Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

118
Wiskunde In zicht een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door Koen De Naeghel Deel II Goniometrie en precalculus 2 06/08/2015

description

Onderdeel van Wiskunde in zicht, een cursus wiskunde voor studierichtingen met component wiskunde derde graad algemeen secundair onderwijs geschreven door Koen De Naeghel

Transcript of Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Page 1: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel II Goniometrie en precalculus 2

06/08/2015

Page 2: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 3: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel II Goniometrie en precalculus 2

Page 4: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2013 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 6 augustus 2015

Page 5: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord v

Wat is wiskunde? vii-xii

Parate kennis bij aanvang van de derde graad xiii-xxi

I Precalculus 1 I,i-ii,1-138

II Goniometrie en precalculus 2 II,i-ii,1-95

III Matrices

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek XIV,i,1-39

XV Vectorruimten XV,i,1-59

XVI Getaltheorie

XVII Analytische meetkunde

XVIII Differentiaalvergelijkingen

XIX Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

M Computerrekenpakket Maple S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,1-4

Pr Practicum wiskunde

Ps Problem Solving wiskunde Pr,1-12

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xxii-xxvi

iii

Page 6: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 7: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

y

x

f(x) = cosx+ cos(√2 x)

1

1

Deel II

Algebra en meetkunde - GoniometrieAnalyse - Precalculus 2

II

Page 8: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 9: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Inhoudsopgave Deel Goniometrie en Precalculus 2

1 Basisbegrippen 1

1.1 Basisbegrippen in verband met hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Waarden van een hoek - Graden en radialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Radialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Verband tussen graden en radialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Lengte van een cirkelboog met straal r en middelpuntshoek α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Goniometrische getallen en grondformule van de goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Inzicht in navigatie - afstandsbepaling op aarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Formules van de goniometrie 15

2.1 Formules voor verwante hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Som- en verschilformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Verdubbelingsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Formules van Carnot en halveringsformules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 t-formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Toepassing 1 - De formule van Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Toepassing 2 - De goniometrische getallen van π/2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Toepassing 3 - Herleiden van goniometrische identiteiten naar rationale identiteiten . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Som-naar-product formules (formules van Simpson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8 Product-naar-som formules (omgekeerde formules van Simpson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Inzicht in astronavigatie - prosthaphaeresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden 36

3.1 Basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Type 1. sinx = sin a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Type 2. cosx = cos a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Type 3. tanx = tan a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Vergelijkingen herleidbaar tot basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Type 1. Ontbinden in factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Type 2. Vergelijkingen oplossen met een hulponbekende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Type 3. Homogene vergelijkingen in sinx en cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Type 4. Vergelijkingen van de vorm a sinx+ b cosx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Eenvoudige goniometrische ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Goniometrische functies 45

4.1 Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Elementaire goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

De sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

De cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

De tangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Andere goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 De algemene sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Toepassing 1 - Bewerkingen met periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Page 10: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Toepassing 2 - De harmonische trilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Toepassing 3 - De golfbeweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Inzicht in kinematica - Lissajousfiguren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Cyclometrische functies 74

5.1 Elementaire cyclometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

De boogsinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

De boogcosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

De boogtangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Cyclometrische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Inzicht in geschiedenis van de wiskunde - benaderingen van het getal π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A Formules van de goniometrie - Overzicht 87

Antwoorden op geselecteerde oefeningen 88

II-ii

Page 11: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Hoofdstuk 1

Basisbegrippen

Het doel van dit hoofdstuk is hoofdzakelijk om voorkennis in verband met goniometrie te activeren. De meeste be-grippen werden gezien in het derde en het vierde jaar. We werken uitsluitend in het vlak, voor hoeken in de ruimteverwijzen we naar Deel Ruimtemeetkunde.

1.1 Basisbegrippen in verband met hoeken

3 Definitie. Een georienteerde hoek is een koppel halfrechten (a, b) met hetzelfde beginpunt.

Doorgaans noteren we een georienteerde hoek met een Griekse letter, bijvoorbeeld α = (a, b).

3 Definities en afspraken.

1. In het vervolg van dit deel zijn alle hoeken georienteerd. We korten dan ook georienteerde hoek af tot hoek.

2. Voor een hoek (a, b) wordt de volgorde van het koppel aangegeven door een pijl van a naar b. Bij elke hoekhoren dus oneindig veel pijlen. In de praktijk duiden we evenwel altijd een kortste pijl aan1.

Voorbeeld.

b

a

α

3. Als a = [CA en b = [CB dan schrijven we (a, b) = ACB.

4. De tegengestelde hoek van de hoek α = (a, b) is de hoek −α def= (b, a).

5. Twee hoeken (a, b) en (c, d) zijn gelijk als we door translatie en/of rotatie de koppels halfrechten in elkaar

kunnen transformeren. In dit geval noteren we (a, b) = (c, d).

Voorbeeld. Gegeven zijn de onderstaande hoeken α en β. Ga met behulp van een passer na dat α = β.Controleer door de hoeken te meten met een gradenboog.

b

a

α

c

d

β

1Bedenk dat er bij een gestrekte hoek twee korste pijlen zijn.

II-1

Page 12: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

6. Een hoek (a, b) is een nulhoek indien a = b. Alle nulhoeken zijn gelijk, we kunnen dus spreken over denulhoek. We noteren de nulhoek met 0.

Voorbeeld. Onderstaande hoeken stellen de nulhoek voor.

a

0

c

0

7. Voor twee hoeken (a, b) en (c, d) definieren we de som aan de hand van twee stappen.

. Stap 1. Bepaal de halfrechte b′ waarvoor (c, d) = (b, b′)

. Stap 2. De som van de hoeken (a, b) en (c, d) is gelijk aan (a, b) + (c, d)def= (a, b′).

Voorbeeld. Construeer de som van de onderstaande hoeken α en β.

a

b

α d

c

β

? Eigenschap 1. Noem H de verzameling van alle hoeken in het vlak. We hebben een afbeelding geconstrueerd,die we in het vervolg optelling noemen:

+ : H×H → H(α, β) 7→ α+ β

en die voldoet aan de volgende eigenschappen:

(1) optelling is associatief: ∀α, β, γ ∈ H : (α+ β) + γ = α+ (β + γ)

(2) de nulhoek 0 is het neutraal element voor de optelling: ∀α ∈ H : α+ 0 = α = 0 + α

(3) invers element voor optelling: ∀α ∈ H : α+ (−α) = 0 = −α+ α.

Omdat voldaan is aan deze drie eigenschappen noemen we de verzameling H voorzien van de optelling een groep,notatie H,+. Bovendien geldt ook de eigenschap

(4) optelling is commutatief: ∀α, β ∈ H : α+ β = β + α.

Wegens deze vierde eigenschap noemen we de groep H,+ commutatief (of abels 2). Merk op dat deze groep H,+wezenlijk verschillend is van groepen zoals Z,+ want zo is voor de gestrekte hoek ω bijvoorbeeld ω + ω = 0 (ofkortweg 2 · ω = 0) terwijl toch ω 6= 0, zie onderstaande figuur.

a

2Genoemd naar Niels Henrik Abel (1802-1829).

II-2

Page 13: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Definitie. Een hoek β is een helft van een hoek α indien β + β = α.

Voorbeeld. Construeer de helft(en) van de onderstaande hoek α.

b

a

α

Dit observatie leidt tot de volgende

3 Eigenschap 2. Elke hoek heeft twee verschillende helften.

3 Opmerking. Wegens de vorige eigenschap heeft het geen3 zin om van de helft van een hoek te spreken. Bijgevolgheeft de notatie α/2 geen betekenis.

We voorzien wel de volgende uitzondering. Indien α een binnenhoek van een driehoek ABC is dan schrijven wetoch α/2 voor de helft van α die binnen deze driehoek valt (zie figuur). We verwijzen naar die helft als de helftvan een (binnen)hoek van een driehoek.

α

A B

C

3 Voorstellen van hoeken op de goniometrische cirkel. We voorzien het vlak van een Cartesisch assen-stelsel en beschouwen de cirkel C(O, 1) met middelpunt de oorsprong en straal 1. Deze cirkel noemen we degoniometrische cirkel. We kunnen elke hoek (a, b) voorstellen op de goniometrische cirkel door het beginbeen ate laten samenvallen met de positieve x-as (zie figuur). Het snijpunt van het nieuwe eindbeen met de goniome-trische cirkel noemen we het beeldpunt van de hoek α, die we noteren met Eα.

a

b

α

y

x1

1

α

3 Kwadranten. Het vlak wordt verdeeld in vier kwadranten, elk begrensd door twee halve assen en genummerdvanaf de nulhoek tegen de wijzers van de klok in. De vier kwadranten noteren we met Romeinse cijfers I, II, IIIen IV. De tekens van de coordinaten van een punt zijn er respectievelijk (+,+), (−,+), (−,−) en (+,−).

3 Het feit dat een hoek twee helften bezit, heeft als gevolg dat (a) elk positief reeel getal twee vierkantswortels heeft (zie Deel Complexegetallen) en (b) we de commutatieve groep H,+ niet kunnen opvatten als een vectorruimte (zie Deel Vectorruimten).

II-3

Page 14: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

1.2 Waarden van een hoek - Graden en radialen

Graden

3 Opbouw. Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (linkerfiguur).

y

xE0

1

C(O, 1)

α

y

xE0

1

C(O, 1)

α

P

Om de hoek α in graden te meten gaan we als volgt te werk (rechterfiguur).

Stap 1. Beschouw een denkbeeldig punt P dat op de cirkel van E0 naar Eα beweegt langs een (cirkel)boog.

Stap 2. Meet zo’n cirkelboog met een gradenboog (1 graad een 360ste deel van de volledige cirkel).

Stap 3. Voorzie dat getal in graden van een toestandsteken4:

. schrijf een plusteken indien het punt P in tegenwijzerzin beweegt,

. schrijf een minteken indien het punt P in wijzerzin beweegt.

Het getal in graden, voorzien van het toestandsteken, noemen we een (hoek)waarde in graden van α.

3 Voorbeeld. Beschouw de onderstaande hoek α. Geef telkens de hoekwaarde in graden die hoort bij de aange-geven boog.

y

xE0

EαC(O, 1)

α

boog in graden = . . .

dus α = . . . . . . ◦

y

xE0

EαC(O, 1)

α

boog in graden = . . .

dus α = . . . . . . ◦

y

xE0

EαC(O, 1)

α

boog in graden = . . .

dus α = . . . . . . ◦

In dit voorbeeld is de verzameling van alle hoekwaarden in graden van de hoek α gelijk aan {90◦ + k · 360◦ | k ∈ Z}.In het vervolg noteren we kortweg5

α = 90◦ + k · 360◦ (k ∈ Z).

3 Bijzondere hoekwaarden in graden. Elke hoek α heeft oneindig veel hoekwaarden in graden.

. De hoofdwaarde in graden van α is de (unieke) hoekwaarde in ]−180◦, 180◦].

. De kleinste positieve waarde in graden van α is de (unieke) hoekwaarde in [0◦, 360◦[.

4Op dit punt is er een wezenlijk verschil tussen het vlak en de driedimensionale ruimte: in het vlak kent men wijzerzin en tegenwijzerzin,terwijl dit in de ruimte niet het geval is. Derhalve kunnen we in de ruimte hoeken niet voorzien van een teken, zie Deel Ruimtemeetkunde.

5Strikt genomen spreken we dit uit als: voor elk geheel getal k is 90◦ + k · 360◦ een hoekwaarde in graden van α.

II-4

Page 15: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Radialen

3 Opbouw. Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel (linkerfiguur).

y

xE0

1

C(O, 1)

α

y

xE0

1

C(O, 1)

α

P

Om de hoek α in radialen te meten gaan we als volgt te werk (rechterfiguur).

Stap 1. Beschouw een denkbeeldig punt P dat op de cirkel van E0 naar Eα beweegt langs een (cirkel)boog.

Stap 2. Meet de lengte van zo’n cirkelboog.

Stap 3. Voorzie deze lengte van een toestandsteken:

. schrijf een plusteken indien het punt P in tegenwijzerzin beweegt,

. schrijf een minteken indien het punt P in wijzerzin beweegt.

De lengte van zo’n boog, voorzien van het toestandsteken, noemen we een (hoek)waarde in radialen van α.

3 Voorbeeld. Beschouw de onderstaande hoek α. Geef telkens de hoekwaarde in radialen die hoort bij de aan-gegeven boog.

y

xO E0

EαC(O, 1)

α

lengte boog = . . .

dus α = . . . . . . rad

y

xO E0

EαC(O, 1)

α

lengte boog = . . .

dus α = . . . . . . rad

y

xO E0

EαC(O, 1)

α

lengte boog = . . .

dus α = . . . . . . rad

Meestal laten we het bijschrift rad achterwege.

In dit voorbeeld is de verzameling van alle hoekwaarden in radialen van de hoek α gelijk aan{π

2+ k · 2π | k ∈ Z

}.

In het vervolg noteren we kortweg6

α =π

2+ k · 2π (k ∈ Z).

3 Bijzondere hoekwaarden in radialen. Algemeen heeft elke hoek α oneindig veel hoekwaarden in radialen.

. De hoofdwaarde in radialen van α is de (unieke) hoekwaarde in ]−π, π].

. De kleinste positieve waarde in radialen van α is de (unieke) hoekwaarde in [0, 2π[.

6Strikt genomen spreken we dit uit als volgt: voor elk geheel getal k is π/2 + k · 2π een hoekwaarde in radialen van α.

II-5

Page 16: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Verband tussen graden en radialen

3 Opbouw. Drukken we, op de goniometrische cirkel, de volledige cirkelboog uit in graden en in radialen danvinden we het verband

360◦ = 2π rad

hetgeen ons toelaat een hoekwaarde in graden om te zetten naar een hoekwaarde in radialen en omgekeerd.

3 Modelvoorbeeld 1. Zij α = 15◦. Bepaal algebraısch een hoekwaarde in radialen van α (exacte waarde noteren).Controleer met je grafische rekenmachine.

Oplossing.

MODE 15 2ND ANGLE 1:◦ ENTER

3 Modelvoorbeeld 2. Zij β = −4π

3rad. Bepaal algebraısch de kleinste positieve waarde in graden van β (exacte

waarde noteren). Controleer met je grafische rekenmachine.

Oplossing.

MODE

(−4π

3

)2ND ANGLE 3:r ENTER

II-6

Page 17: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Lengte van een cirkelboog met straal r en middelpuntshoek α

3 Opbouw. Beschouw op een cirkel met straal r een cirkelboog. Noem α de hoek die hoort bij deze cirkelboog(zie figuur). Men noemt α de middelpuntshoek van de cirkelboog.

1r

α

L = ?

l = . . .

Hoe kunnen we de lengte L van deze cirkelboog bepalen?

Oplossing.

Antwoord. De lengte van een cirkelboog met straal r en middelpuntshoek α is

L = . . .

waarbij α uitgedrukt wordt in de kleinste positieve waarde in radialen.

communicatiesatellietArtemis in

geostationaire baan

3 Modelvoorbeeld. Communicatiesatellieten verzorgen telefoon, radio, televisieen internet over lange afstanden. In 1945 ontdekte men 7 dat een satelliet ineen baan om de aarde op een hoogte van ongeveer 36 000 km boven de evenaaraltijd boven hetzelfde aardoppervlak zweeft. Deze baan noemt men dan ook eengeostationaire baan.

We nemen aan dat een satelliet in geostationaire baan een cirkelvormige baanom de aarde beschrijft, de gemiddelde straal van de aarde langs de evenaar is6378 km.

(a) Bepaal de hoek die de satelliet op deze cirkel aflegt in een tijdspanne vandrie uur.

(b) Bepaal de afstand die de satelliet op deze cirkel aflegt in een tijdspanne van drie uur. Afronden op 1kmnauwkeurig.

(c) Bepaal de lengte van een geostationaire baan. Afronden op 1 km nauwkeurig.

(d) Bepaal de rotatiesnelheid van de satelliet (in km/u).

Oplossing.

7Ontdekt door de Engelse sience-fiction schrijver, uitvinder en futuroloog Sir Arthur Charles Clarke . De geostationaire baan wordtom die reden ook wel de Clarke-Belt genoemd.

II-7

Page 18: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

1.3 Goniometrische getallen en grondformule van de goniometrie

Uit het vierde jaar herhalen we de goniometrische getallen van willekeurige hoeken, alsook de grondformule van degoniometrie. Zie ook Parate kennis bij aanvang van de derde graad.

3 Definitie (goniometrische getallen). Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel.

We definieren de volgende reele getallen.

. De cosinus van α, notatie cosα, is de x-coordinaat van het beeldpunt Eα.

. De sinus van α, notatie sinα, is de y-coordinaat van het beeldpunt Eα.

Dit betekent dat co(Eα) = (cosα, sinα) .

. De tangens van α is tanαdef=

sinα

cosα.

Onderstaande figuren illustreren hoe we de sinus, cosinus en tangens van α aflezen.

y

x1

1

α

cosα

y

x1

1

α

sinα

y

x1

1

α

x = 1

tanα

Verder definieren we nog de volgende reele getallen.

. De secans van α is secαdef=

1

cosα.

. De cosecans van α is cosecαdef=

1

sinα.

. De cotangens van α is cotαdef=

1

tanα.

De sinus, cosinus, tangens, secans, cosecans en cotangens van α noemen we de goniometrische getallen van α.Voor het aflezen van tangens, cotangens, secans en cosecans verwijzen we naar de oefeningen bij §1.3.

3 Notaties. Zoals eerder gezegd noteren we hoeken met Griekse letters α, β, . . . . Hoekwaarden daarentegen zijnreele getallen en worden zoals gewoonlijk aangeduid met Latijnse letters a, b, . . . .

. Is α = a◦ dan schrijven we ook sin a◦ in plaats van sinα, cos a◦ in plaats van cosα, etc.

. Is α = a rad dan schrijven we ook sin(a rad) of sin a in plaats van sinα, etc. Meestal laten we dan ook hetbijschrift rad achterwege. Zo schrijven we dus sin (π rad) kortweg als sinπ. Voor een hoek α schrijven we

ook α+ π of α+ 180◦ voor de som van α met de gestrekte hoek, α+π

2of α+ 90◦ voor de som van α met

de rechte hoek, etc.

Voorbeeld. tan 2π = tan 360◦ = tan 0◦

3 Goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende scherpe hoeken. Aan de hand van de definitievan goniometrische getallen en de stelling van Pythagoras verkrijgen we onderstaande tabel. Voor het opstellenvan deze tabel verwijzen we naar Oefening 17 en Oefening 18.

α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sinα 01

2

√2

2

√3

21

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20

tanα 01√3

1√

3 |

II-8

Page 19: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Uit de definitie van sinus en cosinus volgt onmiddellijk de volgende

3 Stelling (grondformule van de goniometrie). Voor elke hoek α geldt:

sin2 α+ cos2 α = 1 .

Bewijs. Neem een willekeurige hoek α. Het beeldpunt Eα ligt op de goniometrische cirkel. Bijgevolg voldoen decoordinaten van Eα aan de vergelijking van die cirkel:

Eα ∈ C(O, 1) ⇒ co(Eα) = (cosα, sinα) voldoet aan de vergelijking van de cirkel C(O, 1) : x2 + y2 = 1

⇒ (cosα)2 + (sinα)2 = 1

⇒ sin2 α+ cos2 α = 1.

3 Gevolgen (afgeleide formules van de grondformule).

1. Delen we beide leden van de grondformule door cos2 α dan verkrijgen we

tan2 α+ 1 =1

cos2 αvoor elke hoek α waarvoor cosα 6= 0.

2. Delen we beide leden van de grondformule door sin2 α dan verkrijgen we

1 + cot2 α =1

sin2 αvoor elke hoek α waarvoor sinα 6= 0.

3 Opmerkingen.

1. Hierboven en in het vervolg is sin2 α een andere schrijfwijze 8 voor (sinα)2. Analoog voor andere machten

en goniometrische getallen.

2. De grondformule en de twee afgeleide formules zijn voorbeelden van wat men noemt goniometrischeidentiteiten: uitdrukkingen van de vorm � = 4 die opgaan voor alle hoeken α, β, . . . waarvoor de uitdruk-king gedefinieerd is. Veelal laat men de specificaties zoals voor elke hoek α of voor elke hoek α waarvoorcosα 6= 0 weg.

Goniometrische identiteiten blijven uiteraard geldig indien we de hoeken vervangen door een hoekwaarde.

Voorbeeld. Voor elke reeel getal a is sin2 a+ cos2 a = 1.

3. Is van een hoek α een goniometrisch getal gekend, dan laat de grondformule en de twee afgeleide formulestoe om andere goniometrische getallen te berekenen (zie onderstaand schema). Is daarenboven het kwadrantvan de hoek α gekend, dan zijn alle goniometrische getallen welbepaald.

sinα cosα

cosecα secα

cotα tanα

sin2 α+ cos2 α = 1

secα =1

cosα

1 + tan2 α = sec2 α

cotα =1

tanα

1 + cot2 α = cosec2 α

cosecα =1

sinα

8Deze notatie is conform met onze afspraken uit Deel Precalculus 1 waar voor een functie f ook f2(x) = (f(x))2 .

II-9

Page 20: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 21: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefeningen

1 Basisbegrippen Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1.1 Basisbegrippen in verband met hoeken 1 2 3

1.2 Waarden van een hoek - Graden en radialen 4567

89

1011

412

13 14

1.3 Goniometrische getallen en grondformule van degoniometrie

1516

1617

1618

161920

2021

22 23 2425

26

Oefeningen bij §1.1

B Oefening 1. Duid in een goniometrische cirkel het beeldpunt van de nulhoek 0, het beeldpunt van een rechte hoek δen het beeldpunt van de gestrekte hoek ω aan.

B? Oefening 2. Bepaal de helft(en) van de nulhoek 0.

B?? Oefening 3. Gegeven zijn de onderstaande hoeken α en β.

(a) Construeer de som α+ β.

(b) Construeer het verschil α− β.

(c) Construeer de twee helften van de hoek α.

b

a

αd

c

β

Oefeningen bij §1.2

Oefening 4. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine een hoekwaarde in radialen (exacte waarde noteren).Controleer met je grafische rekenmachine.

