Keuzecollege Inleiding Elementaire Deeltjes Technische ...filthaut/teach/hef/syllabus.pdf · Verder...

10 januari 2002

Keuzecollege Hoge EnergieFysicaKatholieke Universiteit Nijmegen

(4 sp)

Keuzecollege Inleiding Elementaire DeeltjesTechnische Universiteit Eindhoven

(2 sp)

Prof. dr S. J. de JongDr F.Filthaut

Drs M. Sanders

Bij het gebruik van deze syllabus:

In de kantlijn staan soms kleine blokjes, zoals . Deze geven aan voor de KUN en TUErespectievelijk op welk college de stof nominaal wordt behandeld. Dit is vooral bedoeld als ste-untje voor de docent, en als het niet altijd uit lijkt te komen is er geen reden voor paniek bij destudent (misschien wel bij de docent.)

Verder staan in de kantlijn soms balken zoals . Dit is stof die wel op het college op de KUNwordt behandeld en niet op de TUE.

Algemene bibliografie:

• D. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, 1987,J.Wiley & Sons Inc., ISBN 0-471-60386-4(hardcover).

• F. Halzen and A.D. Martin, Quarks & Leptons: An Introductpry Course in Modern Particle Physics, J. Wiley & Sons Inc., ISBN 0-471-88741-2 (hardcover).

• Particle Data Group, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1, http://www-pdg.lbl.gov/.

• SPIRES HEP database, http://www.slac.stanford.edu/spires/hep/.• De preprint server: http://arXiv.org/.

KUN 1TUE 1

Collegedictaat Hoge Energiefysica i

INHOUD ................................................................................................................ i

HOOFDSTUK 1 Inleiding ................................................................................................. 1

Het Standaard Model van de elementaire deeltjesfysica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1Relativistische kinematica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2Quantummechanica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5Natuurlijke eenheden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5Experimentele technieken en observabelen- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6

Verval van deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Botsingen van deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -10

HOOFDSTUK 2 Elektronen, positronen en fotonen: QED..............................................11

De ontdekking van het elektron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11De ontdekking van het positron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -12Het foton- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -13Interacties van geladen deeltjes- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -14

Quantumveldentheorie voor vrije scalaire deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Interacties in een scalaire quantumveldentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Grafische representatie: Feynmandiagrammen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Feynmanregels voor een theorie met geladen spin 0 deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18De gouden regel: de formule voor werkzame doorsnede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Eerste poging om elektronverstrooiing te berekenen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -21Veldentheorie voor deeltjes met spin 1/2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -22Quantumelectrodynamica (QED) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -27Møller verstrooiing: elektron-elektron verstrooiing in QED- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -29Het magnetisch moment van het elektron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -32Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -35

HOOFDSTUK 3 Leptonen: Muonen, tau-leptonen, neutrino’s en de zwakke interacties37

De “ontdekking” van het muon- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -37De neutrino hypothese en het behoud van leptongetal- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -37SU(2) symmetrie en de zwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -38Het muon verval- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -42Productie van Z bosonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -45Productie van W bosonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -46De ontdekking van het tau-lepton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -47Samenvatting van de lepton sector - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -48Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -49

INHOUD

ii Collegedictaat Hoge Energiefysica

HOOFDSTUK 4 Van hadronen tot quarks...................................................................... 51

Het proton, het neutron en isospin symmetrie: up en down quarks - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -51Clebsch-Gordan coëfficiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Het spectroscopische model van lichte quarks: het strange quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -54Het quantumgetal kleur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -56Diep inelastische elektron-proton verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -57De sterke wisselwerking als SU(3) ijktheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -63Scaling violation en energieafhankelijk van de sterke koppeling - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -66Confinement, asymptotische vrijheid, jets en hadronisatie- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -69Quarks en de elektrozwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -73De ontdekking van de J/ en charm quarks- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -74De bottom en top quarks - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -74De Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -76Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -78

HOOFDSTUK 5 Pariteit, ladingsconjugatie en tijdomkeer ............................................ 81

Pariteit: P - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -81Ladingsconjugatie: C - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -82Tijdomkeer: T - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -82Tabulering van deeltjeseigenschappen door de Particle Data Group - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -83Schending van ladingsconjugatie en pariteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -84Het neutrale Kaon systeem- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -84Het CPT theorema - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -89CP schending in andere systemen dan de kaonen- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -89Kosmologische implicatie van CP schending - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -90Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -91

HOOFDSTUK 6 Massa en het Standaard Model: Het Higgs mechanisme.................... 93

Lagrangianen- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -93Nog eens U(1)xSU(2) ijktheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -95Eigenschappen van het Higgs boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -98

Zoeken naar het Higgs boson bij LEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Zoeken naar het Higgs boson bij het Tevatron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Status van het Standaard Model en de Higgs massa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 102Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 104

HOOFDSTUK 7 Voorbij het Standaard Model: Supersymmetrie................................. 105

Renormaliseerbaarheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 105Het hiërarchieprobleem - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106Supersymmetrie- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107Het Minimale Supersymmetrische Standaard Model - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 108Het deeltjesspectrum van het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 108De Higgs sector van het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 109Experimentele informatie over het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 110Opgaven - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 113

Collegedictaat Hoge Energiefysica iii

HOOFDSTUK 8 Het huidige en toekomstige Experimentele Hoge Energiefysica programma..........................................................................................115

e+e- botsers- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115Hadron botsers- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 116Lepton-hadron botsers- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117Zware ionen botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118Versneller neutrino experimenten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118Niet-versneller experimenten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 119Organisatie van de Experimentele Hoge Energiefysica in Nederland- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120De Nijmeegse EHEF groep - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121De toekomst - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121

APPENDIX A Detectoren in de Experimentele Hoge Energiefysica ........................ 123

Interacties van deeltjes met materie- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 123Electro-magnetische interacties: dE/dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Electro-magnetische interacties: showers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Nucleaire interacties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Geladen spoor detectie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 127Electro-magnetische calorimeters - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 127Hadron calorimeters - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 128Deeltjes identificatie- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 128

Electronen en positronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Fotonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Muonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Neutrino’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

APPENDIX B Transformatiegroepen: minimale inleiding ....................................... 131

Groepsaxioma’s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 131Unitaire transformaties - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 131Rotaties in het twee dimensionale reële vlak: SO(2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 131Complexe fasetransformaties: U(1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 132Rotaties in twee complexe dimensies: SU(2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 132Rotaties in drie complexe dimensies: SU(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 133

APPENDIX C Formuleblad voor gebruik bij het tentamen ...................................... 135

APPENDIX D Uitwerkingen van opgaven ................................................................ 141

Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 141Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 143Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 147Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 149Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 152Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 153Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 155

iv Collegedictaat Hoge Energiefysica

APPENDIX E Oefententamen KUN .......................................................................... 157

APPENDIX F Oefententamen TUE........................................................................... 167

INDEX ........................................................................................................... 175

Collegedictaat Hoge Energiefysica 1

HOOFDSTUK 1 Inleiding

In deze inleiding wordt een overzicht van de Hoge Energiefysica gegeven. Het Standaard Model voorde elementaire deeltjesfysica wordt geïntroduceerd. De motivatie en de uitwerking van het Stand-aard Model zijn centrale thema’s in dit college. Er wordt een overzicht gegeven van de experimenteleen theoretische ingrediënten die nodig zijn om het Standaard Model te begrijpen. Enige universelebasisbegrippen worden herhaald en uitgelegd.

1.1 Het Standaard Model van de elementaire deeltjesfysica

In dit college wordt een inventarisatie gegeven van de actuele stand van zaken in de Hoge Ener-giefysica. Laten we om te beginnen de term “Hoge Energiefysica” uitleggen. Meestal wordt eenvakgebied aangegeven met hetgeen bestudeerd wordt. In de Hoge Energiefysica bestuderen we ech-ter niet hoge energie. Wat we bestuderen zijn elementaire deeltjes en hun onderlinge krachten. Determ Hoge Energiefysica slaat veeleer op de methodes van bestuderen van de elementaire deeltjes,namelijk met gebruikmaking van hoge energie. Dat elementaire deeltjes en hoge energie met elkaarte maken hebben is makkelijk te begrijpen uit het feit dat hoge energie correspondeert met een grootruimtelijk oplossend vermogen. In de quantummechanica correspondeert een hoge energie met eenkorte golflengte en die korte golflengte stelt ons in staat om kleine structuren te kunnen onderschei-den. Met elementaire deeltjes worden in het algemeen ook de kleinste deeltjes bedoeld, we kennengeen objecten met macroscopische afmetingen die niet verder kunnen worden ontleed.

ElektrischeLading Fermionen Bosonen

TABEL 1.1. De elementaire deeltjes volgens het Standaard Model

23⁄

1

3⁄–

ur

ug

ub

dr

dg

db cr

cg

cb

sr

sg

sb tr

tgtb

br

bg

bb

g1 g2 g3

g4 g5 g6

g7 g8

0

1–

νee

νµµ

νττ

γ W

-

W+

Z

H

KUN 1TUE 1

2 Collegedictaat Hoge Energiefysica

Laten we, dit gezegd hebbende, met de deur in huis vallen en de elementaire deeltjes zoals we die nukennen introduceren. In Tabel 1.1 staan de elementaire deeltjes van het Standaard Model. Links-boven staan drie groepjes van twee quarks: up(u), down(d), charm (c), strange (s), top (t) en bottom(b). Elk quark komt voor in drie kleuren, rood ( ), groen ( ) en blauw ( ). Deze kleur is een waarde vaneen quantumgetal en heeft niets met de visuele kleur te maken. We komen hier uitgebreid op terug.Linksonder staan drie groepjes van twee leptonen: elektron (e), elektron-neutrino (νe), muon (µ),muon-neutrino (νµ), tau (τ) en tau-neutrino (ντ). De electrische lading van de quarks en leptonenstaat ook in de tabel aangegeven. Het up, charm en top quark hebben lading +2/3, het down, strangeen bottom quark hebben lading -1/3, het elektron, muon en tau hebben lading -1 en de neutrino’s (denaam zegt het al) zijn neutraal.In het midden staan de ijkbosonen, dat zijn de deeltjes die de electromagnetische kracht en dezwakke en sterke kernkracht overbrengen. Zoals we later zullen zien zijn de electromagnetische enzwakke kernkracht verenigd in de electrozwakke kracht en horen de W en Z bosonen en het foton (γ)bij elkaar. De sterke kernkracht wordt overgebracht door gluonen (g). Hier zijn acht verschillendetypen van die ieder met een bepaalde combinatie van kleuren corresponderen, waarbij kleuren dewaarden van een quantumgetal zijn, zoals we ook al voor de quarks hebben gezien. Rechts onderinstaat het buitenbeentje van het Standaard Model: het Higgs boson. De W bosonen hebben een elek-trische lading van ±1, de overige elementaire bosonen, foton, Z en Higgs zijn neutraal.Al deze elementaire deeltjes hebben ook anti-deeltjes. Sommige deeltjes, zoals het foton en het Z-boson zijn hun eigen anti-deeltje. Een noodzakelijke voorwaarde voor een deeltje om zijn eigen anti-deeltje te zijn is dat het neutraal is. Niet alle neutrale deeltjes zijn echter noodzakelijkerwijs huneigen anti-deeltjes.Al deze deeltjes zijn in experimenten waargenomen en hun eigenschappen in meer of mindere matevastgesteld, behalve het Higgs boson dat nog niet is waargenomen. Het experimenteel bewijs voor deverschillende deeltjes zal in de volgende hoofdstukken worden besproken.Behalve het elektron, is de detectie van al deze deeltjes gebasseerd op botsingen en/of vervallen vaninstabiele deeltjes. De technieken en de theorie van botsingen (ook wel verstrooiing) en vervallenzullen in het vervolg worden besproken.De manier waarop de verschillende deeltjes zijn gegroepeerd is niet toevallig, maar reflecteert desymmetrieën van het Standaard Model. In feite kunnen we het Standaard Model identificeren metdie symmetrieën. Het Standaard Model als wiskundig model zal ook worden besproken.In het Standaard Model worden drie verschillende krachten beschreven: de electromagnetischekracht, de zwakke kernkracht en de sterke kernkracht. We zullen zien dat de eerste twee onderdelenzijn van een geünificeerde kracht, de electrozwakke kracht. De enige overgebleven kracht die wekennen is de zwaartekracht. Op het niveau van elementaire deeltjes interactie speelt deze kracht geenrol, omdat ondanks de kleine afstanden waar we mee werken de massa’s van de deeltjes zo klein zijndat de zwaartekracht tot op vele orden van grootte verwaarloosbaar is ten opzichte van de andere driekrachten.

1.2 Relativistische kinematica

In dit hele college werken we met relativistische kinematica. Eerste definiëren we de notatie zoalswe die in dit college zullen gebruiken.De plaats in de ruimte wordt aangegeven met de vier-vector:

, (1.1)

r g b

xµ ct x– y– z–, , ,=


met de plaats in de drie-dimensionale ruimte, en de tijd. De lichtsnelheid is gegeven

door . Hoewel conventioneel vier-vector wordt genoemd is het eigenlijk een tensor. Dit type

tensor met de index beneden wordt covariant genoemd. De index neemt waarden van 0 tot 3 aan,waarbij index 0 de tijd dimensie is en de indices 1 t/m 3 voor de plaatsdimensies staan. Als de indexboven staat in plaats van onder wordt de contravariante tensor bedoeld:

. (1.2)

Op dezelfde manier is de covariante vierimpuls gedefinieerd als:

, (1.3)

met de energie en is de drie-impuls.

De metriek wordt gegeven door de metrische tensor . De lengte van een viervector wordt

dan gegeven door:

. (1.4)

Hier is meteen de Einstein sommatie conventie ingevoerd: Over herhaalde indices die een keer onderen een keer boven voorkomen wordt gesommeerd. Ook is hier te zien hoe een covariante tensor

naar zijn contravariante alter-ego kan worden getransformeerd met:

(1.5)

Bij het inprodukt tussen twee vier-vectoren wordt als metriek de metrische tensor gebruikt.

In dit college werken we alleen in de context van de speciale relativiteitstheorie. In dat geval is demetrische tensor precies de diagonale tensor met +1 en -1 die we hebben opgeschreven. In de alge-mene relativiteitstheorie kan de metrische tensor een meer gecompliceerde vorm hebben en van deplaats afhangen. Als dat op een niet triviale manier is, is de ruimte gekromd. Wij zullen hier alleen ineen vlakke ruimte werken.Vier-vector en vier-impuls kunnen worden getransformeerd van een inertiaal systeem naar een andermet behulp van Lorentz-Poincaré transformaties. Deze transformatie reflecteert dat de lichtsnelheidde maximale snelheid is in elk inertiaal systeem.Als voor een waarnemer een plaats is gegeven door dan is voor een andere waarnemer met rela-

tieve snelheid de plaats in ruimte-tijd gegeven door:

, (1.6)

x x y, z,= t

c xµ

µ

xµ

ct

x

y

z

=

pµ E c⁄ p– x py– pz–, , ,=

E p px py pz, ,=

gµν s xµ

s2 x

µxµ x

µgµνx

νct

x

y

z

1 0 0 0

0 1– 0 0

0 0 1– 0

0 0 0 1–

•ct

x

y

z

c2t2

x2

– y2

– z2

–= = = =

xµ

xµ

xµ

gµν

xv=

xµxµ

gµv

xµ

v βc=

x′µ Λµvxν yµ+=


waarbij een ruimtelijk plaatsverschil is tussen de waarnemers. Als we deze translatie even

buiten beschouwing laten en het simplistische geval beschouwen waarin alleen , kunnen

we de Lorentztransformatie uitschrijven als:

. (1.7)

Hier is de Lorentzcontractie factor ingevoerd:

. (1.8)

De lengte van een vier-vector is een belangrijke invariant onder Lorentz transformaties. De lengtevan een vier-impuls is ook zo’n invariant. Voor deeltjes die vrij in de ruimte bewegen is de lengte vande vier-impuls evenredig met de massa:

. (1.9)

Deze vergelijking kan ook worden geschreven als:

. (1.10)In dit geval heet het de relativistische bewegingsvergelijking en deze zal een centrale rol spelen in ditcollege.Vaak is het interessant om naar de hoek te kijken van een deeltje met een bepaalde impuls ten op-zichte van een bepaalde as. Voor verschillende waarnemers die met verschillende snelheid over de asbewegen verandert de hoek met de as. Dit komt omdat de impulscomponent loodrecht op de as nietverandert tussen de verschillende waarnemers, maar de impulscomponent in de richting van de aswel. Kiezen we de as in de z-richting en schrijven we de impuls loodrecht op de as voor eenwaarnemer als dan geldt voor die waarnemer voor de hoek die het deeltje met de as maakt:

. (1.11)

Voor een andere waarnemer die in de richting van de z-as met een snelheid ten opzichte van deeerste waarnemer beweegt is de hoek dan:

. (1.12)

Met de oorsponkelijke snelheid voor het deeltje gedefinieerd als:

, (1.13)

kunnen we dit ook schrijven als:

(1.14)

yµ yµ

βx β 0≠=

ct′

x′

y′

z′

γ γβ– 0 0

γβ– γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct

x

y

z

γ ct βx–( )γ x βct–( )

y

z

= =

γ

γ 1

1 β2–

------------------=

mcE

2

c2

------ p2

–=

E2

p2c

2m

2c

4+=

pT

θtanpT

pz-----=

βc

θ'tanpT

p'z------

pT

γ pz βE–( )-------------------------= =

β pE---=

θ'tanpT p⁄

γ pz p⁄ β E p⁄( )–( )--------------------------------------------

θsin

γ θ β β⁄–cos( )------------------------------------= =


en we zien ook meteen dat als we de rol van waarnemer een en twee omdraaien we krijgen:

(1.15)

en dus alleen het teken van de relatieve snelheid in de formule verandert.Een vergelijking wordt covariant genoemd als na contractie van alle herhaalde indices volgens deEinstein sommatieconventie er aan beide kanten van de vergelijking dezelfde indices over zijn. In datgeval transformeren beiden kanten van de vergelijking identiek onder Lorentz transformaties.

1.3 Quantummechanica

Een quantummechanische toestand wordt beschreven door een bra of een ket . De amplitudevoor de waarden van een bepaalde observabele worden gegeven door de projectie van de quantum-toestand op die observabele. Bijvoorbeeld de amplitude voor de plaats wordt gegeven door:

. (1.16)De waarschijnlijkheidsverdeling over de ruimte voor de plaats wordt dan gegeven door:

(1.17)Een fundamenteel resultaat van de quantummechanica is de onzekerheidsrelatie van Heisenberg:

(1.18)

Hier duikt de gereduceerde constante van Planck op, .De niet relativistische quantummechanische bewegingsvergelijking is de Schrödinger vergelijking:

, (1.19)

waarin de Hamiltoniaan is en de potentiële energie. De Schrödinger vergelijking kunnen wemakkelijk verkrijgen door in de klassieke (niet-relativistische) bewegingsvergelijking,

, (1.20)

de substituties:

(1.21)

te doen.

Een unitaire transformatie ( ), die met de Hamiltoniaan commuteert

( ) geeft een constante van beweging, een behouden quantumgetal.

1.4 Natuur lij ke eenheden

Om het meeslepen van de juiste aantal en factoren drastisch te beperken, werken we in deHoge Energiefysica over het algemeen met natuurlijke eenheden. Deze eenheden zijn zo bepaald dat

en de numerieke waarden 1 hebben.Als gevolg worden massa, energie en impuls allemaal losjes in GeV uitgedrukt. De eenheid GeVstaat voor Giga-elektronvolt, de energie die correspondeert met de kinetische energie die een ele-ktron krijgt als het een potentiaalverschil van een miljard Volt doorloopt. De voorvoegsels gaan ver-

θtanθ'sin

γ θ'cos β β'ˆ⁄+( )--------------------------------------=

<p| |p>

ψ x( ) <x|p>=

ψ x( ) 2 ψ∗ x( )ψ x( ) <p|x><x|p>= =

∆x∆ph

2π------≥

h 2π( )⁄

ih2π------

t∂∂

|p> H|p>h

2π------

–2 ∇ 2

2m------- V+

|p>= =

H V

Ep

2

2m------- V+=

Eih2π------

t∂∂→ p

ih2π------–

x∂∂→ i h

2π------– ∇=

U†U 1=

U H,[ ] UH HU– 0= =

c h 2π( )⁄

c h 2π( )⁄


der net als bij het SI eenheden stelsel, dus keV voor duizend elektronvolt, MeV voor een miljoen

elektron volt, met als grootste gangbare eenheid op dit moment de TeV, Tera-elektronvolt, ele-ktronvolt

(hoewel er al een artikel is over het meten van de impuls voor PeV ( eV) deeltjes.)De meV (milli-elektronvolt) eenheden zijn van belang voor sommige atomaire processen, zoalsenergieën van los gebonden elektronen.Een belangrijke omrekening van natuurlijke eenheden naar SI eenheden blijkt de oppervlakte maat te

zijn. Die wordt in natuurlijke eenheden in uitgedrukt. De conversiefactor om dit naar SI een-heden om te rekenen kunnen we afleiden uit het feit dat (met dimensies in []):

. (1.22)

In SI eenheden is dat:

(1.23)

waarbij een femtometer (fm) is.De oppervlakte eenheden waar wij mee te maken zullen krijgen worden uitgedrukt in barn (b), waar-

bij één barn is. Dus

. (1.24)

1.5 Exper imentele technieken en observabelen

Behalve experimenten die kunnen worden uitgevoerd met elektronen komt al onze kennis van ele-mentaire deeltjes ofwel van het (radioactieve) verval van instabiele deeltjes, ofwel van botsingspro-even. Hier geven we een korte inleiding, verderop zal aan deze twee experimentele technieken en aande theoretische definitie en berekening van vervalsbreedte en werkzame doorsnede ruime aandachtworden besteed.

1.5.1 Verval van deeltjes

In het algemeen kunnen we vervallen beschrijven door uit te gaan van een deeltje in rust. Dit deeltjehoeft niet per sé elementair te zijn, maar kan dat wel zijn. Sommige elementaire deeltjes vervallenook vanzelf.Na een verval kunnen er veel deeltjes in de eindtoestand zijn, maar veel interessante vervallen heb-ben maar twee of drie deeltjes in de eindtoestand.De waarschijnlijkheid waarmee een verval gebeurt wordt gegeven door de vervalsbreedte, . Dezebreedte wordt in natuurlijke eenheden in GeV uitgedrukt. Een andere manier om naar de vervals-breedte te kijken is niet om naar de vervalskansen van één deeltje te kijken, maar in plaats daarvannaar de fracties die vervallen in een hele grote groep. Als we op een tijdstip een groot aantal

dezelfde deeltjes hebben die kunnen vervallen, dan vervallen er in een kleine tijd

en verandert het oorspronkelijke aantal met . Deze differentiaalvergelijking is makke-lijk op te lossen en geeft:

(1.25)

1012

1015

GeV2–

hc2π------ 1 [(energie* tijd)* (afstand/tijd)=energie*afstand]=

hc2π------ 6.5821

22–×10 [MeV s] 2.99798×10× [m/s]

197 1015–× [MeV m] 197 [MeV fm],

= =

=

1015–

m

1028–

m2

1 GeV2–

0.197 fm( )20.0388 fm

20.388 mb= = =

Γ

t

N t( ) N t( )Γdt dt

dN NΓdt–=

N t( ) N 0( )e Γ t–=


De vervalsbreedte en de levensduur van een deeltje zijn dan duidelijk gerelateerd door:

, (1.26)

waarbij de levensduur, , is gedefinieerd als de tijd is waarna de kans is dat het deeltje nog niet

is vervallen. De relatie tussen de levensduur, , en de halfwaardetijd, , is gegeven door:

(1.27)

Als een deeltje kan vervallen in meerdere verschillende eindtoestanden kennen we aan al die eind-toestanden een partiële breedte toe. De som van de partiële breedtes is de totale vervalsbreedte. Dezeregel werkt alleen als de eindtoestanden werkelijk verschillend zijn, omdat er dan geen quantum-mechanische interferentie tussen de verschillende eindtoestanden optreedt.

Als voorbeeld geven we het baryon dat in de eindtoestanden proton plus pion, , en neutron

plus pion, , uiteen kan vallen. Hierbij geldt:

. (1.28)

Interessante informatie kan vaak nog worden verkregen door te kijken naar de impulsverdeling vande vervalsproducten. De waarschijnlijkheidsdichtheid van die verdelingen wordt beschreven door dedifferentiële breedte. Als voorbeeld kunnen we de differentiële breedte van een verval van eendeeltje in twee andere deeltjes als functie van de energie van elk van de uitgaande deeltjes besch-rijven met:

. (1.29)

Als we de differentiële breedte integreren over alle mogelijkheden voor de energie voor de uitgaandedeeltjes krijgen we de totale vervalsbreedte weer terug:

. (1.30)

(Let op het losse gebruik van . In dit geval zou er beter kunnen staan . Het weglaten van demacht is een wijdverbreide slechte gewoonte, waar wij ons in dit college ook aan zullen con-formeren.)

1.5.2 Botsingen van deeltjes

In dit college zullen we alleen botsingen tussen twee deeltjes beschouwen. Deze deeltjes hoevenweer niet elementair te zijn, maar soms zijn één of beide botsende deeltjes dat wel.Ook hier kunnen weer veel deeltjes in de eindtoestand zijn en bij de interessante botsingsproeven isdat eerder regel dan uitzondering. De grootheid die botsingen beschrijft heet werkzame doorsnede enkomt vrij aardig overeen met wat de meeste mensen er intuïtief bij denken.Het makkelijkst kunnen we het begrip werkzame doorsnede definiëren met een experiment waarintwee harde bollen elastisch botsen, dat wil zeggen de twee bollen die botsen gaan na de botsing ineen andere baan weer verder, maar zonder schade aan de bollen zelf.Een bol zetten we in rust in ons waarnemingssysteem. Deze bol heeft een straal . De andere bol iseen puntdeeltje en heeft geen ruimtelijke afmeting. Het puntdeeltje wordt in de richting van de bol inrust geschoten met een snelheid die niet nul is, maar verder irrelevant. De totale werkzame door-snede van deze reactie is precies gelijk aan het oppervlak van de bol geprojecteerd op het vlak lood-recht op de richting van de baan van het inkomende deeltje:

τ 1Γ---=

τ 1 e⁄τ t½

t½ τ ln2=

Λ p+π-

nπ0

ΓΛ ΓΛ p+π-→

ΓΛ nπ0→

+=

dΓdE1dE2-------------------

Γ dΓdE1dE2-------------------dE1dE2∫∫=

dΓ d2Γ

R


. (1.31)

Als we naar de kans kijken dat van een grote hoeveelheid inkomende puntdeeltjes er een aantal aande harde bol wordt verstrooid hebben we nog een gegeven nodig. De kans om verstrooid te wordenhangt natuurlijk ook af van het feit hoe dicht een puntdeeltje bij de bol komt. Als voorbeeld gaan weuit van een groot aantal inkomende deeltjes die alle in dezelfde richting gaan en die homogeen zijnverdeeld over een oppervlakte . De fractie van de inkomende puntdeeltjes die de bol raken wordtdan gegeven door:

. (1.32)

Deze vergelijking kan nog algemener worden gemaakt door het geval te beschouwen dat er

harde bollen zijn waaraan wordt verstrooid en die in een gebied liggen dat door de oppervlakte van de inkomende deeltjesflux wordt bestreken.

Vergelijking (1.32) wordt dan:

, (1.33)

waar we een nieuwe variabele invoeren, de luminositeit, .De luminositeit is een zeer belangrijke parameter voor experimenten en de definitie is in het alge-meen het aantal deeltjes per tijdseenheid in de inkomende bundel maal het aantal deeltjes in het doel(kan ook een inkomende bundel uit een andere richting zijn, dan is het aantal deeltjes ook per tijd-seenheid) gedeeld door het oppervlak dat inkomende deeltjes en doel overlappend bestrijken op hetmoment dat ze het dichtst bij elkaar zijn.In vergelijking (1.33) is de luminositeit over de tijd geïntegreerd en is het totaal aantal inko-

mende deeltjes (bijvoorbeeld gedurende een experiment.)

FIGUUR 1.1: Verstrooiing van een puntdeeltje aan een harde bol.

σtot πR2

=

A

Nverstrooid

Nin

A-------σtot=

Ndoel

A

b

2R

inkomend deeltje

verstrooid deeltje

θα

α

Nverstrooid

NinNdoel

A--------------------σtot L

∞–

∞

∫ d t σtot= =

L

Nin


Uit de tekening in Figuur 1.1 is duidelijk dat niet alle inkomende puntdeeltjes die de harde bol rakenop dezelfde manier zullen worden verstrooid. In feite is de manier waarop deeltjes worden verstrooideen belangrijke manier om te weten te komen hoe het doel er uit ziet. In dit geval is het een bol enworden deeltjes verschillend verstrooid als functie van de botsingsparameter , de kortste afstandtussen het middelpunt van de bol in rust met de baan die het inkomende projectiel zou volgen als dieniet aan de bol in rust zou verstrooien (zie Figuur 1.1). Als het doel een vlakke schijf zou zijn zoudenalle deeltjes die de schijf raakten worden teruggekaatst in de richting waar ze vandaan kwamen en ishet verdeling van de de verstrooide deeltjes over de ruimte nogal verschillend van het geval van eenharde bol. Laten we het geval van de harde bol uitwerken als instructief voorbeeld.We definiëren de differentiële werkzame doorsnede als functie van de verstrooiingshoek als het

oppervlak dat correspondeert met inkomende deeltjes die verstrooid worden met een hoek tussen

en . Of het verstrooide deeltje een verstrooiingshoek in dit interval krijgt hangt in dit gevalalleen af van de botsingsparameter en we nemen het corresponderende interval in botingsparametertussen en . Uit Figuur 1.1 zien we:

, (1.34)

waaruit we de relatie tussen en kunnen afleiden:

. (1.35)

De differentiële werkzame doorsnede waar we naar op zoek zijn is als functie van (we integreren

over een cirkel, dit geeft de factor ):

. (1.36)

Als functie van wordt de differentiële werkzame doorsnede dan:

. (1.37)

In plaats van alleen de verstrooiingshoek te beschouwen hadden we ook de differentiële werk-

zame doorsnede als functie van de ruimtehoek kunnen nemen. Als de hoek in het vlak lood-

recht op de inkomende bundel is dan geldt . Het probleem van de verstrooiing

aan de harde bol is symmetrisch in en we kunnen dan ook over integreren zodat we een factor

krijgen.

De differentiële werkzame doorsnede als functie van wordt dan:

. (1.38)

Dus bij een homogene inkomende flux puntdeeltjes die elastisch verstrooid worden aan een hardebol zijn er in elk stukje van de ruimtehoek evenveel verstrooide deeltjes.

b

θdσ

θ θ dθ+

b b db+

b R αsin= en 2α θ+ π=

b θ

b Rθ2---

cos= of θ 2bR---

acos=

b

2π

dσ 2π bdb=

θ

dσdθ------

dσdb------ db

dθ------ 2πb

R2---

θ2---

sin= =

θΩ φ

dΩ θdθdφsin=

φ φ2π

Ω

dσdΩ-------

dσ2π θsin dθ------------------------

2πbR θ 2⁄( )sin2 2π θsin⋅

-------------------------------------R

2 θ 2⁄( ) θ 2⁄( )sincos2 θsin

-----------------------------------------------------R

2

4------= = = =

Ω


1.6 Opgaven

1.1 Een interessante proef is het laten botsen van een elektron op een proton. Een manier om dat te doen is een vat met vloeibaar waterstof te nemen (waterstof bestaat uit een proton waaromheen een elektron cirkelt) en daar een elektronenbundel op af te schieten. Neem aan dat het proton in dat geval in rust is en het elektron een impuls heeft. Wat is de invariante massa van het ele-ktron proton systeem ?

1.2 Bovenstaande proef wordt bij de HERA versneller gedaan door zowel protonen als elektronen te versnellen. De proton en elektronbundel worden dan in tegengestelde richting op elkaar gebotst. In dit geval heeft het proton een impuls van 820 GeV en het elektron een impuls van 30 GeV. Wat is in dit geval de invariante massa van het elektron-proton systeem ? Hoe groot zou de impuls van het elektron moeten zijn om dezelfde invariante massa te halen als het pro-ton in rust is ? (De proton massa, 0.938 GeV, en de elektron massa, 0.51 MeV, mogen worden verwaarloosd ten opzichte van de grote impulsen in het geval van HERA.)

1.3 Als een elektron een impuls heeft van 1 GeV, hoeveel energie heeft het dan in Joule ? (De lad-

ing van een elektron is .) 1.4 In natuurlijke eenheden is het antwoord van een berekening voor een werkzame doorsnede in

GeV-2. De praktische uitdrukking van een werkzame doorsnede voor experimentele fysici is in

de eenheid barn (b), waarbij 1 b = 10-24 cm2. Hoeveel barn is 1 GeV-2 ? (Tip: gebruik het feit

dat in natuurlijke eenheden en verder dat en

in SI eenheden.)

1.5 Een baryon vervalt in een proton, p, en een pion, π. Het heeft een massa van 1116 MeV, het proton 938 MeV, en het pion 140 MeV. Wat is de snelheid van het proton na het verval in het rustframe van het ?

1.6 In de LEP versneller en opslagring worden elektronen op positronen gebotst. De omtrek van deze versneller stellen we op 27 km. De stroom die op een punt in de versneller wordt gemeten ten gevolge van de steeds langskomende bundel deeltjes is routinematig voor zowel elektronen als positronen 2 mA. De elektronen en positronen hebben de lichtsnelheid. Op de punten waar

de bundels botsen hebben ze een afmeting van in de richting loodrecht op de bundels. Zowel de elektron als positron bundel zijn verdeeld in vier “bunches” (groepjes). We nemen aan dat de bundels perfect op elkaar zijn gericht. Wat is de luminositeit van deze

machine in eenheden van cm-2s-1 en hoeveel is dat in pb-1s-1, waarbij pb staat voor picobarn ? 1.7 Als we in plaats van verstrooiing aan een harde bol, verstrooiing aan een puntlading beschou-

wen heet dat Rutherford verstrooiing. Een inkomend deeltje van lading verstrooit aan een

deeltje in rust met lading . De relatie tussen de botsingsparameter en de verstrooiingshoek is

gegeven door , met de kinetische energie van het inkomende deeltje.

Wat is de formule voor de differentiële werkzame doorsnede als functie van de

verstrooiingshoek en wat is de totale werkzame doorsnede ?

p

e 1.6022 1019–

C×=

hc2π------

21= h 2π( )⁄ 1.055 10

34–× Js=

c 2.998 108× m/s=

Λ Λ

Λ

0.005 0.15 × mm2

q1

q2

bq1q2

2E----------- θ 2⁄( )cot= E

dσ( ) dΩ( )⁄θ


HOOFDSTUK 2 Elektronen, positronen en fotonen: QED

Eerst wordt het bestaan en wat eigenschappen van elektronen, positronen en fotonen aannemelijkgemaakt. Met deze drie deeltjes kan een complete quantumveldentheorie worden opgezet: QuantumElectro-Dynamica, ook wel QED genoemd. Als introductie op QED wordt een quantumveldentheorievan deeltjes zonder spin besproken. Hiertoe wordt de Klein-Gordon vergelijking ingevoerd. De ver-strooiing van elektronen aan fotonen wordt met deze theorie berekend en met een experiment verge-leken. De discrepantie wordt aan spin toegeschreven en een quantumveldentheorie voor fermionenwordt ingevoerd met de Dirac vergelijking.

2.1 De ontdekking van het elektron

Het elektron als vrij deeltje is voor het eerst overtuigend aangetoond door J. J. Thomson in 1897. Hetexperiment dat Thomson hiervoor deed is geschetst in Figuur 2.1. Uit een gloeidraad worden ele-ktronen verdampt, die worden versneld door een potentiaalverschil tussen de gloeidraad en een elec-trode met een gat. De elektronen vliegen door het gat naar het einde van de vacuumbuis waarin ditalles is gemonteerd en laten het glas van die buis oplichten. De afbeelding van de straal kan wordenverschoven door een magneetveld aan te leggen rond de straal of een electrisch veld. We nemen nuaan dat wat er uit de gloeidraad komt en afgebeeld wordt op het glas deeltjes zijn. Door het mag-neetveld te compenseren met een electrisch veld, zodat de afbuiging nul is kan de snelheid van dedeeltjes worden bepaald, . Door de afbuiging in het electrostatisch veld kan de verhouding

tussen de lading en de massa van de deeltjes worden bepaald, , waarbij de

verplaatsing is in het electrisch veld en het electrisch veld zich over een lengte uitstrekt.

FIGUUR 2.1. Schematische voorstelling van het experiment van Thomson. In de rechter bovenhoek eentekening van het apparaat dat Thomson gebruikte.

v E B⁄=

q m⁄ 2yv2( ) Ed

2( )⁄= y

d

+

-

+-

gloei-draad

versnellingspotentiaalelectrostatischeafbuiging

magnetischeafbuiging

afbeeldingop glas

TUE 2


2.2 De ontdekking van het positron

Het positron is het anti-deeltje van het elektron. Wat dat in theoretische of mathematische termen wilzeggen wordt later besproken. In dit geval komt het erop neer dat het positron alle eigenschappenhetzelfde heeft als het elektron, behalve de electrische lading. Het positron is ontdekt door Andersonin 1932 bij de bestudering van kosmische stralen. Hiertoe had Anderson een nevelkamer met eenplaat lood erin. In de nevelkamer wordt gas zo geconditioneerd dat als er een geladen deeltje door-gaat er kleine vloeistofbelletjes worden gemaakt op de plaats waar het deeltje langs komt. Dit kanalleen maar voor een klein tijdje door adiabatische compressie en op hetzelfde tijdstip dat dit gebeurtwordt een foto genomen. In Figuur 2.2 is de beroemde foto van Anderson te zien. Loodrecht op hetvlak van de foto staat een magnetisch veld. Het deeltje dat de loodplaat passeert verliest daar energieen dus snelheid. De kromtestraal van het spoor onder de plaat is groter dan boven de plaat, waaruitwordt geconcludeerd dat het deeltje omhoog beweegt. Uit de richting van de kromming is dan af teleiden dat het om een positief geladen deeltje gaat. Uit bestudering van de afmeting en hoeveelheidvan de druppeltjes kon Anderson zien dat de massa van het deeltje ongeveer die van het elektronmoest zijn.

FIGUUR 2.2. Nevelkamer foto van Anderson waarop het positron is te zien als spoor van onder naarboven (versprongen ingetekend met de zwarte krommen). Rechtsboven Anderson met de nevelkamer.Het spoor en een stukje van de loden plaat zijn aan de rechterkant overgetekend.


2.3 Het foton

In eerste instantie was het foton een theoretische constructie van Planck. Planck kon het lichtspec-trum van een zwarte straler van een bepaalde temperatuur goed verklaren, als hij aannam dat de ener-gie die met het licht wordt uitgestraald gequantiseerd was. De pakketjes moesten dan komen met eenenergie die evenredig is met de frequentie van het licht, , waarbij de evenredigheidsfactor de

constante van Planck is, , die te vinden is uit de fit van Plancks formule vooreen zwarte straler.Door inderdaad aan te nemen dat het electromagnetisch veld is gequantiseerd volgens de formulevan Planck kon Einstein het fotoëlectrisch effect verklaren. Als licht op een metaal wordt geschenenkunnen daaruit elektronen ontsnappen. De elektronen die uit het metaal komen hebben een energie-verdeling. De maximum energie van de elektronen blijkt afhankelijk te zijn van golflengte van hetlicht en onafhankelijk van de intensiteit van het licht. Dit laat zich makkelijk verklaren uit het beeld(van Einstein) dat licht een stroom fotonen is en dat de golflengte (of frequentie) van het licht wordtbepaald door de energie van de fotonen en dat de intensiteit wordt bepaald door het aantal fotonen.Het beslissende bewijs kwam van Compton die liet zien dat licht dat aan deeltjes in rust wordt ver-strooid in golflengte wordt verschoven volgens , waarin de hoek van ver-

strooi is en de Compton golflengte, die dus alleen van de massa van het deeltje

afhangt. Deze formule is af te leiden als we het foton met energie elastisch laten botsen

met een deeltje in rust van massa . Uit behoud van energie en impuls volgt:

. (2.1)

Voor de drie-impuls is de gelijkheid manifest. Voor de energie geldt de gelijkheid alleen als:

. (2.2)

Als we dit vertalen in golflengtes ( in natuurlijke eenheden) wordt dat precies:

, (2.3)

waarbij de factor een artefact is van de natuurlijke eenheden.

E hν=

h 6.626 1034–× Js=

λ' λ λc 1 θcos–( )+= θ

λc h mc( )⁄=

E hc λ⁄=

m

Eγ

0

0

Eγ

m

0

0

0

+

Eγ'

0

Eγ' θsin

Eγ' θcos

m2

Eγ2

Eγ'2

2EγEγ' θcos–+ +

0

Eγ' θsin–

Eγ E– γ' θcos

+=

Eγ m Eγ'–+( )2m

2Eγ

2Eγ'

22EγEγ' θ( ) Eγ'

mEγEγ 1 θcos–( ) m+------------------------------------------=⇒cos–+ +=

E 2π λ⁄=

λ' λ 2π 1 θcos–( )m

--------------------------------+ λ λc 1 θcos–( )+= = λc2πm------=

2π


2.4 Interacties van geladen deeltjes

Nu we elektronen, positronen en fotonen hebben kunnen we een theorie opstellen die de interactiestussen deze deeltjes beschrijft op een manier die zowel de relativistische kinematica alsook de quan-tummechanica recht doet. Deze theorie heet Quantum Electro-Dynamica, kortweg QED.QED is een quantumveldentheorie en voordat we QED uitleggen zullen we eerst een iets eenvoudi-ger quantumveldentheorie uitleggen.

2.4.1 Quantumveldentheor ie voor vr ije scalaire deeltjes

De Schrödinger vergelijking beschrijft een quantummechanisch systeem met niet-relativistische kin-ematica. We kunnen de Schrödingervergelijking afleiden door in de klassieke relatie tussen energieen impuls

(2.4)

de volgende substituties te doen:

, (2.5)

en die op een golffunctie te laten werken, zodat we krijgen:

. (2.6)

Als we nu relativistische kinematica willen inbouwen is het natuurlijk te starten met de vergelijking

(2.7)en daarin de substituties van formule (2.5) te doen. We krijgen dan:

, (2.8)

waarbij we en passant de d’Alembert operator, , met hebben ingevoerd.

Vergelijking (2.8) heet de Klein-Gordon vergelijking. Dit is de bewegingsvergelijking voor deeltjesmet spin 0, ook wel scalaire deeltjes geheten. De oplossingen van deze vergelijking zijn de vlakkegolven:

, (2.9)

waarbij de voldoet aan de eigenwaarde vergelijking:

. (2.10)Wat nu op het eerste gezicht storend is, maar op het tweede gezicht juist een doorbraak blijkt, is deoplossing met negatieve energie. Als de positieve oplossing correspondeert met een deeltje, dan cor-respondeert de negatieve energieoplossing met het anti-deeltje. Dit is te zien door een deeltje tebeschouwen dat aan de positieve energieoplossing voldoet. Als we nu voor dat deeltje de richting

van de tijd en plaats omdraaien, , en tegelijkertijd de impuls omdraaien, , dan ismakkelijk te zien dat in deze nieuwe situatie we nog steeds een oplossing hebben van de Klein-Gor-don vergelijking.Als een deeltje lading heeft kunnen we de electrische stroomdichtheid definiëren als:

Ep

2

2m-------=

E it∂

∂→ p i ∇–→

it∂

∂ φ ∇ 2–2m---------φ=

E2

p2

m2

+=

t∂∂

2

x∂∂

2

–y∂

∂ 2

–z∂

∂ 2

– m2

+ φ m

2+( )φ 0= =

= µ∂ µ∂ µ∂

xµ∂

∂=

φ x( ) Neipx–

=

p

E p2

m2

+±=

x x–→ p p–→

KUN 2


. (2.11)

Door de Klein-Gordon vergelijking met van links te vermenigvuldigen en de complex geconju-

geerde Klein-Gordon vergelijking met van rechts, en vervolgens de twee vergelijkingen op te

tellen en het geheel met de electrische lading te vermenigvuldigen krijgen we een continuïteits-vergelijking (“wet van Gauss”) die luidt:

. (2.12)

Dus deze stroom is behouden. Stel dat voor een deeltje met lading , energie en impuls de

stroomdichtheid gelijk is aan (de normalisatiefactor is van vergelijking (2.9)):

, (2.13)

dan is de stroomdichtheid voor een anti-deeltje met lading , energie en impuls :

, (2.14)

hetgeen de oplossing is voor een deeltje met lading , energie en impuls .

Dit betekent dat een deeltje dat met impuls door de ruimte beweegt fysisch hetzelfde is als een

anti-deeltje dat met impuls door de ruimte beweegt in tegengestelde richting, maar ook terug-gaand in de tijd.Een belangrijk en onontkoombaar gevolg van het feit dat we een relativistisch kinematische bewe-gingsvergelijking als grondslag voor de quantummechanische bewegingsvergelijking hebbengenomen is dat elk deeltje ook een anti-deeltje heeft gekregen.

2.4.2 Interacties in een scalaire quantumveldentheor ie

Als we een golffunctie met een complexe fase vermenigvuldigen verandert er niets aan de fysica:

. (2.15)

Deze transformatie is de transformatie. Deze transformatie werkt alleen maar als invariant

voor de fysica als de fase niet van de plaats afhangt. Maar een dergelijke transformatie van de heleruimte op dezelfde manier is niet zo zinvol, we zouden er nooit wat van merken, omdat alle fysica erinvariant onder is. Het uitvoeren van een dergelijke transformatie op de hele ruimte tart het begripvan causaliteit en een maximale snelheid voor informatie overdracht. Laten we dus eens kijken water gebeurt als deze transformatie wel van de plaats afhangt .We vullen de lokaal getransformeerde golffunctie in in de Klein-Gordon vergelijking:

(2.16)

De globale factor is natuurlijk niet terzake doende als we die gelijk aan nul stellen. Uit het stuk

tussen de accolades is de eerste term precies de Klein-Gordon vergelijking voor . Maar we blijvenmet een hoop termen zitten die we niet een twee drie kunnen thuisbrengen en de vergelijking is dusduidelijk niet invariant. Dit is natuurlijk het gevolg van het nemen van de afgeleiden.We kunnen dit ongewenste effect laten verdwijnen als we de covariante afgeleide invoeren:

(2.17)

jµ i e φ∗ µφ∂ µφ∗∂( )φ–( )=

φ∗φ

e

µjµ∂ 0=

e E p

N

jµ e( ) 2e N2

E p–,( )=

e– E p

jµ e–( ) 2– e N2

E p–,( ) 2e N2

E– p,( )==

e E– p–

p

p–

φ φ'→ eiϕφ=

U 1( )ϕ

ϕ ϕ x( )=

m2

+( )φ' eiϕ

m2

+( )φ i µϕ∂( ) µφ∂( )

µϕ∂( ) µφ∂( )+[ ]i ϕ

µϕ∂( ) µϕ∂( )–[ ]φ+ +

=

eiϕ

φ

µ∂ Dµ→ µ∂ ieAµ–=


en eisen dat het nieuwe veld onder de transformatie (2.15) meetransformeert als1:

(2.18)

De Klein-Gordon vergelijking wordt dan:

, (2.19)

waarin het onderstreepte deel nieuw is. De evenredigheidsconstante suggereert terecht een lading.

Het veld kan worden geïnterpreteerd als het foton veld. Nu we dat fotonveld hebben ingevoerdmoeten we volledigheidshalve ook nog een bewegingsvergelijking toevoegen voor het vrije foton-veld:

, (2.20)

met volgens de normale definitie van de electromagnetische tensor. Dit zijn

de (vier) homogene Maxwell vergelijkingen. In aanwezigheid van het electrisch geladen veld moeten de homogene Maxwell vergelijkingen worden vervangen door:

, (2.21)

met zoals gedefinieerd in (2.11). Later zullen we zien hoe dit kan worden afgeleid (in hoofdstuk

6).

Het deel van de bewegingsvergelijkingen waarin de velden en ongemengd voorkomen besch-rijft de vrije deeltjes. De termen waarin de velden gemengd zijn beschrijven de interacties tussen dedeeltjes.

De term in vergelijking (2.19) zullen we verwaarlozen (dat kan omdat de waarde van de elec-

trische lading in natuurlijke eenheden typisch minder dan 0.1 is.) Dan houden we voor het interac-tiestuk over:

. (2.22)

De overgangsamplitude tussen een begintoestand en een eindtoestand wordt dan gegeven door

de projectie van na verstrooiing op :

, (2.23)

Door partiële integratie is dat uit te werken ( , de bijdrage

van de potentiaal op oneindig is nul verondersteld) tot:

. (2.24)

Als we de stroomdichtheid volgens vergelijking (2.11), , gebruiken

wordt dit eenvoudig:

1. Later in hoofstuk 3 zullen we zien dat deze transformatie-eigenschap eigenlijk is af te leiden en deze simpele gedaante aanneemt voor Abelse (commutatieve) symmetriegroepen, zoals de U(1) fase-transformatie die we hier beschouwen.

Aµ

eAµ eA'µ→ eAµ µϕ∂+=

DµDµφ m

2φ+ φ m2φ i e A

µ µφ

µ∂ φAµ( )+∂( )– e2A

2φ–+ 0= =

e

Aµ

νFµν∂ 0=

Fµν µAν∂ νAµ∂–=

φ

νFµν∂ jµ=

jµ

φ Aµ

e2A

2

e

Vφ i e Aµ

µφ µ φAµ( )∂+∂( )–=

φi φf

φi V φf

Tfi i φf∗ i e A

µ µφi

µ∂ Aµφi( )+∂( )d4x∫=

φf∗

µAµφi( )d4

x∂∫ µφf

∗∂( )∫– Aµφid4x=

Tfi i ie φf∗

µ∂ φi( ) µ∂ φf

∗( )φi–( )Aµd4x∫=

j fiµ

i e φf∗

µφi∂ µφf

∗∂( )φi–( )=


. (2.25)

Deze formule geeft de overgangsamplitude voor een geladen spinloos deeltje in een electromag-netisch veld.Laten we nu twee geladen deeltjes beschouwen. We kunnen dan een deeltje zien als veroorzaker vanhet electromagnetisch veld waarin het andere deeltje een interactie ondervindt.Voor het electromagnetisch veld dat het deeltje (1) opwekt geldt volgens de Maxwell vergelijkingen:

. (2.26)

Als deeltje (1) voor de interactie een impuls heeft en na de interactie impuls , dan is na te

gaan dat de oplossing voor is gegeven door:

. (2.27)

We definiëren nu de vierimpulsoverdracht als , waardoor de overgangsamplitude

wordt:

. (2.28)

Het is duidelijk dat de situatie symmetrisch is onder het verwisselen van de deeltjes (1) en (2), het-geen is gereflecteerd in formule (2.28).

2.4.3 Grafische representatie: Feynmandiagrammen

Het bewegen van vrije deeltjes in de ruimte en hun interacties zijn heel mooi voor te stellen met Fey-nman diagrammen. In een Feynmandiagram wordt een deeltje dat van een punt A naar een punt Breist gerepresenteerd door een lijn die begint in A en eindigt in B. Dit is getekend in Figuur 2.3(a). Indit figuur is ook schematisch de tijd en een ruimtedimensie aangegeven. Zoals we al zagen kunnenwe een anti-deeltje voorstellen als een deeltje dat zich met tegengestelde impuls en in tegengestelderichting door de ruimte beweegt (en met tegengestelde lading als het deeltje geladen is.) Dit is in eenFeynmandiagram voorgesteld in Figuur 2.3(b). We kunnen nu ook interacties voorstellen met eenFeynmandiagram en dat is gedaan in Figuur 2.3(c). We kunnen dit beeld nog een beetje verder abst-raheren en de pijlen voor tijd en ruimterichting weglaten.Als we naar de interactie in Figuur 2.3(c) kijken en naar de formule van de overgangsamplitude(2.28) kunnen we een zekere correspondentie vast stellen. Dit is geïllustreerd in Figuur 2.4, waar hetFeynman diagram is getekend voor verstrooiing van twee geladen scalaire deeltjes in elkaars electro-magnetisch veld. Onder het Feynman diagram staan de corresponderende factoren in de overgang-samplitude. Deze overgangsamplitude is verder uitgewerkt voor het geval de verstrooide deeltjesvoor en na de interactie vrij zijn.

Wat we hier hebben uitgewerkt is volgens een quasi-klassiek recept. Als de quantumveldentheoriemeer precies wordt toegepast blijkt de overgangsamplitude in een machtreeks te zijn ontwikkelenwaarvan de hier beschreven term de eerste en meestal ook de dominante bijdrage is. Hoe dominanthangt af van de koppelingsconstante, in dit geval gaan we uit van deeltjes met een lading van het ele-ktron waarbij in natuurlijke eenheden geldt:

Tfi i j fiµAµd

4x∫=

Aµ

j 1( )µ

=

p 1( )i

p 1( )f

Aµ

Aµ j 1( )

µ–

p 1( )f

p 1( )i

–( )2

-------------------------------=

q p 1( )f

p 1( )i

–≡

Tfi i j 1( )µ

gµν–

q2

----------- j 2( )ν

d4x∫=

e


. (2.29)

Dit definieert meteen de electromagnetische fijnstructuurcontante . We zien dat aan de voorwaardevan een voldoende kleine koppelingsconstante is voldaan en de overgangsamplitude die we hebbenafgeleid geeft een tamelijk goede quantitatieve voorspelling van het beschreven verstrooiingsproces.

2.4.4 Feynmanregels voor een theor ie met geladen spin 0 deeltjes

Allereerst voeren we nog een kleine vereenvoudiging in. We definiëren het matrixelement als:

FIGUUR 2.3. Feynman diagrammen voor (a) een vrij spin 0 deeltje; (b) een vrij spin 0 anti-deeltje;(c) een interactie tussen twee geladen spin 0 deeltjes

FIGUUR 2.4. Een Feynmandiagram voor de verstrooiing van twee spin 0 deeltjes in elkaarselectromagnetisch veld. Eronder zijn de formules voor de overgangsamplitude gegeven. Decorrespondentie van de delen van het Feynmandiagram met delen van de formule zijn aangegevenmet de streep-stippellijn.

A

Btijd

ruimte

(a)

A

B

(b) (c)

Tfi i j 1( )µ

gµν–

q2

----------- j 2( ) ν

d4x∫–=

Tfi

i 2π( )4δ p 1( )f

p 2( )f

p 1( )i

p 2( )i

––+( )N 1( )i

N 1( )f

N 2( )i

N 2( )f

i e p 1( )i

p 1( )f

+( )µ

( )gµν–

q2

----------- i e p 2( )i

p 2( )f

+( )ν

( )d4x∫–

=

p 1( )i

p 1( )f p 2( )

f

p 2( )i

α e2

4π------

1137---------≈=

α

M

TUE 3


. (2.30)

We zullen later zien dat de normeringsfactoren van de golffuncties en de delta functie die impulsbe-houd impliceert wegvallen in de berekening van grootheden zoals vervalsbreedtes en werkzamedoorsneden.Laten we nu de Feynmanregels voor een theorie met geladen spin 0 deeltjes formuleren:1 Teken alle mogelijke Feynman diagrammen voor het proces dat berekend moet worden. Dus de

ingaande en uitgaande deeltjes tekenen en dan alle mogelijke interne configuraties die van deinkomende deeltjes kunnen resulteren in de uitgaande deeltjes.

