Mechanica Van Constructies Elasto-statica Van Slanke Structuren

324

20 Koppeling van liggers die op buiging worden belast

20.1. Inleiding Vanouds is bekend dat als een houten balk op een andere balk is geplaatst met de bedoeling dat zij gezamenlijk de belasting opnemen, het samenstel kan worden verstijfd door er deuvels tussen te plaatsen. Een moderne versie van deze constructie is de staal-betonligger. Een verwante koppeling ziet men vaak bij gebouwen, waar verticale wanden door

horizontale balken of lateien zijn verbonden, zoals in figuur 20.1 is weergegeven. Ook

komt het bij gebouwen vaak voor dat geprefabriceerde wanden over de gehele hoogte door een voeg met elkaar zijn verbonden (figuur 20.2).

-CI

Figuur 20.1.

D D D

Figuur 20.2.

In al deze gevallen oefenen de op buiging belaste liggers, dan wel wanden, schuifkrachten op elkaar uit, waardoor zij elkaar als het ware helpen bij het opnemen van de belasting. Het betreft nauw verwante problemen. We willen hier in het bijzonder het gedrag van wanden die door balken verbonden zijn, nader onderzoeken. Het systeem is in figuur 20.3 schematisch weergegeven. Het samenstel van wanden wordt aan de linkerzijde belast door een verdeelde horizontale belasting q. De belastingsaandelen q, en q2 van de wanden zijn voorshands onbekend. Er geldt:

(20.1)

Koppeling van liggers die op buiging worden belast 325

-----q-

I .. ,a, _I .. b .1. 02 _I z.w Figuur 20.3.

Zou de koppeling plaats hebben met pendelstaven, dan zou de belasting q evenredig met de respectievelijke buigstijfheden Eli en EI2 over de wanden 1 en 2 worden

verdeeld. De schuifkrachten s verstoren dit beeld.

Deze verdeeld gedachte schuifkrachten s ontstaan omdat de punten AI en A2, die aan

de binnenzijde van respectievelijk de wanden I en 2 in n doorsnede zijn gelegen, bij belasting ten opzichte van elkaar in verticale richting verschuiven, zoals in figuur 20.4

is weergegeven. Als gevolg hiervan worden de koppelbalken (lateien) gebogen op de

wijze als in figuur 20.5 is geschetst, waarbij in het midden van de balken momenten-nulpunten ontstaan, zoals later zal blijken. Ter plaatse van deze nulpunten wordt alleen

een verticale dwarskracht overgebracht.

x

z.w

Figuur 20.4, Figuur 20.5.

Als de onderlinge verschuiving van de punten AI en A2 met!l wordt aangeduid, is de

verticale dwarskracht V in een balk (figuur 20.5):

(20.2)

waarin EI de buigstijfheid van de koppelbalk en b de afstand van de punten AI en A2 is. Worden deze krachten in verticale richting "uitgesmeerd", dan ontstaat een ver-

326 Mechanica van Constructies

deelde schuifkracht s (positief zoals aangegeven in figuur 20.3):

s = 12 EI ~ b3h

waarin h de verticale afstand van de koppelbalken is.

Door het invoeren van een stijfheidsfactor

kan kortheidshalve worden geschreven:

[Nim]

Het effect van de verdeelde schuifkrachten s op de wanden is tweeledig.

(20.3)

(20.4)

(20.5)

In de eerste plaats oefenen zij op de wanden verdeelde momenten uit (figuur 20.3):

I in wand 1: ml=2"(al+b)s (20.6)

(20.7)

In de tweede plaats veroorzaken zij als verdeelde axiale belasting normaalkrachten in de wanden en daardoor axiale verplaatsingen u van de doorsneden. Dit laatste effect compliceert de analyse aanzienlijk. We splitsen daaromons onderzoek in twee delen.

In het eerste deel wordt de vervorming door de normaalkrachten in de wanden - de

gemiddelde rek - buiten beschouwing gelaten, wat bij toepassing van koppelbalken

vaak geoorloofd kan zijn. In het tweede deel wordt de gemiddelde rek in de wanden in

de berekening betrokken, wat met name bij toepassing van voegen noodzakelijk zal zijn.

20.2. Wanden bij verwaarlozing van de gemiddelde rek

We beginnen met het recapituleren van de vier basisvergelijkingen voor beide wanden

(liggers), bij belasting op buiging (hoofdstuk 4). De afschuiving kan daarbij buiten

beschouwing worden gelaten (GA = 00).

wand 1:

dDt q, = - dx

dM, DI=dx-+ m ,

d, M, =EI, dx

dw, , =--

dx

wand 2:

dD2 q2 = - dx

dM2 D2 =dx-+ m2

d2 M2=Eh dx

dW2 2=--dx

(20.8)

(20.9)

(20.10)

(20.11)


De koppeling van de wanden bewerkstelligt dat de verplaatsingen WI en W2 gelijk zijn

en daarmee ook de rotaties


Met de vergelijkingen (20.9) volgt dan:

dMb D=Tx+ml +m2

Voor de som van de verdeelde momenten mi en m2 volgt uit (20.6) en (20.7):

waarmee vergelijking (20.22) overgaat in:

D= dMb + as dx

(20.21)

(20.22)

(20.23)

(20.24)

Aan deze vergelijking zien we hoe de schuifkracht s extra bijdraagt aan het momenten-evenwicht.

Optellen van de vergelijkingen (20.8) leidt tot:

q=_dD dx

Wordt vergelijking (20.24) na differentiren hierin gesubstitueerd, dan volgt:

(20.25)

(20.26)

Met (20.20) en (20.16) volgt dan de differentiaalvergelijking in de verplaatsing w

waarmee het gedrag van de gekoppelde wanden wordt beschreven:

(20.27)

De eerste term in het linkerlid representeert de gezamenlijke draagkracht van de onge-

koppelde wanden bij buiging. De tweede term representeert de draagkracht die wordt

geleverd door de schuifkracht s in de verbinding. Deze levert een verdeeld tegen-

werkend moment a s (20.23), dat toeneemt met de helling dw/dx van de wand (20.16). Men zou kunnen stellen dat langs de as van het systeem verdeelde tegenwerkende

rotatieveren aanwezig zijn. De tweede term komt dan ook overeen met de tweede term

in vergelijking (11.6).

Het valt natuurlijk ook direct op, dat de structuur van de vergelijking overeenkomt met

die voor de combinatie van een buigligger en een afschuifligger (hoofdstuk 14). We kunnen de constante ksa2 als een afschuifstijfheid opvatten en met GA aanduiden.

Vergelijking (20.27) wordt dan gelijk aan vergelijking (14.4).

De afschuifligger die in het systeem aanwezig is halen we naar voren als de buig-

stijfheid EI gelijk aan nul wordt gesteld. Dan volgt uit (20.20): Mb = 0 en vervolgens


met (20.22), (20.23) en (20.16) voor de dwarskracht Da:

Da = mi + m2 = as = ksa2 ~; = GA ~; (20.28)

De afschuifstijfueid wordt uitsluitend geleverd door de buigstijfueid van de koppel-

balken (figuur 20.4). De draagwerking door deze "afschuiving" staat geheelJos van de draagwerking door de buiging van de beide wanden, zodat beide draagwerkingen als bij een parallelsysteem kunnen worden gesuperponeerd.

De bijdrage van de schuifkrachten s aan de draagkracht blijkt het duidelijkst bij de

particuliere oplossing voor een sinusvormige belasting q = ql sin (1txll) . Substitutie van w = WI sin (1txll) in de differentiaalvergelijking leidt tot de oplossing:

(20.29)

Met deze formule kan het effect van de stijfheidsfactor ks gemakkelijk worden

nagegaan.

Voor het belastingsgeval volgens figuur 20.3 kan de oplossing gebruikt worden die reeds eerder voor de combinatie van een buigligger en een afschuifligger is afgeleid. Bij een constante belasting qo gold (14.8):

w = C eax + C2 e-ax + C3 + C4X _1 qo x2 J 2GA (20.30)

waarin de parameter a nu gedefinieerd wordt door:

(20.31)

De randvoorwaarden zijn:

voor x = 0: w=o

en dw =0 dx

(20.32)

voor x = i: Mb=MJ +M2=0 d2w (20.33) ~ - =0 dx2

dMb _ EI d3w + GA dw = 0 (20.34) en D=--+as=O ~

dx b dx3 dx

Deze randvoorwaarden komen overeen met die van het eerste voorbeeld in hoofdstuk

14 (formules 14.12 tot en met 14.19). De in hoofdstuk 14 gegeven oplossingen voor de constanten (formules 14.20 tot en met 14.23) kunnen dus hier worden overge-nomen, evenals de uitdrukkingen voor de verplaatsing w en het buigend moment (formules 14.24 en 14.25). Ook de in figuur 14.4 weergegeven uitkomsten voor een waarde al = 2 kunnen


worden benut om inzicht te verkrijgen in het gedrag van gekoppelde wanden. Voor de

interpretatie geldt dan nog het volgende:

Da = GA ~~ = mI + m2 = a s, (zie ook 20.28) (20.35)

(20.36)

Deze momentensom wordt evenredig met de buigstijfheden over de wanden 1 en 2 verdeeld:

MI = ElI +EI2 Mb

EI2 M 2 = EI) + EI

2 Mb

d3w dMb Db=-EIb-=--dx3 dx

(20.37)

(20.38)

Superpositie van de functies voor Da en Db leidt tot het vereiste lineaire verloop van de

totale dwarskracht, zoals in figuur 14.4 is aangegeven. Er geldt:

dMb Da + Db = as + X = D = D) + D2 (20.39)

De afzonderlijke dwarskrachten in de wanden moeten worden bepaald met de formules

(20.9). Er geldt:

dM] 1 DI = X + 2(a] + b)s

dM2 I D 2 =X + 2(a2+ b)s (20.40)

Als bij toenemende belasting de schuifkracht s een grenswaarde So bereikt (elasto-plastisch gedrag) en de schuifkracht over de gehele hoogte constant is geworden

(althans bij benadering), wordt het probleem eenvoudiger. De krachtsverdeling is dan

statisch bepaald en kan door directe integratie van de vergelijkingen (20.25) en (20.24) worden gevonden. In figuur 20.6 is de momenten lijn schetsmatig aangegeven.

20.3'. Wanden met inachtneming van de gemiddelde rek

Bij stijve koppelbalken en in het bijzonder als de wanden door voegen gekoppeld zijn,

moet rekening worden gehouden met de eindige rekstijfheid (extensiestijfheid) van de wanden. Voor homogene voegen die op afschuiving worden belast (figuur 20.7) geldt voor de stijfheidsfactor ks:


Figuur 20.6.

f-ff--J--I ~I I ' Qt b Qz

Figuur 20.7.

(20.41 )

waarin G de glijdingsmodulus van het materiaal is en t de voegdikte (loodrecht op het

wandoppervlak). De schuifkrachten s veroorzaken in de wanden normaalkrachten. Wand 1 wordt op trek belast, wand 2 op druk. Als gevolg daarvan zal van de gemeenschappelijke doorsnede AlA2 (figuur 20.4) de doorsnede in wand 1 een positieve verplaatsing UI ondergaan en de doorsnede in wand 2 een negatieve verplaatsing U2. De onderlinge verschuiving van de punten Al en A2 neemt daardoor af. Er geldt nu (zie ook formule

(20.15:

en voor de schuifkracht geldt met de ongewijzigde vergelijking (20.5):

s = ks(a ~: - UI + U2)

(20.42)

(20.43)

De schuifkracht neemt af en daarmee het tegenwerkend moment dat door de schuif-

kracht wordt geleverd. De verplaatsingen w zullen groter worden, de stijfheid van het

systeem zal afnemen. Dit alles wordt veroorzaakt door het toevoegen van een vervorm-

ingsmogelijkheid aan het systeem. De afschuifligger die in het systeem besloten is, wordt nu geacht ook te kunnen buigen (zie voor belasting van een ligger op afschuiving en buiging hoofdstuk 4). Grootheden die op deze buig-afschuifligger

betrekking hebben voorzien we, indien nodig, van een index s. Bedenkend dat de dwarskracht Ds in deze ligger gelijk is aan a s (zie formule (20.24) of (20.28 en dat gesteld kan worden

(20.44)


waarbij


Wordt met de formule voor een seriesysteem gesteld:

dan is

_1_ + _1_ = _1_ EA, EA2 EAs

de buigstijfueid van de buig-afschuifligger. Uit (20.52) volgt dan:

en dus met (20.46):

Deze vergelijking komt overeen met (4.23).