B (a) α = 180◦ B (c) γ = 25◦

B (b) β = −135◦ V (d) θ = 100◦ 17′

B Oefening 5. Bepaal telkens met je grafische rekenmachine een hoekwaarde in radialen.

(a) α = 1000◦ 50′ 40′′ (b) β = 63◦ 45′′

B Oefening 6. Vul in de volgende tabel de kleinst positieve hoekwaarde in radialen.

α (in graden) 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

α (in radialen) . . . . . . . . . . . . . . .

II-10

Page 22: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

B Oefening 7. Bepaal telkens met je grafische rekenmachine een hoekwaarde in graden.

(a) α = 1 rad (b) β = 7, 4 rad

B? Oefening 8. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine een hoekwaarde in graden (exacte waarde noteren).Controleer met je grafische rekenmachine.

(a) α =3π

2rad (c) γ =

π

12rad

(b) β = −2π

3(d) θ =

16

B? Oefening 9. Gegeven zijn onderstaande regelmatige veelhoeken. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine eenhoekwaarde van de aangeduide hoek in radialen.

αβ

γ

δ

ε

B?? Oefening 10. De grote wijzer van een moderne wandklok heeft een lengte van 31 cm, de kleine wijzer meet 23, 5 cm.

(a) Welke afstand legt de top van de grote wijzer af in 17 minuten?

(b) Welke afstand legt de top van de kleine wijzer af in 17 minuten?

poster Vlaamse WiskundeOlympiade, 2007

B?? Oefening 11. Veronderstellen we dat de aarde bolvormig9 is, dan wordt de kortsteafstand tussen twee punten op aarde gemeten op een zogenaamde grote cirkel: eendenkbeeldige cirkel met als middelpunt het centrum van de aarde en als straal destraal van de aarde (neem 6370 km).

(a) Een zeemijl is de lengte gemeten op een grote cirkel die overeenkomt met eenhoek van 1′ gezien vanuit het centrum van de aarde. Bereken hoeveel kilometerer in een zeemijl gaan.

(b) Een vliegtuig vliegt van Brussel naar Kaap de Goede Hoop volgens de meridiaan4◦ oosterlengte. De noorderbreedte van Brussel is 50◦ 30′, de zuiderbreedte vanKaap de Goede Hoop is 34◦ 25′ 15′′. Het vliegtuig vliegt op een hoogte vangemiddeld 10 km. Bepaal de afstand die het vliegtuig aflegt.

V Oefening 12. Zij α =π

3rad.

(a) Schets het beeldpunt van α op de goniometrische cirkel en geef alle hoekwaardenin radialen van α.

(b) Bepaal alle hoeken β waarvoor 3β = α en duid aan op de goniometrische cirkel.

V? Oefening 13. Een fietsketting draait rond over een klein tandwiel achteraan (diameter 75 mm) en een groot tandwielvooraan aan de pedalen (diameter 185 mm). Als de pedalen ronddraaien over een hoek van 5 radialen, over welke hoek(in radialen) is het achterste tandwiel dan gedraaid?

r

U Oefening 14 (oppervlakte van een cirkelsector). Een cirkelsector is een deelvan het cirkeloppervlak ingesloten door een cirkelboog en de twee lijnstukken van deeindpunten van de cirkelboog naar het middelpunt van de cirkel (zie figuur). Noemr de straal van de cirkel en α de hoek die hoort bij deze cirkelboog. Toon aan dat deoppervlakte van de cirkelsector gegeven wordt door10

A =1

2αr2

waarbij α uitgedrukt wordt in de kleinste positieve waarde in radialen.

9In de praktijk beschouwt men de vorm van de hypothetische zeespiegel die de hele aarde omvat. Deze vorm noemt men de geoıdeen wijkt af van zowel een ideale bolvorm als een ellipsoıde. De geoıde is wiskundig niet eenvoudig te beschrijven, toch heeft ze specifieketoepassingen zoals in de oceanografie, fysische geodesie en de gravimetrie.

10Merkwaardig genoeg kunnen we een cirkelsector opvatten als een ’driehoek’ met als ’basis’ de booglengte en ’hoogte’ de straal, wantdan is de oppervlakte inderdaad gelijk aan (’basis’× ’hoogte’)/2 = (rα× r)/2 = 1/2αr2.

II-11

Page 23: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefeningen bij §1.3

B Oefening 15. De uitdrukkingtanα− sinα cosα

tanα

is gelijk aan

(A) sinα (B) cosα (C) sin2 α (D) cos2 α (E) 1

Oefening 16. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a) (4 sinα− cosα)2

+ (sinα+ 4 cosα)2

= 17 B?? (f) (cosecα− sinα)(secα− cosα) =1

tanα+ cotα

B (b)tan2 α

1 + tan2 α= sin2 α B?? (g)

tanα

cosecα= (1− cos2 α) secα

B? (c) sin2 α− cos2 α =tan2 α− 1

tan2 α+ 1V (h) sec2 α cosec2 α− tan2 α− cot2 α = 2

B? (d) tanα+ cotα = cosecα secα V (i)1 + cosα

sinα=

sinα

1− cosα

B?? (e) sin2 α cos2 β − sin2 β cos2 α = sin2 α− sin2 β V (j) (sinα+ cosα+ 1) (sinα+ cosα− 1) = 2 sinα cosα

B? Oefening 17. Zij α een hoek waarvoor sinα = 3/5. Bereken algebraısch de mogelijke waarden voor de goniometrischegetallen cosα, tanα. Duid de betekenis aan op de goniometrische cirkel.

B?? Oefening 18. Zij β een hoek waarvoor cotβ = −3/4. Bereken algebraısch de mogelijke waarden voor de goniometri-sche getallen cosβ, tanβ. Duid de betekenis aan op de goniometrische cirkel.

V Oefening 19. Zij α een hoek waarvoor secα+ tanα = 22/7. Bepaal algebraısch cosecα+ cotα zonder de hoek α teberekenen.

Oefening 20. Bewijs dat de volgende uitdrukkingen constant zijn (dat wil zeggen: niet afhangen van de keuze vande hoek α).

V (a)(sin4 α− cos4 α

)2+ 4 sin2 α cos2 α V? (c) sin6 α+ 3 sin2 α cos2 α+ cos6 α

V (b) 3(sin4 α+ cos4 α

)− 2

(sin6 α+ cos6 α

)V? (d) sin2 α tan2 α− sec2 α− cos2 α

V? Oefening 21 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1986 eerste ronde).Welk is de lengte van de straal R van de gegeven cirkel indien de lengte van [PQ] precies tan θ is?

y

x

θ

Q

P

R

(A)tan θ

cos θ(B) sin θ · tan θ (C)

1

sin θ(D)

1

cos θ(E) geen van de vorige

V?? Oefening 22 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).Toon aan dat de wortels van de vierkantsvergelijking

(1 + sin a)x2 − (2 sin a+ cos2 a)x+ sin a (1− sin a) = 0

rationale vormen in sin a zijn.

II-12

Page 24: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

U Oefening 23. Beschouw de nevenstaande gelijkbenige rechthoekige driehoek.

(a) Toon aan dat α = β = 45◦.

(b) Bewijs dat

sin 45◦ =

√2

2en cos 45◦ =

√2

2en tan 45◦ = 1.

1

α

β

U? Oefening 24. Beschouw de nevenstaande gelijkzijdige driehoek met zwaartelijnz.

(a) Toon aan dat α = 60◦.

(b) Bewijs met behulp van congruente driehoeken dat β = 30◦.

(c) Bewijs dat

sin 30◦ = cos 60◦ =1

2en sin 60◦ = cos 30◦ =

√3

2.

1 1

α

β

z

1/2 1/2

U? Oefening 25 (meetkundige voorstelling van tangens en cotangens).Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel. Bewijs dat we de tangens en cotangens van α als volgtkunnen aflezen.

(a) De tangens van α is de y-coordinaat van het snijpunt van de rechte OEα met de rechte x = 1.

(b) De cotangens van α is de x-coordinaat van het snijpunt van de rechte OEα met de rechte y = 1.

y

x1

1

α

tanα

x = 1 y

x1

1

α

cotα y = 1

U?? Oefening 26 (meetkundige voorstelling van secans en cosecans).Zij α een hoek die voorgesteld is op de goniometrische cirkel. Bewijs dat we de secans en cosecans van α als volgtkunnen aflezen.

(a) De secans van α is de x-coordinaat van het snijpunt van de x-as met de raaklijn t in Eα aan de cirkel C(O, 1).

(b) De cosecans van α is de y-coordinaat van het snijpunt van de x-as met raaklijn t in Eα aan de cirkel C(O, 1).

y

x1

1

α

t

secα

y

x1

1

α

t

cosecα

II-13

Page 25: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Inzicht in navigatie

In dit voorbeeld11 laten we zien hoe de afstand tussen twee punten op aarde, relatief ver van elkaar verwijderd,kan berekend worden.

Voor het meten van afstanden op aarde maakt men onderscheid tussen landmeetkunde en navigatie. De land-meetkunde, onderdeel van de geodesie, richt zich op de meetkundige beschrijving van stukken land waarbij heteffect van de aardkromming kan worden verwaarloosd. Doorgaans neemt men 40 km als bovengrens. Voor hetberekenen van deze kleine afstanden maakt men gebruik van driehoeksmeetkunde: de tak van de meetkunde diezich bezighoudt met het berekenen van zijden en hoeken van driehoeken in het vlak. Daarbij maakt men uit-voerig gebruik van de sinusregel en de cosinusregel in een driehoek (zie Parate kennis bij aanvang van de derde graad).

Figuur 1: boldriehoek ABC

Bij navigatie gaat het om relatief grote afstanden. Daarbij veronderstelt men deaarde bolvormig en om de (kortste) afstand tussen twee punten te bepalen maaktmen gebruik van boldriehoeksmeetkunde: de tak van de meetkunde die zich bezig-houdt met het het berekenen van zijden en hoeken van zogenaamde boldriehoekenin de ruimte. Noemen we R de straal en O het middelpunt van de bol, dan is dekortste afstand tussen twee punten A en B altijd een deel van de grote cirkel doorA en B: de cirkel met straal R die we verkrijgen door het vlak ABO te snijdenmet het boloppervlak. Een boldriehoek is een ruimtelijke figuur op een bol dieverkregen wordt door drie niet-coplanaire punten op een bol te verbinden doordelen van grote cirkels (Figuur 1). De grondformule van de boldriehoeksmeting,ook wel de eerste cosinusregel genoemd, is geldig voor R = 1 en luidt als volgt:

cos a = cos b cos c+ sin b sin c cosα.

Figuur 2: geografischecoordinaten (LA, φA)

Om deze formule toe te passen op de navigatie, moet de plaats van een punt A opaarde vastgelegd worden. Daarbij maken we gebruik van de meridiaan door A: datis de grote cirkel door A die een rechte hoek maakt met de evenaar (grote cirkelAA′ in Figuur 2). Zo’n meridiaan gaat door de polen P en P ′. Nemen we voor Ahet Koninklijk Observatorium van Greenwich te Engeland, dan verkrijgen we denulmeridiaan (grote cirkel PW in Figuur 2). De positie van een willekeurig punt Alaat zich dan beschrijven door de zogenaamde geografische coordinaten (LA, φA),die als volgt gedefinieerd worden.

. De lengte LA is de hoek WOA′. Voor R = 1 is de hoek LA in radialenook gelijk aan de lengte van de grote cirkelboog WA′. Er wordt onderscheidgemaakt tussen ooster- en westerlengte.

. De breedte φA is de hoek AOA′. Voor R = 1 is de hoek φA in radialen ook gelijk aan de lengte van de grotecirkelboog AA′. Hier wordt onderscheid gemaakt tussen noorder- en zuiderbreedte.

Afstand tussen twee punten op aarde

Figuur 3: boldriehoek PAB

Kennen we van twee punten A en B de geografische coordinaten, dan kunnen wede afstand tussen A en B berekenen door de grondformule van de boldriehoeks-meetkunde toe te passen op de boldriehoek PAB (zie Figuur 3):

cosx = cos(90◦ − φA) cos(90◦ − φB) + sin(90◦ − φA) sin(90◦ − φB) cos(LB − LA).

Voorbeeld. We berekenen de afstand tussen Brussel en Athene. Brussels Airport(BRU) heeft als geografische coordinaten

(LA, φA) = (50◦54′5′′, 4◦29′4′′)

en Athens International Airport (ATH) heeft als geografische coordinaten

(LB , φB) = (37◦56′11′′, 23◦56′41′′).

Bovenstaande formule geeft dan

cosx = cos(85◦30′56′′) cos(66◦3′19′′) + sin(85◦30′56′′) sin(66◦3′19′′) cos(12◦57′54′′) = 0, 91964527 . . .

zodat x ≈ 23◦7′32, 595′′ = 0, 403619971 . . . rad. Dat is de afstand op de bol met straal 1. Stellen we de straal van deaarde gelijk aan 6370 km, dan vinden we dat de afstand tussen Brussel en Athene ongeveer gelijk is aan 2571 km.

11Gebaseerd op [134, Boldriehoeksmeting]. Navigatie is het gebied van studie dat zich focust op plannen en volgen van een route omzich daarmee van de huidige positie naar de bestemming te verplaatsen.

II-14

Page 26: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 27: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Hoofdstuk 2

Formules van de goniometrie

In dit hoofdstuk bespreken we de belangrijkste formules van de goniometrie. Zij komen van pas bij het vereenvoudigenvan goniometrische functies (zie Hoofdstuk 4). De belangrijkste toepassing is wellicht het integreren van functies metbehulp van goniometrische substitutie, we verwijzen hiervoor naar Deel Integralen.

2.1 Formules voor verwante hoekenHerhaal uit Hoofdstuk 1 de goniometrische getallen van enkele veel-voorkomende hoeken in het eerste kwadrant (zie nevenstaande tabel).Het doel van deze paragraaf is om deze tabel uit te breiden naarveelvoorkomende hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant (zieOefening 1). In het algemeen achterhalen we betrekkingen voor degoniometrische getallen van −α, π ± α en π/2 ± α in functie van degoniometrische getallen van een hoek α.

We pleiten er voor om de formules die in deze paragraaf aan bod komenvisueel te onthouden: maak geen in te studeren formularium, maar leesde formules af van een sleutelfiguur. In de praktijk (bijvoorbeeld bijoefeningen) volstaat het om een schets te maken van de goniometrischecirkel waarbij je enkel de verwante hoeken aanduidt die je op dat momentnodig hebt.

α 0π

6

π

4

π

3

π

2

sinα 01

2

√2

2

√3

21

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20

tanα 0

√3

31

√3 |

3 Tegengestelde hoeken. We noemen α en −α tegengestelde hoeken omdat hun som gelijk is aan de nulhoek.

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van −α en stel vast.

sin(−α) = . . .

cos(−α) = . . .

tan(−α) = . . .

y

x1

1

α

sinα

cosα

x = 1

tanα

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

(a) sin(−π

4

)= . . .

(b) cos(−π

3

)= . . .

II-15

Page 28: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Supplementaire en antisupplementaire hoeken.

. We noemen α en π − α supplementaire hoeken omdat hun som gelijk is aan de gestrekte hoek.

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van π − α en stel vast.

sin(π − α) = . . .

cos(π − α) = . . .

tan(π − α) = . . .

y

x1

1

α

sinα

cosα

x = 1

tanα

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

(a) cos

(2π

3

)= . . .

(b) tan

(5π

6

)= . . .

. We noemen α en π + α antisupplementaire hoeken omdat hun verschil gelijk is aan de gestrekte hoek.

Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen van π + α en stel vast.

sin(π + α) = . . .

cos(π + α) = . . .

tan(π + α) = . . .

y

x1

1

α

sinα

cosα

x = 1

tanα

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

(a) sin

(7π

6

)= . . .

(b) cos

(4π

3

)= . . .

II-16

Page 29: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Complementaire en anticomplementaire hoeken.

. We noemen α en π/2 − α complementaire hoeken omdat hun som gelijk is aan de positief georienteerde

rechte hoek. Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen vanπ

2− α en stel

vast.

sin(π2− α

)= . . .

cos(π2− α

)= . . .

tan(π2− α

)= . . .

y

x1

1

α

sinα

cosα

x = 1

tanα

Voorbeeld. Toon aan met behulp van de formules voor complementaire hoeken

(a) cos(π

6

)= sin

(π3

)

(b) tan(π

3

)= cot

(π6

)

. We noemen α en π/2 + α anticomplementaire hoeken omdat hun verschil gelijk is aan de positief ge-

orienteerde rechte hoek. Teken op onderstaande goniometrische cirkel de goniometrische getallen vanπ

2+α

en stel vast.

sin(π2+ α

)= . . .

cos(π2+ α

)= . . .

tan(π2+ α

)= . . .

y

x1

1

α

sinα

cosα

x = 1

tanα

Voorbeeld. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

(a) sin

(3π

4

)= . . .

(b) tan

(5π

6

)= . . .

II-17

Page 30: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

2.2 Som- en verschilformules

In deze paragraaf bepalen we formules voor de sinus, cosinus en tangens van α± β in functie van de sinus, cosinus entangens van hoeken α en β onderling.

3 Op ontdekking. Hoe kunnen we sin (α+ β) uitdrukken?

. Is sin (α+ β)?= sinα+ sinβ?

We gaan dit na met een voorbeeld: sin (60◦ + 30◦)︸ ︷︷ ︸...

?= sin 60◦︸ ︷︷ ︸

...

+ sin 30◦︸ ︷︷ ︸...

. Wel is sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ.

En inderdaad, zo is sin (60◦ + 30◦)︸ ︷︷ ︸...

?= sin 60◦ cos 30◦︸ ︷︷ ︸

...

+ cos 60◦ sin 30◦︸ ︷︷ ︸...

Claudius Ptolemaeus(87 - 150 n.Chr.)

op een middeleeuwseafbeelding

3 Stelling (som-en verschilformules) 1. We hebben de identiteiten

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ

cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ

tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ

Bewijs van cos(α− β). Noem P het beeldpunt van α en Q het beeldpunt van β(figuur 1). Wanneer we het assenstelsel Oxy draaien over hoek β, dan verkrijgenwe een nieuw assenstelsel Ox′y′ (figuur 2).

Het idee van het bewijs is om de afstand |PQ| op twee manieren te berekenen.

. Eerste manier. Bereken |PQ| ten opzichte van het oud assenstelsel Oxy.

De coordinaten van P en Q ten opzichte van Oxy zijn gelijk aan

co(P ) = (x1, y1) = . . . co(Q) = (x2, y2) = . . .

en uit de formule voor de afstand tussen twee punten volgt

|PQ|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

= . . .

= . . .

= . . .

. Tweede manier. Bereken |PQ| ten opzichte van het nieuw assenstelsel Ox′y′.De coordinaten van P en Q ten opzichte van Ox′y′ zijn gelijk aan

co(P ) = (x′1, y′1) = . . . co(Q) = (x′2, y

′2) = . . .

en uit de formule voor de afstand tussen twee punten volgt

|PQ|2 = (x′2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)2

= . . .

= . . .

= . . .

Vergelijken we beide uitdrukkingen voor |PQ|2, dan vinden we

cos(α−β) = . . .

y

xO

C(O, 1)

β

Q

α

P

y′

x′

O

C(O, 1)

Q

α−β

P

1 Archimedes ± 250 v.Chr. som-en verschilformules voor sinus in elementaire vorm, Ptolemaeus ± 150 n.Chr. som-en verschilformulesvoor sinus en cosinus in elementaire vorm, in huidige vorm opgesteld door Abu al-Wafa’ Buzjanı (940 - 998) en Jabir ibn Aflah±1150 en overgenomen door Johannes Muller von Konigsberg (Latijnse naam: Regiomontanus) 1464.

II-18

Page 31: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Bewijs van cos(α+ β). We vinden

cos(α+ β) = cos(α− (−β))

= . . .

Bewijs van sin(α+ β). We vinden

sin(α+ β) = cos(π

2− (α+ β)

)

= cos

((π2− α

)− β

)

= . . .

Bewijs van sin(α− β). We vinden

sin(α− β) = sin(α+ (−β))

= . . .

Bewijs van tan(α+ β). We vinden

tan(α+ β) =sin(α+ β)

cos(α+ β)

= . . .

Bewijs van tan(α− β). We vinden

tan(α− β) = tan(α+ (−β))

= . . .

De som-en verschilformules laten toe om van sommige goniometrische getallen de exacte waarde te bepalen.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal cos 15◦ zonder grafische rekenmachine (tussen-stappen opschrijven en exacte waarde noteren).

Oplossing.

II-19

Page 32: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Inoefenen van de som- en verschilformules kan door het bewijzen van goniometrische identiteiten. Lukraak formulestoepassen geeft meestal een uitzichtloze berekening die zelden tot een bewijs leidt. Het advies hierbij is om, startendmet het linker- of rechterlid, enkel formules toe te passen die je dichter bij het ander lid brengen. Getuigehiervan is volgend

3 Modelvoorbeeld 2. Bewijs de volgende goniometrische identiteit

sin(α+ β) sin(α− β) = cos2 β − cos2 α.

Bewijs. In het linkerlid kunnen we meteen de som-en verschilformules toepassen. Op die manier drukken we hetlinkerlid uit in functie van de sinus en cosinus van α en β.

LL = sin(α+ β) sin(α− β)

= (sinα cosβ + cosα sinβ)(sinα cosβ − cosα sinβ)

Deze uitdrukking moeten we zien te vereenvoudigen. Een optie is het uitwerken met behulp van distributiviteit.Een geoefend oog herkent echter een uitdrukking van de vorm (A+ B)(A− B), wat meteen de vereenvoudigdevorm A2 −B2 oplevert.

LL = . . . = (sinα cosβ + cosα sinβ)(sinα cosβ − cosα sinβ)

= (sinα cosβ)2 − (cosα sinβ)2

= sin2 α cos2 β − cos2 α sin2 β

In de volgende stap gaan we doordacht te werk. In het rechterlid komen enkel de goniometrische getallen cosαen cosβ voor. We wensen dus sin2 α en sin2 β uit te drukken in functie van cosα en cosβ. Dat kan met behulpvan de grondformule van de goniometrie. Vereenvoudigen geeft:

LL = . . . = sin2 α cos2 β − cos2 α sin2 β

= (1− cos2 α) cos2 β − cos2 α(1− cos2 β)

= cos2 β − cos2 α cos2 β − cos2 α+ cos2 α cos2 β

= cos2 β − cos2 α

= RL.