2 Voor elke vertex schrijven we een factor , waarbij de koppeling van het electromagnetisch

veld aan de eenheidslading (elektron lading) is en de viervectorimpulssom van het ingaandeen uitgaande spin 0 deeltje dat aan de vertex koppelt. Verder schrijven we voor elke vertex een

factor die behoud van vierimpuls forceert.

3 Voor elke interne lijn, propagator, schrijven we een factor , waarbij de vierimpuls van

het uitgewisselde quantum is. Over de vierimpuls van elke interne lijn wordt geïntegreerd, dus

voor elke interne lijn schrijven we ook een factor .

4 Integreer over alle interne vierimpulsen. Het resultaat bevat een delta functie voor het totale

vierimpulsbehoud, , met de vierimpulsen voorzien van een + teken als ze corre-

sponderen met inkomende deeltjes en een - teken als het uitgaande deeltjes betreft. Deze delta

functie (inclusief de ) gooien we weg.

2.4.5 De gouden regel: de formule voor werkzame doorsnede

De werkzame doorsnede voor twee botsende deeltjes A en B is gegeven door:

. (2.31)

De overgangswaarschijnlijkheid per tijdseenheid en per volumeëenheid is gegeven door:

, (2.32)

met de tijdseenheid en de volumeeenheid.De inkomende flux is het aantal deeltjes A dat per tijdseenheid door een oppervlakteeenheid gaatmaal het aantal deeltjes B per volumeeenheid in het doelwit voor het Lorentzframe waarin dedeeltjes B stilstaan. Voor precies dit geval is de flux in variabelen in het laboratorium systeem:

, (2.33)

en meer algemeen in manifest Lorentz invariante notatie:

. (2.34)

Tfi i– 2π( )4δ p 1( )f

p 2( )f

p 1( )i

p 2( )i

––+( )N 1( )i

N 1( )f

N 2( )i

N 2( )f

M=

i epµ

e

pµ

2π( )4δ k1 k2 k3+ +( )

gµν– qj2⁄ qj

d4qj( ) 2π( )4⁄

2π( )4δ pi∑

2π( )4

werkzame doorsnedeWfi

(inkomende flux)----------------------------------------- (aantal eindtoestanden)×=

Wfi

Wfi

Tfi2

TV-----------=

T V

flux vA

2EA

V----------

2EB

V----------=

flux4 pA pB⋅( )2

mA2

mB2

–

V2

-----------------------------------------------------=


Het aantal eindtoestanden wordt gegeven door het aantal deeltjes in een gegeven volume maal het

aantal toestanden per deeltje voor dit volume. Het aantal toestanden dat een deeltje met impuls kan

innemen in een bepaald volume is eindig. Als we het volume als een doos met zijden van lengte ,

. zien en periodieke randvoorwaarden nemen, dan is het aantal toestanden in elke richting

gegeven door , en . In drie dimensies geeft dat

voor het volume

. (2.35)

Het aantal toestanden voor een impulsinterval tussen en

voor het volume is dan:

. (2.36)

Dit geldt voor elk deeltje in het volume . Het aantal deeltjes in het volume volgt uit de waar-schijnlijkheidsdichtheid:

(2.37)

en de normering van de golffunctie:

, (2.38)

zodat:

(2.39)

en het aantal deeltjes in volume gelijk is aan . De faseruimte voor één deeltje in volume wordt dan gegeven door de toestandsdichtheid voor het deeltje gedeeld door het aantal deeltjes in hetvolume:

. (2.40)

De Lorentzinvariante faseruimte (LIPS) wordt verkregen door met de normeringsfactor van de golf-

functie van de deeltjes in het kwadraat, te vermenigvuldigen:

(2.41)

De formule voor de werkzame doorsnede van twee botsende deeltjes, A en B, met deeltjes in deeindtoestand, die we zo krijgen wordt de gouden regel van Fermi genoemd:

V

p

lxly lz

nx lxpx 2π( )⁄= ny lypy 2π( )⁄= nz lzpz 2π( )⁄=

V

nxnynz

lxpx

2π---------

lypy

2π---------

lzpz

2π--------=

px py pz,,( ) px dpx py dpy pz dpz+,+,+( )

V lxlylz=

dn dnxdnydnzV

2π( )3-------------dpxdpydpz= =

V V

ρdV

V

∫ 2 N2EdV

V

∫ 2 N2EV= =

φ∗ φdV∫ 1=

N1

V-------=

V 2E V

Vd3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

n

∏

N2

1 V⁄=

dLIPSd

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

n

∏=

N


. (2.42)

2.5 Eerste poging om elektronverstrooiing te berekenen

We berekenen nu de differentiële werkzame doorsnede voor elektron-elektron verstrooiing. Hetmatrixelement hebben we al bijna in sectie 2.4.4 gezien. We volgen de Feynman regels voor het Fey-nman diagram:

Er zit nu nog een addertje onder het gras: er zijn twee elektronen in de eindtoestand en we kunnenniet zeggen of een van de twee uitgaande elektronen nu van het ene of het andere inkomend elektronis. En dus zijn er twee mogelijke Feynmandiagrammen die tot dezelfde eindtoestand kunnen leiden.We moeten de overgangsamplitudes corresponderend met deze twee mogelijkheden optellen om detotale overgangsamplitude te krijgen. De twee Feynmandiagrammen zijn hierboven getekend. Hettotale matrixelement wordt:

(2.43)

Als we dit proces in het zwaartepuntssysteem berekenen kunnen we omdat het een elastische ver-strooiing is stellen dat:

(2.44)

en

. (2.45)

Als we de hoek tussen het ingaande deeltje (1) en het uitgaande deeltje (2) noemen in hetzwaartepuntssysteem dan vereenvoudigt de eerste term in formule (2.43) tot:

. (2.46)

De tweede term is identiek, maar heeft de uitgaande deeltjes (1) en (2) verwisseld, hetgeen betekentdat , zodat de hele uitdrukking voor het matrix element wordt:

dσ 1

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------- M2

2π( )4δ pi

i 1=

n

∑ pA pB–– d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

n

∏=

p 1( )i

p 1( )f p 2( )

f

p 2( )i

p 1( )i

p 1( )f p 2( )

f

p 2( )i

+

M e2

p 1( )f

p 1( )i

+( )µ p 2( )f

p 2( )i

+( )µ

p 2( )f

p 2( )i

–( )2

---------------------------------------------------------------- e2

p 2( )f

p 1( )i

+( )µ p 1( )f

p 2( )i

+( )µ

p 1( )f

p 2( )i

–( )2

----------------------------------------------------------------+=

p 1( )i

p 1( )f

p 2( )i

p 2( )f

p= = = =

E 1( )i( )

2E 1( )

f( )2

E 2( )i( )

2E 2( )

f( )2

p2

m2

+= = = =

θ

e2

2m2

p2⁄( ) 3 θcos+ +

θcos 1–----------------------------------------------------

θcos θcos–→


(2.47)

De differentiële werkzame doorsnede voor dit proces is in het zwaartepuntssysteem te schrijven als:

. (2.48)

Vullen we in dan krijgen we:

, (2.49)

waarbij de laatste gelijkheid geldt voor het geval dat de impuls van de inkomende deeltjes veel groteris dan hun massa.Het experiment van de Møller verstrooiing, elektronen aan elektronen, is in de zestiger jaren uit-gevoerd bij de eerste opslagring voor relativistische elektronen. Als we nu naar de meting van dezewerkzame doorsnede kijken voor elektron-elektron verstrooiing in Figuur 2.5, dan beseffen we datdit goed wordt beschreven door de theoretische formule die we hier hebben afgeleid. In dit geval wasde absolute normering van de werkzame doorsnede niet bekend, alleen de hoekverdeling. Als deabsolute normering ook wordt beschouwd, blijkt de voorspelling die we hier hebben gedaan een fac-tor twee te hoog te zijn. Maar deze formule is dan ook voor deeltjes met spin 0, bosonen ! We wetendat elektronen spin 1/2 hebben en dus fermionen zijn. De theorie werkt dus niet hetzelfde voordeeltjes met verschillende spin. In het bijzonder zullen we zien dat bosonen en fermionen aparteregels volgen.

2.6 Veldentheor ie voor deeltjes met spin 1/2

De theorie voor deeltjes met spin 1/2 is min of meer toevallig ontdekt door Dirac. Dirac was ontevre-den met de Klein-Gordon vergelijking omdat in eerste instantie niet duidelijk was wat men met denegatieve energieoplossing aan moest. De reden voor het probleem van de negatieve energieoploss-ing van de Klein-Gordon vergelijking die werd aangewezen was het feit dat er een term met de ener-gie in het kwadraat in staat. Dirac probeerde het probleem op te lossen door een vergelijking op testellen die de relativistische kinematica reflecteert, maar lineair is in de energie. De Klein-Gordonvergelijking wordt voor dit doel omgeschreven als:

(2.50)

De complicatie met de ‘s, die de gamma matrices worden genoemd, is nodig omdat

niet het produkt van twee scalairen is. Als we het produkt met de gamma matrices uitwerken zien wedat deze voldoen aan de vergelijking:

. (2.51)

Het is instructief dit uit te schrijven:

M e2 2m

2p

2⁄( ) 3 θcos+ +θcos 1–

----------------------------------------------------2m

2p

2⁄( ) 3 θcos–+θcos 1+

----------------------------------------------------–

2e2 2m

2p

2⁄( ) 3 cos2θ+ +

sin–2θ

------------------------------------------------------

=

=

dσdΩ-------

1

64π2s

--------------p 1( )

f

p 1( )i

------------ M2 1

64π2s

-------------- M2

= =

M

dσdΩ-------

e4

16π2s

--------------3 2m

2p

2⁄ cos2θ+ +

sin2θ

------------------------------------------------- 2

α2

s------

3 2m2

p2⁄ cos

2θ+ +

sin2θ

------------------------------------------------- 2

α2

s------

3 cos2θ+

sin2θ

----------------------- 2

≈= =

p2

m2

–( )φ γµpµ m+( ) γµ

pµ m–( )φ 0= =

γ p2

pµpµ=

pµpµ γνγλ

pνpλ=


(2.52)

Hieruit leiden we af dat voor de ‘s geldt:

, (2.53)

waarbij de anti-commutator is zoals in deze vergelijking is gedefinieerd.

Het is nu duidelijk dat de ‘s geen gewone (complexe) getallen kunnen zijn. Maar als de ‘s numatrices zijn kan wel aan de bovenstaande vergelijking worden voldaan. Het was Dirac die ditbriljante idee voor het eerst kreeg. Het is mogelijk te laten zien dat vier bij vier matrices een oploss-ing met de kleinst mogelijke dimensie voor de gamma matrices is. Eén representatie van de gammamatrices die veel wordt gebruikt (en de Bjorken en Drell conventie wordt genoemd) is:

, (2.54)

waarbij de elementen twee bij twee matrices zijn en de matrices zijn de Pauli spin matrices:

FIGUUR 2.5. Linksboven: plattegrond van de eerste elektron opslagringen. Linksonder: eenschematische weergave van het experiment dat werd uitgevoerd op het punt waar de elektronenbotsen. Rechts: de gemeten differentiële werkzame doorsnede voor elektron-elektronverstrooiing als functie van de verstrooiingshoek. De punten met foutenstrepen zijn de meting.Het histogram is de QED voorspelling voor spin 1/2 deeltjes. De gestippelde curve is devoorspelling die hierboven is gedaan voor scalaire quantum electrodynamica. De normeringvan de meting is arbitrair en de voorspellingen zijn genormeerd op de data punten.

Spark Chambers

1 meter

View Port

Pulsed Magnet

Electron Beam

TV

Pulsed Inflector

Pulsed Inflector RF RF

"Y" Magnet

12

34

27°

Vacuum Chamber

1/2" Steel Plates

Ring I Beam

Ring II Beam

Lead

8

9

10

56

7

Spark Chamber

Spark Chambers

Cosmic Ray Veto Counter

Verstrooiingshoek

Aan

tal g

eval

len

QEDQED geen spin

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

p0( )

2p

1( )2

p2( )

2– p

3( )2

–– γ0( )2

p0( )

2γ1( )

2p

1( )2

γ2( )2

p2( )

2γ3( )

2p

3( )2

γ0γ1 γ1γ0+( )p0p1 γ0γ2 γ2γ0

+( )p0p2 γ0γ3 γ3γ0+( )p0p3 γ1γ2 γ2γ1

+( )p1p2

γ1γ3 γ3γ1+( )p1p3 γ2γ3 γ3γ2

+( )p2p3

+ + +

+ + + +

+ +

=

γ

γµ γν, γµγν γνγµ+ 2g

µν= =

, γ γ

γ0 1 0

0 1–= γi 0 σi

σ–i

0=

σi


. (2.55)

De Pauli matrices zijn natuurlijk bekend om hun betekenis in de transformatie van spinoren, tweecomponent vectoren die een spin 1/2 deeltje beschrijven. De gamma matrices bevatten elk twee Paulimatrices en het is dan ook al aan te voelen dat we hier een beschrijving hebben van een deeltje enanti-deeltje met spin 1/2.Een spinor is een vector met twee componenten met speciale transformatieëigenschappen onder

rotaties in de ruimte. Als we roteren om een as , waarbij de grootte van de rotatiehoek wordt

gegeven door , dan transformeert een spinor als:

, (2.56)

waarbij een twee bij twee matrix is.

De conventionele keus voor de Dirac vergelijking is nu:

, (2.57)

waar de gebruikelijke substitutie is gemaakt om de niet quantummechanische bewegingsvergelijkingom te schrijven in een quantummechanische. We hadden ook de versie met het plus teken voor demassa kunnen kiezen en dezelfde resultaten in het volgende gekregen. De golffunctie is nu eenvector met vier elementen en wordt Dirac spinor genoemd (of ook wel bi-spinor.)

De notatie waarbij een impliciete contractie met een gamma matrix wordt gemaakt, , is

wijdverbreid en wordt ook vaak gezien met de impuls, . De uitspraak van deze symbolen

is d-slash en p-slash, respectievelijk.Om ons te realiseren wat de Dirac vergelijking nu betekent kunnen we een stroomdichtheid invoerenals:

, (2.58)

waarbij we geadjungeerde van de golffunctie hebben ingevoerd die is gedefinieerd als:

. (2.59)

De Dirac vergelijking kunnen we hermitisch conjugeren (met gebruikmaking van )

en van rechts met vermenigvuldigen:

. (2.60)

Door nu de Dirac vergelijking van links te vermenigvuldigen met en de geadjugeerde Dirac

vergelijking van rechts te vermenigvuldigen met en deze twee vergelijkingen van elkaar af tetrekken krijgen we net als bij de Klein-Gordon vergelijking weer een continuïteitsvergelijking voorde stroom:

. (2.61)

σ1 0 1

1 0= σ2 0 i–

i 0= σ3 1 0

0 1–=

θ

θ

α'

β'e

iθσ– αβ

=

eiθσ–

1 iθσ–( ) 12--- iθσ–( )

2…+ + +=

γµpµ m–( ) 0= iγµ

∂ µ m–( )ψ→ i / m–∂( )ψ 0= =

ψ

/∂ γµ ∂ µ=

p/ γµpµ=

jµ

eψγµψ–=

ψ ψ

ψ ψ†γ0≡AB( )† B†A†=

γ0

it∂

∂ ψ†γ0– i

xk∂

∂ ψ† γk–( ) mψ†–+ i µψγµ∂ mψ+ 0= =

ψψ

µjµ∂ e µ ψγµψ( )∂– 0= =


De waarschijnlijksdichtheid

(2.62)

is nu evident positief. Hier was het Dirac om te doen.We kunnen nu de Dirac vergelijking op lossen voor een vrij veld. Het is instructief om eerst te kijkennaar de situatie van een vrij deeltje in rust, dat wil zeggen met impuls nul. In dat geval zijn de afge-leiden naar de plaats nul en reduceert de Dirac vergelijking tot:

. (2.63)

Omdat in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices er twee blokjes van 2 bij 2 langs de

diagonaal zijn voor ligt het voor de hand om ook de Dirac spinor in twee stukken van tweecomponenten op te splitsen:

. (2.64)

Vullen we deze substitutie in vergelijking (2.63) in dan krijgen we de twee vergelijkingen (van tweecomponenten elk):

. (2.65)

Hieruit zien we dat een deeltje (in rust) beschrijft met energie en een deeltje met

energie . Net als bij de Klein-Gordon vergelijking zullen we een deeltje met negatieve ener-gie opvatten als een antideeltje met positieve energie.Ondanks alle complicaties die we ons dus op de hals hebben gehaald blijft de conclusie dat als wequantummechanica met een relativistische bewegingsvergelijking gebruiken we voor elk deeltje eenantideeltje krijgen.

We kunnen nu ook de Dirac vergelijking oplossen voor het algemene geval het deeltje een impuls

ongelijk nul heeft. Om te beginnen splitsen we een factor van de golffunctie af:

. (2.66)

Vullen we dit in de Dirac vergelijking (2.57) in dan krijgen we de twee gekoppelde vergelijkingen:

. (2.67)

We kunnen nu eenvoudig voor het stuk dat de positieve energie oplossing beschrijft, , een van de

twee onafhankelijke oplossingen kiezen:

ρ ψγ0ψ ψ†ψ ψ 2

i 1=

4

∑= = =

iγ0

t∂∂ψ

mψ– 0=

γ0 ψ

ψψA

ψB

=

t∂∂ ψA( ) imψA–=

t∂∂ ψB( ) +imψB=

ψA E m= ψB

E m–=

eipx–

ψ u p( )e ipx– uA p( )

uB p( )e

ipx–= =

σ p⋅( )uB E m–( )uA=

σ p⋅( )uA E m+( )uB=

uA


. (2.68)

Dan volgt voor :

(2.69)

en voor de totale oplossing van de Dirac spinor:

. (2.70)

Op dezelfde manier kunnen we ook met een eenvoudige basis voor de negatieve energieoplossingenbeginnen en krijgen we de onafhankelijke oplossingen:

. (2.71)

In het laatste geval hebben we de negatieve energie vervangen door en het minteken voor

gezet. De twee keuzes die we hebben voor kunnen we als keuzes voor de spin interpreterenvoor elk van de positieve energieoplossingen (deeltjes) en negatieve energieoplossingen (anti-

deeltjes). Conventioneel worden de spinoren voor deeltjes aangeduid met en . De spinoren

voor antideeltjes worden aangeduid met en die worden gedefinieerd als:

. (2.72)Om het spin karakter van de deeltjes duidelijk te maken definiëren we de heliciteitsoperator als:

. (2.73)

Deze operator commuteert met de hamiltoniaan ( de hamiltoniaan voor een vrij Dirac deeltje is

) en met de impuls en geeft dus quantumgetallen die we tegelijk met de energie

en de impuls kunnen bepalen. Als we een deeltje beschouwen dat in de richting beweegt, zodat

, dan krijgen we voor de eigenwaarden van de heliciteitsoperator:

(2.74)

De Dirac vergelijking beschrijft dus deeltjes en antideeltjes met twee spin toestanden.

uA1( ) χ 1( ) 1

0= = of uA

2( ) χ 2( ) 0

1= =

uB

uB1 2,( ) σ p⋅

E m+( )-------------------χ 1 2,( )

=

u1 2,( )

Nχ 1 2,( )

σ p⋅E m+( )

-------------------χ 1 2,( )=

u3 4,( )

Nσ– p⋅

E m+( )-------------------χ 1 2,( )

χ 1 2,( )

=

E E–

σ p⋅ χ

u1( )

u2( )

v1( )

v2( )

v1( )

p( ) u4( )

p–( )≡ en v2( )

p( ) u–3( )

p–( )≡

λ 12---

σ p

p-----⋅ 0

0 σ p

p-----⋅

≡

H γ0γkp

k γ0m+=

z

σ p

p-----⋅ σ3=

λu1( ) 1

2---u

1( )= λv

2( ) 12---v

2( )= spin +1/2

λu2( ) 1

2---– u

2( )= λv

1( ) 12---– v

1( )= spin -1/2


Als we de normering van de spinoren kiezen als voor scalaire deeltjes, dat wil zeggen als voor deoplossingen van de Klein-Gordon vergelijking, dan krijgen we:

. (2.75)

Daaruit volgt dat:

, (2.76)

waarbij het Kronecker-symbool is, dat één is als en nul als .

Belangrijke relaties in de praktijk zijn de volledigheidsrelaties:

. (2.77)

Merk op dat deze uitdrukkingen vier bij vier matrices beslaan.

2.7 Quantumelectrodynamica (QED)

Net als bij scalaire deeltjes maakt het ook bij spinoren niet uit of de golffunctie met een complexgetal wordt vermenigvuldigd. Ook in dit geval kunnen we deze transformatie weer lokaal maken enzo de ijktheorie ontdekken die bij deze transformatie hoort voor het geval van spinoren.Passen we het idee van de covariante afgeleide weer toe dan verandert de Diracvergelijking voor eenvrij deeltje in:

. (2.78)

Door deze vergelijking van links met te vermenigvuldigen krijgen we iets van de vorm:

(2.79)

met de Hamiltoniaan

(2.80)en de storingsterm

. (2.81)

De overgangsamplitude wordt dan net als voor scalaire deeltjes in vergelijking (2.25):

. (2.82)

Ook volkomen analoog aan het geval voor scalaire deeltjes wordt het electromagnetisch veld veroor-zaakt door een geladen deeltje gegeven door (zie vergelijking (2.27)):

. (2.83)

ρdV

V

∫ ψ†ψdV

V

∫ u†u 2E≡= =

ur( )†

us( )

2Eδrs= vr( )†

vs( )

2Eδrs=

δrs r s= r s≠

us( )

p( )u s( )p( )

s 1 2,=

∑ γµpµ m+ p/ m+= =

vs( )

p( )v s( )p( )

s 1 2,=

∑ γµpµ m– p/ m–= =

iγµpµ

m–( )ψ eγµAµψ–=

γ0

it∂

∂ψH V+( )ψ=

H γ0γkp

k γ0m+=

V eγ0γµAµ

–=

Tfi i j fiµAµd

4x∫=

Aµ j

µ–

q2

-------=

KUN 3


We vinden daarmee voor het matrix element van de interactie tussen twee geladen spinoren, die wevoor de reactie A en B noemen en na de reactie C en D:

. (2.84)

Hieraan zien we wat de structuur is van de Feynman regels voor spinoren en hun electromagnetische

interactie. Wel moeten we nu goed letten op de spin indices, ook voor het foton (omdat er een inde koppeling staat.)1 Teken alle mogelijke Feynman diagrammen voor het proces dat berekend moet worden. Dus de

ingaande en uitgaande deeltjes tekenen en dan alle mogelijke interne configuraties die van deinkomende deeltjes kunnen resulteren in de uitgaande deeltjes.

2 Voor elke externe fermion lijn schrijven we (de polarisatie van het foton is nu ook belangrijk):inkomend deeltje:

uitgaand deeltje:

inkomend anti-deeltje:

uitgaand anti-deeltje:

inkomend foton:

uitgaand foton:

De viervectoren bepalen de polarisatie van het foton. Voor externe lijnen, dat wil zeggen voor fotonen met invariante massa nul worden de twee polarisatievectoren bepaald door het feit dat die

loodrecht op de vierimpuls van het foton staan, dus voor de viervectoren geldt: als

de vierimpuls van het foton is.

3 Voor elke vertex van twee fermionen schrijven we een factor , waarbij de koppeling vanhet electromagnetisch veld aan de eenheidslading (elektron lading) is. Verder schrijven we voor

elke vertex een factor die behoud van vierimpuls forceert.

4 Voor elke interne foton lijn, propagator, schrijven we een factor , waarbij de vierim-

puls van het uitgewisselde quantum is. Voor elke interne fermion propagator schrijven we een

factor . Over de vierimpuls van elke interne lijn, , wordt geïntegreerd, dus voor

elke interne lijn schrijven we ook een factor .

5 Integreer over alle interne vierimpulsen. Het resultaat bevat een delta functie voor het totale

vierimpulsbehoud, , met de vierimpulsen voorzien van een + teken als ze corre-

sponderen met inkomende deeltjes en een - teken als het uitgaande deeltjes betreft. Deze delta

functie (inclusief de ) gooien we weg.6 Een relatief minteken moet voor bijdragen worden gezet die verschillen in de verwisseling van

twee fermion lijnen. Dit is de anti-symmetrisatie die inherent is aan fermionen.

iM– i euCγµuA( )

i gµν–

q2

-------------

i euDγνuB( )=

γµ

u

u

v

v

εµ

εµ∗

εµ

εµ εµkµ 0=

kµ

ieγµe

2π( )4δ k1 k2 k3+ +( )

gµν– qj2⁄ qj

i γµqjµ m+( )

qj2

m2

–------------------------------ qjµ

d4qj( ) 2π( )4⁄

2π( )4δ pi∑

2π( )4


Ingeval er gesloten lussen in de Feynman diagrammen voorkomen die uit fermionen bestaan moet ernog voor elke fermion lus een minteken worden geschreven. Berekeningen van Feynmandiagram-men die lussen bevatten hebben zo hun eigen moeilijkheden en daar zullen we later op terugkomen.

2.8 Møller verstrooiing: elektron-elektron verstrooiing in QED

Als voorbeeld zullen we elektron-elektron verstrooiing in QED uitrekenen. Dit heet Møller verstroo-iing naar degene die er het eerste in quantummechanische context over publiceerde.Omdat we met deeltjes met spin (elektronen) werken moeten we ons eerst een paar dingen realis-eren.Als we ongepolariseerde elektronen hebben die aan elkaar verstrooien betekent dat niets anders dandat de inkomende elektronen even vaak spin up als spin down hebben. De gemiddelde verdeling vande verstrooide deeltjes die het gevolg is van de verstrooiing van even veel spin up als spin down toe-standen wordt dan ook bepaald door te middelen over de spin toestanden van de inkomende deeltjes.Voor de uitgaande toestanden gaan we er doorgaans van uit dat we ook de verschillende polarisatiesniet kunnen onderscheiden en daar zien we dus de som van de verschillende polarisatietoestanden.De Feynmandiagrammen die in laagste orde aan deze verstrooiing bijdragen zijn dezelfde alshierboven voor het spinloze geval geschetst:

Om een technische complicatie uit de weg te gaan nemen we alleen het eerste diagram mee, dus niethet diagram met de twee elektronen in de eindtoestand gekruist. De verstrooiing van twee niet-iden-tieke deeltjes zal later nog terugkomen, dus het resultaat zal niet voor niets zijn.De uitdrukking voor het matrixelement van het eerste Feynmandiagram wordt hiermee:

, (2.85)

waarbij het aantal spintoestanden is voor een deeltje met spin en het matrix element isvoor elk van de inkomende en uitgaande spintoestanden apart:

. (2.86)

Het blijkt nu handig te zijn om de spin-som uit te schrijven alvorens het diagram uit te rekenen:

, (2.87)

p 1( )i

p 1( )f p 2( )

f

p 2( )i

p 1( )i

p 1( )f p 2( )

f

p 2( )i

+

Mtot2 1

2s1i

1+( ) 2s2i

1+( )--------------------------------------------- M

2

spin

∑=

2s 1+( ) s M

iM– i eu1f γµ

u1i( )

i gµν–

q2

-------------

i eu2f γν

u2i( )=

M2

spin

∑ e4

q4

-----L 1( )µν

Lµν2( )

=

TUE 3


met voor elk elektron dat aan de verstrooiing deelneemt (en in dit geval voor elektron (1) opgeschre-ven):

(2.88)

De uitdrukking waarover wordt gesommeerd bestaat uit de vermenigvuldiging van twee getallen dieelk zijn opgebouwd uit een gammamatrix gecontraheerd met twee spinoren (zogenaamde bi-lineaire

covarianten). Omdat een gewoon getal is maakt het niet uit dat we complex conjugeren

vervangen door hermitisch conjugeren en we gebruiken ook weer dat bij hermitisch conjugeren devolgorde van de factoren andersom wordt:

(2.89)

en we kunnen ons ook nog realiseren dat als we de som over de spintoestanden in alle componentenuitschrijven (wat toegegeven nogal een index-jungle is):

(2.90)

we alleen nog maar met gewone getallen van doen hebben die allemaal commuteren en die we dusnaar believen kunnen herschikken, dan kunnen we de laatste spinor factor voorop zetten, zodat wekrijgen:

. (2.91)

De sommatie over de spins kunnen we ook schrijven als (bijvoorbeeld voor sommatie over ):

(2.92)

en op een analoge manier voor de sommatie over , zodat we voor de lepton tensor krijgen:

, (2.93)

waarbij als de indices goed worden bestudeerd gezien kan worden dat steeds paren als en die

naast elkaar staan kunnen worden gesommeerd, zodat uiteindelijk een sommatie over in een aanelkaar grenzend paar moet worden gedaan en dat hetzelfde is als het spoor nemen van een matrix

. (2.94)

We kunnen nu het probleem in kleinere stukjes hakken door te gebruiken dat het spoor van de somvan twee matrices hetzelfde is als de som van het spoor :

(2.95)

Dit is een hele verbetering als je weet hoe je de sporen over produkten van gamma matrices uit moetrekenen. Omdat het aantal combinaties dat voorkomt in praktijk beperkt is, is een kort lijst van ant-woorden voor verschillende sporen van gamma matrices al genoeg om dit soort uitdrukkingen uit terekenen. Laten we eerst een lijstje geven met belangrijke spoortheorema’s:

L 1( )µν

u1f γµ

u1i( ) u1

f γνu1

i( )∗

spin

∑=

u1f γν

u1i( )

u1f γν

u1i( )∗ u1

f γνu1

i( )†

u1i γν

u1f

= =

L 1( )µν

u1αf s’( )γαβ

µu1β

i s( )u1δ

i s( )γδεν

u1εf s’( )

s

∑s’

∑=

L 1( )µν

u1εf s’( )

u1αf s’( )γαβ

µu1β

i s( )u1δ

i s( )γδεν

s

∑s’

∑ u1εf s’( )

u1αf s’( )

γαβµ

s’

∑ u1βi s( )

u1δi s( )

γδεδ

s

∑= =

s

u1βi s( )

u1δi s( )

s

∑ p/1i

m+( )βδ=

s'

L 1( )µν

p/1f

m+( )εαγαβµ

p/1i

m+( )βδγδεν

Tr p/1f

m+( )γµp/1

im+( )γν( )= =

α αε

Tr A( ) Aεε≡

Tr A B+( ) Tr A( ) Tr B( )+=

L 1( )µν

Tr p/1f

m+( )γµp/1

im+( )γν( )

Tr p/1fγµ

p/1iγν( ) Tr p/1

fγµ

mγν( ) Tr mγµp/1

iγν( ) Tr mγµ

mγν( )+ + +

= =


(2.96)

(2.97)

(2.98)

(2.99)

(2.100)Het spoor van een produkt van een oneven aantal gamma matrices is altijd nul.We krijgen dus voor de lepton tensor van elektron 1:

(2.101)

En dus ook voor de lepton tensor van elektron 2:

(2.102)

en dus voor het matrix element:

. (2.103)

Als nu de massa van het elektron wordt verwaarloosd en we de Mandelstam variabelen gebruiken

, (2.104)

, (2.105)

, (2.106)

dan wordt het antwoord voor het matrixelement eenvoudig:

. (2.107)

Voor de differentiële werkzame doorsnede in het zwaartepuntsysteem krijgen we dan dus (zie vergel-ijking (2.48)):

. (2.108)

Met vergelijkbare methoden kunnen we het geval van elektron-elektron (Møller) verstrooiing exactuitrekenen rekening houdend met het feit van de twee diagrammen. De amplitudes van de twee dia-grammen hebben een relatief minteken (Feynman regel 6). Het matrixelement is dan:

. (2.109)

Stug doorrekenen levert dan als antwoord voor de differentiële werkzame doorsnede:

. (2.110)

Tr 1( ) 4=

Tr γµγν( ) 4gµν

=

Tr a/ b/( ) 4a b⋅=

Tr a/ γµb/ γν( ) 4 a

µb

νa

νb

µa b⋅( )– g

µν+[ ]=

Tr a/ b/ c/ d/( ) 4 a b⋅( ) c d⋅( ) a c⋅( ) b d⋅( ) a d⋅( ) b c⋅( )+–[ ]=

L 1( )µν

4 p1iµ

p1fν

p1iν

p1fµ

p1i

p1f⋅( )– g

µν+[ ] 4m

2g

µν+

4 p1iµ

p1fν

p1iν

p1fµ

p1i

p1f⋅( ) m

2–( )gµν

–+[ ]=

=

Lµν2( )

4 p2µi

p2νf

p2νi

p2µf

p2i

p2f⋅( ) m

2–( )gµν–+[ ]=

Mtot2 32e

4

4q4

----------- p1i

p2i⋅( ) p1

fp2

f⋅( ) p1i

p2f⋅( ) p1

fp2

i⋅( ) m2

p2i

p2f⋅( ) p1

ip1

f⋅( )+( ) 2m4

+–+[ ]=

s p1i

p2i

+( )2

2 p1i

p2i⋅( ) 2 p1

fp2

f⋅( )= = =

t p2f

p2i

–( )2

p1f

p1i

–( )2

q2

= = =

u p1i

p2f

–( )2

=

Mtot2

2e4s

2u

2+

t2

----------------=

dσdΩ-------

1

64π2s

-------------- M2 e

4

32π2s

--------------s

2u

2+

t2

----------------

= =

Me

2–

p1f

p1i

–( )2

------------------------ u1f γµ

u1i( ) u2

f γµu2i( )[ ] e

2

p2f

p1i

–( )2

------------------------ u2f γµ

u1i( ) u1

f γµu2i( )[ ]+=

dσdΩ-------

1

64π2s

-------------- M2 e

4

32π2s

-------------- s2

u2

+

t2

---------------- 2s

2

tu----- s

2t2

+

u2

---------------+ +

= =


Dit resultaat is weergegeven in Figuur 2.5 als een histogram dat de meetpunten voor elektron-ele-ktron verstrooiing goed beschrijft. Dit geldt echter ook voor het resultaat van scalaire electrody-namica. Het verschil zit in de absolute waarde van de voorspelling, die voor QED de data wel goedbeschrijft, maar voor scalaire electrodynamica een factor twee fout zit.

2.9 Het magnetisch moment van het elektron

In een extern magnetisch veld evenwijdig aan de -as heeft een spin 1/2 deeltje (en dus ook het elek-tron) twee eigenwaarden voor de energie:

, (2.111)

waarbij het intrinsieke magnetische moment twee waarden kan aannemen , met het Bohr

magneton gedefinieerd door:

. (2.112)

Het magnetisch moment is aan de spin gerelateerd door:

, (2.113)

waarin de Landé factor wordt genoemd, de gyromagnetische verhouding is en de

spin operator aan de Pauli matrices is gerelateerd door de spin eigenwaarde .

Met de “minimale substitutie” die we in QED hebben, , kunnen de vergelijkingen(2.67) worden geschreven als:

(2.114)

waaruit volgt:

(2.115)

en uitschrijven van de linkerkant levert:

z

E µzB=

µz µB±=

µBe

2m-------=

µ gµBs gµBsσ= =

g gµB µ s⁄=

s σ s

pµ

pµ

eAµ

+→

σ p eA+( )⋅ uB E eA0

m–+( )uA=

σ p eA+( )⋅ uA E eA0

m+ +( )uB=

σ p eA+( )⋅( )2uA E eA

0+( )

2m

2–( )uA=


(2.116)

Hierbij is gebruik gemaakt van het operator karakter van .Bij het uitschrijven van de rechterkant

van de uitdrukking (2.115) verwaarlozen we termen die kwadratisch gaan in en krijgen dan:

. (2.117)De hele vergelijking (2.115) wordt dan:

, (2.118)

zodat:

. (2.119)

Vergelijken we met (2.113) en het gegeven dat de spin eigenwaarde dan volgt dat de Diractheorie dus voor spin 1/2 deeltjes voorspelt dat:

. (2.120)

De waarden van voor het elektron is nauwkeurig bepaald en wijkt een klein, maar significant,beetje (ongeveer 0.2%) af van 2. In QED is dat te verklaren door het feit dat niet alleen de intrinsiekegyromagnetische verhouding telt, maar er ook rekening moet worden gehouden met quantumcorrec-ties. Deze correcties zijn bijvoorbeeld ten gevolge van Feynmandiagrammen die eruit zien als:

Dit zijn zogenaamde vertexcorrecties.Als al dit soort diagrammen wordt uitgerekend is er een correctie in QED die eruit ziet als:

σ p eA+( )⋅( )2

= σ p eA+( )σ p eA+( )⋅ ⋅

= σiσj pipj e2AiAj e piAj pjAi+( )+ +( )

= δi j iεi j kσk+( ) pipj e2AiAj e piAj pjAi+( )+ +( )

= pipj e2AiAj e piAj pjAi+( ) iεi j ke piAj pjAi+( )σk+ + +

= p eA+( )2

εi j ke ∂i Ajσk+

= p eA+( )2

e σ B⋅( )+

p

E m–( )

E eA0

+( )2

m2

– 2m E m–( ) eA0

+( )≈

12m------- p eA+( )

2 e2m------- σ B⋅

eA0

–+ uA E m–( )uA=

µ e2m-------=

s 1 2⁄=

g 2=

g

B veld fotonB veld foton

elektron

elektron elektron

elektron

vertex correctie fotone


(2.121)

De theoretische berekening van (T. Kinoshita, W.B. Lindquist, Physical Review Letters 47 (1981)1573)en de meting (D.E. Groom et al. (Particle Data Group), Eur. Phys. Jour. C15, 1 (2000) and2001 partial update for edition 2002 (URL: http://pdg.lbl.gov)) stemmen overeen tot de precisie van

de meting van .

g 2–2

------------ 0.5

απ--- 0.32848

απ---

2…+–=

g

1 4 1012–×÷


2.10 Opgaven

2.1 Laat zien dat formule (2.12) ( ) volgt uit de definitie van de stroomdichtheid zoals

gegeven in formule (2.11) ( ). Hint: gebruik de aanwijzingen tus-

sen formules (2.11) en (2.12).

2.2 Laat zien dat de Klein-Gordon vergelijking met covariante afgeleide , ,

invariant is onder de lokale ijktransformatie:

. .

2.3 Leid de expliciet Lorentzinvariante vorm van de flux in formule (2.34)

( ) af. Hint: gebruik het speciale geval van de botsing tussen

twee collineaire deeltjes en formule (2.33) ( ) en het feit dat een Lorentz-

invariante uitdrukking in een speciaal frame in alle frames geldig is.

2.4 Een andere manier om de Lorentzinvariante faseruimte van een deeltje, ,

af te leiden is uit de manifest Lorentzinvariante faseruimte . Laat zien dat deze twee uitdrukkingen hetzelfde zijn.

2.5 Laat zien dat inderdaad alle factoren in formule (2.42)

( ) tegen elkaar

wegvallen. Hint: het kwadraat van de deltafunctie in kan worden geschreven als een del-

tafunctie maal het ruimte-tijd volume . Laat dit ook zien.

2.6 Leid formule (2.49) ( ) af.

2.7 Het Feynmandiagram dat we hebben getekend en uitgerekend voor verstrooiing van twee spinoren door uitwisseling van een foton is de laagste orde in een storingsreeks. Teken de Fey-nmandiagrammen die horen bij de volgende term in de storingsreeks. Wat is de variabele waarin de storingsreeks is ontwikkeld ? Waarom convergeert de reeks in numerieke zin ? Waarom neemt de moeite die je moet doen om elke volgende orde in de storingsreeks uit te rekenen toe ?

2.8 In het volgende hoofdstuk zal de gamma matrix een belangrijke rol spelen.

Schrijf uit in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices.

2.9 Bewijs vergelijking (2.97): .2.10 Toon aan dat het spoor van een oneven aantal gamma matrices nul is.

µjµ∂ 0=

jµ i e φ∗ µφ∂ µφ∗∂( )φ–( )=

DµDµφ m

2φ+ 0=

φ φ’→ eiϕ x( )φ;= eAµ eA’µ→ eAµ µϕ x( )∂+=

flux4 pA pB⋅( )2

mA2

mB2

–

V2

-----------------------------------------------------=

flux vA

2EA

V----------

2EB

V----------=

dLIPSd

3p

2π( )32E

---------------------=

d4p( ) 2π( )3⁄

V

dσ 1

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------- M2

2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB–– d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

N

∏=

Tfi2

VT

dσdΩ-------

e4

16π2s

--------------3 2m

2p

2⁄ cos2θ+ +

sin2θ

------------------------------------------------- 2

α2

s------

3 2m2

p2⁄ cos

2θ+ +

sin2θ

------------------------------------------------- 2

= =

γ5iγ0γ1γ2γ3

=

γ5


=


HOOFDSTUK 3 Leptonen: Muonen, tau-leptonen, neutrino’s en de zwakke interacties

Eerst wordt het bestaan en wat eigenschappen van muonen en neutrino’s aannemelijk gemaakt. Ver-volgens wordt de chirale symmetrie tussen geladen leptonen en neutrino’s gebruikt om een ijktheorie

te maken. Deze ijktheorie heeft als gevolg dat drie nieuwe ijkbosonen moeten worden ingevoerd: W+,

W- en Z0. Als toepassing van deze theorie van de zwakke wisselwerking wordt het muonvervaldoorgerekend en met een modern educatief experiment vergeleken. Tenslotte worden het tau-leptonen het tau neutrino geintroduceerd. Hiermee is het verhaal van de leptonen compleet.

3.1 De “ ontdekking” van het muon

De ontdekking van het muon is een besef geweest dat nogal adiabatisch is gegroeid. Het muon is alvrij vroeg in kosmische stralen ontdekt. Deze ontdekking is vrijwel tegelijkertijd geweest met deontdekking van het pion. De waarneming van het verval van het pion in een muon is een overtuigendbewijs van het feit dat dit niet dezelfde deeltjes zijn.Het muon blijkt een zwaarder kopie van het elektron te zijn, met een massa van 106 MeV. Het ver-valt alleen met een elektron als zichtbaar eindproduct, maar in dat verval is uiteraard geen behoudvan impuls voor de zichtbare vervalsproducten (in dit geval 1 zichtbaar vervalsproduct.)Muonen hebben een aantal specifieke eigenschappen, waarmee ze zich van andere deeltjes onder-

scheiden. Om te beginnen zijn ze vrij stabiel met een levensduur van ongeveer seconde. Ver-der hebben ze dezelfde interacties met de materie om ons heen als elektronen, maar zijn ze meer dan200 keer zo zwaar. Dit betekent dat voor niet al te hoge energieën een elektron al interacties metmaterie heeft die het elektron helemaal in een blok materiaal tot stilstand zal brengen, maar dat muo-nen vrij ongestoord door grote hoeveelheden materiaal heen vliegen. We zullen later de vervals-breedte van het muon berekenen. Voor de interacties van elementaire deeltjes met materie verwijzenwe naar Appendix A.Hoog in de aardse atmosfeer zijn er voortdurend interacties van vooral hoog energetische protonenuit het heelal met de gasdeeltjes in de atmosfeer. In die reacties worden vele deeltjes gemaakt, maarvooral ook pionen, die vrij kort leven en dan in muonen vervallen. Door de specifieke eigenschappenvan de muonen (lange levensduur en door grote hoeveelheden materiaal kunnen vliegen) zijn hetjuist die muonen die hier op het aardoppervlakte aankomen. De meeste gevallen die bijvoorbeeld ineen vonkenvat, zoals die op de derde verdieping bij de afdeling experimentele hoge energiefysicastaat, zichtbaar worden gemaakt zijn ten gevolge van kosmische muonen.

3.2 De neutr ino hypothese en het behoud van leptongetal

Zoals we in de vorige paragraaf zagen is er bij het muon verval een schijnbaar probleem met energieen impulsbehoud. Dit is ook het geval met het radioactieve verval van bijvoorbeeld neutronen in pro-tonen en elektronen. Voor dit laatste geval heeft Pauli een, toen nog hypothetisch, deeltje ingevoerd:het neutrino. Dit neutrino heeft halfwaardige spin om de spin som van het neutron verval goed temaken en massa nul, iets dat uit het energiespectrum van het elektron kan worden afgeleid.

26–×10

KUN 4TUE 4


Later is gebleken dat zowel elektron als muon hun eigen neutrino soort hebben. Allen op dezemanier kan worden beredeneerd dat het zogenaamde leptongetal behouden is per familie. Het lepton-getal voor elektronen, negatief geladen muonen en neutrino’s is +1 terwijl voor positronen, positiefgeladen muonen en anti-neutrino’s -1 wordt genomen. Het elektron en het elektron-neutrino vormensamen een familie en het muon en het muon-neutrino vormen samen een andere familie. Zoalsgezegd is het leptongetal een behouden grootheid per familie. Als een muon in een elektron vervalt,zullen er nu twee neutrino’s bij de eindprodukten moeten vrijkomen. Om het lepton getal tebehouden moet een positief muon vervallen in een anti-muon-neutrino, een positron en een elektron-neutrino. Niet alleen wordt zo het leptongetal per familie behouden. Ook is te zien dat een muon ver-val in een elektron minstens nog een deeltje in de eindtoestand moet hebben wegens energie enimpulsbehoud. Maar als dat deeltje een neutrino is en dus halftallige spin heeft moeten het er tweezijn om de totale spins voor en na het verval halftallig te laten zijn.

3.3 SU(2) symmetr ie en de zwakke wisselwerking

Bij een behouden grootheid hoort een (globale) symmetrietransformatie (dit is het theorema vanNoether). In het geval van het lepton-getal kunnen we ons de symmetrie voorstellen door (bijv. voorde eerste familie) het elektron en het elektron-neutrino in een vector met twee componenten te sch-rijven.

(3.1)

We bedenken ons nu dat het neutrino massaloos is. In dat geval is de spintoestand van het neutrinowelbepaald: het heeft spin up of spin down, of anders gezegd het is linkshandig of rechtshandig. Hetblijkt dat de enige neutrino’s die we waarnemen linkshandig zijn ! Dus ofwel er zijn geen rechtshan-dige neutrino’s, ofwel ze zijn er wel maar koppelen niet aan deeltjes die we waar kunnen nemen.Dus voor de symmetrie die op het bovenstaande doublet werkt hoeven (moeten !) we alleen de links-handige component in beschouwing te nemen. Het blijkt dat de linkshandige component van Diracspinoren is uit te projecteren met de matrix

. (3.2)

Omdat we alleen linkshandige neutrino’s hebben, maar zowel links als rechtshandige elektronen,splitsen we de chirale (links- en rechtshandige) toestanden in een doublet met een linkshandig ele-ktron en een linkshandig neutrino en een singlet met alleen een rechtshandig elektron:

. (3.3)

De rotatiesymmetriegroep van een doublet is U(2), de unitaire 2x2 matrices. De U(2) groep heeftvier generatoren: de eenheidsmatrix en drie andere generatoren, waarvoor we de Pauli spin-matriceskunnen kiezen. De Pauli spin matrices vormen een sub-group, SU(2), en we kunnen schrijvenU(2)=U(1)xSU(2). De operatoren van de U(1) en SU(2) groep commuteren en geven dus aanleidingtot onafhankelijke simultane eigentoestanden. Onder de SU(2) symmetrie transformeren de links-handige velden als doublet (dus zoals verwacht met een rotatie in de twee-dimensionale ruimte.) Derechtshandige velden transformeren als singlet, dat wil zeggen als gewoon getal dat hetzelfde blijften in feite is de SU(2) transformatie voor rechts-handige velden dus de eenheidstransformatie.

νe

e

1 γ5–( )2

------------------

ψLνeL

eL

1 γ5–( )2

------------------νe

e= = ψR eR

1 γ5+( )2

-------------------e= =


In analogie met “gewone” spin zeggen we dat er een zwakke isospin is, waarbij de linkshandigevelden zwakke isospin doublets vormen en de rechtshandige velden zwakke isospin singlets.We hadden al gezien dat we op de velden ook een U(1) transformatie kunnen toepassen: de ver-menigvuldiging met een complex getal van lengte 1. We kunnen nu de transformaties samen nemenin een U(1)xSU(2) transformatie. Voor de linkshandige velden wordt de SU(2) “matrix” dus met eencomplexe fase vermenigvuldigd en voor de rechtshandige velden is de transformatie alleen deze ver-menigvuldiging met een complexe fase. We kunnen dus onmiddellijk concluderen dat voor derechtshandige velden de situatie precies zo is als beschreven in hoofdstuk 2 voor het geval van QED.Voor de linkshandige velden ligt de situatie in principe hetzelfde, maar met een wat ingewikkeldertransformatie en dientengevolge met wat praktische complicaties.De algemene symmetrietransformatie voor SU(2) schrijven we weer in de vorm van de operator:

, (3.4)

waarin we kunnen nemen in doublet representatie, met de Pauli matrices,

en de koppelingsconstante van de interactie is. De algemene vorm voor een transformatie uit de

U(1)xSU(2) groep is dus:1

, (3.5)

waarbij de U(1) en de SU(2) transformatie ieder hun eigen koppelingsconstante hebben, en ,

respectievelijk. De operator heet de hyperlading en zal voor rechts- en linkshandige deeltjes ver-schillend blijken te zijn.Passen we deze transformatie toe, maar dan als een lokale symmetrie, dan zijn we genoodzaakt een

vector van vier extra velden in te voeren voor het U(1) veld en voor de

drie generatoren van SU(2). De covariante afgeleide definieren we als:

. (3.6)

Voor zwakke isospin doublets heeft de eigenwaarde , en neemt de derde component van

deze zwakke isospin operator de eigenwaarde aan voor neutrino’s en voor

elektronen.

Onder infinitesimale veranderingen van en veranderen de linkshandige velden als:

, (3.7)

Waarbij we hebben gebruikt dat en dat de structuurconstanten voor de SU(2) groep in de

representatie met de Pauli matrices als generatoren zijn, met het volledig anti-

symmetrische Levi-Civita symbool.2

1. Deze benadering verschilt in een opzicht van die gekozen voor QED: in dat geval komt namelijk de EM koppeling niet voor in de U(1) transformatie, terwijl hier de koppelingsconstanten hier wel degelijk in de transformaties voorkomen. Dit is puur een con-ventiekeuze.

2. Het symmetrische Levi-Civita symbool geeft 0 als er een paar identieke indices zijn, 1 als de indices een even permutatie van de reeks 1,...,n zijn (als er n indices zijn), en -1 als de indices een oneven permutatie van de reeks 1,...,n zijn.

U eigλ T⋅

=

T12---σ= σ σ1 σ2 σ3,,( )=

g

e

U eig’θY

2---

ei gλ T⋅

ei g’θY

2--- gλ T⋅+

= =

g' g

Y

Bµ Wµ W1µ W2µ W3µ,,( )=

Dµ µ∂ i– g'Y2---Bµ i– gT Wµ⋅=

T 1 2⁄T3 +1 2⁄= T3 1 2⁄–=

θ λ

ψ 1 i g'θY2--- i

g2---λ σ⋅+ +

ψ;→ g'Bµ g'Bµ µ∂ θ;+→ Wµ Wµ µ∂ λ g– λ Wµ×( )+→

T σ 2⁄=

fabc iεabc= εabc


Schrijven we de Diracvergelijking nu uit voor één linkshandig doublet na invoering van de covari-ante afgeleide, dan krijgen we:

. (3.8)

Door nu specifieke combinaties van de velden te nemen (herinner dat voor de Pauli matrices

geldt: en ) kunnen we de velden voor de geladen krijgen

door:

. (3.9)

Als we nu met de definities voor de Diracvergelijkingen voor het linkshandige doublet uitschrij-ven krijgen we:

(3.10)

hetgeen we expliciet in twee bewegingsvergelijkingen kunnen uitschrijven:

. (3.11)

Helemaal aan de rechterkant van de vergelijkingen zien we dat termen van neutrino en electon men-gen. Deze termen geven aanleiding tot de geladen stroom interacties, waarbij een geladen W deeltje

wordt uitgewisseld. We krijgen nu koppelingen van, bijvoorbeeld in de eerste familie , dus

een elektron kan in een negatief W veld en een elektron-neutrino vervallen. We moeten nu nogsteeds wel bedenken dat het hier alleen linkshandige elektronen en neutrino’s betreft.De rest van de termen aan de rechterkant van de vergelijkingen (3.11) geven aanleiding tot de neu-trale stroom interacties, waarbij neutrale bosonen worden uitgewisseld.De component en het veld mengen en komen in het interactiestuk van de toestandsvergelij-

king voor in de combinatie:

, (3.12)

waarbij de eerste term van de factor binnen de haakjes evenredig is met de 2x2 eenheidsmatrix en detweede term evenredig met de 2x2 matrix . De som matrix kunnen we roteren met

een hoek die de Weinberghoek heet, . Deze rotatie kan zo worden gekozen dat de twee lienaire

combinaties van en zonder een bilineaire kruisterm in de Langrangiaan voorkomen. De twee

lineaire combinaties van en zijn dan makkelijk met deeltjes te identificeren met een speci-

fieke massa. Dat een van de combinaties een grote massa en de ander een massa nul kan ontwikkelenzal in hoofdstuk 6 worden getoond, met het Higgs mechanisme. Na de rotatie ontstaan de eigen-velden:

iγµ ∂ µm–( )ψL g– '

Y2---γ

µB

µψL g– γµT W⋅µψL=

W

σ1 iσ2+

2-------------------- 0 1

0 0=

σ1 i– σ2

2----------------- 0 0

1 0= W

W+ W1 iW2–( )

2---------------------------= W

– W1 iW2+( )

2----------------------------=

W ±

iγµ ∂ µm–( )ψL g– '

Y2---γ

µB

µψL gγµσ3

2------W3

µψL

g

2-------γ

µ

0 0

1 0W

–µ

ψLg

2-------γ

µ

0 1

0 0W

+ µ

ψL–––=

iγµ ∂ µm–( )νL = g– '

Y2---γ

µB

µνLg2---γµW3

µνL–g

2-------γµW

+ µeL–

iγµ ∂ µm–( )eL = g– '

Y2---γ

µB

µeL

g2---γµW3

µeL

g

2-------γµW

– µνL–+

e-W

– νe

W3 B

γµ g'–Y2---B

µgT3σ3W3

µ–

ψL

σ3 diag(1,-1)=

θw

W3 B

W3 B


. (3.13)

waarbij is gedraaid over de hoek gedefinieerd door:

. (3.14)

Het neutrale stroom gedeelte van het interactiestuk in vergelijking (3.10) komt er met deze nieuwevelden uit te zien als:

(3.15)

Voor de rechtshandige elektronen, waar alleen een interactieterm met in voorkomt wordt de

Diracvergelijking met de velden en (voor de rechtshandige singlets geldt ):

. (3.16)

Als we nu het veld als het electromagnetisch veld zien, corresponderend met fotonen dan moet

voor de relatie tussen de electrische lading , de derde component van de zwakke isospin en de

hyperlading de volgende relatie gelden:

. (3.17)

Dit heet de Gell-Mann - Nishijima relatie. Om hieraan te kunnen voldoen moet de hyperlading voorlinkshandige elektronen zijn, terwijl die voor rechtshandige elektronen is, omdat

voor linkshandige elektronen en voor rechtshandige elektronen .

