Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012

Jo van den Brand & Jeroen MeidamSpeciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012

Gravitatie en kosmologieFEW Cursus

Najaar 2009 Jo van den Brand

Inhoud• Inleiding

• Overzicht• Klassieke mechanica

• Galileo, Newton• Lagrange formalisme

• Quantumfenomenen• Neutronensterren

• Wiskunde I• Tensoren

• Speciale relativiteitstheorie• Minkowski• Ruimtetijd diagrammen

• Wiskunde II• Algemene coordinaten• Covariante afgeleide

• Algemene relativiteitstheorie• Einsteinvergelijkingen• Newton als limiet

• Kosmologie• Friedmann• Inflatie

• Gravitatiestraling• Theorie• Experiment

3

Relatieve beweging

Einstein 1905:

Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen.

De lichtsnelheid is invariant – heeft voor alle waarnemers dezelfde waarde.

Einstein 1921

Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen krachten op werken (Newton’s eerste wet).

Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een inertiaalsyteem.

Ruimtetijd van de ART

deeltje in rust

x

ct

deeltje met willekeurige snelheid

deeltje naar rechts bewegend met constante snelheid

deeltje met lichtsnelheid

45o

Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimte tijd: empirisch vastgestelde universaliteit van de voortplanting in vacuumOnafhankelijk van bewegingstoestand van de bron golflengte intensiteit polarisatie van EM golven

Minkowskiruimte – dopplerfactor

k'

waarnemer A

x

ct

waarnemer B

45o

Waarnemers A en B hebben geijkte standaardklokken en lampjes

= tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van A

’= tijd tussen pulsen van lampje van A, gemeten met de klok van B

met dopplerfactor k k'

B flitst zijn lampje in Q. Waarnemer A ziet dat in R, op tijd

Minkowskiruimte – dopplerfactor

waarnemer A

waarnemer B

Vanuit punt P bewegen waarnemers A en B ten opzichte van elkaar (constante snelheid v van B tov A)

Lampje van A flitst na tijd gemeten met de klok van A (in E)

B ziet de flits van A na tijd k (in Q)

2k

P

E

Q

R

M

M

2k

k

Afstand van Q tot A: (vluchttijd radarpuls x lichtsnelheid)/2

2)1(

2

2

kccd ER

M is gelijktijdig met Q als RMEM

MEM MRM k 2

MM k 2 )1(2

2 kM

cckd

M /v1/v1

tijdafstandv

Minkowskiruimte – inproductwaarnemer

Definitie:

Afspraak: tijden voor P negatief tijden na P positief

212),( cPQPQ

Q

P

E

O

1

2We kennen de vector toe aan de geordende events P en Q

PQ

P

Q

1

20

P

Q

2

1

0P

Q

22 c

P

Q

01

20 P

Q

1

2

0

P en Q gelijktijdig als 21

Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek

Lorentzinvariantie Minkowski-metriek

Waarnemer A

Volgens A:2

1 2( , )PQ PQ c

Q

P

A1

A2

1

2

Dat wil zeggen is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P( , )PQ PQ

Waarnemer B

2'

1'

B1

B2

Volgens B:2

1' 2 '( , )PQ PQ c

Er geldt1 1

1 11 1'PA PBk k

2 2 2 2'PA PBk k

1 2 1' 2'

Scalair product is Lorentzinvariant

Definitie: 212),( cPQPQ

Met afspraak over het teken!

Lorentzcoördinaten

Waarnemer A(inertieel)

E is verzameling puntgebeurtenissen die gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A)

0 s

Definieer basisvector

Dat is de 3-dim euclidische ruimte op t.o.v. A

0e OE

0

M

Er geldt

Er geldt 0 0( , ) 1e e

1 s

2 s

1 s

2 s

O

E

E is verzameling puntgebeurtenissen die gelijktijdig zijn met

, 0 ( )AQ OE OQ l

Al

0e

1e

Orthonormaal stelsel vectoren in E met beginpunt O

1 2 3, ,e e e

Er geldt en 1 1( , ) 1e e

( , )i j ije e

En ook 0( , ) 0ie e

Voor cartesische coordinaten

Minkowski meetkunde

Het invariante lijnelement

Notatie bevat metriek en coordinaten

Minkowskimetriek

Lijnelement uitschrijven

Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van PythagorasDezelfde plaats: het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissenDan geldt

