Algebra Sd

AlgebraWykady dla Studiw Doktoranckich

Kazimierz Szymiczek

29.11.2010

Spis treci

Przedmowa v

1 Grupy 11.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Definicja i przykady grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Podgrupy i warstwy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Podgrupy normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Homomorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Automorfizmy wewntrzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Twierdzenie Jordana-Holdera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Dziaanie grupy na zbiorze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Dziaanie grupy przez automorfizmy wewntrzne . . . . . . . . 141.2.2 Zastosowania w teorii grup skoczonych . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Iloczyn prosty i pprosty grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1 Iloczyny wewntrzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Iloczyny zewntrzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Iloczyn prosty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Iloczyn pprosty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.3 Holomorf grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 Grupy wolne i kody genetyczne grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1 Monoidy wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Grupy wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.3 Wasno uniwersalna grupy wolnej . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.4 Kod genetyczny grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Piercienie 372.1 Podstawowe pojcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Homomorfizmy i ideay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Ideay w piercieniach przemiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 Ideay pierwsze i maksymalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.2 Rozszerzenie i zwenie ideau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.3 Twierdzenie chiskie o resztach . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.4 Elementy nilpotentne i dzielniki zera . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4 Piercienie uamkw i lokalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4.1 Konstrukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

i

ii SPIS TRECI

2.4.2 Wasno uniwersalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.3 Ideay piercienia uamkw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Moduy 593.1 Definicje i przykady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.1 Operacje na moduach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2 Homomorfizmy moduw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.1 Rozszczepialne cigi dokadne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3 Moduy wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Moduy projektywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.1 Bazy dualne moduw projektywnych . . . . . . . . . . . . . . 763.4.2 Moduy projektywne nad piercieniami lokalnymi . . . . . . . 79

3.5 Bimoduy i reprezentacje piercieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Iloczyn tensorowy moduw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6.1 Rozszerzenie piercienia skalarw . . . . . . . . . . . . . . . . 853.7 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Moduy nad piercieniami ideaw gwnych 894.1 Moduy torsyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Moduy skoczenie generowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 Grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.1 Grupy abelowe wolne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Grupa abelowa wolna jako skadnik prosty grupy abelowej . . 98Generatory i relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.2 Skoczenie generowane grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.3 Skoczenie generowane beztorsyjne grupy abelowe . . . . . . . 1024.3.4 Skoczenie generowane mieszane grupy abelowe . . . . . . . . 1024.3.5 Torsyjne grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.6 Skoczone grupy abelowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5 Kategorie 1075.1 Obiekty i morfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.1 Monomorfizmy i epimorfizmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2 Iloczyny obiektw kategorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3 Sumy obiektw kategorii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Funktory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4.1 Transformacja naturalna funktorw . . . . . . . . . . . . . . . 1235.4.2 Naturalna rwnowano funktorw . . . . . . . . . . . . . . . 1255.4.3 Funktory sprzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5 Funktor K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.5.1 Grupa Grothendiecka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.5.2 Funktor K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.5.3 Kteoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

SPIS TRECI iii

6 Piercienie noetherowskie 1376.1 Moduy i piercienie noetherowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.1.1 Moduy noetherowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.1.2 Piercienie noetherowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.1.3 Moduy i piercienie artinowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2 Rozkad prymarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.1 Ideay prymarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.2 Radyka ideau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.2.3 Nota bibliograficzna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.3 Piercienie Dedekinda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.1 Wymiar piercienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.2 Elementy cakowite nad piercieniem . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.3 Piercienie Dedekinda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3.4 Inna charakteryzacja piercieni Dedekinda . . . . . . . . . . . 158

6.4 Piercienie liczb algebraicznych cakowitych . . . . . . . . . . . . . . 1596.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7 Afiniczne rozmaitoci algebraiczne 1677.1 Zbiory algebraiczne i ich ideay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2 Topologia Zariskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.3 Rozmaitoci algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.4 Twierdzenie Hilberta o zerach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5 Zastosowania twierdzenia Hilberta o zerach . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.5.1 Rozkad prymarny ideaw i rozkad zbioru algebraicznego nasum rozmaitoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.5.2 Ideay maksymalne piercienia wielomianw . . . . . . . . . . 1817.5.3 Ideay radykalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

7.6 Ciao funkcji wymiernych na rozmaitoci . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.6.1 Piercie funkcji wielomianowych na zbiorze algebraicznym . . 1867.6.2 Kategoria afinicznych zbiorw algebraicznych . . . . . . . . . . 1907.6.3 Zbiory algebraiczne okrelone nad podciaem . . . . . . . . . . 1917.6.4 Punkty Kwymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.6.5 Ciao funkcji wymiernych na rozmaitoci . . . . . . . . . . . . 1927.6.6 Wymiar rozmaitoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.6.7 Nieosobliwo rozmaitoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.7 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8 Algebra endomorfizmw 1998.1 Kalgebry: definicje i przykady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.2 Algebry z dzieleniem i algebry proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.3 Centralno i prostota algebry endomorfizmw . . . . . . . . . . . . . 2078.4 Wielomian minimalny endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.5 Endomorfizmy odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.6 Rzd endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.7 Podobiestwo endomorfizmw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.8 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

iv SPIS TRECI

9 Algebra liniowa:Triangularyzacja i diagonalizacja 2239.1 Wartoci wasne endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.2 Endomorfizmy diagonalizowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.3 Posta kanoniczna trjktna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.4 Diagonalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10 Algebra liniowa: Postacie kanoniczne 23710.1 Struktura K[X]moduu V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.1.1 Rozkad prymarny moduu V . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810.1.2 Rozkad moduu V na sum prost podmoduw cyklicznych 242

10.2 Endomorfizmy nilpotentne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24410.2.1 Posta kanoniczna Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.2.2 Jednoznaczno postaci kanonicznej Jordana . . . . . . . . . . 247

10.3 Posta kanoniczna Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.3.1 Posta kanoniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.3.2 Jednoznaczno postaci kanonicznej . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.4 Wielomian charakterystyczny, wyznacznik, lad . . . . . . . . . . . . 25510.4.1 Wielomian charakterystyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25610.4.2 Wyznacznik endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.4.3 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25910.4.4 lad endomorfizmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

10.5 Posta kanoniczna Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.5.1 Podprzestrzenie cykliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.5.2 Posta kanoniczna wymierna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26210.5.3 Jednoznaczno postaci kanonicznej . . . . . . . . . . . . . . . 265

10.6 Rozmaitoci o endomorfizmach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.6.1 Podobiestwo przy zwaniu ciaa . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.6.2 Charakteryzacja endomorfizmw nilpotentnych . . . . . . . . . 26610.6.3 Transponowanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

10.7 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Przedmowa

Sometimes one has to say difficult things,but one ought to say them as simply as one knows how.

G. H. Hardy

Program studiw doktoranckich w Uniwersytecie lskim przewiduje wykady zczterech podstawowych dyscyplin matematycznych. Wykady te s adresowane dowszystkich uczestnikw studiw doktoranckich i maj ustanowi pewien minimal-ny standard wyksztacenia matematycznego wszystkich doktorw, niezalenie odich specjalizacji naukowej. W zwizku z tym programy tych wykadw przewidujjedynie hasa o oglnym znaczeniu i unikaj problematyki wanej jedynie dla specja-listw. Niniejszy skrypt jest zapisem takiego wykadu z algebry w roku akademickim20082009.

v

Rozdzia 1

GrupyOstatnie zmiany 16.09.2010 r.

1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy

Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych poj i faktw z teorii grup, wyst-pujcych w kursowym uniwersyteckim wykadzie algebry. Nastpujce ksiki bdprzydatne w odwieaniu tych wiadomoci:

[BB] A. Biaynicki-Birula, Zarys algebry. PWN Warszawa 1987.[H] I. N. Herstein, Topics in Algebra. 2nd edition. Wiley, New York 1975.[KM] M. I. Kargapoow, J. I. Mierzliakow, Podstawy teorii grup. PWN Warszawa 1989.[L] S. Lang, Algebra. PWN Warszawa 1973.[S] K. Szymiczek, Zbir zada z teorii grup. PWN Warszawa 1989.

1.1.1 Definicja i przykady grup

Pgrup nazywamy system zoony ze zbioru S i okrelonego w tym zbiorze cznegodziaania binarnego.Monoidem nazywamy pgrup z jedynk (elementem neutralnym).Grup nazywamy monoid, w ktrym kady element ma element odwrotny.Inne definicje: zob. [S], zad. 051, 053, niezaleno aksjomatw: zad. 052.

Przykad 1.1.1. (a) Grupa symetryczna S(X) zbioru X. Jej elementami s bijekcje : X X, natomiast dziaaniem jest superpozycja bijekcji: dla , S(X)odwzorowanie : X X dziaa nastpujco:

( )(x) = ((x))dla kadego x X. Gdy zbir X jest skoczony, grup S(X) nazywa si gruppermutacji zbioru X i oznacza S(n) (lub Sn), gdzie n jest liczb elementw zbioruX.(b) Grupa funkcjiM(X,G) okrelonych na zbiorze X o wartociach w grupie G. Dladwch funkcji f, g : X G ich iloczyn definiujemy jako funkcj fg : X G tak,e

(fg)(x) = f(x) g(x)dla kadego x X (po prawej stronie mamy iloczyn dwch elementw grupy G).(c) Pena grupa liniowa GL(n, F ) skada si z wszystkich odwracalnych macierzy

1

2 ROZDZIA 1. GRUPY

kwadratowych stopnia n o elementach z ciaa F. Specjalna grupa liniowa SL(n, F )skada si z wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciaa F,ktrych wyznacznik jest rwny 1.(d) Grupa kwaternionw Quat. W grupie SL(2,C) wemy macierze

A =[0 ii 0

], B =

[0 11 0

].

Wtedy A4 = B4 = I, A2 = B2, BAB1 = A1 i rwnoci te pozwalaj stwierdzi, enastpujcych 8 macierzy

I, A,A2, A3, B,AB,A2B,A3B

tworzy grup. Nazywamy j grup kwaternionw i oznaczamy Quat lub Q.

(e) Grupa diedralna D(n). W grupie permutacji S(n) wemy permutacje

x = (12 . . . n), y =(

1 2 . . . nn n 1 . . . 1

).

Sprawdzamy, e xn = y2 = 1, yxy1 = x1. Rwnoci te pozwalaj stwierdzi, e2n permutacji

1, x, . . . , xn1, y, xy, . . . , xn1y

tworzy grup. Nazywamy j grup diedraln i oznaczamy D(n) (lub Dn). Grup tnazywa si take grup izometrii nkta foremnego, gdy numerujc wierzchokinkta foremnego liczbami 1, 2, . . . , n stwierdzamy, e x i y, a take kady elementgrupy D(n), mona zinterpretowa jako izometri tego nkta. Faktycznie s towszystkie izometrie nkta foremnego.

Obszern list przykadw mona znale w [S], zad. 001020.

1.1.2 Podgrupy i warstwy

Podgrup H grupy G nazywamy podzbir grupy G zamknity ze wzgldu na dzia-anie grupowe (jeli a, b H, to take ab H), ktry sam jest grup ze wzgldu nadziaanie bdce zacienieniem dziaania na G do H. Piszemy wtedy H < G.H < G wtedy i tylko wtedy, gdy speniony jest warunek:

x, y H xy1 H.atwo stwierdzi, e cz wsplna dowolnej rodziny podgrup grupy G jest podgru-p grupy G. W szczeglnoci, jeli A jest podzbiorem grupy G, to cz wsplnawszystkich podgrup grupy G zawierajcych zbir A jest podgrup grupy G. Na-zywamy j podgrup generowan przez zbir A i oznaczamy A. Na przykad,grupa kwaternionw Quat jest podgrup grupy SL(2,C) generowan przez macie-rze A,B z przykadu 1.1.1(d). Podobnie, grupa diedralna D(n) jest podgrup S(n)generowan przez permutacje x, y z przykadu 1.1.1(e), zatem w grupie S(n) mamyx, y = D(n).Dla podzbiorw A i B grupy G okrelamy ich iloczyn kompleksowy

A B := {a b G : a A, b B}.

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 3

Dla kadych trzech podzbiorw A,B,C grupy G mamy

(A B) C = A (B C).Jeli A i B s podgrupami grupy G, to iloczyn AB jest podgrup grupy G wtedy itylko wtedy gdy AB = BA.

Warstw lewostronn grupy G wzgldem podgrupy H wyznaczon przez elementa G nazywamy zbir

aH := {a} H = {ah G : h H}.Podobnie definiuje si warstw prawostronn Ha := {ha G : h H}.Kada warstwa grupy G wzgldem podgrupy H jest rwnoliczna z podgrup H. Mia-nowicie odwzorowania H aH, h 7 ah oraz H Ha, h 7 ha s bijekcjami.Jeli dwie warstwy lewostronne aH i bH maj cho jeden element wsplny, to sidentyczne: aH = bH. Podobnie dla warstw prawostronnych.Poniewa kady element a G naley do dokadnie jednej warstwy aH grupy Gwzgldem podgrupy H i rne warstwy s rozczne, grup G mona przedstawijako sum mnogociow parami rozcznych warstw

G =iIaiH.

atwo sprawdzi, e odwzorowanie aH 7 Ha1 jest bijekcj pomidzy zbioremwarstw lewostronnych i zbiorem warstw prawostronnych grupy G wzgldem pod-grupy H. Zatem zbiory te s rwnoliczne a ich wspln moc nazywa si indeksempodgrupy H w grupie G. Zbir parami rozcznych warstw lewostronnych aiH ozna-cza si G : H. Moc |G : H| zbioru warstw G : H, czyli moc zbioru I, jest wicindeksem podgrupy H w grupie G.Rozkad grupy G na sum mnogociow parami rozcznych warstw wraz z faktem,e kade dwie warstwy grupy wzgldem tej samej podgrupy s rwnoliczne, prowadzinatychmiast do twierdzenia Lagrangea mwicego, e dla grupy skoczonej G i jejdowolnej podgrupy H mamy

|G : H| |H| = |G|.atwo te zauway uoglnienie: dla grupy skoczonej G, jeli K < H < G, to

|G : H| |H : K| = |G : K|.

