Inleiding: De bepaalde integraal
Probleem 1:Geg: een v-t diagram (snelheid ifv tijd)Gevr: de afgelegde weg na 4 seconden
(a) Bij constante snelheid
s
Probleem 1:Geg: een v-t diagram (snelheid ifv tijd)Gevr: de afgelegde weg na 4 seconden
(a) Bij constante snelheid
4 2 8s
(b) Geen constante snelheid
We zoeken een benadering ‘te klein’ voor
de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:
Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan ...
(b) Geen constante snelheid
We zoeken een benadering ‘te klein’ voor
de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:
Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4
(b) Geen constante snelheid
We zoeken een benadering ‘te klein’ voor
de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:
Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4
Al wat beter:
tussen 0s en 1s is v > … en dus ∆ s > … tussen 1s en 2s is v > … en dus ∆ s > … tussen 2s en 3s is v > … en dus ∆ s > … tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …
dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...
(b) Geen constante snelheid
We zoeken een benadering ‘te klein’ voor
de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:
Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4
Al wat beter:
tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > … en dus ∆ s > … tussen 2s en 3s is v > … en dus ∆ s > … tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …
dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...
(b) Geen constante snelheid
We zoeken een benadering ‘te klein’ voor
de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:
Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4
Al wat beter:
tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > 2 en dus ∆ s > 2 tussen 2s en 3s is v > … en dus ∆ s > … tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …
dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...
(b) Geen constante snelheid
We zoeken een benadering ‘te klein’ voor
de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:
Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4
Al wat beter:
tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > 2 en dus ∆ s > 2 tussen 2s en 3s is v > 5 en dus ∆ s > 5 tussen 3s en 4s is v > … en dus ∆ s > …
dus de totale afgelegde weg ∆ s is > ...
(b) Geen constante snelheid
We zoeken een benadering ‘te klein’ voor
de afgelegde weg in de eerste 4 seconden:
Heel grof: omdat v gedurende de eerste 4 s groter of gelijk is aan 1 m/s, zal de afgelegde weg groter zijn dan 4
Al wat beter:
tussen 0s en 1s is v > 1 en dus ∆ s > 1 tussen 1s en 2s is v > 2 en dus ∆ s > 2 tussen 2s en 3s is v > 5 en dus ∆ s > 5 tussen 3s en 4s is v > 5 en dus ∆ s > 5
dus de totale afgelegde weg na 4s is > 13
(b) Geen constante snelheid
We kunnen zo verdergaan en de tijds-
intervallen steeds kleiner maken. We zullen
dan steeds betere resultaten of maw betere
benaderingen voor de totale afgelegde weg
krijgen.
We zien dat de exacte waarde voor de
afgelegde weg gelijk is aan ...
(b) Geen constante snelheid
We kunnen zo verdergaan en de tijds-
intervallen steeds kleiner maken. We zullen
dan steeds betere resultaten of maw betere
benaderingen voor de totale afgelegde weg
krijgen.
We zien dat de exacte waarde voor de
afgelegde weg gelijk is aan de oppervlakte
onder de grafiek van v(t) en boven de t-
as.
Merk op: we hadden ook kunnen werken
met benaderingen die ‘te groot’ zijn.
Probleem 2:(a) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water en dit aan een tempo van 2 ton/u.
Hoeveel water is er in dit
reservoir na die 8u?
Probleem 2:(a) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water en dit aan een tempo van 2 ton/u.
Hoeveel water is er in dit
reservoir na die 8u?
8 x 2 = 16
(b) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water bij of weg, en dit aan een wisselend tempo (zie grafiek).
Waar is hier sprake van
watertoevoer?
Waar is hier sprake van
waterafname?
(b) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water bij of weg, en dit aan een wisselend tempo (zie grafiek).
Waar is hier sprake van
watertoevoer? 0 ≤ t ≤ 6
Waar is hier sprake van
waterafname? 6 < t ≤ 8
Hoeveel water is er in
het reservoir na 8u?
(b) In een leeg reservoir loopt gedurende 8u water bij of weg, en dit aan een wisselend tempo (zie grafiek).
Waar is hier sprake van
watertoevoer? 0 ≤ t ≤ 6
Waar is hier sprake van
waterafname? 6 < t ≤ 8
Hoeveel water is er in
het reservoir na 8u?
(6 x 2)/2 = 6
(2 x 1)/2 = 1
=> 6 - 1 = 5 ton
Besluit:
Uit deze voorbeelden blijkt dat het belangrijk is om oppervlakten begrensd door de grafiek van een functie en de x-as te kunnen berekenen.
Het laatste voorbeeld toont bovendien aan dat het interessant kan zijn om oppervlakten boven de x-as positief en oppervlakten onder de x-as negatief te tellen.
Top Related