Goniometrie Afstandsleren BA2010

Overzicht van de module:(31-8-2014)

Blz. 1 t/m 4 is intro en weekoverzicht.

Blz. 5 t/m 18 is de hele module van de ELO.

Natuurlijk blijft de echte ELO altijd leidend!

Groet, Michel van Winkel, S1083680

Deze module vormt de basis van de goniometrie. De kennis hiervan heb je in je verdere opleiding op diverse plekken nodig.Goniometrie betreft in eerste instantie berekeningen in driehoeken. Goniometrische verhoudingen (zoals de sinus, de cosinus en de tangens) staan daarbij centraal. Met behulp van de belangrijke eenheidscirkel worden de goniometrische functies gedefinieerd. Deze vormen de basis om periodieke verschijnselen wiskundig te beschrijven. Verder leer je methoden om goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen. Ten slotte leer je vaardigheden om met goniometrische formules te kunnen werken.--

Toetsing Het vak wordt afgerond met een schriftelijk tentamen.Het vak is behaald als het cijfer groter dan of gelijk is aan 5,5.--

 StudiebelastingDe studiebelasting voor deze module bedraagt 2 EC's (= 28 studie belastingsuren per EC). --Verplichte literatuur:De leerstof voor de module goniometrie vind je in het dictaat dat hier als pdf-bestand is bijgevoegd.

dictaat goniometrie-juni2010.pdf Aanbevolen literatuur:Daarnaast biedt het boek Basisboek Wiskunde van Van de Craats (H17,Goniometrie), veel oefenstof--

  Doelstellingen week 1Kennen:

goniometrische verhoudingen goniometrische verhoudingen van speciale hoeken complementshoeken eenvoudige goniometrische formules.

Kunnen: eenvoudige berekeningen afleidingen en bewijzen.

--dictaatonderwerpen:goniometrische verhoudingen: sinus cosinus, tangenseen aantal goniometrische identiteiten

----leereenheid 1, op de elo of onderaan in dit document—

   Doelstellingen week 2Kennen:

cosinus- en sinusregel de afleiding van de cosinus- en sinusregel oppervlakteformules voor driehoeken de formule van Heron

Kunnen: berekeningen m.b.v. cosinus- en sinusregel oppervlakteberekeningen

--dictaatonderwerpen:cosinus- en sinusregel, oppervlakteformules voor driehoeken--leereenheid 1, op de elo of onderaan in dit document--

  Doelstellingen week 3Kennen:

radiaal definitie cosinus, sinus en tangens voor alle hoeken de eenheidscirkel grafieken van sin, cos en tan diverse (eenvoudige) goniometrische relaties verbanden tussen definitie, eenheidscirkel en grafieken

Kunnen: omzetten van graden naar radialen en omgekeerd berekenen van cos, sin en tan werken met de eenheidscirkel schetsen van grafieken van goniometrische functies afleiden/bewijzen van diverse relaties

--dictaatOnderwerpen:radialen, eenheidscirkel, goniometrische functies, grafieken, periodiciteit, enkele goniometrische identiteiten--leereenheid 1, op de elo of onderaan in dit document--

Doelstellingen week 4Kennen:

periodiciteit sinusoïden oplossingen van de elementaire goniometrische vergelijkingen

Kunnen: berekeningen in het kader van perioden. schetsen van grafieken van goniometrische functies oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen

--dictaatOnderwerpen:elementaire goniometrische vergelijkingen. Gebruik goniometrische formules voor het oplossen van vergelijkingen--leereenheid 1, op de elo of onderaan in dit document—

Doelstellingen week 5Kunnen

oplossen van goniometrische vergelijkingen oplossen van goniometrische ongelijkheden gebruik van goniometrische formules om vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen bewijzen van eenvoudige goniometrische formules

--dictaatOnderwerpen:goniometrische ongelijkheden, goniometrische formules, zoals somformules en verdubbelingsformules--leereenheid 1, op de elo of onderaan in dit document--