1.1.3 Podgrupy normalne

Podgrupa H grupy G nazywa si podgrup normaln, jeli

aH = Ha a G.Piszemy wtedy H CG. Zob. [S], zad. 213, gdzie podanych jest 10 innych warunkwdefiniujcych podgrup normaln.

Dwie podstawowe obserwacje:

4 ROZDZIA 1. GRUPY

1. Jeli H CG i K < G, to HK = KH i wobec tego HK jest podgrup grupy G. Awic iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy normalnej i dowolnej podgrupy grupyG jest podgrup grupy G.2. Jeli H CG oraz a, b G, to

aH bH = a(Hb)H = a(bH)H = abHH = abH.A wic iloczyn kompleksowy dwch warstw wzgldem podgrupy normalnej H jestznw warstw wzgldem H. Zbir G : H wszystkich warstw aH grupy G wzgldempodgrupy normalnej H oznacza si G/H. Zbir G/H z kompleksowym mnoeniemwarstw jest grup (z jedynk H). Nazywa si j grup ilorazow grupy G wzgldempodgrupy normalnej H.

Przykad 1.1.2. Jeli grupa G jest abelowa, to kada podgrupa H grupy G jestpodgrup normaln.W dowolnej grupie G jej centrum

Z(G) = {a G : ag = ga g G}jest podgrup normaln w G.W penej grupie liniowej GL(n,K) stopnia n nad ciaem K centrum skada si zwszystkich macierzy skalarnych aI, gdzie a K oraz I jest macierz jednostkowstopnia n (zob. [S], zad. 288). Mamy take SL(n,K)CGL(n,K). Dla A GL(n,K)warstwa A SL(n,K) skada si z wszystkich macierzy grupy GL(n,K), ktrychwyznacznik jest rwny detA.Komutantem grupy G nazywa si podgrup [G,G] grupy G generowan przez zbirwszystkich komutatorw, czyli elementw postaci [a, b] := a1b1ab, gdzie a, b sdowolnymi elementami G. W grupie abelowej G mamy [a, b] = 1 dla kadych a, b G, zatem take [G,G] = 1. Natomiast w grupie nieabelowej G jej komutant [G,G]jest zawsze nietrywialn podgrup grupy G. Ponadto, [G,G] C G dla kadej grupyG. atwo stwierdzi, e grupa ilorazowa G/[G,G] jest abelowa.

Grup G 6= {1} nazywa si prost, jeli podgrupa jednostkowa E = {1} orazcaa grupa G s jedynymi podgrupami normalnymi w G.

Przykad 1.1.3. (a) Na podstawie twierdzenia Lagrangea, jeli rzd grupy G jestliczb pierwsz, to grupa G nie posiada waciwych podgrup i tym bardziej nieposiada waciwych podgrup normalnych, jest zatem grup prost. A wic grupyreszt Zp, gdzie p jest liczb pierwsz, s proste.(b) W kursowym wykadzie algebry dowodzi si take, e grupy alternujce An(grupy permutacji parzystych) dla n 5 s grupami prostymi.(c) Jeszcze jedn seri nieskoczon skoczonych grup prostych otrzymuje si jakogrupy ilorazowe specjalnych grup liniowych. Grupa SL(n,K) ma centrum zoone zmacierzy skalarnych o wyznaczniku 1, a wic

Z(SL(n,K)) = {aI : a K, an = 1}.Grupa ilorazowa SL(n,K)/Z(SL(n,K)) nazywa si rzutow grup specjaln stopnian nad ciaem K i oznacza si j PSL(n,K). Mona udowodni, e dla kadego ciaaK, ktre ma co najmniej 4 elementy i dla kadej liczby naturalnej n 2 grupaPSL(n,K) jest prosta (zob. [KM], str. 125).


1.1.4 Homomorfizmy

Homomorfizmem grupy G w grup G nazywamy kade odwzorowanie h : G Gtakie, e

h(ab) = h(a)h(b) dla kadych a, b G.Jeli f : G G jest take homomorfizmem grup, to zoenie f h : G G jesttake homomorfizmem grup. Czsto zamiast f h bdziemy w takiej sytuacji pisapo prostu fh.

Obrazem imh homomorfizmu h : G G nazywamy obraz h(G) grupy G wgrupie G. Jest to podgrupa grupy G. Jdrem kerh homomorfizmu h nazywamyzbir h1(1), czyli zbir tych elementw grupy G, ktrych obrazem poprzez h jestjedynka 1 G grupy G. atwo sprawdza si, e kerh jest podgrup grupy G.Jeli h : G G jest homomorfizmem, to dla kadego a G

kerh a = h1(h(a)) = a kerh. (1.1)

Zatem kerh jest podgrup normaln grupy G.Dla dowodu (1.1) zauwamy, e

h1(h(a)) = {b G : h(b) = h(a)} = {b G : a1b kerh}= {b G : b a kerh} = a kerh.

Poniewa h(a) = h(b) pociga rwnie ba1 kerh, czyli b kerh a, wic takekerh a = h1(h(a)).Formu (1.1) atwo uoglnimy w nastpujcy sposb: dla dowolnego niepustegopodzbioru A grupy G

kerh A = h1(h(A)) = A kerh. (1.2)

Rzeczywicie,

h1(h(A)) =aA

h1(h(a)) =aA

a kerh = A kerh

i podobnie otrzymamy drug cz rwnoci (1.2). Z rwnoci (1.2) otrzymujemyteraz

kerh < H < G h1(h(H)) = H (1.3)dla dowolnego homomorfizmu h : G G.Jeli homomorfizm h jest odwzorowaniem rnowartociowym (injektywnym), todla kadego a G zbir h1(h(a)) jest jednoelementowy. A wic na podstawie (1.1)homomorfizm h jest injektywny wtedy i tylko wtedy gdy kerh = {1}.Definicja 1.1.1. Homomorfizm grup h : G G nazywa si monomorfizmemkategoryjnym grupy G w grup G jeli dla dowolnej grupy K i homomorfizmwf1, f2 : K G mamy nastpujc implikacj:

hf1 = hf2 f1 = f2.

6 ROZDZIA 1. GRUPY

Homomorfizmy wystpujce w tej definicji wygodnie jest zapisa w postaci na-stpujcego diagramu:

G G

K

K

-?

6 *

j

f1

f2

hf1

hf2

h

Rozwaymy teraz wasno homomorfizmw dualn w stosunku do kategoryj-nej monomorficznoci. Dualno ta polega na tym, e w definicji 1.1.1 zmieniamykierunki dziaania wszystkich homomorfizmw.

Definicja 1.1.2. Homomorfizm grup h : G G nazywa si epimorfizmem ka-tegoryjnym grupy G w grup G jeli dla dowolnej grupy K i homomorfizmwf1, f2 : G K mamy nastpujc implikacj:

f1h = f2h f1 = f2.Homomorfizmy wystpujce w tej definicji tworz nastpujcy diagram:

G G

K

K

Y6

?

f1

f2

f1h

f2h

h

Stwierdzenie 1.1.3. Jeli homomorfizm grup h : G G jest odwzorowanieminjektywnym, to h jest monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grup G.Jeli homomorfizm grup h : G G jest odwzorowaniem surjektywnym, to h jestepimorfizmem kategoryjnym grupy G w grup G.

Dowd. W oznaczeniach definicji 1.1.1 zakadamy, e a K oraz hf1 = hf2. Wtedyh(f1(a)) = (hf1)(a) = (hf2)(a) = h(f2(a)).

Jeli h jest odwzorowaniem injektywnym, to std otrzymujemy f1(a) = f2(a). Wobectego f1 = f2.Podobnie, w oznaczeniach definicji 1.1.2 zakadamy, e a G oraz f1h = f2h. Jelih jest odwzorowaniem surjektywnym, to istnieje b G taki, e a = h(b). Wobectego

f1(a) = f1(h(b)) = (f1h)(b) = (f2h)(b) = f2(h(b)) = f2(a).

Std f1 = f2.


Injektywny homomorfizm grup h : G G nazywa si zwykle monomorfizmem,za homomorfizm surjektywny nazywa si epimorfizmem. Tak wic kady monomor-fizm grup jest monomorfizmem kategoryjnym i kady epimorfizm grup jest epimor-fizmem kategoryjnym. Mona pokaza, e twierdzenia odwrotne s take prawdziwei w zwizku z tym nie ma koniecznoci rozrniania morfizmw grupowych i kate-goryjnych. W rozdziale 5 dyskutujemy ten problem w penej oglnoci.

Homomorfizm, ktry jest rwnoczenie monomorfizmem i epimorfizmem nazywasi izomorfizmem.

Najwaniejszym przykadem homomorfizmu grup jest homomorfizm kanoniczny : G G/H, gdzie H jest dowoln podgrup normaln grupy G. Jest on okrelonynastpujco: (a) = aH dla a G. Jest to epimorfizm oraz ker = H. A wickada podgrupa normalna H grupy G jest jdrem pewnego homomorfizmu grupy Gw odpowiednio dobran grup G (na przykad na grup ilorazow G/H).Sformuujemy teraz trzy podstawowe twierdzenia o homomorfizmach grup.

Twierdzenie 1.1.4. (Twierdzenie o faktoryzacji.)Jeli h : G G jest homomorfizmem grup, J := kerh oraz : G G/J jesthomomorfizmem kanonicznym, to istnieje dokadnie jeden monomorfizm h : G/J G taki, e h = h , a wic taki, e nastpujcy diagram jest przemienny:

G G

G/J

h-

R

h

Homomorfizm h definiuje si kadc h(aJ) = h(a) dla a G.Z tego twierdzenia wynika, e kady homomorfizm h : G G ma rozkad postaci

G G/J h imh j G,

gdzie jest homomorfizmem kanonicznym, h jest izomorfizmem oraz j jest woe-niem. Innym bardzo uytecznym faktem jest nastpujcy wniosek.

Wniosek 1.1.5. Jeli h : G G jest epimorfizmem grup, to homomorfizm h jestizomorfizmem i wobec tego

G/ kerh = G.Uwaga 1.1.6. Twierdzenie o faktoryzacji mona sformuowa w nastpujcej niecooglniejszej formie.

Niech H bdzie podgrup normaln grupy G i niech h : G G bdzie homomorfi-zmem grup. Jeli H kerh, to istnieje dokadnie jeden homomorfizm h : G/H G taki, e h = h , gdzie : G G/H jest homomorfizmem kanonicznym.Ponadto, jeli H = kerh, to h jest monomorfizmem.

Zaoenie, e H kerh pozwala okreli h formu h(aH) = h(a). Rzeczywicie,jeli aH = bH, to a1b H kerh, skd wynika, e h(a) = h(b). Ponadto, jeliH = kerh, to h(a) = 1 pociga aH = H, zatem h jest monomorfizmem.

8 ROZDZIA 1. GRUPY

Dla grupy G symbolami SubG i NSubG oznaczamy odpowiednio zbir wszyst-kich podgrup grupy G i zbir wszystkich podgrup normalnych grupy G. Jeli H jestpodgrup grupy G, to SubH G i NSubH G oznaczaj odpowiednio zbir wszystkichpodgrup grupy G zawierajcych podgrupH i zbir wszystkich podgrup normalnychgrupy G zawierajcych podgrup H.

Twierdzenie 1.1.7. (Twierdzenie o odpowiednioci.)Niech h : G G bdzie epimorfizmem grup. Wtedy przyporzdkowanie

h : SubJ G SubG, h(H) = h(H)kadej podgrupie H grupy G zawierajcej jdro J = kerh jej obrazu h(H) w grupieG jest bijekcj tak, e h(NSubJ G) = NSubG.Ponadto, dla kadej podgrupy normalnej H grupy G zawierajcej jdro J = kerhmamy izomorfizm

G/H = G/h(H).Dowd. Dla L SubG mamy h(h1(L)) = L, zatem h jest odwzorowaniem sur-jektywnym. Dla dowodu, e h jest odwzorowaniem injektywnym przypumy, eJ < H1, H2 < G oraz h(H1) = h(H2). Wtedy na podstawie (1.3) mamy

H1 = h1(h(H1)) = h1(h(H2)) = H2.

A wic h jest bijekcj.Niech teraz J < H C G (to znaczy H NSubJ G). Wtedy dla x G oraz a Gtakiego, e h(a) = x mamy

x h(H) x1 = h(a) h(H) h(a1) = h(aHa1) = h(H).Std wynika, e h(H) NSubG. Zatem zacienienie h do NSubJ G jest injekcjw zbir NSubG. Pozostaje pokaza, e zacienienie to jest surjekcj. Niech wicL NSubG. Dla kadego a G mamy

h(a h1(L) a1) = h(a) L h(a)1 = L.Zatem ah1(L)a1 h1(L). Std wynika ju, e h1(L)CG i wobec h(h1(L)) =L odwzorowanie h jest surjekcj.

