Leesmap NIKHEF Studiedag

Atoommodellen, Quantummodellen en Leerlingmodellen

d.j. hoekzema

Woudschoten 2003

e. van den berg

versie 7-01-04

g.j. schooten

project

Moderne Natuurkunde

op het VWO

www.phys.uu.nl/~wwwpmn

Visualisaties van Atomen

Het beeld dat leerlingen hebben van atomen komt zelden verder dan het atoommodel van Bohr: Elektronen draaien rond de kern als planeten rond de zon, maar op miraculeuze wijze zijn hun banen gequantiseerd, zodat alleen bepaalde afstanden zijn toegestaan.

Voor wie verder wil gaan, verwijzen we in de eerste plaats naar het Project Moderne Natuurkunde. Vindt u dat een stap te ver, maar zoekt u toch een mogelijkheid om in een les of drie enige verdieping aan te brengen? Lees dan de volgende poging om u hierbij te helpen.

Uitgangssituatie

We gaan ervan uit dat de standaard leerstof van de subdomeinen licht en atoomfysica inmiddels zo goed als geheel is behandeld, en in voldoende mate geactiveerd. In het bijzonder geldt dit voor onderwerpen als: golven, kinetische gastheorie, het fotoelektrisch effect, energieschema’s en spectraallijnen, elektrondiffractie en de Broglie-golflengte.

Lessen

1. In een klassikale inleiding geven we een min of meer historisch overzicht van een reeks atoommodellen. Hierbij wordt aangegeven dat elk model is ontworpen met als doel bepaalde problemen op te lossen en dat ieder model ook bepaalde beperkingen kent. Daarna worden de opgaven van het werkblad atoommodellen gemaakt. Centraal staan hierbijenerzijds de relatie tussen de modellen op microscopisch niveau en de macroscopische verschijnselen waarvoor ze een verklaring beogen te geven en anderzijds de beperkingen van de modellen en het domein waar ze bruikbaar zijn. Als huiswerk bestuderen de leerlingen de pagina's uit het PMN-materiaal die als appendix A aan dit stuk zijn toegevoegd.

2. Waarschijnlijkheid speelt een belangrijke rol bij het verbinden van de theorie van quantumdeeltjes/quantumgolven met de waargenomen werkelijkheid. Motto:

Als de positie van een deeltje gemeten wordt, dan wordt de waarschijnlijkheid om het deeltje ergens te vinden gegeven door het kwadraat van de amplitudo ter plekke.

Dit kan worden toegelicht met twee applets: de foto-applet (www.phys.uu.nl/~wwwpmn/03-04/foto.htm) en de psi-applet (www.phys.uu.nl/~wwwpmn/03-04/psi.htm)

Vervolgens wordt afgesloten met de oefening over waarschijnlijkheid in het werkblad Visualisering van Waarschijnlijkheid met snelle feedback. Als huiswerk kunnen de leerlingen thuis oefenen met de psi-applet. Ze kunnen daarbij ook de beide werkbladen gebruiken die op internet worden aangeboden.

3. Na de oefening met klassieke waarschijnlijkheid keren we terug naar de quantum fysica, en de specifieke eigenaardigheden die dit met zich meebrengt. Er wordt begonnen met een onderwijs-leergesprek over twee aspecten:

De minima in een interferentiepatroon ontstaan doordat quantumgolven destructief interfereren; d.w.z. het deeltje kan op een bepaalde plaats niet komen doordat het er op verschillende manieren kan komen en er wegens faseverschillen uitdoving plaatsvindt.

De reductie van het golfpakket geeft op een sterke manier aan dat quantumdeeltjes naast het golfkarakter ook een deeltjeskarakter vertonen: Bij meting zal het deeltje altijd maar op één plek gevonden worden, en zich vandaar uit verder “voortplanten”.

Daarna volgen weer oefeningen met snelle feedback, m.b.v. het Golven en Deeltjes Werkblad. Er wordt afgesloten met een klassikale bespreking over wat er geleerd is.

De snelle feedback methode

Snelle feedback is een klassikale methode waarin de docent een serie opdrachten geeft die meestal een individuele schets, tekening, of grafiek als antwoord vereisen (Berg, 2001). De opdrachten worden één voor één gegeven. Bij elke opdracht loopt de docent rond, inspecteert wat leerlingen er van maken. De docent stelt een snelle vraag hier en daar. Als leerlingen eerder klaar zijn, dan kunnen ze hun oplossing vergelijken met die van anderen. Dan keert de docent terug naar het bord, bespreekt zeer kort één of twee veel gemaakte fouten, en geeft een nieuwe opdracht. Het is belangrijk de vaart erin te houden. De opdracht voor leerlingen en het rondlopen van de docent kan 2 of 3 minuten duren. Nabespreking duurt 1 of 2 minuten en het is tijd voor de volgende opdracht. Over een serie van 6 – 8 opdrachten kan een vaardigheid zeer effectief worden “ingeslepen”. Bovendien heeft de docent op elk moment een redelijk goed beeld van wat leerlingen wel en niet begrijpen, hoever ze zijn. Daarvoor is het noodzakelijk dat de docent voortdurend over de schouders van de leerlingen meekijkt en indrukken baseert op echt leerlingenwerk, dus niet gokken op ervaring zonder te kijken naar leerlingen werk.

In deze drie lessen hebben we drie werkbladen opgenomen die voor snelle feedback lessen gebruikt kunnen worden, vooral het werkblad over golffuncties en waarschijnlijkheid is zeer geschikt vanwege de progressie in kleine stappen en de visuele antwoorden die in 1 seconde duidelijk zijn voor de docent. Het eerste werkblad over atoommodellen kan met snelle feedback worden gedaan, maar ook als discussie taak voor kleine groepjes. Hetzelfde geldt voor het laatste werkblad over de dubbele spleet. Toch, probeer eens, die snelle feedback. Je leert dan als docent veel meer over leerlingideeën. Met snelle feedback is het leren vaak intensiever en beter gefocuseerd.

Leerlingmodellen

Voorstellingen van atomen: Heisenberg schijnt gezegd te hebben (Beiser, 1995, p110): Any picture of the atom that our imagination is able to invent is for that very reason defective. Dean Zollman, de Amerikaanse leider van het visual quantum mechanics project heeft gezegd dat hij bij al zijn visualisatiewerk juist visualisatie van het atoom zelf vermijdt. Hij visualiseert golffuncties, energiediagrammen en spectra, niet atomen. Toch kun je er met leerlingen niet omheen. Op de een of andere manier moeten we een voorstelling van atomen geven. Wat kunnen we doen?

