INLEIDING VECTORANALYSE Hoofdstuk 5: vectorvelden en bewerkingen 5.1 Inleiding 5.2 Velden 5.3 Differentiëren en integreren: herhaling 5.4 Differentiëren van ruimtelijke scalarvelden naar de tijd en naar de plaats 5.5 Differentiëren van ruimtelijke vectorvelden naar de tijd en naar de plaats 5.6 Integreren in de ruimte: lijn integralen, oppervlakte integralen en volume integralen 5.7 Opgaven 5.8 Addendum: de tussenwaardestelling 5.1 Inleiding 5.11 In de vorige hoofdstukken hebben we gewerkt met

vectoren die in de oorsprong beginnen en eindig in aantal zijn. In dit hoofdstuk maken we een begin met het werken met velden, met name scalarvelden en vectorvelden. Een voorbeeld van een scalarveld is de (absolute) potentiaal in een ruimtelijk gebied. De elektrische- en de magnetische veldsterkte zijn vectorvelden. Zie verder paragraaf 5.2 .

5.12 Bij het behandelen van de wetten van Maxwell spelen de

bewerkingen “gradiënt van een scalarveld”, “diver-gentie van een vectorveld” en “rotatie van een vector-veld” een essentiële rol. Deze bewerkingen houden in het differentiëren naar de plaats van scalarvelden, waaronder de componenten van vector-velden (bijv. Fx, Fy en Fz in een cartesiaans assenstelsel). We moeten daarom voor velden het differentiëren naar de plaats invoeren (op een bepaald moment), naast het differentiëren naar de tijd (op een vaste plaats).

Ook vereisen de wetten van Maxwell in integraalvorm dat we het integreren in de ruimte van velden bekijken. NOOT: Bij het werken met cilinder- en bolcoördinaten komt

“differentiëren naar de plaats” in sommige gevallen neer op het differentiëren naar een hoek; zie verder hoofdstuk 10.

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 2 uit 23 ============================================================ 5.13 Omdat gebruik wordt gemaakt van de tussenwaarde- stelling, wordt deze middels het addendum 5.8 ook behandeld. 5.14 Indien een functie slechts van één variabele afhangt,

dan gebruiken we bij het differentiëren de “rechte d”; bijvoorbeeld :(d f(t)/dt) ; hangt de functie af van meerdere variabelen, dan gebruiken we de “kromme d”; bijvoorbeeld : ∂(f(x,y,z)/∂x) .

5.15 In dit hoofdstuk werken we in een cartesiaans

assenstelsel. In hoofdstuk 10 komt het werken met cilindercoördinaten, bolcoördinaten en algemene orthogonale assenstelsels aan de orde.

5.16 Zie verder ivm scalar- en vectorvelden oa: http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_field http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field http://140.177.205.23/VectorField.html 5.2 Velden 5.21 Bij een veld wordt binnen een bepaald ruimtelijk

gebied, aan ieder punt binnen dit gebied een scalar dan wel een vector toegekend. Een bekend voorbeeld van een scalarveld is de temperatuur in een gegeven ruimte. Ook de (absolute) potentiaal die gekoppeld is aan een (rotatievrij) elektrisch veld, is een scalarveld. Het zwaartekrachtsveld, het elektrisch veld en het magnetisch veld zijn bekende voorbeelden van vectorvelden.

5.22 Scalarvelden zullen in dit dictaat in het algemeen met

kleine letters of Griekse letters worden aangeduid. Vector velden zullen in dit dictaat met een

vetgedrukte en enigszins vergrote hoofdletter worden aangegeven.

5.23 Om aan te geven dat het veld een functie is van de

plaats en van de tijd, schrijven we: f(x,y,z,t), Ψ(x,y,z,t), E(x,y,z,t) etc of kortweg

(door van de plaatsvector r gebruik te maken) :

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 3 uit 23 ============================================================ f(r ,t), Ψ(r,t), E(r,t) etc. Indien we de tijd

constant houden, laten we de letter “t” weg en noteren we f(r), Ψ(r), E(r) etc of soms alleen f, Ψ , E etc .

5.24 Een veld dat in een gebied van de ruimte als functie

van de plaats op een bepaald moment overal dezelfde waarde heeft, heet in dat gebied uniform. Heeft het veld als functie van de tijd op een bepaalde plaats steeds dezelfde waarde, dan heet het veld constant.

5.25 Bij scalarvelden wordt het begrip “niveauoppervlak”

(ook wel “equipotentiaaloppervlak”) en bij vectorveld wordt het begrip “veldlijn” gedefinieerd.

Een niveauoppervlak /equipotentiaaloppervlak (N.O.) op

een gegeven moment, is een ruimtelijk oppervlak waarop het scalarveld f(r,t0) in ieder punt van dit oppervlak dezelfde waarde heeft, op het gegeven moment t0. In de gevallen die we bij elektromagnetische verschijnselen beschouwen, gaat door ieder punt van de ruimte die we beschouwen, op bijzondere punten na, een N.O. Indien we functies beschouwen waarbij de afstand r tot de oorsprong met een negatieve exponent voorkomt, dan is de oorsprong zo’n bijzonder punt.

