Hoofdstuk 1 - Machtsfunctieswiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/hb/Mw9_havo_B2_uitwH1.pdf4 Hoofdstuk 1 -...

⁄4

Hoofdstuk 1 - Machtsfuncties

Voorkennis: Grafieken en rekenregels

bladzijde 12

V-1a Een kwadraat heeft altijd een positieve waarde als uitkomst. Het kwadraat van nul is nul.

b f x( ) = 9 x2 9= x = 9 of x = − 9 x = 3 of x = −3 c In de y-as kun je de ene helft van de grafiek spiegelen om de andere helft te krijgen.

De y-as is dus de symmetrieas. d Elk punt op de grafiek heeft tegenover punt (0, 0) ook een punt op de grafiek.

Het punt (0, 0) is dus het punt van symmetrie.

V-2a

1 2 3 54–5 –4 –2–3 –1 O

1

2

3

4

–4

–3

–2

–1

x

y

fg

b De grafieken snijden elkaar voor x waar geldt f x g x( ) ( )= . Oplossen geeft x x= 3 x x− =3 0 x x( )1 02− = x x= − =0 1 02of ( ) x x= =0 12of x x x= = = −0 1 1of of De coördinaten van de snijpunten zijn (0, 0), (1, 1) en (–1, –1).

c f x g x( ) ( )> . De oplossing van de gelijkheid f x g x( ) ( )= vond je al bij opdracht b. De oplossing van de ongelijkheid lees je af uit de grafiek waar f hoger ligt dan g. Je vindt x x< < <1 0 1of .

V-3a De grafiek van k heeft de y-as als verticale asymptoot en de x-as als horizontale asymptoot. Een asymptoot is een waarde die steeds dichter benaderd wordt maar nooit wordt bereikt.

b Het domein van k zijn de geldige waarden voor x. Dat is in de intervalnotatie ⟨← ⟩, 0 en 〈0, →〉

Het bereik van k zijn de waarden die de functie kan krijgen. Dat is in de intervalnotatie 〈←, 0〉 en 〈0, →〉 c De grafiek heeft de vorm van een halve parabool die op zijn kant ligt. d Het domein van l is [0, →〉. Het bereik is [0, →〉

MW9_havobb_wiskb_2_1-Uitw.indd 4 31-03-2008 10:51:36

Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 2 © Noordhoff Uitgevers bv© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄5


bladzijde 13

V-4a

Plot Invoer: Y1 = X^3 Y2 = 1/X Venster: Xmin = –4 en Xmax = 4 Ymin = –4 en Ymax = 4 b Voor de TI-rekenmachine: Kies CALC en dan INTERSECT. Zet met de

pijltjestoetsen de cursor iets links van een snijpunt en toets ENTER. Verplaats vervolgens de cursor naar een punt dat iets rechts van het snijpunt ligt en toets ENTER. Sla de vraag op Guess? over. Voor de Casio rekenmachine: Kies G-Solv en dan ISCT. Bij beide rekenmachines wordt het snijpunt automatisch gevonden en kun je de oplossing aflezen. Om de volgende snijpunten te vinden ga je als volgt te werk: – bij de TI-rekenmachine: op dezelfde manier als bij het eerste snijpunt alleen

plaats je de cursor nu rond het nieuwe snijpunt. – bij de Casio: druk op de rechter pijltjestoets (met de de linker pijltjestoets kun je

daarna het vorige snijpunt weer vinden). Je vindt hiermee voor de snijpunten de coördinaten (–1, –1) en (1, 1).

c Voor het oplossen van g x k x( ) ( )≤ kijk je in de grafiek waar x3 kleiner of gelijk is

aan 1x

. Dat geldt voor x x≤ − < ≤1 0 1of .

V-5a f x x x x x( ) = ⋅ = =+2 6 2 6 8

b H r r r r r r( ) = ⋅ ⋅ = =+ +5 2 10 5 2 10 17

c R qqq

q q q q( ) = = ⋅ = =− −7

27 2 7 2 5 (voor q ≠ 0 )

d Y x x x x x x( ) ( )= + + = + + =5 7 5 7 1 132 2 2 2 2

e A t t tt

t t t t t( ) = ⋅ = ⋅ ⋅ = =− + −4 7

34 7 3 4 7 3 8 (voor t ≠ 0 )

f K p p p p p p p p( ) ( ) (= + ⋅ ⋅ = + ⋅ = + = +× +2 5 7 3 2 5 7 3 10 103 3 3 1 33 410 10)p p=

g W t t t t t t t t t( ) = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =+ +6 6 1 6 1 712

12

12

h P gg g

g

g g

g

g

g( )

( )= ⋅ = ⋅ = =×

8

3 3

8

3 3

9

91 (voor g ≠ 0 )

V-6a m x x x x x x x x x x( ) ( )= + = ⋅ + ⋅ = +2 4 3 2 4 2 3 6 5

b f t t t t t t t t( ) ( )= + = + ⋅ = +2 4 2 2 4 2 61

c w q q q q q q q q( ) ( )= + − = + −2 3 2 3 4

d Q y y y y y y y y( ) ( )= + = + ⋅ = +1

e R t t t t t t t t t t t t( ) ( )= + + = ⋅ + ⋅ + = + + =3 2 4 3 3 2 4 4 53 3 3t4 44 4 5t t+

f k p p p p p p p p p p( ) ( )= − = ⋅ − ⋅ = −5 2 8 5 2 5 8 10 402 7 2 2 7 3 9

g s t t tt

tt

( )( )