Dla dowodu ostatniej czci twierdzenia okrelamy odwzorowanie

h : G G/h(H), h(a) = h(a)h(H).Z atwoci stwierdzamy, e h jest epimorfizmem grup. Ponadto, poniewa kerh 1 dlai = 1, . . . , r, a rwnanie klas

|G| = |Z(G)|+ri=1

|xGi | = |Z(G)|+ri=1

|G : Z(xi)|,

gdzie xi G reprezentuj rne klasy elementw sprzonych oraz |G : Z(xi)| > 1dla i = 1, . . . , r.

1.2. DZIAANIE GRUPY NA ZBIORZE 15

1.2.2 Zastosowania w teorii grup skoczonych

Wskaemy teraz trzy zastosowania rwnania klas w teorii grup skoczonych.

Twierdzenie 1.2.9. Jeli rzd grupy G jest potg liczby pierwszej p, to grupa Gma nietrywialne centrum. Zatem

|Z(G)| p.Dowd. W rwnaniu klas mamy

pn = |G| = |Z(G)|+ri=1

|G : Z(xi)|,

gdzie n jest pewn liczb naturaln oraz |G : Z(xi)| > 1 dla i = 1, . . . , r. Ponadto,kady indeks |G : Z(xi)| jest dzielnikiem rzdu grupy G a wic jest take potgliczby p. Zatem |Z(G)| musi dzieli si przez p.Twierdzenie 1.2.10. (Twierdzenie Cauchyego.)Jeli liczba pierwsza p dzieli rzd grupy skoczonej G, to w grupie G istnieje elementrzdu p.

Dowd. Dla grupy abelowej G twierdzenie to udowodnimy w rozdziale 4 innymi me-todami. Tutaj zakadamy, e twierdzenie jest prawdziwe dla grup abelowych. Niechwic G bdzie grup nieabelow. Przeprowadzimy dowd indukcyjny ze wzgldu narzd grupy G. Zakadamy wic, e grupy rzdu mniejszego ni rzd grupy G i po-dzielnego przez p zawieraj elementy rzdu p. Pokaemy, e grupa G ma podgrupwaciw o rzdzie podzielnym przez p.Rozpatrujemy dwa przypadki.(a) Jeli w rwnaniu klas wszystkie indeksy |G : Z(xi)| dziel si przez p, to take pdzieli rzd centrum Z(G), ktre jest waciw podgrup grupy G.(b) Jeli dla pewnego x G \ Z(G) liczba p nie dzieli indeksu |G : Z(x)|, to napodstawie twierdzenia Lagrangea liczba p dzieli rzd podgrupy Z(x), ktra jestwaciw podgrup grupy G.W kadym wic przypadku G ma podgrup waciw o rzdzie podzielnym przez p.Na podstawie zaoenia indukcyjnego ta podgrupa ma element rzdu p, a wic takeG ma element rzdu p.

Twierdzenie 1.2.11. (Twierdzenie Sylowa.)Jeli p jest liczb pierwsz i potga pk liczby p dzieli rzd grupy skoczonej G, togrupa G ma podgrup rzdu pk.

Dowd. Przeprowadzimy dowd indukcyjny ze wzgldu na rzd grupy G. Wobectwierdzenia Cauchyego moemy zaoy, e k 2.Przypadek (a): Istnieje podgrupa waciwa H < G, ktrej indeks |G : H| nie dzielisi przez p.Wtedy na podstawie twierdzenia Lagrangea |G| = |G : H| |H|, zatem pk dzielirzd podgrupy H. Na podstawie zaoenia indukcyjnego H, a zatem take G, mapodgrup rzdu pk.Przypadek (b): Dla kadej podgrupy waciwej H < G indeks |G : H| dzieli si

16 ROZDZIA 1. GRUPY

przez p.Z rwnania klas (niezalenie od tego czy grupa jest abelowa czy te nie) wynika,e centrum Z(G) grupy G ma rzd podzielny przez p. Na podstawie twierdzeniaCauchyego istnieje element a Z(G) rzdu p, a wic H := a jest podgrup Z(G).Mamy wic

H < Z(G)CG,skd wynika, e H CG. Rozpatrzmy homomorfizm kanoniczny

: G G/H.Poniewa pk dzieli |G| oraz p = |H|, wic pk1 dzieli |G/H|. Na podstawie zaoeniaindukcyjnego G/H ma podgrup P rzdu pk1. Niech S := 1(P ) bdzie prze-ciwobrazem podgrupy P w grupie G. Wtedy (S) = P i zacienienie do S jestepimorfizmem na grup P z jdrem H. Zatem S/H = P, skd wynika, e

|S| = |H| |P | = p pk1 = pk.Grupa G ma wic podgrup S rzdu pk.

Definicja 1.2.12. Niech G bdzie grup skoczon i niech p bdzie liczb pierwszdzielc rzd grupy G. Jeli pn jest najwiksz potg liczby p dzielc rzd grupyG, to kad podgrup S rzdu pn grupy G nazywamy ppodgrup Sylowa grupy G.

Z twierdzenia Sylowa wynika, e kada grupa skoczona ma ppodgrupy Sylowadla kadej liczby pierwszej p dzielcej rzd grupy G. Przy tym ppodgrupy Sylowas maksymalnymi ppodgrupami grupy G. A oto inne twierdzenia o podgrupachSylowa, ktrych dowody mona znale w ksice S. Langa (rozdzia I, 6). Zaka-damy poniej, e G jest grup skoczon i liczba pierwsza p dzieli rzd grupy G.

Kada podgrupa H grupy G, ktrej rzd jest potg liczby p zawiera si w pewnejppodgrupie Sylowa grupy G.Kade dwie ppodgrupy Sylowa grupy G s sprzone w G.Oznacza to, e dla kadych dwch ppodgrup Sylowa S1 i S2 grupy G istnieje au-tomorfizm wewntrzny ia grupy G taki, e

ia(S1) = S2.

Std wynika, e jeli grupa G ma tylko jedn ppodgrup Sylowa S, to S CG.Liczba s(p,G) wszystkich ppodgrup Sylowa grupy G jest postaci 1+pm, gdzie m 0jest liczb cakowit. Ponadto, s(p,G) dzieli rzd grupy G.A wic jeli grupa G ma wicej ni jedn ppodgrup Sylowa, to ma ich co najmniejp+ 1.

1.3 Iloczyn prosty i pprosty grup

1.3.1 Iloczyny wewntrzne

Niech H i K bd podgrupami grupy G. Iloczyn kompleksowy HK nie jest na ogpodgrup grupy G. Mamy jednak nastpujce kryterium na to by HK < G :

HK < G HK = KH.

1.3. ILOCZYN PROSTY I PPROSTY GRUP 17

Szczeglnie interesujcy jest przypadek, gdy HK = G. Oznacza to, e kady elementg grupy G mona przedstawi w postaci g = hk gdzie h H, k K. Nasuwa sinaturalne pytanie, kiedy takie przedstawienie kadego elementu g G jest jedno-znaczne.

Lemat 1.3.1. Niech H i K bd podgrupami grupy G. Nastpujce warunki srwnowane.(a) G = HK i H K = 1.(b) Kady element g G ma dokadnie jedno przedstawienie w postaci g = hk gdzieh H, k K.

Dowd. Zamy (a) i przypumy, e hk = h1k1 dla pewnych h, h1 H orazk, k1 K. Wtedy h11 h = k1k1 H K = 1. Std otrzymujemy h = h1 i k = k1,co dowodzi (b).Zamy (b) i przypumy, e g H K. Wtedy g = g 1 = 1 g, skd wobec (b)wynika, e g = 1.

Definicja 1.3.2. Grup G nazywamy iloczynem oglnym podgrup H i K jeli spe-niony jest jeden (zatem obydwa) z warunkw (a) i (b) lematu 1.3.1.Grup G nazywamy iloczynem pprostym podgrup H i K jeli G jest iloczynemoglnym tych podgrup oraz H CG lub K CG.Grup G nazywamy iloczynem prostym podgrup H i K jeli G jest iloczynem ogl-nym tych podgrup oraz H CG i K CG.

Istnieje wiele grup, ktre rozkadaj si na iloczyn pprosty, ale nie maj roz-kadu na iloczyn prosty nietrywialnych podgrup normalnych. A wic, na przykad,

D(n) = Obr(n) Odb(n),S(n) = An {1, (12)},O(n) = SO(n) {1, },

IsomEn = TranEn ObrEn,Af(n,K) = TAf(n,K) CAf(n,K).

Tutaj uylimy nastpujcych oznacze: Obr(n) oznacza nelementow podgrupobrotw i Odb(n) jakkolwiek 2elementow podgrup zawierajc odbicie nktaforemnego, oznacza jakkolwiek nietrywialn symetri wzgldem hiperpaszczyznyw przestrzeni euklidesowej, Tran i Obr oznaczaj odpowiednio podgrup translacji ipodgrup obrotw w grupie izometrii przestrzeni euklidesowej afinicznej, TAf i CAfoznaczaj podgrup translacji i podgrup rodkowo-afiniczn w grupie przeksztaceafinicznych nwymiarowej przestrzeni liniowej nad ciaem K.W kadym rozkadziepierwszy czynnik jest podgrup normaln, natomiast drugi nie jest podgrup nor-maln w rozpatrywanej grupie.

Zauwamy, e w kadym z trzech rodzajw iloczynw podgrup H i K mamy HK =KH, gdy iloczyn kompleksowy HK jest grup. Ta przemienno podgrup H i Kma jednak specyficzny charakter w kadym z trzech przypadkw.

18 ROZDZIA 1. GRUPY

Jeli G jest iloczynem oglnym podgrup H i K, to mona tylko powiedzie, e dlakadych h H i k K istniej h1, h2 H i k1, k2 K takie, e

hk = k1h1 oraz kh = h2k2.

Jeli G jest iloczynem pprostym podgrup H i K oraz HCG, to dla kadych h Hi k K mamy

hk = k k1hk oraz kh = khk1 k,gdzie k1hk, khk1 H, gdy H CG.Wreszcie gdy G jest iloczynem prostym podgrup H i K, to dla kadych h H ik K mamy

hk = kh.

Rzeczywicie,hkh1k1 = h kh1k1 H

= hkh1 k1 K.A wic komutator hkh1k1 H K = 1, skd wynika, e hk = kh, dla kadychh H, k K.Jeli G jest iloczynem oglnym podgrup H i K, to nie mona wskaza adnej prak-tycznej formuy dla iloczynu

hk h1k1, gdzie h, h1 H, k, k1 K.Natomiast jeli G = HK jest iloczynem pprostym i H CG, to mamy

hk h1k1 = h kh1k1 kk1 (1.6)gdzie kh1k1 H gdy H CG i wobec tego

h kh1k1 H, kk1 K.Podobnie, jeli G = HK jest iloczynem pprostym i K CG, to mamy

hk h1k1 = hh1 h11 kh1 k1 (1.7)gdzie h11 kh1 K gdy K CG i wobec tego

hh1 H, h11 kh1 k1 K.W przypadku gdy G = HK jest iloczynem prostym podgrup normalnych H i K, towobec przemiennoci elementw podgrup H i K mamy nastpujc bardzo prostformu mnoenia elementw

hk h1k1 = hh1 kk1. (1.8)

1.3.2 Iloczyny zewntrzne

Istniej take konstrukcje grup, ktre pozwalaj zbudowa now grup G z dwchdanych grup H i K nie bdcych podgrupami jakiej jednej grupy. Najprostsz ztych konstrukcji jest iloczyn kartezjaski grup.


Iloczyn prosty

Niech H i K bd dowolnymi grupami. Przez analogi do formuy (1.8), w iloczyniekartezjaskim H K zbiorw H i K okrelamy dziaanie nastpujco:

(h, k) (h1, k1) := (hh1, kk1).Tutaj hh1 i kk1 s iloczynami elementw w grupach H iK, odpowiednio. Z atwocipokazuje si, e zbir H K z tak okrelonym dziaaniem jest grup z jedynk(1H , 1K). Regua konstrukcji elementu odwrotnego do (h, k) H K jest bardzoprosta:

(h, k)1 = (h1, k1).

T grup nazywamy iloczynem kartezjaskim grup H i K.Rozpatrzymy zwizek pomidzy iloczynem kartezjaskim grup i iloczynem prostympodgrup grupy. Niech H i K bd podgrupami grupy G i zamy, e G jest iloczy-nem oglnym podgrup H i K. Zatem G = HK oraz H K = 1. Wtedy mona teoczywicie rozpatrywa iloczyn kartezjaski H K grup H i K. Porwnanie grupG = HK i H K zawiera si w nastpujcym twierdzeniu.Twierdzenie 1.3.3. Niech H i K bd podgrupami grupy G. Nastpujce warunkis rwnowane.(a) Odwzorowanie : H K G, (h, k) 7 hk jest izomorfizmem grup.(b) G = HK, H K = 1 oraz hk = kh dla wszystkich h H, k K.(c) G jest iloczynem prostym podgrup H i K.

Dowd. (a) (b) Surjektywno odwzorowania oznacza, e G = HK. Ponadto,dla h H, k K mamy

kh = (h1k1)1 = (h1, k1)1 = (h, k) = hk.

Wreszcie, jeli 1 6= g H K, to (1, g) = g = (g, 1), wbrew rnowartociowoci. Zatem H K = 1.(b) (c) Naley dowie, e H CG i K CG. Dla g = hk mamy

gHg1 = hkHk1h1 = hHkk1h1 = hHh1 = H.

A wic H CG. Podobnie

gKg1 = hkKk1h1 = hKh1 = Khh1 = K,

skd K C G. W obydwu przypadkach skorzystalimy z przemiennoci elementwpodgrup H i K.

