Appendix E Goniometrie

Appendix EGoniometrie

Open Universiteit NederlandVoorbereidingscursussen Wiskunde

november 2010

ii

Bewerkt van een oorspronkelijk manuscript van Hans Wisbrun ten behoeve van de Voorbereidings-cursussen Wiskunde van de Open Universiteit Nederland.

Redactie van deze versie: Bert Esmeijer met tekstbijdragen van Evert van de Vrie.

*Inhoudsopgave

E Appendix Goniometrie 3

E.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3E.2 Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4E.3 Sinus, cosinus en eenheidscirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

E.3.1 De eenheidscirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5E.3.2 Sinus en cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9E.3.3 Gebruik rekenmachine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11E.3.4 Grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

E.4 Sinus, cosinus en hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14E.4.1 De 30-60-90 driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16E.4.2 De 45-45-90 driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16E.4.3 De (co)sinus van hoeken van 0◦ en 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17E.4.4 De twee verschillende definities van sinus en cosinus . . . . . . . . . . . . 18

E.5 Formules van het type y = a sin b(t + c) + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19E.5.1 Formules van het type y = sin t + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19E.5.2 Formules van het type y = a sin t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20E.5.3 Formules van het type y = sin bt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21E.5.4 Formules van het type y = sin(t + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23E.5.5 De gecombineerde invloed van a, b, c en d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

E.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30E.7 Antwoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37E.8 Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven. . . . . . . . . . . . . . . . 44E.9 Werkblad Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

EAppendix Goniometrie

E.1 Inleiding

Behalve eerstegraads, tweedegraads, wortel-, exponentiele en logaritmische functies, bestaan ernog veel meer soorten functies. Belangrijke functies, vooral in de natuurwetenschappen en detechniek, maar ook in de geneeskunde, zijn de sinus-functie en de cosinus-functie. Electromagne-tische straling kun je daarmee beschrijven (trillingen). Als je bouwkundige constucties doorrekent,kom je al gauw met de (co)sinus in aanraking.Het vakonderdeel goniometrie heeft zijn wortels in de landmeetkunde, de wereld van afstandenen hoeken. Gonio staat voor hoek, metrie heeft met meten te maken. In deze appendix worden desinus- en de cosinus-functie ten tonele gevoerd als functies waarmee je periodieke verschijnselenkunt beschrijven. Pas later (E.4) wordt het verband met de meetkunde gelegd.

Voorkennis

Je hebt niet zo heel veel nodig:

- getallenlijn →Wiswijs, bladzijde 15- functies en grafieken →Wiswijs, hoofdstuk 5

Voor E.4 is ook enige basiskennis meetkunde nodig:- hoeken- driehoek- stelling van Pythagoras.Je kunt E.4 eventueel overslaan.

4 E. Appendix Goniometrie

E.2 Periodieke functies

Sommige grafieken van functies hebben een vast patroon dat zich steeds herhaalt. Hieronder eenaantal van die grafieken.

x

y

−3 O

2

3 6 9• • • • •

Figuur E.1

t

Volt

0

220

−220

x

y

O−2 −1 1 2 3−1

1

Figuur E.2

x

y

−5 −3 −1 1 3 5

1

Figuur E.3

De functies die hier bij horen heten periodieke functies. Ze kunnen gebruikt worden om functies te periodieke functies

beschrijven die een periodiek karakter hebben, zoals eb en vloed, hartslag, de daglengte door hetjaar heen.De lengte van het vaste patroon heet periode. Omdat het vaak verschijnselen zijn die periodiek in periode

de tijd zijn, zou je ook kunnen zeggen dat het de tijd is die verstrijkt tot de eerstvolgende herha-ling.

De waterhoogte van de Westerschelde verandert periodiek als gevolg van eb en vloed.In Vlissingen staat langs de Boulevard De Ruyter een informatiebord met daarop een fraaie grafiekvan de waterhoogte als functie van de tijd.

De periode is 12 uur en 25 minuten (zie ook de vergrote foto op bladzijde 29).

→ opgave 1

E.3. Sinus, cosinus en eenheidscirkel 5

E.3 Sinus, cosinus en eenheidscirkel

Sommige grafieken zien er uit als golven. De functies die hierbij horen zijn de sinus en de cosinus.Dit zijn periodieke functies. Ze spelen een belangrijke rol bij het beschrijven van periodieke ver-schijnselen. Zo kun je bijvoorbeeld de grafiek van eb en vloed uit paragraaf E.2 aardig beschrijvenmet een sinus-formule (h = 1,9 · sin 0,5060(t − 9,3125)). Hoe je die formule kunt maken op grondvan de vorm van de grafiek komt aan de orde in paragraaf E.5. Eerst wordt hieronder behandeldwat de sinus van een getal eigenlijk is.

Misschien dat je de sinus en de cosinus al in een heel ander verband kent, namelijk uit de meet-kunde, als verhoudingen van de zijden in driehoeken. Dat is de manier waarop deze begrippenvaak geıntroduceerd worden. In deze appendix wordt dat verband met hoeken van een driehoekpas later gelegd, in paragraaf E.4, omdat je anders zou denken dat sinus en cosinus alleen maar ietsmet hoeken te maken hebben. Dat is niet het geval, zoals je aan de formule voor eb en vloed hebtkunnen zien.

E.3.1 De eenheidscirkel

In hoofdstuk 5 van Wiswijs is het rechthoekig assenstelsel behandeld (→Wiswijs, bladzijde 109).De schaalverdeling op de assen is in principe vrij. Zo kun je 1 cm als eenheid kiezen, of 1

2 cm,maar het zou ook een decimeter kunnen zijn,of een hele andere maat, een inch (≈ 2,54 cm) bij-voorbeeld.

In zo’n assenstelsel kun je een cirkel tekenen, met als middelpunt (de plaats waar je je passerpuntzet) de oorsprong van het stelsel. Als straal (de afstand tussen de twee benen van de passer) kies jede zelf gekozen eenheid. Zo’n cirkel heeft de eenheidscirkel . Deze gaat dus door het punt (1,0). eenheidscirkel

x

y

(1,0)

Figuur E.4eenheidscirkel

Iedere cirkelschijf heeft een omtrek . Dat is de lengte van een touwtje dat je er strak langs spant. omtrek

Je kunt je wel voorstellen dat deze omtrek evenredig is aan de straal van de cirkel (→Wiswijs,bladzijde 30). Wordt de straal bijvoorbeeld drie maal zo groot, dan wordt de omtrek ook drie maalzo groot.Het precieze verband wordt gegeven door de formule

omtrek = 2 × π × straal.

Hierin is π het bekende irrationale getal, ongeveer gelijk aan 3,14 (→Wiswijs, bladzijde 65).De omtrek van de eenheidscirkel is 2 × π × 1, of korter 2π.


4

π3

2

12π

1

0

−1

−2

−3−π

Stel je nu een getallenlijn voor (→Wiswijs, bladzijde15) met dezelfde eenheid als gebruikt voor de eenheidscir-kel, die je als een touwtje - tegen de wijzers van de klok -langs de eenheidscirkel windt, waarbij je de 0 laat samen-vallen met het punt (1,0) op de cirkel.

Ergens op de getallenlijn ligt het getal 2π (≈ 6,28). Datzal bij strak winden weer op hetzelfde punt (1,0) terechtkomen (je bent een keer rond gegaan, dus je hebt een keerde omtrek van de cirkelschijf, 2π, afgerold).

Ook de getallen 4π (twee keer rond), 6π (drie keer rond)8π, enzovoort, komen daar terecht. Dit geldt ook voor degetallen −2π (een keer rond, maar dan met de klok mee),−4π (twee keer rond met de klok mee), −6π (drie keer),−8π, enzovoort.Hetzelfde geldt voor alle veelvouden van 2π.

Maar ook andere getallen krijgen zo een plaats op de cir-kel.Zo komt het getal π (een half rondje) op (−1,0),14π (een kwart rondje) komt op (0,1)en 1 1

2π op (0,−1).

En zo vind je 14π natuurlijk precies tussen 0 en 1

2π, dus na18 rondje.

De plaats van de getallen 34π, 1 1

4π en 1 34π vind je op een

soortgelijke manier.

Ook de “gewone” getallen, dat wil zeggen “zonder π erin”vinden hun plaatsje ergens op de cirkel, al valt het watmoeilijker aan te geven waar ze precies terecht komen. De1 zit bijvoorbeeld ergens tussen de 1

4π (≈ 14 × 3,14 ≈ 0,79)

en de 12π (≈ 1,57) in.

Alle getallen vind je zo op de cirkel. In de figuur hieron-der zie je een aantal getallen staan.

. . . , −2π, 0, 2π, . . .π

12π

1 12π

14π

1234π

3

1 14π 4

5

1 34π

6

Figuur E.5

→ opgave 2


Bij ieder getal op de getallenlijn komt op die manier een punt op de eenheidscirkel. Omgekeerdhoren bij een bepaald punt op de eenheidscirkel verschillende getallen.

Voorbeeld 1:

14π

A

Figuur E.6

Als A het punt is dat bij 14π hoort, dan hoort A ook bij

2 14π (= 1

4π + 2π, een achtste rondje en dan nog een heel rondje),

4 14π (= 1

4π + 4π, een achtste rondje en dan nog twee rondjes),

maar ook bij −1 34π (= 1

4π − 2π) of −3 34π (= 1

4π − 2 × 2π)

→ opgave 3

Als je bij een getal een veelvoud van 2π optelt of aftrekt, dan krijg je hetzelfde punt op de een-heidscirkel als het getal zelf.Dus bij de getallen . . . , 1

4π − 4π, 14π − 2π, 1

4π,14π + 2π, 1

4π + 4π, . . . hoort hetzelfde punt op deeeheidscirkel.

