Jo van den Brand

www.nikhef.nl/~jo/ne

April 18, 2011

Nuclear energyFEW course

Week 4, jo@nikhef.nl

Najaar 2009 Jo van den Brand

Inhoud

• Jo van den Brand• Email: jo@nikhef.nl URL: www.nikhef.nl/~jo • 0620 539 484 / 020 598 7900, Kamer T2.69

• Book• Elmer E. Lewis, Fundamentals of Nuclear Reactor Physics

• Week 1 Nuclear reactions, neutron interactions• Week 2 Neutron distributions in energy• Week 3 Reactor core• Week 4 Reactor kinetics• Week 5 Neutron diffusion, distribution in reactors• Week 6 Energy transport• Week 7 Reactivity feedback, long-term core behavior

• Website: www.nikhef.nl/~jo/ne • Werkcollege

• Woensdag, Mark Beker (mbeker@nikhef.nl)• Tentamen

• 23 mei 2011, 8:45 – 11:45 in HG-10A05• Herkansing: 22 augustus 2011, 8:45 – 11:45• Beoordeling: huiswerk 20%, tentamen 80% (alles > 5)

Four factor formula

Vermenigvuldigingsfactor kan inzichtelijk gemaakt wordenk

Er geldtneutron productie door splijting in generatie

neutron absorptie in generatie 1

ik

i

Fast fission factor# snelle neutronen geproduceerd door alle splijtingen

# snelle neutronen geproduceerd door thermische splijtingen

Resonanceescape probability

# neutronen die thermische energie bereiken

# snelle neutronen die met slow down beginnenp

Thermalutilization factor

# thermische neutronen geabsorbeerd in fuel

# thermische neutronen geabsorbeerd in allesf

Reproduction factor# snelle neutronen geproduceerd in thermische splijting

# thermische neutronen geabsorbeerd in de fuelT

Four factor formula Tk pf

Fast fission factor

Fast fission factor

Er geldt

# snelle neutronen geproduceerd door alle splijtingen

# snelle neutronen geproduceerd door thermische splijtingen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( ) ( )

f f ff f f f f fT F F

f ff f f fT T

E E dE E E dE E E dE

E E dE E E dE

Varieert tussen 0.02 en 0.30

Afhankelijk vanModerator materiaalVerrijkingsgraad

Resonance escape probability

Alle snelle neutronen die downward scatteren worden geabsorbeerdIn I-range door resonante capture door fuelIn T-range door fuel en moderator

We hadden

Schrijf als

Er geldt( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f mf a f m a mT T

f f mf a f a f m a mT I T

V E E dE V E E dEpV E E dE E E dE V E E dE

# neutronen die thermische energie bereiken

# snelle neutronen die met slow down beginnenp

( ) ( )1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ff a fI

f f mf a f a f m a mT I T

V E E dEp

V E E dE E E dE V E E dE

= Totale absorptie = Vq met q de slowing down dichtheid

Twee volume modelf m

f m m m

V Vq q q Vq V q

V V Verwaarloos slowdown in fuel

Dan geldt 1 ( ) ( )f fea fI

m m

Vp E E dE

V q Capture fertile materiaal dominant

( ) ( )f fea aE E

Resonance escape probability

In I-range zijn moderatoren zuivere verstrooiiersEr is dan een relatie tussen flux en slowing down densityAls , dan is de flux 1/E

We hadden

Herschrijf als

Er geldt

Voor 1 resonantie

( ) constantms E

Dan geldt

1 ( ) ( )f fea fI

m m

Vp E E dE

V q

Self shielding depresses

( )m mm s mq E E

We vinden 1 ( ) ( )( )

f fea fm m I

m s m

Vp E E dE

V E E

( ) ( )

1 , met ( )

fef a f

m m Im s

V E Ep I I dE

V E E

exp f fei im m

m s

V Np I

V

Voor T resonanties 1 2 3 1i T Tp p p p p p p

1

exp , met T

f feim m

im s

V Np I I I

V

( ) / ( )f mE E

Fuel rods 0.2 < D < 3.5 cmIntegraal I (absorptie) neemt af als D toeneemt!