De electromagnetische koppelingsconstante wordt nu gegeven door:

. (3.18)

We zien dus dat de U(1)xSU(2) symmetrie meer is dan het product van twee onafhankelijke sym-metrieën en dat er een echte unificatie is, waarbij er velden van de twee transformatiegroepen men-gen tot fysische velden en waarbij er relaties tussen de koppelingsconstanten ontstaan.Uit het interactiestuk van de toestandsvergelijking kunnen we weer Feynmanregels destilleren:

de eW+ν koppeling krijgt een factor , (3.19)

de eZ0e koppeling krijgt een factor , (3.20)

Zµ gW3

µ– g'B

µ+

g2

g'2

+---------------------------------=

Aµ g'W3

µgB

µ+

g2

g'2

+----------------------------=

θwtang'g----=

g– 'Y2---γ

µB

µψL gγµT3

σ3

2------W3

µψL–

g– g' T3

σ3

2------ Y

2---+

γµAµ

g2T3

σ3

2------ g'

2Y2---–

γµZµ

+ ψL

g2

g'2

+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Bµ

Aµ

Zµ

T T3 0= =

iγµ ∂ µm–( )eR =

1

g2

g'2

+---------------------- gg'

Y2---

γµAµ

g'2Y2---–

γµZµ

+ eR

Aµ

Q T3

Y

Q T3Y2---+=

Y 1–= Y 2–=

T3 1 2⁄–= T3 0=

egg'

g2

g'2

+---------------------- g' θwcos g θwsin= = =

i e–

2 2 θwsin-------------------------γµ

1 γ5–( )

i e–4 θwsin θwcos---------------------------------γµ

1– 4– qe 2θwsin( ) γ5

+( )


met de electrische lading van het elektron (-1 dus in dat geval, maar analoog de electrische lading

van het lepton waaraan de Z koppelt),

de νZ0ν koppeling krijgt een factor , (3.21)

de W propagator krijgt een factor . (3.22)

de Z propagator krijgt een factor . (3.23)

Wie goed heeft opgelet heeft ook gezien dat aan de W en Z bosonen een massa van respectievelijk en is toegekend. Deze massa’s kennen we vrij goed op dit moment en zijn

GeV en GeV. Het feit dat de W en Z bosonen een massa

hebben, en nog wel zo’n grote, heeft interessante gevolgen voor de wereld om ons heen. Verder heb-ben we de zwakke koppelingsconstante aan de electromagnetische koppelingsconstante relateerddoor middel van de Weinberg hoek. Deze Weinberghoek is natuurlijk te meten door reacties met eenzwakke vertex te meten en met berekeningen (waarin de Weinberghoek als parameter voorkomt) tevergelijken. We vinden op deze manier dat

(3.24)

De hier boven genoemde waarden komen uit: D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15(2000) 1 and 2001off-year partial update for the 2002 edition available on the PDG WWW pages(URL: http://pdg.lbl.gov/) .

3.4 Het muon verval

Van alle stabiele elementaire deeltjes zijn alleen het elektron, de neutrino’s en het foton lichter danhet muon (en het gluon, de drager van de sterke kernkracht, maar dit kan niet ongebondenvoorkomen zoals we later zullen zien.) Wegens het behoud van leptongetal (per familie) kan hetmuon alleen vervallen in een muon-neutrino en een geladen W boson. Het geladen W boson is tezwaar om door het muon te worden geproduceerd en kan dus alleen “off-shell” worden gepro-deceerd, dus niet als vrij deeltje, maar als propagator die weer verder vervalt. Het W boson kan danalleen in de combinatie elektron en anti-elektron-neutrino vervallen (de enige andere combinatie ismuon en anti-muon-neutrino, maar die hebben samen te veel massa.) Het enige dat er nu nog alsextra kan gebeuren is dat er een of meer fotonen van het muon in de begintoestand of het elektron inde eindtoestand worden afgestraald. Dit geeft een extra koppeling van een geladen deeltje met een

qe

i e–4 θwsin θwcos---------------------------------γµ

1 γ5–( )

i gµν qµqν MW2⁄–( )–

q2

MW2

–-------------------------------------------------

i gµν qµqν MZ2⁄–( )–

q2

MZ2

–------------------------------------------------

MW MZ

MW 80.43 0.04±= MZ 91.188 0.002±=

2θwsin 0.232 0.001±=


foton en dus een onderdrukking van ongeveer te opzichte van het diagram waarbij het muonin een elektron, een muon-neutrino en een anti-elektron-neutrino vervalt.

Schrijven we het matrixelement voor het verval op zoals boven getekend dan krijgen we:

. (3.25)

Het muon-neutrino heeft altijd heliciteit -1 en het anti-elektron-neutrino heeft altijd heliciteit +1,zodat alleen over de inkomende muon spin hoeft te worden gemiddeld. Met behulp van de volgendespoortheorema’s:

, (3.26)

, en (3.27)

(3.28)

krijgen we nu (we verwaarlozen ten opzichte van ):

, (3.29)

waar we de Fermiconstante voor de zwakke wisselwerking hebben ingevoerd:

. (3.30)

Vullen we dit matrixelement in in de gouden regel voor vervalsbreedtes dan krijgen we:

, (3.31)

met de energie van deeltje in de eindtoestand, dus behorend bij vierimpuls . In het rustsys-

teem van het muon geldt en en dus

1 137⁄

µ+

νµ

νe

e+u(p)

u(k1)

u(k2)

v(k3)

q

Mgw

2 2----------u p( )γµ

1 γ5–( )u k1( )

1

q2

MW2

–--------------------

gw

2 2----------u k2( )γµ 1 γ5

–( )u k3( ) =

Tr γµa/ γν

b/( )Tr γµc/ γνd/( ) 32 a c⋅( ) b d⋅( ) a d⋅( ) b c⋅( )+[ ]=

Tr γµa/ γνγ5

b/( )Tr γµc/ γνγ5d/( ) 32 a c⋅( ) b d⋅( ) a d⋅( )– b c⋅( )[ ]=

Tr γµ1 γ5

–( )a/ γν1 γ5

–( )b/( )Tr γµ 1 γ5–( )c/ γν 1 γ5

–( )d/( ) 256 a c⋅( ) b d⋅( )=

q2

MW2

M2 1

2--- M

2

spin

∑2gw

4

MW4

--------- k1 k2⋅( ) k3 p⋅( ) 64GF2

k1 k2⋅( ) k3 p⋅( )= = =

GF

gw2

2

8MW2

------------- 1.166395–×10 GeV

2–≈=

dΓ 12E------- M

2 d3k1

2π( )32ω1

------------------------d

3k2

2π( )32ω2

------------------------d

3k2

2π( )32ω2

------------------------ 2π( )4δ4p k1– k2– k3–( )=

ωi i ki

E mµ= p 0=


. (3.32)

We zien dat het matrixelement alleen van de anti-elektron-neutrino energie afhangt en we kunnen de

faseruimte integreren over alle andere stukken van de eindtoestand, te beginnen bij :

. (3.33)

Ook zouden we graag integreren over de anti-elektron-neutrino impuls, omdat we dat neutrino ookniet kunnen waarnemen in de eindtoestand. Ook zitten we nog met een in de deltafunctie. We

kiezen de z-as in de richting van het anti-elektron-neutrino, dan kunnen we de hoek, , tussen ditneutrino en het elektron impliciet schrijven als:

(3.34)

en dus de integraal over deze hoek als integraal over de energie van het muon-neutrino:

. (3.35)

We kunnen nu integreren over :

. (3.36)

Vullen we deze faseruimteintegraal weer in met het matrixelement, dan krijgen we:

. (3.37)

We kunnen nu de integraal over de drie-impuls doen (we verwaarlozen de elektron massa):

. (3.38)

Nu moeten we ons realiseren dat ten hoogste kan zijn en ten minste moet

zijn. De integraal wordt daarmee:

2 k1 k2⋅( ) k3 p⋅( ) mµ2

2mµω3– me2

–( )mµω3=

k1

d3k1

2π( )32ω1

------------------------∫d

3k2

2π( )32ω2

------------------------d

3k2

2π( )32ω2

------------------------ 2π( )4δ4p k1– k2– k3–( )

1

8 2π( )5----------------- δ mµ ω1 ω2 ω3–––( )

d3k2d

3k3

ω1ω2ω3----------------------∫=

ω1

θ

ω1 k1 k2 k3+ ω22 ω3

22ω2ω3 θcos+ += = =

dω1

2ω2ω3 θsin–

2 ω22 ω3

22ω2ω3 θcos+ +

--------------------------------------------------------------dθ= dθ⇔ω1dω1–

ω2ω3 θsin------------------------=

d3k2 ω2

2 θsin dθdφ=

1

8 2π( )5----------------- δ mµ ω1 ω2 ω3–––( )

d3k2d

3k3

ω1ω2ω3----------------------∫

1

8 2π( )4----------------- δ mµ ω1 ω2 ω3–––( )

dω1dω2d3k3

ω32

-------------------------------∫1

8 2π( )4-----------------

dω2d3k3

ω32

---------------------∫

=

=

dΓ2GF

2

2π( )4mµ

--------------------- mµ2

2mµω3– me2

–( )mµω3

dω2d3k3

ω32

---------------------∫2GF

2

2π( )4----------------- mµ

22mµω3– me

2–( )

dω2d3k3

ω3---------------------∫

=

=

k3

dΓmµGF

2

2π3-------------- mµ 2ω3–( )ω3dω2dω3∫=

ω3 mµ 2⁄ mµ 2⁄ ω2–


. (3.39)

Hierin is de energie van het elektron en ligt daarmee het hele verval vast. We kunnen de integraal

over ook nog uitvoeren om de total vervalsbreedte te krijgen die omgekeerd evenredig is aan de

levensduur:

(3.40)

(uit : D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1 and 2001 off-year partialupdate for the 2002 edition available on the PDG WWW pages (URL: http://pdg.lbl.gov/).) In feite is de bewering om te draaien en levert de experimentele bepaling van de levensduur van hetmuon een van de beste bepalingen van de Fermi koppelingsconstante op. Het feit dat de experimen-tele bepaling van de levensduur en de meting van het energiespectrum van het vervalselektron pre-cies overeenkomt met de theoretische voorspelling geeft aan in welke grote mate de theorie hier eenbeschrijving geeft van de werkelijkheid.

3.5 Productie van Z bosonen

Z bosonen kunnen worden gemaakt door een elektron en een positron met elkaar te laten botsen. Indeze botsing annihileren het elektron en het positron en wordt één Z boson gevormd in het s-kanaal,zoals geïllustreerd in het volgende Feynmandiagram

Als de zwaartepunts energie van het elektron en positron precies de massa van het Z is dan krijgenwe in de propagator

(3.41)

en de werkzame doorsnede voor dit proces explodeert naar oneindig. Dit verschijnsel wordt resonan-tie genoemd. In de praktijk gaat de propagator niet naar oneindig, omdat het Z boson ook weer ver-valt. Als hiermee rekening wordt gehouden moet de propagator geschreven worden als:

, (3.42)

met de totale vervalsbreedte van het Z boson. De werkzame doorsnede wordt nu wel groot, maar

niet oneindig groot. Als we nu de zwaartepuntsenergie van het elektron-positron systeem rond demassa van de Z veranderen en de totale werkzame doorsnede meten dan kunnen we de resonantie-curve zichtbaar maken en daaruit de Z massa en totale vervalsbreedte meten. Dit is te zien in Figuur3.1. Het is in deze figuur duidelijk waarneembaar dat de resonantiecurve asymmetrisch is. Aan de

dΓdω2---------

mµGF2

2π3-------------- mµ 2ω3–( )ω3dω3

mµ 2⁄ ω2–( )

mµ 2⁄

∫mµ

2GF

2

12π3--------------ω2

23

4ω2

mµ---------–

= =

ω2

ω2

Γ 1τµ-----

mµ5GF

2

192π3---------------

12.19703 0.00004±( ) µs

------------------------------------------------------------= = =

e-

e+

Z0

1

q2

MZ2

–-------------------

q2 MZ2=

1

q2

MZ2

– iMZΓZ+------------------------------------------

ΓZ


kant van hoge energieën zit een veel grotere staart dan aan de lage energie kant. Dit is te verklarendoordat de elektronen en positronen voor ze botsen een foton kunnen uitzenden. Doordat dit fotoneen beetje energie meeneemt wordt de effectieve zwaartepuntsenergie van het systeem een beetjelager. Dit verschijnsel heet in het engels Initial State Radiation (ISR) en de correctie op de symme-trische vorm die dit teweegbrengt heet een stralingscorrecties.

FIGUUR 3.1. De elektron-positron annihilatie werkzame doorsnede voor energieën rond de massa vanhet Z boson. De drie curves zijn theorie voorspellingen voor een verschillende aanname van hetaantal lichte neutrino’s.

3.6 Productie van W bosonen

Tussen W en Z bosonen onderling is ook een koppeling. Het Z boson koppelt aan een paar W boso-nen. Rekening houdend met de Lorentz indices van de bosonen en hun impulsen ( ) krijgen we

voor de koppeling

een factor , (3.43)

en zo kan het W boson ook aan het foton koppelen met voor de koppeling

een factor , (3.44)

Deze koppeling laat toe dat als elektronen en positronen annihileren in hetzij een foton of een Zboson met een zwaartepuntsenergie van het virtuele foton of Z boson vervalt in een paar W

bosonen met tegengestelde lading. Ook deze reaktie is sinds een paar jaar geobserveerd bij LEP en ishet directe bewijs voor de koppeling tussen de ijkbosonen onderling.Er zijn ook koppelingen tussen twee Z bosonen en twee W bosonen en tussen een foton een Z bosonen twee W bosonen in één vertex mogelijk. Daarnaast bestaat ook de vierpuntskoppeling tussen vierW bosonen in één vertex.Al deze koppelingen tussen de ijkbosonen onderling hebben te maken met het feit dat de elementenvan de symmetriegroep niet met elkaar commuteren. Als ze dat wel zouden doen zouden er geenkoppelingen tussen de ijkbosonen onderling zijn. In de groepentheorie heten groepen waarvan deelementen wèl commuteren Abelse groepen. Dit taalgebruik is terug te vinden in de deeltjesfysica

σ

ν ν ν

! "#

$√

%

ki

Wµ k1( )Zν k2( )Wλ k3( )i e θwcos

θwsin-------------------- gµλ k1 k3–( ) gλν k3 k2–( ) gνµ k2 k1–( )+ +[ ]

Wµ k1( )γν k2( )Wλ k3( ) i e– gµλ k1 k3–( ) gλν k3 k2–( ) gνµ k2 k1–( )+ +[ ]

2MW


waar, bijvoorbeeld, de symmetriegroep U(1)xSU(2) aanleiding geeft tot een niet Abelse ijkgroep (inhet engels: non-Abelian gauge group) en de koppeling tussen de ijkbosonen de niet-Abelse koppelin-gen heten. Omdat de koppelingsconstante van de interacties voldoende klein is heeft de zelfkop-peling van de ijkbosonen maar een beperkte invloed op de verschillende interacties. Figuur 3.2 toontde werkzame doorsnede voor elektron-positron annihilatie voor invariante massa’s vlak bij .

FIGUUR 3.2. De werkzame doorsnede voor W paar produktie in elektron-positron annihilatie.Behalve de voorspelling van het Standaard Model, met zowel een foton als een Z propagator, is ookde voorspelling met alleen de foton propagator getekend. Deze voorspelling beschrijft de metingenduidelijk niet, terwijl als ook de Z propagator (en dus de ZWW koppeling) wordt meegenomen in deberekeningen de voorspelling heel goed overeenkomt met de metingen.

3.7 De ontdekking van het tau-lepton

In 1975 werden bij de SPEAR elektron-positron botser gevallen gevonden waarbij één elektron (ofpositron) en één positief (of negatief) muon in de eindtoestand zichtbaar waren en verder eenhoeveelheid energie onzichtbaar verdween. Al vrij snel was de hypothese dat deze gevallen wordenveroorzaakt door een nieuw deeltje dat in een paar wordt geproduceerd en ofwel in een elektron(positron) ofwel in een muon kan vervallen, waarbij in het verval minstens ook nog een onzictbaardeeltje wordt geproduceerd. Hier is natuurlijk een analogie met het muon verval in het elektron. Hetblijkt ook dat het energiespectrum van het vervals elektron of muon voor dit nieuwe deeltje dezelfdevorm heeft als dat van het elektron in het muon verval. De conclusie was uiteindelijk dat het eennieuw deeltje betrof dat hetzelfde is als het elektron of het muon, alleen in massa nog zwaarder,namelijk 1777 MeV. Dit deeltje wordt het tau-lepton genoemd. Er is ook een tau-neutrino in volle-dige analogie met het elektron en muon. Het tau-lepton en het tau-neutrino vormen de derde lepton-familie. Uit Figuur 3.1 zien we dat als we precies drie lichte neutrino soorten aannemen, de theoriede metingen zeer goed beschrijft en dat een extra licht neutrino zeer onwaarschijnlijk is. Het is danook onwaarschijnlijk dat er nog meer lepton families zijn, dus het tau-lepton besluit het verhaal vande leptonen.Een klein haartje in de soep was tot voor kort dat het tau-neutrino wel geproduceerd was, namelijk intau lepton vervallen, maar nooit als inkomend deeltje is waargenomen, iets dat met de andere neu-trino’s wel het geval is. Er zijn bundels van elektron-neutrino’s en met name ook van muon-neu-

2MW

√s

[GeV]

σ(e

+ e− →W

+ W− (γ

))

[pb]

LEP

ν& e' exchange

no ZWW vertex

Standard Model(Data

Preliminary

0

10

20

160 170 180 190 200


trino’s gemaakt die op een doel zijn geschoten en waarvan de verstrooiingsproducten zijnwaargenomen. Recentelijk zijn inkomende tau neutrino’s waargenomen in de DONUT detector (K.Kodama et al., Physics Letters B504 (2001) 218), zodat nu ook dit losse rafeltje netjes vast zit.

3.8 Samenvatting van de lepton sector

We hebben dus gezien dat we drie families van leptonen hebben: het elektron en het elektron-neu-trino, het muon en het muon-neutrino en het tau-lepton en het tau-neutrino. De neutrino’s hebben eenzeer kleine massa en alleen de linkshandige chiraliteit van het neutrino is waargenomen. Elk vandeze families heeft een SU(2) symmetrie met het geladen lepton en het neutrino in a doublet struct-uur voor de links-handige spin toestanden. Zowel de linkshandige als de rechtshandige geladen lep-tonen zijn ook invariant onder de U(1) symmetrie. De gecombineerde U(1)xSU(2) symmetrie geeftals ijktheorie vier ijkbosonen die de onderlinge krachten overbrengen: twee geladen massieve Wbosonen, een neutraal massief Z boson en een neutraal massaloos foton. De U(1) en SU(2) sym-metrieën mengen en kunnen niet onafhankelijk van elkaar worden beschouwd. Er is dus een echteunificatie tussen de electromagnetische kracht (geassocieerd met de U(1) symmetrie) en de zwakkekernkracht (geassocieerd met de SU(2) symmetrie) en de koppelingsconstanten van de twee krachtenzijn aan elkaar gerelateerd. Het foton, het Z boson en de W bosonen zijn alle experimenteel waar-genomen. Ook is bevestigd dat de ijkbosonen onderling koppelen zoals voorspeld door de niet-Abelse ijktheorie.


3.9 Opgaven

3.1 In de LEP ring worden elektronen en positronen versneld tot gelijke energie. Wat moet die energie zijn om bij annihilatie een Z boson te maken ? Wat moet de minimale energie zijn om een paar W bosonen te maken ?

3.2 Waarom worden er ook Z bosonen gemaakt als de zwaartepuntsenergie iets lager is dan de Z boson massa ?

3.3 De totale vervalsbreedte van het Z boson is ongeveer 2.5 GeV. Wat is de levensduur van het Z boson ?

3.4 Wat verwacht je voor de verhouding van de vervalsbreedte van het W and het Z boson ?3.5 Wat is de verhouding tussen het aantal keer dat een Z boson in een elektron-positron paar, een

muon paar, een tau paar en een neutrino paar (één van de drie soorten) vervalt ?3.6 Er is een plan voor het maken van een muonbotser. In deze muonbotser worden positieve en

negatieve muonen gemaakt, versneld en in een opslagring in tegengestelde richting met elkaar gebotst. De muonen worden gemaakt door met een protonbundel op trefplaatjes te schieten en zo pionen te produceren, die in muonen en neutrino’s vervallen. Vervolgens is het probleem om de muonen allen met dezelfde energie in dezelfde richting te laten gaan. Wat is de oor-sprong van dit probleem ? Als we de muonen met dezelfde energie in dezelfde richting kunnen laten gaan, kunnen we ze snel versnellen en naar de opslag ring transporteren. Waarom moeten we ze snel versnellen ? Stel dat we heel snel kunnen versnellen en dat de tijd die we nodig heb-ben om de muonen met de uiteindelijke energie in de opslagring te krijgen verwaarloosbaar is ten opzichte van de vervalstijd. De uiteindelijke energie per muon in de eerste fase van dit experiment is gepland op ongeveer 75 GeV. Wat is de levensduur van de muonen voor waarnemers die ten opzichte van de opslagring in rust zijn ? Het magneetveld dat door de buig-magneten die de muonen in een cirkelvormige baan houden is 10 Tesla. Hoe groot is de straal van de cirkel waarin de muonen zich bewegen ( ) ? Hoe veel omwentelingen maakt het muon gemiddeld voor het vervalt ? (De luminositeit schaalt met het aantal omwentelingen van het muon (waarom?)) Wat is de straal in hetzelfde magneetveld voor een muon impuls van 1000 GeV (de uiteindelijke energie waarvoor deze botser wordt gemaakt) ? Hoeveel omwentelingen maakt het muon voor het vervalt bij 1 TeV (=1000 GeV) ?

r [m] p [GeV]( ) 3B [T]( )⁄=


HOOFDSTUK 4 Van hadronen tot quarks

In dit hoofdstuk maken we kennis met quarks. We zullen laten zien dat er diverse redenen zijn om aante nemen dat hadronen, baryonen en mesonen, uit quarks zijn opgebouwd. We zullen laten zien hoehadronen uit quarks zijn opgebouwd met het spectroscopisch model voor hadronen. Vervolgens latenwe de dynamica van quarks in hadronen zien aan de hand van diep inelastische verstrooiing. Uit hetspectroscopisch model en diep inelastische verstrooiingsresultaten kunnen we leren hoe de interactietussen quarks werkt en we zullen de sterke kernkrachten ten gevolge van de SU(3) kleursymmetrieinvoeren, waarbij we als ijkbosonen een achttal gluonen introduceren. We laten zien dat een aantalverschijnselen die met de sterke kracht tussen quarks te maken hebben afhankelijk zijn van de ener-gie-schaal. Ten slotte zal aannemelijk worden gemaakt dat quarks opgesloten zitten in hadronen enzal een korte blik op hadronisatie van quarks worden geworpen.

4.1 Het proton, het neutron en isospin symmetr ie: up en down quarks

We gaan ervan uit dat we weten dat atomen zijn opgebouwd uit een atoomkern en elektronen. Deatoomkern is opgebouwd uit protonen, deeltjes met spin 1/2 en lading +1, en neutronen, deeltjes metspin 1/2 en zonder elektrische lading. Verder weten we dat neutronen in ongebonden toestand inongeveer 15 minuten uiteenvallen in een proton, een elektron en een anti-neutrino (de laatste door dehypothese van Pauli.) In dit laatste herkennen we een verval net als dat van het muon. Alleen in ditgeval neemt het neutron de plaats in van het muon en het proton van het muon-neutrino. We zoudendus het proton en neutron kunnen schrijven als zwak isospin doublet.Vanuit een andere invalshoek weten we dat atoomkernen die iets complexer zijn dan die van water-stof (dat uit één enkel proton bestaat), zoals de kern van een Helium atoom, bestaan uit protonen enneutronen. We weten ook dat de neutronen in de gebonden toestand van een atoomkern over hetalgemeen niet op de elektrozwakke manier uit elkaar vallen in een proton, een elektron en een neu-trino (dat gebeurt in sommige instabiele atoomkernen wel, dit heet bèta verval.)Verder weten we dat in een atoomkern zoals van Helium meerdere protonen en neutronen bij elkaarblijven in een gebonden toestand, ondanks de elektrostatische afstoting van de protonen. Kennelijk iser tussen protonen en neutronen een kracht die sterker is dan de elektrische kracht, maar die alleeninvloed heeft op heel kleine afstanden. De hypothese door Yukawa geopperd is de sterke kernkrachttussen protonen onderling, neutronen onderling en tussen protonen en neutronen wordt overgedragendoor een massief deeltje. Dit boodschapperdeeltje van de sterke kernkracht is ook in kosmische stral-ing gevonden, ongeveer tegelijkertijd met het muon, en wordt pion ( )genoemd. Het pion komt in

drie ladingen voor , en .We concluderen dus dat het proton en neutron niet zomaar het zwakke isospin doublet zijn, net zoalshet elektron en elektron-neutrino bijvoorbeeld. Toch laten we het idee van het isospin doublet nietlos en schrijven het proton en neutron als zo’n doublet:

. (4.1)

Historisch is juist eerste dit isospin doublet opgeschreven door Heisenberg in 1932, ver voordat deelektrozwakke isospin structuur duidelijk werd. In dit geval hebben we te maken met de isospin

π

π – π0 π+

p

n

KUN 5TUE 5


structuur van de sterke kernkracht. En in dit geval zijn de ijkbosonen niet de W- en Z-bosonen, maarde pionen. In Feynmandiagrammen zijn de volgende reacties op te schrijven die het proton en neu-tron bij elkaar houden:

Aan het proton en neutron kennen we een sterke isospin van 1/2 toe. Als we het proton en neutron alsonderdeel van hetzelfde sterke isospin doublet opvatten kunnen we aan het proton als projectie vande isospin een +1/2 toekennen en aan het neutron -1/2, net zoals bij gewone spin. Aan de uitgewis-selde pionen kunnen we ook een sterk isospin quantumgetal geven, namelijk 1. De drie verschillendeladingsvarianten van het pion worden dan als projectie van die isospin genomen met als projectie-

quantumgetallen +1 voor het , 0 voor het en -1 voor het . De eindige dracht van de krachtdoor uitwisseling van pionen, die een massa van ongeveer 135 tot 140 MeV hebben kan wordeningezien door de statische potentiaal te beschouwen van een deeltje dat voldoet aan de Klein-Gordonvergelijking (zoals de pionen). Als we een tijdonafhankelijke oplossing beschouwen als potentiaal

van een bron op plaats dan wordt de Klein-Gordon vergelijking:

, (4.2)

met als oplossing de Yukawa potentiaal:

, (4.3)

met als typische dracht voor de potentiaal:

. (4.4)

4.1.1 Clebsch-Gordan coëfficiënten

Het blijkt nu dat we met deze sterke isospin vervalsverhoudingen en relatieve werkzame doorsnedenkunnen bepalen. Dit gaat met behulp van Clebsch-Gordan coëfficiënten. Als we deeltjes met spin (ofisospin) beschouwen kunnen we simultaan de totale spin en de spin projectie in één quantisatie-asmeten. Bijvoorbeeld een fermion kan in twee spin toestanden voorkomen:

|1/2,1/2> en |1/2,-1/2>, (4.5)waarbij het eerste quantumgetal de totale spin is en het tweede de projectie in een bepaalde, arbi-traire, richting. Als we nu twee deeltjes met een bepaalde totale en projectieve spin samenvoegen ineen golffunctie, bijvoorbeeld als ze een interactie hebben, dan kunnen we toestand ontbinden ineigentoestanden van de totale spin en de spinprojectie als:

p p

n n

p

pn

n

π0 π ±

π+ π0 π –

U r( ) r 0=

2U r( )∇ 1

r2

----r∂

∂r

2

r∂∂

U r( ) m

2U r( )= =

U r( ) gr---e

mr–=

R1m----=

j m


, (4.6)

waarbij de Clebsch-Gordan coëfficiënten kunnen worden uitgerekend, maar ook opgezocht in tabel-len, zoals bijvoorbeeld in het Particle Data Book waaraan de volgende tabel is ontleend.

FIGUUR 4.1. Clebsch-Gordan coëfficiënten, ontleend aan het Particle Data Book. Uit elke coëfficiëntmoet nog een wortel worden getrokken, waarbij het teken voor de wortel komt te staan, bijvoorbeeld

wordt .

Als voorbeeld kunnen we nu de volgende reactie bestuderen:

. (4.7)

De relative verstrooiingamplitude voor deze reacties kunnen we berekenen door aan te nemen dat dedynamica van de reactie hetzelfde is in alle drie gevallen en dat het verschil zit in de verschillendesterke isospin toestanden die kunnen worden aangenomen. Het deuteron heeft sterke isospin 0.Aan de rechterkant van de reacties (de uitgaande toestanden) hebben we de eigentoestanden van desterke isospin met de quantumgetallen:

, (4.8)

terwijl aan de rechterkant de projecties op deze eigentoestanden zijn:

|j1 m1>|j2 m2>,, Cmm1m2

j j1j2 |j m>,

j j1 j2–=

j1 j2+

∑=

+) 1

5/2*

5/2*3/2

+ 3/2+

+) 3/2

1/54/5

, 4/5−1/5

5/2*

5/2*

−1/2

3/5+2/5

-−1−2

3/2+

−1/2

2/5-

5/2*

3/2+

−3/2−3/2

4/51/5 −4/5

1/5

−1/2−2 1

−5/25/2

*−3/5

−1/2+) 1/2

+) 1 −1/2 2/5-

3/5+

−2/5

−1/2

2-

+2

+3/2

+) 3/2

5/2*

+5/2 5/2*

5/2*

3/2+

1/2

1/2−1/3

−1

+) 10

.1/6

+) 1/2

+) 1/2−1/2−3/2

+) 1/2

2/51/15

−8/15

+) 1/2

1/10

3/10+ 3/5

+5/2

*3/2

+1/2

−1/2

1/6−1/3 5/2

*5/2

*−5/2

1

3/2+

−3/2

−3/52/5

−3/2

−3/2

3/5+2/5

1/2

−1

−1

0.

−1/2

8/15/

−1/15−2/5

−1/2−3/2

−1/2

3/10+

3/5+

1/10

+) 3/2

+3/2+) 1/2−1/2

+) 3/2+) 1/2

+2 +1

+2+1

0.

+) 12/5

-3/5

+3/2

+3/5

+−2/5

−1

+10

.+3/21+1

+) 3

+1

1

0. 3

+1/3

+) 2

2/3

2-

3/2+

3/2+1/32/3

+) 1/2

0.

−1

1/2+) 1/2

2/3-

−1/3

−1/2+1/2

1

+) 1 10

.1/21/2

−1/2

0.0

.1/2

−1/2

1

1

−1−1/2

1

1−1/2+) 1/2

+1/2 +1/2+1/2−1/2

−1/2+) 1/2 −1/2

−1

3/2+2/3

-3/2

+−3/2

1

1/3

−1/2

−1/2

1/2

1/3−2/3

+) 1 +) 1/2

+) 10

.+) 3/2

2/3 3+

3+

3+

3+

3+1−1−2

−32/31/3

−22

1/3−2/3

−2

0.

−1−2

−10

.+1

−1

6/1508/15

/1/15

2−1

−1−2

−10

.1/2

−1/6−1/3

1−1

1/10−3/10

3/5+

0. 2

0. 1

0.

3/10+−2/53/10

+0.1/2

−1/2

1/5

1/53/5

++1

+) 1

−10

.0

.−1

+1

1/158/15

/6/15

02

+) 2 2-

+1

1/21/2

1

1/2 2-0

.1/6

1/62/3

1

1/2

−1/2

0.0

.2

2-

−2

1−1−1

1−1

1/2−1/2

−1

1/21/2

0.0

.

0.

−1

1/3

1/3−1/3

−1/2

+1

−1

−10

.+) 1

0.

0.

+) 1−1

2

1

0.

0.

+1

+1+1

+1

1/31/6

−1/2

1+1

3/5+

−3/101/10

−1/3

−10

.+1

0.+2

+) 1

+2

3+

+3/2

+1/21 +) 1

1/4 2

2-

−11

2−2

1

−1

1/4

−1/2

1/21/2

−1/2 −1/2+) 1/2−3/2

−3/2

1/2

10

.0

.3/4

++) 1/2−1/2 −1/2

2+) 1

3/4+

3/4+

−3/41/4

−1/2+1/2

−1/4

1

+) 1/2−1/2+) 1/2

1

+) 1/2

3/5+

0.

−1

+1/20. +) 1/2

3/2+

+) 1/2

+5/2

+2 −1/2

1/2+) 2

+) 1 +1/2

1

2×1/2

3/2×1/2

3/2×12×1

1×1/2

1/2×1/2

1×1

2 3 4 5 4 6 3 7 8 j9

j9: : ; ; ;; ; ;

;;;;;;

< = < >< = < > ? 3 @ A A 6 B 6 @ 7 4 C

1– 2⁄ 1 2⁄–

p p d π++→+

p n d π0+→+

n n d π –+→+

d

|0 0>|1 1>,, |1 1>,=

|0 0>|1 0>,, |1 0>,=

|0 0>|1 1– >,, |1 1– >,=


. (4.9)

We zien dat in de eerste en laatste reactie de projectie op de eindtoestand volledig is, terwijl voor de

tweede reactie de projectie op de eindtoestand een factor geeft voor de amplitude en dus eenfactor 1/2 voor de werkzame doorsnede. De verhouding van de werkzame doorsnedes wordt dan dusgegeven door:

. (4.10)

De verhouding van de eerste twee processen is gemeten en inderdaad is de verhouding van de werk-zame doorsnedes ongeveer 2:1.

4.2 Het spectroscopische model van lichte quarks: het strange quark

Behalve protonen, neutronen en pionen waren er in de eerste helft van de zestiger jaren nog een hele-boel deeltjes bekend met eigenschappen die vooral leken op die van protonen en neutronen of op dievan pionen. De eerste groep worden baryonen genoemd (de zware deeltjes), de tweede groep de me-sonen (de halfzware deeltjes, de lichte deeltjes zijn de leptonen.) De baryonen en mesonen samenvormen de hadronen.Al deze deeltjes zijn door Murray Gell-Mann in 1961 gepresenteerd in diagrammen die de verschil-lende deeltjes groeperen en indelen. Een voorbeeld van zulke diagrammen zijn het baryon octet enhet meson octet:

Behalve de lading Q, die constant is langs de diagonale lijnen, is hier ook een quantumgetal“strangeness” S ingevoerd. Het was al bekend dat de baryonen en mesonen die hier een strangenessS hebben die ongelijk aan nul is relatief lange levensduur bezitten. Verder was bekend dat deze bary-onen en mesonen kennelijk op een andere manier worden geproduceerd (met relatief grote waar-schijnlijkheid en dan in paren) dan dat ze vervallen (langzaam en in “gewone” baryonen en mesonen,zonder strangeness.) Uit deze rangschikking vonden Gell-Mann en Zweig (onafhankelijk) in 1964dat deze structuren makkelijk te verklaren zijn als de baryonen en mesonen zijn opgebouwd uit klei-nere deeltjes die we quarks noemen. Om de bekende deeltjes goed te beschrijven zijn drie soortenquarks nodig, die we het up-quark, down-quark en strange-quark noemen. Verder blijkt dan dat bary-onen groepjes van drie quarks zijn en mesonen groepjes van één quark en één anti-quark. Voor debaryonen in het bovenstaande octet krijgen we de quark combinaties die in Tabel 4.1 zijn gegeven.Voor de mesonen is dit in Tabel 4.2 gegeven. Om dit allemaal kloppend te krijgen blijken we in een-heden van elektron- (of proton-) lading fractionele elektrische ladingen voor de quarks nodig te heb-

|1 2⁄ 1 2⁄ >|1 2⁄ 1 2⁄ >,, |1 1>,=

|1 2⁄ 1 2⁄ >|1 2⁄ 1– 2⁄ >,, 1 2⁄( ) |1 0>, |0 0>,+( )=

|1 2⁄ 1– 2⁄ >|1 2⁄ 1– 2⁄ >,, |1 1– >,=

1 2⁄

σ p p d π++→+( ):σ p n d π0

+→+( ):σ n n d π –+→+( ) 2:1:2=

Σ0

ΛΣ – Σ+

n p

Ξ – Ξ0

S=0

S=-1

S=-2

Q=-1 Q=0 Q=+1

π0

ηπ – π+

K –

K0

S=1

S=0

S=-1

Q=-1 Q=0 Q=+1

K+

K0

Het baryon octet Het meson octet


ben. De down- en strange-quarks hebben lading -1/3 en de up-quarks +2/3 in eenheden van proton-lading. Verder kennen we aan de up- en down-quarks strangeness 0 toe en aan de strange-quarksstrangeness -1. De quarks hebben spin 1/2.

Baryon qqq Q S

p uud +1 0

n udd 0 0

uus +1 -1

uds 0 -1

dds -1 -1

uds 0 -1

uss 0 -2

dss -1 -2

TABEL 4.1. Quark inhoud van baryonen en hun quantumgetallen.

Meson qq Q S

ud +1 0

ud 0 0

(uu-dd)/ -1 0

(uu+dd-2ss)/ 0 0

us +1 +1

us -1 -1

ds 0 +1

ds 0 -1

TABEL 4.2. Quark inhoud van mesonen en hun quantumgetallen.

Σ+

Σ0

Σ –

Λ

Ξ0

Ξ –

π+

π –

π0 2

η 6

K+

K –

K0

K0


4.3 Het quantumgetal kleur

De baryonen die we in de vorige sectie zagen hebben allemaal spin 1/2. Uit drie quarks met spin 1/2kunnen we natuurlijk ook baryonen vormen met spin 3/2. Deze blijken grafisch weer te geven als inFiguur 4.2.

FIGUUR 4.2. Decuplet van spin 3/2 baryonen.

Een van de dingen die hier bij opvallen is het bestaan van het baryon dat een uuu quark combi-natie zou moeten zijn. Maar in dit geval hebben alle drie de u-quarks dezelfde spin toestand. HetPauli-principe voor fermionen staat niet toe dat deze drie u quarks in dezelfde quantumtoestand zijn.De uitweg is dat de drie quarks kennelijk een quantumgetal hebben dat voor alle drie verschillend is.

Dit voorstel is gedaan door Greenberg in 1964. De simpelste manier om dit te bereiken voor het baryon (met drie schijnbaar identieke quarks in dezelfde toestand) is om een quantumgetal te hebbendat drie verschillende waarden aan kan nemen. Dit quantumgetal noemen we kleur en de kleurtoe-standen noemen we rood, groen en blauw. Het woord kleur betekent niets in de klassieke betekenisvan het woord. Maar met de notie van kleur kunnen we wel eenvoudig beschrijven hoe de kleur-quantumgetallen verdeeld moeten zijn in baryonen en mesonen. We postuleren nu dat alleenkleurneutrale, combinaties van quarks voorkomen, namelijk drie quarks bij elkaar met de kleurenrood, groen en blauw, dit zijn de baryonen, en quark-anti-quark combinaties met rood-anti-rood,groen-anti-groen en blauw-anti-blauw, dit zijn de mesonen. In dit beeld zijn dit de twee simpelste enook de enige twee irreducibele manieren om kleurneutrale objecten te krijgen en dit correspondeert

precies met wat we in de natuur waarnemen.1

Het is verder belangrijk om ons te realiseren dat er nog nooit vrije quarks zijn waargenomen, maardat dat volgens dit model ook niet kan.Verder kunnen we makkelijk inzien dat de kleur quantumgetallen een globale SU(3) symmetrie heb-ben. Later zullen we die symmetrie gebruiken in een ijktheorie voor de sterke wisselwerking.

1. In feite is de eis voor kleurneutraalheid nog stringenter: alleen kleursinglets komen als stabiele combinaties voor. Voor mesonen betekent dat dat alleen de combinatie rr+gg+bb voorkomt als kleurneutrale lineaire superpositie van de quark-anti-quark toestand in stabiele mesonen.

∆ – ∆0 ∆+ ∆++

Σ∗ –Σ∗ 0 Σ∗ +

Ξ∗ 0 Ξ∗ –

Ω –

Q=-1 Q=0 Q=+1 Q=+2

S=0

S=-1

S=-2

S=-3

∆++

∆++


4.4 Diep inelastische elektron-proton verstrooiing

Het bestaan van quarks is direct bevestigd door de verstrooiing van elektronen aan protonen. Alselektronen met hoge energie op protonen worden geschoten blijkt de verstrooiing niet goed meer tebeschrijven als verstrooiing aan een homogeen object, maar blijkt dat het proton een eindige afmet-ing heeft en dat er in het proton harde pitjes zitten, die we met quarks kunnen identificeren.Laten we uitgaan van puntvormige elektronen en een elektromagnetische interactie met het proton.Voor het proton nemen we niets in het bijzonder aan. Het Feynman diagram voor de elektron-protonverstrooiing kunnen we dan tekenen als:

We zullen uitgaan van het experiment waarbij het proton in de begintoestand in rust is. Dus:

. (4.11)

Verder nemen we het elektron massaloos en kiezen de z-as langs de inkomende elektron richting:

. (4.12)

Kijken we dan naar het verstrooide elektron dan kunnen we de vierimpuls daarvan uitdrukken in:

, (4.13)

waarbij de verstrooiingshoek is van het uitgaande elektron met betrekking tot de richting van hetinkomende elektron. Verder definiëren we het oplossend vermogen van het foton als:

. (4.14)

Elektron

Proton

p2

p1 p3

p4

pn

q

Foton

p2

Mp

0

0

0

=

p1

E

0

0

E

=

p3

E'

0

E' θsin

E' θcos

=

θ

Q2

q2

–≡ 2EE' 1 θcos–( )=

KUN 6TUE 6


Het spin-gemiddelde matrixelement in het kwadraat voor elastische elektron-proton verstrooiing ishetzelfde als dat voor de verstrooiing van twee geladen leptonen, zoals we hebben gezien in hoofd-stuk 2:

. (4.15)

Omdat we het elektron als puntvormig aannemen kunnen we de uitdrukking voor de elektron-tensorzo uit hoofdstuk 2 overschrijven:

. (4.16)

Als het proton niet puntvormig is kunnen we toch nog wat zeggen over de structuur van de protontensor. Om te beginnen kunnen we de hele reactie karakteriseren als we alleen het uitgaande elektronmeten. We integreren de werkzame doorsnede dus over de de impulsen tot en met . De formule

voor de werkzame doorsnede (de gouden regel van Fermi) luidt in dit geval:

. (4.17)

De tensor hangt nu in het algemeen af van de eindtoestand gedefinieerd door , maar

deze afhankelijkheid kunnen we absorberen door een herdefinitie van de proton tensor:

(4.18)

De enige kinematische variabelen, tensoren, waar de proton tensor van af kan hangen zijn de uit-

gaande impuls van het elektron en de foton impuls. We nemen dus en als onafhankelijke ki-

nematische grootheden. We kunnen nu de tweede rangs tensor in de meest algemene vorm

schrijven als:

. (4.19)

De tensor is de volledig anti-symmetrische tensor, dat wil zeggen dat de waarde nul is alstwee van de indices gelijk zijn, de waarde een is als de indices een even permutatie vormen van 0123,en min een als de permutatie oneven is. In het geval van een puur elektromagnetische reactie kanmen laten zien dat de factoren die en vermenigvuldigen nul zijn en dat deze termen wegval-

len (de kinematische factoren schenden pariteitsbehoud en omdat we weten dat de elektromag-netische interactie pariteit wel behoudt vertrekken deze termen.) Verder kunnen we laten zien datmoet gelden:

M2⟨ ⟩ e

4

q4

-----Lelektronµν

Kµνproton

=

Lelektronµν

2 p1µp3

νp1

νp3

µg

µν– p1 p3⋅( )+( )=

p4 pn

dσ M2⟨ ⟩

4 p1 p2⋅( )2--------------------------

d3p3

2π( )32E3

-----------------------d

3p4

2π( )32E4

-----------------------…d

3pn

2π( )32En

----------------------- 2π( )4δ p1 p2 p3 p4– …– pn––+( )=

Kµνproton

p4…pn

Wµνproton 1

4πMp-------------- … Kµν

proton d3p4

2π( )32E4

-----------------------…d

3pn

2π( )32En

-----------------------

2π( )4δ p1 p2 p3 p4– …– pn––+( )

∫∫alle eindtoestanden

∑=

p2µ

qν

Wµνproton

Wprotonµν

W1gµν

– W2

p2µp2

ν

Mp2

----------- W3

iεµναβqαqβ

2Mp2

----------------------------

W4q

µq

ν

Mp2

----------- W5

p2µq

νp2

νq

µ+( )

Mp2

---------------------------------- W6

i p2µq

νp2

ν– q

µ( )

2Mp2

---------------------------------

+ + +

+ +

=

εµναβ

W3 W6


, (4.20)

waaruit volgt dat:

. (4.21)

Dus de proton tensor vereenvoudigt tot een uitdrukking met twee onbekende grootheden (die nogwel van de vrije kinematische variabelen af kunnen hangen):

. (4.22)

Contraheren we deze uitdrukking met die van de lepton tensor en gebruiken we de definitie van dekinematica in het rust-systeem van het proton met het inkomend elektron langs de z-as dan krijgenwe voor het spin-gemiddelde matrixelement in het kwadraat:

. (4.23)

De functies en heten de structuurfuncties van het proton en zijn afhankelijk van twee onaf-

hankelijke kinematische grootheden in de reactie. Experimenteel kunnen we daarvoor het best deenergie van het uitgaande elektron en de verstrooiingshoek van het uitgaande elektron met betrek-

king tot het ingaande elektron kiezen. Theoretisch blijkt een goede keuze de virtualiteit, of het

oplossend vermogen, van het foton, , en een variabele die Bjorken-x heet:

, (4.24)

en waarvan we in het volgende laten zien dat die een directe fysische betekenis heeft.Een andere variabele die men vaak tegenkomt in diep inelastische verstrooiing van leptonen aanhadronen is

, (4.25)

die geïnterpreteerd kan worden als de fractie van de energie die het lepton aan het uitgewisselde

foton overdraagt (in Lorentz-invariante notatie). Van de variabelen , en zijn er maar tweeonafhankelijk te kiezen. Tussen de variabelen geldt de relatie (als we het electron en proton massa-loos nemen):

, (4.26)

waarin de zwaartepuntsenergie van het electron-proton systeem is.In de limiet dat het proton wordt gezien als een object en de elektron-proton verstrooiing elastisch iskunnen we de werkzame doorsnede simpelweg krijgen door te nemen:

qµWµν

proton0=

W4

Mp2

q2

-------W1

q p2⋅

q2

------------

W2+= en W5

q p2⋅

q2

------------

– W2=

Wprotonµν

W1 gµν

–q

µq

ν

q2

-----------+ W2

Mp2

------- p2µ q p2⋅

q2

------------

– qµ

p2ν q p2⋅

q2

------------

– qν

+=

dσdE'dΩ----------------

α2

4E2

4 θ 2⁄( )sin

------------------------------------- 2W1sin2 θ 2⁄( ) W2cos

2 θ 2⁄( )+( )=

W1 W2

E'

θ

Q2

xq

2

2 q p2⋅( )---------------------–=

yq p2⋅p1 p2⋅---------------=

Q2

x y

Q2

sxy=

s


FIGUUR 4.3. Dubbele differentiële werkzame doorsnede voor 4.9 GeV elektronen verstrooid aanwaterstof en gemeten bij een hoek van 10° in a laboratorium systeem uitgezet tegen de energie vanhet verstrooide elektron, , in GeV. De tweede schaal, , geeft de invariante massa van het nietgedetecteerde hadron systeem.

. (4.27)

Uit experimenten met hoge energie elektronen blijkt dat de proton structuurfuncties niet deze trivialestructuur hebben. In Figuur 4.3 zien we de dubbele differentiële werkzame doorsnede voor elektron-proton verstrooiing als funktie van de energie van het uitgaande elektron, gemeten bij een vaste hoekvan 10° met betrekking tot de inkomende elektron richting in het rustsysteem van het getroffen pro-ton. Deze meting is uit Bartel et al. gepubliceerd in 1968. Behalve de elastische verstrooiingpiek iser bij lagere energieën van het uitgaande elektron, en dus hogere uitgewisselde impuls met het pro-ton, structuur te zien die niet te verklaren is als het proton een puntdeeltje is.Dubbele differentiëlewerkzame doorsnede voor 4.9 GeV elektronen verstrooid aan waterstof en gemeten bij een hoek van

E' W

W1 Q2

x,( )K1 Q

2( )

2Mpq2

------------------δ x 1–( )–1

2Mp----------δ x 1–( )= =

W2 Q2

x,( )K2 Q

2( )

2Mpq2

------------------δ x 1–( )–Mp

q2

-------– δ x 1–( )= =


10° in a laboratorium systeem uitgezet tegen de energie van het verstrooide elektron, , in GeV. De

tweede schaal, , geeft de invariante massa van het niet gedetecteerde hadron systeem.

Op grond van de aanname dat het proton is opgebouwd uit een aantal puntdeeltjes, heeft Bjorken de

voorspelling gedaan dat de structuurfuncties voor voldoende grote waarden van onafhankelijk

worden van die en alleen nog van afhangen. Op grond hiervan zijn de structuurfuncties en

ingevoerd:

(4.28)

De werkzame doorsnede wordt dan:

. (4.29)

Met de kennis van het spectroscopisch model van het proton in termen van quarks kunnen we kijkenof de aanname dat het proton uit quarks bestaat de metingen wel goed beschrijft.We zien de elektron-proton verstrooiing nu als volgt:

Het elektron verstrooid aan een quark in het proton door uitwisseling van een foton en het geraaktequark en de quarks die niet zijn geraakt door het foton (de spektator quarks) vormen samen eenhadronische eindtoestand die we verder niet in detail zullen bekijken.Het spin-gemiddelde matrixelement voor verstrooiing van een elektron aan een quark, een punt-deeltje met spin 1/2 en gegeven lading is te schrijven als:

. (4.30)

De elektron tensor is weer als voorheen. De quark tensor is nu analoog aan de elektron tensor,behalve dat we voor de impuls van het quark een fractie nemen van de impuls van het proton in debegintoestand. We nemen aan dat het quark in de eindtoestand een grote impuls heeft meegekregen

E'

W

Q2

Q2

x F1

F2

F1 x( ) MpW1 Q2

x,( )( )Q2 ∞ x constant;→

lim=

F2 x( )p2 q⋅Mp

------------W2 Q2

x,( )

Q2 ∞ x constant;→lim=

dσdE'dΩ----------------

α2

4MpE2

4 θ 2⁄( )sin

-------------------------------------------- 2F1 x( )sin2 θ 2⁄( )Mp

2

p2 q⋅------------

F2 x( )cos2 θ 2⁄( )+

=

Elektron

Proton

p2

p1 p3

q

Foton

hadronischeeindtoestand

p4

Cq

M2⟨ ⟩

Cq2e

4

q4

-----------Lelektronµν

Qµν=

x


van het foton en dat in de eindtoestand de massa van het quark dus verwaarloosbaar is. Die massa isgegeven door:

. (4.31)

We nemen ook aan dat de massa van het quark in de begintoestand nul is:

(4.32)

en vinden aldus:

, (4.33)

precies dezelfde uitdrukking als in (4.24) en we concluderen dus dat we deze als de impulsfractievan het quark in het proton mogen interpreteren. De quark tensor wordt nu gegeven door:

, (4.34)

waarbij de notatie zo is dat de impuls van het proton in de begintoestand is en de impuls van

het verstrooide quark in de eindtoestand. Om nu de hele werkzame doorsnede te krijgen voor deelektron-proton verstrooiing moeten we sommeren over alle quarks in het proton en integreren overalle mogelijke impulsfracties die de quarks van het proton kunnen hebben maal de waarschijnlijk-heid dat het quark die impulsfractie heeft.De werkzame doorsnede wordt dan:

. (4.35)

Hieruit kunnen we structuur functies afleiden als functie van de impuls verdelingsfuncties van dequarks in het proton:

. (4.36)

waarbij de dichtheidsverdeling als functie van de impulsfractie van het proton is voor quark

soort . We zien nu onmiddellijk twee dingen. Ten eerste zijn en gerelateerd door:

. (4.37)

Dit is de Callan-Gross relatie. Deze relatie vertelt ons dat de spin van de partonen (quarks) waaraanwordt verstroot is. Verder concluderen we dat de structuurfuncties en inderdaad niet

van afhankelijk zijn. Dit gedrag heet Bjorken schaling en lijkt in eerste instantie experimenteelaardig te kloppen. Echter, we zijn wat te snel met deze conclusie en het blijkt dat bij hogere ener-gieën Bjorken schaling niet meer precies klopt.Afgaande op het spectroscopisch quark model van het proton kunnen we nu schrijven dat:

xp2 q+( )20=

xp2( )2x

2p2

20= =

xq

2–

2 q p2⋅( )---------------------=

x

Qµν

2x p2µp4

νp2

νp4

µg

µν– p2 p4⋅( )+( )=

p2 p4

dσdE'dΩ----------------

α2

4E2

4 θ 2⁄( )sin

-------------------------------------1

Mp-------Ci

2qi x( )

2 θ 2⁄( )sin

i

∑Mp

p2 q⋅------------Ci

2xqi x( )

i

∑ 2

cos θ 2⁄( )+

=

F1 x( )Ci

2qi x( )2

-------------------

i

∑=

F2 x( ) Ci2xqi x( )

i

∑=

qi x( )

i F1 F2

F2 x( ) 2xF1 x( )=

1 2⁄ F1 F2

Q2


. (4.38)

Nu blijkt dit, met name voor kleine waarden van , niet met metingen overeen te komen. Als we nude uitdrukkingen generaliseren tot:

(4.39)

kunnen we de metingen wel beschrijven (maar dat is ook niet zo verwonderlijk met al die vrijheids-graden die we dan hebben.) Bij nader onderzoek blijkt het meenemen van de aanwezigheid van anti-quarks en ook van strange quarks van belang. We komen hier later op terug.