  Doelstellingen week 6Kennen

diverse goniometrische formules: somformules, verdubbelingsformulesKunnen

toepassen van goniometrische formules bewijzen van formules zoals in de opgaven en voorbeelden

--dictaatOnderwerpen:goniometrische ongelijkheden, goniometrische formules, zoals somformules en verdubbelingsformules--leereenheid 1, op de elo of onderaan in dit document--

  Doelstellingen week 7De student beheerst de leerstof en bereidt zich voor op het tentamen

--dictaatOnderwerpen:Vragen en/of oefententamen

--HerhalingWe hebben nu alle leerstof gehad voor deze cursus. Het tentamen staat voor de deur.Ter voorbereiding kun je een oefententamen maken: VoorbeeldtentamenGonio.pdfMaak de opgaven in eerste instantie zonder de uitwerking te raadplegen. Als je niet direct uit een opgave komt zoek dan het relevante deel uit het dictaat en bestudeer dat. Probeer de opgave dan opnieuw.Raadpleeg tot slot de uitwerking van de opgaven: Uitwerkingen voorbeeldtentamen.pdfVeel succes met het tentamen.

EINDE MODULE

Hierna volgt de hele module van de ELO.

Deze module vormt de basis van de goniometrie. De kennis hiervan heb je in je verdere opleiding op diverse plekken nodig.Goniometrie betreft in eerste instantie berekeningen in driehoeken. Goniometrische verhoudingen (zoals de sinus, de cosinus en de tangens) staan daarbij centraal. Met behulp van de belangrijke eenheidscirkel worden de goniometrische functies gedefinieerd. Deze vormen de basis om periodieke verschijnselen wiskundig te beschrijven. Verder leer je methoden om goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen. Ten slotte leer je vaardigheden om met goniometrische formules te kunnen werken.

--

Toetsing 

Het vak wordt afgerond met een schriftelijk tentamen.

Het vak is behaald als het cijfer groter dan of gelijk is aan 5,5.

--

 Studiebelasting

De studiebelasting voor deze module bedraagt 2 EC's (= 28 studie belastingsuren per EC). 

--

Verplichte literatuur:

De leerstof voor de module goniometrie vind je in het dictaat dat hier als pdf-bestand is bijgevoegd.

dictaat goniometrie-juni2010.pdf

Aanbevolen literatuur:Daarnaast biedt het boek Basisboek Wiskunde van Van de Craats (H17,Goniometrie), veel oefenstof--

      Doelstellingen week 1

Kennen:

goniometrische verhoudingen goniometrische verhoudingen van speciale hoeken

complementshoeken eenvoudige goniometrische formules.

Kunnen:

eenvoudige berekeningen afleidingen en bewijzen.

--

  

dictaat

onderwerpen:

goniometrische verhoudingen: sinus cosinus, tangens

een aantal goniometrische identiteiten

--

Goniometrische verhoudingen

Het hoofdstuk start met de definitie van de goniometrische verhoudingen als verhoudingen van zijden van een rechthoekige driehoek. Deze verhoudingen heten sinus, cosinus en tangens. De bekende ezelsbrug SOSCASTOA helpt je om de definities te onthouden:

SOS: Sinus is Overstaande rechthoekszijde gedeeld door Schuine zijde CAS: Cosinus is Aanliggende rechthoekszijde gedeeld door Schuine zijde TOA: Tangens is Overstaande rechthoekszijde gedeeld door Aanliggende rechthoekszijde

Bestudeer de eerste paragraaf Rechthoekige driehoeken en maak de bijbehorende opgaven.

Bedenk dat de sinus cosinus en tangens altijd betrekking hebben op een hoek. Zo heeft sin op zichzelf geen betekenis, maar sin( wel.

Er zijn nog drie goniometrische verhoudingen, namelijk cosecans, secans en cotangens. Deze hoef je niet te kennen.

Belangrijk ook zijn formule 1 en 2. Dit zijn twee relaties tussen de goniometrische verhoudingen.

Maak eventueel als extra oefening opgave 17.22 t/m 17.24 uit het boek van van de Craats.