(20.52)

(20.53)

(20.54)

(20.55)

(20.56)

Het probleem is nu beschreven door de beide simultane vergelijkingen (20.48) en (20.56) en de bijbehorende zes randvoorwaarden.

De structuur van de vergelijkingen is zo dat de verplaatsingscomponent w gemakkelijk

kan worden gelimineerd door vergelijking (20.56) achtereenvolgens nmaal en

driemaal te differentiren en de verkregen uitdrukkingen vervolgens in (20.48) te

substitueren. Er volgt:

= EIbEIs d5


waarvan de oplossing bij een constante belasting qo is:

as = C] elLux + C2 e-lLux + C3 _ qo; Jl

Voor de afgeleiden volgt:

du ~ - = JluC] elLUx - JlUC2 e-ILUx --dx Jl2

(20.60)

(20.61)

(20.62)

(20.63)

Voor het bepalen van de constanten moeten drie randvoorwaarden worden gefor-muleerd in de schuifkracht s enlof zijn afgeleiden. We beschouwen hetzelfde geval als

in de vorige paragraaf.

Aan de onderzijde, voor x = 0, geldt: u] = 0, U2 = en dw/dx = en dus geldt hier volgens (20.43):

as = 0 (20.64)

Aan de bovenzijde, voor x = l, geldt: M = 0, dus d2w/dx2 = O. Voorts geldt hier N] = Oen N2 = 0, dus ook du]/dx = 0 en dU2/dx = O. Met (20.43) volgt dan dat hier geldt:

das -0 dx - (20.65)

Aan de bovenzijde geld ook: D = O. Volgens (20.24) geldt dan: dM/dx + as = 0 of ook -Elb d3w/dx3 + as = O. De derde afgeleide van w kan met behulp van (20.55) en (20.56) worden uitgedrukt in a s. Gevonden wordt:

d3w 1 d2as 1 --=- ----as dx3 GA dx2 EIb

(20.66)

De randvoorwaarde wordt nu:

of ook:

(20.67)

Voor de constanten volgt nu:


1 + Jlal el.uxl qol C2 = - ---'-------

Jlal( e/lul + e-/lUl) Jl2

C3 = q~ Jl

waarmee de oplossingen (20.61) tot en met (20.63) bekend zijn.

(20.68)

(20.69)

(20.70)

Met de oplossing voor de schuifkracht s dan wel voor a s is het probleem in wezen

opgelost. De krachtsverdeling is dan statisch bepaald geworden.

De dwarskracht D volgt door directe integratie van (20.25):

dD =_q dx

Het buigend moment Mb volgt daarna door directe integratie van (20.24):

dM __ b =D-as dx

(20.71)

(20.72)

De afzonderlijke momenten MI en M2 en de dwarskrachten DI en D2 kunnen worden

bepaald met de vergelijkingen (20.37) en (20.40). Ook de overige grootheden kunnen

gemakkelijk worden afgeleid.

Voor de bijdrage aan de draagkracht door de schuifkracht s geldt met (20.47) en

(20.55):

_ dDs _ das qs - - dx - - dx

Deze is dus met (20.62) te bepalen.

Voor de draagkracht van de beide wanden geldt dan:

We bekijken nog twee gevallen.

(20.73)

(20.74)

Wordt aan de bovenzijde een stijve koppeling aangebracht, zodat de doorsneden van

de beide wanden daar in n vlak blijven (


(20.76)

Met deze voorwaarden wordt gevonden:

(20.77)

(20.78)

(20.79)

Van een verdere uitwerlng van deze resultaten wordt hier afgezien. Voor waarden !lul 1 worden de uitkomsten sterk vereenvoudigd.

Figuur 20.8.

MI DI

F

01~~~===9~~~ MI

b z .w

In het volgende geval is aan de bovenzijde van wand 1 een normaalkracht F aangebracht (figuur 20.8). De belasting q wordt buiten beschouwing gelaten. Aan de

bovenzijde geldt nu:

d U2 en --=0

dx

zodat met (20.43) de volgende randvoorwa~rde wordt gevonden voor x = l: das d UI F dx = -ksa dX = -ksa EAI

(20.80)

(20.81)

Met de ongewijzigde randvoorwaarden (20.64) en (20.67) wordt nu voor de constanten gevonden:


Hiermee wordt voor a s de volgende uitkomst verkregen:

en dus : -ks sinh Ilax F

s=-Ila cash Ilal EA 1

(20.82)

(20.83)

(20.84)

(20.85)

Voor waarden Ilal > 2 geldt sinh Ilal "" cash Ilal en dus geldt dan bij benadering voor de extreme schuifkracht in x = I, waar de kracht F aangrijpt:

s- -ks ~ - lla EAt (20.86)

Als de oorsprong van het assenstelsel in het bovenvlak wordt gekozen en een x-as naar

beneden wijst, zodat geldt x = I - x, kan het verloop van de schuifkracht s in de nabijheid van het bovenvlak bij benadering worden weergegeven door de exponentile

functie:

(20.87)

Met deze formule kan een indruk worden verkregen van piekspanningen die onder

verschillende omstandigheden kunnen optreden. Dit kan een discontinue verdeling van

de belasting zijn, maar ook een discontinuteit (een sprong) in een doorsnede of een

discontinuiteit in een temperatuursverdeling.

Deel 6 Storingsproblemen

21 Randstoringen bij cilindrische schalen en membranen

21.1. Het randstoringsprobleem bij cilindrische schalen, inleiding

341

De randstoringen bij axiaalsymmetrisch belaste constructies als buizen, reservoirs, tanks, silo's enzovoort vormen een belangrijk probleem. Om duidelijk te maken waar het om gaat, beschouwen we een cirkelvormige buis met straal a en wanddikte t, die

op regelmatige afstanden is verstijfd door ringen aan de buitenzijde (figuur 21.1) en

waarin een overdruk qo heerst. Door de overdruk zal de buis willen uitzetten. In de omgeving van de verstijvingsringen wordt deze uitzetting echter belemmerd, waardoor

de buiswand daar gebogen wordt. Het betreft hier een randstoringsprobleem, dat met de theorie van de elastisch ondersteunde ligger gemakkelijk kan worden opgelost.

Figuur 21 . 1.

x - O -M /" a buis

Figuur 21 .2.

Ook bij een reservoir met cirkelvormige doorsnede, waarin zich een vloeistof (water,

olie enzovoort) bevindt (figuur 21.2) doet zich het probleem voor. De vloeistof oefent

op de wand een druk uit die van boven naar beneden lineair toeneemt, waardoor de wand zal uitzetten. Ter plaatse van de bodem wordt deze verplaatsing echter verhinderd en wordt de wand weer teruggebogen. Ook hier is sprake van een rand-storingsprobleem.

21.2. Differentiaalvergelijking en veerconstante We zullen nu laten zien dat deze randstoringsproblemen kunnen worden opgelost met de theorie van de elastisch ondersteunde ligger. Daartoe beschouwen we een

cilindrische schaal met straal a en constante wanddikte t (figuren 21.3a en 21.3b), onbepaald lang, die axiaal-symmetrisch wordt belast door een inwendige overdruk, dat wil zeggen een gelijkmatig verdeelde belasting qo (kracht/oppervlakte).

342 Mechanica van constructies

a b

Figuur 21 .3.

6JM

d9 n reactie pds=nd9

". ~t1,gq. ~ c d~ n d

Deze belasting veroorzaakt een radiale verplaatsing w en dientengevolge een rek e in omtreksrichting. Omdat in langsrichting geen variatie optreedt kan de cilinder in

gedachte worden opgedeeld in een groot aantal smalle cirkelvormige ringen. Elke ring

ondergaat nu dezelfde vervorming. Bij de behandeling van ringen (hoofdstuk 18) is reeds het verband tussen de rek E in omtreksrichting en de radiale verplaatsing w afgeleid, namelijk:

E= ~ (21.1)

Interessant is dat de rek in omtreksrichting gelijk is aan de fictieve rek in radiale

richting.

Als er geen normaalspanningen in lengterichting aanwezig zijn behoort bij de rek in omtreksrichting een spanning 0' = BE wat voor de cilinderschaalleidt tot een verdeelde kracht (krachtJlengte) in omtreksrichting:

n = O't = EEt = ~ w (21.2)

We snijden nu uit de cilinderschaal in langsrichting een reep met breedte ds = a de (figuren 21.3a en 21.3c). Deze reep, die we in het vervolg als een ligger zullen beschouwen, wordt dus belast door een in langsrichting gelijkmatig verdeelde belasting qo ds (krachtJlengte). Voorts werken op de zijvlakken de verdeelde krachten n die, zoals bekend (zie ook

figuur 21.3d), een radiale binnenwaarts gerichte resultante p ds hebben, waarbij p ds gelijk is aan n de = n ds/a, waardoor de verdeelde belasting qo ds in evenwicht wordt gehouden. Gebruik makend van vergelijking (21.2) kan voor deze verdeelde

reactiekracht p ds (kracht! lengte) worden geschreven:

p ds =~ w ds a

(21.3)

Deze verdeelde reactiekracht is evenredig met de verplaatsing w, wat het uitgangspunt

was voor de theorie van de elastisch ondersteunde ligger. De ligger (de reep) wordt

verend gesteund door de eerder genoemde reeks van smaIle naast elkaar gelegen ringen. Varieert de belasting q(x) in langsrichting, dan zal er niet in elk punt evenwicht zijn

Randstoringen bij cilindrische schalen en mem bramen 343

tussen de belasting q ds en de reactie p ds, zodat in de ligger buiging zal optreden. Bij het opstellen van de differentiaalvergelijking voor deze ligger moet nog worden

bedacht dat bij buiging de dwarscontractie wordt verhinderd, zodat de buigstijfheid EI

moet worden vervangen door de plaatstijfheid

K = _-=E:..:.t3 __ 12(1-y2)

waarin y de dwarscontractiecofficint is.

(21.4 )

De plaatstijfheid is een stijfheid/lengte, zodat deze voor een ligger met breedte ds nog

met ds moet worden vermenigvuldigd.

Het is nu gemakkelijk in te zien dat de differentiaalvergelijking voor de ligger luidt:

d4w K ds -4 = q(x) ds - p(x) ds dx

wat na substitutie van formule (21.5) en deling door ds overgaat in:

d4w Et K-+-w =q(x) dx4 a2

(21.5)

(21.6)

Deze vergelijking is analoog in opbouw met die voor de elastisch ondersteunde ligger met dien verstande dat de buigstijfheid EI vervangen is door de plaatstijfheid K en dat

de veerstijfheid k gelijk blijkt te zijn aan:

(21. 7)

De analogie leidt er toe dat bij veel problemen gebruik kan worden gemaakt van de

eerder voor de elastisch ondersteunde ligger verkregen oplossingen (hoofdstuk 11).

Dit geldt zowel voor de particuliere oplossingen van de differentiaalvergelijking en de

oplossingen (11.21), (11.22) en (11.33) voor de gereduceerde vergelijking, als voor

de verdere uitwerkingen voor de verschillende basisgevallen en de andere behandelde

voorbeelden . De in deze oplossingen voorkomende parameter ~ is nu als volgt gedefinieerd:

(21.8)

In het volgende zullen een aantal toepassingen de revue passeren.

