Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN MEETKUNDE - OVSG · 2016-12-13 · Vormleer OD - Kleuters...

HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN VORMLEER 279

Hoofdstuk 1

LEERLIJNEN MEETKUNDE

280 OVSG -LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 3: MEETKUNDE

A Vormleer

MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters

Lagereschoolkinderen

ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

3.1 VORMEN BESCHRIJVEN, HERKENNEN, CONSTRUEREN, BENOEMEN EN

CLASSIFICEREN 1 De leerlingen kunnen op grond van vormher-

kenning insteek- en inlegpuzzels voltooien.

OD 3.3

2 De leerlingen kunnen in concrete situaties

onderstaande begrippen in hun juiste, intuïtieve betekenis gebruiken:

OD 3.1

- in, uit, op, boven, onder, naast, voor, ach-

ter, tussen, schuin (scheef), op elkaar, in elkaar, onder elkaar, binnen, buiten, ron-dom ...........................................................

- recht, rond, gebogen (krom), effen (vlak,

plat, glad) ...................................................

- rand (boord, kant), lijn, hoek ......................

- bovenkant, onderkant, voorkant, zijkant,

achterkant, binnenkant, buitenkant. ............

3 De leerlingen kunnen een patroon van vormen

voortzetten, waarbij:

OD 3.4

- in een rij twee verschillende vormen

voorkomen ................................................

- in een rij eenzelfde vorm in verschillende

standen voorkomt ......................................

s t s t s t

- in een vlak verschillende patronen voorkomen (tegelpatroon- mozaïek). .........

4 De leerlingen kunnen een beperkt aantal

geometrische figuren globaal herkennen en intuïtief benoemen en classificeren : vierkanten, rechthoeken, driehoeken, cirkels (rondjes), eieren (eivormig), ‘vierkante blokjes’ (kubussen), ballen (bollen), ... .

5 Tevens kunnen zij vierkanten, rechthoeken en

driehoeken construeren door te vouwen, prik-ken, knippen, tekenen, scheuren, omlijnen, leggen ... . Ze kunnen daarbij o.a. een schaar, een potlood, een meetlat, een touw, een spijkerbord, roosterpapier, ... als hulpmiddelen hanteren.


MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

6 Ze kunnen resultaten van knipfiguren (een stukje

wegsnijden uit een gevouwen blad) voorspellen. Ze kunnen zelf knipfiguren maken: vrij of naar model.

7 De leerlingen kunnen volgende begrippen correct

hanteren:

ET 3.2a

- rechte lijnen (rechten) en kromme lijnen (krommen, gebogen lijnen) ........................

- evenwijdige en snijdende rechten en lijnen

- zijde, hoek, hoekpunt, benen van een hoek

- rechte hoek, scherpe hoek, stompe hoek ....

- lijnstuk, punt, diagonaal .............................

- loodrecht, loodlijn, horizontaal, verticaal, schuin .........................................................

- lengte (basis), breedte (hoogte) ..................

- straal, diameter (middellijn), middelpunt ...

- omtrek, oppervlakte ...................................

- volume (inhoud), ribbe, grondvlak, bovenvlak, zijvlak. .....................................

- kruisende lijnen en rechten. .......................

8 De leerlingen kunnen met behulp van een te-

kendriehoek, een geodriehoek of een rolliniaal volgende meetkundige objecten tekenen:

ET 3.4

- snijdende en evenwijdige rechten ..............

- hoeken .......................................................

- rechte, scherpe en stompe hoeken. .............

9 De leerlingen kunnen globaal een aantal drie-

dimensionale geometrische figuren herkennen en benoemen: - kubus, balk, piramide, bol, cilinder ............

ET 3.2b

- prisma, kegel. ............................................

10 De leerlingen kunnen de symbolen voor loodrechte stand (⊥) en evenwijdigheid (//) lezen, noteren en gebruiken.

ET 3.3


MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

11 De leerlingen kunnen volgende termen correct

hanteren:

ET 3.2

- vlakke figuur, veelhoek .............................

- lichaam, veelvlak. ......................................

12 De leerlingen kunnen op grond van het aantal

zijden (of hoeken) veelhoeken benoemen.


MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

3.2 VORMEN CLASSIFICEREN OP GROND VAN EIGENSCHAPPEN 1 De leerlingen kunnen driehoeken classificeren op

grond van de eigenschappen van:

ET 3.4

- de hoeken: stomphoekige, scherphoekige,

rechthoekige driehoeken ............................

- de zijden : gelijkbenige, gelijkzijdige, ongelijkbenige, ongelijkzijdige, willekeurige driehoeken .................................................

- hoeken en zijden samen: bv. rechthoekige gelijkbenige driehoeken. Zij kunnen hierbij ook eigenschappen onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. gelijkzijdige driehoeken zijn altijd scherphoekig en hebben gelijke hoeken. ..

2 De leerlingen kunnen bij onderstaande

vierhoeken de eigenschappen van zijden en hoeken ontdekken en verwoorden en omgekeerd op grond van die eigenschappen de figuren benoemen:

ET 3.4

- vierkant: alle zijden gelijk, alle hoeken recht

(gelijk), tegenoverliggende zijden evenwijdig .................................................

- rechthoek: tegenoverliggende zijden gelijk, alle hoeken recht (gelijk), tegenoverliggende zijden evenwijdig ........

- ruit: alle zijden gelijk, tegenoverliggende hoeken gelijk, tegenoverliggende zijden evenwijdig .................................................

- parallellogram: tegenoverliggende zijden gelijk, tegenoverliggende hoeken gelijk, tegenoverliggende zijden evenwijdig ........

- trapezium: 1 paar tegenoverliggende zijden

evenwijdig ................................................

- vlieger: 2 paar aan elkaar liggende zijden

gelijk, 1 paar tegenoverliggende hoeken

gelijk. .........................................................

3 De leerlingen zijn ook in staat, op grond van die

eigenschappen, de vierhoeken hiërarchisch op te delen en te benoemen, bv. een parallellogram met 4 gelijke zijden is een ruit.

ET 3.4


MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

4 De leerlingen kunnen andere eigenschappen

van vierhoeken onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. in een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en ze delen elkaar middendoor.

5 De leerlingen weten dat een regelmatige

veelhoek gelijke zijden en hoeken heeft. Ze kunnen andere eigenschappen onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. in een regelmatige achthoek lopen 2 diagonalen evenwijdig aan elke zijde.

6 De leerlingen kunnen van een willekeurige

veelhoek aangeven of hij convex of concaaf is.

7 De leerlingen kunnen de eigenschappen van de

cirkel onderzoeken, ontdekken en verwoorden.

8 De leerlingen kunnen bij onderstaande

veelvlakken de eigenschappen van de begrenzende vlakken en hun onderlinge stand ontdekken en verwoorden en omgekeerd op grond van de eigenschappen het veelvlak benoemen:

ET 3.2

- kubus: alle vlakken zijn (gelijke)

vierkanten, tegenoverliggende vlakken zijn evenwijdig ...........................................

- balk: alle vlakken zijn rechthoeken, tegen-

overliggende vlakken zijn evenwijdig en gelijk ..........................................................

- prisma: 2 vlakken zijn evenwijdig, alle

ribben, die niet in die vlakken liggen, zijn

evenwijdig. .................................................

9 De leerlingen kunnen andere eigenschappen

van kubussen en balken onderzoeken,

ontdekken en verwoorden, bv. een diagonaal

vlak van een kubus is een rechthoek.


MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

3.3 PUZZELEN, BOUWEN, OMSTRUCTUREREN, CONSTRUEREN 1 De leerlingen kunnen (al dan niet met een

constructievoorschrift) een model nabouwen

- in de ruimte ................................................

- in het vlak ..................................................

De complexiteit van zowel de constructie als van het constructievoorschrift, neemt toe met de leeftijd.

2 De leerlingen kunnen een driedimensionale

blokkenconstructie (met kubussen) nabouwen:

- met een tweedimensionale tekening als

model .........................................................