Bij een elektrische puntlading zijn de equipotentiaal-

oppervlakken van de elektrische potentiaal U(r,t), concentrische boloppervlakken om de puntlading q, behalve voor (r=0). Op ieder boloppervlak met q als middelpunt heeft U(r,t) dezelfde waarde . Als (r=0), kan niet van een boloppervlak gesproken worden.

Bekijken we temperaturen , drukken etc, dan vormen de

punten in de ruimte met dezelfde temperatuur, dezelfde druk etc met elkaar een niveauoppervlak.

Een veldlijn is een ruimtekromme waarvan de raaklijn

in ieder punt van de kromme dezelfde werklijn heeft als de vector in dat punt. Bij een elektrische puntlading zijn de veldlijnen de radialen vanuit het punt.

Zie o.a. ook : www.encyclo.nl/begrip/veldlijn

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 4 uit 23 ============================================================ 5.26 In vele gevallen wordt gebruik gemaakt van het

vectorveld r* waarbij r* even groot is als de plaatsvector r naar het meetpunt en dezelfde richting heeft. Het verschil is dat r* in het meetpunt begint en r in de oorsprong. Strikt genomen zou geschreven moeten worden r*(r) om aan te geven dat het om een vectorveld gaat. Conform het gebruik wordt er indien er geen verwarring kan zijn, geen onderscheid gemaakt tussen de notaties van r*(r ), r* en r . Als regel schrijven we “r”.

Voorbeeld: Voor het elektrisch veld van een “puntlading” q in de

oorsprong vinden we: E(r)= [q/(4 π ε0 r2)]er De vector er begint niet in de oorsprong, maar in het

meetpunt, zodat we in feite moeten schrijven er*(r). 5.3 Differentiëren en integreren: herhaling 5.31 Differentiëren 5.311 Bij differentiëren bepalen we de mate waarin een

functie van n variabelen infinitisimaal verandert indien we de/een variabele met een infinitisimale waarde veranderen.

Bij het berekenen van de snelheid van een voorwerp (of

een golfverschijnsel) berekenen we de verandering van de functie “afgelegde weg” (= ∆s)indien we de variabele “tijd” veranderen (= ∆t), in de limiet waarbij ∆t naar nul nadert: v = lim ∆s/∆t voor

(∆t->0). Dit noteren we als ds/dt of ook dts. NOOT: Hierboven hebben we de grootte van een snelheid (een

scalar) bekeken. Zie paragraaf 5.5 i.v.m. het differentiëren naar de tijd en de plaats van een vector.

Is de grootheid een functie van meerdere variabelen,

dan gebruiken we de “kromme d” bijvoorbeeld : ∂(f(x,y,z)/ ∂x) .

In plaats van “differentiëren” spreken we ook van “het bepalen van de afgeleide”.

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 5 uit 23 ============================================================ 5.312 Bij het bepalen van de afgeleide van een tijdfunctie f(t) naar de tijd op het moment t0, gaan we uit van: def df(t)/dt = lim [(f(t0 + ∆t)–f(t0)]/∆t ∆t -> 0 t = t0

mits deze limiet bestaat en dezelfde waarde heeft voor positieve en negatieve ∆t . Op dezelfde wijze wordt de afgeleide naar een andere variabele gedefinieerd. NOOT 1:

In het voorbeeld hierboven moeten f(t0) en f(t0 + ∆t) voor (∆t->0) , beide bestaan om de afgeleide te kunnen bepalen. Indien f(t) op (t = t0) een sprong maakt, dan is de waarde van f(t) op dat moment niet (automatisch) bepaald. Het differentieerbaar zijn op (t = t0), houdt dus in dat f(t) op dat moment geen sprong maakt, dus continu is. Het omgekeerde hoeft niet waar te zijn; zie noot 2.

NOOT 2: Indien ∆t alleen positieve waarden aanneemt, dan

spreken we van de rechter afgeleide; indien ∆t alleen negatieve waarden aanneemt, dan spreken we van de linker afgeleide; voor het differentieerbaar kunnen zijn van een functie moeten beide afgeleiden bestaan en aan elkaar gelijk zijn. Dus: de afgeleide is continu in het meetpunt . Ga na dat een functie continu kan zijn in een gegeven punt, maar in dat punt niet differentieerbaar hoeft te zijn. Denk bijv. aan f(t) = |t|, voor (t = 0).

Merk op dat voor het differentieerbaar zijn van f(t) vereist is dat niet alleen de functie f(t) zelf, maar ook de afgeleide continu is in het meetpunt.