21.3. Toepassingen

Een met ringen verstijfde buis onder inwendige overdruk (figuur 21 . 1) In het begin van dit hoofdstuk is dit voorbeeld reeds gentroduceerd. Wordt aan-

genomen dat de ringen oneindig stijf zijn, zodat zij geen radiale verplaatsing toelaten,


dan herkent men onmiddellijk het vergelijkbare geval in het hoofdstuk over de elastisch

ondersteunde ligger (figuur 11.26). We kunnen hieraan ontlenen dat in het

ongestoorde gebied de radiale verplaatsing w gelijk is aan:

(21.9)

Uiteraard is dit ook de particuliere oplossing van vergelijking (21.6).

Het extreme buigend moment in de buiswand ontstaat onmiddellijk naast de verstij-

vingsring, waar x = O. Volgens de formules (11.67) en (11.68) is dit moment gelijk aan:

(21.10)

waarin b = 1I~ de zogenaamde meewerkende breedte is. Dit buigend moment is een over de omtrek van de buis verdeeld buigend moment en is

dus uitgedrukt in de eenheid Nmlm. Bij het berekenen van de extreme buigspanningen

moet het dan ook worden gedeeld door het verdeeld weerstandsmoment t2/6

(weerstandsmomentllengte) .

Met de definitie van ~ volgens (21.8) blijkt bij de cilinderschaal de meewerkende

breedte gelijk te zijn aan:

b = _----'{at'-'Cat"-----_ ~,-3 -(l-_-v-=--2)

Voor een dwarscontractiecofficint v = 0 wordt: b = 0,76{at

(21.11)

(21.12)

Onder het wortelteken staat in beide formules het product van straal en wanddikte. Bij

dunwandige buizen, waarvoor t a, is de meewerkende breedte en dus ook de randstoringszone klein ten opzichte van de straal van de buis.

In het algemeen zullen de verstijvingsringen zo ver van elkaar liggen, dat de hierdoor

veroorzaakte randstoringen elkaar niet benvloeden. Dit rechtvaardigt het gebruik van

de oplossingen voor de halfoneindige ligger. Ofschoon de randstoringszone dus klein

is kan het buigend moment volgens (21.10) echter een aanzienlijke waarde hebben,

zodat hiermee wel rekening moet worden gehouden.

De buis oefent op de verstijvingsring volgens formule (11.66) van weerszijden een

radiale lijnbelasting (kracht/lengte) uit (figuur 21.4), gelijk aan:

r= 2 qo ~

(21.13)

De ring wordt hierdoor op rek belast, met een normaalkracht:

Randstoringen bij cilindrische schalen en membramen 345

lIerstijllingsring

Figuur 21 .4.

(21.14)

Is de ring niet oneindig stijf, maar laat hij een zekere verplaatsing naar bu.iten toe, dan

neemt het buigend moment in de buiswand af. De verplaatsing w volgens formule (21.9) wordt nu als het ware overbrugd door een kleinere insnoering van de buis en een verplaatsing naar buiten van de ring. Met deze voorwaarde kan -gebruik makend van bekende formules - de reactiekracht r worden bepaald waarmee de randstoring in

de buis bekend is.

Reservoirs en tanks voor vloeistoffen Het randstoringsprobleem aan de voet van de wand van reservoirs en tanks voor de opslag van vloeistoffen is eveneens reeds in het begin van dit hoofdstuk gesignaleerd

(figuur 21.2).

In het algemeen zal de stijfheid van de bodemplaat in zijn vlak zeer groot zijn, zodat ter plaatse van de aansluiting van wand en bodemplaat geen zijdelingse verplaatsing w kan optreden. Is de rotatiestijfheid van de bodemplaat ook groot zodat hier voor de wand van een inklemming kan worden gesproken, dan zijn de randvoorwaarden van de wand hier gelijk aan die in het vorige voorbeeld.

\ Een verschil met het vorige voorbeeld is evenwel dat de belasting op de wand niet

constant is, doch van boven naar beneden lineair toeneemt. Deze belasting is:

q(x) = y(h - x) (21.15)

waarin y het volumiek gewicht van de vloeistof is. De particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking wijzigt daardoor. Deze luidt:

w = tY(h - x) (21.16)

De volledige oplossing bestaat nu uit deze particuliere oplossing tezamen met de oplossing van de gereduceerde vergelijking in de vorm (11.22) of (11.33). De

integratieconstanten kunnen weer met behulp van de randvoorwaarden worden

opgelost. Vervolgens kunnen uit de verkregen oplossing de buigende momenten en

dwarskrachten worden afgeleid.

_ .""' II II I . A ....


In het vorige voorbeeld is reeds aangetoond dat de randstoringszone smal is. Over deze smalle zone zal de belasting (de vloeistofdruk) meestal maar weinig variren. Wordt aangenomen dat de vloeistofdruk in het randstoringsgebied constant is - gelijk

aan de druk nabij de bodem - dan kan gebruik worden gemaakt van de uitkomsten van

het vorige voorbeeld van de buis onder overdruk. Dit zal in het algemeen een

voldoende nauwkeurige benadering opleveren. Is de buigstijfheid van de bodemplaat niet oneindig groot, maar laat deze een zekere rotatie toe, dan neemt het buigend moment in de wand af. Ook dit probleem laat zich eenvoudig analyseren.

Het effect van voorspannen Een derde voorbeeld betreft het effect van het voorspannen van buizen en reservoirs

van beton. Dit voorspannen wordt vaak gedaan om de trekspanningen die door de belasting - de inwendige druk - ontstaan te compenseren. Men moet er evenwel op bedacht zijn dat tijdens het proces van voorspannen buiging van de wand optreedt. Dit blijkt bij beschouwing van figuur 21.5, waar een voorspandraad om een buis wordt

gewikkeld van rechts naar links. Als de trekkracht in de draad T genoemd wordt en de

spoed van de wikkeling s, dan wordt op de buiswand een verdeelde belasting

T qo = - as (21.17)

uitgeoefend, wat leidt tot een verdeelde kracht n in omtreksrichting (kracht/lengte),

gelijk aan:

n = qoa=-f (21.18)

Hiermee correspondeert een radiale verplaatsing w naar binnen (zie ook formule 21.2)

gelijk aan:

(21.19)

Bij het begin van de wikkeling (punt A in figuur 21.5) is nu een overgangszone

aanwezig waar de buis wand wordt gebogen. Tijdens het van rechts naar links voort-

schrijdende voorspanproces schuift deze overgangszone mee. Het beeld is identiek met dat van figuur 11.30 in het hoofdstuk over de elastisch ondersteunde ligger.

Figuur 21.5.


Substitutie van qo in de betreffende formules (11.72) en (11.73) geeft ook voor dit geval de extreme waarden van dwarskracht en buigend moment. Het extreme buigend

moment bijvoorbeeld, optredend aan weerszijden van punt A, is:

mextr = 0,322 g02 = + 0,322 ~.I 4~ 4~ as

(21.20)

Temperatuursspanningen Eenzelfde vervormingsbeeld als we zoven bespraken, treedt op indien een reservoir

tot een bepaalde hoogte met een koude of warme vloeistof (LNG, LPG, olie) is gevuld

(figuur 21 .6).

! \ I vloeistof ~ -I T" ! 0" i .

Figuur 21.6.

Bij de bespreking van temperatuursinvloeden werd aangetoond (figuur 4.23) dat bij

vulling van een reservoir met een warme vloeistof de reservoirwand niet alleen zal willen uitzetten, maar dat er ook sprake is van een bijkomende kromming, waardoor in omtreksrichting aanzienlijke buigspanningen kunnen ontstaan. Ter hoogte van het vloeistofniveau ontstaat echter een overgangszone waardoor de wand van het reservoir ook in langsrichting wordt gebogen. Is het temperatuurverschil tussen de vloeistof en het medium (lucht, grond of water) buiten het reservoir T, dan is het temperatuur-

verschil voor het midden van de wand t T, waardoor een gemiddelde rek E in omtreks-richting ontstaat:

E - aIT - 2

waarin a de lineaire uitzettingscofficint van het materiaal van de wand is. Hiermee correspondeert een radiale verplaatsing w:

w = aE = aalT 2

(21.21)

(21.22)

Zoals bekend (zie ook formule 21.9) veroorzaakt een gelijkmatig verdeelde belasting

go een radiale verplaatsing:


De verplaatsing volgens formule (21.22) zou dus ook teweeggebracht kunnen worden

door een gelijkmatig verdeelde belasting go, gelijk aan:

go = ;i w = ~t a kT (21.23) Deze fictieve belasting kan nu bijvoorbeeld worden gesubstitueerd in het eerste deel

van formule (21.20).

Voor het extreme buigend moment wordt zo gevonden:

lEt mextr = 0,322 -2 - a T 4p a

(21.24)

De reeks van mogelijke voorbeelden van randstoringsproblemen bij axiaalsymmetrisch belaste cilinderschalen is met de gegeven voorbeelden bepaald niet uitgeput. Het is

duidelijk dat randstoringen overal aanwezig zijn waar het optreden van radiale ver-

plaatsingen tengevolge van belastingen of temperatuurveranderingen wordt belemmerd

of verhinderd. Dit kan een gevolg zijn van randvoorwaarden aan een uiteinde van de

schaal. Het kan ook een gevolg zijn van een discontinuteit (een sprong) in de belasting of bijvoorbeeld in de wanddikte. Na het voorgaande zal men echter mogelijke randstoringen kunnen onderkennen en de daardoor veroorzaakte buigende momenten kunnen berekenen met de hier gegeven formules uit de theorie van de elastisch

ondersteunde ligger.

21.4. Het randstoringsprobleem bij een cilindrisch membraan

Dit probleem treedt bijvoorbeeld op bij de analyse van een opblaasbare constructie van

flexibel materiaal, zoals kunststofdoek, in de vorm van een cilinder met een initile

straal a, die intact blijft door een geringe inwendige overdruk go. De cilinder wordt aan

de beide einden afgesloten gedacht met eindschotten. In omtreksrichting ontsta~t wederom een verdeelde kracht (figuur 21.7a):

(21.25)

Daarenboven is er nu in langsrichting een verdeelde kracht h aanwezig. Deze volgt uit

een evenwichtsbeschouwing na het aanbrengen van een snede A-A (figuur 21.7b). Op een eindschot werkt een resulterende kracht gOna2, die in evenwicht wordt gehouden door de langs de omtrek van de snede verdeelde kracht h. Er geldt dus:

2nah = gona2

waaruit volgt:


~.~._._ .. _.~._.

~ 2a

.-. __ ._' a n b A

Figuur 21.7.

(21.26)

De krachten die werkzaam zijn op een klein elementje dx ds zijn in figuur 21.7b

aangegeven. In de wand is een homogene vlakke spanningstoestand aanwezig. Eenvoudshalve wordt bij het bepalen van vervormingen ondersteld dat de dwarscon-

tractiecofficint gelijk is aan nul.

Door de overdruk zal de cilinder willen uitzetten, waarbij de verplaatsing van de wand

naar buiten, gelijk is aan:

(21.27)

Als de eindschotten stijf zijn in hun vlak wordt deze verplaatsing daar verhinderd. Het

verplaatsingsbeeld dat ontstaat is analoog met dat van de eerder behandelde elastisch

ondersteunde kabel, belast met een puntlast. Om dit aan te tonen snijden we uit de

cilinder in langsrichting een reep met breedte ds = a de. Deze flexibele reep waarin een langskracht H = h ds werkt, is te beschouwen als een kabel die elastisch wordt onder-steund door het overblijvende deel van de cilinder. De reactiekracht is weer gelijk aan:

P ds = EJ: w ds a

De differentiaalvergelijking voor de reep luidt dus:

d2w -h ds dx2 = qo ds - P ds

wat na substitutie van de uitdrukking voor p ds en deling door ds overgaat in :

d2w Et h---w=-qo dx2 a2

(21.28)

Deze differentiaalvergelijking voor de verplaatsing w van de cilinderwand is analoog met vergelijking (10.3) voor de elastisch ondersteunde kabel.

