Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti...
Transcript of Thesis Hadiseh Safdari - Shahid Beheshti...
ºÇ� ·�¬
Q���kdT�dS�
O�Ç� �l¼ ·�dy ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ Qc�g ¶Æc�n¼ QdÄ �«S�¢m �c Ã� l�c kdT�dS� �c Qc�Â�Çy� Q��� kdT�dS�
lÅu ��Ç��l¼ ·�dy xTz� �S�d±¼ Qc�g gdm ¿Sc «S�¢m �c OxTz� �T¥ �S�d±¼ Qc�c Ãg Ã� lÀcÇm gdm �ÁÀd½Ä l���
wS Qc�c Ãg lÀcÇm gdm O»Sc�Ãn}ǼW ¾dn��Tg� �� Ãö �¾W ¯h� ��S�T}g ��À�� c� lÀcÇm gdm lzS�T¬ ºÇż Of¹�¼ ¾�� x�cÆ
��À Ãg Â�d� ¶Æc Âd"À �� �Th¢m ¿Sc �l�c ��Ç} �� xTz� ��¡ wS ��z¼ e�� ¾�c� ¾d�À Qc�g Q�d½À OxTz� ��¡
k�dh¡ Ã� �l¸dy�� ��� »TÄcÇ} ÃucǼ ·z�¼ dg O»S�T}g ��À �� xTz��T¥ Q��¡ Qc�c Ãg c� RSd½À gdm �!c d¼c O����l¼
Q �Ãhm�¼ π dS ÌÕ Í e�� T��� ¾dTg c� xπlny dS xÌÕÍ lzS�T¬ QdÁ¢¼ ¾cÇm�l¼ ÃÀÇ}ö Ol�c ��� ·gd° ¼d� xÌ = x.x.x
dÄ �Q�� ��g ��Çm Ã� ��c� lÁT¢¼ �c�±¼ Qc x �Ä Qc�c Ãg k�dh¡ ¿Sc Ã� �Áö �Ä l�TÀ ��� ·gd° ��Ç} �� ��¡ wS
Ã� �Áö �Ä �»TÁ� �l¼ l���g c� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ OÂÇT� ¿T½Ä Ãg ¶dy �l�c ¿TT¢m Æ l���g ·gd° ed�y ¿T�d¼ lny Æ
¼d� dÄ�}¹½¡ ¿Sc �Sc�� Ãg �!c ��ǽÀ ¾dTg c� dÄ �¾W QdÁ¢¼ RgÇ} �Ãg ¾cÇm �l¼ �ÇÁÄ d¼c O�À�c� lmÆdn¼ Æ �m �Â�T÷Tê lTÄd¼
Qc�g ¾cÇm �l¼ O� gdm l"n�ÇTê �ÁÀd¼� dÄ �¾W QÆ� �g ��� �Áö ¶d½¡c dg ��Çg �ÄcÇ~À �cÇ�� ¾d� �»T½¢m Q �Â�Sc O»T�dg �¹�¼
xTz� �T¥ n �!c OÃ� �Ç� w��¼ �ÀcÇm�l¼ ���ê ¿Sc Â�dgÆ� d¼c �l�c� c� e�� Ãhm�¼ n �T�m ¾d½Ä »Ä ¶c�"nÀc Ãhm�¼ n
Ã� �S� »TÄcÇ} d¼c Ol�c �cÇ�� Q�d� lzS�T¬ QdÁ¢¼ ¿TThm Ã� �Ç� �Ç�m l�c ¿z½¼ »Ä ��Ǽ ¿Sc �� ��Ç��l¼ Ãö ��dg
�ÁSW �l¼ l�� �Ãg l¸Ç½¢¼ kdT�dS� �� dÄ �¾W ��dÁn¼ QdÄ�}¹½¡«S�¢m ¶� �c �TÀ Q��� Q �Ãhm�¼� �c ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡
��À�Ç}�l¼ »�ö �Ãg � ·Sd�¼ Æ dÄ �ø�d¢¼ �c Q�dT�g �� Æ
ÖÑ
ÖÒ Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ �Ð�Ò
��Ð××ÑêÐ×ÙØ� QÇ�Àc�¬ ¾c�T�dS� O·SÆÇT¸ ª�Çu �Ð�Ò ·z�
Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ Ð�Ò
¾d¼��»Ä dhS�±m ¾W »TÄd¼ Ãg Q�Á¼ �ð¡ �l�TÀ �S�u l¼Çż ÃuÆ õTÄ Ãg xTz� �T¥ Ãhm�¼ �c Q�T! �¶c�"nÀc Æ Q�T! �¯n�¼Ñ¶dnTêÇÄ Æ Ð�nTÁhS¬ ¾dT¼ QdÄ �l�c��dS �� Â�Sc ¿Sc Ã� �Q�Ç� Ãg ���Ç}�l¼ »�ö Ãg wT�� kdh�dz¼ ¾�� Ãn}dÁ� dg
�� �!c �Ç��l¼ Ãö Ã� �Á� �l¼ ¶cÇ� �nTÁhS¬ �c ¶dnTêÇÄ Ol�c Â�� ¶d��c ÐÕØÔ ¶d� �� Ã� üdÀ ¿Sc �� ��Ç��l¼ w��¼
Ok�Ç� Ãg Ã� gdmwS ºcn Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ «S�¢m
Dnf(x)
Dxn���
·�dy ¾W �c Q�T¼ tSdnÀ Q�Æ� Ã� l�c Q�dz�W �°dÁm ¿Sc Ã� �Ä� �l¼ |�dê �nTÁhS¬ ���dg n = ÊËO�Ç� �l¼ ¾dTg
Â�Æ�¼c �Áö�Ä Æ ��� �¸Çn¼ Q���kdT�dS� dÄ �Ãhmdz¼ ¿Sc dg fTm�m ¿Sc Ãg Æ �l}c��ê ÃÁT¼� ¿Sc �� lmdh�dz¼ Ãg Æ �Ç��l¼
c�ngc �� �n�TgwTmd½n�T��Tgd½� QdÄ �â¸d�¼ ��Ç��l½À Â�Äd�¼ l�°dÁm d¼c »TÁTg �l¼ c� kdT�dS� ¿Sc �c lÀcÆc�¬QdÄ��g�d�Ö�zSÆ��¬ O�ÐÖÖÑ� ÕÀc�!¬ OÔÃS�Ǭ O>ÐÒÙ@ �ÐÖÒÙ� Ó�¹SÆc O>ÐÑØ@ �Ð×ÒÑ� Ò·SÆÇT¸ ��Çm »Ä��ÇÀ ¾�° Q �ýTÀ Æ
Ð /HLEQL]
Ñ /¶+RSLWDO
Ò /LRXYLOOH
Ó (XOHU
Ô )RXULHU
Õ /DJUDQJH
Ö /DFURL[
ÖÒ
ÖÓ Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ �Ð�Ò
��Ð×ÕÕêÐ×ÑÕ� lÀd½¸W ¾c�T�dS� Æ ¾c�zS�T¬ O¾d½S� ��dÀ�g s�u �Ñ�Ò ·z�
Ã�Ty ¿Sc �� Q�c�¬c �TÀ �T}c QdÄ �¶d� �� lny Ol¬�!k�Ç� �Ð×ÕÓ� Ѿ�}½¸ÇÄ Æ >ÐÒÐ@ �Ð×ÓÖ� оd½S� O�Ð×ÐØ�
��Àc �Â�Çg »TÅ�
�g �}¹½¡ ¾��ÆW ��cÆ dg c� l��g ¿TÁö q Ãhm�¼ ¯n�¼ Æ �c� ��g RSd½À gcÇm f�y�g c� gcÇm Ã� �Çg l�~� ¿T¸Æc ·SÆÇT¸
wS ·¼d� ��� Ãac�c lmÆdn¼ «S�¢m ¾d½S� �l�c lhr¼ xTz� ��¡wS q dSÇ! Ã� Qc�ÃÀÇ! �Ãg O���«S�¢m k½uwSdzS
¿T¸Æc Ó�c�� Æ Ò�¸cÇÀcÆ�! c�Äd� ��Çg c�c� c� xTz� �T¥ Qd½À dg lÀcÇm QdÄ �Q�� ��Ǽ �� ��g�d�lT¹gd° Ã� ¿T¢¼ ¶c�"nÀc
Ãn�W ·SÆÇT¸ l¬dTÄ� �g �ÇuǼ QdÄ �lS�Æ�z¼ �c Ã� �¸cÇÀcÆ�! ��À��� ·S�hm Ãö�dëzS l¼�¬ Ãg c� ·SÆÇT¸ Æ ¾d½S� tSdnÀ �dg
Qc�g ¿T¢¼ ¶c�"nÀc ¶Ç¼�¬ Ãg Æ ��� «S�¢m ÔQ��� ·�dm wS �y k�Ç� Ãg c� ¯n�¼ O�Æ�� Ã�±À ¾cÇÁ¡ Ãg O�Çg Â��
¾d½S� ¿T¢¼ ¶c�"nÀc Ã� �c� ¾d�À OxTz� Ãhm�¼ ¯n�¼ Qc�g l�Ç� ¶c�"nÀc ¶Ç¼�¬ �c �Æ�� dg�c�� ��T�� ºc q Ãhm�¼ ¯n�¼
�Æ�z¼ ¿TSdê �y õTÄ ·SÆÇT¸ «S�¢m �� Ã� �lm�Ç� �� Tl�c �Æ�z¼ ¿TSdê �y wS Qc�c� Ã� �Ç� �T�m ÃÀÇ! �¿Sc �Sdg
�l�c lSdÅÀ�Rg lÁ¼ ¿TSdê �y Ã� �¿Sc dg l�c ¶�d¢¼ ¿Sc Æ �Ç��l½À �Äd� l�~�¼
�� dÄ �¿Sc ¿T¸Æc ��Çg Â�� �d¥W �TÀ «¹n~¼ ·ad�¼ �� Q��� QdÄ �Ãh�dz¼ Q�T!�d� �Ãg OQ�Çbm «S�d¢m ¿Sc kc�cǼ Ãg
¯n�¼ wS Ãg l¸c�"nÀc ·S�hm wS ¯S�� �c Ö¾Æ��Çmdm Qc�g l¸c�"nÀc ø�d¢¼ ·y ¾W �� Ã� �� ºdvÀc Õ·gW ��Çm Ð×ÑÒ
Ð 5LHPDQQ
Ñ +ROPJUHQ
Ò *UXQZDOG
Ó .UXJ
Ô 7KH OLPLW RI D GLIIHUHQFH TXRWLHQW
Õ $EHO
Ö 7DXWRFKURQH
ÖÓ
ÖÔ Q���kdh�dz¼ Vd�Á¼ �Ð�Ò
�� �~�¼ l¹ad�¼ ·y Qc�g Ã� �ÐØÑÙÆÐ×ØÑOÐ×ØÒ� Ð�Sd�SÆÇÄ lmdT¹½¡ QdÄ �Ãh�dz¼ ��Çg ¿z½¼ Ê/Ë Ãhm�¼ �c
�� c� Q��� Q�T! �¯n�¼ QÆ T�Çg l¹� Ãhm�¼ dg ¯n�¼ ��g�d� �� Q�¢g ºd! ¿S�m �»Å¼ Ol¬dS��n�!�T�dÁ¦¼Æ�nz¸c Q�Çbm
¾�° �� ��c� �c�° Â�dn�c ��Ǽ mÀd��� ·ad�¼ �� c� ºÇż ¿Sc �ÐØÒÕ� ÑlÀd½! ���g �dzg ¶d±nÀc �Ç�} Q�Çbm l���gÓQ��dÄ O�ÐØÐÖ� Ò·ScÆ �l�c Ãn¬�! k�Ç� Q��� kdh�dz¼ ��g�d� �� »Ä Æ Q�Çbm �� »Ä Qc�Â�½¡ QdÄ ��m O�T}c
�d} gcÇm QdÄ �¯n�¼�¶c�"nÀc l¢Th� d¼c ÂSÆ Q�y dm �cÇ} �c l}�g �ÐØÔÒ� Õ�Ámd� Æ �ÐØÓÙ� Ô�gÇ� O�ÐØÐÖ�
��À�Ǽ�W c� ×�nT�T¸ Æ Öw�h¸ QdÄ ��� Ãg ¯¹¢n¼
¶d� �Áö dm d¼c O��c� ¾�° Ã� Q �Â�c�Àc Ãg ln¼�° l¸Ç½¢¼ �hu �ÁÀd½Ä Q��� ¶c�"nÀc Æ ·Ï�Àc�Î� ed�y Ã� ¿Sc �ÇuÆ dg
Æ� kd±n�¼ Ã� l�c ¿Sc �� pzg ¿Sc RSdhS� �l�c Ãn�c�À Q�dS� lTgÇhz¼ l��Áż Æ l½¹¡ Q �â¼du ¾dT¼ �� OÃn��!