NOOT 3: Bij sommige functies lijkt het erop dat de linker en

de rechter-afgeleide in een punt aan elkaar gelijk zijn, zonder dat de functie in dat punt continu is. Denk bijv aan de Heaviside sprongfunctie H(t) voor (t = 0). Bedacht moet echter worden dat H(0) niet (automatisch) gedefinieerd is. H(t) heeft in klassieke

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 6 uit 23 ============================================================

zin geen afgeleide voor (t = 0). (In de theorie van gegeneraliseerde functies, ook de distributietheorie genoemd, is er WEL een afgeleide, met name de Dirac stootfunctie δ(t)).

NOOT 4 In plaats van de variabele “t”, mogen we elke andere variabele gebruiken. NOOT 5 Uit de definitie van de afgeleide volgt: f(t0 + ∆t) = f(t0) + (df(t)/dt )∆t + o|∆t|(iets dat naar nul gaat voor ( ∆t ->0 )). In sommige boeken wordt hiermee gewerkt. (Zie bijv. ook Ackermans, blz 285). In dit dictaat gaan we hierop niet verder in. 5.313 Als uitbreiding van het differentiëren van een functie van één variabele gaan we uit van een functie f van n variabelen q1 t/m qn: f = f(q1,q2, …qn). Bij het differentiëren naar qi houden we alle andere variabelen constant. Indien we f(q1,q2, …qn) na elkaar naar dezelfde

variabele of naar verschillende variabelen differen-tiëren, dan spreken we van herhaald differentiëren. Voor de functies die wij zullen bestuderen geldt in het algemeen dat de volgorde van differentiëren niet belangrijk is:

∂qi (∂qj (f)) ≡ ∂qj (∂qi (f))

Zie ondermeer ook: http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=6783 en http://nl.wikipedia.org/wiki/Afgeleide

Zie verder paragraaf 5.42

5.32 Integreren 5.321 Indien een kracht F langs een rechte weg S constant

is, dan geldt voor de arbeid W die F verricht bij verplaatsing langs S: W = (Fs S), waarbij Fs de component is van F in de richting van S. We kunnen ook schrijven: W = F.S es, met es de eenheidsvector in de richting van S. Of ook W = F.S met S = S es .

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 7 uit 23 ============================================================ Indien F NIET constant is, en/of S niet recht is, dan

verdelen we S in kleine rechte stukjes ∆s, waarlangs F bij benadering WEL constant is. (We kunnen ook gebruik maken van de tussenwaardestelling).

Dan geld : W ≈ ∑ (Fs ∆s), gesommeerd over alle rechte lijnstukjes

∆s. In de limiet met (∆s –> 0) en het aantal lijn-stukjes -> ∞, gaat de som over in een integraal en schrijven we:

W = Fs ds = F . ds (s van s1 naar s2 = beginpunt naar eindpunt op S). Het hierboven gegeven proces heet integreren. Differentiëren en integreren zijn inverse bewerkingen. Zie verder de colleges analyse. 5.322 Bij het integreren van f(q1,q2, …qn) naar een der

variabelen, wordt bekendheid verondersteld met de volgende notaties en met het uitvoeren van de betreffende berekeningen:

f(q1,q2, …qn) dqi qi

{ f(q1,q2, …qn) dqi} dqj kortweg qj qi

f(q1,q2, …qn) dqi dqj etc qj qi 5.4 Differentiëren van ruimtelijke scalarvelden naar de tijd en naar de plaats 5.41 Differentiëren naar de tijd Het differentiëren van een scalarveld naar de tijd

onderscheidt zich niet van het differentiëren van elke andere tijdfunctie, omdat we de plaats constant

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 8 uit 23 ============================================================

houden. Hieraan zal daarom verder geen aandacht worden besteed. Wel moet worden nagegaan binnen welk gebied van de ruimte het differentiëren naar de tijd toegestaan is, dus welke waarden de plaatsvector r mag aannemen. NOOT 1: Bedenk dat voor het product van twee tijdfuncties de productregel geldt:

dt{ f1 f2} = f1 (dt f2) + f2 (dt f1) (productregel) Vanwege de associatieve eigenschap van het product van

meerdere tijdfuncties, kunnen we dit proces herhaald toepassen indien er meer dan 2 tijdfuncties met elkaar vermenigvuldigd zijn. Werk dit zelf verder uit.

NOOT 2 Indien we het product van twee scalarvelden éénmaal differentiëren geldt de productregel. Bij herhaald differentiëren moeten we echter oppassen.

