2次の実対称行列の対角化

戸瀬　信之

AhPa1 S_PC1*h

kyRN年 y8月 �i 2K�i?X>*

戸瀬　信之 UAhPa1 S_PC1*hV 2 次の実対称行列の対角化kyRN 年 y8 月 �i 2K�i?X>* R f

Rj

Intro Lee 05 Pat 02

a.pt?でヨ回転

で、簱な点器に 爨

A = (まる ) は、- A

also11

たい =は こつ、いいかい) - 4

=a2-7× t f = A - 1 ) (小 6)

な ので A の 固有値 が 1, 6 .

1日 有 ベクトル

T が高い 峠のは (ながしま )っと (い た- A ) (なに か ぼが〇⇒ (さこ ) しま ) =で も 2つけ y = 0

(な) = ( En) = a (う) にも o ) が 固有ベクトル ・

tlgragsc EEA)しま) =た 。⇐」 (法)ほ) -で も が 28=0 た方 に、 )Aた= G 'にしない ( 望 ) = y (1 ) とも) が 固有ベクトル全て

。

だいたい~

蟲○節など𤎼のとてもと の

がないい た市 に、 )ら がT

に は、 心に高い ) や

"

は 四 車でない ができ t

AR = ( AT AE ) = I 6で ) = 何か町二 R で 8 ) ぼ。

玿i. が +6で

Ri 正 目 り 。

1で AR = ( ) が 回転行が-[ ( A はす ほ ) ) = 5 つに +4 に y +25 ニ

. . . .

A= (足 ) ほに R (さいか

がほに して)回転座標変換

.

A = (た ) R=高 (うら) が AR =( Y )い) 車2 .せまい

(な) = R (らい そん

こ らがいい 。 「って

→ し てた が ほ) . entire- にしてる )鳳鼎別

部(剝 = が しな ) = が時に 吹き的

」= は信に し てい S

驊州

(A (ま ) 、 ほ ) ) = 5が+4xyt yて 「 R = が

iyndi) = は RAR (えろ ぼ)= ( MARは、 倒 ) = ( し た )的 (別( 二 ( 信で

、動 たい 。ご

ど な 面2 → 内また を 得っ

こく が A (前 にとか)はそ)

はt.TO、鰶 ら = 一

2次実対称行列の固有⽅程式

2次正⽅行列 A = a cc b

!の固有多項式

�A(�) = |�I2 � A|

=

������� � a �c�c � � b

������

= �2 � (a + b)� + ab � c2

2次⽅程式�A(�) = 0の判別式 U/Bb+`BKBM�MiV

D = (a + b)2 � 4(ab � c2) = (a � b)2 + 4c2 � 0

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Rj

a, e, CE 1R .

× (けいと)

ffsmheした)

terre- 示せるか ?

P. 830 のとき ptq= o ←→ p = q = 0 .

2次実対称行列の固有⽅程式 ULQX kV

定理　 2次実対称行列の固有値は実数である。注意　 D = 0のとき

a = b, c = 0 従って A = aI2

以下 D > 0とする。�A(�) = 0の 2解を ↵と �として

↵ , �

このとき↵ + � = a + b, ↵� = ab � c2 = det(A)

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Rj

にと○ でも OK 。

-

Act)

= ハ - Late) × t at.cl二 Cx-2) CX - P )

↵ , �のときの固有ベクトル（準備）

定理　 B 2 M2(R)とする。このとき ~x, ~y 2 R2 に対して

(B~x, ~y) = (~x, t B~y)

（証明）

(B~x, ~y) = (x1~b1 + x2~b2, ~y) = x1(~b1, ~y) + x2(~b2, ~y)

= x1t~b1~y + x2

t~b2~y =0BBBB@~x,

0BBBB@

t~b1~yt~b2~y

1CCCCA1CCCCA = (~x, t B~y)

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Rj

Bで EIR2 tBj EはPart 0 1 直交行るり . ( g Kで

GBいい)- でん

)

↵ , �のときの固有ベクトル

定理　 A~p1 = ↵~p1、A~p2 = �~p2ならば

(~p1, ~p2) = 0

（証明） t A = Aだから (A~p1, ~p2) = (~p1, A~p2)

(A~p1, ~p2) = (↵~p1, ~p2) = ↵(~p1, ~p2)

(~p1, A~p2) = (~p1, �~p2) = �(~p1, ~p2)

↵(~p1, ~p2) = �(~p1, ~p2) ! (~p1, ~p2) = 0

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Rj

Ai 対称 とす

3.mg?i_tAiJ=A.mrne品

実対称行列は回転行列で対角化可能

　 A~p1 = ↵~p1、A~p2 = �~p2、~pi , ~0(i = 1, 2)とする。

~q1 =1||~p1||

~p1, ~q2 =1||~p2||

~p2

とすると(~q1, ~q2) = 0, ||~q1|| = ||~q2|| = 1

~q1 =

cos ✓sin ✓

!とするとき

~q2 =

� sin ✓cos ✓

!または

sin ✓� cos ✓

!

