HET OPSTELLEN VAN SAMENSMELTINGSBOMEN...

Faculteit WetenschappenVakgroep Fysica & Sterrenkunde

Academiejaar 2011–2012

HET OPSTELLEN VAN

SAMENSMELTINGSBOMEN VOOR GALAXIEEN

MET DE EXCURSIE SET THEORIE

Thomas Soenen

Promotor: Prof. dr. S. De Rijcke

Scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van

Master in de Fysica en Sterrenkunde

De auteur en promotor geven de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen

en delen ervan te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkin-

gen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting uitdrukkelijk de

bron te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.

The author and promoter give the permission to use this thesis for consultation and to copy

parts of it for personal use. Every other use is subject to the copyright laws, more specifically

the source must be extensively specified when using from this thesis.

Gent, Juni 2012

Thomas Soenen

Dankwoord

Het schrijven van deze scriptie was een werk van lange adem. Toch ervaarde ik dit als bij-

zonder leerrijk en boeiend omdat ik mij mocht verdiepen in het aspect van de fysica dat mij

het meeste interesseert. Daarom zou ik eerst en vooral graag mijn promotor Prof. dr. Sven

De Rijcke bedanken om mij met raad en daad bij te staan gedurende mijn literatuurstudie

en tijdens het programmeren.

Ik kan in alle eerlijkheid toegeven dat dit een intense periode was, niet alleen voor mijzelf,

maar ook voor mijn dichte omgeving. Ik wil daarom van de gelegenheid gebruik maken om

mijn broer en mijn ouders bedanken voor de steun en intresse die ze toonden. Daarnaast zou

ik graag mijn vriendin te bedanken voor alle steun en begrip die ze leverde en het voorzien van

spijs en drank tijdens de laatste zenuwslopende dagen. Verder wens ik alle familie en vrienden

te vermelden die mij hielpen in de laatste weken om af en toe de werklast te vergeten. Om

af te sluiten verdienen ook mijn kotgenoten ,Nils en Michel, hier een plaats voor het begrip

wanneer ik andermaal de afwas op tafel liet staan.

Thomas Soenen

Gent, 7 juni 2012

ii

Inhoudsopgave

Dankwoord ii

1 Inleiding 3

2 Benodigdheden 6

2.1 De Robertson-Walkermetriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 De Friedman-Lemaıtrevergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 De kosmologische constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Stralingstijdperk, materietijdperk en Λ-tijdperk . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Een vlak, stralingsgedomineerd heelal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.4 Een materiegedomineerd universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.5 Een vlak heelal met materie en een niet-nul kosmologische constante . 12

2.3 De evolutie van het dichtheidscontrast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 De correlatiefunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Het powerspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 De excursie set theorie 23

3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Vensterfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 De Press-Schechter theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 De excursie set theorie (’Zentner (2007)’ en ’Lacey & Cole (1993)’) . . . . . . 29

3.5 Halo formatie (’Zentner (2007)’ en ’Lacey & Cole (1993)’) . . . . . . . . . . . 36

3.5.1 De conditionele massafunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.2 Het accretietempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.3 Formatietijden van halo’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Samensmeltingsbomen 41

4.1 De tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 De eerste algoritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 De samensmeltingsboom van Lacey en Cole (’Lacey & Cole (1993)’) . 43

1

INHOUDSOPGAVE 2

4.2.2 De samensmeltingsboom van Somerville en Kolatt (’Somerville & Ko-

latt (1999)’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.3 De samensmeltingsboom van Kauffmann en White (’Kauffmann & White

(1993)’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Algoritme B (’Zhang et al. (2008)’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.1 De parameters α en µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.2 Massabins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.3 De tijdstap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.4 De algoritme zelf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Kwaliteitscontrole 52

5.1 De conditionele massafunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Formatietijden van halo’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 De stamdikte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Besluit 59

A De transferfunctie 60

Lijst van figuren 62

Lijst van tabellen 64

Bibliografie 65

Hoofdstuk 1

Inleiding

Aan de oorsprong van het universum lag de oerknal. Kort daarna bestond het heelal uit

een zee van deeltjes met een dichtheidsveld dat kleine fluctuaties vertoonde. Deze fluctuaties

evolueren onder invloed van de zwaartekracht en de expansie van het universum. Eens de

fluctuaties een bepaalde grootte hebben bereikt, is de aantrekking van gravitatie te groot

voor de expansie om tegen te houden en storten ze in tot gebonden objecten. Deze gebonden

objecten of halo’s trekken elkaar aan en door veelvuldig samensmelten van deze kleine halo’s

ontstaan uiteindelijk grote structuren. Het zijn deze structuren die we vandaag waarnemen

als sterrenstelsels, clusters en superclusters.

Een cluster die we waarnemen is het resultaat van samensmeltingen van kleinere halo’s. Dit

kunnen we voorstellen aan de hand van een vertakkingsstructuur of een boom waarbij de fi-

nale halo zich onderaan de stam bevindt. Een dergelijke boom bevat interessante informatie.

Wanneer we halo’s bestuderen, is het handig om te weten hoe oud de halo in kwestie is. Soms

wensen we te weten hoe de stam van de boom evolueert. Is er een samensmelting gebeurd

tussen twee gelijkaardige halo’s of is er altijd een massieve halo geweest waar telkens veel

kleinere halo’s door geabsorbeerd zijn? Er zijn verschillende heelalmodellen voorhanden die

elk gekenmerkt worden met een eigen expansiesnelheid. In een model met een hogere expan-

siesnelheid, bijvoorbeeld, zullen de fluctuaties trager groeien en zal het dus langer duren om

grote structuren te verkrijgen. Indien we het verloop binnen elk heelalmodel kennen, kunnen

we dit toetsen aan het universum dat we waarnemen. Dit kan dan op zijn beurt andere the-

orieen staven die beschrijven in welk heelalmodel we momenteel leven.

De meest voor de hand liggende manier voor een beschrijving van samensmeltingsbomen van

halo’s te bekomen is een N-body simulatie uitvoeren. We vertrekken van een dichtheidsveld,

dat fluctuaties vertoont, van deeltjes of groepen van deeltjes. We kunnen nu met de beweg-

ingsvergelijkingen voor elk deeltje de gravitationele invloed van de andere deeltjes berekenen

en het deeltje zo laten evolueren in de tijd. Rekening houdend met de expansiesnelheid doen

3

HOOFDSTUK 1. INLEIDING 4

we dit voor elk deeltje en voor elke tijdstap. Op deze manier simuleren we hoe de deelt-

jes bewegen in het universum. Om op deze manier tot structuren te komen, zoals clusters,

hebben we nood aan een zeer groot aantal deeltjes of groepen van deeltjes om de simulatie

te kunnen opstarten. Computationeel gezien is dit een zeer tijdrovend proces. Daarom zal in

deze scriptie een andere, minder tijdrovende, metode centraal staan. Deze methode bepaalt

de samensmeltingsgeschiedenis van halo’s op statistische wijze.

De Press-Schechter theorie en de excursie set theorie zijn twee technieken die ons in staat

stellen een statistische samensmeltingsboom op te stellen voor een halo. Op basis van het

powerspectrum en de groeifactor die de evolutie van de fluctuaties in de tijd beschrijft, kun-

nen we een grote groep samensmeltingsbomen genereren. In wat volgt, bespreken we deze

theorieen en implementeren we ze in een computercode.

In Hoofdstuk 2 overlopen we kort de betrekkingen uit de kosmologie de we nodig hebben

om de theorie op te bouwen. Zo zien we dat uit de veldvergelijkingen van Einstein relaties

voortkomen waardoor het mogelijk is om de evolutie van elk soort heelalmodel te beschrijven.

We bekijken hoe de verschillende heelalmodellen zich gedragen in de tijd. Vervolgens stellen

we de groeifactor op die beschrijft hoe fluctuaties zich gedragen in de tijd voor een specifiek

heelalmodel. Tot slot bespreken we wat het powerspectrum precies is en hoe het er vandaag

uitziet.

In Hoofdstuk 3 gaan we na in welke mate de excursie set theorie een verbetering is van de

het Press-Schechter model. Vensterfuncties worden geıntroduceerd en we gebruiken deze om

de excursie set theorie uit te werken. Deze theorie leidt uiteindelijk tot betrekkingen die ons

toestaan om een samensmeltingsgeschiedenis op te stellen voor halo’s: een betrekking die

het aantal voorgangers over een bepaalde tijdstap uitdrukt, een uitdrukking die het tempo

aangeeft waarmee massa geaccreteerd wordt door de halo en een beschrijving van de leeftijd

van de halo.

In Hoofdstuk 4 stellen we de algoritme op die ons in staat zal stellen samensmeltingsbomen te

genereren en hoe we die implementeren in een code. We bespreken de verschillende algoritmes

die doorheen de jaren voorgesteld zijn en komen uiteindelijk tot de algoritme die wij zullen

toepassen. We leggen stap voor stap uit hoe we deze algoritme geımplementeerd hebben.

Tot slot vergelijken we in Hoofdstuk 5 de resultaten die we bekomen met het programma.

We gaan na of de gegevens overeenstemmen met deze van de artikels waarop we de algoritme

gebaseerd hebben. Op deze manier verifieren we of het programma correct werkt.

Het doel van deze scriptie is het theoretisch kader rond de statistische beschrijving van

HOOFDSTUK 1. INLEIDING 5

de samensmeltingsgeschiedenis van een halo uit te werken en dit om te zetten in een ge-

bruiksvriendelijk computerprogramma. Een diepgaande analyse van de evolutie van het uni-

versum valt echter buiten het bestek van deze scriptie.

In deze scriptie zullen we telkens, tenzij anders vermeld, gebruik maken van de volgende kos-

mologische parameters: Ωm = 0.25, Ωb = 0.045, Ωc = 0.205, ΩΛ = 0.75, H0 = 0.73 km/s/Mpc,

h = 0.73, n = 1, σ8 = 0.75 en cmbt = 2.725 K, waarbij n staat voor de macht van het Harrison

Zel’dovitsj powerspectrum, b voor baryonen en c voor koude donkere materie.

Hoofdstuk 2

Benodigdheden

2.1 De Robertson-Walkermetriek

We beschrijven het universum in 4 dimensies. De meest algemene metriek voor een meebe-

wegende waarnemer wordt gegeven door

ds2 = cdt2 − gijdxidxj . (2.1)

Observaties leren ons dat het universum op grote schaal homogeen en isotroop is. Op kleine

schaal is dit echter niet het geval. Wanneer we van op de Aarde de Melkweg bekijken, ne-

men we duidelijk geen isotrope structuur waar. Op zeer grote schaal is het universum wel

homogeen en isotroop, en aangezien we op zoek zijn naar de grootschalige beschrijving van

het universum zullen we dit in wat volgt ook veronderstellen.

Een waarnemer kan in de 4-dimensionele ruimtetijd ruimtelijke hyperoppervlakken beschouwen

van constante tijd. Elk punt op dit hyperoppervlak wordt gedefinieerd door hoe de waarnemer

er het universum observeerde op tijdstip t = t0. Een voorbeeld van een dergelijk hyperopper-

vlak is ons heelal zoals wij het nu waarnemen. Een waarnemer kan de verdeling van deeltjes

binnen zo’n hyperoppervlak slechts als isotroop waarnemen indien zijn eigen wereldlijn lood-

recht staat op dit hyperoppervlak.

Is dit niet het geval, dan kunnen twee waarnemers een verschillende ruimtelijke snelheid in het

hyperoppervlak hebben. De ene waarnemer zal gebieden waar hij naar toe beweegt blauwver-

schoven waarnemen en waar hij van wegbeweegt roodverschoven. De andere waarnemer zal

andere gebieden blauw- en roodverschoven waarnemen. Met dergelijke condities is het on-

mogelijk isotropie van het universum te hebben. De loodrechte stand van de wereldlijnen op

het ruimtelijke hyperoppervlak betekent dat er geen vermenging is van tijds- en ruimtecom-

ponenten en dus dat g0j = 0.

6

HOOFDSTUK 2. BENODIGDHEDEN 7

Isotropie en homogeniteit leggen nog enkele extra voorwaarden op aan de vorm van de metriek.

Het resultaat wordt de Robertson-Walker metriek genoemd en ziet er uit als

ds2 = c2dt2 −R(t)2

(dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sin 2θdφ2)

). (2.2)

Voor de analytische uitwerking van de metriek verwijzen we naar ’De Rijcke (2010)’.

In de metriek is R(t) de schaalfactor die de tijdsafhankelijke evolutie van het universum

beschrijft. Indien R(t) een stijgende functie is van t, expandeert het universum. k stelt de

kromming van het universum voor, die de discrete waarden −1, 0, 1 kan aannemen. Voor

elke andere waarde van k kunnen r en R herschaald worden waardoor k een van de discrete

waarden aanneemt en we opnieuw dezelfde metriek krijgen. De discrete waarden voor k

beschrijven respectievelijk een gesloten of hyperbolisch universum, een vlak universum en

een open of sferisch universum. Een vlak universum impliceert dat de ruimte vlak is, een

sferisch universum daarentegen houdt in dat de ruimte als het ware op het oppervlak van een

ballon is geplaatst. Met een expanderend sferisch universum kan men zich de evolutie van

het oppervlak van een ballon voorstellen die wordt opgeblazen. Een hyperbolisch universum

ligt op een hyperbolisch oppervlak.

2.2 De Friedman-Lemaıtrevergelijkingen

Friedman en Lemaıtre pasten elk afzonderlijk de Robertson-Walker metriek toe op de veld-

vergelijkingen van Einstein. Dit levert de volgende vergelijkingen op (’De Rijcke (2010)’):

3

R2

(k +

R2

c2

)=

8πG

c2ρ, (2.3)

k

R2+

R2

c2R2+

2R

c2R= −8πG

c4p. (2.4)

ρ is de massadichtheid binnen het universum terwijl p de druk is. Een veelgebruikte param-

eter binnen de kosmologie is de Hubbleparameter. Deze wordt gedefinieerd door H(t) = RR .

Hubble ontdekte dat objecten in het universum van ons weg bewegen, waarbij de snelheid

gecorreleerd is aan de afstand tot het object. De parameter die deze correlatie beschrijft werd

later de Hubbleparameter genoemd. Deze parameter bevat veel informatie. Uit waarnemin-

gen blijkt dat ons universum heel dicht aanleunt bij een vlak universum. Nemen we k = 0 in

de Friedman-Lemaıtrevergelijkingen, dan vinden we uit 2.3 dat H(t)2 = 8πG3 ρ. Of, wanneer

we de index 0 associeren met vandaag H20 = 8πG

3 ρ0. Aan de hand van de Hubbleparameter

kunnen we dan de massadichtheid van het universum berekenen.


In de Friedman-Lemaıtrevergelijkingen bevat ρ de som van de massadichtheden van alle com-

ponenten in het universum, namelijk straling, materie en donkere energie. We voeren de

dimensieloze dichtheid Ω(t) in, gegeven door

Ω(t) =ρ(t)

ρkrit(t)=ργ(t) + ρm(t) + ρΛ(t)

ρkrit(t)= Ωγ(t) + Ωm(t) + ΩΛ(t), (2.5)

waarin ρkrit staat voor de kritische massadichtheid, zijnde de massadichtheid van een vlak

universum, gegeven door ρkrit(t) = 3H(t)2

8πG .

Afleiden van de eerste Friedman-Lemaıtrevergelijking naar de tijd geeft

R

Rc2− R2

R2c2=

8πG

6c2ρR

R+

k

R2, (2.6)

wat samen met betrekking RR

ddt

(RR

)= RR

R2 − R3

R3 leidt tot

1

c2

d

dt

(R

R

)=

8πG

6c2ρR

R+

k

R2. (2.7)

indien we beide Friedman-Lemaıtrevergelijkingen van elkaar aftrekken vinden we

R

c2R− R2

c2R2=

k

R2− 4πG

c2

(ρ+

p

c2

), (2.8)

waaruit we zoals in 2.7 vinden dat

1

c2

d

dt

(R

R

)=

k

R2− 4πG

c2

(ρ+

p

c2

). (2.9)

Gelijkstellen van 2.7 en 2.9 geeft nu

ρ+ 3H(ρ+

p

c2

)= 0. (2.10)

Vullen we hier de algemene toestandsvergelijking van een fluıdum in, p = ωρc2, dan merken

we dat de evoluties van de massadichtheden van de fluıda voldoen aan

ρ ∝ R−3(1+ω). (2.11)

De parameter ω is afhankelijk van het fluıdum. Voor een drukloos fluıdum, zoals baryonen

en koude donkere materie, hebben we ω = 0. Voor straling hebben we ω = 1/3 en voor de

kosmologische constante ω = −1. Gecombineerd met 2.11 zien we dat de massadichtheden

van de fluıda met een verschillend tempo afnemen. De onderlinge verhoudingen zijn dus

niet constant. Hierdoor is het mogelijk dat op verschillende tijdstippen in de geschiedenis

verschillende fluıda de dominerende deeltjes zijn in het universum. In wat volgt, zullen we

constateren dat verschillende dominerende fluıda leiden tot verschillende expansietempo’s van


het universum.