We kunnen de formules van de goniometrie ook aanwenden om identiteiten in de driehoeksmeetkunde te bewijzen.

3 Modelvoorbeeld 3. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van eenniet-rechthoekige driehoek. Toon aan

tanα+ tanβ + tan γ = tanα tanβ tan γ.

Bewijs. Op het eerste zicht zijn de som- en verschilformules nietinzetbaar, omdat geen van beide leden de som van twee hoekenbevat. Maar omdat α, β en γ de binnenhoeken van een driehoekzijn, kennen we een verband tussen deze drie hoeken:

α+ β + γ = π.

A B

C

c

ab

αβ

γ

Hiermee kunnen we bijvoorbeeld γ uitdrukken in functie van α en β. Starten we met het linkerlid, dan is

LL = tanα+ tanβ + tan γ = tanα+ tanβ + tan(π − (α+ β))

= . . .

II-20

Page 33: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

2.3 Verdubbelingsformules

De verdubbelingsformules drukken de sinus, cosinus en tangens van 2α uit in functie van de sinus, cosinus en tangensvan de hoek α.

3 Op ontdekking. Hoe kunnen we sin (2α) uitdrukken?

. Is sin (2α)?= 2 sinα?

We gaan dit na met een voorbeeld: sin (2 · 30◦)︸ ︷︷ ︸...

?= 2 sin 30◦︸ ︷︷ ︸

...

. Wel is sin (2α) = 2 sinα cosα.

En inderdaad, sin (2 · 30◦)︸ ︷︷ ︸...

= 2 sin 30◦ cos 30◦︸ ︷︷ ︸...

3 Stelling (verdubbelingsformules). We hebben de identiteiten:

sin(2α) = 2 sinα cosα

cos(2α) = cos2 α− sin2 α

tan(2α) =2 tanα

1− tan2 α.

Bewijs van sin(2α). We passen de somformule voor de sinus toe:

sin(2α) = sin(α+ α) = . . .

Bewijs van cos(2α). We passen de somformule voor de cosinus toe:

cos(2α) = cos(α+ α) = . . .

Bewijs van tan(2α). We passen de somformule voor de tangens toe:

tan(2α) = tan(α+ α) = . . .

3 Modelvoorbeeld. Zij α de hoek in het tweede kwadrant waarvoor sinα = 3/5.

(a) Bereken zonder grafische rekenmachine sin(2α), cos(2α), tan(2α) en tan(4α).

(b) In welk kwadrant ligt de hoek 2α? Verklaar zonder de hoek α of 2α te berekenen of voor te stellen op degoniometrische cirkel.

Oplossing. Om een idee te krijgen over welke hoek het gaat, stellen we α voorin de goniometrische cirkel (zie figuur).

y

x

α

3/5

II-21

Page 34: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

2.4 Formules van Carnot en halveringsformules

De verdubbelingsformules drukken de sinus, cosinus en tangens van een hoek 2α uit in functie van de sinus, cosinusen tangens van de hoek α. De halveringsformules zullen sinus, cosinus en tangens van een2 helft van een hoek αuitdrukken in functie van de sinus, cosinus en tangens van die hoek α.

Lazare Carnot(1753-1823)

3 Stelling (formules van Carnot en halveringsformules)3.

We hebben de identiteiten (α is een hoek, a is een hoekwaarde):

sin2 α =1− cos(2α)

2

cos2 α =1 + cos(2α)

2

ensin(a

2

)= ±

√1− cos a

2

cos(a

2

)= ±

√1 + cos a

2.

Bewijs van de formules van Carnot. We starten vanuit de grondformule van degoniometrie (1) en de verdubbelingsformule voor cosinus (2):

(1) : cos2 α+ sin2 α = 1

(2) : cos2 α− sin2 α = cos(2α).

Uit de som en het verschil van (1) en (2) vinden we:

(1) + (2) : 2 cos2 α = 1 + cos(2α) ⇒ cos2 α =1 + cos(2α)

2

(1)− (2) : 2 sin2 α = 1− cos(2α) ⇒ sin2 α =1− cos(2α)

2.

Bewijs van de halveringsformules. Zij α een hoek en a een reeel getal waarvoor a/2 een hoekwaarde van α is.

Dan volgen de halveringsformules voor sin(a

2

)en cos

(a2

)uit de formules van Carnot.

3 Modelvoorbeeld 1. Zij a een hoekwaarde van de hoek in het derde kwadrant waarvoor cos(2a) = 3/4. Berekenalgebraısch de exacte waarden van sin a, cos a, tan a en cot a.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Ontbind de volgende uitdrukking in factoren (hierbij stelt x een hoekwaarde voor):

1 + 2 cosx+ cos(2x).

Oplossing.

2Omdat elke hoek twee helften heeft, zijn de uitdrukkingen sin(α2

)en cos

(α2

)niet ondubbelzinnig bepaald en dus zinloos. Daarom

hoort men ofwel de halveringsformules voor sinus en cosinus uit te drukken in hoekwaarden, ofwel de formules uit te drukken in sin2(α2

),

cos2(α2

)en tan

(α2

)die wel onafhankelijk zijn van welke helft van α men kiest (zie Oefening 9).

3 Ptolemaeus ±150 n.Chr. in elementaire vorm. Hoewel Carnot bijdragen leverde aan de projectieve meetkunde en de boldriehoek-smeetkunde, werden bovenstaande formules niet door hem beschreven. De onterechte naamsverwijzing stoelt blijkbaar op een hardnekkigemythe die vooral in de Lage Landen zijn weerklank vindt.

II-22

Page 35: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

2.5 t-formules

De volgende formules drukken sinus, cosinus en tangens van α uit in functie van de tangens van een helft van α.

3 Stelling (t-formules). We hebben de identiteiten4:

sinα =2t

1 + t2

cosα =1− t21 + t2

met t = tan(α

2

).

tanα =2t

1− t2

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld 1. Zij α een hoek waarvoor tan(α

2

)= 2 −

√3. Bepaal algebraısch de exacte waarden van

sinα, cosα, tanα en tan(2α).

Oplossing.

De t-formules laten toe om elke uitdrukking in de goniometrische getallen van α te herschrijven 5 als een rationalevorm.

3 Modelvoorbeeld 2. Herschrijf de volgende uitdrukking in een rationale vorm en vereenvoudig

2 + sinα

sinα(1 + cosα)

Oplossing.

4Alhoewel we niet kunnen spreken over de helft van een hoek α is de uitdrukking tan(α2

)toch zinvol, zie Oefening 9.

5De kracht hiervan valt nauwelijks te onderschatten. We verwijzen naar zie Toepassing 3 op pagina 26 en Deel Maple.

II-23

Page 36: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

2.6 Toepassingen

Toepassing 1 - De formule van Heron

Goniometrische identiteiten kunnen leiden tot een formule uit de driehoeksmeetkunde, zoals bijvoorbeeld de formulevan Heron. Deze formule werd ook besproken in het vierde jaar en drukt de oppervlakte van een driehoek uit in functievan de lengtes der zijden.

Alvorens we het verrassend korte bewijs6 geven, vermelden we twee hulpresultaten die we nodig zullen hebben.

3 Lemma 1. De oppervlakte van een driehoek ABC is gelijkaan het product rs, waarbij r staat voor de straal van deingeschreven cirkel en s staat voor de halve omtrek7 van dedriehoek:

Opp. ∆ABC = rs.

Bewijs. Uit nevenstaande figuur volgt

Opp. ∆ABC = Opp. ∆ABO + Opp. ∆BOC + Opp. ∆AOC

=1

2cr +

1

2ar +

1

2br

= r

(a+ b+ c

2

)= rs.

A B

C

O

r

rr

x

x

y

y

z

z

3 Lemma 2. In een driehoek ABC geldt de goniometrische identiteit

1 = tan(α

2

)tan

2

)+ tan

2

)tan

(γ2

)+ tan

(γ2

)tan

(α2

).

Bewijs. Dit volgt uit

1 = tan(α

2

)cot(α

2

)= tan

(α2

)tan

(π2− α

2

)= tan

(α2

)tan

2+γ

2

)= tan

(α2

) tan(β2

)+ tan

(γ2

)

1− tan(β2

)tan

(γ2

) .

3 Stelling (formule van Heron)8. In een driehoek ABC wordt de oppervlakte gegeven door

Opp. ∆ABC =√s(s− a)(s− b)(s− c) waarbij s =

a+ b+ c

2.

Bewijs. Passen we de goniometrische identiteit uit Lemma 2 toe op de figuur bij Lemma 1, dan verkrijgen we

1 = tan(α

2

)tan

2

)+ tan

2

)tan

(γ2

)+ tan

(γ2

)tan

(α2

)

=r

x· ry

+r

y· rz

+r

z· rx

=r2(x+ y + z)

xyz=r2s

xyz

zodat r2s = xyz. Wegens Lemma 1 is

Opp. ∆ABC = rs =√s(r2s) =

√s(xyz) =

√s(s− a)(s− b)(s− c)

waarbij de laatste gelijkheid berust op (zie figuur bij Lemma 1)

s =a+ b+ c

2= x+ y + z = x+ a zodat s− a = x

en analoog s− b = y en s− c = z.

6Dit bewijs geldt als een van de kortste en meest efficiente bewijzen om de formule van Heron aan te tonen. Het is afkomstig van BarneyM. Oliver 1993, zie [81] en [41, pagina’s 144-145].

7De letter s is de eerste letter van semiperimeter, de Engelse term voor halve omtrek.8Toegeschreven aan Heron van Alexandrie (10 - 70 n.Chr.).

II-24

Page 37: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Toepassing 2 - De goniometrische getallen van π/2n

In deze toepassing bepalen we de exacte waarde van de sinus en de cosinus van π/4, π/8, π/16, π/32, . . .

Uit de halveringsformules volgt

sin(a

2

)= ±

√1− cos a

2

cos(a

2

)= ±

√1 + cos a

2

(voor elke hoekwaarde a) ⇒

sin(x

2

)=

√1

2− 1

2cosx

cos(x

2

)=

√1

2+

1

2cosx

(voor elke x ∈ [0, π]).

Stellen we x = π/2, dan vinden we

sin(π

4

)=

√1

2− 1

2cos(π

2

)=

√1

2− 1

20 =

√1

2

cos(π

4

)=

√1

2+

1

2cos(π

2

)=

√1

2+

1

20 =

√1

2.

Opnieuw toepassen met x = π/4 geeft nu

sin(π

8

)=

√1

2− 1

2cos(π

4

)=

√1

2− 1

2

√1

2

cos(π

8

)=

√1

2+

1

2cos(π

4

)=

√1

2+

1

2

√1

2.

Op die manier bouwen we de volgende tabel op, waarbij x =π

2n:

n x sinx cosx

4

√1

2

√1

2

8

√1

2− 1

2

√1

2

√1

2+

1

2

√1

2

16

√√√√1

2− 1

2

√1

2+

1

2

√1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2

32

√√√√√1

2− 1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2

√√√√√1

2+

1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+

1

2

√1

2

......

......

2n

√√√√√1

2− 1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+ · · ·+ 1

2

√1

2︸ ︷︷ ︸

n− 1 wortels

√√√√√1

2+

1

2

√√√√1

2+

1

2

√1

2+ · · ·+ 1

2

√1

2︸ ︷︷ ︸

n− 1 wortels.

of na vereenvoudiging

n x sinx cosx

4

1

2

√2

1

2

√2

8

1

2

√2−√

21

2

√2 +√

2

16

1

2

√2−

√2 +√

21

2

√2 +

√2 +√

2

32

1

2

2−√

2 +

√2 +√

21

2

2 +

√2 +

√2 +√

2

......

......

2n1

2

2−√

2 +

√2 + · · ·+

√2

︸ ︷︷ ︸n− 1 wortels

1

2

2 +

√2 +

√2 + · · ·+

√2

︸ ︷︷ ︸n− 1 wortels

II-25

Page 38: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Toepassing 3 - Herleiden van goniometrische identiteiten naar rationale identiteiten

In deze toepassing gaan we na hoe je met behulp van de t-formules elke goniometrische identiteit kan bewijzen.

3 Voorbeeld 1. Bewijs de goniometrische identiteit

(sinα+ cosα+ 1)(sinα+ cosα− 1) = 2 sinα cosα

door enkel gebruik te maken van de t-formules.

Oplossing. We hebben

(sinα+ cosα+ 1)(sinα+ cosα− 1) = 2 sinα cosα

⇔(

2t

1 + t2+

1− t21 + t2

+ 1

)·(

2t

1 + t2+

1− t21 + t2

− 1

)= 2 · 2t

1 + t2· 1− t2

1 + t2met t = tan

(α2

)

3 Algemeen. In principe kan men deze techniek doordrijven om elke goniometrische identiteit te bewijzen en welals volgt.

Stap 1. Herleid de identiteit naar een identiteit met sinus, cosinus en tangens van α, β, γ, . . . . Hanteer voorlineaire combinaties van α, β, γ, . . . de som-en verschilformules.

Stap 2. Noemt = tan

(α2

)

s = tan

2

)

u = tan(γ

2

)

...

en vervang elke sinus, cosinus en tangens van α, β, γ, . . . door de t-formules

sinα =2t

1 + t2, cosα =

1− t21 + t2

, tanα =2t

1− t2

sinβ =2s

1 + s2, cosβ =

1− s21 + s2

, tanβ =2s

1− s2

sin γ =2u

1 + u2, cos γ =

1− u21 + u2

, tan γ =2u

1− u2...

Stap 3. De goniometrische identiteit herleid zich nu tot een rationale identiteit in t, s, u, . . .

Rationale identiteiten aantonen is een kwestie van rekenwerk en kan zelfs aan een computer overgelatenworden.

3 Besluit. Dit inzicht is vooral van theoretisch belang. Men zou kunnen stellen dat het bewijzen van gonio-metrische identiteiten triviaal - en dus onbelangrijk - geworden is. Dankzij deze methode kan een computergoniometrische identiteiten bewijzen zonder enige inspiratie. Maar zelfs voor alledaagse goniometrische identi-teiten worden de rationale identiteiten snel omslachtig (zie voorbeeld hierboven) en maakt men gebruik van eenarsenaal van goniometrische formules en de nodige dosis inzicht.

II-26

Page 39: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

2.7 Som-naar-product formules (formules van Simpson)

De som-naar-product formules9 laten toe om een som van sinussen en/of cosinussen te schrijven als een product.

Tycho Brahe(1546-1601)

3 Stelling (som-naar-product formules of formules van Simpson)10.

We hebben de identiteiten (a en b zijn hoekwaarden)

sin a+ sin b = 2 sin

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)

sin a− sin b = 2 sin

(a− b

2

)cos

(a+ b

2

)

cos a+ cos b = 2 cos

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)

cos a− cos b = −2 sin

(a+ b

2

)sin

(a− b

2

).

Bewijs. We noemen p de halve som en q het halve verschil van a en b, dus

p =a+ b

2

q =a− b

2

dan is

p+ q =a+ b

2+a− b

2= a

p− q =a+ b

2− a− b

2= b.

De som- en verschilformules geven nu

sin a+ sin b = sin(p+ q) + sin(p− q) = . . .

sin a− sin b = sin(p+ q)− sin(p− q) = . . .

cos a+ cos b = cos(p+ q) + cos(p− q) = . . .

cos a− cos b = cos(p+ q)− cos(p− q) = . . .

De belangrijkste toepassing van de som-naar-product formules is wellicht het ontbinden van factoren. Op die manierkunnen we goniometrische vergelijkingen oplossen (zie Hoofdstuk 3).

3 Modelvoorbeeld 1. Ontbind de volgende uitdrukking in factoren:

sin(3a) + sin a = . . .

3 Modelvoorbeeld 2. Vereenvoudig de volgende uitdrukking:

sin a+ sin(3a) + sin(5a) + sin(7a)

cos a+ cos(3a) + cos(5a) + cos(7a)= . . .

9De formules van Simpson gelden enkel voor hoekwaarden a, b en niet voor hoeken α, β, want een uitdrukking zoals sin(α+β2

)cos

(α−β2

)

hangt af van welke helften van α+ β en α− β men kiest. Deze uitdrukking is niet ondubbelzinnig bepaald en dus zinloos.10 Ontdekt door Johannes Werner 1510, gepopulariseerd door Tycho Brahe en ten onrechte genoemd naar Thomas Simpson (1710-

1761). Deze formules worden ook wel de Werner formules of prosthaphaeresis formules genoemd, naar een algoritme om vermenigvuldigingen deling uit te voeren met behulp van goniometrische formules. Het was via Brahe dat John Napier kennis maakte met dit algorimeen een nieuwe methode bedacht om zo’n berekeningen te vereenvoudigen: logaritmen.

II-27

Page 40: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

2.8 Product-naar-som formules (omgekeerde formules van Simpson)

De product-naar-som formules laten toe om een product van sinussen en/of cosinussen te schrijven als een som.

3 Stelling (product-naar-som formules of omgekeerde formules van Simpson).

We hebben de identiteiten (p en q zijn hoekwaarden):

sin p cos q =1

2(sin(p+ q) + sin(p− q))

cos p sin q =1

2(sin(p+ q)− sin(p− q))

cos p cos q =1

2(cos(p+ q) + cos(p− q))

sin p sin q = −1

2(cos(p+ q)− cos(p− q)) .

Bewijs. We noemen a de som en b het verschil van p en q, dus

{a = p+ q

b = p− q dan is

a+ b

2=

(p+ q) + (p− q)2

= p

a− b2

=(p+ q)− (p− q)

2= q.

De formules van Simpson geven nu

sin a+ sin b = 2 sin

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)⇒ . . .

Het bewijs van de overige formules wordt als oefening voor de lezer gelaten.

3 Modelvoorbeeld. Bewijs de goniometrische identiteit

sin a+ sin b+ sin(a+ b) = 4 cos(a

2

)cos

(b

2

)sin

(a+ b

2

).

Oplossing. We kunnen op twee manieren te werk gaan: ofwel starten we met het linkerlid en gebruiken we desom-naar-product formules (Simpson), ofwel starten we met het rechterlid en wenden we de product-naar-somformules (omgekeerde Simpson) aan. Bij wijze van voorbeeld werken we beide manieren uit.

. Eerste manier. Met behulp van de som-naar-product formules (Simpson):

LL = sin a+ sin b+ sin(a+ b) = . . .

= . . .

= . . .

= . . .

. Tweede manier. Met behulp van de product-naar-som formules (omgekeerde Simpson):

RL = 4 cos(a

2

)cos

(b

2

)sin

(a+ b

2

)= . . .

= . . .

= . . .

= . . .

Beide manieren leiden tot een bewijs. Maar als we starten met de som (eerste manier), dan hebben we een

kunstgreep nodig om de factor sin

(a+ b

2

)te kunnen afzonderen (verdubbelingsformule). Starten we daarente-

gen met het product, dan hebben we enkel de product-naar-som formules nodig om het bewijs rond te krijgen.We onthouden dat we bij het bewijzen van soortgelijke identiteiten beter starten vanuit het product.

II-28

Page 41: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefeningen

2 Formules van de goniometrie Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.1 Formules voor verwante hoeken 123

34

456

78

910

11

2.2 Som- en verschilformules 121314

121315

121316

131718

192021

2223

24 25

2.3 Verdubbelingsformules2.4 Formules van Carnot en halveringsformules2.5 t-formules

2627

262728

2629

262830

2631

2632

3334

35

2.7 Som-naar-product formules (Simpson)2.8 Som-naar-product formules(omgekeerdeSimpson)

363738

36383940

364142

364344

454647

37484950

Oefeningen bij §2.1

B Oefening 1. In onderstaande goniometrische cirkel zijn de beeldpunten van zestien veelvoorkomende hoeken aange-duid. Geef van elk beeldpunt de coordinaten.

B Oefening 2 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2002).Welk van de volgende waarden van x voldoet aan de vergelijking 4 cos2(4x− 30◦) = 3?

(A) −40◦

(B) −30◦

(C) 30◦

(D) 40◦

Oefening 3. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

B (a) cos 120◦ B? (f) tan

(3π

4

)

B (b) cot

(9π

4

)B? (g) sin

(5π

3

)

B (c) sin 210◦ B? (h) sec

(−14π

12

)

B (d) sin

(11π

6

)B? (i) cos 930◦

B (e) tan 150◦ B? (j) sin

(−27π

4

)

II-29

Page 42: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefening 4. Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen door gebruik te maken van de formules voor verwante hoeken.

B? (a)sin (90◦ − α) cos (360◦ + α) tan (180◦ − α)

tan (720◦ − α) cot (α+ 180◦) cos(−α)

B?? (b)sin(π

2− α

)sin (π + α)

cos(π

2+ α

)cos(π − α)

+sin(9π − α) tan

(α− π

2

)

cot(α+ 5π) cos

(3π

2− α

)

B?? Oefening 5. Herleid telkens zonder grafische rekenmachine naar plus of min een goniometrisch getal van een hoekuit het eerste kwadrant (tussenstappen opschrijven).

(a) cos 315◦ (f) sin

(−38π

7

)

(b) sin 275◦ (g) cot

(−204π

5

)

(c) tan (−200◦) (h) tan

(−32π

17

)

(d) cos 3934◦ (i) cos (−454◦)

(e) sin

(5π

7

)(j) sec

(−204π

5

)

B?? Oefening 6 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1988 eerste ronde).Gegeven zijn twee evenwijdige rechten a en b en punten P,Q en R op deze rechten zodanig dat |PQ| = 14 en

QPR = 110◦. Welke is de afstand tussen beide evenwijdige rechten?

b

aQ

PR

110◦

14

(A) 14 cos 110◦ (B) 14 sin 110◦ (C) 14 cos 70◦ (D)14

cos 110◦(E)

14

sin 110◦

V Oefening 7. Bereken zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine:

tan2 20◦ − sin2 20◦

tan2 20◦ sin2 20◦.

V Oefening 8. Bepaal algebraısch de waarde van het product

tan( π

12

)tan

(2π

12

)tan

(3π

12

)tan

(4π

12

)tan

(5π

12

).

