Hydro Mechanica

2de Bach NW

Samenvatting hydromechanica

1/14

InleidingDefinitie van hydrostatische druk Fluda in rust Deeltjes botsen tegen de wanden => kracht Loodrecht op wand Indien ook component evenwijdig => ook reactiekracht evenwijdig => stroming evenwijdig met wand => tegenstrijdig met gegeven => geen evenwijdige component Druk = normaalkracht per eenheid van oppervlakte o p = dFn / dA o 1 bar = 105 Pa o Hydrostatische druk = druk in vloeistof in rust o pabs = patm + peff o Overdruk: peff > 0 o Onderdruk: peff < 0 Bij evenwicht damp & vloeistof: druk in damp = verzadigingsdampdruk Druk in alle richtingen gelijk

De grondvergelijking van de hydrostaticaDe dichtheid van een fludum Vorm gassen en vloeistoffen is veranderlijk =m/V [ ] = kg / m Vloeistoffen o Afhankelijk van de temperatuur o Bij constante temperatuur => constante dichtheid Gassen o Afhankelijk van de temperatuur & druk o Ideale gaswet: = p / (R * T) Relatieve dichtheid o Dimensieloos getal o Referentiedichtheid vloeistoffen: 1000 kg / m o Referentiedichtheid gassen: 1,29 kg / m

2de Bach NW


2/14

De algemene grondvergelijking van de hydrostatica

dp / dz = - * g

Integratie van de grondvergelijking voor vloeistoffen p = p0 + * g * h Gevolgen o Hydrostatische druk neemt lineair toe met de diepte o Druk is dezelfde in alle punten van eenzelfde horizontaal vlak van eenzelfde vloeistof (ongeacht de vorm van het vat) o Druk uitgeoefend op het oppervlak van de vloeistof plant zich gelijkmatig voort in de hele vloeistof en in alle richtingen

Het meten van druk Atmosferische druk gemeten m.b.v. barometer Effectieve drukaanduiding m.b.v. manometer Drukverschillen m.b.v. differentiaalmanometer

o o pA pB = (

m

- )*g*y

2de Bach NW


3/14

Hydrostatische krachtenDe resulterende kracht ten gevolge van de hydrostatische druk op een vlakke wandDe resulterende kracht Elementair vlakje op diepte h onder vloeistofoppervlak o Krachten loodrecht op vlakje Buitenwaarts met grootte (p0 + * g * h) * dx * dy Binnenwaarts met grootte p0 * dx * dy o Netto kracht eveneens loodrecht & buitenwaarts gericht met grootte * g * h * dx * dy Op hele oppervlak o FR = * g * hcg * A o Hydrostatische druk ter hoogte van zwaartepunt vermenigvuldigd met oppervlak

Het perspunt of drukpunt Druk lager in hoger gelegen punten => aangrijpingspunt dieper dan zwaartepunt Momentstelling van Varignon: het moment van de resultante = het resulterende moment FR * yp = yp * * g * ycg * sin * A yp = ycg + Ix / (ycg * A)

2de Bach NW


4/14

De resulterende kracht ten gevolge van de hydrostatische druk op een gebogen wand met een verticaal symmetrievlak

Virtueel verticaal vlak door voetpunt van gebogen wand Punt C is horizontale projectie van punt A op verticaal vlak Krachten o Reactiekracht FEA op vlakke wand EA o Resulterende hydrostatische kracht FDC op DC o Reactiekracht FAB op gebogen wand AB o Resulterende hydrostatische kracht FCB op CB o Gewicht FG van vloeistof (hetgeen zich boven de wand bevindt) FAB loodrecht op gebogen wand => evenwijdig aan normale op kromme AB Ontbinding FAB => FAB = Fh + Fv FG = Fv FEA + Fh = FDC + FCB o FEA = FDC o Fh = FCB FAB = (Fh + Fv)

De wet van ArchimedesDe wet van Archimedes Een lichaam dat geheel of gedeeltelijk is ondergedompeld in een vloeistof ondergaat een opwaartse stuwkracht even groot, maar tegengesteld aan het gewicht van het verplaatste volume vloeistof en aangrijpend in het zwaartepunt van het verplaatste volume vloeistof. FArch = - FG,sub = - fl * Vsub * g