Uit 2.11 volgt dat ρ = ρ0

(RR0

)3(1+ω). Combineren we dit met 2.3 en2.5 dan kunnen we Ω(t)

ook nog schrijven als

Ω(t) =∑i

ρ0,i(R0/R(t))3(1+ωi)

ρ0,kritH(t)2/H20

=H2

0

H(t)2

∑i

Ω0,i(1 + z)3(1+ωi), (2.12)

met z de roodverschuiving corresponderend met het tijdstip t, gedefinieerd als 1 + z = R0R .

2.2.1 De kosmologische constante

Met behulp van de Friedman-Lemaıtrevergelijkingen kan voor elk soort heelalmodel de ex-

pansiefactor R(t)R0

bepaald worden. Deze factor geeft de grootte van het universum weer op

elk tijdstip, relatief aan de grootte op dit moment. Veronderstellen we dat het universum

gevuld is met fluıda met ω > −1/3 (straling of drukloze materie), dan zien we met 2.4 dat

R < 0 op elk tijdstip. Bovzndien bevindt de expansie van het universum zich op elk tijdstip

in een vertragende fase. Afhankelijk van welk fluıdum domineert, gaat het heelal op termijn

een krimpende fase tegemoet of blijft het universum net expanderen, waarbij de snelheid con-

vergeert naar 0.

Waarnemingen tonen aan dat op dit ogenblik de expansie van ons universum versnelt, wat

maakt dat R > 0. Wanneer we aannemen dat het universum met enkel straling en materie

gevuld is, valt dit echter niet te rijmen met de Friedman-Lemaıtrevergelijkingen. Omwille

van die reden werd de theorie uitgebreid en de vacuumenergie ook als fluıdum te beschouwen.

Deze ’donkere energie’ wordt de ’kosmologische constante’ genoemd en stellen we voor als

Λ. Voor Λ geldt dat ω = −1, aangezien de dichtheid van de vacuumenergie niet afneemt

wanneer het universum groeit. De massadichtheid in de Friedman-Lemaıtrevergelijkingen

is dus de som van de massadichtheid van drie fluıda: straling, materie en donkere energie.

Indien we de massadichtheid van straling verwaarlozen, dan worden de nieuwe Friedman-

Lemaıtrevergelijkingen gegeven door

3

R2

(k +

R2

c2

)=

8πG

c2ρm + Λ, (2.13)

3R

c2R+

4πG

c2ρm = Λ, (2.14)

met Λ = 8πGc2ρΛ. Uit 2.14 zien we dat de versnelling van de expansie niet noodzakelijk negatief

is. Het teken wordt bepaald door de verhouding van de massadichtheden van de fluıda.


2.2.2 Stralingstijdperk, materietijdperk en Λ-tijdperk

Kort na de oerknal was straling de dominerende factor in het universum en spreken we van

het stralingstijdperk. Naarmate het universum ouder en groter wordt, leert 2.11 ons dat de

massadichtheid van straling afneemt met R4. De massadichtheid van materie neemt af met

R3, waardoor er een tijdstip komt waarop ργ = ρm. Dit tijdstip stellen we voor als teq. Na dit

tijdstip is materie het dominerende fluıdum en begint het materietijdperk. De overgang van

het stralingstijdperk naar het materietijdperk vindt plaats op roodverschuiving z ≈ 3180.

De massadichtheid van straling en de materie blijft verder dalen, terwijl die van de kos-

mologische constante constant blijft. Het tijdstip waarop ρΛ = ρm, noemen we tΛ,eq en

treffen we aan op z ≈ 0.39. Hierna bevinden we ons in het Λ-tijdperk. Uit de Friedman-

Lemaıtrevergelijkingen volgt dat het universum een versnelde expansie ingaat eens ρΛ >

2ργ + ρm. Aangezien ργ ondertussen verwaarloosbaar klein is geworden in vergelijking met

ρm, zien we dat korte tijd nadat we het Λ-tijdperk ingaan, we in een versnelde expansiefase

terecht komen.

We bekijken nu de dynamica van het universum voor verschillende dominerende fluıda. We

beschouwen een vlak stralingsgedomineerd universum, een vlak en open materiegedomineerd

universum en een vlak universum met een niet verwaarloosbare massadichtheid voor materie

en een niet-nul kosmologische constante. Hiervoor baseren we ons op ’De Rijcke (2010)’.

2.2.3 Een vlak, stralingsgedomineerd heelal

Voor een heelal dat vlak is en gedomineerd wordt door straling vinden we door combinatie

van 2.13 en 2.12

R2

R2=

8πG

3ρkritΩ0,γ

H20

H(t)2

(R0

R

)4

, (2.15)

waarbij we gebruik maakten van 1 + z = R0R en Ω0 = Ω0,γ = 1 en met R = R(t). Vereen-

voudigen geeft

˙(R

R0

)= H0

R0

R, (2.16)

waaruit

R(t)

R0=√

2H0t. (2.17)

Het universum expandeert dus evenredig met t1/2.


2.2.4 Een materiegedomineerd universum

Met behulp van de dimensieloze dichtheidsparameter Ω kunnen we de eerste Friedmann-

Lemaıtrevergelijking herschrijven als

kc2

R(t)2= H(t)2(Ω(t)− 1). (2.18)

Delen we deze betrekking nu op tijdstip t0 door deze op tijdstip t, dan vinden we voor een

materiegedomineerd heelal, met Ω(t) =H2

0H(t)2 Ω0,m

(R0R

)3, dat

R2 =R2

0H20

H(t)2

Ω0,m − 1

Ω0,mH0

2

H(t)2

(R0R

)3 − 1

, (2.19)

met R = R(t). Brengen we de noemer in het rechterlid naar het linkerlid, dan leidt dit

uiteindelijk tot

R2 = R20H

20

[Ω0,m

(R0

R− 1

)+ 1

]. (2.20)

Een vlak materiegedomineerd universum

In een vlak, materiegedomineerd universum geldt 2.20 en weten we dat Ω0,m = 1. 2.20 herleidt

zich dan tot √R

R0

˙(R

R0

)= H0. (2.21)

We zien uiteindelijk dat een vlak, materiegedomineerd universum expandeert volgens

R(t)

R0=

(3H0t

2

)2/3

. (2.22)

We merken op dat een materiegedomineerd universum een hoger expansietempo heeft dan

een universum dat door straling gedomineerd wordt. De aantrekkingskracht ten gevolge van

de stralingsdruk, versterkt dus de gravitatie en vertraagt de expansie.

Een open materiegedomineerd universum

Voor een niet-vlak universum kunnen we op basis van 2.20 ook het expansietempo voorstellen.

Gaan we in 2.20 over op de conforme tijd τ , met xdτ = dt en x = RR0

, dan vinden we

dx

dτ= H2

0 Ω0,mx

(1 +

1− Ω0,m

Ω0,mx

). (2.23)

Scheiden van veranderlijken en integreren geeft dan


H0

√Ω0,mτ =

∫dx√

x(

1 +1−Ω0,m

Ω0,mx)

= 2

∫dy√

1 +1−Ω0,m

Ω0,my2

= 2

√Ω0,m

1− Ω0,m

∫dq√

1 + q2

= 2

√Ω0,m

1− Ω0,msinh−1

(√1− Ω0,m

Ω0,m

R

R0

)(2.24)

waarbij y2 = x, q =√

1−Ω0,m

Ω0,my en

∫dx√a2+x2

= sinh−1(xa

). Hieruit vinden we voor R(τ)

R0

R(τ)

R0=

Ω0,m

1− Ω0,msinh 2

(H0

2

√1− Ω0,mτ

),

=Ω0,m

2(1− Ω0,m)

[cosh

(H0

√1− Ω0,mτ

)− 1], (2.25)

waarbij we in de laatste stap de hoek ontdubbeld hebben. Tot slot hebben we nog het verband

nodig tussen t en τ om tot R(t)R0

te komen:

t =

∫x(τ)dτ =

Ω0,m

2H0(1− Ω0,m)3/2

[sinh

(H0

√1− Ω0,mτ

)−H0

√1− Ω0,mτ

]. (2.26)

2.2.5 Een vlak heelal met materie en een niet-nul kosmologische constante

Maken we gebruik van 2.12, dan kunnen we 2.13 herschrijven als

R2

R2=

8πG

3ρkrit

H20

H(t)2

[Ω0,M

(R

R0

)3 + Ω0,Λ

],

= H20

[Ω0,M

(R

R0

)3 + Ω0,Λ

], (2.27)

met R = R(t). Gaan we over op de variabele x = RR0

, dan krijgen we

x2 = H20

(Ω0,Λx

2 +Ω0,M

x

). (2.28)

Scheiden van veranderlijken en integreren geeft

H0t =

∫dx√

Ω0,Λx2 +Ω0,M

x

. (2.29)


We voeren de substitutie x3 = y2 door. Differentieren we dit, dan vinden we dat√xdx = 2

3dy.

We krijgen

H0t =2

3

∫dy√

Ω0,Λy2 + Ω0,M

. (2.30)

Na een berekening, analoog met het open, materiegedomineerde universum, vinden we

3

2H0t

√Ω0,Λ = sinh−1

[√Ω0,Λ

Ω0,M

(R

R0

)3/2]. (2.31)

Uiteindelijk vinden we voor de expansiefactor, na het gebruik van Ω0,Λ = Λc2

3H20, de uitdrukking

R(t)

R0=

(Ω0,M

Ω0,Λ

)1/3

sinh2/3

(√3Λc

2t

). (2.32)

Figuur 2.1: Vergelijking van het verband tussen de roodverschuiving en de tijd voor een open ma-

teriegedomineerd universum en een vlak universum met materie en een niet-nul kosmol-

ogische constante. Tijd in 109 jaar, met t = 0 vandaag.

In Figuur 2.1 zien we het verband tussen de roodverschuiving en de tijd voor een open ma-

teriegedomineerd universum en een vlak universum met materie en een niet-nul kosmologische

constante. We zien dat een open materiegedomineerd universum de afgelopen 5 miljard jaar

sneller expandeerde dan een vlak universum met materie en niet-nul kosmologische constante.


2.3 De evolutie van het dichtheidscontrast

Onmiddelijk na de oerknal kent het universum een inflatiefase. Aan het eind van deze fase

is het universum gevuld met straling, materie en donkere energie. Onder invloed van de

inflatieperiode vertoont de massadichtheid van materie fluctuaties. Het zijn deze fluctuaties

die door gravitatie later zullen uitgroeien tot de grote structuren die we op dit moment kun-

nen waarnemen in het universum. In dit deel bepalen we hoe deze fluctuaties gegroeid zijn

doorheen de tijd. De parameter die we gebruiken om de fluctuaties te beschrijven, noe-

men we het dichtheidscontrast δ(~x, t) en definieren we als δ(~x, t) = (ρ(~x, t) − ρ(t))/ρ(t) =

ρ(~x, t)/ρ(t) − 1. Het dichtheidscontrast varieert in de tijd, aangezien elk deeltje van het

fluıdum onderhevig is aan de zwaartekracht. In wat volgt, baseren we ons op ’Peebles (1980a)’,

’Bernardeau et al. (2002)’ en’Bonnor (1957)’.

Een ideaal fluıdum voldoet aan de volgende vergelijkingen:

(∂ρ

∂t

)r

+5r · ρ~u = 0, (2.33)

ρ

[(∂~u

∂t

)r

+ (~u · 5r)~u

]= −5r p− ρ5r Φ. (2.34)

Φ is hierbij de kosmologische gravitationele potentiaal, ~r is de meebewegende afstand en ~u

is de meebewegende snelheid. Deze grootheden beschrijven de parameters van het fluıdum

relatief ten opzichte van de expansie. Benoemen we ~x de afstand en ~v de snelheid in gewone

coordinaten, dan zijn ~r, ~x, ~u en ~v gerelateerd als

~x =~rR0

R, (2.35)

~u =R

R~x+ ~v(~x, t). (2.36)

Rekening houdend met 5r = R0R 5 en de bovenstaande relaties kunnen we 2.33 herschrijven

als

∂ρ

∂t+

3R

Rρ+

R0

R5 ·ρ~v = 0 (2.37)

en 2.34 als

R

R0~x+

∂~v

∂t+R0

R(~v · 5)~v +

R

R~v = −R0

ρR5 p− R0

R5(φ− 1

2R20

RRx2

). (2.38)

Hierbij maakten we gebruik van de relatie φ = Φ + 12R2

0RRx2. Aangezien de eerste en de

laatste term gelijk zijn, vinden we voor de vergelijkingen van een ideaal fluıdum in ~x en ~v:


∂~v

∂t+R0

R(~v · 5)~v +

R

R~v = −R0

ρR5 p− R0

R5 φ, (2.39)

∂δ

∂t+R0

R5 ·(1 + δ)~v = 0. (2.40)

In de laatste vergelijking maakten we gebruik van ρ = ρ(1 + δ) en 2.10. Aangezien voor

drukloze materie geldt dat ω = 0, is bijgevolg ρ = −3H = −3 RR . We vermenigvuldigen nu

2.39 met ρ en 2.40 met ~v. We tellen deze bij elkaar op en nemen hiervan de divergentie.

Uiteindelijk vinden we (’Peebles (1980a)’)

∂2δ

∂t2+ 2

R

R

∂δ

∂t=R2

0 52 p

ρbR2+R2

0

R25 ·(1 + δ)5 φ+

1

R2

∂2

∂xα∂xβ[(1 + δ)vαvβ]. (2.41)

In het vroege universum is δ klein. We kunnen bovenstaande vergelijking zodoende linearis-

eren tot

∂2δ

∂t2+ 2

R

R

∂δ

∂t= 4πGρδ. (2.42)

Aangezien materie een drukloos fluıdum is hebben we de drukterm geschrapt. Het rechterlid

bekomen we alsvolgt. Poisson leert ons voor een drukloos fluıdum dat

52rΦ = 4πGρ, (2.43)

of in de parameter ~x

52Φ = 4πGR2

R20

ρ. (2.44)

Uit de Friedman-Lemaıtrevergelijkingen weten we dat

R

R0= −4

3πGρ

R2

R20

. (2.45)

Gebruiken we dit nu samen met de definitie van φ, dan vinden we

52φ = 4πGR2

R20

δρ. (2.46)

Dankzij ’Peebles (1980b)’ weten we dat de oplossing van 2.42 ook een goede beschrijving

geeft voor het latere universum. ’Heath (1977)’ stelde twee oplossingen voor voor 2.42, een

uitdovende en een groeiende. De groeiende ziet eruit als

δ(a) =5

2a−3/2f(a)

∫ a

0

v3/2

f3(v)dv, (2.47)

met f(a) =√

1 + 1−Ωm−ΩvΩM

a+ ΩvΩm

a3 met a = R(t)R0

. (’Bildhauer et al. (1992)’)


Voor een vlak universum met materie en een niet-nul kosmologische constante vinden we

(’Bildhauer et al. (1992)’)

D(a) =5

6Bx(5/6, 2/3)

(Ωm

1− Ωm

)1/3√

1 +Ωm

(1− Ωm)a3, (2.48)

met x = (1−Ωm)a3

Ωm+(1−Ωm)a3 en Bx de incomplete betafunctie. Voor een open, materiegedomineerd

universum daarentegen vinden we (’Bildhauer et al. (1992)’)

D(a) =5Ωm

(1− Ωm)

[3Ωm + (1− Ωm)a

2(1− Ωm)a− 3

Ωm

√Ωm + (1− Ωm)a

2[(1− Ωm)a]3/2sinh−1

√1− Ωm

Ωma

].

