1

MontfortcollegeRotselaar

Infoavond4ejaars:Wiskunde

(26/2/2019)

WISKUNDEIN

DE DERDE GRAAD

2

Overzicht:wiskundeinMCR.

Hieropschooliserindederdegraadkeuzetussenstudierichtingenmet3,4,6,of6+2uurwiskunde.

• Destudierichtingenzondercomponentwiskundehebbenalsfocustalen,humanewetenschappen,of(exacte)wetenschappen.Dezestudierichtingenhebben3of4uurwiskunde.*Destudierichtingenzondercomponentwetenschappenhebben3uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.*Destudierichtingenmetcomponentwetenschappenhebben4uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Detweeverschillende3-uurs-richtingenziendezelfdeleerstof.Afhankelijkvanhetleerlingenaantalkunnendezetweerichtingenvoorhetvakwiskundeeventueelsamenzittenofeventueelapartzitten.Ookhetexamenishetzelfde.Dezelfdeopmerkinggeldtvoordetweeverschillende4-uurs-richtingen.

• Destudierichtingenmetcomponentwiskundehebbenofwel6ofwel6+2uurwiskunde.*Met6uwiskundebiedenwijopschoolLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6aan.*Met6+2uwiskundebiedenwijopschoolWetenschappen-Wiskunde-6+2aan.Deinhoudvanhetvak"wiskunde-6"isindezestudierichtingeninprincipehetzelfde.Ookhetexamenishetzelfde,eventueelop1of2vragenna.Ditlaatstekaneengevolgzijnvaneenverschillendenadrukdieeenandereleerkrachtlegt.Hetkanookzijndaterinde6+2eensenkelemoeilijkereoefeningenbehandeldworden.Inhetverledeniseraleenseenkleinhoofdstukweggevalleninde6uo.w.v.tijdsdruk,terwijlweditindeWe-Wi-6+2welbehoudenhebben.

• Richtingen zonder component WISKUNDEØ 3 uur wiskunde:

• Latijn-Moderne talen• Humane wetenschappen

Ø 4 uur wiskunde:• Latijn-Wetenschappen• Moderne talen-Wetenschappen

• Richtingen met component WISKUNDEØ 6 uur wiskunde:

• Latijn-Wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde

Ø 6+2 uur wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde

OVE

RZICHT:W

ISKU

NDEINM

CR

• Richtingen zonder component WISKUNDEØ 3 uur wiskunde:

• Latijn-Moderne talen• Humane wetenschappen

Ø 4 uur wiskunde:• Latijn-Wetenschappen• Moderne talen-Wetenschappen

• Richtingen met component WISKUNDEØ 6 uur wiskunde:

• Latijn-Wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde

Ø 6+2 uur wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde

3

DeleerlingendiekiezenvoorWe-Wi-6+2hebbeneenvak"wiskunde-6"endaarnaasttweeuurperweek"wiskunde-plus".Ditiseenapartvak,waaroveruopheteindemeerleest.

Hoemaakjeeenkeuze?

Nuvolgtwatmeeruitlegvoordeverschillendepakkettenwiskunde.3uurwiskunde-algemeen.

DitisophetMCRvantoepassingvoorLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.Leerlingendiedezestudierichtingkiezen,hebbenvaakmoeilijkhedenmetwiskundeindetweedegraad.Tochisditgeenalgemeneregel!AlsjegoedbentinLatijn,talen,of

Punten voor het vak wiskunde in de 2de graad

Aanleg voor het vak wiskunde

Interesse voor het vak wiskunde

Inzet voor het vak wiskunde

Andere vakken

Studiekeuze na het middelbaar

HOEMAAKJEEEN

KEU

ZE?