2de Bach NW


5/14

Translatie-evenwicht van ondergedompelde en drijvende lichamen Zinken Gewicht van lichaam groter dan opwaartse stuwkracht Bij volledige onderdompeling Archimedeskracht nog altijd kleiner => zinken tot bodem Op bodem steunkracht Dichtheid lichaam > dichtheid vloeistof

Opstijgen Gewicht van lichaam kleiner dan opwaartse stuwkracht Dichtheid lichaam < dichtheid vloeistof

Drijven Gevallen o Volledige onderdompeling waarvan dichtheid lichaam gelijk is aan dichtheid vloeistof o Gepaste gedeeltelijke onderdompeling van lichaam met kleinere dichtheid Vsub = / fl * V Zwaartepunt verplaatste vloeistof & zwaartepunt lichaam op zelfde verticale lijn

Stabiliteit van volledig ondergedompelde of zwevende lichamen met betrekking tot rotatie om een horizontale as Als aangrijpingspunten niet samenvallen & verstoring evenwicht => koppel krachten o Stabiel evenwicht Zwaartepunt verplaatste vloeistof boven dit van lichaam Terugroepend koppel Terugkeren naar oorspronkelijk evenwicht o Labiel evenwicht Zwaartepunt verplaatste vloeistof onder dit van lichaam Verder verwijderen van oorspronkelijk evenwicht o Indifferent evenwicht Zwaartepunten vallen samen Bij verstoring nieuwe evenwichtssituatie

Stabiliteit van drijvende lichaam met een verticaal symmetrievlak met betrekking tot rotatie om een horizontale as Stabiel evenwicht o Snijpunt werklijn stuwkracht en symmetrielijn lichaam hoger dan zwaartepunt lichaam Labiel evenwicht o Snijpunt lager dan zwaartepunt

2de Bach NW


6/14

Vloeistoffen in relatief evenwichtRelatief evenwicht Vloeistoffen samen met recipint eenparig versnelde rechtlijnige beweging / eenparige rotatie Sleepkracht bij EVRB = - m * a Sleepkracht bij eenparige rotatie = - m * x ( x r)

Verticale EVRB p = p0 + * (g a) * h o + bij versnelling opwaarts o bij versnelling neerwaarts Gevolgen o Druk neemt nog steeds lineair toe o Bij vrije val druk overal in vloeistof gelijk aan druk aan oppervlak

Horizontale EVRB Horizontale versnelling => helling van vloeistofoppervlak tg = a / g p = p0 + * g * h Punten met zelfde druk => gehelde vlakken (// vloeistofoppervlak)

Algemene EVRB Ontbinding in horizontale EVRB en verticale EVRB Combinatie effecten Schuin opwaarts o p = p0 + (g + a * sin ) * h o tg = cos / (g / a + sin ) Schuin neerwaarts o p = p0 + (g a * sin ) * h o tg = cos / (g / a sin ) Bijzonder geval: vat onder invloed van zwaartekracht van wrijvingsloze helling met hellingshoek => =

2de Bach NW


7/14

Eenparige rotatie Sleepkracht loodrecht op rotatie as = m * r * Gebogen vloeistofoppervlak (omwentelingsoppervlak) Drukkracht ontbinden o Horizontale component: m * r * o Verticale component : m * g tg = r * / g z(r) = zmin + / (2 * g) * r zmax zmin = / (2 * g) * R zmax z0 = / (4 * g) * R Hoge toerentallen o Gewicht verwaarloosbaar o Holle cilinder, concentrisch met reservoir o p = p0 + * / 2 * (r r0)

Inleiding tot de hydrodynamicaSoorten stromingenEendimensionale versus tweedimensionale stroming Eendimensionale stroming = zowel eigenschappen van het stromende fludum als de stroming variren in n enkele richting Tweedimensionale stroming = parameters variren in twee richtingen Vereenvoudiging tot eendimensionale stroming door te werken met gemiddelden

