Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti...

27
”˙ •‹ Q kdTdS l… •dy ¶c"nc ˘ fln… Q}„‰¡ Qcg ¶˘cn… Qd˜«S¢m c ˆ lc kdTdS c Qc´˙y Q kdTdS l¯u ˙l… •dy xTz Sd–… Qcg gdm ¿SS¢m c OxTz T¥Sd–… Qcc ˆg ˆ lc˙m gdm `d‰˜ l wSQcc ˆg lc˙m gdm O»Scˆn}˙…W dnTg ˆW flh™ ST}g c lc˙m gdm lzST‹ ”˙¯›… Of„… xc˘ ˆg ´d ¶˘c ´d" Th¢m ¿Sc lc ˙} xTz ¡ wS z… e c d Qcg Qd‰ OxTz ¡ kdh¡ ˆl‚dy »T˜c˙} ˆuc˙… •z… dg O»ST}g xTzT¥ Q¡ Qcc ˆg c RSd‰ gdm !c d…c OlQˆhm… π dS ˝ e T dTg c x π lny dS x ˝ lzSTQd`¢… c˙ml… ˆ˙} Olc •gd …d x = x.x.x Q g ˙m ˆ c l`T¢… c–… Qc x ˜ Qcc ˆg kdh¡ ¿S ` ˜ lT •gd ˙} ¡ wS ˆ ` ˜ »T`llg c ¶c"nc ˘ fln… O´˙T¿T‰˜ ˆg ¶dy lc ¿TT¢m ˘ lg •gd edy ¿Td… lny ˘ …d }„‰¡ ¿ScSc ˆg !c ˙‰ dTg c d˜W Qd`¢… Rg˙}ˆg c˙ml… ˙`˜ d…c Oc lm˘d›n… ˘ m´TTŒlT˜d… Qcg c˙ml…Ogdm l"TŒ `d… d˜W Q˘ g ` ¶d‰¡c dg ˙g ˜c˙~ c˙ d»T‰¢m Q´Sc O»Tdg „… xTz T¥ n !c Oˆ ˙ w… c˙ml… Œ ¿Sc ´dg˘ d…c lc c e ˆhm… n T›m d‰˜ »˜ ¶c"nc ˆhm… n ˆ S»T˜c˙} d…c Olc c˙ Qd lzSTQd`¢… ¿TThm ˆ ˙ ˙m lc ¿z‰… »˜ ˙… ¿Sc ˙l… ˆ dg `SWl… lˆg l‚˙‰¢… kdTdS d˜W d`n… Q}„‰¡ «S¢m ¶ c T QQˆhm… c ¶c"nc ˘ fln… Q}„‰¡ ˙}l… »ˆg •Sd… ˘ d˜ˆ‚d¢… c QdTg ˘

Transcript of Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti...

Page 1: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ºÇ� ·�¬

Q���kdT�dS�

O�Ç� �l¼ ·�dy ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ Qc�g ¶Æc�n¼ QdÄ �«S�¢m �c Ã� l�c kdT�dS� �c Qc�Â�Çy� Q��� kdT�dS�

lÅu ��Ç��l¼ ·�dy xTz� �S�d±¼ Qc�g  gdm ¿Sc «S�¢m �c OxTz� �T¥ �S�d±¼ Qc�c Ãg Ã� lÀcÇm  gdm �ÁÀd½Ä l���

wS Qc�c Ãg lÀcÇm  gdm O»Sc�Ãn}ǼW ¾dn��Tg� �� Ãö �¾W ¯h� ��S�T}g ��À�� c� lÀcÇm  gdm lzS�T¬ ºÇÅ­¼ Of¹�¼ ¾�� x�cÆ

��À Ãg Â�d� ¶Æc Âd"À �� �Th¢m ¿Sc �l�c ��Ç} �� xTz� ��¡ wS ��z¼ e�� ¾�c� ¾d�À Qc�g Q�d½À OxTz� ��¡

k�dh¡ Ã� �l¸dy�� ��� »TÄcÇ} ÃucǼ ·z�¼ dg O»S�T}g ��À �� xTz��T¥ Q��¡ Qc�c Ãg c� RSd½À  gdm �!c d¼c O����l¼

Q �Ãhm�¼ π dS ÌÕ Í e�� T��� ¾dTg c� xπlny dS xÌÕÍ lzS�T¬ QdÁ¢¼ ¾cÇm�l¼ ÃÀÇ}ö Ol�c ��� ·gd° ­¼d� xÌ = x.x.x

dÄ �Q�� ��g ��Çm Ã� ��c� lÁT¢¼ �c�±¼ Qc x �Ä Qc�c Ãg k�dh¡ ¿Sc Ã� �Áö �Ä l�TÀ ��� ·gd° ��Ç} �� ��¡ wS

Ã� �Áö �Ä �»TÁ� �l¼ l���g c� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ OÂÇT� ¿T½Ä Ãg ¶dy �l�c ¿TT¢m Æ l���g ·gd° ed�y ¿T�d¼ lny Æ

­¼d� dÄ�}¹½¡ ¿Sc �Sc�� Ãg �!c ��ǽÀ ¾dTg c� dÄ �¾W QdÁ¢¼ RgÇ} �Ãg ¾cÇm �l¼ �ÇÁÄ d¼c O�À�c� lmÆd­n¼ Æ �m �Â�T÷Tê lTÄd¼

Qc�g ¾cÇm �l¼ O� gdm l"n�ÇTê �ÁÀd¼� dÄ �¾W QÆ� �g ��� �Áö ¶d½¡c dg ��Çg �ÄcÇ~À �cÇ�� ¾d� �»T½¢m Q �Â�Sc O»T�dg �¹�¼

xTz� �T¥ n �!c OÃ� �Ç� w��¼ �ÀcÇm�l¼ ���ê ¿Sc Â�dgÆ� d¼c �l�c� c� e�� Ãhm�¼ n �T�­m ¾d½Ä »Ä ¶c�"nÀc Ãhm�¼ n

Ã� �S� »TÄcÇ} d¼c Ol�c �cÇ�� Q�d� lzS�T¬ QdÁ¢¼ ¿TThm Ã� �Ç� �Ç�m l�c ¿z½¼ »Ä ��Ǽ ¿Sc �� ��Ç��l¼ Ãö ��dg

�ÁSW �l¼ l�� �Ãg l¸Ç½¢¼ kdT�dS� �� dÄ �¾W ��dÁn¼ QdÄ�}¹½¡«S�¢m ¶� �c �TÀ Q��� Q �Ãhm�¼� �c ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡

��À�Ç}�l¼ »�ö �Ãg � ·Sd�¼ Æ dÄ �ø�d¢¼ �c Q�dT�g �� Æ

ÖÑ

Page 2: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ÖÒ Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ �Ð�Ò

��Ð××ÑêÐ×ÙØ� QÇ�Àc�¬ ¾c�T�dS� O·SÆÇT¸ ª�Çu �Ð�Ò ·z�

Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ Ð�Ò

¾d¼��»Ä dhS�±m ¾W »TÄd­¼ Ãg Q�Á¼ �ð­¡ �l�TÀ �S�u l¼ÇÅ­¼ ÃuÆ õTÄ Ãg xTz� �T¥ Ãhm�¼ �c Q�T! �¶c�"nÀc Æ Q�T! �¯n�¼Ñ¶dnTêÇÄ Æ Ð�nTÁhS¬ ¾dT¼ QdÄ �l�c��dS �� Â�Sc ¿Sc Ã� �Q�Ç� Ãg ���Ç}�l¼ »�ö Ãg wT�­� kdh�dz¼ ¾�� Ãn}dÁ� dg

�� �!c �Ç��l¼ Ãö Ã� �Á� �l¼ ¶cÇ� �nTÁhS¬ �c ¶dnTêÇÄ Ol�c Â�� ¶d��c ÐÕØÔ ¶d� �� Ã� üdÀ ¿Sc �� ��Ç��l¼ w��¼

Ok�Ç� Ãg Ã�  gdmwS ºcn Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ «S�¢m

Dnf(x)

Dxn���

·�dy ¾W �c Q�T­¼ tSdnÀ Q�Æ� Ã� l�c Q�dz�W �°dÁm ¿Sc Ã� �Ä� �l¼ |�dê �nTÁhS¬ ���dg n = ÊËO�Ç� �l¼ ¾dTg

Â�Æ�¼c �Áö�Ä Æ ��� �¸Çn¼ Q���kdT�dS� dÄ �Ãhmdz¼ ¿Sc dg fTm�m ¿Sc Ãg Æ �l}c��ê ÃÁT¼� ¿Sc �� lmdh�dz¼ Ãg Æ �Ç��l¼

c�ngc �� �n�TgwTmd½n�T��Tgd½� QdÄ �â¸d�¼ ��Ç��l½À Â�Äd�¼ l�°dÁm d¼c »TÁTg �l¼ c� kdT�dS� ¿Sc �c lÀcÆc�¬QdÄ��g�d�Ö�zSÆ��¬ O�ÐÖÖÑ� ÕÀc�!¬ OÔÃS�Ǭ O>ÐÒÙ@ �ÐÖÒÙ� Ó�¹SÆc O>ÐÑØ@ �Ð×ÒÑ� Ò·SÆÇT¸ ��Çm »Ä��ÇÀ ¾�° Q �ýTÀ Æ

Ð /HLEQL]

Ñ /¶+RSLWDO

Ò /LRXYLOOH

Ó (XOHU

Ô )RXULHU

Õ /DJUDQJH

Ö /DFURL[

ÖÒ

Page 3: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ÖÓ Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ �Ð�Ò

��Ð×ÕÕêÐ×ÑÕ� lÀd½¸W ¾c�T�dS� Æ ¾c�zS�T¬ O¾d½S� ��dÀ�g s�u �Ñ�Ò ·z�

Ã�Ty ¿Sc �� Q�c�¬c �TÀ �T}c QdÄ �¶d� �� lny Ol¬�!k�Ç� �Ð×ÕÓ� Ѿ�}½¸ÇÄ Æ >ÐÒÐ@ �Ð×ÓÖ� оd½S� O�Ð×ÐØ�

��Àc �Â�Çg »TÅ�

�g �}¹½¡ ¾��ÆW ��cÆ dg c� l��g ¿TÁö q Ãhm�¼ ¯n�¼ Æ �c� ��g RSd½À  gcÇm f�y�g c�  gcÇm Ã� �Çg l�~� ¿T¸Æc ·SÆÇT¸

wS ·¼d� ��� Ãac�c lmÆd­n¼ «S�¢m ¾d½S� �l�c lhr¼ xTz� ��¡wS q dSÇ! Ã� Qc�ÃÀÇ! �Ãg O���«S�¢m k­½uwSdzS

¿T¸Æc Ó�c�� Æ Ò�¸cÇÀcÆ�! c�Äd� ��Çg c�c� c� xTz� �T¥ Qd½À dg lÀcÇm QdÄ �Q�� ��Ǽ �� ��g�d�lT¹gd° Ã� ¿T¢¼ ¶c�"nÀc

Ãn­�W ·SÆÇT¸ l¬dTÄ� �g �ÇuǼ QdÄ �lS�Æ�z¼ �c Ã� �¸cÇÀcÆ�! ��À��� ·S�hm Ãö�dëzS l¼�¬ Ãg c� ·SÆÇT¸ Æ ¾d½S� tSdnÀ �dg

Qc�g ¿T¢¼ ¶c�"nÀc ¶Ç¼�¬ Ãg Æ ��� «S�¢m ÔQ��� ·�d­m wS �y k�Ç� Ãg c� ¯n�¼ O�Æ�� Ã�±À ¾cÇÁ¡ Ãg O�Çg Â��

¾d½S� ¿T¢¼ ¶c�"nÀc Ã� �c� ¾d�À OxTz� Ãhm�¼ ¯n�¼ Qc�g l�Ç� ¶c�"nÀc ¶Ç¼�¬ �c �Æ�� dg�c�� ��T�� ºc q Ãhm�¼ ¯n�¼

