Kardinaalfuncties in de topologie

Azer Aras

8 juli 2016

Bachelorscriptie

Begeleiding: prof. dr. Jan van Mill

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde

Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

Samenvatting

Kardinaalfuncties zijn functies die aan topologische ruimten een kardinaalgetal toeken-nen, zoals de dichtheid, het karakter en het Lindelofgetal van een ruimte. Sinds de jaren’60 vind een systematische bestudering van kardinaalfuncties in de topologie plaats enzijn tal van verbanden tussen de kardinaalfuncties aangetoond. In deze scriptie wordenverschillende van deze verbanden bewezen, waaronder drie belangrijke resultaten die eenbovengrens geven op de kardinaliteit van Hausdorff-ruimten. Eerst wordt een resultaatvan De Groot bewezen dat een bovengrens geeft in termen van de erfelijke cellulariteitvan een ruimte. De stelling van Hajnal en Juhasz geeft vervolgens een bovengrens aande hand van het karakter en de cellulariteit. Tenslotte wordt een beroemd resultaatvan Arhangel’skiı bewezen dat een begrenzing van de kardinaliteit aan de hand van hetkarakter en het Lindelofgetal geeft, waarmee een open probleem van Aleksandrov enUrysohn wordt opgelost.

Titel: Kardinaalfuncties in de topologieAuteur: Azer Aras, 10399100Begeleiding: prof. dr. Jan van MillEinddatum: 8 juli 2016

Korteweg-de Vries Instituut voor WiskundeUniversiteit van AmsterdamScience Park 904, 1098 XH Amsterdamhttp://www.science.uva.nl/math

2

Inhoudsopgave

Inleiding 4

1 Kardinalen, ordinalen en transfiniete inductie 61.1 Kardinaalgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Ordinaalgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Transfiniete inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Kardinaalfuncties in de topologie 112.1 Scheidingsaxioma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Enkele kardinaalfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Verbanden tussen de kardinaalfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 De Stelling van De Groot 19

4 De Stelling van Hajnal-Juhasz 23

5 De Stelling van Arhangel’skiı 26

Nawoord 30

Populaire samenvatting 31

Bronverwijzing per stelling 33

Bibliografie 34

3

Inleiding

Georg Cantor

Eind 19e en begin 20e eeuw onderging de wiskunde grote ver-anderingen. Dit was voor een belangrijk deel te wijten aan deopkomst van de verzamelingenleer, die ontstond uit het werk vanGeorg Cantor. De verzamelingenleer heeft de moderne wiskundegesystematiseerd. Vrijwel ieder wiskundig concept, methode enresultaat kan in termen van de axiomatische verzamelingenleerbeschreven worden. De beroemde wiskundige David Hilbertnoemde het “die wiskundige discipline, die een voortreffelijke rolin onze wetenschap aanneemt, en zijn geweldige invloed op allegebieden van de wiskunde uitstraalt”[6].

Aan de basis van de verzamelingenleer staat het begrip kar-dinaliteit. Dit begrip generaliseert het idee van de ‘grootte’ vaneen verzameling naar oneindige verzamelingen. Cantor introdu-ceerde de bijectie als methode om deze grootte van oneindigeverzamelingen te meten. Om deze oneindigheden te representeren bedacht hij de trans-finiete getallen; de kardinalen en de ordinalen.

Een van de uitvloeisels van de verzamelingenleer is de algemene topologie. Topologieis de tak van de wiskunde die de eigenschappen van ruimtes bestudeert die behoudenblijven onder continue vervormingen. Vandaag de dag is het een rijk vakgebied dat mettakken in de analyse, algebra en meetkunde essentieel is voor de rest van de wiskunde.Ook de studie van abstracte topologische ruimten in interactie met verzamelingenleer iseen belangrijk deelgebied van de topologie, waarin de afgelopen decennia grote vorde-ringen zijn gemaakt [5]. Veel van deze vorderingen hebben te maken met het conceptkardinaalfuncties.

Kardinaalfuncties zijn functies die aan topologische ruimten kardinaalgetallen toeken-nen. Belangrijke topologische begrippen als aftelbare basis, separabel en compact wordendoor kardinaalfuncties gegeneraliseerd naar hogere kardinaliteiten [3]. Voorbeelden zijnde dichtheid van een topologische ruimte, gedefinieerd als de minimale kardinaliteit vaneen dichte deelverzameling, en het gewicht van de ruimte, de minimale kardinaliteit vaneen basis. Kardinaalfuncties maken het mogelijk om op een systematische en elegantemanier uitspraken over ondere andere de kardinaliteit van topologische ruimten te for-muleren, generalizeren en bewijzen. Ook maken ze exacte kwantitatieve vergelijkingentussen verschillende topologische eigenschappen mogelijk. Hierdoor vervullen de kardi-naalfuncties een belangrijke rol in de verzamelingstheoretische topologie. Hun belangwordt door de topoloog Hodel als volgt omschreven: “experience indicates that the ideaof a cardinal function is one of the most useful and important unifying concepts in allof set-theoretic topology.” [3]

4

Johannes de Groot

De systematische bestudering van kardinaalfuncties begon in dejaren ’60 van de vorige eeuw. Amsterdam was een van de be-langrijkste broedplaatsen van dit vakgebied, met name door debijdragen van professor Johannes de Groot. In 1965 verscheenzijn artikel Discrete subspaces of Hausdorff spaces waarin hijnieuwe kardinaalfuncties introduceerde en hiermee onder andereeen verband vond tussen de kardinaliteit en het aantal discretedeelverzamelingen van een reguliere ruimte.

Het artikel van De Groot werd onder andere met veel interessegelezen door de Hongaarse wiskundigen Istvan Juhasz en AndrasHajnal. Zij begonnen een correspondentie met De Groot en wer-den door hem uitgenodigd in Amsterdam. In de daaropvolgendejaren publiceerden zij twee artikelen waarin zij zijn werk aan-zienlijk uitbreidden. Ze bewezen onder andere drie fundamen-tele ongelijkheden die een bovengrens geven op de kardinaliteitvan bepaalde topologische ruimten.

Een andere, en wellicht de belangrijkste ongelijkheid in de theorie van kardinaalfunc-ties werd in 1969 bewezen door de Russische wiskundige Alexander Arhangelskiı. Zijnstelling geeft een bovengrens op de kardinaliteit van Hausdorff-ruimten in termen vanhun karakter en Lindelofgetal. In de daaropvolgende decennia zijn vele variaties en ge-neralisaties van deze stelling verschenen.

Het werk van bovenstaande wiskundigen staat centraal in deze scriptie, maar is slechtseen kleine selectie uit het grote vakgebied dat kardinaalfuncties in de topologie inmiddelsis. Het boek [2] van Juhasz is bijvoorbeeld volledig gewijd aan kardinaalfuncties in detopologie, en artikelen in dit vakgebied verschijnen tot op vandaag de dag.

Deze scriptie begint met een overzicht van de belangrijkste eigenschappen van kardinaal-en ordinaalgetallen en een korte introductie van scheidingsaxioma’s. Vervolgens wordende belangrijkste kardinaalfuncties beschreven en worden enkele verbanden tussen dezefuncties aangetoond, waaronder de stelling van Cech-Pospisil. In de daaropvolgendehoofdstukken staan drie grote stellingen centraal die ieder een bovengrens geven op dekardinaliteit van Hausdorff-ruimtes. In hoofdstuk 3 wordt een resultaat van De Grootuit 1965 bewezen. Hoofdstuk 4 behandelt een van de resultaten van Hajnal en Juhaszuit 1967. Tot slot wordt in hoofdstuk 5 de beroemde stelling van Arhangel’skiı bewezen.In het nawoord is aandacht voor de nasleep van deze resultaten.

Deze scriptie is tot stand gekomen onder begeleiding van prof. Jan van Mill, hoogleraartopologie aan de Universiteit van Amsterdam. Graag wil ik hem bedanken voor zijngrote betrokkenheid bij dit project, de tijd en moeite die hij erin heeft gestoken, en zijnenthousiasmerende uitleg die me vaak verder heeft geholpen.

5

1 Kardinalen, ordinalen entransfiniete inductie

De stellingen die in deze scriptie worden bestudeerd doen een uitspraak over de kardinali-teit van topologische ruimtes. In de bewijzen van deze stellingen wordt veelvuldig gebruikgemaakt van transfiniete inductie, een vorm van inductie aan de hand van ordinaalgetal-len. In dit hoofdstuk worden daarom de kardinaal- en ordinaalgetallen geıntroduceerd,gevolgd door enkele belangrijke begrippen als welordeningen en transfiniete inductie.Hierbij wordt de appendix uit [1] gevolgd, aangevuld met enkele resultaten uit [7].

1.1 Kardinaalgetallen

Wat is de grootte, of kardinaliteit, van een verzameling? Voor eindige verzamelingen isdeze vraag eenvoudig te beantwoorden door het aantal elementen te tellen. Lange tijdwerd gedacht dat deze vraag geen betekenisvol antwoord had voor oneindige verzame-lingen. Eind 19e eeuw ontwikkelde Georg Cantor echter methodes om ook van oneindigeverzamelingen de kardinaliteit te vergelijken. Dat deed hij aan de hand van de volgendedefinitie:

Definitie 1.1. Twee verzamelingen A en B zijn gelijkmachtig als er een bijectie f : A→B bestaat.

Omdat de identiteitsafbeelding een bijectie is, iedere bijectie een bijectieve inverseheeft en de samenstelling van twee bijecties bijectief is, is gelijkmachtigheid een equi-valentierelatie op de klasse van alle verzamelingen. De equivalentieklasse van een ver-zameling A heet de kardinaliteit of het kardinaalgetal van A en wordt genoteerd als|A|.

Definitie 1.2.

(a) 0 is het kardinaalgetal van ∅.

(b) Voor alle n ∈ N is n het kardinaalgetal van {0, 1, ..., n− 1}.

(c) ℵ0 is het kardinaalgetal van N.

(d) c is het kardinaalgetal van R.

Op de kardinaalgetallen kunnen bewerkingen als optelling, vermenigvuldiging en machts-verheffing worden gedefinieerd, als volgt:

6

Definitie 1.3. Zij {κi}i∈I een verzameling kardinaalgetallen en zij {Ai}i∈I een collectieverzamelingen zodanig dat |Ai| = κi. Dan is

(a)∑

i∈I κi = |⋃i∈I{i} × Ai|

(b)∏

i∈I κi = |∏

i∈I Ai|

Voor verzamelingen A en B is AB de verzameling van alle functies van B naar A.

Definitie 1.4. Zij κ en λ kardinaalgetallen en A en B verzamelingen zodanig dat |A| = κen |B| = λ. Dan is κλ = |AB|.

Voor kardinaalgetallen gelden veel van de rekenregels die ook voor de natuurlijkegetallen gelden.

Stelling 1.5. Zij κ, λ en µ kardinaalgetallen. Dan geldt:

(a) κ+ λ = λ+ κ

(b) (κ+ λ) + µ = κ+ (λ+ µ) = κ+ λ+ µ

(c) κ · λ = λ · κ

(d) (κ · λ) · µ = κ · (λ · µ) = κ · λ · µ

(e) κλ+µ = κλ + κµ

(f) (κλ)µ = κλ·µ

We beschouwen nu een manier om de klasse van kardinaalgetallen te ordenen. Webeginnen met de definitie van een ordening.