(2.49)

Figuur 2.2: Het verband tussen de groeifactor en de tijd voor een open materiegedomineerd univer-

sum en een vlak universum met materie en niet-nul kosmologische constante. Tijd in

109 jaar, met t = 0 vandaag.

In Figuur 2.2 beelden we het verband af tussen de groeifactor en de tijd, waarbij de groeifactor

genormeerd is alsD(a = 1) = 1. We zien dat in het vlak universum met materie en een niet-nul

kosmologische constante de dichtheidsfluctuaties sneller zijn gegroeid de afgelopen vijf miljard

jaar dan in een open materiegedomineerd universum. Dit is consistent met wat we gezien

hebben in Figuur 2.1. Een snellere expansie van het universum werkt de gravitatiekracht

tegen en leidt tot trager groeiende dichtheidfluctuaties.


2.4 De correlatiefunctie

De correlatiefunctie beschrijft de relatie tussen het dichtheidscontrast op twee verschillende

posities. Zoals aangegeven is het universum isotroop en homogeen. Hierdoor is de corre-

latiefunctie onafhankelijk van de positie enerzijds en de richting van de afstand anderzijds

tussen de twee punten. We stellen de correlatie functie voor als ξ(r). Om de correlatiefunc-

tie op te stellen maken we gebruik van het dichtheidscontrast in de fourierruimte (’Zentner

(2007)’)

δ(~k) =

∫dx3δ(~x)ei

~k~x, (2.50)

δ(~x) =1

(2π)3

∫dk3δ(~k)e−i

~k~x. (2.51)

Aangezien δ(~x) een reele functie is, weten we dat δ(−~k) = δ∗(~k). De definitie van de corre-

latiefunctie geeft ons dat ξ(r) =< δ(~x)δ(~x + ~r) >. Invullen van 2.50 en 2.51 geeft (’Zentner

(2007)’)

ξ(r) =1

(2π)6

∫d3k1d3k2d3xδ( ~k1)δ( ~k2)e−i

~k1~xe−i~k2(~x+~r)

=1

(2π)3

∫d3k1d3k2δ( ~k1)δ( ~k2)δD( ~k1 + ~k2)e−i

~k2~r

=1

(2π)3

∫d3kδ(~k)δ( ~−k)e−i

~k~r (2.52)

=1

(2π)3

∫dkd sin θdφk2 sin θ|δ(k)|2e−ikr cos θ

=1

2π2

∫dkk2|δ(k)|2 sin(kr)

kr(2.53)

Waarbij we gebruik maakten van de gelijkheid 12

∫ π0 e−ikr cos θ sin θdθ = sin(kr)

kr en de Dirac-

functie met de eigenschap∫

dke−ik(x−y) = 2πδD(x− y).

|δ(k)|2 noemen we het powerspectrum. Bovenstaande relatie geeft een betrekking tussen een

waarneembare grootheid en een niet-waarneembare, fundamentele grootheid.

2.5 Het powerspectrum

Het powerspectrum beschrijft het verloop van het dichtheidscontrast in de fourierruimte. Dit

dichtheidscontrast geeft op zijn beurt de fluctuaties in het dichtheidsveld van het universum

weer. In 1964 ontdekten Arno A. Penias en Robert W. Wilson dat een laag energetische

achtergrondstraling het universum vult die richtingonafhankelijk en niet seizoensgebonden is.


Bijgevolg komt deze straling van buiten ons zonnestelsel.

Kort na de oerknal was ons expanderend universum klein, warm en een mengeling van deeltjes

en annihilatie-creatie processen. De hoge temperatuur zorgde ervoor dat bindingen tussen

deeltjes direct ongedaan gemaakt werden door de interactie met hoog energetische deeltjes.

Deze deeltjes zijn met elkaar in thermodynamisch evenwicht en volgen elkaars dichtheid. Ze

vertonen dus dezelfde dichtheidsfluctuaties. Naarmate het universum steeds groter werd,

daalde de temperatuur van de deeltjes, waardoor er steeds meer gebonden deeltjes konden

onstaan. Dit gebeurt doordat de energie van de deeltjes te laag is om de gebonden deeltjes

nog te scheiden. Een binding tussen deeltjes die niet meer gescheiden kan worden noemen

we een uitgevroren binding. Na de uitvriezing van alle bindingen interageren de vrije fotonen

in het universum niet meer met andere deeltjes. Dit moment wordt ook wel het tijdstip van

last scattering genoemd. De energie van de fotonen bleef kleiner worden door de verdere

expansie met het universum. Aangezien tot aan de uitvriezing van de zwakste binding de

fotonen in thermodynamisch evenwicht zijn met de deeltjes in deze binding, vertonen ze diens

dichtheidsfluctuaties. Deze vrije fotonen zijn wat Penias en Wilson hebben waargenomen in

1964. De verwachte fluctuaties werden later ook waargenomen.

De COBE-sateliet bracht de fluctuaties in de achtergrondstraling in kaart door de volledige

hemel te scannen en met twee identieke ontvangers het verschil in energie van de achter-

grondstraling te mappen. In ’Bunn & White (1997)’ werden deze fluctuaties gefit aan het

powerspectrum.

De Amerikaan Edward R. Harrison en de Rus Yakov Borisovitsj Zel’dovitsj stelden dat het

primordiale powerspectrum P (k) de vorm kn moet hebben, met n dicht bij 1. In het geval

dat n 1, zouden de fluctuaties niet groot genoeg zijn om uit te groeien tot de galaxieen en

clusters die we vandaag waarnemen. In het geval dat n 1, zouden de fluctuaties uitgegroeid

zijn tot zwarte gaten.

In het vervolg van deze scriptie hebben we het powerspectrum nodig zoals het er vandaag

uitziet. Doorheen de levensloop van het universum zijn er verschillende omstandigheden ge-

weest die elk een ander effect hebben op de groei van dichtheidfluctuaties, en dus op de

verandering van het powerspectrum. In wat volgt geven we een kwalitatieve uiteenzetting

van de belangrijkste invloeden, een kwantitatieve uiteenzetting kan worden geraadpleegd in

’De Rijcke (2010)’.

We stellen het primordiale powerspectrum voor als Pprim(k). Kort na de oerknal zijn alle

deeltjes in thermodynamisch evenwicht en mogen we ze als adiabatisch beschouwen. Dit

impliceert dat de fluctuaties in de respectievelijke dichtheden evenredig zijn. De dichtheid-


fluctuaties δ~k kunnen we opdelen in twee groepen: de kortgolvig die zich volledig binnen de

horizon bevinden en de langgolvige die zich buiten de horizon bevinden. Deze laatste noemen

we uitgevroren, aangezien er geen causaal contact mogelijk is tussen de verschillende delen

van de fluctuatie. Deze uitgevroren fluctuaties blijven evenwel een onderling evenredige am-

plitude hebben, want zoals in ’De Rijcke (2010)’ wordt aangetoond, blijft de amplitude van

een uitgevroren fluctuatie constant.

Eens het universum groot genoeg geworden is zodat er voor een eerder uitgevroren fluctuatie

causaal contact mogelijk is tussen alle delen, kan de fluctuatie beginnen groeien. Om deze

groei in kaart te brengen, bekijken we de evolutie van de fluctuatie in het stralingsgedomi-

neerde en het materiegedomineerde heelal. We maken ook een onderscheid tussen baryonen

en koude donkere materie.

Het stralingstijdperk situeert zich volledig voor het tijdstip van last scattering. Gedurende

dit tijdperk zijn de baryonen en de fotonen dus in thermodynamisch evenwicht. De gravi-

tatiekracht van de baryonen wordt gecompenseerd door de druk van de fotonen en de groei

van de fluctuaties vertoont akoestische oscillaties. Bovendien streven de fotonen naar een zo

hoog mogelijke entropie, waardoor ze een beweging weg van de overdichtheden maken. De

fotonen nemen de elektronen mee vanwege Thompsonverstrooiing, de elektronen nemen dan

weer de kernen mee vanwege Coulombinteractie. Op deze manier ontstaat er een stroom van

deeltjes, weg van de overdichtheden en worden de kleinste fluctuaties in de baryonendichtheid

uitgevlakt. Dit noemen we het Silkeffect.

Koude donkere materie interageert niet met fotonen en voert dus geen akoestische oscillaties

uit. In het stralingstijdperk groeien de koude donkere materiefluctuaties logaritmisch. Dit

noemen we het Mezaroseffect.

In het materietijdperk groeien de fluctuaties van de koude donkere materie evenredig met

R. De baryonfluctuaties oscilleren nog steeds akoestisch, terwijl het Silkeffect steeds meer

baryonfluctuaties uitwist. Dit stopt wanneer het tijdstip van last scattering bereikt wordt.

De interactie tussen de baryonen en fotonen stopt. Het Silkeffect heeft alle fluctuaties die tot

een structuur kleiner dan 1014Mzon kunnen leiden uitgewist. Dit maakt het verklaren van

galaxievorming op basis van alleen baryonische materie moeilijk. Gaan we ervan uit dat er

koude donkere materie bestaat, dan passen de baryonische fluctuaties zich aan aan die van de

koude donkere materie na het tijdstip van last scattering. Op deze manier gaan de baryonen

opnieuw kleinere fluctuaties vertonen.

In Figuur 2.3 worden de evoluties van de dichtheidsfluctuaties van de fotonen, de baryonen

en de koude donkere materie afgebeeld. Tot aan de horizondoorgang blijven de fluctuaties


ingevroren en evenredig met elkaar. Na horizondoorgang beginnen die van de koude donkere

materie te groeien, terwijl het Silkeffect ervoor zorgt dat deze van de fotonen en de baryonen

uitdoven. Na het tijdstip van last scattering volgen de baryonen de fluctuaties van de koude

donkere materie.

Figuur 2.3: Evolutie van de dichtheidsfluctuaties in het vroege universum van fotonen, baryonen en

koude donkere materie.(’De Rijcke (2010)’)

Aangezien P (k) = |δ~k|2, is het powerspectrum onderhevig aan bovestaande effecten. We

kunnen het huidige powerspectrum voorstellen door

P (k) = T (k)2Pprim(k). (2.54)

T (k) noemen we de transferfunctie. Het is een theoretische uitwerking van de invloeden van

de toestand van het universum op het primordiale powerspectrum. In Appendix A staat een

uitwerking van de transferfunctie van ’Eisenstein & Hu (1998)’. In Figuur 2.4 zien we een

voorstelling van 2.54, met Pprim(k) een Harrison-Zel’dovitsj spectrum met n = 1. In Figuur

2.5 zien we het powerspectrum gefit aan de waarnemingen uitgevoerd tijdens de Sloan Digital

Sky Survey(’Tegmark & et al. (2004)’).

Uitgaande van een primordiaal powerspectrum dat dicht bij het Harrison-Zel’dovitsj spec-

trum ligt, zullen we in het volgende hoofdstuk werken met een dimensieloze vorm van het

powerspectrum:


∆2(k)|z=0 ≡k3

2π2P (k) =

(ck

H0

)3+n

T 2(k), (2.55)

Figuur 2.4: Het powerspectrum P(k) gebaseerd op 2.54 en de transferfunctie in Appendix A.

met n dicht bij 1 (dichtbij het Harrison-Zel’dovitsjspectrum). In Figuur 2.6 wordt ∆(k) afge-

beeld.

Een powerspectrum opgesteld op deze manier moet genormaliseerd worden. Vroeger werd

dit gedaan door het te fitten aan de σ8-waarden (’Bunn & White (1997)’). σ8 staat voor de

variantie(zie Hoofdstuk 3) van de fluctuaties in een bol met 8 Mpc/h en kan bepaald worden

via de waarnemingen. ’Viana & Liddle (1996)’ vonden σ8 ' (0.6 ± 0.1)Ωαm met α ' 0.4

voor een universum zonder kosmologische constante en α ' 0.45 voor een universum met een

niet-nul kosmologische constante.

In ’Bunn & White (1997)’ wordt het powerspectrum 2.55 niet genormaliseerd door σ8, maar

door het te fitten aan de resultaten van de COBE-sateliet. Ze vonden dat in betrekking 2.55

het rechterlid nog een voorfactor δ2H nodig heeft, met

δH = 1.94× 10−5Ω−0.785−0.05 ln Ωmm exp

(−0.95(n− 1)− 0.169(n− 1)2

), (2.56)

voor een vlak universum met materie en een niet-nul kosmologische constante. Voor een open,

materiegedomineerd universum zonder kosmologische constante geeft ’Bunn & White (1997)’

δH = 1.95× 10−5Ω−0.35−0.19 ln Ωmm exp

(−(n− 1)− 0.14(n− 1)2

). (2.57)


Figuur 2.5: Het powerspectrum P(k) gefit aan waarnemingen tijdens de Sloan Digital Sky Sur-

vey(’Tegmark & et al. (2004)’).

Figuur 2.6: Het dimensieloze powerspectrum ∆(k), opgesteld met de transferfunctie in Appendix A.

Hoofdstuk 3

De excursie set theorie

3.1 Inleiding

Zoals we gezien hebben in Hoofdstuk 2 bevat de dichtheid van materie na het inflatietijd-

perk fluctuaties. Het kan aangetoond worden dat deze fluctuaties Gaussisch zijn(’De Rijcke

(2010)’). We kunnen het dichtheidscontrast dan beschouwen als een gaussische randomvari-

abele, met de verdeling om een δ(~x) aan te treffen in het interval [δ, δ + dδ] gegeven door

P (δ(~x))dδ =1√

2πσ2(δ)exp

(−δ(~x)2/2σ2(δ)

)dδ, (3.1)

waarbij σ(δ) de standaardafwijking van het dichtheidscontrast voorstelt. De variantie σ2(δ)

wordt gegeven door

σ2(δ) =< [δ(~x)− < δ(~x) >]2 >=< δ(~x)2 >, (3.2)

aangezien de verwachtingswaarde van δ(~x) per definitie 0 is. We zien dat de variantie wordt

gegeven door de correlatiefunctie met r = 0. We kunnen de variantie van het dichtheidscon-

trast dus nog schrijven als

σ2(δ) =1

2π2

∫dkk2|δ(k)|2, (3.3)

waarbij we gebruik hebben gemaakt van limr→0sin(kr)kr = 1. Aangezien P (k) = |δ(k)|2 gegeven

wordt in Hoofdstuk 2 beschikken we over alle ingredienten om de verdeling van het dichthei-

dscontrast toe te passen.

In het vorige hoofdstuk hebben we een analytische bepaling gegeven van hoe het dichtheid-

scontrast groeit doorheen de geschiedenis van het universum. Samen met de verdeling van

δ(~x) kunnen we nu op statistische wijze de abundanties van structuren gegroeid uit de fluc-

tuaties bepalen. In dit hoofdstuk schetsen we een theoretisch kader om dit te doen. We

23

HOOFDSTUK 3. DE EXCURSIE SET THEORIE 24

introduceren eerst de vensterfunctie die ons in staat stelt het universum met een gekozen res-

olutie te bekijken. De Press-Schechter theorie, ontwikkeld in 1974 door William H. Press en

Paul Schechter, was de eerste theorie die een beschrijving gaf van de abundanties van koude

donkere materie halo’s. Aangezien de baryonfluctuaties deze van de koude donkere materie

volgen, focussen we ons enkel op halo’s van donkere materie. De baryonische massa bevindt

zich ook in deze halo’s.

De theorie van Press en Schechter vertoonde een onregelmatigheid, die opgelost werd door een

nieuwe theorie, de excursie set theorie. De excursie set theorie is gebaseerd op een Browniaanse

beweging en we zullen de opbouw van de theorie toelichten. Een groeiende fluctuatie komt

overeen met een groeiende halo, een groeiende halo beschouwen we als een samensmelting van

verschillende kleinere halo’s. Op basis van de excursie set theorie zullen we in Hoofdstuk 4

een algoritme opstellen die een samensmeltingsgeschiedenis van een halo simuleert.