Deze hele rij getallen wordt vaak zo genoteerd:14π + k · 2π, waarbij k dan een willekeurig geheel getal voorstelt (→Wiswijs, bladzijde 45).

→ opgave 4

Hierboven zijn bij getallen op de getallenlijn punten op de eenheidscirkel getekend. De eenheids-cirkel is in een assenstelsel getekend. Ieder punt in zo’n stelsel heeft twee coordinaten, te schrijvenals een getallenpaar (→Wiswijs, bladzijde 92 en 110).

0

12π

π

1 12π

Van sommige punten zijn de coordinaten makkelijk te be-palen, bijvoorbeeld:

0 → (1,0)12π → (0,1)

π → (−1,0)

1 12π → (0,−1)


Van andere punten kun je de coordinaten aflezen, al is datminder precies:14π → (0,7 , 0,7)16π → (0,85 , 0,5)

14π

16π

Figuur E.7

Als je wat van meetkunde weet, kun je de coordinaten van deze punten en van andere “mooie”punten op de eenheidscirkel exact bepalen. In de volgende paragraaf staat meer daarover.Gebruik in het vervolg de waarden uit onderstaande tabel:

getal 0 16π

14π

13π

12π

punt (1,0) ( 12

√3, 12 ) ( 1

2

√2, 12√

2) ( 12 ,

12

√3) (0,1)

De waarden in deze tabel komen zo vaak voor, dat je ze uit je hoofd moet kennen, of gemakkelijkmoet kunnen reconstrueren. In het vervolg zul je ze vaak moeten gebruiken.

In deze tabel liggen de punten steeds rechtsboven in het assenstelsel. Dit deel wordt wel het eer-ste kwadrant genoemd. Zo heet het deel linksboven het tweede kwadrant, het deel linksonder het kwadrant

derde kwadrant en het deel rechtsonder het vierde kwadrant.

III

III IV

Figuur E.8


•

16π

•

56π

•1 1

6π

12

12

√3

De coordinaten van punten in andere kwadranten kun je vaakbepalen door gebruik te maken van de symmetrie in het plaat-je.

Voorbeeld 2:

De punten die horen bij 16π en 5

6π hebben dezelfde y-coordinaat,maar tegengestelde x-coordinaten. Dus geldt dat:56π → (− 1

2

√3 , 1

2 )

op soortgelijke manier vind je:

1 16π → (− 1

2

√3 , − 1

2 )

→ opgave 5

1

−2

Uiteraard kun je ook bij getallen “zonder π erin” aflezen welkecoordinaten er, bij benadering, bijhoren.

Voorbeeld 3:

1 → (0,55 , 0,85)

−2 → (−0,4 , −0,9)

E.3.2 Sinus en cosinus

Je hebt nu gezien dat er bij ieder getal t op de getallenlijn eenpunt op de eenheidscirkel hoort en dat er bij ieder punt opde eenheidscirkel een coordinatenpaar hoort. De horizontalecoordinaat (x-coordinaat) wordt de cosinus van t genoemd, de verticale coordinaat (y-coordinaat) cosinus

wordt de sinus genoemd. sinus

Zo krijg je twee functies:

t → sin t (uitspraak: “de sinus van t”, of “sinus t”)

t → cos t (uitspraak: “de cosinus van t”, of “cosinus t”)

•t

sin t

cos t

Figuur E.9


•

13π

•1 2

3π

12

√3

12

•2 1

2πVoorbeeld 4:

Neem t = 13π.

In de tabel op bladzijde 8 zie je dat hier het punt ( 12 , 1

2

√3) bij

hoort. Hieruit volgt:

sin 13π =

12

√3

cos 13π =

12

Bij t = 1 23π hoort het punt ( 1

2 , − 12

√3). Dit geeft:

sin 1 23π = −

12

√3

cos 1 23π =

12

En bij t = 2 12π hoort het punt (0,1). Dit geeft:

sin 2 12π = 1

cos 2 12π = 0

→ opgave 6

Bij alle waarden van t hoort zo een getal sin t. Voor een aantal waarden tussen 0 en 12π kun je het

tabelletje op bladzijde 8 gebruiken.Voor andere waarden vind je de sinus weer door gebruik te maken van symmetrie-eigenschappen,bijvoorbeeld sin(−a) = sin a, sin(π − a) = sin a of sin(a + π) = − sin a.

In onderstaande figuren zie je een illustratie van deze eigenschappen, alsmede van de vergelijkbareeigenschappen voor de cosinus.

•a

•−a

sin a

sin(−a)

cos acos(−a)

sin(−a) = − sin acos(−a) = cos a

Figuur E.10

•a

•π − a

sin(π − a)sin a

cos acos(π − a)

sin(π − a) = sin acos(π − a) = − cos a

Figuur E.11


•a

•a + π

sin(a + π) = − sin acos(a + π) = − cos a

Figuur E.12

Afspraak

Bij combinaties van bewerkingen heeft sin dezelfde prioriteit als het √-symbool (→Wiswijs,onderaan bladzijde 54).

Dat betekent dat er bij sin 13π geen haakjes hoeven om 1

3π en dat we de sinus van 2a meestal schrij-ven als sin 2a. Met sin 2a bedoelen we dus sin(2 · a) en niet (sin 2) · a.

Bij sin(a + π) horen wel haakjes als we de sinus van de som a + π bedoelen. Als er sin a + π staat,zou eerst de sinus van a genomen moeten worden en bij het resultaat zou dan π opgeteld moetenworden. En ook als er verwarring kan ontstaan, is het verstandig om haakjes te gebruiken.

E.3.3 Gebruik rekenmachine

Op de meeste rekenmachines zit een knop voor de sinus (en ook voor het getal π).

Voorbeeld 5: Bereken sin 2

Wil je sin 2 op je rekenmachine berekenen, dan moet je zorgen dat deze in de modus RAD of RA-DIAN staat. Kijk in de handleiding van je rekenmachine hoe je dit doet. RAD of RADIAN staatvoor radiaal, een maat voor hoeken. Het verband tussen hoeken (in radialen of in graden) en de(co)sinus wordt besproken in paragraaf E.4.

Toets nu in: sin(2), met als resultaat 0,9092974268.

Voorbeeld 6: Bereken sin 14π

Toets in: sin(π/4), met als resultaat 0,7071067812.

Opmerking 1:

Sommige nieuwe modellen geven als antwoord

√2

2, de uitkomst die je had kunnen vinden met

de tabel op bladzijde 8. Deze machines hebben ook een functie om de uitkomst weer te geven alsdecimale breuk. Het resultaat is dan uiteraard hetzelfde als hierboven.

Opmerking 2:

Als je sin 14π op een rekenmachine wilt berekenen, is het gebruik van haakjes zoals hierboven es-

sentieel.Nieuwe modellen en grafische rekenmachines geven het eerste haakje zelf, op oudere modellenzou je ook kunnen invoeren: sin π/4, met als resultaat: 0.Ga zelf na wat de rekenmachine dan berekent.

→ opgave 7


E.3.4 Grafieken

Omdat je nu bij ieder reeel getal t de waarde van sin t kunt vinden, kun je ook de grafiek van defunctie f : t → sin t tekenen. Dat doe je door op de horizontale as t uit te zetten en op de verticalesin t.Zo krijg je de volgende grafiek:

t

y

−2π −π 16π

12π

π 1 12π

2π 2 12π

3π

−1

12

1

Figuur E.13

Je ziet dat het een periodieke functie is, met 2π als periode. Dat had je natuurlijk al kunnen voor-spellen, omdat bij alle getallen a + k · 2π (k is een geheel getal) hetzelfde punt op de eenheidscirkelhoort.

Het domein en het bereik (→Wiswijs, bladzijde 109) van de functie f : t → sin t vind je door tebedenken dat je nu voor alle reele getallen t weet hoe je sin t moet bepalen en vervolgens te kijkennaar de kleinste en grootste waarde die sin t kan hebben.

→ opgave 8

In de grafiek zie je ook weer allerlei symmetrie-eigenschappen.

t

y

−aa π − a

a + π

sin a

− sin a

Figuur E.14

In de grafiek zie je dat de punten met t = a en met t = π − a dezelfde y-waarde hebben, namelijksin a.Anders gezegd: sin(π − a) = sin a.

Andere symmetrie-eigenschappen kun je uit de grafiek afleiden door op te merken dat zowel voort = −a als voor t = a + π de y-waarde gelijk is aan − sin a.

→ opgave 9 t/m 11


De grafiek van de cosinus maak je op dezelfde manier als de grafiek van de sinus. Ook voor decosinus zit een knop op je rekenmachine.

→ opgave 12

De periode van de cosinus is ook 2π. De grafiek lijkt op die van de sinus. Het is de sinusgrafiek,maar dan horizontaal verschoven.

t

y

y = sin t

y = cos t

Figuur E.15

In deze paragraaf heb je grafieken getekend van de sinus en de cosinus van getallen die niets voor-stelden, behave zichzelf. In veel leerboeken worden de sinus en de cosinus in verband gebrachtmet hoeken in (rechthoekige) driehoeken. Deze definitie sluit aan bij de onze. Als je ooit iets aanmeetkunde gedaan hebt, dan is het interessant om de volgende paragraaf te bestuderen. Zo niet,dan kun je hem overslaan. Alleen moet je dan maar geloven dat de volgende tabel klopt, of moet jede getallen narekenen met je rekenmachine. Vergelijk met de tabel op bladzijde 8.

getal 0 16π

14π

13π

12π

punt (1,0) ( 12

√3, 1

2 ) ( 12

√2, 1

2

√2) ( 1

2 , 12

√3) (0,1)

sinus 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cosinus 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0

Deze tabel vind je ook op het Werkblad Goniometrie op bladzijde 49. Zorg ervoor dat je dit werk-blad altijd bij de hand hebt en dat je hem tegen de tijd dat je de toets maakt uit je hoofd kent.


