محاسبات عددي

ویراست دوم

محاسبات عددي

ویراست دوم

اي دکتر سید ابراهیم افجه

1395

تقدیم به پدرم، اي، سیدقاسم افجه

که همواره یار و یاورم بوده است.

مطالب فهرست

پانزده پیشگفتار 1 سري تیلور: 1فصل 1 مقدمه

1 سري تیلور تابعی از یک متغیر .1.1 6 از دو متغیر عیتاب تیلورسري 2.1

10 مسائل

11 حساب تفاضل محدود: 2فصل 11 مقدمه

11 هاي پیشرو و پسرو تفاضل. 1.2 16 هاي مرکزي تفاضل. 2.2 22 لئمسا

25 یابی یابی و برون : درون 3فصل 25 مقدمه

25 یابی خطی . درون1.3 26 . تولید جداول تفاضلی2.3 29 یابی گرگوري ـ نیوتن . فرمول درون3.3 34 هاي مرکزي یابی با استفاده از تفاضل . درون4.3 36 یاب الگرانژ اي درون هاي با فواصل نامساوي و چندجمله یابی براي داده . درون5.3 40 چف اي چبی یابی با چندجمله . درون6.3 42 وسیلۀ تابع درجۀ سوم اسپالین یابی به . درون7.3 47 رمیتاي ه وسیلۀ چندجمله یابی به . درون8.3 49 یابی دو بعدي . درون9.3

هفت

50 یابی . برون10.3 54 مسائل

57 هاي معادالت : ریشه 4فصل

57 مقدمه 57 . روش جستجوي افزایشی1.4 58 . روش نصف کردن فاصله2.4 60 . روش نیوتن رفسان3.4 62 . روش نیوتن تعمیم یافته4.4 63 . روش سکانت (وتر)5.4 64 . روش نقطه ثابت 6.4 66 . روش بیراستو7.4 72 . توابع چند متغیره8.4

72 اي نصف کردن فاصله . روش شبکه1.8.4 78 مسائل

81 : حل دستگاه معادالت جبري 5فصل 81 مقدمه

81 ها . اصطالحات و عملیات ابتدایی ماتریس1.5 83 هاي معادالت خطی . نمایش ماتریسی و حل دستگاه2.5 85 وس جردنیاوسی و حذف گا. حذف گ3.5 89 حل دستگاه معادالتی سه قطري. 4.5 LU 92تجزیۀ . 5.5 95 ـ سیدل و ژاکوبی وسا. روش گ6.5 96 رفسان) -هاي غیرخطی (روش نیوتن . حل دستگاه7.5

108 مسائل 111 مربعات و تقریب توابع پیوسته : برازش منحنی با استفاده از حداقل 6فصل

هشت

111 مقدمه 111 ینیمم) مربعات. روش حداقل (م1.6 115 . برازش منحنی با استفاده از ترکیب خطی چند تابع2.6 115 اي درجۀ سوم اسپالین برازش منحنی با استفاده از یک چندجمله 3.6 116 اي وسیلۀ یک چندجمله . تقریب توابع پیوسته به4.6

123 مسائل

125 گیري عددي انتگرال :7فصل 125 مقدمه

125 اي . روش ذوزنقه1.7 129 . روش سیمسون2.7 132 وسا. فرمول گ3.7 136 دوبل (دوگانه) هاي . انتگرال4.7 136 هاي نامعین . انتگرال5.7 137 . حل مشکل نقاط منفرد6.7

143 مسائل

145 : حل عددي معادالت دیفرانسیل8فصل 145 مقدمه

146 اویلر . روش1.8 148 هاي رانگ کوتا . روش2.8

148 گ کوتاي مرتبۀ دوم. روش ران1.2.8 149 . روش رانگ کوتاي مرتبۀ سوم2.2.8 149 . روش رانگ کوتاي مرتبۀ چهارم3.2.8

150 هاي آدامز معادله 3.8 150 . معادالت باز آدامز1.3.8 152 . معادالت بستۀ آدامز2.3.8

نه

153 بینی و تصحیح هاي پیش . روش4.8 13 مسائل

165 ها : مقادیر ویژة ماتریس 9فصل

165 مقدمه 165 . مقادیر ویژه و بردارهاي ویژه 1.9 166 . روش توان 2.9 168 . تعیین معادلۀ مشخصۀ یک ماتریس 3.9

169 . روش بوچر 1.3.9 170 . روش ضرایب نامعین 2.3.9

172 دست آوردن مقادیر ویژة ماتریس براي به QRو LRهاي . روش4.9 174 قدار ویژه تعیین بردار ویژه نظیر یک م 5.9 174 دست آوردن وارون یک ماتریس . به6.9