- met een grondplan als model, waarbij het aantal blokken door een cijfer op het plan is weergegeven ..............................................

Zij kunnen van een dergelijk bouwsel een grondplan maken .............................................. .

3 De leerlingen kunnen een puzzel met geo-

metrische figuren (bv. tangram) naar een model oplossen.

4 De leerlingen kunnen veelhoeken (mentaal)

omstructureren naar rechthoeken en driehoeken door verdeling, aanvulling en compensatie.

5 De leerlingen kunnen in en om vlakke figuren die

geen veelhoek zijn (cirkels, ovalen, eilandjes,...) veelhoeken tekenen die in omtrek en/of oppervlakte die figuren benaderen.

6 De leerlingen kunnen veelvlakken

omstructureren naar balken door verdeling,

aanvulling en compensatie.

7 De leerlingen kunnen driehoeken en vierhoeken

tekenen volgens een constructievoorschrift dat gegrond is op de eigenschappen van de figuur, bv. teken een ruit met diagonalen van 5 cm en 4 cm. Ze maken daarbij gebruik van hulpmiddelen zoals liniaal, tekendriehoek, rolliniaal, passer, graadboog.


MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

8 De leerlingen kunnen een passer hanteren als

een instrument om punten of lijnen te tekenen op een gelijke afstand van een punt. ..................

Zij kunnen zo ook een cirkel tekenen met gegeven straal. ....................................................

ET 3.5

Zij kunnen met passer en liniaal een loodlijn

construeren op een rechte, al dan niet door een

gegeven punt buiten of op die rechte, en

kunnen de constructieprocedure begrijpen en

verwoorden. .......................................................

9 De leerlingen kunnen van kubussen een uitslag

(ontplooiing, ontwikkeling, bouwplaatje) tekenen en van getekende uitslagen nagaan welke een kubus kunnen opleveren. ...................

Ze kunnen dat ook voor andere lichamen, bv.

door na te gaan welke uitslag van een

verpakking bruikbaar is voor een gegeven

vorm. ..................................................................

10 De leerlingen kunnen in het kader van een

constructietaak zelf passende hulpmiddelen kiezen en hanteren, eventueel zelf maken (bv. een toestel om evenwijdige lijnen te tekenen).


MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

3.4 RELATIES TUSSEN GEOMETRISCHE FIGUREN (meetkundige transformaties) 1 De leerlingen kunnen 2 geometrische vlakke

figuren met elkaar vergelijken door ze op elkaar te leggen. ...........................................................

ET 3.6

Ze weten dat 2 figuren gelijk zijn als ze elkaar

volledig bedekken..............................................

Ze hanteren daarbij de term congruent. ............

2 De leerlingen kunnen in de realiteit, op foto's en

tekeningen gelijkvormige en niet-gelijkvormige figuren ontdekken. .............................................

ET 3.6

Ze kunnen met behulp van roosterpapier zelf gelijkvormige figuren (al dan niet met gegeven vergrotings- of verkleiningsfactor) en niet-gelijkvormige figuren (vervormingen) tekenen.

3 De leerlingen kunnen de basiseigenschappen

van gelijkvormige veelhoeken (overeenkomstige hoeken gelijk, overeenkomstig zijden in constante verhouding) onderzoeken, ontdekken en verwoorden. Ze kunnen gelijkvormige veelhoeken tekenen op grond van die eigenschappen.

ET 3.6

4 De leerlingen kunnen in de realiteit, op foto's en

tekeningen spiegelbeeldige (symmetrische) figuren ontdekken en de symmetrie controleren aan de hand van een spiegel of 'doorkijkspiegel'.

ET 3.6

5 De leerlingen kunnen in (geometrische) figuren

spiegelassen ontdekken en ze vouwen of tekenen.

ET 3.6

6 De leerlingen kunnen de eigenschappen van

symmetrie onderzoeken, ontdekken en verwoorden, bv. elk punt van een figuur en zijn spiegelbeeld ligt even ver van de spiegel(as).

7 De leerlingen kunnen een getekende

geometrische figuur spiegelen om een gegeven

spiegelas:

ET 3.6

- op roosterpapier .............................................

- enkel met passer en liniaal. .............................

HOOFDSTUK 1 LEERLIJNEN MEETKUNDIGE WERELDORIËNTATIE 289

MEETKUNDE

Vormleer

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

8 De leerlingen kunnen elementaire meetkundige

transformaties toepassen op het eigen lichaam

en met reële voorwerpen en die ook verwoorden, gebruikmakend van volgende termen:

- vooruit, achteruit ........................................

- links, rechts ..............................................

- verschuiven, draaien ...................................

- halve draai, kwartdraai ..............................

- draaien om een hoek van x graden,

verschuiven over een afstand van x cm...

9 De leerlingen kunnen op een getekende

geometrische figuur een draaiing (rotatie) met

gegeven draaihoek en een verschuiving met

gegeven verschuivingslijnstuk uitvoeren door

het beeld te tekenen.

290 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 3: MEETKUNDE

B Meetkundige wereldoriëntatie

MEETKUNDE

Meetkundige wereldoriëntatie

OD

-

Kleuters


ET 1ste

fase

2de

fase

6j

->

8j

->

10j

->

3.5 POSITIEBEPALING 1 De kinderen kunnen zichzelf, anderen en

voorwerpen in de ruimte situeren aan de hand van volgende plaatsbepalende begrippen (zie ook vormleer 3.1 doel 2 )

OD 3.1

- voorste (eerste), achterste (laatste),

voorlaatste, op één na laatste, middelste, de eerste drie, de eerste vier,... ................................................

- in de buurt van, rechts van, links

van, opzij van, midden, hier, daar, waar, ver weg, dichtbij... ...................

Zij kunnen ook op grond van een plaats-

beschrijving iets of iemand in de ruimte vinden. De complexiteit van de plaats-beschrijving neemt toe met de leeftijd.

2 De leerlingen kunnen vanuit verschillende

gezichtspunten, die ze in de ruimte innemen, verwoorden hoe eenzelfde voorwerp of persoon, of de plaats van verschillende dingen t.o.v. elkaar, verandert of lijkt te veranderen.

OD 3.2

Ze maken hierbij gebruik van de termen

vooraanzicht, bovenaanzicht, zijaanzicht, ... .

ET 3.1

3 De leerlingen kunnen aangeven of foto's van

dichtbij of van ver genomen zijn en verwoorden dat dingen dichtbij groter lijken dan ver weg.

4 De leerlingen kunnen mentaal een standpunt

innemen en de relatie leggen tussen dat ingenomen standpunt en het uitzicht (in werkelijkheid, op foto, tekening).

ET 3.7


MEETKUNDE


OD

-

Kleuters


ET

1ste

fase

2de

fase

6j

->

8j

->

10j

->

5 De leerlingen kunnen van een reële

ruimtelijke situatie een voorstelling maken:

- in 3 dimensies (zandtafel, maquette,

kijkdoos,...) ......................................

- in 2 dimensies (plattegrond, kaart,...)

Naarmate ze ouder worden, kunnen ze daar-

bij de reële verhoudingen nauwkeuriger weergeven.

Ook kunnen ze van deze voorstellingen aan-

geven met welke realiteit ze overeenkomen:

ET 3.7

- driedimensionaal ...............................

- tweedimensionaal ..............................

Ze kunnen de relatie leggen tussen ver-

schillende voorstellingen van eenzelfde realiteit.

Ze kunnen zich er een mentale voorstelling

van maken en die beschrijven of selecteren.

6 De leerlingen kunnen op een rooster,

plattegrond of kaart coördinaten zetten of gegeven coördinaten hanteren om een plaats aan te duiden of terug te vinden.

De coördinaten bestaan uit:

- een letter en een cijfer ......................

- enkel natuurlijke getallen .................

- positieve en negatieve gehele

getallen. ............................................

