Universiteit van Amsterdam

ITFA

Bachelor project

Hawking Straling

Auteur:Sam van Leuven, 5756561

Begeleider:Prof. dr. Erik Verlinde

Tweede Begeleider:Prof. dr. Kostas Skenderis

12 EC variant. Uitgevoerd in de periode van 10 mei tot 7 juli 2010

Samenvatting

In deze scriptie zal een korte introductie in de algemene relativiteit-stheorie worden gegeven, met name om de ruimtetijd rond een statischzwart gat te kunnen bestuderen. Ook worden een aantal basisbegrippenuit de quantumvelden theorie uitgelegd zonder al te diep in te gaan op devrij technische wiskundige details. Dan zal al het gereedschap aanwezigzijn om het Hawking effect, straling uitgezonden door een zwart gat, af tekunnen leiden met een temperatuur: TH = 1

8πGM. De gegeven afleiding

zal de quantumvelden theorie niet toepassen op de gekromde ruimte rondeen zwart gat, maar zal ervan uitgaan dat de ruimtetijd in de buurt vande horizon van het zwarte gat, de plaats waar de straling vandaan komt,als vlak mag worden beschouwd. De afleiding is dan equivalent aan deafleiding van het Unruheffect in een massief scalair quantumveld. Uitein-delijk zullen gevolgen besproken worden zoals de verdamping van zwartegaten en de informatie paradox.

1 Populair wetenschappelijke samenvatting

Iedereen die zich ooit heeft geınteresseerd in het heelal of zelfs in science fictionboeken of series, heeft wel eens gehoord van zwarte gaten. Deze zwarte gatenzijn de overblijfselen van zeer zware sterren. Elke ster in ons heelal heeft eenbepaalde levensduur die wordt bepaald door de hoeveelheid brandstof (waterstofen helium) die de ster tot zijn beschikking heeft en de mate waarin hij hetverbuikt. Het gebruik van deze brandstof bepaalt hoezeer de ster straalt, enzorgt ook voor de grootte van een ster. De zwaartekracht probeert de sternamelijk zo klein mogelijk te krijgen, maar er is ook een tegenwaardse druk vanonder andere de straling die vrijkomt bij de verbranding die ervoor zorgt datde ster een zekere grootte blijft houden. Wanneer een ster echter zeer zwaaris, kan het gebeuren dat na het opbranden van alle brandstof er geen enkeletegenwaardse kracht meer is om de zwaartekracht van de ster te compenseren.De kern van deze sterren reduceert dan door de enorme zwaartekracht tot eenpunt in de ruimte, en dit ’punt’ wordt een zwart gat genoemd.

De theorie die deze zwarte gaten beschrijft, de algemene relativiteitstheorie,voorspelt dat deze zwarte gaten een horizon hebben. Dat betekent dat er eensoort denkbeeldige lijn is op een bepaalde afstand van het punt, waaruit niets,zelfs licht, meer kan terugkeren als het deze lijn eenmaal is gepasseerd. Dezehorizon stelt dus een soort grens voor tussen ons eigen universum en de regiorond het zwarte gat, en het is rond de horizon waar vreemde dingen gebeuren.

Dat blijkt uit de theorie die het allerkleinste beschrijft, de quantumtheo-rie. Als je deze theorie toepast in de buurt van de horizon van een zwart gat,zoals Stephen Hawking als een van de eersten heeft gedaan, blijkt er toch eenbeetje licht van de zwarte gaten af te komen. Dit licht, dat door de algemenerelativiteitstheorie wordt verboden, heeft voor veel problemen maar ook nieuweinzichten in de hedendaagse natuurkunde gezorgd. Zo blijkt bijvoorbeeld datdit licht ervoor kan zorgen dat een zwart gat uiteindelijk verdampt, aangezienhet licht energie onttrekt aan het zwarte gat. Deze verdamping is de oorzaakvan een van de nog steeds grootste hersenbrekers in de natuurkunde.

Deze hersenbreker heet de informatie paradox, wat in het kort op het vol-gende neerkomt. Het lijkt erop dat als een zwart gat volledig verdampt in devorm van Hawkingstraling, er informatie verloren gaat over de oorspronkelijke

1

ster en eventueel deeltjes die later het zwarte gat zijn ingevallen. Het is namelijkzo dat de Hawkingstraling zo zuiver is dat het met geen mogelijkheid alle in-gewikkelde informatie kan bevatten die in de bouwstenen van de ster is opges-lagen. Het verlies van informatie lijkt op het eerste gezicht misschien helemaalniet zo ernstig, maar het is in tegenspraak met een van de belangrijkste funda-menten van de quantumtheorie. Men wil deze theorie, die zulke nauwkeurigevoorspellingen doet, natuurlijk niet gelijk opgeven. Er wordt daarom nog steedshard gewerkt aan de oplossing voor de zogeheten informatie paradox en inmid-dels is er een consensus over het behoud van informatie, namelijk dat het weldegelijk behouden blijft. Hoe dat precies in zijn werk gaat is nog niet hele-maal duidelijk, maar er wordt gedacht dat de informatie, in de vorm van deelt-jes of licht, niet het zwarte gat in verdwijnt maar als een soort hologram ophet oppervlak van het zwarte blijft plakken. Dit klinkt misschien heel raar entegenintuıtief, maar zoals ook uitvoerig zal worden besproken in deze scriptiegebeuren er de vreemdste dingen rond zwarte gaten, wat het onderwerp ook zoontzettend fascinerend maakt.

2

Inhoudsopgave

1 Populair wetenschappelijke samenvatting 1

2 Inleiding 42.1 Overzicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Algemene Relativiteitstheorie 73.1 Equivalentie Principe[3][4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Gravitationele Roodverschuiving[3] . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 De Schwarzschild Oplossing[3][10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Kruskal Coordinaten[3][10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Rindler Ruimte[2][3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Quantum Velden Theorie 194.1 Tweede Kwantisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Veeldeeltjes Toestanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Bogolyubov Transformaties[2][3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Hawking Straling 235.1 Motivatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Fysische Interpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Gevolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.4.1 Verdamping Zwarte Gaten[7] . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4.2 De Informatie Paradox[8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Conclusie & Discussie 35

3

2 Inleiding

De zwaartekracht is verreweg de meest bekende kracht sinds Newton geınspireerddoor een vallende appel zijn zwaartekrachtswet heeft opgesteld, als we de mythemogen geloven. De bekendheid van de zwaartekracht is te danken aan het feitdat de kracht zich manifesteert op een menselijke schaal. Toch is het zo datwe de kernkrachten en de elektrische kracht, krachten die we veel minder op-merken in het dagelijks leven, op een fundamentelere manier kunnen beschrijven,namelijk op een quantummechanische manier. De zwaartekracht is (nog) nietcompatibel met de quantummechanica, alhoewel vele wetenschappers in de the-oretische fysica zich al een tijd bezig houden met het vinden van de zogenaamdequantumgravitatie.

We hebben echter dankzij Einstein wel een flink sprong gemaakt in hetbegrijpen van de zwaartekracht op grote afstanden. Einstein beschrijft dezwaartekracht in zijn algemene relativiteitstheorie niet als een of andere krachtwaarvan de oorsprong onbekend is, maar als een gevolg van de gekromde ruimte.Een zeer compacte samenvatting van de algemene relativiteitstheorie gegevendoor John Wheeler geeft de essentie van de theorie weer:

Matter tells spacetime how to curve, and curved spacetime tellsmatter how to move.

Aan de wiskundige basis van de algemene relativiteitstheorie staan de Ein-stein vergelijkingen met als oplossingen metrieken, die de structuur (de krom-ming) van de ruimtetijd beschrijven als gevolg van een massa. Een belangrijkeeigenschap van deze vergelijkingen, waarvan dan ook veel gebruik zal wordengemaakt, is dat ze in een coordinaat onafhankelijke manier zijn geschreven. Datwil zeggen dat de fysica zoals beschreven in de algemene relativiteitstheorie het-zelfde blijft onder coordinaat transformaties. Deze transformaties zullen nodigzijn omdat de metrieken in bepaalde coordinaten niet altijd alles over de struc-tuur van de ruimtetijd prijs kunnen geven. Bijvoorbeeld blijkt uit de metriekendat er vreemde dingen gebeuren wanneer een massa krimpt tot zijn zogehetenSchwarzschild straal,

rschw =2GM

c2.

Als deze limiet is bereikt door bijvoorbeeld het ineenstorten van een zware ster,is er geen kracht meer die de zelf-zwaartekracht van het object kan tegenwerken.De materie van de ster reduceert dan tot een punt in ruimte met oneindige krom-ming, een singulariteit in de ruimtetijd. Lang werd gedacht dat zo’n singulariteitniet fysisch was, maar langzaamaan is men de algemene relativiteitstheorie betergaan begrijpen met als gevolg dat deze singulariteiten op een gegeven momentwerden erkend en sindsdien zwarte gaten worden genoemd.

Zwarte gaten hebben hun naam te danken aan het feit dat wanneer ietsof iemand de Schwarzschild straal passeert, de zogenaamde horizon van hetzwarte gat, diegene nooit meer kan terugkeren. Zelfs licht is gedoemd verder tereizen richting de singulariteit in het centrum van het zwarte gat. Een aardige,hoewel misleidende klassieke berekening geeft ons precies de waarde van deSchwarzschild straal: we beschouwen een massa m in het gravitationele veldvan een andere spherische massa M op een afstand R. De snelheid die m moethebben om te ontsnappen aan M is te berekenen door te eisen dat de kinetische

4

energie groter moet zijn dan de potentiele energie:

1

2mv2 >

GMm

R.

Dan volgt voor de snelheid van m:

v >

√2GM

R.

Als we nu de hoogst haalbare snelheid nemen, de lichtsnelheid, en kijken bijwelke straal zo’n object nog net ontsnapt, vinden we precies de Schwarzschildstraal. Als een object met massa M kleiner is dan deze straal en de massam bevindt zich binnen deze straal is er dus geen mogelijkheid meer om teontsnappen. Toch laat deze berekening niet zien dat er niets uit een zwartgat kan ontsnappen aangezien de berekening alleen leunt op constante snelhe-den. Een constant versnelde beweging met versnelling groter dan de gravita-tionele versnelling van het zwarte gat zou wel een traject kunnen zijn waar-langs je uit dit zwarte gat kan ontsnappen. Ook zouden massaloze deeltjesgeen aantrekkingskracht voelen en uit het zwarte gat komen. De algemene rel-ativiteitstheorie is echter een stuk strikter over de Schwarzschild straal en sluituit, hoe je traject ook moge zijn, dat iets terug kan keren na het passeren vande horizon. De rechtvaardiging voor de naam van het zwarte gat komt dan ookuit de algemene relativiteitstheorie.

Deze scriptie gaat over straling die afkomstig is van het zwarte gat, wat ineerste instantie een contradictie lijkt. Er kan immers niks van binnen het zwartegat voorbij de horizon komen, en deze straling zou dan betekenen dat de al-gemene relativiteitstheorie niet klopt. Paradoxaal genoeg zorgt juist de horizonervoor dat er zoiets als Hawking straling mogelijk is, zodra we de quantumveldentheorie erbij halen. De Hawking straling is af te leiden door op de achtergrondvan een quantumveld een zwart gat te plaatsen, en te bestuderen hoe het velderuit ziet voor verschillende waarnemers. Het zal blijken dat in gekromde ruimteeen quantumveld op een totaal andere manier geınterpreteerd wordt door ver-schillende observanten, een tegenintuıtief gegeven aangezien het ons beeld vandeeltjes (excitaties in het quantumveld) in gekromde ruimtetijd verandert vaneen invariante grootheid naar een waarnemers afhankelijke grootheid. De afleid-ing en de fysische interpretatie van dit fenomeen staan centraal in deze scriptie.