4.5 De sterke wisselwerking als SU(3) ijktheor ie

Nu we overtuigd zijn geraakt van het bestaan van quarks en het feit dat hadronen uit quarks zijnopgebouwd wordt het tijd om naar de sterke kracht te kijken die zorgt dat de quarks in hadronengebonden blijven. Het uitgangspunt is dat de wereld niet verandert als we globaal roteren in deruimte van het kleur quantumgetal. Omdat kleur drie varianten kent, kunnen we rotaties in die ruimtebeschrijven met de complexe 3x3 matrices van de SU(3) groep (unitaire 3x3 matrices met determi-nant 1). De bewegingsvergelijking, in dit geval de Dirac vergelijking, geldt voor alle drie kleuren.We kunnen die eenvoudig noteren als:

(4.40)

door de drievector voor kleur in te voeren:

. (4.41)

De wereld is nu invariant onder de transformatie gegeven door:

(4.42)

met een 3x3 hermitische matrix. Deze Hermitische 3x3 matrix kan worden geschreven alsnegen gehele getallen die als coëfficiënten fungeren van een basis van de groep SU(3):

, (4.43)

waarbij een vector van acht getallen is en een vector van acht matrices. Vaak worden hier deGell-Mann matrices voor genomen:

F1 x( ) 418------u x( ) 1

18------d x( )+=

xF2 x( ) 49---xu x( ) 1

9---xd x( )+=

x

F1 x( ) 418------ u x( ) u x( )+( ) 1

18------ d x( ) d x( )+( ) 1

18------ s x( ) s x( )+( )+ +=

F2 x( ) 49---x u x( ) u x( )+( ) 1

9---x d x( ) d x( )+( ) 1

9---x s x( ) s x( )+( )+ +=

i / m–∂( )ψ 0=

ψψr

ψg

ψb

= en ψ ψr ψg ψb=

ψ Uψ→ ψ ψU†→H† H=

H a λ⋅=

a λ

KUN 7


. (4.44)

De transformatie matrix kan dus worden geschreven als:

. (4.45)De groep SU(3) is niet Abels en de Gell-Mann matrices commuteren in het algemeen niet:

, (4.46)

waarbij de structuurconstanten van de groep worden gegeven door:

(4.47)

Beschouwen we verder alleen de SU(3) transformaties dan houden we de Dirac vergelijking invari-ant onder deze transformatie, ook als die op elke plaats in de ruimte anders is, als we de gewoneafgeleiden vervangen door de covariante afgeleiden:

. (4.48)

We hebben nu acht nieuwe velden ingevoerd. De deeltjes die bij deze velden horen heten gluonen.We moeten nu natuurlijk ook de bewegingsvergelijkingen van de gluonen opschrijven. Gluonen zijnmassaloze vectorbosonen, en we zouden kunnen denken dat ze ieder dezelfde bewegingsvergelijkingvolgen als die voor het foton. Maar de zaak ligt wat gecompliceerder, omdat de gluonen zelf ook eenkleurlading hebben en dus onderling ook interacties hebben. In de theorie komt dat tot uitdrukking inhet feit dat in de definitie van de veldtensor een extra bilineaire term voorkomt van de gluon velden:

, (4.49)

waarin de structuurconstanten van SU(3), ,zijn zoals boven gedefinieerd.

De acht bewegingsvergelijkingen, de equivalenten van de Maxwell vergelijking voor het elektromag-netisch veld, worden dan in het geval zonder externe ladingen:

λ1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

= λ2

0 i– 0

i 0 0

0 0 0

= λ3

1 0 0

0 1– 0

0 0 0

=

λ4

0 0 1

0 0 0

1 0 0

= λ5

0 0 i–

0 0 0

i 0 0

= λ6

0 0 0

0 0 1

0 1 0

=

λ7

0 0 0

0 0 i–

0 i 0

= λ81

2-------

1 0 0

0 1 0

0 0 2–

=

U ea λ⋅

=

λa λb,[ ] 2i fabcλc=

fabc 0= als a=b of a=c of b=c

f123 1= en alle even permutaties van indices

f213 1–= en alle even permutaties van indices

f147 f246 f257 f345 f516 f637 1 2⁄= = = = = = en alle even permutaties van indices

f417 f426 f527 f435 f156 f367 1– 2⁄= = = = = = en alle even permutaties van indices

f458 f678 3 2⁄= = en alle even permutaties van indices

f548 f768 3– 2⁄= = en alle even permutaties van indices

Dµ µ∂ igs

2---- λ G⋅( )–≡

G

Fµν

µ∂ G

ν ν∂ G

µgsfabcGb

µGc

ν––=

fabc


(4.50)

en geven ook aanleiding tot een storingsterm (interactieterm) in de bewegingsvergelijking. De Feyn-manregels die voor de vertices kunnen worden afgeleid voor Quantum Chromo Dynamica (QCD),de theorie van de sterke wisselwerking, zijn:

de qgq koppeling krijgt een factor , (4.51)

de ggg koppeling krijgt een factor , (4.52)

de gggg koppeling krijgt een factor . (4.53)

In de praktijk zijn er vaak meerdere mogelijkheden om kleur te combineren en komt het er op neerdat vertices waarbij gluonen betrokken zijn een kleurfactor krijgen (die afhankelijk is van de situatie)en zich verder gedragen alsof er een koppeling met een foton is. De koppelingsconstante van desterke wisselwerking wordt gegeven door:

. (4.54)

Het blijkt nu dat deze sterke koppelingsconstante relatief grote waarden aanneemt. Bij lage ener-gieën is bijna 1 en bij energieën in de buurt van de massa van het Z boson is . Dit is

geïllustreerd in het volgende Figuur 4.4.

FIGUUR 4.4. De sterke koppelingsconstante, , zoals gemeten bij verschillende energieën,

. De variabele wordt de renormalisatie parameter genoemd en elke waarde van is

equivalent met een keuze van voor één bepaalde waarde van . In figuur a) is de status van

voor 1995 weergegeven, in b) de status van zomer 1995. Inmiddels zijn de metingen nog een beetjeverbeterd (in de zin van kleinere onzekerheden). Deze figuur is gehaald uit S. Bethke, “ Status of

Measurements” , preprint PITHA 95/14 (June 16, 1995).

ν∂ Fµν

0=

i gs–

2----------γµλa

gs– fabc

gµν q1 q2–( )λ gνλ q1 q3–( )µ gλµ q3 q1–( )ν+ +( )

i gs2

– fabe

fcde

gµλgνρ gµρgνλ–( ) f

adefcbe

gµνgλρ gµλgνρ–( ) f

acefbde

gµρgνλ gµνgλρ–( )

+

+

(

)

αs

gs2

4π------=

αs αs 0.12=

QCD350 MeV

150 MeVî 250 MeV

100 MeV

Λ MS(5) α (Μ )s Z

0.1280.1210.1120.106

0.1

0.2

0.3

0.4

αs(

Q)

1 10 100Q [GeV]

Heavy QuarkoniaHadron Collisionse+e

_Annihilation

Deep Inelastic Scattering

NLO

NN

LOTheory

Data Latti

ce

a)

___

1 10 100Q [GeV]

b)

αs Q( )

Q Q2

= Λ Λ

αs Q2

αs


We doen dus twee schokkende ontdekkingen: 1) storingsreeksontwikkeling werkt niet echt in QCD bijlage energie; 2) de kopplingsconstante is geen constante, maar hangt van de energie af.Deze twee feiten hebben verstrekkende gevolgen voor hoe wij tegen de sterke wisselwerking aan-kijken.

4.6 Scaling violation en energieafhankelijk van de sterke koppeling

In het formalisme dat we hebben afgeleid voor diep inelastische verstrooiing en structuurfuncties enquark verdelingsfuncties in het proton zagen we dat die alleen van de impulsfractie van het quark inhet proton, , afhing. Dit is echter alleen zo op het laagste niveau van de storingsrekening. Als wemeer termen in de storingsreeks beschouwen krijgen we ook stukken met interacties tussen dequarks and gluonen onderling. In deze stukken speelt de sterke koppelingsconstante een rol. We

zagen al dat experimenteel afhangt van de energieschaal waarop we kijken. Om dit te begrijpen

kijken we eerst naar een typische QCD verstrooiing tussen twee quarks. In laagste orde hoort hier hetvolgende Feynmandiagram bij:

Hogere orde correcties op dit diagram zijn bijvoorbeeld die diagrammen waarbij het gluon tijdelijkin een fermionpaar splitst:

Deze zijn met enige moeite uit te rekenen. (Een van de moeilijkheden die we daarbij tegenkomen iseen integraal die divergeert voor de gevallen waarin de deeltjes in de lus een grote impuls hebben.)Voor het linkse diagram krijgen we, na het volgen van een renormalisatieprocedure die we hier nietverder uitleggen, een antwoord dat de vorm aanneemt die we ook kunnen krijgen door in het laagsteorde diagram de koppelingsconstante te vervangen door:

. (4.55)

We kunnen ook in fysische termen aanvoelen wat hier gebeurt. De hogere orde diagrammen hebbenbubbels van geladen deeltjes die tussen de twee deeltjes zitten die aan elkaar verstrooien. De bubbelsgeven aanleiding tot wat vacuümpolarisatie wordt genoemd. Door polarisatie van de ruimte tussende deeltjes wordt een gedeelte van de lading die die bezitten afgeschermd. De effectieve lading is dusanders dan de “kale” lading van die deeltjes. De mate van vacuumpolarisatie hangt af van de

van het uitgewisselde gluon. We kunnen ons nu ook voorstellen dat er meerdere bubbelsin de gluonpropagator kunnen worden gevormd. Het blijkt dat al deze diagrammen een macht zijnvan dezelfde uitdrukking zoals in:

x

αs

αs

αs αs Q2( )→ αs 0( ) 1

αs 0( )6π

-------------Q

2

m2

------

log+

=

Q2

q2

–=


(4.56)

en inderdaad sommeren deze diagrammen tot:

. (4.57)

We hebben nog een paar soorten hogere orde diagrammen die we moeten meenemen in dezebeschouwing:

En natuurlijk moeten we ook alle mogelijkheden voor kleur en soort van de quarks en gluonenbeschouwen. Het blijkt nu dat de gluondiagrammen een tegengesteld effect geven van de quark dia-grammen: de lading wordt versterkt ! Verder kunnen we doordat we confinement hebben niet de

koppelingsconstante weten bij , daarom drukken we alles uit ten opzichte van een energie-

schaal . Als dit alles netjes wordt gedaan krijgen we als eerste orde correcties op de effec-tieve sterke koppelingsconstante:

, (4.58)

waarbij het aantal kleuren is in QCD en het aantal verschillende soorten quarks, zoals up,

down, en strange quarks. We zien dat in theorieën met de koppelingsconstante afneemt

bij hogere waarden van . Dit heet asymptotische vrijheid. Dit gedrag van de koppelingsconstantewordt “ running” genoemd. Uit de formule zien we dat het effect van de energieschaal op de kop-

pelingsconstante als de logarithme gaat. In Figuur 4.4 staan de metingen van voor verschil-

lende waarden van uitgezet. De doorgetrokken lijnen zijn voorspellingen op grond van hogereorde QCD berekeningen.

1 x x2

x3 …+ + + +

11 x–-----------=

αs Q2( )

αs 0( )

1 αs 0( ) 6π( )⁄( ) Q2

m2⁄( )log( )–

-------------------------------------------------------------------------------=

Q2

0=

Q2 µ2

=

αs Q2( )

αs µ2( )

1 αs µ2( ) 12π( )⁄( ) 11nc 2nf–( ) Q2 µ2⁄( )log( )+

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

nc 3= nf

11nc 2nf>

Q2

αs Q2( )

Q2


De verandering van de effectieve koppelingsconstante kunnen we ook fysisch begrijpen door eendeeltje in rust te bestuderen. Een electrisch geladen deeltje zendt voortdurend fotonen uit die vervol-gens weer op het deeltje “ terugvallen” . Dit genereert een fotonwolk om het geladen deeltje heen. Defotonen in die wolk kunnen in electron-positron paren splitsen en die zullen zich zo rond het geladendeeltje formeren (polariseren) dat de lading van het electrisch geladen deeltje dat we beschouwenwordt afgeschermd. Als we nu op grote afstand kijken naar het geladen deeltje zien we de hele foton-wolk die erom heen zit en dus het volledige effect van de afscherming. Als we dichterbij komen zienwe maar een gedeelte van de fotonwolk en dus maar een gedeelte van de afscherming van het elec-trisch veld van het geladen deeltje. De effectieve lading die we zien neemt dus toe als de afstand tothet deeltje kleiner wordt.Voor deeltjes met kleurlading geldt bovenstaand verhaal in iets andere vorm. Rond een kleurgeladendeeltje bevindt zich een virtuele gluonwolk die zich in quark-anti-quark paren splitst voor eengedeelte van de tijd. Er is nu hetzelfde afschermende effect door polarisatie van deze kleurladingenals in het geval van electrische lading. Maar daarbovenop nemen de gluonen een gedeelte van dekleurlading van het deeltje waar ze omheen zwermen meen. Als we dichterbij komen valt dan duseen gedeelte van de kleurlading buiten ons gezichtsveld. Het blijkt dat dit effect sterker is dan dievan de vacuumpolarisatie. Het gevolg is dat de kleurlading die we zien als we dichterbij een kleurge-laden deeltje komen afneemt, en dus de kleurkoppelingsconstante afneemt.In bovenstaande kunnen we voor kleine afstanden ook grote impuls of energie lezen.Voor de zwakke wisselwerking (zwakke isospinlading) geldt hetzelfde als voor QCD (kleurlading),met dien verstande dat de koppelingsconstante tussen de zwakke ijkbosonen niet zo groot is, zodathet effect van de lading die in de ijkbosonwolk om het deeltje heen zit het nog maar net wint van devacuumspolarisatie bijdrage, zodat het netto effect is dat de zwakke koppelingsconstante vrijwelconstant is als functie van de energie (of afstand) waarbij die wordt beschouwd.We zagen hierboven ook dat de storingsreeks in QCD niet altijd werkt, omdat de koppelingscon-stante zo groot is. Laten we dus eens kijken wat er met de quarkverdelingen gebeurt als we meene-men dat quarks gluonen kunnen afstralen, dat gluonen weer in quark paren kunnen splitsen en datgluonen op hun beurt ook weer gluonen en zelfs twee gluonen per keer kunnen afstralen. Altarelli enParisi hebben voor het eerst een stelsel vergelijking opgeschreven dat het effect van deze opsplitsin-gen op de quarkverdelingfuncties beschrijft:

. (4.59)

Hier duikt ook een nieuwe verdeling op, namelijk die van de gluonen in het proton en dedichtheden van de quarks en de gluonen zijn via deze vergelijkingen gekoppeld. Doordat in deze

vergelijkingen afhangt van , waarbij we voor het gemak de logarithmische afhankelijk van

hebben gebruikt door de variabele te gebruiken, hangen ook de quark en

gluondichtheden af van . Het andere essentiële ingrediënt in deze vergelijkingen zijn de

zogenaamde “splitting functions” , en , die de waarschijnlijkheid

geven om een quark of gluon te geven met een impulsfractie van het oorspronkelijke quark ofgluon, voor de combinaties quark geeft quark, gluon geeft quark en quark geeft gluon, respectieve-

lijk. Voor hoge waarden van zijn deze splitting functions uit te rekenen in perturbatieve QCD

dq x τ,( )αs τ( )

2π-------------

dyy

------ q y τ,( )Pq q←xy--

G y τ,( )Pq g←xy--

+ dτ

0

1

∫=

dG x τ,( )αs τ( )

2π-------------

dyy

------ q y τ,( ) q y τ,( )+( )Pg q←xy--

dτ0

1

∫=

G x τ,( )

αs Q2

Q2 τ Q

2 µ2⁄( )log=

Q2

Pq q← z( ) Pq g← z( ) Pg q← z( )

z

Q2


(dus met QCD als storingsreeks in ). In feite worden de Altarelli-Parisi vergelijkingen gebruikt

om gegeven de metingen van quarkverdelingsfuncties de waarde van op te lossen bij verschil-

lende . Doordat de quarkverdelingen van afhangen doen de structuurfuncties en

dat natuurlijk ook. De afhankelijkheid van de structuurfuncties van wordt “scaling

violation” genoemd, een afwijking van de energieschaalonafhankelijkheid die door Bjorken was

gepostuleerd. In Figuur 4.5 staan recente metingen van structuurfuncties als functie van en .

4.7 Confinement, asymptotische vr ijheid, jets en hadronisatie

De sterke wisselwerking tussen quarks geeft aanleiding tot wat we noemen “confinement” (opgeslo-tenheid) van quarks in hadronen. Het idee is dat vrije quarks zulke sterke onderlinge interactie heb-ben en dat die interactie sterker wordt naarmate de afstand toeneemt, dat quarks die bij elkaar in debuurt zijn snel en krachtig naar elkaar toe worden getrokken. Deze kracht die toeneemt met deafstand wordt niet direct door het gluonveld veroorzaakt (het gluon is massaloos, heeft drachtoneindig, maar een afvallende potentiaal van , net als het foton.) Het is de sterkte van de kop-pelingsconstante die maakt dat gluonen elkaar ook sterk aantrekken en dat het veld tussen tweetegengesteld kleurgeladen quarks een heel aparte vorm aanneemt. Dit is geïllustreerd in Figuur 4.6.

FIGUUR 4.5. Structuurfunctie metingen van diverse experimenten. Duidelijk is de afhankelijkheid van

te zien. Deze figuur komt uit D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1,http://www-pdg.lbl.gov/.

αs

αs

Q2

Q2

F1 x Q2,( )

F2 x Q2,( ) Q

2

x Q2

1 r⁄

D E F G F F F F H ID E F G F F F F JD E F G F F F F KD E F G F F F L HD E F G F F F ID E F G F F F H ID E F G F F F JD E F G F F F KD E F G F F L HD E F G F F ID E F G F F H ID E F G F F JD E F G F F K

M LN O P QO R R JS T UV U W T Q

X Y Z [ Z \

D E F G F L HD E F G F ID E F G F H ID E F G F JD E F G F KD E F G L HD E F G ID E F G H IF G L L L F L F F L F F F L F F F FF

I]RK

L FL I

L ]

^ _` a bc_d +

e` ad

f g h i j k l m n g

o

p q r s t u u v w x y z | q p q r s t u v w x y z | q p q r s t ~ s v w x y z | q

p q r s t ~ v w x y z | q p q r s t s v w x y z | q p q r s t s v w x y z | q

p q r s t s v w x y z | q p q r s t v w x y z | q

p q r u t s v w x y z | q p q r t s s v w x y z | q p q r t s v w x y z | q

¡ ¢ ¡ ¢£ ¡ ¢¤ ¥ ¦

§ ¨ © ª

Q2

KUN 8


.

FIGUUR 4.6. Links de veldlijnen in een elektromagnetisch (foton) veld, rechts de veldlijnen in een sterkewisselwerkings- (gluon-) veld. De bijbehorende potentiaal als functie van de afstand is ook geschetstvoor de electromagnetische en sterke wisselwerking.

Door de onderlinge (sterke) wisselwerking tussen gluonen vormen ze een nauwe buis (flux tube)waarin al het veld is geconcentreerd. Als deze buis verder wordt uitgerekt door de kleurladingen vanelkaar af te bewegen, neemt de totale hoeveelheid energie in de buis toe. Omdat de natuur altijdstreeft naar een zo laag mogelijke totale energie ondervinden de quarks nu een kracht naar elkaar toe.Die kracht blijft constant als de afstand tussen de quarks groter wordt. De hoeveelheid (potentiële)energie tussen de quarks neemt lineair toe met de afstand.Alleen groepjes die in totaal kleurneutraal zijn zijn stabiel, dus bijvoorbeeld groepjes van drie quarksdie elk, rood, groen en blauw zijn, of groepjes van quark-anti-quark (kleur-anti-kleur). Dit verklaartwaarom we de klasse van de baryonen hebben en van de mesonen.Deze bewering kunnen we preciezer maken door te kijken naar de QCD interactie tussen een quark

en een anti-quark, bijvoorbeeld :

Het matrix element voor dit diagram verschilt niet van dat voor een electromagnetische verstrooiing,behalve dat de koppelingsconstantent anders zijn. In plaats van de fijnstructuurconstante is dat

hier de sterke koppelingsconstante en een kleurfactor:

. (4.60)

Dus de potentiaal die de interactie in het perturbatieve regime (op korte afstand ) beschrijft isde Coulomb potentiaal, maar met de extra kleurfactor:

. (4.61)

voor kleur-octetten, dat wil zeggen, als de anti-kleur van het inkomend quark niet gelijk is aan de(anti-)kleur van het inkomend anti-quark krijgen we . Als voorbeeld laten we dat zienvoor:

V(r) V(r)rr

u d+ u d+→p3 c3, p4 c4,

p2 c2,p1 c1,

ααs

f14--- c3

†λac1( ) c2

†λac4( )=

qq r

Vqq

r( ) fαs

r-----–=

f 1 6⁄–=


, (4.62)

waarvoor de kleurfactor wordt:

. (4.63)

In de kleursinglet toestand is de kleurfactor een som van negen bijdragen die

compact als sommatie over matrix elementen kan worden geschreven:

. (4.64)

We concluderen dus dat de potentiaal op kleine afstand wordt gegeven door:

, (4.65)

. (4.66)

Dus voor kleursinglets is de kracht aantrekkend en voor kleuroctettent is de kracht afstotend.Op hele korte afstanden doet het effect van de nauwe buis waarin al het veld is geconcentreerd nietmeer ter zake. Dit is te testen door met verschillende energieën naar het proton te kijken. Als de ener-

gie van het uitgewisselde foton toeneemt, neemt ook het ruimtelijk oplossend vermogentoe: hoe hoger de energie hoe kleiner de golflengte van het foton en hoe kleiner de afstand die webestuderen. Uit diep inelastische verstrooiing experimenten zien we dat tot foton energieën van eenpaar GeV het proton nog min of meer als een geheel wordt gezien. Als de foton energie

wordt gaan we duidelijk zien dat we één bepaald quark raken in de interactie. Wezien dit doordat een zich een jet vormt in de detector. Een jet is een stroom deeltjes die in het labora-torium frame in ongeveer dezelfde richting bewegen. In Figuur 4.7 zien we hier een voorbeeld van inhet ZEUS experiment.In dit experiment dat op het moment in Hamburg actief is bij de HERA versneller worden elektronenen protonen op elkaar gebotst. In dit geval worden zowel elektronen als protonen in aparte versnel-lers (die wel in dezelfde tunnel liggen) versneld to 27.5 GeV en 820 of 920 GeV respectievelijk. Danworden ze in tegengestelde richting op elkaar gebotst. Bij de botsing in de figuur wordt een foton (ofeen Z boson) uitgewisseld tussen het elektron en een quark in het proton. Het elektron wordt daar-door verstrooid en is zichtbaar als geïsoleerd spoor dat naar een calorimeter cluster wijst met de sig-natuur van een energie depositie door een elektron of foton. Dat het hier om een elektron gaat wordtduide-lijk uit het feit dat er een geladen spoor naar het energiecluster wijst. Uit de energiemeting enrichting van het verstooide elektron kan berekend worden dat het hier gaat om een uitgewisseld foton

met . In het vlak loodrecht op de inkomende bundels, dat aan de linkerkant van de

c1 c3

1

0

0

= = c2 c4

0

1

0

= =

f14--- 1 0 0 λa

1

0

0

0 1 0 λa0

1

0

14---λ11

a λ22a 1

4--- λ11

3 λ223 λ11

8 λ228

+( )= = =

14--- 1 1–( )× 1

3-------

1

3-------×+

=16---–=

1 3⁄( ) rr gg bb+ +( )λ

f14---

1

3-------

1

3------- λ i j

aλ j ia( ) 4

3---= =

Vqq

r( ) 43---

αs

r-----–= voor kleur singlets

Vqq

r( ) +16---

αs

r-----= voor kleur octetten

Q2

q2

–=

Q2

10 GeV2>

Q2

5000 GeV2≈


fi-guur is afgebeeld, ligt een jet tegenover het geïsoleerde elektron. Deze jet, of stroom deeltjes,vindt

FIGUUR 4.7. Een gebeurtenis in de ZEUS detector. Een 27.5 GeV elektron en 820 GeV proton botsen opelkaar. In de eindtoestand is het verstrooide elektron in het (grote) linker plaatje te zien als spoor datlinks naar beneden wijst. Het voorste calorimeter blok waar het spoor naar wijst heeft een groteenergie gemeten, terwijl de blokken erachter niets hebben gemeten. Dit wijst op een calorimetershower van een elektron (positron) of foton. Omdat er in dit geval een spoor, veroorzaakt door eengeladen deeltje, naar wijst blijkt het een elektron te zijn. Aan de rechterbovenkant in het linkerplaatje is een stroom deeltjes te zien, een jet. Aan de rechterkant zijn twee andere projecties van degebeurtenis gegeven. In de rechter bovenhoek staat een histogram van de energie die in decalorimeter is gemeten als functie van de hoeken in de detector. In de rechter benedenhoek staat eenprojectie langs de bundelrichting van de gebeurtenis.

zijn oorsprong in het quark dat uit het proton is geschoten. Dit quark kan niet als vrij deeltje bestaanen ook de rest van het proton, de twee quarks die daarin over zijn, kan niet zo verder. Het quark datuit het proton is geslagen en de resten van het proton hadroniseren. Er worden hadronen gevormdrond het quark en rond de rest van het proton. Bij hoge energieën blijkt (zie ook de figuur) dat dehadronen die worden gevormd voornamelijk langs de richting van het quark en de rest van het protonliggen. Dit is in de figuur goed te zien voor het verstrooide quark. Maar ook voor de rest van het pro-ton die in de richting vliegt waarin het oorspronkelijke proton ging is nog een jet te zien die in dedetector activiteit rond de bundelpijp geeft. Dit is in de figuur te zien in het plaatje rechtsonder, waarrond de bundelpijp (het gat in de detector waardoor de inkomende bundels binnenkomen) aan delinkerkant behoorlijk wat activiteit is te zien.Het proces van de hadronisatie is theoretisch nog niet beschreven vanuit QCD interacties. Er is wel

een meer empirisch model, het Lund string1 model, dat het hadronisatieproces voor praktische doe-


leinden goed beschrijft. Het Lund string model gaat uit van de kleur fluxbuis tussen twee kleurladin-gen. Als de kleurladingen uit elkaar vliegen wordt de snaar gespannen. Als de snaarspanning te grootwordt breekt de snaar. Dit gebeurt in het algemeen door een quark-anti-quark paar te maken. We kri-jgen dan twee snaren, maar elke snaar is korter en heeft dus een lagere energie. Dit gebeurt iteratief,totdat de kinetische energie van de verschillende quarks en anti-quarks die uit elkaar bewegen teklein is geworden om de snaren te breken. Op dat moment worden de quarks en anti-quarks die bijelkaar liggen naar elkaar toegetrokken en vormen kleurneutrale hadronen. Vooral de quarks en anti-quarks die qua impuls dicht bij elkaar liggen combineren met elkaar. We zien nu over het algemeenheel veel mesonen in de jets, maar ook nog een paar baryonen. De baryonen worden gemaakt door-dat soms de snaar niet opbreekt in een quark-anti-quark paar maar in een di-quark en een anti-di-quark paar. Een di-quark is een quasigebonden toestand van twee quarks (die uiteraard niet kleurneu-traal is.) Verder zien we dat er over het algemeen mesonen worden gevormd die uit up en downquarks bestaan. Een fractie van de deeltjes bestaat uit vreemde hadronen, zowel vreemde mesonenals vreemde baryonen, wat ons leert dat er ook strange quark-anti-quark paren en di-quarks metstrange onstaan bij het opbreken van de snaren. Omdat het strange quark zwaarder is dan de up endown quarks komt dit minder vaak voor. Nog zwaardere quarks die we verderop zullen tegenkomenworden in het hadronisatie proces vrijwel niet gemaakt.

4.8 Quarks en de elektrozwakke wisselwerking

We hadden al gezien dat we het proton en neutron in een doublet kunnen schrijven net als de lepto-nen. Dit was geïnspireerd op het verval van het neutron naar een proton, electron en neutrino, in ana-logie naar het verval van het muon. Vervolgens zijn we helemaal afgedreven en hebben het doubletopgevat als een doublet in de sterke wisselwerking en daaruit het spectroscopische quarkmodelopgebouwd. We komen nu toch weer terug op het zwakke verval van het neutron. Maar nu kijken weer op het niveau van quarks naar. Dit verval is dan te beschrijven met een d quark dat in een u quark,een electron en een neutrino vervalt. In analogie weer met het muon schrijven we nu het u en d quarkin een doublet van de zwakke wisselwerking:

. (4.67)

Maar nu zitten we het het s quark in onze maag !Het s quark heeft qua lading dezelfde eigenschappen als het d quark. Uit symmetrie overwegingenzou het mooi zijn als het strange quark in een doublet zou staan met een ander quark dat dezelfdeeigenschappen heeft als het up quark, maar mogelijk in massa verschilt. Nog voordat de structuurvan de zwakke wisselwerking helemaal duidelijk was kwamen Glashow, Illioupoulos en Maiani altot dezelfde conclusie, dat er een quark moest bestaan met dezelfde eigenschappen als het up quark,maar dat het up quark de rol in het zwakke doublet met het s quark niet zelf kon spelen. Als dat welzo zou zijn zou in de theorie ook het verval waarin het s quark naar het d quark via een neutralestroom (foton of Z-boson uitwisseling). Neutrale stroomvervallen waarbij het strangeness quantum-getal met één eenheid verandert worden in de praktijk niet waargenomen. Het vierde quark en denaam ervoor, charm, waren al veel eerder door Bjorken en Glashow geïntroduceerd in 1964, maar opeen meer speculatieve manier.Wel zijn er zwakke vervallen bekend van het s quark naar het u quark, zoals bijvoorbeeld

. Hoe dat kan, daar komen we later op terug.

1. Snaar in het Nederlands.

u

d

Λ p++π –→

KUN 9TUE 7


De Feynmanregels voor de zwakke wisselwerking van quarks gaan hetzelfde als voor de leptonen,waarbij we er wel op moeten letten dat de electrische lading van quarks anders is dan van de lepto-nen:

de uWd koppeling krijgt een factor , (4.68)

de uZ0u koppeling krijgt een factor , (4.69)

de dZ0d koppeling krijgt een factor . (4.70)

Overal waar u staat kan ook c of t worden ingevuld voor charm en top quarks die we zo zullen in-voeren, en net zo kan overal waar d staat ook s voor het vreemde quark of b voor het bottom quarkworden ingevuld. Bij de koppeling aan de W moet het paar (u,d) door ofwel (c,s) ofwel (t,b) wordenvervangen.

4.9 De ontdekking van de J/ en charm quarks

Hoewel het charm quark al was voorspeld in 1970 in het GIM model, kwam de ontdekking ervantoch als een verrassing. Dat kwam vooral door de manier waarop. Vrijwel tegelijkertijd werden bijeen electron-positron botser en in een experiment waarbij een proton bundel op een trefplaatje werdgeschoten. Het proton-trefplaatje experiment vond een scherpe piek in de elektron-positron inva-riante massa in de eindproducten van de botsingen. Het elektron-positron experiment vond eenscherpe piek in de totale werkzame doorsnede. Het nieuwe deeltje, de J genoemd door Ting (het pro-ton-trefplaatje experiment) en de door Richter (het elektron-positron botser experiment) en nu

bekend onder de dubbele voornaam J/ , heeft een relatief lange levensduur (orde seconde).

De J/ heeft vrijwel geen quantumgetallen ongelijk nul en in het bijzonder wordt de charm verbor-gen door de anti-charm. Maar in hadronische vervallen van dit meson worden wel deeltje gemaaktmet één charm of anti-charm quark erin. Deze deeltjes vervallen zwak, via neutrale stroomprocessennaar deeltjes met s quarks.Het charm quark wordt in het nederlands ook wel tover genoemd, maar dan moet worden opgepastmet verwarring met het top of t quark.

4.10 De bottom en top quarks

Door het idee van het charm quark dat nodig is om het zwakke doublet van het s quark te comple-teren nog een stap door te zetten kunnen we op het idee komen dat het zwakke leptondoublet vanelectron en elektron-neutrino samen met het up en down quark doublet één familie vormt. Het charmen strange doublet vormt dan een familie met het muon en muon-neutrino. Blijft nog over het taulepton en bijbehorend neutrino. En inderdaad: ook hier hoort nog een apart quark doublet bij om defamilie compleet te maken. Dit doublet bestaat uit het bottom, b-, quark, dat dezelfde eigenschappenheeft als het down en strange quark, behalve dat het zwaarder is, ongeveer een kleine 5 GeV. Deandere isospintoestand in dit zwakke doublet is het top quark dat dezelfde eigenschappen heeft alshet up en charm quark, maar zeer veel zwaarder is, namelijk ongeveer 175 GeV.Het bottom quark is ontdekt bij een experiment op Fermilab (E228) als piek in de invariante massavan twee muonen bij ongeveer 9.5 GeV. Uit de massa van een pion kunnen we afschatten dat debindingsenergie tussen quarks in een meson een bijdrage geeft aan de massa van de orde van 0.1GeV. Hieruit volgt dat het b quark een massa moet hebben van de orde van 4.7-4.8 GeV.

i e–

2 2 θwsin-------------------------γµ

1 γ5–( )

i e–4 θwsin θwcos---------------------------------γµ

1 4– Qu 2θwsin( ) γ5

+( )

i e–4 θwsin θwcos---------------------------------γµ

1– 4– Qd 2θwsin( ) γ5

–( )

ψ

ψ

ψ 1020–

ψ


Het top quark is recentelijk ontdekt bij de Tevatron versneller (op Fermilab bij Chicago) door deCDF en DØ experimenten. De top quarks worden veelal in paren geproduceerd en manifesteren zichdoor hun typische vervalsgedrag. Het verval van de top naar stabiele deeltjes is meestal een langecascade van zwakke vervallen:

. (4.71)De sleutel voor de ontdekking van top vervallen ligt in de hoeveelheid en de energie waarmee de Wbosonen in dit verval worden geproduceerd. Het W boson kan in een geladen lepton en neutrino paarvervallen. Als de energie van het W groot is en dus ook de energie van het geladen lepton en neutrinodie de vervalsproducten vormen is er in de detector een energetisch lepton te zien dat goed kanworden detecteerd en een grote missende impuls (ten gevolge van het neutrino dat zonder waarnem-ing uit de detector ontsnapt.) In Figuur 4.8 is het verval van een top quark in de CDF detector zicht-baar gemaakt.

FIGUUR 4.8. Een gebeurtenis met het verval van twee top quarks in de CDF detector (linksboven). In derechterbovenhoek zijn de belangrijkste sporen schematisch weergegeven, met een indicatie van deoorsprong van de sporen (tengevolge van geladen deeltjes), of de deeltjes die de sporenveroorzaakten. In de linkerbenedenhoek staat dezelfde soort informatie voor de calorimeter (die deenergie van neutrale en geladen deeltjes meet). In de rechterbenedenhoek staat een artistiekeimpressie van een typisch top geval in de CDF of DØ detector.

t b+W , b c+W∗ , c s+W→→ →


4.11 De Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matr ix

We hebben al genoemd dat het vreemde quarks naar een u quark kunnen vervallen. Zo kunnen ookbottom quarks naar charm vervallen. Het experimentele patroon dat zich aftekent is dat zware quarkswel naar een familie met lagere massa’s kunnen vervallen, maar alleen door middel van de geladen

stroom (dus door uitwisseling van een W+ of W-). Neutrale stromen (Z en foton uitwisseling) waar-bij quarks van soort veranderen bestaan blijkbaar niet. Dit fenomeen valt te verklaren door aan tenemen dat de down, strange en bottom quarks wel de massa eigentoestanden zijn, maar niet deeigentoestanden voor de electrozwakke wisselwerking. Mathematisch kunnen we de eigentoe-standen voor de zwakke wisselwerking uit de massaeigentoestanden krijgen door de basis te roteren.Als we alleen d and s quarks beschouwen is dat te schrijven als:

, (4.72)

waarbij en de eigentoestanden zijn van de zwakke wisselwerking en d en s de eigentoestanden

van de massa. De hoek die de relatieve draaiing geeft heet de Cabbibohoek , naar degene die hem

voor het eerst invoerde. Bij meting blijkt dat deze hoek heeft.

Voor drie quarks schrij-ven we:

. (4.73)

De matrix heet de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa matrix en is een unitaire matrix. De ver-

schillende elementen zijn in principe complex. De matrix kan worden uitgedrukt in 3 hoeken en ééncomplexe fase. Een drie bij drie rotatiematrix is de eerste matrix, waarbij een complexe fase als irre-ducibele vrijheidsgraad optreedt. Een complexe fase in deze mixing matrix geeft aanleiding tot hetschenden van CP symmetrie, iets waarop we in het volgende hoofdstuk terugkomen.Met 90% waarschijnlijkheid zijn de absolute waarden van de verschillende elementen (Particle DataGroup, D.E. Groom et al., The European Physical Journal C15 (2000) 1, http://www-pdg.lbl.gov/):

. (4.74)

In plaats van een rotatie van de down-type toestanden hadden we ook voor de rotatie van de up-typetoestanden kunnen kiezen. Met dezelfde matrix kan dat worden geschreven als:

. (4.75)

Conventioneel wordt altijd gekozen voor rotatie van de down-type toestanden.De CKM matrix wordt ook vaak gerepresenteerd in de parametrisatie van Wolfenstein:

d' d cosθc s sinθc+=

s' d sin– θc s cosθc+=

d' s'

θc

θcsin 0.22=

d'

s'

b'

VCKM

d

s

b

Vud Vus Vub

Vcd Vcs Vcb

Vtd Vts Vtb

d

s

b

= =

VCKM

VCKM

0.9742 0.9757– 0.219 0.226– 0.002 0.005–

0.219 0.225– 0.9734 0.9749– 0.037 0.043–

0.004 0.014– 0.035 0.043– 0.9990 0.9993–

=

u'

c'

t'

VCKM†

u

c

t

=


. (4.76)

Deze parametrisatie is een benadering die klopt tot op orde ( ). Het aardige van deze par-ametrisatie is dat de relative orde van grootte van de verschillende elementen er expliciet in gemaaktwordt.Een ander belangrijk begrip in de context van de CKM matrix is de unitariteitsdriehoek. Wegens deunitariteit van de CKM matrix kunnen we bijvoorbeeld de relatie

(4.77)

opschrijven. In het complexe vlak kunnen we de som van drie complexe getallen voorstellen als eendriehoek ((a) in de volgende figuur):

In de Wolfenstein parametrisatie kunnen we de zijden van de driehoek schalen met

en dan krijgen we de driehoek aan de rechterkant (b). De oppervlakte van deze

driehoek geeft de mate aan waarin CP is geschonden en wat dat is wordt in het volgende hoofdstukuitgelegd.

VCKM

1 λ22⁄– λ λ3

A ρ iη–( )

λ– 1 λ22⁄– λ2

A

λ3A 1 ρ– iη–( ) λ–

2A 1

=

λ4 λ 0.22≈

VudVub∗ VcdVcb

∗ VtdVtb∗+ + 0=

VudVub∗

VcdVcb∗

VtdVtb∗α

βγ

α

βγ

ρ η,( )

1 0,( )0 0,( )

VcdVcb∗ λ3

A=


4.12 Opgaven

4.1 Bereken de relative werkzame doorsnede van de processen: (elastische verstrooi-

ing), (elastische verstrooiing) en (ladingsuitwisseling).

4.2 De hyperlading is gedefinieerd als , waarbij het baryongetal is en de strange-ness. Laat uitgaande van het spectroscopisch quarkmodel zien dat de lading van baryonen wordt gegeven door: , waarbij de derde component van de sterke isospin is.

4.3 Teken het Feynmandiagram van de sterke reacties en op het niveau van quarks in het spectroscopisch quark model van hadronen. Hint: in deze Feynmandiagram-men komt geen vertex voor !

4.4 Reken de dracht uit in meters voor de sterke kernkracht.4.5 Een modern diep inelastisch botsingsexperiment is het ZEUS experiment bij de HERA ver-

sneller in Hamburg. In de HERA versneller worden protonen en electronen versneld in tegengestelde richting in een cirkelvormige tunnel van 6.7 km lengte. Het proton wordt tot een energie van 920 GeV versneld, terwijl het electron tot een energie van 27.5 GeV wordt ver-sneld. Leg uit waarom de energie van de protonen veel hoger kan zijn dan van de elektronen.

Wat is de totale invariante massa van het electron-proton systeem ? Wat is de maximale die kan worden bereikt ? In welke richting gaat het verstrooide electron dan ? In de detektor moeten de protonen en elektronen natuurlijk naar binnen (en naar buiten) kunnen. Daarvoor zit rond de bundelpijp in de voorwaartse en achterwaartse richting een gat in de detektor. Dit gat is zodanig dat een eerste goede meting van de elektronenergie pas op een afstand van 15 cm van

de bundel kan op een afstand van 1.5 m van het interactiepunt. Reken uit wat de minimale is van interacties waarbij het elektron in de eindtoestand wordt waargenomen.

4.6 In het ZEUS experiment uit de vorige vraag zijn ook gevallen gezien die duidelijk diep-inelas-tische verstrooiing waren, maar waarbij geen elektron in de eindtoestand zat. Hoe kan dat ?

4.7 Er zijn ook experimenten gedaan waarbij een inkomende neutrinobundel is gebruikt. Hoe zou je zo’n neutrinobundel kunnen maken ? In deze experimenten was het doel altijd een hoeveel-heid materiaal die stil lag in het laboratorium. Waarom is dat zo ? Hoe herken je een diep-ine-lastische verstrooiing van een neutrino aan een proton of neutron in zo’n blok materiaal, a) als de interactie een geladen stroom is, b) als de interactie een neutrale stroom is ? Welk deeltje wordt in ieder van de twee gevallen uitgewisseld ?

4.8 Op het moment wordt in Nederland de deelname besproken aan een experiment, ANTARES, dat neutrino’s van heel hoge energie uit het heelal moet gaan waarnemen. Dit experiment

gebruikt de zee als een doel en detekteert over een volume van een geladen deeltjes die worden gemaakt als gevolg van een neutrino botsing met de kernen in een watermolecuul. Geef voor elk van de drie soorten neutrino’s aan wat de interactieproducten zijn die worden gedetekteerd. Geef een voorbeeld voor elk van de neutrino soorten hoe die met hoge energie in het heelal zouden kunnen worden geproduceerd. Verwacht je van alle neutrinosoorten even-veel met hoge energie in het heelal ?

4.9 Geef de verhouding voor het proton en neutron.

Waarom is het nodig de anti-quark distributies van de quark distributies af te trekken om tot een voorspelling te komen ?

4.10 Waarom zijn de charm en bottom quarks gevonden in gebonden toestanden van quark-anti-quark en het top quark niet ?

π+p π+

p→

π –p π –

p→ π –p π0

n→Y B S+= B S

Q I3 Y 2⁄+= I3

π+p π+

p→ π –p π0

n→

Q2

Q2

km3

u x( ) u x( )– dx∫ d x( ) d x( )– dx∫

⁄


4.11 Geef een voorspelling voor de verhouding van werkzame doorsnedes:

als functie van de invariante massa van het inkomend electron-positron paar.4.12 Wat is de koppeling voor uWs, rekening houdend met de CKM matrix ? Schrijf de koppeling

ook op in de Wolfenstein parametrisatie.4.13 Top quarks worden vooral in paren gemaakt. Toch kunnen ze ook als een enkele top of anti-top

in een experiment worden gemaakt. Hoe gaat dat ? Wat verwacht je voor enkele top productie in de annihilatie van een electron-positron paar, kan de meeste energie van die reactie in een enkel top quark gaan zitten ? En voor een electron-proton botsing ? En voor een proton-anti-proton botsing ?

Rσ e

+e

–qq→( )

σ e+e

– µ+µ –→( )-------------------------------------------=


HOOFDSTUK 5 Pariteit, ladingsconjugatie en tijdomkeer

In dit hoofdstuk worden een aantal discrete symmetrieën besproken: Pariteit, ladingsconjugatie entijdomkeer. We laten zien dat de zwakke en sterke wisselwerkingen pariteit schenden en dat deze wis-selwerkingen ook het product van ladingsconjugatie en pariteit kunnen schenden. Het behoud van degecombineerde transformatie van ladingsconjugatie, pariteit en tijdomkeer in een veldentheorie vanpuntvormige deeltjes zal aannemelijk worden gemaakt.

5.1 Par iteit: P

De pariteitsoperator puntspiegelt de ruimte in zichzelf en is gedefinieerd als:

. (5.1)

Op golffuncties werkt de pariteitsoperator als:

. (5.2)Voor een golffunctie die een eigentoestand is van de pariteit geldt:

, (5.3)

waarbij een reeel getal is en dus noodzakelijkerwijs .Pariteit is een multiplicatief quantumgetal, dat wil zeggen dat de totale pariteit van een systeem kanworden verkregen door de intrinsieke pariteiten van deeltjes in het systeem met elkaar te vermenig-vuldigen en dat te vermenigvuldigen met de pariteit van de golffunctie die de relatieve beweging vande deeltjes in het systeem ten opzichte van elkar beschrijven. De pariteit van golffuncties die de rela-tieve beweging van deeltjes beschrijft wordt gegeven door:

, (5.4)

waarbij het baanimpulsmoment van de golffunctie is. Dit heet ook wel de baanpariteit.Fermionen en anti-fermionen hebben tegengestelde pariteit. Bij conventie nemen we de pariteit vanfermionen +1 en van anti-femionen -1. Bosonen kunnen zowel positieve als negatieve pariteit hebbenen bosonen hebben dezelfde pariteit als hun anti deeltje.Als voorbeeld kunnen we nu de pariteit van pionen beredeneren. Het pion is een toestand van eenquark en anti-quark met een relatieve golffunctie zonder baanimpuls. De pariteit van het pion wordtdan:

. (5.5)De eerste factor +1 is de pariteit van het quark, de tweede factor -1 is de pariteit van het anti-quark ende baanimpuls van de twee quarks relatief ten opzichte van elkaar is nul, zodat de baanpariteit +1 is.De totale pariteit van het pion is dus -1, het is een pseudoscalar. Voor bosonen is de intrinsieke par-iteit van een scalar +1, de intrinsieke pariteit van een pseudoscalar -1, de intrinsieke pariteit van eenvector -1 en de intrinsieke pariteit van een axiale vector is +1. Dat laatste kan worden gezien doordatonder ruimteinversie zowel de ruimte coordinaten als de impuls coordinaten van teken wisselen. Uit-

P: x y z x– y– z–→

Pψ x y z, ,( ) aψ x– y– z–, ,( )→

P2ψ x y z, ,( ) Paψ x– y– z–, ,( ) a

2ψ x y z, ,( ) ψ x y z, ,( )= = =

a a 1±=

Pψ 1–( )L=

L

P +1( ) 1–( ) 1–( )01–= =

KUN 10


wendige produkten van elke combinatie van die twee, een karakteristiek voor axiale vectoren onder-gaan dus twee tekenwisselingen en hebben pariteit +1.Niet alle toestanden zijn een eigentoestand van de pariteitsoperator.De electromagnetische en sterke wisselwerking behouden pariteit. De zwakke wisselwerkingschendt pariteit maximaal. Dit kan makkelijk worden gezien vanuit het feit dat er alleen linkshandigeneutrino’s (en rechtshandige anti-neutrino’s) zijn. Onder de pariteitstransformatie gebeurt er nietsmet de spin, maar de impuls verandert van richting. Dit betekent dat de heliciteit van deeltjes verand-ert. maar rechtshandige neutrino’s bestaan niet, of spelen althans geen rol in de zwakke wisselwerk-ing.

5.2 Ladingsconjugatie: C

Onder ladingsconjugatie transformeren deeltjes naar anti-deeltjes. Dit betekent onder andere dat alleladingen van teken wisselen, vandaar de naam van deze transformatie. Het magnetisch moment vandeeltjes verandert ook van teken onder ladingsconjugatie. De spin van deeltjes verandert niet.Alleen electrisch neutrale toestanden kunnen een eigentoestand zijn van de ladingsconjugatie opera-tor. Als een toestand een eigentoestand is van de ladingsconjugatie operator volgt, analoog aan pari-teit, dat de eigenwaarde +1 of -1 is.

Uit de Maxwell vergelijkingen kan worden gezien dat de vectorpotentiaal van teken wisselt

onder ladingsconjugatie. Hieruit concluderen we dat het foton, het quantum bij het veld eennegatieve eigenwaarde heeft onder ladingsconjugatie. Als voorbeeld kunnen we nu de eigenwaarde

van de ladingsconjugatie operator op neutrale pionen bepalen. Het neutrale pion vervalt als .Omdat het foton een negative eigenwaarde heeft onder ladingsconjugatie, heeft het neutrale pion deeigenwaarde (-1)(-1)=+1. We kunnen ook naar de toestand van het neutrale pion in quarks kijken.De ladingsconjugatie verandert de quarks in anti-quarks en vice-versa. Omdat het pion een symme-trische toestand van quarks en hun anti-quarks is verandert er niets als de quark en anti-quarksworden verwisselt, behalve dat de spin van de (anti-)quarks flipt en dat ze in elkaar positie bewegen.Omdat quarks fermionen zijn veroorzaakt het flippen van de beide (anti-)quark spins een min tekenvoor de golffunctie. Het verwisselen van de quark en anti-quark geeft ook een min teken voor degolffunctie. Deze twee mintekens heffen elkaar op zodat het totale effect is dat de ladingsgeconju-geerde toestand hetzelfde is als de oorsponkelijke toestand.Weer zijn niet alle toestanden een eigentoestand van de ladingsconjugatie operator. Met name zijnelectrisch geladen deeltjes geen eigentoestand van ladingsconjugatie.Ladingsconjugatie is maximaal geschonden in de zwakke wisselwerking. Dit is makkelijk te zien aande hand van het neutrino. Het ladingsgeconjugeerde deeltje van een linkshandig neutrino is eenlinkshandig anti-neutrino, en de theorie is maximaal asymmetrisch ten opzichte van rechtshandige enlinkshandige anti-neutrino.

5.3 Tijdomkeer : T

De Tijdomkeer operator keert het teken van de tijd om. Alle fysische processen lijken invariant onderdeze transformatie. We zullen hieronder laten zien dat de tijdomkeer symmetrie toch niet helemaalperfect is. Dit geeft aanleiding tot een definieerbare richting in de tijd. Dit laatste is iets wat we om

ons heen zien. We worden eerst geboren en gaan daarna dood en niet andersom.1

1. In dit voorbeeld is de schending van tijdsomkeer in de statistische fysica veel belangrijker.

Aµ

Aµ

π0 γγ→


5.4 Tabuler ing van deeltjeseigenschappen door de Par ticle Data Group

De eigenschappen van alle bekende deeltjes staan vermeld in het Particle Physics boek dat elke tweejaar door de Particle Data Group wordt samengesteld. De eigenschappen en metingen aan deeltjesworden in gedrukte vorm elke twee jaar vernieuwd, maar ze worden ook doorlopend herzien en delaatste stand van zaken is te vinden op het World Wide Web op adres: “ht t p: / / pdg. l bl . gov ” .In de tabellen van de Particle Data Group staan de spin, pariteit en ladingsconjugatie eigenwaarden

(voor zover van toepassing) vermeld als: JPC waar J staat voor de spin, P voor de pariteit en C voorde eigenwaarde onder ladingsconjugatie. Ook staat vermeld IG, waar I staat voor de serke isospin enG voor de G-pariteit een quantumgetal dat we hier niet behandelen (omdat het een beetje oubolligis.) In Tabel 5.1 staan deze quantumgetallen voor enige interessante deeltjes.

meson quark inhoud massa [GeV] JPC IG

ud 139.6 0- 1-

(uu-dd)/ 135.0 0-+ 1-

(uu+dd)/ 547.5 0-+ 0+

(uu-dd)/ 769.9 1-- 1+

us 493.7 0-

ds 497.7 0-

(ds+sd)/ 497.7 0-

(ds-sd)/ 497.7 0-

ss 1020 1-- 0-

cc 3097 1-- 0-

bb 9460 1-- 0-

baryon quark inhoud massa [GeV] JPC IG

p uud 938.3 +

n udd 939.6 +

uds 1115.7 + 0

TABEL 5.1. Eigenschappen van enige veel voorkomende deeltjes. Ingeval het niet van toepassing is zijn C en/of G niet gegeven.

π+

π0 2

η 2

ρ 2

K+ 1

2---

K0 1

2---

KS0 2 1

2---

KL0 2 1

2---

φ

J ψ⁄

ϒ

12---

12---

12---

12---

Λ 12---


5.5 Schending van ladingsconjugatie en par iteit

We hebben al gezien dat ladingsconjugatie en pariteit allebij maximaal zijn geschonden in de zwakkewisselwerking. Dit wordt veroorzaakt doordat de zwakke wisselwerking alleen op deeltjes met eenlinkshandige heliciteit werkt. Maar we kunnen ook inzien dat de gecombineerde transformatie vanladingsconjugatie plus pariteit volgens dit argument is behouden. Linkshandige neutrino’s trans-formeren onder ladingsconjugatie in linkshandige anti-neutrino’s en de linkshandige neutrino’stransformeren onder pariteit naar rechtshandige anti-neutrino’s. Omdat de zwakke theorie zich sym-metrisch gedraagt in linkshandige neutrino’s en rechtshandige anti-neutrino’s lijkt na de gecom-bineerde CP transformatie alles weer koek en ei. We zullen nu laten zien dat echter ook CPgeschonden is, weliswaar maar een klein beetje en niet maximaal zoals pariteit en ladingsconjugatie.Maar toch...

5.6 Het neutrale Kaon systeem

Het neutrale kaon, , is in quarks uitgedrukt een ds toestand. Het anti-deeltje van kaon, is eends toestand. Deze toestanden zijn de eigentoestanden van de sterke wisselwerking. Kaonen kunnenworden geproduceerd door een ss quark paar te maken, dus vreemde deeltjes worden in parengemaakt. Belangrijke reacties voor kaon productie zijn:

. (5.6)

De drempelenergie voor een pion dat op een trefplaatje wordt geschoten is voor de eerste reactie 0.91GeV, voor de tweede reactie 1.5 GeV en voor de derde 6.0 GeV. Door de energie van het inkomend

pion dus goed te kiezen kunnen we een pure bundel maken.

Het is nu duidelijk dat neutrale kaonen geen eigentoestand van de CP operator zijn:1

. (5.7)

We kunnen nu wel makkelijk de CP eigentoestanden maken door de en te mengen:

. (5.8)

Deze twee toestanden zijn de eigentoestanden van de CP operator:

. (5.9)

1. De formules (5.7) definiëren impliciet een fase-conventie: die de fases van de en toestanden aan elkaar relateerd.

K0

K0

π –p Λ K

0+→+

π+ p K

+K

0p+ +→+

π –p Λ K

0n n+ + +→+

K0

K0| ⟩ K

0| ⟩

CP K0| ⟩ K

0| ⟩=

CP K0

| ⟩ K0| ⟩=

K0

K0

K1| ⟩ 1

2------- K

0| ⟩ K0

| ⟩+( )=

K2| ⟩ 1

2------- K

0| ⟩ K0

| ⟩–( )=

CP K1| ⟩ K1| ⟩=

CP K2| ⟩ K2| ⟩–=


Zowel als kunnen vervallen in twee pionen ( of ) en in drie pionen ( of

). Door deze (virtuele) tussentoestanden kan dan een overgaan in een en omgekeerd:

. (5.10)

Dus de en toestanden kunnen vrijelijk mengen. Omdat het verval van de kaonen via dezwakke wisselwerking verloopt (een s quark vervalt naar een u quark onder uitzending van een (vir-tueel) W boson), verwachten we dat het verval via de CP eigentoestanden en verloopt. Als

CP behouden is kan de alleen naar twee pionen vervallen en de alleen naar drie pion toe-

standen. Het geval wil nu dat het massaverschil tussen het kaon en drie keer de pion massa heel kleinis. Daarom vervalt de wel in drie pionen (het moet wel), maar is de vervalsbreedte heel klein en

de levensduur heel groot, ongeveer seconde. De levensduur van de is veel groter dan van

de , die seconde is.