E.4 Sinus, cosinus en hoeken

Je kunt de grootte van een hoek uitdrukken in graden (◦). Zo is een haakse of rechte hoek een hoek graden

van 90◦; de helft daarvan is een hoek van 45◦. Maar ook de sinus (of cosinus) van een hoek geeftinformatie over de grootte van die hoek.Als je een hoek hebt in een rechthoekige driehoek - dat wil zeggen dat een van de drie hoekenrecht is - dan kun je de grootte van die hoek geven door de verhouding van (de lengtes van) tweezijden. In een tekening staat een hoek vaak aangegeven met α (alfa) en de rechte hoek met eenklein vierkantje. Voor de zijden van de driehoek worden de benamingen overstaande rechthoeks- overstaande

rechthoekszijdezijde, aanliggende rechthoekszijde en schuine zijde (of hypotenusa) gebruikt.aanliggenderechthoekszijdeschuine zijde

Als de overstaande rechthoekszijde bijvoorbeeld klein is ten opzichte van de schuine zijde, dan isα natuurlijk niet zo groot. Maar als de overstaande zijde groot is ten opzichte van de schuine zijde,dan is α juist groot. Als de aanliggende rechthoekszijde klein is ten opzichte van de schuine zijde ,dan is α ook groot. De twee hier beschreven verhoudingen worden de sinus en de cosinus van een sinus

cosinushoek genoemd.

α

aanliggende zijde

overstaande zijdeschuine zijde

Figuur E.16

sinα =overstaande rechthoekszijde

schuine zijde

cosα =aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde

Opmerking 3:

Een derde verhouding is de tangens (afkorting: tan) tangens

tanα =overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde

Dat is in zekere zin een oude bekende: de helling van een lijn (hier de schuine zijde van de drie-hoek) is de tangens van de hoek tussen die lijn en de horizontale as (hier de aanliggende recht-hoekszijde) (→Wiswijs, paragraaf 6.2).

Opmerking 4:

De sinus en de cosinus zijn in de vorige paragraaf op een heel andere manier gedefinieerd. Aan heteind van deze paragraaf zul je zien wat het verband is tussen deze verschillende definities.

Pas op

α

schuine zijde

overstaande zijde aanliggende zijde

Wat de overstaande rechthoekszijde en wat deaanliggende rechthoekszijde is, hangt af van dehoek waarvandaan je ‘kijkt’.Bovendien kan de schuine zijde zoals je hier-naast ziet op papier best horizontaal lopen.

E.4. Sinus, cosinus en hoeken 15

Als je van een rechthoekige driehoek de lengte van de zijden weet, kun je nu de sinus en de cosi-nus van de twee niet rechte hoeken bepalen.

Voorbeeld 7:

α15

8

17

sinα = 1517

cosα = 817

β

5 6

√11

sin β =√

116 =

16

√11

cos β = 56

Figuur E.17

In bovenstaand voorbeeld zijn de lengtes van alle drie de zijden gegeven. Je hebt eigenlijk vol-doende aan twee van die lengtes, omdat in een rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras stelling van

Pythagorasgeldt, waarmee je de lengte van de derde zijde kunt uitrekenen.

Eigenschap

In een rechthoekige driehoek geldt:

(overstaande rechthoekszijde)2 + (aanliggende rechthoekszijde)2 = (schuine zijde)2

Opmerking 5:

De overstaande rechthoekszijde van hoek α wordt vaak aangeduid met a, de aanliggende recht-hoekszijde met b en de schuine zijde met c.

In deze notatie luidt de stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2.

Voorbeeld 8:

4

7A B

CAB2 + AC2 = BC2

BC2 = 16 + 49 = 65BC =

√65

5

4A B

C

AB2 + BC2 = AC2

BC2 = 25 − 16 = 9BC =

√9 = 3

Figuur E.18

→ opgave 13


Voor een aantal hoeken is het mogelijk om de sinus en de cosinus te bepalen door gebruik te ma-ken van de eigenschappen van rechthoekige driehoeken waar die hoeken in zitten. In de volgendetwee subparagrafen worden zo de sinus en de cosinus van 30◦, 45◦ en 60◦ bepaald. In de derdesubparagraaf worden de sinus en de cosinus van 0◦ en van 90◦ behandeld.Tot slot komt er zoals gezegd nog een subparagraaf die de relatie legt tussen de meetkundige de-finitie van sinus en cosinus in deze paragraaf en de definitie met behulp van de eenheidscirkel uitE.3.

E.4.1 De 30-60-90 driehoek

→ opgave 14

α β

2a

a√

3a

Hiernaast zie je een driehoek met hoeken α = 30◦ en β = 60◦.De derde hoek is dus een rechte hoek van 90◦.De verhoudingen tussen de zijden in zo’n driehoek heb je bere-kend in opgave 14.

Als bijvoorbeeld de overstaande zijde gelijk is aan a = 5,dan is de aanliggende zijde gelijk aan a

√3 = 5

√3

en is de schuine zijde gelijk aan 2a = 10.

Nu volgt:

sin 30◦ =a

2a= 1

2 sin 60◦ =a√

32a= 1

2

√3

cos 30◦ =a√

32a= 1

2

√3 cos 60◦ =

a2a= 1

2

E.4.2 De 45-45-90 driehoek

→ opgave 15

βα

a√

2

a a

De driehoek hiernaast heeft twee hoeken van 45◦, α en β.De derde hoek is dus een rechte hoek van 90◦.De verhoudingen tussen de zijden in zo’n driehoek heb je bere-kend in opgave 15.

Hieruit volgt:

sin 45◦ =a

a√

2=

1√

2= 1

2

√2

cos 45◦ =a

a√

2=

1√

2= 1

2

√2

(→Wiswijs, bladzijde 17, opgave 19a)

E.4. Sinus, cosinus en hoeken 17

E.4.3 De (co)sinus van hoeken van 0◦ en 90◦

α

α steeds kleiner

Wat is de (co)sinus van een hoek van 0◦ of 90◦?In beide gevallen is er een probleem met de defini-tie. Als een hoek in een driehoek echt 0◦ zou zijn, danzouden twee zijden samenvallen. Toch kun je je welvoorstellen wat de (co)sinus van 0◦ is, als je in gedach-ten een hoek van bijna 0◦ steeds kleiner maakt.

sin 0◦ =overstaande rechthoekszijde

schuine zijde= 0

cos 0◦ =aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde= 1

α

α steeds dichter bij 90 graden

Een hoek van 90◦ past niet in een driehoek waar al een rechte hoekin zit. Ook hier kun je je wel voorstellen wat er gebeurt als je eenhoek van bijna 90◦ steeds dichter naar 90◦ laat naderen.

sin 90◦ =overstaande rechthoekszijde

schuine zijde= 1

cos 90◦ =aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde= 0

In de tabel hieronder staan de resultaten tot nu toe samengevat.

hoek 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sinus 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cosinus 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0


E.4.4 De twee verschillende definities van sinus en cosinus

Hoe hangt de meetkundige definitie uit deze paragraaf nu samen met de definitie van sinus en cosi-nus, zoals we die uit paragraaf E.3 kennen? Daar wonden we een getallenlijn om de eenheidscirkel(cirkel met straal 1). Op die manier krijg je de sinus en de cosinus als coordinaten van een punt.

•P ( 1

3π)

Oα

1 yP

xP

In de eenheidscirkel hiernaast hoort punt P bij het getal 13π.

Als je vanuit O(0,0) een straal naar punt P trekt, dan maakt dieeen hoek α met de horizontale as.Aangezien bij π, een half rondje, een hoek van 180◦ hoort, is dehoek die bij 1

3π hoort gelijk aan 13 × 180◦ = 60◦.

Dus geldt: α = 60◦.

Op deze manier hoort bij ieder getal t een hoek α die aangeefthoe ver je moet draaien bij het opwinden van de eenheidscirkel.Als deze hoek tussen 0◦ en 90◦ ligt, kun je de (co)sinus nu optwee manieren bepalen:

– Teken het getal t op de eenheidscirkel, zoals hierboven gedaan is voor t = 13π.

Dan geldt volgens de definitie op bladzijde 9: sin t = yP en cos t = xP.

– Teken de hoek α als hoek van een rechthoekige driehoek met schuine zijde 1, zoals hierbo-ven gedaan is voor α = 60◦.Volgens de definitie op bladzijde 14 geldt dan: sinα =

yP

1= yP en cosα =

xP

1= xP

Op beide manieren krijg je dus precies dezelfde uitkomst!

Voor α = 60◦, ofwel t = 13π heb je in subparagraaf E.4.1 gezien:

sin 60◦ = 12

√3 en cos 60◦ = 1

2

Hiermee volgt, zoals op bladzijde 8 al was verkondigd, sin 13π =

12

√3 en cos 1

3π =12 .

→ opgave 16

Opmerking 6:

Bij een hoek van 60◦ hoort dus het getal 13π, en zo hoort bij iedere hoek een getal. Dat getal wordt

ook gebruikt om de grootte van de hoek aan te geven. De eenheid waarin de hoek dan wordt uit-gedrukt heet radiaal , afgekort rad . Zo is 60◦ hetzelfde als 1

3π rad en is 180◦ hetzelfde als π rad. radiaalradDaarom moest in paragraaf E.3 (zie bladzijde 11) de rekenmachine op RAD staan.