Wright schreef een aardig artikel over voorstellingen van atomen in het natuur- en scheikunde onderwijs op de middelbare school. De volgende plaatjes (uit Wright, 2003) bevatten enkele populaire voorstellingen van atomen

De visualisatie bij elk van deze plaatjes wordt gebruikt om iets uit te leggen. Figuur 1 kan gebruikt worden om de resultaten van het Rutherford experiment uit te leggen: het lege atoom met de minuscule kern. De plaatjes in figuur 2 zijn scheikunde plaatjes die gebruikt worden om elektronenverdelingen aan te geven. Figuur 3 laat fuzzy ball atomen zien die reageren en een molecuul vormen. Van figuur 3 zou je door kunnen stappen naar meer quantum mechanische atomen zoals in figuur 4 dat een waarschijnlijkheidsverdeling voor elektronen in een 2p-orbital laat zien.

Figuur 4

Het probleem is nu dat sommige plaatjes leiden tot nogal hardnekkige misverstanden en aldus de vorming van misconcepties ondersteunen. Het beroemde Bohr plaatje in figuur 1 suggereert toch wel zeer sterk een deeltjes model met scherp gedefinieerde elektronenbanen. Maar die zijn er niet. Het quantummechanisch model geeft kansdichtheidsverdelingen voor het elektron in de diverse toestanden zoals de 2p toestand in figuur 4.

Wright (2003) pleit fel tegen representaties als die in figuur 2 en voor de representatie van figuur 3. Figuren 1 en 2 zijn gewoon te klassiek, te deeltjesachtig en ze vormen niet een mooie eerste stap op weg naar een quantum mechanisch model maar zetten de leerlingen juist op het verkeerde been. Wright gebruikt al 20 jaar het fuzzy ball model in zijn scheikunde lessen.

De visualisering van het atoom via de golffuctie wordt hier gebruikt als didactisch model, dat een zeker tegenwicht beoogt te geven tegen de misconcepties die een gevolg kunnen zijn van de meer gebruikelijke deeltjesbeelden. Dit staat verder los van de vraag welke natuurkundige betekenis aan de golffuctie kan worden toegekend. Dit is een vraag waar de meningen nog steeds sterk over verdeeld zijn. Voor sommigen heeft ψ*ψ slechts betekenis als kansdichtheid. Voor anderen is ψ zelf wel degelijk zelf ook een natuurkundig object. In Budde, Niedderer, Scott en Leach (2002) b.v. geeft ψ*ψ de dichtheid van een soort vloeistof die ze elektronium noemen. Deze bepaalt tevens de fysische ladings- en massadichtheid, een visie die aansluit bij de oorspronkelijke interpretatie van Schrödinger.

Er kan over deze kwesties desgewenst uitgebreid gediscussieerd worden, maar dit staat verder los van de visualisering van ψ als didactisch instrument.

Beelden van Atomen: Modellen en Uitleg

Het idee dat materie bestaat uit atomen en dat de eigenschappen van die atomen de macroscopische eigenschappen van materie bepalen gaat terug tot the Griekse filosofen Leucippus en Demokrites (rond 450 BC). Veel later (rond 70 BC) schreef de Romeinse dichter Lucretius het gedicht dat hiernaast staat afgedrukt.

(Project Physics, 1970, Vol 5, p3).

Vraag

1. Ga na wat de eigenschappen van deze Griekse atomen zijn en wat overeenkomsten en verschillen zijn met onze 21ste eeuwse atomen.

Beeld

Onderwerp

Model

Zie gedicht

Natuurfilosofie

Leucippus, Demokritus, Lucretius

Atomen als ondeelbare eenheden van materie.

Gassen

Kinetische gastheorie

Halliday-Resnick, 4de editie, p512:

Een gas bestaat uit deeltjes die we moleculen noemen.

1. De moleculen bewegen op een random manier en gehoorzamen aan Newton’s wetten.

2. Het aantal moleculen is groot.

3. Het volume van de moleculen is verwaarloosbaar vergeleken met het volume van het gas.

4. Krachten tussen de moleculen zijn verwaarloosbaar behalve gedurende een botsing.

5. Botsingen zijn elastisch en het tijdsinterval van een botsing is verwaarloosbaar.

Kortom, moleculen zijn balletjes die met grote snelheid bewegen, botsen en zo impuls overdragen, geen (nauwelijks) onderlinge aantrekkingskracht vertonen en waarvan volume en botsingstijden verwaarloosbaar zijn.

Vaste stof

Smelten

Vloeistof

Verdampen

Koken

Vergeleken met de kinetische gastheorie:

1. Beweging wordt nu beperkt door onderlinge aantrekking. In vaste stoffen willekeurige beweging rond een vast punt, in een vloeistof willekeurige beweging door vloeistof alleen.

2. Het aantal moleculen is groot.

3. Volume is niet meer verwaarloosbaar maar is essentieel.

4. Onderlinge aantrekking/afstoting is essentieel.

5. Botsingen zijn inelastisch.

Smelten: De bewegingsenergie wordt zo groot dat molecuulbindingen verbroken worden.

Verdamping: Een fractie van de moleculen aan het vloeistof oppervlak kan zoveel bewegingsenergie opdoen uit botsingen dat moleculen kunnen ontsnappen.

Koken: De kinetische energie van moleculen in de vloeistof wordt groter dan bindingsenergie van onderlinge aantrekking.

The Harvard Project Physics Course,

deel 5, p13

Scheikunde

Elementen

Dalton (A new system of chemical philosophy, 1808, 1810)

1. Materie bestaat uit ondeelbare atomen.

2. Elk element bestaat uit een karakteristiek soort van identieke atomen. Er zijn dus net zoveel soorten atomen als elementen. De atomen van een element “zijn perfect hetzelfde in gewicht en vorm, etc.”

3. Atomen zijn onveranderlijk.

4. Wanneer verschillende elementen combineren om een stof te vormen, dan bestaat het kleinste deel van die stof uit een groep met een vast aantal atomen van elk element.

5. In chemische reacties worden atomen niet gecreëerd en niet geëlimineerd, maar worden ze slechts opnieuw gearrangeerd.

De figuur komt uit Dalton’s schrift met 2 atomen (boven) die vervolgens een molecuul vormen (onder).

Cutnell/Johnson

Atomen 1897

Thomson: vaste e/m ratio, dus elektron is deeltje en niet X-ray of andere EM straling.

Hieruit kwam het “plumpudding” model met elektronen als krenten in de krentenbol van het atoom, een gevuld atoom dus.

Figuur uit verzameld werk van Rutherford

Rutherford (Geiger-Marsden)

Rutherford kwam tot de conclusie dat de massa was geconcentreerd in de kern van het atoom.

Rutherford bewees dat elektronen met hun kleine massa niet verantwoordelijk konden zijn voor de afbuiging van de alfa deeltjes. Of elektronen bewogen en hoe die bewogen, liet hij in het midden.

Internet

Bohr

Elektronenbanen als planeten stelsel maar wel met quantisatie: alleen heel bepaalde banen zijn mogelijk.