(c) (a) Jeli G jest iloczynem prostym podgrup H i K, to : H K G, (h, k) 7 hk

jest dobrze okrelon bijekcj. Pozostaje pokaza, e zachowuje dziaanie grupowe:

((h1, k1)(h2, k2)) = (h1h2, k1k2) = h1h2k1k2 = h1k1 h2k2 = (h1, k1)(h2, k2),gdzie wykorzystalimy fakt przemiennoci elementw podgrup normalnych H i K.

20 ROZDZIA 1. GRUPY

Z twierdzenia tego wynika, e mona identyfikowa iloczyn prosty podgrup H iK grupy G z iloczynem kartezjaskim H K.Rwnie iloczyn kartezjaski dwch dowolnych grup H i K mona zawsze przed-stawi jako iloczyn prosty podgrup normalnych H := H 1 oraz K := 1 K.W zwizku z tym, przy odpowiednich utosamieniach elementw, mona uywazamiennie poj iloczynu prostego i iloczynu kartezjaskiego grup.

Konstrukcja iloczynu kartezjaskiego grup przenosi si natychmiast na skoczoneiloczyny kartezjaskie G1 Gn, gdzie Gi s dowolnymi grupami. Oglniej, dladowolnej rodziny grup {Gi : i I} rozpatrujemy iloczyn kartezjaski

P ={Gi : i I}

zbiorw Gi i okrelamy na nim dziaanie nastpujco:

(gi)iI (fi)iI = (gifi)iI .

Z atwoci sprawdzamy, e system (P, , (1i)iI) jest grup. Nazywamy j iloczynemlub produktem kartezjaskim rodziny grup {Gi : i I}.W szczeglnym przypadku gdy Gi = G dla kadego i I, grup P nazywamy potgkartezjask grupy G i oznaczamy GI .Gdy zbir I jest skoczony, |I| = n, to zamiast GI piszemy oczywicie Gn.W produkcie P =

{Gi : i I} wyrnijmy podzbir S zoony z wszystkichelementw (gi)iI takich, e gi = 1 dla prawie wszystkich i I (dla wszystkich zwyjtkiem skoczonej liczby elementw zbioru I). Jest rzecz oczywist, e podzbirS produktu P jest zamknity ze wzgldu na mnoenie oraz odwracanie elementw,jest zatem podgrup produktu P.

Tak skonstruowan grup S nazywa si zewntrzn sum prost rodziny grup{Gi : i I}, lub koproduktem tej rodziny grup i oznacza si j

S ={Gi : i I}.

W przypadku gdy Gi = G dla kadego i I, sum prost S oznaczamy G(I).Oczywicie, gdy zbir I jest skoczony (i tylko wtedy) mamy GI = G(I).

Iloczyn pprosty

Zauwamy, e jeli G = HK jest iloczynem pprostym podgrup H i K grupy G,gdzie H C G, to na iloczynie kartezjaskim H K zbiorw H i K mona okrelidziaanie mnoenia nastpujco:

(h, k) (h1, k1) = (h kh1k1, kk1).

Tak definicj mnoenia par podpowiada formua (1.6). atwe sprawdzenie pokazuje,e z tak okrelonym dziaaniem zbir HK staje si grup izomorficzn z iloczynempprostym G = HK. Co wicej, zaoenie, e G = HK jest iloczynem pprostymjest wykorzystane tylko dla zapewnienia, e ik(h1) H, co gwarantuje, i iloczyndwch par z HK jest znowu elementem tego zbioru. Wykorzystamy te obserwacjedla wprowadzenia oglnego pojcia iloczynu pprostego grup.


Niech wic H i K bd dowolnymi grupami i niech dany bdzie homomorfizm

: K AutH,ktry kademu elementowi k K przyporzdkowuje automorfizm (k) grupy H(w rozpatrywanym wyej przypadku iloczynu pprostego mielimy (k) = ik). Po-niewa AutH jest podgrup grupy symetrycznej S(H), homomorfizm wyznaczadziaanie grupy K na grupie H. Na iloczynie kartezjaskim H K zbiorw H i Kdefiniujemy mnoenie nastpujco:

(h, k) (h1, k1) = (h (k)(h1), kk1).Ta definicja jest naturalnym rozszerzeniem rozpatrywanego wyej przypadku ilo-czynu pprostego, w ktrym w miejsce automorfizmu (k) mielimy automorfizmwewntrzny ik. Sprawdzamy teraz bez wikszego trudu, e zbir H K z tak okre-lonym mnoeniem jest grup.Grupa ta zaley oczywicie od wybranego przez nas dziaania grupy K na gru-pie H. Nazywa si j zewntrznym iloczynem pprostym grup H i K wyznaczonymprzez dziaanie grupy K na grupie H. Oznaczamy j nastpujco:

H o K.

Zauwamy, e jeli homomorfizm : K AutH jest trywialny, to znaczy (k)jest automorfizmem identycznociowym grupy H dla kadego k K, to iloczynpprosty H oK pokrywa si z iloczynem prostym H K.Grupa H oK ma podgrupy H = H

{1}, K =

{1}K oraz

H oK = H K , H K ={(1, 1)

},

a wic H o K jest iloczynem oglnym podgrup H , K . Faktycznie jest to iloczynpprosty, gdy H CH oK. Rzeczywicie, odwzorowanie

: H oK K , (h, k) = (1, k)jest epimorfizmem grup oraz ker = H . Zatem H CH oK.

Przykad 1.3.1. Niech p, q bd liczbami pierwszymi i niech H = Zp, K = Zqbd grupami cyklicznymi rzdw p i q. Grupa automorfizmw grupy Zp skada siz przeksztace liniowych : Zp Zp, a(x) = ax, gdzie a Zp jest dowolnymniezerowym elementem grupy Zp. Dla dwch automorfizmw a, b mamy

(a b)(x) = a(b(x)) = abx = ab(x) dla kadego x Zp.Std wynika, e grupa AutZp jest izomorficzna z grup multyplikatywn Zp resztpierwszych wzgldem p. Ta ostatnia grupa jest grup cykliczn. Jeli zatem wemie-my homomorfizm

: Zq AutZpto (Zq) jest podgrup grupy cyklicznej AutZp. Poniewa Zq jest grup prost,jej homomorficzny obraz jest bd grup jednostkow bd te jest izomorficzny z

22 ROZDZIA 1. GRUPY

Zq. Jeli homomorfizm jest nietrywialny, to (Zq) jest podgrup rzdu q grupy(p 1)elementowej AutZp. Zatem

q | p 1na podstawie twierdzenia Lagrangea. Na odwrt, jeli q | p1, to AutZp jako grupacykliczna rzdu p1 ma (dokadnie jedn) podgrup H rzdu q i kady izomorfizmZq = H mona traktowa jako homomorfizm : Zq AutZp. Jeli wic q | p 1,to moemy rozpatrywa iloczyn pprosty

Zp o Zq.

Ta grupa jest nieabelow grup rzdu pq. Rzeczywicie, niech : Zq AutZpbdzie nietrywialnym homomorfizmem. Wtedy (0)(1) 6= (1)(1), gdy 1 Zp jestgeneratorem grupy cyklicznej Zp i dwa automorfizmy rwne na generatorze, s rwnena kadym elemencie grupy cyklicznej. Tymczasem homomorfizm nietrywialny :Zq AutZp jest rnowartociowy, zatem (0) 6= (1). Std wynika, e w grupieZp o Zq mamy

(1, 0)(1, 1) = (1 + (0)(1), 0 + 1) 6= (1 + (1)(1), 1 + 0) = (1, 1)(1, 0).Udowodnilimy wic, e jeli p i q s liczbami pierwszymi oraz q | p 1, to istniejnietrywialne homomorfizmy : Zq AutZp i dla kadego z nich iloczyn pprostyZp oZq jest nieabelow grup rzdu pq. Z drugiej strony, mona udowodni, e jelidla liczb pierwszych p, q mamy q < p oraz q - p 1, to kada grupa rzdu pq jestcykliczna (zob. [S], zadania 384, 385).

Rozwaymy jeszcze przypadek gdy G = HK jest iloczynem pprostym podgrupH i K grupy G, gdzie K CG. Wtedy formua (1.7) sugeruje okrelenie na iloczyniekartezjaskim H K zbiorw H i K dziaania mnoenia nastpujco:

(h, k) (h1, k1) = (hh1, h11 kh1 k1).atwe sprawdzenie pokazuje, e z tak okrelonym dziaaniem zbir H K stajesi grup izomorficzn z iloczynem pprostym G = HK. Zaoenie, e G = HKi K C G jest wykorzystane tylko dla zapewnienia, e ih11 (k) K, co gwarantuje,i iloczyn dwch par z H K jest znowu elementem tego zbioru. Podobnie jak wprzypadku gdy HCG wprowadzimy drug wersj definicji oglnego pojcia iloczynupprostego grup.

Niech wic H i K bd dowolnymi grupami i niech dany bdzie homomorfizm

: H AutK,ktry kademu elementowi h H przyporzdkowuje automorfizm (h) grupy K(w rozpatrywanym wyej przypadku iloczynu pprostego mielimy (h) = ih1).Poniewa AutK jest podgrup grupy symetrycznej S(K), homomorfizm wyznaczadziaanie grupy H na grupie K. Na iloczynie kartezjaskim H K zbiorw H i Kdefiniujemy mnoenie nastpujco:

(h, k) (h1, k1) = (hh1, (h1)(k) k1).


Ta definicja jest naturalnym rozszerzeniem rozpatrywanego wyej przypadku ilo-czynu pprostego, w ktrym w miejsce automorfizmu (h1) mielimy automorfizmwewntrzny ih11 . Sprawdzamy teraz bez wikszego trudu, e zbir H K z takokrelonym mnoeniem jest grup.Grupa ta zaley oczywicie od wybranego przez nas dziaania grupy H na gru-pie K. Nazywa si j zewntrznym iloczynem pprostym grup H i K wyznaczonymprzez dziaanie grupy H na grupie K. Oznaczamy j nastpujco:

H n K.

Zauwamy, e jeli homomorfizm : H AutK jest trywialny, to znaczy (h)jest automorfizmem identycznociowym grupy K dla kadego h H, to iloczynpprosty H nK pokrywa si z iloczynem prostym H K.Grupa H nK ma podgrupy H = H

{1}, K =

{1}K oraz

H nK = H K , H K ={(1, 1)

},

a wic H n K jest iloczynem oglnym podgrup H , K . Faktycznie jest to iloczynpprosty, gdy K CH nK. Rzeczywicie, odwzorowanie

: H nK H , (h, k) = (h, 1)

jest epimorfizmem grup oraz ker = K . Zatem K CH nK.

Przykad 1.3.2. W penej grupie liniowej GL(n, F ) nad dowolnym ciaem F roz-patrzmy podgrup G zoon z wszystkich macierzy

1 a2 an0 a22 a2n...

... ...0 an2 ann

,

ktrych pierwsza kolumna jest wektorem jednostkowym (1, 0, . . . , 0)T . Rozpatrzmydwie nastpujce podgrupy H i K grupy G:

H =

1 0 00 a22 a2n...

... ...0 an2 ann

GL(n, F ) , K =

1 a2 an0 1 0...

... ...0 0 1

GL(n, F ) .

Oczywicie H K = 1 i wobec1 0 00 a22 a2n...

... ...0 an2 ann

1 a2 an0 1 0...

... ...0 0 1

=1 a2 an0 a22 a2n...

... ...0 an2 ann

24 ROZDZIA 1. GRUPY

widzimy, e grupa G jest iloczynem oglnym podgrup H i K. Faktycznie jest toiloczyn pprosty, gdy udowodnimy teraz, e K C G. Wprowadmy nastpujceuproszczone oznaczenia dla macierzy w grupach G, H i K:

1 a2 an0 a22 a2n...

... ...0 an2 ann

=: g(A; a2, . . . , an),1 a2 an0 1 0...

... ...0 0 1

=: k(a2, . . . , an),1 0 00 a22 a2n...

... ...0 an2 ann

=: h(A), gdzie A =a22 a2n... ...an2 ann

Wtedy mamy

h(A) k(a2, . . . , an) = g(A; a2, . . . , an),h(A) h(B) = h(AB), k(a2, . . . , an) k(b2, . . . , bn) = k(a2 + b2, . . . , an + bn)

orazh(A)1 = h(A1), k(a2, . . . , an)1 = k(a2, . . . ,an).

Dla sprawdzenia, e K C G obieramy dowolne macierze g G, k K i pokaemy,e g1kg K. Moemy przyj, e

k = k(b2, . . . , bn) oraz g = h(A) k(a2, . . . , an),gdy G jest iloczynem oglnym H i K. Wobec tego

g1kg = k(a2, . . . ,an) h(A1) k(b2, . . . , bn) h(A) k(a2, . . . , an)= k(a2, . . . ,an) g(A1; b2, . . . , bn) g(A; a2, . . . , an)= k(a2, . . . ,an) k(c2, . . . , cn) K

dla pewnych c2, . . . , cn F . Mamy wic G = HK, H K = 1, K CG, czyli G jestiloczynem pprostym

G = H nK

swoich podgrup H i K.Ten rezultat mona te zinterpretowa geometrycznie w sposb nastpujcy. NiechV bdzie nwymiarow przestrzeni wektorow nad ciaem F z baz

{v1, . . . , vn

}.