Definitie 1.6. Zij A een verzameling en a, b, c ∈ A. Een ordening op A is een binairerelatie ≤ waarvoor geldt:

(a) ≤ is reflexief: a ≤ a.

(b) ≤ is transitief: Als a ≤ b en b ≤ c, dan a ≤ c.

(c) ≤ is antisymmetrisch: Als a ≤ b en b ≤ a, dan a = b.

Als voor alle a, b ∈ A geldt dat a ≤ b of b ≤ a, dan is ≤ een totale ordening of lineaireordening. Als bovendien geldt dat iedere niet-lege deelverzameling B ⊆ A een elementx bevat zodat x ≤ b voor alle b ∈ B, dan is ≤ een welordening. (A,≤) is dan eenwelgeordende verzameling.

De volgende relatie is een ordening op de klasse van kardinaalgetallen.

Definitie 1.7. Zij κ en λ kardinaalgetallen met κ = |A| en λ = |B|. Dan is κ ≤ λ danen slechts dan als er een injectie f : A→ B bestaat. Als κ ≤ λ en κ 6= λ, dan κ < λ.

7

Reflexiviteit en transitiviteit van deze relatie zijn eenvoudig na te gaan. Het feit datde relatie ook antisymmetrisch is staat bekend als de Stelling van Cantor-Bernstein.

Stelling 1.8 (Cantor-Bernstein). Laat κ en λ kardinaalgetallen zijn. Als κ ≤ λ enλ ≤ κ, dan κ = λ.

De volgende stelling laat zien dat ≤ een totale ordening is.

Stelling 1.9. Laat κ en λ kardinaalgetallen zijn. Dan κ ≤ λ of λ ≤ κ.

Er geldt zelfs dat ≤ een welordening op de klasse van kardinaalgetallen is.

Stelling 1.10. De kardinaalgetallen worden welgeordend door ≤.

Een eigenschap waar in deze scriptie veelvuldig gebruik van wordt gemaakt is devolgende.

Stelling 1.11. Zij κ en λ kardinaalgetallen met κ ≤ λ en λ oneindig. Dan geldt:κ+ λ = κ · λ = λ.

Voor ieder kardinaalgetal κ bestaat een kardinaalgetal dat strikt groter is dan κ. Ditvolgt uit de Stelling van Cantor.

Stelling 1.12 (Cantor). Zij κ een kardinaalgetal. Dan κ < 2κ.

Gevolg. Zij K een verzameling kardinaalgetallen. Dan is er een kardinaalgetal λ zoda-nig dat κ < λ voor elke κ ∈ K.

Voor ieder kardinaalgetal κ is de klasse {λ : κ < λ} dus niet-leeg. Omdat de kardinaal-getallen welgeordend worden door ≤ is er dus in het bijzonder een kleinste kardinaalgetaldat groter is dan κ. Dit kardinaalgetal heet de opvolger van κ en wordt genoteerd als κ+.In het bijzonder is er een kleinste overaftelbaar kardinaalgetal ℵ+0 . Deze wordt genoteerdals ℵ1. De opvolger van ℵ1 is ℵ2, etcetera.

Uit de Stelling van Cantor volgt direct dat κ+ ≤ 2κ. In het bijzonder geldt dus:ℵ1 ≤ 2ℵ0 . Dit laatste kardinaalgetal is de kardinaliteit van R, zoals de volgende stellinglaat zien.

Stelling 1.13. Voor de kardinaliteit van R geldt: c = 2ℵ0.

1.2 Ordinaalgetallen

Het concept kardinaalgetal kan worden verfijnd door lineaire ordeningen op verzamelin-gen te beschouwen. Beschouw de volgende equivalentierelatie op de klasse van lineairgeordende verzamelingen.

Definitie 1.14. Zij (X,≤) en (Y,≤) lineair geordende verzamelingen.

8

(a) Een afbeelding f : X → Y heet ordebewarend als voor alle x1, x2 ∈ X met x1 < x2geldt dat f(x1) < f(x2).

(b) (X,≤) en (Y,≤) heten orde-isomorf als er een ordebewarende bijectie f : X → Ybestaat.

Orde-isomorfie is een equivalentierelatie op de klasse van lineair geordende verzame-lingen. De equivalentieklasse van (X,≤) wordt genoteerd als [X,≤]. Als (X,≤) eenwelordening is, heet dit het ordinaalgetal van (X,≤).

Definitie 1.15.

(a) 0 is het ordinaalgetal van ∅.

(b) Voor alle n ∈ N is n het ordinaalgetal van {0, 1, ..., n− 1}.

(c) Het ordinaalgetal van N is ω0 of ω.

Net als bij de kardinaalgetallen kan op de klasse van ordinaalgetallen een ordeningworden gedefinieerd. Hiertoe wordt eerst het begrip beginstuk geıntroduceerd.

Definitie 1.16. Zij (X,≤) een geordende verzameling. Een deelverzameling A van Xheet een beginstuk van (X,≤) als voor alle a ∈ A en alle x ∈ X met x ≤ a geldt datx ∈ A.

Definitie 1.17. Laat α en β ordinaalgetallen zijn, zeg α = [X,≤] en β = [Y,≤]. Danis α ≤ β dan en slechts dan als er een ordebewarende f : X → Y bestaat zodanig datf [X] een beginstuk is van (Y,≤).

Ook de ordinaalgetallen worden totaal geordend en zelfs welgeordend door de ≤-relatie, zoals uit de volgende stellingen blijkt.

Stelling 1.18. Laat α en β kardinaalgetallen zijn. Dan α ≤ β of β ≤ α.

Stelling 1.19. De ordinaalgetallen worden welgeordend door ≤.

Als α een ordinaalgetal is, dan wordt de voorgangersverzameling van α gedefinieerddoor W (α) = {β : β < α}. De volgende stelling zegt dat W (α) een representant van αis.

Stelling 1.20. [W (α),≤] = α.

Omdat iedere oneindige verzameling op verschillende manieren welgeordend kan wor-den, zijn er vele ordinaalgetallen met dezelfde kardinaliteit. Bijvoorbeeld |ω| = |ω+1| =|ω + 2| = ...|ω + ω| = ℵ0. Het kleinste ordinaalgetal van een bepaalde kardinaliteitwordt een begingetal genoemd. De begingetallen kunnen beschouwd worden als repre-sentanten van de kardinaalgetallen. In deze benadering zijn de kardinaalgetallen dus eendeelklasse van de ordinaalgetallen. Voor ieder ordinaalgetal α wordt het begingetal vankardinaliteit ℵα genoteerd als ωα.

9

Tot slot richten we ons op een stelling die een uitspraak doet over het limiet van eenrij ordinaalgetallen. Dit resultaat draait om het begrip regulier kardinaalgetal en is zeernuttig bij het bewijzen van de hoofdstellingen van deze scriptie.

De volgende definitie maakt gebruik van het begrip limietordinaal. Een ordinaalgetalα is een opvolgerordinaal als er een ordinaalgetal β bestaat zodat α = β+1. Een limiet-ordinaal is een ordinaalgetal dat geen opvolgerordinaal is. Een oneindig kardinaalgetalℵα heet een opvolgerkardinaal als α een opvolgerordinaal is en een limietkardinaal als αeen limietordinaal is.

Definitie 1.21. Een oneindig kardinaalgetal κ heet singulier als er een stijgende trans-finiete rij (αν : ν < θ) van ordinalen αν < κ bestaat, waarvan de lengte θ een limietor-dinaal kleiner dan κ is, en κ = limν→θ αν . Een oneindig kardinaalgetal dat niet singulieris heet regulier.

Stelling 1.22. Iedere opvolgerkardinaal ℵα+1 is regulier.

1.3 Transfiniete inductie

Iedere wiskundestudent is al vroeg bekend met het principe van volledige inductie. Ditprincipe wordt gebruikt om te bewijzen dat een uitspraak geldt voor alle natuurlijkegetallen. Het principe bestaat uit twee stappen. Met de basisstap wordt bewezen datde stelling geldt voor een geval, meestal n = 0 of n = 1. Met de inductiestap wordtvervolgens bewezen dat de stelling geldt voor n+ 1 als deze geldt voor n.

Deze methode van bewijzen is mogelijk omdat ieder natuurlijk getal n een voorgangern− 1 heeft. Voor een algemene welgeordende verzameling, waarvan we de elementen in-dexeren met ordinaalgetallen, is deze methode niet toereikend. Niet ieder ordinaalgetalheeft immers een directe voorganger, zoals we in de vorige paragraaf hebben gezien. Tochkan het inductieprincipe uitgebreid worden, waarmee het mogelijk wordt om uitsprakente bewijzen voor iedere welgeordende verzameling. Er is dan sprake van transfiniete in-ductie. De hoofdstellingen van deze scriptie zullen aan de hand van dit principe bewezenworden.

Stelling 1.23 (Transfiniete inductie). Zij P(x) een eigenschap en neem aan dat vooralle ordinalen α geldt:

Als P(β) voor alle β < α, dan P(α)

Dan P(α) voor alle ordinaalgetallen α.

Bewijs. Stel dat er een ordinaalgetal γ bestaat dat niet de eigenschap P heeft. Noemde verzameling van alle ordinaalgetallen β ≤ γ die niet eigenschap P hebben S. Omdatde ordinaalgetallen welgeordend zijn heeft S een kleinste element α. Voor alle β < αgeldt dus P (β). Volgens de aanname van de stelling geldt dan P (α), maar dan α /∈ S.Tegenspraak.

10

2 Kardinaalfuncties in de topologie

Veel belangrijke topologische eigenschappen worden beschreven in termen van aftelbareof eindige verzamelingen. Zo is een ruimte compact als iedere open overdekking eeneindige deeloverdekking heeft en separabel als hij een aftelbare dichte deelverzamelingbevat. Ook CI- en CII-ruimten worden gedefinieerd in termen van aftelbaarheid.

Dergelijke eigenschappen kunnen gegeneraliseerd worden naar hogere kardinaliteitenaan de hand van kardinaalfuncties. In dit hoofdstuk worden de belangrijkte kardinaal-functies gedefinieerd en enkele verbanden tussen hen aangetoond. Veel stellingen metbetrekking tot de kardinaalfuncties gelden echter alleen voor ruimtes die aan bepaaldescheidingsaxioma’s voldoen. We beginnen daarom met een introductie van deze axi-oma’s.

2.1 Scheidingsaxioma’s

Over een ruimte met de indiscrete topologie valt in topologische zin niet veel interessantste zeggen. Deze ruimte heeft immers maar twee open verzamelingen, waardoor slechtsweinig eigenschappen van de ruimte in termen van de topologie te beschrijven zijn.Om een ruimte topologisch interessant te maken is het daarom nodig dat een ruimtevoldoende open verzamelingen bevat, in ieder geval voldoende om in bepaalde mate deelementen van de onderliggende verzameling te kunnen onderscheiden. De mate waarindit mogelijk is wordt beschreven door zogenaamde scheidingsaxioma’s.

Scheidingsaxioma’s worden genoteerd als Ti, met i een index. De letter T in dezeterminologie is afkomstig van de Duitse benaming van een scheidingsaxioma, Trennungs-axiom.