Beeld

Onderwerp

Model

screenshot

uit de applet psi

www.phys.uu.nl/~wwwpmn/03-04/psi.htm

Hedendaagse

QM

En

Scheikunde

“Fuzzy ball” atomen In de figuur is de amplitudo van de elektrongolf in een waterstofatoom afgebeeld.

De elektrongolf is uitgesmeerd in de ruimte. De positie van het elektron is onbepaald, zodat we niet echt van een deeltje kunnen spreken.

Uit Brown, LeMay, Chemistry (8ste editie)

Scheikunde

Een elektron in een aangeslagen toestand van het waterstofatoom. Deze ladings”wolken” horen bij zogenaamde p-orbitals.

Wright, 2003

Scheikunde

'Fuzzy ball' atomen in een scheikundige reactie. Twee waterstofatomen delen hun elektronen om een waterstofmolecuul te vormen.

Literatuur

Brown, T.L., LeMay, H.E., Bursten, B.E. (2000). Chemistry (8ste editie). Prentice Hall.

Cutnell, J.D., Johnson, K.W. (1995). Physics (3rd edition). Wiley.

Holton, G., Rutherford, F.J., Watson, F.G. (1970). The Project Physics Course. Text and Handbook (deel 5).

Rutherford, E., Chadwick, J. (1962-1965). The collected papers of Lord Rutherford of Nelson. Allen and Unwin.

Wright, T. (2003). Images of Atoms. The Australian Science Teacher Journal, January 2003.

Werkblad Atoommodellen (docentenversie)

1. Met een pomp wordt de helft van de lucht uit een erlenmeyer te gehaald. Stel dat we met een magische bril de luchtmoleculen konden zien.

Teken de lucht in de fles

a) voordat de helft eruit gezogen is

b) nadat de helft eruit gezogen is.

voor wegzuigen na wegzuigen

Gewenste oplossing: stippen door de hele fles heen. Voor het zuigen een grotere dichtheid van stippen dan na het zuigen, maar in beide gevallen door de hele fles heen. Vanwege de zeer grote snelheid van deeltjes en de grote aantallen is er nooit een “vacuum gat” in de fles. Leerlingen tekenen dat vaak wel.

2. Geef een deeltjesverklaring voor het volgende: wanneer het water in de reageerbuis aan de kook wordt gebracht, dan gaat de ballon bol staan. Teken in de bolle ballon de deeltjes in de balloon. Wat voor deeltjes zijn het?

Geef aan hoe de deeltjes in de ballon zitten en welke deeltjes het voornamelijk zijn.

Gewenste oplossing: stippen gelijkmatig verdeeld over ballon en boven het water in de buis. De meeste deeltjes zijn watermoleculen.

3. Vergelijk het deeltjesmodel dat we gebruiken om gaswetten te verklaren en het model dat we gebruiken om verdamping te verklaren. Een deeltje aan het oppervlak van de vloeistof is onderweg om los te komen van het oppervlak. Het voelt nog de invloed van de andere deeltjes.

a) Teken in het linkerplaatje de krachten op het deeltje en teken in het rechterplaatje de snelheid

b) Wat zijn de verschillen met het kinetisch gasmodel?

Antwoord:

a) zie plaatjes

b) onderlinge aantrekking en volume van deeltjes zijn niet langer verwaarloosbaar

krachtenplaatje: Een deeltje dat uit de vloeistof dreigt te ontsnappen ondervindt krachten van buren die resulteren in een nettokracht naar beneden.

snelheidsplaatje: Als gevolg van botsingen met deeltjes in de vloeistof, kan een deeltje een grote kinetische energie opdoen die ontsnapping mogelijk maakt

4. Als we scheikundige reacties willen verklaren, wat moeten we dan toevoegen aan het simpele deeltjes model van de kinetische gas theorie?

Antwoord: Kinetisch gasdeeltjes zijn gewoon balletjes. In de scheikunde ontleden we die balletjes en we onderscheiden moleculen en atomen, en atomen worden weer onderscheiden in de elementen.

Verder moeten we het atoom opsplitsen in de buitenste elektronen en de rest.

5. Als we radioactiviteit willen verklaren, wat moeten we dan nog verder specificeren in ons deeltjes model van vraag 4? Antwoord weer met een ruwe schets van een atoom model.

Antwoord: Bij radioactiviteit moeten we in meer detail naar de kern kijken en daar deeltjes gaan onderscheiden (neutronen, protonen en eventueel alfa’s)

6.

Een natte schotel ligt te drogen op het aanrecht en na een tijdje is de schotel droog. Wat gebeurt er met het water?

Verschillende leerlingen gaven de volgende antwoorden, welke is het beste?

A. Het water gaat in het schotel.

B. Het water droogt op en bestaat niet meer.

C. Het water verandert in waterstof en zuurstof in de lucht.

D. Het water gaat de lucht in als kleine stukjes water.

Licht je antwoord toe:

Antwoord: D is het beste antwoord ook al staat het in een soort onderbouwtaal. Ook gevorderde leerlingen antwoorden vaak A of C. Vooral C is populair bij gevorderden. Het argument tegen C is dat het elektron volts kost terwijl thermisch rond 0.03 eV beschikbaar is. Uiteraard zijn er nog veel andere argumenten.

Werkblad Visualisering van Waarschijnlijkheid met Snelle Feedback

Leerlingen, en zij niet alleen, hebben problemen met het kanskarakter van de quantum fysica. Eigenlijk zijn er twee soorten problemen:

· het werken met kansen en wennen aan het idee dat het kansbegrip een fundamentele rol speelt in de natuurkunde;

· het werken met golffuncties, en alle problemen die dat met zich meebrengt, zoals interferentieverschijnselen.

Voor leerlingen kunnen deze problemen flink door elkaar heen gaan lopen. Een manier om hier iets aan te doen is de problemen duidelijk te scheiden, en met elk ervan specifieke oefeningen te doen. Door de leerlingen wat met de stof te laten spelen kunnen ze ervaring opdoen. Als docent kunnen we hier nog een element aan toevoegen: feedback. We kunnen leerlingen met grafische voorstellingen van waarschijnlijkheid laten spelen en direct individueel observeren of ze het wel of niet begrijpen. Hoe? Lees verder!

Golffuncties zijn functies waaraan je eigenschappen van deeltjes kunt ontfutselen zoals impuls, energie, en andere grootheden. De functie zelf is meestal complex. Zoals bij alle complexe functies is het product (*.( reëel.( Dit product (*(x).((x) geeft de kans per volume-eenheid, d.w.z. de kansdichtheid f(x) om een elektron, of proton, of ander deeltje op een bepaalde plaats aan te treffen. We gaan nu eerst wat spelen met illustraties van het klassieke waarschijnlijkheidsbegrip.

De docent schetst figuur 1 op het bord en zegt dan:

figuur 1                          

Docent: Ik heb een x-as (wijst x-as aan voor de klas) en op die x-as zet ik een stoel. Ik leg een balpen onder een doekje “ergens” op de stoel. Ik schets de x-as op het bord en het grijze gebiedje tussen de streepjes is de stoel.

