1
MontfortcollegeRotselaar
Infoavond4ejaars:Wiskunde
(26/2/2019)
WISKUNDEIN
DE DERDE GRAAD
2
Overzicht:wiskundeinMCR.
Hieropschooliserindederdegraadkeuzetussenstudierichtingenmet3,4,6,of6+2uurwiskunde.
• Destudierichtingenzondercomponentwiskundehebbenalsfocustalen,humanewetenschappen,of(exacte)wetenschappen.Dezestudierichtingenhebben3of4uurwiskunde.*Destudierichtingenzondercomponentwetenschappenhebben3uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.*Destudierichtingenmetcomponentwetenschappenhebben4uwiskunde.DitzijnderichtingenLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Detweeverschillende3-uurs-richtingenziendezelfdeleerstof.Afhankelijkvanhetleerlingenaantalkunnendezetweerichtingenvoorhetvakwiskundeeventueelsamenzittenofeventueelapartzitten.Ookhetexamenishetzelfde.Dezelfdeopmerkinggeldtvoordetweeverschillende4-uurs-richtingen.
• Destudierichtingenmetcomponentwiskundehebbenofwel6ofwel6+2uurwiskunde.*Met6uwiskundebiedenwijopschoolLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6aan.*Met6+2uwiskundebiedenwijopschoolWetenschappen-Wiskunde-6+2aan.Deinhoudvanhetvak"wiskunde-6"isindezestudierichtingeninprincipehetzelfde.Ookhetexamenishetzelfde,eventueelop1of2vragenna.Ditlaatstekaneengevolgzijnvaneenverschillendenadrukdieeenandereleerkrachtlegt.Hetkanookzijndaterinde6+2eensenkelemoeilijkereoefeningenbehandeldworden.Inhetverledeniseraleenseenkleinhoofdstukweggevalleninde6uo.w.v.tijdsdruk,terwijlweditindeWe-Wi-6+2welbehoudenhebben.
• Richtingen zonder component WISKUNDEØ 3 uur wiskunde:
• Latijn-Moderne talen• Humane wetenschappen
Ø 4 uur wiskunde:• Latijn-Wetenschappen• Moderne talen-Wetenschappen
• Richtingen met component WISKUNDEØ 6 uur wiskunde:
• Latijn-Wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde
Ø 6+2 uur wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde
OVE
RZICHT:W
ISKU
NDEINM
CR
• Richtingen zonder component WISKUNDEØ 3 uur wiskunde:
• Latijn-Moderne talen• Humane wetenschappen
Ø 4 uur wiskunde:• Latijn-Wetenschappen• Moderne talen-Wetenschappen
• Richtingen met component WISKUNDEØ 6 uur wiskunde:
• Latijn-Wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde
Ø 6+2 uur wiskunde• Wetenschappen-Wiskunde
3
DeleerlingendiekiezenvoorWe-Wi-6+2hebbeneenvak"wiskunde-6"endaarnaasttweeuurperweek"wiskunde-plus".Ditiseenapartvak,waaroveruopheteindemeerleest.
Hoemaakjeeenkeuze?
Nuvolgtwatmeeruitlegvoordeverschillendepakkettenwiskunde.3uurwiskunde-algemeen.
DitisophetMCRvantoepassingvoorLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappen.Leerlingendiedezestudierichtingkiezen,hebbenvaakmoeilijkhedenmetwiskundeindetweedegraad.Tochisditgeenalgemeneregel!AlsjegoedbentinLatijn,talen,of
Punten voor het vak wiskunde in de 2de graad
Aanleg voor het vak wiskunde
Interesse voor het vak wiskunde
Inzet voor het vak wiskunde
Andere vakken
Studiekeuze na het middelbaar
HOEMAAKJEEEN
KEU
ZE?