Voorbeeld: dt(f1 f2) = f1 (dt f2) + f2 (dt f1) (productregel) Maar: dt2(f1 f2) = dt [f1 (dt f2) + f2 (dt f1)] = = (dtf1)(dt f2)+ f1(dt2 f2) + (dtf2)(dt f1)+ f2 (dt2 f1)= = f1(dt2 f2) )+ f2 (dt2 f1) + 2(dtf1)(dt f2) ≠ f1 (dt2 f2) + f2 (dt2 f1) ! Voor de operator {dt2} geldt de productregel dus niet! NOOT 3: Omdat we bij het differentiëren naar de tijd, de

plaats constant houden, worden f1, f2 etc. beschouwd als functies van één variabele (de tijd) en gebruiken we de “rechte d”. Zie ook paragraaf 5.14

5.42 Differentiëren naar de plaats 5.421Een scalarveld in de ruimte is een functie van 4

variabelen, waarbij 3 variabelen de plaats in de

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 9 uit 23 ============================================================

ruimte aangeven en één variabele de tijd aangeeft. In dit dictaat zullen we bij het differentiëren naar de plaats, de tijd constant houden. De variabele “t” mag daarom in dat geval weggelaten worden.

Voor zo’n veld zullen we in het vervolg niet schrijven f(q1,q2,q3 ), maar bijv. f(x,y,z) of kortweg f(r), waarbij r de plaatsvector is ( “t” is weggelaten). NOOT 1: De notatie f(r) is niet alleen korter dan f(x,y,z), maar bovendien onafhankelijk van het type assenstelsel dat we gebruiken; f(x,y,z) is alleen te gebruiken in een cartesiaans assenstelsel. NOOT 2:

Bij het differentiëren naar de tijd gebruiken we de notatie “d/dt” ≡ “dt” (“rechte d”). Bij het differentiëren naar de plaats gebruiken we de “kromme d” = ∂. Notatie “∂/∂x” ≡ “∂x” etc.

Zie ook paragraaf 5.14 en noot 3 bij paragraaf 5.41. 5.422Het differentiëren van f(r) naar de plaats in een

punt r0 is altijd gerelateerd aan een richting. We spreken daarom van een richtingsafgeleide. Deze richting kan bijv. worden aangegeven middels een eenheidsvector es . Zie fig 5.1a

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 10 uit 23 ============================================================

Door r0 trekken we een rechte S evenwijdig aan de gekozen richting es .Zie figuur 5.1a. Plaatsvariaties langs deze rechte geven we aan met ∆s (soms ook ∆r). ∆s mag zowel positief als negatief zijn; ∆s is positief in de richting van es.

Voor de richtingsafgeleide van f(r) in r0 in de richting van es geldt dan: def

∂(f(r))/∂s ≡ ∂S(f(r) = es;r0 es; r0 def = lim [f(r0 + ∆s es ) – f(r0) ]/∆s ∆s -> 0 mits deze limiet bestaat en dezelfde waarde heeft voor positieve en negatieve ∆s . Lees de noten van paragraaf 5.312 nog eens na. Benadrukt moet worden dat ∂(f(r))/∂s alleen betekenis heeft indien we de richting aangeven. NOOT 1: Ga na wat bedoeld wordt met ∆s es; vaak wordt hiervoor ook geschreven ∆s of ∆r (vectoren !).

5.423 Bij het differentiëren van een functie van één variabele is de nodige en voldoende voorwaarde dat in het betreffende punt de linker- en de rechterafgeleide bestaan en aan elkaar gelijk zijn.(De afgeleide moet dus in het meetpunt continu zijn).

Bij een functie van twee en meer variabelen, zijn er

echter oneindig veel richtingen. Het criterium om tot differentieerbaarheid te besluiten is daarom ingewik-kelder, maar twee voorwaarden zijn gemakkelijk te begrijpen. Met name zal:

a. de functie in het meetpunt continu moeten zijn en b. de richtingsafgeleide in elke richting moeten

bestaan (wat inhoudt dat deze in het meetpunt continu is).

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 11 uit 23 ============================================================ NOOT: Er zijn functies die in het meetpunt in alle

richtingen een richtingsafgeleide hebben, maar daar niet continu en dus niet differentieerbaar zijn. Zie bijv. CALCULUS II van APOSTOL blz 257.

Verdere behandeling van de voorwaarden voor differen-

tieerbaarheid van een scalarveld in de ruimte, valt buiten het bestek van dit dictaat. Verwezen wordt naar wiskunde handboeken waaronder het genoemde boek van APOSTOL.

5.424 Wel zullen we de volgende conclusie gebruiken: I. indien f(r) differentieerbaar is naar de plaats in punt r0, dan is dit veld in elke richting differentieerbaar, dus alle richtings- afgeleiden bestaan (het omgekeerde is dus niet waar).

II. het differentieerbaar zijn van f(r))voor (r = r0) houdt tevens in dat f(r)voor die waarde van r continu is.

5.425 In dit dictaat wordt er van uitgegaan dat de velden

waar we mee werken differentieerbaar zijn naar de plaats, tenzij nadrukkelijk anders wordt vermeld. Zo zijn er bij de grensvlakken van media, richtingsaf-geleiden van het elektrisch en/of het magnetisch veld, die niet continu zijn.