178 مسائل

179 اي به روش تفاضل محدود : حل معادالت دیفرانسیل پاره 10فصل 179 مقدمه 180 . حل معادالت بیضوي در مختصات دکارتی1.10 182 . حل معادالت غیرخطی در مختصات دکارتی2.10 185 استوانه اي . حل معادالت بیضوي در مختصات3.10 187 . حل معادالت سهموي4.10

188 . روش اول: روش اویلر (روش صریح)1.4.10 190 نیکلسون (روش ضمنی) ـ روش دوم: روش کرنک .2.4.10

191 نیکلسون ـ . حل معادالت سهموي غیرخطی به روش کرنک5.10 193 . حل معادالت سهموي دو بعدي 6.10 193 . حل معادالت هذلولوي 7.10

ده

199 مسائل

205 اساسی در روش اجزاء محدود : مفاهیم 11فصل 205 مقدمه

205 . مسائل پیوسته 1.11 207 . روش تغییراتی (ریتز) 2.11 208 . روش باقیماندة وزنی(یا وزن دار) 3.11

208 روش هم محلی (هم مکانی) 1.3.11 209 اي روش زیردامنه 2.3.11 209 . روش گلرکین 3.3.11 210 . روش مینیمم مربعات 4.3.11

211 . روش اجزاء محدود 4.11 213 . روش مستقیم5.11

213 . شبکه هاي الکتریکی 1.5.11 218 سیستم خطی فنري .2.5.11

223 تر . تقسیم ناحیۀ مسئله به نواحی کوچک6.11 224 بعدي . عناصر خطی یک7.11 227 . عناصر درجۀ دوم یک بعدي 8.11 229 تحلیل اجزاء محدود یک بعدي .9.11

230 دست آوردن معادالت اجزا به روش گلرکین . به1.9.11 234 دست آوردن معادالت اجزا به روش گلرکین . به2.9.11 235 . حل کامل یک مسئله به روش اجزاء محدود 10.11 239 . یافتن معادالت اجزاء براي یک معادلۀ دیفرانسیل کلی (روش ریتز) 11.11 240 اي . یافتن معادالت اجزاء براي یک معادلۀ دیفرانسیل در مختصات استوانه12.11 242 کارگیري شرایط مرزي نوع سوم در روش اجزاء محدود . به13.11 243 . عناصر دو بعدي 14.11 243 تر . تقسیم ناحیۀ مسئله به نواحی کوچک15.11 245 . عناصر خطی مثلثی 16.11

یازده

247 خطی مستطیلی . عنصر17.11 249 . عنصر مثلثی مرتبۀ دوم 18.11 250 . تحلیل اجزاء محدود دو بعدي19.11

251 دست آوردن معادالت اجزاء به روش گلرکین به . 1.19.11 255 دست آوردن معادالت اجزاء به روش تغییراتی (ریتز) به . 2.19.11

257 . حل یک مسئلۀ دو بعدي به روش اجزاء محدود 20.11 260 کارگیري شرایط مرزي نوع سوم . به21.11 261 اي اي دو بعدي در مختصات استوانه . معادالت دیفرانسیل پاره22.11 262 . معادالت میدان وابسته به زمان23.11 262 . حل معادالت وابسته به زمان یک بعدي (روش گلرکین)24.11

263 سازي سازگار . فرمول1.24.11 265 سازي فشرده . فرمول2.24.11

267 . روش تفاضل محدود در حوزة زمان25.11 271 هاي عددي . نوسان26.11 273 مسائل

279 : روش اجزاء مرزي 12فصل 279 مقدمه 279 . مفاهیم اصلی در روش اجزاء مرزي1.12 282 . روش باقیماندة وزنی2.12

282 اي مکانی) زیردامنه محلی (هم . روش هم1.2.12 284 اي مکانی) نقطه محلی (هم . روش هم2.2.12 285 . روش گلرکین3.2.12

286 . معادلۀ پویسان دو بعدي3.12 289 هاي مرزي . حل مسائل در روش4.12 292 سازي انتگرالی از معادلۀ الپالس . فرمول5.12 296 . روش اجزاء مرزي6.12