Thermal utilization factor

(ruimtelijk gemiddelde thermische fluxen)

# thermische neutronen geabsorbeerd in fuel

# thermische neutronen geabsorbeerd in allesf Thermal utilization factor

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ff a fT

f mf a f m a mT T

V E E dEfV E E dE V E E dE

Alle thermische neutronen worden in fuel of moderator geabsorbeerd

Definieer ( ) , en ( )fT f mT mT TE dE E dE

Dan 1 1( ) ( ) ( ) , en ( ) ( ) ( )f f m mxT fT x f xT mT x mT TE E E dE E E E dE

We vinden 1

1 m fm aT f aT

fV V

Met thermal disadvantage factor mT fT

Hoe meer neutronen gecaptured worden in de moderator (vanwege de grotere flux daar), hoe minder er splijting kunnen veroorzaken in de fuel

Thermal utilization factor

U, m en p voor uranium, moderator en poison

Homogene reactor (overal dezelfde flux en volume)

Thermal utilization factor voor een homogene reactor

Reproduction factor

When core contains 235U and 238U

Reproduction factor# snelle neutronen geproduceerd in thermische splijting

# thermische neutronen geabsorbeerd in de fuelT

( ) ( )

( ) ( )

f ff f fTT

T T ffaTa fT

E E dE

E E dE

Er geldt

Voorbeeld: UO2 PWR

Druk four factors uit in termen van verrijking en verhouding moderator / fuel

Er geldt

Invloed van toename inToename resonance escape probabilityAfname thermal utilization (absorptie in moderator)Er is dus een optimale verhouding!

(1 )f fi feaT aT aTe e

Resonance escape probability is functie van

1 (1 )fi fe fiT T aT aTe e

en m m f fV N V N

Omdat (1 )fe fN N (1 )

exp , met m ms s sm

sm m f f

Ip N

V N V N

Thermal utilization factor 1

1 m fm m f f aT aT

fV N V N

Fast fission factor 1

1fe fe

fF

fi fifT

m m f fV N V N

Grotere rod diameter geeft hogere multiplicationNegatieve feedback met temperatuur (stabiliteit)

Reactor kinetics

Reactor kinetics

Aannamen:Neutron distributies en werkzame doorsneden gemiddeld over energieVerwaarloos neutron leakage uit eindige core

Gemiddelde levensduur van neutronenNeem aan n(0) neutronen op t = 0Neem aan dat er geen verdere neutronen geproduceerd worden, dus S(t) = 0

Definities:Totaal aantal neutronen op tijd t isGemiddelde neutron snelheid isEnergie-gemiddelde werkzame doorsnede voor reactie van type x is

( )n t

Infinite medium non-multiplying systemBalansvergelijking

( )( ) ( )a

dn tS t vn t

dt

En dus

vx

# neutronen geproduceerd / s

# neutronen geabsorbeerd / s

/( )( ) ( ) (0) , met 1/t l

a a

dn tvn t n t n e l v

dt

0

0

( )1/

( )a

tn t dtt v l

n t dt

/0( ) 1 , met (0) 0t ln t l S e n

Infinite medium multiplying systems

Aannamen:Er is ook splijtbaar materiaal aanwezigVerwaarloos neutron leakage uit eindige core

Infinite medium multiplication

Infinite medium multiplying systemBalansvergelijking

( )( ) ( ) ( )f a

dn tS t vn t vn t

dt

# neutronen geproduceerd / s

# neutronen geabsorbeerd / s

# neutronen van splijting / s/ f ak

Herschrijf tot 1( )

( ) ( )

kdn tS t n t

dt l

Aanname: enkel neutronen van splijting (S = 0) 1( )