Omdat de randstoringen tot een smalle zone beperkt blijven kan voor de oplossing

nabij het linkereinde geschreven worden:


Hierin is a gedefinieerd als:

a=- /& -'J h;2

(21.29)

(21.30)

De integratieconstante C I volgt uit de randvoorwaarde voor x = 0: w = 0, wat leidt tot:

De uitdrukking voor de verplaatsing van de cilindrische wand wordt dus:

(21.31)

De verplaatsing nadert asymptotisch naar de in formule (21.27) gegeven waarde. Een bijzonderheid in deze oplossing is echter dat de parameter a niet constant is. Deze parameter bevat immers de verdeelde kracht h, die blijkens formule (11.26) afhankelijk is van de belasting. Dit betekent dat hier sprake is van een niet-lineair

verschijnsel. De randstoringszone, die gekarakteriseerd kan worden door de reciproke

waarde van de parameter a, breidt zich dus met toenemende belasting uit! De verticale component van de membraankracht in langsrichting is:

v=h dw dx

Met behulp van formule (21.31) wordt hiervoor gevonden:

q a2 v = ha _0_ e-ax Et

Aan het linker eindschot, waar x = 0, wordt dit (figuur 21.8):

v = ha qoa2 Et

Figuur 21 .8. Figuur 21 .9.

(21.32)

(21.33)

Randstoringen b/ cilindrische schalen en membramen 351

De cilindermantel oefent dus op het eindschot een even grote radiale, naar buiten gerichte, verdeelde lijnbelasting r uit (figuur 21.9):

q a2 r=hex-o-

Et (21.34)

Substitutie hierin van uitdrukking (21.26) voor de verdeelde kracht h en uitdrukking (21.30) voor ex leidt tot:

(21.35)

Ook uit deze formule blijkt het niet-lineaire karakter van het probleem. De radiale belasting op het eindschot neemt niet evenredig toe met de belasting qo maar relatief sneller.

Flexibele opblaasbare constructies worden in toenemende mate toegepast bijvoorbeeld

als pneumatische hallen voor uiteenlopende doeleinden, als noodwaterkeringen in

boezemwateren enzovoort.

352

22 Wringing bij kokers met vervormbare doorsnede

22.1. Schranken van een doorsnede, afleiding van de differentiaalvergelijking

Bij de behandeling van kokers in hoofdstuk 3 is aangenomen dat de doorsneden in hun vlak niet vervormen. Bij een hoog gebouw wordt aan deze voorwaarde voldaan omdat de verdiepingsvloeren in hun vlak zeer stijf zijn. Bij bruggen die als kokers zijn uitgevoerd kan aan de voorwaarde worden voldaan door het aanbrengen van dwars-schotten of dwrsverbanden op regelmatige afstanden. Bij het bouwen van koker-

bruggen van beton werd dit spoedig als lastig ervaren en ging men er wel toe over de

dwarsverbanden weg te laten. De doorsneden kunnen dan echter in hun vlak

vervormen en bij belasting op wringing zullen zij schranken, wat betekent dat evenwijdige vlakken ten opzichte van elkaar een translatie ondergaan (figuur 22.1). Het woord schranken is een globale beschrijving van het vervormingsbeeld. De

wanden worden ook gebogen op de wijze zoals in figuur 22.2 is aeschetst en die reeds

in hoofdstuk 2 voor een raamwerk is beschreven.

Door deze vervorming van de doorsnede neemt de stijfheid van de koker af en het is

van belang dit verschijnsel te onderzoeken. Wij doen dit voor de koker die in figuur 22.6a in scheve projectie is weergegeven.

Figuur 22. 1 Figuur 22.2.

Onder invloed van verdeelde belastingen q I en q2 zoals weergegeven in figuur 22.1, ondergaan de wanden 1 en 2, die nog weer apart zijn weergegeven in figuur 22.4, respectievelijk verplaatsingen WI en W2. Omdat daarbij de doorsnede moet worden vervormd, verzet deze zich daartegen, waardoor verdeelde reactiekrachten PI en P2 worden opgewekt, zoals in figuur 22.4. is aangegeven.

Om deze reactiekrachten te bepalen beschouwen we de in figuur 22.3a en 22.3b

gegeven raamwerken, waaraan vervormingen worden opgelegd en we bepalen de

Wringing bij kokers met vervormbare doorsnede 353

C positieve e positieve draaizin ~ draalzin __ -- w, Fz Wz I I Wz "f,I;- $2 -- I l' ---ff. - \ L 1 EI, I f ~ :E~ I a, a, cD EI, 1 EI, a, Elz _ __

Fz ~, Elz \tIJ, wtA l- - -T:=-~ 2 t-1j!2 2 . t F, Fz a I az b F,

Figuur 22.3.

krachten dan wel koppels die hiervoor nodig zijn.

Bij het raamwerk in figuur 22.3a ondergaan de staven 1 een even grote maar tegen-

gestelde verplaatsing WI . Uit een elementaire berekening volgt dat daarvoor krachten FI volgens de staafassen 1 nodig zijn (zie ook formule 2.12):

FI = 24 1 2wI =~ EJIEJ2 WI al allEJI + a2IEJ2 a22 EJla2 + EJ2al

(22.1)

waarin EJ 1 en EJ2 de buigstijfheden van respectievelijk de staven 1 en 2 zijn. Om verwarring te voorkomen is hier de letter J gebruikt in plaats van I. We voeren het tweelettersymbool GR in, gedefinieerd door:

waarmee vergelijking (22.1) overgaat in:

FI = GR WI a22

(22.2)

(22.3)

Het tweelettersymbool heeft de dimensie kracht maal lengte. De beginletter is gekozen

omdat er sprake is van schranken, dat is een vorm van afschuiving, de tweede letter R

is gekozen omdat het symbool betrekking heeft op een raamwerk, waarmee we een

mootje loodrecht op de as van de koker op het oog hebben. Voor het evenwicht van het raamwerk is het nodig dat er ook krachten F2 volgens de staafassen 2 worden aangebracht, werkend in de richting zoals in figuur 22.3a is aan-gegeven.

De krachtenparen F I en F2 worden positief genoemd als zij een linksdraaiend koppel

(tegen de klok in) vormen. Er geldt dus:

(22.4)

Bij het vervormingsbeeld van figuur 22.3a horen dus ook krachten F2:

a2 GR F2 = -"!FI =-ala2 WI (22.5)

- . 'co -- ---- 1111111111 111 _ 354 Mechanica van Constructies

Vervolgens wordt aan het raamwerk in figuur 22.3b een vervorming opgelegd, waar-

bij de staven 2 een even grote maar tegengestelde verplaatsing W2 ondergaan. Daar-voor zijn krachten F2. gericht volgens de staven 2, nodig, waarvoor geldt:

(22.6)

terwijl uit het evenwicht van het raamwerk voor de eveneens vereiste krachten Ft volgt:

(22.7)

Voor het gelijktijdig opleggen van de verplaatsingen Wt en W2 aan het raamwerk zijn

dus de volgende krachten nodig:

(22.8)

(22.9)

Het raamwerk, dat immers een mootje is uit de koker, oefent op zijn beurt tegen-gestelde reacties uit op de wanden van de koker (dat zijn vier liggers) en we kunnen dus stellen dat bij vervonning van de doorsnede deze op de wanden verdeelde reacties PI en P2 uitoefent gelijk aan:

(22.10)

(22.11)

Deze reacties zijn positief in de richting tegengesteld aan de verplaatsingen, zoals is aangegeven in figuur 22.4. In deze fonnules is nu de stijfheidsfactor GR verdeeld over de lengte, zodat deze de dimensie heeft van een kracht.

Figuur 22.4.

vooraanzicht wand 1

Wringing bij kokers met vervorm bare doorsnede 355

We merken nog op dat natuurlijk ook het moment van deze reacties om de as van de koker gelijk is aan nul:

(22.12)

We introduceren nu de rotaties '1'1 en '1'2 van respectievelijk de wanden (staven) 1 en 2

(zie ook figuur 22.3a en 22.3b):

(22.13)

(22.14)

Vervolgens noemen we het gemiddelde van deze rotaties de rotatie 'I' van de doorsnede en het verschil van deze rotaties de afschuiving 'YR (=schranking) van de doorsnede:

(22.15)

(22.16)

De afschuiving is dus de verandering van de rechte hoeken van de doorsnede en een

positieve waarde van YR betekent een toename van de rechte hoek in het met A

aangeduide hoekpunt in de figuren 22.3a en 22.3b.

Voor de verdeelde reacties kan nu worden geschreven:

(22.17)

(22.18)

Na dit voorbereidend werk kan het gedrag van de koker als ligger worden geana-

lyseerd. We beginnen met het volledig stelsel vergelijkingen voor beide wanden (zie

ook figuur 22.4):

wand I: wand 2:

dD I - dx = ql - PI

dD2 - dx = q2 - P2 (22.19)

dMI =DI-ml dM2 =D2 -m2 (22.20)

dx dx

DI dWI )

=GA!C-dx+


Naast deze vergelijkingen kunnen nog twee overgangsvoorwaarden worden opgesteld

en zijn er de vergelijkingen die op het wringend moment in de koker betrekking hebben. Reeds eerder zagen we ( 3.2), dat voor het wringend moment in een door-snede geldt:

Na differentiren en vervolgens substitueren van de vergelijking (22.19) volgt:

dMt dx = -(ql - PI)a2 - (q2 - P2)al

(22.23)

(22.24)

Omdat de verdeelde reactiekrachten PI en P2 een evenwichtssysteem vormen (zie

formule (22.12), volgt hieruit:

dM fix = - dx t = q\a2 + q2aJ (22.25)

Het rechter lid in deze vergelijking is inderdaad gelijk aan het verdeelde moment mx dat

door de verdeelde belastingen ql en q2, gelegen in respectievelijk de vlakken 1 en 2, wordt veroorzaakt.

De beide overgangsvoorwaarden tussen de wanden 1 en 2 werden reeds in paragraaf 3.2 afgeleid. De eerste betrof de verdeelde schuifkrachten SI en S2 waarvoor geldt:

Op de wanden 1 en 2 werken dus verdeelde momenten, respectievelijk:

en fi2 = sa2

De vergelijkingen (22.20) gaan hiermee over in:

dM2 en -- = D2 - s a2 dx Eliminatie van s uit deze beide vergelijkingen leidt tot de relatie:

wat met de beide vergelijkingen (22.22) overgaat in:

d2


rek in de wanden gelijk is aan nul, geldt hiervoor (zie ook 3.2):

(22.31)

Om de essentie van het storingsprobleem dat we willen behandelen duidelijk te laten

uitkomen en ook om het probleem toegankelijker te maken verwaarlozen we hier de

afschuiving in het vlak van de wanden, waardoor de resultaten van ons onderzoek niet wezenlijk worden benvloed, zoals later zal blijken (zie het slot van 22.3). Met GA = 00 volgen dan uit de vergelijkingen (22.21) de bekende relaties:

Substitutie hiervan in vergelijking (22.30) leidt tot:

en substitutie in de overgangsvoorwaarde (22.31) leidt tot:

Uit deze relatie volgt in de eerste plaats met (22.15):

d", -=0 dx

(22.32)

(22.33)

(22.34)

(22.35)

zodat alleen een constante rotatie van de koker mogelijk is. De grootte van deze rotatie

is in dit verband niet relevant.

Uit vergelijking (22.15) volgt ook:

d",! d"'2 -=--dx dx

(22.36)

De vervorming van de doorsnede is zodanig, dat de vier hoekpunten op de diagonalen

van de rechthoek blijven, zoals is weergegeven in figuur 22.5.

A

Figuur 22.5.

* Merk op dat hier het tegengestelde staat van hetgeen uit de fonnules (3.13) en (3.14) voor een starre doorsnede volgt.