Niech Aut1 oznacza podgrup grupy wszystkich automorfizmw przestrzeni V pozo-stawiajcych wektor bazowy v1 na miejscu. Wtedy grupa Aut1 jest izomorficzna zgrup G. Zauwamy te, e mamy izomorfizmy grup

H = GL(n 1, F ), K = (F n1,+),gdzie (F n1,+) oznacza addytywn grup przestrzeni wektorowej F n1. Zatem roz-kad G = H nK mona zinterpretowa jako przedstawienie grupy automorfizmwAut1 w postaci nastpujcego iloczynu pprostego

Aut1 = GL(n 1, F )n (F n1,+).


1.3.3 Holomorf grupy

Niech A bdzie podgrup normaln grupy G. Wtedy

gAg1 = A

dla kadego g G.Wynika std, e automorfizm wewntrzny ig grupyG, zacienionydo podgrupy A, jest automorfizmem (ale ju niekoniecznie wewntrznym) grupy A.Nasuwa si pytanie, czy dla kadej grupy A istnieje grupa G zawierajca A jakopodgrup normaln i taka, e kady automorfizm grupy A jest zacienieniem do Apewnego automorfizmu wewntrznego grupy G.

Przykad 1.3.3. Rozwaymy najpierw przypadek, gdy grupa A jest czynnikiemprostym grupy G. Oznacza to, e obok podgrupy normalnej Amamy drug podgrupnormaln B w grupie G oraz

G = A B = {a b : a A, b B}, A B = 1.Wtedy, jak ju wiemy, kady element a A jest przemienny z kadym elementemb B, to znaczy ab = ba, dla kadych a A, b B. Wobec tego jeli g = ab Gjest dowolnym elementem grupy G, to dla kadego x A mamy

ig(x) = iab(x) = abxb1a1 = axa1,

gdy x A jest przemienny z elementem b B.Wynika std jednak, e ig dziaa napodgrupie A dokadnie tak samo jak automorfizm wewntrzny grupy A wyznaczonyprzez a A. Jeli grupa A ma automorfizm zewntrzny, to nie jest on zacienie-niem do A automorfizmu wewntrznego grupy G. Stwierdzamy wic, e gdy A jestczynnikiem prostym grupy G, to grupa G nie rozwizuje naszego problemu.

Rozwaymy teraz iloczyn pprosty A oh B dowolnych grup A i B wyznaczonyprzez dziaanie h : B AutA grupy B na grupie A. Jak wiemy, A jest podgrupnormaln w A oh B. Odwzorowania

a 7 (a, 1) oraz b 7 (1, b)s monomorfizmami grup A i B w grup A oh B i w zwizku z tym utosamimyelement a grupy A z jego obrazem (a, 1), oraz element b grupy B z jego obrazem(1, b) w grupie A oh B. W ten sposb kady element (a, b) iloczynu pprostegoA oh B mona przedstawi w postaci

(a, b) = (a, 1) (1, b) = a b.Regua mnoenia w grupie A oh B zapisze si teraz nastpujco:

ab a1b1 = (a, b) (a1, b1) = (a h(b)(a1), bb1) = a h(b)(a1) bb1.Skracajc lewostronnie a oraz prawostronnie b1 oraz mnoc prawostronnie przezb1 otrzymujemy zatem nastpujc rwno

ba1b1 = h(b)(a1)

26 ROZDZIA 1. GRUPY

dla wszystkich a1 A, b B. Std wynika, e automorfizm h(b) grupy A jest zacie-nieniem automorfizmu wewntrznego ib grupy A oh B do podgrupy normalnej A.Pozostaje teraz wybra odpowiednio grup B i homomorfizm h : B AutA tak,by h(b) przebiega wszystkie automorfizmy grupy A. Istnieje prosty i uniwersalnysposb spenienia tych postulatw: wystarczy wzi B = AutA za w charakterzehomomorfizmu h wzi homomorfizm tosamociowy id : AutA AutA. Otrzyma-ny w ten sposb iloczyn pprosty A oid AutA nazywamy holomorfem grupy A ioznaczamy

Hol(A) := A oid AutA.Udowodnilimy wic nastpujce twierdzenie, ktre rozwizuje postawiony wczeniejproblem.

Twierdzenie 1.3.4. Dla kadej grupy A istnieje grupa Hol(A) zawierajca A jakopodgrup normaln i majca nastpujc wasno. Kady automorfizm grupy A jestzacienieniem do A pewnego automorfizmu wewntrznego grupy Hol(A).

Jako przykad rozwamy grup cykliczn A = Zn. Jej grupa automorfizmw jestizomorficzna z multyplikatywn grup Zn reszt pierwszych wzgldem n. Zatem

Hol(Zn) = Zn o Zn = Af(1,Zn),gdzie Af(1,Zn) jest grup afiniczn stopnia n nad piercieniem Zn reszt modulo n.Poniewa AutDn = Af(1,Zn) (zob. [S], zad. 331), wic mamy take

AutDn = Hol(Zn).Mona take udowodni, e dla iloczynu pprostego G = Zn o Zm dwch grupcyklicznych, jeli Z(G) = 1, to AutG = Hol(Zn) (zob. G. L. Walls, Automorphismgroups, Amer. Math. Monthly 93(1986), 459462).

1.4 Grupy wolne i kody genetyczne grup

Jedn z metod prezentacji grup jest zadanie grupy za pomoc generatorw i relacjilub inaczej mwic, podanie kodu genetycznego grupy. Precyzyjne objanienie tejmetody wymaga wprowadzenia pojcia grupy wolnej z wolnym zbiorem generatorw.Rozpoczniemy od prostszej konstrukcji monoidu wolnego.

1.4.1 Monoidy wolne

Niech X bdzie zbiorem niepustym. Zbir ten bdziemy nazywa alfabetem. Sko-czony cig elementw alfabetu X bdziemy nazywa sowem a liczb elementwtego cigu nazywamy dugoci sowa. A wic, na przykad, jeli x, y X tox, yy, xy, xxxyyxy s sowami o dugociach 1, 2, 2, 7. Pusty cig jest take dopusz-czalny i bdziemy go oznacza symbolem 1. Na zbiorze wszystkich sw w alfabecieX definiujemy operacj mnoenia sw, ktra polega na dopisywaniu do pierwszegosowa drugiego sowa. Niech bdzie znakiem tej operacji binarnej. Wtedy mamy,na przykad,

x yy = xyy, xy xxxyyxy = xyxxxyyxy.

1.4. GRUPY WOLNE I KODY GENETYCZNE GRUP 27

Jest rzecz oczywist, e operacja w zbiorze sw jest czna oraz dla kadegosowa w w alfabecie X mamy 1 w = w = w 1. A wic zbir wszystkich sw walfabecie X z operacj jest monoidem. Monoid ten oznaczamy symbolem M(X) inazywamy monoidem wolnym z alfabetem X.Zauwamy, e formalnie rzecz biorc zbir X nie jest podzbioremM(X). W dalszymcigu dla kadego x X bdziemy utosamia sowo jednoelementowe x (czylicig jednoelementowy) z elementem x, i wobec tego bdziemy mogli uwaa, eX M(X). Woenie : X M(X) ma nastpujc wasno uniwersaln.Twierdzenie 1.4.1. Niech X bdzie zbiorem niepustym. Dla dowolnego monoiduM i dowolnego odwzorowania f : X M istnieje dokadnie jeden homomorfizmmonoidw h : M(X) M taki, e h = f a wic taki, e nastpujcy diagramjest przemienny:

X M(X)

M

hf

-

s ?

Dowd. Definiujemy h : M(X) M kadc h(1) = 1M , gdzie 1M jest jedynkmonoidu M , oraz h(x1x2 . . . xn) = f(x1) f(x2) f(xn) dla dowolnego niepustegosowa x1x2 . . . xn w alfabecie X. Tutaj, po prawej stronie rwnoci definiujcej od-wzorowanie h, kropki oznaczaj dziaanie w monoidzie M . Jest rzecz oczywist,e wtedy h(w1 w2) = h(w1) h(w2) dla dowolnych sw w1, w2 M(X). A wich jest homomorfizmem monoidw i ponadto, wobec utosamienia x X ze sowemjednoelementowym x M(X) mamy (x) = x, czyli h (x) = h(x) = f(x) dlakadego x X. Dowiedlimy wic istnienia homomorfizmu h.Z drugiej strony, jeli h :M(X)M jest jakimkolwiek homomorfizmem monoidwspeniajcym warunek h = f , to dla kadego x X mamy h(x) = h(x) = f(x)i dla kadego sowa x1x2 . . . xn M(X) mamyh(x1x2 . . . xn) = h(x1 x2 xn) = h(x1) h(x2) h(xn) = f(x1) f(x2) f(xn).A wic homomorfizm h jest jednoznacznie wyznaczony przez warunek h = f .

Wasno uniwersaln z twierdzenia 1.4.1 mona take odczyta w nastpujcysposb. Kade odwzorowanie f zbioruX w dowolny monoidM mona przeduy dohomomorfizmu h monoidu wolnego M(X) w monoid M . Rzeczywicie, dla kadegox X mamy h(x) = h((x)) = f(x).

1.4.2 Grupy wolne

Monoid wolny M(X) nie jest grup, adne bowiem niepuste sowo nie jest odwra-calne. Tym niemniej istnieje sposb rozszerzenia monoidu wolnego M(X) do grupy,ktr nazywa si grup woln o alfabecie X. Opiszemy teraz t konstrukcj.

28 ROZDZIA 1. GRUPY

Przede wszystkim rozszerzymy nasz wyjciowy alfabet X doczajc do niegodla kadego elementu x X nowy element, ktry oznacza bdziemy x1. Zbirwszystkich doczonych elementw oznaczamy X1 i tworzymy nowy alfabet X

zdefiniowany jakoX = X X1.

Zatem zbir X wraz z kadym elementem x X zawiera take zwizany z nimelement x1 X1. Rozpatrujemy teraz monoid wolnyM(X ) o alfabecie X . Oczy-wicie M(X ) nie jest grup, gdy dopisanie do sowa niepustego innego sowa dajesowo niepuste i wobec tego niepuste sowa w M(X ) nie s odwracalne. Pokaemy,e mona w monoidzie M(X ) okreli relacj rwnowanociow zgodn z dziaa-niem w M(X ) i tak, e klasy abstrakcji tej relacji z dziaaniem indukowanym zM(X ) tworz grup. Punktem wyjcia tej konstrukcji jest nastpujca definicja.

Definicja 1.4.2. 1. Sowo w M(X ) nazywamy redukowalnym jeli w cigu wwystpuj dwa kolejne elementy xx1 lub x1x dla pewnego x X.2. Sowo, ktre nie jest redukowalne nazywa si sowem zredukowanym.3. Sowo w powstaje przez redukcj sowa w jeli w jest ostatnim sowem w ciguskoczonym sw

w1 = w,w2, w3, . . . ,

w ktrym sowo wi+1 powstaje ze sowa wi przez usunicie ze sowa wi przynajmniejjednej pary kolejnych elementw postaci xx1 lub x1x, gdzie x X.4. Sowo w nazywa si zredukowan postaci sowa w jeli w jest sowem zreduko-wanym i powstaje przez redukcj sowa w.

Konieczno uycia opisanego w punkcie 3 definicji cigu sw ilustruje nast-pujcy przykad. Niech w = xyy1x1z. W sowie w tylko jedna para kolejnychelementw podlega redukcji, po ktrej otrzymujemy sowo w1 = xx1z. Po redukcjiw sowie w1 otrzymujemy w2 = z. A wic z jest postaci zredukowan sowa w.

Wprawdzie jest jasne, e kade sowo ma posta zredukowan, jednake nie jestrzecz cakiem oczywist, e kade sowo ma tylko jedn posta zredukowan. Wt-pliwoci powstaj przede wszystkim dlatego, e proces redukcji sowa mona na ogprzeprowadzi na wiele sposobw i w zwizku z tym mona byoby oczekiwa r-nych rezultatw redukcji sowa. Na przykad, sowo x1xyy1x1y mona redukowana dwa rne sposoby nastpujco

x1xyy1x1y 7 yy1x1y 7 x1yx1xyy1x1y 7 x1xx1y 7 x1y

otrzymujc zreszt to samo sowo zredukowane. Okazuje si, e posta zredukowanasowa nie zaley od wyboru kolejnoci operacji w procesie redukcji sowa.

Lemat 1.4.3. Kade sowo ma tylko jedn posta zredukowan.

Dowd. Pominiemy techniczny dowd tego faktu. Zainteresowanego Czytelnika od-syamy do ksiki Kargapoowa i Mierzliakowa [KM], str. 129130.

Definicja 1.4.4. Sowa w i v nazywaj si rwnowanymi, jeli ich zredukowanepostaci s identyczne. Piszemy wtedy w v.


Relacja jest oczywicie relacj rwnowanociow na zbiorze M(X ). Z a-twoci stwierdzamy take, e relacja jest zgodna z dziaaniem mnoenia sw wmonoidzie M(X ):

w w v v w v w v.

Wystarczy zauway, e sowa w i w maj t sam posta zredukowan w0 orazpodobnie v i v maj t sam posta zredukowan v0. Zatem poprzez odpowiednieredukcje ze sowa w v mona otrzyma sowo w0 v0 i podobnie, ze sowa w vmona take otrzyma sowo w0 v0. Teraz jest jasne, e w v i w v maj t samposta zredukowan.

Niech F (X) oznacza zbir klas abstrakcji relacji rwnowanociowej na mo-noidzie M(X ). Klas zawierajc sowo w bdziemy oznacza [w]. W zbiorze F (X)moemy teraz okreli dziaanie mnoenia klas kadc

[w] [v] := [w v].