( )

kdn t

n tdt l

Criticality voor (dan stabiele populatie)1 k

We onderscheidenSubcriticalCriticalSupercritical

1 k1 k1 k

Finite multiplying systems

Aannamen:Er is ook splijtbaar materiaal aanwezigEr is neutron leakage uit eindige core

NeutronenGeboren in source S of in splijtingEindigen door absorptie of leakage

Finite multiplying systemBalansvergelijkingNotatie: leakage evenredig met aantal absorbed

( )( ) ( ) ( ) ( ) f a a

dn tS t vn t vn t vn t

dt

# neutronen geproduceerd / s

# neutronen van splijting / s

, en NL NLk P k l P l

1( )( ) ( )

NL

NL NL

P kdn tP P S t n t

dt l

Waarschijnlijkheid op (non)leakage1

11 1

a

L NL La a

vnP P P

vn vn

We verwachten dat toeneemt met grootte van reactor

We schrijven

# neutronen leakage / s

# neutronen geabsorbeerd / s

( )( ) ( ) ( ) NL NL NL f a

dn tP P S t P vn t vn t

dt

1( )( ) ( )

kdn tS t n t

dt l

Analoog aan infinite medium, met notatie

Gedrag multiplying systems

Criticality analyse:Zet bronterm S(t) = 0Verwaarloos delayed neutrons

Indien n(0) > 0

Een systeem is critical alsEr een tijdonafhankelijke kettingreactie gaande is in afwezigheid van een bron S(t)

Met bron

1( )( )

kdn t

n tdt l

1

( ) (0)

k

tln t n e

1k

We onderscheiden weerSubcriticalCriticalSupercritical

1 k1 k1 k

( ) 0S t 0( ) S t S0(0) 0, en ( ) n S t S

1

0( ) 11

kt

llS

n t ek

01 ( )

1

lS

k nk

01 ( ) k n t S t

Neutronen populaties(a) zonder bron(b) met bron

Zeer snelle tijdvariaties: 10-8 tot 10-4 s

( ) 0S t 0( ) S t S

Bijdrage van delayed neutronen domineert de gemiddelde neutron levensduur, want

Een kleine fractie komt van het verval van splijtingsproducten

Delayed neutrons

Meer dan 99% van alle splijtingsneutronen worden instantaan geproduceerd

We onderscheiden

Er geldt

Prompt neutron levensduur

Gemiddelde halfwaardetijd

/ l

6

1

ii 6

1 12 21

1

i ii

t t

Verder 12

0.693 / iit

6

1

1 1 1

ii i

lDelayed neutron levensduur 1/2 / 0.693 1/ dl l t l

Gemiddelde neutron levensduur 1 / dl l l l

We kunnen niet eenvoudig door vervangen in uitdrukkingen

l l

Neutron kinetics equations herschrijven als

Delayed neutron kinetics

Kinetics equations

Precursor concentraties

( )( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f i i a a

i

dn tS t vn t C t vn t vn t

dt

# neutronen geproduceerd / s

# neutronen van splijting / s # neutronen leakage / s

# neutronen geabsorbeerd / s

# delayed neutronen / s

( )( ) ( ), 1, 2, ,6 i

i f i i

dC tvn t C t i

dt

# precursors geproduceerd / s

# precursors verval / s

( ) 1( ) 1 1 ( ) ( ) i i

i

dn tS t k n t C t

dt l

( )( ) ( ), 1, 2, ,6 i

i i i

dC t kn t C t i

dt l

Steady-state oplossing:

0

10

kS n

l

Dus k = 1 als S0 = 0

Neutron kinetics equations herschrijven als

Reactivity

Definitie van reactivity

Definitie: prompt generation time

1 k

k

( )( ) ( ) ( )

i ii

dn tS t n t C t

dt( )

( ) ( ), 1, 2, ,6

i ii i

dC tn t C t i

dt

Aantal splijtingsproducten dat neutronen uitzendt is veel groter dan het aantal neutronen