= ⋅ = =3 3 33 5

4 2

8

8 (voor t ≠ 0 )



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄6


1.1 Machtsfuncties

bladzijde 14

1a

Plot Invoer: Y1 = X^2 Y1 = X^3 Y1 = X^4 Y1 = X^5 Venster: Xmin = –2 en Xmax = 2 Ymin = –4 en Ymax = 4 Alle grafieken gaan door de oorsprong (0, 0) en het punt (1, 1). b De grafieken met even machten gaan ook nog door het punt (–1, 1) en zijn

symmetrisch in de y-as De grafieken met oneven machten gaan ook nog door het punt (–1, –1) en zijn puntsymmetrisch in (0, 0).

c ( ) ( )− = − =1 1 12 4 en ( ) ( )− = − = −1 1 13 5

d Voor f en h is het bereik [ ,0 →⟩ . Voor g en k is het bereik

2a Voor de grafieken met even machten f en h is de y-as symmetrieas. b Voor de grafieken met oneven machten g en k is de oorsprong het symmetriepunt. c f x( ) = 3 : de grafiek van f snijdt de lijn y = 3 op twee plaatsen, er zijn dus twee

oplossingen. f x( ) = 0 : de grafiek van f snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. f x( ) = −2 : de grafiek van f snijdt de lijn y = –2 nergens, er zijn dus geen oplossingen. d g x( ) = 3 : de grafiek van g snijdt de lijn y = 3 op één plaats, er is dus één oplossing. g x( ) = 0 : de grafiek van g snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. g x( ) = −2 : de grafiek van g snijdt de lijn y = −2 op één plaats, er is dus één oplossing. h x( ) = 3 : de grafiek van h snijdt de lijn y = 3 op twee plaatsen, er zijn dus twee

oplossingen. h x( ) = 0 : de grafiek van h snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. h x( ) = −2 : de grafiek van h snijdt de lijn y = –2 nergens, er zijn dus geen oplossingen. k x( ) = 3 : de grafiek van k snijdt de lijn y = 3 op één plaats, er is dus één oplossing. k x( ) = 0 : de grafiek van k snijdt de lijn y = 0 op één plaats, er is dus één oplossing. k x( ) = −2 : de grafiek van k snijdt de lijn y = –2 op één plaats, er is dus één oplossing.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄7


bladzijde 15

3a De functies g en h hebben een even macht en hebben dus een symmetrieas. b Alle functies gaan door het punt (1, 1). De functies f en k hebben een oneven macht en gaan door het punt (–1, –1). c De lijn y = 20 ligt boven de y-as. De grafiek van f heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats. De grafiek van g heeft een even macht en snijdt de lijn dus op twee plaatsen. De grafiek van h heeft een even macht en snijdt de lijn dus op twee plaatsen. De grafiek van k heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats.

De lijn y = −8 ligt onder de y-as. De grafiek van f heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats. De grafiek van g heeft een even macht en snijdt de lijn dus nergens. De grafiek van h heeft een even macht en snijdt de lijn dus nergens. De grafiek van k heeft een oneven macht en snijdt de lijn dus op één plaats.

4a

Plot Invoer: Y1 = 0.3X^4 Venster: Xmin = –3 en Xmax = 3 Ymin = –1 en Ymax = 4 In de schets van A t( ) teken je de grafiek door de punten (–1; 0,3), (0, 0) en (1; 0,3) b Verschil: de grafiek van A t t( ) ,= 0 3 4 ligt overal lager dan de grafiek van f t x( ) = 4

Overeenkomst: de y-as is symmetrieas, de grafieken liggen boven de x-as en gaan door de oorsprong.

c A t t( ) ,= 0 3 4 snijdt de lijn y = 10 op twee plaatsen want 10 > 0, dus er zijn twee oplossingen.

A t t( ) ,= 0 3 4 snijdt de lijn y = 0 001, op twee plaatsen want 0,001 > 0, dus er zijn twee oplossingen.

5a Een straal van 10 cm is een straal van 1 dm. De oppervlakte van de 12 ballen is dus 12 4 12 4 1 48 150 802 2× = ⋅ ⋅ = ≈π π πr , dm2

b Voor de oppervlakte van 12 ballen met r in cm geldt O r r r r( ) ,= ⋅ = ⋅ =12 4 48 150 82 2 2π π

c Een straal van 10 cm is een straal van 1 dm.

De inhoud van de 12 ballen is dus 12 43

12 43

1 16 50 273 3× = ⋅ ⋅ = ≈π π πr , dm3

d Een straal van r cm is een straal van 0,1r dm. De inhoud van 12 ballen in dm3 waarin r in cm ingevuld wordt is dus I r r r r( ) ( , ) ( , ) ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅12 4

30 1 16 0 1 0 0163 3 3 3 == 0 05 3, r dm3

e Los dus op: I r( ) ≤ 100 ofwel 0 05 1003, r ≤ . Plot de grafiek met Y1=0.05X^3 en Y2=100. Vind het snijpunt en lees af X ≈ 12,6. In een geheel aantal centimeters kan de straal dus hoogstens 12 cm zijn.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄8


6a Hayo berekent eerst 0,4 ∙ 10 = 4 , neemt dat tot de derde macht en krijgt er 43 = 64 watt uit. Hij maakt de fout door ( , )0 4 3v te berekenen in plaats van 0 4 3, ⋅v , maar als rekenkundige bewerking komt machtsverheffen altijd vóór vermenigvuldigen.

b Los op: 0 4 10003, v = . Plot de grafiek met Y1=0.4X^3 en Y2=1000. Vind het snijpunt en lees af X ≈ 13,57. De snelheid is dus ≈ 13,57 meter per seconde.

c Voor 2000 watt los je op 0 4 20003, v = en vindt als snelheid ≈ 17,1 m/s. Dat is niet twee keer zo groot als 13,57 m/s. Hans heeft dus niet gelijk.