KEUZE
Motivatie
Interessegebied = talen en Latijn, humane wetenschappen
3UURWISKU
NDE–ALG
EMEEN
Latijn – Moderne Talen of Humane Wetenschappen
• Wiskunde is geen fundamenteel vak
• Voor HuWe: aandacht voor statistische onderzoeksvaardig-
heden binnen het seminarie
• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en Kansrekenen
voor leerlingen met <6u” te kiezen
Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet haalbaar
4
humanewetenschappen,ofjemaakteenpositievekeuzevooréénvandezedriedomeinen,magjeditvanonsperfectdoen,ookalbenjeookgoedinwiskunde.Depraktijkleertechterdathetvoorheelwatleerlingenuitde3uurseenopluchtingisalshetgrotepakketwiskundewegvalt.Hetblijftnatuurlijkwelzodatjenogheelwatmoetdoenomhetvakwiskundebijtehouden.LeerlingenuitdestudierichtingenLatijn-ModerneTalenenHumaneWetenschappenkunnensomswelensomsnietsamenleswiskundehebben.Ditisafhankelijkvandeleerlingenaantallen.Voorleerlingendiekiezenvoor3uwiskundeindederdegraad,zijnhogerestudiesmeteenzwaarpakketwiskundeeigenlijkniethaalbaar.Erzijndaarnaastookveelstudierichtingeninhethogeronderwijsbinnenhetdomeinmenswetenschappen(zoalspsychologieofpedagogie),waarstatistiektraditioneelvoorveelstudentenhetmoeilijkstevakis.Omhieraantegemoettetreden,komenstatistischeonderzoeksvaardighedenvoordeleerlingenhumanewetenschappenreedsaanbodbinnenhetseminarie(2uperweekinhet6ejaar)datopditmomentgezamenlijkdoormevr.M.-P.Cretskensenmevr.B.Peetersgegevenwordt.Daarnaastiservooralleleerlingenmet3of4uwiskundedemogelijkheidomindevrijeruimteinhet6ejaarvoorhetvak"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar)tekiezen.4uwiskunde-algemeen.
DitisophetMCRvantoepassingvoorLatijn-WetenschappenenModerneTalen-Wetenschappen.Leerlingendiedezekeuzemaken,zijnvaakinwetenschappengeïnteresseerdterwijldecombinatiemet6uwiskundetezwaaris.
Interessegebied = talen/Latijn en exacte wetenschappen
Dikwijls leerlingen die combinatie met 6u wiskunde te zwaar vinden
Resultaat in het vierde situeert zich rond de 60%
4UURWISKU
NDE–ALG
EMEEN
Latijn – Wetenschappen of Moderne Talen – Wetenschappen
• Wiskunde is fundamenteel vak
• Mogelijkheid om de vrije ruimte “Statistiek en
Kansrekenen voor leerlingen met <6u” te kiezen
Hogere studies met zwaar pakket wiskunde niet evident
5
Vanalleverschillendeoptiesvoorwiskunde(dus3-4-6-8u)denkenwedathethetvier-uurspakketisdatquawerklast,niveau,enmoeilijkheidsgraadbesttevergelijkenismet5uwiskundeinhetvierde.Eenstudiekeuzebinneneenwetenschappelijkecontext,waarduseenvak"hogerewiskunde"of"calculus"of"differentiaal-enintegraalrekening"inkanvoorkomen,ismogelijk.Wedenkenbv.aanfarmaceutischewetenschappenofT.E.W.Eenstudiekeuzewaareenzwaarderpakketwiskundeinvoorkomt,zoalsbio-ingenieur,industrieelingenieur,handelsingenieur,burg.ingenieur,offysica,isnietevident.(Wezeggennietdathetonmogelijkis.)LeerlingenuitModerneTalen-WetenschappenenLatijn-Wetenschappenkunnensomswelensomsnietsamenleswiskundehebben.Leerlingenmet4uwiskundehebbeninhet6ejaarookdemogelijkheidomdevrijeruimteinhet6ejaar"Statistiekenkansrekenenvoor<6u"(2uperweekgedurendehethelejaar)tekiezen.6uwiskunde-algemeen.