V? Oefening 9 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987 tweede ronde).Hoeveel is

log10 (tan 1◦) + log10 (tan 2◦) + log10 (tan 3◦) + . . .+ log10 (tan 88◦) + log10 (tan 89◦)?

(A) 0(B)

1

2log10

√3

2(C)

1

2log10 2 (D) 1 (E) geen van de vorige

V? Oefening 10. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

(a) cos2(α− π

6

)+ cos2

(α+

π

3

)= 1

(b) sec2 (30◦ + β) = 1 + cot2 (60◦ − β)

II-30

Page 43: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

U? Oefening 11 (goniometrische getallen van de helften van een hoek).Zij α1, α2 de twee helften van een hoek α. Toon aan met behulp van de formules voor verwante hoeken:

sinα1 = − sinα2

cosα1 = − cosα2

tanα1 = tanα2.

Opmerking. Alhoewel we niet kunnen spreken over de helft van een hoek (zie opmerking op pagina 3) zijn volgendeuitdrukkingen blijkbaar onafhankelijk van de keuze van een helft van α:

sin2 α1 = sin2 α2

cos2 α1 = cos2 α2

tanα1 = tanα2

sinα1 cosα1 = sinα2 cosα2

en kunnen we ondubbelzinnig schrijven

sin2(α

2

)

cos2(α

2

)

tan(α

2

)

sin(α

2

)cos(α

2

).

Oefeningen bij §2.2

Oefening 12. Bepaal zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

B (a) sin 75◦ B? (d) cos

(7π

12

)

B (b) tan 105◦ B? (e) sin( π

12

)

B (c) cos 135◦ B?? (f) cot 195◦

Oefening 13. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a) sin(α+ β) cosα− cos(α+ β) sinα = sinβ

B (b) cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 β − sin2 α

B (c) sinα sin(β − γ) + sinβ sin(γ − α) + sin γ sin(α− β) = 0

B? (d) cotα− cotβ =sin(β − α)

sinα sinβ

B? (e)sin(α− β)

cosα cosβ+

sin(β − γ)

cosβ cos γ+

sin(γ − α)

cos γ cosα= 0

B?? (f) tanα =tan(α− β) + tanβ

1− tan(α− β) tanβ

B?? (g)2 sin(α+ β)

cos(α+ β) + cos(α− β)= tanα+ tanβ

B?? (h) tan2 α− tan2 β =sin(α+ β) sin(α− β)

cos2 β cos2 α

V (i)cosα− sinα

cosα+ sinα= cot

(π4

+ α)

V (j)tanα+ tanβ

tanα− tanβ=

sin(α+ β)

sin(α− β)

B Oefening 14. Vereenvoudig zoveel als mogelijk:

sin(2x)

sinx− cos(2x)

cosx.

B? Oefening 15 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007 tweede ronde).Gegeven: α, β ∈ ]0◦, 90◦[ en sin(α+ β) = 2 sin(α− β) = 1. Dan is tan(α+ 3β) gelijk aan

(A) −√

3(B) −

√3

3(C)

√2

2(D)

√3

3

(E)√

3

II-31

Page 44: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

B?? Oefening 16. Vereenvoudig de volgende uitdrukking:

√3 sin(x+ 30◦)− cos(x+ 30◦)

4 cosx sin(x+ 30◦)− 4 sinx cos(x+ 30◦).

V Oefening 17. Als tanx+ tan y = 25 en cotx+ cot y = 30, bepaal dan tan(x+ y).

V Oefening 18. Zij α en β twee hoeken waarvoor α+ β = 45◦ en waarvoor tanα en tanβ bestaan. Toon aan dat

(1 + tanα)(1 + tanβ) = 2.

V? Oefening 19. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan:

(a) cos2 α+ cos2 β + cos2 γ + 2 cosα cosβ cos γ = 1,

(b) sin2 α+ sin2 β + sin2 γ − 2 cosα cosβ cos γ = 2.

V? Oefening 20. Toon zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine aan dat cot 8◦ + tan 4◦ = cosec 8◦.

V? Oefening 21. Een schilderij dat 1 meter hoog is, bevindt zich 3 meter boven de grond en wordt door bewonderaarJan Hoet bekeken onder een hoek θ. De ogen van Jan Hoet bevinden zich op 1, 75 meter boven de grond. Druktan θ uit in functie van de afstand x van Jan Hoet tot de muur.

grond

schilderij

θ

x

1

3

oog

V?? Oefening 22. Voor twee scherpe hoeken α en β is gegeven dat tanα+tanβ+tanα tanβ = 1. Bovendien is α−β = 41◦.Bereken een hoekwaarde voor α.

V?? Oefening 23. Zij α, β hoeken waarvoor tanα, tanβ de oplossingen zijn van een vierkantsvergelijking x2 + px+ q = 0.Bereken sin2(α+ β) + p sin(α+ β) cos(α+ β) + q cos2(α+ β) in functie van p en q en vereenvoudig zoveel mogelijk.

U Oefening 24 (som- en verschilformules voor cotangens).Bewijs de volgende som- en verschilformules voor cotangens:

cot(α+ β) =cotα cotβ − 1

cotα+ cotβ

cot(α− β) = −cotα cotβ + 1

cotα− cotβ.

U? Oefening 25 (somformules met drie hoeken).Bepaal de somformules met drie hoeken voor de sinus en cosinus, m.a.w. bepaal uitdrukkingen voor

sin(α+ β + γ) en cos(α+ β + γ)

in functie van de sinus en/of cosinus van α, β en γ.

II-32

Page 45: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefeningen bij §2.3, §2.4 en §2.5

Oefening 26. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a) 8 cos(4α) cos(2α) cosα sinα = sin(8α)

B (b) cos4 α− sin4 α = cos(2α)

B (c) cotα− 2 cot(2α) = tanα

B? (d)cosα+ sinα

cosα− sinα=

cos(2α)

1− sin(2α)

B? (e) sinα =2 cot

(α2

)

1 + cot2(α2

)

B? (f) cosα =cot2

(α2

)− 1

cot2(α2

)+ 1

B?? (g) tan4 α =sin2(2α)− 4 sin2 α

sin2(2α) + 4 sin2 α− 4

V (h)cos3 α+ sin3 α

cosα+ sinα= 1− 1

2sin(2α)

V? (i) tan(3α)− tan(2α)− tanα = tan(3α) tan(2α) tanα

V?? (j) tan(π

6+ α

)tan

(π6− α

)=

2 cos(2α)− 1

2 cos(2α) + 1

Oefening 27. Schrijf de volgende uitdrukkingen als een rationale vorm en vereenvoudig.

B (a)1

2 + sinα

B (b)cosα

1 + cosα

B? (c)1

3 sinα− 2 cosα+ 2

Oefening 28. Zij x een hoekwaarde van de hoek in het vierde kwadrant waarvoor cosx = 2/3. Bereken zondergrafische rekenmachine:

B? (a) sin(x

2

),

B? (b) cos(x

2

),

V (c) tan(x

2

).

B?? Oefening 29. Zij α de hoek in het vierde kwadrant waarvoor tanα = −3/4. Bereken zonder grafische rekenmachinede exacte waarde van de volgende goniometrische getallen.

(a) sin(2α)

(b) cos(2α)

(c) tan(2α)

(d) sin(4α)

V Oefening 30. Bepaal tan(π

8

)zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

V? Oefening 31. In een driehoek ABC geldt 3a = 7c en 3b = 8c. Bepaal tan2(α

2

)zonder (de helften van) de hoek α

te berekenen.

V?? Oefening 32. Bereken algebraısch

(sin 1◦)(sin 3◦)(sin 5◦) . . . (sin 177◦)(sin 179◦).

II-33

Page 46: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

U Oefening 33 (verdubbelingsformule voor cotangens).Bewijs de volgende verdubbelingsformule voor cotangens:

cot(2α) =cot2 α− 1

2 cotα.

Abraham de Moivre(1667-1754)

U Oefening 34 (formules voor drievoudige hoek).Toon de volgende formules11voor de drievoudige hoek aan.

sin(3α) = 3 sinα− 4 sin3 α

cos(3α) = 4 cos3 α− 3 cosα

tan(3α) =3 tanα− tan3 α

1− 3 tan2 α

U? Oefening 35 (halveringsformule voor tangens).Bewijs de volgende halveringsformule voor tangens:

tan(a

2

)=

sin a

1 + cos a=

1− cos a

sin a.

Oefeningen bij §2.7 en §2.8

Oefening 36. Ontbind telkens de gegeven uitdrukking in factoren.

B (a) sin(7a) + sin(3a) B? (d) sin a+ sin(2a) + sin(3a)

B (b) cos(5a)− cos a B?? (e) cos(4a) + cos(5a) + cos(6a)

B? (c) cos a+ sin a V (f) tan a+ sin a

Oefening 37. Bereken telkens zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijvenen exacte waarde noteren).

B (a) cos 75◦ cos 15◦

B (b) sin 15◦ sin 105◦

V?? (c) sin 20◦ sin 40◦ sin 60◦ sin 80◦

Oefening 38. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

B (a)cos(2a) + cos(2b)

sin(2a) + sin(2b)= cot(a+ b)

B? (b) sin a+ sin

(a+

3

)+ sin

(a+

3

)= 0 B?? (c) sin a+ sin b− sin(a+ b) = 4 sin

(a2

)sin

(b

2

)sin

(a+ b

2

)

B? Oefening 39. Bereken algebraıschsin 13◦ + sin 47◦ + sin 73◦ + sin 107◦

cos 17◦.

B? Oefening 40. Vereenvoudig de uitdrukking

sin(5a)− sin(3a) + sin(7a)− sin a

cos(5a)− cos(3a) + cos(7a)− cos a.

B?? Oefening 41. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan:

(a) cosα+ cosβ + cos γ − 1 = 4 sin(α

2

)sin

2

)sin(γ

2

)

(b) sin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4 sinα sinβ sin γ

(c) cos(2α) + cos(2β) + cos(2γ) = −1− 4 cosα cosβ cos γ

(d) sin2 α+ sin2 β + sin2 γ = 2 + 2 cosα cosβ cos γ

B?? Oefening 42 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985).Bewijs de volgende identiteit:

sin θ cos4 θ =1

16(sin(5θ) + 3 sin(3θ) + 2 sin θ) .

II-34

Page 47: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

V Oefening 43. Bereken zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine:

cos3 15◦ + sin3 15◦

cos 15◦ + sin 15◦.

V Oefening 44. Bewijs de volgende goniometrische identiteiten.

(a) sin2(2a)− sin2 a = sin(3a) sin acos(a+b2

)

cos(a−b2

) (b)sin(a+ b)

sin a+ sin b=

cos(a+b2

)

cos(a−b2

)

V? Oefening 45. Vereenvoudig zoveel als mogelijk de uitdrukking

cos(4a)− 1

sin a− sin(3a).

V? Oefening 46. Zij α, β en γ de (binnen)hoeken van een driehoek. Toon aan dat

cosα

sinβ sin γ+

cosβ

sin γ sinα+

cos γ

sinα sinβ= 2.

V? Oefening 47. Zij α, β en γ de hoeken van een driehoek. Toon aan:

∆ABC is een rechthoekige driehoek ⇔ sin(4α) + sin(4β) + sin(4γ) = 0.

V?? Oefening 48. Bereken algebraısch

cos 1◦ + cos 2◦ + cos 3◦ + . . .+ cos 43◦ + cos 44◦

sin 1◦ + sin 2◦ + sin 3◦ + . . .+ sin 43◦ + sin 44◦.

V?? Oefening 49. Zij x ∈ R. Bepaal a, b ∈ R zodat(

cos(x

2

)+ cos(2x) + cos

(7x

2

)+ cos(5x)

)sin

(3x

4

)= sin(ax) cos(bx).

V?? Oefening 50. Zij a, b en c hoekenwaarden van de (binnen)hoeken van een driehoek. Er is gegeven dat een van dehoekwaarden het gemiddelde van de twee andere hoekwaarden is. Toon aan dat de uitdrukking

sin a+ sin b+ sin c

cos a+ cos b+ cos c

onafhankelijk van a, b en c is.

Inzicht in astronavigatie

Astronavigatie is een techniek om de plaats en de richting van een vaartuig te kennen aan de hand van he-mellichamen. Aanvankelijk was dit beperkt tot het bepalen van de richting, later werd het ook mogelijk omde breedte te bepalen. Met de komst van de chronometer werd het ook mogelijk om de lengte te bepalen. Totde komst van de navigatiesatelliet Transit (1964) was het de enige wereldwijd bruikbare methode voor plaatsbepaling.

In de 16e eeuw was de positiebepaling van een schip sterk afhankelijk van zogenaamde efemeriden: tabellen diede posities aangeven van een hemellichaam dat zich langs de hemel beweegt, voor een reeks van toekomstigetijdstippen. Efemeriden werden opgesteld door astronomen, waarbij men gebruik maakte van de grondformule vande boldriehoeksmeetkunde (zie pagina 14). Astronomen moesten hierbij duizenden berekeningen maken, waaronderhet vermenigvuldigen van getallen. Dat rekenwerk werd aanzienlijk verkort met de zogenaamde prosthaphaeresis:een manier om snel het product of quotient van twee getallen bij benadering te kennen door gebruik te maken vande product-naar-som formules. Deze techniek werd ontwikkeld in de jaren 1580 en werd gebruikt tot de komst vande logaritmen in de eerste helft van de 17e eeuw.

Voorbeeld. We zoeken het product van 1, 5732 en 3, 5762. We schrijven dit product als 100 · 0, 15732 · 0, 35762.Met behulp van een tabel vinden we 0, 15732 ≈ cos(80◦56′55′′) en 0, 35762 ≈ cos(69◦2′45′′). Toepassen van deproduct-naar-som formules geeft dan:

1, 5732 · 3, 5762 = 100 · 0, 15732 · 0, 35762 ≈ 100 · cos(80◦56′55′′) cos(69◦2′45′′)

= 100 · 1

2(cos(80◦56′55′′ + 69◦2′45′′) + cos(80◦56′55′′ − 69◦2′45′′))

= 100 · 1

2(cos(149◦59′40′′) + cos(11◦54′11′′))

≈ 100 · 1

2(−0, 86598 + 0, 97850) = 5, 6260

waarbij de voorlaatste gelijkheid verkregen wordt na opzoekwerk in een tabel. Merk op dat de exacte waarde vanhet product gelijk is aan 5, 62607784.

11Algemene formules voor sin(nα) en cos(nα) met n ∈ N werden gevonden door De Moivre 1730. Deze formules komen ook aan bod inDeel Complexe getallen.

II-35

Page 48: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 49: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Hoofdstuk 3

Goniometrische vergelijkingen enongelijkheden

In dit hoofdstuk brengen we enkele technieken aan om goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen.

3.1 Basisvergelijkingen

We onderscheiden drie types van goniometrische basisvergelijkingen.

Type 1. sinx = sin a

3 Op ontdekking. Bepaal alle x ∈ R die voldoen aan de vergelijking sinx = 1/2.

Oplossing. Omdat sin(π/6) = 1/2 is x = π/6 alvast een oplossing van de vergelijking sinx = 1/2. Maargevraagd zijn alle oplossingen van de vergelijking. Door op de goniometrische cirkel die ene oplossing x = π/6aan te duiden, kunnen we alle andere oplossingen aflezen1.

y

x1

1

1/2

π/6

6,π

6+ 2π,

π

6− 2π,

π

6+ 4π, . . .

}{π − π

6, π − π

6+ 2π, π − π

6− 2π, . . .

}

Dit resulteert in de volgende redenering.

sinx =1

2⇔ sinx = sin

(π6

)

⇔ x ∈{π

6,π

6+ 2π,

π

6− 2π,

π

6+ 4π, . . .

}of x ∈

{π − π

6, π − π

6+ 2π, π − π

6− 2π, . . .

}

x =π

6+ k 2π

of

x = π − π

6+ k 2π

(k ∈ Z).

3 Algemene werkwijze voor het oplossen van de basisvergelijking sinx = sin a:

sinx = sin a ⇔

x = a+ k 2π

of

x = (π − a) + k 2π

(k ∈ Z)

1Het is gebruikelijk om bij het beeldpunt van een hoek alle hoekwaarden van die hoek te noteren.

II-36

Page 50: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Type 2. cosx = cos a

3 Op ontdekking. Bepaal algebraısch alle x ∈ R die voldoen aan de vergelijking cosx = −√

2

2.

Oplossing. Ook nu kunnen we door een oplossing x = 3π/4 aan te duiden alle andere oplossingen aflezen.

y

x1

1

−√2/2

3π/4

{3π

4,3π

4+ 2π,

4− 2π,

4+ 4π, . . .

}

{−3π

4,−3π

4+ 2π,−3π

4− 2π,−3π

4+ 4π, . . .

}

Dit resulteert in de volgende redenering.

cosx = −√

2

2⇔ cosx = cos

(3π

4

)

⇔ x ∈{

4,

4+ 2π,

4− 2π,

4+ 4π, . . .

}of x ∈

{−3π

4,−3π

4+ 2π,−3π

4− 2π, . . .

}

x =3π

4+ k 2π

of

x = −3π

4+ k 2π

(k ∈ Z).

3 Algemene werkwijze voor het oplossen van de basisvergelijking cosx = cos a:

cosx = cos a ⇔

x = a+ k 2π

of

x = −a+ k 2π

(k ∈ Z)

3 Modelvoorbeeld. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking cos(−x

5

)= −1

3.

Oplossing.

II-37

Page 51: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Type 3. tanx = tan a

3 Op ontdekking. Bepaal algebraısch alle x ∈ R die voldoen aan de vergelijking tanx =√

3.

Oplossing. Ook nu kunnen we door een oplossing x = π/3 aan te duiden alle andere oplossingen aflezen.

y

x1

1

√3

x = 1

π/3

3,π

3+ 2π,

π

3− 2π,

π

3+ 4π, . . .

}

3+ π,

π

3+ π + 2π,

π

3+ π − 2π, . . .

}

Dit resulteert in de volgende redenering.

tanx =√

3 ⇔ tanx = tan(π

3

)

⇔ x ∈{π

3,π

3+ 2π,

π

3− 2π,

π

3+ 4π, . . .

}of x ∈

{π3

+ π,π

3+ π + 2π,

π

3+ π − 2π, . . .

}

⇔ x ∈{π

3,π

3+ π,

π

3− π, π

3+ 2π,

π

3− 2π, . . .

}

⇔ x =π

3+ k π (k ∈ Z).

3 Algemene werkwijze voor het oplossen van de basisvergelijking tanx = tan a:

tanx = tan a ⇔ x = a+ k π (k ∈ Z)

3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebraısch alle oplossingen van de vergelijking tan(3x) = − tanx en stel de oplos-singen voor op een goniometrische cirkel.

Oplossing.

II-38

Page 52: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3.2 Vergelijkingen herleidbaar tot basisvergelijkingen

In deze paragraaf behandelen we enkele types van goniometrische vergelijkingen die met een bepaalde werkwijzekunnen herleid worden naar een basisvergelijking.

Type 1. Ontbinden in factoren

3 Modelvoorbeeld. Los algebraısch de volgende vergelijking op en stel de oplossingen voor op de goniometrischecirkel:

sin(5x) + sin(3x) = cos(2x)− cos(6x).

Oplossing.

y

x1

1

Type 2. Vergelijkingen oplossen met een hulponbekende

3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebraısch de oplossingen van de volgende vergelijking en stel voor op de goniome-trische cirkel:

2 sin2(2x) + sin(2x) = 1.

Oplossing.

y

x1

1

II-39

Page 53: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Type 3. Homogene vergelijkingen in sinx en cosx

3 Definitie. De vergelijking √2A3B2 − 3AB4 + 16B5 = 0

noemt men een homogene vergelijking in A en B omdat in elke term de som van de machten van A en B gelijkis, namelijk 5. We noemen 5 de graad van de homogene vergelijking.

3 Modelvoorbeeld. Los op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel

−4 cos3 x− sinx cos2 x+ 3 cosx sin2 x = 0.

Oplossing. Deze vergelijking is homogeen in sinx en cosx.

Om deze vergelijking op te lossen doorlopen we de volgende stappen.

− 4 cos3 x− sinx cos2 x+ 3 cosx sin2 x = 0

Stap 1. De hoogste gemeenschappelijke macht vancosx afzonderen.

Stap 2. Deel beide leden van de nieuwe homogenevergelijking van graad n door cosn x.

Stap 3. Los deze vergelijking op met de hulponbe-kende t = tanx.

y

x1

1

II-40

Page 54: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Type 4. Vergelijkingen van de vorm a sinx+ b cosx = c

3 Modelvoorbeeld. Los algebraısch op en stel de oplossingen voor op de goniometrische cirkel

√2 sinx+

√6 cosx = 2.

Oplossing. Deze vergelijking is van de vorm a sinx+ b cosx = c met a, b, c ∈ R0.

Om deze vergelijking op te lossen doorlopen we de volgende stappen.

√2 sinx+

√6 cosx = 2

Stap 1. Schrijf de vergelijking in de vorm

sinx+b

acosx =

c

a.

Stap 2. Noem ϕ de hoek waarvoorb

a= tanϕ. Dan is

sinx+ tanϕ cosx =c

a.

Stap 3. Vermenigvuldig beide leden met cosϕ zodat

sinx cosϕ+ sinϕ cosx︸ ︷︷ ︸sin(x+ϕ)

=c

acosϕ.

Stap 4. Los deze basisvergelijking op.

y

x1

1

II-41

Page 55: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3.3 Eenvoudige goniometrische ongelijkheden

3 Modelvoorbeeld. Bepaal alle x ∈ R die voldoen aan de ongelijkheid

sin(x

2

)≥ 1

2.

Oplossing. Om deze ongelijkheid op te lossen, doorlopen we de volgende stappen.

sin(x

2

)≥ 1

2noem y =

x

2

⇔ sin y ≥ 1

2

We bepalen eerst de oplossingen van de goniometrische vergelijking in y.

sin y =1

2

We stellen deze oplossingen y voor op de goniometrische cirkel:

Hieruit kunnen we de oplossingen van de goniometrische ongelijkheid in aflezen.

y

x1

1

Stap 1. Noem y = . . . zodat we een ongelijkheid insin y, cos y, . . . verkrijgen.