--

Enkele speciale hoeken

Bestudeer nu de tweede paragraaf van hoofdstuk 1 en maak de opgaven.

De goniometrische verhoudingen van de hoeken 30o, 45o en 60o zijn erg belangrijk. Het is nodig dat je die waarden altijd paraat hebt. De verhoudingen worden uitgerekend door steeds een geschikte rechthoekige driehoek te nemen (hier speelt de stelling van Pythagoras een rol) en de verhoudingen van de betreffende zijden uit te rekenen. In het volgende bestand vind je een overzicht:

               Goniometrische verhoudingen van drie speciale hoeken.pdf

OpmerkingBij de berekeningen komen wortels in de noemer te staan. Het is nodig dat je in staat bent de wortels in de noemer weg te werken. Een voorbeeld van hoe je dat doet: een wortel in de noemer.pdf

Maak eventueel als extra oefening opgave 17.22 t/m 17.24 uit het boek van van de Craats.

--

De eerste goniometrische formules

Je zult in deze module veel formules tegenkomen, waarmee je ook moet kunnen werken. Veel studenten vinden dit een lastig onderwerp, zeker in het begin.

Eerder ben je al formule 1 en 2 tegengekomen: de formule die de tangens relateert aan de sinus en de cosinus en (in feite) de stelling van Pythagoras.

Nu komt de paragraaf Complementshoeken aan de orde. Bestudeer deze en maak de opgaven. Formules 3 en 4 betreffen zogeheten complementshoeken. (Twee hoeken die samen 90o zijn heten elkaars complement.) In woorden:

De sinus van het complement van een hoek is gelijk aan de cosinus van die hoek.

De cosinus van het complement van een hoek is gelijk aan de sinus van die hoek.

Hoofdstuk 1 wordt afgesloten met de eerste oefeningen om goniometrische formules te herschrijven. Hierbij is het erg belangrijk dat je bedenkt dat goniometrische verhoudingen gewone getallen zijn, ook al zien ze er ingewikkeld uit. In het begin kan het handig zijn om de verhoudingen te vervangen door een x of een y: dan wordt de formule vaak wat inzichtelijker. Aan deze manier van werken moet je waarschijnlijk wel wennen.

--

Overzicht formules

In dit hoofdstuk heb je de eerste vier goniometrische formules geleerd. In de loop van deze cursus leer je er nog meer. Veel van deze formules kom je in de loop van je studie zeer geregeld tegen. Daarom is het nodig dat je die in ieder geval paraat hebt, ook nadat je dit vak hebt afgerond.

Deze eerste vier formules vind je in het volgende document: Goniometrische formules-week 1.pdf

Leer deze uit je hoofd.

Deze lijst wordt in de komende weken uitgebreid. 

--

      Doelstellingen week 2

Kennen:

cosinus- en sinusregel de afleiding van de cosinus- en sinusregel oppervlakteformules voor driehoeken de formule van Heron

Kunnen:

berekeningen m.b.v. cosinus- en sinusregel oppervlakteberekeningen

--

  

dictaat

onderwerpen:

cosinus- en sinusregel, oppervlakteformules voor driehoeken

--

CosinusregelVoor een rechthoekige driehoek geldt de bekende stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2

waar a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde (ook hypotenusa genoemd). Deze formule kun je bijvoorbeeld gebruiken om, als je een rechthoekszijde en de schuine zijde kent, de andere rechthoekszijde uit te rekenen.

Maar, veel driehoeken zijn niet rechthoekig. In dat geval kan de cosinusregel van pas komen: als je twee zijden kent en de door die zijden ingesloten hoek, dan kun je de derde zijde uitrekenen.

Bestudeer nu de paragraaf Cosimusregel van hoofdstuk 2. De cosinusregel wordt uit de stelling van Pythagoras afgeleid: door de hoogtelijn te trekken ontstaan twee rechthoekige driehoeken, waarin de stelling van Pythagoras geldt.