292 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 3: MEETKUNDE

MEETKUNDE


OD

-

Kleuters


ET

1ste

fase

2de

fase

6j

->

8j

->

10j

->

3.6 BEWEGING EN RICHTING 1 De leerlingen kunnen aanwijzingen geven en

volgen i.v.m. beweging en richting en hanteren daarbij volgende woorden en begrippen:

OD 3.1 ET 3.1

- (ga) naar, omhoog (naar boven), omlaag (naar beneden), vooruit, achteruit,... .......................................

- naar links, naar rechts, doorheen, onderdoor, tussendoor, overheen, hierheen, daarheen, in de richting van...

(zie ook vormleer 3.4 doel 8) .......................

- noord, oost, zuid, west ......................

- tussenwindstreken (noordoost, zuidwest, enz...). ...............................

2 De leerlingen kunnen pictogrammen in verband

met 'richtingen' als symbool hanteren:

OD 3.1

- pijlen ................................................ ET 3.

- wegwijzers ........................................

- windroos ..........................................

3 De leerlingen kunnen in een concrete ruimte de

kortste weg vinden tussen 2 plaatsen (in lege zaal, in doolhof,...) ...........................................

ET 3.1

Ze kunnen het begrip afstand (hemelsbreed/ vo-gelvlucht of langs een route) correct hanteren.

4 De leerlingen kunnen op plattegronden en

kaarten routes bepalen en met elkaar vergelijken (qua afstand, snelheid, tijd).

Ze kunnen een verband leggen tussen de plaats op een kaart en de realiteit (bv. wegwijzers op een kruispunt).

ET 3.7

5 De leerlingen kunnen op grond van een route-

beschrijving de weg vinden in de realiteit en op kaart de route aanduiden. ..................................

Omgekeerd kunnen ze ook van een gevolgde weg of een route op kaart een wegbeschrijving geven.

Ze kunnen ook met behulp van een kaart de weg vinden in een niet-vertrouwde omgeving. .........


MEETKUNDE


OD

-

Kleuters


ET

1ste

fase

2de

fase

6j

->

8j

->

10j

->

6 De leerlingen kunnen op grond van de

legende, inclusief een schaalaanduiding, een verband leggen tussen een kaart en de realiteit.

7 De leerlingen kunnen een verband leggen

tussen pictogrammen met stijgingspercentage (verhouding hoogteverschil - afstand) en de grafische voorstelling van een helling.

8 De leerlingen kunnen tabellen hanteren met

gegevens over route en tijd van trein, tram, bus.

HOOFDSTUK 2 DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE 295

MEETKUNDE


OD

-

Kleuters


ET

1ste

fase

2de

fase

6j

->

8j

->

10j

->

3.7 VISEERLIJNEN EN SCHADUW 1 De leerlingen kunnen experimenteren met licht

en schaduw en conclusies trekken over de relatie tussen:

- de vorm (lengte) en de plaats van de schaduw

en - de onderlinge posities van de

lichtbron en het voorwerp dat schaduw geeft.

2 De leerlingen kunnen in concrete situaties

experimenteren met viseerlijnen (bv. bij verstoppertje spelen).

3 De leerlingen kunnen de relatie verklaren

tussen: - de vorm (lengte) en plaats van

schaduwbeelden (met de zon als lichtbron)

en - het tijdstip van de dag.

4 De leerlingen kunnen viseerlijnen hanteren om

op tekeningen aan te geven waar schaduw valt of om na te gaan wat er vanuit een bepaald standpunt zichtbaar is (rekening houdend met obstakels).

ET 1.29*

5 De leerlingen kunnen de vaste verhouding

hanteren tussen de lengte (hoogte) van voorwerpen en de lengte van hun schaduwbeeld op een bepaald moment en een bepaalde plaats, om de hoogte van bv. bomen of gebouwen te schatten.

ET 1.21 1.29*

6 De leerlingen kunnen fenomenen i.v.m. licht

en schaduw (bv. zons- en maansverduistering)

verklaren en op een schets weergeven.

296 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE DOMEIN 3: MEETKUNDE

Hoofdstuk 2: DIDACTISCH KATERN MEETKUNDE

1 Inleiding

De meetkunde als wetenschap heeft zijn oorsprong in het praktische meten. ‘Geometrie’ betekent niets anders dan het meten van de aarde. Meetkunde is dat deel van de wiskunde waarin eigenschappen van de ruimte of een vlak en van lichamen of vlakke figuren bestudeerd worden. De oorsprong van de meetkunde ligt in de 'studie van het meten'. Meetkunde is ontstaan vanuit het bestuderen van en het zoeken naar oplossingen voor praktische problemen. We denken hierbij aan bouwen, het opmeten van een eigendom, ... . Daardoor is er ook een grote verbondenheid tussen de meetkunde en het metend rekenen. Dit stelt ons in staat de plaats van een schip op zee te bepalen, de omtrek van de aarde te kennen, de afstand tot de zon te berekenen, de hoogte van een berg nauwkeurig te bepalen, de oppervlakte van een land vast te leggen, ... . Meetkunde heeft een sterk aanschouwelijk karakter en kan ook op aanschouwelijke basis, mathematisch gefundeerd, opgebouwd worden. Daartegenover staat een andere benadering van de meetkunde, namelijk een deductieve. Het deduceren, het afleiden van de ene waarheid uit andere gebeurt volgens logische regels. Logica stond en staat model voor wat men noemt: zuiver denken. Beide tendensen kwamen in het meetkundeonderwijs van de lagere school voor.

2 Tendensen in de basisschool

De meetkunde deed zijn intrede in de lagere school vanaf de negentiende eeuw, onder de naam vormleer. In de handboeken uit die tijd werd een opbouw voorgesteld van het meest elementaire naar het meer complexe: eerst punten, dan lijnen of lijnstukken, daarna hoeken en vlakke figuren. De doelstellingen richtten zich enerzijds naar begripsvorming ter voorbereiding van de formele meetkunde in het secundair onderwijs. Anderzijds stonden de doelstellingen in relatie met het metend rekenen voorop. Men vond het nuttig specifieke vormkenmerken van de meetkundige figuren te bestuderen. Dit leidde tot de keuze van een gepaste formule voor de berekening van de omtrek, de oppervlakte of de inhoud van de figuur. "Meetkunde is een vak waarin je eerst ziet en daarna pas gaat formaliseren." Vanuit dit standpunt werd in het leerplan van 1957 (Ministerie van het Openbaar Onderwijs) een andere volgorde van aanbieden van de meetkundige objecten voorgeschreven. Vormleer start vanuit de waarneming, vanuit concrete figuren die ontdekt worden in de werkelijkheid. Deze figuren worden getekend, gevouwen en geknipt. Verwoording van de eigenschappen en berekeningsformules kregen later een plaats. Memoriseren en inoefenen van standaardprocedures was vaak de belangrijkste taak van en voor de leerlingen. In de jaren '70 verdween grotendeels de interesse voor dit soort meetkunde onder invloed van de New Math-beweging. Het afzonderlijk bestuderen van figuur na figuur was uit den boze en de


opbouw werd volledig omgekeerd. Men startte met de verzameling van alle vlakke figuren waarin door bijkomende criteria meer structuur werd aangebracht. Zo kwam men tot o.a.:

- vlakke figuren; - figuren met uitsluitend hoeken (veelhoeken); - veelhoeken met vier hoeken (vierhoeken); - vierhoeken met 1 paar evenwijdige zijden (trapezia); - vierhoeken met 2 paar evenwijdige zijden (parallellogrammen); - parallellogrammen met vier rechte hoeken (rechthoeken); - rechthoeken met vier gelijke zijden (vierkanten).