3.2 Vensterfuncties

Wanneer we een waarneming doen van het universum nemen we alles met een bepaalde resolu-

tie waar. Zo beschikken we niet over de apparatuur om op een naburige planeet het oppervlak

van een meer tot op 1cm2 nauwkeurig te bepalen. Onze waarnemingen zijn een uitgemiddelde

versie van wat we bekijken. Met behulp van vensterfuncties kunnen we ook spelen met de

resolutie van het dichtheidscontrast, zonder de betrekking voor de variantie te verliezen.

Stel, we middelen het dichtheidscontrast uit over bollen met straaal RW . Maken we gebruik

van δ(~x) om het uitgemiddelde dichtheidscontrast δ(~x;RW ) te bepalen, dan weten we dat

(’Zentner (2007)’)

δ(~x;RW ) =

∫d3x′W (|~x′ − ~x|;RW )δ(~x). (3.4)

W (|~x′ − ~x|;RW ) noemen we de vensterfunctie, die voor |~x− ~x′| ≤ RW de waarde 34πR3

Wgeeft

en voor |~x− ~x′| > RW de waarde 0. Voor een gegeven punt ~x geeft δ(~x;RW ) het gemiddelde

dichtheidscontrast in een bol met straal RW rond punt ~x. We kunnen δ(~x;RW ) ook bepalen

door de integraal over δ(~x) te beperken tot een volume VR =4πR3

W3 rond punt ~x en te delen

door VR. Doen we dit en vervangen we δ(~x) door zijn fouriergetransformeerde, dan vinden

we

δ(~x;RW ) =1

(2π)3VR

∫d3k

∫VR

d3x′ei~k~x′δ(~k)e−i

~k~x. (3.5)

Aangezien we weten dat (’De Rijcke (2010)’)


1

VR

∫VR

ei~k~x′d3x′ =

3

4πR3W

∫ 2π

0dφ

∫ π

0dθ

∫ RW

0dR′eikR

′ cos(θ) sin(θ)R′2,

=3

(kRW )3

∫ kRW

0kR′ sin(kR′)d(kR′),

=3

(kRW )3(sin(kRW )− kRW cos(kRW )) = W (k;RW ), (3.6)

waarbij we opnieuw de gelijkheid 12

∫ π0 e−ikr cos θ sin θdθ = sin(kr)

kr gebruikt hebben, komen we

uiteindelijk tot

δ(~x;RW ) =1

(2π)3

∫d3kW (k,RW )δ(~k)e−i

~k~x. (3.7)

We zien dat de fouriergetransformeerde van het uitgemiddelde dichtheidscontrast δ(~x;RW )

gegeven wordt door (’Zentner (2007)’)

δ(~k;RW ) = W (~k;RW )δ(~k). (3.8)

Met een vensterfunctie kunnen we een volume associeren. In het voorgaande geval is dit

simpelweg VR = 43πR

3W . Algemeen vinden we het volume door de vensterfunctie W (~x) te

normaliseren tot W ′(~x) zodat deze een maximale waarde van 1 heeft en dimensieloos is. Het

volume kan dan bekomen worden door W ′(~x) te integreren over de ruimte: VW =∫

d3xW ′(~x)

(’Zentner (2007)’). Met een vensterfunctie kunnen we dan ook een schaal RW associeren

als RW ∼ V−1/3R . Voor de bovenstaande vensterfunctie lijkt dit een onnodige betrekking,

aangezien de schaal gedefinieerd wordt door de vensterfunctie zelf. Andere vensterfuncties

worden niet op deze manier opgesteld, waardoor de betrekking voor RW interessant wordt.

De vensterfunctie die we hierboven geduid hebben wordt de ’real-space tophat’ vensterfunctie

genoemd. De fouriervoorstelling van deze vensterfunctie is niet echt vriendelijk. Aangezien we

in wat volgt vooral zullen werken met de variantie van het dichtheidscontrast, een grootheid

die we bekijken in de fourierruimte, zoeken we een vensterfunctie die vriendelijker is in de

fourierruimte. Twee mogelijkheden bieden zich aan: de Gaussische en de ’fourier-space tophat’

vensterfunctie(’Zentner (2007)’). Voor de Gaussische vensterfunctie hebben we in de config-

uratieruimte

W (x;RW ) =exp

(−x2

2R2W

)(2π)3/2R3

W

, (3.9)

en in de fourierruimte

W (k;RW ) = exp(−k2/2R−2

W

). (3.10)


De ’fourier-space tophat’ vensterfunctie middelt het dichtheidscontrast uit over bollen met

straal k = R−1W in de fourierruimte. Dit doen we door het dichtheidscontrast in de fourier-

ruimte te integreren van 0 tot k = R−1W . Na een analoge berekening als in 3.6 vinden we voor

deze vensterfunctie in de configuratieruimte(’Zentner (2007)’)

W (x;RW ) =1

2π2R3W

(sin(xR−1W )− xR−1

W cos(xR−1W ))

(xR−1W )3

. (3.11)

Om het volume van deze vensterfunctie te bepalen moeten we ze herschalen, zodat ze een

maximale waarde van 1 heeft. De vensterfunctie heeft zijn maximum in het punt ~x = 0.

Na toepassen van de regel van L’Hopital vinden we dat W (0;RW ) = 16π2R3

W. We moeten

nu W (~x;RW )/W (0;RW ) integreren over de volledige ruimte. 3.11 is analytisch niet ex-

act te bepalen. Als we kijken naar de ’real-space tophat’ vensterfunctie, dan zien we dat

VR = W/W ′. Voor de ’fourier-space tophat’ geeft dit VR = 6π2R3W .

Elk punt van δ(~x;RW ) is de som van een set δ(~x) waarden. Aangezien < δ(~x) >= 0 weten

we dan dat < δ(~x;RW ) >= 0, waardoor de variantie van het uitgemiddelde dichtheidscon-

trast σ2(δ;W ) =< δ(~x;RW )2 >= ξ(0;RW ) met ξ(r;RW ) de correlatiefunctie van het uit-

gemiddelde dichtheidscontrast. Met 3.8 vinden we voor de variantie van het uitgemiddelde

dichtheidscontrast

σ2(δ;W ) =1

2π2

∫P (k)W (k;RW )2k2dk. (3.12)

Aangezien het dichtheidscontrast een Gaussisch random veld is, is ook het uitgemiddelde

dichtheidscontrast een Gaussisch randomveld. Analoog als voor het niet uitgemiddelde geval

wordt de kans om in een volume geassocieerd met vensterfunctie W (RW ) een gemiddeld

dichtheidscontrast δ(~x;RW ) tussen δ en δ + dδ waar te nemen gegeven door

P (δ(~x;RW ))dδ =1√

2πσ2(δ;W )exp

[−δ(~x;RW )2

2σ2(δ;W )

]dδ. (3.13)

Bekijken we de ’real-space tophat’ vensterfunctie in de fourierruimte (3.6), dan zien we dat

(’Zentner (2007)’)

limkRW1

W (k) = 1 (3.14)

limkRW1

W (k) = 0. (3.15)

Het gebruik van vensterfuncties filtert de kortgolvige fluctuaties weg en behoud de langgolvige.

Het stelt ons ook in staat om een verdeling op te stellen van het dichtheidscontrast in een

bepaald volume. Aangezien met verschillende vensterfuncties verschillende volumes geasso-

cieerd worden, zal de keuze van de vensterfunctie een invloed hebben op het resultaat (’Lacey


& Cole (1993)’).

Wat we in in het vervolg van dit hoofdstuk zullen doen is een waarde voor de variantie

omzetten in een massa. Dit doen we door op te sporen voor welke waarde van RW de vari-

antie die waarde aanneemt. Deze RW wordt dan omgezet in een massa door het volume te

vermenigvuldigen met de massadichtheid van de materie in het universum. In Figuur 3.1

wordt het verband tussen de standaardafwijking en de massa getoond voor een ’fourier-space

tophat’ vensterfunctie.

Figuur 3.1: Het verband tussen M en σ(M), berekend met 3.12, voor een ’fourier-space tophat’

vensterfunctie.

3.3 De Press-Schechter theorie

In 1974 stelden Press en Schechter(’Press & Schechter (1974)’) een theorie voor om de mas-

saverdeling van gebonden objecten in het universum te bepalen op basis van de verdeling van

δ(~x;RW ). Zoals gezegd kunnen we met de gekozen vensterfunctie in de configuratieruimte een

volume VW associeren. In wat volgt zullen we telkens werken met de ’fourier-space tophat’

vensterfunctie. Het dichtheidscontrast van een object(een volume) in het universum met vol-

ume VW volgt dan de verdeling 3.13. Press en Schechter maakten de veronderstelling dat een

object als geviraliseerd beschouwd mag worden, indien zijn dichtheidscontrast een drempel-


waarde δc overschrijdt. Een object met δ(RW ) = δc is net geviraliseerd.

De variantie σ2(δ;R) daalt voor stijgende R, aangezien voor stijgende R δ(R) steeds gladder

wordt. Dit zien we ook in Figuur 3.1. Dit impliceert dat, indien een object op schaal R1 een

uitgemiddeld dichtheidscontrast δ(R1) > δc heeft, dat er een schaal R2 > R1 bestaat waarop

δ(R2) = δc. Een object met schaal R1 dat geviraliseerd is, maakt deel uit van een groter

object met schaal R2 > R1 dat net geviraliseerd is. Door 3.13 te integreren van δc tot +∞,

bekomen we de fractie van alle volumes VR die behoren tot geviraliseerde objecten of zelf net

geviraliseerd zijn:

F (R) =

∫ ∞δc

P (δ;R)dδ, (3.16)

=

∫ ∞δc

1√2πσ2(R)

exp[−δ2/2σ2(R)]dδ,

=1

2

2√π

∫ ∞xc

dx exp[−x2], (3.17)

met xc = δc/√

2σ2(R) en x = δ/√

2σ2(R). Nu is 2√π

∫∞x dt exp(−t2) de complementaire

errorfunctie van x. We vinden dus dat

F (R) =1

2erfc(xc). (3.18)

Met R kunnen we een volume VR associeren (het volume van de vensterfunctie). Dit volume

kunnen we met een massa MR associeren door het te vermenigvuldigen met de gemiddelde

massadichtheid van materie in het universum ρM . Op deze manier kunnen we 3.18 inter-

preteren als de fractie van de totale massa die zich in geviraliseerde objecten op schaal R

bevindt.

Voor dalende R wordt δ(R) robuster en stijgt σ2(R). Voor R→ 0 wordt σ2(R) δc, zodat we

met 3.18 vinden dat F (0) = 12 . Aangezien voor R→ 0 de volumes zo klein worden verwachten

we dat alle massa zich in geviraliseerde objecten zou bevinden. Dit volgt echter niet uit 3.18,

deze voorspelt dat maar de helft van de totale massa zich in geviraliseerde objecten bevindt

op schaal 0.

Een mogelijke oorzaak van deze onregelmatigheid is dat Press en Schechter in 3.16 geen reken-

ing houden met objecten die op schaal R een dichtheidscontrast hebben δ(R) < δc, maar op

grotere schaal R′ > R een dichtheidscontrast δ(R′) hebben dat groter is dan δc. Dit effect

noemen we het ’cloud-in-cloud’-effect. Het is perfect mogelijk om een kleine regio te hebben

die heel weinig massa bevat, maar omgeven is door een veel grotere regio die heel veel massa

bevat. De kleine regio is duidelijk een deel van een geviraliseerd object, al zal er een schaal


bestaan waarop dit niet zo lijkt. Dat rekening houden met dit effect exact een factor 2 oplev-

ert is hiermee niet aangetoond. De excursie set theorie houdt wel rekening met dit effect, en

het zal blijken dat dit wel degelijk voor een extra factor 2 zorgt in 3.18.

Het is finaal de bedoeling om een beschrijving te geven van de evolutie van de massaverdeling

van het universum. Eens een regio in de buurt komt van δc treden er niet-lineaire effecten op.

We zullen veronderstellen dat deze niet-lineaire effecten op kleine schaal geen invloed hebben

op instortingen later in de tijd op veel grotere schaal. Dit is geldig als de niet-lineaire effecten

op kleine schaal veel kleiner zijn dan de fluctuaties op grote schaal (’Zentner (2007)’). Om de

evolutie van de massaverdeling te beschrijven moeten we de fluctuaties ontwikkelen in de tijd.

Dit hebben we analytisch beschreven in Hoofdstuk 2. De invloed hiervan op de theorie is de

verandering van het powerspectrum. In de excursie set theorie wordt dit omgedraaid. Het

powerspectrum wordt constant beschouwd en we laten de kritische dichtheid de inverse evo-

lutie maken van de groei van de fluctuaties (’Zentner (2007)’). We bepalen de massaverdeling

in de geschiedenis van het universum door het huidig powerspectrum constant te houden en

de kritische dichtheid te laten stijgen invers aan de groeifactor.

Press en Schechter baseerden zich op het instorten van een sferische overdichtheid om een

keuze te maken voor δc, ’Zentner (2007)’ geeft voor de kritische dichtheid een waarde van

δc = 1.69. Ze kozen deze ook onafhankelijk van R. Er zijn tal van complexere modellen

(’Zentner (2007)’) voor handen om een meer realistische δc te bepalen. Toch zullen we in

wat volgt ook de benadering van Press en Schechter volgen, aangezien de opbrengst van een

complexere δc minimaal is.

3.4 De excursie set theorie (’Zentner (2007)’ en ’Lacey & Cole

(1993)’)

Objecten die op schaal R een dichtheid hebben die lager is dan de drempelwaarde, maar op

grotere schaal wel deel uitmaken van een geviraliseerd object moeten meegeteld worden in

3.16. De excursie set theorie biedt een oplossing voor dit ’cloud-in-cloud’ probleem. Voor

stijgende R daalt de variantie σ2(R). De excursie set theorie bepaalt voor een gegeven punt ~x

de kans dat R′ de grootste schaal is waarop ~x zich in een geviraliseerd object bevindt door te

vertrekken van een zeer hoge schaal waarop δ(~x,R) δc en op te schuiven naar de kleinere

schalen. Op zeer grote schaal gaat σ2(R) naar 0 en hebben we geen geviraliseerde objecten

meer (gemiddeld is het dichtheidscontrast 0). In wat volgt zullen we de variantie schrijven

als S ≡ σ2(R). Aangezien de variantie daalt als R stijgt, is S een dalende functie van R.

We bekijken het punt ~x op schaal R en op zeer grote schaal R′. 3.16 geeft de kans dat


~x zich op schaal R of R′ in een geviraliseerd object bevindt. Vertrekken we op schaal R′

en verlagen we deze stapsgewijs tot R door telkens een δ(~x;R′′) te trekken uit de verdel-

ing 3.16, dan voert het pad van het dichtheidscontrast een Browniaanse beweging uit. De

kans dat dit pad op schaal R voor het eerst δc bereikt wordt dan gegeven door de fractie van

alle paden waarvoor dit geldig is, waaruit de paden die δc eerder overschrijden verwijderd zijn.

Hier wordt het gebruik van de ’fourier-space tophat’ vensterfunctie handig. De verandering

van S door een daling van R komt overeen met het toevoegen van een aantal k-waarden in

3.12, waardoor de nieuwe waarde van S niet gecorreleerd is met de vorige stappen. Met elke

stapsgewijze verlaging van de schaal R komt een stijging van S met ∆S overeen. Aangezien

∆S onafhankelijk is van de S-waarde van waar het vertrekt en ∆S de overgang geeft van

een Gaussiche verdeling naar een nieuwe Gaussische verdeling, kunnen we de transitie van S1

naar S2 met ∆S = S2 − S1 ook schrijven in functie van ∆S als

Ψ(∆δ; ∆S)d(∆δ) =1√

2π∆Sexp

(− (∆δ)2

2(∆S)2

)d(∆δ), (3.19)

met ∆δ = δ2 − δ1. Bekijken we S1 ten opzichte van een zeer grote schaal R1, dan weten we

dat S1 = 0 en δ1 = 0 aangezien het uitgemiddelde dichtheidscontrast volledig glad wordt.

Vullen we dit in in 3.19, dan verkrijgen we opnieuw de verdeling van Press en Schechter. Tot

nu hebben we nog geen rekening gehouden met het ’cloud-in-cloud’ probleem. We moeten de

Browniaanse paden die δc doorkruisen voor S2 bereikt wordt nog verwijderen uit het ensem-

ble. In Figuur 3.2 worden drie Browniaanse paden δ(S) afgebeeld.