Æ Ã�¬dy �T�À RSdÄ �l!SÆ �ÁÀcÇm �l¼ Æ� �¿Sc �c T�Án�TÀ �Qc�Ã�±À dS� l¢�Ǽ �lT½� dS� lT�d} wS Q��� �QdŸc�"nÀc
Q�mdSÇ! ¾dg� Æ �ÁÁ� l¼ «T�Çm �nÅg c� l¢Th� lT¢°cÆ dÄ�}¹½¡ ¿Sc Ã� l! ¾cÇng �Sd� Æ �ÁÁ� ��cÆ c� lT¢�Ǽ�T¥
QdÄ �Â�Çy �c l}�g �� �T}c ¶d� ¿S�Áö �� dÅÁm Æ l�c Â�Çg dÄ�¾c�T�dS� ÃuÇm ��Ǽ �n�Tg Ã�Ty ¿Sc ¾ÇÁ�dm ��Án�Ä ¾W Qc�g
Ol�c ¿n¬�!k�Ç� ¶dy �� ¾W QdÄ��g�d� Æ Ã�Ty ¿Sc �� Ã� RSdÄ �l¬��Tê dg �l�c Â�� ��cÆ �d�n°c Æ ºÇ¹¡ Ol��Áż
��Á�dg ¾W �c l�~g dÅÁm l¸Ç½¢¼ kdT�dS� Ã� �Ä� ·z� c� l¹¼d� Q �Â�Çy Â�ÁSW �� Ã� ��c� �ÇuÆ ¾dz¼c ¿Sc
l¸Ç½¢¼ ¯n�¼ O¶dr¼ ¾cÇÁ¡ Ãg �»S�c��ê �l¼ ÃÀǽÀ wS ¾dTg Ãg l¢Th� ·¼d� «T�Çm �� »¹¡ ¿Sc k��° ¾�c� ¾d�À Qc�g
�dT�g Qd�¬wS �� l�dhÀc Æ ªmc {�À ·�dm lm�dh¡ Ãg dS Tl�c l�dhÀc dSªmc {�À Q �Â�ÁÄ� ¾d�À ddt ¾d¼� Ãg lh�À
Qc�ÃÀÇ! Ãg ��c�Àc ºc� Ãg c� l���g ��Ǽ kc�� Ã� ��dg Ãn�c� �ÇuÆ Q��wöÇ� Qd�¬ ¿Sc �� �!c ¶dy ��Æ�z¼ ÆwöÇ�
¯n�¼ �}S� O��dhÀ ¿z½¼ ÃTydÀ ¾W Ãg kc�� �Æ�Æ Ã� ��dg Ãn�c� �ÇuÆ Qc�áÇÁ½¼ lycÇÀ dS O�ÀÇ� «°Çn¼ du�¾W �� lm�¼ Ã�
Ã� l�c α ∈ ,5 Q �Ãhm�¼ dg dα
dtα Q��� ¯n�¼ ¿Sc k�Ç� ¿Sc �� ��Àd���l½À c� l�dhÀc dS ªmc {�À ºÇż ddt l¸Ç½¢¼
��Ä� ¾d�À c� ªmc dSl�dhÀc {�À Ø�S� �c�¬ �ÀcÇm�l¼
Ð +HDYLVLGH
Ñ *HPDQW
Ò :H\O
Ó +DUG\
Ô .REHU
Õ .XWWQHU
Ö /HEHVJXH
× /LSVFKLW]
Ø 6XSHU�6XE 5DWH
ÖÔ
ÖÕ lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ �Ñ�Ò
lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ Ñ�Ò
OlÀÆc�g l��y OÃS�Ǭ Qd¼�! ��d� O¾ÇmÇTÀ O¶Ç��d¼ O�"ÁS�Æ�� k¬�d¢¼ ·¼d� Ol��Áż Æ wS�T¬ ·ad�¼ �c Q�dT�g
��À�� �S� k�Ç� �Ãg lzT¼dÁS� ¶Çzm k¬�d¢¼ Qc�g ÃT¸Æc ��� ·ad�¼ k�Ç� �Ãg ¾cÇm �l¼ c� ���Æ lzS�T¬ÇTg QdÄ �»n�T�
�l¬�!
d
dtf(t) = Bf(t) ���
Qc�ÃSdê »TÄd¼ Q �Â�À�c��g�� O¶Çzm wT�� ø�d¢¼ ¿Sc �l�c {dÀdg Qd�¬ �� �}¹½¡ B Æ ¾d¼� �"Àd�À t ∈ ,5 Ã�
¾cÇÁ¡ Ãg �ÀcÇm �l¼ Ãz¹g O��dg ¾d¼� QÆ�wS Ãhm�¼ �c ø�d¢¼ ¿Sc Ã� l�TÀ Q�dTÀ �l�c ¾�d±m Æ lT¢�Ǽ OQ�S�ê�l�!�dg
���dg g gdm Qc�g sǼ ø�d¢¼ ¶dr¼
∂Ëg
∂tË= cË
∂Ëg
∂xË. �Ò�Ò�
¿Sc �� �»S�T! �l¼ ��À�� c� O�ycÆ �� Q�cǼ lT¬�� Æ l¸cÇn¼ RSd±¸c�Ç} Qc�c� Oªmc ¾Æ�g ¶d±nÀc �Ç�} OÃÀǽÀ ¾cÇÁ¡ Ãg
�l�c� »TÄcÇ} c� �S� sǼ ø�d¢¼ OCË = (LC)−Ê Æ l�c �ycÆ Ãn}dS �Ä �� �dn¸Æ ªn}c Og(x, t) = v(x, t) Ok�Ç�
∂Ëttv = (LC)−Ê∂Ëxxv. �Ó�Ò�
ø�d¢¼ »T½¢m �l�c Q�¢g QdÄ �¾d¼� �� f(t) �S�ê�Â�Äd�¼ dSl¸dy ¿n¬dS OÆ���Tê ød�¼ Of(Ó) = fÓ OÃT¸Æc �c�±¼ Ãg Ãn�g
���c��g�� c� �S� ÃvTnÀ OQ��� ·T�Àc�S� k¬�d¢¼ Ãg ¶Çzm
dα
dtαf(t) = Bf(t) �Ô�Ò�
ÖÕ
ÖÖ lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ �Ñ�Ò
�wTêÇz�Æ�zT¼ ÆwTêÇz�Æ��d¼ �S� �c Â�du �� dÄÆ��Ç} l��y Qd½À �Ò�Ò ·z�
l"n�Sdê Æ ¾�d±m Ol¢�Ǽ�T¥ �dn¬� ��Ǽ �� Q�dTÁg k¬cÇ� Okd±n�¼ ��¹n~¼ lny dS� Q��� Ãhm�¼ Ãg ÃuÇm dg Odu�¿Sc ��
Q�d� ¶W Â�ScwS Q�S�ê�l�!�dg ��Á�dg �S�êdÀ �l�!�g lzS�T¬ »n�T�k¬Çzm ºd½m Ã� »TÁ���¬ ��Ç��l¼ w��¼ ¿Ä� ��
�Tqdm Q��� ¯n�¼ Ãhm�¼ ���c� �ÀǼc�Tê �Tz¼ Æ Ãn��! �c »n�T� ¾�Çg c�v¼ ¾c�T¼ Ãg l"n�g ¾W ��g�d� Æ �dhn¡c Tl�c
Q�}¹½¡ Ã� l�dÁ¢¼ ¿S�g Æ �Ç��l¼ ·�dy Q��� ¶c�"nÀc �d�c �g Q��� ¯n�¼ ��Á� �l¼ Q�Ág�ñh� Æ ¿TT¢m c� Ãn��!
Ãhm�¼ dS� Q��� kd±n�¼ �� �ycÆ Ãhm�¼ Qc�g ���c� »n�T� ·h° QdÄ �¾d¼� kd¡�c Ãg �dTÀ Æ Â�Çg lT¢�ǼdÀ l¹�} dg
�dTÀ ��Ǽ ¶dy ¾d¼� kd¡�c �±¬ ¾W l���g Qc�g Ã� ºÇż ¿Sc Ãg O��c� c� �Tqdm ¿S�n½� »n�T� Q �Ã�¬dy �wS xTz�
«S�¢m �� �¼c ¿Sc Ã� Q� »TÄcÇ} �l�c »n�T� Q �Ã�¬dy dS Ãn��! Q¬dg �Tqdm Q �Â�ÁÄ� ¾d�À α wöÇ� �S�d±¼ �l�c
�n�Tg l¹h° QdÄ �¾d¼� k½u ¾�Æ O��dg �m �wöÇ� Q�T! �¯n�¼ Ãhm�¼ ��±ö�Ä Ol�c Â�� ��cÆ �TÀ ªÇ�ÁTn¸ ��¸cÇÀcÆ�!