Uit (22.16) volgt met (22.36):

d~=d~l_d~2=2d~I=_2d~ dx dx dx dx dx

en met (22.34):

en ook:

dYR = 2(_l dWI + l dW2 ) = _-- dw] dx a2 dx al dx a2 dx

Met deze beide laatste uitdrukkingen gaat vergelijking (22.33) over in:

(22.37)

(22.38)

(22.39)

(22.40)

In paragraaf 3.2 werden reeds de kwadratisdhe momenten van de afschuifstijfheden

van de wanden gentroduceerd. Met de termen t EI 1 al en t EI2a 12 maken we kennis met de kwadratische momenten van de buigstijfheden van respectievelijk de even-

wijdige wanden 1 en de evenwijdige wanden 2 ten opzichte van het rotatiecentrum van

de doorsneden (hier het middelpunt). De dimensie van deze grootheden is gelijk aan kracht maal lengte tot de vierde macht. Voor de som van beide grootheden gebruiken

we het tweelettersymbool EB:

zodat vergelijking (22.40) geschreven kan worden als:

] d3YR - EB -- = a2D] - alD2 2 dx3

(22.41)

(22.42)

We willen nu het rechterlid van deze vergelijking verder uitwerken. Uit de verge-

lijkingen (22.19) volgt met (22.17) en (22.18):

dD I I a2 dx = - a2ql + a2PI = - a2ql -2 GR YR (22.43)

(22.44)

waaruit volgt:

(22.45)

Wordt nu vergelijking (22.42) gedifferentieerd en vervolgens uitdrukking (22.45)

gesubstitueerd in het rechterlid, dan wordt de volgende vergelijking verkregen voor de


afschuiving 'R (schranking) van de doorsnede:

(22.46)

We zien dat het schranken, de afschuiving van de doorsnede, wordt veroorzaakt door

het verschil van de beide verdeelde koppels a2ql en alq2 . We zien ook dat het schranken niet alleen bepaald wordt door de afschuifstijfheid GR van de doorsnede, maar mede door de stijfheidsfactor EB, die de som is van de kwadratische momenten van de buigstijfheden van de wanden. De betrokken term geeft weer hoe de wanden

reageren op een vervorming (het schranken) van de doorsneden van de koker.

In het limietgeval EB = 0 wordt het schranken van de doorsneden uitsluitend door de stijfheid GR bepaald. Er volgt:

(22.47)

In het limietgeval GR = 0 heeft de doorsnede geen afschuifstijfheid. Men zou hierbij kunnen denken aan lijnscharnieren (pianoscharnieren) in de hoeken van de koker,

waar wl een schuifkracht s wordt overgebracht. De wanden worden dus op buiging belast en ze werken samen als koker, wat tot uitdrukking wordt gebracht door de eerste term. De rol van de beide stijfheden blijkt heel duidelijk bij een sinusvormige belasting. We

stellen:

. 1tX ql = ql,l sm -t- , . 1tX q2 = q2,1 sm -t-

Aan de vergelijking wordt voldaan door de particuliere oplossing:

. 1tX 'YR = 'YR,I sm -t-

Substitutie in de differentiaalvergelijking leidt tot:

zodat de oplossing wordt:

(22.48)

(22.49)

(22.50)

(22.51)

Bij toenemende waarde van de golflengte t neemt de betekenis van de stijfheidsfactor EB snel af.

De differentiaalvergelijking (22.46) is qua structuur analoog met die voor de elastisch


ondersteunde buigligger en van de in hoofdstuk 11 verkregen oplossingen zal in het volgende dankbaar gebruik worden gemaakt. We stellen:

(22.52)

De gereduceerde vergelijking luidt nu:

(22.53)

Analoge vergelijkingen gelden voor andere grootheden, zoals de verplaatsingen WI en

W2. Voor het verdeeld buigend moment m in de hoeken van de doorsnede leidt men bijvoorbeeld gemakkelijk af dat geldt:

(22.54)

22.2. Het inleiden van een geconcentreerde belasting

We willen het geval behandelen van een aan beide einden opgelegde horizontale koker-

ligger (zie figuur 22.6a), waarop in het midden een koppel 2T wordt uitgeoefend door

twee even grote, doch tegengesteld gerichte, verticale krachten 2QI, die op de verticale wanden 1 aangrijpen en twee even grote, doch tegengesteld gerichte, horizontale krachten 2Q2, die op de horizontale wanden 2 aangrijpen. Het wringend koppel is dus:

(22.55)

Het wringend moment Mt in de beide liggerhelften is constant. Voor de rechterhelft (x > 0) geldt:

(22.56)

b

SpomlnglverdeUng o. In de doorlnede x- 0

Figuur 22.6.


Bij de behandeling van wringing in hoofdstuk 3 is stilzwijgend ondersteld dat een wringend koppel zonder problemen in de koker wordt geleid, wat het geval is als ter

plaatse een dwarsschot of een dwarsverstijving aanwezig is. Als een dwarsverstijving

ontbreekt kan de doorsnede van de koker in zijn vlak vervormen en treedt een

verstoring van het met de elementaire theorie bepaalde krachtsverloop op.

Voor de berekening van deze storing kan worden uitgegaan van de gereduceerde

differentiaalvergelijking (22.48), waarvoor oplossingen zijn gegeven in hoofdstuk 11.

We kiezen de oorsprong van het assenstelsel in de belaste doorsnede en kunnen

volstaan met het beschouwen van de rechterhelft van de koker, waarvoor geldt x ~ o. Als de afstand tot de oplegging voldoende groot is ten opzichte van de te verwachten

storingslengte, kan gebruik worden gemaakt van de reeds bekende oplossing ( 11 .5):

'YR = A e-[3x sin(~x + (0)

Op grond van symmetrie geldt voor x = 0: dYR -=0 dx

waaruit volgt:

Het probleem is vergelijkbaar met basisgeval A in paragraaf 11 .5.

(22.57)

(22.58)

(22.59)

De krachten 2Ql worden ingeleid in de verticale wanden, zodat voor x = 0 voor wand 1 geldt:

(22.60)

De krachten 2Q2 worden ingeleid in de horizontale wanden, zodat voor x = 0 voor wand 2 geldt:

(22.61)

Met (22.42) geldt dan als tweede overgangsvoorwaarde voor x = 0:

(22.62)

Met

volgt:

* zie de regel voor het differentiren in 11.5.


(22.63)

en de oplossing wordt:

(22.64)

Ook nu zien we dat schranking wordt veroorzaakt door het verschil van beide koppels

a2QI en a1Q2 Voor x = 0 is de waarde extreem. Er wordt gevonden:

(22.65)

Als a2QI > alQ2 is 'YR negatief, wat inhoudt dat de rechte hoek bij punt A kleiner wordt (zoals in figuur 22.1 is aangegeven).

Andere grootheden kunnen uit de oplossing (22.64) worden afgeleid. We geven

achtereenvolgens de belangrijkste. Het verloop van deze grootheden is weergegeven in

figuur 22.7.

- De verplaatsingen. Uit de formules (22.38) en (22.39) kan worden afgeleid:

1 1 wI=- 4 al'YR enw2=4alYR (22.66)

waarbij de integratieconstanten gelijk aan nul mogen worden gesteld.

- De buigende momenten in het vlak van respectievelijk de wanden I en 2. Er volgt:

d2 .L EI a 2 Q Q M = -EI ~ = 2 1 2 L{2 -a2 I + al 2 e-Px sin(px _~) (22.67)

1 1 dx2 EB 2 Pa2 4

d2w2 -21

EI2al2 a Q + a Q M EI L 1"i2 - 2 1 1 2 -px . (A - ~) (22 68) 2 = - 2 dx2 = - EB 2"" pal e sm px 4 .

met als extreme waarden voor x = 0:

(22.69)

(22.70)

Deze formules zijn het equivalent van de formule M = P/2p bij de elastisch onder-steunde buigligger (22.42). Daarbij komt dat het koppel-a2QI + alQ2 evenredig


kw. x

~ w,.m

-0 , -T 22

~

-t, 0, X

~M, -T

-2 20,

t~. ~

O2 X

L met 0,=2 en 0z.2o,

Figuur 22. 7.


met de stijfheidsfactoren t EI1a22 en t EI2a12 en omgekeerd evenredig met de onderlinge afstanden a2 en a1 van respectievelijk de wanden 1 en 2 wordt verdeeld.

Het verloop van de door deze momenten veroorzaakte normaalspanningen cr is in

figuur 22.6b weergegeven, waarbij is ondersteld a2Q1 > a1Q2. Dit verloop roept weer de welvingsfunctie in herinnering. Uit de overgangsvoorwaarde (22.31) leiden we af:

(22.71)

zodat voor UA wordt gevonden:

(22.72)

wllarmee de welvingsfunctie is vastgelegd. Voor x = 0 is UA = O. Als a2Q1 > a]Q2 is met toenemende waarden van x de verplaatsing UA aanvankelijk positief, wat overeenkomt met de positieve normaal-

spanning cr in hoekpunt A.

- De dwarskrachten in het vlak van de wanden 1 en 2. Bij een koker kunnen de

dwarskrachten niet worden verkregen door het differentiren van de buigende mo-menten. In de relaties (22.20) tussen de dwarskrachten en de buigende momenten speelt ook de nog onbekende schuifkracht s mee. We volgen een andere weg via de vergelijkingen (22.19) waarmee de dwarskrachten zijn uitgedrukt in de reactie-

krachten P1 en P2. Worden deze vervangen door de uitdrukkingen (22.17) en (22.18) dan volgt:

d01 = _! GR "Ir. = _! P {2 -a2Q] + a1Q2 e-~x sin(Ax +~) dx 2 a2 11


zodat voor de dwarskrachten wordt gevonden:

(22.79)

(22.80)

Met toenemende waarde van x nemen de eerste termen in de rechterleden van deze beide vergelijkingen, die als storingstermen kunnen worden beschouwd, af en naderen de beide dwarskrachten de reeds in paragraaf 3.2 berekende waarden

(3.31) en (3.32) bij onvervormbare doorsnede:

MI T MI T D,=-=-- enD2=-=--2a2 2a2 2a, 2a,

(22.81)

- De schuifkracht s tussen de wanden. Nu de dwarskrachten bekend zijn kan de schuifkracht s gemakkelijk worden berekend. We gaan daartoe uit van de eerste van de vergelijkingen (22.28):

dM, a,s =D,-Cj"X

Met de formules (22.67) en (22.79) volgt dan:

(22.82)

- Het verdeelde moment in de hoeken van een doorsnede. Voor het punt A volgt met (22.54):

(22.84)

Voor een verder gaande interpretatie van de verkregen resultaten geven we voor het

geval van alleen verticale belastingen 2Q, nog enkele belangrijke waarden voor de

belaste doorsnede (x =0):

w, =.!. ~a22 Q, 4 GR

(22.85)

(22.86)

(22.87)

Voor een numerieke uitwerking van de verkregen uitdrukkingen kiezen we een doorsnede met homogene wanden.


Met t, = 0,4 m, t2 = 0,2 m, a, = 5,0 m en a2 = 10,0 m volgt:

t EI,a22 = 208 m6 E EB = 1 EI,a22 + 1 EI2a,2 = 416 m6 E 2 2

EJ, = -L Et,3 = 533 x 10-3 m3 E '2 '

A4 - GR = 363 x 10-8 m-4 p -2EB

Eh = /2 Et2a23 = 16,67 m4 E

t EI2a,2 = 208 m6 E

., EJ2 = - Et23 = 67 x 10-3 m3 E

12 '

/3 = 4,36 x 10-2 m-1

De halve golflengte van de verschillende oplossingen is 1t//3 = 72 m, wat groot is. De stijfheid van de verende ondersteuning is gering omdat de wanden van de ko~er

betrekkelijk dun zijn en dit kan tot grote verplaatsingen en buigende momenten leiden.

Als de golflengte van de verschillende functies van de orde van grootte van de

overspanning van de koker is, spelen de randvoorwaarden bij de opleggingen mee in de oplossingen en kan dus niet worden uitgegaan van de hier gebruikte oplossing (22.57). De oplossing wordt bewerkelijker. In hoofdstuk 11 zijn daarvoor wegen aangegeven.

Het kan echter ook zijn dat de constructie in zo'n geval niet voldoet, niet voldoende

stijf is en dat een andere vormgeving, een andere dimensionering vereist is. Met een

uitgebreidere berekening slaat men dan een verkeerde weg in.

De conclusie uit bovenstaande is in ieder geval dat grote krachten, die een koker op wringing belasten, via een dwarsverstijving moeten worden ingeleid.