1.2 Negatieve exponenten

bladzijde 16

7a

Plot Invoer: Y1 = X–1

Venster: Xmin = –5 en Xmax = 5 Ymin = –5 en Ymax = 5 Voor x = 0 bestaat f x( ) niet. b De x-as is een horizontale asymptoot. De y-as is een verticale asymptoot. c x –2 –1 – 1

2 0 12 1 2 4

f(x) – 12 –1 –2 bestaat niet 2 1 1

214

d x− = −1 2 heeft één oplossing want de grafiek van f x x( ) = −1 snijdt de lijn y = −2 op één plaats.

8a Bij x = 0 bestaan de grafieken niet. De grafieken hebben voor x = 0 een verticale asymptoot.

b Voor a = –2 en a = –4.

c xx

xx

xx

− − −= = =22

33

44

1 1 1; en

De grafiek van x−2 en 12x

vallen samen.

Even zo de grafieken van x−3 met 13x

en x−4 met 14x

.

d Als x steeds verder van 0 ligt nadert de grafiek steeds meer de x-as. e Voor a = –2 en a = –4 is de y-as symmetrieas en ligt de grafiek geheel boven de x-as.

Iedere horizontale lijn boven de x-as wordt op twee plaatsen gesneden. Als f x( ) = 8 twee oplossingen heeft is a = –2 of a = –4.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄9


bladzijde 17

9a

Plot Invoer: Y1 = X^–2 Y2 = X^–3 Venster: Xmin = –5 en Xmax = 5 Ymin = –4 en Ymax = 4 b De grafiek van g is puntsymmetrisch. De grafiek van f heeft een symmetrieas. c De grafiek van f x x( ) = −3 snijdt de lijn y = 4 op één plaats, er is dus één oplossing. d Uit − =−2 43x volgt x− = −3 2 , en de grafiek van f x x( ) = −3 snijdt de lijn y = −2 op

één plaats. Er is dus één oplossing. e Voor c: Plot de grafiek Y1 = X^–3 en Y2 = 4 en gebruik CALC / INTERSECT op de

TI of G-Solv / ISCT op de Casio om het snijpunt te vinden. De oplossing is x ≈ 0,63

Voor d: Plot de grafiek Y1 = –2X^–3 en Y2 = 4 en gebruik CALC / INTERSECT op de TI of G-Solv / ISCT op de Casio om het snijpunt te vinden. De oplossing is x ≈ –0,794

10a Bij iemand die zonder kleding gaat duiken dient alleen de huid als isolatie. De isolatiewaarde is dan 0,3 eenheden en de temperatuursdaling bedraagt d I= ⋅ − = ⋅ − ≈− −2 51 2 2 51 0 3 2 6 41 1, , , , °C/uur

b Als de temperatuursdaling voorkomen wordt is er geen temperatuursdaling per uur, dus d = 0 ofwel 2 51 2 01, ⋅ − =−I 2 51 21, ⋅ =−I

2 51 1 2, ⋅ =I

1 22 51I

=,

I = =2 512

1 255, , isolatie-eenheden

c Voor een isolatiewaarde I = 0 7, is de temperatuursdaling d = ⋅ − ≈−2 51 0 7 2 1 591, , , °C/uur Omdat we aannemen dat de temperatuur lineair daalt mag je een tabel gebruiken. Uit

1,59 °C 1 °C1 uur ? uur volgt dat de temperatuursdaling van 1 °C bereikt is na 1

1 590 639

,,≈ uur ofwel na

ongeveer 38 minuten.

11a Voor Marijke geldt l = 1 62, meter en G = 60 kg. Daarbij hoort een waarde van Q G l= ⋅ = ⋅ =− −2 260 1 62 22 86, , . Haar waarde is kleiner dan 27, dus er is geen sprake van overgewicht.

b Voor een gezond gewicht van iemand van 1,80 m lengte geldt Q G= ⋅ =−1 80 252, .

Oplossen geeft G = =−25

1 8081

2, kg



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄10


c Voor iemand met een gewicht van 85 kg geldt Q l= ⋅ −85 2 en heeft overgewicht als Q ≥ 27

Plot Invoer: Y1 = 85X^–2 Y2 = 27 Venster: Xmin = 0 en Xmax = 3 Ymin = 0 en Ymax = 40 Het snijpunt ligt bij X=1,77. Volgens de grafiek heeft iemand van 85 kg overgewicht

als zijn lengte kleiner is dan 177 cm. Merk op dat het plotten voor Xmin < 0 geen zin heeft want iemand kan geen negatieve lengte hebben.

1.3 Gebroken exponenten

bladzijde 18

12a

Plot Invoer: Y1 = X^(1/2) Y2 = ÷(X) Venster: Xmin = –1 en Xmax = 10 Ymin = –1 en Ymax = 4 De grafieken vallen samen, dus x x

12 =

b

Plot Invoer: Y1 = X^(1/3) Venster: Xmin = –0.5 en Xmax = 0.5 Ymin = –1 en Ymax = 1 De grafiek gaat door de oorsprong en heeft daar een verticale raaklijn. De oorsprong

is punt van symmetrie.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄11


13a

1 2 3 54–5 –4 –2–3 –1 O

1

2

3

4

–4

–3

–2

–1

x

y

f

g

b De grafieken hebben de snijpunten (0, 0) en (1, 1). c Het bereik van f is [ ,0 →⟩ . Het bereik van g is .