��Ç��l¼
lzS�T¬ QdÄ�ÁSW�¬ Æ Q��� kdh�dz¼ ¾dT¼ �dhm�c l½� lÁÄ� �Sd¼�W wS w�� dg Ol½�° ¿Sc �� lÁÄ� �Sd¼�WwS
c� dÄÆ��Ç}wT¬c�m l��y O»TÁ� Âd"À �Å�wS QdÄ �Â�du Ãg d½TêcÇÄwS ·}c� �c �!c ��c� »TÄcÇ} ·T�m c� �~ê ù½u�c
lÁzÁ¼ O��dÀwS ¾cÇÁ¡ Ãg ¿Sc�gdÁg ��Á� �l¼ l��y »T±n�¼ �}wS QÆ� �g Æ��Ç} �Ä dSÇ! Ã� Q�Ç� O��� »TÄcÇ} Â�Äd�¼
wSk�Ç� �Ãg c� ¾W Ã� »S�ÆW �l¼ l�� �Ãg RSdvgdu Qc�gwS Ãhm�¼ �c xTz� ¯n�¼ ¿n¬�! dg l!�d��Ãg c� Æ��Ç}wSl¡��
�T�¼ Æ� �� l��y ¶dy �� QdÄÆ��Ç} l¡�� lÁzÁ¼ OQ�cǼ »T±n�¼ �} Æ� �Ò�Ò� ·z� �� �l¬dS »TÄcÇ} l�c� �}
��Ç��l¼ Â�S�wTêÇz�Æ��d¼ �dT±¼ �� Ã� �¾dÁö O�ÁÄ��l¼ ¾d�À c� Â�du ¿TSdê Æ ¬dg Ãg Æ�
QdÄ �Q�cǽÄdÀ Æ ÀcǼ �c �Çh¡ Qc�g Ã� »TÁTg �l¼ T»TÁ� �l¼ Â�Äd�¼ c� Æ��Ç} ¿T½Ä Q �Ãn�ÇTê l��y O�m �wS��À RSd½À �c d¼c
¾d�À c� ød�¼ ¿Sc �Ò�Ò� �SÇ�m �� l¹}c� lÁzÁ¼ ��Á� �l¼ l��y �l!c�}S�� »T±n�¼dÀ Q�T�¼ �� OÂ�du �� �ÇuǼ
Ãn�ÇTê �T�¼ wS d¼c O�Án�TÀ �}S�zS dg Q�cǼ �} Æ� �}S� O�T�¼ Æ� �� ��zn¼ QdÄÆ��Ç} l¡�� lÁzÁ¼ ��Ä� �l¼dÊ+α
dtÊ+αdS �Ä� �l¼ c� dÄÆ��Ç} l¡�� l¢°cÆ �SÇ�m dx
dt Ã� �Ç��l¼ w��¼ ¶cÇ� ¿Sc Odu�¿Sc �� ��ÁÁ� �l¼ ¶dhÀ� c� �S�êdÀ �¯n�¼
k�Ç� Ãg lÁÄ� �Sd¼�W ¿Sc �� Ã� l¡�� �¢g ød�¼ ¶dy �l�c Æ��Ç} l}S�}S� l��y l¢°cÆ �Sd½À OÓ < α < Ê dg
ÖÖ
Ö× lT¢�Ǽ�T¥ Æ Q���k¬�d¢¼ �Ñ�Ò
¾d�À dxdt O»T�dÁ� �l¼ ¾d¼� �c Ã� l¸Ç½¢¼ ºÇż �� �l�c �}S� l¸cÇ� �Ç�Ǽ Ol�c Â�� ��cÆ RSdvgdu Q��� ¯n�¼
¿Tg Ã� c� Q��� ¯n�¼ ¿Sc ¾cÇng �Sd� �l�c �cÇ�� dÊÕËÌxdtÊÕËÌ
QdÁ¢¼ ��� d¼c Ol�c edn� �! �¾dTg dËxdtË
Æ l¡�� Â�ÁÄ�
�Sd¼�W �� Ã� l!c�}S� l��y QÇ}¸c ���� �Th¢m Ãn¬dS ·S�hm lÀd¼� �dT±¼ �� l¡�� ¾cÇÁ¡ Ãg Ol�c edn� Æ l¡��
Q���kdh�dz¼ Æ l¸dn�c�¬ �¢g Ã�gc� ��S�êdÀ �¯n�¼ Æ Ãn�ÇTê gdmwS O�Ç��l¼ Â�ÀcÇ} l¸dn�c�¬ lÁzÁ¼ O�� w��¼ lÁÄ�
xT�Çm Qc�g l¸¬�n�c O�� w��¼ ¬dg �� Ã� lzTêÇz�Æ��d¼ Âd!�S� �l�c ��dy ��¡ �� Qc�Â��n�! kd¢¸d�¼ ÃÁT¼�
Qc�g Q�c�gc �ÀcÇm �l¼ Q��� kdh�dz¼ dSW Ã� �¿Sc ��Ä� �l¼ xTz� Ãhm�¼ dg kdh�dz¼ �� Ol¢Th� �� l"ÁT�m Æ l"n�ÇTêdÀ
l¬�¢¼ l¸d½uc k�Ç� �Ãg c� Q��� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ O·�¬ ¿Sc �� �l�c »Å¼ l¸cÇ� O��dg l"ÁT�m Æ l"n�ÇTêdÀ «T�Çm
wS ¿�ǸÆÇÀd� �Ç} OÓJαt f(t) Q��� ¶c�"nÀc Ã� �Ç��l¼ «S�¢m Q��� ¶c�"nÀc ¯S�� �c Q��� ¯n�¼ ��ǽÀ »TÄcÇ}
φα(t) Æ��zn¼ QdÄÆ��Ç} l¡�� f(t) Od¼ lÁÄ� �Sd¼�W �� �TÁ���¬ �l�c f(t) gdm Æ Oφα(t) =tα−Ê
Γ(α) OlÀcÇm gdm
��Ç��l¼ �Sd�SÆÇÄ gdm dg ¶�d¢¼ lÀcÇm gdm α −→ Ê �y �� ���dg lÀd¼� QdÄ �Â�dg ¾dS�u Q �Â�ÁÄ� ¾d�À
φα(t) = H(t) =
Ê, t > Ó
Ó, t < Ó.
�Õ�Ò�
�TÀ ÃÀÇ! �¿Sc ¾cÇm �l¼ c� �Sc�� ¿Sc ��Àd¼ �ÁÄcÇ} �ycÆ Â�cÇ½Ä lÀd¼� QdÄ �Â�dg O¾d¼� l��! dg Ã�l�c c�c� c� ºÇż ¿Sc Æ
�TT¦m ¾Æ�g lÀd¼� QdÄ �Â�dg Ã�z¸ �Ä �� ¿Sc�gdÁg �l�c �� dÄ �¾W l¡�� Æ �Án�Ä l}cÇÁzS lÀd¼� QdÄ �ù�d¬ Ã� ��� �Th¢m
�»S�ÆW �l¼ l�� �Ãg k�Ç� ¿Sc Ãg c� lÀdz¼ ù�d¬ l¸dy ¿Sc �� ��Çg �ÁÄcÇ}
ÓD−Êt f(t) =
∫ t
Ó
f(t). �Ö�Ò�
¾cÇm �l¼ O¬dg pzg Ãg ÃuÇm dg ���dg �l¼ ¾d¼� ¿}½Ä ¾dS�u Qc�c� »n�T� ¿Sc �l�c ¶Ç� ¿T½~m l¸Ç½¢¼ �Æ� ¾d½Ä Ã�
RSdvgdu Ol¡�� Q��� ¶c�"nÀc lm�dh¡ Ãg dS lÀcÇm gdm wS Æ l¡�� ¿�ǸÆÇÀd� O��dg α < Ê ln°Æ Ã� l¬�! ÃvTnÀ
¾d¼� ¾dS�u dS Ol�c �T¦n¼ l¡�� Qc�c� Æ l�TÀ �ycÆ Â�cÇ½Ä lÀd¼� Q �Â�dg O�d} ��Ǽ ¿Sc �� ¿Sc�gdÁg ��Ä� �l¼ c� lÀdz¼
¾d¼� ¾dS�u �� lÁ}½ÄdÀ kc�� l��y dSÇ! OlÁ}½ÄdÀ Qc�c� QdÄ �»n�T� �� Ã�l! �Ç��¿Sc ¾cÇng �Sd� �l�TÀ l}cÇÁzS
���c�
Ö×
ÖØ �d} gcÇm �Ò�Ò
�d} gcÇm Ò�Ò
Q �Â�d� d¼c »Å¼ �dT�g l�dS� QdÄ � gdm Æ «S�d¢m �c l}�g l���g Æ l¬�¢¼ dg OQ���kdh�dz¼ Q�T!�d� �Ãg Æ »TÄd¼���
gdm O�ê¬ ·S�hm Odng gdm Od¼d! gdm �c �Ám�dh¡ ù½u ¿Sc �c ��Ç��l¼ �m ��~�¼ O kdT�dS� �c Â�Çy ¿Sc �� ��dy
RSdŸc�"nÀc Æ ¯n�¼ �cÇÀc O¿TÁ÷½Ä �l�c Â�� »Äc�¬ »TÄd¼ ¿Sc �c Q��n~¼ l¬�¢¼ üc�c �� Ã� O ��� Æ �¹¸ ��dnT¼
��ÀÇ� �l¼ Ãn}c��ê Q��� Ãhm�¼ dg ·T�Àc�S� �¶c�"nÀc k¬�d¢¼ l���g Ãg Æ Â�� l¬�¢¼ Q���
d¼d! gdm Ð�Ò�Ò
O gdm ¿Sc Q �Â�d� �Th¢m �l�c Â��Ç} Â�! Q��� kdT�dS� dg d�d�c OÐd¼d! gdm O�� �ÄcÇ} �dz�W üc�c �� Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä
��Ç��l¼ Â�c� �S� Q �Ã�gc� ��Çm gdm ¿Sc «S�¢m �l�c l±T±y �S�d±¼ Q �Ã½Ä Qc�g Ñ·S�Çn�d¬ gdm »T½¢m
Γ(z) =
∫
∞
Ó
e−uuz−Êdu, z ∈ ,5 �×�Ò�
OlnT½� �Ä Qc�g gdm �c�±¼ �Ç��l¼ Â�S� �Ø�Ò� Q �Ã�gc� �� Ã� �¾dÁö Ol�~À �l�c ÃnÅÀ ¾W QdÄ �l!SÆ �� gdm ¿Sc RSdhS�
���À ��Ǽ ��¡ �c �n½� �ycÆwS Qc�c Ãg gdm �c�±¼ �� lT½� �Ç} e���·�dy dg l�c �gc�g
Γ(z + Ê) = zΓ(z), z ∈ ,1+, Γ(z + Ê) = (z)! �Ø�Ò�
·S�Çn�d¬ gdm «S�¢m OxTz�QdÄ��¡Qc�g «S�¢m ¿ScQ �ÃvTnÀ ��Ç��l¼ kdhqc V�u Ãg V�u ¶c�"nÀc �c Â�dn�c dg Ã�gc� ¿Sc
¾W ¾Ç¼c�Tê Æ �� Qc�g c� d¼d! gdm �Ó�Ò� ·z�¼ �Γ(Ê) = Ê �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ ®Ç¬ ¶c�"nÀc Q �Ãh�dz¼ dg ¿TÁ÷½Ä �l�c
xTz��T¥ �S�d±¼ �� �ÇÁÄ d¼c �Á� �l¼ ·T¼ lSdÅÀ�Rg Ãg gdm �c�±¼ lÁ¼ xTz� QdÄ��¡ �� Ã� �TÁ� ÃuÇm ��Ä� �l¼ ¾d�À
»TÄcÇ} Q�¢g QdÄ ��~g �� Ã� O���«S�¢m �TÀ c� φ(t) gdm ¾cÇm �l¼ d¼d! gdm �c Â�dn�c dg ¿TÁ÷½Ä ��Ç��l¼ «S�¢m lÁ¼
��Ç��l¼ «S�¢m �ÒÙ�Ò� Q �Ã�gc� dg φ(t) ���c� lÀÆc�¬ ��g�d� Q��� ¶c�"nÀc «¹n~¼ QdÄ �·z� ¾�c� ¾d�À �� Ã� �S�
φα(t) =tα−Ê+
Γ(α). �ÐÙ�Ò�
Ð ô*DPPD IXQFWLRQ
Ñ ô)DFWRULDO IXQFWLRQ
ÖØ
×Ù �d} gcÇm �Ò�Ò
d¼d! gdm �Ó�Ò ·z�
Ol�c� »TÄcÇ} ÐQc�ù½uÆ� fac�� »T½¢m Qc�g O gdm ¿Scw½� dg �TÀ
z
ν
=z!