Het vierkant, de figuur met de rijkste inhoud en de meest specifieke eigenschappen, kwam het laatst aan bod. De keuze en de volgorde van de onderwerpen in de lessen meetkunde werden niet meer bepaald door de waarneming (wat opvalt, in het oog springt, ...) in de werkelijkheid maar door een bepaalde systematiek van het wiskundig systeem. Het praktisch nut van de vormleer voor de berekeningen van de omtrek, de oppervlakte of de inhoud van een figuur of lichaam werd niet echt aan de kant geschoven. Toch werd de denkontwikkeling meer benadrukt. De meest kenmerkende meetkundeactiviteit werd dan ook het rubriceren van meetkundige figuren. Daarnaast duiken enkele nieuwe onderwerpen op: spiegelingen, verschuivingen, draaiingen, projecties, ... die echter soms op een zeer abstract niveau werden aangepakt. In Nederland bracht WISKOBAS een kentering door de klemtoon te leggen op de band tussen de realiteit en de meetkundige activiteiten op school. De leerlingen krijgen een totaal ander soort oefeningen aangeboden die we eerder onder de noemer ‘meetkundige wereldoriëntatie’ kunnen vatten. In allerlei meetkundige thema's en projecten vinden we roosteroefeningen, topologische onderwerpen, transformatieaspecten, tangramoefeningen, spijkerbordoriëntaties, grafieken, blokkenbouwsels, bouwpatronen, schaduwen, foto-opnamen, bouwplaten en uitslagen, ... . Gravemeijer en Kraemer (1984) schrijven hieromtrent het volgende:

" Stel je voor dat je als leerling aan de hand van je leermeester de wereld doortrekt. Hij maakt je attent op allerlei verschijnselen, laat je verwonderen en vragen stellen, probeert samen met jou achter antwoorden te komen, filosofeert verder over antwoorden, vragen, verschijnselen, beschrijvingen, generalisaties, abstracties ... . Dit is wereldoriëntatie en afhankelijk van de soort vragen en antwoorden, wiskundige

wereldoriëntatie. Men kan namelijk ‘de wereld-om-ons-heen’ in een meetkundige context beschouwen. Niet zo triviaal als men vroeger in oude vormleerboekjes deed. Daarin zag men slechts in vensters rechthoeken, in schaakborden vierkanten en in feestmutsen kegels. We treffen hier een papiermeetkunde aan waarbij leraar en leerling over datgene praten wat in boeken staat: een kant-en-klare meetkunde waar kant-en-klare oplossingen voor zijn. Onderwijs mag niet langer een kwestie van voorzeggen, nazeggen, voordoen en nadoen zijn."

Dit is de aanzet tot een nieuwere visie met een ander soort oefeningen waarvan we ter illustratie enkele concrete voorbeelden geven:


- Roosteroefeningen en bouwpatronen

Uit: Sannen, R., 1996

- Topologische onderwerpen

Uit: Janssens, I., 1995

Welke eigenschappen blijven onder dergelijke transformaties onveranderd? - Randpunten blijven randpunten. - Grens blijft grens. - Een gesloten lijn blijft gesloten. - Inwendige (uitwendige) punten blijven inwendig (uitwendig). - De bestaande volgorde blijft behouden.

Welke eigenschappen veranderen onder dergelijke transformaties? - Vorm en grootte veranderen. - Een rechte lijn kan krom worden.

Soortgelijke zaken kunnen al in de kleuterschool aan bod komen. Het spiegelbeeld op het


wateroppervlak waarin een steen wordt gegooid, kan ook hier onderwerp van onderzoek, bespreking, reflectie zijn.

- Transformatieaspecten

Vergrotingen en verkleiningen

Ook hier wordt nagegaan welke eigenschappen onveranderd blijven en welke er zullen veranderen.

- Tangramoefeningen


- Spijkerbordoefeningen

Uit Janssens, L., 1995

Bij de formuleringen van de eindtermen werden zowel doelen voor vormleer als voor meetkundige wereldoriëntatie opgenomen. De kernvraag van de meetkundige activiteiten is steeds "Waarom?". Deze vraag is ook op basisniveau te beantwoorden.

Waarom is de vouwlijn van een stuk papier een rechte lijn? Hoe rolt een plastieken beker en waarom rolt die zo? ...

De meetkunde tracht door denken en redeneren een verklaring te geven voor de verschijnselen in de ruimte. Dat is wat we kunnen noemen het begrijpen van de ruimte. Het visualiseren is daarbij een didactisch middel en niet een doel van de meetkunde. De basisschool heeft de bedoeling de kinderen de 'ons omringende wereld' te leren bekijken, te bestuderen en te structureren. Het lijkt ons dan ook logisch dat in de meetkundelessen vanuit die werkelijkheid gewerkt wordt. Dat die dingen bestudeerd worden waarmee de kinderen vertrouwd zijn en waarmee de kinderen te maken hebben.


3 Fasen in het meetkundige denken en didactische principes Gravemeijer en Kraemer (1984) beschrijven de evolutie vertrekkende van de ruimtelijke oriëntatie van kleuters die zou kunnen uitmonden in ruimtelijk inzicht op het einde van de basisschool. Om dat te kunnen realiseren moeten er wel meetkundige activiteiten volgens die ontwikkelingslijn georganiseerd worden. Daarin herkennen zij vijf fasen:

1 de directe en indirecte waarneming waardoor de intuïtieve meetkundige begrippen ontstaan

Een vliegtuig op een hoogte van 8000 m lijkt klein maar is het helemaal niet.

Huizen in de verte lijken op een afbeelding kleiner dan deze die we kortbij zien.

2 het (mentaal) innemen van een standpunt

In eerste instantie gebeurt ook dit in de realiteit. Bij het uithalen van enig kattenkwaad op de speelplaats zullen kinderen eerst het standpunt innemen van de toezichthoudende leraar om na te gaan of ze probleemloos kunnen handelen.

Later gebeurt dit aan de hand van afbeeldingen en plattegronden.


3 de beschrijving van een object die geleidelijk preciezer wordt

Zo maakt het gebruik van coördinaten een grote precisie mogelijk bij de plaatsbepaling. Deze precisie kan met een verbale omschrijving moeilijk worden gegeven.

4 de mentale beeldvorming

5 het handelen aan een mentale voorstelling waarbij een beroep gedaan wordt op het

ruimtelijke voorstellingsvermogen

Deze twee laatstgenoemde fasen vragen al een zekere vorming. Dit houdt in dat we deze sporadisch terugvinden in de derde graad. We denken hierbij aan ontwikkelingen van lichamen.

Vier didactische principes zullen hierbij aan bod komen:

1 Bij de keuze en de volgorde van meetkundige activiteiten laten we ons leiden door het niveau van de denkontwikkeling van de leerlingen en niet steeds door de systematiek van het wiskundig systeem.

2 Voor elke van de vijf ontwikkelingsfasen zorgen we voor ruim voldoende


activiteiten vooraleer over te gaan naar een volgende ontwikkelingsfase.

3 We geven de leerlingen steeds de kans terug te keren naar een vorige denkfase

wanneer ze het moeilijk hebben bij de verwerking van nieuwe zaken.

Indien de leerlingen er niet in slagen de volgende opgave tot een goed einde te bren-gen, stellen we de leerlingen het materiaal ter beschikking en laten ze deze constructie maken.

4 Handelen belangrijker dan tekenen ...

Tekenen is wellicht de meest voorkomende handeling in het meetkundeonderwijs. Zich bewegen in de ruimte, bouwen met constructiemateriaal, vouwen, knippen en plakken, ... gaan het tekenen vooraf.

De meetkundehoek bevat legobouwpakketten. Hier houden de leerlingen rekening met de vorm, de positie, de opeenvolging van de handelingen. Vooral in dat handelen zullen de leerlingen eigenschappen van de meetkundige objecten ervaren en leren kennen.

Leerlingen leren als ze actief betrokken zijn bij een constructie(probleem) en reflecteren op hun eigen handelen of oplossingswijze.

Zo vindt men achter een puzzel een meetkundige wereld van begrippen met betrekking tot de gelijkvormigheid. Daarnaast speelt ook de vergrotingsfactor meestal mee.


Bij het werken met bouwpatronen maken de leerlingen een aantal constructies:

De leerlingen krijgen de gelegenheid op een voor hen passend niveau een typisch wiskundige werkwijze te volgen, namelijk deze van het proberen, bewijzen en weerleggen. Dit gebeurt zeker wanneer het gaat om redeneren op basis van aanzichten.