--

SinusregelNaast de cosinusregel bestaat er ook de sinusregel: als je twee hoeken van een driehoek en een zijde kent (de cosinusregel helpt je dan niet) dan kun je deze gebruiken om de andere zijden uit te rekenen. Betsudeer de betreffende paragraaf uit het dictaat en maak de bijbehorende opgaven.

De sinusregel is heel belangrijk bij de zogeheten driehoeksmeting. Enige achtergrond hierover kun je vinden op http://nl.wikipedia.org/wiki/Driehoeksmeting.

Je kunt eventueel als extra oefening opgave 17.58 uit "Basisboek Wiskunde" van de Craats maken. Voor deze opgaven heb je een rekenmachine nodig. Bedenk echter dat je geen rekenmachine bij het tentamen mag gebruiken. Toch is het zinvol deze opgaven te maken als oefening in het gebruik van de (co)sinusregel.

--

Formules voor de berekening van oppervlaktes van een driehoekZeer bekend is de formule "basis maal halve hoogte" om de oppervlakte van een driehoek te berekenen. Er zijn echter meerdere zogeheten oppervlakteformules. Daar gaan de paragrafen Oppervlakteformulesen De formule van Heron over. Bestudeer deze paragrafen en maak de opgaven.

In de formule oppervlakte = 0.5 ∙bc ∙ sin(α) (zie pag. 11 van het dictaat) zijn b en c twee zijden en a de door die zijden ingesloten hoek.

Opgave 9 is een verdiepende opgave, bedoeld als uitdaging.

Voor beide oppervlakteformules heb je een hoek van de driehoek nodig. (In de eerste om de hoogte uit te rekenen.) Er bestaat echter ook een formule, de formule van Heron, waar je alleen de drie zijden nodig hebt.

De afleiding van de formule van Heron (vanaf de derde regel op pag. 13 en in opgave 12) hoef je niet te kennen, maar is wel zeer leerzaam.

--

      Doelstellingen week 3

Kennen:

radiaal definitie cosinus, sinus en tangens voor alle hoeken de eenheidscirkel grafieken van sin, cos en tan diverse (eenvoudige) goniometrische relaties verbanden tussen definitie, eenheidscirkel en grafieken

Kunnen:

omzetten van graden naar radialen en omgekeerd berekenen van cos, sin en tan werken met de eenheidscirkel schetsen van grafieken van goniometrische functies afleiden/bewijzen van diverse relaties

--

  

dictaat

Onderwerpen:

radialen, eenheidscirkel, goniometrische functies, grafieken, periodiciteit, enkele goniometrische identiteiten

  

--

InleidingIn deze week bestuderen we het eerste deel van hoofdstuk 3 uit het dictaat. Preciezer: hoofdstuk 3 tot en met opgave 6 komt aan de orde.

Globaal komen de volgende onderwerpen aan bod: radialen, de eenheidscirkel, definities van de goniometrische functies, grafieken en enige formules.

--

Radialen en de eenheidscirkelVelen zijn gewend hoeken in graden uit te drukken. Een binnen de wiskunde belangrijkere hoekmaat is de radiaal. Lees de eerst twee paragrafen van hoofdstuk 3 door en maak opgave 1. Je kunt eventueel ook nog opg 17.1 t/m 17.9 uit het boek van van de Craats maken als extra oefening.

De cosinus, sinus en tangens zijn in hoofdstuk 1 van het dictaat gedefinieerd voor scherpe hoeken. Nu worden ze voor alle mogelijke hoeken gedefinieerd. Dat gebeurt in de paragraaf DE EENHEIDSCIRKEL aan de hand van de eenheidscirkel. Dat is de cirkel met middelpunt O (de oorsprong) en straal 1. Bestudeer deze pargraaf en maak opgaven 2, 3 en 4.