ν!(z − ν)!=
Γ(Ê+ z)
Γ(Ê+ ν)Γ(Ê+ z + ν). �ÐÐ�Ò�
dng gdm Ñ�Ò�Ò
gdm ¿Sc ecÇu �l�c �c��Ç}�g RS¬dg lT½Äc �c Q��� QdÄ �Ãh�dz¼ �� O¶Æc �ÇÀ �¹SÆc ¶c�"nÀc �}S� lm�dh¡ Ãg dS Ñdng gdm
Ãg RSdÄ �Qc�ù½u �Áö ù½u �c gcÇm �c Q�dT�g ¯n�¼�¶c�"nÀc Ãg ÃTh� Ã� O�Ç��l¼ «S�¢m ÃÀd!�Áö Qd¼d! gdm ¯S�� �c dÅÁm ÃÀ
�d�c �g c� ¾W ecÇu Æ dng ¶c�"nÀc �ÐÑ�Ò� Q �ø�d¢¼ �l�c ��� �ÄcÇ} l¬�¢¼ üc�c ��� �¹¸ ��dnT¼ gcÇm Æ ta k�Ç�
��Ä� �l¼ ¾d�À d¼d! gdm
B(p, q) =
∫ Ê
Ó
(Ê− u)(p− Ê)uq−Êdu =Γ(p)Γ(q)
Γ(p+ q)= B(q, p); p, q ∈ ,5+. �ÐÑ�Ò�
Ð %LQRPLDO &RHIILFLHQWV
Ñ %HWD IXQFWLRQ
×Ù
×Ð �d} gcÇm �Ò�Ò
¿�ǸÆÇÀd� Æ �ê¬ ·S�hm Ò�Ò�Ò
dg �>ÐÐÐ OÐÐÙ@ ��c� ��g�d� Â�T÷Tê ·T�Àc�S� QdÄ �ø�d¢¼ ecÇu ¿n¬dS �� Ã� l�c l¢gdm ·S�hm l¡ÇÀ Ð�ê¬ ·S�hm
RSd�¬ Ãg c� ød�¼ O«¹n~¼QdÄ �Ãhm�¼ �c RSdÄ �¯n�¼ dg ·T�Àc�S� ø�d¢¼wS ¾��� ·yQdu�Ãg ¾cÇm �l¼ ·S�hm ¿Sc �c Â�dn�c
��Ç��l¼ ¾dTg ·z� ¿S�g ·S�hm ¿Sc ��À�c� �ÇuÆ ¾W �� Q�hu k�Ç� Ãg �Ç} dÄ�ecÇu Ã� ��g
L[f(t)] :=∫
∞
Ó
e−stf(t)dt = f(s). �ÐÒ�Ò�
Ã� l�c ¿Sc ��� ¿Sc Qd��c Q �ü�¬ ���dg c�}½Ä �ÐÒ�Ò� ¶c�"nÀc Ã� ��c� �ÇuÆ f(t) gdm �ê¬ ·S�hm lm�Ç� ��
���dhÀ e−st RSd½À gdm ¶Æ�À {�À �c �m� S�� f(t) gdm ��� {�À
OQ �Ã�gc� �c Â�dn�c dg gdm Æ� ¿�ǸÆÇÀd� �¾cÆc�¬QdÄ��g�d� dg l�c lm�dh¡ �TÀ gdm Æ� ¿�ǸÆÇÀd��ê¬ ·S�hm ¿TÁ÷½Ä
f(t) ∗ g(t) :=∫ t
Ó
f(t− τ)g(τ)dτ = g(t) ∗ f(t) �ÐÓ�Ò�
�ê¬ ·S�hm e���·�dy dÅÁm ÃvTnÀ �s��ê¬ Qd�¬ �� d¼c Ol�c Qc�Â�T÷Tê �d� ¾W ¿TT¢m t Qd�¬ �� Æ �SW�l¼ l�� �Ãg
��Ç��l¼ Â�S� �ÐÔ�Ò� Q �Ã�gc� �� Ã� �¾dÁö O�Ç� �l¼ gdm Æ�
L[f(t) ∗ g(t)] := f(s)g(s). �ÐÔ�Ò�
f(t) gdm Qc�g n xTz� Q �Ãhm�¼ dg ¯n�¼ �ê¬ ·S�hm Ol�c� Â�d�c ¾W Ãg �Sdg Ã��ê¬ ·S�hm �}S� »Å¼ l!SÆwS
�l�c Â�� Â�c��ÐÕ�Ò� �� Ã�l�c
L[f (n)(t)] = sn ´f(s)−n−Ê∑
k=Ó
sn−k−Êfk(Ó) = snf(s)−n−Ê∑
k=Ó
skfn−k−Ê(Ó). �ÐÕ�Ò�
Ð /DSODFH 7UDQVIRUPDWLRQ
×Ð
×Ñ �d} gcÇm �Ò�Ò
�α«¹n~¼ �S�d±¼ Qc�c Ãg OÂ�T¦n¼�m �¹¸ ��dnT¼ gdm �Ô�Ò ·z�
�¹¸ ��dnT¼ gdm Ó�Ò�Ò
Q�dn}d�QdÄ �l!SÆ ���T! �l¼ �c�° Â�dn�c ��ǼQ���kdT�dS� ��Qc�Â��n�!k�Ç� Ãg Ã�l�c l¢gdm Ð�¹¸ ��dnT¼ gdm
Ã� �Ç� �¾d½Ä ��Ç��l¼ Ãn}dÁ� QÆ ºdÀ dg Æ� ¿Sc �c O>ÐÒÑ@ �� l¬�¢¼ �¹¸ ��dnT¼ ��Çm ÊÒÓÌ �� �dg ¿T¸Æc gdm ¿Sc
QdÄ �ø�d¢¼ �� c� lÅgd�¼ �±À »Ä gdm ¿Sc O�Ç��l¼ �Äd� xTz� Q �Ãhm�¼ dg ·T�Àc�S� Q �ø�d¢¼ QdÄ �ecÇu �� RSd½À gdm
gdm ¿Sc ��Æ�z¼dÀ QdÄ �áǽv¼ �c lzS��d} �dT�g º�¬wS �TÀ RSd½À gdm ��Á� �l¼ dSc xTz��T¥ Q �Ãhm�¼ dg ·T�Àc�S�
��Ç��l¼ Â�c� �ÐÖ�Ò� Q �Ã�gc� ��Çm gdm ��c�Àdn�c ·z� �l�c ��g�d��ê
Eα(z) =
∞∑
k=Ó
zk
Γ(αk + Ê), α > Ó. �ÐÖ�Ò�
��Ä� �l¼ ¾d�À α «¹n~¼ QdÄ�c�±¼ Qc�g c� �¹¸ ��dnT¼ gdm �Ô�Ò� ·z� �α = Ê l¸dy dg l�c ¶�d¢¼ RSd½À gdm
OÃÀǽÀ ¾cÇÁ¡ Ãg O�Án�Ä gdm ¿Sc �c l�d} l¸dy Â�� Ãn}dÁ� Æ ªÆ�¢¼ gcÇm �c Q�dT�g
EË(−zË) = cos(z), EÊ/Ë(zÊË ) = ez
(
Ê+ erf(zÊË ))
. �Ð×�Ò�
OÑd�} gdm Q�T!�dzg dg ºÆ� Ã�gc�
erf(z) =Ë√π
∫ z
Ó
e−tËdt. �ÐØ�Ò�
Ð 7KH 0LWWDJ� /HIIOHU )XQFWLRQ
Ñ (UURU )XQFWLRQ
×Ñ
×Ò �d} gcÇm �Ò�Ò
� >ÐÒÒ@ �Ç��l¼ «S�¢m ·z� ¿Sc Ãg �TÀ �T¦n¼ Æ� dg �¹¸ ��dnT¼ gdm �m �l¹�k�Ç� ¿TÁ÷½Ä �l�c Â�� ¾dTg
Eα,β(z) =∞∑
k=Ó
zk
Γ(αk + β), α > Ó, β > Ó. �ÑÙ�Ò�
Ãg ¾cÇm �l¼ ù½u �c ��Án�Ä ¾W �d} l¸dy OQ�dS� Q �Â�d� gcÇm Ã�l�c RSd½À gdm �c Q��g�d��ê »T½¢m �TÀ gdm ·z� ¿Sc
O��cǼ
EÊ,Ë(z) =ez − Ê
z, EË,Ë(z
Ë) =sinh(z)
z, �ÑÐ�Ò�
��ǽÀ Â�d�c
l��ÁÄ ®Ç¬ gcÇm Ô�Ò�Ò
Ok�Ç� Ãg �À�c��g�� �d} l¸dy ¾cÇÁ¡ Ãg c� gcÇm �c Q�dT�g «S�¢m Ã� Ðl��ÁÄ ®Ç¬ gcÇm
pFq (ai; bi; z) =Πq
j=ÊΓ(bj)
Πpi=Ê
Γ(ai)Σ∞
n=Ó
Γ(ai + n)
Γ(bj + n)
zn
n!, �ÑÑ�Ò�
O�Á� �l¼ QÆ�Tê �S� Ã�gc� �c gdm ¿Sc ¯n�¼ �l�c
(d
dz)pFq (ai; bi; z) =
Πpi=Ê
Γ(ai)
Πqj=Ê
Γ(bj)pFq (ai + Ê; bi + Ê; z) . �ÑÒ�Ò�
��Án�Ä gcÇm ¿Sc �c l�d} k�Ç� O>ÐÐÔ OØÓ@ Ò�¼Ç� gcÇm Ãg ªÆ�¢¼ ÊFÊ(a; b; z) ��� Ñl��ÁÄ ®Ç¬ QdÄ �Q��
Ð +\SHUJHRPHWULF )XQFWLRQV
Ñ &RQIOXHQW +\SHUJHRPHWULF 6HULHV
Ò .XPPHU IXQFWLRQ
×Ò
×Ó Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m Ó�Ò
fTm�m ¿Sc Ãg ��Ä� �l¼ ¾d�À Q��� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ l¬�¢¼ �� c� l¼d! Ãg ºd! ¶cÆ� Q���kdT�dS� Q �Ã÷~S�dm
Ãg O�~g ¿Sc �� ��Án�Ä �Ç} Ãg ��zÁ¼ QdÄ��g�d� Æ dÄ �l!SÆ Qc�c� Ã� �Àc �Â�� ��cÆ l¹n~¼ QdÄ�}¹½¡ O¾d¼� l� ��
«S�¢m ·z� ¿S�m �l¹�c ¾cÇÁ¡ ÃS ·SÆÇT¸ �¾d½S� ¶c�"nÀc OdÄ �¾W ù½u �c T»S�c��ê �l¼ dÄ�}¹½¡ ¿Sc ¿S�m �»Å¼ �c l}�g l¬�¢¼
��Án�Ä ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Æ ÇmÇêd� O·SÆÇT¸ �¾d½S� QdÄ �¯n�¼ Æ Q��� ¶c�"nÀc
Q��� ¶c�"nÀc �}¹½¡ Ð�Ó�Ò
Ol�c xTz� Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ �g l½T½¢m OÐQ��� ¶c�"nÀc Æ ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ ºÇż Ã� �� ¾cÇÁ¡ ü�±¼ ��
dg »T½¢m ¿Sc OºÆ� ��Ǽ Qc�g �l�c xTz� ¾d¼Ç!�W dg RSd½À gdm »T½¢m Q��� RSd½À gdm Ã� l±S�� ¾d½Ä Ãg l���
l¢Àd¼ õTÄ O��c�À ºÇż ��Ç} �� lzTz�dÀ �c�¢m Ãg ��¡wSe�� Ã� �l¸dy �� ���T! �l¼ ºdvÀc gdm �Sd½À �c Â�dn�c
¾cÇm �l¼ c� Q��� ¶c�"nÀc �Sd½À tSc� k�Ç� OfTm�m ¿T½Ä Ãg ���c�À �ÇuÆ gdm �� xTz��T¥ ¾d¼Ç!�W ¾�c� �c�° �� �g
�l�c Â�� Ãn}dÁ� Ñ·SÆÇT¸ �¾d½S� l¬dTÄ� ºdÀ dg l¬dTÄ� ¿Sc ���ÆW l���Ãg gdmwS ��z¼ QdÄ �¶c�"nÀc l¼Ç½¡ ·z� �c
�l�c f(t) gdm n Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc ¾��ÆW l�� Ãg Qc�g Ò l�Ç� Ãg eÇ�Á¼ ¶Ç¼�¬ Q �Â�ÁÄ� ¾d�À �ÑÓ�Ò� Q �Ã�gc�
∫
...