Stap 2. Bepaal eerst de oplossingen y van de gonio-metrische gelijkheid, stel die oplossingen voor op degoniometrische cirkel en lees hieruit de oplossingen yaf van de goniometrische ongelijkheid.

Stap 3. Keer terug naar de onbekende x.

Kunnen we de oplossingen van de ongelijkheid sin(x

2

)≥ 1

2voorstellen op de goniometrische cirkel?

Waarom (niet)?

II-42

Page 56: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 57: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefeningen

3 Goniometrische vergelijkingen enongelijkheden

Basis Verdieping Uitbreiding

? ?? ? ?? ? ??

3.1 Basisvergelijkingen 123

123

13

3.2 Vergelijkingen herleidbaar tot basisvergelijkingen 45

456

457

458

459

10 11 12

3.3 Eenvoudige goniometrische ongelijkheden 13 13 1314

1315

13

Oefeningen bij §3.1

Oefening 1. Los algebraısch de volgende goniometrische vergelijkingen op.

B (a) cosx = −√

3

2B? (e) cot(2x) = −

√3

3

B (b) tanx = 1 B? (f) tan

3− 1

4x

)= −√

3

B (c) sin (5x) = −3 B?? (g) sinx = cosx

B (d) cos(3x) = 0 B?? (h) sin

(2x+

9

)= − cos

(2x− 7π

18

)

Oefening 2. Los de volgende goniometrische vergelijkingen op.

B (a) sin(3x) = 0, 4321 B (c) 8− 15 tan(4x) = 0

B (b) 4 sinx+ 3 = 0 B? (d) sec(−x

5

)= −3

Oefening 3. Los algebraısch de volgende goniometrische vergelijkingen op. Controleer ook telkens je oplossingen.

B (a) 5 cosx− 3 = 3 cosx− 4 B?? (d) tan(2x) cot(x+

π

3

)= 1

B? (b) 2 cos

(1

3x− 5π

12

)+√

2 = 0 B?? (e) tan(3x) + tanx = 0

B?? (c) cos(2x) + cos(3x) = 0

Oefeningen bij §3.2

Oefening 4. Los algebraısch de volgende goniometrische vergelijkingen op. Stel de oplossingen telkens voor op degoniometrische cirkel.

B (a) cos3 x+ 4 cos2 x+ 3 cosx = 0 B?? (f)√

3 cos(2x)− sin(2x) = 2

B (b) 2 sin2 x− 4 sinx cosx− cos2 x = 0 V (g) 4 sin4 x− 5 cos2 x+ 1 = 0

B? (c) sin(2x)− cos2 x = 0 V (h) 2 tan2 x+ 6 =5

cos2 x

B? (d) sin(2x)−√

3 cosx = 0 V? (i) 2 cosx cos(3x) = −1

B? (e)√

3 cosx+ 3 sinx = 5 V? (j) sin3 x+ cos3 x = sinx cosx (sinx+ cosx)

Oefening 5. Los de volgende goniometrische vergelijkingen op.

B (a) sinx+ cosx = −1 B? (f) tanx tan(4x) + tan2 x = 0

B (b) sec(x

2

)− cos

(x2

)=

√2

2B?? (g) sin3 x− sin2 x− 1

4sinx+

1

4= 0

B? (c) 2 cos3 x+ 2 sin2 x cosx− 5 sinx cos2 x = 0 V (h) 3 sin(2x) + 4 cos(2x) = 2

B? (d) cos(2x) + sin2 x =1

2V? (i) cosx+ cos(3x)− 1− cos(2x) = 0

B? (e) 3 sin(4x) = 2 sin(2x) V? (j) sin2(2x) + sin(4x) = 2

II-43

Page 58: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

B?? Oefening 6 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los de volgende vergelijking op:

sinx+ sin(3x) + sin(9x) = sin(5x).

B?? Oefening 7 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Vrije Universiteit Brussel).Los de volgende goniometrische vergelijking op:

2 sin2(3x) + sin2(6x) = 2.

V Oefening 8 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988).Los de vergelijking

sin(3x) = −√

2

2

op en teken de oplossingen op de goniometrische cirkel. Geef alle oplossingen gelegen tussen 1080◦ en 1440◦.

V? Oefening 9. Bewijs dat een vergelijking van de vorm

a sinx+ b cosx = c met a, b, c ∈ R0

oplossingen heeft als en slechts als c2 ≤ a2 + b2.

V?? Oefening 10 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1987).Bepaal de oplossingen in R van de vergelijking

sin(4 sinx) = cos(5 cosx).

U Oefening 11 (gebruik van de t-formules). Weerspannige goniometrische vergelijkingen kunnen aangepakt wordenmet behulp van de t-formules (zie §2.5).Los algebraısch de volgende vergelijking op met behulp van de t-formules

tan(2x) tanx = 1

U? Oefening 12 (vergelijkingen symmetrisch in sinx en cosx). De vergelijking

2A3 + 2B3 − 3AB + 6A3B3 −√

17 = 0

noemt men symmetrisch in A en B omdat, als men A vervangt door B en vice versa, de vergelijking dezelfde blijft.Een vergelijking die symmetrisch is in sinx en cosx lost men op door de substitutie

t = sinx+ cosx.

(a) Als t = sinx+ cosx, toon dan aan dat sinx cosx =t2 − 1

2.

(b) Los algebraısch de volgende vergelijking op:

sinx+ cosx− sinx cosx = −1.

Oefeningen bij §3.3

Oefening 13. Los de volgende goniometrische ongelijkheden op.

B (a) 2 sinx+√

3 ≥ 0 B? (e)√

3 sin(x+ 2)− 3 > 0

B (b) tan(2x) <1

3B?? (f) 4 cos

(3(x+

π

5

))+ 2 > 4

B? (c) 2 sin(

2x− π

3

)+ 1 < 0 V (g) tan

(2x+

π

6

)<√

3

B? (d) cos(x

2+π

4

)<

√2

2V? (h) 2 cos2(2x) + (

√3 + 2) cos(2x) +

√3 < 0

B?? Oefening 14 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los op:

sinx

2 sinx− 1>

1− sinx

4 sin2 x− 1.

V Oefening 15 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1984).Zij α in het tweede kwadrant, bepaal de oplossingenverzameling van de ongelijkheid

1

2≤ sinα ≤

√2

2.

II-44

Page 59: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Hoofdstuk 4

Goniometrische functies

Mathematics compares the most diverse phenomenaand discovers the secret analogies that unite them.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

Van sommige functies vertoont de grafiek een zogenaamde translatiesymmetrie: verschuiven we de grafiek met eenbepaald aantal eenheden volgens de x-as, dan verkrijgen we dezelfde grafiek. Zo’n functies worden periodieke functiesgenoemd. Periodieke functies kennen hun toepassingen in het beschrijven van trillingen, golven en andere verschijnselendie een vorm van periodiciteit toelaten. De belangrijkste voorbeelden1 van periodieke functies vinden we bij dezogenaamde goniometrische functies, die ontstaan vanuit de goniometrische getallen uit Hoofdstuk 1.

4.1 Periodieke functies

In het dagelijks leven komen verschijnselen voor die zich op geregelde tijdstippen herhalen volgens een vast patroon.We noemen ze periodieke verschijnselen. Voorbeelden van periodieke verschijnselen zijn:

3 de baan van een planeet om een ster,

3 de fasen van de maan,

3 de jaarlijkse terugkeer van de seizoenen,

3 de beweging van een zuiger in de cilinder van een motor,

3 het FIFA wereldkampioenschap voetbal.

Bij een periodiek verschijnsel vertoont een bepaalde grootheid een periodiek gedrag. Die grootheid kan beschrevenworden door een functie. We bespreken enkele voorbeelden.

elektrocardiogram

3 Voorbeeld 1. De hartslag van een mens in rust is een periodiek verschijnsel,ruwweg tussen 60 en 100 slagen per minuut (30-40 voor sporters in topconditieen 80 of meer voor mensen die weinig of niet aan sport doen, 70 is een gemiddeldewaarde). Theoretisch gezien blijft het basispatroon zich voortdurend herhalen.

De spiercellen in het hart trekken samen onder invloed van natrium-, kalium- encalciumionen die door het celmembraan heen en weer worden getransporteerd.Het transport van die ionen induceert een potentiaalverschil. Met een elektro-cardiogram (kortweg ECG) registreert men de de resulterende som van al dieafzonderlijke potentialen van alle hartspiercellen samen in de tijd.

3 Voorbeeld 2. Het getij is de periodieke wisseling van de waterstand die op aarde optreedt als gevolg van dezwaartekracht van de maan en, in mindere mate, die van de zon. Zo is ook de waterstand aan de kaai vanOostende een periodiek verschijnsel. Elke 12 uur bereikt de waterstand er een piek en een dal. De volgendegrafiek geeft de waterstand op dinsdag 21 februari 2012. Het stelt de hoogte van het water in functie van de tijdvoor. Theoretisch gezien blijft deze golf zich herhalen.

1Dat goniometrische functies in zekere zin alle periodieke functies voortbrengen, moge blijken uit de zogenaamde stelling van Fourier 1822,die stelt dat men onder geschikte voorwaarden een periodieke functie kan schrijven als een (mogelijks oneindige) som van goniometrischefuncties.

II-45

Page 60: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

In de volgende verkenning laten we zien hoe je de grafiek van een periodieke functie nauwkeurig kan schetsen.

propeller

3 Op ontdekking. De propeller van een vliegtuig maakt 1 omwenteling perseconde, in tegenwijzerzin. Op het uiteinde van een blad van de propeller nemenwe een vast punt P (zie figuur).

(a) Schets de grafiek van de functie h(t) die de hoogte van het punt P (tenopzichte van de as) in functie van de tijd t beschrijft.

(b) Welke transformatie moet je uitvoeren op de functie h(x) om de functieh(x − 2) te verkrijgen? Verklaar waarom de functie h(x) gelijk is aan defunctie h(x− 2). Analoog voor de functie h(x+ 2).Omdat er een reeel getal p > 0 bestaat waarvoor h(x−p) = h(x) = h(x+p)noemen we h een periodieke functie.

(c) Wat is het kleinste reeel getal p > 0 waarvoor h(x − p) = h(x) = h(x + p)? Dat getal p wordt de periodevan h genoemd.

Oplossing.

(a) Het punt P beschrijft de baan van een cirkel. Door op enkele tijdstippen de hoogte van het punt te meten,verkrijgen we een tabel van enkele functiewaarden van h (vul aan met benaderde waarden).

. Tabel van enkele functiewaarden:

t 0 0, 125 0, 25 0, 375 0, 5 0, 625 0, 75 0, 825 1

h(t)

Op die manier verkrijgen we de grafiek van h. Het uitzetten van de hoogtes gaat eenvoudiger door hetassenstelsel ter hoogte van de as van de propeller tekenen en horizontale hoogtelijnen aan te brengen, zoalsaangeduid op onderstaande figuur. Schets op deze manier de grafiek van h.

. Grafiek:

0.5 1.0 1.5 2.0 t

y

(b) Om vanuit de functie h(x) de functies h(x − 2) en h(x + 2) te verkrijgen, voeren we de transformatiesbesproken in Deel Precalculus 1 uit (vul aan):

. h(x)

vervang x door x− 2:

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

h(x− 2)

. h(x)

vervang x door x+ 2:

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

h(x+ 2)

De functie h(x− 2) is gelijk aan de functie h(x) omdat hun grafiek dezelfde is. Analoog is h(x) = h(x+ 2).

(c) Het kleinste strikt positief reeel getal p waarvoor h(x− p) = h(x) = h(x+ p) is p = . . . (vul aan).

II-46

Page 61: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Definitie. Een periodieke functie is een functie f waarbij er een reeel getal p > 0 bestaat waarvoor2

∀x ∈ dom f : f(x− p) = f(x) = f(x+ p) . (∗)

Indien er een kleinste reeel getal p > 0 bestaat waarvoor (∗) geldt, dan noemen we p de (kleinste) periode van f .

Meetkundige betekenis. Bij een periodieke functie f bezit de grafiek een translatie-symmetrie: na het verschuivenmet een geheel veelvoud van p eenheden volgens de x-as blijft de grafiek ongewijzigd (zie figuur).

y

x

y = f(x)

x x+px−p

f(x) f(x+p)f(x−p)

Opmerking. Beperkt men een periodieke functie tot een interval van de vorm [a,+∞[ of ]a,+∞[ voor een zekerea ∈ R, dan bekomt men een zogenaamde rechts-perdiodieke functie. Analoog definieren we een links-perdiodiekefunctie. Rechts- en links periodieke functies noemt men ook wel half-periodieke functies. Zij kennen vooral huntoepassingen in natuurkunde, waarbij de horizontale as de tijd voorstelt.

3 Modelvoorbeeld. Welke grafieken zijn de grafiek van een half-periodieke of periodieke functie? Bepaal bij eenperiodieke functie ook de periode (indien mogelijk).

(a)

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1

y

x

graf f

periodiek/half-periodiek/geen van beide (schrap wat niet past)

indien periodiek: f heeft periode . . .

(b)

1

2

−1

−2

1 2 3−1

y

x

graf f

periodiek/half-periodiek/geen van beide

indien periodiek: f heeft periode . . .

(c)

1

−1

y

xπ/2

graf f

periodiek/half-periodiek/geen van beide (schrap wat niet past)

indien periodiek: f heeft periode . . .

(d)

1

−1

1 2 3−1

y

x

graf f

periodiek/half-periodiek/geen van beide

indien periodiek: f heeft periode . . .

2Voor x ∈ dom f betekent de schrijfwijze f(x − p) = f(x) voluit: f(x − p) bestaat en is gelijk aan f(x). Analoog voor de schrijfwijzef(x) = f(x+ p). Bijgevolg is onze definitie equivalent met ∀x ∈ dom f : x− p ∈ dom f en x+ p ∈ dom f en f(x− p) = f(x) = f(x+ p).

II-47

Page 62: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

4.2 Elementaire goniometrische functies

Door met elke x-waarde de sinus van x (in radialen) te associeren, verkrijgen we de zogenaamde (elementaire) sinusfunc-tie. Analoog bouwt men andere (elementaire) goniometrische functies op zoals de cosinusfunctie en de tangensfunctie.In deze paragraaf bespreken we deze drie functies. De kennis hiervan is een absolute noodzaak voor Deel Calculus,Deel Afgeleiden en Deel Integralen. In het bijzonder wordt verwacht dat de lezer de grafieken van deze elementairefuncties onmiddellijk voor de geest kan halen.

Bewerkingen van elementaire goniometrische functies zoals veelvoud, optellen en vermenigvuldigen geven nieuwe, meeralgemene goniometrische functies. Zij laten toe om het periodiek gedrag van verschijnselen kwantitatief te beschrijvenen goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden meetkundig op te lossen.

De sinusfunctie

3 Functievoorschrift: f(x) = sinx (waarbij x een hoekwaarde in radialen voorstelt).

3 Tabel van enkele functiewaarden:

x 0π

6

π

4

π

3

π

22π

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Grafiek:

1

−1

y

xπ 2π

3 Eigenschappen van de functie f(x) = sinx:

1. Domein. Algebraısch: dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat}

= . . .

Grafisch: dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as

= . . .

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as

= . . .

3. Nulwaarden. Algebraısch: los op f(x) = 0

⇔ . . .

Grafisch: ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as

= . . .

II-48

Page 63: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

4. Symmetrieen.

. De functie f is even/oneven/noch even noch oneven (schrappen wat niet past).

Meetkundige betekenis: . . .

Bewijs.

. De functie f is periodiek met periode 2π.

Bewijs. Om aan te tonen dat f periodiek is, moeten we aantonen dat er een reeel getal p > 0 bestaatwaarvoor

∀x ∈ dom f : f(x− p) = f(x) = f(x+ p).

De grafiek van f suggereert de keuze p = 2π, zodat we moeten aantonen dat

∀x ∈ R : sin(x− 2π) = sinx = sin(x+ 2π).

Dit volgt onmiddellijk uit de formules voor verwante hoeken uit Hoofdstuk 2, want

sin(α− 2π) = sinα = sin(α+ 2π) voor elke hoek α.

Om aan te tonen dat de periode van f gelijk is aan 2π, moeten we nagaan dat er geen enkel reeel getalp met 0 < p < 2π bestaat waarvoor geldt dat

∀x ∈ R : sin(x− p) = sinx = sin(x+ p).

Stel, uit het ongerijmde, dat er toch zo’n p bestaat. Dan zou voor de keuze x = π/2 gelden dat

sin(π

2

)

︸ ︷︷ ︸1

= sin(π

2+ p)

︸ ︷︷ ︸cos p

met 0 < p < 2π. (∗)

We beweren dat de uitspraak (∗) vals is. Om dat aan te tonen, beschouwen we de vergelijking cos p = 1.Uit Hoofdstuk 3 (oplossen van de basisvergelijking cosx = cos a) volgt dan:

cos p = 1 ⇔ cos p = cos 0

p = 0 + k2π

of

p = −0 + k2π

(k ∈ Z)

⇔ p = k2π (k ∈ Z).

Er bestaat dus geen enkele p ∈ ]0, 2π[ waarvoor cos p = 1. Of equivalent: er bestaat geen enkelep ∈ ]0, 2π[ waarvoor sin (π/2 + p) = 1. Hieruit volgt dat de uitspraak (∗) vals is, hetgeen impliceertdat de periode van f(x) = sinx gelijk is aan 2π.

5. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en reele randpunten van het domein in een tabel en noteer in elke kolomhet teken van f(x). Omdat f een periodieke functie met periode 2π is, volstaat het om de tekentabel tebeperken tot een interval met lengte 2π, bijvoorbeeld het interval [0, 2π]:

x

f(x)

6. Tabel stijgen/dalen. Plaats de relatieve extrema (maxima en minima) en reele randpunten van het domeinin een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan. Omdat f een periodiekefunctie met periode 2π is, volstaat het om de tabel stijgen/dalen te beperken tot het interval [0, 2π]:

x

f(x)

7. Gedrag op oneindig. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan):

limx→−∞

sinx = . . . en limx→+∞

sinx = . . .

II-49

Page 64: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

De cosinusfunctie

3 Functievoorschrift: f(x) = cosx (waarbij x een hoekwaarde in radialen voorstelt).

3 Tabel van enkele functiewaarden:

x 0π

6

π

4

π

3

π

22π

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Grafiek:

1

−1

y

xπ 2π

3 Eigenschappen van de functie f(x) = cosx:

1. Domein. Algebraısch: dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat}

= . . .

Grafisch: dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as

= . . .

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as

= . . .

3. Nulwaarden. Algebraısch: los op f(x) = 0

⇔ . . .

Grafisch: ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as

= . . .

4. Symmetrieen.

. De functie f is even/oneven/noch even noch oneven (schrappen wat niet past).

Meetkundige betekenis: . . .

Bewijs.

II-50

Page 65: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

. De functie f is periodiek met periode 2π.

Bewijs. Uit de formules voor verwante hoeken uit Hoofdstuk 2 volgt cosx = sin (x+ π/2). Bijgevolgwordt de grafiek van cosx verkrijgen door de grafiek van sinx te verschuiven met π/2 eenheden naarlinks. Omdat sinx een periodieke functie met periode 2π is, volgt hieruit dat ook cosx een periodiekefunctie met periode 2π is.

5. Tekentabel. Omdat f een periodieke functie met periode 2π is, volstaat het om de tekentabel te beperkentot het interval [0, 2π]:

x

f(x)

6. Tabel stijgen/dalen. Omdat f een periodieke functie met periode 2π is, volstaat het om de tabel stij-gen/dalen te beperken tot het interval [0, 2π]:

x

f(x)

7. Gedrag op oneindig. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan):

limx→−∞

cosx = . . . en limx→+∞

cosx = . . .

3 Controle met behulp van de grafische rekenmachine:

MODE RADIAN Y= WINDOW

Analoog plotten we de sinusfunctie, in de schermafdruk hieronder is de grafiek geplot in stippellijn. Met Xscl

kunnen we de markeringen op de x-as laten samenvallen met de gehele veelvouden van π/2.

3 Modelvoorbeeld. Bepaal het aantal oplossingen van de vergelijking sinx = cosx waarbij x ∈ [0, 100].

Oplossing. Om zicht te krijgen op het probleem, vatten we het linker- en rechterlid op als een functie en plottenhun grafiek (zie bovenstaande schermafdruk). Gevraagd is het aantal snijpunten van deze twee grafieken overhet interval [0, 100].

Beperken we ons over het interval [0, 2π], dan tellen we twee snijpunten, namelijk (vul aan):

P1

(. . . , . . .

)en P2

(. . . , . . .

).

Omdat de sinus- en cosinusfunctie beide periode 2π hebben, zullen er ook twee snijpunten zijn over de intervallen[2π, 4π], [4π, 6π], etc. De x-coordinaten van die snijpunten zijn π/4, π/4 + π, π/4 + 2π, π/4 + 3π, π/4 + 4π,enzovoort. Het komt er op neer om te tellen hoeveel van deze x-coordinaten binnen het interval [0, 100] passen.Daartoe lossen we de volgende vergelijking op:

π

4+ kπ = 100 ⇔ k =

100− π/4π

= 31, 58 . . .

De x-coordinaat van het laatste snijpunt over het interval [0, 100] is dus π/4 + 31π. Op die manier vinden we 32snijpunten (waarom?) en dus 32 oplossingen van de vergelijking sinx = cosx over het interval [0, 100].

II-51

Page 66: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

De tangensfunctie

3 Functievoorschrift: f(x) = tanx (waarbij x een hoekwaarde in radialen voorstelt).

3 Tabel van enkele functiewaarden:

x −π2

−π3

−π4

−π6

6

π

4

π

3

π

2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Grafiek:

1

2

3

−1

−2

−3

y

xπ 2π

3 Eigenschappen van de functie f(x) = tanx:

1. Domein. Algebraısch: dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat}

= . . .

Grafisch: dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as

= . . .

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as

= . . .

3. Nulwaarden. Algebraısch: los op f(x) = 0

⇔ . . .

Grafisch: ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as

= . . .

II-52

Page 67: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

4. Symmetrieen.

. De functie f is even/oneven/noch even noch oneven (schrappen wat niet past).

Meetkundige betekenis: . . .

Bewijs.

. De functie f is periodiek met periode π.