14a

Plot Invoer: Y1 = X^(1/4) Y2 = X^(1/5) Venster: Xmin = –2 en Xmax = 2 Ymin = –2 en Ymax = 2 f x g x( ) ( )< los je op door eerst f x g x( ) ( )= op te lossen en in de plot te kijken waar

de grafiek van f onder de rafiek van g ligt. De grafieken snijden elkaar voor x = 0 en x = 1. Gebruik ZOOM om te zien dat op het interval ⟨ ⟩0 1, de grafiek van x

14 onder de

grafiek van x15 ligt. De oplossing is dus 0 1< <x .

b f x( ) = −2 . De grafiek van f ligt geheel boven de x-as, dus er zijn geen oplossingen. c g x( ) ,= 1 5 . Zoek met een plot het snijpunt tussen de grafiek van g en de horizontale

lijn y = 1,5. Je vindt als oplossing x ≈ 7,59

15a De grafiek van S lijkt op de grafiek van g bij opgave 13a. Als A groter wordt wordt S ook steeds groter. De formule klopt dus inderdaad in dat opzicht.

b

Plot Invoer: Y1 = 28.6X^(1/3) Venster: Xmin = 0 en Xmax = 2500 Ymin = 0 en Ymax = 500 c Los op: 300 28 6

13= ⋅, A . Zoek met een plot het snijpunt tussen de grafiek van S en de

horizontale lijn y = 300. Je vindt als oplossing A ≈ 1154 vierkante mijlen.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄12


bladzijde 19

16a Schrijf de formule eerst met een macht, dus L G G= ⋅ = ⋅11 75 11 75515, .

Plot Invoer: Y1 = 11.75X^(1/5) Venster: Xmin = 0 en Xmax = 4000 Ymin = 0 en Ymax = 100 b De levensverwachting voor de olifant is L = ⋅ ≈11 75 4000 62

15, jaar. Je vindt het ook

als laatste waarde in de grafiek bij opdracht a. c Los op: 11 75 61 72 2 30 86

15, , : ,⋅ = =G . Gebruik de grafiek bij opdracht a en plot de lijn

Y2 = 30.86 erbij. Zoek dan met INTERSECT het snijpunt. Je vindt G ≈ 125 kg d Voor een volwassene van 80 kg zou de levensduur volgens deze formule slechts 28,2

jaar zijn, wat uiteraard niet klopt met de werkelijkheid. De formule geldt misschien alleen voor zoogdieren vanaf een zekere grootte die in het wild leven en natuurlijke vijanden hebben.

17a Een ‘jaar’ op Jupiter duurt 0 1994 778 43271 5, ,⋅ ≈ aardse dagen. b Los op: 0 1994 881 5, ,⋅ =A . Plot de grafieken van Y1 = 0.1994X^1.5 en Y2 = 88 en

zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt A ≈ 58 , dus de afstand van Mercurius tot de zon is ongeveer 58 miljoen kilometer.

c Voor de aarde is een jaar 365 dagen, dus los op: 0 1994 3651 5, ,⋅ =A . Op dezelfde manier als bij opdracht b vind je A ≈ 150 , dus de afstand van de aarde tot de zon is ongeveer 150 miljoen kilometer.

18a Zijn werkelijk lichaamsgewicht was 12 2 6 5 680 92, , ,⋅ ≈ kg b De Brachiosaurus woog 12 2 15000 850000 92, ,⋅ ≈ kg ofwel ongeveer 85 ton. c De grafiek van M stijgt maar steeds minder steil. De grafiek is dus afnemend stijgend.

1.4 vergelijkingen oplossen

bladzijde 20

19a Na 10 seconden is de raket 1 2 10 12003, ⋅ = meter hoog. Na een halve minuut (= 30 seconden) is de raket 1 2 30 32 4003, ⋅ = meter hoog.

b Los op: h = 20 000 ; 1 2 20 0003, t = . Plot de grafieken van Y1 = 1.2X^3 en Y2 = 20000 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt t ≈ 25 5, seconden.

20a x3 13= ( )x3

13

1313=

x = =13 1313 3



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄13


b 3 306x = x6 30 3 10= =: ( )x2 3 10= , we werken dit om naar een even macht voor het tweede deel van de vraag. x2 10

13=

( ) ( )x2 12

13

1210= , een positieve of negatieve waarde van x geeft hetzelfde kwadraat,

dus x x= = = − = −10 10 10 1016

166 6of

Er zijn nu twee oplossingen omdat de macht van x even is. c Voor opdracht a is de waarde 13 13 2 353

13= ≈ ,

Voor opdracht b zijn de waarden 10 10 1 47616= ≈ , en ≈ –1,47

bladzijde 21

21a x8 1200= x x= ≈ = − ≈ −1200 2 43 1200 2 43

18

18, ,of

b x5 6= − x = − ≈ −( ) ,6 1 43

15

c p4 12= − heeft geen oplossing want de grafiek bij een even macht ligt boven de horizontale as.

d 7 2856x =

x6 2857

=

x x= = −( ) ( )2857

2857

16

16of , vergeet de negatieve oplossing niet want x heeft een even

exponent x x= ≈ = − ≈ −40 1 85 40 1 8557

6 57

6of, ,

e 0 5 39, x = x9 3 0 5 6= =: , x = ≈6 1 22

19 ,

22a x− =5 6 c x34 2

3=

( )x− − −=515

156 ( ) ( )x

34

43

432

3=

x = ≈−6 0 7015 , x = ≈( ) ,2

3

43 0 58

b x14 2= d 7 180 9g , =

x = =2 164 g0 9 18

7, =

( ) ( ), , ,g0 9 187

10 9

10 9=

g = ≈( ) ,,187

10 9 2 86

23a Gebieden van 0,75 vierkante mijl hebben 40 0 75 3816⋅ ≈, vogelsoorten.