2.1 Overzicht

De scriptie is opgedeeld in drie hoofdstukken. In de eerste twee hoofdstukkenzullen de algemene relativiteitstheorie en de quantumvelden theorie worden be-sproken. Er zal in het hoofdstuk over de algemene relativiteitstheorie voor-namelijk worden gefocust op de structuur van de ruimtetijd rond een zwart gat.Het hoofdstuk over de quantumvelden theorie is bedoeld als korte introductiein wat een quantumveld precies voorstelt, en hoe er een deeltjes interpretatieuit volgt. Na deze twee hoofdstukken hebben we het gereedschap om de Hawk-ing straling af te leiden, waarna de fysische interpretatie aan bod komt. Ookzullen de verstrekkende consequenties van deze straling worden besproken: deverdamping van zwarte gaten met als ultieme consequentie de informatie para-dox.

5

In deze scriptie zullen weinig nieuwe dingen aan bod komen en is daaromeen echte literatuurstudie. Aangezien de literatuur rondom het Hawking effectvaak lastig is te volgen op Bachelor niveau, is deze scriptie bedoeld om destappen in de afleiding uitgebreid te behandelen en te motiveren zodat het voorderdejaars studenten goed te volgen is. Geprobeerd is om het verhaal zo op tebouwen dat er in principe geen voorkennis van algemene relativiteitstheorie ofquantumvelden theorie nodig is.

In het gehele stuk zullen eenheden worden gebuikt waarin c = ~ = kB = 1.De gravitatie constante G zal wel expliciet neergeschreven worden aangezien hetde fundamentele constante van de zwaartekracht is, die een niet onbelangrijkerol speelt.

6

3 Algemene Relativiteitstheorie

3.1 Equivalentie Principe[3][4]

Het equivalentie principe van Einstein staat aan de basis van de Algemene Rela-tiviteitstheorie, en leidt tot de beschrijving van zwaartekracht als kromming vande ruimte. Er zijn verscheidene vormen van het equivalentieprincipe, waarvande twee belangrijkste hier zullen worden toegelicht:

• Het zwakke equivalentiepincipe (ZEP)

• Het sterke equivalentieprincipe (SEP)

Kort gezegd stelt het ZEP dat de inertiele massa mi uit de tweede wet vanNewton

~F = mi~a

gelijk is aan de gravitationele massa mg uit de gravitatiewet van Newton

~Fg = −GMmg

r2r.

In de klassieke mechanica is deze gelijkheid een vreemd experimenteel gegeven.Zwaartekracht is klassiek gezien een kracht en krachten koppelen aan een bepaaldeeigenschap van een object, zoals bijvoorbeeld de elektrische kracht aan lading.Echter, de eigenschap waar zwaartekracht aan koppelt is precies de inertielemassa van het object. Er is dus een equivalentie tussen twee parameters vantwee schijnbaar totaal losstaande wetten. De stap die Einstein heeft gezet is degelijkheid tussen de twee massa’s als gegeven te beschouwen (mede gemotiveerddoor experimenten die de gelijkheid tot op zeer hoge nauwkeurigheid hebbenkunnen testen), en daaruit volgt de theorie van zwaartekracht, niet meer alskracht maar als gevolg van de geometrie van de ruimtetijd.

Om de interpretatie van zwaartekracht als effect van de geometrie van deruimtetijd toe te lichten kunnen we kijken wat de gevolgen zijn van deze equiv-alentie. Er volgt direct uit de twee wetten van Newton dat de versnelling dievrijvallende objecten in een zwaartekrachtsveld ondervinden onafhankelijk is vanhun massa, een resultaat dat ook al aan Galileo bekend was. Anders gezegd heeftieder object of deeltje, in tegenstelling tot bijvoorbeeld de elektrische kracht, eenzelfde gravitationele lading. Er bestaan dus ook geen zwaartekrachts neutraledeeltjes, wat ons ertoe zet zwaartekracht als een onontsnapbare kracht te zien.In deze zin kan je zwaartekracht beschouwen als eigenschap van de achtergrondwaarin deze deeltjes leven, de ruimtetijd. Met dit gegeven in het achterhoofd iser een equivalente formulering van het ZEP: Deeltjes waar geen externe krachtenop werken, i.e. deeltjes in vrije val, met gelijke begincondities (plaats en snel-heid) zullen in ruimtetijd een zelfde pad volgen. Deze paden van vrij vallendedeeltjes worden inertiaal genoemd.

Een gevolg hiervan is dat we in aanwezigheid van massa niet meer kunnenspreken over een globaal inertiaal systeem, zoals dat wordt gedaan in de spe-ciale relativiteitstheorie. Dit is in te zien door bijvoorbeeld twee skydivers tebeschouwen, eentje boven de evenaar en de ander boven de zuidpool. Omdatbeiden aangetrokken worden richting het centrum van de aarde is het onmo-gelijk een (vrijvallend) systeem te vinden zonder dat een van de duikers tenopzichte van dat systeem accelereert. Omdat inertiaal systemen essentieel zijn

7

voor het spreken over relativiteit van bijvoorbeeld de ruimtetijd voor verschil-lende waarnemers, voeren we het concept van een lokaal inertiaalsysteem in: alswe maar dicht genoeg (wiskundig gezien betekent dicht genoeg de limiet van deafstand naar nul nemen) bij een skydiver zitten, zullen we in vrije val hetzelfdepad volgen en zitten we dus in hetzelfde inertiaalsysteem.

Een bekend gedachteexperiment om het ZEP te illustreren is als volgt: stelje voor dat je je in een afgesloten lift bevindt, en je wilt weten of er buiten delift een zwaartekrachtsveld is. Dit kan je doen door te bekijken hoe objectenvallen in je lift. Als je je bevindt in een zwaartekrachtsveld zal het objectmet de gravitationele versnelling naar beneden vallen. Maar als je lift metdezelfde versnelling naar boven versnelt, zul je precies hetzelfde waarnemen.Het is dus onmogelijk het verschil tussen een ruimte in een zwaartekrachtsveldof in constante versnelling te bepalen door te kijken hoe een deeltje valt, oftewelmi = mg. Opgemerkt dient te worden dat ook deze stelling slechts geldt in kleingenoege regio’s van ruimtetijd, omdat in een grote lift het zwaartekrachtsveldbovenin de lift minder sterk zal zijn dan op de bodem, dat zorgt voor een nietconstante versnelling over de lengte van de lift.

Het SEP stelt dat je niet alleen het verschil tussen een constant accelererendframe en gravitationeel veld met behulp van het laten vallen van massieve ob-jecten kunt bepalen, maar dat elk denkbaar fysisch experiment dit verschil nietkan bepalen. Dit betekent dus dat ook (massaloos) licht in een gravitationeelveld ’valt’. Ook dit is weer te illustreren met het voorbeeld van de versnellendelift. Stel dat een lichtstraal in een rechte lijn door een lege ruimte beweegt.Als de experimentatoren in de lift hun positie zo timen dat de lichtstraal aande ene kant van de lift net onder het plafond naar binnen komt, zullen ze,omdat ze accelereren, de lichtstraal via een gebogen baan naar beneden zienbewegen. Het equivalentieprincipe zegt dan dat de lichtstraal hetzelfde doet ineen gravitationeel veld. Aangezien het licht altijd over de kortste weg door deruimtetijd reist, en dit niet meer een rechte lijn blijkt te zijn, kunnen we hetzwaartekrachtsveld beschrijven met behulp van een gekromde ruimtetijd. HetSEP is een baanbrekende gedachtesprong geweest en is later ook experimenteelbevestigd aan de hand van effecten die worden besproken in de volgende sectie.

Samengevat is de kromming van ruimtetijd een elegante beschrijving vande zwaartekracht, waarbij het feit dat mi = mg juist wordt gebruikt als hinthoe we de zwaartekracht moeten beschouwen in plaats van als een toevalligexperimenteel gegeven.

3.2 Gravitationele Roodverschuiving[3]

Een belangrijk gevolg van het equivalentieprincipe is de zogenaamde gravita-tionele roodverschuiving. Een foton dat wordt uitgezonden met golflengte λ0 ineen zwaartekrachtsveld Φ ondervindt een Dopplerverschuiving van

∆λ = λ0∆Φ.

Een foton dat zich van het zwaartekrachtscentrum af beweegt wordt roodver-schoven, terwijl een foton in de richting van een toenemend zwaartekrachtsveldjuist wordt blauwverschoven.

Gezien het equivalentieprincipe is dit intuıtief duidelijk te maken. Eenmassief object, bijvoorbeeld een voetbal, remt af wanneer die omhoog wordt

8

geschoten aangezien kinetische energie wordt omgezet in potentiele energie. Weweten echter dat licht niet kan afremmen, maar zoals net besproken kan lichtook niet ontsnappen aan de zwaartekracht. De enige manier waarop licht danin lege ruimte energie kan verliezen, zodat energie behouden blijft, is door eengrotere golflengte aan te nemen, oftewel gravitationele roodverschuiving. Ook inde beschrijving van de kromming van ruimtetijd is het effect in te zien. Omdatde tijdsdimensie nabij een massa meer gekromd is dan verder weg, legt het lichtnabij de massa kleinere afstanden af dan verder weg in hetzelfde tijdsinterval.Omdat de lichtsnelheid constant is, volgt dat de golflengte van het licht kleinermoet zijn nabij de massa in vergelijking met de golflengte verder weg.

Een bijkomend effect is dat klokken op verschillende afstanden van eenzwaartekrachtsbron niet om gelijke intervallen zullen tikken. Dit is in te zienaan de hand van een simpele berekening. Stel dat je op de begane grond en devijftigste verdieping van een flatgebouw een klok ophangt. Als de klok benedeneen constante lichtstraal afstuurt op de klok boven en zo is geprogrammeerd dathij elke keer tikt als er een gehele golflengte is verstuurd, zal er om het tijdsin-terval ∆tbg = c λbg een tijdseenheid verstrijken en zal er een nieuwe golflengtevan de begane grond komen. Boven registreert de sensor om het tijdsinter-val ∆t50 = c λ50 een nieuwe golflengte licht. Aangezien λ50 > λbg volgt dat∆t50 > ∆tbg. We zien dat een tijdsinterval voor iemand boven in het flatge-bouw groter is dan een tijdsinterval op de begane grond, dus lijkt het alsof eenklok op de begane grond langzamer loopt dan de klok boven in het flatgebouw.

Gravitationele roodverschuiving is een experimenteel bevestigd fenomeen entoont eens te meer de relativiteit van de ruimtetijd voor verschillende waarne-mers. Het fenomeen zal in de komende sectie nog een belangrijke rol spelen alswe gaan kijken naar de geometrie rond een zwart gat, niet geheel verrassendaangezien de zwaartekracht nergens krachtiger is dan bij een zwart gat.

3.3 De Schwarzschild Oplossing[3][10]

De meest algemene bolsymmetrische oplossing in het vacuum van de Einsteinvergelijkingen is de Schwarzschild metriek:

ds2 = −(

1− 2GM

r

)dt2 +

(1− 2GM

r

)−1dr2 + r2dΩ2 (1)

dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dφ2

waarin G de gravitatieconstante is en M de massa van het bolvormige lichaam.Deze metriek vertelt hoe de structuur van de ruimtetijd in elkaar zit buiten eenniet roterend lichaam met massa M . De metriek is bijvoorbeeld van toepassing(in goede benadering) op het gravitationele veld gecreeerd door de aarde ofandere objecten met sferische symmetrie en een niet al te grote rotatiesnelheid.Het is eenvoudig in te zien dat zowel in de limiet M → 0 als in r → ∞ deSchwarzschild metriek reduceert tot de (vlakke) Minkowski metriek:

ds2 = −dt2 + dr2 + r2dΩ2. (2)

Dit was te verwachten omdat het zwaartekrachtsveld en dus de kromming vande ruimte gecreeerd door een massa afneemt naarmate de afstand toeneemt enasymptotisch naar nul gaat.

9

Figuur 1: Banen van in- en uitgaande lichtstralen in de buurt van r = 2GM .Naarmate een waarnemer in de buurt van de Schwarzschild straal komt, lijkenzijn lichtkegels te versmallen.