Inverse

Basisvectoren mete

0,1, 2,3

We hebben gevonden dat

1 als 0( , ) 1 als

0 overige gevallene e i

Nieuw symbool

( , )e e

We vinden met lorentzfactor

Tijddilatatie


Waarnemer W1: twee gebeurtenissen op dezelfde plaats

Waarnemer W2: meet tijdverschil

Snelheid tussen waarnemers

Tijddilatatie is geometrisch effect in 4D ruimtetijd

Tijd tussen twee gebeurtenissen verstrijkt het snelst voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen: eigentijd

Lat passeert waarnemer O’ (dus geldt en )

Lorentzcontractie


Kies x-as als bewegingsrichting

Er geldt

Waarnemer O beweegt met de lat mee: lengte lat is L

We hebben te maken met tijddilatatie

Invullen levert

We vinden

Voor hem vinden de twee gebeurtenissen (passeren van begin en eind van de lat bij O’) op verschillende tijden, gescheiden door

O’ beweegt t.o.v. latO staat stil t.o.v. lat

Lorentztransformaties

Invullen levert

Minkowski meetkunde: het invariante lijnelement

Welke transformaties laten dit element invariant?

We vinden

Translaties

Rotaties, bijvoorbeeld

Schrijf

Dit is een rotatie rond de z-as (met t en z constant, terwijl x en y mengen)

Rotatie rond de z-as

Evenzo voor rotaties rond de x- en y-as


Invullen levert

Welke transformaties laten dit element invariant?

We vinden

Boost, bijvoorbeeld

Schrijf

Dit is een boost langs de x-as (met y en z constant, terwijl t en x mengen)

Boost langs de z-as

Evenzo voor boosts langs de x- en y-asWat is die hyperbolische hoek ?

RapidityWe hadden

Dat is een kwadratische vergelijking in

Neem differentiaalvorm, kies en schrijf

Kwadrateren, delen door en vergelijken met tijddilatatie

Gebruik de abc-formule

Ook geldt

Maniluleer

Waarnemers in S en S’ bewegen met snelheid v t.o.v. elkaar. Systemen vallen samen op t = t’ = 0.

Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het event.Waarnemer in S’ kent (x’,y ’, z’, t’) toe aan hetzelfde event.

Wat is het verband tussen de ruimtetijd coordinaten voor dit zelfde event?

Lorentz 1902


Transformaties laten ds2 invariant


Inverse transformatie(snelheid v verandert van teken)

Lorentztransformatie

Relativiteit van gelijktijdigheidStel dat in systeem S twee events, A en B, op dezelfde tijd, tA = tB, gebeuren, maar op verschillende plaatsen, xA xB.

Invullen levert

Events vinden niet simultaan plaats in systeem S’

Lorentzcontractie (lengtekrimp)Stel dat in systeem S' een staaf ligt, in rust, langs de x' as. Een einde op x' = 0, het andere op x' = L'.

Wat is de lengte L gemeten in S?

We moeten dan de posities van de uiteinden meten op dezelfde tijd, zeg op t = 0.

Het linker einde bevindt zich dan op x = 0.Het rechter einde op positie x = L' / .

Een bewegend object wordt korter met een factor in vergelijking tot zijn lengte in rust.

Langs bewegingsrichting!

Tijddilatatie (tijdrek)

Een bewegende klok loopt langzamer met een factor in vergelijking tot toestand in rust.

Deeltjes hebben `ingebouwde’ klokken (verval).

Optellen van snelhedenEen raket is in rust in inertiaalsysteem S' dat met snelheid v beweegt t.o.v. S.

Iemand vuurt een kogel af in systeem S' met snelheid ux' in S'.

Wat is de snelheid van de kogel in S ?