22.3. Schranken en welven van de doorsneden met bovendien afschuiving in de wanden

Bij de afleiding van vergelijking (22.46) werd de afschuiving in de wanden verwaar-

loosd, zodat gebruik kon worden gemaakt van de eenvoudige relaties (22.32) tussen

de rotaties cp en de verplaatsingen w. We willen nu de afschuiving in de afleiding betrekken, waardoor deze relaties hun geldigheid verliezen en de daarna gegeven afleiding komt te vervallen.

We behandelen nu het algemene geval van wringing, waarbij de doorsneden kunnen schranken en welven en het is dus te verwachten dat de afleiding gecompliceerder wordt.

Bij het onderzoek naar het schranken van de doorsnede in paragraaf 22.2 kwam het welven als een soort bijprodukt naar voren. Met vergelijking (22.71) bleek er een


eenvoudige relatie te bestaan tussen de verplaatsing UA van een gemeenschappelijk

hoekpunt A van de wanden I en 2 en de afschuiving 'YR van de doorsnede aldaar. Dit is opvallend omdat welving in het algemeen geassocieerd wordt met wringing (zie 3.2)

en er in het beschouwde geval geen wringing optrad. De rotatie van de doorsneden

was nul of constant. Het zal blijken dat in de volgende afleiding de welving - in dit

geval de verplaatsing UA - een cruciale rol speelt.

Voor deze afleiding vatten we de draad op bij vergelijking (22.30), die we hier herhalen:

We drukken nu met behulp van (22.31) de rotaties uit in de verplaatsing UA:

2

"'


Substitutie van deze uitdrukkingen in (22.92) leidt tot:

I d", I dYR 2 DI = GAI(Z- a2 dx -4 a2 dx + iJ UA) (22.94)

I d", I dYR 2 D2 = GA2(Z- al dx + 4 al dx - a2 UA) (22.95)

We slaan nu achtereenvolgens twee wegen in. In de eerste plaats bepalen we a2DI - a1D2, wat met (22.90) kan worden uitgedrukt in de verplaatsing UA. In de tweede plaats bepalen we de som a2DI + a1D2, die gelijk is aan het wringend moment in een doorsnede (formule (22.23).

Achtereenvolgens wordt gevonden:

I 2 I 2 d", I I 2 I 2 dYR (Z-GAla2 -Z-GA2a\ ) dx -Z-(2" GAta2 +2" GA2a\ dx +

\ 2 t 2 4 4 d2uA +(Z-GAta2 +Z-GA2at )ata2 uA=EBata2 dx2 (22.96)

en

(22.97)

Ter vereenvoudiging voeren we de volgende symbolen in:

t GAl a22 + t GA2at2 = GIw= de wringstijfueid bij verhinderde welving (zie ook formule (3.19

t GAtal-t GA2at2 = GW = een stijfueidsfactor die een essentile rol

speelt bij de welving (zie formule (3.42

Met deze notaties vatten we het verkregen stelsel vergelijkingen nog eens samen:

(22.91)

(22.98)

(22.99) I

Of, als we deze laatste vergelijking nog eenmaal differentiren:


Met deze drie simultane vergelijkingen voor de drie variabelen \jI, YR en UA, benevens de vereiste randvoorwaarden, is het wringen, het schranken en het welven van de

koker volledig beschreven.

Als belastingsfunctie fungeert in de eerste vergelijking het verschil en in de laatste

vergelijking de som van de beide verdeelde koppels a2g1 en alg2. De intrigerende term (4/ala2)uA die in alle drie vergelijkingen voorkomt (al dan niet gedifferentieerd), is de verkanting van de doorsnede. De betekenis van de term is het verschil in helling (de eerste afgeleide) tussen twee evenwijdige zijden, gedeeld door hun afstand. Men zou ook beter van verkanting kunnen spreken dan van welving,

waarmee een vloeiend verloop wordt geassocieerd.

De vergelijkingen zijn minder ontoegankelijk dan misschien op het eerste gezicht lijkt

en zij vormen het uitgangspunt voor onderzoek naar de genoemde verschijnc elen. Een dergelijk onderzoek valt echter buiten het bestek van dit boek. Om zicht te krijgen op de materie beschouwen we enkele extreme gevallen.

- Met GIw = 00 volgt uit (22.99):

d\jl -=0 dx

wat reeds met (22.35) is uitgedrukt. Uit (22.98) volgt dan:

dYR 8 dx = ala2 UA

Dit is de eerder verkregen relatie (22.71).

(22.101)

(22.102)

Substitutie van deze relatie in (22.91) leidt tot vergelijking (22.46), die is afgeleid onder de voorwaarde GAI = 00 en GA2 = 00 en dus ook GIw = 00.

- Met GW = 0 volgt uit (22.99):

d\jl GIw dx =Mt

In dit geval is GIw = GIt volgens formule (3.40).

- Met GR = 00 volgt uit (22.91):

YR =0

Uit (22.98) en (22.99) volgt dan respectievelijk:

d\jl 4 d2uA 4 GW-d -EB aa -d 2 +GIwaaUA=O x I 2 x I 2

en d\jl 4

GIw-d + GW aa UA = Mt x 1 2

(22.103)

(22.104)

(22.105)

(22.106)


El .. d", I d lmmatle van dx el t tot:

(22.107)

wat na uitwerking overgaat in:

(22.108)

Nu geldt:

GA1a22 x GA2al2 GIw = GIt

wat de wringstijfheid is bij toegelaten welving (formule (3.40. Bovenstaande vergelijking luidt tenslotte:

4 ct2uA 4 GW EB aa -ct 2 -GItaaUA= GI Mt

1 2 x 1 2 w (22.109)

Met deze vergelijking kan de welving, die door een wringend moment wordt veroorzaakt, worden bepaald, waarna met (22.106) de wringing kan worden berekend.

- Met EB = 00 volgt uit (22.98):

d2uA = 0

dx2 (22.110)

Het verloop van UA is lineair. Alleen een constante normaalspanning cr is mogelijk, die door een randvoorwaarde wordt bepaald.

Als UA = 0 volgt uit (22.99):

d", 1 dYR GIw dx -2"GW dx =Mt

Als ook YR = 0 (GR = 00) volgt (22.103).

- Met EB = 0 volgt uit (22.91):

Is bovendien GR = 00, dus YR = 0, dan volgt uit (22.98):

d", 4 GW-d +GIwlauA=O x 1 2

en uit (22.99):

(22.111)

(22.112)

(22.113)


d", 4 GIw-d +GWa:auA=Mt x ] 2

(22.114)

eliminatie van UA uit deze beide vergelijkingen leidt tot:

(22.115)

eliminatie van", leidt tot:

(22.116)

Welving van de doorsnede kan ongehinderd plaats vinden. De formules zijn in

overeenstemming met respectievelijk (3.39) en (3.42). Uitdrukking (22.116) is de particuliere oplossing van vergelijking (22.109).

We concluderen hier nog eens dat de wringing d",/dx van de ligger, de schranking 'YR van de doorsneden en de verkanting (welving) (4/a]a2) UA van de doorsneden op een

gecompliceerde manier met elkaar samenhangen. De verschillende stijfheidsfactoren

spelen daarbij alle een rol. Oorzaak van deze verschijnselen is zowel het wringend

moment a2q] + a]q2 als het verschil van de beide verdeelde koppels -a2q] + a]q2.

Om de algemene vergelijkingen (22.91) en (22.98) tot en met (22.100) verder te

herleiden kunnen we beginnen met het elimineren van d",/dx uit de vergelijkingen

(22.98) en (22.99). Gevonden wordt met

GW G1w GA]a22xGA2a]2 GIw - GW = GIwGW

en

Eliminatie van 'YR uit deze vergelijking en (22.91) leidt tot:

lEB~ d4uA _EB GR ~ d2uA +GR~u = 2 a] a2 dx4 GIt a] a2 dx2 a] a2 A

(22.117)

(22.118)

Voor 'YR wordt een vergelijking gevonden waarvan het linkerlid dezelfde structuur bezit:


I EB d4

YR EB GR d2

YR GR "b I . " 2" dx4 - GIt dx2 + YR = e astmgstermen (22.119)

Vergelijken we het linkerlid van deze vergelijking met vergelijking (22.46), dan zien

we dat de middenterm is toegevoegd, waarmee de invloed van de wringstijfheid GIt en daarmee van de afschuifstijfheden GAI en GA2 in rekening wordt gebracht. Om de invloed van deze term te bepalen substitueren we in de gereduceerde vergelijking de

oplossing:

wat leidt tot de karakteristieke vergelijking:

1 EB J1 EB GR 2 GR - 2 f' - GIt r + -

waarvan de wortels zijn:

Voor het numerieke voorbeeld in paragraaf 22.2 gold: GR = 3,02x 10-3 m2E, EB = 416 m6 E, terwijl voor GIt volgt:

Voorts is: 4~4 = 1452 x 10-8 m-4 en 2~2 = 38 x 10-4 m-2. Met deze waarden is:

gf = 0,75 x 10-4 m-2 2~2 t ,

en

(gf )2 = 0,57 x 10-8 m-4 4~4 t

zodat met goede benadering mag worden gesteld:

4 r = -\j _4~4

(22.120)

(22.121)

(22.122)

(22.123)

waarmee de bekende oplossing (22.57) en de daaruit afgeleide formules werden verkregen. Het verwaarlozen van de afschuiving (het stellen van GA = 00) in het behandelde stoorprobleem is hiermee gerechtvaardigd.

Bijlagen

375

Bijlage A Het gebruik van Fourierreeksen

Theorie en de toepassing hiervan bij belastingsfuncties

Voor de lezer die niet vertrouwd is met de reeksen van Fourier volgt hier een beknopte

uiteenzetting van de theorie*, waarna verschillende belastingsfuncties in een Fourier-

reeks worden ontwikkeld. Vervolgens wordt de betekenis van Fourierreeksen voor het

oplossen van differentiaalvergelijkingen gellustreerd aan de hand van de vrij

opgelegde buigligger die gelijkmatig is belast. Voor het buigend moment en de door-

buiging worden de oplossingen in reeks vorm afgeleid.

Gegeven is fez), een functie van een rele variabele z over het interval 0-21t. De functie

is eindig, maar mag in een eindig aantal punten wel discontinu zijn.

t(zl $(zl

L--------------4--__ Z o 2Tt

Figuur 8. 1.

We beschouwen nu een reeks van cosinus- en sinustermen:

p p

S(z) = L an cos nz + L bn sin nz (a.1) n=O n=!

en vragen of de constanten an en bn in deze reeks zo kunnen worden bepaald, dat in

het gegeven interval de som van de reeks de gegeven functie zo goed mogelijk zal benaderen. Of ook: we vragen of de gegeven functie fez) kan worden ontwikkeld in een oneindige reeks:

fez) = ao + L (an cos nz + bn sin nz) n=!

(a.2)

Als we aannemen dat deze reeksontwikkeling van de functie mogelijk is en dat de

* De in Fourierreeksen genteresseerde kan naar de vele wiskundige studieboeken worden verwezen. We zouden in dit verband echter het nog steeds bijzonder lezenswaardige boek "Mathematical methods in engineering" van Th. v. Krmn en M.A. Biot willen noemen.


reeks convergeert in elk punt van het interval, met uitsluiting van discontinuteits-punten en eventueel de eindpunten, dan kunnen de cofficinten aa, an en bn, de

zogenaamde Fouriercofficinten, op eenvoudige wijze worden bepaald. Hiertoe worden bijvoorbeeld beide leden van vergelijking (a.2) vermenigvuldigd met cos mz (m ::/: 0) en worden vervolgens deze leden gentegreerd tussen de grenzen 0 en

21t.

21t 21t

J f(z) cos mz dz = J ( aa + L (an cos nz + bn sin nz)) cos mz dz a a n=1

Vanwege de onderstelde gelijkmatige convergentie mogen we term voor term

integreren (met andere woorden de integraal van de som = de som van de integralen).