E.5. Formules van het type y = a sin b(t + c) + d 19

E.5 Formules van het type y = a sin b(t + c) + d

De meest eenvoudige formule voor een sinus-functie is gewoon y = sin t. Wil je periodieke ver-schijnselen als eb en vloed met een sinus beschrijven, dan heb je meestal ingewikkelder formu-les nodig, bijvoorbeeld h = 1,4 · sin 0,5t. In deze paragraaf bekijken we formules van de vormy = a sin b(t + c) + d. Met dit bouwschema kunnen alle grafieken worden beschreven die de vormhebben van de gewone sinus-grafiek, maar dan verschoven en/of opgerekt of ingekrompen. Zo’ngrafiek wordt een sinusoıde genoemd. sinusoıde

Hieronder wordt bekeken wat de invloed is van de waarden van a, b, c en d op de grafiek die bijzo’n formule hoort. Wat gebeurt er als je op de plaats van deze letters getallen gaat invullen? Webekijken eerst de invloed van alle letters afzonderlijk, te beginnen met d (dan is dus a = 1, b = 1en c = 0).

E.5.1 Formules van het type y = sin t + d

→ opgave 17

Als je twee functies bij elkaar optelt, dan krijg je de grafiek van de somfunctie door de grafiekenop elkaar te stapelen.Als een van beide functies een constante functie is, dan betekent het dat de grafiek van de anderefunctie verticaal wordt verschoven. Dus de grafiek die hoort bij de functie y = sin t+d is de gewonesinusgrafiek, maar dan verticaal verschoven. Of dat naar boven of naar beneden is hangt af van dewaarde van d. De sinusgrafiek slingert niet langer rond de t-as, maar rond een horizontale lijn metde formule y = d. Anders gezegd, de evenwichtswaarde is nu niet y = 0, maar y = d. evenwichtswaarde

Voorbeeld 9:

t

y

−1

1

2

3

12π

3π

y = sin t

y = sin t + 2

Figuur E.19De grafiek vany = sin t + 2

Eigenschap

De grafiek die hoort bij y = sin t + d krijg je door die van y = sin t verticaal te verschuiven.

Als d > 0, dan is de verschuiving omhoog, is d < 0, dan is de verschuiving omlaag.

De grafiek slingert rond de lijn met vergelijking y = d.

Opmerking 7:

De formule y = 2 + sin t geeft dezelfde functie als y = sin t + 2, vanwege de wisseleigenschap vande optelling.

→ opgave 18


E.5.2 Formules van het type y = a sin t

Wat is de grafiek die hoort bij de formule y = 2 sin t (dit betekent 2 · sin t)?De y-waarden die horen bij 2 sin t zijn 2 maal groter dan die van sin t. Had sin t bijvoorbeeld alsmaximum de waarde 1, bij 2 sin t is dat 2. De waarden 0 blijven echter 0, omdat 2 × 0 nu eenmaalook 0 is. Dit heeft tot gevolg dat de grafiek van y = 2 sin t een verticaal opgerekte sin t-grafiek is.

t

y

−2

−1

1

2

12π

4π

y = sin t

y = 2 sin t

Figuur E.20De grafiek vany = 2 sin t

→ opgave 19

Eigenschap

De grafiek die hoort bij y = a sin t krijg je door die van y = sin t verticaal op te rekken (a > 1),dan wel in te krimpen (a < 1).

Hierboven is stilzwijgend aangenomen dat a positief was. Is a echter negatief, dan gebeurt er nogiets extra’s.

→ opgave 20

Als a negatief is, dan is er behalve van een verticale oprekking of inkrimping ook sprake van eenverticale spiegeling. Wat boven de t-as zat komt eronder en wat eronder zat komt erboven.

De waarde van |a|, de absolute waarde van a (→Wiswijs, bladzijde 208, opgave 17),wordt amplitude genoemd. Het is de maximale uitwijking vanuit de evenwichtswaarde. amplitude


E.5.3 Formules van het type y = sin bt

Om een idee te krijgen van de grafiek die hoort bij y = sin 2t, kun je een tabel maken van sin 2tvoor een aantal waarden van t. Om het verband met de grafiek van y = sin t te leggen, kun je dewaarden van sin t ook in deze tabel zetten.

Pas op

sin 2t is iets anders als 2 sin t.Bij 2 sin t bereken je eerst de sinus van een getal en vermenigvuldig je de uitkomst met 2. Bij sin 2tvermenigvuldig je t eerst met 2 en bereken je van de uitkomst de sinus.

→ opgave 21

t 0 16π

14π

13π

12π

23π

34π

56π π 1 1

4π 1 12π 1 3

4π 2π

sin t 0 12

12

√2 1

2

√3 1 1

2

√3 1

2

√2 1

2 0 − 12

√2 −1 − 1

2

√2 0

2t 0 13π

12π

23π π 1 1

3π 1 12π 1 2

3π 2π 2 12π 3π 3 1

2π 4π

sin 2t 0 12

√3 1 1

2

√3 0 − 1

2

√3 −1 − 1

2

√3 0 1 0 −1 0

Uit de tabel blijkt dat sin 2t dezelfde waarden aanneemt als sin t, alleen voor andere waarden vant. Dat is niet zo verwonderlijk, want om achter het sinus-symbool bijvoorbeeld de waarde 1

2π tekrijgen - en daarmee de waarde 1 voor de formule - moeten we in sin t gewoon 1

2π invullen. Maarin sin 2t moet t dan 1

2π : 2 = 14π zijn (2 × 1

4π =12π). En als je sin 1

3π =12

√3 als uitkomst wilt

hebben, dan moet je in sin 2t invullen t = 16π.

Als je de variabele t ziet als de tijd - en in veel toepassingen gaat het echt om de tijd (de waterstandals functie van het tijdstip op de dag) -, dan zou je kunnen zeggen dat sin 2t tweemaal zo snel open neer gaat als sin t. Dat heeft consequenties voor de grafiek: de grafiek van sin 2t slingert twee-maal zo snel rond de evenwichtswaarde en heeft dus een tweemaal zo kleine periode als sin t. Deperiode van sin 2t is dus gelijk aan π.

t

y

1

−2π 2π

y = sin t

y = sin 2tFiguur E.21De grafiek vany = sin 2t

→ opgave 22


De grafiek van y = sin 3t loopt driemaal zo hard als de grafiek van y = sin t. In een periode vansin t slingert de grafiek van sin 3t dus drie keer rond de evenwichtswaarde. De periode van sin 3t is

dus2π3= 2

3π.

De grafiek van y = sin 13 t loopt daarentegen driemaal zo langzaam als die van y = sin t. De periode

is 3 × 2π (of:2π13

) = 6π. Deze grafiek is juist (horizontaal) uitgerekt.

Eigenschap

In het algemeen is de periode van de functie met formule y = sin bt gelijk aan2πb

.

Hiervoor had je een formule en daarbij tekende je de grafiek.Omgekeerd kun je ook bij dit soort sinusoıden een bijbehorende formule opstellen.

Voorbeeld 10:

t

y

−1

1

12π

π 1 12π

2π

Figuur E.22

De grafiek is een (horizontaal) ingedrukte sinusgrafiek. Er gaat anderhalve slinger in een stukjevan 2π, dus de periode is 2

3 deel van 2π, ofwel 1 13π.

Uit de formule periode =2πb

volgt nu2πb= 1 1

3π.

Hieraan voldoet b = 1 12 .

De formule is dan y = sin 1 12 t

→ opgave 23


E.5.4 Formules van het type y = sin(t + c)

Om een idee te krijgen van de grafiek die hoort bij y = sin(t + 13π), kun je weer een tabel maken

van sin(t + 13π) voor een aantal waarden van t. Om het verband met de grafiek van y = sin t te

leggen, kun je de waarden van sin t ook in deze tabel zetten.

→ opgave 24

t − 13π − 1

6π 0 16π

13π

12π

23π

56π π 1 1

6π

sin t − 12

√3 − 1

2 0 12

12

√3 1 1

2

√3 1

2 0 − 12

t + 13π 0 1

6π13π

12π

23π

56π π 1 1

6π 1 13π 1 1

2π

sin(t + 13π) 0 1

212

√3 1 1

2

√3 1

2 0 − 12 − 1

2

√3 −1

Je ziet dat sin(t + 13π) dezelfde waarden als sin t doorloopt, alleen voor andere waarden van t.

sin(t + 13π) is bijvoorbeeld gelijk aan 1 voor t = 1

6π, terwijl sin t = 1 voor t = 12π.

Evenzo geldt sin(t + 13π) =

12 voor t = − 1

6π, terwijl sin t = 12 voor t = 1

6π.

Als je de grafieken van y = sin t en y = sin(t + 13π) in een figuur tekent, zie je dat je de grafiek van

y = sin(t+ 13π) krijgt door de grafiek van y = sin t over een afstand van 1

3π naar links te verschuiven.

t

y

−1

1

π 13π

2π

y = sin(t + 13π) y = sin t

Figuur E.23De grafiek vany = sin(t + 1

3π)

→ opgave 25

Eigenschap

De grafiek die hoort bij y = sin(t + c) krijg je door de grafiek van y = sin t horizontaal teverschuiven. Als c < 0, dan is de verschuiving naar rechts. Is c > 0, dan is de verschuivingnaar links.

Pas op

Omdat je positieve waarden meestal associeert met rechts (op de getallenlijn), wordt hier vaak defout gemaakt dat als c > 0 de verschuiving naar rechts is. Het is juist het tegenovergestelde.


Ook bij dit soort sinusoıden kun je weer een bijbehorende formule opstellen.

Voorbeeld 11:

t

y

−1

1

− 12π

12π

π 1 12π

2π

Figuur E.24

Hier hoort de formule y = sin(t + 12π) bij, omdat het een gewone sinus-grafiek is die 1

2π naar linksis verschoven.Maar y = sin(x − 1 1

2π) mag ook en y = cos t is hier natuurlijk ook goed.