Gebieden van 1500 vierkante mijl hebben 40 1500 13516⋅ ≈ vogelsoorten.

b Los op: 50 4016= ⋅ A . Plot de grafieken van Y1 = 40X^(1/6) en Y2 = 50 en zoek met

INTERSECT het snijpunt. Je vindt A ≈ 3 8, vierkante mijl.

Exact berekenen: 40 50 5040

1 25 1 25 116

16

16 6 6∙ , ( ) ,A A A A= = = = =; ; ; ,, 256 ≈ 3,8



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄14


c S A= ⋅4016

A S S S16

40140

0 025= = ⋅ = ,

( ) ( , )A S16 6 60 025=

A S= ⋅0 0256 6, A S≈ ⋅ ⋅−2 44 10 10 6, dus c ≈ ⋅ −2 44 10 10, en d = 6

24a P Q= ⋅25 3 5,

Q P3 5 125

, =

Q P3 51

3 5

13 51

25, ,

,( ) =

Q P=

125

13 5 1

3 5,

,

a b=

≈ = ≈1

250 40 0 29

13 5

13 5

,

, ,,;

b P Q= ⋅0 75 1 38, ,

Q P1 38 10 75

,

,=

( ),

, ,,

Q P1 381

1 38

11 381

0 75=

Q P=

10 75

11 38 1

1 38

,

,,

a b=

≈ = ≈10 75

1 23 0 72

11 38

11 38,

, ,,

,;

c P Q= ⋅ −1 46 0 67, ,

Q P− =0 67 11 46

,

,

Q P− −−

( ) =

0 671

0 67

10 671

1 46, ,

,

,

Q P=

−−1

1 46

10 67 1

0 67

,

,,

a b=

≈ = − ≈ −−

11 46

1 76 10 67

1

10 67

,,

,,

,; 449

d P Q= 0 002 112,

P Q= 0 00232,

Q P32 1

0 002=

,

( ),

Q P32

23

231

0 002=

Q P=

10 002

23

,

Q P=

10 002

23 2

3

,

a b=

≈ = ≈10 002

63 00 0 67

23

23,

, ,;



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄15


25a Het hart van de rustende volwassen olifant slaat 241 4000 30 30 25⋅ ≈− , , slagen per minuut. b Het hart van de haas maakt 241 5 1610 25⋅ ≈− , slagen per minuut. De vos weegt 10 kg. Het hart van de vos maakt 241 10 1360 25⋅ ≈− , slagen per minuut.

Dat is niet de helft van 161. c H G= ⋅ −241 0 25,

G H− =0 25 1

241,

G H− =

14 1

241

( )G H− −−

=

14 4

41

241

G H=

−−1

241

44

G H≈ ⋅ −3 37 109 4,

d Bij 50 slagen per minuut hoort een gewicht van 3 37 10 50 5409 4, ⋅ ⋅ ≈− kg. e Om van gram naar kg te gaan deel je het aantal gram door 1000, dus

H Gg= ⋅ = ⋅

= ⋅−−

241 2411000

241 11000

0 25

0 25

,

,

gg g

= ⋅

≈

− −−

0 25 0 250 25241 1

100013

, ,, 555 0 25⋅ −g ,

1.5 Gemengde opdrachten

bladzijde 22

26a 1 8 2 40 6, ,,x− =

x− =0 6 2 41 8

, ,,

( ) ,,

, ,,

x− −−

=

0 61

0 6

10 62 4

1 8

x =

≈−

2 41 8

0 62

10 6,

,,

,

b 30 8 25 1023− ⋅ =, t

8 25 30 10 2023, ⋅ = − =t

t23 20

8 25=

,

t23

32

3220

8 25( ) =

,

t =

≈208 25

3 77

32

,,

c 4 1200 30001 75p , + = 4 3000 1200 18001 75p , = − =

p1 75 18004

450, = =

( ), , ,p1 751

1 751

1 75450= p = ≈450 32 82

11 75, ,

d 2 1 54x− − = 2 5 1 64x− = + = x− = =4 6

23

de exponent is even, dus er zijn twee oplossingen: x x= ≈ = − ≈ −− −3 0 76 3 0 76

14

14, ,of



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄16


27a Z = ⋅ ≈−0 4 2400 0 0310 33, ,, ml zuurstof per kg lichaamsgewicht De totale hoeveelheid verbruikte zuurstof is 2400 ∙ Z = 2400 0 4 2400 73 60 33⋅ ⋅ ≈−, ,, ml zuurstof. Voor 5 kilometer verbruikt de neushoorn 5 ∙ 73,6 = 368 ml zuurstof.

b Z = ⋅ ≈−0 4 20 0 150 33, ,, ml zuurstof per kg lichaamsgewicht. De totale hoeveelheid verbruikte zuurstof is 20 ∙ Z = 20 ∙ 0,15 = 3 ml zuurstof. Voor 5 kilometer verbruikt de hond 5 ∙ 3 = 15 ml zuurstof.