�Æ�z¼ ¿TSdê �y õTÄ ·SÆÇT¸ «S�¢m �� Ã� �lm�Ç� �� Tl�c �Æ�z¼ ¿TSdê �y wS Qc�c� Ã� �Ç� �T�­m ÃÀÇ! �¿Sc �Sdg

�l�c lSdÅÀ�Rg l­Á¼ ¿TSdê �y Ã� �¿Sc dg l�c ¶�d¢¼ ¿Sc Æ �Ç��l½À �Äd� l�~�¼

�� dÄ �¿Sc ¿T¸Æc ��Çg Â�� �d¥W �TÀ «¹n~¼ ·ad�¼ �� Q��� QdÄ �Ãh�dz¼ Q�T!�d� �Ãg OQ�Çbm «S�d¢m ¿Sc kc�cǼ Ãg

¯n�¼ wS Ãg l¸c�"nÀc ·S�hm wS ¯S�� �c Ö¾Æ��Çmdm Qc�g l¸c�"nÀc ø�d¢¼ ·y ¾W �� Ã� �� ºdvÀc Õ·gW ��Çm Ð×ÑÒ

Ð 5LHPDQQ

Ñ +ROPJUHQ

Ò *UXQZDOG

Ó .UXJ

Ô 7KH OLPLW RI D GLIIHUHQFH TXRWLHQW

Õ $EHO

Ö 7DXWRFKURQH

ÖÓ

Page 4: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ÖÔ Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ �Ð�Ò

�� �~�¼ l¹ad�¼ ·y Qc�g Ã� �ÐØÑÙÆÐ×ØÑOÐ×ØÒ� Ð�Sd�SÆÇÄ lmdT¹½¡ QdÄ �Ãh�dz¼ ��Çg ¿z½¼ Ê/Ë Ãhm�¼ �c

�� c� Q��� Q�T! �¯n�¼ QÆ T�Çg l¹� Ãhm�¼ dg ¯n�¼ ��g�d� �� Q�¢g ºd! ¿S�m �»Å¼ Ol¬dS��n�!�T�dÁ¦¼Æ�nz¸c Q�Çbm

¾�° �� ��c� �c�° Â�d­n�c ��Ǽ mÀd��� ·ad�¼ �� c� ºÇÅ­¼ ¿Sc �ÐØÒÕ� ÑlÀd½! ���g �dzg ¶d±nÀc �Ç�} Q�Çbm l���gÓQ��dÄ O�ÐØÐÖ� Ò·ScÆ �l�c Ãn¬�! k�Ç� Q��� kdh�dz¼ ��g�d� �� »Ä Æ Q�Çbm �� »Ä Qc�Â�½¡ QdÄ ��­m O�T}c

�d}  gcÇm QdÄ �¯n�¼�¶c�"nÀc l¢Th� d¼c ÂSÆ Q�y dm �cÇ} �c l}�g �ÐØÔÒ� Õ�Ámd� Æ �ÐØÓÙ� Ô�gÇ� O�ÐØÐÖ�

��À�Ǽ�W c� ×�nT�­T¸ Æ Öw�h¸ QdÄ ��­� Ãg ¯¹¢n¼

¶d� �Áö dm d¼c O��c� ¾�° Ã� Q �Â�c�Àc Ãg ln¼�° l¸Ç½¢¼ �hu �ÁÀd½Ä Q��� ¶c�"nÀc Æ ·Ï�Àc�­Î� ed�y Ã� ¿Sc �ÇuÆ dg

Æ� kd±n�¼ Ã� l�c ¿Sc �� pzg ¿Sc RSdhS� �l�c Ãn�c�À Q�dS� lTgÇhz¼ l��Áż Æ l½¹¡ Q �â¼du ¾dT¼ �� OÃn��!

Æ Ã�¬dy �T�À RSdÄ �l!SÆ �ÁÀcÇm �l¼ Æ� �¿Sc �c T�Án�TÀ �Qc�Ã�±À dS� l¢�Ǽ �lT½� dS� lT�d} wS Q��� �QdŸc�"nÀc

Q�mdSÇ! ¾dg� Æ �ÁÁ� l¼ «T�Çm �nÅg c� l¢Th� lT¢°cÆ dÄ�}¹½¡ ¿Sc Ã� l­! ¾cÇng �Sd� Æ �ÁÁ� ��cÆ c� lT¢�Ǽ�T¥

QdÄ �Â�Çy �c l}�g �� �T}c ¶d� ¿S�Áö �� dÅÁm Æ l�c Â�Çg dÄ�¾c�T�dS� ÃuÇm ��Ǽ �n�Tg Ã�Ty ¿Sc ¾ÇÁ�dm ��Án�Ä ¾W Qc�g

Ol�c ¿n¬�!k�Ç� ¶dy �� ¾W QdÄ��g�d� Æ Ã�Ty ¿Sc �� Ã� RSdÄ �l¬��Tê dg �l�c Â�� ��cÆ �d�n°c Æ ºÇ¹¡ Ol��Áż

��Á�dg ¾W �c l�~g dÅÁm l¸Ç½¢¼ kdT�dS� Ã� �Ä� ·z� c� l¹¼d� Q �Â�Çy Â�ÁSW �� Ã� ��c� �ÇuÆ ¾dz¼c ¿Sc

l¸Ç½¢¼ ¯n�¼ O¶dr¼ ¾cÇÁ¡ Ãg �»S�c��ê �l¼ ÃÀǽÀ wS ¾dTg Ãg l¢Th� ·¼d� «T�Çm �� »¹¡ ¿Sc k��° ¾�c� ¾d�À Qc�g

�dT�g Qd�¬wS �� l�dhÀc Æ ª­mc {�À ·�d­m lm�dh¡ Ãg dS Tl�c l�dhÀc dSª­mc {�À Q �Â�ÁÄ� ¾d�À ddt ¾d¼� Ãg lh�À

Qc�ÃÀÇ! Ãg ��c�Àc ºc� Ãg c� l���g ��Ǽ kc�� Ã� ��dg Ãn�c� �ÇuÆ Q��wöÇ� Qd�¬ ¿Sc �� �!c ¶dy ��Æ�z¼ ÆwöÇ�

¯n�¼ �}S� O��dhÀ ¿z½¼ ÃTydÀ ¾W Ãg kc�� �Æ�Æ Ã� ��dg Ãn�c� �ÇuÆ Qc�áÇÁ½¼ lycÇÀ dS O�ÀÇ� «°Çn¼ du�¾W �� lm�¼ Ã�

Ã� l�c α ∈ ,5 Q �Ãhm�¼ dg dα

dtα Q��� ¯n�¼ ¿Sc k�Ç� ¿Sc �� ��Àd���l½À c� l�dhÀc dS ª­mc {�À ºÇÅ­¼ ddt l¸Ç½¢¼

��Ä� ¾d�À c� ª­mc dSl�dhÀc {�À Ø�S� �c�¬ �ÀcÇm�l¼

Ð +HDYLVLGH

Ñ *HPDQW

Ò :H\O

Ó +DUG\

Ô .REHU

Õ .XWWQHU

Ö /HEHVJXH

× /LSVFKLW]

Ø 6XSHU�6XE 5DWH

ÖÔ

Page 5: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ÖÕ lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ �Ñ�Ò

lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ Ñ�Ò

OlÀÆc�g l��y OÃS�Ǭ Qd¼�! ��d� O¾ÇmÇTÀ O¶Ç��d¼ O�"ÁS�Æ�� k¬�d¢¼ ·¼d� Ol��Áż Æ wS�T¬ ·ad�¼ �c Q�dT�g

��À�� �S� k�Ç� �Ãg lzT¼dÁS� ¶Çzm k¬�d¢¼ Qc�g ÃT¸Æc ��� ·ad�¼ k�Ç� �Ãg ¾cÇm �l¼ c� ���Æ lzS�T¬ÇTg QdÄ �»n�T�

�l¬�!

d

dtf(t) = Bf(t) ���

Qc�ÃSdê »TÄd­¼ Q �Â�À�c��g�� O¶Çzm wT�­� ø�d¢¼ ¿Sc �l�c {dÀdg Qd�¬ �� �}¹½¡ B Æ ¾d¼� �"Àd�À t ∈ ,5 Ã�

¾cÇÁ¡ Ãg �ÀcÇm �l¼ Ãz¹g O��dg ¾d¼� QÆ�wS Ãhm�¼ �c ø�d¢¼ ¿Sc Ã� l�TÀ Q�dTÀ �l�c ¾�d±m Æ lT¢�Ǽ OQ�S�ê�l�!�dg

���dg g  gdm Qc�g sǼ ø�d¢¼ ¶dr¼

∂Ëg

∂tË= cË

∂Ëg

∂xË. �Ò�Ò�

¿Sc �� �»S�T! �l¼ ��À�� c� O�ycÆ �� Q�cǼ lT¬�� Æ l¸cÇn¼ RSd±¸c�Ç} Qc�c� Oª­mc ¾Æ�g ¶d±nÀc �Ç�} OÃÀǽÀ ¾cÇÁ¡ Ãg

�l�c� »TÄcÇ} c� �S� sǼ ø�d¢¼ OCË = (LC)−Ê Æ l�c �ycÆ Ãn}dS �Ä �� �dn¸Æ ª­n}c Og(x, t) = v(x, t) Ok�Ç�

∂Ëttv = (LC)−Ê∂Ëxxv. �Ó�Ò�

ø�d¢¼ »T½¢m �l�c Q�¢g QdÄ �¾d¼� �� f(t) �S�ê�Â�Äd�¼ dSl¸dy ¿n¬dS OÆ���Tê ød�¼ Of(Ó) = fÓ OÃT¸Æc �c�±¼ Ãg Ãn�g

���c��g�� c� �S� ÃvTnÀ OQ��� ·T�Àc�­S� k¬�d¢¼ Ãg ¶Çzm

dtαf(t) = Bf(t) �Ô�Ò�

ÖÕ

Page 6: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ÖÖ lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ �Ñ�Ò

�wTêÇz�Æ�zT¼ ÆwTêÇz�Æ��d¼ �S� �c Â�du �� dÄÆ��Ç} l��y Qd½À �Ò�Ò ·z�

l"n�Sdê Æ ¾�d±m Ol¢�Ǽ�T¥ �dn¬� ��Ǽ �� Q�dTÁg k¬cÇ� Okd±n�¼ ��¹n~¼ lny dS� Q��� Ãhm�¼ Ãg ÃuÇm dg Odu�¿Sc ��

Q�d� ¶W Â�ScwS Q�S�ê�l�!�dg ��Á�dg �S�êdÀ �l�!�g lzS�T¬ »n�T�k¬Çzm ºd½m Ã� »TÁ���¬ ��Ç��l¼ w��¼ ¿Ä� ��

�Tqdm Q��� ¯n�¼ Ãhm�¼ ���c� �ÀǼc�Tê �Tz¼ Æ Ãn��! �c »n�T� ¾�Çg c�v¼ ¾c�T¼ Ãg l"n�g ¾W ��g�d� Æ �dhn¡c Tl�c

Q�}¹½¡ Ã� l�dÁ¢¼ ¿S�g Æ �Ç��l¼ ·�dy Q��� ¶c�"nÀc �d�c �g Q��� ¯n�¼ ��Á� �l¼ Q�Ág�ñh� Æ ¿TT¢m c� Ãn��!

Ãhm�¼ dS� Q��� kd±n�¼ �� �ycÆ Ãhm�¼ Qc�g ���c� »n�T� ·h° QdÄ �¾d¼� kd¡­�c Ãg �dTÀ Æ Â�Çg lT¢�ǼdÀ l¹�} dg

�dTÀ ��Ǽ ¶dy ¾d¼� kd¡­�c �±¬ ¾W l���g Qc�g Ã� ºÇÅ­¼ ¿Sc Ãg O��c� c� �Tqdm ¿S�n½� »n�T� Q �Ã�¬dy �wS xTz�

«S�¢m �� �¼c ¿Sc Ã� Q� »TÄcÇ} �l�c »n�T� Q �Ã�¬dy dS Ãn��! Q¬dg �Tqdm Q �Â�ÁÄ� ¾d�À α wöÇ� �S�d±¼ �l�c

�n�Tg l¹h° QdÄ �¾d¼� k­½u ¾�Æ O��dg �m �wöÇ� Q�T! �¯n�¼ Ãhm�¼ ��±ö�Ä Ol�c Â�� ��cÆ �TÀ ªÇ�ÁTn¸ ��¸cÇÀcÆ�!