DitisophetMCRvantoepassingvoorLatijn-WiskundeenWetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde6+2.Leerlingendievoor6ukiezen,hebbenvoldoendeaanlegeninteressevoorwiskunde.Houderrekeningmedatjepuntenwiskundewatzakkentussendetweedeenderdegraad.Voordeleerlingenindezestudierichtingwordtwiskundeeenfundamenteelvak(eenrichtingsvak).Webenadrukkendaterbestwelwatverschiltussen"6uwiskundeinhet5e"en"5uwiskundeinhet4e"is:
• Jehebt1umeerlesinhet5edaninhet4e;
Interessegebied = Latijn/wetenschappen en wiskunde
Leerlingen met voldoende aanleg en interesse voor wiskunde
Resultaat in het vierde situeert zich vlot boven de 60%
6UURWISKU
NDE–ALG
EMEEN
Latijn – Wiskunde of Wetenschappen – Wiskunde
• Wiskunde is fundamenteel vak
• Iedereen moet tandje bijsteken, ook ‘sterkere’ leerlingen
• Eventuele adviezen goed in overweging nemen!
Hogere studies met zwaar pakket wiskunde mogelijk
6
• Erwordtopéénlesuurmeerleerstofbehandeldinhet5edanopéénlesuurinhet4e;
• Jehebtmeerwerkthuis.Jezounaelkelesjeleerstofthuismoeteninoefenen,studeren,ofherhalen.
• Erwordtmeernadrukoptheorieenbewijzengelegd.Erwordtmeerinzichtgevraagd.Erwordtmeercreativiteitenzelfstandigheidbijmoeilijkereoefeningenverwacht.Erzijnsomsoefeningendieinverschillendestukkenuiteenvallenofwaarjeverschillendestukkenleerstofmoetcombineren.
• Jekomtindederdegraadineenklasleerlingendieallemaalvoorwiskundekiezenendieallemaalsterkerinwiskundezijn.Inhetvierdejaarzatjeineenklaswaarvanersommigenvoorhetdrie-uurspakketkozen.Deklaswordtdushomogenerensterker.
• Erzijnookgroteregehelen.ErzijngeenPaasexamensindederdegraad.
Jezietdat"6uwiskundeinhet5e"wezenlijkmeerenmoeilijkerisdan"5uwiskundeinhet4e".Onderschatditniet.Hetisnietvooriedereenweggelegd,enookdesterkeleerlingengaaneentandjemoetenbijsteken.AfentoehorenwedaterleerlingenzijndiezonderveelnadenkenindederdegraadWeWi6kiezen,omdatditzondermeeralshetvervolgopWetenschappenindetweedegraadgezienwordt.Ditisgeencorrectezienswijze.WeWi6iséénvandemogelijkevervolgen.ErzijnveleanderevervolgopleidingenindederdegraadnaWetenschappenindetweedegraad,enWeWi6isdaarslechtséénmogelijkheidvan.Houdinhetachterhoofddatookvooranderevakkendeeisenindederdegraadhogerliggen.Deervaringleertdatleerlingeninbv.WeWi6nietenkelvoorhetvakwiskunde,maarookvooraldewetenschapsvakken,methogereeisengeconfronteerdwordenbijdeoverstapnaarhetvijfdejaar.Somsvraagtmenonshoeveeljealsleerlingzoumoetenlerenalsje6uwiskundekiest.Hetantwoordhieropisperleerlingverschillend.Maargemiddeldgezienverwachtenwedatjeelkeavondnaeenleswiskundeookeenhalfuurbesteedtaandeverwerkingvandeleerstofofhetmakenvanoefeningen.Endanzoujeéénoftweekeerperweeknogeenseengrotergeheelgrondigmoeteninstuderenofaaneentaakwerken.Alsjedeoptelsommaakt,denkenwedatjegemiddeldaaneenzestaluurperweekzalkomen.Wevermeldennogeensdatdeinhoudvanhetvak"wiskunde6"hetzelfdeofzogoedalshetzelfdeisinderichtingenLatijn-Wiskunde,Wetenschappen-Wiskunde-6enWetenschappen-Wiskunde-6+2.Dezeleerlingenkunnenooksamenleshebben.Leerlingenmet6uwiskundekunneninhetzesdejaardevrijeruimte"Wiskundeennatuurkunde"kiezen,waarinzetijdenshettweedesemester2uperweekdewisselwerkingtussenwiskundeennatuurkundezien.
