a nullvektort,gy alterek kozos resze biztosan nemures, sot igaz a kovetkezo alltas.

1.5.4 Alltas. Egy vektorter altereinek metszete is alter.

Bizonytas. Ha az alterek metszetebol kivalasztunk tetszolegesen ket vektort,akkor azok mindegyik alternek elemei, ezert az (1.5.3) alltas szerint, azok barmelylinearis kombinacioja is mindegyik alternek eleme, gy megint az (1.5.3) alltas fel-hasznalasaval adodik, hogy a metszet alter. 2

Az (1.5.4) alltas igaz volta lehetove teszi, hogy egy V vektorter tetszoleges Areszhalmaza segtsegevel generaljunk alteret.

1.5.5 Defincio. Legyen A tetszoleges reszhalmaza a V vektorternek. Az A altalgeneralt V(A) alter V osszes A-t tartalmazo altereinek kozos resze.

Az A reszhalmazt V generatorrendszerenek fogjuk nevezni, ha V(A) = V teljesul,tehat ha az altala generalt alter az egesz vektorter.Az A vektorhalmazhoz maskeppen is rendelheto alter.

1.5.6 Defincio. Legyen lin (A) az A-beli vektorok osszes linearis kombinaciojattartalmazo vektorok halmaza, ures A halmaz eseten pedig, megallapodas alapjan azegyelemu a nullvektort tartalmazo halmaz. lin (A)-t az A linearis burkanaknevezzuk.

Megjegyzes: Hangsulyoznunk kell, hogy amennyiben A egy vegtelen vektorhal-maz, akkor lin (A) kepzesekor az A osszes veges reszhalmazanak osszes linearis kom-binaciojat kell vennunk, hiszen csak veges vektorrendszerre ertelmeztuk a lineariskombinacio fogalmat.

Nem nehez belatnunk, hogy lin (A) is alter. Az (1.5.3) alltas szerint ehhez elegazt megmutatni, hogy lin (A)-beli vektorok linearis kombinacioja is lin (A)-ban van.Valoban ha

a =iI

iai, es a =jJ

jaj

tetszoleges lin (A)-beli vektorok tovabba es tetszoleges skalarok, akkor

a+ a =iI

iai +jJ

jaj

1.5. ALTEREK 25

is lin (A)-beli vektor, hiszen A vektorainak linearis kombinacioja.Egy vektorter valamely A reszhalmaza altal generalt alternek defincio szerinti

megadasa nehezen megfoghato. Megtalalni egy A reszhalmazt tartalmazo osszesalteret, majd azoknak a metszetet kepezni, nem mutat ra, hogy a keletkezo alteretmilyen vektorok alkotjak. Ezert hasznos a kovetkezo tetel, amely kapcsolatot teremtegy vektorhalmazhoz a fentiek szerint rendelt ket alter kozott.

1.5.7 Tetel. Legyen A a V vektorter tetszoleges reszhalmaza, es jelolje lin (A) azA linearis burkat, es V(A) pedig az A altal generalt alteret. Akkor lin (A) = V(A).

Bizonytas. A lin (A) = V(A) igazolasa vegett vegyuk eloszor eszre, hogyV(A) lin (A) hiszen lin (A) maga is egy A-t tartalmazo alter es V(A) az A-ttartalmazo alterek metszete. Masreszt lin (A) V(A) nyilvan teljesul, hiszen V(A)alter leven, zart a linearis kombinaciora, es gy lin (A) minden elemet tartalmazza.

2

Az (1.5.7) tetelt kihasznalva a tovabbiakban egy vektorter valamelyA reszhalma-za altal generalt alteret lin (A)-val fogjuk jelolni. Egy vektorter tetszoleges vektor-rendszerenek is kepezhetjuk a linearis burkat, nem lenyeges, hogy minden vektornakcsak egy peldanya szerepeljen a vektorrendszerben, es ez lehetove teszi, hogy egyvektorrendszert is nevezhetunk ezentul generatorrendszernek, amennyiben annak li-nearis burka az egesz ter.

