Inleiding: De bepaalde integraal

Probleem 1:Geg: een v-t diagram (snelheid ifv tijd)Gevr: de afgelegde weg na 4 seconden

(a) Bij constante snelheid

s

Probleem 1:Geg: een v-t diagram (snelheid ifv tijd)Gevr: de afgelegde weg na 4 seconden

(a) Bij constante snelheid

4 2 8s

(b) Geen constante snelheid

We zoeken een benadering ‘te klein’ voor

de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:

Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan ...

(b) Geen constante snelheid

We zoeken een benadering ‘te klein’ voor

de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:

Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4

(b) Geen constante snelheid

We zoeken een benadering ‘te klein’ voor

de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:

Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4

Al wat beter:

tussen 0s en 1s is v > … en dus ∆ s > … tussen 1s en 2s is v > … en dus ∆ s > … tussen 2s en 3s is v > … en dus ∆ s > … tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …

dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...

(b) Geen constante snelheid

We zoeken een benadering ‘te klein’ voor

de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:

Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4

Al wat beter:

tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > … en dus ∆ s > … tussen 2s en 3s is v > … en dus ∆ s > … tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …

dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...

(b) Geen constante snelheid

We zoeken een benadering ‘te klein’ voor

de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:

Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4

Al wat beter:

tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > 2 en dus ∆ s > 2 tussen 2s en 3s is v > … en dus ∆ s > … tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …

dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...

(b) Geen constante snelheid

We zoeken een benadering ‘te klein’ voor

de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:

Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4

Al wat beter:

tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > 2 en dus ∆ s > 2 tussen 2s en 3s is v > 5 en dus ∆ s > 5 tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …

dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...

(b) Geen constante snelheid

We zoeken een benadering ‘te klein’ voor

de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:

Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4

Al wat beter:

tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > 2 en dus ∆ s > 2 tussen 2s en 3s is v > 5 en dus ∆ s > 5 tussen 3s en 4s is v > 5 en dus ∆ s > 5

dus de totale afgelegde weg na 4s is > 13

(b) Geen constante snelheid

We kunnen zo verdergaan en de tijds-

intervallen steeds kleiner maken. We zullen

dan steeds betere resultaten of maw betere

benaderingen voor de totale afgelegde weg

krijgen.

We zien dat de exacte waarde voor de

afgelegde weg gelijk is aan ...

(b) Geen constante snelheid

We kunnen zo verdergaan en de tijds-

intervallen steeds kleiner maken. We zullen

dan steeds betere resultaten of maw betere

benaderingen voor de totale afgelegde weg

krijgen.

We zien dat de exacte waarde voor de

afgelegde weg gelijk is aan de oppervlakte

onder de grafiek van v(t) en boven de t-

as.

Merk op: we hadden ook kunnen werken

met benaderingen die ‘te groot’ zijn.

Probleem 2:(a) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water en dit aan een tempo van 2 ton/u.

Hoeveel water is er in dit

reservoir na die 8u?

Probleem 2:(a) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water en dit aan een tempo van 2 ton/u.

Hoeveel water is er in dit

reservoir na die 8u?

8 x 2 = 16

(b) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water bij of weg, en dit aan een wisselend tempo (zie grafiek).

Waar is hier sprake van

watertoevoer?

Waar is hier sprake van

waterafname?

(b) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water bij of weg, en dit aan een wisselend tempo (zie grafiek).

Waar is hier sprake van

watertoevoer? 0 ≤ t ≤ 6

Waar is hier sprake van

waterafname? 6 < t ≤ 8

Hoeveel water is er in

het reservoir na 8u?

(b) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water bij of weg, en dit aan een wisselend tempo (zie grafiek).

Waar is hier sprake van

watertoevoer? 0 ≤ t ≤ 6

Waar is hier sprake van

waterafname? 6 < t ≤ 8

Hoeveel water is er in

het reservoir na 8u?

(6 x 2)/2 = 6

(2 x 1)/2 = 1

=> 6 - 1 = 5 ton

Besluit:

Uit deze voorbeelden blijkt dat het belangrijk is om oppervlakten begrensd door de grafiek van een functie en de x-as te kunnen berekenen.

Het laatste voorbeeld toont bovendien aan dat het interessant kan zijn om oppervlakten boven de x-as positief en oppervlakten onder de x-as negatief te tellen.