5.426 Het berekenen van ∂S(f(r) volgens de basisdefinitie is

soms lastig. We zullen daarom vaak de “kettingregel” toepassen.

In een cartesiaans assenstelsel vinden we dan voor ∂S(f(x,y,z) in een willekeurige richting es:

∂f/∂S ≡ ∂Sf = (∂x f)(∂S x) + (∂y f)(∂S y) + (∂z f)(∂S z) NOOT: Schrijf eventueel ∂f/∂S i.p.v. ∂Sf; evenzo ∂f/∂x voor (∂x f) etc. Daarbij zijn (∂S x), (∂S y) en (∂S z) de richtingscosinussen van es . Zie figuur 5.1b

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 12 uit 23 ============================================================

Merk op dat (∂x f), (∂y f) en(∂z f) geen functie zijn van de richting es waarin we differentiëren. De richtings gevoeligheid ontstaat door de richtings-cosinussen: cosφx , cosφy en cosφz behorend bij es . NOOT 1:

In hoofdstuk 6 zullen we zien dat de uitdrukking voor ∂Sf in cartesiaans assenstelsel te schrijven is als:

∂Sf = {(∂x f) i + (∂y f) j + (∂z f) k }. es NOOT 2: In hoofdstuk 10 worden de uitdrukkingen voor ∂Sf in bolcoördinaten en cilindercoördinaten behandeld.

5.427 In een cartesiaans assenstelsel komt differentiëren naar de plaats neer op het differentiëren naar de plaatsvariabelen, met name x, y en z, waarbij de richtingen van de eenheidsvectoren in respectievelijk de x-richting, de y-richting en de z-richting, constant zijn en dus niet meegenomen worden bij het differentiëren.

In andere assenstelsels (bijv het stelsel van

cilindercoördinaten en het stelsel van bolcoördinaten) is het differentiëren ingewikkelder omdat de eenheidsvectoren in het algemeen NIET overal de zelfde richting hebben.(Bij cilindercoördinaten is de richting van de eenheidsvector in de z-richting wel constant).

5.5 Differentiëren van vectorvelden naar de tijd en naar de plaats 5.51 Differentiëren van vectorvelden naar de tijd 5.511 Herlees paragraaf 2.22. In dit hoofdstuk gebruiken we

als algemeen symbool voor een vectorveld: F(r,t). Indien we in de ruimte drie onafhankelijke richtingen kiezen met de eenheidsvectoren e1, e2 en e3, dan kunnen we schrijven: F(r,t) = F1(r,t) e1 + F2(r,t) e2 + F3(r,t) e3 Merk op dat F1(r,t), F2(r,t) en F3(r,t) scalarvelden zijn !

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 13 uit 23 ============================================================

In een cartesiaans assenstelsel geldt: e1 ≡ ex ≡ i ; e2 ≡ ey ≡ j ; e3 ≡ ez ≡ k

5.512 Ga uit van het vectorveld F(r,t) = F1(r,t) e1 + F2(r,t) e2 + F3(r,t) e3 De afgeleide naar de tijd van F(r,t) noteren we als (dF(r,t)/dt) of ook als dt F(r,t) . Daarvoor vinden we: dt F(r,t)≡ dt[F1(r,t)e1 + F2(r,t)e2 + F3(r,t) e3 ] Indien e1 ,e2 en e3 geen tijdfuncties zijn, dan gaat deze uitdrukking over in: dt F(r,t)= dt[F1(r,t)]e1 + dt[F2(r,t)]e2 + dt[F3(r,t)] e3 Het differentiëren van F1(r,t), F2(r,t) en F3(r,t) naar de tijd onderscheidt zich niet van het differen-tiëren naar de tijd van elk ander scalarveld, omdat we de plaats constant houden. Hieraan zal daarom verder geen aandacht worden besteed. Wel moet worden nagegaan binnen welk gebied van de ruimte het differentiëren naar de tijd toegestaan is, dus welke waarden de plaatsvector r mag aannemen.

5.513 Als voorbeeld van het differentiëren naar de tijd van vectorvelden kiezen we een eenparige cirkelbeweging in een plat vlak. De plaatsvector = r , met |r| constant en de baansnelheid = v, met |v| constant. Maak zelf een tekening !

Omdat |r|= r constant is, geldt : r2 = r.r is constant, dus dt(r.r)= 0 => r.(dtr) + (dtr).r = 0 => r.v + v.r = 0 => v.r = 0 => v staat loodrecht op r . Op dezelfde manier vinden we dat v loodrecht staat op (dt v) = a; a en r hebben dus dezelfde werklijn. Voorts volgt uit v .r = 0: a .r + v .v = 0 =>

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 14 uit 23 ============================================================ |v|2 = - a .r => a.r moet negatief zijn, dus a en r

moeten tegengesteld gericht zijn (langs dezelfde werklijn) en |a| = |v|2/|r|.