De waarschijnlijkheid per cm3 om de balpen te vinden noemen we f(x). (In dit geva lis het dus de waarschijnlijkheid per cm, omdat het een eendimensionale stoel is.)

Vraag 1: Schets de waarschijnlijkheid f (x) als functie van x. (Er zijn meerdere correcte oplossingen, vergelijk straks met de buurman/buurvrouw!).

Terwijl de leerlingen hun schetsen maken, gaat de docent de klas rond , kijkt naar oplossingen, en stelt hier en daar een interpretatievraag….Wat betekent je grafiek? Waar is de grootste kans om de balpen te vinden? Hoe laat je dat zien in je grafiek?

Enkele oplossingen zijn als volgt (figuur 2a,b):

figuur 2a                          

figuur 2b                          

De kans is overal op stoel even groot.

De kans is in midden van de stoel groter.

In figuur 2a is de kans de balpen aan te treffen overal op de stoel even groot. In figuur 2b is het waarschijnlijker dat de balpen in het midden ligt. Dit antwoord zou je bijvoorbeeld kunnen verwachten bij een stoel die in het midden iets dieper is dan aan de kant. Verder is het duidelijk dat je eigenlijk ook een y-as zou moeten hebben en dus een kansdichtheid die een functie is van x en y, een driedimensionale grafiek dus. Bij drie ruimte-dimensies wordt het wat moeilijk te tekenen.

Docent: Nu heb ik vier stoelen op enige afstand van elkaar. De balpen kan op elk van die stoelen liggen en overal op het stoeloppervlak.

Vraag 2: Teken opnieuw de kansdichtheid.

figuur 3                          

Een antwoord staat in figuur 4. De som van de oppervlakken is 1, namelijk de kans om de balpen ergens aan te treffen. Ook hier is het mogelijk andere antwoorden te verzinnen. Bijvoorbeeld een driehoekige vorm zoals in figuur 2b of een figuur waarbij juist de waarschijnlijkheid om de balpen aan de rand van de stoel aan te treffen groter is.

figuur 4                          

Docent: Stel dat ik op stoel 4 gezeten heb en dat de kans dat ik de balpen daar heb laten liggen groter is dan op stoelen 1 t/m 3.

Vraag 3: Hoe ziet de grafiek er dan uit? Schets hieronder.

figuur 5                          

De oppervlakte onder grafiek van stoel 4 is nu groter

Docent: De oppervlakte onder de grafiek geeft de kans weer om een deeltje ergens aan te treffen. De totale kans om het deeltje waar dan ook aan te treffen moet 1 zijn.

Vraag 4: Moet er nog iets aangepast worden aan de grafieken in figuur 5?

Schets nu op het bord de klas als rechthoek (substitueer figuur 6 door uw actuele klas plattegrond).

Docent: Er zijn plaatsen in de klas waar ik veel kom en plaatsen waar ik weinig kom.

Vraag 5: Geef aan door middel van arceren waar er een grote kans is de docent aan te treffen. De dikke zwarte streep is het bord, dus de voorkant van het lokaal. Gebiedjes waar de kans nul is, blijven wit.

figuur 6                          

Een lokaal waar leerlingen de meest waarschijnlijke locaties van de docent kunnen aangeven.

Waarschijnlijk zullen alle banken wit blijven, omdat het onwaarschijnlijk is dat u op een leerlingtafel staat de dansen. (hoewel, misschien gaat u wel eens op een lege tafel zitten?) Voor in het lokaal zal het zwartste gebied zijn. Wie weet staat u er nog versteld van waar u volgens de leerlingen veel bent.

Van hier is de sprong naar het waarschijnlijkheidsplaatje van een orbital niet meer zo groot.

Het proces nu worden omgekeerd: geef een aantal verschillende grafieken en laat die interpreteren.

figuur 7a                          

figuur 7b                         

Docent: In figuur 7a staat de waarschijnlijkheid uitgezet om de balpen op de stoel te vinden.

Vraag 6: Betekent dit dat de balpen niet op de rand van de stoel kan liggen? Leg uit.

Vraag 7: Waar op de stoel is de kans het grootst dat we de balpen vinden in figuur 7b?

In figuur 8 is een afslag te zien en een rondje met een vlag waar de bal in moet. Er is een heuveltje, een meertje en er zijn struiken. De zandbak is nog even vergeten. We doen een experiment waarin 10.000 amateur golfers een bal slaan. We brengen dan met een potloodstip in kaart waar die eerste bal terecht komt en krijgen zo een plaatje met 10.000 stippen die donkere en lichte plekken vormen. De donkere plekken geven een hoge waarschijnlijkheid aan om een bal te vinden: Het resulterende plaatje doet al snel denken aan een soort orbitalplaatje! De volgende stap is dan dat we ons gaan afvragen wat het verschil is tussen deze klassieke waarschijnlijkheden en de waarschijnlijkheden in de quantum fysica.

figuur 8                          

Waarschijnlijkheid in de quantum fysica

Als het werken met waarschijnlijkheid er min of meer in zit, wordt het tijd om aandacht te besteden aan de eigenaardigheden die de quantum fysica er aan toevoegt. De gewone, klassieke waarschijnlijkheden worden in het algemeen geïnterpreteerd in termen van onwetendheid. Van de pen op de stoel weten we niet waar hij precies ligt, maar hij ligt wel degelijk op een bepaalde plek, en iemand anders, de docent bijvoorbeeld weet misschien wel welke plek dat is. Bij waarschijnlijkheid in de quantum fysica is/wordt uitgebreid gediscussieerd over de vraag in hoeverre dit beeld is vol te houden, en de conclusie die het meest algemeen getrokken wordt is dat het niet kan.

Een belangrijk verschil tussen de waarschijnlijkheden van golfballen om ergens in een veld terecht te komen en de waarschijnlijkheid van elektronen om een scherm te treffen op een bepaalde plaats is dat bij de elektronen de waarschijnlijkheden te maken hebben met de golffunctie. Het gedrag van golven leidt tot vreemde verschijnselen, die we van golfballen niet kennen. Golven kunnen elkaar uitdoven bijvoorbeeld. Op het scherm kan een interferentiepatroon ontstaan met donkere lijnen. Dit zijn plaatsen waar de elektronen niet kunnen komen omdat ze er op verschillende manieren kunnen komen! Dit patroon ontstaat ook al als de deeltjes een voor een en met ruime tussenpozen worden afgeschoten. Op grond hiervan moet de conclusie zijn dat ieder deeltje afzonderlijk golfgedrag vertoont, en dat het niet iets is dat tot stand komt door de interacties in een bundel deeltjes. Een mogelijk standpunt is om enige afstand te nemen van het idee dat de quantum fysica individuele systemen beschrijft, maar dat de theorie alleen betrekking heeft op ensembles van gelijkgeprepareerde systemen:

“As we have mentioned, a basic observation in an interference experiment with single photons is that the pattern on the screen builds up from the “hits” of single photons. It is legitimate to ask whether these positions are predetermined as in classical physics and can be predicted from the initial conditions. In this stage of the course, the students learn that one cannot predict the position of a single hit, but that it is nevertheless possible to make accurate predictions for the statistical distribution of many hits. This observation is generalized to the following important statement: Quantum mechanics makes statistical predictions about the results of repeated measurements on an ensemble of identically prepared quantum objects. This preliminary version of the probability interpretation is later, in the context of electrons, formulated more precisely in terms of the wave function.” (Muller & Wiesner, 2002).