7
DaarnaasthebbendeleerlingenvandeWe-WidekeuzeomWe-Wi-6tedoenofWe-Wi-6+2.Wewillennogopditverschilfocussen.
• AlsjevoorWe-Wi-6kiesthebjeinhetvijfdejaar1uDuitsen1uWetenschappelijkeCompetenties,eninhetzesdejaar1uDuits.Jehebtsteeds32uperweekles.
• AlsjevoorWe-Wi-6+2kiest,hebjeinhetvijfdejaarenhetzesdejaar2uwiskunde-plus.Inhetvijfdejaarhebje32uperweekles.Inhetzesdejaarhebje33uperweekles.
• Alleandereuren(dus30uinhet5een31uinhet6e)zijnhetzelfde.Voorleerlingendieeenrichtingmet6uwiskundemetgoedgevolgafgewerkthebben,zijnhogerestudiesmeteenzwaarderpakketwiskundemogelijk.Denkbijvoorbeeldaaneeningenieursrichting.Inhetidealegevalmaakjeeenpositievekeuzevoorwiskunde.Wehopendaterveelleerlingenindezesuursrichtingzitten,diegraagwiskundedoen,diegraagpuzzelen,diehetplezierigvindenomergensoptezoeken,diehetfijnvindenomzelfietstevinden,diedeuitdagingaangaanomeenbewijshelemaaltebegrijpenennietgewoonvanbuitenteleren,diezichaangesprokenvoelenalsdeleerkrachteenmoeilijke"V"-oefeningopgeeft.Voordetwijfelaars:bekijkhetalseenuitdagingomopjePaasexameneenstetonenwatjeéchtkan.
Wetenschappen-Wiskunde 6
• Vijfde jaar: 1u Duits, 1u Wetenschappelijke Competenties
• Zesde jaar: 1u Duits
• Zowel in het vijfde als zesde: 32u/w les.
Wetenschappen-Wiskunde 6+2
• Vijfde jaar: 2u wiskunde-plus
• Zesde jaar: 2u wiskunde-plus
• Vijfde jaar 32u/w les; zesde jaar 33u/w les.
• Alle andere lesuren zijn hetzelfde.
WEW
I6OFWEW
I6+2?
8
Vergelijkingtussendepakketten:leerstofoverzicht.Wewillennudeverschillendeklemtonenindepakkettenwiskundeconcretervoorstellen.Hieronderziejeeenoverzichtvandeverschillendeleerstofonderdelenindederdegraad.
Vergelijkingtussendepakketten:Goniometrischefuncties.Indezeslideziejehetverschiltussendeverschillendeoptiesaandehandvanéénenkelonderwerp.
LEER
STOFO
VERZ
ICHT
3uur 4uur 6uurOnderzoekvanverschillendesoortenfuncties(veeltermfuncties,exponentiëleenlogaritmischefuncties,goniometrischefuncties)
Onderzoekvanverschillendesoortenfuncties(veeltermfuncties,rationalefuncties,exponentiëleenlogaritmischefuncties,goniometrischefuncties)
Onderzoekvanverschillendesoortenfuncties(veeltermfuncties,rationalefuncties,irrationale,exponentiëleenlogaritmischefuncties,goniometrischeencyclometrische functies)
Afgeleidenenintegralen Afgeleidenenintegralen Afgeleidenenintegralen
- Telproblemenenkansrekenen Telproblemenenkansrekenen
Statistiek Statistiek Statistiek
Financiëlealgebra Financiëlealgebra Financiëlealgebra
- - Matricesenstelsels
- - Complexegetallen
- - Analytische ruimtemeetkunde
Onderzoekscompetenties
vb.G
ONIOMETRISCHEFU
NCT
IES
3uur 4uur 6uurDomein,bereik,periodiciteit,stijgen/dalen,extrema vandefunctie
aflezenvandegrafiekenbeschrijven.
Domein,bereik,periodiciteit,stijgen/dalen,extrema vandefuncties
aflezenvandegrafiekenenbeschrijven.
Domein,bereik,periodiciteit,stijgen/dalen,extrema vandefuncties,en aflezenvandegrafiekenenbeschrijven.
uitbreidingsleerstof Som- enverschilformulesendeformulesvanSimpsonhanterenmeteenformularium.