Dit geeft aanleiding tot een aantal opvallende zaken.Om te beginnen is er een (klein) massaverschil tussen de en . Dit veroorzaakt een oscillatie

tussen de twee toestanden. De ontwikkeling in de tijd voor de toestanden van de en wordt

gegeven door:

. (5.11)

Een bundel die nu als zuiver is gemaakt zal naar oscilleren, waarbij de intensiteit van de in de tijd wordt gegeven door:

. (5.12)

Het massaverschil tussen de twee CP eigentoestanden geeft dus aanleiding tot een oscillatie met fre-quentie . Experimenteel is met deze oscillatie het massaverschil van de twee neutrale kaon CP

eigentoestanden gemeten, , oftewel een massaverschil van

eV.

Als we een bundel maken die uit louter bestaat dan verandert die naar een mengsel van en

, de deeltjes die hun ieder hun eigen zwakke verval hebben. De toestand vervalt snel en na

een tijdje is alleen de over. We verwachten dus dat als we een bundel maken er eerst veel ver-

vallen naar twee pionen zichtbaar zullen zijn en na een tijdje zien we dan alleen nog vervallen naardrie pionen. Dit is inderdaad experimenteel geobserveerd.Als de bundel puur is geworden kunnen we hem door een blok materiaal laten gaan. Natuurlijk

zijn er in het materiaal een hoop kernen met protonen en neutronen en heeft de ruime mogelijk-

K0

K0

π+π – π0π0 π+π – π0

π0π0π0K

0K

0

K0 2π

3πK

0↔ ↔

K0| ⟩ K

0| ⟩

K1| ⟩ K2| ⟩

K1 K2

K2

58–×10 K2

K1 911–×10

K1 K2

K1 K2

eiHτ–

K1| ⟩ eim1τ– Γ1τ 2⁄– 1

2------- K

0| ⟩ K0

| ⟩+( )=

eiHτ–

K2| ⟩ eim2τ– Γ2τ 2⁄– 1

2------- K

0| ⟩ K0

| ⟩–( )=

K0

K0

K0

I K0

( ) 14--- e

Γ1τ–e

Γ2τ–2e

Γ1 Γ2+( )τ 2⁄–∆m τ( )cos–+( )=

∆m

2∆m m1 m2+( )⁄ 0.714–×10=

∆m 3.56–×10=

K0

K1

K2 K1

K2 K0

K2

K2


heden om sterke interacties met die kernen aan te gaan. Het gedeelte van de toestand heeftandere sterke interacties met de kernen (alleen elastische verstrooiing en ladingsuitwisselingsrea-

cties) dan het deel dat hyperonen kan maken door het vreemde quark (s) uit te wisselen met een

proton of neutron. Het gevolg daarvan is dat het deel wordt geabsorbeerd in het materiaal, zodat

de bundel weer verandert in de sterke eigentoestand . Eenmaal uit het blok materiaal gekomen

veranderen de toestanden weer naar de zwakke eigentoestanden en . Inderdaad is experimen-

teel gezien dat een bundel van kaonen die alleen nog maar naar vervallen die dan door een blok

materiaal gaat, daarna weer abundant in toestanden vervalt. Dit proces heet regeneratie.In 1964 vonden Christenson, Cronin, Fitch en Turlay dat zelfs na lang wachten de dan pure bundelvan toch af en toe nog naar twee pionen vervalt (met een relatieve waarschijnlijkheid ten op-

zichte van het drie pion verval van ongeveer een promille). Dus wat er na lange tijd overblijft is nieteen pure CP eigentoestand. De kaonen met een lange levensduur worden genoemd (met de “L”

van Long). De kortlevende kaonen noemen we dan (met de “S” van short). En kennelijk valt de

niet samen met de . Het verval wordt helemaal door de zwakke wisselwerking bepaald en

daarom zijn de toestanden en die zo duidelijk in hun levensduur verschillen de eigentoe-

standen van de zwakke wisselwerking. De en toestanden zijn de eigentoestanden van CP en

dus zijn de zwakke en de CP eigentoestanden niet hetzelfde en wordt de CP symmetrie door dezwakke wisselwerking geschonden.We schrijven voor de en de volgende vergelijkingen op:

. (5.13)

Er is een kleine verdraaiing, , ten opzichte van formule (5.8) voor de en . Als , dan

zijn de zwakke en CP eigentoestanden dezelfde. Merk op dat de normering niet exact meer klopt,maar dat als klein is dat effect is te verwaarlozen.Experimenteel kunnen we de volgende amplitude verhoudingen definieren:

. (5.14)

Omdat de eindtoestanden hetzelfde zijn kan er ook interferentie optreden tussen de en ver-

vallen naar dezelfde eindtoestand. Verder kan de eindtoestand een (sterke) isospin of

hebben ( is niet toegestaan). Zonder interferentie is het duidelijk dat:

K0

K0

K0

K0

K1 K2

3π

2π K0

K2

KL

KS

KL K2

KS KL

K1 K2

KS KL

KS| ⟩ 1

2------- 1 ε+( ) K

0| ⟩ 1 ε–( ) K0

| ⟩+( )=

KL| ⟩ 1

2------- 1 ε+( ) K

0| ⟩ 1 ε–( ) K0

| ⟩–( )=

ε K1 K2 ε 0=

ε

η+ –

Ampl KL π+π –→( )

Ampl KS π+π –→( )------------------------------------------------=

η00

Ampl KL π0π0→( )

Ampl KS π0π0→( )-----------------------------------------------=

KS KL

I 0= I 2=

I 1=


. (5.15)

De waarde die wordt gemeten is (Particle Data Group, D.E. Groom et al., The European PhysicalJournal C15 (2000) 1, http://www-pdg.lbl.gov/):

. (5.16)De CP schending door mixing wordt veroorzaakt doordat . Daarnaast kan er ook directe CPschending zijn. Die komt voort uit interferentie in de mogelijke pion vervalstoestanden. De en

eindtoestanden komen in de en voor (en niet in de toestand, omdat de bosonische eindtoestand gesymmetriseerd moet worden.):

. (5.17)

De en amplitudes voor het verval noemen we

. (5.18)

Verder hebben de pionen in de eindtoestand nog sterke interactie met elkaar, waardoor de golffunc-ties van van fase kunnen veranderen. Deze zogenaamde sterke fasen, en , zijn verschillend

voor de isospin toestanden, maar hangen niet af van of het een of betreft. We kunnen nude volgende formules voor de verschillende vervals-kanalen opschrijven:

(5.19)

en analoog:

(5.20)

Nu kunnen de fasen van de amplitudes en ieder afzonderlijk zo worden gekozen dat ze nul

zijn door een fasedraaiing van alle golffuncties, iets dat we niet in observabelen terugzien. Als decomplexe fasen van en echter verschillen kunnen we nooit de twee fasen tegelijkertijd op nul

η+ – ε=

η00 ε=

ε 2.27 0.02±( ) 103–×=ε 0≠

π+π –

π0π0I I3,| ⟩ 0 0,| ⟩= I I3,| ⟩ 2 0,| ⟩=

I I3,| ⟩ 1 0,| ⟩=

π+π –| ⟩ 23--- I 0=| ⟩ 1

3--- I 2=| ⟩+=

π0π0| ⟩ 13--- I 0=| ⟩ 2

3--- I 2=| ⟩–=

I 2= I 0= K0 π→ π

A2 Ampl K0 ππ I 2=( )→( )=

A0 Ampl K0 ππ I 0=( )→( )=

δ0 δ2

π+π – π0π0

Ampl KL π+π –→( )

1

2------- 1 ε+( ) 2

3---A0e

iδ0 13---A2e

iδ2+ 1 ε–( ) 2

3---A0

∗ eiδ0 1

3---A2

∗ eiδ2+

–

43---e

iδ0 εRe A0( ) i Im A0( )+( ) 23---e

iδ2 εRe A2( ) i Im A2( )+( )+

=

=

Ampl KL π0π0 →( ) 23---e

iδ0 εRe A0( ) i Im A0( )+( )–43---e

iδ2 εRe A2( ) i Im A2( )+( )+=

Ampl KS π+π –→( ) 43---e

iδ0 Re A0( ) iεIm A0( )+( ) 23---e

iδ2 Re A2( ) iεIm A2( )+( )+=

Ampl KS π0π0 →( ) 23---e

iδ0 Re A0( ) iεIm A0( )+( )–43---e

iδ2 Re A2( ) iεIm A2( )+( )+=

A0 A2

A0 A2


draaien. Dus zelfs in het geval is er op deze manier een verval mogelijk van de naar twee

pionen en is CP dus geschonden. We kunnen de zaak verder vereenvoudigen door op te merken dat we één complexe fase kunnenkiezen. We volgen de T. T. Wu en C. N. Yang conventie en kiezen reëel:

. (5.21)

Verder gebruiken we nog dat de absolute waarde veel groter is dan en dat de parameter

klein is, waarmee we verwaarlozen ten opzichte van .

Als we de nieuwe CP schendingsparameter invoeren:

, (5.22)

dan kunnen de geladen en neutrale twee pion vervalsamplitudes van de worden geschreven als:

, (5.23)

waarbij de nieuwe parameter de CP schending in de eindtoestand meet, ofwel de directe CP

schending. De parameter meet de CP schending door mixing van de kaon CP eigentoestanden zelf.

Hieruit kunnen we zien dat de parameter gemeten kan worden door de dubbele verhouding

(5.24)

te bestuderen. De factor 6 in de linkerkant van de vergelijking is een gelukkig effect van de Clebsch-Gordon coefficiënten die een rol spelen voor de isospin combinaties in de verschillende eindtoe-standen. Omdat het effect van klein is (minder dan een procent van de waarde van ) is het expe-rimenteel uitbuiten van de dubbele verhouding om systematische fouten zo klein mogelijk te houdenvan het grootste belang. In recente jaren hebben verschillende experimenten ingenieuse methodengebruikt om zo de waarde van te meten. Er is nu onomstotelijk vastgesteld dat die van nul afw-ijkt. De gemiddelde waarde op dit moment, zoals met name gemeten in de NA35 en NA48 experi-menten op CERN en het KTeV experiment op Fermilab is (Particle Data Group, D.E. Groom et al.,The European Physical Journal C15 (2000) 1, http://www-pdg.lbl.gov/):

. (5.25)

(Dit betekent de genadeslag voor het superzwakke model van Wolfenstein, dat voor-spelt en dat we hier dan ook maar niet meer bespreken.)Als we de amplitudes in het Standaard Model bekijken blijkt de complexe fase in de Cabbibo-Koba-yashi-Maskawa matrix een cruciale rol te spelen in het verklaren van CP schending. De directe CPschendingsparameter wordt (behoudens berekenbare proprotionaliteitsfactoren) gegeven door:

, (5.26)

waarbij de complexe fase is van de CKM matrix. Het feit dat de complexe fase in de CKM matrixCP schending betekent was de oorspronkelijke reden voor Kobayashi en Maskawa om de matrix in tevoeren en drie families fundamentele fermionen te voorspellen, nog voordat enig fermion van dederde generatie was gevonden

ε 0= KL

A0

Im A0( ) 0=

A0 A2 ε

εRe A2( ) i Im A2( )

ε'

ε'1

2-------

Im A2( )A0

------------------ei δ2 δ0–( )

–=

KL

η+ – ε ε’+=

η00 ε 2ε’–=

ε'

εε'

1 6Reε'ε---

–Br KL π0π0→( ) Br KL π+π –→( )⁄

Br KS π0π0→( ) Br KS π+π0 –→( )⁄---------------------------------------------------------------------------------------=

ε' ε

ε' ε⁄

Re ε' ε⁄( ) 2.1·

0.5±( ) 103–×=

Re ε' ε⁄( ) 0=

ε δsin∼δ


5.7 Het CPT theorema

Door Pauli, Zumino en Schwinger is aangetoond dat als een theorie aan een aantal algemene voor-waarden voldoet, die theorie invariant is onder de gecombineerde transformatie van CPT. Een ietwateenvoudiger versie van het bewijs is te beredeneren door gebruik te maken van de formulering vande theorie in de vorm van een Lagrangiaan die aan de Euler-Lagrange vergelijkingen voldoet. Hetgebruik maken van een formulering van de veldentheorie met Lagangianen is in de rest van ditdictaat krampachtig vermeden. Niettemin wil ik de grote lijnen van het bewijs schetsen. EenLagrangiaan voor een lokale veldentheorie is een reële scalaire functionaal van de verschillende

velden in the theorie met dimensie E4. Het feit dat de Lagrangiaan een scalar is wil zeggen dat eralleen termen in voor kunnen komen waarin allerlei soorten indices van spinoren en van ruimte-tijdverdwenen zijn. De enige Lorentz invariante manier om dat te bereiken is dat alle spinoren met eenanti-spinor zijn vermenigvuldigd en alle vector-velden zijn gecontraheerd met ander vector-velden,met divergentie-operatoren of met gamma-matrices. De CPT transformatie verandert nu de plaatsviervector als en verandert alle velden in hun geconjugeerde veld. Afgeleides veranderen in

. We hebben al gezien dat vectorvelden zich onder ijktransformaties als een divergentie

van een scalar veld gedragen en dus geldt . In het algemeen krijgen alle elementen die een

oneven aantal Lorentz indices dragen (afgeleides, (pseudo-)vector velden, gamma matrices, ...) eenmin teken onder de CPT transformatie. Omdat er alleen scalaire termen kunnen zijn, zijn alleLorentz indices gecontraheerd en voor elke contactie wordt twee keer van teken gewisseld, met alsnetto effect dat er niets gebeurt. Spinoren kunnen ook alleen in kwadratische vormen van spinor enanti-spinor voorkomen. Het effect op deze paren is dat spinor en anti-spinor worden verwisseld. Totslot moeten alle (complexe) constanten die in de Lagrangiaan voorkomen worden geconjugeerd. Hetnetto resultaat is dat de Lagrangiaan overgaat in zijn complex geconjugeerde met argument .Omdat de Lagrangiaan een reëel getal is, is de complex geconjugeerde Lagrangiaan hetzelfde als deLagrangiaan en is het enige dat is gebeurt dat de plaats is verandert als . Dit is een Lorentz-transformatie en de Lagrangiaan is invariant onder Lorentz transformaties.In het algemeen is te stellen dat lokale veldentheoriën van puntdeeltjes in een vier-dimensionaleruimte-tijd CPT invariant zijn. Als de elementaire deeltjes een dimensie groter dan nul hebben en deruimte-tijd meer dan vier dimensies is het mogelijk een theorie te construeren die niet CPT invariantis, maar zich verder nog wel redelijk gedraagt.

5.8 CP schending in andere systemen dan de kaonen

Op grond van de CKM matrix beschrijving van CP schending in het neutrale kaon systeem ver-wachten we ook CP schending in andere systemen. In mesonen met charm quarks is te berekenen datCP schending aanleiding geeft tot hele kleine effecten, nog veel kleiner dan in het kaon systeem.Deze effecten zijn volgens verwachting zo klein dat er weinig hoop is ze te observeren.

Veelbelovend is mogelijke CP schending in neutrale B mesonen, en . Voor de is al duide-

lijk mixing tussen en waargenomen. Men is naarstig op zoek naar mixing tussen en .

De B mesonen zijn veel zwaarder dan de kaonen en hebben veel meer mogelijke vervalskanalen.Daarom is er geen groot verschil in levensduur tussen de verschillende CP eigentoestanden. De tak-tiek om CP schending te meten in het kaon systeem werkt dan ook niet op het B meson systeem. Inplaats daarvan wordt geprobeerd om de hoeken van de unitariteitsmatrix te meten en zo de complexefase in de CKM matrix vast te stellen. Deze kan dan worden vergeleken met de complexe fase die in

x x–→ µ∂ µ∂–→

Aµ Aµ–→

x–

x x–→

Bd0

Bs0

Bd0

Bd0

Bd0

Bs0

Bs0


het kaon systeem is gemeten, hoewel er in het kaon systeem grote onzekerheden zitten in verbandmet de sterke interactie van de hadronische eindtoestand.

5.9 Kosmologische implicatie van CP schending

Om ons heen zien we duidelijk een overschot aan baryonen over anti-baryonen. Als er hier evenveelanti-protonen zouden zijn als protonen was het snel met ons gebeurd. Op algemene gronden heeftSakharov in 1967 de voorwaarden vastgesteld die nodig zijn om een overschot aan baryonen overanti-baryonen te krijgen:• schending van baryon getal• CP schending• een fase waarin het heelal niet in evenwicht wasHet idee is dat er een niet-evenwichts-fase is waarin protonen en anti-protonen worden gemaakt.Door CP schending en schending van baryongetal vervallen de anti-protonen sneller dan de proto-nen. Het heelal raakt dan in evenwicht en de overgebleven anti-protonen annihileren met protonen.Doordat in een eerdere fase, door schending van CP, de anti-protonen sneller zijn vervallen blijft ereen overschot van protonen over. Het kan worden aangetoond dat het Standaard Model zelf, in devorm van anomaliën, de mogelijkheid heeft baryongetal te schenden bij hoge temperaturen en dusmogelijk in het vroege heelal. Helaas is het aantal baryonen dat zo kan worden gecreëerd nietvoldoende met de Standaard Model parameters die we nu kennen. Dit zou wel het geval zijn geweestals het Higgs boson (waar we het later nog in detail over gaan hebben) lichter zou zijn dan 60 GeV.Dit laatste is inmiddels experimenteel uitgesloten.


5.10 Opgaven

5.1 Wat is de pariteit van de , een electrisch neutraal scalar meson dat dominant in vervalt ?

5.2 De heeft . Waarom kan de alleen in het paar neutrale

kaonen vervallen ?

5.3 Geef een voorbeeld van een intermediaire toestand als een in een oscilleert.

5.4 Wat is een goede test om te kijken of CPT is geschonden ?

a0 ηπ

φ 1020( ) JPC

1 ––

= φ 1020( ) KS0KL

0

Bd0

Bd0


HOOFDSTUK 6 Massa en het Standaard Model: Het Higgs mechanisme

In dit hoofdstuk wordt eerst het Standaard Model geformuleerd als Lagrangiaan en de bewegings-vergelijkingen worden als Euler-Lagrange vergelijkingen geïntroduceerd. We laten zien dat hetStandaard Model niet werkt als deeltjes massa hebben. Een complex scalar veld doublet wordtingevoerd met een potentiaal die de electrozwakke symmetrie breekt. We laten zien dat zo de Z en Wbosonen massa krijgen. Er blijft dan een fysisch veld over dat zich als deeltje moet manifesteren: hetHiggs deeltje. We laten ook zien hoe de fermion massa termen worden gemaakt met behulp van hetHiggs doublet veld. De eigenschappen van het Higgs boson worden afgeleid, en we gaan in op deexperimentele implicaties. Tot slot geven we de status van de zoektocht naar het Higgs deeltjes en hetvooruitzicht om het te vinden.

6.1 Lagrangianen

Tot nu toe hebben we de hele theorie in termen van bewegingsvergelijikingen beschreven. Om debespreking van het Higgs mechanisme wat te vergemakkelijken gaan we in dit hoofdstuk over op eenbeschrijving die uit gaat van een Lagrangiaan. In het klassieke geval is een Lagrangiaan een reëel-waardige functie van plaatscoordinaten, , en hun afgeleiden naar de tijd (de snelheden),

. De actie wordt dan gegeven door:

. (6.1)

De actie is minimaal als voldaan is aan de Euler-Lagrange vergelijking:

. (6.2)

In het geval van velden is de Lagrangiaan een Lagrange dichtheid (de ruimte-tijd integraal is deLagrangiaan) en een functionaal van de velden, , en hun afgeleiden naar de tijd en ruimte,

(we streven natuurlijk ook naar een Lorentzinvariante formulering, vandaar dat als tijd afgeleidesvoorkomen, ook ruimteafgeleides moeten voorkomen). Laten we het principe van de minimale actielos op de Lagrange dichtheid dan krijgen we voor de Euler-Lagrange vergelijking:

. (6.3)

Als we bijvoorbeeld beginnen met een Lagrangedichtheid:

, (6.4)

dan geeft de Euler-Lagrange vergelijking, de bewegingsvergelijking voor een vrij deeltje met spin 0,de Klein-Gordon vergelijking:

q t( )

q· t( ) dq t( ) dt( )⁄=

I L q t( ) q· t( ),( )dtt1

t2

∫=

q t( )∂∂L d

dt-----

q· t( )∂∂L

– 0=

ϕ µ∂ ϕ

µ∂ µ∂ ϕ( )∂∂

L ϕ µ∂ ϕ,( )

ϕ∂∂

L ϕ µ∂ ϕ,( )– 0=

L12--- µ∂ φ ∂ µφ( ) 1

2---m

2φ2–=

KUN 11TUE 8


. (6.5)

Op analoge manier geeft de Lagrangedichtheid:

, (6.6)

aanleiding tot de Dirac vergelijking, de bewegingsvergelijking voor vrije deeltjes met spin 1/2:

( afgeleide). (6.7)

En de Lagrangedichtheid:

, (6.8)

met de electromagnetische tensor en de electromagnetische vectorpoten-tiaal geeft als Euler-Lagrange vergelijking de homogene Maxwell vergelijkingen:

, (6.9)

als , de Feynman-ijk, wordt gekozen.Het moge duidelijk zijn dat als de Lagrangedichtheid invariant is onder een bepaalde transformatie,de bewegingsvergelijkingen dat ook zijn. Als de Lagrange dichtheid invariant is onder een globaletransformatie (onafhankelijk van ruimte-tijd) dan krijgen we een ijktheorie door te eisen dat deLagrangedichtheid invariant is onder eenzelfde type transformatie, waarbij de transformatie van deruimte-tijd afhangt. Deze eis noodzaakt normaal gesproken de introductie van een covariante afge-leide, waarbij een of meer extra velden worden geïntroduceerd. Dit verloopt allemaal net zo als bij detoepassing van dit idee op bewegingsvergelijkingen. Als voorbeeld geven we aan wat er gebeurt alswe een lokale U(1) symmetrie eisen op de Lagrangedichtheid die bij Dirac spinor velden hoort. Deafgeleide in de Lagrangedichtheid verandert in de covariante afgeleide :

. (6.10)

We zien dat er een extra veld en een extra term in de Lagrangedichtheid bij zijn gekomen. Dit extraveld heeft ook een kinetische term nodig, dus de nieuwe Lagrangedichtheid die invariant is onder deU(1) symmetrie is:

. (6.11)

Met de Euler-Lagrange vergelijkingen (er zijn er nu meerdere, voor elk veld een vergelijking), krij-gen we nu de inhomogene Maxwell vergelijkingen en de Dirac vergelijking met een storingsterm,zoals we die al eerder hebben afgeleid in hoofdstuk 2.Als we al deze Lagrangedichtheden goed bekijken en weten wat de propagatoren zijn van de ver-schillende velden dan kan op vallen dat als we de kinetische (vrije veld) stukken van de Lagrange-dichtheid nemen, de afgeleides door impulsen vervangen en de inverse van die uitdrukking nemen,we precies de propagator van het betreffende veld krijgen. Dit is geen toeval, maar we gaan daar hierverder niet op in.Verder kunnen we aan de termen met verschillende velden de vorm van de interacties zien. In hetalgemeen correspondeert elk veld in zo’n term met één lijn van/naar de vertex en geeft de constantevoor de term de sterkte van de koppeling.

µ∂ ∂ µφ m2φ+ 0=

L iψγµ ∂ µψ mψψ–=

iγµ ∂ µψ m– ψ 0= ψ

L14---– F

µνFµν

λ2--- µ∂ A

µ( )2

–=

Fµν

∂ µA

ν ∂ ν

Aµ

–= Aµ

µ∂ ∂ µA

ν0=

λ 1=

µ∂ Dµ→ µ∂ ieAµ–=

L iψγµDµψ mψψ– iψγµ ∂ µψ mψψ– eψγµA

µψ+= =

L14---– F

µνFµν

λ2--- µ∂ A

µ( )2

– iψγµ ∂ µψ mψψ– eψγµAµψ+ +=


6.2 Nog eens U(1)xSU(2) ij ktheor ie

De vrije Lagrangiaan voor de electrozwakke theorie voor een familie van leptonen (zeg electron enelectron-neutrino) is, we splitsen in rechts handige electron singlets en linkshandige doublets:

. (6.12)

Hier gaat het al onmiddelijk mis. Voor de linkshandige doublets hebben het electron en neutrino nudezelfde massa. Dit is experimenteel evident niet waar. De simpelste fix die we kunnen maken is:

, (6.13)

waarbij er een nieuw doublet veld is ingevoerd dat we kunnen denken als .

Maar in dat geval breekt de SU(2) symmetrie. Dit is natuurlijk wat we al hadden kunnen verwachten.Omdat de massa van het electron en electron-neutrino verschilt is een eventuele symmetrie tussendie twee nooit exact.De vorm van de Lagrangiaan in formule (6.13) is invariant onder SU(2), alleen onze keuze voor eenvastwaardig veld dat niet symmetrisch is in zijn twee componenten schendt de SU(2) invariantie.Laten we het kiezen van het veld dus even zitten voor het moment.Te beginnen met vergelijking (6.13) vullen we nu de volgende covariante afgeleides in (zie formule(3.6), waarin we alvast de waarde voor hebben ingevuld):

(6.14)

We krijgen dan:

, (6.15)

waarbij op de laatste regel van de formule termen zijn toegevoegd die de kinetische term en een alge-mene vorm van de potentiaal van het veld geven. In deze termen zijn ook meteen de covariante

afgeleides ingevuld en we zien dat dus ook het veld aan de ijkvelden koppelt. De ijkveldtensorenzijn gedefinieerd als:

(6.16)en

. (6.17)

Zoals al in hoofdstuk 3 gedemonstreerd kunnen we de velden en combineren tot twee

geladen W boson velden en . De velden en zijn beide neutraal en zullen mengen tot

het en foton veld.

L iψRγµ ∂ µψR iψLγµ ∂ µψL mψRψR mψLψL––+=

L iψRγµ ∂ µψR iψLγµ ∂ µψL m ψRφ†ψL ψLφψR+( )–+=

φ φ 0

1=

Y

∂ µD

µ→ ∂ µi–g2---σW

µig'2----B

µ+= voor linkshandige doublets,

∂ µD

µ→ ∂ µi g'B

µ+= voor rechtshandige singlets.

L14---– W

µνWµν

14---B

µνBµν– iψRγµ ∂ µψR iψLγµ ∂ µψL m ψRφ†ψL ψLφψR+( )–

ψRγµBµψR ψLγµ

g2---σW

µ g'2----B

µ+

ψL

∂ µφ ig2---σW

µφ i

g'2----B

µφ+–

†

∂ µφ ig2---σWµφ i

g’2----Bµφ+–

µ2φ†φ λ φ†φ( )2––

+ +

+ + +=

φφ

Wµν

∂ µW

ν ∂ ν

Wµ

gWµ

Wν

×––=

Bµν

∂ µB

ν ∂ ν

Bµ

–=

W1

W2

W+

W –

W3

B

Z0


We willen nu eerst wat meer weten over het veld . Dit veld wordt het Higgs doublet genoemd. Delaatste twee termen van formule (6.15) worden de Higgs potentiaal genoemd. In termen waarin

alleen dit doublet voorkomt kan het alleen in de combinatie voorkomen, omdat het resultaat eenreële scalar moet zijn. Verder kan om de theorie renormaliseerbaar te houden de macht van een sca-lar veld ten hoogste vier zijn. Dus deze Higgs potentiaal, met de arbitraire constanten en is demeest algemene mogelijke vorm.

Als we nu kiezen dan zien we dat de potentiaal een minimum heeft bij een waarde van hetveld die niet nul is. Het minimum is bovendien gedegenereerd. Als we het veld zien als vier reëlecomponenten (twee complexe getallen) dan ligt het minimum op een drie-dimensionale bol in devier-dimensionale ruimte. We kunnen nu dus (als we met het kwadraat van de componenten maar inde straal-kwadraat van de bol blijven) drie componenten kiezen, waarna de vierde vastligt.

We hebben al gezien dat het bijna goed leek te gaan als de potentiaal eruit zag als . We laten

ons hierdoor inspireren en kiezen het complexe isospin +1/2 veld als 0. Verder kiezen we het com-plexe isospin -1/2 veld als reëel (dus de complexe component is nul). We schrijven het Higgs doubletveld als:

, (6.18)

met het veld reëelwaardig. Dit is meteeen een keuze die de ijk, de rotatiehoek in de zwakke

isospin ruimte, vast legt. Het minimum van dit veld is echter niet nul en we kunnen het ook schrijven

als (de factor is conventioneel):

, (6.19)

waarbij de vacuümverwachtingswaarde

(6.20)

de minimumwaarde van geeft en als minimum waarde van het veld nul heeft en zich

verder als “ regulier” scalar veld gedraagt.Schrijven we formule (6.15) uit in de vacuümverwachtingswaarde en het scalar veld dankrijgen we:

(6.21)

φ

φ†φ

µ λ

µ20<

φ 0

1=

φ 0

φ0 x( )=

φ0 x( )

1 2⁄

φ0

v ρ x( )+

2--------------------

=

vµ2

–λ

---------=

φ0 x( ) ρ x( )

v ρ x( )

L14---– W

µνWµν

14---B

µνBµν– iψRγµ ∂ µψR iψLγµ ∂ µψL m ψRφ†ψL ψLφψR+( )–

ψRγµBµψR ψLγµ

g2---σW

µ g'2----B

µ–

ψL12--- ∂ µρ ∂ µρ µ2v

2 ρ2+2

----------------- λ v2 ρ2

+2

-----------------

2

––

18--- v ρ+( )2

g'Bµ

gW3µ

–( ) g'Bµ gWµ3

–( ) g2

W1µ

Wµ1

W2µ

Wµ2

+( ) +

+ + +

+ + +=


We zien nu dat het veld een scalar veld is met massa (we hadden gekozen dus datgeeft een goede fysische interpretatie.)We zien verder dat er interacties zijn tussen het veld en alle andere velden, behalve die van het

neutrino. Als we het veld nemen dan zien we dat er nog termen overblijven met de vacuüm-

verwachtingswaarde erin. Deze termen die met of vermenigvuldigen zijn allen kwadratisch inprecies één veld en we kunnen deze termen dus opvatten als massatermen. Met name voor het elec-

tron zien we dat de hele massaterm (de term lineair in de kwadratische vorm ) wordt gegevendoor:

, (6.22)

zodat we de massa kunnen interpreteren als:

. (6.23)

Breiden we de Lagrangiaan uit tot meer families van zwakke doublets en nemen we de quark doublet

er ook bij dan kunnen we alle individueel kiezen en dus ook alle massa van aparte deeltjesafzonderlijk instellen.Ook in de ijkvelden zijn nu massatermen gekomen. Voor de massa van de geladen W bosonen zien

we meteen uit de coëfficiënt van kwadratische vorm in en (en dus ook voor de lineaire com-

binaties die en vormen) dat:

. (6.24)

Voor de neutrale ijkbosonen ligt de situatie wat ingewikkelder. We weten echter dat een van de tweeneutrale ijkbosonen het foton is en dat het foton geen massa heeft. Dus we willen lineaire combina-

ties van de twee velden en , zodat de één een massaterm heeft en de ander niet. Dit kunnen wemakkelijk bereiken door een van de velden gelijk te nemen aan:

, (6.25)

die op de normering na gelijk is aan de vorm in de massaterm. De massa van dit veld is dan dus:

. (6.26)

Het massaloze veld wordt dan gevormd door de lineaire combinatie van en loodrecht op het veld:

, (6.27)

en dus met:

. (6.28)

ρ µ2– µ2

0<

ρρ 0=

v v2

ψψ

mv

2-------ψψ

memv

2-------=

m

W1

W2

W+

W –

MWvg

2 2----------=

W3

B

Zµ g'B

µgW

3µ–

g2

g'2

+------------------------------=

MZv2--- g

2g'

2+=

W3

B Z

Aµ g'B

µgW

3µ+

g2

g'2

+-------------------------------=

MA 0=


Uit de Lagrange dichtheid zien we nog dat de hyperlading van het Higgs veld moet zijn: ,

omdat het verschil van de hyperladingen van het rechtshandig singlet en het linkshandig doublet enhet geconjungeerde Higgs doublet nul moet zijn.

6.3 Eigenschappen van het Higgs boson

Het Higgs boson is dus het fysische deeltje dat correspondeert met het veld uit de vorige sectie.Dit deeltje koppelt dus aan alle andere deeltjes die massa hebben. En de koppelingsconstante naarelk fermion is evenredig met de massa van het deeltje (bij constructie). Dus we verwachten dat hetHiggs boson met grote waarschijnlijkheid geproduceerd wordt in reacties met zware deeltjes en ookbij voorkeur vervalt naar deeltjes met grote massa.

6.3.1 Zoeken naar het Higgs boson bij LEP

De LEP versneller is een machine waarin electronen en positronen in tegengestelde richting en metevengrote energie in het frame van de detectoren met elkaar in botsing worden gebracht. In de eerstefase van LEP (LEP1), die van 1989 tot en met 1996 heeft geduurd is de energie van de electronen enpositronen zo gekozen dat de zwaartepuntsenergie ongeveer de massa van het Z boson was. In dezefase resulteerde de botsing van een electron en positron in LEP heel vaak in een annihilatie van debundeldeeltjes om zo een Z boson te produceren. Het Z boson werd zo in rust geproduceerd. De ver-valsproducten van de Z bosonen werden op vier verschillende plaatsen gedetecteerd met vier ver-schillende detectoren: ALEPH, DELPHI, L3 en OPAL.In de tweede fase van LEP (LEP2), die in 1996 begon en in 2000 is afgesloten, is de zwaartepunts-

energie in stapjes opgevoerd naar uiteindelijk 209 GeV.1

De productie van Higgs bosonen bij LEP kan op twee manieren gebeuren:

Het linkse diagram geeft verreweg de dominante bijdrage. In geval van LEP1 is de Z die uit de anni-hilatie van het electron-positron-paar wordt gemaakt op de massaschil, dat wil zeggen dat het Zboson als invariante massa zijn rustmassa heeft. In dat geval is het Z boson in de eindtoestand vir-tueel en heeft een invariante massa die kleiner is dan de rustmassa. Hoe zwaarder het Higgs boson is,hoe kleiner de invariante massa van het Z boson in de eindtoestand kan zijn. Daardoor wordt het ver-schil tussen de invariante massa en de rustmassa groter en dempt de propagator van deze Z de werk-zame doorsnede met een factor proportioneel aan:

. (6.29)

De reden dat de invariante massa van het Z boson kleiner wordt en niet de invariante massa van hetHiggs boson (dat natuurlijk ook van de massaschil kan gaan), is dat de vervalsbreedte van het Higgsboson heel klein is, typisch 1 MeV, terwijl die voor de Z heel groot is, ongeveer 2.5 GeV.

1. De hoogste effectieve energie van LEP was 206 GeV.

Yφ 1+=

ρ

e+

e-

e+

e-

/e+

/e-

Z*

Z

H

HW* /Z*

W* /Z*

νe

νe

1

Q2

MZ2

–( ) MZΓZ( )⁄ 1–( )---------------------------------------------------------------

KUN 12


Bij LEP2 is de annihilatiepropagator van de Z van de massaschil, zoals aangegeven door de * . In dit

geval is de werkzame doorsnede vrij groot voor . Zowel het Z als het Higgs boson in

de eindtoestand worden dan op de massaschil gemaakt. Als de Higgsmassa groter wordt dan

dan is de Higgsmassa groter dan de kinematische limiet en zakt de werkzame door-

snede snel in.De werkzame doorsnede voor het rechtse diagram is veel kleiner, omdat de (virtuele) W of Z propa-gatoren in het -kanaal zitten en altijd ver van de massaschil af zijn, doordat hun propagatoren

(6.30)

zijn en twee keer als factor in de werkzame doorsnede komen. Alleen ligt in dit geval de kine-matische limiet bij:

(6.31)

en is het bereik voor de Higgs massa voordat de werkzame doorsnede dramatisch verandert veelgroter.Dus bij betrekkelijke lage geïntegreerde luminositeit zal het proces van het linkse diagram een

ontdekking of uitsluiting geven als , terwijl bij hele hoge luminositeit het rechtse dia-

gram het gebied tussen verder kan onderzoeken. Het verschil in luminositeit

dat daarvoor nodig is, is echter heel groot, van de orde van een factor 100. In de praktijk speelt dushet linkse diagram de hoofdrol.Uitgaande van de productie van het Higgs boson volgens het linkse diagram zijn er verschillendeeindtoestanden mogelijk. Het Z boson vervalt in paren fermionen volgens de vertakkingsverhoudin-gen:

Het Higgs boson vervalt in de zwaarst mogelijke deeltjes die voorhanden zijn. Voor Higgs bosonenmet massa’s , het gebied dat bij LEP relevant is, vervalt het

Higgs boson dus vooral in paren b quarks. Voor een Higgs boson met

worden de vertakkingsverhoudingen ongeveer gegeven door::

Vervalskanaal Vertakkingsverhouding Topologie in detector

(q is elk quark) 69.9 % 2 jets

( ) 3.36 % (*2 voor e en ) 2 geïsoleerde leptonen

3.36 % 2 jets of geïsoleerde leptonen

en missende energie

20.0 % onzichtbaar


88 % 2 b jets

3 % 2 c jets

s MZ MH+>

MH s MZ–>

t

1

Q2

MW/Z2

+( )2

----------------------------------

MH s<

MH s MZ–<

s MZ–( ) MH s< <

Z qq→

Z l+l

–→ l e of µ= µ

Z τ+τ –→

Z νν→

2mb 10 GeV MH 130 GeV 2MW«< <≈

80 GeV MH 110 GeV< <

H bb→

H cc→


Het laatste proces heeft enige toelichting nodig. Het gluon is massaloos en koppelt helemaal nietdirect aan het Higgs veld en het Higgs boson kan dus ook helemaal niet naar twee gluonen vervallen!Dit gebeurt echter toch. Wat hier gebeurt is dat een hogere orde proces een aanzienlijke waarschijn-lijkheid krijgt. Het dominante Feynmandiagram voor dit verval is:

De koppeling tussen het Higgs boson en de gluonen wordt door het top quark verzorgd. De kop-peling van het Higgs aan de top is erg groot door de grote top quark massa. De koppeling tussen detop quarks en de gluonen is gegeven door de sterke koppelingsconstante die ook heel groot is. Verderzijn er een flink aantal combinaties mogelijk van de kleurconfiguratie en wordt de vervalsbreedtemet deze combinatorische factor vermenigvuldigd. De vervalsbreedte wordt nog enigzins gedemptdoor de drie top quark propagatoren die flink van de massaschil moeten afwijken, maar deze demp-ing wordt beperkt voor de relatief grote totale vervalsbreedte van het top quark, van de orde van 1GeV. Al met al speelt dit diagram een rol op het procentniveau van de totale vervalsbreedte van hetHiggs boson, ondanks het feit dat ten opzichte van een puntkoppeling van het Higgs aan een paarfermionen er twee extra vertices en drie extra propagatoren zijn.Gegeven de dominante bijdrage van ZH productie aan de totale Higgs boson productie bij LEP,wordt er dus vooral gezocht naar de volgende eindtoestand topologieën:

1) qqbb: vier jets, waarvan twee van b quarks

2) qq : twee jets en twee tau-leptonen

3) llbb: twee electronen of muonen en twee b quark jets

4) bb: twee b quark jets en twee tau leptonen

5) bb: twee b quark jets een een grote missende energie en impulsAndere eindtoestandcombinaties vormen nog slechts minder dan 5% van alle mogelijke gevallen.Het feit dat b quark jets apart zijn genoemd is omdat bij LEP jets die door een b quark geïnitieerdzijn kunnen worden herkend, omdat die jets altijd een hadron met een b quark bevatten. Hadronenmet b quarks leven relatief lang en vervallen met hoge multipliciteit in geladen sporen (gemiddeld5.5). Het punt waar het b hadron vervalt kan worden gerconstrueerd door te kijken waar de sporenvan de vervalsproducten elkaar snijden. Dit punt heet de secondaire vertex, dit is het punt waar het bhadron vervalt. Uit sporen die ontstaan uit fragmentatie en hadronisatie van de quarks in jets kan eenprimaire vertex worden gereconstrueerd, het punt waar de reactie tussen electron en positron plaatsvond. De afstand tussen de primaire en secondaire vertex wordt gemiddeld gegeven door de levens-duur van het b hadron in laboratorium systeem, ofwel door de eigen levensduur van het b hadronmaal de Lorentz boost in het laboratoriumsysteem.In LEP worden niet veel achtergrond gebeurtenissen, dat wil zeggen gebeurtenissen zonder eenHiggs, geproduceerd die erg op de gebeurtenissen met een Higgs verval lijken. De achtergronden

7 % 2 jets of geïsoleerde leptonen

en missende energie

2 % 2 gluon jets


H τ+τ –→

H gg→

tH

g

g

ττ

ττ

νν


verschillen per topologie, maar zijn in het algemeen hogere orde QCD processen (waarbij vier ofmeer jets worden gemaakt), en de productie van WW en ZZ paren. De eerste groep achtergrond kandoor zorgvuldige selectie goed van de Higgs gevallen worden onderscheiden, terwijl de productievan WW en ZZ paren een werkzame doorsnede heeft van dezelfde orde als Higgs productie en opbepaalde punten toch anders is en dus kan worden onderscheiden.

6.3.2 Zoeken naar het Higgs boson bij het Tevatron

Het Tevatron is een machine waarin protonen en anti-protonen met gelijke energie in tegengestelderichting worden versneld en met elkaar in botsing gebracht. Omdat (anti-)protonen bij de beschik-bare energie van het Tevatron (900-1000 GeV) geen elementaire deeltjes zijn maar zakken metquarks en gluonen, zijn de eindtoestanden van een reactie tussen een proton en anti-proton in hetTevatron exprimenteel rommelig. In de interessante gebeurtenissen is er een harde, diep inelastische,verstrooiing tussen een (anti-)quark of gluon in het proton met een (anti-)quark of gluon in het anti-proton. De resterende partonen ((anti-)quarks en gluonen) in zowel het proton als anti-proton gevenjets in de richting van de bundel, waar de experimenten noodzakelijkerwijs gaten hebben om de bun-del binnen te laten. De meeste deeltjes tengevolge van de resten van het proton en anti-proton dieoverblijven nadat er een parton is uitgeschoten verdwijnen dus ongezien. Dit houdt in dat het behoudvan impuls langs de richting van de inkomende bundel (vaak de z-richting gekozen in experimenten)niet kan worden gebruikt. Verder is er nog een kleurveld tussen de resten van het (anti-)proton en hetuitgeschoten parton, zodat er ook een activiteit van lage energie deeltjes tussen de bundelpijp en dejets in de detector is.In hadron botsers zijn er twee dominante manieren om Higgs bosonen te maken. Er kan een virtueelZ of W boson worden gemaakt dat in een Higgs en een Z of W op de massaschil vervalt. Dit is net alsbij LEP2. Het virtuele W of Z boson wordt hier echter over het algemeen gemaakt door annihilatievan een quark met een anti-quark. De andere mogelijkheid die de grootste werkzame doorsnedeheeft voor Higgs boson productie is de fusie van twee gluonen (het verval van het Higgs in tweegluonen in tijdomgekeerde richting.)Als het Higgs boson door de fusie van twee gluonen wordt gemaakt en vervolgens in een paar bquark jets of een paar tau-leptonen vervalt is de achtergrondsituatie desastreus. De productie vangebeurtenissen met twee quark jets in de eindtoestand is bij het Tevatron zo groot dat noodzakelijker-wijs al een groot deel van deze gebeurtenissen niet kan worden opgeslagen op computermedia en dusmaar meteen worden weggegooid. De efficiëntie voor dit soort Higgs gebeurtenissen is dusdanig dathet observeren van deze gevallen hopeloos is.Meer kans biedt het verval van een virtuele W of Z in een Higgs boson. In dit geval is er ook een Wof Z boson op de massaschil in de eindtoestand. Door het leptonisch verval van het W of Z boson isde gebeurtenis nu makkelijk te herkennen. Het geïsoleerde lepton en neutrino van de W veroorzakeneen duidelijk signaal in de detector. Ook de twee geïsoleerde geladen leptonen van Z verval zijnmakkelijk te herkennen. Helaas is de werkzame doorsnede voor dit soort Higgs productie niet zohoog en wordt de zaak verder verslechterd doordat alleen de leptonische vervallen van het W en Zboson in electronen en muonen uitkomst bieden en dit maar 20 % en 6.7 % is respectievelijk.Dit is de reden dat het Tevatron tot nu toe nog geen rol heeft gespeeld in de zoektocht naar de Higgs,vooral omdat de geïntegreerde luminositeit tot nu te laag was. Worden eenmaal genoeg gebeurtenis-sen geproduceerd, dat wil zeggen is de geïntegreerde luminositeit groot genoeg, dan is wel onmid-delijk het bereik in Higgs massa vrij groot, groter dan dat van LEP. Op het moment wordt hardgwerkt aan een verbetering van het Tevatron die dit moet gaan waarmaken. Ook de Tevatron detec-toren, CDF en DØ, worden verbeterd om een maximale detectieëfficiëntie voor Higgs gevallen tebereiken.


6.4 Status van het Standaard Model en de Higgs massa

Zoals boven beschreven wordt de directe zoektocht naar het Higgs boson door LEP gedomineerd.Op dit moment ligt de onderlimiet van de Higgs massa met 95% waarschijnlijkheid bij 114.1 GeV(CERN-EP/2001-055 (July 11, 2001).)Aan de andere kant hebben we ook een bovenlimiet op de Higgs massa van LEP. Door bij LEP1 heelnauwkeurig de eigenschappen van het Z boson te meten kunnen we uit hogere orde correcties watover de Higgs boson massa te weten komen.In het Standaard Model is de Higgs massa de enige parameter die nog niet experimenteel is bepaald.Veel andere parameters zijn tot op grote precisie bepaald. Ook zijn er theoretische berekeningengedaan (Feynman diagrammen uit rekenen !) met een precisie die even goed is als de experimenteleprecisie. Door nu de berekeningen te vergelijken met de metingen kunnen de parameters in hetStandaard Model zo worden aangepast, met een fit, dat de beste overeenstemming wordt bereikt. Hetaantal metingen is zo groot dat de parameters overbepaald zijn en er dus ook een zelfconsistentie testis. Als twee metingen eenzelfde parameter op twee heel verschillende waardes zou willen hebbenvoor een goede beschrijving, kan het Standaard Model de twee metingen niet tegelijkertijd beschri-jven, een teken dat er iets fundamenteels mis is met het model.Dit blijkt echter niet het geval te zijn. Integendeel, het Standaard Model kan met een unieke setparameterwaarden alle precisiedata beschrijven ! In Figuur 6.1 staan in tabelvorm de gemetenwaarden van de belangrijkste grootheden en de gefitte waardes in het Standaard Model die volgen uiteen simultane fit van al deze observabelen.

FIGUUR 6.1. Precisiemetingen van Standaard Model observabelen en de waarden van een StandaardModel fit aan deze observabelen. De fit is overbepaald en de verdeling van “ pulls” geeft een goedeindicatie van de zelfconsistentie van het model.

Measurement Pull (Omeas−Ofit)/σmeas

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

∆αhad« (mZ

¬ )∆α(5) 0.02761 ± 0.00036 -.35

mZ¬ [GeV]mZ¬ [GeV] 91.1875 ± 0.0021 .03

ΓZ¬ [GeV]ΓZ¬ [GeV] 2.4952 ± 0.0023 -.48

σhad« [nb]σ0 41.540 ± 0.037 1.60

RlRl 20.767 ± 0.025 1.11

Afb®A0,l 0.01714 ± 0.00095 .69

Al (Pτ¯ )Al (Pτ¯ ) 0.1465 ± 0.0033 -.54

Rb°Rb° 0.21646 ± 0.00065 1.12

Rc±Rc± 0.1719 ± 0.0031 -.12

Afb®A0,b 0.0990 ± 0.0017 -2.90

Afb®A0,c 0.0685 ± 0.0034 -1.71

Ab°Ab° 0.922 ± 0.020 -.64

Ac±Ac± 0.670 ± 0.026 .06

Al (SLD)Al (SLD) 0.1513 ± 0.0021 1.47

sin2θeff²sin2θlept(Qfb® ) 0.2324 ± 0.0012 .86

m(LEP) [GeV]mW³ 80.450 ± 0.039 1.32

mt´ [GeV]mt´ [GeV] 174.3 ± 5.1 -.30

m(TEV) [GeV]mW³ 80.454 ± 0.060 .93

sin2θW³ (νµ N)sin2θW³ (νµ N) 0.2255 ± 0.0021 1.22

QW³ (Cs)QW³ (Cs) -72.50 ± 0.70 .56

Summer 2001


FIGUUR 6.2. Links: De van de Standaard Model fit als functie van de Higgs massa (oplogairthmische schaal). Rechtsboven: 66% waarschijnlijkheidscontouren in het vlak van de W bosonen top quark massa (contouren). De voorspellingen van het Standaard Model als functie van deHiggs massa zijn ook gegeven. Rechtsonder: 66% waarschijnlijkheidscontouren in het vlak van detop quark en Higgs boson massa (contouren). Aangegeven is het gebied van Higgs boson massa’sdat door directe zoekanalyses bij LEP2 is uitgesloten. Deze figuren representeren de status in 2001en zijn te vinden op het web: http://lepewwg.web.cern.ch/LEPEWWG/plots/summer2001/.

In Figuur 6.2 is de situatie voor de massa van het Higgs boson weergegeven. Uit deze figuren isonder meer te concluderen dat het Higgs boson met een waarschijnlijkheid van groter dan 95% eenmassa heeft tussen de 114 GeV en de 188 GeV.In de volgende run van het Tevatron, tussen 2000 en 2005, zal de top quark massa waarschijnlijk tot1 a 2 GeV precisie gemeten gaan worden. Ook bij het Tevatron kan de massa van het W boson totongeveer 35 MeV bepaald gaan worden en omdat deze meting helemaal onafhankelijk is van die bij

LEP2 wordt de totale nauwkeurigheid van de W massa bepaling dan ongeveer MeV.Dit geeft (zie Figuur 6.2) een betere indirecte bepaling van de Higgs boson massa.Verder zal bij voldoende luminositeit een Higgs boson met een massa tot 170 a 180 GeV bij de vol-gende run van het Tevatron kunnen worden gevonden of uitgesloten.We zien dat het net om de laatste vrije parameter van het Standaard Model zich al aardig begint tesluiten.

0

2

4

6

10020 400

mH [GeV¶

]·

∆χ2

Excluded Preliminary

∆α¸

had =∆α¸ (5)

0.02761±¹0.00036

0.02738±0.00020

theory uncertaintyº

80.2»80.3

»80.4

»80.5

»80.6

»

130 150 170 190 210

m¼ H [½GeV

¾]

¿114 300

À1000

mÁ tÂ [GeV

Ã]

Ä

mW

Å [GeV

]

Preliminary

68% CL

∆αÆ

LEP1, SLD, νÇ N, APV Data

LEP2, pp− Data

140

160

180

200

10 102

103

mH [GeVÈ

]É

mt

[GeV

]

Excluded Preliminary

All except mt

68% CL

mt (TEVATRON)

χ2

35 2( )⁄ 25=


6.5 Opgaven

6.1 Schets de Higgs potentiaal ( ) voor positieve en negatieve waarden van .

Waarom moet altijd positief zijn om een fysisch model te krijgen ? Waarom werkt een posi-

tieve waarde van niet om spontane symmetriebreking te krijgen ?

6.2 Gegeven is de massa van het tau-lepton, MeV. Gebruik de vertakkingsverhoudin-

gen van het Higgs boson zoals in de tabel in dit hoofdstuk gegeven om de massa van het b en c quark uit te rekenen. Klopt dit met de massa van het b en c quark die uit de massa van de ,

MeV, en de , MeV ?

6.3 Teken drie verschillende Feynmandiagrammen voor Higgsproductie bij het Tevatron.6.4 Waarom begint de werkzame doorsnede voor de Higgsproductie bij LEP al een paar GeV

onder de kinematische limiet fors af te nemen ?6.5 Geef twee onafhankelijke manieren om de massa van de Higgs te bepalen in een LEP gebeur-

tenis met een positief en negatief muon en twee jets. Welke zou nauwkeuriger zijn ? Kan de situatie nog verder worden vebeterd ?

µ2φ†φ λ φ†φ( )2+ µ2

λ

µ2

mτ 1777=

ϒmϒ 9460= J/ψ mJ/ψ 3097=


HOOFDSTUK 7 Voorbij het Standaard Model: Supersymmetrie

In dit hoofdstuk kaarten we de problemen van het Standaard Model aan. Deze problemen zijn allevan theoretische aard, want het Standaard Model beschrijft de huidige experimentele resultaten naargrote tevredenheid. Supersymmetrie zal worden besproken als een mogelijke oplossing van een aan-tal theoretische problemen van het Standaard Model. Supersymmetrie transformeert fermionen inbosonen en vice versa. De experimentele implicaties van supersymmetrie zullen worden besproken.

7.1 Renormaliseerbaarheid

Zoals we al gezien hebben in hoofdstuk 4 hebben we het volgende type Feynman diagram datbijdraagt aan de zelfenergie van een scalair deeltje, bijvoorbeeld het Higgs deeltje:

We hebben ook gezien dat we dergelijke hogere orde diagrammen in bepaalde gevallen kunnenabsorberen in een herdefinitie van de koppelingsconstante en in dit geval kan het in een herdefinitievan de massa van het (Higgs) deeltje. Als we dit soort diagrammen expliciet proberen uit te rekenenkrijgen we een probleem. Als we de koppeling van de scalar aan het fermion-paar nemen, dan cor-respondeert dit diagram met een term:

. (7.1)

Met de vierimpuls in de fermionlus in het rustsysteem van de scalar (in dat geval zijn de vierim-puls voor het fermion en anti-fermion in de lus van dezelfde absolute grootte met verschillend teken.)

Deze integraal divergeert kwadratisch voor grote waarden van . Zoals we zagen vegen we ditonder het tapijt door dit soort oneindigheden in koppelingsconstanten en massa’s te absorberen.

Het blijkt dat in het algemeen een theorie alleen maar renormaliseerbaar is te houden, dat wil zeggendat we alle oneindigheden in een eindig aan tal koppelingsconstanten en massa’s kunnen absorberen,als de energiedimensie van alle factoren van velden ten hoogste vier is. De energiedimensie van eenscalar- of vectorveld, , is 1, die van een fermionveld, , 3/2. Dus zijn de termen die toegestaanzijn:

. (7.2)Termen die lineair zijn in één veld alleen geven geen bijdragen aan de theorie (ze geven alleen maarFeynman diagrammen die geen ingaande of uitgaande deeltjes hebben en zijn dus niet fysisch.) De

andere vormen zien we allemaal terug in de Standaard Model Langrangiaan, behalve de vorm diein dat geval niet kan, omdat het Higgs veld een complex scalar doublet is en we dus steeds producten

λ

λ2

4-----–

d4q

2π( )4-------------Tr 1 γ5+( ) 1

γµqµ m–( )

-------------------------- 1 γ5–( ) 1

γµqµ m–( )

--------------------------

∫ 2λ2–( ) d

4q

2π( )4-------------

1

q2

m2

–( )-----------------------∫=

q

q2

φ ψ

φ φ2 φ3 φ4 ψ ψ2 φψ2,,,,,,

φ3

KUN 13


van complex doublet en het geconjungeerde veld nodig hebben om een reëel scalair antwoord tekrijgen.