Bewijs. Het bewijs verloopt analoog aan het bewijs van de periodiciteit van de sinusfunctie, waarbijmen de vergelijking sinx = 1 vervangt door de vergelijking tanx = 0.

5. Tekentabel. Omdat f een periodieke functie met periode π is, volstaat het om de tekentabel te beperkentot het interval [0, π] of [−π/2, π/2]:

x

f(x)

6. Tabel stijgen/dalen. Omdat f een periodieke functie met periode π is, volstaat het om de tabel stijgen/dalente beperken tot het interval [0, π] of [−π/2, π/2]:

x

f(x)

7. Gedrag op oneindig. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan):

limx→−∞

tanx = . . . en limx→+∞

tanx = . . .

8. Asymptoten. Uit de grafiek van f lezen we de volgende limieten af (vul aan):

limx→<

π2

tanx = . . . en limx→>

π2

tanx = . . .

waaruit we afleiden dat de rechte x = π/2 een verticale asymptoot is aan de grafiek van f . Uit deperiodiciteit van f volgt dat de rechten x = π/2 + kπ (met k ∈ Z) allen een verticale asymptoot aan degrafiek van f zijn.

3 Controle met behulp van de grafische rekenmachine:

Andere goniometrische functies

We vermelden de grafiek van de cotangensfunctie, cosecansfunctie en secansfunctie. In de tweede en derde schermaf-druk wordt de sinusfunctie en cosinusfunctie in stippellijn geplot.

II-53

Page 68: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

4.3 De algemene sinusfunctie

Passen we transformaties (uitrekken, spiegelen en verschuiven volgens de x-as en de y-as) toe op de elementaire functiesinx, dan heeft de grafiek een analoge vorm. Dit geeft aanleiding tot de zogenaamde algemene sinusfuncties.

3 Op ontdekking 1. Voer de volgendetransformaties uit op de grafiek van g enobserveer wat er gebeurt met het func-tievoorschrift.

1

−1

y

xπ2

π 3π2

graf g

g(x) = sinx

rek uit volgens y-as met factor 2

vervang . . . door . . .

f1(x) = . . .

1

−1

y

xπ2

π 3π2

rek uit volgens x-as met factor1

3

vervang . . . door . . .

f2(x) = . . .

1

−1

y

xπ2

π 3π2

verschuif volgens x-as metπ

2naar rechts

vervang . . . door . . .

f3(x) = . . .

1

−1

y

xπ2

π 3π2

verschuif volgens y-as met 1 naar boven

vervang . . . door . . .

f(x) = . . . 1

2

−1

y

xπ2

π 3π2

II-54

Page 69: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Op ontdekking 2. Meer algemeen kunnen we die transformaties3 voorzien van parameters4. Door enkel eenhoofdtak van de sinusfunctie te transformeren, ontdekken we de invloed van de parameters a, b, c en d (vul aan).

g(x) = sinxx

y

1

2πvervang y door ay (waarbij a > 0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f1(x) = . . .x

y

. . .

2πvervang x door bx (waarbij b > 0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f2(x) = . . .x

y

. . .

. . .vervang x door x− c

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f3(x) = . . .x

y

. . .

. . .

. . .vervang y door y + d

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) = . . .

x

y

. . .

. . .

. . .

. . .

Zo komen we tot de volgende

3 Definitie. Een algemene sinusfunctie is een functie f met als functievoorschrift

f(x) = a sin

(b (x− c)

)+ d waarbij a, b, c, d ∈ R met a, b > 0 .

Bovenstaande schrijfwijze wordt ook wel de standaardvorm van een algemene sinusfunctie genoemd.

De observaties uit Op ontdekking 2 leiden tot de volgende eigenschap van een algemene sinusfunctie.

3Men kan nagaan dat het toepassen van een willekeurig aantal transformaties uitrekken, spiegelen en verschuiven volgens de x-as eny-as op de elementaire sinusfunctie kan herleid worden tot het toepassen van deze vier transformaties en wel in deze volgorde. Bij hetuitrekken volgens de x-as of de y-as is de factor strikt positief (zie Deel Precalculus 1), vandaar de eis dat a > 0 en b > 0.

4In wiskunde is een parameter een variabele die een uitdrukking bepaalt wanneer deze een waarde toegekend krijgt.

II-55

Page 70: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Eigenschap. Zij f(x) = a sin

(b (x − c)

)+ d een algemene sinusfunctie. Dan kunnen we f(x) verkrijgen uit

g(x) = sinx door middel van transformaties. Bijgevolg is f een periodieke functie en heeft de grafiek van f devolgende vorm:

y

x

y = a sin

(b(x− c)

)+ d

y = . . .S

. . .

. . .

. . .

. De parameter d is het gemiddelde van de maximale waarde en de minimale waarde van f(x). De horizontalerechte y = d noemt men de evenwichtslijn (of evenwichtsas).

. De parameter c is de abscis van een startpunt S van de grafiek van f : een punt op de evenwichtslijn y = dwaar de grafiek van f stijgend is. We noemen c een verschuiving naar rechts.

. De parameter a is de afstand tussen een extremum (maximum of minimum) en de evenwichtslijn, ook welde amplitude genoemd.

. De parameter b bepaalt de periode p via de formule p =2π

b. Op een afstand van p eenheden vertoont de

grafiek van f een hoofdtak (ook wel trilling genoemd). Dus op een afstand van 1 eenheid vertoont de grafiek

1/p trillingen, ook wel de frequentie f genoemd. In symbolen: f =1

p=

b

2π.

Singapore Flyer5

3 Modelvoorbeeld 1. De Singapore Flyer is het grootste reuzenrad ter wereld.Het heeft 28 cabines ter grootte van een stadsbus. Bij een vol reuzenrad zittener 980 mensen in, die vrij kunnen rondlopen.

Bertha wil een ritje maken en stapt in het reuzenrad. De hoogte van Bertha(in meter) op tijdstip t (in minuten) na het instappen wordt gegeven door defunctie

h(t) = 82, 5 sin

15(t− 7, 5)

)+ 87, 5

waarbij de hoogte wordt gemeten vanaf de begane grond.

(a) Plot de grafiek van de functie h met behulp van je grafische rekenmachine,

waarbij je zorgt dat een hoofdtak precies op je scherm past. Noteer je vensterinstellingen.

(b) Bepaal de diameter van het reuzenrad.

(c) Hoeveel omwentelingen maakt het rad per minuut? En per uur?

(d) Op welke hoogte bevindt Bertha zich na 10 minuten?

(e) Hoe lang bevindt Bertha zich tijdens een omwenteling hoger dan 100m boven de grond? Los grafisch op.

Oplossing.

5De Singapore Flyer te Singapore werd geopend op 11 februari 2008, maar kende sindsdien heel wat gebreken zoals een fout in hetremsysteem, een brand in de controlekamer en het falen van de air-conditioning ten gevolge van blikseminslag. Meermaals zaten tientallenpassagiers urenlang vast.

II-56

Page 71: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie

f(x) = 4 sin

(10 +

5x

2

)− 3.

(a) Toon aan dat f een algemene sinusfunctie is.

(b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f .

(c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten.

(d) Bepaal dom f en bld f .

(e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = sinx om de functie f(x) te verkrijgen?

Oplossing.

(a) We herschrijven het functievoorschrift in de vorm a sin

(b (x− c)

)+ d

f(x) = 4 sin

(10 +

5x

2

)− 3 = . . .

zodat a = . . . , b = . . . , c = . . . en d = . . . . Bovendien is a > 0 en b > 0.

(b) Om de grafiek van een algemene sinusfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Evenwichtslijn: y = . . .

Teken de evenwichtslijn, daarna graf f .

Stap 2. Amplitude: a = . . .

Teken de x-as.

Stap 3. Verschuiving naar rechts: c = . . .

Teken een mogelijk startpunt S.

Stap 4. Periode: p = . . .

Teken de y-as.

Schets:

(c) Dankzij (b) kunnen we geschikte vensterinstellingen kiezen:

Y= WINDOW GRAPH

(d) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . . en bld f = . . .

(e) g(x) = sinx

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

II-57

Page 72: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Modelvoorbeeld 3. Onderstaande grafiek stelt de grafiek van een algemene sinusfunctie f voor. Bepaal eenmogelijk functievoorschrift (enkel roosterlijnen gebruiken). Controleer nadien met de grafische rekenmachine.

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1

y

x

y = f(x)

Oplossing. Omdat f een algemene sinusfunctie is, wordt het functievoorschrift gegeven door

f(x) = a sin

(b(x− c)

)+ d voor zekere a, b, c, d ∈ R en a, b > 0.

Om de waarden van a, b, c, d te vinden, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Bepaal de evenwichtslijn y = d.

Omdat bld f = [. . . , . . .] is het gemiddelde van de grootste en de kleinste y-waarde gelijk aan d = . . . .

Stap 2. Bepaal de amplitude a.

De afstand tussen een extremum (maximum of minimum) en de evenwichtslijn is a = . . . .

Stap 3. Bepaal een mogelijk startpunt S(c, d).

We nemen bijvoorbeeld S(c, d) = S(. . . , . . .) zodat c = . . . .

Stap 4. Bepaal de periode p.

We lezen af dat p = . . . en de waarde van b vinden we met de formule p =2π

b⇒ . . .

Een mogelijke keuze voor a, b, c, d is bijvoorbeeld:

a = . . .

b = . . .

c = . . .

d = . . .

zodat f(x) = . . .

Opmerking. Zijn er nog andere mogelijke keuzes voor a, b, c, d? Wat wordt het functievoorschrift van f dan?

II-58

Page 73: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

4.4 Toepassingen

Toepassing 1 - Bewerkingen met periodieke functies

In deze paragraaf gaan we na onder welke voorwaarden bewerkingen van periodieke functies opnieuw periodiek zijn.Op een analoge manier als bij de bespreking van de algemene sinusfunctie volgt uit het toepassen van transformatiesop de grafiek van een periodieke functie alvast onderstaande Eigenschap 1. Ook Eigenschap 2 is eenvoudig in te zien,het bewijs laten we als oefening voor de lezer.

3 Eigenschap 1. Zij f(x) een periodieke functie met periode p. Dan geldt (voor k > 0):

(a) de functie f(x± k) is periodiek met periode p,

(b) de functie f(x)± k is periodiek met periode p,

(c) de functie kf(x) is periodiek met periode p,

(d) de functie f(kx) is periodiek met periodep

k.

3 Eigenschap 2. Zij f(x) een periodieke functie met periode p. Dan is de functie 1/f(x) ook een periodiekefunctie met periode p.

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven zijn de volgende periodieke functies. Bepaal telkens de periode.

(a) f(x) = cos(3x− 7)

(b) f(x) = 8 tan( x

)

(c) f(x) = sec(√

2x− 6) + 15

(d) f(x) = sin2 x

Oplossing.

Bij het optellen van periodieke functies moet men wat voorzichtiger te werk gaan, zo moge blijken uit de volgende

? Op ontdekking. Ga telkens na of voor gegeven periodieke functies f en g geldt dat f +g een periodieke functieis. Zo ja, wat vermoed je voor de periode van f + g? Zo neen, bewijs dat f + g geen periodieke functie is.

(a) f(x) = 2 sin

(1

2x+ 1

)en g(x) = 3 sin

(1

3x+ 2

)

(b) f(x) = cos(√

2x)

en g(x) = cosx

Oplossing.

(a) Na het plotten (zie schermafdruk) vermoeden we dat de functie f + gperiodiek is. Om de periode te bepalen, zoeken we een r > 0 waarvoor

∀x ∈ R : (f + g)(x− r) = (f + g)(x) = (f + g)(x+ r)

of nog: ∀x ∈ R : f(x− r) + g(x− r) = f(x) + g(x) = f(x+ r) + g(x+ r).

Daaraan zal zeker voldaan zijn als voor elke x-waarde geldt dat f(x− r) =f(x) = f(x + r) en g(x − r) = g(x) = g(x + r). We verwachten dan ookdat de periode van f + g een geheel veelvoud is van de periode van f eneen geheel veelvoud is van de periode van g.

Uit Eigenschap 1 volgt dat (vul aan):

de periode van f is p = . . . en de periode van g is q = . . .

Zo geldt voor elke x ∈ R

f(x) = f(x+ 4π) = f(x+ 8π) = f(x+ 12π) = f(x+ 16π) = . . .

g(x) = g(x+ 6π) = g(x+ 12π) = g(x+ 18π) = g(x+ 24π) = . . .

II-59

Page 74: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

zodat alvast (vul aan)∀x ∈ R : f(x) + g(x) = f(x+ . . .) + g(x+ . . .)

We vermoeden dan ook dat de periode van f + g gelijk is aan r = . . ..

Deze werkwijze slaagt omdat er een geheel veelvoud is van p dat ook een geheel veelvoud is van q, namelijk3p = 2q. Of anders uitgedrukt, p/q ∈ Q. Derhalve kunnen we stellen:

p

q∈ Q ⇒ f + g is periodiek

en schrijven we p/q als een onvereenvoudigbare breuk, dan vinden we de periode van f + g terug:

p

q=

2

3∈ Q ⇒ f + g is periodiek met periode 3p = 12π.

(b) We gaan analoog te werk zoals in (a). Uit Eigenschap 1 volgt (vul aan):

de periode van f is p = . . . en de periode van g is q = . . .

Zo geldt voor elke x ∈ R:

f(x) = f(x+√

2π) = f(x+ 2√

2π) = f(x+ 3√

2π) = f(x+ 4√

2π) = . . .

g(x) = g(x+ 2π) = g(x+ 4π) = g(x+ 6π) = g(x+ 8π) = . . .

Omdat√

2 geen breuk is, zullen we er niet in slagen om een geheel veelvoud van√

2π te vinden dat ookeen geheel veelvoud van 2π is. We vermoeden dan ook dat f + g geen periodieke functie is, met anderewoorden:

p

q/∈ Q ⇒ f + g is niet periodiek.

Er rest ons te bewijzen dat f + g niet periodiek is. Stel, uit het ongerijmde, dat f + g toch periodiek is,zodat er een reeel getal r > 0 bestaat waarvoor geldt:

∀x ∈ R : cos(√

2x)

+ cosx = cos(√

2 (x+ r))

+ cos(x+ r).

In het bijzonder geldt voor de keuze x = 0 dat

cos 0 + cos 0︸ ︷︷ ︸2

= cos(√

2 r)

+ cos r.

Hoe vinden we op deze manier een tegenstrijdigheid?

Bovenstaande bespreking wordt samengevat in de volgende

3 Eigenschap 3. Zij f een periodieke functie6 met periode p en g een periodieke functie met periode q. Dan is

f + g is een periodieke functie ⇔ p

q∈ Q

Schrijven we in dat geval p/q als onvereenvoudigebare breuk m/n, dan is de periode van f + g gelijk aan np.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal telkens of de functie periodiek is. Zo ja, bepaal de periode.

(a) f(x) = tan

(2x

3

)+ 2 sin(3x+ 1)

(b) f(x) = sinx+ cos(2πx)

Oplossing.

6. . . waarvoor f is begrensd en er een interval bestaat waarover f continu is. Deze voorwaarden kunnen nog afgezwakt worden, zie [82].

II-60

Page 75: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Toepassing 2 - De harmonische trilling

Een perdiodiek verschijnsel waarbij een grootheid ten opzichte van zijn evenwichtsstand verandert in functie van detijd, noemt men een trilling (of oscilatie). Voorbeelden van trillingen zijn:

3 de op- en neergaande beweging van een massa die opgehangen wordt aan een veer (massa-veersysteem),

3 de heen- en weergaande beweging van een massa die opgehangen wordt aan een draad (slinger),

3 een trillende stemvork,

3 de naald van een platenspeler die de groef in een grammofoonplaat volgt (al is deze trilling niet meteen periodiek),

3 ook licht kan gezien worden als een trilling (van een elektromagnetisch veld),

3 wisselstroom (een elektrische stroom met periodiek wisselde stroomrichting),

3 klimaatoscilatie, waarbij een specifiek gedrag van het klimaat periodiek terugkeert, zoals de ijstijden en hetverschijnsel El Nino.

Bij een (vrije en ongedempte) harmonische trilling wordt het periodiek gedrag van de grootheid beschreven door eenalgemene sinusfunctie van de vorm

f(t) = A sin(ωt+ ϕ) .

Aan de parameters A, ω en ϕ kent men de volgende betekenis toe.

3 De parameter ϕ is de beginfase van de trilling, ze geeft aan welke positie de trilling aanneemt op het ogenblikdat de trilling begint (t = 0).

3 De amplitude A is de (absolute waarde van) de maximale uitwijking die f(t) kan hebben.

3 De parameter ω is de pulsatie van de trilling. De periode T van de trilling is (zie §4.3):

T =2π

ωzodat ω =

T= 2πf .

We bespreken enkele voorbeelden.

3 Voorbeeld 1 (massa-veersysteem). Aan een volkomen elastische veer, dieverticaal wordt opgehangen, hangen we een massa m. We geven aan de massaeen kleine uitwijking in verticale richting. Na loslaten zal de massa omheen haarevenwichtsstand bewegen. Noemen we y(t) de verticale positie van de massa mten opzichte van de evenwichtsstand op tijdstip t (zie figuur), dan kan menaantonen dat

y(t) = A sin(ωt+ ϕ) met ω =

√k

m

waarbij k staat voor de zogenaamde veerconstante7.

3 Voorbeeld 2 (wiskundige slinger). Een puntmassa m wordt opgehangenaan een draad met lengte l waarvan de massa verwaarloosbaar is. Wordt depuntmassa m uit haar evenwichtsstand gebracht en vervolgens losgelaten, danvoert deze onder invloed van de zwaartekracht een heen- en weergaande bewe-ging uit omheen haar evenwichtsstand. Noemen we θ(t) de hoek van de slingerten opzichte van de evenwichtsstand op tijdstip t (zie figuur), dan kan menaantonen dat (bij een kleine uitwijking)8

θ(t) = A sin(ωt+ ϕ) met ω =

√g

l

waarbij g staat voor de valversnelling 9, 81m/s2.

7De wet van Robert Hooke 1678 zegt dat de uitrekking van een veer recht evenredig is met de kracht die op de veer wordt uitgeoefend.Die evenredigheidsfactor noemt men de veerconstante k.

8Hieruit leidt men af dat T = 2π√l/g, wat bekend staat als de Wet van Christiaan Huygens 1673 - tevens de oudste formule van de

natuurkunde.

II-61

Page 76: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Toepassing 3 - De golfbeweging

Het golfbegrip komt in veel domeinen van de natuurkunde voor. Zo spreken we van geluidsgolven, warmtegolven,lichtgolven, elektromagnetische golven enzovoort. In deze toepassing tonen we hoe de voortplanting van een trillingwiskundig beschreven wordt.

3 Algemene golfbeweging. Beschouw een willekeurige functie y = f(x) en kies een reeel getal c. Vervangen wex door x− c, dan verschuiven we de grafiek van f volgens de x-as met c eenheden naar rechts (zie onderstaandefiguur). Uiteraard verandert hierdoor de vorm van de grafiek niet.

y

x

y = f(x) y = f(x− c)

c

Als we op elk tijdstip t een andere waarde voor c kiezen, dan hebben we op elk tijdstip t een andere verschuivingvan de grafiek. Een voor de hand liggende manier om c afhankelijk te maken van de tijd t, is om c gelijk testellen aan

c = vt met v > 0.

Voor opeenvolgende tijdstippen t = 0, 1, 2, . . . wordt de grafiek verschoven met achtereenvolgens 0, v, 2v, . . .eenheden naar rechts. Op die manier verkrijgen we een ‘voortplanting’ van de grafiek, die we ook wel een‘lopende’ kromme noemen (zie onderstaande figuur). Men noemt v de fasesnelheid van die kromme.

y

x

y = F (x, 0) = f(x)

t = 0

v

y

x

y = F (x, 1) = f(x− v)

t = 1

v

y

x

y = F (x, 2) = f(x− 2v)

t = 2

v

Het voorschrift y = f(x) wordt nu y = f(x − vt) en is afhankelijk van zowel de variabele x (lengte) als devariabele t (tijd). We krijgen dus een (reele) functie in twee variabelen

F (x, t) = f(x− vt)die een fysische situatie beschrijft die zonder vervorming ‘loopt’ of ‘zich voortplant’ langs de positieve x-as. Ditwordt een (algemene) golfbeweging genoemd. De grootheid F (x, t) kan een grote verscheidenheid van fysischegrootheden voorstellen, zoals de vervorming in een vaste stof, de druk in een gas, een elektrisch of magnetischveld enzovoort.

II-62

Page 77: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Harmonische golfbeweging. Beschouw een algemene sinusfunctie f(x) = A sin(kx) met A, k > 0. Passen wehet voorgaande toe op deze functie, dan verkrijgen we de golfbeweging

F (x, t) = A sin

(k(x− vt)

)

die men een harmonische golfbeweging noemt. We bespreken de periodiciteit van deze functie.

. Vervangen we x door x+ p met p =2π

kdan verkrijgen hetzelfde voorschrift:

F (x+ p, t) = A sin

(k

(x+

k− vt

))= A sin(k(x− vt) + 2π) = A sin(k(x− vt)) = F (x, t).

De golfbeweging is dus periodiek in de ruimte, met (ruimtelijke) periode p =2π

k. Dit noemt men ook wel

de golflengte, notatie λ. Dus

λ =2π

kof nog k =

λ= 2πf

met f = 1/p de (ruimtelijke) frequentie.

Meetkundige betekenis. De golflengte λ is afstand waarop de kromme zich herhaalt (op een vast tijdstip t).

. Vervangen we t door t+ P met P =2π

kvdan verkrijgen we hetzelfde voorschrift:

F (x, t+ P ) = A sin

(k

(x− v

(t+

kv

)))= A sin(k(x− vt)− 2π) = A sin(k(x− vt)) = F (x, t).

De golfbeweging is dus ook periodiek in de tijd, met (tijds)periode P =2π

kv. Schrijven we ω = kv, dan is

P =2π

ωof nog ω =

P= 2πν

met ν = 1/P de (tijds)frequentie. De parameter ω noemt men de cirkelfrequentie.