Som- enverschilformules,verdubbelingsformulesenformulesvanSimpsonbewijzenengebruikenomgoniometrischeuitdrukkingentevereenvoudigen,vergelijkingenoptelosseneneenvoudigeidentiteitentebewijzen.
f(x) sinx= f(x) cosx=f(x) tanx=f(x) sinx en= f(x) cosx=f(x) sinx=
9
Vergelijkingtussendepakketten:Eenvoorbeeldvraag.Omhetverschiltussendeverschillendeoptiesteverduidelijken,hebbenweeenvraaguithetvierdejaaropverschillendemanierenvoorgesteld.Delinkerkolomverduidelijktonzeverwachtingenvoorde3-uurs,derechterkolomvoorde6-uurs.
Wiskunde-plusenWe-Wi-6+2.
Leerlingendieéchtgebetenzijnvoorwiskunde,kunnenvoorWe-Wi-6+2kiezen.Naast"wiskunde-6"hebbenzenogtweeuurperweek"wiskunde-plus".Ditzijncomplementaireuren.Ditbetekentdatheturenzijndiedeschoolvrijmaginvullen,enonzeschoolheeftervoorgekozenomookeenstudierichtingWe-Wiaantebiedenwaarbijer2uurextraaanwiskundebesteedwordt.Ditiseenvrijekeuzevandeschoolenhierisdusookgeenleerplanvoor,watmaaktdatdeschoolookdeonderwerpenvrijkankiezen.
6+2UURWISKU
NDE–
ALG
EMEEN
• 2 uur extra bovenop ‘gemeenschappelijk programma’ van 6 uur
• Soms aparte klas, soms niet
• Graag bezig zijn met wiskunde en extra inspanningen willen leveren
Wiskunde onthult zijn geheimen enkel aan diegene die de wiskunde – voor zijn schoonheid – met pure liefde benadert.
10
Dezestudierichtingisdusbedoeldvoordeleerlingenwienswiskundehongernietgestildisopzesuurtjes,endieookerggoedvoorwiskundescoordenvoorhetvakwiskundeinhet4ejaar.Alsleerkrachthebbenweindezestudierichtinghogeverwachtingenvanjoualsleerling,zowelvoorhetvakwiskunde-6maarookvoorhetvakwiskunde-plus.KiesdezestudierichtingdusnietenkelenalleenmaaromdatjegeenDuitswilhebben,enbeschouwwiskunde-plusnietzomaaralseenleukextraatje.Jezalweekperweektijdmoeteninvestereninditvak,enerisookeenexamenvoorhetvakwiskunde-plus.Dekeuzevandeonderwerpenvanhetvakwiskunde-pluskanjeverdervoorbereidenopeenwiskundigestudierichtinginhethogeronderwijs.Eenaantalonderwerpenlaattoeomhetabstractievermogenenwiskundigredeneringsvermogenverderaantescherpen.Erzullenookenkeledefinitiesopstriktrigoureuzewijzegegevenworden,watinhethogeronderwijskanterugkomen(limieten).Inhethogeronderwijsmoetjeookvaakeenerggrootstuktheoriebeheersen(bv.bewijzenofafleidingenvaneenformule)terwijldeleerstofdiejetotnogtoehebtmoetenstuderenbeperktwas.Viahetvakwiskunde-pluswordjeookvoorbereidopdezegrotereleerstofgehelen.Jezalinvergelijkingmethet4ejaareengroteraantalbewijzenmoetenstuderenvoorhetvakwiskunde-plus.Inhet6ejaargajeinwiskunde-plusookenkeleonderwerpenuitdedifferentiaal-enintegraalrekening(m.n.reeksontwikkelingenendubbeleintegralen)behandelendiejetypischineencursushogerewiskundeinhethogeronderwijstegenkomt.