Veel resultaten in de topologie gelden alleen in ruimtes die aan bepaalde scheidings-axioma’s voldoen. Dit geldt ook voor belangrijke stellingen in het vakgebied van kardi-naalfuncties. In deze paragraaf worden daarom enkele van deze axioma’s gedefinieerd.Het zwakste scheidingsaxioma is de T0-eigenschap.

Definitie 2.1. Een topologische ruimte X heet een T0-ruimte als voor alle x, y ∈ Xmet x 6= y er een open verzameling U is die maar een van de twee punten x en y bevat.

Een ruimte die niet T0 is, is bijvoorbeeld een ruimte X met meer dan een punt en deindiscrete topologie. Voor ieder paar x, y ∈ X is dan X de enige open verzameling diex bevat, maar deze bevat ook y. De volgende eis is equivalent aan het T0-axioma.

Stelling 2.2. X is T0 dan en slechts dan als voor alle x, y ∈ X met x 6= y geldt dat{x} 6= {y}

11

Een sterker scheidingsaxioma ontstaat door te eisen dat beide punten x en y eenomgeving hebben die het andere punt niet bevat.

Definitie 2.3. Een topologische ruimte X heet een T1-ruimte als voor elk tweetal ver-schillende punten x, y ∈ X een omgeving U van x bestaat met y /∈ U .

Een alternatieve karakterisering van T1-ruimtes wordt gegeven door de volgende stelling.

Stelling 2.4. X is een T1-ruimte dan en slechts dan als {x} gesloten is voor elke x ∈ X.

Een belangrijke klasse van topologische ruimtes zijn de zogenaamde Hausdorff-ruimtes.Ook de belangrijkste stellingen van deze scriptie doen alleen een uitspraak over ruimtesdie aan het Hausdorff-axioma voldoen.

Definitie 2.5. Een topologische ruimte X heet een T2-ruimte of Hausdorff-ruimte alsvoor elk tweetal punten x, y ∈ X omgevingen U van x en V van y bestaan zodatU ∩ V = ∅.

Stelling 2.6. Elke Hausdorff-ruimte is T1.

Een van de nuttige eigenschappen van Hausdorff-ruimtes is dat convergente rijtjes indeze ruimtes een uniek limiet hebben. Dit hoeft in algemene T1-ruimtes niet het gevalte zijn.

Tot slot bekijken we reguliere ruimtes, waarin punten niet alleen van elkaar kunnenworden gescheiden, maar ook van gesloten verzamelingen.

Definitie 2.7. Een topologische ruimte X heet een T3-ruimte of een reguliere ruimteals X een T1-ruimte is en er voor elke gesloten deelverzameling F van X en elke x /∈ Fopen verzamelingen U en V bestaan zodanig dat x ∈ U , F ⊆ V en U ∩ V = ∅.

De volgende stelling geeft een equivalente definitie van reguliere ruimtes.

Stelling 2.8. X is een T3-ruimte dan en slechts dan als voor elke x ∈ X en elkeomgeving U van x een open omgeving V van x bestaat zodanig dat x ∈ V ⊂ V ⊂ U .

Er zijn nog meer scheidingsaxioma’s, zoals T4 en T5 en ook T2 12

en T3 12. Deze spelen

echter geen rol in deze scriptie en worden hier daarom niet behandeld.

2.2 Enkele kardinaalfuncties

We richten ons nu op de functies die in deze scriptie centraal staan, de kardinaalfuncties.We beginnen met de definitie en bekijken vervolgens enkele belangrijke voorbeelden.

Definitie 2.9. Een kardinaalfunctie is een functie die aan iedere topologische ruimteX een kardinaalgetal f(X) toewijst, zodanig dat f(X) = f(Y ) als X en Y homeomorfzijn.

12

Een voorbeeld van een kardinaalfunctie is de kardinaliteit van de topologie van eenruimte X:

o(X) = |T (X)|

Het gewicht w(X) van een ruimte X is gedefinieerd als:

w(X) = min{|B| : B is een basis van X}

Het bestaan van dit minimum wordt gegarandeerd door het feit dat de kardinaalgetallenwelgeordend worden door de ≤-relatie. Als w(X) = ℵ0, dan heet X een CII-ruimte.Deze terminologie is afkomstig van de Engelse benaming voor een dergelijke ruimte,second countable space.

De dichtheid d(X) van een ruimte X is gedefinieerd als:

d(X) = min{|D| : D ⊆ X en D = X}

Een ruimte X met d(X) = ℵ0 heet een separabele ruimte.Een cellulaire familie in X is een collectie C ⊆ T (X) \ {∅} waarvan de elementen

paarsgewijs disjunct zijn. De bijbehorende kardinaalfunctie is de cellulariteit c(X) vanX. Deze is gedefinieerd als:

c(X) = sup{|C| : C ⊂ T (X) \ {∅} is cellulair in X}

Een ruimte waarvoor geldt dat c(X) = ℵ0 heet een ccc-ruimte. De afkorting ‘ccc’ staathier voor countable chain condition.

Een gerelateerde kardinaalfunctie is de erfelijke cellulariteit van X. Deze is gedefini-eerd als

hc(X) = sup{c(A) : A ⊆ X}

Deze kardinaalfunctie wordt ook wel de spread van X genoemd en genoteerd als s(X).Een equivalente definitie is de volgende:

hc(X) = sup{|A| : A ⊂ X is een discrete deelruimte}

Dat wil zeggen, hc(X) is het supremum van de kardinaliteit van de deelverzamelingenvan X die als deelruimtetopologie de discrete topologie hebben.

Een Hausdorff-ruimte waarvan iedere open overdekking een eindige deeloverdekkingheeft wordt een compacte ruimte genoemd. Een generalisatie van dit begrip naar onein-dige kardinaliteiten is het Lindelofgetal L(X) van X. Dit is gedefinieerd als:

L(X) = min{κ : ∀ open overdekking U van X ∃V ⊆ U zodat V X overdekt en |V| ≤ κ}

Als L(X) = ℵ0, dan heet X een Lindelofruimte.De bovenstaande kardinaalfuncties zijn allemaal globaal gedefinieerd, in de zin dat hun

definities gebaseerd zijn op topologische eigenschappen die over de ruimte als geheel gaan.Er bestaan ook kardinaalfuncties die gebaseerd zijn op lokale topologische eigenschappen.

13

Definitie 2.10. Zij X een topologische ruimte zijn en x ∈ X. Een lokale basis in x iseen collectie Bx van open omgevingen van x met de eigenschap dat voor elke omgevingU van x er een B ∈ Bx is met B ⊆ U .

De minimale kardinaliteit van een lokale basis in een punt x heet het karakter van X inx:

χ(X, x) = min{|Bx| : Bx is een lokale basis in x}

Hieruit volgt het karakter van de ruimte:

χ(X) = sup{χ(X, x) : x ∈ X}

Als χ(X) = ℵ0, dan heet X een CI-ruimte, of first countable.

Definitie 2.11. Zij X een topologische ruimte zijn en x ∈ X. Een pseudo-basis in x iseen collectie Bx van open omgevingen van x zodanig dat

⋂Bx = {x}.

De minimale kardinaliteit van een pseudo-basis in een punt heet het pseudo-karakter vanX in x:

ψ(X, x) = min{|Bx| : Bx is een pseudo-basis in x}

Hieruit volgt het pseudo-karakter van de ruimte:

ψ(X) = sup{ψ(X, x) : x ∈ X}

Als aanvulling op de definities van bovenstaande kardinaalfuncties is het belangrijkom op te merken dat er in de literatuur over kardinaalfuncties vanuit wordt gegaandat deze alleen oneindige waarden kunnen aannemen. Bij ieder van de bovenstaandedefinities wordt daarom ℵ0 opgeteld, zodat de waarde van iedere kardinaalfunctie ≥ ℵ0is.

2.3 Verbanden tussen de kardinaalfuncties

Tussen de kardinaalfuncties uit de vorige paragraaf bestaan tal van verbanden. Derest van deze scriptie staat in het teken van stellingen die dergelijke verbanden geven.In de komende hoofdstukken worden resultaten bewezen die een bovengrens geven opde kardinaliteit van Hausdorff-ruimtes. In deze paragraaf bekijken we alvast enkeleeenvoudigere relaties tussen de kardinaalfuncties. We beginnen met enkele ongelijkhedendie voor iedere topologische ruimte gelden.

Stelling 2.12. Zij X een topologische ruimte. Dan geldt:

(a) c(X) ≤ d(X) ≤ w(X) ≤ o(X) ≤ 2|X|.

(b) χ(X) ≤ w(X) ≤ χ(X) · |X|.

(c) max{d(X), L(X)} ≤ min{w(X), |X|}.

14

Bewijs.

(a) T (X) ⊆ P(X), dus o(X) ≤ |P(X)| = 2|X|.Ieder basiselement in een topologische ruimte is open, dus w(X) ≤ o(X).Zij B een basis voor X van minimale kardinaliteit. Kies uit iedere B ∈ B eenwillekeurig punt. Noem de verzameling van deze punten D. Er geldt nu dat|D| ≤ w(X). Omdat iedere open verzameling een vereniging van basiselementenis, doorsnijdt D iedere niet-lege open verzameling in X, dus D is dicht. Dusd(X) ≤ w(X).Zij D ⊆ X een dichte verzameling van minimale kardinaliteit en zij C een cellulairefamilie in X. Omdat alle C ∈ C paarsgewijs disjunct en open zijn wordt iedereC ∈ C doorsneden door een element van D dat geen andere C ∈ C doorsnijdt. Dheeft dus minstens |C| elementen, dus c(X) ≤ d(X).

(b) Zij B een basis in X van minimale kardinaliteit en zij x ∈ X. Dan is {B ∈ B :x ∈ B} een lokale basis in x. Dus χ(X) ≤ w(X). Zij {Bx : x ∈ X} een collectielokale bases, dan is

⋃x∈X Bx een globale basis voor X, dus w(X) ≤ |

⋃x∈X Bx| ≤

χ(X) · |X|.

(c) X is dicht in zichzelf, dus d(X) ≤ |X|. Zij U een open overdekking van X. IedereU ∈ U is een vereniging van basiselementen, dus L(X) ≤ w(X). Kies nu vooriedere x ∈ X precies een element van U dat x bevat. De zo ontstane collectie iseen open deeloverdekking van kardinaliteit |X|. Dus L(X) ≤ |X|.

Als aan bepaalde scheidingsaxioma’s is voldaan gelden ook de volgende ongelijkheden.

Stelling 2.13. Zij X een T0-ruimte. Dan geldt:

|X| ≤ 2w(X) en |X| ≤ o(X)

Bewijs. Zij B een basis voor X en definieer φ : X → P(B) door φ(x) = {B ∈ B : x ∈ B}.Als x 6= y, dan bestaat er een open verzameling, en dus een basiselement, dat slechts eenvan de twee punten bevat, omdat X T0 is. Dan is dus φ(x) 6= φ(y). Dan is φ injectief,dus |X| ≤ 2w(X).Definieer nu φ : X → T (X) door φ(X) = X \ {x}. Uit stelling 2.2 volgt dat φ injectiefis, dus |X| ≤ o(X).