KEUZE

Motivatie

Interessegebied = talen en Latijn, humane wetenschappen

3UURWISKU

NDE–ALG

EMEEN

Latijn – Moderne Talen of Humane Wetenschappen

• Wiskunde is geen fundamenteel vak

• Voor HuWe: aandacht voor statistische onderzoeksvaardig-

heden binnen het seminarie

• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en Kansrekenen

voor leerlingen met <6u” te kiezen

Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet haalbaar

4

humanewetenschappen,ofjemaakteenpositievekeuzevooréénvandezedriedomeinen,magjeditvanonsperfectdoen,ookalbenjeookgoedinwiskunde.Depraktijkleertechterdathetvoorheelwatleerlingenuitde3uurseenopluchtingisalshetgrotepakketwiskundewegvalt.Hetblijftnatuurlijkwelzodatjenogheelwatmoetdoenomhetvakwiskundebijtehouden.LeerlingenuitdestudierichtingenLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappenkunnensomswelensomsnietsamenleswiskundehebben.Ditisafhankelijkvandeleerlingenaantallen.Voorleerlingendiekiezenvoor3uwiskundeindederdegraad,zijnhogerestudiesmeteenzwaarpakketwiskundeeigenlijkniethaalbaar.Erzijndaarnaastookveelstudierichtingeninhethogeronderwijsbinnenhetdomeinmenswetenschappen(zoalspsychologieofpedagogie),waarstatistiektraditioneelvoorveelstudentenhetmoeilijkstevakis.Omhieraantegemoettetreden,komenstatistischeonderzoeksvaardighedenvoordeleerlingenhumanewetenschappenreedsaanbodbinnenhetseminarie(2uperweekinhet6ejaar)datopditmomentgezamenlijkdoormevr.M.-P.Cretskensenmevr.B.Peetersgegevenwordt.Daarnaastiservooralleleerlingenmet3of4uwiskundedemogelijkheidomindevrijeruimteinhet6ejaarvoorhetvak"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar)tekiezen.4uwiskunde-algemeen.

DitisophetMCRvantoepassingvoorLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Leerlingendiedezekeuzemaken,zijnvaakinwetenschappengeïnteresseerdterwijldecombinatiemet6uwiskundetezwaaris.

Interessegebied = talen/Latijn en exacte wetenschappen

Dikwijls leerlingen die combinatie met 6u wiskunde te zwaar vinden

Resultaat in het vierde situeert zich rond de 60%

4UURWISKU

NDE–ALG

EMEEN

Latijn – Wetenschappen of Moderne Talen – Wetenschappen

• Wiskunde is fundamenteel vak

• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en

Kansrekenen voor leerlingen met <6u” te kiezen

Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet evident

5

Vanalleverschillendeoptiesvoorwiskunde(dus3-4-6-8u)denkenwedathethetvier-uurspakketisdatquawerklast,niveau,enmoeilijkheidsgraadbesttevergelijkenismet5uwiskundeinhetvierde.Eenstudiekeuzebinneneenwetenschappelijkecontext,waarduseenvak"hogerewiskunde"of"calculus"of"differentiaal-enintegraalrekening"inkanvoorkomen,ismogelijk.Wedenkenbv.aanfarmaceutischewetenschappenofT.E.W.Eenstudiekeuzewaareenzwaarderpakketwiskundeinvoorkomt,zoalsbio-ingenieur,industrieelingenieur,handelsingenieur,burg.ingenieur,offysica,isnietevident.(Wezeggennietdathetonmogelijkis.)LeerlingenuitModerneTalen-WetenschappenenLatijn-Wetenschappenkunnensomswelensomsnietsamenleswiskundehebben.Leerlingenmet4uwiskundehebbeninhet6ejaarookdemogelijkheidomdevrijeruimteinhet6ejaar"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar)tekiezen.6uwiskunde-algemeen.

DitisophetMCRvantoepassingvoorLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde6+2.Leerlingendievoor6ukiezen,hebbenvoldoendeaanlegeninteressevoorwiskunde.Houderrekeningmedatjepuntenwiskundewatzakkentussendetweedeenderdegraad.Voordeleerlingenindezestudierichtingwordtwiskundeeenfundamenteelvak(eenrichtingsvak).Webenadrukkendaterbestwelwatverschiltussen"6uwiskundeinhet5e"en"5uwiskundeinhet4e"is:

• Jehebt1umeerlesinhet5edaninhet4e;

Interessegebied = Latijn/wetenschappen en wiskunde

Leerlingen met voldoende aanleg en interesse voor wiskunde

Resultaat in het vierde situeert zich vlot boven de 60%

6UURWISKU

NDE–ALG

EMEEN

Latijn – Wiskunde of Wetenschappen – Wiskunde

• Wiskunde is fundamenteel vak

• Iedereen moet tandje bijsteken, ook ‘sterkere’ leerlingen

• Eventuele adviezen goed in overweging nemen!

Hogere studies met zwaar pakket wiskunde mogelijk

6

• Erwordtopéénlesuurmeerleerstofbehandeldinhet5edanopéénlesuurinhet4e;

• Jehebtmeerwerkthuis.Jezounaelkelesjeleerstofthuismoeteninoefenen,studeren,ofherhalen.

• Erwordtmeernadrukoptheorieenbewijzengelegd.Erwordtmeerinzichtgevraagd.Erwordtmeercreativiteitenzelfstandigheidbijmoeilijkereoefeningenverwacht.Erzijnsomsoefeningendieinverschillendestukkenuiteenvallenofwaarjeverschillendestukkenleerstofmoetcombineren.

• Jekomtindederdegraadineenklasleerlingendieallemaalvoorwiskundekiezenendieallemaalsterkerinwiskundezijn.Inhetvierdejaarzatjeineenklaswaarvanersommigenvoorhetdrie-uurspakketkozen.Deklaswordtdushomogenerensterker.

• Erzijnookgroteregehelen.ErzijngeenPaasexamensindederdegraad.

Jezietdat"6uwiskundeinhet5e"wezenlijkmeerenmoeilijkerisdan"5uwiskundeinhet4e".Onderschatditniet.Hetisnietvooriedereenweggelegd,enookdesterkeleerlingengaaneentandjemoetenbijsteken.AfentoehorenwedaterleerlingenzijndiezonderveelnadenkenindederdegraadWeWi6kiezen,omdatditzondermeeralshetvervolgopWetenschappenindetweedegraadgezienwordt.Ditisgeencorrectezienswijze.WeWi6iséénvandemogelijkevervolgen.ErzijnveleanderevervolgopleidingenindederdegraadnaWetenschappenindetweedegraad,enWeWi6isdaarslechtséénmogelijkheidvan.Houdinhetachterhoofddatookvooranderevakkendeeisenindederdegraadhogerliggen.Deervaringleertdatleerlingeninbv.WeWi6nietenkelvoorhetvakwiskunde,maarookvooraldewetenschapsvakken,methogereeisengeconfronteerdwordenbijdeoverstapnaarhetvijfdejaar.Somsvraagtmenonshoeveeljealsleerlingzoumoetenlerenalsje6uwiskundekiest.Hetantwoordhieropisperleerlingverschillend.Maargemiddeldgezienverwachtenwedatjeelkeavondnaeenleswiskundeookeenhalfuurbesteedtaandeverwerkingvandeleerstofofhetmakenvanoefeningen.Endanzoujeéénoftweekeerperweeknogeenseengrotergeheelgrondigmoeteninstuderenofaaneentaakwerken.Alsjedeoptelsommaakt,denkenwedatjegemiddeldaaneenzestaluurperweekzalkomen.Wevermeldennogeensdatdeinhoudvanhetvak"wiskunde6"hetzelfdeofzogoedalshetzelfdeisinderichtingenLatijn-Wiskunde,Wetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde-6+2.Dezeleerlingenkunnenooksamenleshebben.Leerlingenmet6uwiskundekunneninhetzesdejaardevrijeruimte"Wiskundeennatuurkunde"kiezen,waarinzetijdenshettweedesemester2uperweekdewisselwerkingtussenwiskundeennatuurkundezien.

7

DaarnaasthebbendeleerlingenvandeWe-WidekeuzeomWe-Wi-6tedoenofWe-Wi-6+2.Wewillennogopditverschilfocussen.