Er valt echter ook iets verontrustends op aan de metriek; die heeft namelijkeen singulariteit op r = 0 en op r = 2GM , i.e. de componenten gtt en grrgaan naar nul of oneindig. Het zal blijken dat de singulariteit op r = 0 onon-tkoombaar is, maar die op r = 2GM een coordinaat afhankelijke singulariteitis. Dat wil zeggen dat de singulariteit slechts een gevolg is van de keuze voorbepaalde coordinaten. Deze singulariteit zouden we kunnen vermijden door overte stappen op nieuwe coordinaten, dat niets aan de fysica zoals geformuleerd inde algemene relativiteitstheorie verandert. Een vergelijkbaar probleem is de az-imuthale hoek φ in bolcoordinaten op de punten θ = 0 en θ = π. Daar is decoefficient van dφ2, gφφ, gelijk aan nul waardoor φ daar niet goed gedefinieerdis, terwijl het duidelijk is dat er in Cartesische coordinaten niets misgaat bij debeschrijving van diezelfde punten.

Meer concreet heeft deze singulariteit gevolgen voor de causale structuurvan de ruimtetijd, zoals we kunnen nagaan door de radiele banen van licht tebestuderen die de lichtkegels definieren. Voor radieel bewegend licht geldt:

ds2 = 0, dΩ2 = 0.

Uit de metriek (1) volgt dan de bewegingsvergelijking voor het licht:

dt

dr= ±

(1− 2GM

r

)−1. (3)

In figuur 1 zijn twee paren van banen van in- en uitgaande lichstralen tezien. In de regio waar r groot is ten opzichte van de Schwarzschildstraal krijgende banen een helling van dt

dr = ±1, zoals we die in de Minkowski ruimte kennen.Het blijkt echter dat de lichtkegels van punten in de ruimtetijd steeds meer

versmallen naarmate de afstand van een punt dichter bij de r = 2GM komten op r = 2GM zelf gaat de helling (3) naar oneindig. Het versmallen van

10

de lichtkegels is een gevolg van een verkeerde coordinaten keuze. De gebruiktecoordinaten zijn namelijk geschikt voor de beschrijving van een wereldlijn gezienvanuit een observant op r =∞.

Stel bijvoorbeeld dat de observant op r = ∞ een collega observant richtinghet zwarte gat stuurt, en afspreekt dat zijn collega om een vast tijdsintervaleen lichtsignaal verzendt als blijk dat alles goed gaat. Zoals in figuur 1 is tezien, zal het tijdsinterval tussen twee ontvangen lichtsignalen vanuit de obser-vant op r = ∞ gezien steeds langer duren aangezien de lichtkegels versmallenwanneer de collega het zwarte gat nadert. Uiteindelijk zal het lijken alsof zijncollega stilstaat op r = 2GM tot in het oneindige. Dit alles is puur een ef-fect van gravitationele roodverschuiving zoals uitgelegd in sectie 3.2, waarbij deroodverschuiving divergeert nabij r = 2GM .

Gevolg is dat we in deze coordinaten niets kunnen zeggen over de ruimtetijdin de regio 0 < r < 2GM , terwijl we weten dat de ruimtetijd er lokaal altijdals een Minkowski ruimte uitziet. We zouden daarom niet verwachten dat ervanuit de vallende observant gezien opeens een muur opdoemt; de observantzou simpelweg het verschil niet zien tussen het passeren van de horizon en eenander gedeelte van de ruimte.

Mede gemotiveerd door dit argument geven we de hoop iets te weten tekomen over deze duistere regio niet op. Duidelijk is dat de metriek (1) onsniet verder kan helpen, dus zullen we moeten overgaan op bijvoorbeeld eennieuwe tijdscoordinaat die niet naar oneindig gaat als de straal in buurt vande r = 2GM komt. Om zo’n coordinaat te vinden, kijken we eerst naar devorm van t zodat we de oorsprong van de mathematische singulariteit kunnenonderzoeken. Als we (3) oplossen, krijgen we twee oplossing voor t:

t = ± (r − 2GM + 2GM log (r − 2GM)) (4)

De divergentie waar we vanaf willen komt van de logaritme, dus (4) inspireert onstwee nieuwe tijdscoordinaten te introduceren, de zogenaamde in- en uitgaandeEddington-Finkelstein coordinaten:

t± = t± 2GM log (r − 2GM) (5)

De twee nieuwe metrieken die uit deze coordinaat transformatie volgen, wordengegeven door:

ds2 =2GM

r

(dt± ± dr

)2 − dt 2± + dr2 + r2dΩ2 (6)

Het valt direct op dat de coefficienten van de metriek geen singulariteit meerhebben op het punt r = 2GM . We moeten ons echter wel beseffen dat wede singulariteit eigenlijk alleen maar hebben verplaatst naar de nieuwe (ti-jds)coordinaten. De gevolgen hiervan zullen hieronder duidelijk worden. Ikzal dit voor de ingaande coordinaat toelichten, voor de uitgaande coordinaat ishet verhaal analoog.

Om de ruimtetijd te bestuderen in deze nieuwe coordinaten is het handigweer te bekijken hoe de lichtkegels eruit zien. Het is snel in te zien dat wanneer

t+ + r = constant we radiele ingaande lichtstralen zien met dt+dr = −1 op elke

waarde van r. Anders gezegd laten deze coordinaten zien dat een lichtstraalzonder problemen de horizon kan passeren. Dit is een mooi resultaat en geeft al

11

Figuur 2: Ingaande Eddington-Finkelstein coordinaten. Rechte lijnen zijn deingaande lichtstralen, de krommes geven de banen van de uitgaande lichtstralen.Merk op dat wanneer een lichtstraal is terechtgekomen in de regio 0 < r < 2GM ,hij nooit meer kan ontsnappen. Deze regio zullen we later aanduiden als regioIII.

een hint dat de regio 0 < r < 2GM wel degelijk een gedeelte is van de ruimtetijd.Om de lichtkegels te vinden moeten we ook weten hoe uitgaande lichtstralen zichgedragen (N.B. uitgaande lichtstralen in de ingaande coordinaten). Hier komtde adder onder het gras vandaan: de oplossing van de bewegingsvergelijkingvoor de uitgaande lichtstralen, verkregen door (4) met (5) te combineren, luidt:

t+ = r − 2GM + 4GM log (r − 2GM).

In figuur 2 is goed te zien wat er met de lichtkegels gebeurt. Naarmate jedichterbij de horizon komt, kantelt je toekomstige lichtkegel steeds meer richt-ing de singulariteit r = 0. Zodra je de horizon r = 2GM passeert, wijst jetoekomstige lichtkegel geheel richting r = 0. Het is dus onmogelijk, zelfs vooreen lichtstraal, om ooit nog terug te keren uit een zwart gat wanneer de horizoneenmaal is gepasseerd langs een toekomstig pad. Dit is precies de reden waaraanhet zwarte gat zijn naam dankt.

Zoals gezegd kan er een analoog verhaal worden opgehangen over de ruimtetijdmet als nieuwe tijdscoordinaat t−. In deze coordinaten zitten de uitgaande licht-stralen natuurlijk ingebouwd in de metriek en zijn het de ingaande lichtstralendie zorgen voor het kantelen van de lichtkegels. In plaats van een zwart gatbeschrijft deze metriek in de regio 0 < r < 2GM een wit gat, zo genoemd omde reden dat licht, eenmaal ontsnapt buiten de Schwarzschildstraal, nooit meerterug kan keren naar de regio binnen de Schwarzschildstraal. Zie figuur 3 voorde lichtkegels. We zullen later zien dat deze regio niet fysisch is, desalnietteminkan hij ons toch de ruimtetijd rond een zwart gat beter doen laten begrijpen.

Samenvattend hebben we in deze sectie met behulp van een coordinatentransformatie proberen uit te vinden hoe de ruimtetijd eruit ziet binnen de

12

Figuur 3: Uitgaande Eddington-Finkelstein coordinaten. Rechte lijnen zijn deuitgaande lichtstralen, de krommes geven de banen van de ingaande lichtstralen.Merk op dat wanneer een lichstraal is ontsnapt uit de regio 0 < r < 2GM , hijnooit meer kan terugkomen. Deze regio zullen we later aangeven als regio IV.

Schwartzschildstraal van een zwart gat. Wat bleek is dat we niet een, maartwee nieuwe fysisch verschillende regio’s hebben gevonden, regio’s III en IV.Waar je in regio III kunt komen door, zoals we gewend zijn, via een toekomstigpad richting het zwarte gat te reizen, zul je regio IV slechts kunnen bereikendoor een pad richting het verleden te nemen. De tegenintuıtieve conclusie diewe trekken is dat je blijkbaar op fysisch verschillende plekken terecht komtafhankelijk van de tijdsrichting van het pad waarmee je de horizon oversteekt.Belangrijk om op te merken is verder nog dat in beide coordinatenstelsels deregio r > 2GM fysisch gezien echter wel hetzelfde is, en deze regio, de regiowaarin wij leven, zal regio I worden genoemd.

3.4 Kruskal Coordinaten[3][10]

Om een goed beeld te krijgen van de connectie tussen de verschillende regio’shierboven genoemd, zouden we kunnen proberen regio’s I, III en IV te beschri-jven met slechts een coordinatenstelsel. Het zal blijken dat dit mogelijk isdoor zogenaamde Kruskal coordinaten te gebruiken, waarmee ook nog eens de(schijn)singulariteit op r = 2GM voorgoed verdwijnt. Door het introducerenvan deze coordinaten zal er nog een nieuwe regio bijkomen, regio II.

De gedachte waarmee we beginnen is dat we willen proberen een metriek teontwikkelen waarin zowel ingaande als uitgaande Eddington-Finkelstein coordinatenzitten. Zoals al eerder opgemerkt hebben we met de transformatie naar Eddington-Finkelstein coordinaten de singulariteit slechts gemaskeerd. Omdat de oorzaakvan de singulariteit een logaritme is, is het een logische stap nieuwe coordinatente definieren die exponentieel gerelateerd zijn aan de oorspronkelijke coordinaten,

13

ofwel het soort transformatie xi → x′

i = expxi. Meer precies definieren we:

x = e(t++r)/4GM (7)

y = −e−(t−−r)/4GM (8)

waarbij we in de exponent in plaats van t± er nog±r bij hebben gevoegd vanwegehet a posteriori argument dat de uiteindelijke metriek een stuk inzichtelijker ismet deze definitie. In deze nieuwe coordinaten wordt de Schwarzschildmetriekgegeven door:

ds2 = −32G3M3

re−r/2GMdxdy + r2dΩ2 (9)

In deze metriek worden de radiele lichtstralen gegeven door x = constant, Ω =constant en y = constant, Ω = constant. Zo hebben x en y de rollen overgenomenvan respectievelijk t+ + r en t− − r zoals verwacht. In principe hebben wenu het Kruskal coordinaten systeem opgebouwd, maar alles wordt net watoverzichtelijker door de twee lichtcoordinaten te vervangen door een tijdachtigeen ruimteachtige coordinaat zodat de vergelijking met het t, r coordinatenstelselduidelijker is. De nieuwe coordinaten worden dan:

T = (|r − 2GM |)1/2 er/4GM sinh

(t

4GM

)(10)

R = (|r − 2GM |)1/2 er/4GM cosh

(t

4GM

)(11)

met weer een nieuwe metriek, nu gegeven door:

ds2 =32G3M3

re−r/2GM

(−dT 2 + dR2

)+ r2dΩ2 (12)

In deze metriek moet de oorspronkelijke radiele coordinaat gelezen worden alseen functie van de Kruskal coordinaten R en T , i.e. r = r(R, T ), die door (10)en (11) impliciet is gedefinieerd als:

T 2 −R2 =(

1− r

2GM

)er/2GM (13)

Het eerste dat opvalt aan (12) is dat we de singulariteit op r = 2GM kwijt zijn,zowel in de metriek als in de definitie van de coordinaten R en T . De horizonvan het zwarte gat komt nu overeen met de oppervlakken

T = ±R.

Radiele in- en uitgaande lichtstralen voldoen nu simpelweg aan

T = ±R+ constante

dus zien de lichtkegels er in het Kruskaldiagram overal hetzelfde uit als in vlakkeMinkowski ruimte.

We zien aan (13) dat lijnen van constante r overeenkomen met hyperbolenT 2 − R2 = constant in het Kruskaldiagram. Een uitdrukking voor lijnen van

14

constante t zijn te verkijgen uit (10) en (11) door de twee definities door elkaarte delen:

T

R= tanh

(t

4GM

).