→ opgave 26

E.5.5 De gecombineerde invloed van a, b, c en d

Het soort sinus-formules dat in deze paragraaf behandeld wordt heeft als standaardvormy = a sin b(t + c) + d.

Voorbeeld 12:

h = 1,4 · sin 0,5t

a = 1,4, b = 0,5, c = 0, d = 0.

Voorbeeld 13:

y = sin(3x + π)

Eerst ombouwen tot de standaardvorm, dus de 3 buiten haakjes halen!

sin(3x + π) = sin 3(x + 13π)

a = 1, b = 3, c = 13π, d = 0.

Pas op

Bij het bepalen van de waarde van c kun je in de fout gaan. Je moet, zoals in het bovenstaandevoorbeeld staat aangegeven, de b eerst buiten haakjes halen (standaardvorm). Pas dan kun je dewaarde van c aflezen.

→ opgave 27


Eerder in deze paragraaf bekeken we de invloed van a, b, c en d afzonderlijk. Elk had een bepaal-de invloed op de grafiek van de bijbehorende functie in vergelijking tot de gewone sinus-grafiek:horizontale (c) of verticale (d) verschuiving, horizontale (b) of verticale (a) oprekking dan welinkrimping.Nu gaat het om combinaties van a, b, c en d en dus gecombineerde invloeden. Ook al laat je hettekenen van nette grafieken tegenwoordig vaak aan een computer over, het is wel nuttig om eengrafiek van zulke periodieke functies te kunnen schetsen.

Voorbeeld 14:

Hoe teken je de grafiek die hoort bij y = sin 4(t + 13π)?

Vergelijk met de gewone sinus-grafiek (y = sin t).Hiervan loopt een ‘standaardslinger’ van 0 tot 2π.Voor een standaardslinger van y = sin 4(t + 1

3π) moet wat hier achter sin staat van 0 tot 2π lopen:

4(t + 13π) = 0 geeft t = − 1

3π

4(t + 13π) = 2π geeft t + 1

3π =12π⇔ t = − 1

3π +12π (= 1

6π)

De standaardslinger begint dus bij t = − 13π en is dus t.o.v. y = sin t over een afstand 1

3π naar linksverschoven.

Bij t = − 13π +

12π eindigt hij. De lengte van de standaardslinger, de periode, is dus 1

2π.

Dit is in overeenstemming met de eigenschap op bladzijde 22: periode =2πb=

2π4

Omdat a = 1 en d = 0 blijft de grafiek, net als de gewone sinus-grafiek, rond de t-as slingerentussen de waarden −1 en 1.

t

y

−1

1

− 12π

12π

−π π

In de figuur hiernaast zie je de grafieken vany = sin t en y = sin 4(t + 1

3π) met als domeinhet interval [−π,π].

De grafiek van y = sin 4(t + 13π) is vetgedrukt

voor de ‘slinger’ tussen − 16π en 1

3π.


Voorbeeld 15:

Hoe schets je de grafiek die hoort bij y = −3 · sin 2(t − 13π) + 6?

Begin standaardslinger: 2(t − 13π) = 0⇔ t = 1

3π

Eind standaardslinger: 2(t − 13π) = 2π⇔ t − 1

3π = π⇔ t = 13π + π (= 1 1

3π)

De periode is dus π en de grafiek is t.o.v. de gewone sinus-grafiek met 13π naar rechts verschoven.

De grafiek slingert tussen a · 1 + d en a · −1 + d, dus tussen de 3 en de 9.

De evenwichtswaarde is y = 6.

Omdat a < 0, is de grafiek in verticale richting gespiegeld om de evenwichtswaarde en gaat dezena het beginpunt ( 1

3π,6 dus eerst naar beneden.

t

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−π 13π 1 1

3π2π

amplitude

evenwichtswaardey = 6

Figuur E.25y =−3 sin 2(t − 1

3π) + 6

→ opgave 28


Omgekeerd kun je bij een bepaalde sinusoıde door analyse een formule bedenken.

Voorbeeld 16:

t

y

1

2

3

4

−π 12π 1 1

4π2π 3π

S•

Figuur E.26

– Lees uit de figuur het verschil tussen maximum en minimum af. De amplitude a is de helft

hiervan: a =4 − 1

2= 1 1

2

– De evenwichtswaarde is y = 2 12 (het gemiddelde van maximum en minimum), dus d = 2 1

2 .

– De periode wordt bepaald door de horizontale afstand tussen twee soortgelijke punten op degrafiek, bijvoorbeeld de twee opeenvolgende minima voor t = 1

2π en t = 2π. De periode is

dus 1 12π. Dit betekent dat

2πb= 1 1

2π⇔ b = 2 : 1 12 = 2 × 2

3 =43 .

– Het punt waar de sinuoıde ‘voor het eerst’ door de evenwichtswaarde omhoog gaat (S ) ligthalverwege het minimum voor t = 1

2π en het maximum voor t = 1 14π en heeft dus als t-

coordinaat 78π. Dat betekent dat de grafiek 7

8π naar rechts is verschoven t.o.v. de gewonesinus-grafiek: c = 7

8π.

Conclusie: de formule bij de bovenstaande grafiek is y = 1 12 · sin 4

3 (t − 78π) + 2 1

2 .

Opmerking 8:

De formule die hierboven staat is niet de enige die bij de grafiek past. Er zijn er wel meer. Zo kunje bij c rustig de periode (1 1

2π), of een veelvoud daarvan, optellen of aftrekken. En je kunt ookwel met a = −1 1

2 (dus inclusief een verticale spiegeling) uit de voeten, maar dat levert weer eenandere waarde voor c op. Het is ook mogelijk de grafiek met een cosinus-formule te beschrijven(zie verder hieronder).

→ opgave 29 en 30


Tot nu toe hebben we ons steeds beperkt tot sinus-formules. Maar in formules komt ook wel eenseen cosinus voor. Hoe schets je in zo’n geval de bijbehorende grafiek?

Voorbeeld 17:

Schets de grafiek die hoort bij y = cos 12 (t − 1).

De standaardslinger van een gewone cosinus-grafiek (y = cos t) lijkt op een kuil die ‘begint’ bijt = 0 en ‘eindigt’ bij t = 2π (→ bladzijde 13 van deze syllabus).De ‘kuil’ die hoort bij y = cos 1

2 (t − 1) ‘begint’ als 12 (t − 1) = 0, ofwel als t = 1, en ‘eindigt’ als

12 (t − 1) = 2π, ofwel als t = 1 + 4π.

De grafiek heeft dus een periode 4π (2πb=

2π12

= 2π × 2 = 4π) en is 1 naar rechts verschoven ten

opzichte van de gewone cosinus-grafiek. De amplitude blijft 1 en er is geen verticale verschuiving.Dit geeft de onderstaande grafiek.

t

y

−1

1

−π 12π

π 2π 3π1

•

Figuur E.27y = cos 1

2 (t − 1)

→ opgave 31

Je kunt, omgekeerd, ook weer een cosinus-formule bedenken bij een bepaalde sinusoıde. Dat isvooral makkelijk als de t-coordinaten van de minima en/of maxima makkelijk zijn af te lezen.

Voorbeeld 18:

t

y

24

10

14π

2π

Figuur E.28

– Minimumwaarde: 10; maximumwaarde: 24.

Amplitude: a =24 − 10

2= 7; evenwichtswaarde: d =

24 + 102

= 17.

– De periode is de afstand tussen de minima, dat is 2π − 14π = 1 3

4π.

Dit geeft2πb= 7

4π⇔ b = 2 : 74 = 2 × 4

7 =87 = 1 1

7

– Het hoogste punt van de grafiek (= het startpunt van de cosinus-slinger) ligt halverwege 14π

en 2π, dat is bij t = 1 18π. De grafiek is t.o.v. de gewone cosinus-grafiek met 1 1

8π naar rechtsverschoven. Dit geeft c = −1 1

8

Een formule is y = 7 cos 1 17 (t − 1 1

8π) + 17.


→ opgave 32

Opmerking 9:

Meestal zijn de grafieken waarbij je een formule moet vinden niet zo netjes als hiervoor. Het gaatbijvoorbeeld om meetgegevens, zoals in het geval van de eb en vloed in de Westerschelde uit para-graaf E.2.

Hieronder zie je een vergroting van deze grafiek.

Deze grafiek wordt benaderd door de onderstaande (co)sinusgrafiek.Ga zelf na dat de cosinus-formule bij deze grafiek gegeven wordt door h = 1,9 · cos 0,5060t endat de sinus-formule gegeven wordt door h = 1,9 · sin 0,5060(t − 9,3125).

t

h

−2

−1

0

1

2

6u.12,5min.

12u.25min.

18u.37,5min.

24u.50min.

Figuur E.29


E.6 Opgaven

1 Bepaal de periode van de functies in de volgende grafieken.

Volt20

0−20

t5 10 15

Volt20

0−20

t5 10 15

t−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

123456

2 Teken een eenheidscirkel met als eenheid 3 cm. Stel je een getallenlijn voor met dezelfde een-heid.

a Teken de getallen 13π, π, 1 1

6π en 2 12π als punten op de eenheidscirkel.

b Teken de getallen −1 12π, −

34π en −2 2

3π ook op de cirkel.

c Probeer zo precies mogelijk de plaats van de getallen −2, −1, 1, 2 en 3 op de cirkel aan tegeven.