De vraag of en hoe individuele systemen wel te beschrijven zijn verdwijnt hiermee enigszins naar de achtergrond. Dat is aan de ene kant jammer, maar aan de andere kant wel goed, want het is een discussie waar we in de klas echt niet uit zullen komen.

Wat wel kan is het doen van enkele oefeningen rond het verschil tussen klassieke waarschijnlijkheden en quantumwaarschijnlijkheden, en in het bijzonder het optreden van interferentie.

Literatuur

Berg, E. van den (2001). Onmiddellijke Diagnose en Feedback in Natuur- en Scheikundelessen. NVOX, 26(8), 407-410.

R. Muller, H. Wiesner (2002). Teaching quantum mechanics on an introductory level. American Journal of Physics, 70(3), 200-209.

Golven en Deeltjes Werkblad (docentversie)

In de opstelling in figuur 1a worden deeltjes of golven door een dubbele spleet geschoten. Figuur 1d toont een mogelijk resultaat: een scherm dat getroffen is door 70 000 elektronen.

figuur 1                             

Een opstelling met de dubbele spleet.

Wat er op het scherm te zien is hangt onder andere af van de afstand tussen de spleten en van de objecten waarmee geschoten wordt. In figuur 2A is een patroon te zien dat gemaakt is door kogeltjes die werden geschoten door twee spleten die een eindje uit elkaar staan. Het resultaat is een afbeelding van de spleten op het scherm. In figuur 2B is een patroon afgebeeld dat ontstaat bij de proef van Young: licht dat valt door twee smalle spleten die vlak bij elkaar staan.

figuur 2                             

Deeltjes en golven

A: kogeltjes

B: licht

Vragen

Antwoorden

Lijkt plaatje 1d meer op 2A of op 2B? Leg uit waarom.

Op 2B, er zijn meerdere donkere lijnen, het is dus geen afbeelding van 2 spleten maar een interferentiepatroon.

1. Welk van de twee plaatjes 2A of 2B laat/laten interferentie zien? Omcirkel een van de antwoorden a)...d) en leg uit.

a) A

b) B

Antwoord : B

c) A en B

d) Geen van beide

In de volgende vragen wordt telkens op verschillende manieren of met verschillende objecten op spleten geschoten. De afstand d tussen de spleten noemen we groot als hij groot is ten opzicht van de De Broglie-golflengte en klein als hij van dezelfde orde van grootte is.

Leg in alle gevallen uit of het beeld op het scherm meer lijkt op 2A of op 2B.

2. Een bundel rood licht valt op twee spleten met kleine d.

3. De lichtsterkte wordt in deze opstelling zodanig verminderd dat de fotonen één voor één door de spleten gaan. Er wordt toch een patroon opgenomen, door een film op het scherm te plakken en de opstelling enkele dagen te laten staan.

4. Een bundel elektronen valt op twee spleten met kleine d.

5. De intensiteit van de bundel wordt zodanig verminderd dat de elektronen één voor één worden afgeschoten.

6. Een bundel elektronen valt op twee spleten met grote d.

7. Een bundel rood licht valt op twee spleten met grote d.

2. 2B, de kleine d en smalle spleten maken interferentie mogelijk. Bij rood licht is dat bovendien het gemakkelijkst waar te nemen vanwege een relatief grote golflengte.

3. 2B, op de een of andere manier maakt het voor de quantum wereld niet uit of fotonen (of elektronen) een voor een of gezamenlijk door spleten gaan.

4. Als d klein is, in de orde van (, dan 2B

5. Ook hier 2B, het golfkarakter van elektronen verandert niet door ze een voor een te laten gaan.

6. Bij een grote d t.o.v. ( krijgen we hetzelfde effect als bij licht dat door twee ramen gaat en die afbeeld op de muur, 2A dus

7. 2A

8. Vat de resultaten samen

Zowel fotonen als elektronen laten een interferentiepatroon zien wanneer de afstand tussen de spleten niet te groot is.

figuur 4                             

Een lichtbundel wordt opgesloten tussen twee perfecte spiegels. De golffunctie van een foton in deze bundel is in figuur 4 afgebeeld, op een aantal verschillende tijdstippen.

De plaats van het foton wordt gemeten door in de bundel korte tijd een stukje fotogevoelig materiaal te plaatsen.

9. Geef in de figuur aan waar de kans om het foton aan te treffen het grootst is.

Waar de amplitudo groot is. Er zullen leerlingen zijn die denken dat er juist bij de knoop een grote kans is want daar komt het foton steeds langs! Dat is een foute interpretatie.

10. Geef ook aan waar de kans het kleinst is.

Waar de amplitudo nul is (knoop).

11. Teken in figuur 5 enkele mogelijke golffuncties met andere golflengten dan het foton in figuur 5.

Antwoord: bv. Teken toestanden voor

n = 1 (een halve sinus), n = 3 (3x halve sinus) etc.

Het antwoord getekend in de opgave is voor n = 2.

figuur 5                             

Appendix A: Tekst over golf en deeltje uit PMN

Waarschijnlijkheid

Een golf verspreidt zich door de hele ruimte, maar een deeltje vind je altijd maar op één plaats tegelijk. Die uitgebreidheid van de golf is essentieel als je bijvoorbeeld de buiging van de lichtgolven bij een tralie wilt verklaren. Aan de andere kant is juist de lokalisatie van het foton belangrijk als je het op een fotografische plaat laat vallen. Hoe uitgebreid de golf ook is, één foton op een fotografische plaat zorgt altijd maar voor één zwart vlekje op het negatief. Hoe kunnen we deze tegenstrijdige modellen met elkaar rijmen?

figuur 1                        

bron: A. Rose, Adv. in biol. and med. phys., 5, 211, 1957.

Als fotonen golfkarakter en deeltjeskarakter in zich verenigen, dan zullen deze twee verschijningsvormen op een of andere manier aan elkaar gekoppeld moeten worden. Dit gaan we preciezer bekijken aan de hand van een reeks foto's, en daarbij maken we gebruik van het feit dat we fotonen in feite één voor één kunnen waarnemen. De in figuur 4 gegeven foto's laten het volgende zien: Bij heel lage belichting verschijnen er eerst op min of meer willekeurige plaatsen op de foto her en der lichtpuntjes. Naarmate de belichtingstijd voortduurt blijken deze steeds meer in een patroon te vallen, tot er op den duur een goed herkenbaar beeld geproduceerd wordt.