We zien dus dat lijnen van constante t rechte lijnen door de oorsprong beschri-jven, waarbij de horizon T = ±R overeenkomt met de Schwarzschild tijd t =±∞.

Al deze details zijn samengevat in de figuur 4. We zien de nieuwe regioII tevoorschijn komen als we voor de nieuwe radiele coordinaat een mintekenintroduceren. Dan volgt dat de tijd hier precies in de tegenovergestelde richtingstaat. Zoals gemakkelijk na te gaan is met het tekenen van de lichtkegels ishet onmogelijk informatie uit te wisselen voor waarnemers uit regio’s I en II.Ook zien we in het diagram het eerdere resultaat dat het onmogelijk is, eenmaalbinnen de horizon van een zwart gat gekomen, informatie uit te wisselen meteen waarnemer buiten het zwarte gat terwijl het onmogelijk is informatie teverzenden naar het witte gat.

Figuur 4: Het Kruskal diagram. Aangegeven zijn de 4 regio’s en lijnen dieovereenkomen met constante Minkowskicoordinaten r en t. Lichtkegels zijnin dit diagram allemaal zoals in vlakke ruimte. Regio II beschrijft een par-allel universum, dat causaal is afgesloten van regio I. De Schwarzschild tijd-scoordinaat loopt in tegenovergestelde richting in regio II ten opzichte van regioI. De gedeeltes van de ruimte onder en boven de hyperbolen van r = 0 makengeen deel uit van de ruimtetijd en dienen genegeerd te worden. Verder komende diagonalen overeen met r = 2GM en t = ±∞.

Hoe spannend dit diagram er ook uit moge zien, namelijk een compleet

15

nieuwe ruimtetijd (regio II) waar we misschien ooit wel met een wormhole naar-toe zouden kunnen ’warpen’, we moeten ons wel beseffen dat er enige onreal-istische aannames zitten in het tekenen van het Kruskaldiagram. De aannameis namelijk dat het zwarte gat niet is ontstaan op een bepaald tijdstip door hetineenstorten van een ster, maar al eeuwig bestaat. We zien namelijk dat hetKruskaldiagram een singulariteit beschrijft op t = −∞, terwijl de ster nooiteen horizon of singulariteit heeft gekend voordat hij ineenstortte tot een zwartgat. We concluderen dat regio’s III en IV niet bestaan bij een fysisch zwart gat.Alsnog zal dit diagram nuttig blijken voor de afleiding van Hawkingstraling.

3.5 Rindler Ruimte[2][3]

Nu we de ruimtetijd rond een zwart gat enigzins in kaart hebben gebracht kun-nen we het doel van deze scriptie weer voor ogen halen, namelijk bestuderenhoe een quantumveld eruit ziet in de buurt van een zwart gat. Cruciaal voor deafleiding die gegeven zal worden is de centrale regio van het Kruskaldiagram.Daar zitten we immers dichtbij de horizon van het zwarte gat en het is daarwaar we quantumvelden theorie willen toepassen.

Aangezien de centrale regio slechts een klein gedeelte is van de ruimtetijd, ishet gerechtvaardigd deze regio als vlak te beschouwen. Lokaal ziet de ruimtetijder immers vlak uit, vergelijkbaar met het feit dat wij op aarde niet zien dat deaarde bolvormig is. De reden dat we graag over willen gaan op een vlakke ruimteis omdat het de berekeningen in de quantumvelden theorie een stuk simpelermaakt.

Vanwege het equivalentie principe is een waarnemer op vaste afstand vaneen zwart gat in Kruskal coordinaten equivalent aan een constant versnellendewaarnemer in een vlakke ruimte (vlak betekent geen zwaartekracht). Een vrij-vallende observant in het Kruskaldiagram wordt op zijn beurt beschreven dooreen inertiele waarnemer in vlakke ruimte. De coordinaten die de inertielewaarnemer beschrijven zijn de gewone Minkowski coordinaten. Een coordinatenstelseldat meebeweegt met de versnellende waarnemer wordt het Rindlerstelsel ge-noemd.

Ter introductie van de Rindlercoordinaten zullen we eerst het pad van eenconstant versnellende waarnemer bekijken in Minkowski ruimte, en vervolgenscoordinaten kiezen waarin deze waarnemer in rust is. We kiezen de versnellingmet grootte α van de waarnemer in de positieve x-richting. Het pad van dezewaarnemer in Minkowski ruimte wordt dan geparametriseerd door:

t(λ) =1

αsinh (αλ),

x(λ) =1

αcosh (αλ). (14)

zoals na te gaan is door de grootte van de versnelling te bepalen. Banen vanconstante acceleratie zien er in Minkowski ruimte uit als hyperbolen van devorm

x2 − t2 =1

α2.

Een belangrijk detail om op te merken is dat de baan van de versnelde waarne-mer zich bevindt binnen de regio x > |t| (de Rindlerwig) met de zogenaamde

16

Rindlerhorizonnen op x = ±t. Zoals is te zien in figuur 5 gedragen de versnel-lende waarnemers zich in de Rindlerwig exact hetzelfde als waarnemers in regioI op constante afstand van de horizon van het zwarte gat. Ook zijn de tweetegenover elkaar liggende regio’s (I & II) causaal van elkaar afgesloten, zoals nate gaan is met de lichtkegels.

Figuur 5: Het Rindler diagram. Regio’s I en II en lijnen van constante τ en σzijn aangegeven. De Rindlerhorizon komt overeen met τ = ±∞ en σ = −∞. Detijdscoordinaat van regio I is van richting omgedraaid in regio II. De regio’s zijncausaal van elkaar afgesloten zoals is na te gaan aan de hand van lichtkegels.

Kijkend naar (14) definieren we de Rindlercoordinaten σ en τ impliciet via:

t =1

aeaσ sinh (aτ), (15)

x =1

aeaσ cosh (aτ). (16)

(y, z) = (y, z) ≡ r (17)

waarbij x, y, z en t de gewone Minkowski tijds- en ruimtecoordinaten voorstellen.Deze definities doen sterk denken aan die van de Kruskalcoordinaten T en R,waarbij t en r overeenkomen met respectievelijk τ en σ. Zo zijn de lijnen vanconstante τ in de Minkowski coordinaten lijnen door de oorsprong met helling

t

x= arctan (aτ)

en lijnen met constante σ beschrijven hyperbolen

x2 − t2 = e2aσ.

17

We zien dat de coordinaten τ en σ de waarden −∞ < τ, σ < ∞ aannemen inde Rindlerwig, dus de Rindlercoordinaten overdekken slechts een kwart van degehele Minkowski ruimte.

Ook is goed in te zien waarom de Rindler coordinaten de constant versnel-lende waarnemer goed beschrijven door te kijken naar het pad van de waarnemerin deze coordinaten. Door de versnelling α = a te kiezen volgt:

τ(λ) = λ,

σ(λ) = 0. (18)

De tijdscoordinaat τ is rechtevenredig met de parameter λ en de plaatscoordinaatσ is constant, waardoor de Rindlercoordinaten een constant versnellende waarne-mer op dezelfde manier beschrijven als de Minkowski coordinaten een waarnemerin rust.

Alhoewel de Rindlercoordinaten zijn beperkt tot een kwart van de Minkowskiruimte, kunnen we met dezelfde coordinaten ook regio II beschrijven door in (15)en (16) een minteken in te voegen:

t = −1

aeaσ sinh (aτ), (19)

x = −1

aeaσ cosh (aτ). (20)

In deze nieuwe definitie overdekken de Rindlercoordinaten precies het spiegel-beeld (in de t-as) van regio I. Opgemerkt dient te worden dat de coordinatenhier in richting precies omgekeerd zijn ten opzichte van de coordinaten in re-gio I: τ neemt nu toe in negatieve t richting en σ neemt toe in de negatieve xrichting. Net als in het Kruskal diagram is het onmogelijk voor waarnemers inregio I en II om te communiceren, en kan een waarnemer in regio I geen signalenontvangen van regio III en geen signalen verzenden naar regio IV.

Het zal blijken dat wanneer we quantumvelden theorie gaan toepassen indeze vlakke ruimte de twee verschillende waarnemers het niet eens zullen zijnover de toestand waarin het quantumveld zich bevindt, dat aan de basis ligtvoor de afleiding van het Hawking effect. Voordat we hieraan kunnen beginnenis een kleine introductie in de quantumvelden theorie vereist.

18

4 Quantum Velden Theorie

De quantumvelden theorie is de natuurlijke extensie van de quantummechanicawaarbij er van enkele systemen, i.e. een deeltje in een bepaalde potentiaal, wordtovergegaan naar de quantummechanische beschrijving van velden. Het verschiltussen een veld en een enkel systeem is dat een veld een oneindige verzamelingis van enkele systemen die zich op ieder punt van de ruimte bevinden.

De quantumvelden theorie is ook de oplossing voor de incompatibiliteit vande quantummechanica met de speciale relativiteitstheorie. Het probleem van deunificatie van de quantummechanica met de speciale relativiteitstheorie uit zichin het feit dat quantummechanica geen rekening houdt met het relativistischeeffect van annihilatie en creatie van deeltjes. In de quantumvelden theorie isverandering van het aantal deeltjes wel toegestaan, en is daarom consistent metde speciale relativiteitstheorie.

4.1 Tweede Kwantisatie

Door klassieke velden te kwantiseren krijgen we de quantumveldentheorie. Indeze sectie zullen we slechts het simpelste veld kwantiseren, een reeel scalairveld Φ(~r, t) dat voldoet aan de Klein-Gordon vergelijking. De Klein-Gordonvergelijking wordt gegeven door:

∂µ∂µΦ(~r, t) = m2Φ(~r, t) (21)

Een handige truc om oplossingen van deze vergelijking te bepalen is door hetveld te ontbinden in zijn impulsmodes via een Fourier transformatie:

Φ(~r, t) =

∫d~k

(2π)3ei~k·~rΦ(~k, t). (22)

Door deze nieuwe uitdrukking in te vullen in de Klein-Gordon vergelijking vin-den we voor iedere waarde van ~k de volgende vergelijking:

(∂2t + |~k|2 +m2)Φ(~k, t) = 0. (23)

We merken op dat dit precies de differentiaalvergelijking van de harmonische

oscillator is met hoekfrequentie ω~k =

√|~k|2 +m2. Nu willen we een analo-

gie maken tussen het veld, te beschouwen als oneindige verzameling van har-monische oscillatoren in de impulsruimte, en de gewone quantummechanischeoscillator. De quantummechanische oscillator konden we volledig beschrijven intermen van de ladderoperatoren a en a†, die als volgt zijn gerelateerd aan plaatsen impuls:

x =

√1

2mω(a+ a†), p = −i

√mω

2(a− a†).

We schrijven het veld Φ(~r, t) en zijn geconjugeerde impuls π(~r, t) (= Φ(~r, t)) opeen zelfde manier in termen van deze ladderoperatoren, in acht nemend dat wenu voor iedere mode ~k een afzonderlijke harmonische oscillator hebben:

Φ(~r, t) =

∫d~k

(2π)31√2ω~k

(a(~k)ei

~k·~r + a†(~k)e−i~k·~r)

(24)

19

π(~r, t) =

∫d~k

(2π)3(−i)

√ω~k2

(a(~k)ei

~k·~r − a†(~k)e−i~k·~r)

(25)

Voor de precieze rechtvaardiging van bovenstaande uitdrukkingen verwijs iknaar [7]. Aangezien we een theorie kunnen kwantiseren door de verschillendeobservabelen zoals plaats en impuls als operator op te vatten, is het natuurlijkom voor de kwantisatie van een veld de velden als operatoren te beschouwen.Door de kanonieke commutatierelaties voor het veld en zijn impuls op te schri-jven in analogie met de gewone plaats en impuls,

[Φ(~r), π(~r ′)] = iδ(~r − ~r ′) (26)

[Φ(~r), Φ(~r ′)] = [π(~r), π(~r ′)] = 0, (27)

vinden we voor de operatoren a(~k) en a(~k)†:[a(~k), a†(~k ′)

]= (2π)3 δ 3(~k − ~k ′) (28)[

a(~k), a(~k ′)]

=[a†(~k), a†(~k ′)

]= 0. (29)

We zien dat de a(~k) en a†(~k) zich precies zo gedragen als de ladderoperatorenvan de quantummechanische harmonische oscillator, en daarmee is het gerecht-vaardigd deze operatoren als creatie- en annihilatie operatoren te beschouwen.De stap waarin we de velden als operatoren opvatten wordt de tweede kwanti-satie genoemd.