Deonderwerpendieopditmomentinhet5een6eophetprogrammastaan,zijn:
• vlakkedriehoeksmeetkunde(bv.eigenschappenoverdein-enomgeschrevencirkel)
• deelnameaan(envoorbereidingvan)hetinternationaalwiskundetoernooiinLeuven
• limieten(de𝜀-𝛿-definitie)
WISKU
NDEPLUS
Ø Vlakke driehoeksmeetkunde
Ø Internationaal Wiskundetornooi
Ø Limieten (! − #-definitie)Ø Meetkundige plaatsen
Ø Determinanten, eigenvectoren, eigenwaarden
Ø Logica
Ø Wiskundige symbolen
Ø Reeksontwikkelingen
Ø Programmeren (Java)
Ø Kegelsneden
Ø Dubbele integralen
5. Rekenregels.
Stelling 2 (Veelvoud van een eindige limiet).
Veronderstel a, b, c � R en limx�a
f(x) = b. Dan bestaat de limiet limx�a
c · f(x) ook, en deze
limiet is eindig en gelijk aan c · b.
Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.
We moeten nu aantonen dat er een � > 0 bestaat zodat, voor elke x � R \ {a}, van zodra|x � a| < � ook geldt dat |c · f(x) � c · b| < �.
Eerste geval. Als c = 0, dan nemen we bijvoorbeeld � = 17. Als |x � a| < 17 dan is|c · f(x) � c · b| = |0 · f(x) � 0 · b| = |0 � 0| = 0 en dit is strikt kleiner dan �.
Tweede geval. Veronderstel nu dat c �= 0. Omdat limx�a
f(x) = b kan je een � kiezen
waarvoor |f(x) � b| < �|c| van zodra |x � a| < � en x � R \ {a} .
Veronderstel nu dat x � R \ {a} en |x � a| < �. Dan is
|c · f(x) � c · b| = |c · (f(x) � b)| = |c| · |f(x) � b| < |c| · �
|c| = � .
Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.
Stelling 3 (Som van eindige limieten).
Veronderstel a, p, q � R en limx�a
f(x) = p en limx�a
g(x) = q. Dan bestaat de limiet
limx�a
�f(x) + g(x)
�ook, en deze limiet is eindig en gelijk aan p + q.
Bewijs van Stelling 2. Laat � > 0 een willekeurig getal zijn.
Omdat limx�a
f(x) = p kan je een �1 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},
|x � a| < �1 � |f(x) � p| <�
2.
Omdat limx�a
g(x) = q kan je een �2 � R+0 kiezen zodat, voor elke x � R \ {a},
|x � a| < �2 � |g(x) � q| <�
2.
We noemen nu � = min {�1, �2}. Veronderstel x � R \ {a}, en |x � a| < �. Dan is|x � a| < �1 en |x � a| < �2. Dan volgt dat
��(f(x)+g(x))�(p+q)�� = |(f(x) � p) + (g(x) � q)| � |f(x) � p|+ |g(x) � q| <
�
2+
�
2= � .
Dit beeindigt het bewijs. q.e.d.
5 WW 8 — Limieten van Functies 15.
11
• meetkundigeplaatsen• determinanten,eigenwaardeneneigenvectoren• logica• wiskundigesymbolen• reeksontwikkelingen• programmeren(Java)• kegelsneden• dubbeleintegralen.
Ditkannatuurlijkperschooljaarverschillen.Lessentabellen.Totslotvergelijkenwedeverschillendelessentabellenindeverschillendestudierichtingenmet6+2,6,en4uurwiskunde.
Citaat.
WeWi6+2 WeWi-6 Lat-Wisk LaWet MtWet
5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de 5de 6de
Wiskunde 6+2 6+2 6 6 6 6 4 4 4 4
Modernevreemdetalen(Duits+Eng+Fra)
5 5 6 6 5 5 5 5 9 9
Wetenschappen(Aard+Bio+Chem+Fys+WeCo)
8 7 9 7 6 4 8 7 8 7
Latijn 0 0 0 0 4 4 4 4 0 0
Totaal(allevakken) 32 33 32 32 32 32 32 33 32 33
De enige plaats waar succes vóór werk komt, is in het woordenboek.
12
Opmerking.Informatieondervoorbehoud.Deplanningendebinnendevrijeruimteaangebodenkeuzemogelijkhedenkunnenperschooljaargewijzigdworden.Vakgroepwiskundederdegraad.
Top Related