Meetkundige betekenis. De periode P is de tijd waarin de kromme zich herhaalt (op een vaste plaats x).

y

x

y = A sin(kx)

t = 0

λ

y

xt =

P

2

y

x

y = A sin(kx− ωP )

t = P

II-63

Page 78: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

De harmonische beweging heeft dus twee periodiciteiten: een in de ruimte (golflengte λ) en een in de tijd (periodeP ). In het bijzonder wordt in een tijd P de afstand λ afgelegd, wat resulteert in de betrekking

v =λ

P.

We kunnen het voorschrift dan ook schrijven in functie van deze twee periodes:

F (x, t) = A sin

(k(x− vt)

)

= A sin(kx− ωt)

= A sin

(2π

λx− 2π

Pt

)

= A sin

(2π

(x

λ− t

P

)).

zodat het voorschrift van de harmonische golfbeweging herschreven wordt als

F (x, t) = A sin

(2π

(x

λ− t

P

)).

Meer algemeen kan men de algemene golfbeweging ook toepassen op de functie f(x) = A sin(kx+ϕ) met A, k > 0en ϕ ∈ [0, 2π[. De behandeling zoals hierboven is analoog enkel de meetkundige betekenis verandert: op t = 0zal de hoofdtak starten in x = −ϕ in plaats van x = 0 (zie figuur vorige pagina). Men noemt ϕ de beginfase vande harmonische beweging.

3 Te onthouden. De harmonische golfbeweging (met beginfase ϕ) is een functie in twee variabelen x en t enheeft als voorschrift

F (x, t) = A sin

(k(x− vt) + ϕ

)(1)

= A sin

(2π

(x

λ− t

P

)+ ϕ

). (2)

Volgende formules verkrijgen we door het vergelijken van (1) en (2) en omdat in de tijdsperiode P de ruimtelijkeperiode (golflengte) λ wordt afgelegd:

k =2π

λen ω = kv =

Pen v =

λ

P.

Een jachtbommenwerpervliegt door de geluidsmuur.De witte halo wordt ge-vormd door gecondenseerdewaterdruppels die onstaandoor een val in luchtdrukomheen het vliegtuig.

3 Modelvoorbeeld. Geluid is een (kleine) verandering in de luchtdruk, diezich door de lucht voortplant. Als de veranderingen van de druk tussen 20en 20 000 keer per seconde (Hertz) voorkomen dan is geluid hoorbaar. Hoehoger de frequentie, hoe hoger de waargenomen toon. De geluidssnelheid, desnelheid waarmee geluidsgolven zich voortbewegen, hangt af van de vastheid,temperatuur en samenstelling van de stof(fen) waarin dat gebeurt: door luchtbij kamertemperatuur is dat ongeveer 343 meter per seconde, in vloeistoffen envaste stoffen is dat meestal hoger. De amplitude bepaalt hoe luid een klankervaren wordt.

In een medium wordt geluid gemaakt. De geluidsgolf heeft een periode van0, 004 s en een golflengte van 1, 2 m.

(a) Bepaal het functievoorschrift van de harmonische golfbeweging.

(b) Bepaal de snelheid van het geluid in dat medium.

Oplossing.

II-64

Page 79: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefeningen

4 Goniometrische functies Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

4.1 Periodieke functies 1 2 2 3

4.2 Elementaire goniometrische functies 4

4.3 De algemene sinusfunctie 567

78910

71112

7131415

71617

718

1920

4.4 Toepassingen 21222324

212526

212728

21 29 30 31

Oefeningen bij §4.1

B Oefening 1. Welke grafieken zijn de grafiek van een half-periodieke of periodieke functie? Bepaal bij een periodiekefunctie ook de periode (indien mogelijk).

(a)

1

2

−1

1 2 3 4 5 6−1

y

x

(b)

1

2

−1

1 2 3−1

y

x

(c)

1

−1

1 2 3 4 5 6−1

y

x

(d)

1

−1

1 2 3−1

y

x

Oefening 2. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien waar, bewijs. Indien vals, geef een tegenvoor-beeld.

B (a) Elke periodieke functie heeft een (kleinste) periode.

B? (b) Geen enkele veeltermfunctie is periodiek.

B? (c) Er bestaat een rationale functie die periodiek is.

B? (d) Geen enkele periodieke functie met domein R is inverteerbaar.

V (e) Zij f een functie waarvoor f beperkt tot [0,+∞[ rechtsperiodiek is en f beperkt tot ]−∞, 0] linksperiodiek is.Dan is f periodiek.

II-65

Page 80: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

U?? Oefening 3 (niet-constante periodieke functie zonder periode). Elke constante functie is een periodieke func-tie zonder (kleinste) periode. Er bestaan9 echter ook niet-constante periodieke functies zonder periode.

Beschouw de Dirichlet functie10

f : R→ R

x 7→ f(x) =

{1 als x ∈ Q0 als x /∈ Q.

(a) Toon aan dat voor elke q ∈ Q geldt:

∀x ∈ R : f(x− q) = f(x) = f(x+ q).

(b) Bewijs dat f een periodieke functie is.

(c) Bewijs dat f geen (kleinste) periode heeft.

Oefeningen bij §4.2

V? Oefening 4. Bepaal het aantal oplossingen van de vergelijking

x

100= sinx.

Oefeningen bij §4.3

B Oefening 5. Bepaal een voorschrift van een algemene sinusfunctie met periode 8π/5, amplitude 1, 75; evenwichtslijny = −2, 23 en een horizontale verschuiving van 3π/5.

B Oefening 6. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie voor. Bepaal telkens een mogelijkfunctievoorschrift (enkel roosterlijnen gebruiken).

1

2

3

4

5

6

−1

−2

y

x−π2

π2

π

y = f(x)

(a)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

y

x−π2

π2

π

y = f(x)

(b)

Oefening 7. Schrijf de volgende algemene sinusfuncties in standaardvorm.

B (a) f(x) = 3 cos(2x− 5) V (d) f(x) = sinx+ cosx

B? (b) f(x) = −3 sin(2x− 5) V? (e) f(x) = sin(2x) +

√3

3cos(2x)

B?? (c) f(x) = 3 sin(5− 2x) V? (f) f(x) = 3 sin(5x) cos(5x)− 1

II-66

Page 81: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

B? Oefening 8. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie voor. Bepaal telkens een mogelijkfunctievoorschrift (enkel roosterlijnen gebruiken).

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2

y

x

y = f(x)

(a)

1

2

−1

−2

y

x−π2

π2

π

y = f(x)

(b)

B? Oefening 9. Welke transformaties moet je uitvoeren op de sinusfunctie g(x) = sinx om de functie f(x) = 3 sin (2x− 5)−8 te verkrijgen? Wees volledig.

B? Oefening 10. Het tijverschil (verschil tussen hoogste en laagste waterstand) aan de Belgische kust bedraagt 3, 90meter. De getijdenbeweging te Oostende wordt benaderd door h(t) = 1, 95 sin(0, 52 t) met h de hoogte (in meter) tenopzichte van de gemiddelde waterstand en t de tijd (in uur).

(a) Wat is de minimale en maximale waterhoogte ten opzichte van de gemiddelde waterstand?

(b) Bepaal algebraısch hoeveel uur er verstrijkt er tussen twee ebstanden? Afronden tot op 1 seconde nauwkeurig.

B?? Oefening 11. Gegeven zijn de volgende algemene sinusfuncties. Geef telkens de de amplitude, de periode, eenhorizontale verschuiving, de verticale verschuiving, de evenwichtsas, domein en beeld en de nulwaarden.

(a) f(x) = 3 sin( x

)(c) f(x) = sin

(10π

(x+

1

2

))+ 3

(b) f(x) =2

3sin

(2

3

(x− π

4

))− 11 (d) f(x) = 2 sin(3x− 2) + 1

B?? Oefening 12. Een draaimolen op de kermis maakt horizontale en verticale bewegingen. De hoogte (in meter) van devloer van de attractie in functie van de tijd t (in seconden) is

h(t) = 1, 8 sin

3(t− 3)

)+ 2, 3.

(a) Hoe hoog bevindt de vloer zich bij de start?

(b) Plot de grafiek van h(t) met behulp van je grafische rekenmachine. Noteer de vensterinstellingen waarvoor degrafiek duidelijk op je grafische rekenmachine verschijnt en neem een schets over op je blad.

(c) Een toeschouwer laat zijn tas met hoogte 20 cm vallen. Dreigt de tas verpletterd te worden? Los algebraısch op.

(d) Hoe lang bevindt de vloer zich hoger dan 3 m per draaibeweging? Los op met behulp van je grafische rekenma-chine.

V Oefening 13. Van een fietser merkt men in het donker enkel de zijwaartse reflectorenvan de pedalen op. Voor het linkerpedaal wordt de beweging beschreven door

h(t) = 11 sin (πt) + 38

met h de hoogte (in centimeter) en t de tijd (in seconden).

(a) Bepaal een voorschrift van de functie die de beweging van het rechterpedaalbeschrijft.

(b) Bij elke omwenteling legt de fietser 10m af. Hoe snel rijdt de fietser? Zet om inkilometer per uur.

9Het is wel zo dat de enige continue periodieke functies zonder periode de constante functies zijn.10Johann Dirichlet 1829. De Dirichlet functie is een voorbeeld van een functie die nergens continu is, zie Deel Calculus.

II-67

Page 82: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

V Oefening 14. Beantwoord bij onderstaande functies telkens de volgende vragen.

(i) Is de functie periodiek? Zo ja, lees de periode af.

(ii) Stelt de functie een algemene sinusfunctie voor? Zo ja, bewijs je antwoord.

(iii) Is de functie even, oneven of geen van beiden? Indien even of oneven, bewijs je antwoord.

Maak hierbij gebruik van de formules van de goniometrie (zie Bijlage A). Bij vraag (h) steun je op Oefening 20.

y

2

graf f1

(a) f1(x) = 4 sinx+ sin(2x)

y

2

graf f5

(e) f5(x) = 8 sinx cosx

y

2

graf f2

(b) f2(x) = 6 sin2(x2

)− 2

y

2

graf f6

(f) f6(x) = sin2 x+ 3 sinx

y

2

graf f3

(c) f3(x) = 4− 8 tan4 x

1 + tan4 x

y

2

graf f7

(g) f7(x) =4000 cos(2x)

1000 + x2

y

2

graf f4

(d) f4(x) = sin

(x2 + 100

4

)

y

2

graf f8

(h) f8(x) = sin(2x) + 4 cos(2x)

II-68

Page 83: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

V Oefening 15. Een volwassene ademt gemiddeld 12 keer per minuut. De luchtstroomsnelheid L (in liter per seconde)is positief bij het inademen, negatief bij het uitademen. De luchtstroomsnelheid in functie van de tijd t (in seconden)wordt gegeven door de volgende grafiek.

1

−1

1 2 3 4 5 6−1−2

y

t

y = L(t)

Bij een grote inspanning wordt de periode van de ademhaling gedeeld door drie en wordt de luchtstroom vier keer zogroot. Geef een functievoorschrift van beide functies. Controleer met je grafische rekenmachine. Enkel roosterlijnengebruiken!

V? Oefening 16. Gegeven is de functief(x) = 3 sin2(5x).

(a) Schets de grafiek van f .

(b) Toon aan dat f een algemene sinusfunctie is en bepaal de periode van f .

V? Oefening 17. In een Amerikaanse staat snijden de wegen Highway 20 en Highway 32 elkaar loodrecht. In het land-schap ligt een boerderij, op 256 voet van Highway 20 en 108 voet van Highway 32. Men wil nu een nieuwe (rechte)weg aanleggen die Highway 20 en Highway 32 met elkaar verbindt en die de boerderij bereikt. Voor welke hoek α isde lengte van de nieuwe weg het kortst? Maak gebruik van je grafische rekenmachine.

Highway 32

Hig

hw

ay

20

boerderij

256 voet

108

voet

α

V?? Oefening 18. Een jager bevindt zich momenteel in een punt P langs een verharde, rechte weg. Hij wil zo snelmogelijk een uitkijktoren (punt R) in het bos bereiken. De uitkijktoren ligt op 1km afstand van een punt Q op deverharde weg. De afstand tussen de punten P en Q langs de weg bedraagt 4km. De jager besluit de weg een eindje tevolgen om vanaf punt S in vogelvlucht naar de uitkijktoren te stappen. Langs de weg stapt de jager aan een snelheidvan 7km/u en door het bos aan een snelheid van 2km/u. Onder welke hoek α moet de jager het bos ingaan om deuitkijktoren het snelst te bereiken? Los op met behulp van je grafische rekenmachine.

P S Q

R

1

verharde weg

bos

4

α

II-69

Page 84: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

U? Oefening 19 (astronomische daglengte). Onder astronomische daglengte verstaan we de tijd die verloopt tussenzonsopgang en zonsondergang. Die tijd varieert van dag tot dag. Bij het begin van de lente (21 maart) en de herfst(21 september) is de daglengte ongeveer 12 uur. Voor de daglengte in 2014 te Brugge hebben we de volgende gegevens:

datum dag van het jaar daglengte

1 januari 1 7u561 februari 32 9u111 maart 60 10u531 april 91 12u551 mei 121 14u471 juni 152 16u13

datum dag van het jaar daglengte

1 juli 182 16u281 augustus 213 15u211 september 244 13u321 oktober 274 11u361 november 305 9u401 december 335 8u12

(a) Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine de best passende algemene sinusfunctie (daglengte in functievan de tijd) waarvan de grafiek door deze punten gaat.

(b) Bepaal, uitgaande van de algemene sinusfunctie in (a), de periode.

(c) Bepaal met behulp van (a) de daglengte op 21 juni 2012, afronden op een minuut nauwkeurig (de werkelijkedaglengte was toen 16 uur en 47 minuten).

(d) Vallen de resultaten op vragen (b) en (c) binnen de verwachtingen? Waarom (niet)?

Aanwijzing bij (a). Het idee dat men bij een aantal meetpunten de ‘best passende’ functie vindt onder de veronderstel-ling dat het gaat om een verband als algemene sinusfunctie, noemt men sinusregressie. De werkwijze om sinusregressieuit te voeren met de grafische rekenmachine is analoog aan exponentiele regressie (zie Deel Precalculus 1).

3 Invoeren van de gegevens in een lijst.

STAT EDIT 1:Edit 1 ENTER 2 ENTER . . .

3 Plotten van de meetpunten.

2ND STAT PLOT 1:Plot1 opties wijzigen WINDOW GRAPH

3 Berekenen van de algemene sinusfunctie door de meetpunten.

STAT CALC C:SinReg L1 , L2 ENTER

II-70

Page 85: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Plotten van de algemene sinusfunctie.

Y= VARS 5:Statistics... EQ 1:RegEQ

GRAPH

U? Oefening 20 (lineaire combinatie van sinusfunctie en cosinus-functie). In een Cartesisch assenstelsel beschouwen we een punt P (a, b),met P 6= O. Noem c = |OP | en ϕ de hoek tussen de positieve x-as en dehalfrechte [OP (zie figuur). Bewijs de volgende gelijkheid van functies

a cosx− b sinx = c cos(x+ ϕ)

waarbij c =√a2 + b2 en tanϕ =

b

a.

y

x

c

b

a

P

ϕ

O

Oefeningen bij §4.4

Oefening 21. Ga na of de volgende functies periodiek zijn en zo ja bepaal de periode.

B (a) f(x) = −1

2tan

(πx− 1

5

)B? (d) f(x) = 3 sin(12x− 5)− 2 tan(18x− 7)

B (b) f(x) = −8 cot

(√5x+

7

6

)B?? (e) f(x) = 3 sec(

√2x)− 5 cosec(

√3x)

B? (c) f(x) = sin

(5πx

2

)+ cos (πx) V (f) f(x) = sinx+ cos(2x) + tan(3x)

B Oefening 22. Een wiskundige slinger heeft een lengte van 50 cm.

(a) Bereken de periode en de frequentie van de slingerbeweging.

(b) We verdubbelen de lengte van de slinger. Bepaal de nieuwe periode en de frequentie van de slingerbeweging.

B Oefening 23. De bewegingsvergelijking van een harmonische golfbeweging in een koord is

y = 0, 2 sin(2x− 600t).

Bepaal de amplitude, de ruimtelijke frequentie, de tijdsfrequentie, de voortplantingssnelheid en de golflengte.

B Oefening 24. Een lopende golf heeft amplitude 0, 15 m, frequentie 550 Hz en voortplantingssnelheid 330 m/s. Bepaalde bewegingsvergelijking van deze lopende golf.

II-71

Page 86: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

televisietoren Fernsehturm,Berlijn

B? Oefening 25. Elektromagnetische straling is de voortplanting door de ruimte vanelektrische en magnetische trillingen. Licht is een vorm van elektromagnetische stra-ling. Alle soorten elektromagnetische straling hebben in het vacuum een snelheid ge-lijk aan de lichtsnelheid, die ongeveer gelijk is aan 3·108 m/s. De bekendste toepassingvan elektromagnetische straling is het uitzenden van radio- en televisieprogramma’s.Een televisiezender is te ontvangen op 100 MHz.

(a) Bepaal het functievoorschrift van de harmonische beweging die het signaal re-presenteert.

(b) Bepaal de golflengte van het signaal.

B? Oefening 26. Een bepaalde groef van een grammofoonplaat loopt met een snelheidvan 0, 6 m/s aan de naald voorbij. Het voortgebrachte geluid heeft een frequentie van660 Hz. Bereken de golflengte van de in de plaat gegrifte groef.

B?? Oefening 27. Een massa van 100 gram voert een harmonische trilling uit met am-plitude 0, 050 m, pulsatie 3, 14 rad/s en beginfase π/8 rad.

(a) Bepaal de periode en de frequentie van de trillende massa. Afronden op twee decimalen nauwkeurig.

(b) Op welk ogenblik is de uitwijking respectievelijk maximaal en minimaal?

B?? Oefening 28. Een dobber trilt in stilstaand water. De veroorzaakte golven planten zicht voort met een snelheid van0, 8 m/s en de golflengte bedraagt 30 cm.

(a) Bereken de frequentie.

(b) Geef de bewegingsvergelijking van een punt op 2, 4 cm van het storingscentrum.

V? Oefening 29. Een man van 75 kg staat op het uiteinde van een springplank. Dit uiteinde zakt hierbij 0, 30m tenopzichte van zijn onbelaste stand. De man maakt een kleine opwaartse beweging. Bepaal de periode van de harmonischetrilling die het uiteinde van de plank krijgt.

U? Oefening 30 (som van harmonische golfbewegingen en interferentie). Interferentie is de samen- of tegenwer-king van verscheidene golfbewegingen op dezelfde tijd en plaats. Er kunnen zich verschillende verschijnselen voordoen,afhankelijk van de frequentie, amplitude en beginfase van de golven en de eigenschappen van het medium.In een medium zijn twee golven werkzaam, elk beschreven met een harmonische golfbeweging met dezelfde amplitude,golflengte en tijdsperiode. De absolute waarde van het verschil van de beginfasen wordt het faseverschil genoemd.

(a) Bepaal de voorwaarde(n) op het faseverschil waarvoor de som van beide golfbewegingen opnieuw een harmonischegolfbeweging is.

(b) Constructieve interferentie treedt op wanneer de amplitude van de harmonische golfbeweging maximaal is. Toonaan dat constructieve interferentie voorkomt precies wanneer het faseverschil 0 is. In dat geval zegt men datbeide golven in fase zijn.

(c) Destructieve interferentie treedt op wanneer de som van beide golfbewegingen de nulfunctie (in twee variabelen!)is. Toon aan dat destructieve interferentie voorkomt precies wanneer het faseverschil π is. In dat geval zegt mendat beide golven in tegenfase zijn.

Grafiek van twee harmonische golfbewegingen en hun som op een bepaald tijdstip t (faseverschil resp. 0, π/2, π en 3π/2).

U?? Oefening 31 (som van harmonische trillingen). Zij f1 en f2 twee harmonische trillingen met dezelfde frequentie

f1(t) = A1 sin(ωt+ ϕ1) en f2(t) = A2 sin(ωt+ ϕ2)

Toon aan dat f1 + f2 opnieuw een harmonische trilling is met dezelfde frequentie, i.e.

A1 sin(ωt+ ϕ1) +A2 sin(ωt+ ϕ2) = A sin(ωt+ ϕ)

waarbij

A =√A2

1 +A22 + 2A1A2 cos(ϕ2 − ϕ1) en tanϕ =

A1 sinϕ1 +A2 sinϕ2

A1 cosϕ1 +A2 cosϕ2

II-72

Page 87: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Inzicht in kinematica

K

R0 t

P (f(t), g(t))

Een stel parametervergelijkingen van een vlakke kromme K is een stelselvan de vorm

K :

{x = f(t)

y = g(t)waarbij t ∈ R

en waarbij f en g functies zijn. Een willekeurig punt P van de krommeK heeft dan coordinaten co(P ) = (f(t), g(t)) voor een zekere waarde t(zie rechterfiguur). Typisch is dat de parameter t waarden aanneemtdie beperkt worden tot een interval [a, b]. In kinematica11wordt een stelparametervergelijkingen gezien als de beweging van een punt P op eenkromme, waarbij de parameter t de tijd voorstelt.

1

2

−1

−2

1 2 3 4

y

x

P

t = −2

t = −1

t = 0

t = 1

t = 2

Voorbeeld 1. Een stel parametervergelijkingen van de paraboolP : y2 = x is bijvoorbeeld (zie rechterfiguur):

P :

{x = t2

y = twaarbij t ∈ R.

Voorbeeld 2. Een stel parametervergelijkingen van de cirkel C : x2+y2 = 1 met middelpunt de oorsprong O en straal 1 is bijvoorbeeld:

C :

{x = cos t

y = sin twaarbij t ∈ [0, 6π[.

Vatten we de parameter t op als tijd, dan wordt in het interval[0, 6π[ de cirkel C drie keer in tegenwijzerzin doorlopen.

Lissajousfiguren

Is bij zo’n stel parametervergelijkingen zowel f(t) als g(t) een harmonische trilling, dan spreekt men van eenLissajousfiguur12

L :

{x = A1 sin(ω1t+ ϕ1)

y = A2 sin(ω2t+ ϕ2)waarbij t ∈ R.