∫ t
Ó
f(τ)dτ =Ê
(n− Ê)!
∫ t
Ó
(t− τ)n−Êf(τ)dτ. �ÑÓ�Ò�
�»TÁ� �l¼ l¬�¢¼ OÂ�¼W �ÑÔ�Ò� �� Ã� lm�Ç� Ãg c� Jn �}¹½¡ Ol�SÇÀ��n~¼ lÅu
Jnf(t) := fn(t) =Ê
(n− Ê)!
∫ t
Ó
(t− τ)n−Êf(τ)dτ, �ÑÔ�Ò�
xTz� Q�c�±¼ �Sdg d½ny �ÑÓ�Ò� Q �Ã�gc� �� n ��Ç� Â�dn�c Jn Qdu�Ãg D−n Q�c�!�d½À �c Ã� l�c tSc� ¬Ç½¢¼ d¼c
��g Ã� d¼d! gdm d¼c ��Ç��l½À «S�¢m xTz��T¥ QdÄ�c�±¼ Qc�g Ã�l�c ·S�Çn�d¬ gdm �ÇuÆ fh� Ãg ¿Sc Æ ��dg Ãn�c�
¶c�"nÀc «S�¢m �� ·S�Çn�d¬ Qdu�Ãg �Ø�Ò� Q �Ã�gc� Ãg ÃuÇm dg �ÀcÇm�l¼ Ol�c l±T±y QdÄ��¡ Ã½Ä Qc�g ·S�Çn�d¬ l¹T¹zm
Ð )UDFWLRQDO ,QWHJUDO DQG 'HULYDWLYH 2SHUDWRU
Ñ 5LHPDQQ /LRXYLOOH
Ò &DXFK\
×Ó
×Ô Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
�»T�SÇÁg �ÑÕ�Ò�k�Ç� �Ãg l±T±y QdÄ��¡ Q �Ã½Ä Qc�g c� �ÑÔ�Ò� Q �Ã�gc� ¾cÇm �l¼ lÁS�}Sdu ¿Sc dg O¿Sc�gdÁg ���T! �c�°
Jαf(t) := fα(t) =Ê
Γ(α)
∫ t
Ó
(t− τ)α−Êf(τ)dτ �ÑÕ�Ò�
dÄ �l!SÆ
��dg dÄ �¾W lT½Äc Q��� QdÄ �¶c�"nÀc Æ dÄ �¯n�¼ dg RSdÄ �ø�d¢¼ ·y ºd"ÁÄ �� Ã� ��c� RSdÄ �l!SÆ Q��� ¶c�"nÀc «S�¢m ¿Sc
O»S�T! �l¼ ��À �� lÀd½Ä �}¹½¡ ¾cÇÁ¡ Ãg c� α = Ó Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc c�ngc ��Çg �ÄcÇ}
JÓf(t) = f(t). �ÑÖ�Ò�
lm�Ç� ¾d½Ä Ãg Æ OÂ�¼W l���Ãg dÄ �¾W �c «S�¢m ¿Sc Ã� RSdÄ �·�c Æ O¾W «S�¢m �d�c �g ¶c�"nÀc lTÄd¼ Ãg ÃuÇm dg ¿TÁ÷½Ä
OxTz� �c�¡c Qc�g ÐQ �Ã�gc� Ã�
JnJm = Jm+n = JmJn, m, n ∈ ,1 �Ñ×�Ò�
O�Ç��l¼ d��c �TÀ xTz��T¥ QdÄ �Ãhm�¼ Qc�g Ol�c �c�°�g
JαJβ = Jβ+α = JβJα, α, β ∈ ,5. �ÑØ�Ò�
Ãg Ol�c f(t) gdm ¾�Çg ÑlC¹¡ O�Ç� d��c ¾W Ãgd�¼ QdÄ �l!SÆ �Sd� Æ l!SÆ ¿Sc ln��� Q�c�°�g Qc�g �Sdg Ã� l���
���dg �� t ≤ Ó Qc�g �Sdg f(t) gdm �c�±¼ �}S� lm�dh¡
Ð 6HPLJURXS 3URSHUW\
Ñ FDXVDOLW\
×Ô
×Õ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
O�Ç��l¼ �~�¼ �ÒÙ�Ò� �� φα gdm l¬�¢¼ dg ·SÆÇT¸ �¾d½S� ¶c�"nÀc �}S� l!SÆ
φα =tα−Ê
Γ(α)⇒ φα(t) ∗ f(t) =
Ê
Γ(α)
∫ t
Ó
(t− τ)α−Ê+ f(τ) �ÒÙ�Ò�
�� ¿�ÆǸÇÀd�«S�¢m �c ��l�c l>¹¡ gdmwS �ÒÙ�Ò� Æ l�c t ≤ Ó QdÄ�c�±¼ Qc�g gdm ¾�Çg �� Q �Â�ÁÄ� ¾d�À t+ Ã�
O�T�� �S� ÃvTnÀ Ãg ¾cÇm�l¼ �ÐÓ�Ò� Q �Ã�gc�
Jαf(t) = φα(t) ∗ f(t) =Ê
Γ(α)
∫ t
Ó
(t− τ)α−Êf(τ)dτ �ÒÐ�Ò�
¾cÇm �l¼ Ã� »S�c� ¾d�À �ÒÙ�Ò� Q �Ã�gc� �� ���ÆW »TÄcÇ} l�� �Ãg c� ·SÆÇT¸ �¾d½S� Q��� ¶c�"nÀc �ê¬ ·S�hm du�¿Sc ��
���dg �l¼ k�Ç� ¿Sc Ãg tα−Ê �ê¬ ·S�hm ���� ¾dTg f(t) Æ φα O gdm Æ� ¿�ÆǸÇÀd�k�Ç� �Ãg c� Q��� ¶c�"nÀc
L[tα−Ê] = Γ(α)s−α �ÒÑ�Ò�
O�ÐÓ�Ò� �� ¿�ÆǸÇÀd��ê¬ ·S�hm �TÀ Æ O�Ç� �l¼ Â�S� �ÒÙ�Ò� �� Ã� ¿�ÆǸÇÀd� Æ Q��� ¶c�"nÀc Q �Ã�gc� Ãg ÃuÇm dg
O�¼W �ÄcÇ} l���Ãg Q��� ¶c�"nÀc �ê¬ ·S�hm
L[Jα] = s−αf(s). �ÒÒ�Ò�
Ãh�dz¼ µ > −Ê Oν > Ó Qc�g c� Jνxµ ¶c�"nÀc OQ��� ¶c�"nÀc �c Qc�ÃÀǽÀ ¾cÇÁ¡ Ãg Q��� ¶c�"nÀc Qc�g l¸dr¼
�«S�¢m Ãg ÃuÇm dg �»TÁ� �l¼
Jνxµ =Ê
Γ(ν)
∫ x
Ó
(x− t)ν−Ê
tµ
dt
=Ê
Γ(ν)
∫ x
Ó
(
Ê− t
x
)ν−Ê
xν−Êtµ
dt
=Ê
Γ(ν)
∫ Ê
Ó
(Ê− u)ν−Ê
xν−Ê(xu)µ
xdu, (u =t
x)
=Ê
Γ(ν)xν+µ
∫ Ê
Ó
(Ê− u)ν−Ê
uµ
du
×Õ
×Ö Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
Ãhm�¼ �c l¸c�"nÀc O¶Æc ùy�¼ �� �·SÆÇT¸ �¾d½S� �Æ� Q�T!�d� �Ãg dg α = ËÕ Ì Ãhm�¼ ¯n�¼ �cwTmd½� RSd½À �Õ�Ò ·z���Ç��l¼ Ãh�dz¼ Ì Ãhm�¼ �c lzTz� ¯n�¼ �ë� O�Ç��l¼ ºdvÀc ν = Ì− ËÕ Ì = ÓÕ Ð
=Ê
Γ(ν)xν+µB(µ+ Ê, ν)
=Γ(µ+ Ê)
Γ(µ+ ν + Ê)xν+µ. �ÒÓ�Ò�
�l�c lÀcÇm gdmwS OlÀcÇm gdm Q��� ¶c�"nÀc Ã� �Ç��l¼ Â�Äd�¼
Q��� QdÄ �¯n�¼ Ñ�Ó�Ò
ÇmÇêd� Æ ·SÆÇT¸�¾d½S� ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡
ed~nÀc m − Ê < α < m ��� dg c� m xTz� ��¡ ¶dy ��S�T}g ��À�� c� α ∈ ,5 Oα =Ê
ËQ �Ãhm�¼ �c l±n�¼
Ã� ¶Æc �Æ� �� Q�T! �¯n�¼ ºdvÀc �ÀÆ� ���c� �ÇuÆ Q�T! �¯n�¼ «S�¢m Qc�g Âc� Æ� OdÄ��¡ ¿Sc �c Â�dn�c dg �»TÁ� �l¼
�l�c Â�� Â�c� ¾d�À �Õ�Ò� ·z� �� ��c� ºdÀ зSÆÇT¸�¾d½S�
Dαf(x) = Dm[Jνf(x)], m = [α] + Ê. �ÒÔ�Ò�
Q �Ãhm�¼ ¶c�"nÀc Ã� l�c ¿Sc Om Of�dÁ¼ xTz� ��¡ ¾��� c�Tê �c �¢g ùy�¼ ¿T¸Æc �l�c Â�d� �dT�g �ÀÆ� ¿Sc xT�Çm
m = Ì Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ OºÆ� Q �ùy�¼ �� �ë� �l�c α = ËÕ Ì ·z� ¿Sc �� T»S�ÆW l���Ãg c� gdm Qm−α = ν = ÓÕ Ð
Ð 5LHPDQQ�/RXLYLOOH )UDFWLRQDO 'LIIHUHQWLDWLRQ
×Ö
×× Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
�� �Æ� ¿Sc l�dS� �Sd½À �»S�T�� ��À ��Ǽ gdm Q �α Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ Ãg fTm�m ¿Sc Ãg �»TSd½À�l¼ Ãh�dz¼ c� ·�dy gdm
�l�c Â�� ¾dTg �S� Q �Ã�gc�
Dαf(t) :=
dm
dtm
[
Ê
Γ(m− α)
∫ t
Ó
f(τ)
(t− τ)α+Ê−mdτ
]
, m− Ê < α < m,
dm
dtmf(t), α = m.