Je komt het begrip kwadrant tegen. Hier vind je wat dat is: Kwadranten.pdf

Je ziet dat de hoeken alle in radialen worden uitgedrukt. van een aantal hoeken moet je de waarden van sinus, cosius en tangens paraat hebben. Die zul je tijdens de hele studie tegenkomen. Hier zijn ze nogmaals:

Goniometrische verhoudingen van speciale hoeken.pdf

In het dictaat vind je een tweede overzicht van belangrijke hoeken, in graden en radialen, geillustreerd in de eenheidscirkel, hier nogmaals weergegeven:

                                          

--

Grafieken en een aantal eenvoudige gonioformules

We hebben zojuist de sinus, cosinus en tangens voor alle mogelijke hoeken gedefinieerd. Als je nu de hoek als variabele beschouwt, dan krijg je de goniometrische functies sin(t), cos(t) en tan(t). De grafieken ken je waarschijnlijk wel. Je vind ze in de paragraaf GRAFIEKEN.

Het opbouwen van de grafieken van de goniometrische functies wordt mooi geillustreerd door de applet in deze link .Als  je op de site bent aangeland: klik op de button Click here to start en vink (rechtsonderin) alle drie functies aan en klik op start(linksonder).

Duidelijk is dat de sinus- en cosinusfunctie beide periodiek zijn met periode 2Niet direct duidelijk is dat de tangensfunctie een periode van  De afleiding hiervan vind je in het dictaat. Een goede oefening om met goniometrische formules te werken.

Maak opgave 5 en 6 ter afsluiting van deze leereenheid. Je kunt eventueel als extra oefening opgave 17.12 t/m 17.17 uit het boek van van de Craats maken.

--

Overzicht formules

Het is tijd om de lijst goniometrische formules uit te breiden. In deze leereenheid heb je er heel wat geleerd. Hier volgt het overzicht tot nu toe: Goniometrische formules-week 3.pdf . Merk op dat in formule 3 en 4 de hoeken nu in radialen zijn gegeven.

Het zal duidelijk zijn dat je de nummers van de formules niet uit je hoofd hoeft te kennen.

--

      Doelstellingen week 4

Kennen:

periodiciteit sinusoiden oplossingen van de elementaire goniometrische vergelijkingen

Kunnen:

berekeningen in het kader van perioden. schetsen van grafieken van goniometrische functies oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen

--

  

dictaat

Onderwerpen:

elementaire goniometrische vergelijkingen. Gebruik goniometrische formules voor het oplossen van vergelijkingen

--

InleidingIn deze leereenheid ronden we hoofdstuk 3 af en maken een start met hoofdstuk 4.

De onderwerpen die aan de orde komen zijn de periodiciteit van goniometrische functies en daarvan afgeleide functies, zoals sinusoiden. Ook bestuderen we het effect van bijvoorbeeld het optellen van periodieke functies op de periode van de som.

Dan maken we een begin met het oplossen van goniometrische vergelijkingen.

--

PeriodiciteitBestudeer de paragraaf PERIODICITEIT uit hoofdstuk 3 en maak de bijbehorende opgaven (opgave 7 t/m 10).

De evenwichtsstand, de amplitude en de horizontale verschuiving hebben geen invloed op de periode van een functie van de vorm a + b sin( c(x-d) ). (Dat is dus een sinusoide.) Alleen c beinvloedt de periode. Duidelijk zal zijn dat een dergelijke opmerking ook geldt als het over cosinus of tangens gaat.

Bij opgave 10 is een opmerking op zijn plaats: de controle m..b.v. een grafiek zal niet worden gevraagd bij het tentamen.

Wat wel belangrijk is is dat je in staat bent een grafiek te schetsen: belangrijke kenmerken zoals nulpunten geef je daarbij aan. Als extra oefening zijn de opgaven 17.34 t/m 17.42 uit het boeh van van de Craats zeker de moeite waard. Schets daarbij de grafieken met de hand, daar leer je het meeste van.

we zijn nu al een heel aantal goniometrische formules tegengekomen. De volgende link geeft een erg handig overzicht: http://www.mathmistakes.info/facts/TrigFacts/learn/uc/uc.html

--

Goniometrische vergelijkingen-1Begin met de bestudering van de paragraaf ELEMENTAIRE VERGELIJKINGEN. Het gaat hier natuurlijk om goniometrische vergelijkingen. Maak opgave 1, 2 en 3.