Wat we zien gebeuren bij de vorming van beelden zoals de bovenstaande foto's is dat de fotonen arriveren volgens een patroon dat er eerst nogal willekeurig uitziet maar waaruit op den duur wel degelijk een goede afbeelding ontstaat. Zo willekeurig is het dus ook weer niet. Waar de intensiteit van het licht groot is vinden we op den duur meer punten op het fotonegatief maar waar het volgende foton terecht zal komen is onvoorspelbaar.

Dit doet denken aan het kansbegrip: De uitslag van één worp met een dobbelsteen is niet te voorspellen maar bij een groot aantal worpen zal het aantal zessen (vrijwel altijd) in goede benadering éénzesde van het totaal aantal worpen zijn.

In de deeltjestheorie is de intensiteit gelijk aan het aantal deeltjes dat op een bepaalde plek arriveert. Net als bij dobbelsteenworpen is het voor de afzonderlijke fotonen onvoorspelbaar waar het foton terecht komt. Wat we wel kunnen zeggen is dat de kans om op een bepaalde plek te arriveren evenredig is met de intensiteit. In figuur 4 kun je dus zeggen dat de kans dat een foton op de wang komt groter is dan de kans dat het op het voorhoofd komt, en die kans is weer groter dan de kans dat het foton op het oog terecht komt.

Volgens de golftheorie van licht is de intensiteit gelijk aan de hoeveelheid lichtenergie die per seconde een oppervlak passeert. Bij een gegeven frequentie is deze energie evenredig met het kwadraat van de amplitudo. De intensiteit moet dus evenredig zijn met het kwadraat van de amplitudo van de lichtgolf.

Conclusie:

Voor afzonderlijke fotonen is onvoorspelbaar waar ze terecht komen maar de kans dat een foton op een bepaalde plek arriveert moet evenredig zijn met het kwadraat van de amplitudo van de lichtgolf op die plek.

Het golfbeeld werkt goed zolang een foton met rust gelaten wordt en ongestoord voortbeweegt. Op het moment dat het licht aankomt bij de fotografische plaat wordt het door de omstandigheden echter gedwongen zich als deeltje te manifesteren. Het wordt namelijk door één enkele korrel gevoelig materiaal helemaal geteld en niet door honderd korrels een klein beetje. Bij zo'n overgang tussen golfmodel en deeltjesmodel blijkt het begrip waarschijnlijkheid van essentieel belang om van de twee tegenstrijdige modellen toch weer een kloppend geheel te maken.

Dit gebruik van het kansbegrip riep aanvankelijk veel weerstand op en ook nu nog zijn er natuurkundigen die het weinig fraai vinden en die van mening zijn dat er gezocht moet worden naar een diepere theorie. Waar iedereen het echter over eens is, is dat deze aanpak erg goed werkt bij het beschrijven van wat we kunnen waarnemen. Rond het eind van de twintiger jaren van de vorige eeuw is dit het uitgangspunt geworden waarop een groot deel van de natuurkunde van tegenwoordig gebaseerd is.

Materie

Tegen het eind van de negentiende eeuw werd het elektron ontdekt en al snel was duidelijk dat het deeltjes moeten zijn en meer in het bijzonder geladen deeltjes. Het duurde tot 1913 voor de lading kon worden vastgesteld, maar de verhouding tussen de lading en massa kon eenvoudig gemeten worden door te kijken naar de afbuiging van elektronenbundels in elektrische en magnetische velden. Aan het deeltjeskarakter van elektronen werd dus niet getwijfeld.

figuur 2                         

opname van diffractiepatroon van elektronen

De Franse natuurkundige De Broglie behoorde rond 1920 tot de langzaam groeiende groep mensen die het fotonidee serieus namen. Hij ging zelfs nog een stuk verder. Op grond van symmetrie suggereerde hij dat als licht een dubbel karakter had, golf en deeltje, waarom materie dan niet ook? Hij stelde voor de analogie met lichtgolven door te trekken naar materie en kwam zodoende tot de veronderstelling dat materiedeeltjes een golflengte moeten hebben, die net als bij fotonen gelijk zou moeten zijn aan

λ= h / p

waar p = mv de impuls is van het deeltje, en h de constante van Planck.

Met deze veronderstelling was hij tevens in staat een verklaring te geven voor het bestaan van discrete energieniveaus in atomen. Volgens de Broglie kwamen deze niveaus overeen met staande golven van de elektronen.

In figuur 2 worden vier beelden getoond, gemaakt met een bundel elektronen van zeer lage intensiteit. Ze staan in volgorde van steeds langere 'belichtingstijd' en iedere stip is een beeld gevormd door één elektron.

Op grond van deze beelden kunnen we concluderen dat fotonen en elektronen beide een dubbel karakter hebben, beide zowel golf als deeltje. Ze gedragen zich weliswaar vreemd maar tenminste wel op dezelfde manier. De overeenkomst tussen fotonen en elektronen strekt zich ook uit tot het waarschijnlijkheidsbegrip. Net als voor fotonen geldt dat het golfmodel goed werkt voor elektronen die niet gestoord worden. Er zijn echter omstandigheden waarin het elektron blijkbaar gedwongen kan worden zich als deeltje te gedragen, bijvoorbeeld als de positie gemeten wordt. In zo'n geval geldt dezelfde regel als voor fotonen:

Voor afzonderlijke elektronen is onvoorspelbaar waar het elektron wordt aangetroffen, maar de kans om het op een bepaalde plek aan te treffen is evenredig met het kwadraat van de amplitudo van de elektrongolf op die plek.

Historisch is het accepteren van het golfkarakter van elektronen nog wel met enige omwegen gegaan. Behalve Einstein vond aanvankelijk eigenlijk vrijwel niemand het een interessant idee of voelde behoefte om het experimenteel te testen. Het trok weinig aandacht tot er bij een experiment met de verstrooiïng van elektronen interferentiemaxima en -minima werden gevonden. Deze werden veroorzaakt doordat in een kristal de atomen in regelmatige rijen gerangschikt zijn. Bij golven met een voldoende kleine golflengte geeft dit effecten die vergelijkbaar zijn met de buiging van licht aan een tralie. Bij toeval was de stof die in dit experiment werd onderzocht per ongeluk uitgekristalliseerd en had de elektronbundel een geschikte golflengte. De Broglie probeerde via staande golven het bestaan van discrete energieniveaus te verklaren. De Oostenrijkse natuurkundige Schrödinger heeft dit verder uitgewerkt, vanuit het idee dat de discrete frequenties van de spectraallijnen vergelijkbaar zouden zijn met de resonanties die optreden bijvoorbeeld bij het trillen van een pianosnaar.

figuur 3                         

Schrödinger slaagde erin om een algemene golfvergelijking op te stellen waarmee het gedrag van elektronen en andere deeltjes kan worden beschreven. Met behulp van de Schrödingervergelijking kunnen allerlei kenmerken van bijvoorbeeld het waterstofatoom in detail worden uitgerekend: de energieniveaus, de grootte van het atoom, de bindingsenergie van het waterstofmolecuul, de amplitudo van de elektrongolf afhankelijk van de plaats, en de kans om het elektron ergens aan te treffen als je zijn positie zou meten. Figuur 3 geeft bijvoorbeeld een beeld van de kans om bij meting een elektron aan te treffen dat zich in een 2py-orbitaal bevindt. Zolang er niet gemeten wordt, gedraagt het elektron zich als golf, en is zijn plaats onbepaald.