5.52 Differentiëren van vectorvelden naar de plaats 5.521 Het differentiëren van F(r,t) naar de plaats in een

punt r0 wordt, net als bij scalarvelden, ingevoerd middels het begrip “differentiëren in de richting van es ”. Daarbij is es wederom de eenheidsvector is in de door ons gekozen richting. In het navolgende wordt de variabele “t” weggelaten, omdat we de tijd constant houden.

Voor de afgeleide van F(r) in p0 (met plaatsvector r0) in de richting van es geldt dan:

∂(F(r))/∂S ≡ ∂S(F (r) ≡ r = r0 r = r0

def

= lim [F(r0 + ∆s es) – F (r0)]/∆s ∆s -> 0 mits deze limiet bestaat en en dezelfde waarde heeft voor positieve en negatieve ∆s . Zoals te verwachten is, vinden we na uitwerken van deze relatie: ∂(F(r))/∂S = r = r0

={∂/∂s}[F1(r)e1 + F2(r)e2 + F3(r) e3 ] r = r0

Indien e1, e2 en e3 geen functies zijn van de plaats (zoals in een cartesiaans assenstelsel), dan gaat dit over in:

∂(F(r))/∂S = [∂S F1(r)] e1 + [∂S F2(r)] e2 + + [∂S F3(r)] e3

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 15 uit 23 ============================================================ Daarbij worden {∂S F1(r)}, {∂S F2(r)} en {∂S F3(r)} berekend op de manier van paragraaf 5.422

en in geval we in een cartesiaans assenstelsel werken, paragraaf 5.427 .

5.6 Integreren in de ruimte: Lijn integralen, oppervlakte integralen en volume integralen 5.61 Het integreren naar de tijd van een scalarveld

(waarbij de plaats r constant wordt gehouden), onderscheidt zich niet van het integreren van andere tijdfuncties.

Het integreren naar de tijd van een vectorveld

(waarbij wederom de plaats constant wordt gehouden), komt neer op het integreren van de afzonderlijke componenten. Dus:

F(r,t)dt ≡ [ F1(t) e1 + F2(t) e2 + F3(t) e3 ]dt (voor de gegeven waarde van r) . Indien e1 , e2 en e3 constanten zijn in de tijd, dan komt dit neer op het integreren van drie afzonderlijke scalarvelden F1(t) etc . In verband met het voorgaande wordt het integreren naar de tijd van velden niet verder behandeld.

5.62 Bij het integreren van scalarvelden dan wel

vectorvelden in de ruimte wordt onderscheid gemaakt tussen lijnintegralen (langs een ruimtekromme S), oppervlakte integralen (over een ruimtelijk oppervlak A) en volume integralen (over een deel van de ruimte V). Deze worden aangegeven middels respectievelijk de

symbolen , en . Indien de lijn of het oppervlak gesloten is, wordt een

cirkeltje geplaatst : respectievelijk .

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 16 uit 23 ============================================================ 5.63 Lijnintegralen 5.631 Uit de gewone analyse kennen we het begrip

“integreren” van een functie van één variabele. Bijv :

I = f(x) dx ( x van x1 naar x2). Daarbij wordt x langs een rechte (de x-as) uitgezet.

5.632 Bij het integreren (van een scalarveld dan wel een vectorveld) langs een ruimtekromme S wordt de kromme eerst benaderd door vanuit het punt waar we beginnen met het integreren naar het eindpunt toe, n tussenpunten op de kromme te kiezen en al die punten middels (n+1) rechte stukjes (∆s)i te verbinden (1 ≤ i ≤ n+1). De integraal benaderen we dan door over de afzonderlijke rechte stukjes te integreren (waarbij we de tussenwaardestelling gebruiken) en de uitkomsten op te tellen. (scalair of vectoriëel) .

Daarna laten we n naar oneindig en (∆s)i naar nul gaan. Indien daarbij de genoemde som convergeert, dan is dat de gevraagde uitkomst van het integreren.

5.633 Integralen van de vorm F(r)ds komen we ondermeer tegen bij het werken met vector potentialen. Deze worden ingevoerd bij het rekenen aan magnetische verschijnselen. De Wet van Biot en Savart is daar een bekend voorbeeld van. (Zie het vak “magnetisme”).

Bij het rekenen aan statische en stationaire

elektrische velden, zijn de lijnintegralen als regel

van de vorm f(r) ds. Bekende voorbeelden zijn:

ρs ds (ρs is de eendimensionale lading van een dunne ladingdrager, in Coulomb/meter; zie verder elektriciteitsleer) en

F(r).ds ≡ (F(r).es)ds, waaronder

grad f . ds = - E.ds. Ga na wat bedoeld wordt met (F(r).es)ds .