Stelling 2.14 (Pospisil). Zij X een Hausdorff-ruimte. Dan geldt:

|X| ≤ 22d(X)

en w(X) ≤ o(X) ≤ 222d(X)

Bewijs. Zij S een dichte deelverzameling van X met |S| ≤ d(X). Definieer φ : X →P(P(S)) door φ(x) = {A ⊆ S : x ∈ A}. Omdat X Hausdorff is, hebben alle x, y ∈ Xdisjuncte open omgevingen. In het bijzonder bestaat er een omgeving U van x zodanigdat y /∈ U . Omdat S iedere open verzameling snijdt bestaat er dus een A ⊆ S zodanigdat x ∈ A, y /∈ A. Daaruit volgt dat φ injectief is, dus |X| ≤ 22d(X)

.Het tweede deel van deze stelling volgt nu uit deel a) van stelling 2.12.

15

De bovenstaande stelling geeft een bovengrens op w(X) voor Hausdorff-ruimtes. Juhasz

en Kunen hebben een expliciete Hausdorff-ruimte geconstrueerd met gewicht 222d(X)

, duseen betere afschatting is niet mogelijk. Voor reguliere ruimtes bestaat wel een sterkereafschatting. Deze wordt gegeven door de volgende stelling van De Groot. Hierin wordtgebruik gemaakt van het begrip regulier open.

Definitie 2.15. Een open deelverzameling A van een topologische ruimte heet regulieropen als Int A = A.

Stelling 2.16 (De Groot). Zij X een reguliere ruimte. Dan geldt:

w(X) ≤ 2d(X)

Bewijs. Noteer de verzameling van regulier open deelverzamelingen van X als RO(X).We bewijzen eerst dat RO(X) een basis in X is. Zij x ∈ X en O een open omgevingvan x. Omdat X regulier is bestaat er een open U zodanig dat x ∈ U ⊂ U ⊂ O. Dusx ∈ Int U ⊂ O. Nu beweren we dat Int U regulier open is. Int U is een open verzameling

die in Int U bevat zit. Dus Int U ⊂ Int Int U . Andersom is U een gesloten verzameling

die Int U bevat, dus Int U ⊂ U . Dus Int Int U ⊂ Int U . Hieruit volgt dat Int U regulieropen is.Zij nu S een dichte deelverzameling van X met |S| ≤ d(X). Zij R een regulier opendeelverzameling van X en zij A = R ∩ S. Omdat R open en S dicht is geldt A =R ∩ S = R. Dus Int A = Int R = R. Dus RO(X) ⊂ {IntA : A ⊂ S}. Omdat|{IntA : A ⊂ S}| ≤ 2d(X) en RO(X) een basis is volgt dat w(X) ≤ 2d(X).

De volgende stelling van Pospisil uit 1937 geeft een bovengrens op de kardinaliteit vanHausdorff-ruimtes in termen van de dichtheid. Dit is een erg nuttig resultaat, dat ge-bruikt zal worden bij het bewijzen van de stellingen van Hajnal-Juhasz en Arhangel’skiı.

Stelling 2.17 (Pospisil). Voor iedere Hausdorff-ruimte X geldt: |X| ≤ [d(X)]χ(X).

Bewijs. Zij A een dichte deelverzameling in X, zodanig dat |A| = d(X) en zij {B(x) : x ∈X} een verzameling lokale bases. Definieer als A0 de collectie van alle deelverzamelingenvan A met kardinaliteit ≤ χ(X). Dan geldt: |A0| ≤ |A|χ(X) = [d(X)]χ(X).A is dicht in X, dus we kunnen voor iedere U ∈ B(x) een punt a(x, U) ∈ U ∩ A kiezen.Definieer

A(x) = {a(x, U) : U ∈ B(x)} ∈ A0

Definieer vervolgens voor iedere x ∈ X de verzameling

A0(x) = {U ∩ A(x) : U ∈ B(x)} ⊂ A0

Voor iedere U, V ∈ B(x) geldt U ∩ A(x) 6= ∅ en V ∩ A(x) 6= ∅, dus V ∩ U ∩ A(x) 6= ∅.Dus x ∈ U ∩ A(x) ⊂ U .Dus

⋂{U ∩ A(x) : U ∈ B(x)} =

⋂{U : U ∈ B(x)} = {x}. Hieruit volgt dat A0(x) 6=

16

A0(y) als x 6= y. A0(x) ⊂ A0 en |A0(x)| = |B(x)| ≤ χ(X). Dus het aantal verzamelingenA0(x) is ≤ |A0|χ(X). Maar er bestaat een A0(x) voor iedere x ∈ X, dus

|X| ≤ |A0|χ(X) ≤ [[d(X)]χ(X)]χ(X) = [d(X)]χ(X)

Ten slotte bekijken we de Stelling van Cech-Pospisil. In tegenstelling tot de anderestellingen in deze scriptie geeft deze geen bovengrens, maar een ondergrens op de kardi-naliteit van een topologische ruimte.

Stelling 2.18 (Cech-Pospisil). Zij X een compacte ruimte zodanig dat χ(X, x) ≥ m ≥ℵ0 voor alle x ∈ X. Dan is |X| ≥ 2m.

Bewijs. Zij τ het begingetal van kardinaliteit m. Definieer voor iedere α ≤ τ de verza-meling D(α) als de verzameling van alle rijtjes van lengte α met als elementen 0 en 1.Definieer voor iedere f ∈ D(α) en β < α het element fβ ∈ D(β) door fβ(γ) = f(γ) voorγ < β. Definieer verder voor iedere f ∈ D(α) met α < τ het element f i ∈ D(α + 1)door f i(β) = f(β) voor β < α en f i(α) = i met i = 0, 1.Definieer nu met transfiniete inductie voor iedere α < τ en iedere f ∈ D(α) een openverzameling Vα(f) ⊆ X zodanig dat:

Vα+1(f i) ⊂ Vα(f) voor i = 0, 1 en f ∈ D(α) (2.1)

Vα+1(f 0) ∩ Vα+1(f 1) = ∅ voor f ∈ D(α) (2.2)⋂β≤α

Vβ(fβ) 6= ∅ voor f ∈ D(α) (2.3)

Neem eerst aan dat τ = ω. Zij V0(f) = X voor f ∈ D(0) = {∅}. Zij 0 < α < ω en zijVβ(f) gedefinieerd zodat voor iedere β < α en f ∈ D(β) aan bovenstaande eisen is vol-daan. Zij α = γ + 1 en f ∈ D(γ). Volgens (2.3) is Vγ(f) =

⋂β≤γ Vβ(fβ) 6= ∅. Daarnaast

kan Vγ(f) niet uit slechts een punt bestaan. Stel namelijk dat Vγ(f) =⋂β≤γ Vβ(fβ) =

{x}, dan zou {Vβ(fβ)}β≤γ een pseudobasis voor x zijn. Omdat het pseudokarakter ineen compacte ruimte gelijk is aan het karakter, heeft x een eindig karakter, en dit is instrijd met de aanname. Dus Vγ(f) bevat meer dan een punt. Kies nu twee willekeurigepunten x, y ∈ Vγ(f) . Vγ(f) \ {x} is een open omgeving van y, dus er bestaat een open

omgeving Vα(f 0) van y zodanig dat Vα(f 0) ⊂ Vγ(f) \ {x}. Dit volgt uit het feit dat Xcompact, en dus regulier, is.Nu is Vγ(f)\Vα(f 0) een open omgeving van x, dus bestaat er een open omgeving Vα(f 1)

van x, zodanig dat Vα(f 1) ⊂ Vγ(f) \ Vα(f 0). Hiermee is voldaan aan (2.1) en (2.2).Daarnaast is

⋂β≤α Vβ(f iβ) = Vα(f i) niet leeg voor i = 0, 1, omdat het open omgevingen

van y respectievelijk x zijn. Dus is ook voldaan aan (2.3).

Bekijk nu voor iedere f ∈ D(ω) de doorsnede⋂α<ω Vα(fα). Vanwege (2.3) is iedere

eindige doorsnede van elementen uit {Vα(fα)}α<ω niet leeg, dus is de volledige door-snede ook niet leeg, omdat X compact is. We kunnen dus aan iedere f ∈ D(ω) een punt

17

in⋂α<ω Vα(fα) toewijzen.

Neem nu aan dat τ > ω. Volgens het bovenstaande is⋂α<ω Vα(fα) niet leeg. Daarnaast

kan deze verzameling niet uit een punt bestaan. Dan zou {Vα(fα) : α < ω} namelijk eenpseudobasis voor dat punt zijn, dus heeft dat punt een aftelbaar pseudokarakter. OmdatX compact is heeft dat punt dan een aftelbaar karakter, maar χ(X, x) ≥ |τ | > |ω| vooralle x ∈ X. We kunnen dus twee punten x en y in

⋂α<ω Vα(fα) kiezen.

Daarnaast is⋂α<ω Vα(fα) gesloten, want

⋂α<ω Vα(fα) =

⋂α<ω Vα(fα), vanwege eigen-

schap (2.1). Dus⋂α<ω Vα(fα) is, net als X, een compacte ruimte met karakter ≥ m

in ieder punt. De inductieprocedure voor τ = ω kan dus binnen⋂α<ω Vα(fα) herhaald

worden tot de volgende limietstap ω + ω. Als τ > ω + ω volgt nu op dezelfde wijze dat⋂α<ω+ω Vα(fα) een compacte verzameling is meer dan een element en karakter ≥ m. Zet

op deze manier de inductie voort voor alle α < τ en wijs aan iedere f ∈ D(τ) een puntin⋂α<τ Vα(fα) toe.

Zij nu f, g ∈ D(τ) en f 6= g. Zij verder x het punt dat is toegewezen aan f , en yhet punt dat is toegewezen aan g. Dan bestaat er een kleinste α < τ waarop f en gverschillen. Zij α = γ + 1. Dan is x ∈ Vα(f 0

γ ) en y ∈ Vα(g1γ). Vanwege (2.2) zijn deze

verzamelingen disjunct, dus x 6= y. |D(τ)| = 2|τ |, dus |X| ≥ 2m.

De stelling van Cech-Pospisil is een resultaat uit 1938. Drie decennia later volgdenbelangrijke doorbraken in de theorie van kardinaalfuncties, toen enkele stellingen werdenbewezen die een bovengrens geven op de kardinaliteit van Hausdorff-ruimtes. Dezestellingen zijn het onderwerp van de komende hoofdstukken.

18

3 De Stelling van De Groot

Johannes de Groot

In 1942 verscheen het proefschrift Topologische Studienwaarmee Johannes de Groot zijn doctorstitel verwierf. Naenkele jaren als docent in Coevorden en Den Haag te heb-ben gewerkt, werd hij in 1948 hoogleraar aan de TechnischeHogeschool in Delft en in 1952 aan de Universiteit van Am-sterdam, waar hij tot aan zijn dood in 1972 zou werken [8].

De Groot domineerde na de Tweede Wereldoorlog ruimtwee decennia de Nederlandse topologie. Zijn werk focustezich op de verzamelingstheoretische topologie en groepen-theorie. Hij vestigde belangrijke resultaten in zijn onderzoeknaar onder andere compactificatie, equivalentie van Abelsegroepen, en rigide groepen (groepen met alleen triviale au-tomorfismen) [10].

In 1965 verscheen het artikel Discrete subspaces of Haus-dorff spaces. In dit artikel introduceerde De Groot enkelenieuwe en belangrijke kardinaalfuncties zoals spread en be-wees enkele nieuwe resultaten. Zo toonde hij aan dat iedere Hausdorff-ruimte waarvaniedere deelruimte Lindelof is, kardinaliteit ≤ 2ω heeft [3].