297 . عناصر ثابت1.6.12 دوازده

298 ها . محاسبۀ انتگرال1.1.6.12 301 . تشکیل دستگاه معادالتی 2.1.6.12

305 عناصر پیوستۀ خطی . 2.6.12 311 . عناصر خطی گسسته3.6.12

316 ها . زیر ناحیه7.12 317 مسائل

319 ها پیوست

321 پیوست الف: خطا 327 هاي مختصاتی پیوست ب: سیستم 337 لژاندر –وس اپیوست ج: جدول گ 338 راي حل مسائل میدانهاي کامپیوتري ب پیوست د: برنامه 377 هاي کامپیوتري براي حل مسائل پتانسیل پیوست ه: برنامه

390 پیوست و: جدول تابعی 391 پیوست ز : معادالت ماکسول 399 پیوست ح : دستورات متلب

405 منابع 407 انگلیسی ـ فارسینامۀ واژه 411 فارسی ـ انگلیسینامۀ واژه 415 نمایه

سیزده

��ه ��ی ا�ورید و ا��ریان �م از ا�ضا یا�ن ��ن � و�ده ال ا� اال �و � � ��ت و � ���ت �� او

پیشگفتار هاي محاسـبات عـددي جـزو امروزه، همراه با پیشرفت سریع و چشمگیر کامپیوتر، روش

محاسبات عـددي از هاي است. روشمطرح هاي علوم و مهندسی دروس دانشگاهی رشتهتوان بـا کمـک آن ابزارهاي سودمند در حل بسیاري از مسائل علمی پژوهشی است و می

به صرف زمان زیادي نیـاز اسـت ها مسائلی را که تاکنون قابل حل نبوده یا براي حل آن تجزیه و تحلیل کرد.

را معرفـی هاي محاسـبات عـددي کتابی که پیش رو دارید مفاهیم اساسی در روش. در ایـن باشـد هاي علـوم و مهندسـی مفیـد و امید است براي دانشجویان رشتهکند یم

کتاب سعی شده است مطالب به زبانی ساده بیان شود تا فهم آن براي خوانندگان آسـان هاي متنوع در هر قسمت درك و کاربرد موضوع مربـوط نیـز باشد. همچنین با ارائۀ مثال

مشخص شود.خودآمـوز از مباحـث اي هب، در دسترس قـرار دادن مجموعـ هدف از تألیف این کتا

هاي گونـاگون بـه بحـث و محاسبات عددي است که از مبانی آغاز شده و در مورد روشهـا مطـرح هاي نخست این کتاب مبـانی و نظریـه بررسی مفصل پرداخته است. در بخش

اي حـل بـر تـري کـه شده است و در دو بخش پایانی به حل مسائل تخصصی و پیچیـده ایم. سعی اصلی بر این بوده است کـه همـۀ ، پرداختهکنیم میاز این مبانی استفاده ها آن

هـاي مثـال ،عـددي بیـان شـود. در پایـان همـۀ مباحـث موضوعات مطرح در محاسباتهاي گوناگون حل شده است تا مطالب براي دانشجویان کامالً حل کاربردي متعددي با راه

روشن شود.تابعی از یک و تیلور مطالب کتاب چنین است: فصل اول در مورد سرينحوة تنظیم کند. در فصل دوم حساب تفاضل محدود پیشرو، پسرو و مرکـزي و در دو متغیر بحث میشود. فصل چهـارم بـه می بررسیگوناگون هاي یابی به روش یابی و برون فصل سوم درون

. فصل پنجم بـه حـل اختصاص داردف هاي مختل یافتن ریشۀ معادالت با استفاده از روشکند. در فصل ششـم بـرازش دستگاه معادالت جبري اعم از خطی و غیرخطی اشاره می

ــتم ــع پیوســته و در فصــل هف ــب تواب ــا اســتفاده از حــداقل مربعــات و تقری منحنــی ب

پانزده

گیري عددي آمده است. فصل هشتم حل عددي معادالت دیفرانسیل معمـولی را انتگرالکنـد. در فصـل نهـم مقـادیر ویـژه و بردارهـاي ویـژة ناگون بررسی مـی هاي گو به روش

اي هاي حل عددي معادالت دیفرانسیل پـاره ماتریس ارائه شده است. فصل دهم به روشپردازد. فصل یـازدهم بـه روش اجـزاي محـدود بـه دو روش به روش تفاضل محدود می

احی یک بعـدي و دو بعـدي بـا گلرکین و تغییراتی (ریتز) براي حل مسائل اسکالر در نوهاي محاسـباتی پرقـدرت بـراي حـل مسـائل شرایط مرزي، که یکی از جدیدترین شیوه