Stationaire of permanente stroming Parameters hangen enkel af van de ruimtelijke cordinaten

De begrippen stroomlijn, stroombaan en stroombuis Stroomlijn = dusdanige kromme dat op gegeven tijdstip de snelheid van het deeltje dat zich in een punt van de kromme bevindt, rakend is aan de kromme Stroombaan = stroomlijn bij permanente stroming (onafhankelijk van de tijd) Stroombuis = bundel stroomlijnen Stromingsdoorsnede = doorsnede van de stroombuis loodrecht op de stroomlijnen

Laminaire versus turbulente stroming Laminaire stroming = vloeistof in laagjes naast elkaar glijden zonder menging Turbulente stroming = wervelingen in de laagjes

2de Bach NW


8/14

Ideale versus rele vloeistof Ideaal fludum moet aan volgende voorwaarden voldoen o Geen wrijving tussen fludumdeeltjes onderling o Geen wrijving tussen fludumdeeltjes en eventueel vaste wanden o Fludum onsamendrukbaar => constante o Stroomsnelheid constant in stroombuisdoorsnede

DebietHet massadebiet Massadebiet = massa fludum per tijdseenheid Qm = dm / dt = Eenheid: kg / s

Het volumedebiet Volumedebiet = volume fludum per tijdseenheid Qv = Q = dV / dt = V Eenheid: m / s

De continuteitsvergelijking van Castelli Door eender welke doorsnede van een welbepaalde stroombuis stroomt per tijdseenheid dezelfde massa vloeistof Massadebiet = constant => 1 * A1 * v1 = 2 * A2 * v2 Voor vloeistoffen (onsamendrukbaar) dichtheid wegdelen Volumedebiet = constant => A1 * v1 = A2 * v2

ViscositeitDe absolute of dynamische viscositeit Viscositeit = maat voor stroperigheid Bovenste plaat constante snelheid => kracht o Evenwijdig met plaatvlak o Recht evenredig met oppervlakte o Recht evenredig met snelheid o Omgekeerd evenredig met tussenafstand Symbool: Eenheid: Pa * s

De relatieve of kinematische viscositeit Symbool:

2de Bach NW Eenheid: m / s


9/14

Het dimensieloze kental van Reynolds Re = v * d / o v = stroomsnelheid o d = diameter stroombuis o = relatieve viscositeit Getal speelt belangrijke rol bij wrijvingsverliezen Criterium om te bepalen of het laminair of turbulent verloopt o Re < 2000: laminair o Re > 2000: turbulent

De waterslag

Vermijden of effecten temperen o Vermijd afsluiters bruusk sluiten / openen of turbines abrupt in / uit te schakelen o Vliegwiel op een pomp o Plaatsen UPS (uninterruptible power supply) o Bypass over pomp / turbine o Luchtinlaatkleppen & overdrukkleppen o Bufferende waterkolom / luchtreservoir o Traag sluitende / openende afsluiters o Flexibele leidingen

2de Bach NW


10/14

o Grote leidingdiameter & kleine stroomsnelheid

De vergelijking van BernoulliDe vergelijking van Bernoulli voor een ideale vloeistof Energievorm o M.b.v. arbeid energie theorema o g * (h1 h2) + (p1 p2) * V / m = (v2 - v1) / 2 o Arbeid geleverd door zwaartekracht en drukkracht is gelijk aan verandering kinetische energie Hoogtevorm o Herschrijven m.b.v. V / m = 1 / o Ladingshoogte = constant o H1 = h1 + p1 / ( * g) + v1 / (2 * g) = H2 = h2 + p2 / ( * g) + v2 / (2 * g) h = vloeistofhoogte p / ( * g) = statische drukhoogte v / (2 * g) = snelheidshoogte / dynamische drukhoogte Drukvorm o * g * h1 + p1 + * v1 / 2 = * g * h2 + p2 + * v2 / 2

De vergelijking van Bernoulli voor een rele vloeistof Aanpassingen o Wrijvingsverliezen o Kinetische energieterm (varirende snelheid) h1 + p1 / ( * g) + 1 * v1 / (2 * g) hw = h2 + p2 / ( * g) + 2 * v2 / (2 * g) o hw = verlieshoogte of ladingsverlies tussen 2 doorsneden o v = gemiddelde snelheid o = cofficint (meestal gelijkgesteld aan 1)