/ 1 i i

We onderscheiden weerSubcriticalCriticalSupercritical

0 0 0

/ l k

MeestalDan geldt iC n

Stapverandering in reactiviteitNeem aan

0.10650 10 s

Levensduur van de splijtingsproducten die neutronen uitzenden bepalen de tijd response

Asymptotisch geldt //1 1( ) tt Tn t Ae Ae

Reactor period T

Reactor period

Zoek oplossingen van de vorm

Invullen levert

( )( ) ( ) ( )

i ii

dn tS t n t C t

dt( )

( ) ( ), 1, 2, ,6

i ii i

dC tn t C t i

dt

( ) exp en ( ) exp i in t A t C t B t

i ii

A A B

We vindenInhour equation

Prompt critical conditie

Prompt critical niet benaderen!Meet reactivity in dollars $ / Reactor kan niet sneller uit dan in 56 s

i

i i iB A B

1

i i i

i ii i

In inverse uren

235U

Voor is kettingreactie mogelijk zonder delayed neutronen!

Voor kleine reactivities / TDelayed neutronen maken de dienst uit

Diffusie van neutronen

Diffusie van neutronen

Tot nu toe hebben we globale neutronendiffusie met PNL gekarakteriseerd

Diffusievergelijking nodigVerband tussen reactorafmetingen, vorm en criticalityRuimtelijke flux distributies in power reactoren

Diffusievergelijking en randvoorwaarden opstellenEenvoudige 1D gevallenEindige cilindersymmetrische reactor core

Ruimtelijke neutronenbalans (steady state conditie)

Er geldt

Neutronenstroom is het netto aantal neutronen/cm2/s door het y-z vlak in de positieve x richting op punt (x,y,z)

Volume element op punt ( , , )

dV dxdydz r x y z

( , , )xJ x y z

AannamenEen energie-groep modelNeutron flux en werkzame doorsneden zijn al gemiddeld over energie

Diffusievergelijking

Aantal neutronen dat door het voorvlak naar binnen stroomt

En door het achtervlak naar buiten

Gebruik definitie van partiële afgeleide

Verder geldt

We vinden dan

1( , , )

2xJ x dx y z dydz

1( , , )

2 xJ x dx y z dydz

Evenzo voor de andere vlakkenNetto neutronenlek per seconde uit de kubus

Diffusievergelijking

Invullen in van gevonden uitdrukkingen in

Schrijf neutronenstroom in vectorvorm

Diffusiebenadering: relatie tussen stroom en flux

We vinden dan de balansvergelijking

Levert

Definitie van gradiënt

Wet van Fick

Diffusie coefficientNeutron diffusievergelijking

Er geldt met transport cross section

Gemiddelde verstrooiingshoek (isotroop: 0)

Nonmultiplying systems

AannamenUniform medium zonder splijtbaar materiaal en zonder brontermFlux verandert nauwelijks in y en z (afhankelijkheid kan verwaarloosd worden)

We vinden dan

Definieer diffusielengte

Probeer oplossing van vorm

Invullen levert met

Source free

constant constant

Twee mogelijke oplossingen voor neutronfluxRandvoorwaarden nodig om coefficienten te bepalenNeem aan dat neutronen van links komen

Voorbeeld: uniforme bronterm

Dan geldt

We vinden dan

Oplossing van de vorm

We hebben weer twee randvoorwaarden nodig

Neem aan dat uniforme bron verdeeld is van en dat

We vinden

Oplossing van homogene vergelijking

Particuliere oplossing

Dan geldt

Randvoorwaarden

Partiële stromen

Diffusiebenadering levert

Vacuum boundariesHier gaan geen neutronen doorEen oneindig vacuum zonder neutronenbronnen