Door de periodiciteit van de goniometrische functies hebben goniometrische vergelijkingen i.h.a. oneindig veel oplossingen. Om dit te kunnen noteren wordt er gebruik gemaakt van de getallenverzameling Z, de verzameling van alle gehele getallen.

Belangrijk is het overzicht met de oplossingen van de drie elementaire goniometriche vergelijkingen. De strategie is om een gegeven goniometrische vergelijking te herschrijven naar zo'n elementaire. Dan kun je de oplossingen opschrijven en eventueel nog uitwerken en vereenvoudigen, zoals in voorbeeld 4 gebeurt.

Bestudeer voorbeeld 4 en maak opgave 4. Je kunt eventueel als extra oefening opgave 17.31 t/m 17.33 uit het boek van van de Craats maken.

--

      Doelstellingen week 5

Kunnen

oplossen van goniometrische vergelijkingen oplossen van goniometrische ongelijkheden gebruik van goniometrische formules om vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen bewijzen van eenvoudige goniometrische formules

--

  

dictaat

Onderwerpen:

goniometrische ongelijkheden, goniometrische formules, zoals somformules en verdubbelingsformules

--

InleidingVorige week zijn we bij opgave 4 van hoofdstuk 4 aangeland. Deze week ronden we hoofdstuk 4 af en maken een begin met hoofdstuk 5.

We gaan in deze leereenheid dieper in op het oplossen van goniometrische vergelijkingen. Bovendien komen ongelijkheden aan bod.

--

Goniometrische vergelijkingen-2We gaan hier wat dieper in op het oplossen van goniometrische vergelijkingen. Bestudeer de rest (dus vanf voorbeeld 5) van de paragraaf MEER VERGELIJKINGEN van hoofdstuk 4 en maak de opgaven 5, 6 en 7.

De vergelijkingen in voorbeeld 5 en 6 zijn elementair. Hier kun je direct de oplossingen van de elementaire vergelijkingen gebruiken. Voorbeeld 7 gaat wat verder: er moet eerst omgewerkt worden naar een elementaire vergelijking. Dat geldt ook voor opgave 5 en 6.

Opgave 7 is facultatief. Dus voor de liefhebber. Een wortel van een vergelijking  is hetzelfde als een oplossing.

Bestudeer de eerste paragraaf van hoofdstuk 5: INLEIDING en maak de bijbehorende opgaven. (De laatste paragraaf van hoofdstuk 4, ONGELIJKHEDEN, komt straks aan bod.)

Voorbeeld 2 en opgave 2 vormen een oefening in het afleiden van goniometrische formules. Die kunnen dan bijvoorbeeld gebruikt worden om vergelijkingen op te lossen.

--

Goniometrische ongelijkhedenWe sluiten deze leereenheid af met de bestudering van de laatste paragraaf van hoofdstuk 4: ONGELIJKHEDEN.

De strategie daarbij is als volgt:

Los de bijbehorende vergelijking op Schets de relevante grafiek(en) Lees de oplossing uit de grafiek af.

Bedenk dat de oplossing van de vergelijking de x-coordinaten van de snijpunten van de garfieken geeft.

Let ook op of eindpunten van intervallen wel of niet "meedoen".

Hiermee is de leereenheid van deze week afgerond.

--

      Doelstellingen week 6

Kennen

diverse goniometrische formules: somformules, verdubbelingsformules

Kunnen

toepassen van goniometrische formules bewijzen van formules zoals in de opgaven en voorbeelden

--

  

dictaat

Onderwerpen:

goniometrische ongelijkheden, goniometrische formules, zoals somformules en verdubbelingsformules

--

InleidingTot nu toe ben je al een heel aantal goniometrische formules tegengekomen. Deze formules beschrijven zekere eigenschappen van en verbanden tussen goniometrische functies. Je kunt ze bijvoorbeeld gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen.