��Ç��l¼

lzS�T¬ QdÄ�ÁSW�¬ Æ Q��� kdh�dz¼ ¾dT¼ �dhm�c l½� lÁÄ� �Sd¼�W wS w�� dg Ol½�° ¿Sc �� lÁÄ� �Sd¼�WwS

c� dÄÆ��Ç}wT¬c�m l��y O»TÁ� Âd"À �Å�wS QdÄ �Â�du Ãg d½TêcÇÄwS ·}c� �c �!c ��c� »TÄcÇ} ·T�­m c� �~ê ù½u�c

lÁzÁ¼ O��dÀwS ¾cÇÁ¡ Ãg ¿Sc�gdÁg ��Á� �l¼ l��y »T±n�¼ �}wS QÆ� �g Æ��Ç} �Ä dSÇ! Ã� Q�Ç� O��� »TÄcÇ} Â�Äd�¼

wSk�Ç� �Ãg c� ¾W Ã� »S�ÆW �l¼ l�� �Ãg RSdvgdu Qc�gwS Ãhm�¼ �c xTz� ¯n�¼ ¿n¬�! dg l!�d��Ãg c� Æ��Ç}wSl¡��

�T�¼ Æ� �� l��y ¶dy �� QdÄÆ��Ç} l¡�� lÁzÁ¼ OQ�cǼ »T±n�¼ �} Æ� �Ò�Ò� ·z� �� �l¬dS »TÄcÇ} l�c� �}

��Ç��l¼ Â�S�wTêÇz�Æ��d¼ �dT±¼ �� Ã� �¾dÁö O�ÁÄ��l¼ ¾d�À c� Â�du ¿TSdê Æ ¬dg Ãg Æ�

QdÄ �Q�cǽÄdÀ Æ  ÀcǼ �c �Çh¡ Qc�g Ã� »TÁTg �l¼ T»TÁ� �l¼ Â�Äd�¼ c� Æ��Ç} ¿T½Ä Q �Ãn�ÇTê l��y O�m �wS��À RSd½À �c d¼c

¾d�À c� ød�¼ ¿Sc �Ò�Ò� �SÇ�m �� l¹}c� lÁzÁ¼ ��Á� �l¼ l��y �l!c�}S�� »T±n�¼dÀ Q�T�¼ �� OÂ�du �� �ÇuǼ

Ãn�ÇTê �T�¼ wS d¼c O�Án�TÀ �}S�zS dg Q�cǼ �} Æ� �}S� O�T�¼ Æ� �� ��zn¼ QdÄÆ��Ç} l¡�� lÁzÁ¼ ��Ä� �l¼dÊ+α

dtÊ+αdS �Ä� �l¼ c� dÄÆ��Ç} l¡�� l¢°cÆ �SÇ�m dx

dt Ã� �Ç��l¼ w��¼ ¶cÇ� ¿Sc Odu�¿Sc �� ��ÁÁ� �l¼ ¶dhÀ� c� �S�êdÀ �¯n�¼

k�Ç� Ãg lÁÄ� �Sd¼�W ¿Sc �� Ã� l¡�� �¢g ød�¼ ¶dy �l�c Æ��Ç} l}S�}S� l��y l¢°cÆ �Sd½À OÓ < α < Ê dg

ÖÖ

Page 7: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

Ö× lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ �Ñ�Ò

¾d�À dxdt O»T�dÁ� �l¼ ¾d¼� �c Ã� l¸Ç½¢¼ ºÇÅ­¼ �� �l�c �}S� l¸cÇ� �Ç�Ǽ Ol�c Â�� ��cÆ RSdvgdu Q��� ¯n�¼

¿Tg Ã� c� Q��� ¯n�¼ ¿Sc ¾cÇng �Sd� �l�c �cÇ�� dÊÕËÌxdtÊÕËÌ

QdÁ¢¼ ��� d¼c Ol�c edn� �! �¾dTg dËxdtË

Æ l¡�� Â�ÁÄ�

�Sd¼�W �� Ã� l!c�}S� l��y QÇ}¸c ���� �Th¢m Ãn¬dS ·S�hm lÀd¼� �dT±¼ �� l¡�� ¾cÇÁ¡ Ãg Ol�c edn� Æ l¡��

Q���kdh�dz¼ Æ l¸dn�c�¬ �¢g Ã�gc� ��S�êdÀ �¯n�¼ Æ Ãn�ÇTê  gdmwS O�Ç��l¼ Â�ÀcÇ} l¸dn�c�¬ lÁzÁ¼ O�� w��¼ lÁÄ�

xT�Çm Qc�g l¸¬�n�c O�� w��¼ ¬dg �� Ã� lzTêÇz�Æ��d¼ Âd!�S� �l�c ��dy ��¡ �� Qc�Â��n�! kd¢¸d�¼ ÃÁT¼�

Qc�g Q�c�gc �ÀcÇm �l¼ Q��� kdh�dz¼ dSW Ã� �¿Sc ��Ä� �l¼ xTz� Ãhm�¼ dg kdh�dz¼ �� Ol¢Th� �� l"ÁT�m Æ l"n�ÇTêdÀ

l¬�¢¼ l¸d½uc k�Ç� �Ãg c� Q��� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ O·�¬ ¿Sc �� �l�c »Å¼ l¸cÇ� O��dg l"ÁT�m Æ l"n�ÇTêdÀ «T�Çm

wS ¿�ǸÆÇÀd� �Ç} OÓJαt f(t) Q��� ¶c�"nÀc Ã� �Ç��l¼ «S�¢m Q��� ¶c�"nÀc ¯S�� �c Q��� ¯n�¼ ��ǽÀ »TÄcÇ}

φα(t) Æ��zn¼ QdÄÆ��Ç} l¡�� f(t) Od¼ lÁÄ� �Sd¼�W �� �TÁ���¬ �l�c f(t)  gdm Æ Oφα(t) =tα−Ê

Γ(α) OlÀcÇm  gdm

��Ç��l¼ �Sd�SÆÇÄ  gdm dg ¶�d¢¼ lÀcÇm  gdm α −→ Ê �y �� ���dg lÀd¼� QdÄ �Â�dg ¾dS�u Q �Â�ÁÄ� ¾d�À

φα(t) = H(t) =

Ê, t > Ó

Ó, t < Ó.

�Õ�Ò�

�TÀ ÃÀÇ! �¿Sc ¾cÇm �l¼ c� �Sc�� ¿Sc ��Àd¼ �ÁÄcÇ} �ycÆ Â�cÇ½Ä lÀd¼� QdÄ �Â�dg O¾d¼� l��! dg Ã�l�c c�c� c� ºÇÅ­¼ ¿Sc Æ

�TT¦m ¾Æ�g lÀd¼� QdÄ �Â�dg Ã�z¸ �Ä �� ¿Sc�gdÁg �l�c �­� dÄ �¾W l¡�� Æ �Án�Ä l}cÇÁzS lÀd¼� QdÄ �ù�d¬ Ã� ��� �Th¢m

�»S�ÆW �l¼ l�� �Ãg k�Ç� ¿Sc Ãg c� lÀdz¼ ù�d¬ l¸dy ¿Sc �� ��Çg �ÁÄcÇ}

ÓD−Êt f(t) =

∫ t

Ó

f(t). �Ö�Ò�

¾cÇm �l¼ O¬dg pzg Ãg ÃuÇm dg ���dg �l¼ ¾d¼� ¿}½Ä ¾dS�u Qc�c� »n�T� ¿Sc �l�c ¶Ç� ¿T½~m l¸Ç½¢¼ �Æ� ¾d½Ä Ã�

RSdvgdu Ol¡�� Q��� ¶c�"nÀc lm�dh¡ Ãg dS lÀcÇm  gdm wS Æ l¡�� ¿�ǸÆÇÀd� O��dg α < Ê ln°Æ Ã� l¬�! ÃvTnÀ

¾d¼� ¾dS�u dS Ol�c �T¦n¼ l¡�� Qc�c� Æ l�TÀ �ycÆ Â�cÇ½Ä lÀd¼� Q �Â�dg O�d} ��Ǽ ¿Sc �� ¿Sc�gdÁg ��Ä� �l¼ c� lÀdz¼

¾d¼� ¾dS�u �� lÁ}½ÄdÀ kc�� l��y dSÇ! OlÁ}½ÄdÀ Qc�c� QdÄ �»n�T� �� Ã�l­! �Ç��¿Sc ¾cÇng �Sd� �l�TÀ l}cÇÁzS

���c�

Ö×

Page 8: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ÖØ �d}  gcÇm �Ò�Ò

�d}  gcÇm Ò�Ò

Q �Â�d� d¼c »Å¼ �dT�g l�dS� QdÄ � gdm Æ «S�d¢m �c l}�g l���g Æ l¬�¢¼ dg OQ���kdh�dz¼ Q�T!�d� �Ãg Æ »TÄd­¼���

 gdm O�­ê¬ ·S�hm Odng  gdm Od¼d!  gdm �c �Ám�dh¡ ù½u ¿Sc �c ��Ç��l¼ �m ��~�¼ O kdT�dS� �c Â�Çy ¿Sc �� ��dy

RSdŸc�"nÀc Æ ¯n�¼ �cÇÀc O¿TÁ÷½Ä �l�c Â�� »Äc�¬ »TÄd­¼ ¿Sc �c Q��n~¼ l¬�¢¼ üc�c �� Ã� O ��� Æ �¹­¸ ��dnT¼

��ÀÇ� �l¼ Ãn}c��ê Q��� Ãhm�¼ dg ·T�Àc�­S� �¶c�"nÀc k¬�d¢¼ l���g Ãg Æ Â�� l¬�¢¼ Q���

d¼d!  gdm Ð�Ò�Ò

O gdm ¿Sc Q �Â�d� �Th¢m �l�c Â��Ç} Â�! Q��� kdT�dS� dg d�d�c OÐd¼d!  gdm O�� �ÄcÇ} �dz�W üc�c �� Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä

��Ç��l¼ Â�c� �S� Q �Ã�gc� ��Çm  gdm ¿Sc «S�¢m �l�c l±T±y �S�d±¼ Q �Ã½Ä Qc�g Ñ·S�Çn�d¬  gdm »T½¢m

Γ(z) =

Ó

e−uuz−Êdu, z ∈ ,5 �×�Ò�

OlnT½� �Ä Qc�g  gdm �c�±¼ �Ç��l¼ Â�S� �Ø�Ò� Q �Ã�gc� �� Ã� �¾dÁö Ol�~À �l�c Ãn­ÅÀ ¾W QdÄ �l!SÆ ��  gdm ¿Sc RSdhS�

���À ��Ǽ ��¡ �c �n½� �ycÆwS Qc�c Ãg  gdm �c�±¼ �� lT½� �Ç} e���·�dy dg l�c �gc�g

Γ(z + Ê) = zΓ(z), z ∈ ,1+, Γ(z + Ê) = (z)! �Ø�Ò�

·S�Çn�d¬  gdm «S�¢m OxTz�QdÄ��¡Qc�g «S�¢m ¿ScQ �ÃvTnÀ ��Ç��l¼ kdhqc V�u Ãg V�u ¶c�"nÀc �c Â�d­n�c dg Ã�gc� ¿Sc

¾W ¾Ç¼c�Tê Æ �­� Qc�g c� d¼d!  gdm �Ó�Ò� ·z�¼ �Γ(Ê) = Ê �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ ®Ç¬ ¶c�"nÀc Q �Ãh�dz¼ dg ¿TÁ÷½Ä �l�c

xTz��T¥ �S�d±¼ �� �ÇÁÄ d¼c �Á� �l¼ ·T¼ lSdÅÀ�Rg Ãg  gdm �c�±¼ l­Á¼ xTz� QdÄ��¡ �� Ã� �TÁ� ÃuÇm ��Ä� �l¼ ¾d�À

»TÄcÇ} Q�¢g QdÄ ��~g �� Ã� O���«S�¢m �TÀ c� φ(t)  gdm ¾cÇm �l¼ d¼d!  gdm �c Â�d­n�c dg ¿TÁ÷½Ä ��Ç��l¼ «S�¢m l­Á¼

��Ç��l¼ «S�¢m �ÒÙ�Ò� Q �Ã�gc� dg φ(t) ���c� lÀÆc�¬ ��g�d� Q��� ¶c�"nÀc «¹n~¼ QdÄ �·z� ¾�c� ¾d�À �� Ã� �S�

φα(t) =tα−Ê+

Γ(α). �ÐÙ�Ò�

Ð ô*DPPD IXQFWLRQ

Ñ ô)DFWRULDO IXQFWLRQ

ÖØ

Page 9: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ù �d}  gcÇm �Ò�Ò

d¼d!  gdm �Ó�Ò ·z�

Ol�c� »TÄcÇ} ÐQc�ù½uÆ� fac�� »T½¢m Qc�g O gdm ¿Scw½� dg �TÀ

z

ν

=z!