3 Noem bij de punten E, F, G en H in de cirkel hieronder drie van de getallen die erbij horen.

•A

•B

•C

•D

•E

•F

•G

•H

•K

•L

•M

•N

•P

•Q

•R

•S

4 Geef met de k-notatie aan welke getallen bij de punten C, N, Q, D en H uit de cirkel hierbovenhoren.

5 Bepaal met behulp van schetsjes in de eenheidscirkel de coordinaten van de punten die horenbij de volgende getallen. Gebruik daarbij de onderstaande tabel.

getal 0 16π

14π

13π

12π

punt (1,0) ( 12

√3, 1

2 ) ( 12

√2, 1

2

√2) ( 1

2 , 12

√3) (0,1)

a − 12π

b 1 12π

c 3π

d − 16π

e 23π

f 34π

g 1 23π

h 1 16π

i −1 12π

j −1 34π

k 256 π

l 76 12π

E.6. Opgaven 31

6 Bepaal de volgende sinussen en cosinussen. Gebruik de tabel uit opgave 5.

a sin(− 12π)

b sin 1 12π

c cos 3π

d sin(− 16π)

e cos 23π

f sin 34π

g sin 1 23π

h cos 1 16π

i cos(−1 12π)

j cos(−1 34π)

k sin 256 π

l sin 76 12π

7 Bepaal met je rekenmachine

a sin 4 b sin 12π c sin 2

3π

8 a Waarom is f : t → sin t een functie?

b Wat is het domein van de functie f : t → sin t?

c Wat is het bereik van de functie f : t → sin t?

d Als het domein tot [−2π,3π] wordt beperkt, voor welke waarden van t geldt dan sin t = 1?

e Als het domein tot [−2π,3π] wordt beperkt, voor welke waarden van t geldt dan sin t = 0?

9 Gegeven is de functie f met f (t) = sin t en domein [0,4π].

a Teken de grafiek van f .

b Geef aan hoe uit de grafiek de waarden van t zijn af te lezen waarvoor geldt: sin t = −1.

c Geef aan hoe uit de grafiek de waarden van t zijn af te lezen waarvoor geldt: sin t = 12

√3.

10 Gegeven is de functie f met f (t) = sin t en domein [−2π,2π].


b Voor welke waarden van t geldt sin t = − 12

√2?

c Voor welke waarden van t geldt sin t ≤ − 12

√2?

11 Gegeven is de functie f met f (t) = sin t en domein [− 12π,1

12π].


b Los op: sin t = − 12

√3

c Los op: sin t ≥ 1

12 Gegeven de functie f met f (t) = cos t en domein [−π,2π].

a Vul de volgende tabel in.

t −π − 12π 0 1

4π13π

12π

23π

34π π 1 1

2π 2π

cos t

b Teken een assenstelsel. Kies de horizontale schaal zo dat π overeenkomt met 3 cm. Tekende punten uit de tabel en verbind ze door een vloeiende kromme.

c Schets de grafiek van f als het domein [23π,27π] is.

d Geef het bereik van de cosinus-functie.


13 Bepaal in de volgende rechthoekige driehoeken de sinus en de cosinus van α en β.

A C

B

2

4

α

β

A

CB

5 4

α

β

14 In de figuur hieronder zie je rechthoekige driehoeken ABC en ADC met α = 30◦, β = 60◦ eneen rechte hoek bij C. Driehoek ADB heeft drie hoeken, die alle drie 60◦ zijn.

αα

β

β

A B

C

D

a

a BC = a. Leg uit waarom AB = 2a.

b Bereken AC (uitgedrukt in a) met behulp van de stelling van Pythagoras.

15 In de figuur hieronder zie je de rechthoekig driehoek ABC met α = β = 45◦ en een rechte hoekbij C.

βα

a

A B

C

a BC = a. Leg uit waarom AC = a.

b Bereken AB (uitgedrukt in a) met behulp van de stelling van Pythagoras.

16 a Teken een eenheidscirkel in een assenstelsel en geef het punt P aan dat hoort bij het getal16π. Teken de straal naar P. Welke hoek maakt deze straal met de horizontale as?Wat weet je nu over sin 1

6π en cos 16π?

b Doe hetzelfde met de getallen 0, 14π en 1

2π.

17 Schets de grafiek die hoort bij de formule y = sin t + 2.

E.6. Opgaven 33

18 a Schets de grafiek die hoort bij de formule y = sin t − 3.

b Schets de grafiek die hoort bij de formule y = − 12 + sin t.

19 Schets de grafiek die hoort bij de formule y = 12 sin t.

20 Schets de grafiek die hoort bij de formule y = −2 sin t.

21 a Vul de tabel in.

t 0 14π

12π

34π π 1 1

4π 1 12π 1 3

4π 2π 2 14π

sin t

sin 2t

b Teken de grafieken van y = sin t en y = sin 2t in een assenstelsel.

c Hoe groot is de periode van de grafiek van y = sin 2t?

d Hoe kun je de grafiek van y = sin 2t uit die van y = sin t krijgen?

22 Gegeven f (t) = sin t, g(t) = sin 3t en h(t) = sin 13 t.

a Teken de drie grafieken in een assenstelsel.

b Bepaal van elk van de drie functies de periode.

23 Stel bij de volgende sinusoıden een bijbehorende formule op.

a t

y

−1

1

− 12π

12π

π 1 12π

2π

b t

y

−1

1

−π 12π

2π 4π


24 a Vul de tabel in.

t − 13π − 1

6π 0 16π

13π

12π

23π

56π π 1 1

6π

sin t

sin(t + 13π)

b Teken de grafieken van y = sin t en y = sin(t + 13π) in een assenstelsel.

c Over welke afstand en in welke richting moet de grafiek van y = sin t verschoven wordenom die van y = sin(t + 1

3π) te krijgen?

25 Gegeven de functies f (t) = sin t en g(t) = sin(t − 14π).

a Bereken een aantal punten en teken de grafieken van f en g.

b Over welke afstand en in welke richting moet de grafiek van f verschoven worden om dievan g te krijgen?

26 Geef van de volgende grafieken bijbehorende sinus-formules.

a t

y

−1

1

− 12π

12π

π 1 12π

2π

b t

y

−1

1

− 12π

12π

π 1 12π

2π

27 Bepaal bij de standaardvorm a sin b(t + c) + d de waarden van a, b, c en d in de volgendeformules.

a sin 2(t + 12π)

b sin(3t + π)

c − sin 12 (t + 1

3π)

d sin 12π(t + 1)

e 2 sin(t + 12π) + 1

f −2 + 1 12 sin 2

3πt

28 Beschrijf hoe je de grafieken die bij de volgende formules horen kunt tekenen en schets dezegrafieken.

a y = sin 2(t + 12π)

b y = sin(3t + π)

c y = − sin 12 (t + 1

3π)

d y = sin 12π(t + 1)

e y = 2 sin(t + 12π) + 1

f y = −2 + 1 12 sin 2

3πt

E.6. Opgaven 35

29 Stel sinus-formules op die bij de volgende grafieken horen.

a t

y

−2

−1

2

π 2π 3π 4π−π

b t

y

−2

−1

1

2

−π π 2π 3π 4π

c t

y

−2 2 4 6 8

−3

−1

1

2

3


30 Stel eveneens sinus-formules bij de volgende grafieken.

a t

y

−3

3

14π

π 2π− 14π

b t

y

− 12

12

− 13π

13π

23π

π 1 13π

c

t

y

4

7

10

−4 4 8 12 16

7

31 Beschrijf hoe je de grafieken die bij de volgende formules horen kunt tekenen en schets dezegrafieken.

a y = cos(3t + π)

b y = − cos 12 (t + 1

3π)

c y = 1 12 · cos 2

3πt − 2

d y = 1 + 12 cos 2(t − 1)

32 Stel cosinus-formules op die bij de grafieken van opgave 29 en 30 horen.

E.7. Antwoorden 37

E.7 Antwoorden

1 linksboven: 5rechtsboven: 8onder: 4

2 Zie de figuur bij opgave 3.13π ligt op punt L;π ligt op punt E;1 1

6π ligt op punt P;2 1

2π ligt op punt C;−1 1

2π ligt op punt C;− 3

4π ligt op punt F;−2 2

3π ligt op punt Q;−2 ligt tussen G en Q;−1 ligt tussen H en R;1 ligt tussen B en L;2 ligt tussen C en M;3 ligt tussen E en N.

3 E: π, 3π, 5π, . . . ; −π, −3π, −5π, . . .F: 1 1

4π, 3 14π, 5 1

4π, . . . ; − 34π, −2 3

4π, −4 34π, . . .

G: 1 12π, 3 1

2π, 5 12π, . . . ; − 1

2π, −2 12π, −4 1

2π, . . .H: 1 3

4π, 3 34π, 5 3

4π, . . . ; − 14π, −2 1

4π, −4 14π, . . .

4 C: 12π + k · 2π

N: 56π + k · 2π

Q: 1 13π + k · 2π of − 2

3π + k · 2πD: 3

4π + k · 2πH: 1 3

4π + k · 2π of − 14π + k · 2π

5a (0,−1)

5b (0,−1)

5c (−1,0)

5d ( 12

√3,− 1

2 )

5e (− 12 , 1

2

√3)

5f (− 12

√2, 1

2

√2)

5g ( 12 ,− 1

2

√3)

5h (− 12

√3,− 1

2 )

5i (0,1)

5j ( 12

√2, 1

2

√2)

5k ( 12

√3, 1

2 )

5l (0,1)

6a −1

6b −1

6c −1

6d − 12

6e − 12

6f 12

√2

6g − 12

√3

6h − 12

√3

6i 0

6j 12

√2

6k 12

6l 1

7a −0,756802495

7b 1

7c 0,866025404 of

√3

2

8a Omdat er bij elke t niet meer dan een waardevan sin t hoort.

8b R

8c [−1,1]Zie ook de uitwerking in paragraaf E.8.