• AlsjevoorWe-Wi-6kiesthebjeinhetvijfdejaar1uDuitsen1uWetenschappelijkeCompetenties,eninhetzesdejaar1uDuits.Jehebtsteeds32uperweekles.

• AlsjevoorWe-Wi-6+2kiest,hebjeinhetvijfdejaarenhetzesdejaar2uwiskunde-plus.Inhetvijfdejaarhebje32uperweekles.Inhetzesdejaarhebje33uperweekles.

• Alleandereuren(dus30uinhet5een31uinhet6e)zijnhetzelfde.Voorleerlingendieeenrichtingmet6uwiskundemetgoedgevolgafgewerkthebben,zijnhogerestudiesmeteenzwaarderpakketwiskundemogelijk.Denkbijvoorbeeldaaneeningenieursrichting.Inhetidealegevalmaakjeeenpositievekeuzevoorwiskunde.Wehopendaterveelleerlingenindezesuursrichtingzitten,diegraagwiskundedoen,diegraagpuzzelen,diehetplezierigvindenomergensoptezoeken,diehetfijnvindenomzelfietstevinden,diedeuitdagingaangaanomeenbewijshelemaaltebegrijpenennietgewoonvanbuitenteleren,diezichaangesprokenvoelenalsdeleerkrachteenmoeilijke"V"-oefeningopgeeft.Voordetwijfelaars:bekijkhetalseenuitdagingomopjePaasexameneenstetonenwatjeéchtkan.

Wetenschappen-Wiskunde 6

• Vijfde jaar: 1u Duits, 1u Wetenschappelijke Competenties

• Zesde jaar: 1u Duits

• Zowel in het vijfde als zesde: 32u/w les.

Wetenschappen-Wiskunde 6+2

• Vijfde jaar: 2u wiskunde-plus

• Zesde jaar: 2u wiskunde-plus

• Vijfde jaar 32u/w les; zesde jaar 33u/w les.

• Alle andere lesuren zijn hetzelfde.

WEW

I6OFWEW

I6+2?

8

Vergelijkingtussendepakketten:leerstofoverzicht.Wewillennudeverschillendeklemtonenindepakkettenwiskundeconcretervoorstellen.Hieronderziejeeenoverzichtvandeverschillendeleerstofonderdelenindederdegraad.

Vergelijkingtussendepakketten:Goniometrischefuncties.Indezeslideziejehetverschiltussendeverschillendeoptiesaandehandvanéénenkelonderwerp.

LEER

STOFO

VERZ

ICHT

3uur 4uur 6uurOnderzoekvanverschillendesoortenfuncties(veeltermfuncties,exponentiëleenlogaritmischefuncties,goniometrischefuncties)

Onderzoekvanverschillendesoortenfuncties(veeltermfuncties,rationalefuncties,exponentiëleenlogaritmischefuncties,goniometrischefuncties)

Onderzoekvanverschillendesoortenfuncties(veeltermfuncties,rationalefuncties,irrationale,exponentiëleenlogaritmischefuncties,goniometrischeencyclometrische functies)

Afgeleidenenintegralen Afgeleidenenintegralen Afgeleidenenintegralen

- Telproblemenenkansrekenen Telproblemenenkansrekenen

Statistiek Statistiek Statistiek

Financiëlealgebra Financiëlealgebra Financiëlealgebra

- - Matricesenstelsels

- - Complexegetallen

- - Analytische ruimtemeetkunde

Onderzoekscompetenties

vb.G

ONIOMETRISCHEFU

NCT

IES

3uur 4uur 6uurDomein,bereik,periodiciteit,stijgen/dalen,extrema vandefunctie

aflezenvandegrafiekenbeschrijven.

Domein,bereik,periodiciteit,stijgen/dalen,extrema vandefuncties

aflezenvandegrafiekenenbeschrijven.

Domein,bereik,periodiciteit,stijgen/dalen,extrema vandefuncties,en aflezenvandegrafiekenenbeschrijven.

uitbreidingsleerstof Som- enverschilformulesendeformulesvanSimpsonhanterenmeteenformularium.