Oczywicie F (X) staje si w ten sposb monoidem, w ktrym jedynk jest klasa[1] sowa pustego 1. Faktycznie monoid ten jest grup, gdy dla dowolnego sowaw = x11 x

22 . . . x

nn , gdzie xi X oraz i = 1 mamy

x11 x22 . . . x

nn x

nn . . . x

22 x

11 1.

Zatem w monoidzie F (X) kady element [w] = [x11 x22 . . . x

nn ] jest odwracalny i

elementem odwrotnym do niego jest [w]1 := [xnn . . . x22 x

11 ]. Wobec tego F (X)

jest grup. Zauwamy, e grupa ta jest generowana przez zbir klas postaci [x], gdziex X. Grup F (X) nazywamy grup woln z wolnym zbiorem generatorw X.

Przykad 1.4.1. Niech X ={x}bdzie zbiorem jednoelementowym. Grupa wolna

F (X) z jednoelementowym wolnym zbiorem generatorw X ={x}jest generowana

przez klas [x], jest zatem grup cykliczn z generatorem [x]. Jest to nieskoczonagrupa cykliczna, gdy w przeciwnym przypadku mielibymy [x]n = 1 dla pewnejliczby naturalnej n wbrew temu, e sowo xx x jest zredukowane i nie jest rw-nowane ze sowem pustym.

1.4.3 Wasno uniwersalna grupy wolnej

Udowodnimy teraz wasno uniwersaln grupy wolnej analogiczn do wasnociuniwersalnej monoidu wolnego z twierdzenia 1.4.1. Przede wszystkim wic formali-zujemy zwizek grupy wolnej F (X) z jej wolnym zbiorem generatorw X okrelajcodwzorowanie

: X F (X), (x) = [x].

Twierdzenie 1.4.5. Niech X bdzie zbiorem niepustym. Dla dowolnej grupy Gi dowolnego odwzorowania f : X G istnieje dokadnie jeden homomorfizm gruph : F (X) G taki, e h = f , a wic taki, e nastpujcy diagram jestprzemienny:

30 ROZDZIA 1. GRUPY

X F (X)

G

hf

-

s ?

Dowd. Najpierw rozszerzamy odwzorowanie f do odwzorowania f : X G,gdzie X = X X1 kadc f (x) = f(x) oraz f (x1) = f(x)1 dla kadegox X. Na podstawie twierdzenia 1.4.1 istnieje dokadnie jeden homomorfizm mo-noidw h :M(X ) G taki, e h = f , gdzie : X M(X ) jest woeniem.Stwierdzamy, e homomorfizm h dziaa identycznie na sowach rwnowanych. Rze-czywicie, wystarczy zauway, e

h(x1x) = h(x1) h(x) = f (x1) f (x) = f (x)1 f (x) = 1.Mona zatem h okreli na klasach sw rwnowanych, czyli na elementach grupyF (X). To nowe odwzorowanie oznaczamy h : F (X) G. Zatem dla dowolnegosowa w w alfabecie X kadziemy h([w]) = h(w). Jest to oczywicie homomorfizmgrup, gdy dla dowolnych sw w, v M(X ) mamy

h([w] [v]) = h([w v]) = h(w v) = h(w) h(v) = h([w]) h([v]).Ponadto, dla dowolnego x X mamy

(h )(x) = h([x]) = h(x) = (h )(x) = f (x) = f(x).Pozostaje udowodni jedyno homomorfizmu h. Poniewa (h )(x) = f(x), wich([x]) = f(x) dla kadego x X. Homomorfizm h jest wic jednoznacznie okre-lony na zbiorze generatorw {[x] : x X} grupy F (X), zatem jest jednoznacznieokrelony na grupie F (X).

Podobnie jak w przypadku wasnoci uniwersalnej monoidu wolnego take twier-dzenie 1.4.5 mona zinterpretowa jako twierdzenie o przeduaniu odwzorowaf : X G zbioru X w grup G do homomorfizmu h : F (X) G grupy wol-nej z wolnym zbiorem generatorw X w grup G.

Wniosek 1.4.6. Kada grupa jest izomorficzna z grup ilorazow pewnej grupywolnej.

Dowd. Niech G bdzie dowoln grup i niech X bdzie dowolnym zbiorem ge-neratorw grupy G. Wtedy na podstawie twierdzenia 1.4.5 woenie f : X Gwyznacza homomorfizm grup h : F (X) G taki, e h([x]) = f(x) = x dla x X.Oglniej, jeli [w] F (X) jest klas sowa w = x11 x22 . . . xnn , gdzie xi X, i = 1,to

h([w]) = h([x11 ])h([x22 ]) . . . h([x

nn ]) = x

11 x22 xnn = wG,

gdzie przez wG oznaczylimy element grupy G bdcy iloczynem potg xii genera-

torw xi X.


X F (X)

G

hf

-

s ?F (X)/ kerh

h

s

Zatem kady element x zbioru generatorwX grupy G ley w obrazie homomorfizmuh i wobec tego h jest epimorfizmem grup. Na podstawie wniosku 1.1.5 z twierdzeniao faktoryzacji wynika std, e homomorfizm indukowany

h : F (X)/ kerh G, h([w] kerh) = h([w]) = wG dla [w] F (X) (1.9)jest izomorfizmem grup i std G = F (X)/ kerh.Uwaga 1.4.7. Warto zauway, e przedstawienie grupy G jako grupy ilorazowejgrupy wolnej jest w wysokim stopniu niejednoznaczne. Kady zbir generatorw Xgrupy G daje bowiem przedstawienie G = F (X)/ kerh.

1.4.4 Kod genetyczny grupy

Objanimy teraz pojcie kodu genetycznego grupy. Niech G bdzie dowoln grup,X zbiorem generatorw grupy G, F (X) grup woln z wolnym zbiorem generatorwX i niech

h : F (X)/ kerh Gbdzie izomorfizmem grup okrelonym przez (1.9). W dalszym cigu bdziemy pisaN zamiast kerh i zamiast h bdziemy rozpatrywa izomorfizm = h1 odwrotnydo h. Zatem

: G F (X)/N, (g) = [g]N.Tutaj decydujemy si na uproszczenie oznacze traktujc w rwnoci (g) = [g]Nelement g po lewej stronie jako element grupy G, a wic g = x11 xmm G gdziexi X, i = 1, natomiast po prawej stronie g = x11 xmm jest odpowiadaj-cym elementowi g G sowem zapisanym w alfabecie X X1. Jeli dla pewnychx1, . . . , xn X mamy w grupie G rwno

xk11 xknn = 1, (1.10)to biorc obrazy obydwu stron poprzez otrzymamy [x1]k1 [xn]knN = N , czyli

[x1]k1 [xn]kn N. (1.11)A wic kadej relacji postaci (1.10) pomidzy generatorami grupy G ze zbioru Xodpowiada element postaci (1.11) w podgrupie normalnejN grupy F (X). Oczywicietake na odwrt, jeli elementy x1, . . . , xn X speniaj (1.11), to w grupie G mamyrelacj postaci (1.10).

32 ROZDZIA 1. GRUPY

W zwizku z t sytuacj, elementy podgrupy normalnej N nazywamy relacjamigrupy G w alfabecie X, za o grupie G = F (X)/N mwimy, e jest zadana zapomoc zbioru generatorw X i zbioru relacji N .

Przykad 1.4.2. Rozwamy dwie grupy G i G przedstawione za pomoc tegosamego zbioru generatorw X i zbiorw relacji K N :

G = F (X)/K, G = F (X)/N, gdzie K < N.Zakadamy wic, e K i N s podgrupami normalnymi grupy wolnej F (X). Napodstawie wniosku 1.1.9 z twierdzenia o odpowiednioci mamy K CN oraz

F (X)/N = (F (X)/K)/(N/K).Grupa G = F (X)/N jest zatem izomorficzna z pewn grup ilorazow grupy G =F (X)/K. A wic powikszenie zbioru relacji z K do N zamienia grup G ze zbioremrelacji K na grup G ze zbiorem relacji N izomorficzn z grup ilorazow grupy G(czyli grup mniejsz ni G).

Przykad 1.4.3. Niech G = {1, a, a2, a3} bdzie grup cykliczn rzdu 4. Grupata jest generowana przez zbir jednoelementowy X = {a}. Grupa wolna F (X) jestzatem nieskoczon grup cykliczn z generatorem [a]. Ponadto mamy homomorfizm

h : F (X) G, h([a]n) = an

oraz izomorfizm h : F (X)/N G, przy czym podgrupa normalna N = kerhgrupy F (X) skada si z elementw odtwarzajcych wszystkie relacje speniane przezelement a grupy G. Z pewnoci

[a]4 N.Pokaemy, e N jest minimaln podgrup normaln grupy F (X) o wasnoci [a]4 N . Przypumy, e istnieje podgrupa normalna K grupy G taka, e

K N oraz [a]4 K.Wtedy istnieje epimorfizm f : F (X)/K F (X)/N taki, e f(wK) = wN dlakadego elementu w F (X). Dla warstwy A := [a]K mamy A4 = [a]4K = K,zatem grupa F (X)/K ma co najwyej 4 elementy. Poniewa jednak f jest surjekcjna grup 4elementow, grupa F (X)/K te jest 4elementowa i wobec tego f jestizomorfizmem grup. Gdyby istnia element w F (X) taki, e w N i w / K, tomielibymy

f(wK) = wN = N,

to znaczy, wK byby nietrywialnym elementem w jdrze f , wbrew temu, e f jestizomorfizmem. Zatem K = N , co oznacza, e N jest minimaln podgrup normalnF (X) zawierajc element [a]4.

Definicja 1.4.8. Niech G = F (X)/N bdzie przedstawieniem grupy G za pomoczbioru generatorw X i zbioru relacji N . Niech R bdzie podzbiorem podgrupynormalnej N w grupie F (X). Jeli N jest minimaln podgrup normaln grupyF (X) zawierajc zbir R, to par X,R nazywamy kodem genetycznym grupy G ipiszemy

G = gr(X ||R).


Przykad 1.4.4. Dla grupy cyklicznej rzdu 4 mamy kod genetyczny gr(a || [a]4).Rzeczywicie, na podstawie przykadu 1.4.3, grupa cykliczna rzdu 4 ma przedsta-wienie w postaci F (X)/N , gdzie N jest minimaln podgrup normaln grupy F (X)zawierajc jednoelementowy zbir R =

{[a]4

}.

Dla grupy cyklicznej nieskoczonej G = a mamy zbir generatorw X ={a}.

Grupa wolna F (X) = F ({a}) jest wtedy grup cykliczn nieskoczon. Podgrupa N

w izomorfizmie G = F (X)/N jest podgrup jednostkow, gdy jedyn relacj jakspenia element a jest a0 = 1. Mona zatem napisa G = gr(a || 1) lub G = gr(a || ),jeli nie chcemy zalicza jedynki grupy do zbioru generatorw.

Przykad 1.4.5. Rozpatrzmy grup kwaternionw Quat z przykadu 1.1.1(d). Jestona generowana przez dwa elementy A,B speniajce relacje A4 = B4 = 1, A2 =B2, BAB1 = A1 i skada si z 8 nastpujcych elementw:

1, A,A2, A3, B,AB,A2B,A3B.

Znajdziemy kod genetyczny grupy Quat. Dla zbioru X ={A,B

}generatorw grupy

Quat istnieje epimorfizm h : F (X) Quat taki, e h([A]) = A, h([B]) = B orazindukowany izomorfizm h : F (X)/ kerh Quat. Wobec relacji spenianych przezgeneratory A,B w grupie Quat mamy

[A]4, [B]4, [A]2[B]2, [B][A][B]1[A] kerh =: N.

Udowodnimy, e N jest minimaln podgrupa normaln grupy F (X) zawierajc tecztery elementy. Niech K N oznacza podgrup normaln grupy F (X) zawierajcte cztery elementy. Pokaemy, e K = N .Std, e K N wynika, e odwzorowanie f : F (X)/K F (X)/N , f(wK) =wN jest epimorfizmem grup. Zatem zoenie = h f : F (X)/K Quat jestepimorfizmem grup. Najpierw sprawdzimy, e jest izomorfizmem. Wobec |Quat| =8 wystarczy pokaza, e |F (X)/K| 8. Grupa F (X)/K jest generowana przezwarstwy

a := [A]K, b := [B]K.

Poniewa [A]4, [B]4, [A]2[B]2, [B][A][B]1[A] K, elementy a, b speniaj relacje

a4 = b4 = 1, a2 = b2, bab1 = a1

i wobec tego tak samo jak w przypadku grupy kwaternionw sprawdzamy, e grupaF (X)/K generowana przez a, b ma co najwyej 8 elementw

1, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b.

Jak ju zauwaylimy, wynika std, e = h f jest izomorfizmem. Wobec tegotake f : F (X)/K F (X)/N , f(wK) = wN jest izomorfizmem grup. Std wynikaju, e K = N . Rzeczywicie, gdyby istnia element w N nie nalecy do K, towK 6= K oraz f(wK) = wN = N , to znaczy wK jest nietrywialnym elementem wjdrze izomorfizmu f , sprzeczno.

34 ROZDZIA 1. GRUPY

Pokazalimy wic, e minimalna podgrupa normalna grupy F (X) zawierajca ele-menty [A]4, [B]4, [A]2[B]2, [B][A][B]1[A] jest rwna N , gdzie F (X)/N = Quat.Znalelimy wic kod genetyczny grupy kwaternionw:

Quat = gr({A,B

}|| [A]4, [B]4, [A]2[B]2, [B][A][B]1[A] ).