De Groot’s artikel was zeer invloedrijk en vormde het begin van de systematischebestudering van kardinaalfuncties in de topologie. Met dit artikel stond De Groot dusaan de basis van dit vakgebied.

In dit hoofdstuk wordt een van De Groot’s belangrijkste resultaten bewezen, namelijkdat iedere reguliere ruimte kardinaliteit ≤ 22hc(X)

heeft. Dit geldt zelfs voor iedereHausdorff-ruimte, zoals Hajnal en Juhasz in 1967 aantoonden. We zullen echter nietde oorspronkelijke methode van De Groot volgen. In plaats daarvan zal de sterkerestelling van Hajnal en Juhasz bewezen worden aan de hand van twee deelresultaten.Deze deelresultaten maken gebruik van de volgende stelling van Sapirovskiı.

Lemma 3.1 (Sapirovskiı). Zij X een topologische ruimte en V een open overdekking.Zij hc(X) ≤ κ. Dan bestaat er een A ⊆ X met |A| ≤ κ en een deelcollectie W ⊆ V met|W| ≤ κ zodanig dat X = A ∪

⋃W.

Bewijs. Stel dat de stelling niet waar is. We definieren een rij {xα : α < κ+} ⊆ X eneen rij {Vα : α < κ+} ⊆ V zodanig dat x0 ∈ V0 en xα ∈ Vα \

[(⋃β<α Vβ

)∪{xβ : β < α}

]voor 0 < α < κ+.Kies x0 ∈ X willekeurig en kies V0 ∈ V zodanig dat x0 ∈ V0. Deze bestaat omdat V eenopen overdekking is.

19

Neem nu aan dat xα en Vα die voldoen aan de eis gedefinieerd zijn voor alle α < α0 < κ+.Omdat α0 < κ+ geldt dat |{xα : α < α0}| = |{Vα : α < α0}| ≤ κ. Uit de aanname datde stelling onwaar is volgt nu dat X \

[(⋃α<α0

Vα)∪ {xα : α < α0}

]6= ∅, dus kunnen

we een xα0 en een Vα0 kiezen zodanig dat xα0 ∈ Vα0 \[(⋃

α<α0Vα)∪ {xα : α < α0}

].

Bekijk nu Wα0 = Vα0 \ {xα : α < α0}. Dit is een open verzameling min een gesloten ver-zameling, dus open. Er geldt duidelijk dat xα0 ∈ Wα0 Voor alle α < α0 geldt daarnaastduidelijk dat xα /∈ Wα0 . Voor γ > α0 geldt dat xγ ∈ Vγ \

[(⋃α<γ Vα

)∪ {xα : α < γ}

],

dus xγ /∈ Vα0 , dus xγ /∈ Wα0 . Wα0 is dus een open omgeving van xα0 die geen enkele xαbevat voor α 6= α0. Dus {xα : α < κ+} is een discrete verzameling.Daarnaast is |{xα : α < κ+}| = κ+, omdat deze verzameling geındexeerd wordt door devoorgangersverzameling van κ+. Dus X heeft een discrete deelverzameling met kardina-liteit κ+, maar dit is in tegenspraak met hc(X) = κ.

De volgende stelling geeft een bovengrens op de kardinaliteit van T1-ruimtes in termenvan de erfelijke cellulariteit en het pseudokarakter. Dit resultaat is voor het eerst bewezendoor Hajnal en Juhasz. Hun oorspronkelijke bewijs maakt gebruik van de Partitiestellingvan Erdos-Rado [3]. Dit is echter niet de methode die we hier zullen volgen. In plaatsdaarvan gebruiken we een methode die begin jaren ’70 door Sapirovskiı en Pol werdontwikkeld en de standaardmethode is geworden om dergelijke ongelijkheden te bewijzen.

Stelling 3.2 (Hajnal-Juhasz). Voor iedere T1-ruimte X geldt: |X| ≤ 2hc(X)·ψ(X).

Bewijs. Zij X een T1-ruimte en zij m = hc(X) · ψ(X). Kies voor iedere x ∈ X eencollectie U(x) van open verzamelingen zodanig dat

⋂U(x) = {x} en |U(x)| ≤ m.

Zij τ het kleinste ordinaalgetal met kardinaliteit m+. We definieren nu met transfinieteinductie een rij A0, A1, ..., Aα,..., α < τ van deelverzamelingen van X zodanig dat:

|Aα| ≤ 2m, Aβ ⊂ Aα voor β < α (3.1)

Voor iedere deelfamilie {Us : s ∈ S} van⋃{U(x) : x ∈

⋃β<α

Aβ} met |S| ≤ m

en iedere familie {Bt : t ∈ T} van deelverzamelingen van⋃β<α

Aβ met |T | ≤ m

en |Bt| ≤ m voor alle t ∈ T geldt:

Als X \[ ⋃s∈S

Us ∪⋃t∈T

Bt

]6= ∅, dan Aα \

[ ⋃s∈S

Us ∪⋃t∈T

Bt

]6= ∅ (3.2)

Definieer als basisstap A0 = {x} met x ∈ X willekeurig. Uiteraard geldt |A0| ≤ 2m.Neem nu aan dat de verzamelingen Aα die voldoen aan (3.1) en (3.2) gedefinieerd zijnvoor alle α < α0. Zij

B =⋃{U(x) : x ∈

⋃α<α0

Aα}

20

en definieer:

B1 = {{Us : s ∈ S} ⊆ B : |S| ≤ m}

B2 = {{Bt : t ∈ T} : Bt ⊆⋃α<α0

Aα, |Bt| ≤ m, |T | ≤ m}

B = {({Us : s ∈ S}, {Bt : t ∈ T}

)∈ B1 ×B2 : X \

[ ⋃s∈S

Us ∪⋃t∈T

Bt

]6= ∅}

Er geldt: |Aα| ≤ 2m voor α < α0 en |α0| < |τ | = m+. Dus |⋃α<α0

Aα| ≤ 2m. Daarnaastis |U(x)| ≤ 2m, dus |B| ≤ 2m. B1 = [B]≤m, dus |B1| ≤ (2m)m = 2m. Verder geldt|B2| ≤ m ·m = m. Dus |B| ≤ 2m ·m = 2m.

Kies nu voor ieder element van B een punt in X \[⋃

s∈S Us ∪⋃t∈T Bt

]. Noem de

verzameling van deze punten D. Definieer nu:

Aα0 = D ∪⋃α<α0

Aα

|⋃α<α0

Aα| ≤ 2m en |D| = |B| ≤ 2m, dus |Aα0| ≤ 2m. Daarnaast geldt duidelijk datAα ⊂ Aα0 voor alle α < α0. Dus Aα0 voldoet aan (3.1).

Voor iedere element uit B bevat D een element uit X \[⋃

s∈S Us∪⋃t∈T Bt

]en D ⊂ Aα0 ,

dus Aα0 \[⋃

s∈S Us ∪⋃t∈T Bt

]6= ∅, dus Aα0 voldoet aan (3.2).

Tot slot tonen we aan dat A =⋃α<τ Aα gelijk is aan X. Zij M ⊂ A met |M | ≤ m. We

kunnen M aftellen als {mα : α < m} Voor m0 ∈ M bestaat een ordinaalgetal α0 zodata0 ∈ Aα0 , voor m1 ∈ M bestaat een ordinaalgetal α1 zodat m1 ∈ Aα1 , etc. Deze rijordinaalgetallen α0, α1, ... heeft een supremum α. De rij heeft lengte ≤ m. |τ | = m+ iseen opvolgerkardinaal, dus regulier, dus τ kan niet het limiet zijn van een rij van lengtem. Dus voor het supremum α van de rij geldt α < τ . Omdat Aβ ⊂ Aα voor alle β < αvolgt nu dat M ⊂ Aα.Stel nu dat er een q ∈ X \ A bestaat. De complementen van de elementen van U(q)vormen een collectie gesloten verzamelingen {Ft : t ∈ T} zodanig dat X \ {q} =

⋃t∈T Ft

en |T | ≤ m. Definieer nu Gt = Ft ∩ A en voor iedere p ∈ Gt, zij Up ∈ U(p) zodanigdat q /∈ Up. {Up : p ∈ Gt} is een open overdekking van Gt, dus volgens Lemma 3.1bestaan er Pt, Qt ⊆ Gt zodanig dat |Pt| ≤ m, |Qt| ≤ m en Gt ⊆ Pt ∪

⋃p∈Qt

Up. Definieer

S =⋃{Qt : t ∈ T}. Dan is |S| ≤ m. Er geldt: A ⊆

([⋃s∈S Us

]∪[⋃

t∈T Pt])

en

q /∈([⋃

s∈S Us]∪[⋃

t∈T Pt])

, omdat q /∈ Up voor iedere p ∈ Gt en q /∈ Gt.Omdat |Pt| ≤ m, |Qt| ≤ m en |T | ≤ m geldt dat |

⋃t∈T(Pt ∪ Qt

)| ≤ m. Dus bestaat er

een α < τ zodanig dat⋃t∈T(Pt∪Qt

)⊆ Aα. Nu geldt: X \

([⋃s∈S Us

]∪[⋃

t∈T Pt])6= ∅,

want deze verzameling bevat q, maar Aα \([⋃

s∈S Us]∪[⋃

t∈T Pt])

= ∅, want Aα ⊆ A ⊆([⋃s∈S Us

]∪[⋃

t∈T Pt])

. Dit is in tegenspraak met (3.2). Dus X =⋃α<τ Aα, dus

|X| = |⋃α<τ

Aα| ≤ m+ · 2m = 2m

21

De bovenstaande stelling geeft een bovengrens van de kardinaliteit in termen van deerfelijke cellulariteit en het pseudokarakter. Om het resultaat van De Groot te vinden isnu een bovengrens nodig voor het pseudokarakter in termen van de erfelijke cellulariteit.Deze wordt gegeven door de volgende stelling.

Stelling 3.3 (Sapirovskiı). Voor iedere Hausdorff-ruimte X geldt: ψ(X) ≤ 2hc(X).

Bewijs. Zij X een Hausdorff-ruimte, hc(X) = κ en p ∈ X. Zij Vq voor iedere q 6= p eenopen omgeving zodanig dat p /∈ Vq.{Vq : q 6= p} is een open overdekking van X \ {p}, dus bestaan er volgens Lemma 3.1verzamelingen A,B ⊂ X \{p} met kardinaliteit ≤ κ, zodanig dat X \{p} ⊆ A∪

⋃q∈B Vq.

Definieer nu:

VA = {X \ C : C ⊆ A, p /∈ C}, VB = {X \ Vq : q ∈ B}, V = VA ∪ VB

Omdat p /∈ C en p /∈ Vq voor alle q ∈ B geldt dat p ∈ V voor alle V ∈ V . Stelp 6= x ∈

⋂V . Als x ∈

⋃q∈B Vq, dan x ∈ Vq ⊆ V q voor een q ∈ B. Dan is dus x /∈

⋂VB.