Golf-deeltje dualisme

Licht en materie bestaan uit quantumdeeltjes en dit brengt een afwisseling met zich mee van golfachtig en deeltjesachtig gedrag. Het blijkt mogelijk hier op een zeer succesvolle manier mee te werken maar het is wel wennen. Eén van de ongebruikelijke kanten van het golf-deeltje dualisme, de reductie van het golfpakket, wordt toegelicht met het volgende gedachtenexperiment.

Meetreeksen

figuur 4                         

Sommige typen fotonegatieven zijn niet alleen gevoelig voor fotonen maar ook voor andere soorten deeltjes. Een elektron wordt op een rij achter elkaar opgestelde fotonegatieven geschoten. Het elektron maakt een zwarte vlek op het eerste negatief en schiet dan door naar het volgende negatief in de rij.

Voordat het elektron een negatief treft, breidt het zich in de ruimte uit volgens het golfmodel. Bij het negatief veroorzaakt het een zwarte vlek op één bepaalde plaats op het negatief. Daarna breidt het zich, vanuit dat ene punt op het negatief, weer uit als golf, tot het het volgende negatief treft. Daar wordt het weer, heel even, gedwongen tot deeltjesgedrag en vervolgens breidt het zich, vanuit dat nieuwe punt wederom uit als golf. Enzovoort, net zolang tot het in een van de fotonegatieven wordt geabsorbeerd.

De reductie van het golfpakket

Licht plant zich in de ruimte voort als een golf. Dit geldt ook al bij heel lage intensiteit, voor afzonderlijke fotonen. Ieder foton gedraagt zich als golf. Als het nu zou gaan om korte golfpulsen, die als puls gelokaliseerd blijven en als klein pakketje door de ruimte zouden bewegen, dan zou het verschil met deeltjes niet zo opvallen. Maar nee, golven kunnen zich over grote ruimten uitbreiden. Het is ook precies deze uitgebreidheid, waarmee we interferentieverschijnselen kunnen verklaren. Een golf kan door alle spleten van een tralie tegelijk gaan en zodoende interferentie veroorzaken.

Een foton dat wordt uitgezonden door de zon verspreidt zich met de lichtsnelheid als golf door het zonnestelsel en strekt zich al na een paar minuten uit over een gebied van miljoenen kilometers. Het foton kan met zekere waarschijnlijkheid mijn oog treffen en in mijn netvlies een chemische reactie veroorzaken. Deze reactie vindt plaats binnen een molecuul in een cel in mijn netvlies. De energie van het foton wordt geabsorbeerd binnen een gebied ter grootte van een paar atomen, en de rest van die hele uitgebreide golf is opeens verdwenen.

Dit proces wordt de reductie van het golfpakket genoemd. Het is typerend voor het golf-deeltje dualisme.

Wanneer vindt deze reductie van het golfpakket nu precies plaats? Deze vraag is in zijn algemeenheid niet gemakkelijk te beantwoorden, omdat hij raakt aan een aantal punten waar natuurkundigen onderling het ook niet altijd over eens zijn. Het beste dat er op dit moment van te zeggen valt is misschien nog dat een geïsoleerd systeem zich volgens het golfmodel gedraagt. Deeltjesachtige verschijnselen, met een reductie van het golfpakket, kunnen optreden als een systeem in contact komt met de buitenwereld.

Onbepaaldheid

Een elektron zwerft door het heelal. Laat het afkomstig zijn van ergens ver weg: van de zon, of een andere ster, of misschien losgeslagen uit een waterstofatoom in een interstellaire wolk. Zolang het elektron niets tegenkomt gedraagt het zich gedurende de reis door het wereldruim volgens het golfmodel. Als deze golf iets tegenkomt, de aarde bijvoorbeeld, kunnen er verschillende dingen gebeuren. De kans is groot dat er niets gebeurt. De amplitudo is overal klein, omdat de golf verdeeld is over een enorme ruimte, en het grootste deel van de golf gaat ruimschoots langs de aarde. Achter de aarde is een schaduw, waar de golf niet kan komen, en aan de rand van de schaduw verandert de vorm van de golf een beetje, omdat er buiging plaatsvindt, net als bij oceaangolven die een eilandje tegenkomen en er omheen buigen. Maar voor de rest heeft de aarde weinig invloed.

Er is echter ook een kans dat het elektron een reactie aangaat met een object op de aarde, bijvoorbeeld een atoom in de atmosfeer. De kans op een dergelijke gebeurtenis is evenredig met het kwadraat van de amplitudo die de golf in de buurt van de aarde heeft en met het oppervlak van de aarde. Indien er een reactie plaatsvindt, vindt er een reductie van het golfpakket plaats. De uitgebreide elektrongolf, die zich over een enorm gebied uitstrekte, is nu weg en in plaats daarvan is het elektron gelokaliseerd in het atoom. Het heeft dus opeens een welbepaalde plaats. De reductie van het golfpakket is een zeer 'ongolfachtige' gebeurtenis en dat het elektron nu een welbepaalde plaats heeft, is voor ons een teken van deeltjesgedrag.

Dit wil niet zeggen dat het elektron nu inderdaad echt als deeltje beschouwd kan worden. In feite wordt het elektron, direct nadat het is ingevangen, wederom beschreven als golf, maar nu als een staande golf die heel sterk gelokaliseerd is binnen het gebiedje rond de atoomkern. In vergelijking met de oorspronkelijke schaal van miljarden kilometers heeft het elektron dus een zeer welbepaalde plaats, maar als je kijkt op een schaal van tienden van nanometers dan is de plaats van het elektron binnen het atoom nog steeds onbepaald. Je zou dus kunnen zeggen dat het elektron zich nu wel veel meer gedraagt als deeltje, maar nooit echt helemaal precies.

Uit dit voorbeeld kun je de conclusie trekken dat het afhangt van de schaalgrootte waarop je kijkt of je een elektron als golf of als deeltje moet beschrijven. De uitgebreidheid van de golf geeft aan in hoeverre het elektron een welbepaalde plaats heeft. Als je kijkt op een schaal die groot is in vergelijking met de uitgebreidheid van de golf, dan kun je spreken van een deeltje met een welbepaalde plaats. Ga je op een kleinere schaal kijken, dan kan geen positie aan het elektron worden toegekend en we zeggen dat de plaats onbepaald is.