Az (1.5.4) alltas szerint egy vektorter altereinek kozos resze is alter. Alterekegyesteserol nem allthatjuk ugyanezt, de az alterek egyestese altal generalt al-tereknek van egy figyelemre melto tulajdonsaga.

1.5.8 Tetel. Legyenek X es Y egy V vektorter alterei.(1) Akkor az egyestesuk altal generalt lin (X Y ) alter minden vektora egy X-belies egy Y -beli vektor osszege.(2) Ha X Y a zerus alter, akkor a lin (X Y ) alter minden vektora egyertelmuenall elo egy X-beli es egy Y -beli vektor osszegekent.

Bizonytas. (1) A lin (X Y ) elemei az X Y halmaz elemeinek linearis kom-binacioi, azaz

1x1 + . . .+ sxs + 1y1 + . . .+ tyt

alakuak. Mivel X es Y alterek,

1x1 + . . .+ sxs X es 1y1 + . . .+ tyt Yes a tetel elso alltasat ezzel igazoltuk.

A (2)-es alltas bizonytasa vegett tegyuk fel, hogy valamely v lin (X Y )vektorra

v = x+ y es v = x + y (x, x X, y, y Y )teljesul. Akkor az x+ y = x + y egyenlosegbol kovetkezik, hogy

x x = y y X Y,hiszen x x nyilvan X-beli es y y pedig Y -beli vektor. Igy, ha X-nek es Y -neka zerusvektor az egyetlen kozos eleme, akkor

x x = y y = 0, tehat x = x es y = y


amint azt alltottuk. 2Ertelmezzuk ezek utan az alterek direktosszegenek fogalmat.

1.5.9 Defincio. Azt mondjuk, hogy a V vektorter az X es az Y altereinek direkt-osszege, jelolese V = X Y , ha X Y a zerusalter, es V = lin (X Y ).

Az (1.5.8) tetelbol azonnal kovetkezik a

1.5.10 Kovetkezmeny. A V vektorter az X es Y altereinek direktosszege akkores csak akkor, ha az X Y a zerusalter es minden v V vektor eloallthato egyX-beli x vektor es egy Y -beli y vektor osszegekent.

1 Pelda. Tekintsuk most az Rn valos koordinatater osszes olyan vektorainak az Lhalmazat, amelyek komponenseinek osszege zerus, tehat

L = {x = [1, . . . , n] |ni=1

i = 0}.

Megmutatjuk, hogy L alter.Ehhez az (1.5.3) alltas szerint elegendo a linearis kombinaciora vonatkozo

zartsagot igazolni. Legyenek ezert

x =

1...n

es y = 1...n

tetszoleges L-beli vektorok es es teszoleges valos szamok. Az x + y vektorkomponenseinek az osszege

ni=1

(i + i) = ni=1

i + ni=1

i = 0 + 0 = 0.

Ezert x+ y L es gy L valoban alter. 2A kovetkezo pelda kedveert bevezetunk egy uj fogalmat.

1.5.11 Defincio. Legyen M az F test feletti V vektorter valamely reszhalmaza(nem feltetlenul alter), es legyen M a V dualis vektorter azon reszhalmaza, amelypontosan azokat az y linearis fuggvenyeket tartalmazza, amelyekre

x M : y(x) = 0teljesul. Az M halmazt az M annullatoranak nevezzuk.

2 Pelda. Mutasuk meg, hogy M altere a dualis V vektorternek.Megoldas: Mindenekelott megjegyezzuk, hogy M nemures, hiszen az azonosan

zero linearis fuggveny minden vektorhoz a zero skalart rendeli, gy M biztosantartalmazza az azonosan zero linearis fuggvenyt. Az (1.5.3) alltas szerint azt kellmeg megmutatnunk, hogy M-beli linearis fuggvenyek tetszoleges linearis kombina-cioja is M-ben van. Ha y1, y2 M tovabba es tetszoleges F-beli skalarok,akkor barmely x M -re