c 0 4 0 33, ,⋅ =−L Z L Z− =0 33

0 4,

,

L Z− −−

( ) =

0 331

0 33

10 33

0 4, ,

,

,

L Z Z Z= ≈ = ⋅−

−

−

−

10 33

10 33

3 03

3 033 03

0 40 4

0 4,

,

,

,,

,,

, −− −= ⋅3 03 3 030 062, ,, Z

Voor Z = 0 08, geldt dus L = ⋅ =−0 062 0 08 1313 03, , , kg d Stel het lichaamsgewicht van de haas voor door Lhaas en het gewicht van de geit door

Lgeit dan geldt L Lgeit haas= ⋅8 . Invullen in de formule geeft Z Lgeit geit= ⋅ −0 4 0 33, , Z Lgeit haas= ⋅ ⋅ −0 4 8 0 33, ( ) , Z Lgeit haas= ⋅ ⋅− −0 4 8 0 33 0 33, , , Z Lgeit haas= ⋅ ⋅− −8 0 40 33 0 33, ,( , ) Z Z Zgeit haas haas= ⋅ ≈ ⋅−8 0 50 33, , De geit heeft dus ongeveer het halve verbruik aan zuurstof/kg als de haas.

e TZ L Z= ⋅ , het totale verbruik is het lichaamsgewicht L maal het verbruik per kg Z TZ L L= ⋅ ⋅ −0 4 0 33, ,

TZ L L= ⋅ ⋅ −0 4 0 33, , TZ L= ⋅ −0 4 1 0 33, , TZ L= ⋅0 4 0 67, ,

f 32 ram = 0,032 kg. Per kilometer verbruikt de hazelmuis TZ = ⋅ ≈0 4 0 032 0 0400 67, , ,, ml zuurstof. Op een afstand van 100 meter (= 0,1 km) is dat 0,1 ∙ 0,040 = 0,004 ml zuurstof.

28a De y-waarde van A is f a( ) en de y-waarde van B is g a( ) . De afstand tussen A en B is 1, dus los op g a f a( ) ( )− = 1 ofwel a a3 2 1− = . Plot de grafieken van Y1 = X^3–X2 en Y2 = 1 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt a ≈ 1 47,

b De y-waarden van C en D zijn gelijk aan b en de x-waarde van C is 1 kleiner dan de

x-waarde van D. Uit de grafiek blijkt dat g steiler loopt en eerder b bereikt dan f, dus g x b f x b( ) ( )= + =en 1 . Vind dus de waarde van x waarvoor dit geldt. Uit x b x b x x3 2 3 21 1= + = = +en volgt( ) ( ) Plot de grafieken van Y1 = X^3 en Y2 = (X+1)2 en zoek met INTERSECT het snijpunt. Je vindt x ≈ 2 148, De hoogte van het snijpunt is ≈ 9,91 dus b ≈ 9,91



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄17


bladzijde 23

29a De snelheid staat in de noemer. Elke breuk wordt kleiner als de noemer toeneemt, dus neemt de emissie af als de snelheid toeneemt.

b Voor 60 km/h geldt ew = + ≈4 4 196 060

7 7, , , gram per kilometer.

c Los op: 14 6 9 298 5= +, ,v

Oplossing: 298 5 14 6 9 7 1, , ,v

= − =

v298 5

17 1, ,

=

v = ⋅ = ≈298 5 17 1

298 57 1

42,,

,,

km/h

d In de grafiek is te zien dat de emissie bij koude motor (onderbroken lijn) hoger ligt dan de emissie bij warme motor (doorgetrokken lijn). Voor een positief verschil d geldt dus d e ek w= −

dv v

= +

− +

6 9 298 5 4 4 196 0, , , ,

dv v

= + − −6 9 298 5 4 4 196 0, , , ,

dv v

= − + −6 9 4 4 298 5 196 0, , , ,

dv

= + −2 5 298 5 196 0, , ,

dv

= +2 5 102 5, ,

e Los op: d = 10

10 2 5 102 5= +, ,v

102 5 10 2 5 7 5, , ,v

= − =

v102 5

17 5, ,

=

v = ≈102 57 5

13 7,,

, km/h



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄18


ICT Machtsfuncties met gehele exponent

bladzijde 24

I-1a Alle grafieken gaan door de oorsprong en het punt (1, 1). b De grafieken met even exponent gaan door het punt (–1, 1) en zijn symmetrisch in de

y-as. De grafieken met oneven exponent gaan door het punt (–1, –1) en zijn

puntsymmetrisch in (0, 0). c De grafieken met even exponent: ( )− =1 1n als n even is. Een getal tot een even

macht verheffen geeft nooit een negatieve uitkomst. De grafieken met oneven exponent: ( )− = −1 1n als n oneven is. Bij een oneven macht geeft

een negatief getal een negatieve uitkomst en een positief getal een positieve uitkomst. d Voor n = 2 en n = 4 is het bereik [0, →〉

Voor n = 3 en n = 5 is het bereik e Voor de even machten (n = 2 en n = 4) is de y-as de symmetrieas. f Voor de oneven machten (n = 3 en n = 5) is de oorsprong het punt van symmeterie.

I-2a Voor x = 0 bestaat f x( ) niet. b a) Alle grafieken gaan door het punt (1, 1).

b) De grafieken met even exponent gaan door het punt (–1, 1) en zijn symmetrisch in de y-as.

De grafieken met oneven exponent gaan door het punt (–1, –1) en zijn puntsymmetrisch in (0, 0).

c) De grafieken met even exponent: ( )( )

− =−

=−1 11

1nn

als n even is.

