Huiswerkopgave 4 Logica (I&E), najaar 2017

Gepubliceerd, dinsdag 28 november 2017.Voor deze huiswerkopgave zijn maximaal 10 punten te verdienen.Uiterste inleverdatum: donderdag 7 december 2017, 11.05. Later inleveren heeft geen zin.Antwoorden in te leveren bij Ruben Turkenburg, op papier of per email: logicaie17@gmail.comOf bij Rudy van Vliet, alleen op papier.

1. (2.5 pt) Vertaal de volgende zinnen in predikatenlogica:

(a) Er is een club met een speler die alleen in thuiswedstrijden scoort.

(b) Kinderen die stout zijn, zijn bang voor de pieten.

Probeer met je formule dicht bij de gegeven zinnen te blijven. Leg uit waar de gebruikte functie-en predikaatsymbolen voor staan.

Hint: Een formule φ uit de predikatenlogica kan gaan over verschillende soort elementen, bijvoor-beeld over studenten en cijfers. Als je wilt kwantificeren over slechts een van deze soorten elementen,bijvoorbeeld over de studenten, dan kun je dat doen door een unair predikaat Student in te voeren.De formule zou dan iets kunnen worden als: ∀x(Student(x) . . .) of ∃x(Student(x) . . .). Indirectkwantificeer je dan over (alleen) de studenten.

2. (2 pt) Laat f een functiesymbool met een argument zijn, laat verder P en R predikaatsymbolen mettwee argumenten, en Q een predikaatsymbool met drie argumenten zijn. Beschouw nu de volgendeformule φ, waarin de variabelen x, y en z voorkomen:

(∀x(P (x, f(y)) → ∃y(Q(x, y, f(z))))) ∨ (∃z(Q(z, y, f(x)) ∧R(x, z)))

(a) Teken de parse tree van φ, en geef in de parse tree aan welke variabelen vrij danwel gebondenzijn.

(b) Laat nu g een functiesymbool met twee argumenten zijn.

i. Is de term g(z, y) vrij voor y in φ? Motiveer je antwoord.

ii. Is de term g(y, f(y)) vrij voor x in φ? Motiveer je antwoord.

3. (5.5 pt) Bewijs de volgende twee sequents, met behulp van de bewijsregels voor natuurlijke deductie(zonder hulpresultaten over equivalente formules te gebruiken):

(a) ¬P (a) ∨ ∀xQ(x) ⊢ ∃y(P (y) → Q(y))

Hierin is a een constante (een nullary functie).

(b)

∀x∀y(loves(x,alma) ∧ loves(y, x) → ¬loves(y,alma)) ⊢

¬∃x(∃y((loves(x,alma) ∧ loves(y, x)) ∧ loves(y,alma)))

Hierin is alma een constante (een nullary functie).

1