Tegenspraak. Dus x ∈ A. Omdat X een Hausdorff-ruimte is bestaan er open E enF zodanig dat p ∈ E, x ∈ F en E ∩ F = ∅. Zij U een open omgeving van x. Danx ∈ (U ∩F )∩A. Dan is (U ∩F )∩A = U ∩ (F ∩A) 6= ∅. Dus x ∈ F ∩ A ⊂ F ⊂ X \E.Dus p ∈ X \ F ∩ A, maar x /∈ X \ F ∩ A. Dus x /∈

⋂VA. Tegenspraak. Dus een

dergelijke x bestaat niet, dus⋂V = {p}, dus V is een pseudo-basis voor p.

|B| ≤ κ, dus |VB| ≤ κ. |A| ≤ κ en VA is een deelverzameling van de machtsverzamelingvan A, dus |VA| ≤ 2κ. Dus |V| ≤ 2κ + κ = 2κ.Dus ieder element van X heeft een pseudobasis met kardinaliteit ≤ 2κ, dus ψ(X) ≤2κ.

Uit de bovenstaande resultaten volgt nu de stelling van De Groot, verbeterd doorHajnal en Juhasz.

Stelling 3.4 (Hajnal-Juhasz, De Groot voor reguliere X). Voor iedere Hausdorff-ruimte

X geldt: |X| ≤ 22hc(X).

Bewijs. Uit stelling 3.2 en 3.3 volgt:

|X| ≤ 2hc(X)·ψ(X) ≤ 2hc(X)·2hc(X)

= 22hc(X)

22

4 De Stelling van Hajnal-Juhasz

Het artikel van De Groot uit 1965 werd met veel interesse gelezen. Het trok in het bij-zonder de aandacht van twee Hongaarse wiskundigen, Andras Hajnal en Istvan Juhasz.Zij begonnen een correspondentie met De Groot en werden door hem uitgenodigd inAmsterdam. In 1967 en 1969 publiceerden zij het tweedelige artikel Discrete subspacesof topological spaces waarin ze het werk van De Groot aanzienlijk uitbreidden. In dezeartikelen bewezen zij onder andere drie fundamentele ongelijkheden in de theorie vankardinaalfuncties [3]. Twee van deze ongelijkheden zijn stelling 3.2 en 3.4 uit het vorigehoofdstuk. In dit hoofdstuk zullen we de derde ongelijkheid bewijzen, die een boven-grens op de kardinaliteit van Hausdorff-ruimtes geeft in termen van het karakter en decellulariteit.

Andras Hajnal en Istvan Juhasz

In het bewijs van de stelling van Hajnal en Juhasz wordt gebruik gemaakt van hetvolgende lemma.

Lemma 4.1. Zij c(X) = κ en zij V een open collectie in X. Dan bestaat er eendeelcollectie W van V zodanig dat |W| ≤ κ en

⋃V ⊆

⋃W

Bewijs. Zij G de collectie van open, niet-lege verzamelingen die een deelverzameling zijnvan een V ∈ V . Beschouw de collectie H van cellulaire deelfamilies van G, partieelgeordend door inclusie. Zij F nu een totaal geordende deelcollectie van H. Dan is

⋃F

een bovengrens op F . Er geldt immers F ⊆⋃F voor alle F ∈ F , en voor F1, F2 ∈

⋃F

geldt dat er een F ∈ F bestaat zodanig dat F1, F2 ∈ F , waaruit volgt dat F1 ∩ F2 = ∅.Volgens het lemma van Zorn bestaat er nu een maximale cellulaire deelfamilie G ′ ⊆ G.Omdat G ′ cellulair is geldt |G ′| ≤ κ en omdat G ′ maximaal is geldt

⋃V ⊆

⋃G ′. Immers,

stel dat dit niet zo is, dan bestaat er een V ∈ V zodanig dat V \⋃G ′ 6= ∅. Maar deze

verzameling is open en disjunct van⋃G ′, dus is G ′ niet maximaal. Tegenspraak.

23

Kies nu voor iedere G ∈ G ′ een V ∈ V zodanig dat G ⊆ V . Noem de collectie van dezeverzamelingen W . Dan geldt |W| = |G ′| ≤ κ en

⋃V ⊆

⋃G ′ ⊆

⋃W .

Stelling 4.2 (Hajnal-Juhasz). Voor iedere Hausdorff-ruimte X geldt: |X| ≤ 2c(X)χ(X).

Bewijs. Zij X een Hausdorff-ruimte en zij m = c(X) ·χ(X). Kies voor iedere x ∈ X eenlokale basis B(x) met |B(x)| ≤ χ(X) ≤ m.Zij τ het kleinste ordinaalgetal met kardinaliteit m+. We definieren nu met transfinieteinductie een rij A0, A1, ..., Aα,..., α < τ van gesloten deelverzamelingen van X zodanigdat:

|Aα| ≤ 2m, Aβ ⊂ Aα voor β < α (4.1)

Voor iedere collectie {Us : s ∈ S} van deelfamilies van⋃{B(x) : x ∈

⋃β<α

Aβ}

met |S| ≤ m en |Us| ≤ m voor alle s ∈ S geldt:

Als X \⋃{⋃Us : s ∈ S} 6= ∅, dan Aα \

⋃{⋃Us : s ∈ S} 6= ∅ (4.2)

Definieer als basisstap A0 = {x} met x ∈ X willekeurig. Uiteraard geldt |A0| ≤ 2m.Neem nu aan dat de verzamelingen Aα die voldoen aan (4.1) en (4.2) gedefinieerd zijnvoor alle α < α0. Zij

B =⋃{B(x) : x ∈

⋃α<α0

Aα}

en

B = {{Us ⊂ B : s ∈ S} : |S| ≤ m en |Us| ≤ m ∀s ∈ S en X \⋃{⋃Us : s ∈ S} 6= ∅}

Kies voor iedere collectie {Us ⊂ B : s ∈ S} ∈ B een punt in X \⋃{⋃Us : s ∈ S}. Noem

de verzameling van deze punten B. Definieer nu:

Aα0 = B ∪⋃α<α0

Aα

Er geldt: |B(x)| ≤ m voor alle x en |α| < 2m. Dus |B| ≤ m · 2m = 2m.Dus |{Us ⊂ B : |Us| ≤ m}| ≤ (2m)m = 2m. Dus ook |{{Us ⊂ B : s ∈ S} : |Us| ≤m en |S| ≤ m}| ≤ (2m)m = 2m. Dus |B| ≤ 2m, en |B| ≤ 2m.B ∪

⋃α<α0

Aα is dicht in Aα0 . |B| ≤ 2m en |⋃α<α0

Aα| ≤ m+ · 2m = 2m, want α0 < m+

en |Aα| ≤ 2m voor alle α < α0. Dus |B ∪⋃α<α0

Aα| ≤ 2m, dus d(Aα0) ≤ 2m. Volgensstelling 2.17 volgt nu dat |Aα0| ≤ (2m)m = 2m. Daarnaast geldt duidelijk dat Aα ⊂ Aα0

voor α < α0. Dus Aα0 voldoet aan (4.1).Voor iedere collectie {Us ⊂ B : s ∈ S} ∈ B bevat B een element uit X \

⋃{⋃Us : s ∈ S}

en B ⊂ Aα0 , dus Aα0 \⋃{⋃Us : s ∈ S} 6= ∅. Dus Aα0 voldoet aan (4.2).

Tot slot tonen we aan dat A =⋃α<τ Aα gelijk is aan X. Stel er bestaat een y ∈ X \A.

Zij B(y) = {Vs : s ∈ S} met |S| ≤ m. Bekijk voor iedere s ∈ S de collectie

24

Ws = {U ∈ B(x) : x ∈ A en U ∩ Vs = ∅}. Vanwege Lemma 4.1 bestaat er een Us ⊆ Ws

zodanig dat |Us| ≤ c(X) ≤ m en⋃Ws ⊆

⋃Us.

Voor iedere s ∈ S geldt: (⋃Us) ∩ Vs = ∅ en Vs is open, dus X \ Vs is een gesloten

verzameling die⋃Us bevat, dus

⋃Us ∩ Vs = ∅. Omdat y ∈ Vs voor alle s ∈ S volgt nu

dat y ∈ X \⋃{⋃Us : s ∈ S}, dus X \

⋃{⋃Us : s ∈ S} 6= ∅.

Omdat X een Hausdorff-ruimte is, bestaat er voor iedere x ∈ A een s ∈ S zodatx ∈

⋃Ws. Er geldt dus: A ⊆

⋃{⋃Ws : s ∈ S} ⊆

⋃{⋃Us : s ∈ S}.

Definieer nu een verzameling C als volgt: Kies voor iedere s ∈ S en voor iedere U ∈ Useen a ∈ U ∩ A. Er geldt |C| ≤ m · m = m en C ⊆ A, dus er bestaat een α′ < τ zodatC ⊆ Aα′ .Voor α = α′ + 1 geldt dan dat Us ⊆

⋃{B(x) : x ∈

⋃β<αAβ} voor iedere s ∈ S. Voor

deze α geldt dus dat X \⋃{⋃Us : s ∈ S} 6= ∅, maar Aα ⊆

⋃{⋃Us : s ∈ S}, dus

Aα \⋃{⋃Us : s ∈ S} = ∅. Dit is in tegenspraak met (4.2), dus A = X.

Dus |X| = |⋃α<τ Aα| ≤ m+ · 2m = 2m.

In het bijzonder geldt nu dat iedere Hausdorff-, first countable ccc-ruimte kardinaliteit≤ 2ℵ0 heeft.

Net als bij stelling 3.2 maakte het oorspronkelijke bewijs van Hajnal en Juhasz gebruikvan de Erdos-Rado Partitiestelling. Het bovenstaande bewijs maakt gebruik van demethode van Sapirovskiı en Pol.

25

5 De Stelling van Arhangel’skiı

In de jaren ’20 van de vorige eeuw werd veel invloedrijk werk in de topologie verrichtdoor de Russische wiskundigen Pavel Urysohn en Pavel Aleksandrov. Een van de on-derwerpen waar zij zich op richtten waren de eigenschappen van compacte topologischeruimten. In 1922 bewezen zij dat iedere compacte, perfect normale Hausdorff-ruimteeen kardinaliteit van ten hoogste continuum heeft [12]. Uit dit resultaat rees de vraag ofditzelfde geldt voor compacte Hausdorff CI-ruimtes. In een artikel uit 1923 formuleerdenze daarom het volgende vermoeden:

Vermoeden van Aleksandrov en Urysohn. Iedere compacte Hausdorff CI-ruimteheeft kardinaliteit ≤ c.

Alexander Arhangel’skiı

Dit vermoeden is ruim veertig jaar onopgelost gebleven, tot-dat in 1969 het artikel On the cardinality of bicompactasatisfying the first axiom of countability van A.V. Arhan-gel’skiı verscheen. In dit artikel bewees de Russische wis-kundige een inmiddels beroemd resultaat, namelijk dat vooriedere Hausdorff-ruimte X geldt dat |X| ≤ 2L(X)·χ(X). Dezestelling impliceert het vermoeden van Aleksandrov en Ury-sohn.

Arhangel’skiı’s stelling behoort tot de grootste resulta-ten in het vakgebied van de kardinaalfuncties. De topoloogHodel noemt de stelling in zijn boek over kardinaalfuncties“perhaps the most exciting and dramatic of the difficult ine-qualities” [3] en beschrijft het in een artikel als “the mostimportant inequality in cardinal invariants” [12].

Arhangel’skiı bewees zijn stelling aan de hand van eencomplex argument waarin het concept vrije rij een belang-rijke rol speelt. In dit hoofdstuk wordt de stelling van Arhangel’skiı bewezen volgensde methode geıntroduceerd door Sapirovskiı en Pol in 1974, die we ook in de vorigehoofdstukken zijn tegengekomen. Eerst wordt de stelling bewezen voor het geval vaneen compacte ruimte X. Aan de hand van dit bewijs wordt vervolgens de stelling vanArhangel’skiı bewezen.