Van een blokkenbouwsel zijn plattegrond, voor- en zij-aanzicht gegeven. Zet de hoogtegetallen in de plattegrond.

Het handelen blijft ook naar het einde van de basisschool toe voor sommige oefeningen, zoals bv. bij onderstaande oefening, belangrijk.


4 Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters

4.1 Van een sensomotorische naar een gerepresenteerde ruimte

4.1.1 De egocentrische ruimte

De geboorte betekent voor de baby het verlaten van een veilige ruimte en terechtkomen in een grote, onbekende ruimte. Van bij de geboorte beschikt de baby ook over zintuigen en reflexen. Daarmee zal hij de wereld actief verkennen en veroveren. Allereerst door het betasten, dingen in de mond te stoppen. Ruimte is driedimensionaal, de dingen bieden weerstand (geven in mindere of meerdere mate mee), ze hebben een bepaalde grootte. Verder is het reiken naar dingen en het kunnen bewegen door de ruimte nauw verbonden met het begrip 'afstand'. Afstand is allereerst: dat wat je al of niet ‘onder je bereik’ hebt en wat meer of minder beweging (kruipen) kost om het te bereiken. Ervaringen worden opgedaan door het motorisch bezig zijn. Door het oprichten van het eigen lichaam krijgt het jonge kind begrip van wat ‘boven’ en ‘onder’ betekenen. Essentieel voor deze beleefde ruimte is ook dat ik altijd ergens ben, ik ben niet op meer plaatsen tegelijk. Dit houdt in dat ik een bepaald perspectief op de omgeving heb. Mijn lichaam, zo gezien, is het centrum van de wereld en van daaruit is er een mij omgevende horizon, bepaald door mijn standpunt. 4.1.2 De ervaringsruimte De ervaringsruimte groeit vanuit het zintuiglijk waarnemen en de motoriek. De ruimte daagt uit, lokt uit tot steeds verder exploreren en handelen. De handelingsruimte

Ik wil de weg vinden en weer thuiskomen en heb daarvoor oriëntatiepunten nodig. Ik ga gericht op zoek naar de bloemenkramen op de markt ... Kinderen die aan het hinkelen zijn, gaan zich aan de opgelegde beperkingen aanpassen en daarmee spelen; ze ‘luisteren naar de ruimte’. Maar omgekeerd nodigt de ruimte van de gymzaal uit tot hardlopen, een muurtje tot eroverheen lopen, eraf springen ... .Voor kinderen is de denk-handelingsruimte vooral een vitale ruimte, uitlokkend tot beweging, tot het benutten van die ruimte, het inschatten van afstanden, het steeds opnieuw bepalen van posities.Of en hoe ik de ruimte als handelingsruimte beleef, hangt af van de gestelde ruimte, of ik durf, of ik mij uitgedaagd voel, of ik me vertrouwd en veilig voel. De aanschouwingsruimte

Het jonge kind exploreert actief zijn omgeving. Vanuit het zien, het voelen en het manipuleren van de dingen, vormt het innerlijke beelden. Handelingen die met voorwerpen uitgevoerd worden, brengen voorstellingen tot stand.De ons omringende ruimte is in grote mate mathematisch gestructureerd: de regelmatige patronen in bestratingen, het parket in huis, ramen en deuren in gebouwen, ... . We kunnen spreken van een aanschouwingsruimte. Het is de ruimte als object, waar ik tegenover sta en die ik kan bestuderen, beschrijven.


Zodra je iemand de weg moet uitleggen, word je meer bewust van de vaak onbewuste beleving van de eigen omgeving, moet je ook taal vinden en kennen om die te beschrijven. 4.1.3 De gerepresenteerde ruimte

Begrippen zoals in, uit, rand, open, gesloten, tussen, naast, ... vormen de eerste ruimtelijke verbanden die het kind kan representeren. Deze begrippen zijn onafhankelijk van de plaats van de waarnemer. Daarom kunnen ze het gemakkelijkst begrepen worden. Wanneer het kind bewegingen in de ruimte kan representeren, zal het begrijpen dat een persoon die op een andere plaats staat de dingen ook anders ziet. Het kind wordt zich bewust van de dimensies boven-onder, voor-achter en links-rechts. Het jonge kind begint de schijnbare vormen grootte-veranderingen van bewegende voorwerpen te zien. Het kan zich indenken hoe de dingen er aan de andere kant uitzien.

Nochtans ... een driejarige kleuter vindt gemakkelijk zijn weg in een vertrouwde omgeving. Zonder moeite kan hij zelfstandig naar zijn kamer gaan. Vragen we hem de afgelegde weg uit te leggen, dan zal hij daar moeite mee hebben. Een driejarige kleuter kan vlot blokken in geometrische vormen in de gelijkvormige gaten van een insteekdoos steken. Deze vormen worden visueel herkend. Tijdens een voelspel zal de kleuter moeilijk een vierkante blok herkennen. Een vierkant visueel herkennen kan hij wel, een vierkant representeren niet. Een kind dat bewegingen in de ruimte kan representeren heeft hier geen moeite meer mee.

Stellen we dit ten slotte schematisch voor:

van egocentrisch ------------------>----------------- naar decentratie

ervaringsruimte

(handelings- en aanschouwingsruimte)

gerepresenteerde ruimte

Deze opbouw houdt in dat wanneer een kind problemen ervaart met de gerepresenteerde ruimte, de stap terug moet worden gezet. De ervaringsruimte moet voldoende geëxploreerd zijn voor een kind erin slaagt de ruimte te representeren.

4.2 De grootte- en vormconstantie

Jonge kinderen nemen hun omgeving waar in de vorm van statische beelden. Deze statische beelden komen en gaan, volgen elkaar op zonder dat het kind in staat is ze met elkaar in verband te brengen. Naarmate de zintuigen zich meer ontwikkelen, ziet het kind de bewegingen die voorwerpen in zijn omgeving maken. Zo gaat het kind geleidelijk meer verbanden leggen tussen de ruimtelijke beelden. Via de ogen groeit het visueel beeld van een voorwerp. De grootte van dat beeld is afhankelijk van zijn afstand tot het voorwerp. Is het voorwerp verder verwijderd dan wordt het beeld kleiner. Is het dichterbij dan wordt het beeld groter. Door het ontwikkelen van de grootteconstantie groeit het vermogen om een voorwerp steeds als even groot te beoordelen. Het visuele beeld dat het jonge kind van een voorwerp krijgt, wisselt voortdurend van vorm. Bekijkt


het dit voorwerp vanuit een andere hoek dan verandert het beeld ervan. De vormconstantie is het vermogen om aan een voorwerp in de ruimte een vaste vorm toe te kennen.

Wanneer een kind de grootte- en de vormconstantie heeft opgebouwd, kent het een vaste vorm toe aan een vast voorwerp. De perceptie van de specifieke vorm van de dingen ontwikkelt zich verder met de leeftijd. Sensomotorische activiteiten (zien, voelen, manipuleren, vervormen, ...) liggen aan de basis daarvan. Vierjarigen kunnen blokken volgens de vorm, de grootte, de kleur, ... sorteren en eenvoudige geometrische vormen zoals de cirkel, het vierkant en de driehoek herkennen en benoemen.