4.2 Veeldeeltjes Toestanden

Interessant is nu om te bekijken wat er precies wordt gecreeerd door a†(~k) en

geannihileerd door a(~k). We weten dat de operatoren de energietoestand vanhet veld verlagen of verhogen, maar aan de quanta waarin deze energie wordtgecreeerd/geannihileerd hangt een subtielere interpretatie. Deze interpretatiekunnen we vinden door te kijken wat de energie is van verschillende toestanden.Als eerst definieren we, weer in analogie met de quantum mechanische harmonis-che oscillator, een grondtoestand waarvoor moet gelden:

a(~k)|0〉 ≡ 0 ∀~k (30)

De Hamilton operator van het Klein-Gordon veld wordt na renormalisatie intermen van a(~k) en a†(~k) gegeven door [7]:

H =

∫d~k

(2π)3ω~k a

†(~k) a(~k) (31)

Het is na te gaan dat wanneer de Hamilton operator werkt op een willekeurigetoestand1 ∏

i

(a†~ki)n~ki |0〉

1Voor het gemak van notatie is een aftelbare verzameling impulsen aangenomen, dat niethet geval hoeft te zijn.

20

een energie wordt verkregen van

E = ω~k1 + ω~k2 + ...

Dit resultaat geeft aan dat de energiequanta van het veld precies overeenkomenmet de relativistische energie van een deeltje. Dit motiveert ons om de en-ergiequanta van het veld als deeltjes te beschouwen. We kunnen dus zeggen datde Hilbertruimte van een veld bestaat uit veeldeeltjes toestanden. Deze ruimteheeft een eigen naam gekregen: de Fockruimte.

Een belangrijke, misschien wel de belangrijkste, operator in deze interpre-tatie is de teloperator,

n~k = a†(~k) a(~k),

die telt hoeveel deeltjes er in een bepaalde toestand ~k zitten. Deze operator iste herkennen in de Hamiltoniaan van hierboven (31), en maakt de uitdrukking

voor de Hamiltoniaan intuıtief duidelijk. De Hamilton operator telt voor elke ~knamelijk hoeveel deeltjes er in de betreffende toestand zitten en kent er dan eenenergie ω~k aan toe. Over alle waardes van ~k wordt geıntegreerd en duidelijk isdat we dan de totale energie van de toestand van het veld hebben berekend.

4.3 Bogolyubov Transformaties[2][3]

We hebben in de vorige sectie gezien dat de veeldeeltjes toestanden een Hilbertru-imte opspannen, de zogenaamde Fockruimte. De basis voor deze ruimte wordtgegeven door

B =

∏~k

(a†(~k))n~k |0〉 | n~k ∈ N, ~k ∈ R3

.

De generatoren van de toestanden van een quantumveld worden gegeven doorde creatie- en annihilatie operatoren. Een Bogolyubov transformatie is eentransformatie van een set creatie- en annihilatie operatoren naar een nieuweset. De wiskundige formulering hiervan zal hieronder kort uitgelegd worden.

Zoals gezien in sectie 4.1 kunnen we een veld ontbinden in zijn impulsmodes(modefuncties). Algemeen ziet dat eruit als:

Φ =

∫d~k(a(~k)f~k + a†(~k)f∗~k

). (32)

Hierbij is f~k de impulsmode die in de uitdrukking voor het veld in sectie 4.1

gegeven werd door ei~k·~r. Voor het doel in deze sectie houden we de impulsmodes

algemener, beschreven door f~k. Verder zijn a(~k) en a†(~k) de gewone creatie- enannihilatie operatoren met de grondtoestand |0〉a.

Belangrijk is nu dat de modefuncties niet uniek zijn [7], wat in de contextvan de algemene relativiteitstheorie niet verwonderlijk is aangezien de fysicadaarin beschreven onafhankelijk is van het coordinatensysteem dat je gebruikt[2]. In nieuwe coordinaten zien de modefuncties er anders uit, en is het dusmogelijk om een tweede set impulsmodes te vinden waarin we het veld kunnenontbinden:

Φ =

∫d~k′(b(~k′)g~k′ + b†(~k′)g∗~k′

). (33)

21

Voor de nieuwe operatoren b(~k′) en b†(~k′) gelden dezelfde commutatie relaties alsvoor de oude operatoren. Ook is er een grondtoestand, deze keer geannihileerddoor de nieuwe annihilatie operator:

b(~k′)|0〉b ≡ 0 ∀~k′.

Omdat de twee sets modefuncties slechts een andere basis vormen voordezelfde ruimte, kunnen we de modefunctie g~k′ neerschrijven als lineaire combi-natie van f~k en f∗~k :

g~k′ =

∫d~k(αkk′f~k + βkk′f

∗~k

)(34)

Door nu (34) in te vullen in (33) en te vergelijken met (32) volgen de relaties

tussen de creatie- en annihilatie operatoren a(~k) en a†(~k) en b(~k) en b†(~k):

a(~k) =

∫d~k′(αkk′b(~k

′) + β∗kk′b†(~k′)

)(35)

met inverse transformatie:

b(~k′) =

∫d~k(α∗kk′a(~k)− β∗kk′a†(~k)

). (36)

Uit de commutatie relaties van b(~k′) en b†(~k′) volgen de vergelijkingen voor deBogolyubov coefficienten αkk′ en βkk′ :∫

dk |αkk′ |2 − |βqk′ |2 = δ(k − q) (37)∫dk ′ αkk′βqk′ − βkk′αqk′ = 0 (38)

Kort samenvattend hebben we het veld in twee verschillende sets impulsmodesontbonden en daarmee relaties gevonden tussen de coefficienten (de opera-toren). Nu kunnen we zien wat we fysisch hebben gedaan door de toestandengegenereerd door de ene set operatoren te vergelijken met de toestanden gegenereerddoor de andere set. In het bijzonder volgt dat het vacuum |0〉a in het algemeenniet gelijk is aan het vacuum |0〉b:

b(~k′)|0〉a = −∫d~k′ β∗kk′ |1~k〉a 6= 0 voor β∗kk′ 6= 0.

Op het eerste gezicht lijkt het vreemd om een nieuwe set operatoren te definierenomdat je zou zeggen dat er een echt vacuum is dat voor alle waarnemers er het-zelfde uitziet, namelijk een ruimte zonder deeltjes. Het zal echter in de volgendesecties blijken dat er wel degelijk een verschil is tussen de interpretatie van detoestand van het quantumveld voor verschillende waarnemers. De fysische in-terpretatie van het verschil in vacua voor verschillende waarnemers komt lateraan bod, maar dat deeltjes niet zo goed gedefinieerd zijn voor verschillendewaarnemers is enigzins in te zien door te bedenken dat wanneer een deeltjemet een welgedefinieerde energie en dus impuls wordt gecreeerd, hij vanwegehet onzekerheidsprincipe een slecht gedefinieerde plaats heeft. Dit maakt eenjuiste interpretatie van een deeltje voor verschillende waarnemers op verschil-lende plaatsen en/of tijden al moeilijk. Bovendien zullen we zien dat het feit datsommige waarnemers een horizon hebben ten opzichte van andere waarnemerseen groot effect kan hebben op de interpretatie van de toestand van het veld.

22

5 Hawking Straling

Het doel van deze sectie is om te beschrijven hoe een quantumveld in de bu-urt van de horizon van een zwart gat eruit ziet voor verschillende waarnemers.Het zal blijken dat een waarnemer op vaste afstand van de horizon straling zalwaarnemen afkomstig van de horizon van het zwarte gat. De afleiding hiervanis een combinatie van twee van de meest fundamentele theorieen in de natu-urkunde, en bijna vanzelfsprekend levert dit interessante resultaten op. Eenveel gezochte, maar niet gevonden theorie is die voor quantumzwaartekracht.Om hier ideeen en intuıtie voor te ontwikkelen is het geen rare gedachte om hetmeest extreme object wat zwaartekracht betreft te combineren met de quan-tumtheorie. De afleiding die wordt gegeven, volgt [10] en [9] zeer nauw, maargeeft meer motivatie en uitleg over de verschillende stappen.

5.1 Motivatie

Zoals reeds beargumenteerd kunnen we een quantumveld in de buurt van dehorizon van een zwart gat bestuderen door over te gaan op een vlakke ruimte.De vrijvallende waarnemer wordt dan vervangen door een waarnemer in rustin de Minkowskiruimte en de waarnemer op constante afstand van het zwartegat door een constant versnellende waarnemer. Nu hebben we al gezien dat deruimtetijd toegankelijk voor de Rindlerwaarnemer slechts een kwart uitmaaktvan de Minkowski ruimtetijd. We kunnen alleen al om die reden verwachtendat het veld, dat op de gehele ruimte is gedefinieerd, op een andere manierwordt geobserveerd door de Rindlerwaarnemer dan door de Minkowskiwaarne-mer. Om te zien in welke toestand een veld zich bevindt voor de verschillendewaarnemers kunnen we de Hamilton operators voor beide waarnemers opstellen,die aangeven, werkend op een toestand van het veld, in welke energietoestanden dus deeltjestoestand het veld zit.

We beginnen met het opschrijven van de Hamiltoniaan voor de Minkowskiwaarnemer. Deze Hamiltoniaan kan worden geschreven als een integraal overde Hamiltoniaanse dichtheid:

HM =

∫H(~r)d~r (39)

Door te bedenken dat de Rindler Hamiltoniaan wordt gegeven door de op-erator −i∂τ , kunnen we de Rindler Hamiltoniaan schrijven in termen van deMinkowski Hamiltoniaan (= −i∂t) door τ te vervangen voor de Minkowskicoordinaten:

∂τ =∂t

∂τ∂t +

∂x

∂τ∂x = x ∂t + t ∂x

⇓

HR =

∫HR(~r)d~r =

∫(xH(~r) + t ∂x) d~r (40)

Wat opvalt is dat de Rindler Hamiltoniaan in Minkowski coordinaten geschrevende generator van ruimte-tijd rotaties is, oftewel de generator van Lorentztrans-formaties. Dit gegeven zal aan het einde van de afleiding gebruikt worden omLorentzinvariantie van toestanden in de Minkowskiruimte te bepalen.

23

We bekijken deze nieuwe Hamiltoniaan voor het gemak op t = 0, waardoorde Rindler Hamiltoniaan de volgende vorm krijgt:

HR =

∫xH(~r)d~r. (41)

Een belangrijk verschil tussen de Rindler Hamiltoniaan en de Minkowski Hamil-toniaan is dat eerstgenoemde niet van onder begrensd is. Dit lijkt in eersteinstantie misschien een probleem, maar door te bedenken dat in regio II van deRindler ruimte de tijd andersom loopt ten opzichte van een Rindlerwaarnemerin regio I is in te zien waarom dit het geval is. Bekeken vanuit de tijdscoordinaatin regio I lijken de positieve energiemodes in regio II tegen de tijd in te bewe-gen, wat te interpreteren is als modes met een negatieve energie. Het feit datde Hamiltoniaan dus niet van onder begrensd is, is uiteindelijk het gevolg vande Rindlerhorizon en het onvermogen om voor de Rindlerwaarnemers in regio Ien II een ’juiste’ universele tijdsrichting te kiezen.

We kunnen de integraal (41) opsplitsen in twee integralen, die afzonderlijkregio I (x > 0) en regio II (x < 0) beschrijven:

HR =

∫x>0

xH(~r)d~r −∫x<0

|x|H(~r)d~r ≡ HI −HII (42)

Aangezien Rindler waarnemers in regio’s I en II niet in causaal contact staan,verbaast het ons niet dat de gegeven uitdrukkingen voor HI en HII commuteren.De splitsing zoals gegeven in (42) is de uitdrukking waar we uiteindelijk naar toewillen werken: twee Hamiltonianen die beiden lopen over een positieve energieen geheel onafhankelijk de evolutie beschrijven in de twee causaal van elkaarafgesloten gedeeltes van de ruimtetijd.