Stelling 5.1. Voor iedere oneindige, compacte ruimte X geldt: |X| ≤ 2χ(X).

Bewijs. Zij X een oneindige, compacte ruimte en zij χ(X) = m ≥ ℵ0.Kies voor iedere x ∈ X een lokale basis B(x) zodanig dat |B(x)| ≤ m. Dit kan perdefinitie omdat χ(X) = m.

26

Zij τ het kleinste ordinaalgetal met kardinaliteit m+. We definieren nu met transfinieteinductie een rij F0, F1, ..., Fα,..., α < τ van gesloten deelverzamelingen van X zodanigdat:

|Fα| ≤ 2m, Fβ ⊂ Fα voor β < α (5.1)

voor iedere eindige deelfamilie U van⋃{B(x) : x ∈

⋃β<α

Fβ} geldt:

Als X \⋃U 6= ∅, dan Fα \

⋃U 6= ∅ (5.2)

Definieer als basisstap F0 = {x} met x ∈ X willekeurig. Uiteraard geldt |F0| ≤ 2m.Neem nu aan dat de verzamelingen Fα die voldoen aan (5.1) en (5.2) gedefinieerd zijnvoor alle α < α0. Zij

B =⋃{B(x) : x ∈

⋃α<α0

Fα}

enB = {U ⊂ B : |U| is eindig en X \

⋃U 6= ∅}

|B(x)| ≤ m voor alle x en |α| < 2m. Dus |B| ≤ m · 2m = 2m. Dus |B| ≤ 2m.De verzameling van eindige deelverzamelingen van een verzameling A heeft kardinaliteit|A|. Dus |B| ≤ 2m.Kies nu voor iedere U ∈ B een punt in X \

⋃U . Noem de verzameling van deze punten

B. Dan is |B| ≤ 2m.Definieer nu:

Fα0 = B ∪⋃α<α0

Fα

B ∪⋃α<α0

Fα is dicht in Fα0 . |B| ≤ 2m en |⋃α<α0

Fα| ≤ m+ · 2m = 2m, want α0 < m+

en |Fα| ≤ 2m voor alle α < α0. Dus |B ∪⋃α<α0

Fα| ≤ 2m, dus d(Fα0) ≤ 2m. Volgensstelling 2.17 volgt nu dat |Fα0| ≤ (2m)m = 2m. Daarnaast geldt duidelijk dat Fα ⊂ Fα0

voor α < α0. Dus Fα0 voldoet aan (5.1).Voor iedere U ∈ B geldt: B bevat een punt uit X \

⋃U en B ⊂ Fα0 , dus Fα0 \

⋃U 6= ∅.

Dus Fα0 voldoet aan (5.2).

Tot slot tonen we aan dat F =⋃α<τ Fα gelijk is aan X. Zij A ⊂ F met |A| ≤ m.

We kunnen A aftellen als {aα : α < m} Voor a0 ∈ A bestaat een ordinaalgetal α0 zodata0 ∈ Fα0 , voor a1 ∈ A bestaat een ordinaalgetal α1 zodat a1 ∈ Fα1 , etc. Deze rij ordi-naalgetallen α0, α1, ... heeft een supremum α. De rij heeft lengte ≤ m. |τ | = m+ is eenopvolgerkardinaal, dus regulier, dus τ kan niet het limiet zijn van een rij van lengte m.Dus voor het supremum α van de rij geldt α < τ . Omdat Fβ ⊂ Fα voor alle β < α volgtnu dat A ⊂ Fα. Iedere Fα is per definitie gesloten, dus volgt dat A ⊂ Fα ⊂ F .Zij x ∈ F . Omdat χ(X) = m heeft x een lokale basis U0, U1, ... van kardinaliteit m.Omdat x ∈ F geldt voor iedere Ui dat Ui ∩ F 6= ∅. Kies a0 ∈ U0 ∩ F , a1 ∈ U1 ∩ F ,etc. Dan is A = {a0, a1, ...} ⊂ F met |A| = m. Dus geldt volgens het bovenstaande dater een ordinaalgetal α bestaat zodanig dat A ⊂ Fα ⊂ F . Iedere Ui doorsnijdt A, dus

27

x ∈ A ⊂ F . Dus F = F , dus F is een gesloten deelverzameling van X. In het bijzonderis F compact, want het is een gesloten deelverzameling van een compacte ruimte.Stel nu dat er een punt y ∈ X \ F bestaat. X is compact, dus Hausdorff, dus T1. Dus{y} is gesloten, dus X \{y} is een open omgeving van x voor alle x ∈ F . Dus kunnen wevoor alle x ∈ F een Ux ∈ B(x) kiezen zodanig dat y /∈ Ux. Omdat F compact is bestaater een eindige deelfamilie U van {Ux : x ∈ F} zodanig dat F ⊂

⋃U . U = {Ux : x ∈ A}

met A ⊂ F een eindige verzameling. Dus er bestaat een α′ < τ zodanig dat A ⊂ Fα′ ,dus U ⊂

⋃{B(x) : x ∈ Fα′}. Dus voor α = α′ + 1 geldt U ⊂

⋃{B(x) : x ∈

⋃β<α Fβ}.

Nu geldt dat X \⋃U 6= ∅, maar Fα \

⋃U = ∅ en dit is in tegenspraak met (5.2). Dus

F = X.Dus |X| = |

⋃α<τ Fα| ≤ m+ · 2m = 2m.

Het bovenstaande bewijs kan worden aangepast om de stelling van Arhangel’skiı tebewijzen.

Stelling 5.2 (Arhangel’skiı). Voor iedere Hausdorff-ruimte X geldt: |X| ≤ 2L(X)χ(X).

Bewijs. Het bewijs is analoog aan het bovenstaande bewijs, met de volgende aanpassin-gen:Definieer m = L(X) · χ(X). Pas eis (5.2) als volgt aan:

voor iedere deelfamilie U van⋃{B(x) : x ∈

⋃β<α

Fβ} met |U| ≤ L(X) geldt:

Als X \⋃U 6= ∅, dan Fα \

⋃U 6= ∅ (5.3)

Definieer nu:B = {U ⊂ B : |U| ≤ L(X) en X \

⋃U 6= ∅}

Voor B geldt nog steeds |B| ≤ 2m, en B ⊆ [B]≤L(X). Dus |B| ≤ |B|L(X) ≤ (2m)L(X) = 2m.Dus |B| ≤ 2m. Nu volgt weer dat |Fα0 | ≤ (2m)m = 2m.We kunnen wederom een verzameling A kiezen met |A| = χ(X) ≤ m, dus volgt weer datF =

⋃α<τ Fα gesloten is, dus L(F ) = L(X).

X is Hausdorff, dus kunnen we weer voor alle x ∈ F een Ux ∈ B(x) kiezen zodanig daty /∈ Ux. Er bestaat nu een deelfamilie U van {Ux : x ∈ F} met |U| ≤ L(X) zodanig datF ⊂

⋃U . U = {Ux : x ∈ A} met A ⊂ F zodanig dat |A| ≤ L(X) ≤ m. Dus er bestaat

een α′ < τ zodanig dat A ⊂ Fα′ , dus U ⊂⋃{B(x) : x ∈ Fα′}. Dus voor α = α′+ 1 geldt

U ⊂⋃{B(x) : x ∈

⋃β<α Fβ}. We concluderen weer dat F = X, dus |X| ≤ 2m.

Hieruit volgt in het bijzonder het vermoeden van Aleksandrov en Urysohn.

Gevolg. Voor iedere compacte Hausdorff CI-ruimte X geldt: |X| ≤ 2ℵ0 = c.

Een logische vervolgvraag is of de stelling van Arhangel’skıi ook nog geldt als deHausdorff-eis wordt vervangen door de zwakkere eis dat X een T1-ruimte is. Dit isechter nog een open probleem. Het vermoeden van Aleksandrov en Urysohn is echterwel bewezen voor T1-ruimtes. Dit resultaat is een gevolg van een stelling uit 1980 vanGryzlov [12].

28

Stelling 5.3 (Gryzlov). Zij X een compacte T1-ruimte. Dan geldt: |X| ≤ 2ψ(X).

Omdat ψ(X) ≤ χ(X) voor T1-ruimtes volgt hieruit dat |X| ≤ 2χ(X) = 2ℵ0 als X eencompacte T1-, CI-ruimte is.

Arhangel’skiı’s oorspronkelijke bewijs maakte gebruik van een complex argument aande hand van het begrip vrije rij. Impliciet in het bewijs zat echter een idee dat doorSapirovskiı en Pol werd versimpeld en dat bekend is komen te staan als de closure me-thode. Deze methode heeft zich vanwege zijn relatieve simpliciteit en brede toepasbaar-heid ontwikkeld tot de belangrijkste bewijstechniek in de theorie van kardinaalfuncties.Pol bewees in 1974 de stellingen van Arhangel’skiı en Hajnal-Juhasz aan de hand vandeze methode. Enige tijd later liet Hodel zien dat ook de ongelijkheid |X| ≤ 2ψ(X)·hc(X)

uit stelling 3.2 met deze techniek bewezen kon worden [12]. In deze scriptie zijn zowelstelling 5.2 van Arhangel’skiı als de stellingen 3.2 en 4.2 van Hajnal-Juhasz volgens declosure-methode bewezen.

De stelling van Arhangel’skiı loste dus niet alleen een open probleem op, maar heeftook een essentiele bijdrage geleverd aan de ontwikkeling van het vakgebied van kardi-naalfuncties doordat het aan basis stond van deze belangrijke bewijstechniek.

29

Nawoord

In deze scriptie zijn enkele hoogtepunten uit het vakgebied van kardinaalfuncties inde topologie behandeld. De stelling van Cech-Pospisil gaf ons een ondergrens op dekardinaliteit van compacte ruimtes aan de hand van het karakter. De stellingen van DeGroot, Hajnal-Juhasz en Arhangel’skiı gaven vervolgens bovengrenzen op de kardinaliteitvan Hausdorff-ruimtes aan de hand van de (erfelijke) celullariteit, het karakter en hetLindelofgetal.

Hoewel het hier om enkele van de belangrijkste stellingen over kardinaalfuncties gaat,vormen ze slechts een kleine selectie van dit inmiddels grote vakgebied. Het boek [3]van Hodel behandelt nog vele andere ongelijkheden tussen kardinaalfuncties, onder an-dere met de cellulariteit en met kardinaalfuncties die in deze scriptie niet aan bod zijngekomen, zoals de extent en het π-karakter van een ruimte. Daarnaast kijkt Hodelnaar begrenzingen van het aantal compacte deelverzamelingen en het aantal continuereeelwaardige functies op topologische ruimtes. Ook het boek Cardinal Functions inTopology van Juhasz ([2]) is volledig gewijd aan kardinaalfuncties en bestudeert onderandere kardinaalfuncties op productruimtes en op ruimtes die de vereniging zijn van eenstijgende rij deelverzamelingen.