We noemen Π(δ;S) de algemene verdeling die het ’cloud-in-cloud’ probleem in rekening

brengt. We vertrekken van een relatie die Π(δ;S) linkt voor twee verschillende waarden

van de variantie, S en S + ∆S:

Π(δ;S + ∆S) =

∫d(∆δ)Ψ(∆δ; ∆S)Π(δ −∆δ;S). (3.20)

Π(δ−∆δ;S) stelt hier de kans voor dat een halo op schaal S een dichtheid heeft van δ−∆δ.

Vermenigvuldigen we dit met de transitiewaarschijnlijkheid Ψ(∆δ; ∆S), dan krijgen we de

kans dat punt ~x op schaal S een dichtheid van (δ − ∆δ) heeft en op schaal S + ∆S een

dichtheid van δ. Dit integreren over alle mogelijke ∆δ geeft dan de kans dat ~x op schaal

S + ∆S een dichtheid δ kent. Als we in 3.20 het integrandum ontwikkelen in een taylorreeks,

dan vinden we

Π(δ;S + ∆S) =

∫d(∆δ)Ψ(∆δ; ∆S)

[Π(δ;S + ∆S) + ∆δ

∂Π(δ −∆δ;S)

∂δ

− (∆δ)2

2

∂2Π(δ −∆δ;S)

∂2δ−∆S

∂Π(δ −∆δ;S)

∂S,

(3.21)


Figuur 3.2: 3 Browniaanse paden δ(S). De horizontale stippellijn duidt de drempelwaarde δc

aan.(’Zentner (2007)’)

waarbij we gebruik maakten van de ontwikkeling van Π(δ;S + ∆S) tot op tweede orde in ∆δ

en eerste in ∆S

Π(δ;S + ∆S) = Π(δ −∆δ;S)−∆δ∂Π(δ −∆δ;S)

∂δ+

(∆δ)2

2

∂2Π(δ −∆δ;S)

∂2δ

+∆S∂Π(δ −∆δ;S)

∂S.

(3.22)

Π(δ;S + ∆S) is onafhankelijk van ∆δ, dus

∫d(∆δ)Ψ(∆δ; ∆S)Π(δ;S + ∆S) = Π(δ;S + ∆S)

∫d(∆δ)Ψ(∆δ; ∆S)︸︷︷︸

=1

,

= Π(δ;S + ∆S). (3.23)

Dit leidt tot

∫d(∆δ)Ψ(∆δ; ∆S)

[∆δ

∂Π(δ −∆δ;S)

∂δ− (∆δ)2

2

∂2Π(δ −∆δ;S)

∂2δ−∆S

∂Π(δ −∆δ;S)

∂S

]= 0,


of

∆δ∂Π(δ −∆δ;S)

∂δ− (∆δ)2

2

∂2Π(δ −∆δ;S)

∂2δ−∆S

∂Π(δ −∆δ;S)

∂S= 0. (3.24)

Vermenigvuldigen met Ψ(∆δ; ∆S) en integreren over ∆δ geeft in lim∆S→0

Π

∂S=< (∆δ)2 >

2∆S

∂2Π

∂δ2− < ∆δ >

∆S

∂Π

∂δ. (3.25)

We weten dat < ∆δ >= 0 en < (∆δ)2 >= ∆S. We krijgen uiteindelijk

∂Π

∂S=

1

2

∂2Π

∂δ2. (3.26)

De Gaussische verdeling van het uitgemiddelde dichtheidscontrast moet hieraan voldoen. Bij

het oplossen van 3.26 moeten we rekening houden met enkele randvoorwaarden. Wanneer we

uit de verzameling Browniaanse bewegingen bij oplopende waarden voor S telkens alle paden

die de drempelwaarde δc bereikt hebben verwijderen, zullen we de kans dat een punt ~x op

schaal S geviraliseerd wordt kunnen schrijven als

F (S) = 1−∫ δc

−∞Π(δ;S)dδ. (3.27)

Om elk pad dat de drempelwaarde δc bereikt te verwijderen, stellen we als randvoorwaarde

Π(δc;S) = 0. De tweede randvoorwaarde is dat voor een arbitraire startpositie Π(δ0;S0) =

δD(δ0) met S0 zeer klein. Gaan we over op variabele γ = δc − δ, dan wordt de eerste

randvoorwaarde Π(0;S) = 0. Gaan we over op de fourierrepresentatie van Π(γ;S)

Π(ω;S) =1

2π

∫dγΠ(γ;S)eiωγ , (3.28)

Π(γ;S) =

∫dωΠ(ω;S)e−iωγ , (3.29)

en vullen we dit in in 3.26, dan krijgen we∫dω

∂Π(ω;S)

∂Se−iωγ =

∫dωΠ(ω;S)

∂2

∂γ2e−iωγ , (3.30)

of

∂Π

∂S= −ω

2

2Π, (3.31)

met als oplossing

Π(ω;S) = c(ω) exp

(−ω2

2S

). (3.32)

Vullen we dit in in 3.29 vinden we


Π(γ;S) =1

2π

∫ +∞

−∞dωc(ω)e−iωγe

−ω2

2S . (3.33)

Uit de tweede randvoorwaarde volgt dat c(ω) van de vorm eiωγ0e−ω2

2S0 moet zijn. Invullen

van γ = 0 levert de integraal van het product van c(ω) met een even functie. Aangezien de

eerste randvoorwaarde Π(0;S) = 0 geeft moet c(ω) een oneven functie zijn. We zien dus dat

c(ω) = i sin(ωγ0)ω2

2S0 . (3.34)

De volledige integraal wordt

Π(γ;S) =1

π

∫ +∞

0sin(ωγ0) sin(ωγ) exp

(−S − S0

2ω2

)dω. (3.35)

Toepassen van de regels van simpson en substitutie levert dan

Π(γ;S) =1

π√

2∆S

∫ ∞0

dt

[cos

(√2t2

∆S∆δ

)− cos

(√2t2

∆S(2δc − 2δ0 −∆δ)

)]e−t

2, (3.36)

met ∆S = S − S0 en ∆δ = δ − δ0. Maken we gebruik van de gelijkheid cos(x) = eix+e−ix

2 en

splitsen we de integraal, dan vinden we voor de eerste term

I1 =

∫ ∞0

dt

[exp

(t∆δ

√2

∆Si

)+ exp

(−t∆δ

√2

∆Si

)]exp(−t2),

=

∫ ∞0

dt

[exp

(−t2 + t∆δ

√2

∆Si

)+ exp

(−t2 − t∆δ

√2

∆Si

)],

=

∫ ∞0

dt

exp

−(t+

√2∆δ2

∆S

i

2

)2

− (∆δ)2

2∆S

+ exp

−(t−∆δ

√2∆δ2

∆S

i

2

)2

− (∆δ)2

2∆S

.Hierin kunnen we de term exp

(− (∆δ)2

2∆S

)voorop brengen, waardoor beide integralen van de

vorm∫∞

0 dt exp−t2 =√π/2 worden. We vinden uiteindelijk voor de eerste term in 3.36

I1 =1√

2π∆Sexp

(−(∆δ)2

2∆S

). (3.37)

Volledig analoog vinden we voor de tweede term van 3.36 de uitdrukking

I2 =1√

2π∆Sexp

(− [2(δc − δ0)−∆δ]2

2∆S

). (3.38)

3.37 en 3.38 kunnen we nu bundelen tot Π(δ;S), we vinden

Π(δ;S) =1√

2π∆S

[exp

(−(∆δ)2

2∆S

)− exp

(− [2(δc − δ0)−∆δ]2

2∆S

)]. (3.39)


Vergelijken we dit met de verdeling volgens Press en Schechter, dan zien we dat er een extra

exponentiele term bijkomt. Deze term is verantwoordelijk voor het schrappen van de paden

die op een grotere schaal de drempelwaarde reeds bereikten. De verdeling is afhankelijk van

de begincondities δ0 en S0, kiezen we de schaal zeer groot, dan kunnen we beiden 0 veronder-

stellen.

De kans dat een punt ~x op schaal S in een net geviraliseerd object zit wordt gegeven door

F (S) = 1−∫ δc

−∞Π(δ, S)dδ, (3.40)

= 1−∫ δc

−∞

dδ√2π∆S

[exp

(−(∆δ)2

2∆S

)︸︷︷︸

(1)

− exp

(− [2(δc − δ0)−∆δ]2

2∆S

)︸︷︷︸

(2)

]. (3.41)

Nu geldt voor (1) als we overgaan op integratieveranderlijke t = ∆δ√2∆S

= δ−δ0√2∆S

dat

(1) =

∫ δc

−∞

dδ√2π∆S

exp

(−(∆δ)2

2∆S

), (3.42)

(1) =

√2∆S√

2π∆S

[∫ ∞−∞

dt exp(−t2)︸︷︷︸√π

−∫ ∞tc

dt exp(−t2)︸︷︷︸√π

2erfc(tc)

], (3.43)

met tc = δc−δ0√2∆S

. We vinden

(1) = 1− 1

2erfc

(δc − δ0√

2∆S

). (3.44)

Voor (2) stellen we t = 2(δc−δ0)−∆δ√2∆S

. Voor de ondergrens hebben we tc = δc−δ0√2∆S

. We vinden

dat

(2) = −√

2∆S√2π∆S

∫ ∞tc

dt exp(−t2). (3.45)

Dit is opnieuw een errorfunctie en we vinden

(2) = −1

2erfc

(δc − δ0√

2∆S

). (3.46)

3.41 herleidt zich uiteindelijk tot

F (S) = 1− (1)− (2) = erfc

(δc − δ0√

2∆S

). (3.47)

Kiezen we het startpunt op zeer grote schaal S, dan kunnen we zoals eerder stellen dat S0 en

δ0 beiden 0 zijn. Invullen in bovenstaande vergelijking geeft dan de Press-Schechter formule


terug, vermenigvuldigd met een factor 2. Oplossen van het ’cloud-in-cloud’ probleem geeft

dus de gezochte factor 2. De differentiele waarschijnlijkheid volgt uit

f(S; δ0, S0)dS ≡ dF

dSdS = −

(∫ δc

−∞

∂Π

∂Sdδ

)dS (3.48)

Gebruiken we 3.26 en stellen we f(S; δ0, S0)dS voor als fdS, dan vinden we

fdS = −1

2

[∂Π

∂δ

]δc−∞

dS

=1√

8π∆S

[exp

(−(∆δ)2

2∆S

)∆δ

∆S+ exp

(− [2(δc − δ0)−∆δ]2

2∆S

)2(δc − δ0)−∆δ

∆S

]δc−∞

=1√

2π∆Sexp

[−(δc − δ0)2

2∆S

]δc − δ0

∆S

=(δc − δ0)√

2π∆S32

exp

[−(δc − δ0)2

2∆S

]. (3.49)

f(S|δ0, S0)dS geeft ons de kans dat het uitgemiddelde dichtheidscontrast op schaal S voor

het eerst δc bereikt, met ∆S = S − S0. Met andere woorden, willen we weten of het grootste

object rond een punt ~x schaal S heeft, dan vinden we de kans hiervoor door in 3.49 de schaal

S in te vullen. Wat we liever willen weten is hoe groot de massa is van het grootste object

rond ~x, en niet de schaal. Hiervoor moeten we 3.49 schrijven in functie van de massa, we

vinden

f(M) =dF

dS

∣∣∣∣ dS

dM

∣∣∣∣ ,=

(δc − δ0)√

2π∆S32

exp

[−(δc − δ0)2

2∆S

] ∣∣∣∣ dS

dM

∣∣∣∣ . (3.51)

dSdM en de omzetting van M naar S vinden we met 3.12. We hebben nu een betrekking die

de kans geeft dat M de massa is van het grootste geviraliseerde object rond punt ~x. Tot slot

geven we nog een handige betrekking mee. 3.51 geeft de kans dat een halo met massa M

voorkomt, per eenheid van massa. Vermenigvuldigen we dit met het aantal halo’s met massa

M die de ruimte kan bevatten, dan krijgen we het aantal halo’s met massa M die we mogen

verwachten(’Zentner (2007)’):

dn

dM=

ρMM

∣∣∣∣ dF

dM

∣∣∣∣ ,=

ρMM

δc − δ0√2π∆S

32

exp

[−(δc − δ0)2

2S

] ∣∣∣∣ dS

dM

∣∣∣∣ . (3.52)


In de excursie set theorie zoals ze hierboven wordt beschreven, hebben we gebruik gemaakt

van de ’fourier-space tophat’ vensterfunctie. Aangezien voor stijgende waarden van S ∆S

niet gecorreleerd is met de voorgaande stappen maakt dit de wiskunde eenvoudiger. Dit is

echter geen eigenschap van de theorie zelf, maar een vereenvoudiging. Andere vensterfuncties

houden wel rekening met de correlatie tussen de verschillende stappen, maar omdat ze niet

leiden tot een exacte betrekking voor Π(δ;S) is het handiger te werken met de ’fourier-space

tophat’.

Ons uiteindelijke doel is een samensmeltingsgeschiedenis op stellen voor halo’s van koude

donkere materie. Tot nog toe hebben we betrekkingen opgesteld die ons in staat stellen de

kans te berekenen dat een halo een massa M heeft. Om te bepalen wat de kans is dat een

halo op tijdstip t1 een massa M1 heeft nadat hij op t2 een massa M2 had, moeten we het

aspect tijd aan de theorie toevoegen. Dit doen we in de volgende sectie.

3.5 Halo formatie (’Zentner (2007)’ en ’Lacey & Cole (1993)’)

3.49 geeft ons de kans dat een punt ~x op schaal S0 een object rond zich heeft met een

dichtheidscontrast δ0 en op schaal S een met dichtheidheidscontrast δc. Aangezien δ0 en δc

parameters zijn die we zelf kiezen, kunnen we schrijven dat

f(δ2, S2; δ1, S1) =(δ2 − δ1)

√2π(S2 − S1)

32

exp

[− (δ2 − δ1)2

2(S2 − S1)

]. (3.53)

f(δ2, S2; δ1, S1) geeft dan de kans dat op schaal S1 een object rond ~x een dichtheidscontrast

δ1 heeft en op schaal S2 een dichtheidscontrast van δ2.

Om de geschiedenis van een halo te bepalen, extrapoleren we het primordiale powerspectrum

naar dit ogenblik. Dit hebben we gedaan in Hoofdstuk 2. Om een samensmeltingsgeschiede-

nis van een halo op te stellen, hebben we een verband nodig dat de kans beschrijft dat een

halo met massa M0 op tijdstip t0 op t1 een halo met massa M1 is, met t0 > t1 en M0 > M1.

Aangezien het powerspectrum de enige tijdsafhankelijke grootheid is die we hebben, lijkt het

alsof deze ontwikkelen in de tijd de enige optie is.

We kunnen het ook anders aanpakken. In Hoofdstuk 2 hebben we de groeifactor bepaald

voor de fluctuaties binnen een specifiek universum, we hebben δ(~x, t0) = D(R1R0

)δ(~x, t1). Door

het dichtheidscontrast omgekeerd aan deze groeifactor te laten evolueren, kunnen we de fluc-

tuaties constant beschouwen en vergelijken met de varierende δc. Als de fluctuaties constant

zijn, is ook het powerspectrum constant in de tijd, en is δc de enige veranderlijke parame-

ter. De fluctuaties groeien in de tijd, waardoor de kans groter wordt een gebonden object


waar te nemen. Door deze fluctuaties constant te houden moet δc verkleinen in de tijd. We

vertrekken dus van het huidige powerspectrum en δc en laten δc omgekeerd aan de groeifac-

tor terug evolueren in de tijd. Schrijven we de groeifactor op t1 als D(t1) en het kritische

dichtheidscontrast als ω1 = δc/D(t1), dan kunnen we 3.53 herschrijven als

f(S2, ω2;S1, ω1)dS2 =1√2π

∆ω

∆S3/2exp

[−(∆ω)2

2∆S

]dS2 (3.54)

met ∆ω = ω2−ω1, t1 > t2, ω2 > ω1 en ∆S = S2−S1. 3.54 geeft de kans dat een geviraliseerde

halo op tijdstip t1 met massa M1 op tijdstip t2 een geviraliseerde halo is met massa M2. 3.54

kunnen we nu manipuleren tot een aantal interessante betrekkingen. In Figuur 3.3 zien we

het verband tussen ∆ω en de roodverschuiving, met t1 = 0 het huidige tijdstip.