De formules die je tot nu toe bent tegengekomen zijn van relatief eenvoudige aard. In deze leereenheid maak je kennis met een aantal "ingewikkeldere", maar belangrijke, formules. Ze komen niet zomaar uit de lucht vallen. Ze worden afgeleid, zodat je weet waar ze vandaan komen.

Bovendien leer je ermee te werken: dit zijn de algebraische vaardigheden voor goniometrische functies.

--

Som- en verschilformulesVeel beginnende studenten denken dat de volgende formule geldig is 

sin( = sin(sin

Dit klopt echter niet, zoals je makkelijk kunt nagaaan door bepaalde getalswaarden in te vullen. Je gaat hier leren wat wel klopt.

De leereenheid start met de som- en verschilformules: de sinus, cosinus en tangens van de som van twee hoeken worden daarmee uitgedrukt in de sinus, cosinus en tangens van de afzonderlijke hoeken.

Bestudeer de paragraaf FORMULES VOOR sin(EN cos(en maak opgave 3.

Maak als extra oefening eventueel opgave 17.28 d en e, 17.29 d en e en 17.30 b en d uit van de Craats. Gebruik daarbij de som en verschilformules. Ga daarbij op de manier te werk als in opgave 3c van hoofdstuk 5 van het dictaat.

Tenslotte kun je als extra oefening de overige sommen van opgave 17.28, 17.29 en 17.30 uit het boek van van de Craats maken. Ga daarbij te werk zoals in het boek is beschreven.

--

Dubbele hoek formulesDe somformules kunnen we gebruiken om de zogeheten dubbele hoek formules af te leiden. Neem in formule 8, 9 respectievelijk 12 beide hoeken gelijk. Dan krijg je formule 14, 15 respectievelijk 18.

Een veel gemaakte fout is dat men schrijft: sin(22sin(, maar zoals formule 14 laat zien: dit klopt niet! Voor de cosinus en tangens geldt dezelfde opmerking.

Je ziet dat er 3 verschillende formules zijn voor cos(2formuleen Je kunt er voor kiezen om alle drie formules uit je hoofd te leren. Je kunt er ook voor kiezen om formule 15 uit je hoofd te leren en de afleiding daaruit van formule 16 en 17 te onthouden.

Opmerking: In het dictaat worden de verdubbelingsformules uit de somformules afgeleid als speciaal geval. Het is ook interessant om te zien dat er ook andere mogelijkheden zijn. Bekijk eens de volgende afleiding van de dubbele hoek formule voor de sinus:sin2x=2sinxcosx.pdf

--

Som en verschil van sinussen en cosinussenDe laatste paragraaf van het dictaat bespreekt het optellen en/of aftrekken van sinussen en cosinussen. Deze formules hoef je niet te kennen, maar je moet ze wel kunnen toepassen. Op het tentamen krijg je er indien nodig de formules bij.

Ook de afleiding van de formules hoef je niet te kennen. Het is wel een goede oefening in algebraische vaardigheden om de afleiding door te nemen en stap voor stap te begrijpen.

Bestudeer op deze manier de paragraaf en maak de opgaven.

--

Overzicht formules

We zijn aan het eind gekomen van de lesstof. Deze laatste les zijn er weer heel wat formules bijgekomen. Hier vind je het overzicht: Goniometrische formules-week 6.pdf

Leer ze uit het hoofd.

--

      Doelstellingen week 7

De student beheerst de leerstof en bereidt zich voor op het tentamen

--

  

dictaat

Onderwerpen:

Vragen en/of oefententamen

--

Herhaling

We hebben nu alle leerstof gehad voor deze cursus. Het tentamen staat voor de deur.

Ter voorbereiding kun je een oefententamen maken: VoorbeeldtentamenGonio.pdf

Maak de opgaven in eerste instantie zonder de uitwerking te raadplegen. Als je niet direct uit een opgave komt zoek dan het relevante deel uit het dictaat en bestudeer dat. Probeer de opgave dan opnieuw.

Raadpleeg tot slot de uitwerking van de opgaven: Uitwerkingen voorbeeldtentamen.pdf

Veel succes met het tentamen.

EINDE MODULE