Een stelling die in het bijzonder een grote nalatenschap heeft gehad is de stelling vanArhangel’skiı. Zoals in het voorgaande hoofdstuk is beschreven heeft het bewijs vandeze stelling geleid tot de ontwikkeling van de closure-methode, die is uitgegroeid tot debelangrijkste bewijsmethode in dit vakgebied. Daarnaast heeft deze stelling aanleidinggegeven tot tal van generalisaties en vervolgresultaten. Een overzicht van deze resul-taten wordt gegeven in het artikel Arhangelskiı’s Solution to Alexandroff’s Problem: aSurvey van Hodel uit 2006 ([12]). Een voorbeeld van zo’n generalisatie is de ongelijk-heid |X| ≤ 2t(X)·ψ(X)·L(X) voor iedere Hausdorff-ruimte X. Hierin staat t(X) voor dekardinaalfunctie tightness.

Variaties op de stelling van Arhangel’skiı zijn ook onderwerp van hedendaags onder-zoek. In 2016 verschijnt het artikel Cardinality Bounds Involving the Skew-λ LindelofDegree and its Variants van Carlson en Porter. In dit artikel wordt skL(X,λ), hetzogenaamde skew-λ-Lindelofgetal, gebruikt om verbeterde bovengrenzen te geven op dekardinaliteit van Hausdorff- en Urysohnruimtes. In het bijzonder wordt een sterkere ver-sie van de zojuist genoemde begrenzing |X| ≤ 2t(X)·ψ(X)·L(X) gegeven. Het Lindelofgetalwordt hierin vervangen door het zwakkere skew-λ-Lindelofgetal.

De Groot, Hajnal, Juhasz en Arhangel’skiı zorgden eind jaren ’60 voor grote doorbra-ken in de theorie van kardinaalfuncties. Hun werk houdt wiskundigen tot op de dag vanvandaag bezig.

30

Populaire samenvatting

Hoeveel gehele getallen zijn er? Dit lijkt misschien een vreemde vraag; het zijn er immersoneindig veel. Toch bestaat er een zinnig antwoord op deze vraag.

De Duitse wiskundige Georg Cantor ontwikkelde eind 19e eeuw een methode om de‘grootte’ van oneindige grote verzamelingen te meten en te vergelijken. Deze ‘grootte’heet de kardinaliteit van een verzameling en wordt weergegeven met een kardinaalgetal :

0, 1, 2, 3, ...,ℵ0,ℵ1,ℵ2, ...,ℵω,ℵω+1,ℵω+2, ...

Een verzameling met een element heeft kardinaliteit 1, een verzameling met twee ele-menten heeft kardinaliteit 2, etcetera. Wat is dan de kardinaliteit van {0, 1, 2, 3, ...}, deverzameling van positieve gehele getallen? Cantor noemde deze kardinaliteit ℵ0 (alephnul). ℵ0 is dus een getal dat oneindigheid aangeeft. Het is de grootte van de verzamelingvan positieve gehele getallen.

Georg Cantor

Zoals je in het bovenstaande rijtje kunt zien is dit echter niethet grootste kardinaalgetal. Een van de beroemdste ontdek-kingen in de wiskunde is het bewijs van Cantor dat sommigeverzamelingen een grotere kardinaliteit hebben dan de verzame-ling van gehele getallen, ondanks het feit dat deze verzamelingal oneindig groot is. Een voorbeeld van een verzameling met eengrotere kardinaliteit dan ℵ0 is de verzameling van reele getallen.Dat zijn alle getallen op de getallenlijn, inclusief alle breuken enirrationale getallen als

√2 en π.

Na ℵ0 komt dus ℵ1. Dit is een getal dat een ‘gro-tere oneindigheid’ aangeeft dan ℵ0. Cantor ontdekte ookdat je altijd door kunt gaan met het maken van nog gro-tere verzamelingen. Na ℵ1 komt dus nog ℵ2, ℵ3, etce-tera.

Deze ontdekkingen zijn onderdeel van de verzamelingenleer, een vakgebied dat eind19e eeuw is ontstaan en een belangrijke rol in de wiskunde speelt. Een ander belangrijkwiskundig vakgebied is de topologie. Dat is de tak van wiskunde die zich bezighoudtmet de eigenschappen van ruimtes die behouden blijven als je de ruimte op een continuemanier vervormt. Vergelijk bijvoorbeeld een koffiemok en een donut. Beiden hebbenslechts een gat. Een koffiemok kan dus omgevormd worden tot een donut, zonder dat jehiervoor hoeft te scheuren of nieuwe gaten hoeft te maken. Een koffiemok en een donuthebben daarom precies dezelfde topologische eigenschappen.

De topologie houdt zich niet zozeer bezig met de metrische eigenschappen van eenruimte, zoals lengtes en oppervlaktes, maar met eigenschappen die de structuur van een

31

ruimte beschrijven, bijvoorbeeld: kunnen alle punten in de ruimte verbonden wordendoor een lijn, uit hoeveel losse stukken bestaat de ruimte en wat gebeurt er met deruimte als ik er een punt uithaal?

Sommige topologische eigenschappen hebben te maken met kardinaalgetallen. Detwee beschreven vakgebieden komen dan samen, in de verzamelingstheoretische topo-logie. Voorbeelden van dit soort eigenschappen zijn de dichtheid, het karakter en hetLindelofgetal van een ruimte. Deze topologische eigenschappen worden allemaal beschre-ven door een kardinaalgetal en en worden daarom kardinaalfuncties genoemd.

Een interessante vraag die we ons nu kunnen stellen is: Wat zeggen de topologischeeigenschappen van een ruimte over de kardinaliteit van een ruimte? Als we bijvoorbeeldweten wat het karakter en het Lindelofgetal van een ruimte is, weten we dan ook ietsover hoe groot die ruimte is?

Johannes de Groot

Dit is een belangrijke vraag in het vakgebied van kar-dinaalfuncties in de topologie. In de ontstaansgeschiedenisvan dit vakgebied speelt de Universiteit van Amsterdam eenbelangrijke rol. Een van de eerste artikelen over kardinaal-functies werd in 1965 geschreven door Johannes de Groot,een topoloog die in die tijd hoogleraar aan de UvA was. Hijintroduceerde in zijn artikel nieuwe kardinaalfuncties en be-wees verbanden ertussen. Een van de kardinaalfuncties diehij introduceerde is de erfelijke cellulariteit van een ruimte.Deze wordt genoteerd als hc(X). De Groot bewees dat dekardinaliteit van bepaalde topologische ruimtes nooit groterkan zijn dan 22hc(X)

.Het artikel van De Groot inspireerde twee Hongaarse wis-

kundigen, Hajnal en Juhasz om zich in kardinaalfuncties teverdiepen. Eind jaren ’60 publiceerden zij twee artikelenwaarin ze voortbouwden op het werk van De Groot. Ze bewezen onder andere driestellingen die een bovengrens geven op de kardinaliteit van topologische ruimtes, aande hand van topologische eigenschappen zoals het karakter en de cellulariteit van dieruimtes.

Een vraag die op dat moment al ruim 40 jaar onbeantwoord was, was een vermoedenvan Aleksandrov en Urysohn. Deze Russische wiskundigen publiceerden in 1923 hun ver-moeden dat bepaalde topologische ruimtes, zogenaamde compacte Hausdorff CI-ruimtes,nooit een grotere kardinaliteit konden hebben dan de verzameling van reele getallen. Ditvermoeden werd uiteindelijk in 1969 bewezen door Alexander Arhangel’skii, een promo-vendus van Aleksandrov. Zijn stelling zegt dat de kardinaliteit van bepaalde topologischeruimtes nooit groter kan zijn dan 2L(X)·χ(X). L(X) en χ(X) zijn hierbij kardinaalfunc-ties, namelijk het Lindelofgetal en het karakter van een ruimte X. Deze stelling wordtbeschouwd als een van de belangrijkste stellingen in het vakgebied van kardinaalfuncties.

In de decennia na deze resultaten hebben kardinaalfuncties zich ontwikkeld tot eengroot vakgebied binnen de topologie, waar hele boeken over geschreven zijn en waar totvandaag de dag artikelen over verschijnen.

32

Bronverwijzing per stelling

Hier volgt een lijst van de stellingen die in deze scriptie aan de hand van een bron bewe-zen zijn, met een verwijzing naar de bron waar het bewijs op gebaseerd is. Veel van destellingen uit deze scriptie zijn in het boek General Topology van Engelking ([4]) gegevenals opgave, met een hint voor het bewijs. In dat geval is het bewijs in deze scriptie eenuitwerking van de opgave aan de hand van die hint.

Stelling 1.23: Dit bewijs volgt stelling 4.1 uit hoofdstuk 6 van [7].Stelling 2.13: Dit bewijs volgt stelling 3.1 b) uit [3].Stelling 2.14: Dit bewijs volgt stelling 3.2 uit [3].Stelling 2.16: Dit bewijs volgt stelling 3.3 uit [3].Stelling 2.17: Dit bewijs volgt stelling 1.5.3 uit [4].Stelling 2.18: Dit bewijs volgt gedeeltelijk de hint van opgave 3.12.11 a) uit [4].Lemma 3.1: Dit bewijs volgt propositie 4.8 uit [3].Stelling 3.2: Dit bewijs volgt de hint van opgave 3.12.10 c) uit [4].Stelling 3.3: Dit bewijs volgt propositie 4.11 uit [3].Lemma 4.1: Dit bewijs volgt propositie 3.4 uit [3].Stelling 4.2: Dit bewijs volgt de hint van opgave 3.12.10 b) uit [4].Stelling 5.1: Dit bewijs volgt stelling 3.1.29 uit [4].Stelling 5.2: Dit bewijs volgt de hint van opgave 3.12.10 a) uit [4].

33

Bibliografie

[1] A.J.M. van Engelen en K.P. Hart, Topologie, Syllabus, 2002.

[2] I. Juhasz, Cardinal Functions in Topology - Ten Years Later, Mathematical CentreTracts, 1980.

[3] R. Hodel, Cardinal Functions I uit Handbook of Set-Theoretic Topology van K.Kunen en J.E. Vaughan, Elsevier Science Publishers, 1984.

[4] R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, 1989.

[5] M.E. Rudin, Cardinal Functions in Topology uit Lectures on Set Theoretic Topology,American Mathematical Society, 1975.

[6] J. Ferreiros, The Early Development of Set Theory, The Stanford Encyclopedia ofPhilosophy.

[7] K. Hrbacek en T. Jech, Introduction to Set Theory, Marcel Dekker, Inc., 1999.

[8] H. Freudenthal, Levensbericht J. de Groot, Jaarboek, 1972, Amsterdam, pp. 119-121.

[9] T. Koetsier en J. van Mill, General Topology, in particular Dimension Theory, inThe Netherlands: The Decisive Influence of Brouwer’s Intuitionism, uit: Hand-book of the History of General Topology van C.E. Aull en R. Lowen, Springer Sci-ence+Business Media, 1997.

[10] P.C. Baayen, De Groot, Johannes, Complete Dictionary of Scientific Biography,2008, http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830905080.html

[11] J.J. O’Connor en E.F. Robertson, Johannes de Groot, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/De Groot.html.

[12] R.E. Hodel, Arhangelskiı’s Solution to Alexandroff’s Problem: a Survey, TopologyAppl., 2006.

[13] N.A. Carlson en J.R. Porter, Cardinality Bounds Involving the Skew-λ LindelofDegree and its Variants, Topology and its Applications, 2016.

Omslagafbeelding: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Omega-exp-omega-labeled.svg

34