5.2 Afleiding

We bekijken scalaire quantumvelden in Minkowski ruimte zoals besproken insectie 4.1:

Φ(~r, t) =

∫d~k

(2π)3/2√

2k0

(a(~k)ei

~k·~r−ik0t + a†(~k)e−i~k·~r+ik0t

)(43)

Φ(~r, t) =

∫d~k

(2π)3/2√

2k0(−ik0)

(a(~k)ei

~k·~r−ik0t − a†(~k)e−i~k·~r+ik0t

)(44)

Het doel is om te bekijken hoe een Rindlerwaarnemer, ofwel een waarnemer opconstante afstand van een zwart gat, deze velden observeert. Hiervoor gaan weals eerst van de Minkowski coordinaten over op lichtkegelcoordinaten:

u =t− x

2, v =

t+ x

2(45)

k+ = k0 + kx, k− = k0 − kx (46)

k = (ky, kz)

De y- en z as laten we buiten beschouwing aangezien we gekozen hebben deversnelling puur in de x richting te nemen.

24

De reden dat we overgaan op deze coordinaten is omdat de u en v as dehorizon van de Rindlerwaarnemer beschrijven, zodat we de baan van Rindler-waarnemer in een kwadrant kunnen beschrijven. De nieuwe coordinaten u env heten lichtkegelcoordinaten omdat lijnen van constante u lichtstralen in depositieve x richting beschrijven en lijnen van constante v lichtstralen bewegendin de negatieve x richting beschrijven.

Door in (45) voor t en x de bijbehorende Rindlercoordinaten in te vullen,zien we dat deze coordinaten in Rindlertijd evolueren als:

u ∝ e−τ , v ∝ eτ (47)

Deze evolutie is te zien in het Rindlerdiagram als we de verandering van de u-en v as bekijken vanuit de baan van een Rindlerwaarnemer.

We kunnen nu in termen van de lichtkegelcoordinaten nieuwe creatie- enannihilatieoperatoren definieren:

b(k+, k) =

√k0k+

a(~k) (48)

We kiezen ervoor om de nieuwe operatoren te schrijven in termen van k+. De

factor√

k0k+

zorgt ervoor dat we een geheel equivalent veld in termen van k+

krijgen zoals we hadden voor ~k, en dus genormeerde commutatierelaties. Hetveld ziet er in termen van deze operator als volgt uit:

Φ(r, u, v) =

∫k+>0

dkdk+

(2π)3/2√

2k+

(b(k+, k)eikr−ik+u−ik−v +H.c.

)(49)

Nu is het belangrijk om te bekijken hoe de nieuwe energiequanta k+ gerelateerdzijn aan de Rindlerwaarnemer, ofwel: welke energiequanta ziet een constantversnellend frame in vergelijking met een Minkowski waarnemer. Omdat weal weten hoe de u en v coordinaten in Rindlertijd evolueren, kunnen we datook voor de impulscoordinaten uitrekenen door de identificaties i∂k− = v eni∂k+ = u om te schrijven naar Rindlercoordinaten. Dan volgt dat k+ en k−evolueren als:

k− ∝ e−τ , k+ ∝ eτ (50)

Hieruit blijkt dat de Rindlertijd proportioneel is aan ln k+. Omdat deRindlertijd via een Fouriertransformatie is gekoppeld aan de Rindlerenergie ωhebben we gevonden wat we wilden, namelijk een relatie tussen de Minkowskienergie k+ en de Rindlerenergie ω. We kunnen nu dus nieuwe creatie- en anni-hilatieoperatoren definieren voor de Rindlerwaarnemer door b(k+, k) te Fouriertransformeren naar ω via ln k+:

c(ω, k) =1√2π

∫ ∞0

dk+√k+

b(k+, k)eiω ln(k+/µ)/a (51)

In deze Fouriertransformatie is de logaritme weggewerkt, zodat er een integraalover k+ overblijft. De inverse transformatie is

b(k+, k) =1√2π

∫ ∞−∞

dω√k+

c(ω, k)e−iω ln(k+/µ)/a. (52)

25

In deze vergelijkingen zorgt µ2 = k+k− voor de juiste normering, i.e. de juistecommutatierelaties voor c(ω, k) en c†(ω, k):[

c†(ω, k), c†(ω′, k′)]

=[c(ω, k), c(ω′, k′)

]= 0[

c(ω, k), c†(ω′, k′)]

= δ 2(k − k′)δ(ω − ω′) (53)

Door in de Rindlerhamiltoniaan (41) de Minkowski Hamiltoniaan in termenvan de Rindler creatie- en annihilatie operatoren in te vullen (gebruik makendvan (52)) krijgen we een mooie uitdrukking voor de Rindler Hamiltoniaan:

HR =

∫dk

∫ ∞−∞

dω ω c†(ω, k) c(ω, k) (54)

Zoals al gezien in sectie 4.2 is dit een standaard uitdrukking voor een Hamiltoni-aan. We mogen dus concluderen dat c(ω, k) en c†(ω, k) zich gedragen als creatie-en annihilatieoperatoren voor de Rindlerwaarnemer. Er blijft echter een prob-leem met deze uitdrukking, namelijk dat deze niet opsplitst zoals beschreven in(42):

HR =

∫dk

[∫ ∞0

dω ω c†(ω, k) c(ω, k)−∫ ∞0

dω ω c†(−ω, k) c(−ω, k)

](55)

Het probleem van deze splitsing zijn de mintekens voor ω in de tweede in-tegraal. We waren op zoek naar een complete splitsing van beide regio’s intermen van twee Hamiltonianen die beide afzonderlijk positieve energiequantabeschrijven. De uitdrukking (55)levert de twee Hamiltonianen ten opzichte vande tijdscoordinaat in regio I, waardoor de Hamiltoniaan van regio II negatieveenergiequanta beschrijft.

Om het probleem op te lossen schrijven we eerst het veld in termen van deRindler operatoren door weer de inverse transformatie (52) te gebruiken:

Φ(r, u, v) =

∫ ∞−∞

dω

∫dk

4π2√

2

(K(−ω/a, µu, µv) eikr c(k, ω) +H.c.

)(56)

waarbij K(−ω/a, µu, µv) een zogenaamde integratiekern is, gegeven door

K(ω, α, β) =

∫ ∞0

dx

xxiω e−i(αx+β/x). (57)

Om de juiste creatie- en annihilatie operatoren te vinden willen we (56) op-splitsen in twee integralen over positieve ω. Hiervoor gebruiken we de volgendeeigenschappen van K(−ω/a, µu, µv):

K(−ω/a, µu, µv) = e−πω/aK∗(−ω, µu, µv), u < 0, v > 0 (Regio I)

K(−ω/a, µu, µv) = eπω/aK∗(−ω, µu, µv), u > 0, v < 0 (Regio II)

Deze relaties zijn te verkijgen door de integatiecontour van (57) te roteren viax 7→ eiπx, wat toegestaan is aangezien de integrand snel genoeg daalt in respec-tievelijk het bovenhalf vlak en het onderhalf vlak.

26

Als we nu een waarnemer beschouwen in regio I (u < 0, v > 0) krijgen wena flink wat herordenen van (56) voor het veld de volgende uitdrukking:2

Φ(r, u, v) =

∫ ∞0

dω

∫dk

4π2√

2eikr

[K(−ω/a, µu, µv)

(c(k, ω) + e−πω/ac†(−k,−ω)

)+

K∗(−ω/a, µu, µv)(c†(−k, ω) + e−πω/ac(k,−ω)

)](58)

We kunnen (58) nu neerschrijven als

Φ(r, u, v) =

∫ ∞0

dω

∫dk

4π2√

2eikr

(K(−ω/a, µu, µv) cI(k, ω) +K∗(−ω/a, µu, µv) c†I(−k, ω)

)waarbij we de nieuwe creatie- en annihilatie operatoren als volgt hebben gedefinieerd:

cI(k, ω)√

1− e−2πω/a = c(k, ω) + e−πω/ac†(−k,−ω)

c†I(−k, ω)√

1− e−2πω/a = c†(−k, ω) + e−πω/ac(k,−ω) (59)

Omdat we een creatie operator die een deeltje met negatieve energie creeertkunnen beschouwen als een annihilatie operator die de dezelfde positieve en-ergie annihileert, valt op dat cI bestaat uit een combinatie van twee annihilatieoperatoren en c†I bestaat uit een combinatie van twee creatie operatoren.

De wortel voor de cI zorgt voor de normering van de commutatierelaties:[cI(ω, k), c†I(ω, k)

]= δ2(k − k′) δ(ω − ω′)

Het resultaat is nu dat het veld (58) voor een waarnemer in regio I slechtsafhangt van de nieuwe creatie- en annihilatie operator als gegeven in (59).

Als we een waarnemer in regio II beschouwen krijgen we op geheel analogemanier een uitdrukking voor zijn creatie- en annihilatie operatoren:

cII(k, ω)√

1− e−2πω/a = c(k,−ω) + e−πω/ac†(−k, ω)

c†II(−k, ω)√

1− e−2πω/a = c†(−k,−ω) + e−πω/ac(k, ω) (60)

Ook voor deze operatoren gelden de kanonieke commutatie relaties. Merk op datnu de annihilatie operator in regio II cII(k, ω) bestaat uit een negatieve energieannihilatie operator en een positieve energie creatie operator. Dit klopt omdatin regio II het teken van de energie omklapt omdat de oude operatoren nog tenopzichte van de tijdscoordinaat in regio I waren gedefinieerd. De uitdrukking isdus toch consistent voor cII en voor c†II geldt hetzelfde.

Een andere belangrijke eigenschap van de nieuwe operatoren is dat de oper-atoren van regio I allebei commuteren met allebei de operatoren uit regio II, deeis die we vanuit fysisch oogpunt al hadden opgelegd omdat de regio’s causaalvan elkaar zijn afgesloten.

2Merk op dat (c(ω, k))† = c†(ω,−k). Dit is een effect van een substitutie van intgratievari-abele k 7→ −k

27

Hoe de twee sets nieuwe operatoren uit de oude operatoren zijn gecon-strueerd, is compact op te schrijven in de volgende Bogolyubov transformatie:

√1− e−2πω/a

cI(ω, k)

c†I(ω,−k)

cII(ω, k)

c†II(ω,−k)

=

1 0 0 e−πω/a

0 1 e−πω/a 00 e−πω/a 1 0

e−πω/a 0 0 1

c(ω, k)

c†(ω,−k)

c(−ω, k)

c†(−ω,−k)

(61)

Samenvattend hebben we dus twee aparte sets operatoren voor regio I en IIgevonden die onafhankelijk van elkaar beide regio’s beschrijven. We kunnen deHamiltoniaan (54) nu eindelijk scheiden op de manier gegeven in (42) door in(54) de nieuwe operatoren in te vullen:

HR =

∫dk

∫ ∞0

dω ω(c†I(ω, k) cI(ω, k)− c†II(ω, k) cII(ω, k)

)= HI −HII (62)

Aangezien de operatoren uit regio I commuteren met die uit regio II zien weook dat de twee Hamiltonianen HI en HII met elkaar commuteren. Verder com-muteren ook alle andere operatoren uit beide regio’s met elkaar, aangezien elkeoperator voor een veld is op te bouwen uit de creatie- en annihilatie operatoren.

Nu we de juiste creatie- en annihilatie operatoren hebben gevonden voor eenRindler waarnemer is het nuttig de Rindlertoestanden met de Minkowski toes-tanden te vergelijken. In het bijzonder kunnen we bekijken hoe het Minkowskivacuum, gedefinieerd door

c(ω, k) |0〉M = 0 ∀k, ω

in termen van Rindler basistoestanden geschreven wordt. Duidelijk is in iedergeval dat het Minkowskivacuum niet overeenkomt met het Rindlervacuum, eenresultaat op zich. Dit is in te zien door te kijken naar de definitie van het Rindlervacuum, ⊗

k,ω

|0, 0〉k,ω.

Deze wordt geannihileerd door cI en cII afzonderlijk. Een snelle blik op dedefinities (59) en (60) laat echter zien dat deze het Minkowski vacuum nietannihileren.