Dit leidt tot:

21t J f(z) cos mz dz = a

21t 21t 21t

= J ao cos mz dz + L [J an cos nz cos mz dz + J bn sin nz cos mz dz] a n=! a a

In het rechterlid van deze vergelijking is de eerste integraal gelijk aan nul. Op grond van de orthogonaliteitsbetrekkingen:

21t

J sin mz sin nz dz a

21t

J sin mz cos nz dz a

21t

J cos mz cos nz dz a

= 0 indien m ::/: n

=1t m=n

= 0 indien m ::/: n

=0 m=n

= 0 indien m ::/: n

=1t m=n

blijft van het rechterlid slechts over de integraal:

of:

21t

J cos nz cos mz dz voor n = m, a

21t

am J cos mz cos mz dz = am1t. a

We vinden dus:

21t

J fez) cos mz dz = am1t, o

waaruit voor de cofficint am volgt:

21t

am =.1 J fez) cos mz dz 1t 0

Bijlagen 377

Uit het voorgaande blijkt het grote voordeel van de orthogonaliteitsrelaties tussen de

goniometrische functies . Hierdoor is het immers mogelijk de cofficinten am expliciet

uit te drukken in de gegeven functie fez).

Voor het vinden van de cofficinten bn worden in vergelijking (a.2) beide leden

vermenigvuldigd met sin mz, waarna zij eveneens worden gentegreerd tussen de

grenzen 0-21t. Op overeenkomstige wijze wordt dan gevonden:

21t

bm =.1 J fez) sin mz dz 1t 0

Voor het bepalen van de term ao worden beide leden van vergelijking (a.2) gente-greerd tussen de grenzen 0-21t. Dan wordt gevonden:

en dus:

21t 21t

f fez) dz = ao f dz = ao21t o 0

21t

ao = -21 f fez) dz, 1t 0

dat is de gemiddelde functiewaarde over het interval 0-21t.

De Fouriercofficinten zijn dus op eenvoudige wijze uitgedrukt in de gegeven functie.

Bij niet te ingewikkelde functies zijn de integralen wel oplosbaar. Voor meer

ingewikkelde functies of ook functies die slechts numeriek of grafisch zijn gegeven,

zijn er numerieke-, grafische- en ook mechanische methoden ontwikkeld om de

Fouriercofficinten te bepalen.

De Fourierontwikkeling heeft een belangrijke toepassing gevonden op het gebied van

functies die periodiek in de tijd variren.

Fourierreeksen worden echter ook gebruikt bij niet-periodieke functies , bijvoorbeeld voor de belasting op een ligger (figuur a.2). We moeten dan de gegeven functie buiten

het gegeven interval in gedachte voortzetten zodat een periodieke functie wordt

verkregen.

Hierbij doen zich verschillende mogelijkheden voor en voor eenzelfde belasting zijn

dan ook verschillende reeksontwikkelingen mogelijk. In het algemeen zal men die


Figuur a.2.

ontwikkeling kiezen waarbij aan de randvoorwaarden voor x = 0 en x = l van het probleem is voldaan. De onafhankelijk veranderlijke is nu de cordinaat x. Wordt de lengte van het interval L genoemd dan luiden de formules:

en

~ 2n7t . 2n7t f(x) = ao + LJ (an cos T x + bn sm T x),

n=!

L

ao = t J f(x) dx o

2 L 2n7t an =[ J f(x)cosT xdx

o L 2n7t

bn = t J f(x) sin T x dx o

De mogelijkheden die zich voordoen om bovenstaande belasting in een reeks te ontwikkelen zijn de volgende:

1 . De periodiciteit wordt verkregen door te stellen f(x+ l) = f(x). Het interval L wordt dus gelijk gesteld aan de overspanning l. In het voorbeeld is f(x) een belasting p, die constant is over een traject met een lengte 2c, waarvan het midden bij x = d ligt (figuur a.3). De reeksontwikkeling luidt:

Figuur a.3.

2 00 f(x) = ~ [c +.L '" 1 sin 2n7tc cos 2n7t (x - d)]

l 7t ~n l l

mun !.~p I . . ~ I ...--x

rrrrrn amn

2 Het interval L wordt gelijkgesteld aan 2 maal de lengte van de overspanning l. De functie wordt voortgezet als een functie die co-symmetrisch is ten opzichte van x = 0, met andere woorden een even functie waarvoor geldt: fe-x) = f(x) (figuur a.4) .

De reeksontwikkeling zal geen sinustermen (= oneven functies) bevatten. Hij luidt:

Bijlagen 379

I i amn

i I rrrrm

. i. l I Figuur a.4

2pc 4p Ioo 1 . nnc nnd nn f(x)=-+- -sm-cos-cos-x

I n n=l n I I I

3. Het interval L wordt wederom gelijkgesteld aan 2 maal de lengte van de overspanning I. De functie wordt voorgezet als een functie die contrasymmetrisch is ten opzichte van x = 0, met andere woorden de functie wordt voortgezet als oneven functie waarvoor geldt: f( -x) = -f(x) (figuur a.5).

I. I ' 1 I i.

Figuur a.5.

l

WIlD I

mnn

De reeksontwikkeling zal nu geen cosinustermen (= even functies) bevatten. Hij luidt:

C() 4p Ioo 1 . nnd . nnc . nn l'X =- -sm-sm-sm-x

n n= 1 n I I I

Deze reeksontwikkeling voldoet aan de randvoorwaarden van de vrij opgelegde ligger:

w = 0 en M = 0 voor x= 0 w = 0 en M = 0 voor x = I.

en wordt dientengevolge veel gebruikt. Uit het laatste geval leiden we enkele bijzondere gevallen af.

a. Gelijkmatig verdeelde belasting p over de gehele lengte I (figuur a.6) Dan wordt c = d = t I waarmee de reeks overgaat in:

4p Ioo 1 . 2 nn . nn f(x) = - - sm (-) sm - x n n 2 I n=l

I i i;p i . 11 " 11 " I " f1 ffiTl I""'''''"j i""""'" I' , , , , ' , ' , , ' ! I '1' , . , ' , ' , , , :

Figuur a.6.

1"', _'"'-__ 'U __ ' ''''_'_II,,'".''''' "."' ___ -"el


Nu is voor neven:

noneven:

. n1t 0 sm-= 2 '

. n1t + 1 . 2 (n1t) 1 sm T = - ~ sm T = +

en dus luidt de reeksontwikkeling:

4p ~ 1 . n1t f(x) = n ~ n sm -t- x =

n=I .3.5 ...

4p (. 1t I. 31t I . 51t ) = n sm yx + "3 sm -t-X + "5 sm -t-X + ...

p

Figuur a.7. De eerste, derde en vijfde harmonische van de reeksontwikkeling voor een constante belasting p en hun som (stippellijn).

b. Gelijkmatig verdeelde belasting p over de linkerhelft (figuur a.8) p

J!+HH I 112 .1 112

Figuur a.B.

Dan wordt c = d = tz waarmee de reeks overgaat in: 4p ~ 1 . 2 n1t . n1t

f(x) =n ~n sm (4) sm -t x n=1

Nu geldt:

n 1 2 3 4

1 . 2 (n1t) 1 1 1 0 n sm 4 2 2 6

en dus luidt de reeksontwikkeling:

7h;

I

5

1 10

f() 4p (I . 1t I. 21t I. 31t ) X = n 2" sm yx + 2" sm -t-X + 6" sm -Z-x + ...

6 7

1 1 6 14

8

0

c. Gelijkmatig verdeelde belasting p over een kwart van de lengte (figuur a.9)

In dit geval is c = tt en d = ~ Z, waarmee de reeks overgaat in:

-J;; 11141 1/4 1 1/2

Figuur a.9.

4p 2:00 1 . 3mt . nn . nn f(x) = - - SIn -- SIn - SIn - X n n 8 8 I

Nu geldt:

n

1 . 3nn . nn n SIn -8- SIn 8

n=1

en luidt de reeksontwikkeling:

2

1 4

3 4

1 4

~ 1

5 6

1 12

4p 1. '" . nl. 2n 1. '" . 3n f(x) = n (4"\12 SIn T x + 4 SIn -1- x -12"\12 SIn -1- x + ... )

d. Puntlast P in het punt x = d (figuur a. 1 DJ

Figuur a. 10.

7h7 I

Bijlagen 381

7 8

o

We stellen in de reeksontwikkeling volgens geval 3 de totale belasting 2cp = P en vermenigvuldigen in de reeksontwikkeling teller en noermer met ne/I:

+() 4p nc Ioo sin(nnc/l) . nnd . nn I' x =-- SIn--SIn-X

n l nnc/l l l n=I,2, ..

Gaan we nu over tot de limiet voor c ~ 0, dan moeten we bedenken dat 4pc gelijk is

aan 2 maal de totale belasting 2P en dus constant blijft. Bovendien weten we dat

lim sin a = I a~O a

De reeks gaat dan over in:

f(x) = 2f ~ . nnd . nn ~ SIn -1- SIn -I- X n=I ,2, . .

nn


Deze reeks geeft een functie weer die overal gelijk is aan nul met uitzondering van het punt waar de last aangrijpt en de functiewaarde oneindig is. De reeks is niet convergent

(er komen ook geen factoren ~ in voor!) en uiteraard niet bedoeld om de functie te berekenen. Maar hij is zeer goed bruikbaar als door integratie hieruit een momentenlijn of een doorbuigingslijn moet worden afgeleid. De hiervoor verkregen reeksen convergeren wel.

e. Gelijkmatig verdeelde contrasymmetrische belasting p over de halve lengte (figuur a. 11)

p

jp~ ft ft tt?F I -p -J

Figuur a. 11.

Deze reeksontwikkeling wordt uit de onder a genoemde verkregen door hierin t te

vervangen door t l. Dit leidt tot: f()

4p . 21t I. 61t I. 107t X = n (sm -t- x + "3 sm -t- x + "5 sm -t- x + ... )

De Fourierreeks als oplossing van een differentiaal-vergelijking Het gebruik van reeksen van Fourier bij de oplossing van differentiaalvergelijkingen demonstreren we aan de hand van de aan twee zijden vrij opgelegde buigligger. Zoals bekend gelden hiervoor de differentiaalvergelijkingen:

d2w M --=--dx2 EI

Een sinusvormige belasting van de gedaante

. n7tx q =qn sm-t- (n geheel)

leidt tot de volgende oplossingen van deze vergelijkingen:

t2 M

qn . n1tx =22 sm -t-

n 1t

Bijlagen 383

Bij de randvoorwaarden

w = 0 en M = 0 voor x = 0

w = en M = voor x = t zijn de integratieconstanten alle gelijk aan nul.

Moment en verplaatsing zijn van dezelfde gedaante of vorm als de belasting.

De eenvoud van de bovenstaande oplossingen leidt er toe bij een willekeurige belasting

een ontwikkeling in een Fourierreeks toe te passen. Bij de gekozen randvoorwaarden

moet dit dan een ontwikkeling volgens de onder 3 gegeven sinusreeks zijn.

Als voorbeeld kiezen we de gelijkmatig verdeelde belasting qo, waarvoor geldt:

~ . nnx 4 qo = ..i...J qn sm -t- met qn = nn qo

n=I.3.5 ..

Voor de algemene term qn sin(nnx/l) uit deze reeks gelden dan voor M en w bovenstaande oplossingen. Voor de som van de termen van de belastingsreeks is de

oplossing gelijk aan de som van deze deeloplossingen:

I"" M . nnx M- sm--- n t n=I.3.5 ..

~ . nnx w = ..i...J W n sm-t -

n=I.3.5 ...

Uitgeschreven luiden deze oplossingen:

M 4 t2 (' nl 3n 1. 5n ) = n3 qo sm yx + 33 sm -t-X + 53 sm -t-X + ...

4 qot4 (' nl 3n 1. 5n ) w = n5 EI sm yx + 35 sm -t-X + 55 sm -t-X + .. .