4.3 Van een egocentrisch standpunt naar een decentratie

Ervaringen worden opgedaan door het motorisch bezig zijn. Door het oprichten van het eigen lichaam krijgt het jonge kind begrip van wat ‘boven’ en ‘onder‘ betekenen. Op driejarige leeftijd begint de constructie van een boven- en onderliggende ruimte. Vanaf vier jaar wordt de kleuter zich bewust van de ruimte voor en achter hem. Omdat het kind de ruimte achter zich niet ziet, is de opbouw van de achterliggende ruimte moeilijk. Rond de leeftijd van vijf tot zes jaar maakt de kleuter onderscheid tussen zijn linker- en rechterkant, tussen de ruimte links en rechts van hem. De volledige ruimtelijke oriëntatie is nu opgebouwd. Vanuit de eigen ruimteoriëntatie worden nu voorwerpen in de ruimte georiënteerd. In bed ligt het knuffeldier voor of achter, boven of onder, links of rechts van hem. Het kind oriënteert voorwerpen ten opzichte van zichzelf. Daarna zal het kind voorwerpen ten opzichte van elkaar oriënteren. Het knuffeldier ligt nu op, onder, ..., links of rechts in het bed. Dit ziet het kind vanuit een eigen gezichtspunt. Het is er zich niet van bewust dat voor en achter, links en rechts voor iemand anders omgekeerd kunnen zijn. Dit wordt het grote keerpunt in de representatie van de ruimte. Naarmate het vermogen om zich te verplaatsen in de ruimte groeit, ontdekt het kind dat een ander persoon, vanuit een ander standpunt, de dingen anders ziet. Vanaf zeven tot acht jaar kan het kind de linker- en rechterkant aanduiden van een persoon die tegenover hem staat. Het kan ook de begrippen voor en achter overbrengen op die persoon. Pas vanaf 9 jaar kan een kind volledig decentreren en de plaats van een ander persoon innemen. Dan zit het kind in fase 2 van het meetkundig denken.

5 Vormleer

5.1 Begripsontwikkeling vertrekt in de driedimensionale ruimte Kinderen bewegen in de driedimensionale ruimte. Ze ervaren die ruimte en verwerven geleidelijk een ruimtebewustzijn. Dat maakt dat ze zich moeten leren oriënteren in de ruimte. Geleidelijk verwerven ze daarbij ruimte-lijk inzicht. De school zal zorgen voor activiteiten waarin het ruimtelijk inzicht gestimuleerd wordt.


Aanvankelijk groeit een intuïtieve meetkunde. Aan de formele wiskunde gaat een intuïtieve meetkunde vooraf. De eerste meetkundige activiteiten moeten een kind de gelegenheid bieden om, al reflecterend en al experimenterend, zich bewust te worden van de eigen intuïtieve kennis. Ervaringskennis opdoen in de werkelijkheid komt hoe dan ook eerst. De problemen komen voort uit de echte realiteit of uit een voor de kinderen aangepaste maar wel motiverende realiteit. De problemen moeten uitnodigen tot onderzoek. Werken vanuit de 'realiteit' (en waar mogelijk in contexten) betekent dus vertrekken vanuit de waarneming en de manipulatie van materiaal. Zo zal het intuïtieve hoekbegrip groeien vanuit de ervaringen in de driedimensionale ruimte met de hoek van een tafel en een hoek van de woonkamer. We kunnen de driedimensionale ruimte bestuderen en daarin de tweedimensionale en de eendimensionale elementen vinden. Daarnaast 'zien' de kinderen vele figuren en voorwerpen met allerlei kenmerken. Voortdurend ontwikkelen zich daarmee begrippen. Deze begripsontwikkeling moet gestimuleerd en begeleid worden. De begripsvorming van evenwijdigheid, rechte hoek, ... gebeurt via

- het herkennen,

- het zelf tekenen,

- het zich voorstellen.

5.2 Van globale herkenning naar de analyse van vormkenmerken

Tijdens meetkundeactiviteiten kunnen we ons concentreren op één facet: de vorm. Dan nemen we afstand van de andere meetkundige kenmerken: grootte, plaats en stand, patroon, ... . Vanuit de ontwikkelingsaspecten die we hierboven beschreven, is het zich toespitsen op de vorm niet de eerste meetkundige activiteit waarmee we kinderen confronteren. Het herkennen, benoemen en classificeren van meetkundige figuren op basis van de vormkenmerken sluit het dichtst aan bij wat we kennen als het vak 'vormleer'. Vertrekken vanuit de waarneming en niet vanuit de definities (leerplan 1957) is niet in tegenspraak met een realistische visie. De ‘criterium- en classificatieaanpak’ is dat wél. Het lijkt ons logisch dat men werkt vanuit datgene wat de leerlingen het meest zien en niet vanuit figuren waarmee ze eerder sporadisch geconfronteerd worden. We dienen aan te sluiten bij de psychologische ontwikkeling van de begripsvorming en de ruimtelijke oriëntatie bij kinderen. Het meetkundeonderwijs zal dan vertrekken vanuit de intuïtieve begrippen die kinderen zich reeds gevormd hebben: rondjes (cirkels), vierkanten, driehoeken, blokjes (kubussen).De globale herkenning van specifieke vormen is een goede start voor het vormleeronderwijs. Dit geldt eveneens voor de ontwikkeling van andere meetkundige begrippen zoals punten, lijnen en hoeken.Een lijn getrokken met een dikke stift of een potlood is duidelijk verschillend. Het intuïtieve begrip van een lijn dient dus verfijnd te worden. Door meetkundige figuren te vouwen, te knippen en te tekenen ervaren de leerlingen een aantal vormkenmerken. Het systematisch onderzoeken ervan gebeurt later. Niet alle in het verleden behandelde leerstof met betrekking tot het rubriceren en definiëren van de vierhoeken is basisleerstof.


Om de vlakke figuren te rubriceren moeten de leerlingen uiteindelijk volgende criteria (ordeningsmiddelen) kunnen gebruiken: de gelijkheid van hoeken en zijden en de evenwijdigheid. Leerlingen kunnen pas hiërarchisch rubriceren wanneer het 'oerbeeld' van de figuren is afgebroken. Dit betekent o.m. dat een figuur, bv. een vierkant, in om het even welke stand als die figuur wordt herkend, maar ook dat op grond van aanwezigheid van kenmerken die figuur ook als een andere bv. een ruit of een rechthoek, kan worden gezien. (Het oerbeeld van die figuren is anders). Het ‘oerbeeld’ van ruit , rechthoek en vierkant zijn duidelijk verschillend, daarom is het voor kinderen zo moeilijk om te zeggen dat een vierkant (altijd) een ruit is en een ruit soms (als de hoeken recht zijn) een vierkant. Noot:

Voor elke meetkundige figuur kan een verschillende, uitsluitend voor die figuur geldende, formule gevonden worden voor de berekening van de omtrek, de oppervlakte en de inhoud. Het kennen van al deze formules is zuivere ‘weetjeskennis’ die geleerd en dikwijls snel weer vergeten wordt. Formules worden inzichtelijk geleerd waarbij we gebruikmaken van de kenmerken van meetkundige figuren. Zo kan de evenwijdigheid van twee zijden van een vierhoek gebruikt worden. De afstand tussen de evenwijdige rechten wordt de breedte of de hoogte. Door omstructureren worden parallellogrammen gezien als rechthoeken, worden driehoeken gezien als de helft van een rechthoek of een parallellogram. Dit zijn beelden waaruit rekenkundige formules om de omtrek en de oppervlakte te berekenen, kunnen groeien en waarbij de beperking van het aantal formules als vanzelfsprekend gezien wordt. Beelden van formules lijken handiger dan de formules zelf en gaan er in de opbouw van een leergang zeker aan vooraf. Wij verwijzen hierbij naar het didactisch katern meten (3.1), hoofdstuk met betrekking tot de omtrek- en oppervlakteberekening.

5.3 Relaties en transformaties

Het zijn activiteiten die te maken hebben met spiegelen, draaien, verschuiven. Kinderen zijn vertrouwd met deze dingen. Alleen de spiegel al geeft aanleiding tot intrigerende probleemstellingen als: waarom wisselen in de spiegel wel links en rechts maar niet onder en boven?

Aan het begrip spiegeling gaan dus tal van activiteiten vooraf:


- Van een inktvlek maken de kinderen een symmetrisch beeld door hun blad te vouwen; de afdruk is een spiegelbeeld, de vouw de spiegelas.

- Zit de dia in de projector goed? - Kunnen we elkaars spiegelbeeld spelen? - ...