ν!(z − ν)!=

Γ(Ê+ z)

Γ(Ê+ ν)Γ(Ê+ z + ν). �ÐÐ�Ò�

dng  gdm Ñ�Ò�Ò

 gdm ¿Sc ecÇu �l�c �c��Ç}�g RS¬dg lT½Äc �c Q��� QdÄ �Ãh�dz¼ �� O¶Æc �ÇÀ �¹SÆc ¶c�"nÀc �}S� lm�dh¡ Ãg dS Ñdng  gdm

Ãg RSdÄ �Qc�ù½u �Áö ù½u �c  gcÇm �c Q�dT�g ¯n�¼�¶c�"nÀc Ãg ÃTh� Ã� O�Ç��l¼ «S�¢m ÃÀd!�Áö Qd¼d!  gdm ¯S�� �c dÅÁm ÃÀ

�d�c �g c� ¾W ecÇu Æ dng ¶c�"nÀc �ÐÑ�Ò� Q �ø�d¢¼ �l�c ��� �ÄcÇ} l¬�¢¼ üc�c ��� �¹­¸ ��dnT¼  gcÇm Æ ta k�Ç�

��Ä� �l¼ ¾d�À d¼d!  gdm

B(p, q) =

∫ Ê

Ó

(Ê− u)(p− Ê)uq−Êdu =Γ(p)Γ(q)

Γ(p+ q)= B(q, p); p, q ∈ ,5+. �ÐÑ�Ò�

Ð %LQRPLDO &RHIILFLHQWV

Ñ %HWD IXQFWLRQ

×Ù

Page 10: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ð �d}  gcÇm �Ò�Ò

¿�ǸÆÇÀd� Æ �­ê¬ ·S�hm Ò�Ò�Ò

dg �>ÐÐÐ OÐÐÙ@ ��c� ��g�d� Â�T÷Tê ·T�Àc�­S� QdÄ �ø�d¢¼ ecÇu ¿n¬dS �� Ã� l�c l¢gdm ·S�hm l¡ÇÀ Ð�­ê¬ ·S�hm

RSd�¬ Ãg c� ød�¼ O«¹n~¼QdÄ �Ãhm�¼ �c RSdÄ �¯n�¼ dg ·T�Àc�­S� ø�d¢¼wS ¾��� ·yQdu�Ãg ¾cÇm �l¼ ·S�hm ¿Sc �c Â�d­n�c

��Ç��l¼ ¾dTg ·z� ¿S�g ·S�hm ¿Sc ��À�c� �ÇuÆ ¾W �� Q�hu k�Ç� Ãg �Ç} dÄ�ecÇu Ã� ��g

L[f(t)] :=∫

Ó

e−stf(t)dt = f(s). �ÐÒ�Ò�

Ã� l�c ¿Sc ��� ¿Sc Qd��c Q �ü�¬ ���dg c�}½Ä �ÐÒ�Ò� ¶c�"nÀc Ã� ��c� �ÇuÆ f(t)  gdm �­ê¬ ·S�hm lm�Ç� ��

���dhÀ e−st RSd½À  gdm ¶Æ�À {�À �c �m� S�� f(t)  gdm ��� {�À

OQ �Ã�gc� �c Â�d­n�c dg  gdm Æ� ¿�ǸÆÇÀd� �¾cÆc�¬QdÄ��g�d� dg l�c lm�dh¡ �TÀ  gdm Æ� ¿�ǸÆÇÀd��­ê¬ ·S�hm ¿TÁ÷½Ä

f(t) ∗ g(t) :=∫ t

Ó

f(t− τ)g(τ)dτ = g(t) ∗ f(t) �ÐÓ�Ò�

�­ê¬ ·S�hm e���·�dy dÅÁm ÃvTnÀ �s��­ê¬ Qd�¬ �� d¼c Ol�c Qc�Â�T÷Tê �d� ¾W ¿TT¢m t Qd�¬ �� Æ �SW�l¼ l�� �Ãg

��Ç��l¼ Â�S� �ÐÔ�Ò� Q �Ã�gc� �� Ã� �¾dÁö O�Ç� �l¼  gdm Æ�

L[f(t) ∗ g(t)] := f(s)g(s). �ÐÔ�Ò�

f(t)  gdm Qc�g n xTz� Q �Ãhm�¼ dg ¯n�¼ �­ê¬ ·S�hm Ol�c� Â�d�c ¾W Ãg �Sdg Ã��­ê¬ ·S�hm �}S� »Å¼ l!SÆwS

�l�c Â�� Â�c��ÐÕ�Ò� �� Ã�l�c

L[f (n)(t)] = sn ´f(s)−n−Ê∑

k=Ó

sn−k−Êfk(Ó) = snf(s)−n−Ê∑

k=Ó

skfn−k−Ê(Ó). �ÐÕ�Ò�

Ð /DSODFH 7UDQVIRUPDWLRQ

×Ð

Page 11: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ñ �d}  gcÇm �Ò�Ò

�α«¹n~¼ �S�d±¼ Qc�c Ãg OÂ�T¦n¼�m �¹­¸ ��dnT¼  gdm �Ô�Ò ·z�

�¹­¸ ��dnT¼  gdm Ó�Ò�Ò

Q�dn}d�QdÄ �l!SÆ ���T! �l¼ �c�° Â�d­n�c ��ǼQ���kdT�dS� ��Qc�Â��n�!k�Ç� Ãg Ã�l�c l¢gdm Ð�¹­¸ ��dnT¼  gdm

Ã� �Ç� �¾d½Ä ��Ç��l¼ Ãn}dÁ� QÆ ºdÀ dg Æ� ¿Sc �c O>ÐÒÑ@ �� l¬�¢¼ �¹­¸ ��dnT¼ ��Çm ÊÒÓÌ �� �dg ¿T¸Æc  gdm ¿Sc

QdÄ �ø�d¢¼ �� c� lÅgd�¼ �±À »Ä  gdm ¿Sc O�Ç��l¼ �Äd� xTz� Q �Ãhm�¼ dg ·T�Àc�­S� Q �ø�d¢¼ QdÄ �ecÇu �� RSd½À  gdm

 gdm ¿Sc ��Æ�z¼dÀ QdÄ �áǽv¼ �c lzS��d} �dT�g º�¬wS �TÀ RSd½À  gdm ��Á� �l¼ d­Sc xTz��T¥ Q �Ãhm�¼ dg ·T�Àc�­S�

��Ç��l¼ Â�c� �ÐÖ�Ò� Q �Ã�gc� ��Çm  gdm ��c�Àdn�c ·z� �l�c ��g�d��ê

Eα(z) =

∞∑

k=Ó

zk

Γ(αk + Ê), α > Ó. �ÐÖ�Ò�

��Ä� �l¼ ¾d�À α «¹n~¼ QdÄ�c�±¼ Qc�g c� �¹­¸ ��dnT¼  gdm �Ô�Ò� ·z� �α = Ê l¸dy dg l�c ¶�d¢¼ RSd½À  gdm

OÃÀǽÀ ¾cÇÁ¡ Ãg O�Án�Ä  gdm ¿Sc �c l�d} l¸dy Â�� Ãn}dÁ� Æ ªÆ�¢¼  gcÇm �c Q�dT�g

EË(−zË) = cos(z), EÊ/Ë(zÊË ) = ez

(

Ê+ erf(zÊË ))

. �Ð×�Ò�

OÑd�}  gdm Q�T!�dzg dg ºÆ� Ã�gc�

erf(z) =Ë√π

∫ z

Ó

e−tËdt. �ÐØ�Ò�

Ð 7KH 0LWWDJ� /HIIOHU )XQFWLRQ

Ñ (UURU )XQFWLRQ

×Ñ

Page 12: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ò �d}  gcÇm �Ò�Ò

� >ÐÒÒ@ �Ç��l¼ «S�¢m ·z� ¿Sc Ãg �TÀ �T¦n¼ Æ� dg �¹­¸ ��dnT¼  gdm �m �l¹�k�Ç� ¿TÁ÷½Ä �l�c Â�� ¾dTg

Eα,β(z) =∞∑

k=Ó

zk

Γ(αk + β), α > Ó, β > Ó. �ÑÙ�Ò�

Ãg ¾cÇm �l¼ ù½u �c ��Án�Ä ¾W �d} l¸dy OQ�dS� Q �Â�d�  gcÇm Ã�l�c RSd½À  gdm �c Q��g�d��ê »T½¢m �TÀ  gdm ·z� ¿Sc

O��cǼ

EÊ,Ë(z) =ez − Ê

z, EË,Ë(z

Ë) =sinh(z)

z, �ÑÐ�Ò�

��ǽÀ Â�d�c

l��ÁÄ ®Ç¬  gcÇm Ô�Ò�Ò

Ok�Ç� Ãg �À�c��g�� �d} l¸dy ¾cÇÁ¡ Ãg c�  gcÇm �c Q�dT�g «S�¢m Ã� Ðl��ÁÄ ®Ç¬  gcÇm

pFq (ai; bi; z) =Πq

j=ÊΓ(bj)

Πpi=Ê

Γ(ai)Σ∞

n=Ó

Γ(ai + n)

Γ(bj + n)

zn

n!, �ÑÑ�Ò�

O�Á� �l¼ QÆ�Tê �S� Ã�gc� �c  gdm ¿Sc ¯n�¼ �l�c

(d

dz)pFq (ai; bi; z) =

Πpi=Ê

Γ(ai)

Πqj=Ê

Γ(bj)pFq (ai + Ê; bi + Ê; z) . �ÑÒ�Ò�

��Án�Ä  gcÇm ¿Sc �c l�d} k�Ç� O>ÐÐÔ OØÓ@ Ò�¼Ç�  gcÇm Ãg ªÆ�¢¼ ÊFÊ(a; b; z) ��� Ñl��ÁÄ ®Ç¬ QdÄ �Q��

Ð +\SHUJHRPHWULF )XQFWLRQV

Ñ &RQIOXHQW +\SHUJHRPHWULF 6HULHV

Ò .XPPHU IXQFWLRQ

×Ò

Page 13: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ó Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m Ó�Ò

fTm�m ¿Sc Ãg ��Ä� �l¼ ¾d�À Q��� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ l¬�¢¼ �� c� l¼d! Ãg ºd! ¶cÆ� Q���kdT�dS� Q �Ã÷~S�dm

Ãg O�~g ¿Sc �� ��Án�Ä �Ç} Ãg ��zÁ¼ QdÄ��g�d� Æ dÄ �l!SÆ Qc�c� Ã� �Àc �Â�� ��cÆ l­¹n~¼ QdÄ�}¹½¡ O¾d¼� l� ��

«S�¢m ·z� ¿S�m �l¹�c ¾cÇÁ¡ ÃS ·SÆÇT¸ �¾d½S� ¶c�"nÀc OdÄ �¾W ù½u �c T»S�c��ê �l¼ dÄ�}¹½¡ ¿Sc ¿S�m �»Å¼ �c l}�g l¬�¢¼