Vacuum boundary rechts op xr

Stroom in positieve x-richting

Stroom in negatieve x-richting

Dan geldt

We hadden

Isotrope verstrooiing en weglengte

Gebruik of

Sferische geometrie

Met Laplace operator in 1D sferische coördinaten

Voorbeeld: puntbron Sp op r = 0

Definieer

Probeer weer

Dit levert

Voor r > 0 geldt dan

Randvoorwaarde dus

Randvoorwaarde bij oorsprong is subtielerAls dan met

Hiermee vinden we

Er geldt

Diffusielengte

Afstand die een neutron aflegt van geboorte op r = 0 tot absorptie

Er geldt

Met

Uitrekenen levert

Diffusielengte is evenredig met rms diffusieafstand van geboorte tot absorptie

Vrije weglengte

Isotrope verstrooiingMet en

Dus

Voorwaarde: c > 0.7

Multiplying systems

We beschouwen een uniform sferische systeem met splijtbaar materiaal

Deel door D en gebruik en levert in 1D

Voor de oplossing geldt weer met

Ook geldt

Gebruik weer

We vinden voor de flux

Neutron diffusievergelijking

Probeer weer

Multiplying systems

We hadden

Met definitie

Flux

Gebruik voor de ge-extrapoleerde bolstraal, met conditie

Dat levert een relatie voor C1

Randvoorwaarden: eindig, enkel voor

Aldus

Als dan en

Dat levert

p flux oneindig

Kernreactor

Stabiel bedrijf vereist multiplicatiefactor f = 1: per reactie moet gemiddeld 1 neutron weer een nieuwe kernsplijting inducerenSubkritisch (superkritisch): f < 1 (f > 1)

Regelstaven van cadmium (of boron) absorberen neutronen en zorgen dat de reactor precies kritisch (f = 1) blijft

Regeling is enkel mogelijk dankzij een kleine fractie (1%) vertraagde neutronen afkomstig van kernverval met levensduur van enkele seconden

Reactor voor onderzoek: neutronenbron voor productie van isotopen

Reactor voor productie van energieVerrijkt uranium van 2 – 4%Water of vloeibaar zout onder hoge druk

Het begin

• Enrico Fermi• Chicago, Dec. 2, 1942• Criticality reached

Het begin

• Manhattan project• Plutonium productie• Reactor B in Hanford• Trinity: the gadget• Nagasaki bom

EBR – 1 in Idaho (1951)

Nautilus (1954)

Najaar 2007 Jo van den Brand 36

Kernenergie

“It is not too much to expect that our children will enjoy in their homes [nuclear generated] electrical energy too cheap to meter.”

Kernenergie vandaag:• Levert 16% van de elektriciteit in de wereld

• 20% in USA• 77% in Frankrijk• 54% Belgie• 26% Duitsland• 46% Zweden• 4% Nederland

• 69% van de non-carbon elektriciteit in USA• Ongeveer 441reactoren in de wereld

• 147 in EU (200+ in Europe)• 104 in USA

Geen gebouwd in USA na 1970s Kleine budgetten voor R&D

Lewis Strauss, Chairman of the U.S.Atomic Energy Commission (1954

Najaar 2007 Jo van den Brand 37

Alle reactoren in de USA zijn gebouwd in ongeveer 25 jaar

Najaar 2007 Jo van den Brand 38

Najaar 2007 Jo van den Brand 39

Najaar 2007 Jo van den Brand 40

Kernenergie en Nederland

Beschikbaarheid uranium

Kernsplijting

Opslag van radioactief materiaal staat ter discussieOngelukken hebben grote gevolgen (Chernobyl, Fukushima)Decommissioning moet beschouwd wordenSnelle broedreactoren: genereren hun eigen brandstof (plutonium)Proliferatie, diefstal van plutonium moet voorkomen worden

Manhattan project in WOIIUranium en plutonium bommen (1945)Nuclear weapons test ban treaty (1963) verbiedt testen van kernwapens in atmosfeer (fall-out is gevaarlijk in verband met consumptie)

Oppenheimer & Groves

Nagasaki

Kernfusie

Energie komt vrij bij de fusie van kernenProton – proton cyclus in de Zon levert 26.7 MeV

CNO cyclus (hete sterren)