'xu

Een kwestie van afgeleiden nemen …

Het klassieke antwoord

Als ux' = c, dan u = c en lichtsnelheid gelijk voor alle systemen!!!

April 24, 2023 Jo van den Brand 22

Viervectoren

Positie-tijd viervector x, met m = 0, 1, 2, 3



ViervectorenLorentztransformaties

In matrixvorm

metalgemeen geldig


LorentzinvariantieRuimtetijd coordinaten zijn systeem afhankelijk

Invariantie voor

Analoog zoeken we een uitdrukking als

Met metrische tensor

Hiervoor schrijven we de invariant I als een dubbelsom

Net als r2 voor rotaties in R3

Co- en contravariante vectoren

Invariant

Contravariante viervector

Covariante viervector

Deze notatie wordt ook gebruikt voor niet-cartesische systemen en gekromde ruimten (Algemene Relativiteitstheorie)

Dit is de uitdrukking die we zochten.De metriek is nu ingebouwd in de notatie!


ViervectorenViervector a (contravariant) transformeert als x

We associeren hiermee een covariante viervector Ruimte componenten

krijgen een minteken

Ook geldt

Invariant

Scalar product

Er geldt


SnelheidSnelheid van een deeltje t.o.v. het LAB: afstand gedeeld door tijd (beide gemeten in het LAB)

Een hybride grootheid. Er geldt

Proper snelheid: afstand in LAB gedeeld door eigentijd (gemeten met klok van het deeltje)

viersnelheid

Er geldt

Impuls en energie

Definieer relativistische impuls als

Indien behouden in S dan niet in S'

Ruimtelijke componenten

Klassieke impuls p = mv

Tijdachtige component

Definieer relatv. energie

Energie-impuls viervector


EnergieTaylor expansie levert

Rustenergie van deeltje Klassieke kinetische energie

Merk op dat enkel veranderingen in energie relevant zijn in de klassieke mechanica!

Relativistische kinetische energie

Massaloze deeltjes (snelheid altijd c)


BotsingenEnergie en impuls: behouden grootheden!

Merk op dat E en p niet (Lorentz) invariant zijn!

Massa is Lorentzinvariant Massa m is geen behouden grootheid!

Voorbeeld 1

begintoestand

Massa’s klonteren samen tot 1 object

eindtoestand

Energiebehoud levert

Na botsing is object in rust!

Na botsing hebben we een object met massa M = 5m/2. Massa is toegenomen: kinetische energie is omgezet in rustenergie en de massa neemt toe.


Voorbeeld 2

Deeltje vervalt in 2 gelijke delen

eindtoestandbegintoestand

Men noemt M = 2m de drempelenergie voor het verval.

Heeft enkel betekenis als M > 2m

Voor stabiele deeltjes is de bindingsenergie negatief. Bindingsenergie maakt net als alle andere interne energieën deel uit van de rustmassa.

Energiebehoud

(zie vorige opgave)


Voorbeeld 3

Verval van een negatief pion (in rust): - + -

Vraag: snelheid van het muon

Energiebehoud

Relatie tussen energie en impuls

Dit levert

Massa van neutrino is verwaarloosbaar!

Voorbeeld 3 – vervolg

Snelheid van het muon

Gebruik

Invullen van de massa’s levert v = 0.271c

Relatie tussen energie, impuls en snelheid

Voorbeeld 3 – viervectoren

Er geldt

Energie en impulsbehoud

Hiermee hebben we weer E en p gevonden en weten we de snelheid.

Merk op dat

Kwadrateren levert

en

We vinden E

Evenzo

Einsteins sommatieconventie

• Vector en 1-vorm geven een scalar

• Sommatie index is een dummy index, want uiteindelijk krijgen we een getal

• Problemen

VpcVpVpVpVp 3

32

21

10

0

Vrije indices horen overeen te komen

Nu tel je appels en peren op

Links een 1-vorm, rechts een scalar

Sommatie index maar 1x gebruiken

Verschillende objecten

x

Gradient is een 1-vorm

Euclidische ruimte

• Vlakke ruimte met afstand tussen punten als invariant• Pythagoras 222 dydxds

dxdxdxdxdxdxgdxdxds 2

222 ),(1001

dydxdydx

dydxdydx

dydx

dsT

dy

dx

dsEvenzo in 3 dimensies

Stel we hebben vectorcomponenten

32a

Wat is dan de 1-vorm componenten ?a)3,2(a

Minkowskiruimte• Licht gedraagt zich onafhankelijk van de waarnemer• Golffronten zijn behouden voor bewegende waarnemers• Beschouw bolgolven vanuit de oorsprong

