GEOMETRISCHE OPTICA

20092010

5.3

Lenzen

Terminologie

Een lens is een doorzichtig voorwerp dat begrensd is door twee gebogen oppervlakken of door een gebogen en een vlak oppervlak. Wij beperken ons altijd tot gevallen waarbij het gebogen oppervlak bolvormig is. Er zijn twee soorten lenzen, deze die in het midden dikker zijn dan op de randen; zij worden aangeduid onder de naam bolle, convergerende, convexe, of positieve lenzen aangeduid. De tweede soort zijn het dunst in het midden; ze worden holle, divergerende, concave of negatieve lenzen genoemd. Enkele mogelijke configuraties: Bolle of convexe lenzen

Biconvex

Planconvex

Concaaf-convex

Holle of concave lenzen

Biconcaaf

Planconcaaf

Convex-concaaf

Volgende figuur illustreert enkele termen i.v.m. sferische lenzen.

C2

r1C1

r2

Krommingsmiddelpunten C1, C2: de middelpunten van de begrenzende boloppervlakken. Kromtestralen r1, r2: de stralen van de begrenzende boloppervlakken Hoofdas: de rechte C1 C2 Pieter Vandaele foto- en colorimetrie 26

GEOMETRISCHE OPTICA

20092010

We veronderstellen dat de lens gemaakt is van glas of een andere doorzichtige stof met een brekingsindex die groter is dan de brekingsindex van de lucht rond de lens. In deze paragraaf beperken we ons verder tot dunne sferische lenzen. Dat wil zeggen dat de gegeven formules enkel gelden voor lenzen waarvan de dikte zeer klein is in vergelijking met de kromtestralen. Men kan aantonen dat lenzen een optisch middelpunt bezitten dat op de hoofdas gelegen is. Bij dunne lenzen heeft dat optisch middelpunt de eigenschap dat stralen die daardoor gaan bijna niet gebroken worden en bij benadering gewoon rechtdoor lopen.Brandpunt en brandpuntsafstand

Lichtstralen die door een lens passeren worden 2 keer gebroken. Uit de wet van Snell volgt dat de stralen bij bolle lenzen twee keer gebroken worden naar de hoofdas (zie onderstaande figuur). Als de lichtstralen evenwijdig met de hoofdas invallen, dan stellen we vast dat ze allemaal gefocust worden in een zelfde punt, het brandpunt F. De afstand gemeten van het midden van de lens naar het brandpunt wordt de brandpuntsafstand genoemd.

Brandpunt F

Brandpuntsafstand f

Als de lichtstralen afkomstig zijn van een voorwerp in de verte, dan zijn ze praktisch evenwijdig. We kunnen dus zeggen dat het brandpunt het beeldpunt is van een voorwerp op oneindig op de as van de lens. Als we met een lens wat experimenteren om een scherp beeld te krijgen van de zon of een ander voorwerp in de verte, dan kunnen we het brandpunt lokaliseren en zo de brandpuntsafstand van de lens bepalen. We merken op dat we de lens kunnen omdraaien zodat het licht er langs de andere kant op invalt en dat we dan precies dezelfde situatie krijgen. Met andere woorden: een lens heeft twee brandpunten en ze liggen symmetrisch t.o.v. de lens. Ook parallelle lichtbundels die niet evenwijdig met de hoofdas invallen convergeren bij bolle lenzen in n punt, dat niet meer op de hoofdas gelegen is, maar wel op het brandvlak. Daarom worden bolle lenzen ook wel convergerende lenzen genoemd. Pieter Vandaele foto- en colorimetrie 27

brandvlak

GEOMETRISCHE OPTICA

20092010

Bij holle lenzen merken we dat een parallelle lichtbundel divergeert nadat hij door de lens is gepasseerd, daarom worden holle lenzen ook wel divergerende lenzen genoemd.

F2

F1

F1

F2

Convergerende lens

Divergerende lens

Als een lichtbundel bij een holle lens parallel met de hoofdas invalt, dan lijkt het alsof de stralen van de gebroken divergerende lichtbundel afkomstig zijn vanuit een punt dat op de hoofdas gelegen is. Dat punt wordt het brandpunt van de divergerende lens genoemd. In tegenstelling tot bij bolle lenzen kan het brandpunt bij divergerende lenzen niet op een scherm opgevangen worden. Een holle lens heeft dus een virtueel brandpunt en een bolle lens een reel brandpunt. Oogartsen werken bij het bepalen van de sterkte van een bril niet met de brandpuntsafstand, maar met het omgekeerde ervan. Men spreekt van het convergerend vermogen of de sterkte van de lens. Dit wordt uitgedrukt in dioptrie, D = m 1.

c=Constructiestralen

1 f

De ligging van het beeld kan volledig bepaald worden eenmaal het brandpunt bekend is. We kunnen gebruik maken van constructiestralen om een beeld van een voorwerp te construeren. 1. een straal die evenwijdig met de hoofdas invalt, gaat na de breking door het brandpunt F1 (of lijkt er uit te komen, bij een divergerende lens) 2. een straal die invalt door het andere brandpunt F2, gaat na breking evenwijdig met de hoofdas 3. een straal die door het optisch middelpunt gaat, wordt niet gebroken en loopt rechtdoor

Pieter Vandaele

foto- en colorimetrie 28

GEOMETRISCHE OPTICA

20092010

F1 F2 F1 F2

Formule

De positie van het beeld kan daarnaast ook exact berekend worden met volgende formule:

1 1 1 + = v b f

Daarbij is v de voorwerpsafstand, dit is de afstand gemeten vanaf de lens tot aan het voorwerp. b de beeldafstand, dit is de afstand gemeten vanaf de lens tot aan het beeld. Er moet wel rekening gehouden worden met volgende tekenafspraken. v > 0 als hij gemeten wordt vanaf het brekend oppervlak in tegengestelde zin van het invallend licht (dus v > 0 bij reel en v < 0 bij een virtueel voorwerp) b > 0 als hij gemeten wordt vanaf het brekend oppervlak in dezelfde zin van het invallend licht (dus b > 0 bij reel en b < 0 bij een virtueel beeld) f > 0 bij bolle lenzen en f < 0 bij holle lenzen

Vergroting

De vergroting van een lens is gedefinieerd als de grootte van het beeld gedeeld door de grootte van het voorwerp. We kunnen eenvoudig afleiden dat de vergroting m van een lens ook kan berekend wordenm= grootte beeld b = grootte voorwerp v

met de afspraak dat m > 0 voor rechtopstaande beelden en m < 0 voor omgekeerde beelden.

Pieter Vandaele

foto- en colorimetrie 29