Som- enverschilformules,verdubbelingsformulesenformulesvanSimpsonbewijzenengebruikenomgoniometrischeuitdrukkingentevereenvoudigen,vergelijkingenoptelosseneneenvoudigeidentiteitentebewijzen.

f(x) sinx= f(x) cosx=f(x) tanx=f(x) sinx en= f(x) cosx=f(x) sinx=

9

Vergelijkingtussendepakketten:Eenvoorbeeldvraag.Omhetverschiltussendeverschillendeoptiesteverduidelijken,hebbenweeenvraaguithetvierdejaaropverschillendemanierenvoorgesteld.Delinkerkolomverduidelijktonzeverwachtingenvoorde3-uurs,derechterkolomvoorde6-uurs.

Wiskunde-plusenWe-Wi-6+2.

Leerlingendieéchtgebetenzijnvoorwiskunde,kunnenvoorWe-Wi-6+2kiezen.Naast"wiskunde-6"hebbenzenogtweeuurperweek"wiskunde-plus".Ditzijncomplementaireuren.Ditbetekentdatheturenzijndiedeschoolvrijmaginvullen,enonzeschoolheeftervoorgekozenomookeenstudierichtingWe-Wiaantebiedenwaarbijer2uurextraaanwiskundebesteedwordt.Ditiseenvrijekeuzevandeschoolenhierisdusookgeenleerplanvoor,watmaaktdatdeschoolookdeonderwerpenvrijkankiezen.

6+2UURWISKU

NDE–

ALG

EMEEN

• 2 uur extra bovenop ‘gemeenschappelijk programma’ van 6 uur

• Soms aparte klas, soms niet

• Graag bezig zijn met wiskunde en extra inspanningen willen leveren

Wiskunde onthult zijn geheimen enkel aan diegene die de wiskunde – voor zijn schoonheid – met pure liefde benadert.

10

Dezestudierichtingisdusbedoeldvoordeleerlingenwienswiskundehongernietgestildisopzesuurtjes,endieookerggoedvoorwiskundescoordenvoorhetvakwiskundeinhet4ejaar.Alsleerkrachthebbenweindezestudierichtinghogeverwachtingenvanjoualsleerling,zowelvoorhetvakwiskunde-6maarookvoorhetvakwiskunde-plus.KiesdezestudierichtingdusnietenkelenalleenmaaromdatjegeenDuitswilhebben,enbeschouwwiskunde-plusnietzomaaralseenleukextraatje.Jezalweekperweektijdmoeteninvestereninditvak,enerisookeenexamenvoorhetvakwiskunde-plus.Dekeuzevandeonderwerpenvanhetvakwiskunde-pluskanjeverdervoorbereidenopeenwiskundigestudierichtinginhethogeronderwijs.Eenaantalonderwerpenlaattoeomhetabstractievermogenenwiskundigredeneringsvermogenverderaantescherpen.Erzullenookenkeledefinitiesopstriktrigoureuzewijzegegevenworden,watinhethogeronderwijskanterugkomen(limieten).Inhethogeronderwijsmoetjeookvaakeenerggrootstuktheoriebeheersen(bv.bewijzenofafleidingenvaneenformule)terwijldeleerstofdiejetotnogtoehebtmoetenstuderenbeperktwas.Viahetvakwiskunde-pluswordjeookvoorbereidopdezegrotereleerstofgehelen.Jezalinvergelijkingmethet4ejaareengroteraantalbewijzenmoetenstuderenvoorhetvakwiskunde-plus.Inhet6ejaargajeinwiskunde-plusookenkeleonderwerpenuitdedifferentiaal-enintegraalrekening(m.n.reeksontwikkelingenendubbeleintegralen)behandelendiejetypischineencursushogerewiskundeinhethogeronderwijstegenkomt.