�ÒÕ�Ò�
gdm Ó < α < Ê Ãhm�¼ �c Q��� ¯n�¼ »TÄcÇ} �l¼ Ã� �TÁ� ��¬ ·SÆÇT¸ �¾d½S� Q��� ¯n�¼ ºdvÀc Qc�g l¸dr¼
O¿Sc�SdÁg ��Çg �ÄcÇ}m = Êk�Ç� ¿Sc �� �»TÁ� Ãh�dz¼ c� f(x) = xµ
Dαf(x) = D(Ê)[
J (Ê−α)f(x)]
= D(Ê)[
J (Ê−α)xµ]
= D(Ê)
[
Γ(µ+ Ê)
Γ((µ− α+ Ê) + Ê)xµ−α+Ê
]
= (µ− α+ Ê)Γ(µ+ Ê)
(µ− α+ Ê)Γ(µ− α+ Ê)xµ−α
=Γ(µ+ Ê)
Γ(µ− α+ Ê)xµ−α. �ÒÖ�Ò�
��¡ ¯n�¼ O�d�nÀc ª}�g ¬dg «S�¢m ¯h� Ã� »TÁTg �l¼ �l�c Â�� Â�dn�c �ÒÓ�Ò� ÃvTnÀ �c ºÇ� Ãg ºÆ� �} �c ¾�T�� ��
Ã� lnS�Æ�z¼ �l�c Q��� QdÄ�}¹½¡ »Å¼ QdÄ �l!SÆ �c lzS ¿Sc �l�c lÀcÇm l¢gdm Ãz¹g Ol�TÀ �� O�µ = Ó�lgdq
�l�c dÄ �Â�dg �� �� ¾W l"ÁT�m Ol�c ��cÆ ·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m �g
Q �ùy�¼ Æ� ¾d½Ä �c �TÀ ÇmÇêd��Æ� ��Ç��l¼ Â�S� �Ö�Ò� �SÇ�m �� lzTmd½� k�Ç� �Ãg �TÀ ��c� ºdÀ ÐÇmÇêd� Ã� ºÆ� �Æ�
ÃÀÆ�cÆ c� dÄ �¾W fTm�m Ã� kÆdm ¿Sc dg O�S�T! �l¼ Â�Åg ÃvTnÀ ¾d½Ä Ãg ¾�T�� Qc�g ·SÆÇT¸ �¾d½S� �Æ� �� Â�dn�c ��Ǽ
��Á� �l¼
cDαf(x) = Jm−ν [Dmf(x)], m = [α] + Ê. �Ò×�Ò�
Q �Ãhm�¼ �c Q��� Q�T! �¶c�"nÀc �ë� Om xTz� Q �Ãhm�¼ �c l±n�¼ c�ngc O °cÆ �� �l�c ÇmÇêd� �}¹½¡ Â�ÁÄ� ¾d�À c
Ð )UDFWLRQDO 'LIIHUHQWLDWLRQ &DSXWR
××
×Ø Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
Ãhm�¼ �c lzTz� ¯n�¼ O¶Æc ùy�¼ �� �ÇmÇêd��Æ� Q�T!�d� �Ãg dg α = ËÕ Ì Ãhm�¼ ¯n�¼ �cwTmd½� RSd½À �Ö�Ò ·z���Ç��l¼ ºdvÀc Ì− ËÕ Ì = ÓÕ Ð Ãhm�¼ �c l¸c�"nÀc �ë� OÃh�dz¼ Ì
�l�c� »TÄcÇ} «S�¢m ¿Sc ¯h� ��Ä� �l¼ ºdvÀc c�m− α
cDαf(t) :=
Ê
Γ(m− α)
[
∫ t
Ó
fm(τ)
(t− τ)α+Ê−mdτ
]
, m− Ê < α < m,
dm
dtmf(t), α = m.
�ÒØ�Ò�
O��� ��cÆ c� lgdq ��¡ ¯n�¼ ¾�Çg �� ��� OQ��� ¯n�¼ �}¹½¡ Qc�g �Ç} «S�¢m �� ÇmÇêd�
cbD
αt x
Ó = Ó, �ÓÙ�Ò�
ÇmÇêd�«S�¢m Ã� �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ l!�d��Ãg �l�c��� ·gd° �n�Tg ·SÆÇT¸ �¾d½S� ¯n�¼ Qc�g �ÁÀd½Ä l¸dy Ãg lh�À Ã�
�l�c Â�� ª�y ¾W Q �Â�dg �� l"ÁT�m Ã�l�c ·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m ¾d½Ä
cbD
αt f(t) =b D
αt
[
f(t)− Σn−Êk=Ó
f (k)(b)
k!(t− b)k
]
. �ÓÐ�Ò�
Ã� ¯n�¼ �ÇÀ ¿Sc dg ��ÁÄ��l¼ ¾d�À c� Q�T! �¯n�¼ �� ��À ��Ǽ Q �Â�dg QdÅnÀc Æ c�ngc fTm�m Ãg Ob Æ t QdÄ ��}d� du�¿Sc ��
Â�dg QdÅnÀc Æ �T¦n¼ �Æ�� Ã�±À �!c ��¢¸dg ��Ç��l¼ Ãn!éö ¯n�¼ O�T¦n¼ Â�dg QdÅnÀc Æ l�c �~�¼ Â�dg �Æ�� Ã�±À
���c� ºdÀ l�c� ¯n�¼ O��dg �~�¼
×Ø
ØÙ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
dÄ �l!SÆ
�}¹½¡ ¿Sc �ê¬ ·S�hm OQ��� ¶c�"nÀc �}¹½¡ QdÄ �l!SÆ �~g �� �»TÁ� �l¼ l¬�¢¼ c� �}¹½¡ Æ� ¿Sc �ê¬ ·S�hm c�ngc
¿Sc ��¼W �ÄcÇ} l���Ãg ·SÆÇT¸�¾d½S� Q��� ¯n�¼ �}¹½¡ �ê¬ ·S�hm O«S�¢m ¿Sc �c Â�dn�c dg ��ÒÒ�Ò� �� ¾dTg
Ol�ÇÀ k�Ç� ¿Sc Ãg ¾cÇm�l¼ c� �}¹½¡
Dαf(t) = g(m)(t), , g(t) = J (m−α)f(t), m− Ê ≤ α < m. �ÓÑ�Ò�
Ol�c� »TÄcÇ} O�ÒÒ�Ò� Q��� ¶c�"nÀc �ê¬ ·S�hm Q �Ã�gc� �TÀ Æ �ÐÕ�Ò�«S�¢m �c Â�dn�c dg
L[Dαf(t)] = smg(s)−m−Ê∑
k=Ó
skg(m−k−Ê)(Ó) = sαf(s)−m−Ê∑
k=Ó
skD(α−k−Ê)f(Ó). �ÓÒ�Ò�
¯n�¼ �}¹½¡ Qc�g �l�c f(t) gdm Q��� ¯n�¼ �ÇuÆ Où½u n− Ê dm k Q �Ã½Ä Qc�g º�¬ ÃT¸Æc ��� Ã� �Ç��l¼ Â�Äd�¼
O»TÁ� �l¼ �Æ�� k��Ç� ¿Sc Ãg ¯n�¼ ¿n�ÇÀ dg OÇmÇêd� Q���
cDαf(t) = Jm−αg(t), g(t) = f (m)(t), m− Ê ≤ α < m. �ÓÓ�Ò�
Ol�c� »TÄcÇ} �ê¬ ·S�hm Qc�g O�ÒÒ�Ò� �c Â�dn�c dg ¶dy
L[cDαf(t)] = s−(m−α)g(s) = sα = sαf(s)−m−Ê∑
k=Ó
sα−k−Êf (k)(Ó). �ÓÔ�Ò�
�g T�Ç� �l¼ ��cÆ sα−k−Ê �� lÁ¢S ¾W fS�� k�dh¡ �� Ãz¹g O�Ç� �l½À �Äd� f(t) gdm ¯n�¼ �� α Q �Ãhm�¼ OÃ�gc� ¿Sc ��
���� Of (Ë)Of (Ê)Of(t) ÃÀǽÀ Qc�g� xTz� Q �Ãhm�¼ dg RSdÄ �¯n�¼ O¿Sc�gdÁg �·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m �� ¾W Âd}Sdu ª}
��À�c� Q�m �lyc� Æ �m�f�dÁ¼ lzS�T¬ �T�m Æ �Th¢m Ã� �ÀÆ� �l¼ �d� �Ãg ÃT¸Æc �Sc�� ¾cÇÁ¡�Ãg
Ã� �� Â�d�c h° �l�c ·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢m �c �m �Â�ÁÁ� �Æ�z¼ �dT�g Q��� ¯n�¼ Qc�g ÇmÇêd�«S�¢m O�Sc�� l}�g ��
Q �ÃT¸Æc gdm Ã� l¼c�d¼ O·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢mQc�g ���dg Ãn�c� �� �c�±¼ t ≤ Ó �� lÁ¢S O��dg lC¹¡ l¢gdm �Sdg f(t) gdm
�c Æ ��dg �l¼ �c�°�g �TÀ α > Ó Q �Ãhm�¼ �c �}S� xTz� QdÄ��¡ ºd½m Qc�g k�Æ��wS ¾cÇÁ¡ Ãg O�Á� d��c c� ��� ¿Sc t
�Sdg dÅÁm ÃÀ O�Ç� �l¼ Ãn¬�! ¯n�¼ �dg m Of(t) gdm �c Ã� du�¾W �c OÇmÇêd�«S�¢m �� d¼c ��¼W �ÄcÇ~À �Tê l¹z�¼ Æ� ¿Sc
�Æ�z¼ ��� ¿Sc kdT�dS� QdTÀ� �� ��Ç� d��c �TÀ f (Ê) = f (Ë), ..., f (m) = Ó ��� �Sdg Ã� O»T�dg Ãn�c� c� f(Ó) = Ó
ØÙ
ØÐ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
|�dê ���c� lm�Æ�� Ãö lS�¢m ¿TÁö Ã� �Á� �l¼ w��¼ c� ¶cÇ� ¿Sc Æ O�Á� �l¼ «T¢� c� ¾W ÇmÇêd�«S�¢m �g ��cÆ Q �Â�ÁÁ�
�Sc�� ¿n�c� dg ¾cÇm �l¼ Ol�dS� ��À �c ��Ç��l¼ �dz�W xTz��T¥ Q �Ãhm�¼ �c ·T�Àc�S� k¬�d¢¼ ·y ºd"ÁÄ Ãg ¶cÇ� ¿Sc
dg l±n�¼ Ol¸dy ¿Sc �� ÃT¸Æc �Sc�� d¼c ���ÆW l���Ãg c� k¬�d¢¼ ¿Sc ecÇu ·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢m �c Â�dn�c dg ÃT¸Æc
�� «S�¢m ¿Sc �� lgdqwS Q��� ¯n�¼ O�� Â�c� ¾d�À �ÒÖ�Ò� �� h° Ã� �Ç�Àd½Ä O¿TÁ÷½Ä �l�c Q��� Q �Ãhm�¼
O�SW�l¼ l�� �Ãg �S� Q �Ã�gc� �c Æ l�TÀ
DαC =Ct−α
Γ(Ê− α). �ÓÕ�Ò�
wS�T¬ QdTÀ� QdÄ�T�m dg Ã� �l¸dy�� ��Á� �l¼ �dvSc l�d�c kz�¼ ·SÆÇT¸�¾d½S� «S�¢m QdÄ �l!SÆ OlzS�T¬ ��À �c d¼c
�mc�¬ d¼ l�dS� �c�gc °cÆ �� �»S�c�À Q���k¬�d¢¼ �� dTÀ� �c Q�dS� l¹½¡��� O»Tn�Ä dÁ�W xTz� Q �Ãhm�¼ k¬�d¢¼ ��
l¹½¡ Ã� Ã÷ÀW Æ ��c� ¾dz¼c Ã� Ã÷ÀW ¾dT¼ l�dhm�c »TÀcÇm�l¼ d¼ OÇmÇêd�«S�¢m �� d¼c ��Àc �Ãn�c�! º�° d¼ ��� QdÄ��¼ �c
ÃT¸Æc �Sc�� �c Ã� ��ÆW�l¼ »Äc�¬ c� ¾dz¼c ¿Sc Ol�c� �Ç}«S�¢m �� Ã� RSdvgduwS dg ÇmÇêd� ¯n�¼ �}¹½¡ �»TgdTg Ol�c
QÇmÇêd� Q��� ¯n�¼ O�� ¾dTg Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä ¿Sc �g ÂÆ¡ ����! Â�dn�c Q��� ·T�Àc�S� k¬�d¢¼ �� xTz� Q �Ãhm�¼ dg
�l�c �m�Q��g�d� ·SÆÇT¸�¾d½S� �}¹½¡ Ãg lh�À ÇmÇêd� �}¹½¡ Ã� �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ l!�d� Ãg ���c� �� �c�±¼ lgdq ��¡
ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! ·T�Àc�S� �¶c�"nÀc �}¹½¡
��¸cÇÀcÆ�! ºdÀ Ãg �}S� Q��� �}¹½¡ O�� ·SÆÇT¸ �¾d½S� �}¹½¡ Ãg �vÁ¼ RêdTê QdÄ �¶c�"nÀc ºdvÀc dg Ã� ln¬dTÄ� ª}�g
O»TÁ� �l¼ �Æ�� ¯n�¼ �}¹½¡ ¿S�dTÁg «S�¢m �c OlÅu ¿Sc Ãg ��Ç��l¼ ��cÆ Q�T! �¯n�¼ ��zSÆ� dg OЪÇzTÁn¸
f (Ê)(x) = limh→Ó
f(x+ h)− f(x)
h�ÓÖ�Ò�
O»T�� �l¼ gdm ºÆ� ¯n�¼ «S�¢m Ãg OÃ�gc� ¿Sc Q �Â�dgÆ� ¶d½¡c dg
f (Ë)(x) = limh→Ó
f (Ê)(x+ h)− f (Ê)(x)
h
Ð *UXQZDOG�/HWQLNRY 'LIIHU�,QWHJUDO
ØÐ
ØÑ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
= limhÊ→Ó
limhË→Ó
f(x+ hÊ + hË)− f(x+ hÊ)
hË− limhË→Ó
f(x+ hË)− f(x)
h
hË. �Ó×�Ò�
O�� �ÄcÇ} Â�d� k�Ç� ¿Sc Ãg ¬dg k�dh¡ Oh = hÊ = hË lm�dh¡ Ãg Oh ¾d�zS �c�±¼ edznÀc dg
f (Ë)(x) = limh→Ó
f(x+ Ëh)− Ëf(x+ h) + f(x)
hË. �ÓØ�Ò�
O�Ç��l¼ l¬�¢¼ Dn �}¹½¡ Oºc n Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ ¾�c� ¾d�À Qc�g
Dnf(x) = limh→Ó
Ê
hn
n∑
m=Ó
(nm)f(x−mh). �ÔÙ�Ò�
Qc�ù½u Æ� fS�� Ã� ��� ¿Sc Ãg Ãnh¸c O�c� »T½¢m �TÀ n Qdu�Ãg α ∈ ,5 xTz��T¥ QdÄ�c�±¼ Ãg c� k�dh¡ ¿Sc ¾cÇm �l¼
�l�TÀ xTz� �c�±¼ �}S� Ã�� Q�� Q¬dg �y ¿TÁ÷½Ä ���� ¾dTg �ÐÐ�Ò� d¼d! gdm f�y�g ·S�Çn�d¬ gdm Qdu�Ãg c�
Ãg ÃvTnÀ �� ����Án�Ä Q�T! �¯n�¼ ¿TSdê Æ ¬dg �Æ�y fTm�m Ãg a Æ t du�¿Sc �� � �Á� �l¼ ·T¼ lSdÅÁTg Ãg t− a
hk�Ç� �Ãg
O»T�� �l¼ ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¯n�¼ Q �Ãn¬dS »T½¢m «S�¢m
GLDαf(x) = limh→Ó
Ê
hn
t− a
h∑
m=Ó
(−Ê)m Γ(α+ Ê)
m!Γ(α−m+ Ê)f(x−mh). �ÔÐ�Ò�
��Ä� �l¼ ¾d�À RgÇ} �Ãg c� �}¹½¡ ¾�Çg l¢�Ǽ�T¥ l!SÆQ��wSk�Ç� ÃgQ��� ¯n�¼Qc�g ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀc�!«S�¢m
�»Tn�Ä ÃSd�½Ä �d±À ºd½m �� gdm �S�d±¼ �Á¼�dTÀ ¯n�¼ Ãh�dz¼ Qc�g du�¿Sc �� OxTz� Ãhm�¼ QdÄ �¯n�¼ ª}�g
¾cÇm �l¼ �TÀ O�À�� «S�¢m Q��� ¯n�¼ QdÄ�}¹½¡ O·SÆÇT¸ �¾d½S� Q��� ¶c�"nÀc «S�¢m �c Â�dn�c dg Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä
�m �l¢Th� k�Ç� ���� Â�dn�c ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¶c�"nÀc ¾dTg Qc�g c� ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¯n�¼ «S�¢m
¾cÇÁ¡ Ãg c� �ÐÐ�Ô� Q �Ã�gc� »TÄcÇ~g �!c ��Ç� «S�¢m O−α OlÁ¼ Q �Ãhm�¼ �c l±n�¼ Ã�l�c ¿Sc Ã�gc� ¿Sc «S�¢m Qc�g
«S�¢m ·S�Çn�d¬ gdm �c Â�dn�c dg (−nm ) Ã� l�c ¿Sc �Çg »TÄcÇ} ÃucǼ ¾W dg Ã� l½Å¼ ·z�¼ O»TÁ� Âd"À u�¼ «S�¢m
Ol�c� »TÄcÇ} O»TÄ� ��g c� Qc�ù½u Æ� ¿Sc �!c ��Ç��l½À
−n
m
=−n(−n− Ê)(−n− Ë)(−n− Ì)...(−n−m+ Ê)
m!�ÔÑ�Ò�
ØÑ
ØÒ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
Ol�ÇÀ k�Ç� ¿Sc �Ãg c� ¬dg Ã�gc� ¾cÇm�l¼
−n
m
= (−Ê)mn(n+ Ê)(n+ Ë)(n+ Ì)...(n+m− Ê)
m!= (−Ê)m (n+m− Ê)!
(n− Ê)!m!. �ÔÒ�Ò�
−n
m
= (−Ê)mn(n+ Ê)(n+ Ë)(n+ Ì)...(n+m− Ê)
m!= (−Ê)m (n+m− Ê)!
(n− Ê)!m!. �ÔÓ�Ò�
OÆ� ¿Sc �c ��c� »T½¢m lÁ¼ l±T±y QdÄ��¡ Qc�g c� �ÔÓ�Ò� �� ·S�Çn�d¬ gdm ¾cÇm �l¼ d¼d! gdm �c Â�dn�c dg
−α
m
= (−Ê)mΓ(α+m)
Γ(α)m!. �ÔÔ�Ò�
�»T�� �l¼ ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! Q��� ¶c�"nÀc Ãg Æ �ǽÀ l�SÇÀ�dg−α Qc�g c� �ÔÐ�Ò� ¾cÇm �l¼ �ÔÔ�Ò� ¾��g �d� �Ãg dg ¾ÇÁ�c
GLD−αf(x) = limh→Ó
hα
t− a
h∑
m=Ó
Γ(α+m)
m!Γ(α)f(x−mh). �ÔÕ�Ò�
Æ ·SÆÇT¸ Æ ¾d½S� ��Çm fTm�m Ãg Ã� Ol�c Â�� ÃSc�c Q���kdT�dS� �� dÄ�}¹½¡ ¾dTg Qc�g Q�Ág�¶Ç¼�¬ �ÇÀ Æ� O¾ÇÁ� dm
��ÆW�l¼ ¿Ä� Ãg c� ¶cÇ� ¿Sc ºÇżwS Qc�g kÆdn¼ Q�Ág�¶Ç¼�¬ �Áö ¾dTg ��Àc �Â�� �dÅÁ�Tê ªÇzTÁn¸ Æ �¸cÇÀcÆ�! ¿TÁ÷½Ä
¿Sc ¯T°� l�dS� kdhqc Ã� �Áö�Ä �l�c lhr¼ ¶cÇ� ¿Sc Ãg ÂdmÇ� |�dê ��Á¸�d¢¼ �}S�zS dg «¹n~¼ QdÄ �·z� ¿Sc dSW Ã�
�l�c Â�� Ãn}c��ê �Ç�Ǽ ¿Sc dg Q�n�Tg ·T�m dg >ÐÒÓOÐÑÑ@ QdÄ � u�¼ �� Æ ��c� Q�dS� l°Æ ª�� Ãg �dTÀ �Ç�Ǽ
«¹n~¼ QdÄ �«S�¢m Æ �c� ��g Q�� k�Ç� �Ãg ¾dz¼c k�Ç� �� c� gcÇm ¾cÇm �l¼ OÃÁT¼� ¿Sc �� �d� �Âc� wS ¾cÇÁ¡ Ãg d¼c
·SÆÇT¸ �¾d½S� «S�¢m OdÄ�}¹½¡ ¿Sc �dn}d� Ãg ÃuÇm dg ���� Ã�Sd±¼ »Ä dg c� ÃvTnÀ Æ �ǽÀ ¶d½¡c dÄ �¾W �g c� Q��� ¯n�¼
�� Æ ��Æ��l¼ �d� �Ãg � xa, ex, sin(x)t... �T�À� Â�d� gcÇm l¹T¹zm QdÄ �ecÇu ¿n¬dS Qc�g O gcÇm Q��� ¯n�¼ Æ ¶c�"nÀc
lÅu Âc� ¿S�m � S�� Æ ¿S�m �lyc� O¿Sc�gdÁg �l�c f�dÁ¼ Q��¡ QdÄ �l���g Qc�g ªÇzTÁn¸ ��¸cÇÀcÆ�! «S�¢m O·gd±¼
�l�c �Æ� Æ� �c ·�dy Q��¡ Æ l¹T¹zm tSdnÀ Q �Ã�Sd±¼ O«S�¢m Æ� ¿Sc ¾�Çg ¶�d¢¼ l���g
ØÒ
ØÓ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
Q��� l¸c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼ Ò�Ó�Ò
¶Æc �ÇÀ
O�Ä� �l¼ ¾d�À �ÔÖ�Ò� �Ã�gc� Ã�l�c l¹z� Ãg Q��� ¶c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼ �ÇÀ ¿T¸Æc
Ê
Γ(α)
∫ t
Ó
u(τ)
(t− τ)Ê−αdτ = f(t), Ó < α < Ê �ÔÖ�Ò�
Ol�ÇÀ �TÀ �S� ·z� Ãg c� Ã�gc� ¿Sc ¾cÇm �l¼ Ã�
Jαu(t) = f(t). �Ô×�Ò�
Ol�c ·z� ¿Sc Ãg Æ �SW�l¼ l�� �Ãg l!�d��Ãg dÄ�ø�d¢¼ �ÇÀ ¿Sc ecÇu