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 17 uit 23 ============================================================

Noot 1 Bij het integreren langs een ruimtekromme wordt soms het “parameteriseren” toegepast. In een cartesiaans assenstelsel worden x, y en z geschreven als functie van een nieuwe variabele, bijv. u, en het te integreren veld wordt dus beschreven als functie van u. In andere assenstelsels geldt iets soortgelijks.In dit dictaat gaan we hierop niet verder in. NOOT 2:

Indien we schrijven “ds”, dan is dit de lengte van een oneindig klein stukje van de ruimtekromme S waarlangs we integreren.”ds” heeft geen richting; esds ≡ ds, heeft WEL richting, met name de richting van es.

NOOT 3: Indien we beginnen te integreren van punt p (plaatsvector r1) naar punt q (plaatsvector r2) dan geldt:

ds = de totale lengte van de

ruimtekromme van p naar q;

ds = de vector (r2 - r1)Ga dat na !!

5.64 Oppervlakte integralen 5.641 Bij oppervlakte integralen gebruiken we het integraal-

symbool dubbel: . Betreft het een gesloten oppervlak (bijv. een bol), dan plaatsen we een

kringetje: .

5.642 Het ruimtelijk oppervlak A waarover we integreren

wordt benaderd door n kleine platte (en dus niet gebogen) oppervlakte elementjes (∆a)i. De oppervlakte integraal benaderen we dan door over de afzonderlijke stukjes ∆a te integreren (waarbij we de tussenwaarde-stelling gebruiken) en de uitkomsten op te tellen.

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 18 uit 23 ============================================================

Daarna laten we n naar oneindig en (∆a)i naar nul gaan. Indien daarbij de genoemde convergeert, dan is dat de gevraagde uitkomst van het integreren.

5.643 In veel gevallen gebruiken we F. da Daarbij is da een verkorte schrijfwijze voor (da en),

met en de normaalvector op het oppervlak A, in het betreffende punt.

5.65 Volume integralen 5.651 Bij volume-integralen gebruiken we het integraal-

symbool driemaal: . In sommige boeken wordt ook bij de volume integraal

soms een kringetje geplaatst, om aan te geven dat de gehele ruimte bedoeld wordt.

5.652 Een goed voorbeeld van het gebruik van oppervlakte- en volume integralen zien we bij de stelling van Gauss:

[ (Div F)dV] = [ F.da] met A het oppervlak dat

V A V omsluit Zie verder hoofdstuk 01 van elektriciteitsleer.

F(r)dV komen we ondermeer tegen bij het bepalen van de elektrische veldsterkte ten gevolge van driedimensionale ruimtelading . De uitkomst is uiteraard een vecor.

5.7 Opgaven 5.71 Gebruik de basisdefinitie betreffende het differentiëren en bepaal de afgeleiden van f1(t) = t; f2(t)= t2 ; f3(t)= t3; f4(t) = cos(t) en f5(t) = sin(t). NOOT sin(p+q) = sin(p)cos(q) + cos(p)sin(q) cos(p+q) = cos(p)cos(q) – sin(p)sin(q)

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 19 uit 23 ============================================================ 5.72 Ψ(x,y,z) of kortweg Ψ, is een scalarveld.

Gegeven is: Ψ = xyz -3xy +2xz- 6x –yz + 3y -2z +6.

Werk in een Cartesiaans assenstelsel.

a. Wat is de definitie van een niveau-oppervlak van Ψ ? b. Ga na of het vlak (x = 1) een niveau oppervlak van Ψ is. c. Bepaal de afgeleiden van Ψ naar x, y en z. 5.73 Gegeven het vectorveld F = (yz – 3y +2z -6)i + (xz – 3x –z +3) j + (xy + 2x-y -2) k We maken een lus vanuit punt (1,1,1) naar (2,1,1)

parallel aan de x-as; van (2,1,1) naar (2,1,3) parallel aan de z-as; van (2,1,3) naar (1,1,3) parallel aan de x-as en van (1,1,3) naar (1,1,1) parallel aan de z-as. Bereken de 4 lijnintegralen en de som van de integralen.

5.8 Addendum: De tussenwaardestelling Omdat deze stelling in de komende hoofdstukken gebruikt wordt, volgt hierna een korte beschrijving. 5.81 De tussenwaardestelling: eendimensionaal Zie oa ook http://nl.wikipedia.org/wiki/Tussenwaardestelling De navolgende schuingedrukte tekst is letterlijk overgenomen via de hierboven genoemde link. =================================================

In de reëelwaardige analyse stelt de tussenwaarde-stelling of stelling van Bolzano dat een reële functie f(x), continu in een gesloten interval [a, b], alle mogelijke waarden tussen f(a) en f(b) aanneemt. De stelling is sterk gelateerd aan de middelwaarde-stelling en soms wordt de tussenwaarde-stelling ook zo genoemd. =====================================================

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 20 uit 23 ============================================================ Omdat f(x) continu is op [a,b], heeft f(x) op dat interval een minimum m en een maximum M met: m ≤ f(x) ≤ M.