Een getal tot een even macht verheffen geeft nooit een negatieve uitkomst.

De grafieken met oneven exponent: ( )( )

− =−

= −−1 11

1nn

als n oneven is.

Bij een oneven macht geeft een negatief getal een negatieve uitkomst en een positief getal een positieve uitkomst.

d) Het domein voor deze functies is 〈←, 0〉 en 〈0, →〉. Hierbij hoort voor n = –2 en n = –4 het bereik 〈0, →〉 voor n = –3 en n = –5 het bereik 〈←, 0〉 en 〈0, →〉

e) Voor de even machten (n = –2 en n = –4) is de y-as de symmetrieas. f) Voor de oneven machten (n = –3 en n = –5) is de oorsprong het punt van symmeterie.

I-3a De y-as is de verticale asymptoot en de x-as de horizontale asymptoot. b x –2 –1 – 1

2 0 12 1 2 4

f(x) – 12 –1 –2 bestaat niet 2 1 1

214

c f xx

( ) = 1

d Voeg de formules toe. e Voor n = –2 en n = –4 ligt de grafiek nooit onder de x-as en zijn de functiewaarden

dus positief.

f Zonder negatieve exponenten worden de functies 1 1 12 3 4x x x

, en .

Als je deze functies plot vallen ze samen met de de grafieken van achtereenvolgens x x x− − −2 3 4, en .



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄19


bladzijde 25

I-4a Bij x6 en x8 hebben de grafieken de y-as als symmetrieas. b Alle grafieken gaan door het punt (1, 1). Alleen x5 en x7 gaan door (–1, –1). c De horizontale lijn y = 20 ligt boven de x-as.

De grafieken van de functies met even machten komen niet onder de x-as en hebben de y-as als symmetrieas waardoor ze twee snijpunten met de lijn hebben. Bij de oneven machten komt de grafiek alleen boven de x-as voor x > 0 en deze hebben maar één snijpunt met de lijn. De horizontale lijn y = –8 ligt onder de x-as. De grafieken van de functies met even machten komen niet onder de x-as en hebben dus geen snijpunten met de lijn. Bij de oneven machten komt de grafiek onder de x-as voor x < 0 en deze hebben dus één snijpunt met de lijn.

I-5a Alle grafieken gaan door het punt (0, 0). b f a a( )0 0 0 03= ⋅ = ⋅ = want een getal vermenigvuldigd met 0 geeft altijd 0. c Voor a = 2 is er één oplossing; voor a = –2 eveneens. d Verander de formule F y ax: = 3 in F y ax: = −4

a) Er is voor y ax= −4 geen enkel punt waar alle grafieken door gaan. b) – c) Voor a = 2 is er geen oplossing; voor a = –2 zijn er twee oplossingen.

I-6a – b 1) x4 2= heeft twee oplossingen

2) x5 3= heeft één oplossing 3) x4 2= − heeft geen oplossing 4) x− =2 6 heeft twee oplossingen 5) x− = −3 6 heeft één oplossing 6) x− = −2 6 heeft geen oplossing

I-7a Eén oplossing. b Eén oplossing. c Gebruik de knop met de trace-functie en je vindt x = – 0,56 d Uit 3 25 26 52x− + = , volgt 3 1 52x− = , . De grafiek van x−2 heeft de y-as als

symmetrieas en ligt geheel boven de x-as, dus 3 2x− heeft twee snijpunten met de lijn y = 1,5. Oplossing: 3 1 52x− = ,

x− = =2 12

1 53,

( ) ( ) ( ) ( )x x− − − − − −= = −212 1

22

12 1

2

12 =2 = 2 of

12

112

122 2= − = −

x x≈ ≈ −1 414 1 414, ,of

I-8a Voor alle c ≠ 0 heeft h x( ) één oplossing. b Voor a = –0,75 en n = –3 vallen de grafieken samen. Dit kun je ook zien als je de

formules in VU-grafiek zichtbaar maakt.

Er geldt dan h xformule A

formule B

x

x( ) =

=−

= ⋅12

3

23

612 xx x x3 3

26 3

43⋅ − ⋅ = − ⋅− −

en dat is vergelijking a ∙ xn is met de ingestelde waarden.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄20


Test jezelf

bladzijde 28

T-1a f heeft een even exponent dus de y-as is de symmetrieas. g heeft een oneven exponent dus het punt (0, 0) is punt van symmetrie. h heeft een even exponent dus de y-as is de symmetrieas.

b Alleen de grafiek van f gaat door (–1, 1). c De lijn y = 1

1000 is een horizontale lijn net boven de x-as. Voor f zijn de snijpunten de oplossingen van de vergelijking f x c( ) = met c = 1

1000 . In dit geval is c > 0 en is de exponent even, dus er zijn 2 snijpunten. Voor g is de exponent oneven dus er is 1 snijpunt. Voor h is de exponent even dus er zijn 2 snijpunten.

T-2a

Plot Invoer: Y1 = 2+X^–4 Venster: Xmin = –3 en Xmax = 3 Ymin = –1 en Ymax = 10 f x( ) = 4

2 44+ =−x x− = − =4 4 2 2

1 24x

=

x4 12

=

x x= = −0 5 0 514

14, ( , )of

Dit kun je ook schrijven als x x= = −0 5 0 54 4, ,of b f x( ) = 100 . Plot de grafiek Y2 = 100 bij de grafiek uit opdracht a en zoek met

INTERSECT de snijpunten. Je vindt x x≈ ≈ −0 318 0 318, ,of c De grafiek van 2 4+ −x verschuift de grafiek van x−4 met 2 omhoog. De grafiek van

x−4 heeft de x-as als horizontale asymptoot en ligt geheel boven de x-as. De omhoog verschoven grafiek van f snijdt de x-as dus ook niet.