u(t) = Dαf(t). �ÔØ�Ò�
Ã�T½Ä Ã�l�c� ÃuÇm �Sdg d¼c O���g ¿Ä� Ãg ÇmÇêd� Q��� ¯n�¼ �c Â�dn�c Ol¸c�"nÀc Q �ø�d¢¼ ¿Sc ·y Qc�g l�c ¿z½¼
�ÄcÇ} Â�c� ¾d�À �ê¬ ·S�hm �c Â�dn�c dg üc�c �� ���dg �l½À �c�°�g cDαJαf(t) = f(t) Q �Ã�gc� l�Sc�� �Ä lzm Æ
�� ��� �ÄcÇ} �Äd� ¬dg |�dê �� �TÀ �}S� Q �ù½u wS O�Æ� �d� �Ãg �UU� Q �ø�d¢¼ ·y Qc�g ÇmÇêd� �}¹½¡ �!c Ã� ��
O�ÁÁ� �l¼ c�Tê c� �S� º�¬ ¶Æc �ÇÀ l¸c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼ O�ê¬ Qd�¬
Jαu(t) = φα(t) ∗ u(t) =⇒ L[φα(t) ∗ u(t)] =u(s)
sα�ÕÙ�Ò�
O��� l�SÇÀ�dg k�Ç� Æ� Ãg c� �ÕÙ�Ò� Q �ÃvTnÀ ¾cÇm �l¼ OQ�hu ��À �c
u(s) = sαf(s) =⇒ s
[
f(s)
sÊ−α
]
�ÕÐ�Ò�
dS
u(s) = sαf(s) =⇒ Ê
sÊ−α[sf(s)− f(Ó)] +
f(Ó)
sÊ−α. �ÕÑ�Ò�
ØÓ
ØÔ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
O»T�� �l¼ �S� Q �Ã�gc� Ãg O¾d¼� Qd�¬ Ãg ¶Æc ·z� ¾�Àc��!�g dg
u(t) =Ê
Γ(Ê− α)
d
dt
∫ t
Ó
f(τ)
(t− τ)αdτ = f(t), �ÕÒ�Ò�
·z� ¾d¼� Qd�¬ Ãg ·S�hm ¶d½¡c dg �·SÆÇT¸ �¾d½S� �}¹½¡ Q�T!�d� �Ãg dg ø�d¢¼ ·y �c ·�dy ecÇu dg l�c ¶�d¢¼ Ã�
O�Ç��l¼ ·�dy �S� Q �ÃvTnÀ �TÀ OºÆ�
u(t) =Ê
Γ(Ê− α)
∫ t
Ó
f (Ê)(τ)
(t− τ)αdτ = f(t) + f(Ó)
t−α
Γ(Ê− α)�ÕÓ�Ò�
t = Ó �� gdm �c�±¼ Ãg Ãn�gcÆ Q �ù½uwS O�� Â�d�c �TÀ h° Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä d¼c Ol�c ÇmÇêd� ¯n�¼ k�dh¡ ¿Sc ¶Æc Q �ù½u
�l�c Â�� �Äd�
ºÆ� �ÇÀ
O�Án�Ä k�Ç� ¿Sc Ãg ºÆ� �ÇÀ l¸c�"nÀc QdÄ �ø�d¢¼
u(t) +λ
Γ(α)
∫ t
Ó
u(τ)
(t− τ)Ê−αdτ = f(t) =⇒ (Ê+ λJα)u(t) = f(t) �ÕÔ�Ò�
Ol�c k�Ç� ¿Sc Ãg �ÕÔ�Ò� |�dê
u(t) = (Ê− λJα)−Êf(t) = (Ê−∞∑
n=Ê
(−λ)nJαn)f(t) = f(t) + (
∞∑
n=Ê
(−λ)nΦαn) ∗ f(t). �ÕÕ�Ò�
OÃ� �c� ¾d�À ¾cÇm �l¼ �ÐÖ�Ò� �c Â�dn�c dg
Eα(−λtα) =∞∑
k=Ó
(−λtα)k
Γ(αk + Ê)�ÕÖ�Ò�
ØÔ
ØÕ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
�ÕÕ�Ò� �� ·�dy Q �ÃvTnÀ Æ �Ç� �l¼ ª�y Eα(−λtα) ü��g B¶Æc Q �ù½u O�ÕÖ�Ò� ¶Æc Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ ¾��ÆW l���Ãg dg
Ol�c� »TÄcÇ} ·z� ¿Sc Ãg c� ºÆ� �ÇÀ l¸c�"nÀc Q �ø�d¢¼ ·y Q �ÃvTnÀ OÆ� ¿Sc �c ��SW�l¼ l�� �Ãg
u(t) = f(t) +d
dt[Eα(−λtα)] ∗ f(t) �Õ×�Ò�
O»TÁ� �l¼ �Æ�� �ÕÔ�Ò� QÆ� �ê¬ ·S�hm ºdvÀc dg �»T�� �l¼ ÃvTnÀ ¿T½Ä Ãg �TÀ �ê¬ ·S�hm �c Â�dn�c dg
L [(Ê+ λ)αu(t)] = L [f(t)] → [Ê+λ
sα]u(s) = f(s). �ÕØ�Ò�
�� ·�dy |�dê ·z� Ãg c� d¼ �d} l¸dy wS d¼c O��� l�SÇÀ�dg «¹n~¼ QdÄ �k�Ç� Ãg ¾cÇm�l¼ c� �ÕØ�Ò� Q �ø�d¢¼
��Àd���l¼ �Õ×�Ò� Q �Ã�gc�
u(s) =
[
ssα−Ê
sα + λ− Ê
]
f(s) + f(s). �ÖÙ�Ò�
Qc�g �ê¬ ·S�hm º�¬ �c �Sdg �Ç�Á¼ ¿S�g ��Ç��l¼ Â�Àc��!�dg gdm �Ç} l¸Ç½¢¼ Qd�¬ Ãg �ÖÙ�Ò� Q �ø�d¢¼ Q�¢g ºd! ��
��ǽÀ Â�dn�c �ÖÐ�Ò� Q �Ã�gc� O�¹¸ ��dnT¼ gdm �c l�d} k�Ç�
L [Eα(−λtα)] =sα
sα + λ. �ÖÐ�Ò�
O��c� �c�° l�c�g ·}c� �� �ÖÙ�Ò� Q �Ã�gc� éö l½� �� Ã� Ãö �¾W O�S� ¾cÇm �l¼ lnyc� �Ãg O�ÐÕ�Ò� Q �Ã�gc� �c Â�dn�c dg
O�}S� lm�dh¡ Ãg Tl�TÀ �ÖÐ�Ò� Q �Ã�gc� éö l½� ¶Æc Q �Ãhm�¼ ¯n�¼ �ê¬ ·S�hm �u Q�Tö
L[
E(Ê)α (−λtα)
]
=sα−Ê
sα + λ− Ê. �ÖÑ�Ò�
¾d½Ä Ãg �vÁ¼ �ÖÙ�Ò� Q �Ã�gc� �Ç�¢¼ ÃÀÇ}ö Ã� �Ç��l¼ Â�S� O�ÐÓ�Ò� �� �ê¬ ¿�ǸÆÇÀd� «S�¢m �c Â�dn�c dg
��Ç��l¼ �ÕÖ�Ò� Q �ÃvTnÀ
ØÕ
ØÖ Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
Q��� l¹T�Àc�S� QdÄ �ø�d¢¼ Ó�Ó�Ò
>ÐÑÒ@ u�¼ �� Ã� O�Án�Ä Q�n�Tg ÃuÇm ��Ǽ �S� ø�d¢¼ �ÇÀ Æ� d¼Ç½¡ OwT�� l�} ¶Ç½¢¼ ·T�Àc�S� QdÄ �ø�d¢¼ ��
OÂ�� �dS оd�ÇÀ Æ �¹ÄcÆ QdÄ �ø�d¢¼ ¾cÇÁ¡�Ãg dÄ�¾W �c
u′(t) = −u(t) + q(t)
u′′(t) = −u(t) + q(t). �ÖÒ�Ò�
�»TÁ� �l¼ �dS ºÆ� Æ ¶ÆcQ �Ãhm�¼ ·T�Àc�S�QdÄ �ø�d¢¼ ¾cÇÁ¡ Ãg fTm�m Ãg dÄ �¾W �c O»TÁ� �l¼lhz� ø�d¢¼ Æ� ¿Sc ��Ǽ �� ln°Æ
��c� ¾d�À Q��� �"Àd�ÇÀ Æ Q����¹ÄcÆ º�¬ ¾cÇÁ¡ �d�n}c dg ¾cÇm�l¼ �TÀ Q���kdT�dS� �� c� ø�d¢¼ Æ� �Sd½m ¿Sc
Ê < α ≤ Ë ºÆ� Ãn�� Q �Ãhm�¼ �d�nÀc ¯h� Æ ��dg �l¼ Ó < α ≤ Ê ·T�Àc�S� ø�d¢¼ Q �Ãhm�¼ O¶Æc Ãn�� k¬�d¢¼ ��
���dg �l¼
O�Án�TÀ kÆdn¼ »Ä �c Æ ·±n�¼ ¼d� ºÆ� Æ ¶Æc Q �Ãhm�¼ Q �ø�d¢¼ Æ� ¿Sc |�dê OxTz� Q �Ãhm�¼ dg QdÄ �ø�d¢¼ ª}�g d¼c
QdÄ �ecÇu l���g Qc�g �}S�zS �c ø�d¢¼ Æ� ¿Sc ¾��� c�u Ãg Q�dTÀ Æ� ¿Sc �c ��Àc �Â�TÁm »Ä �� Æ Ãn�c� �dhm�c »Ä Ãg Ãz¹g
O��� ¾dTg �S� l¹� ·z�wS Ãg ¾cÇm �l¼ c� l�} Q��� l¸Ç½¢¼ ·T�Àc�S� Q �ø�d¢¼ ���c�À �ÇuÆ dÄ�¾W
Dα∗u(t) = Dα
(
u(t)−m−Ê∑
k=Ó
tk
k!u(k)(Ó)
)
= −u(t) + q(t), m− Ê < α ≤ m. �ÖÓ�Ò�
¿Sc ¾��g �d� �Ãg dg O�� Ãn! �TÀ h° Ã� ÃÀÇ! �¾d½Ä �l�c Â�� Â�dn�c ÇmÇêd� ¯n�¼ �}¹½¡ �c du �¿Sc �� Ã� »TÁ� �l¼ Q�ÆW�dS
��À�T! �l¼ �c�° Â�dn�c ��Ǽ xTz� Q �Ãhm�¼ dg ÃT¸Æc �Sc�� O�}¹½¡
�ÖÓ�Ò� ¾cÇm �l¼ O�ÓÔ�Ò�Q �Ã�gc� Ãg ÃuÇm dg �l�c�ê¬ ·S�hm �c Â�dn�c O�ÖÓ�Ò�Q �ø�d¢¼ ·yQc�g�Æ� ¿S�m �»T±n�¼
O�ǽÀ l�SÇÀ�dg �S� k�Ç� �Ãg c�
sαu(s) =
m−Ê∑
k=Ó
sα−k−Êu(k)(Ó) = −u(s) + q(s) =⇒ u(s) =
m−Ê∑
k=Ó
sα−k−Ê
sα + Êu(k)(Ó) +
Ê
sα + Ê�ÖÔ�Ò�
Ð 7KH 5HOD[DWLRQ DQG 2VFLOODWLRQ )RUPV
ØÖ
Ø× Q��� QdÄ�}¹½¡ sc�~n�c Æ «S�¢m �Ó�Ò
O�� ½u c� Q�� ·}c� QdÄ �ù½u ¾cÇm �l¼
sα−k−Ê
sα + Ê=
Ê
sαsα−Ê
sα + Ê= L
[
JkEα(−tα)]
�ÖÕ�Ò�
O¿TÁ÷½Ä
Ê
sα + Ê= −(s
sα−Ê
sα + Ê− Ê) = L
[
d
dt[Eα(−tα)]
]
�ÖÖ�Ò�
Ãg c� �ÖÔ�Ò� Q �Ã�gc� ¾cÇm �l¼ O�Ç�¢¼ �ê¬ ·S�hm «S�¢m Qc�g O�ÖÖ�Ò� Æ �ÖÕ�Ò� QdÄ �Ã�gc� �c Â�dn�c dg ºdvÀc��
O��ÆW l���Ãg ·z� ¿Sc Ãg c� Q��� l¸Ç½¢¼ ·T�Àc�S� ø�d¢¼ ecÇu lSdÅÀ �� Æ O��� ·S�hm u(t) Qc�g lm�dh¡
u(t) =
m−Ê∑
k=Ó
JkEα(−tα)u(k)(Ó)− q(t) ∗ E′
α(−tα). �Ö×�Ò�
Ø×