��Án�Ä ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Æ ÇmÇêd� O·SÆÇT¸ �¾d½S� QdÄ �¯n�¼ Æ Q��� ¶c�"nÀc

Q��� ¶c�"nÀc �}¹½¡ Ð�Ó�Ò

Ol�c xTz� Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ �g l½T½¢m OÐQ��� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ ºÇÅ­¼ Ã� �� ¾cÇÁ¡ ü�±¼ ��

dg »T½¢m ¿Sc OºÆ� ��Ǽ Qc�g �l�c xTz� ¾d¼Ç!�W dg RSd½À  gdm »T½¢m Q��� RSd½À  gdm Ã� l±S�� ¾d½Ä Ãg l���

l¢Àd¼ õTÄ O��c�À ºÇÅ­¼ ��Ç} �� lzTz�dÀ �c�¢m Ãg ��¡wSe�� Ã� �l¸dy �� ���T! �l¼ ºdvÀc  gdm �Sd½À �c Â�d­n�c

¾cÇm �l¼ c� Q��� ¶c�"nÀc �Sd½À tSc� k�Ç� OfTm�m ¿T½Ä Ãg ���c�À �ÇuÆ  gdm �� xTz��T¥ ¾d¼Ç!�W ¾�c� �c�° �� �g

�l�c Â�� Ãn}dÁ� Ñ·SÆÇT¸ �¾d½S� l¬dTÄ� ºdÀ dg l¬dTÄ� ¿Sc ���ÆW l���Ãg  gdmwS ��z¼ QdÄ �¶c�"nÀc l¼Ç½¡ ·z� �c

�l�c f(t)  gdm n Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc ¾��ÆW l�� Ãg Qc�g Ò l�Ç� Ãg eÇ�Á¼ ¶Ç¼�¬ Q �Â�ÁÄ� ¾d�À �ÑÓ�Ò� Q �Ã�gc�

...

∫ t

Ó

f(τ)dτ =Ê

(n− Ê)!

∫ t

Ó

(t− τ)n−Êf(τ)dτ. �ÑÓ�Ò�

�»TÁ� �l¼ l¬�¢¼ OÂ�¼W �ÑÔ�Ò� �� Ã� lm�Ç� Ãg c� Jn �}¹½¡ Ol�SÇÀ��n~¼ lÅu

Jnf(t) := fn(t) =Ê

(n− Ê)!

∫ t

Ó

(t− τ)n−Êf(τ)dτ, �ÑÔ�Ò�

xTz� Q�c�±¼ �Sdg d½ny �ÑÓ�Ò� Q �Ã�gc� �� n ��Ç� Â�d­n�c Jn Qdu�Ãg D−n Q�c�!�d½À �c Ã� l�c tSc� ¬Ç½¢¼ d¼c

��g Ã� d¼d!  gdm d¼c ��Ç��l½À «S�¢m xTz��T¥ QdÄ�c�±¼ Qc�g Ã�l�c ·S�Çn�d¬  gdm �ÇuÆ fh� Ãg ¿Sc Æ ��dg Ãn�c�

¶c�"nÀc «S�¢m �� ·S�Çn�d¬ Qdu�Ãg �Ø�Ò� Q �Ã�gc� Ãg ÃuÇm dg �ÀcÇm�l¼ Ol�c l±T±y QdÄ��¡ Ã½Ä Qc�g ·S�Çn�d¬ l¹T¹zm

Ð )UDFWLRQDO ,QWHJUDO DQG 'HULYDWLYH 2SHUDWRU

Ñ 5LHPDQQ /LRXYLOOH

Ò &DXFK\

×Ó

Page 14: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ô Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

�»T�SÇÁg �ÑÕ�Ò�k�Ç� �Ãg l±T±y QdÄ��¡ Q �Ã½Ä Qc�g c� �ÑÔ�Ò� Q �Ã�gc� ¾cÇm �l¼ lÁS�}Sdu ¿Sc dg O¿Sc�gdÁg ���T! �c�°

Jαf(t) := fα(t) =Ê

Γ(α)

∫ t

Ó

(t− τ)α−Êf(τ)dτ �ÑÕ�Ò�

dÄ �l!SÆ

��dg dÄ �¾W lT½Äc Q��� QdÄ �¶c�"nÀc Æ dÄ �¯n�¼ dg RSdÄ �ø�d¢¼ ·y ºd"ÁÄ �� Ã� ��c� RSdÄ �l!SÆ Q��� ¶c�"nÀc «S�¢m ¿Sc

O»S�T! �l¼ ��À �� lÀd½Ä �}¹½¡ ¾cÇÁ¡ Ãg c� α = Ó Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc c�ngc ��Çg �ÄcÇ}

JÓf(t) = f(t). �ÑÖ�Ò�

lm�Ç� ¾d½Ä Ãg Æ OÂ�¼W l���Ãg dÄ �¾W �c «S�¢m ¿Sc Ã� RSdÄ �·�c Æ O¾W «S�¢m �d�c �g ¶c�"nÀc lTÄd¼ Ãg ÃuÇm dg ¿TÁ÷½Ä

OxTz� �c�¡c Qc�g ÐQ �Ã�gc� Ã�

JnJm = Jm+n = JmJn, m, n ∈ ,1 �Ñ×�Ò�

O�Ç��l¼ d��c �TÀ xTz��T¥ QdÄ �Ãhm�¼ Qc�g Ol�c �c�°�g

JαJβ = Jβ+α = JβJα, α, β ∈ ,5. �ÑØ�Ò�

Ãg Ol�c f(t)  gdm ¾�Çg ÑlC¹¡ O�Ç� d��c ¾W Ãgd�¼ QdÄ �l!SÆ �Sd� Æ l!SÆ ¿Sc ln��� Q�c�°�g Qc�g �Sdg Ã� l���

���dg �­� t ≤ Ó Qc�g �Sdg f(t)  gdm �c�±¼ �}S� lm�dh¡

Ð 6HPLJURXS 3URSHUW\

Ñ FDXVDOLW\

×Ô

Page 15: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Õ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

O�Ç��l¼ �~�¼ �ÒÙ�Ò� �� φα  gdm l¬�¢¼ dg ·SÆÇT¸ �¾d½S� ¶c�"nÀc �}S� l!SÆ

φα =tα−Ê

Γ(α)⇒ φα(t) ∗ f(t) =

Ê

Γ(α)

∫ t

Ó

(t− τ)α−Ê+ f(τ) �ÒÙ�Ò�

�� ¿�ÆǸÇÀd�«S�¢m �c ��l�c l>¹¡  gdmwS �ÒÙ�Ò� Æ l�c t ≤ Ó QdÄ�c�±¼ Qc�g  gdm ¾�Çg �­� Q �Â�ÁÄ� ¾d�À t+ Ã�

O�T�� �S� ÃvTnÀ Ãg ¾cÇm�l¼ �ÐÓ�Ò� Q �Ã�gc�

Jαf(t) = φα(t) ∗ f(t) =Ê

Γ(α)

∫ t

Ó

(t− τ)α−Êf(τ)dτ �ÒÐ�Ò�

¾cÇm �l¼ Ã� »S�c� ¾d�À �ÒÙ�Ò� Q �Ã�gc� �� ���ÆW »TÄcÇ} l�� �Ãg c� ·SÆÇT¸ �¾d½S� Q��� ¶c�"nÀc �­ê¬ ·S�hm du�¿Sc ��

���dg �l¼ k�Ç� ¿Sc Ãg tα−Ê �­ê¬ ·S�hm ���� ¾dTg f(t) Æ φα O gdm Æ� ¿�ÆǸÇÀd�k�Ç� �Ãg c� Q��� ¶c�"nÀc

L[tα−Ê] = Γ(α)s−α �ÒÑ�Ò�

O�ÐÓ�Ò� �� ¿�ÆǸÇÀd��­ê¬ ·S�hm �TÀ Æ O�Ç� �l¼ Â�S� �ÒÙ�Ò� �� Ã� ¿�ÆǸÇÀd� Æ Q��� ¶c�"nÀc Q �Ã�gc� Ãg ÃuÇm dg

O�¼W �ÄcÇ} l���Ãg Q��� ¶c�"nÀc �­ê¬ ·S�hm

L[Jα] = s−αf(s). �ÒÒ�Ò�

Ãh�dz¼ µ > −Ê Oν > Ó Qc�g c� Jνxµ ¶c�"nÀc OQ��� ¶c�"nÀc �c Qc�ÃÀǽÀ ¾cÇÁ¡ Ãg Q��� ¶c�"nÀc Qc�g l¸dr¼

�«S�¢m Ãg ÃuÇm dg �»TÁ� �l¼

Jνxµ =Ê

Γ(ν)

∫ x

Ó

(x− t)ν−Ê

dt

Γ(ν)

∫ x

Ó

(

Ê− t

x

)ν−Ê

xν−Êtµ

dt

Γ(ν)

∫ Ê

Ó

(Ê− u)ν−Ê

xν−Ê(xu)µ

xdu, (u =t

x)

Γ(ν)xν+µ

∫ Ê

Ó

(Ê− u)ν−Ê

du

×Õ

Page 16: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ö Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

Ãhm�¼ �c l¸c�"nÀc O¶Æc ùy�¼ �� �·SÆÇT¸ �¾d½S� �Æ� Q�T!�d� �Ãg dg α = ËÕ Ì Ãhm�¼ ¯n�¼ �cwTmd½� RSd½À �Õ�Ò ·z���Ç��l¼ Ãh�dz¼ Ì Ãhm�¼ �c lzTz� ¯n�¼ �ë� O�Ç��l¼ ºdvÀc ν = Ì− ËÕ Ì = ÓÕ Ð

Γ(ν)xν+µB(µ+ Ê, ν)

=Γ(µ+ Ê)

Γ(µ+ ν + Ê)xν+µ. �ÒÓ�Ò�

�l�c lÀcÇm  gdmwS OlÀcÇm  gdm Q��� ¶c�"nÀc Ã� �Ç��l¼ Â�Äd�¼

Q��� QdÄ �¯n�¼ Ñ�Ó�Ò

ÇmÇêd� Æ ·SÆÇT¸�¾d½S� ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡

ed~nÀc m − Ê < α < m ��� dg c� m xTz� ��¡ ¶dy ��S�T}g ��À�� c� α ∈ ,5 Oα =Ê

ËQ �Ãhm�¼ �c l±n�¼

Ã� ¶Æc �Æ� �� Q�T! �¯n�¼ ºdvÀc �ÀÆ� ���c� �ÇuÆ Q�T! �¯n�¼ «S�¢m Qc�g Âc� Æ� OdÄ��¡ ¿Sc �c Â�d­n�c dg �»TÁ� �l¼

�l�c Â�� Â�c� ¾d�À �Õ�Ò� ·z� �� ��c� ºdÀ зSÆÇT¸�¾d½S�

Dαf(x) = Dm[Jνf(x)], m = [α] + Ê. �ÒÔ�Ò�

Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc Ã� l�c ¿Sc Om Of�dÁ¼ xTz� ��¡ ¾��� c�Tê �c �¢g ùy�¼ ¿T¸Æc �l�c Â�d� �dT�g �ÀÆ� ¿Sc xT�Çm

m = Ì Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ OºÆ� Q �ùy�¼ �� �ë� �l�c α = ËÕ Ì ·z� ¿Sc �� T»S�ÆW l���Ãg c�  gdm Qm−α = ν = ÓÕ Ð

Ð 5LHPDQQ�/RXLYLOOH )UDFWLRQDO 'LIIHUHQWLDWLRQ

×Ö

Page 17: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×× Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

�� �Æ� ¿Sc l�dS� �Sd½À �»S�T�� ��À ��Ǽ  gdm Q �α Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ Ãg fTm�m ¿Sc Ãg �»TSd½À�l¼ Ãh�dz¼ c� ·�dy  gdm

�l�c Â�� ¾dTg �S� Q �Ã�gc�

Dαf(t) :=

dm

dtm

[

Ê

Γ(m− α)

∫ t

Ó

f(τ)

(t− τ)α+Ê−mdτ

]

, m− Ê < α < m,

dm

dtmf(t), α = m.