ها بحثی در زمینۀ خطاهـا، جـداول پیوسته است، اختصاص یافته است. در بخش پیوستهاي مختصاتی و دو برنامۀ کـامپیوتري بـه روش هاي محاسباتی، سیستم مربوط به روش

روش اجزاي مرزي و بـاالخره تـابعی بعضـی ازمعـادالت دیفرانسـیل بـا اجزاي محدود و آوردن آنها بـا اسـتفاده از معـادالت ماکسـول مطـرح دست بهمشتقات جزئی و چگونگی

شده است. در آخر هم بحـث کوتـاهی در مـورد چگـونگی اسـتفاده از دسـتورات متلـب (MATLAB) دست آوردن بعضی از محاسبات آمده است. هبراي ب

هاي محاسبات عددي باشـد و اي براي آغاز بررسی روش ید است این کتاب مقدمهامگذرانند یا دیگر عزیزانی که به تحلیـل مسـائل گونـاگون دانشجویانی که این درس را می

مندند به نحو شایسته از این کتاب در مطالعات خود سود برند. علمی عالقهاند سپاسگزارم و براي ایشـان از ي کردهدر خاتمه از دوستانی که مرا در این مهم یارویژه از همسرم، به خاطر صبر و شـکیبایی خداوند منان توفیق روزافزون مسئلت دارم؛ به

در همۀ مراحل تدوین و نگارش این کتاب، که با بردباري مشوق من بوده است.دانم از زحمات سرکار خانم آذرمه سـنجري، خـانم مهنـدس شـبنم وظیفۀ خود می

حسین اظهري، هـادي عبـدي، علیرضـا قـره و آقایان ی، خانم مهندس لیال کاظمی عطایچاهی، مهندس آقازاده، مهندس محمد مهدوي، مهندس عقیـل قـاهري، مهنـدس امیـر

و سرکار خانم فاطمه میرزایی مهندس محمد بابایی ،حسین گوهري، مهندس رضا نقاشآرایـی م سمیرا دهقـان بـراي صـفحه و خانکه مرا در تهیۀ این کتاب بسیار یاري کردند،

تشکر کنم.کتاب هاي فراوان در ویرایش و تهیۀ این کتاب، بـدیهی اسـت کـه ایـن اثـر با وجود تالش

محتـرم و دانشـجویان عزیـز خواهشـمندم هرگونـه اسـتادان هـایی دارد. از هنوز کاستیي بعدي مـرا از ها کاستی و نقص در این اثر را با دیدة اغماض بنگرند و براي اصالح چاپ

راهنمایی فرمایند. e-afjei@sbu.ac.irطریق نشانی

اي سیدابراهیم افجه1395

شانزده

١

1 سري تیلور

مقدمه از جملـه ، در بسـیاري از محاسـبات .است ي عدد هاي محاسبات سري تیلور مبناي روش

بـراي نیـز بـه همـین دلیـل و شـود. می مستقیماً از سري تیلور استفاده محاسبۀ خطاها، شود. بیان می به اختصاریادآوري، این روش

تـابع را در یـک توانـد مـی و شود صورت سري توانی نامتناهی بیان می هب ،تیلور سري طور دقیق نمایش دهد. هه بمعلوم اطراف یک نقط یشعاع

سري تیلور تابعی از یک متغیر .١.١xاطراف fتابع اگر a هـاي مشـتق در ایـن ناحیـه ،یا به عبـارت دیگـر ،معین باشد

سـري تـوانی نامتنـاهی همگـراي یکتـا یک صورت را به ن آنتوا می ،باشد داشتهپیوسته 1.نمایش داد a نزدیک xصورت زیر براي نقطۀ هب ،نام سري تیلور هب

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! !

x a x af x f a x a f a f a f a2 3

2 3

۱.۱ ( )( ) ( )!

nnx a f a

n

همگرا باشد، مقدار آمده دست اگر سري به f x کـارگیري تعـداد نامتنـاهی از با بـه

که دریابیم که مقدار شود. براي این جمالت دقیقاً محاسبه می f x دست آمـده بـراي بهx a مثال توجه کنید: این تا چه حد دقیق است، به

خواهیم مقدار فرض کنید می f b دسـت آورده و بـه 1.1را بـا اسـتفاده از سـري 2:صورت ترسیمی نشان دهیم. خواهیم داشت به

۲.۱ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! !

b a b af b f a b a f a f a f a2 3

2 3

1. Louis Leithold, The Calculus with Analytic Geometry, New York, Harper & Row, 1976. Pp. 729-737. 2. Robert W. Hornbeck, Numerical Methods, New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1975, pp. 7-9.