Indien we op [a,b] het deelgebied kiezen bestaande uit een punt waar f(x) de waarde m aanneemt en een punt waar f(x) de waarde M aanneemt, dan zien we dat uit de aangehaalde schuingedrukte tekst volgt dat op dit deelgebied (en dus ook op het hele gebied [a,b]) f(x) alle waarden tussen m en M aanneemt, inclusief m en M. NOOT 1: m en M mogen samenvallen; in dat geval is f(x) op [a,b] een constante; verder mogen m en M positief, nul of negatief zijn. Noot 2: Ga na of tg(x) continu is op [ –π/2, π/2]

Gaan we uit van een reële functie f(x) die continu is op [a,b], dan heeft de tussenwaardestelling de volgende consequentie.

=================================================

Er bestaat een punt p met (a ≤ p ≤ b), zodanig dat geldt: b

f(x) dx = f(p)(b-a) = f(p) L met L = (b-a) a

NOOT : Voor de eenvoud hebben we aangenomen dat (a < b).

====================================================== Het bewijs loopt globaal als volgt:

Op [a,b] geldt: m L ≤ f(x) dx ≤ M L (ga zelf na waarom !)(de integraal loopt van a naar b)

Omdat f(x) eindig is, is ook f(x) dx eindig als het interval [a,b] eindig is en mogen we stellen:

f(x) dx = h L.

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 21 uit 23 ============================================================ Daaruit: m L ≤ h L ≤ M L dus m ≤ h ≤ M En omdat f(x) op [a,b] alle waarden tussen m en M (inclusief m en M) doorloopt, is er minstens één punt p waarvoor geldt f(p) = h . NOOT: Indien f(x) op [a,b] niet continu is, dan kan de

integraal f(x) dx toch bestaan, maar dan bestaat de kans dat f(x) nergens de waarde h aanneemt. Beschouw bijv

H(x) dx van (x = -a) tot (x = b) met a en b > 0; dan geldt: h(a+b) = b , dus h = b/(a+b), maar H(x) neemt deze waarde nergens aan. H(x)is de Heaviside stapfunctie. In het voorgaande werd de integratie uitgevoerd langs

de x-as . De stelling kan echter worden uitgebreid tot integratie langs een continue ruimtelijke kromme S, van punt s1 naar punt s2 . De stelling luidt dan:

====================================================== Er bestaat een punt p met plaatsvector rp, op de ruimtelijke kromme S tussen s1 en s2 , inclusief s1 en s2, zodanig dat geldt: s2 s2

f(r) ds = f(rp) L met L = ds s1 s1 =============================================== Daarbij geldt: r is de plaatsvector f(r) is een reële functie van de plaats, overal continu op S tussen s1 en s2, inclusief deze punten 5.82 De tussenwaardestelling: tweedimensionaal

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 22 uit 23 ============================================================ We gaan uit van een reële en continue functie van twee variabelen. Voor de eenvoud kiezen we een cartesiaans assenstelsel, met x en y als variabelen, en noemen de functie f(x,y). In het XY-vlak kiezen we een enkelvoudig gesloten lus S (een ring valt hier dus niet onder). Het binnengebied van S en S zelf, noemen we G. Op G is f(x,y) overal continu. Omdat f(x,y) continu is op G, heeft f(x,y) op dat gebied een minimum m en een maximum M : m ≤ f(x,y) ≤ M.

Op G geldt dus:

m dx dy ≤ f(x,y) dx dy ≤ M dx dy .

Omdat f(x,y) eindig is, is ook f(x,y) dx dy eindig als de gekozen lus eindig is en mogen we stellen: f(x,y) dx dy = h dx dy. Daaruit:

m dx dy ≤ h dx dy ≤ M dx dy . dus m ≤ h ≤ M En omdat f(x,y) op G alle waarden tussen m en M (inclusief m en M) doorloopt, is er minstens één punt p op G waarvoor geldt f(p) = h . Conclusie: Er bestaat een punt p op G zodanig dat geldt:

f(x,y) dx dy = f(p) dx dy =============================================== 5.83 De tussenwaardestelling: driedimensionaal We gaan uit van een reële en continue functie van drie

variabelen. Voor de eenvoud kiezen we een cartesiaans assenstelsel, met x , y en z als variabelen, en noemen

FTeW Inleiding vecoranalyse; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 05; docent o. spong; blz 23 uit 23 ============================================================

de functie f(x,y,z). In de ruimte kiezen we een enkelvoudig gesloten oppervlak A (een torus valt hier dus niet onder). Het binnengebied van A en A zelf, noemen we G. Binnen G is f(x,y,z) overal continu.

Op dezelfde manier als in paragraaf 5.82 tonen we aan: Er bestaat een punt p binnen G zodanig dat geldt:

f(x,y,z) dx dy dz = f(p) dx dy dz ===============================