Figuur 3.3: Het verband tussen ∆ω en de roodverschuiving met t1 het huidige tijdstip

3.5.1 De conditionele massafunctie

De schalen S in 3.54 omzetten naar massa met 3.12 geeft de kans dat een halo met massa M0

op t0 is gegroeid uit een halo met massa M1 op t1. We vinden

P (S2, ω2;S1, ω1)dM2 = f(S2, ω2 S1, ω1)dS2 (3.55)

=1√2π

∆ω

∆S3/2exp

[−(∆ω)2

2∆S

] ∣∣∣∣ dS2

dM2

∣∣∣∣ dM2. (3.56)


Hierin is ∆S = S2(M2)−S1(M1). Bovenstaande betrekking geeft de samensmeltingswaarschi-

jnlijkheid van een eenheid van massa. Dit zetten we om naar de samensmeltingswaarschijnli-

jkheid van een halo M door te vermenigvuldigen met het aantal keer een voorganger past in

de moederhalo, we vinden

φ(M2, ω2;M1, ω1) =M1

M2P (M2, ω2|M1, ω1), (3.57)

Deze betrekking geeft het aantal voorgangers dat we mogen verwachten over een tijdstap. We

zien op Figuur 3.4 dat φ niet symmetrisch is rond M0/2. Spiegelen we de linkerhelft [0,M0/2]

van φ naar het rechterdeel en noemen we dit φs, dan kunnen we φ opsplitsen in φ = φs + φa.

We zien op de figuur dat φa zowel positieve als negatieve waarden aanneemt. Betrekking 3.57

noemen we de conditionele massafunctie.

Figuur 3.4: De conditionele massafunctie voor een halo met massa 1013Mzon(’Zhang et al. (2008)’).


3.5.2 Het accretietempo

f(S2, ω2;S1, ω1)dS2 werkt terug in de tijd. We kunnen deze betrekking ook manipuleren om

vooruit in de tijd te werken. f(S1, ω1;S2, ω2)dS1 werkt vooruit in de tijd, en geeft de kans

dat een halo M1 op tijdstip t1 uitgroeit tot een halo met massa M2 op tijdstip t2, met t1 < t2

en M2 > M1. De relatie tussen beide conditionele kansen wordt gegeven door de regel van

Bayes en luidt

f(S1, ω1;S2, ω2)dS1 =f(S2, ω2;S1, ω1)f(S1, ω1)

f(S2, ω2)dS1. (3.58)

Met deze betrekking kunnen we nu het accretietempo van een halo bepalen. Invullen van

3.54 in 3.58 levert

f(S1, ω1;S2, ω2)dS1 =1√2π

∆ωω1S23/2

∆S3/2S13/2ω2

exp

[−(∆ω)2

2∆S− ω1

2

2S1+ω2

2

2S2

]dS1,

=1√2π

∆ωω1S23/2

∆S3/2S13/2ω2

exp

[2ω2ω1S1S2 − ω1

2S22 − ω2

2S12

2(S2 − S1)S1S2

]dS1,

=1√2π

(ω2 − ω1)ω1S23/2

(S2 − S1)3/2S13/2ω2

exp

[− (ω2S1 − ω1S2)2

2(S2 − S1)S1S2

]dS1.

We zijn op zoek naar de verandering van deze fracties per dω. Afleiden naar ω geeft ons een

betrekking die de kans geeft om een transitie van S1 naar S2 te ondergaan bij een transitie

van ω1 naar ω2. Invullen van ω2 = ω1 geeft dan de kans op een directe transitie en wordt

gegeven door

d2R

dωdS1=

1√2π

[S2

S1(S2 − S1)

]3/2

exp

[−ω

2(S2 − S1)

2S2S1

]. (3.60)

Voor een transitie over een eindig tijdsinterval kunnen meerdere halo’s samensmelten tot de

finale halo. Bij een directe transitie gaat een halo over naar de finale halo en hebben we dus

een betrekking voor het accretietempo. Schrijven we de verandering in functie van de tijd en

de verandering van massa ∆M dan krijgen we

d2R

d ln ∆Mdt=

S1√2π

∆M

M1

[S2

S1(S2 − S1)

]3/2

exp

[−ω

2(S2 − S1)

2S1S2

] ∣∣∣∣dωdt∣∣∣∣ ∣∣∣∣ d lnS1

d lnM1

∣∣∣∣ . (3.61)

Deze betrekking vermenigvuldigen met ∆M en integreren over d ln ∆M geeft dan het tempo

van de totale accretie van massa.


3.5.3 Formatietijden van halo’s

Er zijn verschillende definities voor de formatietijd van een halo voor handen. Hier opteren

we voor het tijdstip waarop een voorganger van de halo minstens de helft van de massa van

de finale halo bevat. Vanf dit tijdstip kan deze voorganger beschouwd worden als de hoofd-

voorganger, aangezien hiermee geen andere voorganger meer kan samensmelten die groter is.

3.57 geeft ons het aantal voorgangers M2 dat er op t2 in M1 op t1 zitten. Om een verdeling

voor de formatietijd van een halo te bekomen, moeten we voor elk tijdstip t2 < t1 analyseren

wat de kans is op een voorganger met massa > M1/2 op t2. We vinden

P (tF < t2) = P (ωF > ω2) =

∫ S2=S(M1/2)

S1

(M1

M2

)f(S

′2, ω2|S1, ω1)dS

′2. (3.62)

Door dit te doen voor elke t2 < t1 bekomen we een verdelingsfunctie. In Figuur 3.5 wordt de

verandering van 3.62 naar ωF afgebeeld voor 5 verschillende massa’s van de moederhalo.

Figuur 3.5: De verandering van 3.62 naar ωF voor 5 verschillende massa’s van de moederhalo

in een vlak universum met materie en een niet-nul kosmologische constante. M? =

1013h−1Mzon(’Zentner (2007)’).

Hoofdstuk 4

Samensmeltingsbomen

De opzet van deze scriptie is het bouwen van een programma dat samensmeltingsgeschiedenis-

sen genereert van een halo. De conditionele massafunctie geeft ons het aantal halo’s M1 op

t1 die een voorganger zijn van een halo M0 op t0 met t0 > t1. Met behulp van een ran-

domgenerator kunnen we zowel de samenstelling van M0 op t1 kiezen uit de verdeling, als

de samenstelling van de halo’s die M0 voorstellen op t1. Op deze manier bekomen we een

samensmeltingsboom van M0 voor meerdere tijdstappen. In Figuur 4.1 zien we een grafische

voorstelling van een samensmeltingsboom.

Figuur 4.1: Voorbeeld van een samensmeltingsboom(’Lacey & Cole (1993)’).

41

HOOFDSTUK 4. SAMENSMELTINGSBOMEN 42

In dit hoofdstuk bekijken we enerzijds de verschillende algoritmes die doorheen de jaren

zijn voorgesteld en verklaren we anderzijds hoe de algoritme die wij zullen gebruiken om

samensmeltingsbomen op te stellen precies werkt.

4.1 De tijd

Eerst en vooral moeten we kiezen hoe groot we de tijdstap wensen waarover voorgangers van

M0 gegenereerd worden. Deze tijdstap stemmen we af op de massaresolutie. De massareso-

lutie stemt overeen met de kleinst mogelijke voorganger van M0 die we willen onderscheiden

tijdens een samensmelting en noemen we Mmin. Alle voorgangers van M0 met een massa

kleiner dan Mmin beschouwen we als geaccreteerde massa gedurende de tijdstap. We geven

de voorkeur aan een niet te grote tijdstap met het oog op een zo hoog mogelijk resolutie van

de samensmeltingsboom te bekomen. Een te kleine tijdstap is ook niet wenselijk. Om dit te

verklaren beschouwen we 3.54 in de limiet ∆ω√∆S 1. We vinden

lim∆ω√∆S1

f(∆ω,∆S) =∆ω√

2π∆S3/2. (4.1)

Aangezien f(∆ω,∆S) evenredig wordt met ∆ω, neemt de kans op een transitie van S1 naar

S2 af naarmate ∆S groter wordt. Kiezen we ∆ω klein, dan zeggen Lacey en Cole dat we ons

in het binaire regime bevinden. Dit impliceert dat, aangezien de tijdstap zeer klein is, de kans

op een samensmelting tussen meer dan twee voorgangers tot M0 eveneens zeer klein is. In dit

geval kunnen we ∆S beschouwen als het verschil tussen M0 en de grootste voorganger van

M0. Kiezen we daarentegen ∆ω zeer klein, dan lopen we het risico dat de kans op een transitie

met ∆S ∆Smin verwaarloosbaar wordt. In dit laatste geval zal de samensmeltingsboom

geen samensmeltingen vertonen, maar enkel accretie van massa. ∆Smin staat hierbij voor het

verschil bij een transitie van M naar M1 +Mmin.

We moeten bijgevolg een tijdstap zoeken die ons een goede resolutie geeft en die zich niet

beperkt tot accretie van massa. We kunnen ∆ω en Mmin linken door ∆ω√∆S 1 te herschrijven

als

∆ω = fstep

√∣∣∣∣dS(M)

dM

∣∣∣∣Mmin, (4.2)

waarbij fstep 1. Voeren we in 3.54 de substitutie u = ∆ω√∆S

door, dan vinden we

f(u)du = −√

2

πexp

(−u

2

2

)du. (4.3)

We zijn op zoek naar de kans dat over een tijdstap ∆ω een transitie plaatsvindt met ∆M >

Mmin. Hiervoor moeten we 3.54 integreren van ∆Smin = Smin − S0, waarbij Smin nog steeds


overeenstemt met de schaal van M1 = M0−Mmin, tot +∞. In de variabele u komt dit overeen

met integreren van fstep tot 0, waarvoor we gebruik maakten van 4.2. We vinden

P (> ∆Mmin) =2√π

∫ fstep/√

2

0exp(−y2)dy,

= erf(fstep/√

2),

≈√

2

πfstep, (4.4)

met fstep 1. De keuze van fstep bepaalt dus de resolutie van de boom en hoe groot de kans

is om over een tijdstap een samensmelting met ∆M > Mmin te krijgen. In 4.4 maakten we

gebruik van de Taylorexpansie van de errorfunctie:

erf(z) =2√π

(z − z3

3+z5

10− ...

). (4.5)

Indien we de tijdstappen constant kiezen in tijd of roodverschuiving, zal ∆ω niet constant

zijn voor elke tijdstap. Dit komt omdat de groeifactor niet lineair is, hieruit volgt dat voor

elke tijdstap ∆ω opnieuw berekend moet worden.

4.2 De eerste algoritmes

4.2.1 De samensmeltingsboom van Lacey en Cole (’Lacey & Cole (1993)’)

De eerste algoritme om een samensmeltingsboom op te stellen werd geıntroduceerd door Lacey

en Cole in 1993. Eens de tijdstap berekend is, ∆ω, kunnen we deze gebruiken om uit 3.57 een

∆S te trekken met een randomgenerator. Deze ∆S wordt met 3.12 omgezet in een massa ∆M .

Lacey en Cole gingen uit van binaire samensmeltingen,waarbij de kans op een samensmelting

tussen drie of meer halo’s als onbestaande wordt beschouwd. Een halo met massa M0 op t is

het product van een samensmelting tussen een halo met massa ∆M en een halo met massa

M ′ = M0 − ∆M op t′. Is ∆M < Mmin, dan wordt deze genegeerd en heeft de moederhalo

M0 geen samensmelting ondergaan en komt M0 gewoon voort uit de halo M ′ = M0 −Mmin

op t′. Dit proces blijven we herhalen voor alle voorgangers tot alle massa’s kleiner zijn dan

de gekozen ondergrens, Mond, of het gewenste aantal tijdstappen is bereikt.

In Hoofdstuk 3 zagen we dat de conditionele massafunctie niet symmetrisch is rond M0/2.

Door enkel binaire samensmeltingen toe te laten, met M ′ + ∆M = M0, krijgen we voor elke

halo twee voorgangers: een met een massa groter dan M0/2 en een met een massa kleiner.

Dit brengt een perfect symmetrische conditionele massafunctie voort rond M0/2 en kan dus

geen correcte implementatie zijn van de excursie set theorie. De toepassing van de algoritme


bevestigt deze hypothese, want naarmate de tijdstappen vorderen, wijkt de conditionele mas-

safunctie meer en meer af van deze die voorspeld wordt door de excursie set theorie.

Door te eisen dat M0 = M ′+ ∆M is er geen ruimte voor accretie van massa. Gewoon stellen

dat telkens er een voorganger met M < Mmin wordt bekomen, deze de accretie van massa

voorstelt is geen sluitende benadering. Dit impliceert dat, afhankelijk van de grootte van de

kleinste voorganger, er niet in elke tijdstap massa accretie voorkomt.

4.2.2 De samensmeltingsboom van Somerville en Kolatt (’Somerville &

Kolatt (1999)’)

De algoritme van lacey en Cole heeft twee problemen. De conditionele massafunctie wordt

niet correct gereproduceerd en de acrretie van massa is niet regelmatig geımplementeerd.

Somerville en Kolatt probeerden beide problemen van de algoritme van Lacey en Cole aan te

pakken. Zo gingen ze er niet langer van uit dat de samensmeltingen binair moeten gebeuren,

wat leidde tot een symmetrische conditionele massafunctie. Dit doen ze door niet meer te

eisen dat M ′ = M0−∆M de massa is van de grootste voorganger. Dit zorgt er namelijk voor

dat er een massa M ′ aan een voorganger toe wordt gedicht, zonder dat diens waarschijnli-

jkheid wordt geraadpleegd. Dit leidde bij Lacey en Cole tot een overschatting van de grote

voorgangers.

Sommerville en Kolatt kiezen een ∆M op basis van de conditionele massafunctie. Is deze

kleiner dan Mmin, dan wordt de voorganger beschouwd als geaccreteerde massa. Is ∆M

groter dan Mmin, dan wordt de halo beschouwd als een voorganger. De resterende massa

Mres = M0 − ∆M wordt nu verder verdeeld. Er wordt opnieuw een ∆M getrokken, maar

dit keer uit de conditionele massafunctie die is afgeknipt vanaf Mres en herschaald om het

behoud van massa te garanderen. Zo verkrijgen we opnieuw een Mres die we zoals de vorige

zullen behandelen. Dit proces blijft doorgaan tot Mres < Mmin. Dit herhalen we voor elke

voorganger die op deze manier verkregen wordt, tot alle voorgangers kleiner zijn dan Mond of

het gewenste aantal tijdstappen is bereikt.

Bij deze algoritme wordt er op een regelmatige manier rekening gehouden met geaccreteerde

massa en is het binaire regime verdwenen. Toch zijn daarmee niet alle problemen van de baan,

deze algoritme leidt tot een onderschatting van de zware, massieve halo’s en een overschatting

van de kleinere. Dit is volgens ’Zhang et al. (2008)’ te wijten aan het afknippen van de condi-

tionele massafunctie en het herhalen van het proces. Kleinere halo’s krijgen hierdoor immers

meer kansen dan de massieve, relatief tot hun kans volgens de verdeling, om als voorganger

te eindigen van de moederhalo.


4.2.3 De samensmeltingsboom van Kauffmann en White (’Kauffmann &

White (1993)’)

In de algoritme van Kauffmann en White beschouwen we niet een, maar een hele groep

moederhalo’s met dezelfde massa M0. Het relevante massa interval [Mmin,M0] waarbinnen

de voorgangers liggen delen we logaritmisch op in subintervallen, die we massabins noemen.

Met de conditionele massafunctie berekenen we hoeveel voorgangers er zijn per massabin, we

vermenigvuldigen wit met het aantal moederhalo’s en we ronden we af naar de dichtstbijz-

ijnde integer. Vervolgens worden binnen de massabins het aantal voorgangers gegenereerd

met de conditionele massafunctie. Alle voorgangers worden dan toegewezen aan de moeder-

halo’s, de zwaarste voorgangers eerst. De kans om toegewezen te worden aan een welbepaalde

moederhalo is evenredig met de massa die nog vrij is in de moederhalo (i.e. de massa die nog

niet bezet is door de al toegewezen voorgangers) en de totale massa van voorgangers in een

moederhalo mag deze van de moederhalo niet overschrijden.