Evenwijdigheid, symmetrie, gelijkvormigheid, ... kunnen beschouwd worden als het resultaat van meetkundige transformaties. In de ons omringende wereld kunnen relaties ontdekt worden zonder dat de transformatie zichtbaar is. Symmetrie vind je ook in de realiteit zonder een spiegel te gebruiken: op het eigen lichaam, in handwerk, in patronen, ... . Symmetrie, evenwijdigheid en loodrechte stand worden in de werkelijkheid ontdekt als een vormkenmerk van figuren. Om spiegelassen en symmetrische patronen in een figuur te ontdekken, maken we best gebruik van een 'mira-spiegel’ (gekleurd glas dat voldoende reflecteert om te spiegelen maar waar je toch doorheen kan zien). Het hoekbegrip (wellicht één van de moeilijkste begrippen in de basisschool) kan vulling krijgen via bijvoorbeeld volgende opdrachten:


Eén vak is één stap. Begin bij de pijl. Ga drie stappen vooruit. Draai naar rechts en doe twee stappen. Draai naar links en doe vijf stappen. Draai naar links en doe vijf stappen. Draai naar links en doe drie stappen. Draai naar rechts en doe twee stappen. Draai naar rechts en doe drie stappen. Draai naar links en doe drie stappen. Draai naar links en doe vijf stappen.

Hierbij kan de relatie tussen een draaihoek en een statisch gegeven hoek groeien. De leerlingen voeren de draaiingen uit en zetten de stappen eerst in een getekend patroon op de speelplaats, daarna op een afbeelding. Tekent men daarna wat men heeft gedaan dan krijgt men lijnen met een bepaalde stand ten opzichte van elkaar. Loodrechte lijnen en evenwijdige lijnen kunnen op deze manier ook vulling krijgen.


Vergrotingen en verkleiningen (gelijkvormigheid) zijn gemakkelijk aan te brengen dankzij het kopieerapparaat dat ons heel wat mogelijkheden biedt.


Door middel van roosters kunnen bijvoorbeeld patronen worden ontdekt en voortgezet. Later kunnen deze patronen geschematiseerd worden en vanuit deze schematisering voorgesteld worden op het roosterpapier. Hierin vinden we toepassingen op de ruimtelijke oriëntatie.

6 Meetkundige wereldoriëntatie

Naar aanleiding van gestelde problemen tijdens ruimtelijke ervaringen kunnen we wiskundige vragen stellen. Tevens werken we aan een stelselmatige verruiming van het blikveld. Immers de ruimte waarin we ons oriënteren wordt steeds groter, van de wieg van de baby tot het heelal op het einde van de basisschool. Vertrekkend vanaf de ruimtelijke oriëntatie bij kleuters komen we geleidelijk tot ruimtelijke inzichten op latere leeftijd. In wezen is de meetkundige wereldoriëntatie eindeloos. Er wordt door ons een keuze gemaakt:

- oriënteren en lokaliseren - viseren en projecteren.


6.1 Oriënteren en lokaliseren

6.1.1 Dichtbij en veraf

Zullen we een foto nemen van een groep kinderen. Ze gaan niet allemaal op de foto. Wat doen we? De fotograaf gaat een paar stappen achteruit. Nu lukt het wel. Waarom verplaatst de fotograaf zich en niet de groep kinderen? Kijk eens naar de maan tijdens een heldere nacht. Hoe we ook gaan het lijkt of zij voortdurend met ons meereist. Waarom lijkt dat zo? Visualiseren maakt hier duidelijk dat het om een hoekverandering gaat bij voorwerpen die dichtbij zijn en dat bij voorwerpen die verder weg staan die hoek zich minder snel of vrijwel in het geheel niet wijzigt. Daarom geeft de maan de illusie dat zij meeloopt of meerijdt. 6.1.2 Zich mentaal verplaatsen Kunnen dit foto's zijn van eenzelfde situatie? Wie nog nooit een wandeling gemaakt heeft en daarbij zijn ogen de kost gaf, zal onderstaand probleem (het mentaal innemen van een standpunt) nooit kunnen oplossen (Heyerick, L., 1995, pp. 156-157).


Omzettingen van drie dimensies (de werkelijkheid) naar twee dimensies (een foto, een tekening, een plattegrond,...) en omgekeerd is een noodzakelijk element in een leergang meetkundige wereldoriëntatie (zie leerlijn 3.5 doel 5). We willen immers allemaal weten hoe we met een tweedimensionale kaart in de hand onze weg kunnen vinden in drie dimensies. We kunnen ons voorstellen hoe ons huis er zal uitzien als de architect iets aan het grondplan verandert en hoe we onze reële wensen of droombeelden min of meer naar dat plan kunnen vertalen. We kunnen werken met een plattegrond van een camping:

Op een bandrecorder is een vossenjacht te horen. Steeds komt er een vos die een geluid laat horen. Vanuit zijn directe omgeving horen we: het rinkelen van een geluidssignaal aan de overweg, het geluid van stromend water in de douches,...

Waar ben ik op het plan? Zoek en duid de plaats aan. Het gaat hier om oriënteringsopdrachten waarbij we ons 'in gedachten' in de ruimte bewegen. 6.1.3 Werken met coördinaten

De juf neemt een muurprent in gedachten. De kinderen moeten verplicht op hun plaats blijven zitten maar mogen vragen stellen om te ontdekken welke prent de juf bedoelt.

- Is dit het blad? Nee. - Dit dan? Nee. - Is het blad groen gekleurd? Een gedeelte heeft een groene kleur.

- Hangt het in het midden? Nee. - Hangt het hoog of laag? Het hangt hoog.

Geleidelijk merken de kinderen dat de ene vraag tot meer informatie leidt dan de andere en dat ze gedwongen worden om een structuur te ontwerpen (bv. een coördinatensysteem). Plannen met rasters zijn een eerste aanzet om met coördinaten te werken. Ook kan je bv. een flatgebouw als rooster gebruiken.


Oriëntatieoefeningen vormen een ander bindend element in de meetkundige wereldoriëntatie:

Met dergelijke oefeningen begint men pas als er in de concrete ruimte, in de werkelijkheid, oriëntatieoefeningen zijn uitgevoerd. In dit voorbeeld bewegen we ons reeds op het mentaal vlak. Bij oriëntatieoefeningen dienen we de leerlijn (leerlijn 3.6, doelen 3, 4, 5 en 6) te respecteren.

6.2 Viseren en projecteren

Viseerlijnen zijn denkbeeldige lijnen vanuit de plaats waar men staat naar het punt waarnaar men kijkt, dat men viseert. Kinderen weten dat de toren minder hoog gaat uitsteken naarmate je dichter komt. Visualisering maakt hier wel duidelijk dat het om de hoekverandering gaat bij voorwerpen die dichtbij zijn en dat bij voorwerpen die verder weg staan die hoek zich minder snel of vrijwel in het geheel niet wijzigt.


Die ervaring kan schematisch worden weergegeven door de viseerlijnen te tekenen. Dit model kan men ook hanteren als een hulpmiddel bij het oplossen van de vragen in de onderstaande oefening.

Schaduwen

De leerlingen experimenteren met licht en schaduw en trekken conclusies over de relatie tussen de vorm (lengte) van de schaduw en tussen de onderlinge posities van de lichtbron en het voorwerp dat schaduw geeft. Hierbij zullen de leerlingen gebruik maken van viseerlijnen om op een tekening aan te geven waar de schaduw valt. Het intuïtieve begrip van 'gelijkvormigheid' bewuster maken, kan door transformaties te laten uitvoeren of bekijken waarbij de vorm wel verandert. In de realiteit zal men dergelijke 'vervormingen' tegenkomen bij schaduwbeelden.

In en buiten de klas kan men gemakkelijk experimenteren met schaduwen door gebruik te maken van binnenvallend zonlicht of van het licht van een sterke lamp, een projectieapparaat bijvoorbeeld. Naargelang men het scherm recht of schuin plaatst kan men daar zowel gelijkvormige als niet-gelijkvormige beelden mee produceren. - Wat gebeurt er met het diabeeld als je het projectietoestel op verschillende afstanden van het

scherm plaatst?