2222 ),(1001

drdtcdrcdt

drcdtdrcdt

drcdt

dsT

cdt

dr

ds

dxdxdxdxgdxdxds 2

0 :O'

0 :O22222

22222

tdczdydxd

dtcdzdydx

We hebben nu ruimtetijd en weer een invariant (een scalar).

Trouwens, elke is een scalar en dus invariant!

ba

Minkowskiruimte

• Metrische tensor

• Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de speciale relativiteitstheorie

1000010000100001

g

Beschouw 2D hyperbolische ruimte, cdt en dx

Stel we hebben vectorcomponenten

32a

Wat zijn dan de 1-vorm componenten ?a )3,2(a

Wat is de lengte van ?a

533222 aaa

Kan positief, nul of negatief zijn! Metriek heeft signatuur 2: een pseudo-riemannse variëteit

100 ee

Minkowskiruimte

• Ruimtetijd geometrie

Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Wat zijn de lengten?

A B

C

A’

C’

B’

ct

x

222 )()( xtcs

Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC?

Idem voor driehoek A’B’C’

|AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-32 + 52) = 4

Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C

|A’B’| = |B’C’| = wortel(-32+32) = 0 en |A’C’| = 6Pad is A’B’C’ met lengte 0.

ctx

xtcs

0)()( 222

Tweelingparadox2 2 2 2( ) ( ) ( )s c t x c

Tweelingparadox

A=(0,0)

C=(20,0)

B=(10,8)

ct

x

Smith en Jones zijn tweelingen, beiden 30 jaar oud. Jones vliegt naar Sirius en reist met 8/10 van de lichtsnelheid. Als hij Sirius bereikt, komt hij meteen terug.

Jones, gaat snel, maar Sirius is ver. Jones is 20 jaar weg en als hij terugkeert is Smith 50.

Hoe oud is Jones?

2 2 2 2( ) ( ) ( )s c t x c

S J

Euclidisch versus minkowskiruimte

• Afstand s2 tussen oorsprong O en P

222 yxs

y

x

Euclidisch

ct

x

2222 xtcs

Minkowski

Minkowskiruimte

• Bewegende waarnemers

2222 xtcs

)('

)('

vtxx

xcvctct

Voor de x’ as: stel ct’=0. Dan volgt ct = x.

Voor de schaal op de x’ as: stel x’=1 en ct’=0. Dan volgt x=.

Voor de ct’ as: stel x’=0. Dan volgt ct = x/.

Voor de schaal op de ct’ as: stel ct’=1 en x’=0. Dan volgt ct=.

Minkowskiruimte: causale structuur

tijdachtig: ds2 negatief lichtachtig: ds2 = 0

ruimteachtig: ds2 positief

toekomst

verleden

Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal verbonden zijn met gebeurtenis P.

Er buiten kan geen causaal verband bestaan.

P

We onderscheiden

GroeptheorieGroep G

Eindige (of discrete) groep

Kleinste groep (triviale groep) met n = 1 heeft enkel element g = 1

G met oneindig aantal elementen gespecificeerd door N parameters:Compacte groep G: parameters zijn eindigLie groep G: de afgeleiden naar parameters bestaan

Definitie: het identiteits-element is de oorsprong van parameterruimte

Definitie: de generatoren spannen vectorruimte op

Vectorproduct levert elementStructuurconstante(n)