Dit proces geeft ons een groot aantal, gelijk met het aantal moederhalo’s, verschillende con-

figuraties voor de eerste tijdstap van de moederhalo. Deze set van configuraties reproduceert

de conditionele massafunctie, aangezien ze vanaf het begin werd opgelegd. Aangezien voor-

gangers de volgende tijdstap zelf moederhalo’s worden, moeten we dit proces herhalen voor

alle massa’s die mogelijk een moederhalo kunnen vormen. Dit bereik heeft M0 als bovengrens

en Mond als ondergrens. Dit delen we ook op in intervallen. Voor elk interval berekenen we

voor elke tijdstap een set configuraties. Een bekomen voorganger wordt de volgende tijdstap

ontwikkeld op basis van de configuratie die hoort bij het interval waarin hij ligt.

We beschikken nu over een set samensmeltingsconfiguraties van moederhalo’s met massa’s

varierend van M0 tot Mond. De samensmeltingsboom stellen we als volgt op: een van de

configuraties van M0 wordt random gekozen en er wordt gekeken welke voorgangers deze

met zich meebrengt na de tijdstap. De voorgangers met massa kleiner dan de resolutie van

de samensmelting worden niet verder ontwikkeld en toegekend aan accretie, voor de andere

wordt opnieuw een configuratie gekozen. Dit herhalen we tot alle relevante massa’s kleiner

zijn dan Mond. Aangezien we al een set configuraties berekend hebben, kunnen we deze al-

goritme met deze set veelvuldig herhalen. Op deze manier bekomen we een ensemble van

samensmeltingsbomen.

Een probleem voor deze algoritme echter is dat de conditionele massafunctie scherp piekt in

de buurt van M0. Deze regio moet dus veel massabins bevatten om de conditionele massa-

functie zo goed mogelijk te reproduceren. Door de logaritmische verdeling van de massabins


heeft deze regio de breedste massabins. Zelfs met een hoog aantal massabins, ∼ 2000, is

dit geen accurate beschrijving en bovendien hebben we dan ∼ 50000 moederhalo’s nodig om

geen systematische fout te maken bij het afronden naar integers. Dit zorgt voor een hoge

computationele last. In meer recente algoritmes werd dit probleem opgelost zoals we verder

zullen zien. De algoritme van Kauffmann en White vormt alvast de basis voor de algoritme

die wij zullen toepassen.

4.3 Algoritme B (’Zhang et al. (2008)’)

In wat volgt, werken we algoritme B uit zoals voorgesteld in ’Zhang et al. (2008)’. We voeren

twee nieuwe parameters in, µ en α, die een belangrijke rol zullen spelen om de assymetrie van

de conditionele massafunctie in kaart te brengen.

4.3.1 De parameters α en µ

We definieren α als∫M0

αM0φ(M |M0)dM = 1. Eens α op deze manier bepaald is, weten we

dat elke moederhalo statistisch gezien een voorganger heeft in het interval [αM0,M0]. α is

een functie van M0. In Tabel 4.1 zien we enkele waarden α voor verschillende massa’s M0.

Vanaf nu zullen we de term primaire voorganger gebruiken voor een voorganger met massa

Mp > αM0, een voorganger met massa Ms < αM0 noemen we een secundaire voorganger. In

Figuur 4.2 wordt α afgebeeld voor een moederhalo met massa 1013Mzon.

We zagen in Hoofdstuk 3 dat de conditionele massafunctie φ(M |M0) assymetrisch is ten

opzichte van M0/2. Spiegelen we de linkerhelft van φ(M0/2|M0) naar de rechterhelft, hetgeen

we de symmetrische conditionele massafunctie φs noemen, dan zien we voor massa’s iets groter

dan M0/2 dat φ groter is dan φs. Voor massa’s dicht bij M0 zien we dat φs > φ (zie Figuur

3.4). µ definieren we als φs(µM0|M0) = φ(µM0|M0), waarbij µM0 de massa is waarvoor de

symmetrische en werkelijke conditionele massafunctie gelijk zijn. Uit de definitie van φs vin-

den we ook φ(µM0|M0) = φ(M0−µM0|M0). µ is duidelijk een functie van M0, (zie Tabel 4.1).


Tabel 4.1: Enkele waarden voor α en µ voor verschillende massa’s van de moederhalo.

Massa (Mzon) α µ

109 0.434 0.983

1010 0.435 0.982

1011 0.437 0.981

1012 0.439 0.979

1013 0.441 0.977

1014 0.444 0.973

4.3.2 Massabins

We willen het massabereik van de voorgangers van de moederhalo M0 opdelen in massabins.

In de algoritme van Kauffmann en White zagen we dat, indien we deze logaritmisch opdelen,

we een heel groot aantal massabins nodig hebben om de belangrijke regio rond M0 nauwkeurig

te beschrijven. Om dit op te lossen, zullen we het interval [0,M0/2] opdelen in logaritmis-

che intervallen en deze spiegelen naar het gebied [M0/2,M0]. Stel dat het eerste interval

dan gegeven wordt door [0,M ′1], dan vinden we het laatste interval (het dichtst bij M0) als

[M0−M ′1,M0]. Op deze manier kunnen we met een handelbaar aantal massabins de volledige

conditionele massafunctie nauwkeurig beschrijven.

Stel dat we N massabins willen in het interval [M0/2,M0]. We kunnen elk interval schrijven

als [Mi+1,Mi], met i = 0, 1, ..., 2N en Mi = M0. Het aantal voorgangers binnen een bepaalde

massabin wordt dan gegeven door

Ni =

∫ M i+1

M i

φ(M |M0)dM. (4.6)

Met elke massabin associeren we een centrale massa met Mi =√MiMi+1. In de algoritme

zal een randomgetal bepalen welke massabins een voorganger produceren. Het is de centrale

massa van deze massabin die als massa van de voorganger wordt genomen. Het is dus be-

langrijk om voldoende massabins te hebben, zodat de fout die hierdoor wordt gecreeerd klein

blijft.

4.3.3 De tijdstap

De conditionele massafunctie is enkel afhankelijk van de tijd via ∆ω. We zagen reeds dat con-

stante tijdsintervallen niet betekenen dat we constante ω intervallen krijgen, met als gevolg

dat voor elke tijdstap ∆ω een andere waarde aanneemt. Hierdoor moeten we voor een halo

Mx die voorkomt op verschillende tijdstappen steeds opnieuw de conditionele massafunctie


berekenen en voor elke massabin 4.6 opnieuw evalueren. Dit is computationeel het meest

tijdrovende aspect van de algoritme.

Om de algoritme sneller te laten lopen, zullen we met constante intervallen ∆ω werken. Stel

dat we de algoritme willen starten op roodverschuiving z0 en op z1 een eerste evaluatie van de

voorgangers wensen. We berekenen dan welke ∆ω overeenkomt met het tijdsinterval z1 − z0

en nemen dan deze ∆ω voor elke volgende tijdstap. Hierdoor moeten we met behulp van

de groeifactor berekenen welke roodverschuivingsintervallen hiermee overeenstemmen om een

notie van tijd te behouden.

In ’Zhang et al. (2008)’ wordt de algoritme getest voor constante tijdsintervallen en constante

ω intervallen. De resultaten toonden geen afwijking van elkaar. Het is dus veilig met con-

stante ω intervallen te werken in onze algoritme.

In het volgende hoofdstuk zullen we ons programma testen. Tijdens deze testen zullen we

de tijdstap uit ’Zhang et al. (2008)’ overnemen. Zij kozen ∆ω zodanig dat de eerste tijdstap

overeenkomt met een roodverschuivingsverandering van z = 0.02. In Tabel 4.2 zien we de

relatie tussen ∆ω, de roodverschuiving en de tijd voor een vlak universum met materie en

een niet-nul kosomologische constante.

Tabel 4.2: Het verband tussen ∆ω, de roodverschuiving en de tijd voor een vlak universum met

materie en niet-nul kosmologische constante.

∆ω Roodverschuiving Tijd (miljard jaar)

0 0 0

0.0157 0.02 0.286

0.2 0.273 3.064

0.5 0.690 6.123

1 1.340 8.940

2 2.846 11.240

5 7.251 12.835

10 14.650 13.300

4.3.4 De algoritme zelf

In deze sectie duiden we hoe de door ons gebruikte algoritme er precies uitziet. We maken

gebruik van 2.55 en Appendix A om het powerspectrum in de codetaal te implementeren.

Met behulp van 3.12 kunnen we een methode schrijven die massa en de schaal S in elkaar

omzet. De algoritme start met het interval tussen de startmassa M0 en de kleinste massa


die de gebruiker verder ontwikkeld wil zien Mond (Mondergrens) op te delen in logaritmische

intervallen. Vervolgens wordt voor de centrale massa van elk interval een set van configuraties

opgesteld die de mogelijke voorgangercombinaties bevatten en hun waarschijnlijkheid.

Deze set van configuraties wordt alsvolgt berekend, stel voor M0. Het interval [Mmin,M0]

wordt opgedeeld in massabins zoals in de vorige sectie wordt beschreven. We behouden echter

alleen deze die groter zijn dan M0/2. Vervolgens berekenen we voor elke van de overgebleven

massabins wat de kans is dat hieruit een voorganger komt met 4.6. Deze tellen we op, zodat

we de kans kennen dat een voorganger komt uit het masasinterval [M0/2,M0]. Deze kans ligt

doorgaans rond 0.997. Door de kans te berekenen voor het interval [qM0,M0/2] met q dalend

en startend van 0.499 vinden we α. Het interval [αM0,M0/2] voegen we toe aan de lijst van

massabins.

We gaan nu de massabins in de lijst koppelen aan nog te bepalen massabins in het interval

[Mmin, αM0]. Hierbij gaan we uit van binaire samensmeltingen, daar waar de conditionele

massafunctie het toelaat. Het laagste interval in de lijst is [αM0,M0/2], waarvan we de

waarschijnlijkheid kennen. We zoeken nu de massa M ′ waarvoor geldt∫ αM0

M ′φ(M |M0)dM =

∫ M0/2

αM0

φ(M |M0)dM. (4.7)

We hebben twee massabins met een gelijke waarschijnlijkheid, deze kunnen we dus koppe-

len als binaire samensmeltingen met het oog op het reproduceren van φ(M |M0). Dit duo

vormt het eerste element van de configuratieset van M0. Dit proces herhalen we voor de

volgende massabins tot de bovengrens van een massabin groter is dan µM0. Vanaf dan wordt

het moeilijk om in het binaire regime te blijven. De conditionele massafunctie is in de regio

[Mmin,M0 − µM0] groter dan in het interval [µM0,M0]. Door binaire samensmeltingen te

blijven vormen zullen de massa’s van de grote bins sneller naar rechts opschuiven dan die van

de kleine bins naar links. Hierdoor zal de som van beide massa’s M0 op termijn overschrijden.

In de regio [αM0, µM0], op Figuur 4.2 het licht grijze gebied, is dat geen probleem, aangezien

de grote bins trager naar rechts opschuiven dan de kleine naar links. Dit impliceert dan dat

de som van de centrale massa’s van beide massabins kleiner blijft dan M0.

In de regio [µM0,M0], op Figuur 4.2 de donker grijze regio, gaan we als volgt te werk: stel dat

de grenzen van een massabin in deze regio gegeven worden door M1 en M2. We berekenen de

waarschijnlijkheid van het interval [M0 −M2,M0 −M1]. We koppelen deze aan de massabin

[M1,M2] en delen de waarschijnlijkheid van de kleinste van de twee massabins door die van

de grootste, stel r. Noemen we int(r) de operator die het grootste natuurlijke getal kleiner

dan r geeft, dan worden aan [M1,M2] int(r) halo’s uit [M0 −M2,M0 −M1] gekoppeld. Om

de conditionele massafunctie volledig te reproduceren, houden we ook nog rekening met de


Figuur 4.2: De conditionele massafunctie van een moederhalo met massa 1013Mzon. De regio’s die op

een verschillende manier voorgangers produceren zijn aangeduid.(’Zhang et al. (2008)’).

1 − (r − int(r)) kans dat er nog een extra halo uit de kleinste bin wordt gekoppeld aan de

grootste.

In werkelijkheid begint de µ-fase pas iets voorbij µ. De algoritme begint bij αM0 en de som

van de massa’s van de massabins is kleiner dan M0. Direct rechts van αM0 is de conditionele

massafunctie kleiner dan direct links ervan. Hierdoor gaat de som van gecombineerde mass-

abins richting M0. Daarna, zoals te zien is op Figuur 4.2, wordt de conditionele massafunctie

aan de rechterkant groter, waardoor de som van de massa’s weer afneemt. Door de assymetrie

in φ bereiken de kleine massabins eerder M0 − µM0 dan de grote µM0. Zolang de som van

de gecombineerde massabins kleiner is dan M0 moeten we niks veranderen aan de algoritme.

Eens M0 wel bereikt wordt, zal de som van de massa’s van beide massabins blijven stijgen in

de binaire fase, aangezien de conditionele massafunctie voor kleine massa’s groter is dan voor

de grote aan de uiteinden van φ. Daarom gaan we over op de µ-fase. Hierin wordt M0 een

klein beetje overschreden, indien er meer dan een secundaire voorganger geproduceerd wordt.

Aangezien de massa’s van de secundaire voorgangers ondertussen dicht bij Mmin aanleunen

is het overschot aan massa minimaal. Dit is geen probleem, omdat binnen de excursie set

theorie het behoud van massa een statistische vereiste is en niet voldaan moet zijn voor elke

individuele samensmelting. Het punt waarop we overgaan naar de µ-fase stellen we voor als


µ′ en is afgebeeld op Figuur 4.2.

Eens de massabins boven M0 −Mmin, op Figuur 4.2 het zwarte gebied, terecht komen wordt

hieraan de massabin [0,Mmin] gekoppeld en wordt alleen rekening gehouden met de waarschi-

jnlijkheid van de grootste massabin. Deze samensmeltingen worden beschouwd als die tussen

een voorganger en accretie van massa.

Als alle massabins doorlopen zijn, hebben we een set van configuraties die de conditionele

massafunctie reproduceert. We bepalen op die manier een set voor elk interval in [Mond,M0]

dat we eerder hebben opgesteld. Met al deze data kunnen we nu een samensmeltingsboom

opstellen voor M0. Voor de eerste stap vragen we de set van configuraties op van het interval

waar M0 in ligt (het hoogste) en kiezen we met een randomgetal een configuratie. We hebben

dan een samensmelting gevonden tussen halo’s met een massa M ′(algemeen) die gegeven

wordt door de centrale massa van de betrokken massabins. Voor de volgende stap zoeken

we eerst in welke interval in [Mond,M0] M ′ ligt en berekenen we de verhouding γ tussen

M ′ en de centrale massa M ′′ van het interval waarin M ′ ligt. We vragen de configuraties

van M ′′ op en kiezen er een. De voorgangers die hieruit voortkomen vermenigvuldigen we

met γ zodat het voorgangers van M ′ worden. Dit proces blijven we dan herhalen voor alle

voorgangers die uit een samensmelting komen tot het gewenste aantal tijdstappen bereikt is

of tot alle voorgangers kleiner zijn dan Mond. Het resultaat is een samensmeltingsboom voor

M0. Aangezien we al over de configuraties beschikken, kunnen we met deze algoritme een

groot aantal bomen opstellen zonder telkens opnieuw de conditionele massafunctie te moeten

analyseren.

Hoofdstuk 5

Kwaliteitscontrole

5.1 De conditionele massafunctie

In Hoofdstuk 3 bouwden we de conditionele massafunctie op (3.57). We vertelden reeds dat

deze niet symmetrisch is rond M0/2. In Figuur 5.1 hebben we beide numeriek berekend en

afgebeeld voor het interval [M0/2,M0] voor een moederhalo met massa 1012Mzon. In de regio

na M0/2 is de symmetrische conditionele massafunctie duidelijk kleiner dan de gewone. Dicht

bij M0 zien we dat het omgekeerde het geval is.

Figuur 5.1: De symmetrische en de gewone conditionele massafunctie voor een moederhalo met massa

M = 1012Mzon in het interval [M0/2,M0].