8d −1 12π,

12π, 2 1

2π

8e −2π, −π, 0, π, 2π, 3π

9 t

y

−1

0

1

13π•

23π•

1 12π•

2 13π•

2 23π•

3 12π•

2π 4π

y = 12

√3

y = −1


10a t

y

−1

1

• • • •−2π −π π 2π

y = − 12

√2

10b − 34π; −

14π; 1 1

4π; 1 34π

10c [− 34π, −

14π] of [1 1

4π, 1 34π]

11a t

y

−1

1

• •

•

− 12π

π 1 12π

y = − 12

√3

11b t = − 13π of t = 1 1

3π

11c t = 12π

12at −π − 1

2π 0 14π

13π

12π

23π

34π π 1 1

2π 2π

cos t −1 0 1 12

√2 1

2 0 − 12 − 1

2

√2 −1 0 1

12b t

y

−1

1

•

•

•••

•

••

•

•

•

−π π 2π

12ct

−1

1

23π 24π 25π 26π 27π

12d [−1,1]

13 Zie ook de aanwijzingen in paragraaf E.8.Links:sinα =

4√

20= 2

5

√5

cosα =2√

20= 1

5

√5

sin β =2√

20= 1

5

√5

cos β =4√

20= 2

5

√5

Rechts:sinα = 3

5 ; cosα = 45

sin β = 45 ; cos β = 3

5

14a Zie paragraaf E.8.

14b AC = a√

3 (zie ook paragraaf E.8.)

15a Zie paragraaf E.8.

15b AC = a√

2 (zie ook paragraaf E.8.)

E.7. Antwoorden 39

16a P is het punt ( 12

√3, 12 ) in de bovenste figuur op bladzijde 49.

De hoek van de straal met de horizontale as is 30◦ (zie ook paragraaf E.8).Hieruit volgt sin 1

6π = sin 30◦ = 12 en cos 1

6π = cos 30◦ = 12

√3.

16b Voor 0 is P het punt (1,0) in de figuren op bladzijde 49.De hoek van de straal met de horizontale as is 0◦.Hieruit volgt sin(0 rad) = sin 0◦ = 0 en cos(0 rad) = cos 0◦ = 1.

Voor 14π is P het punt ( 1

2

√2, 12√

2) in de onderste figuur op bladzijde 49.De hoek van de straal met de horizontale as is 45◦ (zie ook paragraaf E.8).Hieruit volgt sin 1

4π = sin 45◦ = 12

√2 en cos 1

4π = cos 45◦ = 12

√2.

Voor 12π is P het punt (0,1) in de figuren op bladzijde 49.

De hoek van de straal met de horizontale as is 90◦.Hieruit volgt sin 1

2π = sin 90◦ = 1 en cos 12π = cos 90◦ = 0.

17

t

y

1

3

−π π 2π 3π 4π

y = 2

18

t

y

−4

−2

−π π 2π 3π 4π

y = −3

y = sin t − 3

y = − 12

y = − 12 + sin t

19 t

y

−1

1

−π π 2π 3π 4π


20 t

y

−2

2

−π π 2π 3π 4π

21a Voor t = 2 14π geldt sin t = 1

2

√2 en sin 2t = 1 (zie ook paragraaf E.8).

De overige uitkomsten vind je in de tabel op bladzijde 21.

21b Zie figuur E.21 op bladzijde 21.

21c π (zie ook paragraaf E.8.)

21d Door die van f (t) = sin t horizontaal in te krimpen zodat de periode gehalveerd wordt.

22a t

y

−1

1

−π 2π 4π 6π

Dunne grafiek: f (t) = sin t,Dikke grafiek: g(t) = sin 3t,Gestreepte grafiek: h(t) = sin 1

3 t

22b 23π; 6π (zie ook paragraaf E.8.)

23a y = sin 12 t (zie ook paragraaf E.8.)

23b y = sin 4t (zie ook paragraaf E.8.)

24a Zie de tabel op bladzijde 23.

24b Zie figuur E.23 op bladzijde 23.

24c De grafiek van y = sin t moet 13π naar links

verschoven worden.

25a t

y

−1

1

π 2π

f

g

25b De grafiek van f moet 14π naar rechts verschoven worden.

26a y = sin(t − 16π) (zie ook paragraaf E.8.)

26b y = sin(t − 12π) (zie ook paragraaf E.8.)

E.7. Antwoorden 41

27a a = 1; b = 2; c = 12π; d = 0

27b a = 1; b = 3; c = 13π*; d = 0

* Zie ook paragraaf E.8.

27c a = −1; b = 12 ; c = 1

3π; d = 0

27d a = 1; b = 12π; c = 1; d = 0

27e a = 2; b = 1; c = 12π; d = 1

27f a = 1 12 ; b = 2

3π; c = 0; d = −2

28 Ga steeds uit van de gewone sinus-grafiek.

28a Horizontaal inkrimpen met factor 2 en 12π naar links verschuiven.

t

y

−1

1

−π π 2π 3π 4π

28b Horizontaal inkrimpen met factor 3 en 13π naar links verschuiven.

t

y

−1

1

−π π 2π 3π 4π

28c Horizontaal oprekken met factor 2; 13π naar links verschuiven en spiegelen in de t-as.

t

y

−1

1

−π π 2π 3π 4π

28d Horizontaal inkrimpen zodat de periode 4 wordt en 1 naar links verschuiven. Zie ook paragraaf E.8.Let op: De schaalverdeling langs de horizontale as is aangepast!

t

y

−1

1

3 6 9 12−3


28e 12π naar links verschuiven; verticaal oprekken met een factor 2 (amplitude wordt 2) en 1 naar bovenverschuiven.

t

y

−1

1

2

3

−π π 2π 3π 4π

28f Horizontaal inkrimpen zodat de periode 3 wordt; verticaal oprekken met factor 1 12 (amplitude wordt 1 1

2 )en 2 naar beneden verschuiven. Zie ook paragraaf E.8.Let op: De schaalverdeling langs de horizontale as is aangepast!

t

y

−3

−1

−3 3 6 9 12

29 De afleiding van de formules uit opgave 29 en 30 vind je in paragraaf E.8.Bij iedere grafiek zijn meerdere formules mogelijk, de twee of drie meest voor de hand liggende zijnhieronder weergegeven.

29a y = −2 sin 2ty = 2 sin 2(t + 1

2π)y = 2 sin 2(t − 1

2π)

29b y = 2 sin 2(t + 14π)

y = 2 sin 2(t − 34π)

y = −2 sin 2(t − 14π)

29c y = 2 12 sin 1

2π · (t − 1)y = −2 1

2 sin 12π · (t + 1)

30a y = 3 sin(t + 14π)

y = 3 sin(t − 1 34π)

y = −3 sin(t − 34π)

30b y = 12 sin 3

2 (t − 13π)

y = − 12 sin 3

2 (t + 13π)

30c y = 3 sin 18π · (t − 4) + 7

y = −3 sin 18π · (t + 4) + 7

31 Ga steeds uit van de gewone cosinus-grafiek.

E.7. Antwoorden 43

31a Horizontaal inkrimpen met een factor 3 en naar links verschuiven over 13π (zie ook paragraaf E.8).

t

y

−1

1

π 2π 3π 4π−π

31b Spiegelen in de t-as, horizontaal uitrekken met een factor 2 en naar links verschuiven over 13π.

t

y

−1

1

π 2π 3π 4π−π

31c Verticaal uitrekken met een factor 1 12 , horizontaal inkrimpen zodat de periode gelijk wordt aan 3 en 2

naar onder verschuiven (zie ook paragraaf E.8).

t

y

−3 3 6 9 12

−4

−2

31d Verticaal inkrimpen met een factor 2, horizontaal inkrimpen met een factor 2, 1 naar rechtsverschuiven en 1 omhoog verschuiven (zie ook paragraaf E.8).

t

y

−1 1 3 6

1

2

1 + π 1 + 2π

32 We geven hier slechts een formule per grafiek, maar er zijn net als bij de sinus-formules in 29 en 30iedere keer meerdere formules mogelijk. Een afleiding van de formules vind je weer in paragraaf E.8.

29a: y = 2 cos 2(t + 14π) 30a: y = 3 cos(t − 1

4π)29b: y = 2 cos 2t 30b: y = 1

2 cos 32 (t − 2

3π

29c: y = 2 12 cos 1

2π · (t + 2) 30c: y = 3 cos 18π · (t − 8) + 7


E.8 Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven

Opgave 8c

De maximale waarde van sin t is 1 voor t = 12π, 2

12π etc.;

de minimale waarde van sin t is −1 voor t = − 12π, 1

12π etc.

Opgave 13

Bereken eerst de derde zijde met de stelling van Pythagoras.

Links: AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 42 = 20, dus AB =√

20

Rechts: BC2 = AB2 − AC2 = 52 − 42 = 9, dus BC = 3

Verder geldt voor de de berekeningen bij de linker figuur:

2√

20=

2√

4 · 5=

2

2√

5=

1√

5=

√5

√5 ·√

5=

√5

5= 1

5

√5

Opgave 14a

Driehoek ADC is het spiegelbeeld van driehoek ABC, dus DC = BC = a en BD = BC + DC = 2a.

De grote driehoek ABD heeft drie gelijke hoeken, dus ook drie gelijke zijden.

Dit kun je bijvoorbeeld zien door een hulplijn te trekken van B naar E, het midden van AD. Dan krijg je dedriehoeken ABE en DBE met een rechte hoek bij E, die weer elkaars spiegelbeeld zijn.

Nu volgt AB = BC = 2a.

Opgave 14b

AC2 + BC2 = AB2, dus AC2 = AB2 − BC2 = (2a)2 − a2 = 4a2 − a2 = 3a2.