W kodzie genetycznym G = gr(X ||R) grupy G wystpuje zbir generatorw Xgrupy G oraz zbir R pewnych elementw grupy wolnej F (X) otrzymany z relacjispenianych przez generatory. Czasami wygodniej jest w kodzie genetycznym podarelacje speniane przez generatory zamiast odpowiadajcych im elementw grupywolnej. W tej konwencji kod genetyczny grupy kwaternionw wyglda bardziej na-turalnie:

Quat = gr({A,B

}|| A4 = B4 = 1, A2 = B2, BAB1 = A1 ).

Uwaga 1.4.9. Spord wielu twierdze o grupach wolnych wymienimy tylko dwa.Po pierwsze, grupa wolna jest z dokadnoci do izomorfizmu wyznaczona przezmoc zbioru wolnych generatorw, to znaczy, dwie grupy wolne F (X) i F (Y ) sizomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory X i Y s rwnoliczne. W zwizku ztym moc zbioru X nazywa si rang (lub stopniem) grupy wolnej F (X).Po drugie, mona udowodni, e kada nietrywialna podgrupa grupy wolnej jestgrup woln. Jest to twierdzenie Nielsena-Schreiera (zob. [KM], str. 139).

1.5 Zadania

1. (a) Udowodni, e jeli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jestabelowa(Z(G) oznacza centrum grupy G).(b) Udowodni, e nie istnieje grupa G, ktrej centrum jest podgrup o indeksie 2lub 3.

2. Dowie, e istniej tylko dwie nieizomorficzne grupy nieabelowe rzdu 8.

3. Dowie, e kada grupa rzdu 15 jest cykliczna.

4. Niech A bdzie grup cykliczn rzdu n. Udowodni, e dla kadego dzielnika dliczby n istnieje dokadnie jedna podgrupa grupy A rzdu d.

5. Dowie, e kada skoczona grupa abelowa, ktra nie jest grup cykliczn, za-wiera podgrup H, ktra jest sum prost dwch grup cyklicznych rzdu p, gdzie pjest pewn liczb pierwsz.

6. Niech p bdzie liczb naturaln i niech G 6= E bdzie grup, w ktrej kady6= 1 element ma rzd bdcy potg liczby p. Udowodni, e p jest liczb pierwsz.Ponadto, jeli grupa G jest skoczona, to jej rzd jest potg liczby p.

7. Niech G bdzie grup skoczon i niech p bdzie najmniejsz liczb pierwsz dzie-lc rzd grupy G. Dowie, e kada podgrupa H grupy G, ktrej indeks |G : H|

1.5. ZADANIA 35

jest rwny p, jest podgrup normaln grupy G.

8. Niech n 2 i niech

0 A1 A2 An 0

bdzie cigiem dokadnym grup skoczonych.(a) Jeli n jest liczb parzyst, udowodni, e |A1||A3| |An1| = |A2||A4| |An|.(b) Jeli n jest liczb nieparzyst, udowodni, e |A1||A3| |An| = |A2||A4| |An1|.9. Pokaza, e grupa czwrkowa Kleina G = V4 jest jedyn grup G rzdu 4, ktrejgrupa automorfizmw AutG skada si z wszystkich bijekcji zbioru G pozostawiaj-cych jedynk grupy G na miejscu.

10. Dla cia kwadratowych K = Q(2 ) oraz F = Q(7 ) udowodni, e

(a) Addytywne grupy cia K i F s izomorficzne.(b) Multyplikatywne grupy cia K i F s izomorficzne.(c) Ciaa K i F nie s izomorficzne.

11. Udowodni, e cz wsplna wszystkich ppodgrup Sylowa grupy skoczonejG jest podgrup normaln grupy G.

12. Niech G bdzie grup rzdu 168. Udowodni, e grupy G nie mona zanurzy wgrup symetryczn S6. Pokaza, e jeli grupa G jest prosta, to ma 8 podgrup rzdu7 i mona j zanurzy w grup S8.

13. Udowodni, e kada grupa wolna jest beztorsyjna i jest nieabelowa jeli jej ran-ga jest 2.14. Udowodni, e grupa z kodem genetycznym

gr( {x1, . . . , xn} || xixjx1i x1j , 1 i < j n)

jest woln grup abelow rangi n (tzn. jest sum prost n grup cyklicznych niesko-czonych).

15. Znale kod genetyczny grupy czwrkowej Kleina V4 = Z2 Z2.

36 ROZDZIA 1. GRUPY

Rozdzia 2

PiercienieOstatnie zmiany 15.11.2008 r.

2.1 Podstawowe pojcia

Definicja 2.1.1. Zbir P z dwoma dziaaniami + i zwanymi odpowiedniododawaniem i mnoeniem oraz z dwoma wyrnionymi elementami 0 i 1 zwanymizerem i jedynk nazywa si piercieniem, jeli spenione s nastpujce warunki:

1. (P, + , 0) jest grup abelow.2. (P, , 1) jest monoidem (pgrup z jedynk).3. Mnoenie jest rozdzielne wzgldem dodawania, to znaczy

a(b+ c) = ab+ ac oraz (b+ c)a = ba+ ca

dla kadych a, b, c P.Zwracamy uwag, e kady piercie ma jedynk. Moe si jednak zdarzy, e

0 = 1 i wtedy a = a 1 = a 0 = 0 dla kadego a P , a wic P ={0}jest pier-

cieniem zerowym. Ponadto, mnoenie w piercieniu P musi by czne ale moeby nieprzemienne. Jeli mnoenie w piercieniu P jest przemienne, to znaczy jeliab = ba dla kadych a, b P, to piercie P nazywa si piercieniem przemiennym.Podpiercieniem piercienia P nazywamy podgrup P1 addytywnej grupy piercie-nia P zawierajc jedynk piercienia P i zamknit ze wzgldu na mnoenie. atwosprawdzi, e P1 jest wtedy take piercieniem ze wzgldu na dziaania dodawania imnoenia bdce zacienieniami odpowiednich dziaa w P.Element a piercienia P nazywa si lewostronnie odwracalny, jeli istnieje b Ptaki, e ba = 1. Element b nazywa si wtedy lewostronnie odwrotnym do elemen-tu a. Podobnie, a P jest prawostronnie odwracalny, jeli istnieje c P taki, eac = 1. Element c jest wtedy prawostronnie odwrotny do a. To rozrnienie pomi-dzy elementami lewostronnie i prawostronnie odwracalnymi jest niezbdne w teoriipiercieni nieprzemiennych. Przykad 2.1.6 wskazuje piercie nieprzemienny (endo-morfizmw addytywnej grupy piercienia wielomianw), w ktrym istniej elementyjednostronnie, ale nie obustronnie odwracalne.

Element a P nazywa si odwracalny, jeli jest rwnoczenie lewostronnie iprawostronnie odwracalny. Zauwamy, e jeli ba = 1 oraz ac = 1, to

b = b ac = ba c = c.

37

38 ROZDZIA 2. PIERCIENIE

A wic element odwracalny a ma tylko jeden element lewostronnie odwrotny, jakrwnie tylko jeden element prawostronnie odwrotny i elementy te s rwne (jedy-nemu) elementowi odwrotnemu do a. W zwizku z t jednoznacznoci elementuodwrotnego do a wprowadzamy dla niego oznaczenie a1.Stwierdzamy z atwoci, e zbir U(P ) wszystkich elementw odwracalnych pier-cienia P tworzy grup ze wzgldu na mnoenie elementw. Nazywa si j grupelementw odwracalnych piercienia P .Piercie P nazywa si piercieniem z dzieleniem, jeli kady rny od zera elementpiercienia P jest odwracalny. Przemienny piercie z dzieleniem jest wic ciaem.Element a piercienia P nazywa si lewostronnym dzielnikiem zera, jeli istniejeb P, b 6= 0, taki, e ab = 0. Podobnie, a P jest prawostronnym dzielnikiem zera,jeli istnieje c P, c 6= 0, taki, e ca = 0. Element a P nazywa si dzielnikiemzera w P jeli jest rwnoczenie lewostronnym i prawostronnym dzielnikiem zera.Centrum Z(P ) piercienia P nazywamy zbir wszystkich elementw piercienia Pprzemiennych z kadym elementem piercienia P :

Z(P ) :={a P : ab = ba b P

}.

atwo sprawdzi, e Z(P ) jest (przemiennym) podpiercieniem piercienia P.

Przykad 2.1.1. Najbardziej naturalnym przykadem piercienia jest piercie Zliczb cakowitych. Nie ma on podpiercieni waciwych (rnych od Z). Poniewa Zjest piercieniem przemiennym, wic Z(Z) = Z. Ponadto, U(Z) = {1}. PiercieZ nie ma dzielnikw zera.Bardzo naturalnych przykadw dostarczaj take piercienie reszt Zn. Tutaj takenie ma waciwych podpiercieni (gdy addytywna grupa Zn jest grup cykliczngenerowan przez jedynk 1 piercienia Zn), natomiast

U(Zn) ={a mod n : NWD(a, n) = 1

}.

Jeli n jest liczb zoon, n = ab, gdzie a i b s liczbami naturalnymi wikszymini 1, to a b = 0 w Zn. A wic jeli n jest liczb zoon, to piercie reszt Zn madzielniki zera.

Przykad 2.1.2. Niech P bdzie dowolnym piercieniem przemiennym i niech P [X]bdzie piercieniem wielomianw jednej zmiennej X (lub zespou zmiennych X =[X1, . . . , Xn]). P [X] jest piercieniem przemiennym. Jeli P nie ma dzielnikw zera,to P [X] take nie ma dzielnikw zera oraz U(P [X]) = U(P ).

Przykad 2.1.3. Niech P bdzie dowolnym piercieniem i niech M(X,P ) bdziezbiorem wszystkich funkcji okrelonych na niepustym zbiorze X o wartociach wpiercieniu P.W zbiorzeM(X,P ) okrelamy dziaania dodawania i mnoenia funkcjiw zwyky sposb. A wic dla f, g M(X,P ) funkcje f + g : X P oraz f g :X P okrelone s nastpujco:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x)dla kadego x X. Funkcje 0 : X P, 0(x) = 0 oraz 1 : X P, 1(x) = 1s elementami neutralnymi dodawania i mnoenia w M(X,P ). Sprawdzamy bez

2.1. PODSTAWOWE POJCIA 39

trudu, e system (M(X,P ), + , ,0,1) jest piercieniem. Jeli P jest piercieniemprzemiennym, to M(X,P ) jest take piercieniem przemiennym. W szczeglnoci,jeli X = P , to M(P, P ) jest piercieniem funkcji P P . Wrd nich wyrniamypodpiercie Pol(P, P ) funkcji wielomianowych f : P P takich, e f P [X].Tutaj f(a) = f(a) jest wartoci wielomianu f w punkcie a P .Przykad 2.1.4. Dla piercienia P symbolem Mn(P ) oznacza si zbir wszystkichmacierzy kwadratowych stopnia n o elementach z piercienia P. Sum i iloczynemmacierzy A = [aij] i B = [bij] nazywamy macierze

A+B = [aij + bij], AB = [cij], gdzie cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj.

Rutynowe rachunki pozwalaj stwierdzi, e Mn(P ) jest piercieniem. Nazywamygo piercieniem macierzy stopnia n nad piercieniem P. Jeli n 2, to Mn(P ) jestpiercieniem nieprzemiennym.

Przykad 2.1.5. Niech A bdzie grup abelow i niech EndA bdzie monoidemwszystkich endomorfizmw grupy A (ze skadaniem endomorfizmw jako dziaa-niem). Obok skadania endomorfizmw rozpatrujemy take dodawanie endomor-fizmw okrelone tak samo jak w piercieniu funkcji M(A,A). Dziki abelowocigrupy A dodawanie endomorfizmw jest take dziaaniem przemiennym. EndA jestpodgrup addytywnej grupy piercieniaM(A,A). Bezporednim rachunkiem stwier-dzamy, e skadanie endomorfizmw jest rozdzielne wzgldem dodawania:

f(g + h)(a) = f((g + h)(a)) = f(g(a) + h(a)) = f(g(a)) + f(h(a)) = (fg + fh)(a)

dla dowolnych f, g, h EndA i a A, i podobnie dla prawostronnej rozdzielnocimnoenia wzgldem dodawania endomorfizmw. A wic EndA jest piercieniem. Jestto piercie endomorfizmw grupy abelowej A.

Przykad 2.1.6. Niech P bdzie dowolnym piercieniem przemiennym i niech A =P [X] bdzie addytywn grup piercienia wielomianw jednej zmiennej X o wsp-czynnikach z P . Bdziemy rozpatrywa piercie endomorfizmw EndP [X] grupyabelowej P [X].

Niech D oraz I bd odwzorowaniami P [X] P [X] okrelonymi nastpujco:

D(f) = ddX

f, I(f) = X1f(t)dt.

Tutaj D(f) jest formaln pochodn wielomianu f natomiast I(f) jest formalncak oznaczon wielomianu f. Operacje D i I s oczywicie endomorfizmami grupyabelowej A = P [X]. Zauwaamy, e dla dowolnego wielomianu f P [X] mamy

DI(f) = D( X

1f(t)dt

)= f(X) = f,

oraz z drugiej strony

ID(f) = X1D(f)(t)dt = f(X) f(1).


Zatem D I = 1A, natomiast I D 6= 1A, gdy jeli tylko wielomian f nie zeruje siw punkcie X = 1, to ID(f) 6= f. Zatem endomorfizm rniczkowania D jest prawo-stronnie odwracalny i prawostronnie odwrotnym endomorfizmem jest endomorfizmcakowania I. Natomiast I nie jest endomorfizmem lewostronnie odwrotnym doD. Poniewa element odwracalny ma tylko jeden element lewostronnie odwrotny,wynika std, e operacja rniczkowania (a take operacja cakowania) nie jest od-wracalnym endomorfizmem addytywnej grupy abelowej P [X].