Om het Minkowski vacuum uit te drukken in Rindler basistoestanden ge-bruiken we de inverse Bogolyubov transformaties van (59) en (60). Deze wordengegeven door: √

1− e−2πωc(k, ω) = cI(k, ω)− e−πωc†II(−k, ω) (63)√1− e−2πωc(k,−ω) = cII(k, ω) + e−πωc†I(−k, ω) (64)

Beide operatoren annihileren het Minkowski vacuum |0〉M zoals is na te gaandoor naar de oorspronkelijke definities van de operatoren (48) en (51) te kijken.Door (63) en (64) te laten werken op |0〉M krijgen we een vergelijking waarmeewe cI en cII in elkaars Hermitisch geconjugeerde operator uit kunnen drukken.We vinden dat

c†I cI |0〉M = c†II cII |0〉M .

28

We zien hieraan dat het Minkowski vacuum wordt opgebouwd door Rindlertoestanden met een gelijk aantal deeltjes in beide regio’s dat we noteren als:

|0〉M =∑n

cn|n, n〉. (65)

Een manier om dit tegenintuıtieve resultaat te begrijpen is dat Rindler-waarnemer slechts een kwart van de Minkowskiruimte ziet. Als deze waarnemerzich in regio I bevindt ziet hij positieve energiequanta die, als hij ook in regio IIzou kunnen kijken, precies opgeheven worden door een gelijk aantal negatieveenergiequanta in regio II. Dit volgt ook uit het feit dat

HR|0〉M = HR|n, n〉R = ER,n − ER,n = 0.

In herinnering roepend dat HR de generator van Lorentztransformaties in deMinkowskiruimte is, zien we dat de toestand |0〉M Lorentz invariant is. Dat wilzeggen dat iedere inertiele waarnemer dezelfde toestand |0〉M ziet.

Je zou dan misschien zeggen dat ook de versnellende waarnemer deze toe-stand als vacuum zou moeten zien. Het verschil is echter dat de versnellendewaarnemer door zijn waarneemhorizon niet de gehele Minkowski ruimte kanzien. Zoals gezegd, als dat wel zo was zou hij tot de conclusie komen dat denegatieve en positieve energiemodes elkaar opheffen. De toestand die hij ziet isdus voor een gedeelte toe te schrijven aan zijn waarneemhorizon.

Terugkomend op (65) kunnen we de coefficienten cn bepalen aan de handvan (63) en (64). We krijgen dan de volgende recursierelatie:

cn+1 = e−πω/acn.

Hieruit volgt voor de coefficienten:

cn = c0e−nπω/a ⇒ |0〉M =

∞∑n=0

c0e−nπω/a|n, n〉R;(k,ω).

Om |0〉M te normaliseren bekijken we de normalisatie factor voor een paar (k, ω).Met behulp van de geometrische reeks volgt al snel dat

c0(k, ω) =√

1− e−2πω/a;

|0〉M =∏(k,ω)

√1− e−2πω/a

∞∑n=0

e−nπω/a|n, n〉(k,ω).

Nu we de volledige uitdrukking hebben voor het Minkowski vacuum in ter-men van de Rindler basistoestanden, kunnen we de verwachtingswaarde van eenwillekeurige operator O(aI , a

†I) in regio I (of II) uitrekenen:

OI = 〈0|OI |0〉M = (1− e−2πω/a)∑n

〈n|OI |n〉Ie−2nπω/a (66)

Deze uitdrukking komt precies overeen met de verwachtingswaarde uit de ther-modynamica:

O =1

Z∑n

〈n|O|n〉e−βEn ,

29

Z =∑n

e−βEn (67)

als we de identificaties En = nω en T = a2π maken. We concluderen dat het

vacuum voor een stilstaande Minkowski waarnemer een thermisch bad voor deconstant versnellende waarnemer voorstelt met een temperatuur T = a

2π . Derechtvaardiging voor de interpretatie van de temperatuur als rechtevenredig metde versnelling komt volledig uit het feit dat een willekeurige observabele van hetveld, zoals de energie, gezien door de Rindlerwaarnemer een exact thermischspectrum heeft. Om nu de temperatuur van de horizon van een zwart gatte bepalen, vervangen we de versnelling door de gravitationele versnelling opde Schwarzschildstraal (a = 1

4GM ). We krijgen dan de uitdrukking voor deHawkingtemperatuur, ofwel de temperatuur op de horizon van een zwart gat:

TH =1

8πGM.

Hawking zelf heeft deze temperatuur op een andere manier verkregen, namelijkdoor wel quantumvelden theorie toe te passen op de gekromde ruimte. Eenbelangrijk statement van hem dat de link met het Rindlerdiagram sterker maaktis dat een observant buiten het zwarte gat de straling tevoorschijn ziet komen,terwijl een vrijvallende observant lokaal niets ziet gebeuren rond de horizon[6],net als de Minkowskiwaarnemer in het Rindlerdiagram.

5.3 Fysische Interpretatie

Het resultaat uit de vorige sectie beschrijft een van de meest vreemde natu-urkundige resultaten van de afgelopen eeuw. Er is immers duidelijk beargu-menteerd in de sectie over de algemene relativiteitstheorie dat niets kan ontsnap-pen uit een zwart gat als het binnen de horizon is gekomen. Toch blijkt erstraling vanaf te komen als we de quantumtheorie erbij halen. De fysische in-terpretatie van Hawking straling komt dan ook uit de quantumvelden theorie.

De quantumvelden theorie voorspelt namelijk dat er in ’lege’ ruimte constantvirtuele deeltjes paren worden gecreeerd, dat mogelijk is in de theorie vanwegehet Heisenberg onzekerheidsprincipe. Nu is de ruimte nabij de horizon vaneen zwart gat lokaal niet anders dan ergens anders in de ruimtetijd, dus ookdaar kunnen we de creatie van virtuele deeltjes paren verwachten. Als zo’ndeeltjes paar gevormd wordt, is er de mogelijkheid dat een van de twee virtueledeeltjes ontstaat achter de horizon en de ander buiten de horizon. Het deeltjebinnen de horizon kan nooit meer terugkeren naar de regio buiten de horizon,en als het deeltje dat gevormd is buiten de horizon genoeg energie heeft om degravitationele potentiaal te overbruggen is dit effectief gezien straling afkomstigvan de horizon. Het virtuele paar is dus omgezet in een reeel paar, wat lijktte leiden tot een schending van energiebehoud. Dit wordt opgelost doordat deenergie van het deeltje binnen de horizon negatief kan zijn, wat te maken heeftmet het ruimteachtig worden van de tijdscoordinaat binnen de horizon. Dat ereen deeltje binnen het zwarte gat komt met negatieve energie zal leiden tot eenafname van de energie (massa) van het zwarte gat, dat als gevolg heeft dat eenzwart gat verdampt. Dit wordt in de volgende sectie uitgebreid besproken.

30

5.4 Gevolgen

Hawking straling heeft aantal zeer grootse gevolgen voor de manier waarop weover zwarte gaten nadenken. Het heeft bijvoorbeeld geleid tot de zogenaamdezwarte gaten thermodynamica, waar de nulde tot en met de derde hoofdwet uitde thermodynamica een equivalent hebben in de zwarte gaten mechanica. Indeze sectie zal niet worden ingegaan op de thermodynamica, maar zullen wewel de verdamping van een zwart gat bestuderen en als laatst de informatieparadox.

5.4.1 Verdamping Zwarte Gaten[7]

Nu we hebben gezien dat een zwart gat straling uitzendt met een temperatuurvan TH = 1

8πGM , kunnen we ons afvragen of er ooit een eind komt aan dezestraling. Anders gezegd willen we de vraag beantwoorden of het mogelijk is dateen zwart gat ooit zou kunnen verdampen. Aangezien we niks kunnen zeggenover de vorm van energie binnen een zwart gat, vanwege de horizon, wordt ditbeschreven door slechts een parameter, de massa M van het zwarte gat. Ditis een voldoende manier om over de energie van een zwart gat na te denken,aangezien Einsteins meest beroemde wet E = mc2 beide grootheden aan elkaargelijk stelt. Verdamping van het zwarte gat zou dan dus leiden tot een afname inmassa. Een vrij simpele heuristische berekening leidt ons tot een kwantificatievan dit verlies van massa, en daarmee tot de levensduur van een zwart gat.

De Stefan-Boltzmann wet stelt dat, ervan uitgaande dat een zwart gat eenperfect zwart lichaam is, de energie uitgezonden per tijdseenheid gegeven wordtdoor

L = σAT 4H .

Door deze uitdrukking gelijk te stellen aan de afname van de massa krijgen weeen differentiaal vergelijking voor de massa:

dM

dt= −π

2

60AT 4

H . (68)

Door te bedenken dat straling vanaf de horizon r = 2GM wordt uitgezonden enaannemend dat het zwarte gat verder perfect sferische symmetrie heeft, volgtvoor de oppervlakte A:

A = 16πG2M2.

Ook weten we dat de temperatuur van het zwarte gat gerelateerd is aan massavan het zwarte gat, zoals hierboven is beschreven. Door dit in te vullen in (68)krijgen we:

dM

dt= − 1

15360πG2M2. (69)

We zien dus dat energie door een zwart gat uitgezonden per tijdseenheid evenredigis met 1

M2 , dus hoe kleiner een zwart gat hoe heter die is en dus sneller ver-dampt. Dit past ook nog in de interpretatie van de virtuele deeltjes paren alsoorzaak van Hawking straling. Naarmate het zwarte kleiner wordt, verliezendeeltjes minder energie aan het overbruggen van de gravitationele potentiaal enzijn dus ’heter’.

31

Aangenomen dat de massa van het zwarte gat op t = 0 gelijk was aan M0

volgt de oplossing:

M(t) = M0(1− t

5120πM30G

2).

Als we de oorspronkelijke constantes er weer in terug brengen, krijgen we voorde levensduur van een zwart gat de uitdrukking

τ =5120πM3

0G2

~c4.

Een interessant resultaat is dat de levensduur van het zwarte gat vrij sterkafhangt van de initiele massa van het gat. Om dit te illustreren staan in devolgende tabel voor een paar relevante massa’s de levensduur.

Initiele massa M0 Levensduur τ Temperatuur TH2 · 1030 kg (Zonnemassa) 2.2 · 1067 jaar 61 nK1015 g (Oer zwart gat) 2.7 · 1012 jaar 1011 K2 · 10−5 g (Planckmassa) 8.5 · 10−41 s 1031 K

We zien dat de levensduur van een zwart gat met de zonnemassa veel langeris dan de leeftijd van het heelal. We zullen het verdampen van zo’n gat nietalleen nooit waarnemen vanwege de levensduur, ook de temperatuur is velemalen lager dan de microgolf achtergrond straling. Dit betekent dat dit zwartegat meer straling zal absorberen dan uitzenden. Interessanter is de levensduurvan een zogenaamd oer zwart gat, een hypothetisch zwart gat dat is ontstaanvlak na de oerknal, niet door het ineenstorten van een ster maar door de hogemassa/energie dichtheid in het vroege universum. De levensduur van zo’n zwartgat is vergelijkbaar met de leeftijd van het heelal nu, en zou een interessanteexperimentele test kunnen zijn voor het bestaan van Hawking straling. De lev-ensduur van een zwart gat met de Planckmassa is hoogstwaarschijnlijk incorrectaangezien het totaal niet zeker is dat de natuurwetten zoals wij ze kennen het-zelfde zijn op de Planckschaal. Hier zouden andere onbekende (quantum grav-itationele) effecten de overhand kunnen hebben. De semi-klassieke berekeningvan de levensduur dient dan ook met een flinke korrel zout genomen te worden.

Opgemerkt dient te worden dat de afleiding van de levensduur van een zwartgat kort door de bocht is. De afleiding geldt alleen als er na het ontstaanvan het zwarte gat niks meer in het zwarte gat valt, een vrij onrealistischeaanname aangezien de Hawking temperatuur voor een astrofysisch zwart gatzo ontzettend laag is dat het meer energie zal absorberen dan uitzenden. Voorbijvoorbeeld microscopische zwarte gaten kan de berekening wel relevant zijn,aangezien de levensduur van deze zwarte gaten een stuk korter is waardoor zeeen verwaarloosbare hoeveelheid energie zouden absorberen. Dit soort zwartegaten zouden eventueel in de LHC gemaakt worden, maar verdampen dus snelgenoeg voordat ze serieuze schade op aarde aan kunnen richten.