�ÒÕ�Ò�

 gdm Ó < α < Ê Ãhm�¼ �c Q��� ¯n�¼ »TÄcÇ} �l¼ Ã� �TÁ� ��¬ ·SÆÇT¸ �¾d½S� Q��� ¯n�¼ ºdvÀc Qc�g l¸dr¼

O¿Sc�SdÁg ��Çg �ÄcÇ}m = Êk�Ç� ¿Sc �� �»TÁ� Ãh�dz¼ c� f(x) = xµ

Dαf(x) = D(Ê)[

J (Ê−α)f(x)]

= D(Ê)[

J (Ê−α)xµ]

= D(Ê)

[

Γ(µ+ Ê)

Γ((µ− α+ Ê) + Ê)xµ−α+Ê

]

= (µ− α+ Ê)Γ(µ+ Ê)

(µ− α+ Ê)Γ(µ− α+ Ê)xµ−α

=Γ(µ+ Ê)

Γ(µ− α+ Ê)xµ−α. �ÒÖ�Ò�

��¡ ¯n�¼ O�d�nÀc ª­}�g ¬dg «S�¢m ¯h� Ã� »TÁTg �l¼ �l�c Â�� Â�d­n�c �ÒÓ�Ò� ÃvTnÀ �c ºÇ� Ãg ºÆ� �} �c ¾�T�� ��

Ã� lnS�Æ�z¼ �l�c Q��� QdÄ�}¹½¡ »Å¼ QdÄ �l!SÆ �c lzS ¿Sc �l�c lÀcÇm l¢gdm Ãz¹g Ol�TÀ �­� O�µ = Ó�lgdq

�l�c dÄ �Â�dg �� �� ¾W l"ÁT�m Ol�c ��cÆ ·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m �g

Q �ùy�¼ Æ� ¾d½Ä �c �TÀ ÇmÇêd��Æ� ��Ç��l¼ Â�S� �Ö�Ò� �SÇ�m �� lzTmd½� k�Ç� �Ãg �TÀ ��c� ºdÀ ÐÇmÇêd� Ã� ºÆ� �Æ�

ÃÀÆ�cÆ c� dÄ �¾W fTm�m Ã� kÆd­m ¿Sc dg O�S�T! �l¼ Â�Åg ÃvTnÀ ¾d½Ä Ãg ¾�T�� Qc�g ·SÆÇT¸ �¾d½S� �Æ� �� Â�d­n�c ��Ǽ

��Á� �l¼

cDαf(x) = Jm−ν [Dmf(x)], m = [α] + Ê. �Ò×�Ò�

Q �Ãhm�¼ �c Q��� Q�T! �¶c�"nÀc �ë� Om xTz� Q �Ãhm�¼ �c l±n�¼ c�ngc O °cÆ �� �l�c ÇmÇêd� �}¹½¡ Â�ÁÄ� ¾d�À c

Ð )UDFWLRQDO 'LIIHUHQWLDWLRQ &DSXWR

××

Page 18: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

×Ø Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

Ãhm�¼ �c lzTz� ¯n�¼ O¶Æc ùy�¼ �� �ÇmÇêd��Æ� Q�T!�d� �Ãg dg α = ËÕ Ì Ãhm�¼ ¯n�¼ �cwTmd½� RSd½À �Ö�Ò ·z���Ç��l¼ ºdvÀc Ì− ËÕ Ì = ÓÕ Ð Ãhm�¼ �c l¸c�"nÀc �ë� OÃh�dz¼ Ì

�l�c� »TÄcÇ} «S�¢m ¿Sc ¯h� ��Ä� �l¼ ºdvÀc c�m− α

cDαf(t) :=

Ê

Γ(m− α)

[

∫ t

Ó

fm(τ)

(t− τ)α+Ê−mdτ

]

, m− Ê < α < m,

dm

dtmf(t), α = m.

�ÒØ�Ò�

O��� ��cÆ c� lgdq ��¡ ¯n�¼ ¾�Çg �­� ��� OQ��� ¯n�¼ �}¹½¡ Qc�g �Ç} «S�¢m �� ÇmÇêd�

cbD

αt x

Ó = Ó, �ÓÙ�Ò�

ÇmÇêd�«S�¢m Ã� �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ l!�d��Ãg �l�c��� ·gd° �n�Tg ·SÆÇT¸ �¾d½S� ¯n�¼ Qc�g �ÁÀd½Ä l¸dy Ãg lh�À Ã�

�l�c Â�� ª�y ¾W Q �Â�dg �� l"ÁT�m Ã�l�c ·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m ¾d½Ä

cbD

αt f(t) =b D

αt

[

f(t)− Σn−Êk=Ó

f (k)(b)

k!(t− b)k

]

. �ÓÐ�Ò�

Ã� ¯n�¼ �ÇÀ ¿Sc dg ��ÁÄ��l¼ ¾d�À c� Q�T! �¯n�¼ �� ��À ��Ǽ Q �Â�dg QdÅnÀc Æ c�ngc fTm�m Ãg Ob Æ t QdÄ ��}d� du�¿Sc ��

Â�dg QdÅnÀc Æ �T¦n¼ �Æ�� Ã�±À �!c ��¢¸dg ��Ç��l¼ Ãn­!éö ¯n�¼ O�T¦n¼ Â�dg QdÅnÀc Æ l�c �~�¼ Â�dg �Æ�� Ã�±À

���c� ºdÀ l�c� ¯n�¼ O��dg �~�¼

×Ø

Page 19: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÙ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

dÄ �l!SÆ

�}¹½¡ ¿Sc �­ê¬ ·S�hm OQ��� ¶c�"nÀc �}¹½¡ QdÄ �l!SÆ �~g �� �»TÁ� �l¼ l¬�¢¼ c� �}¹½¡ Æ� ¿Sc �­ê¬ ·S�hm c�ngc

¿Sc ��¼W �ÄcÇ} l���Ãg ·SÆÇT¸�¾d½S� Q��� ¯n�¼ �}¹½¡ �­ê¬ ·S�hm O«S�¢m ¿Sc �c Â�d­n�c dg ��ÒÒ�Ò� �� ¾dTg

Ol�ÇÀ k�Ç� ¿Sc Ãg ¾cÇm�l¼ c� �}¹½¡

Dαf(t) = g(m)(t), , g(t) = J (m−α)f(t), m− Ê ≤ α < m. �ÓÑ�Ò�

Ol�c� »TÄcÇ} O�ÒÒ�Ò� Q��� ¶c�"nÀc �­ê¬ ·S�hm Q �Ã�gc� �TÀ Æ �ÐÕ�Ò�«S�¢m �c Â�d­n�c dg

L[Dαf(t)] = smg(s)−m−Ê∑

k=Ó

skg(m−k−Ê)(Ó) = sαf(s)−m−Ê∑

k=Ó

skD(α−k−Ê)f(Ó). �ÓÒ�Ò�

¯n�¼ �}¹½¡ Qc�g �l�c f(t)  gdm Q��� ¯n�¼ �ÇuÆ Où½u n− Ê dm k Q �Ã½Ä Qc�g º�¬ ÃT¸Æc ��� Ã� �Ç��l¼ Â�Äd�¼

O»TÁ� �l¼ �Æ�� k��Ç� ¿Sc Ãg ¯n�¼ ¿n�ÇÀ dg OÇmÇêd� Q���

cDαf(t) = Jm−αg(t), g(t) = f (m)(t), m− Ê ≤ α < m. �ÓÓ�Ò�

Ol�c� »TÄcÇ} �­ê¬ ·S�hm Qc�g O�ÒÒ�Ò� �c Â�d­n�c dg ¶dy

L[cDαf(t)] = s−(m−α)g(s) = sα = sαf(s)−m−Ê∑

k=Ó

sα−k−Êf (k)(Ó). �ÓÔ�Ò�

�g T�Ç� �l¼ ��cÆ sα−k−Ê �� lÁ¢S ¾W fS�� k�dh¡ �� Ãz¹g O�Ç� �l½À �Äd� f(t)  gdm ¯n�¼ �� α Q �Ãhm�¼ OÃ�gc� ¿Sc ��

���� Of (Ë)Of (Ê)Of(t) ÃÀǽÀ Qc�g� xTz� Q �Ãhm�¼ dg RSdÄ �¯n�¼ O¿Sc�gdÁg �·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m �� ¾W Âd}Sdu ª­}

��À�c� Q�m �lyc� Æ �m�f�dÁ¼ lzS�T¬ �T�­m Æ �Th¢m Ã� �ÀÆ� �l¼ �d� �Ãg ÃT¸Æc �Sc�� ¾cÇÁ¡�Ãg

Ã� �� Â�d�c ­h° �l�c ·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢m �c �m �Â�ÁÁ� �Æ�z¼ �dT�g Q��� ¯n�¼ Qc�g ÇmÇêd�«S�¢m O�Sc�� l}�g ��

Q �ÃT¸Æc  gdm Ã� l¼c�d¼ O·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢mQc�g ���dg Ãn�c� �­� �c�±¼ t ≤ Ó �� lÁ¢S O��dg lC¹¡ l¢gdm �Sdg f(t)  gdm

�c Æ ��dg �l¼ �c�°�g �TÀ α > Ó Q �Ãhm�¼ �c �}S� xTz� QdÄ��¡ ºd½m Qc�g k�Æ��wS ¾cÇÁ¡ Ãg O�Á� d��c c� ��� ¿Sc t

�Sdg dÅÁm ÃÀ O�Ç� �l¼ Ãn¬�! ¯n�¼ �dg m Of(t)  gdm �c Ã� du�¾W �c OÇmÇêd�«S�¢m �� d¼c ��¼W �ÄcÇ~À �Tê l¹z�¼ Æ� ¿Sc

�Æ�z¼ ��� ¿Sc kdT�dS� QdTÀ� �� ��Ç� d��c �TÀ f (Ê) = f (Ë), ..., f (m) = Ó ��� �Sdg Ã� O»T�dg Ãn�c� c� f(Ó) = Ó

ØÙ

Page 20: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÐ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

|�dê ���c� lm�Æ�� Ãö l­S�¢m ¿TÁö Ã� �Á� �l¼ w��¼ c� ¶cÇ� ¿Sc Æ O�Á� �l¼ «T¢� c� ¾W ÇmÇêd�«S�¢m �g ��cÆ Q �Â�ÁÁ�

�Sc�� ¿n�c� dg ¾cÇm �l¼ Ol�dS� ��À �c ��Ç��l¼ �dz�W xTz��T¥ Q �Ãhm�¼ �c ·T�Àc�­S� k¬�d¢¼ ·y ºd"ÁÄ Ãg ¶cÇ� ¿Sc

dg l±n�¼ Ol¸dy ¿Sc �� ÃT¸Æc �Sc�� d¼c ���ÆW l���Ãg c� k¬�d¢¼ ¿Sc ecÇu ·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢m �c Â�d­n�c dg ÃT¸Æc

�­� «S�¢m ¿Sc �� lgdqwS Q��� ¯n�¼ O�� Â�c� ¾d�À �ÒÖ�Ò� �� ­h° Ã� �Ç�Àd½Ä O¿TÁ÷½Ä �l�c Q��� Q �Ãhm�¼

O�SW�l¼ l�� �Ãg �S� Q �Ã�gc� �c Æ l�TÀ

DαC =Ct−α

Γ(Ê− α). �ÓÕ�Ò�

wS�T¬ QdTÀ� QdÄ�T�­m dg Ã� �l¸dy�� ��Á� �l¼ �dvSc l�d�c k­z�¼ ·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢m QdÄ �l!SÆ OlzS�T¬ ��À �c d¼c

�mc�¬ d¼ l�dS� �c�gc  °cÆ �� �»S�c�À Q���k¬�d¢¼ �� dTÀ� �c Q�dS� l¹½¡��� O»Tn�Ä dÁ�W xTz� Q �Ãhm�¼ k¬�d¢¼ ��

l¹½¡ Ã� Ã÷ÀW Æ ��c� ¾dz¼c Ã� Ã÷ÀW ¾dT¼ l�dhm�c »TÀcÇm�l¼ d¼ OÇmÇêd�«S�¢m �� d¼c ��Àc �Ãn�c�! º�° d¼ ��� QdÄ��¼ �c