(y1 + y2)(x) = y

1(x) + y

2(x) = 0 + 0 = 0,

igazolva, hogy y1 + y2 M. 2

1.6. LINEARIS FUGGETLENSEG ES OSSZEFUGGOSEG 27

2. Gyakorlatok, feladatok

1. Igazolja, hogy amennyiben Y altere a V vektorter X alterenek, akkor Y altereV -nek is.

2. Mutassuk meg, hogy ha A es B olyan reszhalmazai a V vektorternek, hogyA B teljesul, akkor lin (A) altere lin (B)-nek.

3. Legyen

L = {x Rn | x = [, + , . . . + (n 1)];, R} ,

tehat L elmei azok az n-esek, amelyeknek egymast koveto elemei szamtanisorozatot alkotnak. Altere L?

4. Legyen L olyan x Rn vektorok halmaza, amelyeknek komponensei egy mer-tani sorozat egymas utani elemei. Alter-e L?

5. Tekintsuk az [a, b] intervallumon Riemann-integralhato fuggvenyek vektorte-renek azon I reszhalmazat, amely pontosan azokat az f fuggvenyeket tartal-mazza, melyekre

ba f(x)dx = 0 teljesul. Mutassuk meg, hogy I alter.

6. Igazolja, hogy a valos Cauchy-sorozatok alteret alkotjak az osszes valosszamsorozatok vektorterenek. Igaz vajon ugyanez az alltas a divergens valosszamsorozatokra is?

7. Ha V esW az F test feletti vektorterek, akkor az az elso szakasz 6. feladatabanlatott modon ertelmezett V W is F feletti vektorter. Mutassuk meg, hogyvannak V W -nek olyan V es W alterei, amelyek izomorfak V -vel, illetveW -vel, es V W az V es W altereinek direktosszege.

1.6 Linearis fuggetlenseg es osszefuggoseg

A cmben jelzett linearis fuggetlenseg, illetve linearis osszefuggoseg vektorrend-szerekre vonatkozo fogalmak, es a linearis algebra talan legalapvetobb fogalmai.Olyannyira, hogy megertesuk nelkul nem eptheto tovabb a vektorterek elmelete.Ezert a kovetkezo reszben kicsit talan a szuksegesnel is tobb magyarazattal fogtalalkozni az olvaso.

A kozepiskolaban vektoralgebrai tanulmanyaik soran megallaptottak, hogy haadott a skban ket tetszoleges, nemzero es nem egy egyenesre eso vektor, akkor ezeklinearis kombinaciojakent a nullvektor csak ugy kaphato, ha mindket vektort a zeroskalarral szorozzuk, majd az gy kapott vektorokat adjuk ossze. Teljesen hasonloan,ha tekintunk harom nem egy skba eso terbeli helyvektort, ezek linearis kombinaciojacsak abban az esetben egyenlo a nullvektorral, ha a linearis kombinacioban szereploskalar egyutthatok mindegyike nulla. Ezt a tulajdonsagot altalanostva jutunk alinearisan fuggetlen vektorrendszer alabbi fogalmahoz.


1.6.1 Defincio. Egy vektorter vektorainak egy X = {x1, . . . , xn} rendszeret line-arisan fuggetlennek nevezzuk, ha

ni=1

ixi = 0 = 1 = . . . = n = 0 .

Szavakkal is megfogalmazva ugyanezt, azt mondhatjuk, hogy egy vektorrendszerpontosan akkor linearisan fuggetlen, ha vektorainak a linearis kombinacioja csakugy lehet a zerovektor, ha a linearis kombinacioban szereplo skalarok mindegyike azero skalar. Azt a linearis kombinaciot, amelyben minden skalar egyutthato zerus,trivialis linearis kombinacionak mondjuk. Termeszetesen barmely vektorrendszertrivialis linearis kombinacioja zerovektor, de vannak olyan vektorrendszerek is peldaul magat a zerovektort is tartalmazo vektorrendszerek

Linearis Algebra

Documents

Transcript of Linearis Algebra