7.2 Het hiërarchieprobleem

Omdat lusdiagrammen die bijdragen aan de propagator of een correctie geven op de vertex geabsorb-eerd kunnen worden in een herdefinitie (renormalisatie) van de koppelingsconstanten en de massa isde consequentie (zoals we al hebben gezien voor de sterke koppelingsconstante in hoofdstuk 4) datde koppelingsconstante en de massa af hangen van de energieschaal die wordt gebruikt om diegrootheden te meten. Met name geldt dit voor alle drie de koppelingsconstanten, die van de U(1),SU(2) en SU(3) groepen. Het blijkt dat de drie koppelingsconstanten bij een energieschaal van de

orde van GeV de zelfde waarde hebben (ongeveer 1/26). Deze energieschaal heet de “GrandUnification Scale” ook wel afgekort tot GUT. Er is nog een hogere energieschaal die speciale

betekenis heeft, namelijk de Planck schaal die van de orde van GeV is. Bij de Planck schaalgaat zwaartekracht zo’n grote rol spelen dat quantumtheorie zonder zwaartekracht geen correctetheorie meer kan zijn.Nu hebben we dus twee energieschalen die een rol spelen in the theorie. Bij de ene schaal van orde

GeV wordt de electrozwakke symmetrie gebroken en bij de andere schaal bij GeV wordtde relatie tussen electrozwakke en sterke koppelingsconstanten verbroken. Dit verschil in energie-schalen geeft een praktisch probleem.Als we aannemen dat in beide gevallen het Higgs mechanisme verantwoordelijk is voor het brekenvan de respectievelijke symmetrie dan geldt voor het potentiaalstuk van de Lagrangiaan voor dezetwee Higgs velden, en , in het algemeen:

. (7.3)

De GUT symmetrie wordt gebroken bij de schaal

. (7.4)

De vacuümverwachtingswaarde van het Higgs veld dat de GUT symmetrie breekt speelt nu ook eenrol bij de breking van de electrozwakke symmetrie

. (7.5)

Overigens heeft de formule voor net zo’n correctie, maar omdat zo klein is ten opzichte

van is die correctie te verwaarlozen. In geval van formule (7.5) ligt dat helemaal anders. Als

ongelijk aan nul is, dan moeten de parameters en op elkaar zijn afgestemd met een precisievan 26 orden van grootte, het kwadraat van het quotiënt van de GUT en electrozwakke schalen.Dit probleem heet het hiërarchie probleem. Nu is het niet zo’n drama als er dus één keer zo’n afstem-ming moet plaats vinden. Maar in storingstheorie zouden we voor elke nieuwe orde in de berekeningde waarden van en opnieuw op elkaar moeten afstemmen met die geweldige precisie.

1016

1018

102

1016

Φ φ

VHiggs12---AΦ2

–14---BΦ4 1

2---aφ2

–14---bφ4 1

2---λΦ2φ2

+ + +=

VGUT2 A

B---=

vEW2 a λVGUT

2–( )

b------------------------------=

VGUT2

vEW2

VGUT2

λ a λ

a λ


7.3 Supersymmetr ie

Een van de theoretische mogelijkheden die op het moment sterk in de belangstelling staan om eenaantal problemen in het Standaard Model aan te pakken is Supersymmetrie. Supersymmetrie is eensymmetrie tussen fermionen en bosonen. De generator van deze symmetrie is een operator die werk-end op een fermion een boson geeft en werkend op een boson een fermion. We moeten ons echterrealiseren dat een fermionvelden en bosonvelden verschillende spin vrijheidsgraden hebben. Als wedus een spin 1/2 fermion transformeren met een supersymmetrie operator dan moeten er twee spin 0velden tegenover staan. Dit probleem pakken we aan door de Dirac fermion spinoren te herschrijvenin twee Weyl spinoren:

. (7.6)

De indices en lopen van 1 tot 2 en het puntje boven de index geeft aan dat het gaat om het velddat beneden in de Diracspinor staat. Met ladingsconjugatie krijgen we:

. (7.7)

Alle uitdrukkingen met kunnen we nu omschrijven in de Weylspinoren en .

Terzijde: een apart geval zijn nog fermionen waarbij de ladingsgeconjugeerde toestand gelijk is aanzichzelf, dus met:

. (7.8)

Dit zijn fermionen die hun eigen anti-deeltje zijn en heten Majorana fermionen.De Supersymmetrie operator kunnen we nu opvatten als een Weyl spinor, . Het blijkt dat deze

operator voldoet aan een aantal opmerkelijke (anti-)commutatie relaties:

. (7.9)

De indices van de ladingsgeconjugeerde Weylspinoren hebben conventioneel een punt boven hunhoofd. Zoals te verwachten viel voor spinoren, anti-commuteren deze operatoren soms niet. Maar uitde niet triviale anti-commutator komt een vorm met de vierimpulsoperator. Dit betekent dat super-sym-metrische transformaties en Poincaré transformaties in een groep moeten worden onderge-bracht.Als we een toestand hebben met vierimpuls en spin , , dan geldt:

. (7.10)

ΨD

ψα

χα·

=

α α·

ΨDc σ2– 0

0 σ2

ψα

χα·

Tχα

ψα·

= =

ΨD ψα χα·

ψα χα=

Qα

Pµ

Qα,[ ] 0=

Qα Qβ, Qα· Qβ·, 0= =

Qα Qβ·, 2σαβ·µ

Pµ=

p λ p λ,| ⟩

Q1 p λ,| ⟩ 2 E p λ 12---–,| ⟩= Q1

· p λ,| ⟩ 0=

Q2 p λ 12---–,| ⟩ E

2------- p λ,| ⟩= Q2

· p λ 12---–,| ⟩ 0=


Dit betekent dat er steeds precies twee met elkaar corresponderende spintoestanden kunnen zijn vaneen fermion en een boson. De supersymmetrie operatoren ladderen tussen deze twee toestanden open neer.De supersymmetrische operatoren geven in het kwadraat altijd de nultoestand. Dus het is alleen maarmogelijk 1/2 spin naar boven of beneden te gaan. Het is wel mogelijk meerdere supersymmetrischeoperatoren te gebruiken. Deze theorieën worden aangegeven met supersymmetrie.

Voor moet de theorie als die chirale multipletten heeft, zoals die van de SU(2) zwakke sym-

metrie, ook supersymmetrische partner chirale multipletten hebben. Voor is dit niet nodig.

Dit is voor veel theoreten een motief om vooral supersymmetrie te bestuderen.Omdat de supersymmetrische generatoren mengen in dezelfde groep als de Poincaré operatoren,beschouwen we bij lokale Supersymmetrie, dat wil zeggen Supersymmetrie als Yang-Mills theorie,automatisch lokale Poincaré invariantie en dat leidt dan weer naar een theorie van zwaartekracht. Heteenvoudigste model hiervoor is supergravity. Dit model is uitvoerig bestudeerd. Het blijkt niet tevoldoen aan de eis dat zwaartekracht en quantumveldentheorie consistent zijn te combineren. Inmeer geavanceerde theorieën die elementaire deeltjes niet als puntdeeltjes zien, maar als één oftweedimensionale objecten in een ruimte met meer dan vier dimensies (de zogenaamde supersnaarof superstring theorieën) lijkt dat misschien wel te lukken. In deze theorieën is Supersymmetrie eenonvervreemdbaar onderdeel.Een buitengewone aardige eigenschap van Supersymmetrische theorieën is (bij constructie) dathogere orde correcties ten gevolge van lusdiagrammen verdwijnen. Dit komt omdat er voor elke fer-mion lus ook twee boson lussen bestaan die samen een even grote bijdrage geven als de fermionlus,maar met tegengesteld teken.

7.4 Het Minimale Supersymmetr ische Standaard Model

Het Minimale Supersymmetrische Standaard Model (MSSM) is het model dat het Standard Modelbevat en Supersymmetrisch is met een minimum aan extra velden (deeltjes) bovenop de StandaardModel velden.

7.5 Het deeltjesspectrum van het MSSM

In eerste instantie zouden we kunnen denken dat we zoveel mogelijk fermionen en bosonen bijelkaar kunnen zoeken om samen in supermultipletten te stoppen. Dit blijkt niet mogelijk, onder meervanwege de chirale symmetrie van de electrozwakke sector.Dus moeten we wel voor elke vrijheidsgraad van het Standaard Model deeltjes nieuwe Supersym-met-rische partnervelden invoeren.Het deeltjesspectrum komt er dan aldus uit te zien:

Standaard Model deeltje Supersymmetrische partner(s)

quarks:

u, d, s, c, b, t

squarks:

, , , , , , , , , , ,

TABEL 7.1. Deeltjesspectrum van het MSSM.

N …=

N >1

N 1=

N 1=

uR uL dR dL sR sL cR cL bR bR tL tR


Voor alle fermionen (quarks en leptonen) zijn er twee spin 0 bosonen die met L en R als subscriptzijn gemerkt. Deze labels slaan op het feit dat de spin 0 bosonen de partners zijn van de linkse enrechtse chirale toestanden van de fermionen. Zelf hebben deze deeltjes geen chiraliteit, want ze heb-ben geen spin. De twee superpartner bosonen hebben dezelfde quantumgetallen en de toestandenkunnen dus mengen en in het algemeen hoeven de electrozwakke en sterke eigentoestanden niet het-zelfde te zijn en kunnen ook weer van de massa-eigentoestanden verschillen.De supersymmetrische partners van de gluonen zijn de gluïno’s. Voor de electrozwakke ijkbosonenen Higgs bosonen zijn het de chargino’s en neutralino’s. Deze supersymmetrische partners zijn spin1/2 fermionen.

7.6 De Higgs sector van het MSSM

In Supersymmetrische modellen in het algemeen, en dus in het MSSM in het bijzonder, is het nodigom twee Higgs doubletten in te voeren. In dit geval koppelt één Higgs doublet aan de up, charm entop quarks en aan de neutrino’s. Het andere Higgs doublet koppelt aan de down, strange en bottomquarks en geladen leptonen. Op deze manier wordt voorkomen dat via een supersymmetrischomweggetje neutrale stromen kunnen worden gegenereerd die quarks van verschillende familieskoppelt, iets dat we in de praktijk nog niet hebben gezien. Nog steeds worden van één van de tweecomplexe doublet velden drie vrijheidsgraden gebruikt om de W en Z bosonen massa te geven enblijft er dus van dat doublet een reëel scalarveld over. Van het tweede complexe doublet blijven allevrijheidsgraden over als fysische deeltjes.

In totaal krijgen we voor de Higgs sector op deze manier twee CP-even scalar deeltjes, de h0 en de

H0, één CP-oneven scalar deeltje, de A0, en een paar geladen Higgs bosonen, de .

De twee CP-even neutrale Higgs bosonen, h0 en H0, hebben dezelfde quantumgetallen en de toe-standen kunnen dus weer mengen. De menghoek wordt over het algemeen aangegeven met .Beide Higgs doubletten hebben een vacuümverwachtingswaarde die ongelijk aan nul is en dierespectievelijk en zijn. De verhouding van die twee definieert de hoek :

. (7.11)

De h0 en H0 zijn de massa-eigentoestanden van de neutrale CP-even Higgs velden en per definitie is

. (7.12)

In laagste orde blijkt er een hiërarchie van massa’s te zijn:

, (7.13)

leptonen:

e, νe ,µ ,νµ ,τ ,ντ

sleptonen:

, , , , , , , , , , ,

IJkbosonen en Higgs:

g, ,Z, , h, H, A,

chargino’s en neutralino’s:

, , , , , ,

Standaard Model deeltje Supersymmetrische partner(s)

TABEL 7.1. Deeltjesspectrum van het MSSM.

eR eL νeR νeL µR µL νµR νµL τR τL ντR ντL

γ W ±

H ±

g χ1 ±

χ2 ±

χ10

χ20

χ30

χ40

H ±

α

v1 v2 β

βtanv2

v1-----=

mh0 m

H0<

mh0 m

Z0 mH0< <


waaruit we zouden kunnen concluderen dat het neutrale Higgs boson met de laagste massa lichter isdan het Z boson. In dat geval zouden we het nu al wel hebben moeten zien !Helaas blijkt ook dat hogere orde correcties de massa van de Higgs bosonen behoorlijk veranderenen dat in het bijzonder relatie (7.13) niet meer geldt. Desalniettemin is de massa van het lichtsteHiggs boson in het MSSM nog steeds gelimiteerd tot ongeveer maximaal 135 GeV. Zelfs in hetmeest algemene geval van N=1 supersymmetrische modellen die het Standaard Model bevatten kanhet lichtste Higgs boson niet zwaarder zijn dan ongeveer 210 GeV.

7.7 Exper imentele informatie over het MSSM

De prijs die we met het MSSM betalen is dat er in het meest algemene geval 108 nieuwe parametersbijkomen, bovenop de Standaard Model parameters.Als we behalve Supersymmetrie ook eisen dat de koppelingsconstanten en massa’s bij de GUTschaal voor alle deeltjes uit dezelfde klasse dezelfde waarde aannemen, dan reduceert het aantalparameters sterk. In supergravity blijven er dan nog vier tot vijf over, afhankelijk van de preciezeaannames.We weten al dat de supersymmetrie gebroken moet zijn, omdat er geen supersymmetrische partnersbekend zijn met dezelfde massa als de Standaard Model deeltjes die we kennen. Om het hiërarchie-probleem enigszins op te lossen moeten de Supersymmetrische partners niet veel zwaarder zijn danvan de orde van 1000 GeV, maar er is geen stringente limiet, zoals voor de lichtste Higgs.Naar alle squarks en sleptonen is en wordt nog steeds actief gezocht. Tot nu toe zonder resultaat. Demassalimieten zijn dat dit soort deeltjes niet bestaan met een massa van de orde van 100 GeV ofminder. De precieze limieten hangen af van het soort deeltje.De supersymmetrische partners van de Standaard Model deeltjes kunnen alleen vervallen in anderesupersymmetrische deeltjes. Daarom kan het lichtste supersymmetrische deeltje niet verder verval-len en is het stabiel. Normaal wordt aangenomen dat de lichtste supersymmetrische partner (LSP)

het lichtste neutralino is . In dat geval is het LSP bijna niet waar te nemen, want het heeft geeninteracties met gewone materie en is electrisch-, zwak- en kleur-ongeladen.De massa van het LSP kan grote implicaties hebben voor de kosmologie, omdat er grote hoeveel-heden van in het heelal rond zouden kunnen zweven. Het is daarom van belang op een mogelijk LSPeen zo sterk mogelijke massalimiet te zetten, als we het niet kunnen vinden.In Figuur 7.1 is de huidige massalimiet voor het lichtste neutralino te zien (met bepaalde model aan-names voor het MSSM). Op het moment is die massalimiet GeV bij 95% C.L.

χ10

mχ1

0 52>


FIGUUR 7.1. Massa limiet voor het lichtste neutralino (a) en het een na lichtste neutralino (b), alsfunctie van , het quotient van de vacuümverwachtingswaarden van de twee Higgs doubletten.Dit figuur kan worden gevonden op de web pagina van de Searches werkgroep van LEP:http://lepsusy.web.cern.ch/lepsusy/.

Door naar de Higgs te zoeken is het MSSM “ testbaar” , dat wil zeggen dat als er géén licht Higgsboson is ook het MSSM onmogelijk is.Wel moet enige zorg worden betracht in het interpreteren van resultaten van Higgs zoekanalyses. Dekoppelingen zijn anders, en dus het mogelijke aantal geproduceerde gevallen is anders. Ook zijn er inhet MSSM mogelijke vervalskanalen die er in het Standaard Model niet zijn.In Figuur 7.2 is met dit alles rekening gehouden. De massa limieten hangen af van meerdere (van de108) parameters. De limieten zijn afgebeeld in het vlak van de lichtste CP-even Higgs massa en vande CP-oneven Higgs massa. Over de andere parameters is geïntegreerd, dat wil zeggen dat ze allemogelijke waarden mogen aannemen en de limiet toch geldig is.Het voert te ver om alle details van de figuur te bespreken. We kan makkelijk worden gezien dat alseen klein gebied bij GeV en GeV buiten beschouwing wordt gelaten de lichtste

Higgs zwaarder moet zijn dan ongeveer 80 GeV.

20

30

40Ê50

60

70

80

10 20 30 40Ê

50tan

Ë β

Mχ lim

(G

eV

/c2 )

ADLO preliminary A0=0, m0<1 TeV/c2

µ > 0 Mtop= 175 GeV/c2

MÌ

top= 180 GeV/c2

20

30

40

50

60

70

80

10 20 30 40 50tan

Í β

Mχ lim

(G

eV

/c2 )

µ < 0 MÌ

top= 175 GeV/c2

Mtop= 180 GeV/c2

βtan

mh0 80≈ m

A0 10<


FIGUUR 7.2. Massalimieten voor de lichtste CP-even Higgs en de CP-oneven Higgs in het MSSM. Ditresultaat staat op de Los Alamos preprint server (http://arXiv.org/) als preprint hep-ex/0107030.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 20 40 60 80 100 120 1400

20

40

60

80

100

120

140

160 LEP 88-209 GeV Preliminary

mh° (GeV/c2)

mA

° (G

eV

/c2 )

ExcludedÎ

by LEPÏ

TheoreticallyInaccessible

mÐ hÑ°

Ò -max


7.8 Opgaven

7.1 Laat zien dat het aantal vrijheidsgraden van de ijkbosonen en Higgs deeltjes in het Standaard Model met een tweede Higgs doublet gelijk is aan het aantal vrijheidsgraden van de supersym-metrische partners.

7.2 Teken het Feynmandiagram van de mogelijke vervallen van het lichtste chargino in het lichtste neutralino. Doe hetzelfde voor het verval van het scalair top (stop) squark.


HOOFDSTUK 8 Het huidige en toekomstige Experimentele Hoge Energiefysica programma

In dit hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van het huidige en toekomstige experimentele hogeenergiefysica programma in de wereld. Er zal worden besproken hoe het experimentele hoge ener-giefysica onderzoek in Nederland is georganiseerd en in welke experimenten Nederland en meer inhet bijzonder de Universiteit van Nijmegen een specifiek belang heeft.

8.1 e+e- botsers

Op dit moment zijn de e+e- botsers onder teverdelen in e+e- botsingen bij de hoogste ener-gie, bij LEP, en in e+e- botsers bij lagere ener-gie met het doel een specifiek deeltje teproduceren. In deze laatste categorie bevindenzich de zogenaamde “b-factories” , waar grotehoeveelheden b-quarks worden gemaakt bij dedrempelenergie om deze quarks in paren temaken. Bij Cornell is het CLEO experiment bijde CESR e+e- opslagring. Dit is de oudste b-factory met een lange staat van dienst. BijCESR hebben het electron en positron dezelfdeenergie en worden de B mesonen in rust geproduceerd. Dit heeft als gevolg dat geen levensdurenkunnen worden gemeten en de verschillende B mesonen niet met een secondaire vervalsvertex zijnte onderscheiden. Daar staat tegenover dat in de CLEO detector deeindproducten van de reactie zo goed kunnen worden gerecon-strueerd dat de vervalsproducten kunnen worden gegroepeerd per Bmeson verval door de massareconstructie van de B mesonen. Hetonderzoeksprogramma aan b-quarks bij CLEO is intussen afgeslo-ten, omdat er twee nieuwe faciliteiten zijn die dat veel beter kunnen.De CESR ring en CLEO detector worden nog wel gebruikt om hogestatistiek metingen aan de productie van c-quarks te doen bij eenlagere invariante massa.Recentelijk zijn twee faciliteiten en bijbehorende experimentengestart waarbij de energie van het electron en positron verschilt,zodat de geproduceerde B mesonen (snel) in het laboratoriumsys-teem bewegen en de vervalsvertices duidelijk kunnen worden waarg-enomen. De eerste faciliteit is bij KEK in JAPAN en het experimentheet BELLE. De andere faciliteit is bij SLAC in Californië in deVerenigde Staten waar het experiment BaBar is begonnen met het

KUN 14TUE 9


nemen van data. In beide gevallen kunnen metname een aantal dingen met betrekking tot CPschending worden bepaald, die bij CLEO niet zijnte meten. De metingen bij deze nieuwe experi-menten richten zich vooral op het nauwkeurigbepalen van een aantal hoeken en zijden van de uni-tariteitsdriehoek. Met name de mixinghoek

wordt gemeten door het verval en

die van de geconjungeerde toestand te bestuderen.Op de vorige pagina zijn de CESR ring en CLEOexperiment te zien en de KEK asymmetrische b-factory en het BELLE experiment. Hiernaast is dePEP2 ring bij SLAC en het BaBar experiment tezien.

De resultaten van de experimenten, ALEPH,DELPHI, L3 en OPAL, bij de LEP e+e- botser opCERN bij Genève zijn reeds getoond toen de toe-stand van het Standaard Model is besproken inHoofdstuk 6.Hiernaast is de LEP versneller te zien.

8.2 Hadron botsers

Op dit moment is de verbeterde Tevatron proton-anti-proton botser op Fermilab bij Chicago in deVerenigde Staten weer actief. Bij deze versneller is al data genomen tussen 1989 en 1996. In dezedata is door de twee actieve experimenten, CDF en DØ, het top quark gevonden. Vanaf voorjaar2001 is het Tevatron weer gestart, dit keer met een wat hogere energie, 2 TeV in plaats van 1.8 TeVin het zwaartepuntssysteem, en een luminositeit die 10keer zo hoog is en waaraan wordt gewerkt om die noghoger te maken. De twee experimenten CDF en DØhebben ook een grote face-lift ondergaan. Dit is metname nodig om de hogere telsnelheden aan te kunnenen om veel beter b-quarks te kunnen herkennen. Hetidentificeren van b-quarks is een sleutel in de zoektochtnaar het Higgs boson en in metingen aan top quarks.Hiernaast is de Tevatron versneller te zien en het DØexperiment.

2βsin

Bd0

J ψ⁄ KS0→

D0 Detector

δpp Ó |η| < 4

σ(EM) = 15% / σ(HAD) = 50% /

∆η ∆φ = 0.1 0.1E

x xσ(vertex)=6 mmσ(rφ) = 60 µm (VTX)

= 180 µm (CDC)= 200 µm (FDC)

TRACKING

E

CALORIMETRY

= 0.2 0.01pÔ|η| < 3.3

MUON


In de LHC versneller worden twee bundels van protonen in tegengestelde richting versneld en opelkaar gebotst met een zwaartepuntsenergie van 14 TeV. De voorbereidingen voor de bouw van dezeversneller en opslagring zijn in volle gang. In het najaar van 2000 is de LEP versneller gestopt enontmanteld. Momenteel worden de noodzakelijke veranderingen aan de LEP tunnel en de onder-grondse hallen voor de experimenten gedaan, waarna de LHC machine wordt geïnstalleerd. De ver-sneller moet in 2006 beschikbaar zijn voor de productie van de eerste proton-proton botsingen bij 14TeV. Bij de LHC zijn twee algemene experimenten gepland, ATLAS en CMS. Verder staan er nogtwee gespecialiseerde experimenten op het programma: LHCb en ALICE. In het LHCb experimentwordt de hoge werkzame doorsnede voor b-quarks in de voorwaartse richting gebruikt om zeer veelb-quarks te produceren. Bij dit expriment zal het mogelijk zijn om alle hoeken en alle zijden van deunitariteitsdriehoek precies na te meten. Bij het ALICE experiment worden zware ionen, zoals goudof lood, in de LHC versneld en gebotst. Hierbij zal een ongekende hoeveelheid energie in een heelklein volume worden gestopt onder gecontroleerde condities. Men hoopt de overgang van de versch-ijning van quarks en gluonen in hadronen naar een quark-gluon plasma te kunnen waar nemen en deeigenschappen van het quark-gluon plasma te kunnen meten.

8.3 Lepton-hadron botsers

De eerste diep inelastische electron-proton verstrooiingen, die aanleiding gaven tot het parton modelen later tot het herkennen van quarks in het proton, zijn gedaan bij SLAC. Dit waren fixed-targetexperimenten met een- of twee-armige spectrometers. Dit was aan het eind van de jaren zestig en hetbegin van de jaren zeventig.In de jaren zeventig en tachtig zijn een groot aantal lepton-hadron verstrooiings experimentengedaan met verschillende experimentele technieken. Zowel electronen, muonen als muon neutrino’szijn verstrooid aan een veelheid van doelen. Populaire doelen waren waterstof en deuterium, maarook zwaardere doelen zijn gebruikt, zoals marmer (wat een goed zwaar doel blijkt te zijn als je even-veel protonen als neutronen wil hebben in het doel.)Door de gegevens van de verschillende leptonen en doelen te combineren is veel informatie beschik-baar gekomen over verdelingsfuncties van verschillende typen quarks. Door in de jaren tachtig vangepolariseerde bundels en doelen gebruik temaken is studie gedaan naar de verdeling van spinin het nucleon. De verrassing hierbij is dat eensubstantieel deel van de spin niet in de valentie-quarks zit maar in de zee-quarks, gluonen en debaanimpuls van de partonen.De hoogste energie lepton-hadron botsingenvinden nu plaats bij de HERA ring bij het DESYlaboratorium in Hamburg, Duitsland. Hier werdenvan 1992 tot en met 1997 27.5 GeV positronen ofelectronen op 820 GeV protonen geschoten. Sinds1998 is de proton energie verhoogd tot 920 GeV.Hiernaast is de HERA ring te zien en de ZEUSdetector. Naast de ZEUS detector is H1 het andere algemene experiment bij de HERA versneller. Naeen verbetering van de HERA versneller voor een hogere luminositeit zal HERA nog tot ongeveer2004 actief zijn. Ook de ZEUS en H1 detectoren zijn intussen verbeterd, met name voor een beteregeladen spoordetectie.


8.4 Zware ionen botsers

Hoewel het er misschien niet strikt toe behoort is om allerlei praktische redenen het botsen vanzware ionen op zware ionen een deel van het hoge energiefysica programma. In deze experimentenzoekt men naar het quark-gluon plasma. Als er voldoende hoge energieën in een klein volumeworden gestopt zal een verzameling protonen en neutronen zich niet meer gedragen als protonen enneutronen die allemaal kleurneutraal zijn en slechts een kleine schaduw van de sterke interactie voe-len, maar zullen alle quarks en gluonen zich vrijelijk door een groter volume gaan bewegen. Metbehulp van de wet van Stefan-Boltzmann voor de energiedichtheid (energie per volume):

(9.1)

kunnen we inzien wat er gebeurt als er een quark gluon plasma wordt gevormd. In deze formule is het aantal vrijheidsgraden van de deeltjes in een gas. In “normale” omstandigheden zijn die deeltjesoverwegend pionen en is vanwege de drie mogelijke ladingstoestanden van de pionen. Alszich een quark-gluon plasma vormt zijn de deeltjes de min of meer vrije quarks en gluonen. Gluonenhebben 2 spin maal 8 kleur vrijheidsgraden, dus in totaal . Quarks hebben 2 spin maal 3

kleur maal 2 isospin (u,d) maal 7/8 (een factor die komt omdat quarks fermionen zijn) is vrijheidsgraden (voor quarks en anti-quarks is dit gelijk). Het totaal aantal vrij-

heidsgraden in het plasma wordt dan gegeven door . Bij een faseovergang

naar het quark-gluon plasma neemt de energiedichtheid dus toe met een factor van ongeveer 12. Detemperatuur waarbij dit ongeveer zou moeten gebeuren correspondeert met ongeveer

MeV. De detectie van de faseovergang is moeilijk omdat de gluonen en quarks hadroniseren als hetplasma afkoelt en hun oorspronkelijke statistische informatie verliezen. Men kijkt dus vooral naarhet spectrum van fotonen (die niet door hadronisatie vervormt) en naar de onderdrukking vanbijvoorbeeld mesonen. Dit laatste treedt op omdat als uit de zee een cc paar wordt gevormd ditdoor kleurafscherming in een plasma veel meer kans heeft uit elkaar gedreven te worden en geen

te vormen dan in een situatie met alleen maar kleurneutrale objecten (hadronen) in de omgev-ing.

8.5 Versneller neutr ino exper imenten

In het recente verleden zijn er twee experimenten gedaan op CERN door de NOMAD en CHORUScollaboraties om naar neutrino oscillaties te zoeken. Het principe van het experiment was in beide gevallen hetzelfde: muon-neutrino bundels worden in een grotehoeveelheid materiaal geschoten waarin ook detectievlakkenliggen. In het experiment wordt dan gezocht naar muon-neutrino’sdie in een eventuele reactie een tau lepton produceren. Het vervalvan het tau lepton is te onderscheiden van de achtergrond door eensecondaire vertex te reconstrueren.Er is ook een primaire vertex, die kan wordengevonden door de sporen terug te recon-strueren die komen uit de interactie van het tau-neutrino met een nucleon (proton of neutron),dezelfde reactie waarin ook het geladen tau-lep-ton is gevormd. ‘Rechtsboven’ deze tekst staat

ε EV--- n

π2

30------T

4= =

n

n 3=

ng 16=

nq nq

21 2⁄= =

n ng nq nq

+ + 37= =

Tc 150=

J ψ⁄

J ψ⁄


een schematische tekening en een foto van de NOMAD detector. De neutrino’s komen van links naarrechts in de detector. In dit geval is een typisch geval van een interactie van een muon-neutrinogetekend. In dat geval is er geen secondaire vertex.Het CHORUS experiment heeft fotografische emulsie gebruikt om de primaire en secondaire verti-ces te meten. Deze fotografische emulsies geven spoorreconstructies met een precisie van minderdan 1 µm. Dit is vooralsnog nauwkeuriger dan met electronische, zelfs halfgeleider-, detectoren kanworden bereikt. De straf is in dat geval wel dat er langdurig door microscopen moet worden getuurdom alle hits te vinden om zo het spoor te kunnen reconstrueren. Moderne scantechnieken met autom-atische beeldherkenning hebben dit echter geheel van het menselijk oog overgenomen.Met een redelijke fractie van de data door de NOMAD en CHORUS collaboraties gereconstrueerd iser nog geen enkele aanwijzing gevonden voor een overschot aan geladen tau-lepton productie en dusvoor muon-neutrino naar tau-neutrino oscillatie.Op dit moment is op CERN de constructie van een neutrino bundel naar het Gran Sasso laboratoriumonderweg. In de Gran Sasso tunnel zal dan een experiment, OPERA, worden gebouwd dat neutrino’svan een ander soort dan de geproduceerde muon-neutrino’s waar kan nemen en zo neutrino oscillatievast kan stellen. Van belang is hierbij de afstand tussen neutrinobron en detector die ongeveer 700-800 km is.

8.6 Niet-versneller exper imenten

Belangrijke niet-versneller hoge energiefysicaexperimenten zijn de detectie van kosmische,zonne- en atmosferische neutrino’s en de detectievan proton verval. Het pionier experiment voorde detectie van neutrino’s is het experiment vanDavis waarin in een grote tank met Chloor werdgekeken naar interacties van neutrino’s met deChloorkern. Langzaam maar zeker is uit ditexperiment duidelijk geworden dat het aantalgemeten neutrino’s afkomstig van de zon, niet inovereenstemming is met de voorspellingen uitmodellen voor de zon, ook niet door de modellenbinnen de grenzen van de optische waarnemingbij te stellen.Een modern neutrino experiment is het SuperKa-miokande experiment in Japan. In dit experiment,hiernaast afgebeeld met een plan voor een neutrinobundel van KEK, worden neutrino interacties metwater gemeten door de detectie van de Cerenkovstraling van de reactieproducten.In dit experiment is recentelijk vastgesteld dat atmosferische muon-neutrino’s verdwijnen als ze doorde aarde gaan. Dit is vast te stellen door het aantal muon-neutrino’s dat van bovenaf in het experi-ment komt en het aantal dat van beneden (dus door de aarde) komt te vergelijken.Bij detectors die bij nucleaire reactors staan kan heel gevoelig neutrino oscillatie tussen electron-neutrino’s en muon-neutrino’s worden gemeten en het niet observeren daarvan door het CHOOZexperiment in Noord Frankrijk sluit een verklaring van muon-neutrino naar electron-neutrino oscil-latie voor de SuperKamiokande bevindingen uit. De muon-neutrino naar tau-neutrino oscillatiemetingen van NOMAD en CHORUS zijn niet gevoelig genoeg om in tegenspraak te zijn met deSuperKamiokande resultaten. Op het moment wordt dan ook zeer serieus werk gemaakt van hetvoorstellen van nieuwe experimenten die de muon-neutrino naar tau-neutrino oscillatie zouden kun-


nen meten door het tau-neutrino te detecteren (in tegenstelling tot het detecteren van een tekort aanmuon-neutrino’s door SuperKamiokande).Twee belangrijke experimenten voor de detectie van kosmische, hoog energetische, neutrino’s, diehun data in de komende ongeveer tien jaar zullen vergaren zijn AMANDA in het ijs van het Zuid-pool gebied en ANTARES dat in de Middellandse zee is gepland.ANTARES is een experiment dat gebruik maakt van een groot aantal fotomultiplicatorbuizen die inde Middellandse zee op grote diepte worden geïnstalleerd aan lange draden vanaf de bodem. Hetzeewater fungeert als Cerenkov detector, waarbij muonen die komen van reacties van muon-neu-trino’s met het zeewater worden gedetecteerd omdat ze straling uitzenden tengevolge van het feit datze sneller bewegen dan de lichtsnelheid in water. Met de detectie van deze kosmische neutrino’shoopt men een complementaire kijk te krijgen op een aantal processen in het heelal en kan men opgrote schaal zoeken naar de missende massa in het heelal en allerlei exotische deeltjes die er rondzouden kunnen zwerven.

8.7 Organisatie van de Exper imentele Hoge Energiefysica in Neder land

De experimentele Hoge Energiefysica in Nederland wordt gecoördineerd vanuit het Nationaal Instit-uut voor Kern- en Hoge-EnergieFysica, afgekort NIKHEF. Het NIKHEF is een samenwerkingsver-band van het FOM Instituut voor SubAtomaire Fysica en vier universitaire groepen, te weten die vande Universiteit van Amsterdam, van de Vrije Universiteit Amsterdam, van de Rijks UniversiteitUtrecht en van de Katholieke Universiteit Nijmegen. Binnen het NIKHEF wordt de deelname aanHoge Energiefysica experimenten geregeld in projecten. Op het moment zijn er goedgekeurde pro-jecten voor de CERN experimenten:• SMC: Een diep inelastisch verstrooiingsexperiment van muonen op een vast doel van waterstof of

deuterium,• CHORUS: Een neutrino fysica experiment dat zoekt naar oscillaties van muon neutrino’s naar tau

neutrino’s,• DELPHI en L3: Experimenten bij de LEP versneller,• L3 cosmics: Het gebruik van de L3 muon kamers om het kosmisch muonspectrum te meten,• ATLAS: Een experiment voor proton-proton botsingen bij de LHC,• ALICE: Een experiment voor botsingen tussen zware ionen bij LHC, op zoek naar het quark-

gluon plasma,• LHCb: Een experiment voor het doen van fysica met b quarks bij de LHC, in het bijzonder om CP

scheding met b quarks precies te meten,voor de DESY experimenten:• ZEUS: Een experiment bij HERA om electron-proton botsingen te bestuderen,• HERA-B: Een experiment om b quarks te bestuderen die gemaakt worden door de HERA proton

bundel te laten botsen op een dunne draad,• HERMES: Om de spin structuur van nucleonen te bestuderen door de gepolariseerde HERA elec-

tronen met een intern gas-jet doel te laten botsen.het Fermilab experiment:• DØ: Een experiment om proton-anti-proton botsingen te bestuderen bij het Tevatron.en:• ANTARES: Een kosmisch neutrino experiment in de Middellandse zee.


8.8 De Nijmeegse EHEF groep

De Experimentele Hoge Energiefysica afdeling (EHEF) aan de KUN doet mee aan de L3, L3 cos-mics, ATLAS en DØ experimenten.Het L3 experiment bevindt zich in de fase van een rijke oogst die wordt geanalyseerd. In Nijmegenwordt met name de QCD aspecten van hadronisatie van quarks en gluonen in hadronen bestudeerden het fenomeen van Bose-Einstein condensatie van pionen die dezelfde quantumtoestanden kunnenbezetten. De kennis van met name Bose-Einstein condensatie is niet alleen interessant op zichzelf,maar ook een belangrijke potentiële systematische fout in de massameting van het W boson. Aanbeide aspecten wordt in Nijmegen gewerkt.Het L3 cosmics experiment heeft uit Nijmegen belangrijke bijdragen aan het uitleessysteem ontvan-gen. De data van dit systeem zijn nu vol op in analyse en eerste, voorlopige, resultaten worden nugeproduceerd voor het muonspectrum, in absolute normalisatie, energieafhankelijkheid en multipli-citeit. Alle facetten van dit experiment worden in Nijmegen bewerkt.Het DØ experiment is begonnen in 2001 aan de tweede Tevatron run. In de eerste Tevatron run is o.a.door DØ het top quark ontdekt. De Tevatron versneller is voor de tweede run verbeterd in energie-bereik (2 TeV in plaats van 1.8 TeV) en luminositeit (tien keer beter dan de eerste run). Ook de DØdetector heeft een rigoureuze facelift ondergaan waarbij alleen de calorimeter (die het excellent deedin de eerste run) helemaal intact is gebleven. Met name de geladen spoor detectie wordt dramatischverbeterd in DØ met de komst van een 2T magnetisch veld in de centrale tracker en een halfgeleidermicrovertex detector. De Nijmeegse groep draagt bij aan de constructie van de microvertex detector,geladen spoorreconstructie code en een trigger gebaseerd op de microvertex detector om b quarkssnel te herkennen. Nu de eerste data arriveren neemt de Nijmeegse groep actief en prominent deelaan de analyse met de herkenning van b-quarks en tau leptonen.De ATLAS detector is nu in een fase waarin de research en development wordt afgesloten en deuiteindelijke specificaties van de detectoronderdelen worden vastgelegd en de productie van deonderdelen wordt geregeld. De EHEF afdeling in Nijmegen is verantwoordelijk voor een gedeeltevan de uitleeselectronica van het muonkamer systeem voor ATLAS. Dit gedeelte van het systeem isin iets andere vorm gebruikt voor de L3 cosmics experiment uitlezing en de Nijmeegse groep heeftzo een grote ervaring in het veld opgebouwd met dit soort uitleeselectronica. Verder wordt door deEHEF afdeling een bijdrage geleverd aan de geladen spoorreconstructie met name de gecombineerdemuonkamer-inner tracker reconstructie voor muonen. Ook is er een belangrijke bijdrage aan de eventdisplay software voor het ATLAS experiment vanuit Nijmegen.Naast deze experimenten in NIKHEF verband werkt de Nijmeegse EHEF groep ook zelfstandig aaneen extended airshower array. Dit apparaat bestaat uit een groot aantal scinitillatortellers van elk

ongeveer 1 m2 die op het dak van een aantal scholen voor voortgezet onderwijs worden gelegd. Bijeen aantal van enkele tientallen tot honderd tellers die over een gebied van vele vierkante kilometersverspreid staan kunnen hiermee zeer energetische kormische deeltjes worden waargenomen die grotelawines van deeltjes geven door hun interactie met de aardse atmosfeer (vandaar “extended air-shower detector” .) Op dit moment wordt gewerkt aan drie opstellingen. In de toekomst moet dat totde orde van 50 opstellingen op verschillende locaties groeien.

8.9 De toekomst

De LHC versneller moet medio 2006 klaar zijn, samen met de detectoren die daar gaan waarnemen.Dit project maakt al een vast onderdeel uit van de toekomstige Hoge Energiefysica. De NederlandseHoge Energiefysica maakt deel uit van drie verschillende experimenten bij de LHC.


Een ander al goedgekeurd project dat in 2005 van start moet gaan is de GLAST kosmische fotondetector. Dit is een sateliet die gebruik maakt van detector technieken uit de Hoge Energiefysica omhoog energetische fotonen te registreren. Dit experiment is een mix van atrofysische en Hoge Ener-giefysica interessen. Nederland neemt niet aan dit experiment deel.Daarnaast zijn er nu al een aantal andere grote projecten in voorbereiding. Er zijn vier mogelijkekandidaten voor een nieuwe generatie electron-positron botsers: TESLA bij DESY, NLC bij SLAC,JLC bij KEK en CLIC bij CERN. Van deze vier zijn de TESLA plannen het verst gevorderd en erwordt op afgestevend om dit project medio 2002 goedgekeurd te krijgen, wat zou betekeken dat ermisschien voor 2010 kan worden geëxperimenteerd.Een ander ambitieus project dat vorm begint te krijgen is een muon collider. In deze machine wordenpositief en negatief geladen muonen versneld en in een opslagring op elkaar gebotst. Door de muo-nen snel te versnellen wordt met de Lorentz tijddilatatie een levensduur in het laboratorium bereiktzodat de muonen honderden tot duizenden malen rondgaan in de opslagring voor ze vervallen. Doorde grote massa van muonen kan de afmeting van de opslagring bescheiden worden gehouden(kleiner dan een kilometer diameter) bij enkele honderden GeV’s botsingsenergie. Aan de anderekant is het type interactie te vergelijken met die van electron-positron botsingen, en met name is ergeen energieverlies omdat kleinere constituenten botsen die maar een deel van de impuls dragenzoals bij hadron-hadron botsingen.In een eerder stadium zal het idee van een muon collider waarschijnlijk eerst worden gebruikt omeen muon opslagring te maken met het doel om uit het muonverval krachtige neutrino bundels temaken.Ook zijn er al weer plannen voor nog krachtiger hadron-hadron botsers, maar deze zijn nog meerspeculatief.Technologisch kan de Experimentele Hoge Energiefysica nog vooruit voor vele decennia. In feite isde fysica die we zullen ontdekken veel speculatiever dan de technieken die we daarbij zullengebruiken.


APPENDIX A Detectoren in de Experimentele Hoge Energiefysica

In dit hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van belangrijke detectietechnieken die worden gebruiktin de moderne Hoge Energiefysica.

A.1 Interacties van deeltjes met mater ie

Voor deeltjesdetectie zijn twee interacties relevant: electro-magnetische interacties en kernkrachtinteracties. Interacties tengevolge van de zwakke wisselwerking en tengevolge van gravitatie zijn inde praktijk totaal te verwaarlozen.

A.1.1 Electro-magnetische interacties: dE/dx

De electro-magnetische interactie zorgt in de eerste plaats voor energieverlies als een geladen deeltjedoor materie gaat door herhaalde electro-magnetische verstrooiing van het deeltje aan de electronenen kernen in het materiaal. In materiaal met veel protonen in de kern wordt de dominante bijdragedoor electro-magnetische interacties met de kern gegeven. De formule voor het energieverlies vaneen deeltje in materie wordt gegeven door:

. (A.1)

In deze formule is MeV mol cm, een constante, en zijn het

atoomnummer en atoomgewicht, is de snelheid van het deeltje in het materiaal in eenheden van

lichtsnelheid, is de Lorentzcontractiefactor die bij deze snelheid hoort,

met de massa van het deeltje (als die groot is

ten opzichte van de electronmassa dan geldt de laatste benadering), eV is de gemid-

delde excitatieenergie (waarbij de numerieke benadering goed is voor elementen zwaarder danzuurstof), en is een (kleine) correctiefactor die afhangt van de dichtheid van het materiaal.In Figuur A.1 is het energieverlies van pionen in koper afgebeeld. Voor laagenergetische deeltjes is

het energieverlies heel groot door de factor . Voor hoogenergetische deeltjes neemt het ener-gieverlies langzaam toe tot een eindige constante waarde. Dit wordt het relativistisch plateaugenoemd. Ertussen in heeft het energieverlies een minimum. Deeltjes met een snelheid ( ) die ditminimum geeft worden minimum ioniserende deeltjes genoemd (afgekort in het Engels: MIP (Mini-mum Ionising Particle)).

dEdx-------– Kz

2ZA---

1

β2-----

12---

2mec2β2γ2

Tmax

I2

--------------------------------------ln β2–

δ2---–=

K 4πNAremec2

0.307075= = Z A

βγ

Tmax

2mec2β2γ2

1 2γme( ) M⁄ me M⁄( )2+ +

----------------------------------------------------------------- 2mec2β2γ2≈= M

me I 10 1±≈

δ

1 β2⁄

β


FIGUUR A.1. Energieverlies voor pionen in koper. Afbeelding uit het Particle Data Book (C. Caso et al,The European Physical Journal C3 (1998) 1 ).

Met het energieverlies door verstrooiing hangt ook een afwijking van de baan die het deeltje volgtsamen. Als een deeltje een brokje materiaal ingaat kan het er op een plaats uitkomen die niet op deoorsponkelijke baan ligt en met name kan ook de richting van de snelheid van het deeltje veranderen.Dit effect wordt multipele verstrooiing genoemd. In Figuur A.2 worden de variabelen voor multi-

peleFIGUUR A.2. Definitie van de variabele in multipele verstrooiing. (Afbeelding uit C. Caso et al, TheEuropean Physical Journal C3 (1998) 1 .)

verstrooiing gedefinieerd. De hoekafwijking wordt voor dun materiaal gegeven door:

. (A.2)

In dit geval zijn , en de impuls, de snelheid (in lichtsnelheid eenheden) en lading van het

deeltje dat door het materiaal gaat. De dikte van het materiaal is en de variabele heet de stral-

ingslengte en hangt af van het materiaal. Op de stralingslengte komen we in de volgende sectie nogterug Voor dun materiaal speelt de plaatsafwijking in de praktijk geen rol:

Õ Ö ×Ø Ö Õ

Ù Ö Õ

× Ö ÕØ Õ Ö Õ

Ù Õ Ö Õ

× Õ Ö Õ

−

Ú ÛÜÚ ÝÞß

àá â −ã äå

æ ç

Ø Ö Õ Ø Õ Ø Õ Õ Ø Õ Õ Õ Ø Õ Õ Õ ÕÕ Ö Ø

è é ê é ë ì ëé í ê é î ï ð é í ê−ñ ò ò ×ó ô õ ö ö÷ í ø ø õ ÷ ð Ö

ù í ë ú ö õ ð õ û ü ý û þ

û ü ý û þ ÿ é ð ô í ì ðδ

û ü ý û þ ∝ β −

ï é ï ð é õ õ õ ÷ ð ó õ ÷ í ë õ é ë ú í ø ð ï ê ð

π ± Ù Ù õ û ü ý û þ ∝ β −

∝ β −

βγ

ú ú ø í

Õ Ö × è õ ∝ β −

! " # $ % & ' ( ) * +Ψ' ( ) * +

θ, ' ( ) * +

- .

σ θplane( ) 13.6 MeVβcp

------------------------z x X0⁄ 1 0.038x

X0------

ln+=

β p z

x X0


. (A.3)

In spoorreconstructiedetectoren wordt vaak een (sterk) magneetveld gebruikt. In het magneetveldvolgen geladen deeltjes een cirkelvormig traject. Door op een aantla punten de positie te meten eneen cirkel op de punten te leggen kan de impuls van de geladen deeltjes worden gemeten. Omdatdeeltjes met lage impuls een kleinere kromtestraal hebben zijn lagere impulsen beter te meten dangrote impulsen. In het algemeen is de nauwkeurigheid van de impulsmeting bepaald door:

. (A.4)

De parameter wordt al snel onbelangrijk als de impuls oploopt. De constante is voor goede

detectoren van de orde van of iets groter.

A.1.2 Electro-magnetische interacties: showers

Andere electromagnetische interacties kunnen aanleiding geven tot het afstralen van een foton dooreen geladen deeltje (Compton proces), of a splitsen van een foton in een electron-positron paar(paarcreatie proces). Bij oplopende energie neemt het energieverlies door dE/dx in materiaal af, ter-wijl de werkzame doorsneden voor het Compton en paarcreatie proces toenemen. De energie waarbijhet energieverlies door dE/dx even groot is als het energieverlies door het Compton proces wordt dekritische energie genoemd: . Voor geladen deeltjes boven de kritische energie wordt een “shower”

gemaakt. Dat wil zeggen dat het deeltje fotonen afstraalt, die vervolgens weer in electronen splitsenen op die manier ontstaat een hele boom van deeltjes, met steeds kleiner wordende energie. Als demeeste deeltjes een energie beneden hebben dooft de shower uit. De definitie van de kritische

energie wordt getoond in Figuur A.3..

FIGUUR A.3. Energieverlies in koper voor electronen als functie van de electron energie. Desubprocessen voor energieverlies door ionisatie en door Bremstrahlung van fotonen (Comptonproces) zijn afzonderlijk gegeven en de som van de twee mechanismen is gegeven. De kritischeenergie is waar het energieverlies door Bremstrahlung groter wordt dan het ionisatie energieverlies.(Afbeelding uit C. Caso et al, The European Physical Journal C3 (1998) 1 .)

σ yplane( ) 1

3-------xσ θplane( )=

σ p( )p

----------- ap b⊕ ap( )2b

2+= =

b a

103–

Ec

Ec

/ 0 1 2 / 2 0 2 1 2 2 / 2 2

3 4 5 5 6 78 9= : ; < = > ? @ A −BC D= : E < > F G 6 H

I JKI L ×

M NOPQRS

T U 6 @ V 7 4 W 6 W 6 7 ? X Y G 6 H Z1 2

/ 2[ 2

0 2\ 2

1 2 2

/ 2 2

] 2

^ _ ` a b= c d e c f g h c d e

i j k l m n o p q r

s d b b c tu d e c f g h c d e v ` _ w x=

y ` z h _ d e ` e ` _ | ~

≈


Als we de stralingslengte definieren als de lengte die een deeltje aflegt in materiaal totdat alles

behalve een fractie door Bremstrahlung aan energie is verloren, dan krijgen we voor de energiena een bepaalde afstand in het materiaal:

. (A.5)

Als een bij een electron naar electron plus foton reactie steeds de helft van de energie in het uit-gaande electron en de helft in het foton zou gaan zitten en als elke keer dat een foton in een electron-positron paar splits de energie gelijk over het electron en positron zou worden verdeeld zijn er na

stapjes van fotonstraling en/of fotonsplitsing deeltjes. De vermenigvuldiging van deeltjesstopt als de energie van de deeltje beneden de kritische energie komt (het energieverlies is dan vrij-wel uitsluitend nog door ionisatie). Dat is dus bij:

. (A.6)

We zien dat om dit stadium te bereiken we het materiaal dikker moeten maken in verhouding met delogarithme van de energie van de inkomende deeltjes. We zien ook dat als we het aantal deeltjes in deshower tellen we een meting krijgen die evenredig is met de energie en dat de onzekerheid gaat als

de statistische onzekerheid op het aantal deletjes, .

A.1.3 Nucleaire interacties

Hadronische, of sterke kernkracht, interacties komen alleen voor als een hadron botst op een kern.De resultaten zijn bijna altijd inelastisch, dat wil zeggen dat een gedeelte van de energie in hetopbreken van de kern gaat zitten en dat de uitgaande toestand meer hadronische deeltjes bevat dan deingaande toestand. Als hadronen door een blok materiaal heen gaan zal er dus een “shower” vanlager energetische deeltjes ontstaan totdat er zoveel deeltjes zijn met elk zo’n lage energie dat deze inhet materiaal worden geabsorbeerd of geen interacties meer maken en uit het materiaal ontsnap-pen.De waarschijnlijkheid op een nucleaire interactie is vrij klein en er is dan ook veel materiaalnodig om een hadron op deze manier helemaal te absorberen. De kans op een botsing wordt gepara-metriseerd met de vrije weglengte voor nucleaire interacties: . De kans op een inelastische nucle-

aire interactie met de nucleaire absorptielengte: . De parameters worden zo gekozen dat na

deze vrije weglengte het inkomende hadron van zijn oorspronkelijke energie over heeft. De

energie die het hadron dan nog heeft na een weglengte in het materiaal wordt gegeven door:

. (A.7)

De hoeveelheid materiaal die nodig is om de energie van deeltjes (gemiddeld !) tot onder een vastgetal te reduceren loopt dus logarithmisch op met de energie van het inkomende deeltje. Ook hier isde meting van de energie evenredig met het aantal deeltje in de shower en is de onzekerheid op diemeting dus evenredig met de wortel uit de energie. In het geval van nucleaire interacties is ook deenergie die verbruikt wordt in kernresonanties , splijting die niet wordt gedetecteerd en in niet geob-serveerde neutronen van belang. Hierdoor heeft de meting van de energie van een hadron door hetaantal deeltjes in de shower te meten een veel grotere onzekerheid dan in het geval van een electro-magnetische shower.

X0

1 e⁄

dEdx-------–

xX0------= E⇒ E0e

x X0⁄–=

n

N 2n

=

EcE

2n

-----= n⇒ EEc-----

ln=

N E∼

λ int

λabs λ int>

1 e⁄x

E E0ex λabs⁄–

=


A.2 Geladen spoor detectie

Geladen spoor detectie geschied door zo nauwkeurig mogelijk vast te stellen waar een geladendeeltje de materie waar het doorheen is gegaan heeft geioniseerd. Om het effect van multipele ver-strooiing zo klein mogelijk te houden en om te voorkomen dat electronen al met een electro-mag-netische shower beginnen wordt bij geladen spoordetectie zo weinig mogelijk materiaal gebruikt. Ditwordt bereikt door als materiaal ofwel een gas ofwel dunne plaatjes halfgeleider materiaal tegebruiken. In het geval van gas is er een heel volume mee gevuld en is er dus een continu pad vanionisatie. In het geval van halfgeleider detectoren wordt alleen hier en daar een dun plakje loodrechtop de bewegingsrichting van het deeltje gezet met lege ruimte ertussen in (deze ruimte is natuurlijkvaak met atmosferische lucht gevuld.)In geval van een gasvolume wordt de plaats van de ionisatie gemeten door in het volume dunnedraden te spannen die op een electrische potentiaal worden gezet met betrekking tot het gas. De ion-isatielading zal naar de draden toedrijven. In proportionele kamers wordt de electrische spanning opde draden zo gekozen dat de tijd die de lading erover doet om de draad te bereiken proportioneel ismet de afstand tot de draad. Door het tijdverschil te meten tussen de tijd dat het deeltje langskwam ende lading op de draad kwam is dan uit te rekenen hoe ver de lading van de draad af is gemaakt. Doorde draden nu slim op te stellen en te zorgen dat er veel draden zijn die voor elk spoor lading detect-eren kan nu een eenduidig pad door de ruimte worden gereconstrueerd. De nauwkeurigheid vandradenkamers varieert van een fractie van een millimeter tot 30 micrometer.In halfgeleiderdetectoren wordt ook lading gemaakt, die vervolgens door electrodes die in het half-geleidermateriaal zijn geëtst worden waargenomen. Omdat etsen in halfgeleiders kan worden gedaanmet kleine structuren en grote precisie zijn met dit soort detectoren sporen te reconstrueren met eenprecisie van enkele micrometers bij de meetpunten.

