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(Alan M. Turing, 1912-1954) from wikipedia
(Kurt Goedel, 1906-1978)http://diamante.uniroma3.it/hipparcos/godel.htm
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(https://ja.wikipedia.org/wiki/ENIAC)
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定義A1:原始帰納的関数(primitive recursive function)とは，次を有限回繰り返して定義される関数である組み込み関数n 定数関数 C(x1,..., xn) = c （定数）n 後者関数 S(x) = x+1n 射影関数 Proji (x1,..., xn) = xiすでに定義した関数の組み合わせn 合成‒ f(x) = g(h1(x), ..., hk(x))
n 原始帰納‒ f(x1,..., xn-1, 0) = g(x1,..., xn-1)‒ f(x1,..., xn-1, y+1) = h(x1,..., xn-1, y, f(x1,..., xn-1, y))
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n 原始帰納的関数は多くの有用な関数を書けるn しかし，原始帰納的関数で書けない関数もある．
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アッカーマン関数Ack(m, n) ‒ 任意の自然数m, nに対して値が求まる（全域的）‒ 原始帰納的関数では表せないことが証明されている（入力m,nに対して，どのような原始帰納的関数よりも早く値が増大する．）
Ack(0, n) = n + 1Ack(m, 0) = Ack(m-1, 1)Ack(m, n) = Ack(m-1, Ack(m, n-1))
Wilhelm Ackermann (1928). “Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen”. Mathematische Annalen 99: 118?133. doi:10.1007/BF01459088
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n すべてのgが正則なら，帰納的関数と呼び，そうでないとき，部分帰納的関数という．‒ gが正則： 任意の入力xに対して，必ずあるyが存在してgの値が0になること．
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Alonzo Church (1903–1995)
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