T-3a HG = ⋅ =0 012 1 0 01223, , kg, ofwel 12 gram

b Los op: 0 750 0 01223, ,= ⋅LG

LG23 0 750

0 01262 5= =,

,,

LG = = ≈62 5 62 5 49432 1 5, , , kg, of 500 kg als praktisch afgeronde waarde.

c Voor grote waarden van LG verandert HG weinig: de grafiek gaat steeds vlakker gaat lopen als LG groter wordt. In het begin verandert HG juist wel veel als LG toeneemt. De ree heeft een kleine LG en de beer een grote LG. De verandering van 10 kg zal bij de beer dus weinig uitmaken, maar bij de ree juist veel. Voor de ree en de vos zal het verschil in hersengewicht daarom het grootst zijn.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄21


d Als LG 100 maal groter wordt vervang je LG door 100 ∙ LG

Het hersengewicht wordt dan 0 012 100 100 0 01223

23

23, ( ) ,⋅ ⋅ = ⋅ ⋅LG LG .

Dat is 100 21 523 ≈ , maal het oude hersengewicht van 0 012

23, ⋅LG

Het hersengewicht wordt dus ongeveer 21,5 maal groter.

T-4a x5 8= − x = − = −( )8 8

15 5

x ≈ −1 52, b y6 20=

y y= = −20 2016

16of ( ) , vergeet de negatieve oplossing niet want x heeft een even

exponent y y= = −20 206 6of y y≈ ≈ −1 65 1 65, ,of

c x− = −4 3 heeft geen oplossingen want door de even exponent is x−4 nooit negatief. d p

14 100=

p = = = = =×100 10 10 104 2 4 2 4 8( ) 100 000 000

e 3 1223x =

x23 12

34= =

x = = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =+

4 4 4 4 4 4 4 4 2 832

112

1 12 1

12

f 13 6 11 58− ⋅ =p , 13 1 6 1 58− = ⋅ p , 6 121 58⋅ =p ,

p1 58 126

2, = =

p = 21

1 58,

p ≈ 1 55,

bladzijde 29

T-5a Als de productie toeneemt wordt n groter. De waarde van n−1 wordt dan kleiner, dus GK neemt af.

b Hoe groter n wordt, hoe meer n−1 naar 0 nadert en er GK = 2 overblijft. De gemiddelde kosten blijven dus boven de waarde van 2 euro per tekenset.

c Los op: GK ≤ 3 . Om een ongelijkheid op te lossen los je eerst de gelijkheid op:

GK n n n= + ⋅ = ⋅ = =−3 2 2500 3 2500 1 12500

1 1 1; ; ; ;– – nn = 2500

Bij grotere n nadert GK steeds meer naar 2 (zie opdracht b), dus de weekproductie moet minimaal 2500 tekensets zijn.

d TK n GK n n n n n n= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ = +− −( )2 2500 2 2500 2 2501 1 00 2 2500nn

n= +

e De wekelijkse vaste kosten zijn de kosten die niet van n afhangen. Volgens de formule bij opdracht d is dat 2500 euro.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄22


T-6a A G= ⋅ = ⋅ ≈0 1 0 1 360 000 5280 67 0 67, ,, , m2

b G A A0 67

0 110,

,= =

G A A p Aq= = ⋅ = ⋅( ) , , ,10 101

0 671

0 671

0 67

p q= ≈ = ≈10 31 08 10 67

1 491

0 67, ,,

,en

c Het maximale gewicht is 31 08 350 192 0001 49, ,⋅ ≈ kg. Er mag dus 192 000 – 150 000 = 42 000 kg vracht worden meegenomen.

T-7a Over 5 kilometer doet de vis 5 : 2 = 2,5 uur. Invullen in de formule geeft E = ⋅ ⋅ =0 15 2 2 5 33, , kilojoule

b E v t= ⋅ ⋅0 15 3, Et

v= 0 15 3,

v Et

3 10 15

= ⋅,

v Et

= ⋅

10 15

13

, t = 30 minuten = 0,5 uur en E = 2 invullen geeft

v =⋅

≈20 15 0 5

2 99

13

, ,, km/u

c Er geldt t = 1 en volgens de uitwerking bij opdracht b geldt dan

v E E= ⋅

= ⋅

=

10 15 1

10 15

10 15

13

13

, , ,

⋅ ≈ ⋅ = ⋅13 1

313 31 88 1 88E E E, ,

T-8a Domein geldt bijvoorbeeld voor f x x( ) = 2 of f x x( ) = 3

Domein [0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f x x x( ) = =12 of f x x x( ) = =4

14

Domein 〈0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f xx

x( ) = =−1 1

2 of f xx

x( ) = =−1

4

14

b Bereik geldt bijvoorbeeld voor f x x( ) = 3 of f x x( ) = 5

Bereik [0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f x x( ) = 2 of f x x x( ) = =12

Bereik 〈0, →〉 geldt bijvoorbeeld voor f x x( ) = −2 of f x x( ) = −2



oord

hoff U

itgev

ers

bv

Hoofdstuk 1 - Machtsfunctieswiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/hb/Mw9_havo_B2_uitwH1.pdf4 Hoofdstuk 1 -...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 1 - Machtsfunctieswiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/hb/Mw9_havo_B2_uitwH1.pdf4 Hoofdstuk 1 -...