2de Bach NW


11/14

Het pompvermogenHet pompvermogen bij stroming van een ideale vloeistof hp = P / (Qv * * g) pm = P / Qv

Het pompvermogen bij stroming van een rele vloeistof Gelijkaardige uitdrukkingen

Dampspanning en cavitatie Cavitatie en de Net Positive Suction Head Druk in aanzuigzijde zo laag => dampbellen Vloeistof door de pomp => druk stijgt => bellen imploderen Energie komt vrij => ernstige erosie Vermijden: druk aan ingang pomp voldoende boven maximale dampdruk Drukhoogte inlaat pomp: pin / ( * g) = p0 / ( * g) h hv hw Daadwerkelijk verschil tussen drukhoogte en maximale dampdruk = NPSHA NPSHA = p0 / ( * g) h hv hw pmax / ( * g) Veiligheidsmarge => NPSHR

Enkele praktische toepassingen van de vergelijking van BernoulliDe Venturi Venturi = debietmeter a.h.v. gemeten drukverschil tussen twee stroombuisdoorsneden van verschillende oppervlakte Correctiefactor voor werkelijk debiet (door ladingsverliezen)

De buis van Pitot Meet snelheid van de stroming in n punt a.h.v. gemeten drukverschil in twee stijgbuizen Correctiefactor voor werkelijke snelheid (gemiddelde snelheid bekomen)

2de Bach NW


12/14

Uitstroming doorheen een scherpkantige openingScherpkantige uitstroomopeningen Scherpkantig = als vloeistof enkel binnenste rand van de opening raakt Straal met doorsnede kleiner dan oppervlakte uitstroomopening Vloeistofdruk gelijk aan omgevingsdruk cc = Ac / A

Uitstroming onder constante drijfhoogte

Als p1 = pc => vc = (2 * g * h) v = cv * vc Q = v * Ac = cv * vc * cc * A = cv * cc * vc * A = c * vc * A

Uitstroming onder veranderlijke drijfhoogte

Debiet niet constant

2de Bach NW


13/14

Permanente stroming door leidingenLadingsverliezen bij permanente stroming door een pijpleiding met een constante doorsnede hw = p / ( * g) + h hw / L = p / ( * g * L) + J o L = pijplengte o = hellingshoek o J = sin = h / L = verhang

Ladingsverliezen bij laminaire stroming door een pijpleiding met cirkelvormige doorsnede v(r) = g * hw / (4 * * L) * (R r) o v(r) = stroomsnelheid op afstand r van aslijn o R = straal pijp o L = lengte pijp Stroomsnelheid bereikt maximale waarde op as van de leiding vmax = g * hw / (4 * * L) * R v = vmax / 2 Qv = A * vmax / 2 = A * v hw = L * L / d * v / (2 * g)

Ladingsverliezen bij turbulente stroming door een pijpleiding met cirkelvormige doorsnede hw = * L / d * v / (2 * g) k = / d (relatieve wandruwheid) Moody-diagram!!

Niet-circulaire doorsneden de hydraulische diameter dH = 4 * A / O o A = oppervlakte doorsnede stroombuis / natte doorsnede o O = natte omtrek

Ladingsverliezen in hulpstukken Weerstandsgetal hw = * v / (2 * g)

2de Bach NW


14/14

Combinatie van ladingsverliezenSerieschakeling van stromingselementen Hetzelfde volumedebiet Som ladingsverliezen afzonderlijke elementen

Parallelschakeling van stromingselementen Volumedebiet verdeelt zich Gebied verdeelt zich zodanig dat vloeistof overal hetzelfde ladingsverlies ondergaat

Iteratieve oplossingsmethode van stromingsvraagstukken Stromingselementen gedragen zich niet-lineair Weerstandscofficint is geen constante Vertrekken van schatting van weerstandscofficinten

Hydro Mechanica

Documents

Transcript of Hydro Mechanica