Invariantie scalair product

LorentzgroepLorentztransformatie in matrixvorm

In matrixnotatie

Er geldt

Unieke inverse bestaat

De groep is niet-Abels

Elementen (de transformaties) vormen de Lorentzgroep

De metriek behandelt de 3 ruimtelijke dimensies anders de 1 tijddimensie

4 x 4 reele matrices hebben 16 reele parameters

Achtereenvolgende transformaties leveren ook weer een element

Er zijn echter 10 relaties vanwege

De groep wordt beschreven door 6 = 16 – 10 parameters

Merk op

We laten in de proper Lorentzgroep geen reflecties toe, en eisen ook

Generatoren Lorentzgroep6 parameters:

3 Euler rotatiehoeken (orthogonale transformaties die lengte 3-vector behouden) 3 boosts (hyperbolische rotaties die lengte 4-vector behouden)

Rotatie om z-as

Boost langs z-as

We schrijven transformatie als

Generator L wordt geitereerd tot volledige transformatie; L is reele 4 x 4 matrix

We staan enkel “proper” transformaties toe

L is traceless en reeel. Ook geldt

Generatoren LorentzgroepInverse

Dus gL spoorloos en L spoorloos en mixed symmetry

Er geldt

Boosts en rotaties

Neem logaritme en gebruik

We kiezen als basis in parameterruimte

In de eerste rij herkennen we de rotatiematrices

We hadden met

Rotatie om z-asKies parameters

Dan

Verder

Exponentiatie

Dit levert

Dit levert de bekende rotatie om de z-as

We hadden met

Boost langs z-asKies parameters

Dan

Verder

Exponentiatie

Dit levert

Dit levert de bekende boost langs de z-as

Hermitische operatoren Ji van impulsmoment

Connectie met quantummechanicaWe hebben voor Lorentzgroep gevonden

Niet-Abelse groep

Relateer generatoren aan fysische observabelen: Hermitische operatoren

Definieer

Dan geldt

Lie algebra

Generatoren

Noether theorema, Casimiroperatoren

Stroom viervector

ElektrodynamicaMaxwellvergelijkingen

Faraday tensor

Er geldt

Continuiteitsvergelijking

Maxwellvergelijkingen

Volgt uit

Nul-component: arbeid verricht door deze kracht per tijdseenheid

ElektrodynamicaLorentztransformaties

We vinden onveranderd, terwijl

Vierkracht

Dan geldt met

Schrijf

Energie-impulstensor van elektromagnetisch veld

Ruimtelijke-componenten: Lorentzkracht

Energie-impulstensor is symmetrisch

Energiedichtheid

Traagheid van gasdruk

• SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen (traagheid neemt toe)

Volume V

22

21

21 Vvmv Dichtheid

Druk P

• Oefen kracht F uit, versnel tot snelheid v << c

• SRT: lorentzcontractie maakt de doos kleiner

VPsdF

v• Energie nodig om gas te versnellen

VvcPPV

cvVvVPmvE 2

22

222

21

21

21

21

extra traagheid van gasdruk

2 2

2 2

11 12

v vL L Lc c

Energie-impuls tensor: `stof’• Energie nodig om gas te versnellen

– Afhankelijk van referentiesysteem– 0 – component van vierimpuls

VvcPE 2

221

• Beschouw `stof’ (engels: dust)– Verzameling deeltjes in rust ten opzichte van elkaar– Constant viersnelheidsveld )(xU Flux viervector nUN

deeltjesdichtheid in rustsysteem

• Bewegend systeem– N0 is deeltjesdichtheid– Ni deeltjesflux in xi – richting

massadichtheid in rustsysteem nmenergiedichtheid in rustsysteem 2c

• Rustsysteem– n en m zijn 0-componenten van

viervectoren

000n

N

000mc

mUp

is de component van de tensor0,0 2c Np

UUUmnUNpT stof Er is geen gasdruk!

Energie-impuls tensor: perfecte vloeistof• Perfecte vloeistof (in rustsysteem)

– Energiedichtheid– Isotrope druk P

diagonaal, met T 332211 TTT

• In rustsysteem

• In tensorvorm (geldig in elke systeem)

We hadden UUT stof

Probeer UUcPT

2stof

We vinden PgUU

cPT

2stof Verder geldt

Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012

Documents

Transcript of Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012