A.3 Electro-magnetische calor imeters

Hoogenergetische electronen en fotonen zullen hun energie snel verliezen in materiaal. In ongeveer is alle energie van electronen en fotonen tot energiën van ongeveer 50 GeV geabsor-

beerd. Deze energie is dan omgezet in heel veel laagenergetische deeltjes die hun energie verliezendoor ionisatie van de atomen in de materie. Het is zaak deze laagenergetische deeltje op een ofandere manier waar te nemen en te tellen. Er zijn twee manieren mogelijk om dat te doen.De eerste manier is een materiaal kiezen waarin de ionisatieenergie in fotonen (licht) wordt omgezet.Dit gebeurt meestal in kristallen die zowel zwaar zijn als goede eigenschappen hebben voor watbetreft het omzetten van ionisatieenergie in fotonen en een goede transparantie hebben voor debetreffende fotonen. De fotonen worden dan aan een van de vlakken van het kristal gemeten met eenfotomultiplicatorbuis. Goede materialen voor deze kristallen zijn loodglas, natriumjodide (NaI) enbismut-germanium-oxide (BGO).De tweede manier is de energie van het inkomende electron of foton in het ene materiaal om te zettenin veel ioniserende deeltjes en een ander materiaal te gebruiken om de ionisatieënergie te meten.Deze methode heet “sampling calorimetry” (Nederlands ?). Dit wordt over het algemeen gedaandoor platen van absorbermateriaal (waar de laagenergetische deeltjes worden geproduceerd) enplaten van detectiemateriaal (waar de ionisatieënergie wordt gemeten) in een sandwich structuur testapelen. Goede materialen voor de absorber zijn bijvoorbeeld lood, uranium en koper. Voor hetdetectiemateriaal wordt veelal plastic scintilator of vloeibaar Argon gebruikt.De resolutie van de energie meting wordt in het algemeen bepaald door een statistische term dieevenredig is met de wortel uit de energie, door een constante ruisterm in de detectie-electronica endoor een variatie van de energiemeting als er helemaal geen deeltje langskomt:

20 25–( )X0


. (A.8)

De term die evenredig is aan is voor de energiën waarbij we nu werken altijd te verwaarlozen.

De term is belangrijk voor het grootste deel van het nu relevante energie gebied. Als de

energie in GeV wordt gemeten varieert de constante van enkele procenten tot 20%. De constante

is meestal van de orde van enkele procenten en speelt een rol bij deeltjesenergieën van orde 100GeV en meer.

A.4 Hadron calor imeters

Hadroncalorimeters werken net zo als electro-magnetische caolrimeter, behalve dat het proces datzorgt voor vermenigvuldiging van deeltjes vooral de sterke kernkracht is. Dit heeft wel grote prak-tische implicaties. De formule (A.8) blijft voor wat de structuur betreft geldig. Maar in dit geval ishet minimum wat voor de parameter kan worden bereikt ongeveer 35% in praktische toepassingenen vaak is deze parameter meer van de orde van 50% tot 100%. In dit geval speelt de constante term

ook niet meer zo’n grote rol.

Om de hadronshower helemaal te kunnen bevatten is nodig. Om het geheel praktisch te

houden in constructie moet voor een hadron calorimeter een zwaar absorbermateriaal wordengekozen. Dit is meestal lood, uranium, koper of ijzer. Deze materialen zijn niet geschikt voor hetdetecteren van de ionisatieenergie. Daarom zijn alle hadron calorimeters van het “sampling” type.

A.5 Deeltjes identificatie

Met spoorreconstructiedetectoren en calorimeters kunnen alle geladen deeltjes en alle neutraledeeltjes in het Standaard Model, behalve neutrino’s worden gedetecteerd. In veel gevallen is het ooknog nuttig om vast te kunnen stellen om welk soort deeltje het nu precies ging. Voor een aantaldeeltjes of deeltjesklassen is dat mogelijk.

A.5.1 Electronen en positronen

Electronen en positronen gedragen zich voor wat betreft spoorreconstructie net als andere geladendeeltje, met de uitzondering dat vanwege hun geringe massa ze bijna altijd relativistisch zijn en duseen vrijwel constante dE/dx hebben onafhankelijk van hun impuls. Dit geeft de mogelijkheid om metname in het laagenergetische gebied electronen en positronen te onderscheiden van andere geladendeeltjes die in dat gebied een veel grotere ionisatieënergie achter laten.Belangrijker voor electronen en positronen is dat ze een shower maken in een electromagnetischecalorimeter die in ongeveer is bevat. Hadronen hebben een veel dikker materiaal nodig om al

hun energie kwijt te raken. Door nu de impulsmeting van het spoor te vergelijken met de energie inde electromagnetische calorimeter kunnen electronen en positronen (waarvoor impuls en energiegelijk zijn) worden onderscheiden van andere deeltjes waarvoor dat niet zo is.

A.5.2 Fotonen

Fotonen geven ook een electromagnetische shower en door te eisen dat de energie die aan de achter-kant (na ) uit de electromagnetische calorimeter komt te verwaarlozen is is het vrijwel zeker

dat de shower door een electron, positron of foton is veroorzaakt. Door verder te eisen dat er geen

σ E( )E

------------aE---

b

E------- c⊕ ⊕=

1 E⁄

b E( )⁄b

c

b

c

7 9–( )λ int

25X0

25X0


geladen spoor naar de electromagnetische shower wijst is het vrij zeker dat de shower door een fotonis veroorzaakt.

A.5.3 Muonen

Voor muonen ligt de kritische energie in de meeste materialen ver boven de 100 GeV. Muonen gaanook geen nucleaire interacties aan. Muonen met een energie tot 100 GeV zullen hun energie dusalleen door ionisatie verliezen. Hierdoor kunnen muonen met een energie van boven aan paar GeVmet gemak door de calorimeter komen. Door achter de calorimeters nog een geladen spoordetector teplaatsen en vast te stellen welke deeltjes op dezelfde baan een spoor hadden voor en na de calorime-ter is het voor deze deeltjes vrijwel zeker dat het muonen waren.

A.5.4 Neutr ino’s

Neutrino’s kunnen worden gedetecteerd door het feit dat ze geen signaal in enige detector achter-laten. Door de detector zo te construeren dat alle zichtbare energie wordt gezien en door de wet vanbehoud van impuls te gebruiken kan vaak worden afgeleid dat in een bepaalde richting een of meerdeeltjes ontsnappen met een bepaalde impuls. De aanname dat dit neutrino’s zijn klopt dan vaak


APPENDIX B Transformatiegroepen: minimale inleiding

In deze appendix worden een aantal begrippen uit de groepentheorie, zoals die in dit college wordengebruikt, zeer beknopt behandeld

B.1 Groepsaxioma’s

Een verzameling G is een groep met betrekking tot de bewerking als aan de volgende axioma’sis voldaan:

De groep heet Abels als ook nog is voldaan aan:

.

B.2 Unitaire transformaties

Unitaire transformaties laten de norm, of lengte, van het getransformeerde object gelijk aan de oor-spronkelijke norm. Voor unitaire transformaties van vectorruimtes geldt:

.Dit betekent dat

.Speciale unitaire transformaties zijn die waarvoor geldt:

,en vormen een subgroep van de unitaire transformaties.

B.3 Rotaties in het twee dimensionale reële vlak: SO(2)

De algemene vorm voor een rotatiematrix in het reële twee dimensionale vlak wordt gegeven door:

,

voor een rotatie over de hoek . We kunnen deze transformatie opgebouwd denken uit draaiingen

over een hoekje :

waarbij de matrix T wordt gegeven door:

.

•

1) a b G∈,( ) a b G∈•∀ geslotenheid,

2) 1 G∈( ) a G∈( ) 1 a• a 1• a= =∀∃ eenheidselement,

3) a G∈( ) a1–

G∈( ) a a1–• 1=∃∀ inverse,

4) a b c, G∈,( ) a b•( ) c• a b c•( )•=∀ associativiteit.

5) a b, G∈( ) a b• b a•=∀ commutativiteit

U

U†U 11=

detU 1±=

detU 1+=

R α( ) αcos αsin

αsin– αcos=

α n

α n⁄

R α( ) α n⁄( )cos α n⁄( )sin

α n⁄( )sin– α n⁄( )cos

n1 α n⁄

α– n⁄ 1O

α2

n2

------

+ n

11αn---T O

α2

n2

------

+ + n

= = =

T 0 1

1– 0=


In de limiet voor verwaarlozen we termen van de orde en maken we gebruik van deformule:

.

De groep SO(2) heeft dus één generator en de dimensie van de groep is dus ook 1.

B.4 Complexe fasetransformaties: U(1)

De groep van de complexe fasetransformaties U(1) wordt gegeven door de verzameling complexegetallen met norm 1 en met de gebruikelijke complexe vermenigvuldiging. De groepselementen zijnte schrijven als:

De bewerking is:

De groep U(1) heeft één generator, de eenheid(smatrix), en heeft dus dimensie 1.

B.5 Rotaties in twee complexe dimensies: SU(2)

De unitaire transformaties van het complexe platte vlak vormen de groep U(2). Deze groep heeft viergeneratoren. Er zijn oneindig veel keuzemogelijkheden voor de generatoren, elke keuze heet eenrepresentatie. Een representatie voor de vier generatoren is:

waarbij de Pauli spin-matrices zijn. Een algemene U(2) transformatie is dus te schrijven als:

De speciale unitaire transformaties in de complexe twee-dimensionale ruimte vormen de groepSU(2). Voor de speciale unitaire transformaties geldt dat de determinant van de transformatiematrix+1 is. Er geldt:

Hierbij is het spoor van de matrix , waarbij het spoor is gedefinieerd als de som van dediagonaalelementen van de matrix.De generatoren , en vormen een ondergroep van U(1) die SU(2) voortbrengt. Omdat

commuteert met , en , kunnen we een transformatie uit U(2) altijd schrijven als een trans-

n ∞→ 1 n2⁄

R α( ) 111n---A+

n

n ∞→lim e

αT= =

T

U eiϕ

= ϕ IR∈

eia

eib

ei a b+( )

= a b, IR∈

T1 11 ,=

T2

σ1

2------ 0 1 2⁄

1 2⁄ 0,= =

T3

σ2

2------ 0 i 2⁄–

i 2⁄ 0,= =

T4

σ3

2------ 1 2⁄ 0

0 1– 2⁄,= =

σi

U ei α1T1 α2T2 α3T3 α4T4+ + +( )

=

U eiH

=( ) U 1=( )∧ Tr H( ) 0=⇔Tr H( ) H

T2 T3 T4 T1

T2 T3 T4


formatie van U(1), waarvan de generator is, en een transformatie van SU(2), waarvan , en

de generatoren zijn. , en commuteren onderling niet en de SU(2) groep is irreducibel,

dat wil zeggen niet in kleiner ondergroepen op te delen. We schrijven dus:

B.6 Rotaties in dr ie complexe dimensies: SU(3)

De unitaire transformaties van de complexe drie-ruimte vormen de groep U(3). De speciale unitairetransformaties vormen de groep SU(3) en we kunnen analoog aan U(2) en SU(2) schrijven:

De groep U(3) heeft 9 generatoren en de groep SU(3) heeft er 8. In een 3x3 matrix representatie iseen mogelijke keuze van de generatoren de verzameling Gell-Mann matrices:

We zien weer dat deze generatoren Spoor ( Tr() ) nul hebben.

T1 T2 T3

T4 T2 T3 T4

U 2( ) U 1( ) SU 2( )⊗=

U 3( ) U 1( ) SU 3( )⊗=

λ1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

= λ2

0 i– 0

i 0 0

0 0 0

= λ3

1 0 0

0 1– 0

0 0 0

= λ4

0 0 1

0 0 0

1 0 0

=

λ5

0 0 i–

0 0 0

i 0 0

= λ6

0 0 0

0 0 1

0 1 0

= λ7

0 0 0

0 0 i–

0 i 0

= λ81

3-------

1 0 0

0 1 0

0 0 2–

=


APPENDIX C Formuleblad voor gebruik bij het tentamen

De gouden regel van Fermi voor 2 (A+B) naar N (i=1..N) deeltjes werkzame doorsnede:

De gouden regel van Fermi voor 1 naar 2 deeltjes vervalsbreedte:

Feynmanregels voor het Standaard model: inkomend/uitgaand spin 0 boson

1

inkomend/uitgaand fermion

/

inkomend/uitgaand spin 1 boson /

spin 0 boson propagator

fermion propagator

foton/gluon propagator (in de Feynman ijk)

/ Z0 propagator

voor quarks vermenigvuldigen met het CKM matrix element

met

; ,

de 3e component v/d zwakke isospin en

de elect. lading van het fermion

dσ 1

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------- M2

2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB–– d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

N

∏=

dΓ 12E------- M

2 d3k1

2π( )32ω1

------------------------d

3k2

2π( )32ω2

------------------------d

3k2

2π( )32ω2

------------------------ 2π( )4δ4k1 k2– k3–( )=

u u

εµ εµ∗

i

p2

m2

–------------------

i γµpµ m+( )

p2

m2

–-----------------------------

i g–µν

q2

-------------

W ±

i gµν

qµq

νM

W ± Z0⁄2⁄( )–[ ]–

q2

MW ± Z0⁄2

–----------------------------------------------------------------

γ fermion-fotonvertex

ieγµ

W ± fermion-

vertexW

±

ie–

2 2 θwsin-------------------------γµ

1 γ5–( )

Z0 fermion-

Z0

vertex

i e–2 θwsin θwcos---------------------------------γµ

cv caγ5–( )

cv I3 2Q 2

sin θw–= ca I3=

I3

Q


met , en de

Gell-Mann matrix voor de kleurlading van het gluon

met de SU(3) structuur constanten

γW

+

W –

p1 ν,

p2 λ, p3 µ,

-fotonvertex

W ± i e g

νλp1 p2–( )µ

gλµ

p2 p3–( )νg

µνp3 p1–( )λ

+

+

Z0

W+

W –

p1 ν,

p2 λ, p3 µ,

-Z0

vertex

W ±

i e θwcos

θwsin-------------------- g

νλp1 p2–( )µ

gλµ

p2 p3–( )νg

µνp3 p1–( )λ

+

+

γW

+

W –ν

λµ

γσ

-fotonvertex

W ±

i– e2

2gµν

gλσ

gµλ

gνσ

gµσ

gνλ

––[ ]

Z0W

+

W –ν

λµ

Z0

σ

-Z0

vertex

W ±

i– e2

2θwcos

2θwsin

------------------------------ 2gµν

gλσ

gµλ

gνσ

gµσ

gνλ

––[ ]

γW

+

W –ν

λµ

Z0

σ

-Z0- fotonvertex

W ±

i– e2 θwcos

θwsin-------------------------- 2g

µνg

λσg

µλg

νσg

µσg

νλ––[ ]

W+

W –ν

λµ

σ

W+

W –

-

vertex

W ±

W ±

i e2

2θwsin

------------------ 2gµλ

gνσ

gµν

gλσ

gµσ

gνλ

––[ ]

g quark-gluonvertex

i– gs

2----------γµλa

gs 4παs= λa

b ν,

a µ,c λ,

tripel-gluonvertex

gs– fabc

gµν

p1 p2–( )λg

νλp2 p3–( )µ

gλµ

p3 p1–( )ν+

+

[]

fabc


over de kleurindex wordt gesommeerd

met de fermion massa

b ν,

a µ,

c λ,

d ρ,

vier-gluonvertex

i gs2

– fabz

fcdz

gµλ

gνρ

gµρ

gνλ

–( )fadz

fbcz

gµν

gλρ

gµλ

gνρ

–( )facz

fbdz

gµρ

gνλ

gµν

gλρ

–( )+

+

[

]z

H0 fermion-Higgsvertex

i– e2 θwsin-----------------

mf

MW--------- mf

W ±

W ±

µ

ν

H0 -Higgsvertex

W ± i e g

µν

θwsin---------------MW

µ

ν

H0

Z0

Z0

Z0-Higgsvertex

2i e gµν

2θwsin------------------MZ

H0 tripel-Higgsvertex

i– e3MH2

2MW θwsin---------------------------

H0 vier-Higgsvertex

i– e23MH

2

4MW2

2θwsin

--------------------------------

W+

W –ν

µH0

H0

- Higgsvertex

W ± i e

2 g

µν

2 2θwsin

----------------------

ν

µH0

H0

Z0

Z0

Z0

Higgsvertex

i2e2 g

µν

22θwsin

----------------------


Enige belangrijke “constanten” :

; ;

;

; ; ; ;

Pauli spin matrices:

Dirac gamma matrices:

Gell-Mann kleur matrices:

Clebsch-Gordon coëfficiënten

h2π------ 1.054573

34–×10 Js= c 299792458 m/s= e 1.602177319–×10 C=

1 barn 1028–

m2≡ 1 eV 1.6021773

19–×10 J=

α 0( ) 1 137⁄= α MZ( ) 1 128⁄= αs MZ( ) 0.119= 2

sin θw 0.22= θwtan g' g⁄=

σ10 1

1 0= σ2

0 i–

i 0= σ3

1 0

0 1–=

γ0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1– 0

0 0 0 1–

= γi0 σi

σ– i 0= i 1 2 3, ,= γ5 iγ0γ1γ2γ3=

λ1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

= λ2

0 i– 0

i 0 0

0 0 0

= λ3

1 0 0

0 1– 0

0 0 0

= λ4

0 0 1

0 0 0

1 0 0

=

λ5

0 0 i–

0 0 0

i 0 0

= λ6

0 0 0

0 0 1

0 1 0

= λ7

0 0 0

0 0 i–

0 i 0

= λ81

3-------

1 0 0

0 1 0

0 0 2–

=

+ 1

5/2

5/23/2

3/2

+ 3/2

1/54/5

4/5−1/5

5/2

5/2

−1/2

3/52/5

−1−2

3/2

−1/2

2/5

5/2

3/2

−3/2−3/2

4/51/5 −4/5

1/5

−1/2−2 1

−5/25/2

−3/5

−1/2+ 1/2

+ 1 −1/2 2/5

3/5

−2/5

−1/2

2

+2

+3/2

+ 3/2

5/2

+5/2 5/2

5/2

3/2

1/2

1/2−1/3

−1

+ 10

1/6

+ 1/2

+ 1/2−1/2−3/2

+ 1/2

2/51/15

−8/15

+ 1/2

1/10

3/10 3/5

5/2

3/2

1/2

−1/2

1/6−1/3 5/2

5/2

−5/2

1

3/2

−3/2

−3/52/5

−3/2

−3/2

3/52/5

1/2

−1

−1

0

−1/2

8/15¡

−1/15−2/5

−1/2−3/2

−1/2

3/10

3/5

1/10

+ 3/2

+3/2+ 1/2−1/2

+ 3/2+ 1/2

+2 +1

+2+1

0

+ 12/5

3/5

3/2

3/5

−2/5

−1

+10

+3/21+1

+ 3

+1

1

0 3

1/3

+ 2

2/3

2

3/2

3/21/32/3

+ 1/2

0

−1

1/2+ 1/2

2/3

−1/3

−1/2+1/2

1

+ 1 10

1/21/2

−1/2

0 0

1/2

−1/2

1

1

−1−1/2

1

1−1/2+ 1/2

+1/2 +1/2+1/2−1/2

−1/2+ 1/2 −1/2

−1

3/22/3

3/2

−3/2

1

1/3

−1/2

−1/2

1/2

1/3−2/3

+ 1 + 1/2

+ 10

+ 3/2

2/3 3

3

3

3

31−1−2

−32/31/3

−22

1/3−2/3

−2

0

−1−2

−10

+1

−1

6/15¢8/15

¡1/15

2−1

−1−2

−10

1/2

−1/6−1/3

1−1

1/10−3/10

3/5

0 2

0 1

0

3/10−2/53/10

0 1/2

−1/2

1/5

1/53/5

+1

+ 1

−10

0

−1

+1

1/158/15

¡6/15

¢2

+ 2 2

+1

1/21/2

1

1/2 20

1/6

1/62/3

1

1/2

−1/2

0 0

2

2

−2

1−1−1

1−1

1/2−1/2

−1

1/21/2

0 0

0

−1

1/3

1/3−1/3

−1/2

+1

−1

−10

+ 1

0

0

+ 1−1

2

1

0

0

+1

+1+1

+1

1/31/6

−1/2

1+1

3/5

−3/101/10

−1/3

−10

+1

0 +2

+ 1

+2

3

+3/2

+1/2£ + 1

1/4 2

2

−11

2−2

1

−1

1/4

−1/2

1/21/2

−1/2 −1/2+ 1/2−3/2

−3/2

1/2

10

0

3/4

+ 1/2−1/2 −1/2

2+ 1

3/4

3/4

−3/41/4

−1/2+1/2

−1/4

1

+ 1/2−1/2+ 1/2

1

+ 1/2

3/5

0

−1

+1/20 + 1/2

3/2

+ 1/2

+5/2

+2 −1/2

1/2+ 2

+ 1 +1/2

1

2×1/2

3/2×1/2

3/2×12×1

1×1/2

1/2×1/2

1×1

¤ ¥ ¦ § ¦ ¨ ¥ © ª j«

j«¬ ¬

® ¯ ® °® ¯ ® ° ± ¥ ² ³ ³ ¨ ´ ¨ ² © ¦ µ


Spoortheorema’s:

spin som operatoren voor Dirac spinoren:

Tr 11( ) 4=

Tr oneven aantal γ-s( ) 0=

Tr a/ b/( ) 4 a b⋅( )=

Tr a/ b/ c/ d/( ) 4 a b⋅( ) c d⋅( ) a d⋅( ) b c⋅( ) a c⋅( ) b d⋅( )–+[ ]=

Tr γ5a/( ) 0=

Tr γ5a/ b/( ) 0=

Tr γ5a/ b/ c/( ) 0=

Tr γ5a/ b/ c/ d/( ) 4iεµνλρa

µb

νc

λd

ρ=

uα p s,( )uβ p s,( )

s

∑ p/ m+( )αβ=

vα p s,( )vβ p s,( )

s

∑ p–/ m+( )αβ=


APPENDIX D Uitwerkingen van opgaven

Opgaven en beknopte uitwerkingen van hoofdstuk 1

1.3 Een interessante proef is het laten botsen van een electron op een proton. Een manier om dat te doen is een vat met vloeibaar waterstof te nemen (waterstof bestaat uit een proton waaromheen een electron cirkelt) en daar een electronenbundel op af te schieten. Neem aan dat het proton in dat geval in rust is en het electron een impuls heeft. Wat is de invariante massa van het elec-tron proton systeem ?

1.4 Bovenstaande proef wordt bij de HERA versneller gedaan door zowel protonen als electronen te versnellen. De proton en electronbundel worden dan in tegengestelde richting op elkaar gebotst. In dit geval heeft het proton een impuls van 820 GeV en het electron een impuls van 30 GeV. Wat is in dit geval de invariante massa van het electron-proton systeem ? Hoe groot zou de impuls van het electron moeten zijn om dezelfde invariante massa te halen als het pro-ton in rust is ? (De proton massa, 0.938 GeV, en de electon massa, 0.51 MeV, mogen worden verwaarloosd ten opzichte van de grote impulsen in het geval van HERA.)

1.5 Als een electron een impuls heeft van 1 GeV, hoeveel energie heeft het dan in Joule ? (De lad-

ing van een electron is .)

1.6 In natuurlijke eenheden is het antwoord van een berekening voor een werkzame doorsnede in

GeV-2. De praktische uitdrukking van een werkzame doorsnede voor experimentele fysici is in

de eenheid barn (b), waarbij 1 b = 10-24 cm2. Hoeveel barn is 1 GeV-2 ? (Tip: gebruik het feit

dat in natuurlijke eenheden en verder dat en

in SI eenheden.)

1.7 Een baryon vervalt in een proton, p, en een pion, π. Het heeft een massa van 1116 MeV, het proton 938 MeV, en het pion 140 MeV. Wat is de snelheid van het proton na het verval in

p

Minv2

Ep Ee+( )2pp pe+( )–

2mp me

2p

2++( )

2p

2– mp

2me

22mp me

2p

2++ += = =

Minv2

Ep Ee+( )2pp pe+( )2

– 820 30+( )2820 30–( )2

– 98400 Minv⇒ 314 GeV= = = =

2mp pe× 98400 pe⇒ 52452 GeV= =

e 1.6022 1019–

C×=

1 GeV 109 eV 10

91.6 10

19–×× CV 1.6 1010–× J= = =

hc2π------

21= h 2π( )⁄ 1.055 10

34–× Js=

c 2.998 108× m/s=

hc2π------

21.055 10

34–2.998 10

8×××( )2 J

2m

2

1.055 1034–

2.998 108×××

1.6 1010–×

------------------------------------------------------------------- 2

GeV2m

2

1.055 1034–

2.998 108×××

1.6 1010–×

------------------------------------------------------------------- 2

1028× GeV

2b

0.39 GeV2 mb

=

=

=

= 1 GeV2–⇒ 0.39 mb=

Λ Λ


het rustframe van het ? De impuls wordt opgelost uit

1.8 In de LEP versneller en opslagring worden electronen op positronen gebotst. De omtrek van deze versneller stellen we op 27 km. De stroom die op een punt in de versneller wordt gemeten ten gevolge van de steeds langskomende bundel deeltjes is routinematig voor zowel electronen als positronen 2 mA. De electronen en positronen hebben de lichtsnelheid. Op de punten waar

de bundels botsen hebben ze een afmeting van in de richting loodrecht op de bundels. Zowel de electron als positron bundel zijn verdeeld in vier “bunches” (groepjes). We nemen aan dat de bundels perfect op elkaar zijn gericht. Wat is de luminositeit van deze

machine in eenheden van cm-2s-1 en hoeveel is dat in pb-1s-1, waarbij pb staat voor picobarn ? Per seconde zijn er per bunch zijn er

. De luminositeit is

dus: .met

geeft dat

1.9 Als we in plaats van verstrooiing aan een harde bol, verstrooiing aan een puntlading beschou-wen heet dat Rutherford verstrooiing. Een inkomend deeltje van lading verstrooit aan een

deeltje in rust met lading . De relatie tussen de botsingsparameter en de verstrooiingshoek is

gegeven door , met de kinetische energie van het inkomende deeltje.

Wat is de formule voor de differentiele werkzame doorsnede als functie van de

verstrooiingshoek en wat is de totale werkzame doorsnede ? De differentiele werkzame

doorsnede is en de integraal over de hele ruimtehoek geeft oneindig

als totale werkzame doorsnede.

Λ

1116 9382

p2

+ 1402

p2

++ p⇒ 101 MeV= =

0.005 0.15 × mm2

c 27km( )⁄ 44415 bunch crossings=

2 mA44415---------------

2 mC/s44415

-------------------2 10

3–×1.6022 10

19–44415××

--------------------------------------------------------- electronen of positronen= =

L2 10

3–×1.6022 10

19–44415××

--------------------------------------------------------- 2

0.0005 0.015×( )⁄ 44415× 4.7 1032

cm2–s

1–×= =

1 cm2–

1036

pb1–

= L4.7 10

32×10

36------------------------ 4.7 10

4–× pb1–s

1–= =

q1

q2

bq1q2

2E----------- θ 2⁄( )cot= E

dσ( ) dΩ( )⁄θ

dσdΩ-------

q1q2

4Esin2 θ 2⁄( )

-------------------------------- 2

=



2.1 Laat zien dat formule (2.12) ( ) volgt uit de definitie van de stroomdichtheid zoals

gegeven in formule (2.11) ( ). Hint: gebruik de aanwijzingen tus-

sen formules (2.11) en (2.12).Het makkelijkst is het om hier van twee kanten af te werken. Eerst de afgeleide van de stroom-dichtheid nemen, met Leibniz voor de verschillende factoren in de termen. Dan de Klein-Gor-don vergelijking en geconjugeerde Klein-Gordon vergelijking respectievelijk van links en

rechts met en vermenigvuldigen en de twee resultaten van elkaar aftrekken. De twee ant-woorden zouden nu hetzelfde moeten zijn.

2.2 Laat zien dat de Klein-Gordon vergelijking met covariante afgeleide , ,

invariant is onder de lokale ijktransformatie:

. .

We laten alleen zien dat invariant is. De rest is dan triviaal.

.

De fasedraaiing komt ook in de massaterm voor en vermenigvuldigd de hele vergelijking. Omdat deze fase nooit het getal nul oplevert, moet de rest van de vergelijking nul zijn en heb-ben we de Klein-Gordon vergelijking weer terug.

2.3 Leid de expliciet Lorentzinvariante vorm van de flux in formule (2.33)

( ) af. Hint: gebruik het speciale geval van de botsing tussen

twee collineaire deeltjes en formule (2.32) ( ) en het feit dat een Lorentz-

invariante uitdrukking in een speciaal frame in alle frames geldig is.We moeten aantonen dat:

2.4 Een andere manier om de Lorentzinvariante faseruimte van een deeltje, ,

af te leiden is uit de manifest Lorentzinvariante faseruimte . Laat zien dat deze twee uitdrukkingen hetzelfde zijn.

We gebruiken de relatie tussen energie en impuls en integreren over de energie om daarna terug te vertalen naar de energie als variabele in het antwoord:

µjµ∂ 0=

jµ i e φ∗ µφ∂ µφ∗∂( )φ–( )=

φ∗ φ

DµDµφ m

2φ+ 0=

φ φ’→ eiϕ x( )φ;= eAµ eA’µ→ eAµ µϕ x( )∂+=

Dµφ

Dµφ Dµφ’→ µφ’∂ eA’µφ’– eiϕ

µφ∂ µϕ∂( )eiϕφ eAµeiϕφ µϕ∂( )eiϕφ––+

eiϕ

µ∂ eAµ–( )φ eiϕ

Dµφ= =

= =

flux4 pA pB⋅( )2

mA2

mB2

–

V2

-----------------------------------------------------=

flux vA

2EA

V----------

2EB

V----------=

pA pB⋅( )2mA

2mB

2– EA mB⋅( )2

mA2

mB2

– mB EA2

mA2

–

mB pA2

mB EA2vA

2mBEA vA EBEA vA

= =

= = = =

dLIPSd

3p

2π( )32E

---------------------=

d4p( ) 2π( )3⁄

E2

p2

m2

+=

d4p∫ δ E

2p

2– m

2–( )dEd

3p∫ 1

2E-------

E p2

m2+=

d3p= =


2.5 Laat zien dat inderdaad alle factoren in formule (2.41)

( ) tegen elkaar

wegvallen. Hint: het kwadraat van de deltafunctie in kan worden geschreven als een del-

tafunctie maal een volume . Laat dit ook zien.

; ;

2.6 Leid formule (2.48) ( ) af.

V

dσ 1

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------- M2

2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB–– d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

N

∏=

Tfi2

V

Wfi

Tfi2

TV-----------

i– 2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB––

NANB Ni

i 1=

N

∏

M

2

TV-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB––

2

1V---

2 1

V-------

i 1=

N

∏ 2

M2

TV----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TV 2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB––

1V---

2 1V---

NM

2

TV---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB––

M2

VN 2+

------------------------------------------------------------------------

= =

=

= =

1flux---------

V2

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------= faseruimteVd

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

N

∏ VN d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

N

∏= =

dσWfi faseruimte

flux---------------------------------

2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB––

M2

VN 2+

------------------------------------------------------------------------V

2

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------VN d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

N

∏

2π( )4δ pi

i 1=

N

∑ pA pB––

M2

1

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

N

∏

= =

=

dσdΩ-------

e4

16π2s

--------------3 2m

2p

2⁄ cos2θ+ +

sin2θ

------------------------------------------------- 2

α2

s------

3 2m2

p2⁄ cos

2θ+ +

sin2θ

------------------------------------------------- 2

= =

dσ 1

4 pA pB⋅( )2mA

2mB

2–

----------------------------------------------------- M2

2π( )4δ pi

i 1=

2

∑ pA pB–– d

3pi

2π( )32Ei

----------------------

i 1=

2

∏=


;

de delta functie uitschrijven in energie en impuls componenten en integreren over p2 levert:

en dus

de integraal over is niet helemaal triviaal, maar kan gedaan worden door de delta functie te

reduceren tot lineair in met behulp van

waarbij de nulpunten van de functie zijn.

een alternatieve methode is om een coordinatentransformatie toe te passen met

waarbij door de variabele wordt vervangen.

vanaf hier verder gewoon invullen:

2.7 Het Feynmandiagram dat we hebben getekend en uitgerekend voor verstrooiing van twee spinoren door uitwisseling van een foton is de laagste orde in een storingsreeks. Teken de Fey-nmandiagrammen die horen bij de volgende term in de storingsreeks. Wat is de variabele waarin de storingsreeks is ontwikkeld ? Waarom convergeert de reeks in numerieke zin ? Waarom neemt de moeite die je moet doen om elke volgende orde in de storingsreeks uit te rekenen toe ?

pA pB⋅( )2mA

2mB

2– EA EB+( ) pA=

dσ M2

64π2EA EB+( ) pA

-----------------------------------------------δ p1 p2 pA pB––+( )d

3p1

E1-----------

d3p2

E2-----------=

d3p2 δ E1 E2 EA EB––+( )δ p1 p2 pA pB––+( )d3

p2 δ E1 E2 EA EB––+( )p1 p2– pA pB+ +=

= =

dσ M2

64π2EA EB+( ) pA

-----------------------------------------------δ p12

m12

+ p12

m22

+ EA EB––+ d

3p1

E1E2------------

M2

64π2EA EB+( ) pA

-----------------------------------------------δ p12

m12

+ p12

m22

+ EA EB––+ p1

2d p1 dΩ

E1E2-------------------------------

M2

64π2EA EB+( ) pA

-----------------------------------------------E1E2 p1

EA EB+( )-------------------------

dΩE1E2------------

M2

p1

64π2EA EB+( )2

pA

--------------------------------------------------dΩ

= =

=

=

p1

p1

δ g x( )( ) 1g’ xi( )----------------δ x xi–( )

i

∑=

xi g

Etot p12

m12

+ p12

m22

++=

p1 Etot

dσdΩ-------

1

64π2s

-------------- M2 1

64π2s

-------------- 2e2 2m

2p

2⁄( ) 3 cos2θ+ +

sin–2θ

------------------------------------------------------

–2

e4

16π2s

--------------2m

2p

2⁄( ) 3 cos2θ+ +

sin–2θ

------------------------------------------------------ 2

α2

s------

2m2

p2⁄( ) 3 cos

2θ+ +

sin–2θ

------------------------------------------------------ 2

= =

= =


De reeks is in machten van de koppelingsconstante. De electromagnetische koppelingscon-stante is 1/137 en machten daarvan gaan snel naar nul. Wel neemt het aantal verschillende dia-grammen toe. (Het is zelfs zo dat het aantal diagrammen sneller toeneemt dan de macht van de koppelingsconstante afneemt, maar dat wordt voor electromagnetisme pas na de 137-e orde belangrijk.

2.8 In het volgende hoofdstuk zal de gamma matrix een belangrijke rol spelen.

Schrijf uit in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices.

2.9 Bewijs vergelijking (2.96): .

2.10 Toon aan dat het spoor van een oneven aantal gamma matrices nul is.

Gebruik dat , dan . Het spoor is invariant onder

cyclische verwisseling van de matrices , terwijl we één ook naar voren kunnen halen door gebruik te maken van de anti-commutator met alle gamma matrices links ervan in het spoor. Omdat dat aantal oneven is geeft dit een minteken in het totaal

en dus en

dus

γ5iγ0γ1γ2γ3

=

γ5

γ5

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

=


=

Tr γµγν( ) Tr γµγν γµγν+( ) 2⁄ Tr 2g

µν11( ) 2⁄ g

µνTr 11( ) 4g

µν= = = =

γ5( )2

1= Tr γµγν…γλ( ) Tr γµγν…γλγ5γ5( )=

Tr ABC( ) Tr CAB( )= γ5

Tr γµγν…γλ( ) Tr– γ5γµγν…γλγ5( ) Tr γ5γ

µγν…γλγ5( ) Tr γµγν…γλγ5γ5( ) Tr γµγν…γλ( )= = = =

Tr– γ5γµγν…γλγ5( ) Tr γ5γ

µγν…γλγ5( )= Tr γ5γ

µγν…γλγ5( ) 0=⇒

Tr γµγν…γλ( ) 0=



3.1 In de LEP ring worden elektronen en positronen versneld tot gelijke energie. Wat moet die energie zijn om bij annihilatie een Z boson te maken ? Wat moet de minimale energie zijn om een paar W bosonen te maken ?De energie moet zijn voor Z boson productie en voor W paar productie.

3.2 Waarom worden er ook Z bosonen gemaakt als de zwaartepuntsenergie iets lager is dan de Z boson massa ?Doordat de Z een vervalsbreedte heeft van ongeveer 2.5 GeV is de waarschijnlijkheid om een Z te maken met een invariante massa binnen een paar GeV van de rust massa nog redelijk groot.

3.3 De totale vervalsbreedte van het Z boson is ongeveer 2.5 GeV. Wat is de levensduur van het Z boson ?

; dus

3.4 Wat verwacht je voor de verhouding van de vervalsbreedte van het W and het Z boson ?De koppelingen zijn van dezelfde orde van grootte en het aantal vervalskanalen is ook min of meer vergelijkbaar, dus de vervalsbreedtes zullen van de zelfde orde zijn.

3.5 Wat is de verhouding tussen het aantal keer dat een Z boson in een electron-positron paar, een muon paar, een tau paar en een neutrino paar (één van de drie soorten) vervalt ?

de gelijkheid van de drie geladen lepton vervallen heet lepton unificatie. De koppelin-gen zijn onafhankelijk van de familie. De factor twee voor neutrino’s komt doordat de axiale koppeling van de geladen leptonen bijna nul is, maar die voor de neutrino’s even groot als de vector koppeling. Omdat de axiale stroom ongeveer evenveel bijdraagt als de vectorstroom verklaart dat de factor 2.

3.6 Er is een plan voor het maken van een muonbotser. In deze muonbotser worden positieve en negatieve muonen gemaakt, versneld en in een opslagring in tegengestelde richting met elkaar gebotst. De muonen worden gemaakt door met een protonbundel op trefplaatjes te schieten en zo pionen te produceren, die in muonen en neutrino’s vervallen. Vervolgens is het probleem om de muonen allen met dezelfde energie in dezelfde richting te laten gaan. Wat is de oor-sprong van dit probleem ? Als we de muonen met dezelfde energie in dezelfde richting kunnen laten gaan, kunnen we ze snel versnellen en naar de opslag ring transporteren. Waarom moeten we ze snel versnellen ? Stel dat we heel snel kunnen versnellen en dat de tijd die we nodig heb-ben om de muonen met de uiteindelijke energie in de opslagring te krijgen verwaarloosbaar is ten opzichte van de vervalstijd. De uiteindelijke energie per muon in de eerste fase van dit experiment is gepland op ongeveer 75 GeV. Wat is de levensduur van de muonen voor waarnemers die ten opzichte van de opslagring in rust zijn ? Het magneetveld dat door de buig-magneten die de muonen in een cirkelvormige baan houden is 10 Tesla. Hoe groot is de straal van de cirkel waarin de muonen zich bewegen ( ) ? Hoe veel omwentelingen maakt het muon gemiddeld voor het vervalt ? (De luminositeit schaalt met het aantal omwentelingen van het muon (waarom?)) Wat is de straal in hetzelfde magneetveld voor een muon impuls van 1000 GeV (de uiteindelijke energie waarvoor deze botser wordt gemaakt) ? Hoeveel omwentelingen maakt het muon voor het vervalt bij 1 TeV (=1000 GeV) ?

MZ 2⁄ MW

1eV 1620–×10 J= h 2π( )⁄ 105

36–×10 Js 65618–×10 eVs 656

27–×10 GeVs= = =

τ 1025------ GeV

1– 656025

------------1027–

s 2 62 1025–× s,= = =

1:1:1:2

r [m] p [GeV]( ) 3B [T]( )⁄=


De muonen worden gemaakt door pion verval en hebben een willekeurige hoekverdeling in het

verval. Het muon vervalt in seconde. Als het muon wordt versneld dan is voor de waarnemer in het loboratoriumsysteem de levensduur groter met de Lorentzcontractiefactor. Dus door meteen te versnellen kan tijd worden gewonnen.

hieruit volgt dat seconde in het lab systeem.

De cirkel bij 10 T magneten heeft straal meter. De omtrek van deze cirkel is

meter. Het muon beweegt met de lichtsnelheid, dus het aantal omwentelingen

in 1.4 ms is . In de praktijk kan maar de helft van de lengte van de ring door afbuigmagneten worden bevolkt en wordt de ring dus twee keer zo lang en het aantal omwentelingen twee keer zo klein.De luminositeit schaalt natuurlijk met het aantal omwentelinge omdat de deeltjes dan even-zoveel malen de kans hebben te botsen onder dezelfde condities.De straal van de machine bij 1000 GeV is 1000/75*25=333 m (en de omtrek dus ongeveer 2 km).Het aantal omwentelingen is invariant, omdat de Lorentz gamma factor evenveel toeneemt als de lengte van de machine en die twee tot één uitdelen.

26–×10

γ E m⁄ 75000 105⁄ 714= = = τ 144–×10=

r 75 3⁄ 25= =

2π 25× 157=

38×10 157 14

4–×10×⁄ 2675=



4.1 Bereken de relative werkzame doorsnede van de processen: (elastische verstrooi-

ing), (elastische verstrooiing) en (ladingsuitwisseling).De eerste twee processen hebben identieke begin en eindtoestanden en dus Clebsch-Gordon coëfficiënt 1. Het laatste process heeft als tussen toestanden en . De

projecties uit de begintoestand zijn en en uit de eindtoestand en ,

zodat de relatieve waarschijnlijkheid wordt

4.2 De hyperlading is gedefinieerd als , waarbij het baryongetal is en de strange-ness. Laat uitgaande van het spectroscopisch quarkmodel zien dat de lading van baryonen wordt gegeven door: , waarbij de derde component van de sterke isospin is.

Gewoon door invullen. Bijvoorbeeld voor het proton , .

Voor het baryon met stangeness -1 en isospin 0, .

4.3 Teken het Feynmandiagram van de sterke reacties en op het niveau van quarks in het spectroscopisch quark model van hadronen. Hint: in deze Feynmandiagram-men komt geen vertex voor !

4.4 Reken de dracht uit in meters voor de sterke kernkracht.Gebruik de Yukawa potentiaal met pionen als uitgewisselde deeltjes. De dracht is 1/massa=1/

135 MeV-1. In natuurlijke eenheden is 1 MeV-1=2*10-13 m, dus de dracht is (2/135)*10-13=

1.5*10-15 m. Dit is ongeveer de afmeting van het proton en dracht van de sterke interactie is dus typisch van de orde van de straal van het proton (of neutron).

4.5 Een modern diep inelastisch botsingsexperiment is het ZEUS experiment bij de HERA ver-sneller in Hamburg. In de HERA versneller worden protonen en electronen versneld in tegengestelde richting in een cirkelvormige tunnel van 6.7 km lengte. Het proton wordt tot een energie van 820 GeV versneld, terwijl het electron tot een energie van 30 GeV wordt versneld. Leg uit waarom de energie van de protonen veel hoger kan zijn dan van de elektronen. Wat is

de totale invariante massa van het electron-proton systeem ? Wat is de maximale die kan worden bereikt ? In welke richting gaat het verstrooide electron dan ? In de detektor moeten de protonen en elektronen natuurlijk naar binnen (en naar buiten) kunnen. Daarvoor zit rond de bundelpijp in de voorwaartse en achterwaartse richting een gat in de detektor. Dit gat is zodanig dat een eerste goede meting van de elektronenergie pas op een afstand van 15 cm van

de bundel kan op een afstand van 1.5 m van het interactiepunt. Reken uit wat de minimale is van interacties waarbij het elektron in de eindtoestand wordt waargenomen.

π+p π+

p→

π –p π –

p→ π –p π0

n→

3 2⁄ 1– 2⁄,| ⟩ 1 2⁄ 1– 2⁄,| ⟩

1 3⁄ 2 3⁄– 2 3⁄ 1 3⁄

1 3⁄ 2 3⁄× 2 3⁄–( ) 1 3⁄×+( )2

0=

Y B S+= B S

Q I3 Y 2⁄+= I3

Y 1 0+ 1= = Q 1 2⁄ 1 2⁄+ 1= =

Λ Q 0 1 1–( ) 2⁄+ 0= =

π+p π+

p→ π –p π0

n→

duπ –

p

dd

ud

d

π –

p

du

ud

uud

u

du

ud

u

n

π0

Q2

Q2


Het proton is veel zwaarder en verliest in een circulaire machine veel minder Bremstrahlung energie en kan dus makkelijker bij hoge energie worden gehouden. De invariante massa is

.

De maximale is .

4.6 In het ZEUS experiment uit de vorige vraag zijn ook gevallen gezien die duidelijk diep-inelas-tische verstrooiing waren, maar waarbij geen elektron in de eindtoestand zat. Hoe kan dat ?Door geladen stroom gevallen waarbij een W wordt uitgewisseld en het electron in een neu-trino wordt omgezet.

4.7 Er zijn ook experimenten gedaan waarbij een inkomende neutrinobundel is gebruikt. Hoe zou je zo’n neutrinobundel kunnen maken ? In deze experimenten was het doel altijd een hoeveel-heid materiaal die stil lag in het laboratorium. Waarom is dat zo ? Hoe herken je een diep-ine-lastische verstrooiing van een neutrino aan een proton of neutron in zo’n blok materiaal, a) als de interactie een geladen stroom is, b) als de interactie een neutrale stroom is ? Welk deeltje wordt in ieder van de twee gevallen uitgewisseld ?Het makkelijkst is een neutrinobundel te maken door pionen te produceren uit proton botsin-gen met een trefplaatje en vervolgens de pionen te laten vervallen in muonen en neutrino’s.Bij neutrino experimenten is altijd veel doelmateriaal nodig om aan een hoge luminositeit te komen, die nodig is omdat de werkzame doorsnedes voor neutrino verstrooiing zo klein zijn.Bij een geladen stroom interactie wordt het neutrino weer in een vaak energetisch geladen lep-ton (muon) omgezet dta makkelijk is te detecteren.Bij neutrale stroom interacties zijn de fragmentatieproducten van het proton of neutron waaraan wordt vestrooid zichtbaar en hun impuls schijnbaar niet gebalanceerd. Met de wet van behoud van (vier-)impuls is dan de impuls van het verstrooide neutrino uit te rekenen.Bij een geladen stroom wordt een W uitgewisseld and bij een neutrale stroom een Z.(Bij neutrino’s wordt nooit een foton uitgewisseld, omdat het er niet aan koppelt.)

4.8 Op het moment wordt in Nederland de deelname besproken aan een experiment, ANTARES, dat neutrino’s van heel hoge energie uit het heelal moet gaan waarnemen. Dit experiment

gebruikt de zee als een doel en detekteert over een volume van een geladen deeltjes die worden gemaakt als gevolg van een neutrino botsing met de kernen in een watermolecuul. Geef voor elk van de drie soorten neutrino’s aan wat de interactieproducten zijn die worden gedetekteerd. Geef een voorbeeld voor elk van de neutrino soorten hoe die met hoge energie in het heelal zouden kunnen worden geproduceerd. Verwacht je van alle neutrinosoorten evenveel met hoge energie in het heelal ?De enige redelijke manier om neutrino’s te detecteren is als ze een geladen stroom interactie hebben met een kern. In dat geval verandert het neutrino in een geladen lepton en voor elec-tron-neutrino, muon-neutrino en tau-neutrino zijn dat electron, muon en tau, respectievelijk.Voorbeelden van neutrinoproductie zijn electron-neutrino’s van kernfusie processen (protonen van waterstof moeten in neutronen veranderen om zwaardere elementen te kunnen maken en bij dat process komen electron-neutrino’s vrij); muon-neutrino’s worden voornamelijk gepro-duceerd uit pion verval en de pionen worden gemaakt in sterke nucleaire interacties. Die kun-nen plaats vinden als materiaal wordt versneld in allerlei mechanismen die denkbaar zijn, zoals acretie-disks, etc.; tau-neutrino’s kunnen eigenlijk alleen in vrij exotische processen worden gemaakt, zoals annihilatie van supersymmetrische deeltjes (zie hoofdstuk 7).

s Ep Ee+( )2pp pe–( )2

– 8502

7902

– 313 GeV= = =

Q2

Q2

4 Ep Ee×× 4 30 820×× 98400 GeV2

= = =

Qmin2

2EpEe 1 θcos–( ) 2EpEe 1 0 995,–( ) 244 GeV2

= = =

km3


We verwachten dus grote hoeveelheden electron-neutrino’s, minder muon-neutrino’s en rela-tief bijna geen tau-neutrino’s.

4.9 Geef de verhouding voor het proton en neutron.

Waarom is het nodig de anti-quark distributies van de quark distributies af te trekken om tot een voorspelling te komen ?Deze verhouding is 2 voor het proton en 1/2 voor het neutron. Het aantal quarks is onbepaald, net als het aantal anti-quarks, maar het verschil geeft het aantal valentiequarks dat een goed bepaald aantal is.

4.10 Waarom zijn de charm en bottom quarks gevonden in gebonden toestanden van quark-anti-quark en het top quark niet ?Omdat het top quark zo zwaar is vervalt het zo snel dat geen gebonden toestand kan ontstaan voor het verval. Bij b en c quarks verloopt het verval vrij traag en worden eerst hadronen gevormd voordat het zware quark vervalt.

4.11 Geef een voorspelling voor de verhouding van werkzame doorsnedes:

als functie van de invariante massa van het inkomend electron-positron paar.Als de annihilatie van het electron-positron paar in een foton is (bijv bij een invariante massa onder de Z massa) dan is de verhouding die van de som van de electrische ladingen in het kwadraat maal een factor drie voor de drie kleur mogelijkheden om een quark-paar te maken, dus bijv. boven de charm drempel, maar onder de bottom drempel,

3*((1/3)2+(2/3)2+(1/3)2+2/3)2) =10/3.4.12 Wat is de koppling voor uWs, rekening houdend met de CKM matrix ? Schrijf de koppeling

ook op in de Wolfenstein parametrisatie.

4.13 Top quarks worden vooral in paren gemaakt. Toch kunnen ze ook als een enkele top of anti-top in een experiment worden gemaakt. Hoe gaat dat ? Wat verwacht je voor enkele top productie in de annihilatie van een electron-positron paar, kan de meeste energie van die reactie in een enkel top quark gaan zitten ? En voor een electron-proton botsing ? En voor een proton-anti-proton botsing ?Enkele top quarks kunnen gemaakt worden in het verval van een W naar een top en bottom quark.In electron-positron colliders kan een enkele W worden geproduceerd, maar alleen via een Bremstrahlung proces met een extra foton of Z uitwisseling in het t-kanaal. Het is onaanneme-lijk dat het W dan met een grote invariante massa kan worden geproduceerd.In electron-proton botsingen kan een enkel top quark worden gemaakt in W gluon fusie, waar-bij het electron in een neutrino verandert door aan een W te koppelen en de W aan een gluon wordt verstrooid door een b quark uit te wisselen en de b aan de W vertex in een t te verand-eren.In een proton-anti-proton collider worden veel W deeltjes gemaakt door quark-anti-quark anni-

hilatie in een W (bijv. u+d om een W+ te vormen), vervolgens kan de W in top en anti-bottom vervallen als de invariante mass hoog genoeg is. Dit process zou waarneembaar moeten zijn bij de Tevatron proton-anti-proton collider.

u x( ) u x( )– dx∫ d x( ) d x( )– dx∫

⁄

Rσ e

+e

–qq→( )

σ e+e

– µ+µ –→( )-------------------------------------------=

i eVus–

2 2 θwsin-------------------------γµ

1 γ5–( ) ieλ–

2 2 θwsin-------------------------γµ

1 γ5–( )=



5.1 Wat is de pariteit van de , een electrisch neutraal scalar meson dat dominant in vervalt ?

De is een neutraal meson met . Dus moet het pion dat het andere vervalsdeeltje is

wel een neutraal pion zijn met . Omdat alle deeltjes spin 0 hebben is het onmogelijk

baanimpuls te creeëren. Dus de pariteit en de ladingsconjugatie van het zijn het product van

die van de en . Voor het geldt dus: .

5.2 De heeft . Waarom kan de alleen in het paar neutrale

kaonen vervallen ?

De combinatie geeft de juiste pariteit en ladingsconjugate (namelijk beiden negatief).

De toestanden en geven beiden pariteit en ladingsconjugatie positief.

Hoe zou je dit feit kunnen gebruiken om CP schending te bestuderen in een e+e- botser ? Produceer een in rust door het electron en positron te botsen bij een invariante massa van 1020 MeV. Als aan een kant een verval in 2 pionen zichtbaar is, moet de andere kant een

zijn. Kijk nu hoe vaak die ook in twee pionen vervalt. Gebeurt dat, dan is er CP schending.

5.3 Geef een voorbeeld van een intermediaire toestand als een in een oscilleert.

Net als in het geval van de kaonen laten we een b quark in een c quark vervallen en een d in een c. Om nu een toestand met twee mesonen te maken (de cc toestand heeft niet de juiste massa om een stabiel deeltje te vormen) kunnen we bijvoorbeeld een uu paar toevoegen, zodat de tus-

sentoestand wordt.5.4 Wat is een goede test om te kijken of CPT is geschonden ?

Het massaverschil tussen deeltje en anti-deeltje.

a0 ηπ

η JPC

0+–

=

JPC

0+–

=

a0

η π a0 JPC

0++

=

φ 1020( ) JPC

1 ––

= φ 1020( ) KS0KL

0

KS0KL

0

KS0KS

0KL

0KL

0

φ 1020( )

KL0

Bd0

Bd0

D0D

0



6.1 Schets de Higgs potentiaal ( ) voor positieve en negatieve waarden van .

Waarom moet altijd positief zijn om een fysisch model te krijgen ? Waarom werkt een posi-

tieve waarde van niet om spontane symmetriebreking te krijgen ?

Als negatief is is de potentiaal naar onder niet begrensd, is er geen minimum, dus geen

grondtoestand, dus geen stabiel vacuum. Als positief is, is er maar één minimum in de potentiaal, precies bij nul en wordt er dus geen vacuumverwachtingswaarde verkregen en dus geen massa’s. Dit is in tegenspraak met observaties aan de wereld om ons heen.

6.2 Gegeven is de massa van het tau-lepton, MeV. Gebruik de vertakkingsverhoudin-

gen van het Higgs boson zoals in de tabel in dit hoofdstuk gegeven om de massa van het b en c quark uit te rekenen. Klopt dit met de massa van het b en c quark die uit de massa van de ,

MeV, en de , MeV ?