2.2 Homomorfizmy i ideay

Jeli P i R s piercieniami, to kad funkcj h : P R speniajc warunki

h(a+ b) = h(a) + h(b), h(ab) = h(a)h(b), h(1) = 1

dla kadych a, b P , nazywamy homomorfizmem piercienia P w piercie R. Ho-momorfizm h nazywamy epimorfizmem lub monomorfizmem, jeli jest on odwzo-rowaniem surjektywnym lub injektywnym, odpowiednio. atwo sprawdzi, e jelih : P R jest epimorfizmem piercieni, to

h(Z(P )) Z(R), h(U(P )) U(R).

Niech h : P R bdzie homomorfizmem piercieni. Wtedy h jest take homomor-fizmem addytywnej grupy piercienia P w addytywn grup piercienia R. Jdrokerh tego homomorfizmu (grup addytywnych) nazywamy jdrem homomorfizmu hpiercienia P w piercie R. A wic

kerh ={a P : h(a) = 0

}jest podgrup addytywnej grupy piercienia P i ponadto,

a kerh ab, ba kerh

dla kadego b P.Mamy bowiem h(ab) = h(a)h(b) = 0h(b) = 0 i podobnie h(ba) =0. Jdro homomorfizmu piercieni h : P R jest wic podgrup addytywnej grupypiercienia P zamknit ze wzgldu na mnoenie przez elementy piercienia P. Jestto wasno charakteryzujca ideay piercienia P.

Definicja 2.2.1. Ideaem lewostronnym (prawostronnym) piercienia P nazywamypodgrup I addytywnej grupy piercienia P zamknit ze wzgldu na mnoenie zlewej (prawej) strony przez elementy piercienia P.Idea lewostronny I piercienia P, ktry jest rwnoczenie ideaem prawostronnymnazywa si ideaem (lub ideaem dwustronnym) piercienia P.

Najwaniejszymi przykadami ideaw piercienia P s jdra homomorfizmwpiercienia P w dowolne piercienie. Przykadami ideaw jednostronnych s ideaygwne aP oraz Pa przy odpowiednim doborze elementu a i piercienia nieprze-miennego P. Przy pomocy twierdzenia o dzieleniu z reszt mona udowodni, ew piercieniu Z liczb cakowitych kady idea jest ideaem gwnym. Podobnie, w

2.2. HOMOMORFIZMY I IDEAY 41

piercieniu wielomianw K[X] jednej zmiennej X nad ciaem K kady idea jestideaem gwnym.Oglniej, kady podzbir S piercienia P generuje pewien idea. atwo sprawdzamy,e zbiory

SP :={s1x1 + + snxn P : si S, xi P, n N

}PS :=

{x1s1 + + xnsn P : si S, xi P, n N

}s odpowiednio prawo- i lewostronnymi ideaami piercienia P . Ponadto, SP jestnajmniejszym ideaem prawostronnym piercienia P zawierajcym zbir S i PSjest najmniejszym ideaem lewostronnym piercienia P zawierajcym zbir S. Na-zywamy je ideaami jednostronnymi generowanymi przez zbir S. Zauwamy, e gdy1 S, to SP = PS = P. Oglniej, jeli I jest ideaem jednostronnym (lub obu-stronnym) i 1 I, to I = P.Niech teraz I bdzie ideaem piercienia P. Zatem I mona traktowa jako pod-grup addytywnej grupy piercienia P i utworzy grup ilorazow P/I. Jak wiemy,zbir warstw jest zamknity ze wzgldu na dodawanie kompleksowe warstw:

(a+ I) + (b+ I) = (a+ b) + I.

Okazuje si, e zbir warstw P/I nie jest na og zamknity ze wzgldu na mnoeniekompleksowe warstw. Rzeczywicie, mamy jedynie

(a+ I)(b+ I) ={(a+ j1)(b+ j2) : j1, j2 I

}={ab+ aj2 + j1b+ j1j2 : j1, j2 I

} ab+ I

gdy aj2 + j1b + j1j2 I dla wszystkich j1, j2 I (wykorzystujemy tutaj takefakt, e I jest ideaem obustronnym). Tutaj nie mona oczekiwa rwnoci nawet wnajprostszych sytuacjach. Na przykad w piercieniu Z liczb cakowitych dla ideaugwnego 10Z i iloczynu kompleksowego warstw zawierajcych 2 i 4 mamy

(2 + 10Z)(4 + 10Z) = 8 + 20Z 8 + 10Z.

Zauwamy, e dla iloczynu kompleksowego mamy oczywist wasno

a+ I = a + I, b+ I = b + I (a+ I)(b+ I) = (a + I)(b + I)

a wic iloczyn kompleksowy (a + I)(b + I) nie zaley od sposobu reprezentacjiwarstw. Poniewa rne warstwy s rozczne, iloczyn kompleksowy (a+ I)(b+ I)jest podzbiorem dokadnie jednej warstwy ab + I i w zwizku z tym t warstwnazywamy iloczynem warstw (a+ I) (b+ I). Definiujemy wic dziaanie mnoeniawarstw

(a+ I) (b+ I) = ab+ I.W dalszym cigu nigdzie nie bdziemy uywa iloczynu kompleksowego warstw pier-cienia wzgldem jego ideau. W zwizku z tym iloczyn warstw w sensie powyszejdefinicji bdziemy pisa bez kropki, to znaczy odtd piszemy (a+I)(b+I) = ab+I.


Na zbiorze warstw P/I mamy zatem okrelone dwa dziaania: dodawania i mnoe-nia warstw. Wykorzystujc czno mnoenia i rozdzielno mnoenia wzgldemdodawania w P dowodzimy cznoci mnoenia i rozdzielnoci mnoenia wzgldemdodawania w P/I. Ponadto, (1 + I)(a + I) = a + I = (a + I)(1 + I). Zatem P/Ijest piercieniem z jedynk 1 + I. Piercie ten nazywamy piercieniem ilorazowympiercienia P wzgldem ideau I (lub modulo I). Zauwamy jeszcze, e dla I = Pjako piercie ilorazowy P/P otrzymujemy piercie zerowy. Jest to gwny powd,dla ktrego w definicji piercienia nie wymagalimy by 0 6= 1. Odwzorowanie

: P P/I, (a) = a+ Ijest homomorfizmem piercieni oraz ker = I. Homomorfizm nazywamy homo-morfizmem kanonicznym piercienia P na piercie ilorazowy P/I. Zauwaamy teod razu, e kady idea I piercienia P jest jdrem pewnego homomorfizmu piercie-nia P . A wic ideay bd odgryway w twierdzeniach o homomorfizmach piercienipodobn rol jak podgrupy normalne w twierdzeniach o homomorfizmach grup. Wteorii piercieni prawdziwe s odpowiedniki wszystkich trzech podstawowych twier-dze o homomorfizmach grup: o faktoryzacji, odpowiednioci i izomorfizmie. Sfor-muujemy tutaj pierwsze dwa z nich.

Twierdzenie 2.2.2. (Twierdzenie o faktoryzacji.)Jeli h : P R jest homomorfizmem piercieni, I = kerh oraz : P P/I jesthomomorfizmem kanonicznym, to istnieje dokadnie jeden injektywny homomorfizmh : P/I R taki, e h = h , to znaczy taki, e nastpujcy diagram jest prze-mienny:

P R

P/I

h-

R

h

Dowd. Wykorzystujemy twierdzenie 1.1.4 o faktoryzacji homomorfizmw grup dlahomomorfizmu h traktowanego jako homomorfizm addytywnych grup piercieni P iR i stwierdzamy, e h jest homomorfizmem piercieni.

Przykad 2.2.1. Dla piercienia przemiennego P rozpatrujemy odwzorowanie

P [X] Pol(P, P ), f 7 fpiercienia P [X] wielomianw jednej zmiennej w piercie Pol(P, P ) funkcji wielo-mianowych P P . Jest to homomorfizm piercieni. Niech J bdzie jdrem tegohomomorfizmu,

J ={f P [X] : f(a) = 0 a P

}.

Wiadomo, e J = 0 gdy P jest nieskoczonym piercieniem bez dzielnikw zera.Wtedy homomorfizm ten jest izomorfizmem. Ale J 6= 0, na przykad, gdy P jestciaem skoczonym. Jeli p jest liczb pierwsz i P = Fp jest ciaem pelementowym,

2.3. IDEAY W PIERCIENIACH PRZEMIENNYCH 43

to ap = a dla kadego a Fp i wobec tego Xp X J . atwo stwierdzi, eJ = (XpX)Fp[X] jest ideaem gwnym generowanym przez wielomian XpX.Mamy zatem

Fp[X]/(Xp X)Fp[X] = Pol(Fp,Fp).Fakt, e idea J nie zawsze jest ideaem zerowym zmusza do rozrniania piercieniawielomianw od piercienia funkcji wielomianowych.

Twierdzenie 2.2.3. (Twierdzenie o odpowiednioci.)Jeli h : P R jest epimorfizmem piercieni, to przyporzdkowanie I 7 h(I) jestbijekcj rodziny ideaw I piercienia P zawierajcych kerh na rodzin wszystkichideaw piercienia R. Odwzorowaniem odwrotnym jest J 7 h1(J ).Ponadto, dla kadego ideau I piercienia P zawierajcego jdro kerh homomorfi-zmu h mamy izomorfizm

P/I = R/h(I).Dowd. Dla homomorfizmu h traktowanego jako homomorfizm addytywnych gruppiercieni P i R wykorzystujemy teorio-grupowe twierdzenie 1.1.7 o odpowiednioci.Pozostaje przeledzi dowd twierdzenia 1.1.7 i uzupeni go sprawdzeniem odpo-wiednich wasnoci multyplikatywnych. Pozostawiamy to jako wiczenie dla Czytel-nika.

2.3 Ideay w piercieniach przemiennych

Wprawdzie cz dyskutowanych tu poj i faktw ma swoje odpowiedniki w do-wolnych piercieniach, jednak dla uproszczenia zakada bdziemy stale, e rozpa-trywane piercienie s przemienne. W zwizku z tym, od tego miejsca poczwszy,sowo piercie oznacza zawsze piercie przemienny. Dla podkrelenia tego staegozaoenia piercienie bdziemy oznacza literami A,B w odrnieniu od dotychcza-sowej praktyki oznaczania piercieni literami P,R.Wrd piercieni przemiennych kracow z naszego punktu widzenia klas tworzciaa. Z atwoci bowiem stwierdzamy, e kade ciao K ma tylko dwa ideay: ideazerowy 0K = {0} oraz idea jednostkowy 1K = K. atwo take stwierdzi, e jelipiercie A ma tylko dwa ideay, mianowicie 0A i A, to A jest ciaem.

Jeli S = {s1, . . . , sn} jest skoczonym podzbiorem piercienia A, to idea SA gene-rowany przez zbir S oznacza bdziemy (s1, . . . , sn). Zatem

SA = AS = (s1, . . . , sn) ={s1x1 + + snxn A : x1, . . . , xn A

}.

Wprowadzimy teraz trzy podstawowe operacje na ideaach piercienia.Sum ideaw a oraz b piercienia A nazywamy zbir a + b wszystkich elementwpostaci a + b, gdzie a a oraz b b. Jest to wic zwyka suma podgrup a i b ad-dytywnej grupy A. Poniewa suma ta jest zamknita ze wzgldu na mnoenie przezelementy piercienia A, jest ona ideaem w A.Jeli S i T s podzbiorami piercienia A oraz a = AS, b = AT s ideaamigenerowanymi przez zbiory S i T , to suma ideaw a + b jest ideaem genero-wanym przez sum mnogociow zbiorw S T. W szczeglnoci, dla dowolnych


a1, . . . , an, b1, . . . , bm A,

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bm) = (a1, . . . , an, b1, . . . , bm).

Iloczynem ideaw a oraz b piercieniaA nazywamy zbir ab wszystkich skoczonychsum postaci

c1d1 + + cndn, ci a, di b, n N.Iloczyn a b jest ideaem piercienia A.Zauwamy, e jeli a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bm) to

a b = (a1b1, a2b1, . . . , aibj, . . . , anbm).

Zarwno dodawanie jak i mnoenie ideaw s operacjami przemiennymi i cznymi.Ponadto, mnoenie ideaw jest rozdzielne wzgldem dodawania ideaw, to znaczy,dla kadych trzech ideaw a, b, c piercienia A mamy

(a+ b) c = a c+ b c.

Przekrojem ideaw a oraz b nazywamy cz wspln a b ideaw a i b. Jest toidea piercienia A. Przekrj ideaw nie jest na og rozdzielny wzgldem dodawaniaideaw. Mona tylko pokaza, e dla ideaw a, b, c piercienia A, jeli a c lubb c, to

(a+ b) c = a c+ b c.Jest to tak zwane prawo modularnoci. Warto zwrci uwag, e zawsze a b ab.Natomiast jak pokazuj najprostsze przykady (powiedzmy A = Z, a = 2Z, b = 4Z),nie ma tu na og rwnoci. atwo jednak wskaza oglny warunek wystarczajcy nato, by iloczyn dwch ideaw by rwny ich przekrojowi. Korzystajc z rozdzielnocimnoenia ideaw wzgldem dodawania otrzymujemy dla dowolnych ideaw a, b, cpiercienia A

(a+ b) (a b) =

Algebra Sd

Documents

Transcript of Algebra Sd