ÃT¸Æc �Sc�� �c Ã� ��ÆW�l¼ »Äc�¬ c� ¾dz¼c ¿Sc Ol�c� �Ç}«S�¢m �� Ã� RSdvgduwS dg ÇmÇêd� ¯n�¼ �}¹½¡ �»TgdTg Ol�c

QÇmÇêd� Q��� ¯n�¼ O�� ¾dTg Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä ¿Sc �g ÂÆ­¡ ����! Â�d­n�c Q��� ·T�Àc�­S� k¬�d¢¼ �� xTz� Q �Ãhm�¼ dg

�l�c �m�Q��g�d� ·SÆÇT¸�¾d½S� �}¹½¡ Ãg lh�À ÇmÇêd� �}¹½¡ Ã� �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ l!�d� Ãg ���c� �­� �c�±¼ lgdq ��¡

ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! ·T�Àc�­S� �¶c�"nÀc �}¹½¡

��¸cÇÀcÆ�! ºdÀ Ãg �}S� Q��� �}¹½¡ O�� ·SÆÇT¸ �¾d½S� �}¹½¡ Ãg �vÁ¼ RêdTê QdÄ �¶c�"nÀc ºdvÀc dg Ã� ln¬dTÄ� ª­}�g

O»TÁ� �l¼ �Æ�� ¯n�¼ �}¹½¡ ¿S�dTÁg «S�¢m �c OlÅu ¿Sc Ãg ��Ç��l¼ ��cÆ Q�T! �¯n�¼ ��zSÆ� dg OЪÇzTÁn¸

f (Ê)(x) = limh→Ó

f(x+ h)− f(x)

h�ÓÖ�Ò�

O»T�� �l¼  gdm ºÆ� ¯n�¼ «S�¢m Ãg OÃ�gc� ¿Sc Q �Â�dgÆ� ¶d½¡c dg

f (Ë)(x) = limh→Ó

f (Ê)(x+ h)− f (Ê)(x)

h

Ð *UXQZDOG�/HWQLNRY 'LIIHU�,QWHJUDO

ØÐ

Page 21: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÑ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

= limhÊ→Ó

limhË→Ó

f(x+ hÊ + hË)− f(x+ hÊ)

hË− limhË→Ó

f(x+ hË)− f(x)

h

hË. �Ó×�Ò�

O�� �ÄcÇ} Â�d� k�Ç� ¿Sc Ãg ¬dg k�dh¡ Oh = hÊ = hË lm�dh¡ Ãg Oh ¾d�zS �c�±¼ edznÀc dg

f (Ë)(x) = limh→Ó

f(x+ Ëh)− Ëf(x+ h) + f(x)

hË. �ÓØ�Ò�

O�Ç��l¼ l¬�¢¼ Dn �}¹½¡ Oºc n Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ ¾�c� ¾d�À Qc�g

Dnf(x) = limh→Ó

Ê

hn

n∑

m=Ó

(nm)f(x−mh). �ÔÙ�Ò�

Qc�ù½u Æ� fS�� Ã� ��� ¿Sc Ãg Ãnh¸c O�c� »T½¢m �TÀ n Qdu�Ãg α ∈ ,5 xTz��T¥ QdÄ�c�±¼ Ãg c� k�dh¡ ¿Sc ¾cÇm �l¼

�l�TÀ xTz� �c�±¼ �}S� Ã�� Q�� Q¬dg �y ¿TÁ÷½Ä ���� ¾dTg �ÐÐ�Ò� d¼d!  gdm f�y�g ·S�Çn�d¬  gdm Qdu�Ãg c�

Ãg ÃvTnÀ �� ����Án�Ä Q�T! �¯n�¼ ¿TSdê Æ ¬dg �Æ�y fTm�m Ãg a Æ t du�¿Sc �� � �Á� �l¼ ·T¼ lSdÅÁTg Ãg t− a

hk�Ç� �Ãg

O»T�� �l¼ ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¯n�¼ Q �Ãn¬dS »T½¢m «S�¢m

GLDαf(x) = limh→Ó

Ê

hn

t− a

h∑

m=Ó

(−Ê)m Γ(α+ Ê)

m!Γ(α−m+ Ê)f(x−mh). �ÔÐ�Ò�

��Ä� �l¼ ¾d�À RgÇ} �Ãg c� �}¹½¡ ¾�Çg l¢�Ǽ�T¥ l!SÆQ��wSk�Ç� ÃgQ��� ¯n�¼Qc�g ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀc�!«S�¢m

�»Tn�Ä ÃSd�½Ä �d±À ºd½m ��  gdm �S�d±¼ �Á¼�dTÀ ¯n�¼ Ãh�dz¼ Qc�g du�¿Sc �� OxTz� Ãhm�¼ QdÄ �¯n�¼ ª­}�g

¾cÇm �l¼ �TÀ O�À�� «S�¢m Q��� ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ O·SÆÇT¸ �¾d½S� Q��� ¶c�"nÀc «S�¢m �c Â�d­n�c dg Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä

�m �l¢Th� k�Ç� ���� Â�d­n�c ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¶c�"nÀc ¾dTg Qc�g c� ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¯n�¼ «S�¢m

¾cÇÁ¡ Ãg c� �ÐÐ�Ô� Q �Ã�gc� »TÄcÇ~g �!c ��Ç� «S�¢m O−α Ol­Á¼ Q �Ãhm�¼ �c l±n�¼ Ã�l�c ¿Sc Ã�gc� ¿Sc «S�¢m Qc�g

«S�¢m ·S�Çn�d¬  gdm �c Â�d­n�c dg (−nm ) Ã� l�c ¿Sc �Çg »TÄcÇ} ÃucǼ ¾W dg Ã� l½Å¼ ·z�¼ O»TÁ� Âd"À  u�¼ «S�¢m

Ol�c� »TÄcÇ} O»TÄ� ��g c� Qc�ù½u Æ� ¿Sc �!c ��Ç��l½À

−n

m

=−n(−n− Ê)(−n− Ë)(−n− Ì)...(−n−m+ Ê)

m!�ÔÑ�Ò�

ØÑ

Page 22: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÒ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

Ol�ÇÀ k�Ç� ¿Sc �Ãg c� ¬dg Ã�gc� ¾cÇm�l¼

−n

m

= (−Ê)mn(n+ Ê)(n+ Ë)(n+ Ì)...(n+m− Ê)

m!= (−Ê)m (n+m− Ê)!

(n− Ê)!m!. �ÔÒ�Ò�

−n

m

= (−Ê)mn(n+ Ê)(n+ Ë)(n+ Ì)...(n+m− Ê)

m!= (−Ê)m (n+m− Ê)!

(n− Ê)!m!. �ÔÓ�Ò�

OÆ� ¿Sc �c ��c� »T½¢m l­Á¼ l±T±y QdÄ��¡ Qc�g c� �ÔÓ�Ò� �� ·S�Çn�d¬  gdm ¾cÇm �l¼ d¼d!  gdm �c Â�d­n�c dg

−α

m

= (−Ê)mΓ(α+m)

Γ(α)m!. �ÔÔ�Ò�

�»T�� �l¼ ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¶c�"nÀc Ãg Æ �ǽÀ l�SÇÀ�dg−α Qc�g c� �ÔÐ�Ò� ¾cÇm �l¼ �ÔÔ�Ò� ¾��g �d� �Ãg dg ¾ÇÁ�c

GLD−αf(x) = limh→Ó

t− a

h∑

m=Ó

Γ(α+m)

m!Γ(α)f(x−mh). �ÔÕ�Ò�

Æ ·SÆÇT¸ Æ ¾d½S� ��Çm fTm�m Ãg Ã� Ol�c Â�� ÃSc�c Q���kdT�dS� �� dÄ�}¹½¡ ¾dTg Qc�g Q�Ág�¶Ç¼�¬ �ÇÀ Æ� O¾ÇÁ� dm

��ÆW�l¼ ¿Ä� Ãg c� ¶cÇ� ¿Sc ºÇÅ­¼wS Qc�g kÆd­n¼ Q�Ág�¶Ç¼�¬ �Áö ¾dTg ��Àc �Â�� �dÅÁ�Tê ªÇzTÁn¸ Æ �¸cÇÀcÆ�! ¿TÁ÷½Ä

¿Sc ¯T°� l�dS� kdhqc Ã� �Áö�Ä �l�c lhr¼ ¶cÇ� ¿Sc Ãg ÂdmÇ� |�dê ��Á¸�d¢¼ �}S�zS dg «¹n~¼ QdÄ �·z� ¿Sc dSW Ã�

�l�c Â�� Ãn}c��ê �Ç�Ǽ ¿Sc dg Q�n�Tg ·T�­m dg >ÐÒÓOÐÑÑ@ QdÄ � u�¼ �� Æ ��c� Q�dS� l°Æ ª�� Ãg �dTÀ �Ç�Ǽ

«¹n~¼ QdÄ �«S�¢m Æ �c� ��g Q�� k�Ç� �Ãg ¾dz¼c k�Ç� �� c�  gcÇm ¾cÇm �l¼ OÃÁT¼� ¿Sc �� �d� �Âc� wS ¾cÇÁ¡ Ãg d¼c

·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m OdÄ�}¹½¡ ¿Sc �dn}d� Ãg ÃuÇm dg ���� Ã�Sd±¼ »Ä dg c� ÃvTnÀ Æ �ǽÀ ¶d½¡c dÄ �¾W �g c� Q��� ¯n�¼

�� Æ ��Æ��l¼ �d� �Ãg � xa, ex, sin(x)t... �T�À� Â�d�  gcÇm l¹T¹zm QdÄ �ecÇu ¿n¬dS Qc�g O gcÇm Q��� ¯n�¼ Æ ¶c�"nÀc

lÅu Âc� ¿S�m � S�� Æ ¿S�m �lyc� O¿Sc�gdÁg �l�c f�dÁ¼ Q��¡ QdÄ �l���g Qc�g ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! «S�¢m O·gd±¼

�l�c �Æ� Æ� �c ·�dy Q��¡ Æ l¹T¹zm tSdnÀ Q �Ã�Sd±¼ O«S�¢m Æ� ¿Sc ¾�Çg ¶�d¢¼ l���g

ØÒ

Page 23: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÓ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

Q��� l¸c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼ Ò�Ó�Ò

¶Æc �ÇÀ

O�Ä� �l¼ ¾d�À �ÔÖ�Ò� �Ã�gc� Ã�l�c l¹z� Ãg Q��� ¶c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼ �ÇÀ ¿T¸Æc

Ê

Γ(α)

∫ t

Ó

u(τ)

(t− τ)Ê−αdτ = f(t), Ó < α < Ê �ÔÖ�Ò�

Ol�ÇÀ �TÀ �S� ·z� Ãg c� Ã�gc� ¿Sc ¾cÇm �l¼ Ã�

Jαu(t) = f(t). �Ô×�Ò�

Ol�c ·z� ¿Sc Ãg Æ �SW�l¼ l�� �Ãg l!�d��Ãg dÄ�ø�d¢¼ �ÇÀ ¿Sc ecÇu

u(t) = Dαf(t). �ÔØ�Ò�

Ã�T½Ä Ã�l�c� ÃuÇm �Sdg d¼c O���g ¿Ä� Ãg ÇmÇêd� Q��� ¯n�¼ �c Â�d­n�c Ol¸c�"nÀc Q �ø�d¢¼ ¿Sc ·y Qc�g l�c ¿z½¼

�ÄcÇ} Â�c� ¾d�À �­ê¬ ·S�hm �c Â�d­n�c dg üc�c �� ���dg �l½À �c�°�g cDαJαf(t) = f(t) Q �Ã�gc� l�Sc�� �Ä lzm Æ

�� ��� �ÄcÇ} �Äd� ¬dg |�dê �� �TÀ �}S� Q �ù½u wS O�Æ� �d� �Ãg �UU� Q �ø�d¢¼ ·y Qc�g ÇmÇêd� �}¹½¡ �!c Ã� ��

O�ÁÁ� �l¼ c�Tê c� �S� º�¬ ¶Æc �ÇÀ l¸c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼ O�­ê¬ Qd�¬

Jαu(t) = φα(t) ∗ u(t) =⇒ L[φα(t) ∗ u(t)] =u(s)

sα�ÕÙ�Ò�

O��� l�SÇÀ�dg k�Ç� Æ� Ãg c� �ÕÙ�Ò� Q �ÃvTnÀ ¾cÇm �l¼ OQ�hu ��À �c

u(s) = sαf(s) =⇒ s

[

f(s)

sÊ−α

]

�ÕÐ�Ò�

dS

u(s) = sαf(s) =⇒ Ê

sÊ−α[sf(s)− f(Ó)] +

f(Ó)

sÊ−α. �ÕÑ�Ò�

ØÓ

Page 24: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÔ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

O»T�� �l¼ �S� Q �Ã�gc� Ãg O¾d¼� Qd�¬ Ãg ¶Æc ·z� ¾�Àc��!�g dg

u(t) =Ê

Γ(Ê− α)

d

dt

∫ t

Ó

f(τ)

(t− τ)αdτ = f(t), �ÕÒ�Ò�

·z� ¾d¼� Qd�¬ Ãg ·S�hm ¶d½¡c dg �·SÆÇT¸ �¾d½S� �}¹½¡ Q�T!�d� �Ãg dg ø�d¢¼ ·y �c ·�dy ecÇu dg l�c ¶�d¢¼ Ã�

O�Ç��l¼ ·�dy �S� Q �ÃvTnÀ �TÀ OºÆ�

u(t) =Ê

Γ(Ê− α)

∫ t

Ó

f (Ê)(τ)

(t− τ)αdτ = f(t) + f(Ó)

t−α

Γ(Ê− α)�ÕÓ�Ò�

t = Ó ��  gdm �c�±¼ Ãg Ãn�gcÆ Q �ù½uwS O�� Â�d�c �TÀ ­h° Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä d¼c Ol�c ÇmÇêd� ¯n�¼ k�dh¡ ¿Sc ¶Æc Q �ù½u

�l�c Â�� �Äd�

ºÆ� �ÇÀ

O�Án�Ä k�Ç� ¿Sc Ãg ºÆ� �ÇÀ l¸c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼

u(t) +λ

Γ(α)

∫ t

Ó

u(τ)

(t− τ)Ê−αdτ = f(t) =⇒ (Ê+ λJα)u(t) = f(t) �ÕÔ�Ò�

Ol�c k�Ç� ¿Sc Ãg �ÕÔ�Ò� |�dê

u(t) = (Ê− λJα)−Êf(t) = (Ê−∞∑

n=Ê

(−λ)nJαn)f(t) = f(t) + (

∞∑

n=Ê

(−λ)nΦαn) ∗ f(t). �ÕÕ�Ò�

OÃ� �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ �ÐÖ�Ò� �c Â�d­n�c dg

Eα(−λtα) =∞∑

k=Ó

(−λtα)k

Γ(αk + Ê)�ÕÖ�Ò�

ØÔ

Page 25: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÕ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

�ÕÕ�Ò� �� ·�dy Q �ÃvTnÀ Æ �Ç� �l¼ ª�y Eα(−λtα) ü��g B¶Æc Q �ù½u O�ÕÖ�Ò� ¶Æc Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ ¾��ÆW l���Ãg dg

Ol�c� »TÄcÇ} ·z� ¿Sc Ãg c� ºÆ� �ÇÀ l¸c�"nÀc Q �ø�d¢¼ ·y Q �ÃvTnÀ OÆ� ¿Sc �c ��SW�l¼ l�� �Ãg

u(t) = f(t) +d

dt[Eα(−λtα)] ∗ f(t) �Õ×�Ò�

O»TÁ� �l¼ �Æ�� �ÕÔ�Ò� QÆ� �­ê¬ ·S�hm ºdvÀc dg �»T�� �l¼ ÃvTnÀ ¿T½Ä Ãg �TÀ �­ê¬ ·S�hm �c Â�d­n�c dg

L [(Ê+ λ)αu(t)] = L [f(t)] → [Ê+λ

sα]u(s) = f(s). �ÕØ�Ò�

�� ·�dy |�dê ·z� Ãg c� d¼ �d} l¸dy wS d¼c O��� l�SÇÀ�dg «¹n~¼ QdÄ �k�Ç� Ãg ¾cÇm�l¼ c� �ÕØ�Ò� Q �ø�d¢¼

��Àd���l¼ �Õ×�Ò� Q �Ã�gc�

u(s) =

[

ssα−Ê

sα + λ− Ê

]

f(s) + f(s). �ÖÙ�Ò�

Qc�g �­ê¬ ·S�hm º�¬ �c �Sdg �Ç�Á¼ ¿S�g ��Ç��l¼ Â�Àc��!�dg  gdm �Ç} l¸Ç½¢¼ Qd�¬ Ãg �ÖÙ�Ò� Q �ø�d¢¼ Q�¢g ºd! ��

��ǽÀ Â�d­n�c �ÖÐ�Ò� Q �Ã�gc� O�¹­¸ ��dnT¼  gdm �c l�d} k�Ç�

L [Eα(−λtα)] =sα

sα + λ. �ÖÐ�Ò�

O��c� �c�° l�c�g ·}c� �� �ÖÙ�Ò� Q �Ã�gc� éö l½� �� Ã� Ãö �¾W O�S� ¾cÇm �l¼ lnyc� �Ãg O�ÐÕ�Ò� Q �Ã�gc� �c Â�d­n�c dg

O�}S� lm�dh¡ Ãg Tl�TÀ �ÖÐ�Ò� Q �Ã�gc� éö l½� ¶Æc Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ �­ê¬ ·S�hm �u Q�Tö

L[

E(Ê)α (−λtα)

]

=sα−Ê

sα + λ− Ê. �ÖÑ�Ò�

¾d½Ä Ãg �vÁ¼ �ÖÙ�Ò� Q �Ã�gc� �Ç�¢¼ ÃÀÇ}ö Ã� �Ç��l¼ Â�S� O�ÐÓ�Ò� �� �­ê¬ ¿�ǸÆÇÀd� «S�¢m �c Â�d­n�c dg

��Ç��l¼ �ÕÖ�Ò� Q �ÃvTnÀ

ØÕ

Page 26: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

ØÖ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

Q��� l¹T�Àc�­S� QdÄ �ø�d¢¼ Ó�Ó�Ò

>ÐÑÒ@  u�¼ �� Ã� O�Án�Ä Q�n�Tg ÃuÇm ��Ǽ �S� ø�d¢¼ �ÇÀ Æ� d¼Ç½¡ OwT�­� l�} ¶Ç½¢¼ ·T�Àc�­S� QdÄ �ø�d¢¼ ��

OÂ�� �dS оd�ÇÀ Æ �¹ÄcÆ QdÄ �ø�d¢¼ ¾cÇÁ¡�Ãg dÄ�¾W �c

u′(t) = −u(t) + q(t)

u′′(t) = −u(t) + q(t). �ÖÒ�Ò�

�»TÁ� �l¼ �dS ºÆ� Æ ¶ÆcQ �Ãhm�¼ ·T�Àc�­S�QdÄ �ø�d¢¼ ¾cÇÁ¡ Ãg fTm�m Ãg dÄ �¾W �c O»TÁ� �l¼lhz� ø�d¢¼ Æ� ¿Sc ��Ǽ �� ln°Æ

��c� ¾d�À Q��� �"Àd�ÇÀ Æ Q����¹ÄcÆ º�¬ ¾cÇÁ¡ �d�n}c dg ¾cÇm�l¼ �TÀ Q���kdT�dS� �� c� ø�d¢¼ Æ� �Sd½m ¿Sc

Ê < α ≤ Ë ºÆ� Ãn�� Q �Ãhm�¼ �d�nÀc ¯h� Æ ��dg �l¼ Ó < α ≤ Ê ·T�Àc�­S� ø�d¢¼ Q �Ãhm�¼ O¶Æc Ãn�� k¬�d¢¼ ��

���dg �l¼

O�Án�TÀ kÆd­n¼ »Ä �c Æ ·±n�¼ ­¼d� ºÆ� Æ ¶Æc Q �Ãhm�¼ Q �ø�d¢¼ Æ� ¿Sc |�dê OxTz� Q �Ãhm�¼ dg QdÄ �ø�d¢¼ ª­}�g d¼c

QdÄ �ecÇu l���g Qc�g �}S�zS �c ø�d¢¼ Æ� ¿Sc ¾��� c�u Ãg Q�dTÀ Æ� ¿Sc �c ��Àc �Â�TÁm »Ä �� Æ Ãn�c� �dhm�c »Ä Ãg Ãz¹g

O��� ¾dTg �S� l¹� ·z�wS Ãg ¾cÇm �l¼ c� l�} Q��� l¸Ç½¢¼ ·T�Àc�­S� Q �ø�d¢¼ ���c�À �ÇuÆ dÄ�¾W

Dα∗u(t) = Dα

(

u(t)−m−Ê∑

k=Ó

tk

k!u(k)(Ó)

)

= −u(t) + q(t), m− Ê < α ≤ m. �ÖÓ�Ò�

¿Sc ¾��g �d� �Ãg dg O�� Ãn­! �TÀ ­h° Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä �l�c Â�� Â�d­n�c ÇmÇêd� ¯n�¼ �}¹½¡ �c du �¿Sc �� Ã� »TÁ� �l¼ Q�ÆW�dS

��À�T! �l¼ �c�° Â�d­n�c ��Ǽ xTz� Q �Ãhm�¼ dg ÃT¸Æc �Sc�� O�}¹½¡

�ÖÓ�Ò� ¾cÇm �l¼ O�ÓÔ�Ò�Q �Ã�gc� Ãg ÃuÇm dg �l�c�­ê¬ ·S�hm �c Â�d­n�c O�ÖÓ�Ò�Q �ø�d¢¼ ·yQc�g�Æ� ¿S�m �»T±n�¼

O�ǽÀ l�SÇÀ�dg �S� k�Ç� �Ãg c�

sαu(s) =

m−Ê∑

k=Ó

sα−k−Êu(k)(Ó) = −u(s) + q(s) =⇒ u(s) =

m−Ê∑

k=Ó

sα−k−Ê

sα + Êu(k)(Ó) +

Ê

sα + Ê�ÖÔ�Ò�

Ð 7KH 5HOD[DWLRQ DQG 2VFLOODWLRQ )RUPV

ØÖ

Page 27: Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti Universityfacultymembers.sbu.ac.ir/jafari/farsi/wp-content/uploads/... · 2019. 2. 14. · ÖÓ Q—− kdh›dz…Vd”`… — Ò —×ÕÕŒ—×ÑÕ

Ø× Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò

O��  ½u c� Q�� ·}c� QdÄ �ù½u ¾cÇm �l¼

sα−k−Ê

sα + Ê=

Ê

sαsα−Ê

sα + Ê= L

[

JkEα(−tα)]

�ÖÕ�Ò�

O¿TÁ÷½Ä

Ê

sα + Ê= −(s

sα−Ê

sα + Ê− Ê) = L

[

d

dt[Eα(−tα)]

]

�ÖÖ�Ò�

Ãg c� �ÖÔ�Ò� Q �Ã�gc� ¾cÇm �l¼ O�Ç�¢¼ �­ê¬ ·S�hm «S�¢m Qc�g O�ÖÖ�Ò� Æ �ÖÕ�Ò� QdÄ �Ã�gc� �c Â�d­n�c dg ºdvÀc��

O��ÆW l���Ãg ·z� ¿Sc Ãg c� Q��� l¸Ç½¢¼ ·T�Àc�­S� ø�d¢¼ ecÇu lSdÅÀ �� Æ O��� ·S�hm u(t) Qc�g lm�dh¡

u(t) =

m−Ê∑

k=Ó

JkEα(−tα)u(k)(Ó)− q(t) ∗ E′

α(−tα). �Ö×�Ò�

Ø×