De koppeling aan het Higgs gaat proportioneel aan de massa. De vertakkingsverhouding gaat proportioneel aan de koppeling in het kwadraat, dus aan de massa in het kwadraat. De propor-tionaliteitsconstante is gelijk voor de drie vervallen. Dus de verhoudingen worden gegeven

door: en met de gegeven massa van het tau-lepton volgt:

MeV en MeV. De massa’s die je naïef verwacht op grond van de

-onium toestanden zijn: MeV en MeV. Het verschil is te verklaren uit

het feit dat de massa afhangt van de energie waarbij wordt gekeken en de relevante energie in het geval van de -onium toestanden de massa van het quark zelf is en bij het Higgs verval is de relevante massaschaal de massa van het Higgs. Dit verlaagt de effectieve massa. Voor het bot-tom quark zijn er correcties met het top quark, dat heel sterk aan het Higgs koppelt en een vrji grote positieve correctie geeft.

6.3 Teken drie verschillende Feynmandiagrammen voor Higgsproductie bij het Tevatron.

6.4 Waarom begint de werkzame doorsnede voor de Higgsproductie bij LEP al een paar GeV onder de kinematische limiet fors af te nemen ?De breedte van de Z is hier de oorzaak van. Dus de werkzame doorsnede gaat al afnemen vanaf iets meer dan 2.5 GeV onder de kinematische limiet. Daar staat tegenover dat boven de kine-matische limiet er ook nog een wat hogere werkzame doorsnede is dan als de Z geen breedte had.

6.5 Geef twee onafhankelijke manieren om de massa van de Higgs te bepalen in een LEP gebeur-tenis met een positief en negatief muon en twee jets. Welke zou nauwkeuriger zijn ? Kan de situatie nog verder worden vebeterd ?Het Higgs moet wel in twee jets vervallen zijn, omdat de vertakkingsverhouding van Higgs naar muonen verwaarloosbaar is. Dus de invariante massa van de twee jets is massa van de

µ2φ†φ λ φ†φ( )2+ µ2

λ

µ2

λ

µ2

mτ 1777=

ϒmϒ 9460= J/ψ mJ/ψ 3097=

mτ2

mc2

mb2÷÷ 7 3 88÷÷=

mc 1163= mb 6300=

mc 1550= mb 4730=

q

q

Z*

Z

H

q’

q

W*

W

H

t H

g

g


Higgs. We kunnen ook de “ recoil-massa” (Nederlands ?) van de twee muonen gebruiken. De twee muonen hebben de massa van de Z als invariante massa. De recoil-massa wordt dan

gegeven door: , met de zwaartepuntsmassa van de elec-

tron-positron botsing en de absolute waarde van de impulssom van de twee muonen. Door zowel de muon informatie als de jet informatie als de wet van behoud van energie-impuls en het feit dat de invariante massa van de muonen de massa van de Z is te gebruiken in een kine-matische fit die dan dus overbepaald is krijgen we de grootste nauwkeurigheid.

MH2

s MZ2

2 s p2

MZ2

+( )–+= s

p



7.1 Laat zien dat het aantal vrijheidsgraden van de ijkbosonen en Higgs deeltjes in het Standaard Model met een tweede Higgs doublet gelijk is aan het aantal vrijheidsgraden van de supersym-metrische partners.De gluonen zijn massaloze spin 1 bosonen (twee vrijheidsgraden per gluon) en hebben hun supersymmetrische gelijken in evenveel gluïno’s met spin 1/2.De W en Z bosonen zijn massieve spin 1 bosonen en hebben samen 9 vrijheidsgraden. Het foton heeft 2 vrijheidsgraden. Verder zijn er nog 5 Higgs bosonen (3 neutraal en 2 geladen) met ieder 1 vrijheidsgraad. Dus het totaal aantal vrijheidsgraden is 16. Aan de supersymmetrische kant zijn er vier chargino’s, spin 1/2 fermionen, met in totaal 8 vrijheidsgraden, en vier neutral-ino’s, ook met 8 vrijheidsgraden. Dus aan de supersymmetrische partner kant zijn ook 16 vrij-heidsgraden in totaal.

7.2 Teken het Feynmandiagram van de mogelijke vervallen van het lichtste chargino in het lichtste neutralino. Doe hetzelfde voor het verval van het scalair top (stop) squark.

χ1+

χ10

W+

χ10

t

c of t


APPENDIX E Oefententamen KUN

Her-Tentamen keuzecollege Hoge Energiefysica, KUN, 18 augustus 1999, 14:00-17:00.

Dit tentamen bestaat uit drie vragen met elk 11 deelvragen (a t/m k). Iedere deelvraag levert evenveelpunten op. De vragen staan op 6 bladzijden in totaal.Maak alle opgaven op een apart vel en voorzie elk vel van uw naam. Leesbaar schrijven helpt de stem-ming van de examinator positief te beïnvloeden.

Opgaven 1:Inleiding: Bij de CDF en DØ experimenten bij de Tevatron versneller op Fermilab bij Chicagoworden protonen en anti-protonen met elkaar gebotst. De energie van zowel de protonen als de anti-protonen was tot nu toe 900 GeV in het Lorentzframe van de detector en de bundels worden frontaalop elkaar gebotst.Vraag 1a: Waarom moet er bij de energie worden gespecificeerd in welk Lorentzframe die is ?Antwoord: De energie is een niet Lorentz-invariante grootheid.

Als een proton op een anti-proton botst met een dergelijke energie zijn het vooral de partonen (quarksen gluonen) die een interactie met elkaar hebben.Noem de impulsfractie die een quark in het proton heeft en de impulsfractie die een quark in hetanti-proton heeft.Vraag 1b: Wat is de invariante massa van een quark-anti-quark botsing met deze im-pulsfracties ?Antwoord: GeV

Bij hoog energetische inelastische verstrooiing wordt vaak een W of een Z boson gemaakt.Vraag 1c: Welk quark en anti-quark botsen het meest waarschijnlijk met elkaar om een Z boson temaken en waarom ? Teken het Feynmandiagram van een voorbeeld van zo’n reactie.Antwoord: Er is een quark en een anti-quark nodig. Het proton heeft twee u en een d quark, dus demeest waarschijnlijke combinatie is een up en een anti-up quark die samen een Z maken.

Vraag 1d: Wat is de minimale waarde van het produkt om een Z boson te maken bij 900 GeVbundelenergie ?Antwoord:

De werkzame doorsnede voor de productie van Z bosonen deze energie is ongeveer 6 nb (=6000 pb).De geintegreerde luminositeit voor elk van de twee experimenten bij deze energie was 125 pb-1.Vraag 1e: Hoeveel Z bosonen zijn er in het CDF experiment gemaakt ?

x x

2 900 x x××× 1800xx=

u

u

Z0

x x⋅

1800x x MZ>⋅ xxMZ

1800------------

901800------------≈>⇒ 0 05,=


Antwoord:

Volgend jaar gaan de experimenten weer draaien, maar de Tevatron versneller is verbeterd, waardoorde bundel energie omhoog gaat van 900 GeV naar 1000 GeV (1 TeV) en de te verwachten geinteg-reerde luminositeit die de experimenten zullen zien zal groter zijn dan 2 fb-1 (=2000 pb-1).Bij een bundelenergie van 1 TeV is de werkzame doorsnede voor de productie van Z bosonen on-geveer 10 nb.Vraag 1f: Wat is de minimale waarde van het produkt om een Z boson te maken bij 1 TeV bun-delenergie ?Antwoord: , dus 10% minder dan in vraag 1d.

De waarschijnlijkheid om een quark aan te treffen met een kleine impulsfractie neemt voor kleine im-pulsfracties ( ) sterk toe.Vraag 1g: Wat is het mechanisme waardoor er zoveel quarks zijn met een kleine impulsfractie ?Antwoord: De valentiequarks zijn omgeven door een zee van virtuele gluonen die de valentiequarksbij elkaar houden. Deze virtuele gluonen splitsen in virtuele quark-anti-quark paren. De waarschijn-lijkheid waarmee dit gebeurt is groter voor kleinere impuls (onzekerheidsrelatie van Heisenberg), endus ook kleinere impulsfractie van het proton.

Bij dergelijke kleine impulsfracties wordt de kans een up of down quark aan te treffen bijna net zogroot als het aantreffen van een strange quark.Vraag 1h: Waarom is dat zo ?Antwoord: De koppeling van het up, down of strange quark aan gluonen is hetzelfde. En bij lage im-puls wordt de aanwezigheid van elk soort quarks helemaal gedomineerd door gluonsplitsing en spe-len de valentiequarks geen rol meer. Het feit dat de strange quarks nog een iets kleinere bijdragehebben ligt aan hun iets grotere massa t.o.v. up en down quarks.

De kans om een Z boson te maken is evenredig met de kans om een quark en een anti-quark boveneen bepaalde impulsfractie aan te treffen in het proton en anti-proton, respectievelijk, volgens.

Met en de waarschijnlijkheidsdichtheid om een quark of anti-quark aan te treffen met im-pulsfractie in het proton of in het anti-proton, respectievelijk. De waarde van is het antwoordop vraag 1f.

Vraag 1i: Leg aan de hand van deze formule uit waarom je verwacht dat de werkzame doorsnede voorZ boson productie hoger is bij een bundelenergie van 1 TeV in vergelijking met een bundelenergievan 900 GeV.Antwoord: De fractie neemt toe met de energie en de dichtheden en nemen snel af met toen-emende , dus de integraal neemt toe met toenemende zwaartepuntsenergie.

Om de productie van “ interessante deeltjes” groter te maken kan het dus net zo voordelig zijn de bun-delenergie te verhogen, als de luminositeit te verhogen. Het verhogen van de luminositeit heeft eennadeel in vergelijking met de verhoging van de energie, namelijk de mogelijkheid (nieuwe) deeltjeste produceren met een hoge massa.Vraag 1j: Geef de maximale massa van een deeltje die geproduceerd kan worden met respectievelijkeen bundelenergie van 900 GeV en 1 TeV.

6000 125× 750000=

x x⋅

2000x x MZ>⋅ xxMZ

2000------------

902000------------≈>⇒ 9

200--------- 0.045= =

x 0.1<

σ Z( ) q x( )q x( )dxdx∫x x r>⋅

∫∼

q x( ) q x( )x x r

γ q qx


Antwoord: en GeV, respectievelijk.

Vraag 1k: Wat is de kans op het produceren van een deeltje met deze maximaal haalbare massa ?Antwoord: NUL, want de quarkdichtheid is nul bij

Aan het verhogen van de energie kleeft ook een nadeel in vergelijking met het verhogen van de lumi-nositeit, namelijk de hoeveelheid achtergrond gebeurtenissen die worden geproduceerd. Deze achter-grond gebeurtenissen zijn voornamelijk botsingen waarbij het proton en/of het anti-proton zich nogmin of meer als een geheel gedraagt (diffractieve gebeurtenissen). De werkzame doorsnede voor dezegebeurtenissen gaat omhoog met de bundelenergie. Zodra je dus weet waarnaar je zoekt kun je debundelenergie optimaliseren om een zo goed mogelijke verzameling van interessante gebeurtenissente kunnen onderscheiden.

2 900× 1800= 2 1000× 2000=

x 1=


Opgave 2:Het kTeV experiment op Fermilab en het NA48 experiment op CERN zijn recente experimenten diemetingen hebben gedaan aan CP schending in het neutrale Kaon systeem. In deze expe-rimentenworden neutrale Kaonen gemaakt en het verval in twee en drie pionen bestudeerd. De productie vanneutrale kaonen gebeurt door de sterke interactie. Het K0 deeltje bevat een anti-strange valentie-quark. Het baryon bestaat uit “uds” valentie-quarks.Vraag 2a: Geef aan met een Feynmandiagram hoe een neutraal Kaon kan worden geproduceerd in eenbotsing van een en een proton.Antwoord:

Vraag 2b: Gegeven de volgende massa’s:

Wat is de drempelenergie voor de productie van een K0 op deze manier ?Antwoord: de invariante massa die moet worden gemaakt is:

MeV. Als het proton in rust is en hetpion met impuls met het proton botst dan is de invariante massa van die botsing:

MeV.

Door de energie van de pion bundel goed te kiezen op een vast trefplaatje (met protonen) kan een zui-vere K0 bundel worden gemaakt.Vraag 2c: Waarom is er meer energie nodig om een K0 te maken ?Antwoord: Een anti Kaon bevat een s quark. Het anti-s quark kan niet samen met het u en d van hetproton een baryon vormen. Dus moet er nog een tweede strange meson worden gevormd of een anti-baryon (en dan moeten er nog twee baryonen worden gemaakt om het baryongetal te behouden). Inelk geval moeten er dus extra deeltjesworden gemaakt en dus is er meer energie nodig.

De K0 en K0 kunnen in elkaar overgaan (oscilleren).Vraag 2d: Teken het Feynmandiagram voor de overgang van K0 naar K0. Label alle ingaande en uit-gaande deeltjes correct.

Λ

π –

du

uud

u

sd

ud

s

π –

p+ Λ0

K0

mp 938 MeV= mπ ± 140 MeV= m

π0 135 MeV=

mΛ 1116 MeV= mK0 498 MeV=

mΛ mK0 mp m

π ±+( )–+ 1116 498 938– 140–+ 536= =p

mp mπ ±2

p2

++

2

p2

– 536= p2⇒

536 mp2

mπ ±2

+( )–

2mp-------------------------------------------

2

mπ ±2

– p⇒ 458= =


Antwoord: De eerste mogelijkheid in Feynmandiagrammen is:

De tweede mogelijkheid is via twee of drie-pion toestanden (maar dat is meer werk in Feynman dia-grammen). Bijvoorbeeld voor de twee-pion tussentoestand:

Het K0 en K0 zijn geen eigentoestanden van de CP operator.Vraag 2e: Geef de lineaire combinaties van de toestanden van het K0 en K0, die eigentoestanden zijnvan de CP operator. Noem deze toestanden KS en KL.Antwoord:

Vraag 2f: Het neutrale Kaon kan in twee of drie pionen vervallen. Wat zijn de CP eigentoestandenvan een twee-pion en drie-pion toestand waarbij er geen draaiimpulsmoment tussen de pionen is ?Naar hoeveel pionen kunnen het KS en KL vervallen ?Antwoord: De twee pion toestand is CP even (+1) en de drie-pion toestand is CP oneven (-1). Dusde KS vervalt naar twee pionen en de KL vervalt naar drie pionen.

Het verval van een neutraal Kaon in drie pionen gaat veel langzamer dan het verval in twee pionen,omdat de massa van drie pionen bijna gelijk is aan de massa van het neutrale Kaon.Vraag 2g: Teken, uitgaande van een pure K0 bundel op t=0, de fractie KS en KL in de bundel als func-tie van de tijd.

s

d s

d

u,c,tu,c,t

W-

W+

s

d s

d

u,c,tu,c,t

W-

W+

W-

W+

π –

π+

KS1

2------- K

0K

0+( )= KL

1

2------- K

0K

0–( )=


Antwoord:

CP schending is vastgesteld doordat ook de KL af en toe in twee pionen vervalt. De toestanden KS enKL zijn dus ook niet precies eigentoestanden van CP.Vraag 2h: Schrijf de exacte CP eigentoestanden, K1 en K2, op in termen van een lineaire combinatievan KS en KL, als de CP schending (de fractie KL die naar twee pionen vervalt) is.Antwoord:

Deze vorm van CP schending wordt CP schending door mixing genoemd. Er is ook een vorm die di-recte CP schending wordt genoemd.Laten we een toestand van twee pionen beschouwen met totale electrische lading 0.Vraag 2i: Wat is de (sterke) isospin van het pion en wat zijn de projecties op de derde component,

, voor het , en , respectievelijk ?

Antwoord: Het pion heeft isospin 1 en de projecties zijn -1 voor , 0 voor en +1 voor .

Vraag 2j: Welke mogelijkheden zijn er voor en in de combinatie van twee mesonen ? En in

de combinatie van een en een ? Geef de Clebsch-Gordon coëfficiënten voor de verschillende

combinaties.

Let op: de combinatie is niet mogelijk. Dit komt omdat de toestand met twee geladen

pionen moet worden gesymmetriseerd ( )

Antwoord: Voor combineert 1,0 met 1,0 tot (1x1 Clebsch-Gordon tabel) 2,0 (2/3) en 0,0 (-1/

3) (en dan natuurlijk de wortels van de coefficienten.) Voor de geladen pionen combineert 1,1 met 1,-

1 tot 2,0 en 0,0 en wel even vaak door de bose symmetrisering. In het geladen pion geval geeft de

Clebsch Gordon tabel ook 1,0 als mogelijkheid maar die is uitgesloten (zie “ Let op” ).

tijd

1

0

fractie

0.5

KS

KL

ε

K11

1 ε2+

------------------ KS εKL+( )= K21

1 ε2+

------------------ εKS KL+( )=

I

I3 π+ π0 π –

π – π0 π+

I I3 π0

π+ π –

I 1 I3, 0= =

φ| ⟩ 1

2------- π+ π –,| ⟩ π – π+,| ⟩+( )=

π0


De en amplitudes voor het K0 verval noemen we

Verder nemen we even aan dat , en we schakelen CP schending door mixing dus uit.Voor het verval van de KL geldt dan:

Omdat het hier amplitudes betreft kunnen we een willekeurige fasedraaiing maken (dat verandert ni-ets aan de observabelen, die allen reëel moeten zijn.) We kunnen de fase zo kiezen dat het imaginairestuk van of verdwijnt, maar in het algemeen kunnen we de fase niet zo kiezen dat beide am-plitudes tegelijkertijd reëel worden. Als beide amplitudes dus niet nul zijn en verschillende fases heb-ben, is er een verval van het KL in twee pionen, zelfs als het KL een zuivere CP eigentoestand is.Deze directe CP schendende component wordt uitgedrukt in met de complexe fase van de betreffende amplitude.

Doordat de amplitude voor de eindtoestand een andere bijdrage geeft voor de eindtoestand mettwee neutrale pionen dan die met twee geladen pionen kan door de vertakkingsverhoudingen (Br) vande neutrale en geladen pion eindtoestanden te vergelijken worden gemeten met:

waarbij de crux voor het experiment hem natuurlijk zit in het wegvallen van veel systematischeonzekerheden, omdat er alleen verhoudingen van telsnelheden worden beschouwd.Vraag 2k: Waarom geeft de eindtoestand een andere bijdrage aan de vervalsamplitude voorhet verval in twee neutrale pionen in vergelijking met het verval in twee geladen pionen ?Antwoord: Door de verschillende Clebsch-Gordon coefficienten. Voor de geladen pion eindtoestandzijn de I=2 en I=0 even waarschijnlijk terwijl voor de neutrale pion eindtoestand ze verschillend zijnmet verhouding 2:1.

Op bovenstaande manier is een gemiddelde van gemeten door het kTeVen het NA48 experiment. Deze waarde verschilt duidelijk van nul en dus is directe CP schending ex-perimenteel aangetoond.

I 2= I 0=

A2 Ampl K0 π+π –

I 2=( )→( )=

A0 Ampl K0 π+π –

I 0=( )→( )=

ε 0=

Ampl KL π+π –→( ) 1

2------- A0 A2+( ) A0 A2+( )∗–( ) 1

2------- 2i ImA0 ImA2+( )( )= =

A0 A2

ε'1

2-------

ImA2

A0-------------e

i δ2 δ0–( )–=

δ

I 2=

ε’

1 6Reε'ε---

–Br KL π0π0→( ) Br KL π+π –→( )⁄

Br KS π0π0→( ) Br KS π+π0 –→( )⁄---------------------------------------------------------------------------------------=

I 2=

ε' ε⁄ 21.2 2.8±( ) 104–×=


Opgave 3:

Het Standaard Model van de elementaire deeltjes fysica wordt gegeven door de symmetriegroep.

Vraag 3a: Geef aan met welke interactie elk van de drie sub-groepen correspondeert en geef het bi-jbehorende quantumgetal.Antwoord: U(1) is de electromagnetische interactie, de uitwisseling van fotonen en het quantumgetalis electrische lading. SU(2) is de zwakke interactie, de uitwisseling van Z en W bosonen en het quan-tumgetal is zwakke isospin. SU(3) is de sterke wisselwerking of QCD, de uitwisseling van gluonen enhet quantumgetal is kleurlading.

De symmetriegroep werkt op de fundamentele fermionen, de leptonen en de quarks.Vraag 3b: Hoe werkt de SU(3) groep op leptonen ?Antwoord: Niet, of in andere woorden: de leptonen zijn SU(3) singlets.

Vraag 3c: Hoe werkt de SU(2) groep op de leptonen ? Geef dit exact aan voor één familie (bi-jvoorbeeld die waar het electron in zit).Antwoord: De leptonen vormen linkshandige doublets, bijv ( ,e)L en rechtshandige singlets bijv eR.Links- en rechtshandig zijn de twee chirale eigentoestanden van het fermion. De SU(2) group werktop de doublets als een matrices:

De eerste matrix correspondeert met de Z en de tweede en derde met W+ en W-.

Zowel SU(2) als SU(3) zijn voorbeelden van asymptotisch vrije theoriën. Dit houdt in dat de kop-pelingsconstante bij toenemende energie steeds kleiner wordt. De U(1) groep daarintegen heeft eenkoppelingsconstante die groter wordt als de energie toeneemt. De afhankelijkheid van de koppeling-sconstante van de energie is het gevolg van hogere orde correcties in de storings-theorie die we ge-bruiken.Vraag 3d: Geef een fysisch argument waarom de effectieve electrische lading van een electron toe-neemt als we bij hogere energie (kleinere afstandschaal) kijken.Antwoord: Het electron straalt voortdurend virtuele fotonen uit die op hun beurt weer in electron-positron paren splitsen. Deze virtuele electron-positron paren polaiseren de ruimte en schermen deelectrische lading van het electron af, waardoor op grotere afstand (kleinere energie) de electrischelading afneemt. Omgekeerd neemt dus op kleinere afstand (grotere energie) de electrische lading toeen dus neemt de koppelingsconstante bij kleinere afstand/grotere energie toe.

Vraag 3e: Geef een fysisch argument waarom de effectieve kleurlading van een quark afneemt als webij hogere energie (kleinere afstandschaal) kijken.Antwoord: Bij quarks is er een gelijk mechanisme als bij electronen (maar dan met gluonen ipv fo-tonen). Er is echter ook het effect dat de gluonen zelf een kleurlading hebben en dat op kleinere af-standen (hogere energie) een gedeelte van de kleurlading buiten het beschouwde volume ligt en dusniet meer wordt waargenomen. Dit maakt dat de effectieve lading en dus de effectieve koppelingscon-stante kleiner wordt bij kleinere afstanden (grotere energie). Het tweede effect domineert voor QCDover het eerste en in totaal wordt de koppelingsconstante dus kleiner bij kleiner afstanden (grotereenergieen).

U 1( ) SU 2( ) SU 3( )⊗⊗

υ

1 0

0 1–

0 1

0 0

0 0

1 0


Het afnemen van de koppelingsconstante is vooral goed te zien in QCD. De QCD koppelingscon-stante is in electron-positron verstrooiing by vele verschillende energieën gemeten. Een van demanieren om dat te doen is het meten van de verhouding van het aantal drie jet gevallen en het aantaltwee jet gevallen.Vraag 3f: Leg uit wat een “ jet” is.Antwoord: Een “ jet” is een gecollimeerde stroom deeltjes in een bepaalde richting die ontstaatdoordat een quark die die richting uit gaat niet los kan bestaan en in het sterke wisselwerkingsveldhadroniseert, dwz. een stroom hadronen vormt.

We identificeren een jet met een quark of gluon en we meten dus eigenlijk de verhouding van gevallenmet twee quarks en de gevallen met twee quarks en een gluon.Vraag 3g: Teken alle mogelijke de Feynmandiagrammen in laagste orde storingstheorie voor de re-acties en .Antwoord:

Het eerste diagram is voor qq het tweede en derde zijn de twee mogelijkheden voor qqg.

Vraag 3h: Waarom kunnen drie jet gevallen niet veroorzaakt zijn door gevallen met drie quarls in deeindtoestand ?Antwoord: De quarks kunnen alleen in paren van quark en anti-quark worden gemaakt.

Vraag 3i: Leg uit dat de verhouding van drie- en twee-jet gevallen evenredig is met de sterke kop-pelingsconstante.Antwoord: Zie diagrammen van vraag 3g. Het gluon koppelt aan het (anti-)quark met de sterke ko-ppelingsconstante, verder zijn de diagrammen min of meer hetzelfde, behalve voor de twee of drie-deeltjes faseruimte van de eindtoestand, maar dat is kinematica die goed is te berekenen.

Toch is deze verhouding van drie- en twee-jet gevallen niet de meest nauwkeurige meting van desterke koppelingsconstante, omdat de evenredigheidsconstante tussen deze verhouding en de sterkekoppelingsconstante niet zo nauwkeurig is uit te rekenen ten gevolge van hogere orde correcties.Vraag 3j: Teken een Feynmandiagram van een hogere orde correctie die wel in drie-jet gevallen be-staat, maar niet in twee-jet gevallen.Antwoord: Een gluon uitwisseling tussen het gluon in de eindtoestand en een van de quarks in de

eindtoestand.

αs

e+e

–qq→ e

+e

–qqg→


Een ander probleem met deze meting is de definitie van een jet. Als het gluon in een drie-jet geval eenkleine hoek maakt met een van de quarks, of de energie van het gluon klein is, kan een drie-jet gevalmakkelijk worden aangezien voor een twee-jet geval.Vraag 3k: Laat zien dat het gluon in drie-jet gevallen juist een voorkeur heeft om een kleine hoek temaken met een van de quarks èn het gluon bij voorkeur een lage energie heeft.(Gebruik het feit dat het quark tussen de vertex van productiepunt en de vertex van de gluon afstralingeen fermion-propagator is, die zowel op de massaschil ( ) als van de massa-schil ( )kan zijn.)Antwoord: het quark tussen de quark-anti-quark vertex en de quark-gluon vertex is een propagatoren geeft aan de amplitude een bijdrage:

We nemen het quark voor het gemak massaloos en met energie E voordat het gluon is afgestraald.Het afgestraalde gluon geven we energie E’ . Als we de z-richting in de impulsrichting van het quarkkiezen voordat het gluon is afgestraald dan kunnen we de vierimpuls van het quark en gluon in deeindtoestand schrijven als:

De invariante massa van het quark in de propagator is dus:

de onderdrukking door de propagator is minimaal als , en voor vast kan dat dus wordenbereikt voor zo klein mogelijk te maken of zo klein mogelijk te maken, en dus een zo kleinmogelijke hoek.

p2

m2

= p2

m2≠

i γµpµ m+( )

p2

m2

–-----------------------------

E E’–

0

E'– θsin

E E' θcos–

E'

0

E' θsin

E' θcos

p2

E E’–( )2E' θsin( )2

E E' θcos–( )2–– 2EE' 1 θcos–( )–= =

p2

0= EE’ 1 θcos–


APPENDIX F Oefententamen TUE

Tentamen keuzecollege Inleiding Elementaire Deeltjes, TUE, 21 juni 1999, 14:00-17:00.

Dit tentamen bestaat uit drie vragen. Iedere vraag weegt even zwaar in het eindcijfer. Binnen iederevraag weegt elke deelvraag even zwaar.Maak alle opgaven op een apart vel en voorzie elk vel van uw naam en collegekaartnummer.Leesbaar schrijven helpt de stemming van de examinator positief te beïnvloeden.

Opgave 1:

Vraag 1a: Schrijf alle elementaire femionen van het Standaard Model op en geef aan welke wissel-werking ze hebben en tot welke familie ze behoren. Geef voor elk fermion aan welke lading het voorwelke interactie kan hebben of heeft. (Vergeet niet dit te doen voor alle wisselwerkingen, dus bijv.óók voor de zwakk wisselwerking.)

Vraag 1b: Schrijf alle ijkbosonen van het Standaard Model op en geef aan welke kracht ze overbren-gen.

Vraag 1c: Als het goed is zijn in de antwoorden van vraag 1a en 1b alle fundamentele deeltjes opge-schreven op één na. Schrijf ook die éne op en geef de functie ervan in het Standaard Model aan.

Vraag 1d: Welke deeltjes van het Standaard Model zijn experimenteel ontdekt en welke niet ?

Antwoord: De antwoorden voor opgave 1 worden niet gegeven, omdat die dit jaar weer hetzelfde zalzijn.

Opgave 2:

Het feit dat hadronen zijn opgebouwd uit quarks kan op twee verschillende manieren worden gemo-tiveerd: door middel van het statisch (spectroscopisch) quark model, dat het spectrum van verschil-lende hadronen verklaart, en door middel van diep inelastische verstrooiing van leptonen aanhadronen.Vraag 2a: Geef in het statisch quark model aan hoe een meson is opgebouwd en hoe een baryon isopgebouwd.Antwoord: Een meson bestaat uit een quark en een anti-quark, een baryon bestaat uit drie quarks.

Vraag 2b: Waarom is in het statisch quark model het quantumgetal kleur nodig en waarom is eenquantumgetal (kleur) met drie waarden de minimale vereiste ?Antwoord: Er komen baryonen voor die in het spectroscopisch model bestaan uit drie dezelfdequarks met dezelfde spin, zoals de en . Quarks zijn fermionen, waarvoor het Pauli uitsluit-ingsprincipe geldt. De drie quarks in deze baryonen kunnen dus niet in dezelfde (grond)toestand zit-ten. Deze grondtoestand is dus ontaard en er is een quantumgetal dat de energie niet beïnvloed, maar

∆++ ∆ –


dat verschillend is voor de drie quarks. Om alle drie de quarks te onderscheiden heeft dit quantumg-etal ten minste drie verschillende waarden nodig.

Vraag 2c: In het statisch quark model is het onmogelijk mesonen te hebben met een lading van meerdan één electron of positron lading. Waarom is dat zo ? Wat is voor baryonen de grootste mogelijkeelectrische lading ?Antwoord: De ladingen van quarks en anti-quarks zijn en van de positron (electron)lading. Omdat een meson bestaat uit een anti-quark en een quark zijn alleen de de ladingscombinaties

, en mogelijk.

Voor een baryon is de grootst mogelijke electrische lading (positief) als drie quarks wordengecombineerd. Het baryon is daar een voorbeeld van.

In de jaren zeventig en tachtig zijn een aantal diep inelastische verstrooiings experimenten gedaanwaarbij neutrinobundels op vaste blokken “doel”materiaal werden geschoten. Op CERN werden (enworden) neutrinobundels gemaakt door 450 GeV protonen op een doel te schieten, waarbij in hadro-nische interacties pionen worden gemaakt. In een vervalstunnel laat men de pionen vervallen in muo-nen en neutrino’s. Door positieve of negatieve pionen te selecteren bij het ingaan van de vervalstunnelkan een neutrino of anti-neutrino bundel worden gemaakt.Vraag 2d: Hoe kan men alleen positieve pionen selecteren ?Antwoord: Door een magnetisch of electrisch veld aan te leggen of een combinatie daarvan, waarinpositieve deeltjes een andere baan volgen dan negatieve deeltjes. De negatieve pionen worden danuit de bundel gebogen, terwijl de positieve pionen het bundelpad volgen.

Een pion vervalt in een muon en een muon-neutrino (verder niets).Vraag 2e: Wat is de lading van het muon waarin een positief pion vervalt ? Wordt in positief pionverval een muon-neutrino of een anti-muon-neutrino gemaakt ?Antwoord: De lading van pion en muon zijn hetzelfde (want het neutrino is neutraal). Het positiefmuon wordt door een anti-neutrino vergezeld en het negatief muon door een neutrino. ,

.

Het focusseren van een neutrino kan worden gedaan door de pionen goed te focusseren voordat zevervallen. Dit wordt gedaan met een gemagnetiseerd blok materiaal, waarin het magneetveld een sterkfocuserende werking heeft, de zogenaamde “hoorn van Van de Meer” . (Simon van der Meer was eenversnellerfysicus op CERN die voor een van zijn andere uitvindingen (stochastische koeling van anti-protonen) de Nobelprijs heeft gekregen.)Doordat het pion een grote impuls heeft en het neutrino in het rustsysteem van het pion een kleineimpuls gaat het neutrino vrijwel in dezelfde richting als het oorsponkelijke pion.

Door neutrino’s diep inelastisch aan protonen en neutronen in atoomkernen te verstrooien kan infor-matie worden verkregen over de verschillende quark verdelingen. Dit wordt gedaan door naar geladenstroom gebeurtenissen te kijken, waarbij een W boson wordt uitgewisseld.Vraag 2f: Leg uit dat als een inkomend neutrino verandert in een uitgaand muon alleen aan bepaaldequarksoorten wordt verstrooid. Aan welke quarks kan verstrooiing plaatsvinden ?Antwoord: Een muon-neutrino veranderd in een muon uitsluitend door aan een W boson te koppelen.Als we het W boson zien als uitgaand van de neutrino-muon vertex dan veranderd het neutrino in eennegatief geladen muon en vertrekt een positief geladen W boson uit de vertex. Het positief geladen Wboson kan alleen inkomen in een vertex, waarin een negatief quark inkomt en waar een positief ge-

2± 3⁄ 1+− 3⁄

2± 3⁄ 1+− 3⁄– 2± 3⁄ 1± 3⁄+ 2 3⁄ 1 3⁄+( )± 1±= = = 2± 3⁄ 2± 3⁄– 2 3⁄ 2 3⁄–( )± 0= =1± 3⁄ 1± 3⁄– 1 3⁄ 1 3⁄–( )± 0= =

2± 3⁄∆++

π+ µ+νµ→π – µ – νµ→


laden quark uitkomt. Dit kan alleen als aan een d, s of b quark in de begin toestand wordt verstrooid,waarbij er een u, c of t quark in de eindtoestand komt. Voor een anti-neutrino gaat het verhaal net zo,maar nu is er een positief geladen muon in de eindtoestand en wordt er een positief geladen W bosonin de lepton vertex uitgezonden. In dat geval kan alleen aan positief geladen quarks worden ver-strooid, dus aan u, c en t quarks, waarbij d, s of b quarks in de eindtoestand worden gemaakt.

Vraag 2g: Leg uit wat de meerwaarde is als het experiment met zowel een neutrino als een anti-neutrino bundel kan worden gedaan.Antwoord: Door een neutrino of anti-neutrino te nemen in de begintoestand van de botsing en naargeladen stromen te kijken, kunnen up of down type quarks afzonderlijk worden geselecteerd en kandus zowel de quarkverdelingsfunctie voor u als voor d quarks afzonderlijk worden gemeten.

Als je vraag 2h t/m 2j niet meteen kan beantwoorden ga dan eerste verder met vraag 3 en probeerdeze vragen nog eens in eventueel resterende tijd na vraag 3.

Met deze combinaties is het nog niet mogelijk om ook de distributie van strange quarks te meten. Omdit probleem aan te pakken kan men kijken naar de productie van charm quarks.Vraag 2h: Hoe kunnen we specifiek de verdeling van strange quarks meten door charm quarks te de-tecteren ? Teken een relevant Feynmandiagram.Antwoord: Een neutrino kan in een geladen stroom interactie met een strange quark wisselwerken,waarbij het strange quark in een charm quark veranderd. Het relevante Feynmandiagram is:

De crux zit hem natuurlijk in het identificeren van charm quarks. De standaard methode is om naargevallen te kijken met twee muonen in de eindtoestand. Het ene muon ontstaat doordat een neutrinoeen geladen stroom interactie (uitwisseling van een W) heeft en daardoor in een muon verandert. Hetandere muon ontstaat doordat in ongeveer tien procent van de gevallen een charm quark vervalt in eenmuon, neutrino en strange quark.Vraag 2i: Wat is het relatieve teken van de electrische lading van de twee muonen in de eindtoestand? (Geef een motivatie.)Antwoord: Het ene muon komt van de inkomend neutrino vertex met het W boson dat wordt uitgewis-seld. Een neutrino veranderd dan in een negatief geladen muon. Aan de andere vertex van de W ver-anderd een strange quark in een charm quark. Het charm quark vervalt in een strange quark en we-gens ladingsbehoud in een positief geladen muon en vervolgens wegens behoud van lepton getal ineen neutrino. De twee muonen hebben dus tegengestelde electrische lading.

Vraag 2j: Leg uit waarom je verwacht dat het ene muon duidelijk energetischer is dan het andere.Antwoord: Het muon dat koppelt aan het inkomend neutrino zal energetischer zijn dan het muon vanhet charm quark verval. Dit moet zo zijn, omdat normaal gesproken maar een deel van de energie vanhet inkomend neutrino in het W boson overgaat en het andere deel in het muon. Het W boson geeft alzijn (haar ?) energie af aan het inkomend strange quark dat in een charm quark veranderd. Het charm

proton

neutrino

Wcs

muon


quark vervalt in drie deeltjes, waarvan een het muon van het charm verval is, dat dus maar een derdeof zo van de energie van het verval meeneemt.

Het muon van het charm quark verval is nu te onderscheiden van het andere muon door zijn ladingen door zijn impuls en zo herkennen we het charm quark.


Opgave 3:

Bij de LEP electron-positron botser zoals die nu draait worden electronen en positronen ieder met eenenergie van 100 GeV frontaal op elkaar gebotst.Vraag 3a: Wat is de invariante massa van zo’n botsing ? (De electron en positron massa mogen gerustworden verwaarloosd.)Antwoord: De invariante mass is:

Het blijkt dat ondanks deze hoge invariante massa er nog vaak een resonant Z boson wordt gemaakt.Dit betekent dat de invariante massa van het Z boson gelijk is aan zijn rustmassa. De rustmassa vanhet Z boson is 91.2 GeV. Deze toestand wordt bereikt doordat het electron of positron (of beiden,maar dat geval beschouwen we hier niet) een foton afstraalt voordat het met de andere bundel botst.De energie van het afgestraalde foton wordt zo geregeld dat nadat het foton is afgestraald van een vande inkomende deeltjes, de electron-positron invariante massa precies de Z massa is.

Vraag 3b: Schrijf in viervector notatie de energie en impuls van het inkomende electron en positronop. Kies de bewegingsrichting langs de z-as, het electron in de positieve richting en het positron in denegatieve richting.Antwoord: Het electron:

Het positron:

We kunnen nu denken dat in de eindtoestand van de electron-positron botsing alleen een foton en eenZ boson zitten. Neem aan dat het foton van het electron afgestraald wordt en in de positieve z-richtinggaat, zodat we de viervector van het foton kunnen schrijven als:

s

100

0

0

100

100

0

0

100–

+

2

2002

200 GeV= = =

100

0

0

100

GeV

100

0

0

100–

GeV

E

0

0

E


Vraag 3c: Schrijf in viervector notatie de wet van behoud van energie en impuls op voor het electron-positron paar in de begintoestand (aan de ene kant van het = teken) en het foton en de Z in de eind-toestand (aan de andere kant van het = teken). Noem de absolute waarde van de impuls van het Zboson . Wat moet dus de impuls, , van het Z boson zijn ? Reken de energie van het foton uitdoor de wet van behoud van energie te gebruiken en het feit dat de Z boson impuls uit de wet vanbehoud van impuls volgt.Antwoord: De wet van behoud van energie en impuls geeft:

Dus er moet wegens behoud van imuls in de z-richting gelden: .Dus geldt wegens behoud van energie: , waaruit is op te lossen:

We hebben nu een speciale richting voor het foton aangenomen.Vraag 3d: Heeft de richting die het foton gaat invloed op de energie die het moet hebben om een Zboson te maken met invariante massa gelijk aan zijn rustmassa ?Antwoord: Nee. De berekening kan worden herhaald door een andere richting voor het foton aan tenemen:

Het Z boson moet dan in tegegestelde richting gaan en na uitwerking wordt hetzelfde antwoord ver-kregen.

Het blijkt dat de fotonen die zo worden gemaakt vrijwel altijd in de richting van de bundel gaan waarze vanaf stralen. Als we de foton viervector meer algemeen definieren als:

waarin de hoek is die het foton maakt met de bundel waar het vanaf straalt kunnen we zien waarom.Vraag 3e: Reken de viervector van het electron uit dat het foton afstraalt voor deze meer algemenevorm. Reken ook de invariante massa van het electron uit met deze viervector. Is dit de rustmassa vanhet electron ?

pZ pZ

100

0

0

100

100

0

0

100–

+

200

0

0

0

MZ2

pz2

+

0

0

pZ

E

0

0

E

+

MZ2

pZ2

+ E+

0

0

pZ E+

= = =

pZ E–=MZ

2pZ

2+ pZ+ 200 GeV= pZ

pZ 79.2 GeV=

E

0

E θsin

E θcos

E

0

E θsin

E θcos

θ


Antwoord: Voor de viervector van het electron na het foton te hebben uitgezonden geldt dat het gelijkis aan het verschil van de viervector van het inkomend electron en het uitgezonden foton. Dus:

De invariante massa in het kwadraat is dus:

Het Feynmandiagram voor deze interactie is:

tussen het foton en de Z vertex is het electron dus een propagator die van de ene naar de andere vertexgaat.Vraag 3f: Zoek de uitdrukking voor een fermion propagator op in het formuleblad en gebruik die uit-drukking om te beredeneren waarom de werkzame doorsnede kleiner wordt als de hoek van het fotonmet het inkomend electron groter wordt. Kwantificeer de relatieve werkzame doorsnede als functievan de hoek .Antwoord: De fermionpropagator wordt gegeven door:

De invariante massa in het kwadraat van het electron na uitzending van het foton is. De massa van het electron is bijna nul en bovendien is het teken van zo dat de

noemer in absolute waarde alleen maar toeneemt. Dus hoe kleiner , hoe kleiner de propagatoren dus hoe kleiner de werkzame doorsnede.

Het Z boson vervalt in fermion paren.Vraag 3g: In welke fermion paren kan een Z boson met als invariante massa zijn eigen massa verval-len ?Antwoord: In alle fermionparen,waarbij twee maal de fermion massa kleiner is dan deZ boson mas-sa.Dus in de quarks u, d, s, c, b; en in alle leptonen electron, muon, tau en hun bijbehorende neutrino’s.

Vraag 3h: Neem aan dat alle fermionen waarin het Z boson vervalt een massa hebben die verwaar-loosbaar is in de berekening van de werkzame doorsnede. Neem verder aan dat de bijdrage van devector en axiale koppelingen aan de werkzame doorsnede (de termen evenredig met en re-spectievelijk) even groot zijn en dat mengtermen tussen vector en axiale koppeling, die ontstaan door-

p’eµ

100

0

0

100

E

0

E θsin

E θcos

–

100 E–

0

E θsin–

100 E θsin–

= =

p’2

100 E–( )2E– θsin( )2

– 100 E θcos–( )2 –

1002

200E– E2

E2

– θsin2

1002

– 200E θcos E2 θcos

2 –++

200– E 1 θcos–( )

===

e-

Z0

e+

γ

θ

i γµpµ m+( )

p2

m2

–-----------------------------

200– E 1 θcos–( ) p2

θcos

γµ γ5γµ


dat de overgangsamplitude in het kwadraat moet worden genomen, nul zijn. Gebruik devertexfactoren op het formuleblad om de relatieve vertakkingsverhoudingen van het Z in een fermion-anti-fermion paar te geven voor alle mogelijke fermion-anti-fermion paren waarin het Z kan verval-len.Antwoord: De vector en axiale koppelingsconstanten zijn: Cv Ca u, c quarks d, s, b quarks geladen leptonen neutrino’s Voor de totale koppelingssterkte in de werkzame doorsnede nemen we de som van de kwadraten vande axiale en vectorkoppelingen (er is geen mengterm, omdat termen evenredig met uitmiddelenin de totale werkzame doorsnede.) Verder nemen we als waarde van de zwakke mixingshoek:

(zie formuleblad).dus de verhoudingen zijn u:d:geladen lepton:neutrino=0.29:0.37:0.25:0.5De quarks hebben nog een factor drie omdat drie verschillende kleuren kunnen worden gemaakt. Detotale som van deze relatieve koppellingen in de werkzame doorsnede wordt dan 7.32. Degenormeerde vertakkingsverhoudingen hierop gebasseerd zijn dan:quarks:geladen leptonen:neutrino’s=69%:10%:21%.De gemeten vertakkingsverhoudingen zijn:quarks:geladen leptonen:neutrino’s=69.9%:10.1%:20.0%

1 2⁄ 2 2 3⁄⋅ θ2sin– 1 2⁄

1 2⁄– 2 1 3⁄⋅ θ2sin+ 1– 2⁄

1– 2⁄ 2 1⋅ θ2sin+ 1– 2⁄

1 2⁄ 1 2⁄

γ5

θ2sin 0.22=


Aaantal kleuren in QCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67aantal soorten quarks in QCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67ALEPH experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -116alfa s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65ALICE experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117, 120Altarelli-Parisi vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 68AMANDA experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120Anderson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12ANTARES experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120anti-deeltje - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12, 15, 25ATLAS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117, 120atoomkern - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51

BB veld - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39BaBar experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115baryon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54BELLE experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115bewegingsvergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4bi-lineaire covariant - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30bi-spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 24Bjorken - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73Bjorken en Drell conventie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23Bohr magneton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 32Boltzmann - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118Bose-Einstein condensatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121bottom quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 74bra - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5Breit-Wigner - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 45

CCabbibo, N. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76Cabbibohoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76Cabbibo-Kobayashi-Maskawa (CKM) matrix - - - - - - - - 76Callan-Gross relatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62Casimir - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30CDF experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 75, 116CERN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88CERN laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120CESR opslagring - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115charm quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 74chiraliteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38chiraliteitsoperator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38CHOOZ experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -119CHORUS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118, 120Christenson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86Clebsch-Gordan coefficienten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52CLEO experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -115CMS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117Compton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13Compton verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13confinement - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69constante van beweging - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5constante van Planck - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5contractie met gamma matrix, slash notatie - - - - - - - - - - 24contravariante tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3Cosmische muonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121

covariante afgeleide - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15, 39, 64covariante tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3CPT theorema - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89Cronin - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86

Dd’Alembert operator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14d’Alembertiaan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14D0 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 75, 116, 120decuplet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56deeltjesspectrum van het MSSM - - - - - - - - - - - - - - - - - 108deeltjesspectrum van het Standaard Model - - - - - - - - 1, 108DELPHI experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 116, 120Delta baryon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56DESY laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117, 120diep inelastische verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 57diepinelastische vormfactor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 58differentiele breedte - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7differentiele werkzame doorsnede - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9Dirac spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 24Dirac spinor veld - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 94Dirac vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11, 24Dirac, P.A.M. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23directe CP schending - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88down quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 51

EE228 experiment op Fermilab - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74Einstein sommatie conventie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3elastische botsing van harde bollen - - - - - - - - - - - - - - - - - 7electrische stroomdichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14electromagnetische koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - 18electromagnetische kracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2electromagnetische potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 70electromagnetische tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16, 94electromagnetische vectorpotentiaal - - - - - - - - - - - - - - - 94electron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 11electron lading - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18electron neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2electron-positron annihilatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 45electron-positron botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115electrozwakke kracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2electrozwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39electrozwakke wisselwerking van quarks - - - - - - - - - - - - 73Elementaire deeltjes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2Euler-Lagrange vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - 89, 93experimentele informatie over het MSSM - - - - - - - - - - 110

FFermi koppelings constante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 43Fermilab - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74fermion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 22fermion propagator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 28fermion quantumveldentheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 22Feynman diagrammen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 17Feynman-ijk - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 94Feynmanregels - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18, 28Feynmanregels voor electrozwakke vertices - - - - - - - - - - 42

INDEX


Feynmanregels voor geladen scalar deeltjes - - - - - - - - - - 18Feynmanregels voor spinoren - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 28fijnstructuurconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 18Fitch - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86flavour - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67flux - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8, 9, 19FOM Instituut Subatomaire Fysica - - - - - - - - - - - - - - - 120fotoelectrisch effect - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13foton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2foton massa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 97foton propagator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 28

Gg-2 van het electron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 33gamma matrices - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 22Gell-Mann matrices - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 63Gell-Mann, Murray - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54gereduceerde constante van Planck - - - - - - - - - - - - - - - - - 5GIM mechanisme - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73Glashow - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73gluon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64golffunctienormering - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 20gouden regel van Fermi - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -19, 20G-pariteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 83Grand Unification (GUT) Scale - - - - - - - - - - - - - - - - - 106Greenberg - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56

HH1 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71hadron botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 116hadronisatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69halfwaardetijd - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7Hamiltoniaan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5, 27harde bollen verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7heelalmodel - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90Heisenberg - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51Helium atoom - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51HERA versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71, 117, 120HERA-B experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120HERMES experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120hermitische conjungatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30het neutrale Kaon systeem - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 84hierarchieprobleem - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106Higgs boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 98, 116Higgs boson zoektocht bij het Tevatron - - - - - - - - - - - - 101Higgs boson zoektocht bij LEP - - - - - - - - - - - - - - - - - - 98Higgs doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 96Higgs potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 96Hoge Energiefysica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1homogene Maxwell vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - 94

Iijktransformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15Illioupoulos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73inhomogene Maxwell vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - 94Initial State Radiation - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 46interactieterm in de bewegingsvergelijking - - - - - - - - - - 16isospin doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51

JJ/psi - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74jets - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 69

KK long - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86K short - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86Kaon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 84

Kaon oscillatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 85Kaonbundel regeneratie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 85Katholieke Universiteit Nijmegen - - - - - - - - - - - - -115, 120KEK laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115ket - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5Klein-Gordon vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - 11, 14, 93kleur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56kleurfluxbuise - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41Kosmologie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90Kronecker symbool - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 27KTev experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88KUN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115

LL3 cosmics experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120L3 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -116, 120ladingsconjugatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 82Lagrangedichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 94Lagrangiaan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89, 93Lande factor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 32LEP - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 98LEP versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117, 120LEP1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 98LEP2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 99lepton doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38lepton sector samenvatting - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 48leptonen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2leptongetal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 37lepton-hadron botsers - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 117levensduur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7LHC versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117, 120LHCb experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -117, 120linkshandige chiraliteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38linkshandige doublets - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 95Lorentz invariante flux - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 19Lorentz transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3Lorentzcontractie factor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4Lorentzinvariante faseruimte (LIPS) - - - - - - - - - - - - - - - 20Lorentz-Poincare transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3Luminositeit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8Lund string model - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73

MM’oller verstrooiing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 29magnetisch moment van het electron - - - - - - - - - - - - - - - 32Maiani - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73Majorana fermion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107Majorana, E. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107Mandelstam variabelen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 31massa eigentoestanden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76massa van het tau lepton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 47massa van het W boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42massa van het Z boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42Maxwell vergelijkingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 17, 94meson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54metrische tensor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3Minimaal Supersymmetrisch Standaard Model (MSSM) - 108muon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 37muon kamer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120muon neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2muon verval - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42

NNA35 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88NA48 experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 88


Nationaal Instituut voor Kernfysica en Hoge EnergieFysica (NIKHEF) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120

Natuurlijke eenheden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5Natuurlijke eenheden, conversie van - - - - - - - - - - - - - - - - 6negatieve energie oplossing - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14, 25neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 37neutrino experimenten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118nevelkamer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12niet Abelse groep - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64NIKHEF - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120NOMAD experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118

Ooctet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 54onzekerheidsrelatie van Heisenberg - - - - - - - - - - - - - - - - 5OPAL experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 111, 116opgaven bij hoofdstuk 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10opgaven bij hoofdstuk 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 35opgaven bij hoofdstuk 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 49opgaven bij hoofdstuk 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 78opgaven bij hoofdstuk 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91opgaven bij hoofdstuk 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 104opgaven bij hoofdstuk 7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -113overgangsamplitude - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16, 17overgangswaarschijnlijkheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 19

Ppariteitsoperator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 81Particle Data Group - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 83parton dichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62Pauli - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89Pauli spin matrices - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23, 39Pauli, W. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 23pion - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52Pioncare transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107Planck - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13Planck schaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106positron - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 70propagator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 19, 28

QQCD analyse - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 121QCD koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 66QCD vertex koppelingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65quakr-gluon plasma - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -118Quantum Chromo Dynamica (QCD) - - - - - - - - - - - - - - - 65Quantum Electro Dynamica (QED) - - - - - - - - - - - - - 11, 14quantumgetal kleur - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 56quantumveldentheorie (QVT) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 57quark dichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62quarks - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2quarks en elecrozwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - 73

Rrechtshandige chiraliteit - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38rechtshandige singlets - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 95relativistische kinematica - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2renormaliseerbaarheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 105Richter, B. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74Rijksuniversiteit Utrecht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120ruimtehoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9running koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 66

SSakharov - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90

scalaire quantumveldentheorie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15scalar - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15schending van baryongetal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90schending van ladingsconjugatie en pariteit - - - - - - - - - - 84Schrodinger vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5, 14Schwinger - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89SI eenheden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6SLAC laboratorium - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115, 117slash notatie voor contractie met gamma matrix - - - - - - - 24SMC experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120SPEAR electron positron botser - - - - - - - - - - - - - - - - - - 47spin - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52spin middeling - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 29spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 24splitting functions - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 68spoor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30spoortheorema’s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 31Standaard Model - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1, 102Stefan - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118sterk doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51sterke kernkracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2sterke koppelingsconstante - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65, 66sterke wisselwerkingspotentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - 70stralingscorrectie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 46strange quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 54strings in QCD - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 73stroomdichtheid - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 14structuurconstanten - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 64structuurfunctie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 62SU(2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38SU(3) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 63SuperKamiokande experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - 119supersymmetrie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -105, 107

Ttau - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2tau lepton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 47tau neutrino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2Tevatron versneller - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 101, 116, 120Thomson, J.J. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 11tijdomkeeroperator - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 82tijdsonafhankelijke oplossing van de Klein-Gordon

vergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52Tings, S.C.C. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 74top quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 74, 116transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39truc van Casimir - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 30Turlay - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 86

UU(1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39U(1) transformatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15U(1)xSU(2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39, 95unitariteitsdriehoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 77Universiteit van Amsterdam - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120Universiteit van Nijmegen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 115up quark - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 51

Vvacuumverwachtingswaarde - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 96verstrooiing van geladen scalar deeltjes - - - - - - - - - - - - - 21vervalsbreedte - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6vier vector - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2vierimpuls - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3volledigheidsrelatie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 27vormfactor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 58vrije bewegingsvergelijking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16


Vrije Universiteit Amsterdam - - - - - - - - - - - - - - - - - - 120

WW boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2, 46, 121W veld - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39We - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 67Weinberg mixing hoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41werkzame doorsnede - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7wet van Gauss - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 15wet van Stefan-Boltzmann - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118Weyl spinor - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107Weyl, H. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 107Wolfenstein - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76Wolfenstein parametrisatie van de CKM matrix - - - - - - - 76

YYukawa potentiaal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 52

ZZ boson - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2, 45Z boson massa - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 97ZEUS experiment - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 71, 117, 120Zumino - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 89zwaartekracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 106zwak isospin doublet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 51zwakke eigentoestanden - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 76zwakke isospin - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 39zwakke kernkracht - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2zwakke mixinghoek - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41zwakke wisselwerking - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38zware ionen botsingen - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 118zwarte straling (Planck) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

Keuzecollege Inleiding Elementaire Deeltjes Technische ...filthaut/teach/hef/syllabus.pdf · Verder...

Documents

Transcript of Keuzecollege Inleiding Elementaire Deeltjes Technische ...filthaut/teach/hef/syllabus.pdf · Verder...