De reeksen convergeren respectievelijk volgens n-3 en n-5.Er zijn slechts weinig

termen nodig om voldoende nauwkeurige uitkomsten te verkrijgen. Zo geeft de eerste

term van beide reeksen voor het midden van de overspanning (x = lI2) de volgende uitkomsten:

MI = 0,129 qOP qot4

WI = 0,013071 EI

(exact: 0,125 qOP; fout is 3,2%)

q t 4 (exact: 0,013021 ~I; fout is 0,38%)

- . 384 Mechanica van Constructies

Door de met integratie toenemende convergentie van de reeks kan een wat globale

weergave van de belasting met slechts enkele termen, toch tot acceptabele uitkomsten

voor het moment en de verplaatsing leiden. Voor een verplaatsing kan daarbij in het

algemeen met minder termen worden volstaan dan voor een buigend moment. Vaak is de invloed van de eerste term zo overheersend, dat een berekening van het buigend moment en de verplaatsing ten gevolge van de eerste belastingsterm reeds een goed

inzicht geeft. Met de reeksen van Fourier beschikt men dus over een machtig hulp-

middel om bij een willekeurige belasting op een vrij opgelegde ligger de buigende

momenten en verplaatsingen en dus ook dwarskrachten en rotaties te bepalen. In de verschillende hoofdstukken blijkt dat dit ook bij andere constructies het geval is.

.Bijlage B Enkele particuliere oplossingen en integralen bij de behandeling van ringen (hoofdstuk 18)

Differentiaalvergelijking:

d2w -+w=cos8 d8

2

d2w . -+ W =SlTI 8 d8

2

d2w -+w =8 cos 8 d8

2

d2w -+w=8 sin 8 d8

2

Particuliere oplossing:

1 W = -2' 8 cos 8

w = i 82 sin 8 + i 8 cos 8 w = - i 82 cos 8 + i 8 sin 8

Integralen (primitieven zonder integratieconstanten):

f 8 cos 8 d8 = 8 sin 8 + cos 8 f 8 sin 8 d8 = -8 cos 8 + sin 8 J 82 cos 8 d8 = 82 sin 8 + 28 cos 8 - 2 sin 8 f 82 sin 8 d8 = _82 cos 8 + 28 sin 8 + 2 cos 8

385

386

Bijlage C De constitutieve vergelijkingen bij ringen

Voor het opstellen van de constitutieve vergelijkingen, die de relaties geven tussen de

vormveranderingsgrootheden en de snedekrachten moeten de optredende rekken worden beschreven als functies van de afstand Z tot de rotatie-as door het zwaartepunt van een doorsnede.

Een toename dv van de translatie v over een afstand ds veroorzaakt op een afstand z van de rotatie-as een rek (figuur c.l):

dv dv E(Z)=-~- ----

(a+z)d9 a+zd9

Een radiale verplaatsing w veroorzaakt een rek:

I E(Z)=(a + z) w

De door de verplaatsingscomponenten v en w bepaalde rek wordt dus:

I dv a E(Z) = --(- + w) = --E(O)

a+ Z d9 a+ Z

(c. l)

(c.2)

(c.3)

Een toename dq> van de rotatie q> over een afstand ds veroorzaakt op een afstand Z van de rotatie-as een verlenging Z dq> (figuur c.2) en dus een rek:

Z dq> a E(Z) = =--z~

(a+z)d9 a+z (cA)

De rek E(Z) op een afstand Z van de rotatie-as is de som van de uitdrukkingen (c.3) en (cA):

E(Z) = a : Z {E(O) + ~z} (c.S)

of, ontwikkeld in een reeks:

[ Z Z)2 E(Z)={E(O)+~Z} l-+( - ... ] (c.6)

Voor de snedekrachten N en M gelden de volgende oppervlakte-integralen (A is de

oppervlakte van de doorsnede):

Bijlagen 387

Figuur c.l. Figuur c.2.

N = JA cr(z) dA (c.7)

(c.8)

Met de wet van Hooke in zijn eenvoudigste vonn, cr(z) = E e(z), volgt voor homogene

doorsneden, waarvoor de elasticiteitsmodulus E constant is:

N = E e(O) JA [1 - i + Ci)2 - ... ] dA + E ~ JA z [1 - i + Ci)2 - ... ] dA (c.9)

M = E e(O) JA z [1 - i + C~)2 - . . . ] dA + E ~ JA z2 [1 - i + Ci)2 - . .. ] dA (c.lO)

We veronderstelden reeds dat de ring dun is, dat wil zeggen tJa 1, wat ook inhoudt

dat Izl la 1. Na de integratie van de reeksen is dus elke tenn van de orde van grootte van tja maal zijn voorganger.

We breken nu de reeksen af na de tweede tenno Een verder gaande benadering heeft in

het kader van deze theorie geen zin.

Omdat fA z dA = 0 (dit is de definitie van het zwaartepunt van de doorsnede), worden de fonnules verder vereenvoudigd. Wordt bovendien ondersteld dat de doorsneden symmetrisch zijn ten opzichte van de rotatie-as door het zwaartepunt dan geldt boven-dien JA z3 dA = 0 .

Gevonden wordt dan:

N=Ee(O) JAdA+E~ fAz[-i]dA

M=Ee(O) JAz[-~] dA+E~ JA z2 dA

(c.l!)

(c.12)

Met betrekking tot de nauwkeurigheid van deze beide fonnules kan worden gesteld dat

,..


de relatieve nauwkeurigheid van alle vier de integralen van de orde (tJa)2 is.

Met de gebruikelijke symbolen kan voor de formules (c.l!) en (c.12) worden

geschreven:

I N=EA(O)--a EI ~

M = _1 EI 10(0) + EI ~, a

(c.13)

(c.14)

waarbij I het kwadratisch oppervlaktemoment van een doorsnede is: I = fA z2 dA. Er is sprake van een stelsel gekoppelde vergelijkingen. De buiging ~ bepaalt mede de

normaalkracht N en de extensie 10(0) bepaalt mede het buigend moment M.

Algemeen kan worden gesteld dat bij niet-homogene doorsneden de formules (c.13) en

(c.14) geldig blijven als EA en EI worden opgevat als tweelettersymbolen voor respec-

tievelijk de rekstijfheid en de buigstijfheid, die dan worden gedefinieerd als:

EA = fA E(z) dA

EI = fA E(z) z2 dA Voor het zwaartepunt van de doorsnede geldt in dit geval:

fA E(z) z dA = 0

(c.IS)

(c.16)

(c.17)

Bijlage D Symbolen

A oppervlakte [m2]

ook: amplitude

Cl, C2, ... integratieconstanten

DI, D2, ... idem

D dwarskracht in een doorsnede [N]

E elasticiteitsmodulus [N/m2]

F kracht [N]

G glijdingsmodulus [N/m2]

389

H component in x-richting van de kracht in een kabel en in een boog (veelal

horizontaal)

I kwadratisch oppervlaktemoment (traagheidsmoment) [m4] lp polair oppervlaktemoment [m4] J kwadratisch oppervlaktemoment [m4]

K buigstijfheid van een plaat [Nm] L lengte [m]

M buigend moment in een doorsnede [Nm]

ook: een koppel

Mt wringend moment in een doorsnede [Nm] N normaalkracht in een doorsnede [N]

o oorsprong van een assenstelsel P puntlast (geconcentreerde belasting) [N]

Q idem [N] R reactiekracht [N]

T kracht in een kabel of draad [N]

ook: een koppel (belasting) [Nm]

ook: temperatuursverandering [ 0c]

V component in z-richting van de kracht in een kabel (veelal verticaal) [N]

Tweel ettersym bo len

EA rekstijfheid van een staaf of een ligger [N]

EI buigstijfheid van een ligger [Nm2 ] GA afschuifstijfheid van een ligger [N]

GIt wringstijfheid van een staaf in het algemeen [Nm2] in het bijzonder de wringstijfheid bij toegelaten welving


GIw de som van de kwadratische momenten van de afschuifstijtheden van de wanden van een koker, dat is de wringstijtheid bij verhinderde welving

[Nm2]

GW het verschil van de kwadratische momenten van de afschuifstijtheden van

de wanden van een koker, bepalend voor de welving [Nm2]

GR afschuifstijtheid van de doorsnede van een koker [N]

EB de som van de kwadratische momenten van de buigstijtheden van de

wanden van een koker. Speelt een rol bij welven en schranken [Nm4]

a straal van een cirkel

a,b,d,h,l, t lengte-, breedte- en diktematen

b meewerkende breedte bij randstoringen c beddingsconstante [N/m3] e grondtal van het natuurlijke logaritmenstelsel

f pijl van een kabel of boog (in het algemeen bij een parabool)

ook: reductiefactor

g eigen gewicht [NIm] h verdeelde normaalkracht [Nim]

.J=f k veerconstante bij verplaatsing [Nim] en rotatie [Nm]

ook: beddingsconstante [N/m2]

m natuurlijk getal

ook: verdeeld moment [Nrnlm]

n natuurlijk getal

ook: verdeelde normaalkracht [Nim]

p verdeelde (mobiele) belasting [Nim]

ook: reactie en interactie

q verdeelde belasting [Nim]

r verdeeld moment (reactie) [N]

ook: straal van een cirkel

s

u, v, w v

w

x,y,z

ook: cofficint

verdeelde schuifkracht (interactie) [Nim]

ook: cordinaat langs een boog

ook: spoed van een draadwikkeling

verplaatsingscomponenten in respectievelijk x, y en z-richting

ook: tangentile verplaatsing bij gebruik van poolcordinaten

ook: radiale verplaatsing bij gebruik van poolcordinaten

assen van een rechtsdraaiend assenstelsel

a

IC

een lengteverschil of een verlenging

ook: een verschuiving

Bijlagen 391

als voorvoegsel betekent het een - veelal kleine - toename van de

betrokken grootheid

poolhoek bij gebruik van poolcordinaten

sommatieteken

hellingshoek

ook: lineaire uitzettingscofficint

ook: parameter in differentiaalvergelijkingen

buiging (= vormverandering) bij liggers

ook: parameter in differentiaalvergelijkingen

afschuiving (= vormverandering) bij liggers

ook: schranking van de doorsnede van een koker

ook: volumiek gewicht [N/m3]

ook: parameter (quotint van stijfheden)

kleine afstand

rek of extensie (= vormverandering) van een staaf of een ligger

dimensieloze factor, in het bijzonder een vergrotingsfactor

kromming (reciproke van de kromtestraal) van een functie

natuurlijke golflengte (golflengte van een vervormingspatroon)

ook: belastingsfactor

11 parameter in differentiaalvergelijkingen

v dwarscontractiecofficint

cr normaalspanning [N/m2] 't schuifspanning [N/m2]

cp rotatie, in het bijzonder van een doorsnede om een as gelegen in zijn vlak X wringing (= vormverandering) van een staaf of ligger

'" rotatie, in het bijzonder van een doorsnede in zijn vlak

(0 fasehoek

392

Trefwoordenlijst

a additionele belasting 206, 207, 210, 213, 214,

218, 224, 226, 229, 230, 235, 246 afschuitboek 43,47,57,61,65,288,289,

355,359 afschuifligger 41, 43,70, 113, 187,328 afschuifstijtbeid 41,44,57,79,328,329,359 afschuiving 39, 40, 41, 44, 60, 67, 69, 70, 72,

116,353,355,359,366,372 axiaal symmetrisch 275, 280, 341

b beddingconstante 122, 123, 124 belastingsaandeel 167,226,235,250,271,

280, 283, 284, 324 belastingscombinatie 214, 217 Bemoulli, hypothese van 68 Billington 274 Biot 375 Bogen 253 boogwerking 264 buig-afschuifligger 332 buigend moment 67,70,71,72,250,251,278 buiging 67, 69, 70, 72, 101,275,288,289,

290 buigligger 71 ,72, 74, 105, 187 buigligger, elastisch ondersteunde 122 buigspanning 87 buigstijtbeid 42, 70, 72, 79, 264, 271, 272,

328, 353, 358 buizen 181,275,341,343 buizen leggen 181

C cilindrisch membraan 348 cilindrische schaal 22, 82, 341 cirkelv

Mechanica Van Constructies Elasto-statica Van Slanke Structuren

Documents

Transcript of Mechanica Van Constructies Elasto-statica Van Slanke Structuren