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Rj

risen

- 二認識 が

.io/-.で選ばない 直交 _

Y で二 段

実対称行列は回転行列で対角化可能 ULQXkV

　 (~q1 ~q2)または (~q1 � ~q2)は回転行列である。定理　 2次対称行列 Aは回転行列で対角化可能である。すなわち、回転行列 Rが存在して

AR = R ↵ 00 �

!

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コ A = a (ど ) = (En )

と べとかAR = (8 fs )

「 a =心が (8 g )AR = CAT AT) = は 同 pで)

A で この E→ Aで 二 入 Aで 二 入 の お = の いで ) 」

2次形式の標準形

2次正⽅行列 A = a cc b

!が定める 2次形式

A

xy

!,

xy

!!= ax2 + 2cxy + by2

R�1が回転行列で、内積を保つから

A xy

!,

xy

!!=

R�1 A

xy

!, R�1

xy

!!

=

R�1 AR · R�1

xy

!, R�1

xy

!!

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Rj

(な) = RE)がいい GD

t

-。(な) た疒は

2次形式の標準形 ULQXkV

回転座標変換 ⇠⌘

!= R�1

xy

!すなわち

xy

!= ⇠~r1 + ⌘~r2

A

xy

!,

xy

!!=

↵ 00 �

! ⇠⌘

!,

⇠⌘

!!

= ↵⇠2 + �⌘2

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Rj

Patdteg 国有 的な 式 」 が IEAに (公 ) たいに 忙し さ、 1

= G - 1 ) ( x - 7) - 1- 4)2

= が -8×-9 A の 固有値 は二 G - 9 ) (かい ) is a = - 1

, 9 .

に_

で は しなに的かだいしま) =習 に芯 )は)っくか xt 2 y = o

=で

→は 二 (な ) = y (かいも 0 ) が 固有ベクトル

がないが高い527 で 自分第i.で

# A (ま に 9 しま ) も (9を- A ) (ま )で⇐」 (きた )は)が(ニ) 2つく - y = 0

(な) = (金 ) = x (え) にも 0) が 固有ベクトル温禰で活に) たくで ない高にし ) は回転

化が 1 .AD = CA が AT ) ことが 9な) = IT) に し )= p (さと )

P は 正はり な ので が AP = HG ) と 回転行列で対角化 。

なにsiii= ぼだ」 (き)= p (え)

(な) = A (ま ) ー るが

劇が (な) a.gg _に

箭漿詠 」奥憖ニに G )は 9だ だ Aほ ) = (高で別

」Thru

= (さい ら

( Aは、となる) はなくない かとなり こくがAP - がくまい がくか )

で一沙「

こ

じいば、(別

( Aは北部) = 0 = -82 +7で②

が 回転 ですら直交 ss

ii.鼈が貎※メ① I

- を 2+9で= 1 -349た fhgyyを = 0,S = エ 1 . J

y

2次形式の正値性

2次形式の正値性（負値性）

(A~v,~v) > 0 (~v , ~0) , ↵, � > 0

(A~v,~v) < 0 (~v , ~0) , ↵, � < 0

正値性について（) ）R = (~r1 ~r2)のとき

(A~r1,~r1) = (↵~r1,~r1) = ↵ · ||~r1||2 = ↵ > 0

(A~r2,~r2) = (�~r2,~r2) = � · ||~r2||2 = � > 0

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Rj

2次形式の正値性 ULQXkV

正値性について（( ） xy

!, ~0 ,

⇠⌘

!, ~0 に注意。

(A~v,~v) = ↵⇠2 + �⌘2 � 0

さらに

↵⇠2 + �⌘2 = 0 ! ↵⇠2 = �⌘2 = 0! ⇠ = ⌘ = 0 ! x = y = 0

LX"X A, B � 0のとき

A + B = 0 , A = B = 0

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2次形式の正値性 ULQXjV

正値性を Aの係数で判定する

↵, � > 0 , a > 0, det(A) = ab � c2 > 0

↵, � < 0 , a < 0, det(A) = ab � c2 > 0

（注意）a + b = ↵ + �と ↵� = ab � c2

（注意）↵, � > 0 , ↵ + � > 0, ↵� > 0（正値性）U)V

ab � c2 = ↵� > 0 ! ab > 0a + b = ↵ + � > 0 ! a + b > 0 ! a, b > 0

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2次形式の正値性 ULQX9V

（正値性）U(V

ab � c2 > 0 ! ab > 0a > 0, ab > 0 ! b > 0

↵ + � = a + b > 0↵� = ab � c2 > 0

注意　 det(A) = ab � c2 < 0のとき ↵� < 0

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