Een tweede conclusie is dat de schaal waarop je het deeltje als golf moet beschrijven opeens heel erg kan veranderen door de reductie van het golfpakket.

Nog iets meer onbepaaldheid

Een interessant resultaat binnen de quantum fysica is dat verschillende grootheden vaak niet tegelijkertijd een scherp bepaalde waarde kunnen hebben. Naarmate de ene grootheid scherper bepaald wordt, wordt de andere meer onbepaald en andersom. Plaats en impuls zijn hiervan een voorbeeld. De plaats van een deeltje is scherp bepaald als het golfpakketje heel klein is. Uit de wiskundige theorie van trillingen en golven volgt dan dat het golfpakket moet zijn opgebouwd uit een groot aantal verschillende golflengten. (Om deze reden kan aan een scherpe knal ook geen toonhoogte worden toegekend. Een knal is opgebouwd uit geluid van veel verschillende frequenties) Veel verschillende golflengten betekent in de quantumtheorie, wegens p = h/λ, dat de impuls niet scherp bepaald is.

Omgekeerd is de impuls van een quantumdeeltje scherp bepaald als de golflengte een scherp bepaalde waarde heeft maar dat kan dus alleen als het golfpakket heel uitgestrekt is.

Grootheden waartussen een dergelijke relatie bestaat, dus die niet gelijktijdig een scherp bepaalde waarde kunnen hebben, heten ook wel complementaire grootheden. Plaats en impuls vormen dus een paar complementaire grootheden, maar er bestaan veel meer voorbeelden van.

De relatie tussen de onbepaaldheden van plaats en impuls kan ook wiskundig worden geformuleerd, met behulp van de onbepaaldheidsrelaties van Heisenberg (ook vaak aangeduid als de onzekerheidsrelaties):

Δx.Δp > h / 4π

Hierin is Δx de onbepaaldheid in de plaats en Δp de onbepaaldheid in de impuls. Deze relatie is in allerlei situaties bruikbaar om op een snelle manier nuttige conclusies af te leiden. Het is echter niet altijd eenvoudig te zien hoe de onbepaaldheid het best kan worden gedefinieerd.

Soms is erg duidelijk op wat voor schaal je een elektron moet beschouwen als golf of als deeltje. Als de golf in zijn geheel, of voor een groot deel, binnen een bepaalde ruimte gelokaliseerd is, zoals in figuur 5, dan geeft het volume van deze ruimte een directe maat voor de onbepaaldheid van de plaats.

figuur 5                         

Er zijn echter makkelijk situaties te vinden die wat lastiger zijn. Hoe groot is bijvoorbeeld de onbepaaldheid bij een golf die scherp gepiekt is, maar met een eind verderop nog een klein staartje, zoals in figuur 6? Een golf zoals deze kan bijvoorbeeld ontstaan als een foton een glazen ruit treft, waarbij het grootste deel van de golf wordt doorgelaten, en een klein deel teruggekaatst.

figuur 6                         

Van dit voorbeeld kunnen we leren dat het woord `onbepaald' zelf eigenlijk niet zo'n scherp gedefinieerd begrip is, ook al is het in allerlei situaties wel heel handig. In feite geldt hetzelfde voor de begrippen `golf' en `deeltje', die geen van beide het precieze gedrag van een quantumdeeltje kunnen beschrijven maar die toch handig zijn om allerlei aspecten van `quantum-gedrag' te kunnen weergeven.

�

�

�

4dxy orbitaal

�

Molecuulvorming volgens Dalton

Bohr

Molecuulvorming met Fuzzy ball atomen

If you think

Atoms can stop their course, refrain from movement,

And by cessation cause new kinds of motion,

You are far astray indeed. Since there is void

Through which they move, all fundamental motes

Must be impelled, either by their own weight

Or by some force outside them. When they strike

Each other, they bounce off; no wonder, either,

Since they are absolute solid, all compact,

With nothing back of them to block their path.

no atom ever rests

Coming through void, but always drives, is driven

In various ways, and their collisions cause,

As the case may be, greater or less rebound.

When they are held in thickest combination,

At closer intervals, with the space between

More hindered by their interlock of figure,

These give us rock, or adamant, or iron,

Things of that nature. (Not very many kinds

Go wandering little and lonely through the void.)

There are some whose alternate meetings, partings, are

At greater intervals; from these we are given

Thin air, the shining sunlight .

It’s no wonder

That while the atoms are in constant motion,

Their total seems to be at total rest,

Save here and there some individual stir.

Their nature lies beyond our range of sense,

Far, far beyond. Since you can’t get to see

The things themselves, they’re bound to hide their moves,

Especially since things we can see, often

Conceal their movements, too, when at a distance.

Take grazing sheep on a hill, you know they move,

The woolly creatures, to crop the lovely grass

Wherever it may call each one, with dew

Still sparkling it with jewels, and the lambs,

Fed full, play little games, flash in the sunlight,

Yet all this, far away, is just a blue,

A whiteness resting on a hill of green.

Or when great armies sweep across great plains

In mimic warfare, and their shining goes

Up to the sky, and all the world around

Is brilliant with their bronze, and trampled earth

Trembles under the cadence of their tread,

White mountains echo the uproar to the stars,

The horsemen gallop and shake the very ground,

And yet high in the hills there is a place

From which the watcher sees a host at rest,

And only a brightness resting on the plain.

[translated from the Latin by Rolfe Humphries]

Figuur 3

� De leerlingversie komt als Word-document beschikbaar via www.phys.uu.nl/~wwwpmn/werkbladen.html

� Voor een algemene beschrijving van snelle feedback methoden zie een artikel in NVOX, oktober 2001.

� Ter opfrissing: als a = x + iy waarbij x en y reële coëfficiënten zijn, dan is a* = x – iy en wordt complex geconjugeerde van a genoemd. Het product is: (x+iy)(x-iy)=x2 –(iy)2 = x2 + y2 en dat is dus reëel. Als je nu een complexe functie ( neemt, en in elk punt vermenigvuldigt met (*, dan krijg je een functie (*( die alleen reële waarden heeft.

� Dit werkblad wordt gedaan na een inleiding over het golf-deeltje karakter van materie en straling en mogelijk na een demonstratie van interferentie verschijnselen met licht en met elektronen (elektronen diffractie). Als men geen elektronendiffractie opstelling heeft, dan maar uitleggen wat er kan gebeuren. Contrasteer deze golfverschijnselen met wat je verwacht als je echte deeltjes zoals kogeltjes gebruikt.

� De leerlingversie komt als Word-document beschikbaar via www.phys.uu.nl/~wwwpmn/werkbladen.html

PAGE

23