- Waarom worden schaduwen langer als je van de lantaarnpaal wegloopt en niet als je van de zon wegloopt?

- Heeft de schaduw van de

neushoorn dezelfde vorm als de neushoorn? Hoe zie je dat?


Bij deze opgave realiseren kinderen zich dat het gaat om gelijkvormigheid of juist niet. Dit hebben ze in verschillende contexten onderzocht. Ze hebben geleerd hoe je zo'n situatie meetkundig kan beschrijven. De verhouding vormt hierbij vaak een probleem. Bij het verklaren van schaduwen gaan kinderen gebruik maken van tekeningen. In een later stadium gaan ze het schaduwmodel zien als een brug tussen hun intuïtieve noties van schaduw en de meerwiskundige relatie tussen de vorm van een driehoek en de verhouding van de zijden.

Dit driehoeksmodel met viseerlijnen kan helpen bij de verklaring van de grootte van de schaduwen. Wanneer de kinderen ook enig begrip hebben van de zonnestand kan ook onderstaande oefening aan bod komen. Uit: Bergervoet, e.a., 1993


7 Horizontale samenhang (geen geïsoleerde meetkunde)

Meetkunde heeft in andere leerdomeinen naast een voorbeeldfunctie ook een sterk ondersteunende functie. We willen dit illustreren met een aantal voorbeelden zowel buiten als binnen de wiskunde.

7.1 Buiten de wiskunde

Meetkunde in wereldoriëntatie en ruimte

Elementen uit meetkunde zijn bij onderstaande oefeningen onmisbaar. Meetkundige wereldoriëntatie vormt de basis voor aardrijkskundige vaardigheden als kaartlezen, interpreteren van bouwplannen, plattegronden (leerlijn...). Ze wordt aldus een noodzakelijke voorbereiding op allerlei inzichten.


Welke weg volgt Lies?

Lies en Petra gaan naar het zwembad. Lies haalt eerst Petra op. Bij bakker Smulpaap kopen de

meisjes een broodje.

Noteer de gevolgde weg van Lies. ....................................................................................................

...........................................................................................................................................................

Lies kan een andere weg volgen. Noteer deze ook. ...........................................................................

........................................................................................................................................................... Vicky moet van mama eerst naar dokter Geneesgraag. Daarna doet ze een aantal

boodschappen in het warenhuis OLMO.

Welke weg volgt Vicky? .....................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

Kan Vicky nog een andere weg nemen? Welke? ...............................................................................

...........................................................................................................................................................

Meetkunde in wereldoriëntatie en verkeer en veiligheid

Net zo min als men bijvoorbeeld pictogrammen met betrekking tot de veiligheid in gebouwen los kan zien van meetkundige elementen.

Uit: Personeelsblad van de Kredietbank, 1996 Of nog: wat betekent dit bord? De stijging van de weg is ongeveer 10%. De kinderen kunnen zich dat als volgt voorstellen: als je 10 meter vooruit rijdt, rijd je ook 1 meter omhoog. Is dat veel een stijgingspercentage van 10%? Ja, een helling van 10% is een flinke hindernis.


In het vlakke Vlaanderen of Nederland kom je dergelijke hellingen nauwelijks tegen. De leerlingen kunnen hellingen tekenen. Ze kunnen daarbij gebruik maken van dingen die ze al eerder hebben gebruikt: ruitjespapier. Een helling van 50%, dat betekent: in 100 hokjes 50 hokjes hoger geraken, maar verhoudingsgewijs ook: per 2 hokjes 1 hokje omhoog. Hierbij kunnen de kinderen met verhoudingstabellen werken. Dit kan het resultaat zijn:

Meetkunde en wereldoriëntatie en technologische opvoeding

Constructies met legoblokken zijn de moeite waard. Bij het construeren moeten immers vorm, positie, opeenvolging van handelingen,... in rekening gebracht worden.

Uit: Gravemeijer en Kraemer, 1984, p. .127


7.2 Binnen de wiskunde

Meetkunde en verhoudingen

Hier zullen we eerst streven naar visuele verhoudingen vooraleer we getalsmatige verhoudingen aan bod laten komen. De meetkunde is dan vaak het bindend element. Je kan namelijk dingen indirect meten zonder standaardmaten, zonder instrumenten. Je begint meestal met een vergelijking, op het oog en het zicht. Daarna kijkt men naar meetkundige eigenschappen en relaties. Kinderen hebben hier in het gewone leven geen problemen mee. Denk maar aan de legoconstructies waarin ook vlot op schaal gewerkt wordt.

Uit: Treffers, De Moor en Feijs, 1989, pag. 116

Wanneer kinderen een tekening van het bord natekenen, gaan ze spontaan in een verhouding tekenen. We verwijzen hierbij ook naar het didactisch katern met betrekking tot de breuken en de schaalberekening. Meetkunde in breuken

Met stroken en met een cirkeldiagram kan je het verdelingsaspect van breuken visueel vastleggen. Ook hier verwijzen we naar het didactisch katern met betrekking tot de breuken.


Meetkunde in tabellen, diagrammen en grafieken

Tabellen, grafieken en diagrammen behoren tot ons dagelijks omgaan met de media. Men kan deze getallenitems niet los zien van een meetkundige voorstelling. De meetkundige voorstelling is hier én hulpmiddel én basiselement. De verhouding die men kiest tussen de reële gegevens en de verticale en de horizontale as van de grafiek, laten je toe visuele indrukken te manipuleren (zie domein 1 getallen, didactisch katern 5: Tabellen en grafieken). Het is nuttig leerlingen uit de derde graad hier ervaringen mee te laten opdoen om zo hun kritische kijk aan te scherpen. Visualisering in grafieken moet worden voorbereid. Het geregeld meetkundig weergeven van verhoudingen is daar een belangrijke stap in. Meetkunde in omtrek- en oppervlakteberekening

Men kan oppervlakken vergelijken zonder te meten door het stellen van een aantal meetkundige handelingen zoals omvormen, omstructureren, terug samenstellen (het indirect meten). In het didactisch katern met betrekking tot meten vindt men hiervan nog talrijke andere voorbeelden.De hier gegeven voorbeelden bewijzen hoe meetkunde in andere leergangen een voorbeeld- én ondersteunende functie heeft.

8 Slot

Meetkunde en meetkundige wereldoriëntatie verdienen een plaats in de basisvorming omdat het de kinderen en de volwassenen begeleidt in hun evolutie van de eigen ruimtelijke oriëntatie in de hun omringende wereld en de daarin gevormde intuïtieve begrippen en meetkundige inzichten. Vanuit de reeds gevormde intuïtieve begrippen en inzichten gaan we verder bouwen om zo geleidelijk meer formele kennis te laten groeien. Deze formele kennis zien we als een einddoel voor het voortgezet onderwijs. In de basisschool gaat het om het proces van kijken, doen, ervaringen opdoen en denken, en aldus inzicht verwerven. Wanneer in de leergang breuken delen van grootheden (meetkundige figuren) worden genomen, moet de grootheid worden verdeeld in een aantal gelijke (evengrote) delen.


Er wordt gewerkt met verhoudingen. De meetkundige elementen zijn bruikbaar en nuttig om in de verhoudingen inzicht te krijgen. Het begrip 'schaal' kan hiervan een voorbeeld zijn. Het afstappen van de kilometer kan aanleiding zijn om het schaalbegrip aan te brengen. Of wordt het dan meten? Daarmee zitten we terug in wat in de aanhef van dit katern reeds aan bod kwam: de relatie tussen meten en meetkunde. Gescheiden van elkaar maar niet te scheiden...

Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN MEETKUNDE - OVSG · 2016-12-13 · Vormleer OD - Kleuters...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 1 LEERLIJNEN MEETKUNDE - OVSG · 2016-12-13 · Vormleer OD - Kleuters...