52

HOOFDSTUK 5. KWALITEITSCONTROLE 53

Op Figuur 5.2 zien we dit duidelijker. Op deze figuur worden beide functies afgebeeld voor

het interval [0.95M0,M0]. Het resultaat stemt overeen met ’Zhang et al. (2008)’ en wat we

zien op Figuur 3.4. Het punt waar beide functies kruisen ligt rond 0.977. Ook dit komt

overeen met de gegevens uit ’Zhang et al. (2008)’.

Figuur 5.2: De symmetrische en de gewone conditionele massafunctie voor een moederhalo met massa

M = 1012Mzon in het interval [0.95M0,M0].

We zien dat de trend van onze conditionele massafunctie die van Figuur 4.2 volgt. Aangezien

in ’Zhang et al. (2008)’ geen exacte waarden voor de conditionele massafunctie worden gegeven

is het niet mogelijk om deze exact met onze functie te vergelijken. Vergroten we het gebied

dicht bij M0, dan zien we op Figuur 5.3 dat onze conditionele massafunctie in deze regio ook

de trend van Figuur 4.2 volgt.

Een goeie algoritme wordt in de eerste plaats gedefinieerd door een algoritme die de condi-

tionele massafunctie goed reproduceert. Om dit te testen hebben we 20000 samensmeltingen

gesimuleerd van een moederhalo met massa 1012Mzon over een tijdstap. Op Figuur 5.4 zien

we het resultaat. De conditionele massafunctie wordt goed gereproduceerd.


Figuur 5.3: De conditionele massafunctie voor een moederhalo met massa M = 1012Mzon in het

interval [0.999M0,M0].

Figuur 5.4: De conditionele massafunctie en een Monte Carlo simulatie van 20000 samensmeltingen

voor een moederhalo met massa 1012Mzon.


5.2 Formatietijden van halo’s

In Hoofdstuk 3 stelden we een betrekking op om formatietijden van halo’s te berekenen.

In Figuur 5.5 beelden we de afgeleide van 3.62 naar ωF af voor verschillende massa’s van

de moederhalo. Om deze te vergelijken met Figuur 3.5 uit ’Zentner (2007)’ moeten we de

kosmologische parameters aanpassen aan deze uit de paper. Vertrekken we van Ωm = 0.3,

ΩΛ = 0.7, h = 0.7 en σ8 = 0.93 om dP (ωF )ωF

af te beelden, dan is Figuur 5.6 het resultaat.

We zien dat dit zeer goed overeenkomt met Figuur 3.5. Uit de figuren kunnen we besluiten

dat moederhalo’s met een hogere massa later zijn gevormd dan moederhalo’s met een lagere

massa.

Figuur 5.5: Het verband tussen dP (ωF )dωF

en ωF voor verschillende moederhalo’s. Een lage ωF duidt

op een latere vorming (minder lang geleden), een hoge ωF duidt op een vroegere vorming

(langer geleden).


Figuur 5.6: Het verband tussen dP (ωF )dωF

en ωF voor verschillende moederhalo’s. De kosmologische

parameters worden gegeven door Ωm = 0.3, ΩΛ = 0.7, h = 0.7 en σ8 = 0.93.

5.3 De stamdikte

Een belangrijke toepassing van de algoritme is vergelijken hoe halo’s met verschillende massa’s

gegroeid zijn doorheen de geschiedenis. In bovenstaande sectie bekeken we reeds het verschil

in formatietijden van verschillende halo’s. Nu bekijken we hoe de stamdikte evolueert. De

stam vinden we door bij elke samensmelting het pad van de meest massieve voorganger te

volgen. De stamdikte beschouwen we relatief tot de massa van de moederhalo. Op Figuur

5.7 zien we de evolutie van de stamdikte voor twee moederhalo’s, een met massa 1015Mzon

en een met massa 1012Mzon. Wat we reeds konden besluiten uit de formatietijden wordt

hier opnieuw bevestigd. De massievere moederhalo’s zijn in de recente geschiedenis sterker

gegroeid dan de minder massieve.

Figuur 5.8 toont opnieuw de evolutie van de stamdikte van een moederhalo met massa

1015Mzon en een met massa 1012Mzon, ditmaal gesimuleerd met onze algoritme. De ten-

dens is gelijk aan die van Figuur 5.7. Met onze algoritme zakt de stam op het einde minder

snel naar 0.001M0. Het verschil tussen beide figuren kan verklaard worden door het verschil

in gebruikte algoritme en het vertrekken van verschillende kosmologische parameters.

Op Figuur 5.9 vergelijken we de stamdikte van dwerggalaxieen (109Mzon) met die van gewone


galaxieen (1014Mzon). We zien dat de dwerggalaxieen vroeger gevormd worden. Hun stamdikte

is in de recente geschiedenis trager gegroeid dan die van gewone galaxieen. De dwerggalaxieen

zijn dus ouder dan de gewone galaxieen.

Figuur 5.7: De evolutie van de stamdikte van moederhalo’s met massa 1015Mzon en 1012Mzon (’Zent-

ner (2007)).


Figuur 5.8: De evolutie van de stamdikte van moederhalo’s met massa 1015Mzon en 1012Mzon.

Figuur 5.9: De evolutie van de stamdikte van dwerggalaxieen (109Mzon) en gewone galaxieen

(1014Mzon).

Hoofdstuk 6

Besluit

Het opstellen van samensmeltingsbomen op basis van de excursie set theorie bevat een schat

aan informatie over de kosmologische geschiedenis van het universum. Denken we aan for-

matietijden en de stamdikte als twee van de vele toepassingen die de excursie set theorie te

bieden heeft. Eerst hebben we een overzicht gegeven van een aantal kosmologische concepten

om hiermee vervolgens de excursie set theorie op te bouwen.

In de eerste vier hoofdstukken hebben we ons voor het theoretisch kader en het schrijven van

het programma gebaseerd op verschillende papers. De excursie set theorie leverde immers

geen unieke manier om een algoritme op te stellen die de theorie implementeert in een com-

putercode. We gingen daarom onder andere de verschillende algoritmes na die de afgelopen

20 jaar werden voorgesteld om uiteindelijk te komen tot de algoritme die we hebben omgezet

in een programma.

De effectiviteit van het programma werd getoetst door de data uit de vernoemde papers

te proberen te reproduceren. We zijn geslaagd in onze opzet om een programma te maken

om samensmeltingsbomen van galaxieen te creeren. Zo waren we in staat de conditionele

massafunctie te reproduceren met een Monte Carlo simulatie. We kunnen dan ook besluiten

dat massieve halo’s later zijn gevormd dan lichte halo’s en dat dwerggalaxieen dus ouder zijn

dan de gewone galaxieen.

59

Bijlage A

De transferfunctie

’Eisenstein & Hu (1998)’ stelden de transferfunctie alsvolgt op.

T (k) =Ωb

Ω0Tb(k) +

Ωc

ΩbTc(k) (A.1)

en

Tc(k) = fT0(k, 1, βc) + (1− f)T0(k, αc, βc), (A.2)

Tb(k) =

[T0(k, 1, 1)

1 + (ks/5.2)2+

αb1 + (βb/ks)3

e−(k/ksilk)1.4

]j0(k), (A.3)

met j0 de sferische bessel functie. We hebben

f =1

1 + (ks/5.4)4(A.4)

T0(k, αc, βc) =ln(e+ 1.8βcq)

ln(e+ 1.8βcq) + Cq2(A.5)

C =14.2

αc+

386

1 + 69.9q1.08(A.6)

s(k) =s

[1 + (βnode/ks)3]1/3(A.7)

en

βnode = 8.41(Ω0h2)0.435 (A.8)

βb = 0.5 +Ωb

Ω0+

(3− 2

Ωb

Ω0

)√(17.2Ω0h2)2 + 1 (A.9)

αb = 2.07keqs(1 +Rd)−3/4G

(1 + zeq1 + zd

)(A.10)

met

60

BIJLAGE A. DE TRANSFERFUNCTIE 61

G(y) = y

[−6√

1 + y + (2 + 3y) ln

(√1 + y + 1√1 + y − 1

)]. (A.11)

Verder hebben we nog

αc = a−Ωb/Ω0

1 a−(Ωb/Ω0)3

2 , (A.12)

a1 = (46.9Ω0h2)0.670[1 + (32.1Ω0h

2)−0.532], (A.13)

a2 = (12.0Ω0h2)0.424[1 + (45.0Ω0h

2)−0.582], (A.14)

β−1c = 1 + b1[(Ωc/Ω0)b2 − 1], (A.15)

b1 = 0.944[1 + (458Ω0h2)−0.708]−1, (A.16)

b2 = (0.395Ω0h2)−0.0266. (A.17)

Uiteindelijk hebben we nog

zeq = 2.50× 104Ω0h2Θ−4

2.7, (A.18)

keq = 7.46× 10−2Ω0h2Θ−2

2.7Mpc−1, (A.19)

zd = 1291(Ω0h

2)−0.419

1 + 0.659(Ω0h2)0.828[1 + c1(Ωbh

2)c2 ], (A.20)

c1 = 0.313(Ω0h2)−0.419[1 + 0.607(Ω0h

2)0.674], (A.21)

c2 = 0.238(Ω0h2)0.223, (A.22)

R = 31.5Ωbh2Θ−4

2.7(z/103)−1, (A.23)

s =2

keq

√6

Reqln

(√1 +Rd +

√Rd +Req

1 +√Req

), (A.24)

ksilk = 1.6(Ωbh2)0.52(Ω0h

2)0.73[1 + (10.4Ω0h2)−0.95]Mpc−1, (A.25)

q =k

13.41keq. (A.26)

R is de verhouding van de energiedichtheid van de baryonen ten opzichte van de fotonen. zd

is de roodverschuiving op het tijdstip van last scattering. zeq is de roodverschuiving wanneer

de massadichtheden van de fotonen en de baryonen gelijk zijn. keq en kd zijn de golfge-

tallen die overeenstemmen met de grootte van het universum op deze roodverschuivingen.

Ω0 is de dimensieloze dichtheidsparameter van de materie. Θ stelt de temperatuur van de

achtergrondstraling voor als cmbt/2.7. k is de parameter van de transferfunctie.

Lijst van figuren

2.1 Vergelijking van het verband tussen de roodverschuiving en de tijd voor een

open materiegedomineerd universum en een vlak universum met materie en

een niet-nul kosmologische constante. Tijd in 109 jaar, met t = 0 vandaag. . 13

2.2 Het verband tussen de groeifactor en de tijd voor een open materiegedomi-

neerd universum en een vlak universum met materie en niet-nul kosmologische

constante. Tijd in 109 jaar, met t = 0 vandaag. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Evolutie van de dichtheidsfluctuaties in het vroege universum van fotonen,

baryonen en koude donkere materie.(’De Rijcke (2010)’) . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Het powerspectrum P(k) gebaseerd op 2.54 en de transferfunctie in Appendix

A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Het powerspectrum P(k) gefit aan waarnemingen tijdens de Sloan Digital Sky

Survey(’Tegmark & et al. (2004)’). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Het dimensieloze powerspectrum ∆(k), opgesteld met de transferfunctie in Ap-

pendix A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Het verband tussen M en σ(M), berekend met 3.12, voor een ’fourier-space

tophat’ vensterfunctie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 3 Browniaanse paden δ(S). De horizontale stippellijn duidt de drempelwaarde

δc aan.(’Zentner (2007)’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Het verband tussen ∆ω en de roodverschuiving met t1 het huidige tijdstip . 37

3.4 De conditionele massafunctie voor een halo met massa 1013Mzon(’Zhang et al.

(2008)’). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 De verandering van 3.62 naar ωF voor 5 verschillende massa’s van de moeder-

halo in een vlak universum met materie en een niet-nul kosmologische con-

stante. M? = 1013h−1Mzon(’Zentner (2007)’). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 Voorbeeld van een samensmeltingsboom(’Lacey & Cole (1993)’). . . . . . . . 41

4.2 De conditionele massafunctie van een moederhalo met massa 1013Mzon. De

regio’s die op een verschillende manier voorgangers produceren zijn aange-

duid.(’Zhang et al. (2008)’). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

62

LIJST VAN FIGUREN 63

5.1 De symmetrische en de gewone conditionele massafunctie voor een moederhalo

met massa M = 1012Mzon in het interval [M0/2,M0]. . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 De symmetrische en de gewone conditionele massafunctie voor een moederhalo

met massa M = 1012Mzon in het interval [0.95M0,M0]. . . . . . . . . . . . . 53

5.3 De conditionele massafunctie voor een moederhalo met massa M = 1012Mzon

in het interval [0.999M0,M0]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 De conditionele massafunctie en een Monte Carlo simulatie van 20000 samensmeltin-

gen voor een moederhalo met massa 1012Mzon. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.5 Het verband tussen dP (ωF )dωF

en ωF voor verschillende moederhalo’s. Een lage

ωF duidt op een latere vorming (minder lang geleden), een hoge ωF duidt op

een vroegere vorming (langer geleden). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6 Het verband tussen dP (ωF )dωF

en ωF voor verschillende moederhalo’s. De kos-

mologische parameters worden gegeven door Ωm = 0.3, ΩΛ = 0.7, h = 0.7 en

σ8 = 0.93. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.7 De evolutie van de stamdikte van moederhalo’s met massa 1015Mzon en 1012Mzon

(’Zentner (2007)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.8 De evolutie van de stamdikte van moederhalo’s met massa 1015Mzon en 1012Mzon.

58

5.9 De evolutie van de stamdikte van dwerggalaxieen (109Mzon) en gewone galax-

ieen (1014Mzon). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Lijst van tabellen

4.1 Enkele waarden voor α en µ voor verschillende massa’s van de moederhalo. . 47

4.2 Het verband tussen ∆ω, de roodverschuiving en de tijd voor een vlak universum

met materie en niet-nul kosmologische constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 48

64

Bibliografie

F. Bernardeau, S. Colombi, E.Gaztanaga & R. Scoccimarro (2002). large-scale structure of

the Universe and cosmological perturbation theory. Physics Reports, 367:1–248.

S. Bildhauer, T. Buchert & M. Kasai (1992). Solutions in Newtionan cosmology: the pancake

theory with cosmological constant. Astron. Astrophys, 263:23–29.

W. B. Bonnor (1957). Jeans’ formula for gravitational instability. MNRAS, 117:104–117.

E. F. Bunn & M. White (1997). The 4 year C0BE normalization and large-scale structure.

The Astrophisical Journal, 480:6–21.

S. De Rijcke (2010). Kosmologie en galaxievorming. 2de master Fysica en Sterrenkunde,

Ugent.

D. J. Eisenstein & W. Hu (1998). Baryonic features in the matter transfer function. The

Astrophisical Journal, 496:605–614.

D. J. Heath (1977). The growth of density perturbations in zero pressure Friedmann-Lemaıtre

universes. MNRAS, 179:351–358.

G. Kauffmann & S. D. M. White (1993). The merging history of dark matter haloes in a

hierarchical universe. MNRAS, 261:921–928.

C. Lacey & S. Cole (1993). Merger rates in hierarchical models of galaxy formation. MNRAS,

262:627–649.

P. J. E. Peebles (1980a). The Large-Scale Structure of the Universe. Princeton University

Press.

P. J. E. Peebles (1980b). The Large-Scale Structure of the Universe. Princeton University

Press.

W. H. Press & P. Schechter (1974). Formation of galaxies and clusters of the galaxies by

self-similar gravitational condensation. The Astrophysical Journal, 187:425–438.

R. S. Somerville & T. S. Kolatt (1999). How to plant a merger tree. MNRAS, 305:1–14.

65

BIBLIOGRAFIE 66

M. Tegmark & et al. (2004). The Three-Dimensional Power Spectrum of Galaxies from the

Sloan Digital Sky Survey. The Astrophysical Journal, 606:702–740.

P. T. P. Viana & A. Liddle (1996). The cluster abundance in flat and open cosmologies.

MNRAS, 281:323.

A. R. Zentner (2007). The Excursion Set Theory of Halo Mass Functions, Halo Clustering,

and Halo Growth. International Journal of Modern Physics D, 16:763–815.

J. Zhang, O. Fakhouri & C.-P. Ma (2008). How to grow a healthy merger tree. MNRAS,

389:1521–1538.

HET OPSTELLEN VAN SAMENSMELTINGSBOMEN...

Documents

Transcript of HET OPSTELLEN VAN SAMENSMELTINGSBOMEN...