Deonderwerpendieopditmomentinhet5een6eophetprogrammastaan,zijn:

• vlakkedriehoeksmeetkunde(bv.eigenschappenoverdein-enomgeschrevencirkel)

• deelnameaan(envoorbereidingvan)hetinternationaalwiskundetoernooiinLeuven

• limieten(de𝜀-𝛿-definitie)

WISKU

NDEPLUS

Ø Vlakke driehoeksmeetkunde

Ø Internationaal Wiskundetornooi

Ø Limieten (! − #-definitie)Ø Meetkundige plaatsen

Ø Determinanten, eigenvectoren, eigenwaarden

Ø Logica

Ø Wiskundige symbolen

Ø Reeksontwikkelingen

Ø Programmeren (Java)

Ø Kegelsneden

Ø Dubbele integralen

5. Rekenregels.

Stelling 2 (Veelvoud van een eindige limiet).

Veronderstel a, b, c � R en limx�a

f(x) = b. Dan bestaat de limiet limx�a

c · f(x) ook, en deze

limiet is eindig en gelijk aan c · b.

Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.

We moeten nu aantonen dat er een � > 0 bestaat zodat, voor elke x � R \ {a}, van zodra|x � a| < � ook geldt dat |c · f(x) � c · b| < �.

Eerste geval. Als c = 0, dan nemen we bijvoorbeeld � = 17. Als |x � a| < 17 dan is|c · f(x) � c · b| = |0 · f(x) � 0 · b| = |0 � 0| = 0 en dit is strikt kleiner dan �.

Tweede geval. Veronderstel nu dat c �= 0. Omdat limx�a

f(x) = b kan je een � kiezen

waarvoor |f(x) � b| < �|c| van zodra |x � a| < � en x � R \ {a} .

Veronderstel nu dat x � R \ {a} en |x � a| < �. Dan is

|c · f(x) � c · b| = |c · (f(x) � b)| = |c| · |f(x) � b| < |c| · �

|c| = � .

Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.

Stelling 3 (Som van eindige limieten).

Veronderstel a, p, q � R en limx�a

f(x) = p en limx�a

g(x) = q. Dan bestaat de limiet

limx�a

�f(x) + g(x)

�ook, en deze limiet is eindig en gelijk aan p + q.

Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.

Omdat limx�a

f(x) = p kan je een �1 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},

|x � a| < �1 � |f(x) � p| <�

2.

Omdat limx�a

g(x) = q kan je een �2 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},

|x � a| < �2 � |g(x) � q| <�

2.

We noemen nu � = min {�1, �2}. Veronderstel x � R \ {a}, en |x � a| < �. Dan is|x � a| < �1 en |x � a| < �2. Dan volgt dat

��(f(x)+g(x))�(p+q)�� = |(f(x) � p) + (g(x) � q)| � |f(x) � p|+ |g(x) � q| <

�

2+

�

2= � .

Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.

5 WW 8 — Limieten van Functies 15.

11

• meetkundigeplaatsen• determinanten,eigenwaardeneneigenvectoren• logica• wiskundigesymbolen• reeksontwikkelingen• programmeren(Java)• kegelsneden• dubbeleintegralen.

Ditkannatuurlijkperschooljaarverschillen.Lessentabellen.Totslotvergelijkenwedeverschillendelessentabellenindeverschillendestudierichtingenmet6+2,6,en4uurwiskunde.

Citaat.

WeWi6+2 WeWi-6 Lat-Wisk LaWet MtWet

5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de

Wiskunde 6+2 6+2 6 6 6 6 4 4 4 4

Modernevreemdetalen(Duits+Eng+Fra)

5 5 6 6 5 5 5 5 9 9

Wetenschappen(Aard+Bio+Chem+Fys+WeCo)

8 7 9 7 6 4 8 7 8 7

Latijn 0 0 0 0 4 4 4 4 0 0

Totaal(allevakken) 32 33 32 32 32 32 32 33 32 33

De enige plaats waar succes vóór werk komt, is in het woordenboek.

12

Opmerking.Informatieondervoorbehoud.Deplanningendebinnendevrijeruimteaangebodenkeuzemogelijkhedenkunnenperschooljaargewijzigdworden.Vakgroepwiskundederdegraad.