5.4.2 De Informatie Paradox[8]

Uit de afleiding van de Hawking effect blijkt dat de straling een exact thermischspectrum beschrijft. De temperatuur van een statisch zwarte gat (zonder lad-ing) is slechts afhankelijk van een parameter, de massa M . Concreet betekentdit dat Hawking straling afkomstig van een statisch zwart gat op geen enkele

32

manier alle informatie die ooit was bevat in de ster, waaruit het zwarte gat isontstaan, kan dragen, aangenomen dat het zwarte gat uiteindelijk volledig ver-dampt. Dit wordt de informatie paradox genoemd, omdat het verloren gaan vaninformatie in strijd is met de quantumtheorie. Het probleem is dat unitariteitwordt geschonden, dat van cruciaal belang is voor de quantummechanica omeen consistente theorie te zijn. Unitariteit houdt namelijk in dat de som van dekansen van alle mogelijke uitkomsten van een bepaald proces altijd 1 is.

Na de stelling van Hawking dat informatie verloren gaat in een zwart gathebben vele fysici een oplossing voor de paradox proberen te vinden die laatzien dat informatie wel degelijk behouden blijft. De quantummechanica is im-mers niet een theorie die je zomaar wilt opgeven. Er zijn in die jaren tal vanoplossingen uit geprobeerd en vele zijn afgevallen. De consensus is inmiddelsdat informatie behouden blijft, alhoewel het precieze mechanisme dat zorgt voorhet behoud van de informatie nog onbekend is.

Een mogelijke oplossing van de informatie paradox is dat de informatie nietbinnenin het zwarte gat is opgeslagen, maar tijdens het vormen van de horizonop het oppervlak van het zwarte gat blijft zitten. Een belangrijke aanwijzinghiervoor is het feit dat er een entropie aan een zwart gat is toe te kennen endat deze entropie proportioneel is aan de oppervlakte[1]. Aangezien de entropievan het zwarte gat een maat is voor de hoeveelheid verloren informatie van deineenstortende ster[5], lijkt het erop dat deze verloren informatie zich vreemdgenoeg niet binnenin het zwarte gat bevindt, i.e. proportioneel aan het vol-ume, maar zich juist op het horizon-oppervlak bevindt. Het is nuttig om hetzogenoemde Penrose ruimtetijd diagram (figuur 6) van een ineenstortende sterte bekijken om een beetje gevoel te krijgen voor het blijven zitten van de in-formatie op het oppervlak. Zoals goed is te zien aan het diagram vormt dehorizon op een gegegeven moment in de tijd op r = 0. Omdat voor een ob-servant buiten het zwarte gat er nooit iets voorbij de horizon lijkt te gaan, zalde buitenstaande observant nooit materie van de ster binnen de horizon zienvallen. Wat er achter de horizon wel zit is voor de waarnemer buiten niet rel-evant, aangezien dat gedeelte van ruimtetijd causaal van hem is afgesloten. Zolijkt het er dus op dat informatie van de ster niet het zwarte gat invalt maardaarentegen voor altijd zichtbaar is voor een observant buiten het zwarte gat.Deze manier van behoud van informatie als ultiem gevolg van gravitationeleroodverschuiving laat in zekere mate zien dat informatie voor twee verschil-lende waarnemers op verschillende plekken terecht kan komen maar toch voorbeiden behouden blijft. Een vrijvallende waarnemer richting het zwarte gat zouimmers de informatie met zichzelf mee kunnen nemen en daarom het achter dehorizon tot zijn beschikking hebben, maar hij zou dat nooit meer kunnen latenweten aan een observant buiten het zwarte gat. Er is dus een fundamenteelverschil in de perceptie van informatie en waar die is gelocaliseerd voor de tweeverschillende waarnemers, maar voor beiden lijkt informatie niet verloren tegaan.

Het mechanisme waarmee de straling van de horizon afkomt, afkomstig vande materie van de ster waardoor de observant de informatie kan ontvangen, isechter nog niet precies bekend. Het zou kunnen dat de uitgaande Hawkingstral-ing gecorreleerd is aan de aan de ingaande materie waardoor kleine storingenin het thermische spectrum van deze straling de informatie in zich draagt. Erzijn pogingen gedaan om verstrooiing rond de horizon te beschrijven waardoorinformatie op de Hawkingstraling kan worden overgebracht[9]. Het probleem

33

Figuur 6: Penrose diagram van een ineenstortende ster[3]. Alle lichtkegels indit diagram hebben openingshoeken van 45, en zien er dus uit als in vlakkeruimte. De tijd loopt in dit diagram van onder naar boven. De dikke zwarte lijnstelt het opppervlak van een ineenstortende ster voor en de linker verticale lijngeeft het centrum aan van de ster. De gestippelde lijn is horizon die onstaat opr = 0. Verder staan i− en i+ voor respectievelijk het oneindige verleden en deoneindige toekomst van een fysische waarnemer, F− en F+ voor het oneindigeverleden en de oneindige toekomst van een lichtstraal en i0 voor de acausaleoneindige toekomst.

hiermee is dat de invallende deeltjes zeer blauwverschoven worden naarmateze dichterbij de horizon komen en in het zogenaamde ’transplanckian’ regimekomen, waar de huidige theorieen hun voorspellingskracht verliezen. Om dezebotsingen te beschrijven is er de nog niet gevonden quantumgravitatie nodig ofeen andere fundamentele wijziging in het denken over hoe materie en ruimtetijdwisselwerken.

34

6 Conclusie & Discussie

In deze scriptie is aangetoond dat er van een zwart gat straling afkomt. Klassiekgezien is dit een contradictie, maar wanneer de quantumvelden theorie zijnintrede doet blijkt er zoiets als straling te bestaan. We hebben geconcludeerddat de horizon van het zwarte gat juist de oorzaak is van een fenomeen alsHawkingstraling. Het interessante aan de afleiding is dat we de thermischeeigenschappen van de horizon van het zwarte gat hebben verkregen uit eenberekening in vlakke ruimte door gebruik te maken van het equivalentie principe.Ook in vlakke ruimte kwam de waarneemhorizon voor als belangrijkste oorzaakvoor het thermische karakter van het vacuum van een stilstaande waarnemervoor een versnellende waarnemer. De afleiding laat ons zien dat de toestandvan een quantumveld, en dus het aantal deeltjes in een bepaalde ruimte, nietuniek is gedefinieerd zoals we zouden verwachten in het beeld van deeltjes alsgelocaliseerde ’knikkers’. Het is duidelijk geworden dat de interpretatie vande toestand van een veld afhankelijk is van het soort waarnemer. Als gevolgvan de creatie van virtuele deeltjes paren nabij de horizon, zowel de Rindlerhorizon als de horizon van het zwarte gat, in combinatie met de verschillendenoties van tijd voor de verschillende waarnemers konden we heuristisch inzienhoe de interpretatie van het quantumveld kon verschillen voor verschillendewaarnemers.

Het resultaat dat de Hawkingstraling een precies thermisch spectrum beschri-jft blijft iets ontzettend verrassends. We hebben immers nergens de thermo-dynamica gebruikt in de afleiding, maar slechts een quantumveld in de bu-urt van een horizon geplaatst. Door te bestuderen hoe een zwart gat er inquantumveldentheorie uitziet, bleek dat er een (nog onbekende) statistische on-dergrond bij het zwarte hoort, die macroscopisch slechts een paar parametersbeschrijven en in het geval van een statisch zwart gat zonder lading zelfs maareen parameter, namelijk de massa M . Dit is net als in de thermodynamica waarook slechts een paar parameters zoals druk en temperatuur emergeren uit destatistiek van ingewikkelde wisselwerkingen tussen de verschillende atomen opmicroscopische schaal. Het Hawking effect verstevigt de zwarte gaten thermody-namica enorm, nadat er in eerste instantie slechts een vergelijking was gemaakttussen de oppervlakte van een zwart gat en entropie[1].

We hebben ook een schatting kunnen maken van de levensduur van eenzwart gat, en belangrijker hebben we als gevolg van de verdamping de infor-matie paradox besproken. Uiteindelijk is er geconcludeerd dat informatie nietverloren gaat, en in zekere zin waarnemers afhankelijk is. Voor verschillendewaarnemers blijft de informatie bevat in een zwart gat behouden, alhoewel zijde informatie op verschillende, voor elkaar causaal afgesloten gedeeltes van deruimtetijd beschouwen. Deze conclusie is interessant aangezien in deze conclusieeen ’nieuwe’ relativiteit om de hoek komt kijken naast de bekende relativiteitvan de ruimtetijd: relativiteit van deeltjes voor verschillende waarnemers endaarmee in zekere zin ook relativiteit van informatie. Het is interessant vooreen vervolg studie om dieper in te gaan op deze relativiteit van ruimtetijd endeeltjes, waartussen in het nieuwe paradigma zoals gegeven door [11] een con-nectie zou kunnen zijn. Dit zou leiden tot een meer gelijkwaardige behandelingvan de ruimtetijd zelf en deeltjes, beide emergent uit een fundamentelere enonbekende informatie bron.

Ook buiten het paradigma van Verlinde kan de in deze scriptie gegeven link

35

tussen de thermodynamica en quantumveldentherie in gekromde ruimtetijd alseen belangrijke aanwijzing richting een theorie voor quantumgravitatie wordengezien. In ieder geval is het duidelijk geworden dat we met de huidige theo-rieen niet goed kunnen beschrijven wat er precies rond de horizon van een zwartgat gebeurt. Het nog steeds niet precies bekende mechanisme achter het be-houd van informatie is waarschijnlijk een gevolg van deze onwetendheid, en hetzoeken naar oplossingen zou ons dichter in de buurt kunnen brengen van eenfundamentelere beschrijving van de ruimtetijd en materie daarin. Een ding datzeker is, is dat zwarte gaten de ultieme studie objecten zijn voor het beter begri-jpen van de wereld om ons heen. Een beter begrip van wat er nou precies rondde horizon gebeurt zou de theoretische natuurkunde een flinke impuls kunnengeven, en wie weet wat dit voor uitwassen kan hebben in andere takken van denatuurkunde.

Grote dank gaat uit naar prof. dr. Erik Verlinde voor het begeleiden vandeze scriptie en zijn vermogen om iedere vraag op een heldere, fysisch duidelijkemanier te kunnen beantwoorden. Verder wil ik ook Bram Wouters bedankenvoor de voornamelijk technische hulp bij het doorwerken van de afleiding vanhet Hawking effect.

Referenties

[1] J. Bekenstein. Black holes and entropy. Physical Review D, Vol. 7, nr. 8,1973.

[2] Birrell and Davies. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge UniversityPress, 1984. Hoofdstuk 3, paragraaf 4.5 & paragraaf 8.1.

[3] Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry. Addison-Wesley, 2004. Para-grafen 2.1, 5.6 & 5.7 en hoofdstuk 9.

[4] James B. Hartle. Gravity. Addison-Wesley, 2003. Hoofdstukken 6 & 13.

[5] S. W. Hawking. Black holes and thermodynamics. Physical Review D, Vol.13, nr. 2, 1975.

[6] S. W. Hawking. Particle creation by black holes. Communications inMathematical Physics, Vol. 43, nr. 3, 1975.

[7] V. F. Mukhanov. Quantum Fields in Classical Backgrounds. CambridgeUniversity Press, 2004. Draft version, paragraaf 4.1.2, hoofdstuk 6 & 9.

[8] John Preskill. Do black holes destroy information? Unpublished, arXiv:hep-th/9209058v1, 1992.

[9] G. ’t Hooft. The scattering matrix approach for the quantum black hole.Unpublished, arXiv:gr-qc/9607022v1, 1996.

[10] Gerard ’t Hooft. Quantum Gravity and Black Holes. p. 208-219.

[11] E. P. Verlinde. On the origin of gravity and the laws of newton. Unpublished,arXiv:hep-th/1001.0785v1, 2010.

36