Dit geeft AC =√

3a2 =√

a2 ·√

3 = a√

3.

Opgave 15a

sinα =BCAB

; sin β =ACAB

.

Omdat α = β volgt nu AC = BC = a.

Opgave 15b

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2, dus AC =√

2a2 =√

a2 ·√

2 = a√

2.

Opgave 16a

16π komt overeen met een zesde deel van een halve cirkel. De hoek die erbij hoort is dus een zesde deel vaneen hoek van 180◦.

Opgave 16b

14π komt overeen met een kwart van een halve cirkel. De hoek die erbij hoort is dus een kwart van een hoekvan 180◦.

Opgave 21a

sin 2 14π = sin 1

4π =12

√2; sin(2 × 2 1

4π) = sin 4 12π = sin 1

2π = 1

Opgave 21c

De grafiek gaat stijgend door de horizontale as (= evenwichtswaarde) op t = 0 en daarna voor het eerst weerop t = π.

E.8. Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven 45

Opgave 22b

periode =2πb

met b = 3 geeft: periode =2π3= 2

3π.

periode =2πb

met b = 13 geeft: periode = 2π : 1

3 = 2π × 3 = 6π.

Opgave 23a

Uit de grafiek is af te lezen dat de halve periode gelijk is aan 2π, dus de periode is 4π.

Uit periode =2πb

volgt nu:2πb= 4π⇔ b =

2π4π= 1

2 .

Opgave 23b

Er loopt een standaardslinger tussen (0,0) en ( 12π,0), dus de periode is 1

2π.

Uit periode =2πb

volgt dan:2πb= 1

2 ⇔ b = 2 : 12 = 2 × 2 = 4.

Opgave 26a

In ( 16π,0) begint een standaard sinus-slinger.

Opgave 26b

In ( 12π,0) begint een standaard sinus-slinger.

Opgave 27b

De standaardvorm is sin 3(t + 13π).

Opgave 28d

De periode is2π12π= 2 : 1

2 = 2 × 2 = 4.

Opgave 28f

De periode is2π23π= 2 : 2

3 = 2 × 32 = 3.

Opgave 29

In opgave 29 en 30 zoeken we telkens naar een formule van de vorm y = a sin b(x + c) + d.


Opgave 29a

Amplitude: 2, dus a = 2 of a = −2.

Evenwichtswaarde: 0, dus d = 0.

De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is π (bijvoorbeeld van t = 12π tot t = 1 1

2π).

Uit periode =2πb

volgt nu2πb= π⇔ b = 2.

Met a = −2 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = 0, dus c = 0.

a = −2, b = 2, c = 0 en d = 0 geeft y = −2 sin 2t.

Met a = 2 begint er een standaardslinger op t = − 12π.

De grafiek wordt dan over 12π naar links verschoven, dus c = 1

2π.

a = 2, b = 2, c = 12π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t + 1

2π).

Met a = 2 begint er ook een standaardslinger op t = 12π.

De grafiek wordt dan over 12π naar rechts verschoven, dus c = − 1

2π.

a = 2, b = 2, c = − 12π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t − 1

2π).

Opgave 29b



De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is π (bijvoorbeeld van t = − 14π tot t = 3

4π).

Hieruit volgt net als in 29a b = 2.



4π.

a = 2, b = 2, c = 14π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t + 1

4π).

Met a = 2 begint er ook een standaardslinger op t = 34π.


4π.

a = 2, b = 2, c = − 34π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t − 3

4π).

Met a = −2 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = 14π.


4π.

a = −2, b = 2, c = − 14π en d = 0 geeft y = −2 sin 2(t − 1

4π).

Opgave 29c

Amplitude: 2 12 , dus a = 2 1

2 of a = −2 12 .


De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 4 (bijvoorbeeld van t = 1 tot t = 5).

Uit periode =2πb

volgt nu2πb= 4⇔ 4b = 2π⇔ b = 1

2π.

Met a = 2 12 begint er een standaardslinger op t = 1.

De grafiek wordt dan 1 naar rechts verschoven, dus c = −1.

a = 2 12 , b = 1

2π, c = −1 en d = 0 geeft y = 2 12 sin 1

2π · (t − 1).

Met a = −2 12 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = −1.

De grafiek wordt dan 1 naar links verschoven, dus c = 1.

a = −2 12 , b = 1

2π, c = 1 en d = 0 geeft y = −2 12 sin 1

2π · (t + 1).

E.8. Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven 47

Opgave 30a



De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 2π

(bijvoorbeeld van t = − 14π tot t = 1 3

4π). Hieruit volgt b = 1.



4π.

a = 3, b = 1, c = 14π en d = 0 geeft y = 3 sin(t + 1

4π).

Met a = 2 begint er ook een standaardslinger op t = 1 34π.

De grafiek wordt dan over 1 34π naar rechts verschoven, dus c = −1 3

4π

a = 3, b = 1, c = −1 34π en d = 0 geeft y = 3 sin(t − 1 3

4π).

Met a = −3 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = 34π.


4π.

a = −3, b = 1, c = − 34π en d = 0 geeft y = −3 sin(t − 3

4π).

Opgave 30b

Amplitude: 12 , dus a = 1

2 of a = − 12 .


De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 43π (bijvoorbeeld van t = − 1

3π tot t = π).

Uit periode =2πb

volgt nu2πb= 4

3π⇔ b = 2 : 43 = 2 × 3

4 =32 .

Met a = 12 begint er een standaardslinger op t = 1

3π.


3π.

a = 12 , b = 3

2 , c = − 13π en d = 0 geeft y = 1

2 sin 32 (t − 1

3π).

Met a = − 12 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = − 1

3π.


3π.

a = − 12 , b = 3

2 , c = 13π en d = 0 geeft y = − 1

2 sin 32 (t + 1

3π).

Opgave 30c

De grafiek slingert tussen y = 4 en y = 10, dus de evenwichtswaarde is 7 en de amplitude (de maximaleafwijking van de evenwichtswaarde) is 3.

Dit geeft a = 3 of a = −3 en d = 7.

De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 16 (bijvoorbeeld van t = −4 tot t = 12).

Uit periode =2πb

volgt nu2πb= 16⇔ 16b = 2π⇔ b = 1

8π.

Met a = 3 begint er een standaardslinger op t = 4.

De grafiek wordt dan 4 naar rechts verschoven, dus c = −4.

a = 3, b = 18π, c = −4 en d = 7 geeft y = 3 sin 1

8π · (t − 4) + 7.

Met a = −3 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = −4.

De grafiek wordt dan 4 naar links verschoven, dus c = 4.

a = −3, b = 18π, c = 4 en d = 0 geeft y = −2 sin 1

8π · (t + 4) + 7.


Opgave 31a

Bedenk dat de standaard-vorm is: y = cos 3(t + 13π).

Opgave 31c

De periode wordt2π23π= 2 : 2

3 = 2 · 32 = 3, de schaalverdeling van de t-as is daaraan aangepast.

Opgave 31d

Let op: de periode is π en de horizontale verschuiving is 1 naar rechts. Een standaardslinger loopt bijvoor-beeld van (1,1 1

2 ) tot (1 + π,1 12 ). Welke schaalverdeling je ook gebuikt, deze punten komen nooit allebei

“mooi” uit.

Opgave 32

We zoeken een formule van de vorm y = a cos b(x + c) + d.

De amplitude, evenwichtswaarde en periode zijn voor de cosinus-formule gelijk aan die voor de sinus-formule, dus a, b en d zijn telkens gelijk aan de bij 29 en 30 gevonden waarden, waarbij hier bij a altijd voorde positieve waarde is gekozen.

De standaard cosinus-slinger begint op een maximum (cos 0 = 1), dus kunnen we c bepalen door een maxi-mum van de grafiek te kiezen dicht bij de y-as.

Bij een negatieve a of een ander maximum om c te bepalen krijg je uiteraard een andere formule.

29a: Gekozen maximum: t = − 14π, dus c = 1

4π.

29b: Gekozen maximum: t = 0, dus c = 0.

29c: Gekozen maximum: t = −2, dus c = 2.

30a: Gekozen maximum: t = 14π, dus c = − 1

4π.

30b: Gekozen maximum: t = 23π, dus c = − 2

3π.

30c: Gekozen maximum: t = 8, dus c = −8.

E.9. Werkblad Goniometrie 49

E.9 Werkblad Goniometrie

De eenheidscirkels en de tabel hieronder zijn bedoeld om je vertrouwd te maken met het werkenmet sinus en cosinus.

Tip: Maak een aantal kopieen van deze bladzijde, zodat je er lekker op kunt “kladderen”.

Het is helaas niet toegestaan om dit werkblad mee te nemen bij toetsen en (CCVW-)tentamens.

x

y

•

•

•

1

( 12 ,

12

√3)

( 12

√3, 1

2 )

•1

•

•

•

•

•

•

•

•

O

x

y

•

•

1

( 12

√2, 1

2

√2)

•1

•

•

•

•

•

O

Hoek in graden 0 30 45 60 90

Hoek in radialen 0 16π

14π

13π

12π

sinus 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cosinus 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0

*Indexaanliggende rechthoekszijde, 14amplitude, 20

cosinus, 9, 14

eenheidscirkel, 5evenwichtswaarde, 19

graden, 14

hypotenusa, 14

kwadrant, 8

omtrek, 5overstaande rechthoekszijde, 14

periode, 4periodieke functie, 4

rad, 18radiaal, 18

schuine zijde, 14sinus, 9, 14sinusoıde, 19stelling van Pythagoras, 15symmetrie, 9

tangens, 14

50

Appendix E Goniometrie

Documents

Transcript of Appendix E Goniometrie