Als vereenvoudiging kiest men voor tijdstip t = 0 een snijpunt met de y-as: dan is x = 0 zodat we mogen stellendat ϕ1 = 0. De vorm van de figuur wordt beınvloed door de verhouding a/b. Met behulp van Toepassing 1 kunje aantonen dat de figuur een gesloten kromme is als en slechts als ω1/ω2 ∈ Q. Onderstaande figuur toont enkelevoorbeelden van Lissajousfiguren, waarbij telkens t ∈ [0, 2π[.

y

x

t = 0, π

t = π/2

t = 3π/2

x = sin t

y = 2 sin t

y

x

t = 0

t = π

x = sin t

y = 2 sin

(t+

4

)

y

x

t =0,π t= π2

t= 3π2

x = sin t

y = 2 sin (2t)

y

xt =0,π t= 3π

2

t= π2

x = sin(3t)

y = 2 sin (2t)

11Kinematica of bewegingsleer is een onderdeel van de klassieke mechanica dat de beweging van punten, objecten en groepen van objectenbeschrijft, waarbij de oorzaak van de beweging buiten beschouwing wordt gelaten. Dat laatste, meerbepaald het verband tussen kracht(en)en beweging, wordt bestudeerd in de dynamica.

12Lissajousfiguren werden voor het eerst bestudeerd door Nathaniel Bowditch 1815 en later in meer detail door Jules Antoine Lissajous1857.

II-73

Page 88: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 89: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Hoofdstuk 5

Cyclometrische functies

De sinusfunctie f(x) = sinx is niet inverteerbaar, omdat er bij sommige y-waarden meer dan een (zelfs oneindig veel)x-waarden horen. Om de zelfde reden zijn ook de elementaire cosinusfunctie en tangensfunctie niet inverteerbaar.Maar beperken we zo’n functie over een ’hoofdtak’, dan is deze wel inverteerbaar. De inverse functies van (beperkte)goniometrische functies worden cyclometrische functies genoemd. Hun toepassingsgebied ligt in het oplossen vangoniometrische vergelijkingen.

5.1 Elementaire cyclometrische functies

De boogsinusfunctie

3 Op ontdekking. Beschouw de sinusfunctie f(x) = sinx.

1

−1

y

x−π2

π2

π 3π2

2π 5π2

y = sinx

De sinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

Daarom beperken we de sinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval [−π/2, π/2]. We noemendit de beperkte sinusfunctie en noteren f(x) = Sinx. We zoeken de inverse functie van de beperkte sinusfunctie.

. Functievoorschrift: f(x) = Sinx . Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden: . Tabel van enkele functiewaarden:

x −π2

−π4

4

π

2

f(x) = y /// ///

y

x = g(y)

. Grafiek: . Grafiek:

1

−1

y

x−π2

π2

y = Sinx

1−1y

x

−π2

π2

II-74

Page 90: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt:

f(x) = y ⇔ x = g(y) .

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogsinusfunctie (of de arcsinusfunctie) en we

schrijven 1

g(y) = Arcsin y.

Zo wordt bovenstaande formule

sinx = y ⇔ x = Arcsin y x ∈[−π

2,π

2

], y ∈ [−1, 1].

. Elimineren van x respectievelijk y levert

sin(Arcsin y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] en Arcsin(sinx) = x voor alle x ∈[−π

2,π

2

].

3 Voorbeelden. Bepaal zonder grafische rekenmachine (exacte waarde noteren).

(a) Arcsin

(1

2

)= . . .

(b) Arcsin(−1) = . . .

(c) Arcsin

(−√

3

2

)= . . .

3 Boogsinusfunctie plotten met behulp van grafische rekenmachine.

Opmerking. Ongelukkig genoeg wordt de notatie voor Arcsinx in de grafische rekenmachine gegeven door“sin−1(x)”. Toch is duidelijk

Arcsinx 6= (sinx)−1 =1

sinx.

3 Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine.

(d) Arcsin(−0, 275) = . . .

(e) Arcsin(1, 3) = . . .

3 Meetkundige betekenis van de boogsinus.

Neem een waarde y ∈ [−1, 1]. Dan is sin(Arcsin y) = y, zodat Arcsin yeen hoekwaarde van een hoek α voorstelt waarvoor sinα = y (ziefiguur).

Die hoekwaarde is uitgedrukt in radialen en behoort tot[−π2 , π2

].

Omdat Arcsin y wordt uitgedrukt in radialen, is Arcsin y tevens delengte van bijhorende cirkelboog, voorzien van het teken (pagina 5).

Samengevat2:

De boogsinus van y is de boog waarvoor de sinus gelijk is aan y.

y

xO

α

y Arcsin y

C(O, 1)

1In de literatuur noteert men naast Arcsinx ook Bgsinx. Lees: ‘de arcsinus van y’ of ‘de boogsinus van y’. Analoog voor de arccosi-nusfunctie en de arctangensfunctie.

2In deze context bedoelen we met ‘de boog’: de lengte van de kortste cirkelboog op de goniometrische cirkel, met startpunt E0, voorzienvan het teken (pagina 5).

II-75

Page 91: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

De boogcosinusfunctie

3 Op ontdekking. Beschouw de cosinusfunctie f(x) = cosx.

1

−1

y

x−π2

π2

π 3π2

2π 5π2

y = cosx

De cosinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

Daarom beperken we de cosinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval [0, π]. We noemen ditde beperkte cosinusfunctie en noteren f(x) = Cosx. We zoeken de inverse functie van de beperkte cosinusfunctie.

. Functievoorschrift: f(x) = Cosx . Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden: . Tabel van enkele functiewaarden:

x 0π

4

π

2

f(x) = y /// ///

y

x = g(y)

. Grafiek: . Grafiek:

1

−1

y

xππ2

y = Cosx

1−1y

x

π

π2

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

f(x) = y ⇔ x = g(y) .

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogcosinusfunctie (of de arccosinusfunctie) enwe schrijven

g(y) = Arccos y.

Zo wordt bovenstaande formule

cosx = y ⇔ x = Arccos y x ∈ [0, π] , y ∈ [−1, 1].

. Elimineren van x respectievelijk y levert

cos(Arccos y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] en Arccos(cosx) = x voor alle x ∈ [0, π] .

II-76

Page 92: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Voorbeelden. Bepaal zonder grafische rekenmachine (exacte waarde noteren).

(a) Arccos

(1

2

)= . . .

(b) Arccos(−1) = . . .

(c) Arccos

(−√

3

2

)= . . .

3 Boogcosinusfunctie plotten met behulp van grafische rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is

Arccosx 6= (cosx)−1 =1

cosx.

3 Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine.

(d) Arccos(−0, 275) = . . .

(e) Arccos(1, 3) = . . .

3 Meetkundige betekenis van de boogcosinus.

Neem een waarde y ∈ [−1, 1]. Dan is cos(Arccos y) = y, zodat Arccos yeen hoekwaarde van een hoek α voorstelt waarvoor cosα = y (ziefiguur). Die hoekwaarde is uitgedrukt in radialen en behoort tot [0, π].

Omdat Arccos y wordt uitgedrukt in radialen, is Arccos y tevens delengte van de bijhorende cirkelboog.

Samengevat3:

De boogcosinus van y is de boog waarvoor de cosinus gelijk is aan y.

Analoog als bij goniometrische getallen kan men ook cyclometrische identiteiten bewijzen.

3 Modelvoorbeeld (identiteit).

(a) Bewijs de identiteit cot(Arccos y) =y√

1− y2.

(b) Bepaal het domein van de functie f(x) = cot(Arccosx).

y

xO

α

y

Arccos y

C(O, 1)

Bewijs.

(a) Noemen we x = Arccos y, dan is cosx = y, zodat (vul aan):

cot(Arccos y) = cotx

=cosx

sinx

=cosx

±√

1− cos2 xwant . . .

=cosx√

1− cos2 xwant . . .

=y√

1− y2want . . .

(b) We vinden dom f = {x ∈ R | cot(Arccosx) bestaat}

= . . .

3In deze context bedoelen we met ‘de boog’: de lengte van een kortste cirkelboog op de goniometrische cirkel, met startpunt E0.

II-77

Page 93: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

De boogtangensfunctie

3 Op ontdekking. Beschouw de tangensfunctie f(x) = tanx.

1

2

3

−1

−2

−3

y

x−π2

π2

π 3π2

2π 5π2

y = tanx

De tangensfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

Daarom beperken we de tangensfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval]−π2 , π2

[. We noemen

dit de beperkte tangensfunctie en noteren f(x) = Tanx. We zoeken de inverse functie van de beperkte tangens-functie.

. Functievoorschrift: f(x) = Tanx . Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden: . Tabel van enkele functiewaarden:

x −π2

−π4

4

π

2

f(x) = y /// ///

y

x = g(y)

. Grafiek: . Grafiek:

1

2

3

−1

−2

−3

y

x−π2

π2

y = Tanx

1 2 3−1−2−3y

x

−π2

π2

. De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogtangensfunctie (of de arctangensfunctie) enwe schrijven g(y) = Arctan y. Zo volgt uit bovenstaande tabel

tanx = y ⇔ x = Arctan y x ∈]−π

2,π

2

[, y ∈ R.

. Elimineren van x respectievelijk y levert

tan(Arctan y) = y voor alle y ∈ R en Arctan(tanx) = x voor alle x ∈]−π

2,π

2

[.

II-78

Page 94: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Voorbeelden. Bepaal zonder grafische rekenmachine (exacte waarde noteren).

(a) Arctan(√

3) = . . .

(b) Arctan (−1) = . . .

(c) Arctan

(−√

3

3

)= . . .

3 Boogtangensfunctie plotten met behulp van grafische rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is

Arctanx 6= (tanx)−1 =1

tanx.

3 Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine.

(d) Arctan(−12) = . . .

(e) Arctan(0, 12) = . . .

3 Meetkundige betekenis van de boogtangens.

Neem een waarde y ∈ R. Dan is tan(Arctan y) = y, zodat Arctan yeen hoekwaarde van een hoek α voorstelt waarvoor tanα = y (ziefiguur).

Die hoekwaarde is uitgedrukt in radialen en behoort tot]−π2 , π2

[.

Omdat Arctan y wordt uitgedrukt in radialen, is Arctan y tevens delengte van bijhorende cirkelboog, voorzien van het teken (pagina 5).

Samengevat4:

De boogtangens van y is de boog waarvoor de tangens gelijk is aan y.

y

xO 1

y

arctan y

α

C(O, 1)

3 Modelvoorbeeld (goniometrische getallen van cyclometrische waarden). Bepaal zonder het gebruikvan een grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren):

sin

(Arctan

(17

25

))

25

17

x

Oplossing. Noemen we x = Arctan(1725

), dan is tanx = 17

25 . Beschou-wen we een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 17 en 25, danzal de tangens van een van de hoeken gelijk zijn aan 17

25 (zie figuur).

Op die manier zien we in dat (vul aan):

sin

(Arctan

(17

25

))= sinx

=overstaande rechthoekszijde

schuine zijde

= . . .

Controle met de grafische rekenmachine. We vergelijken de exactewaarde met een decimale voorstelling van de opgave.

4In deze context bedoelen we met ‘de boog’: de lengte van de kortste cirkelboog op de goniometrische cirkel, met startpunt E0, voorzienvan het teken (pagina 5).

II-79

Page 95: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

5.2 Cyclometrische vergelijkingen

Aan de hand van enkele modelvoorbeelden bespreken we een werkwijze om cyclometrische vergelijkingen op te lossen.

In tegenstelling tot het oplossen van rationale en irrationale vergelijkingen zullen we het gebruik van de equivalentie⇔ niet langer volhouden, hetgeen betekent dat we o.a. bestaansvoorwaarden niet langer hoeven te vermelden. Wehanteren dus de implicatie ⇒, maar dienen op het einde van de oefening wel de kandidaat oplossingen te verifierendoor substitutie in de oorspronkelijke cyclometrische vergelijking5.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebraısch de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking

Arccos(1− 2x) =π

6.

Oplossing. Door van beide leden de cosinus te nemen, verkrijgen we:

Arccos(1− 2x) =π

6⇒ cos(Arccos(1− 2x)) = cos

(π6

)

⇒ 1− 2x =

√3

2

⇒ x =2−√

3

4.

Substitutie in de oorspronkelijke vergelijking geeft (vul aan):

Arccos(1− 2 · 2−√

3

4) = . . .

We besluiten dat (vul aan):

OplV = . . .

Uiteraard kon deze controle ook met behulp van de grafische rekenmachine uitgevoerd worden. Een efficientewerkwijze is het opslaan van de kandidaat oplossing en beide leden van de cyclometrische vergelijking berekenen(of het verschil daarvan).

Een alternatief - en handiger als er meerdere kandidiaat oplossingen zijn - is het verschil van beide leden alsfunctie ingeven en de functiewaarde van de de kandidaat oplossingen berekenen.

. . . STO>

VARS Y-VARS 1: Function 1:Y1

5Al is het zinvol om bij elke oefening na te gaan welke voorwaarden men moet vermelden opdat men elke implicatie ⇒ mag vervangendoor een equivalentie ⇔.

II-80

Page 96: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraısch de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking

Arcsinx+ Arcsin

(8

17

)=π

6.

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal algebraısch de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking

Arctan

(x

x− 1

)+ Arctan

(x

x+ 1

)+ Arctan 16 = 0.

Oplossing.

II-81

Page 97: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Oefeningen

5 Cyclometrische functies Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

5.1 Elementaire cyclometrische functies 125

235

245

257

8 9 10 11

5.2 Cyclometrische vergelijkingen 12 12 12 1213

1415

Oefeningen bij §5.1

B Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, argumenteer waarom.

(a) Arctanx =Arcsinx

Arccosxvoor x ∈ [−1, 1[ (c) De boogcosinus is een oneven functie.

(b) De boogsinusfunctie is een even functie. (d) Arcsin(sinx) = x voor alle x ∈ R

Oefening 2. Bepaal telkens zonder grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren).

B (a) Arccos

(−√

3

2

)B? (d) sin

(Arccos

(√2

2

))

B? (b) tan

(Arcsin

(−1

2

))B? (e) Arccos (sin(Arctan(−1)))

B? (c) sin

(2 Arctan

(√3))

B?? (f) cos

(2 Arcsin

(2

5

))

B? Oefening 3. Vereenvoudig algebraısch (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren):

Arcsin(−√32

)+ Arctan

(√33

)

Arctan(−√

3)−Arccos 0.

B?? Oefening 4. Bereken telkens zonder het gebruik van een grafische rekenmachine (tussenstappen opschrijven, exactewaarde noteren).

(a) cos

(Arctan

(3

4

)+ Arcsin

(4

5

))(d) sin

(Arccos

(28

53

)+ Arctan

(−56

33

))

(b) sin

(Arctan

(5

12

)+ Arcsin

(12

13

))(e) sin

(−Arccos

(80

89

))− cos

(Arcsin

(−80

89

))

(c) tan

(Arcsin

(8

17

)−Arctan

(8

15

))(f) tan

(Arcsin

(1√5

)−Arctan(−3)

)

Oefening 5. Bepaal het domein van de volgende functies (algebraısch of met behulp van elementaire functies).

B (a) f(x) = Arcsin(5x) B?? (d) f(x) = Arccos(x2 − 3)

B (b) f(x) = Arctan(x3 + 1) V (e) f(x) = Arccos

(6

πArcsinx

)

B? (c) f(x) = Arcsin

(1

x

)V (f) f(x) = Arcsin

(4

πArccos(2x)

)

V Oefening 6. Bereken telkens algebraısch (tussenstappen opschrijven, exacte waarde noteren).

(a) Arcsin

(sin

(32π

5

))(c) Arcsin

(sin

(37π

5

))

(b) Arcsin

(sin

(39π

5

))(d) Arccos

(cos

(36π

5

))

V Oefening 7. Beschouw de functie f(x) = Arccos(a ·Arcsinx) waarbij a ∈ R+0 .

(a) Bepaal de waarde(n) van a waarvoor het domein van f zo groot mogelijk is.

(b) Bepaal de waarde(n) van a waarvoor dom f =

[−1

2,

1

2

].

II-82

Page 98: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

V? Oefening 8. Bewijs dat Arctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = π.Aanwijzing. Maak gebruik van nevenstaande figuur.

U Oefening 9 (samenstelling van een goniometrische met eencyclometrische functie). Bewijs de volgende identiteiten.

◦ Arcsinx Arccosx Arctanx

sin x√

1− x2 x√1 + x2

cos√

1− x2 x1√

1 + x2

tanx√

1− x2

√1− x2x

x

A

B C D

E

U? Oefening 10 (verband tussen boogsinus en boogcosinus). Bewijs de identiteit Arcsin y + Arccos y =π

2.

U?? Oefening 11 (boogcotangensfunctie en verband tussen boogtangens en boogcotangens). De beperktecotangensfunctie f(x) = Cotx is de functie die men bekomt door de cotangensfunctie te beperken tot het interval[0, π]. De boogcotangensfunctie (of arccotangensfunctie) is dan de inverse functie van de beperkte cotangensfunctie.Je gaat eenvoudig na dat

cotx = y ⇔ x = Arccot y x ∈]0, π[, y ∈ R.

(a) Bewijs de identiteit Arccot y = Arccos

(y√

1 + y2

).

(b) Plot de grafiek van de boogcotangensfunctie met behulp van je grafische rekenmachine.

(c) Is Arccot y gelijk aan1

Arctan y? Argumenteer je antwoord.

(d) Bewijs de identiteit Arctan y + Arccot y =π

2.

Oefeningen bij §5.2

Oefening 12. Bepaal algebraısch de oplossingsverzameling van de volgende cyclometrische vergelijkingen. Controleerje oplossingen nadien met je grafische rekenmachine.

B (a) Arcsinx+ Arcsin

(3

5

)=π

2B?? (d) Arctanx = Arccos

(1

2

)+ 2 Arctan

(1

3

)

B? (b) Arctan(1) + Arctan(x) + Arctan(2x) = −π2

B?? (e) Arctan

(x+ 1

x+ 2

)−Arctan

(x− 1

x− 2

)= Arccos

(3√

13

13

)

B? (c) Arctanx+ Arctan(x

2

)=π

4V (f) Arccos

(√2− x

)+ Arcsin

(2x√

7

)=π

2

V Oefening 13 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985).Los volgende vergelijking op in R (algebraısch oplossen, controle kan met de rekenmachine).

Arcsin(x

2

)−Arcsin (2x) =

π

6

V Oefening 14. Zij a ∈ R+0 .

(a) Toon aan dat Arctan

(1

1 + a

)∈]0,π

4

[.

(b) Toon aan dat Arctan

(1

a

)= Arctan

(1

1 + a

)+ Arctan

(1

1 + a+ a2

).

V? Oefening 15 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).Bereken x uit de vergelijking

4 Arctan

(1

5

)−Arctan

(1

239

)= Arctanx.

II-83

Page 99: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Inzicht in geschiedenis van de wiskunde

Het spreekt voor zich dat alle cirkels gelijkvormig zijn. Achterdeze eenvoudige waarneming schuilt een diepzinnig resultaat:voor alle cirkels is de verhouding van de omtrek tot de diameterdezelfde. Deze constante6 noemen we het getal π. Hieruit volgtdat de omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan 2πr.

De oppervlakte van een cirkel met straal r kan gevonden wordendoor de oppervlakte van een ingeschreven regelmatige n-hoek teschrijven in functie van de omtrek van die n-hoek (zie rechterfi-guur) en daarna de limiet te nemen voor n→ +∞:

opp. cirkel = limn→+∞

(opp. n-hoek)

= limn→+∞

1

2hn × (omtrek n-hoek)

=1

2lim

n→+∞hn × lim

n→+∞(omtrek n-hoek)

=1

2r × 2πr = πr2

h5

r

b5

opp. vijfhoek = 5× opp.

= 5× b5 · h5

2

=1

2h5 × (omtrek vijfhoek)

Om in de praktijk de omtrek of oppervlakte van een cirkel te berekenen moeten we een benadering voor de waardevan π kennen. Al in het oude Egypte kende men de benadering π ≈ (16/9)2 = 3,1604 . . ., correct tot op eendecimaal. Doorheen de geschiedenis heeft men steeds betere technieken ontwikkeld om de waarde van π af te schatten.

1

b5B5

α

omtrek ingeschr. vijfhoek = 5× b5

= 5× 2 sinα

= 2 · 5 sin(π5

)

omtrek omgeschr. vijfhoek = 5×B5

= 2 · 5 tan(π5

)

In de klassieke oudheid benaderde Archimedes van Syracuse(287 v.Chr. - 212 v.Chr.) het getal π met behulp van ingeschre-ven en omgeschreven regelmatige veelhoeken. Voor een cirkel metstraal 1 geldt (vierde jaar, zie rechterfiguur):

omtrek ingeschr. n-hoek = 2n sin(πn

)

omtrek omgeschr. n-hoek = 2n tan(πn

)

zodat voor elk natuurlijk getal n > 3 geldt7

n sin(πn

)< π < n tan

(πn

)

Passen we deze ongelijkheden toe voor n = 6 dan vinden we alvastdat 3 < π < 6/

√3. Voor n = 12 berekenen we sin(π/12) en

tan(π/12) met behulp van de formules van Carnot uit cos(π/6),waaruit

6

√2−√

3 < π < 12

√2−√

3√2 +√

3.

Herhalen we deze werkwijze voor n = 24, n = 48 en tenslotte n = 96 dan verkrijgen we uiteindelijk

48

√√√√2−

2 +

√2 +

√2 +√

3 < π < 96

2−√

2 +

√2 +

√2 +√

3√

2 +

√2 +

√2 +

√2 +√

3

(1)

Berekenen we linker-en rechterlid, dan verkrijgen we 3, 1410 . . . < π < 3, 1425 . . .. Door dit handmatig af te schattentot eenvoudige ongelijkheden bewees Archimedes zijn genialiteit:

3 +10

71< π < 3 +

10

70.

Het gemiddelde van deze grenzen geeft een benadering π ≈ 3,14185 . . . die juist is tot op drie cijfers na de komma.

7Het getal π is per definitie gelijk aan C/D waarbij C de omtrek is van een willekeurige cirkel en D de diameter van die cirkel. Dezedefinitie en bovenstaande afleiding voor de omtrek en oppervlakte van een cirkel zijn afkomstig van Archimedes, waarbij we de door hemgebruikte uitputtingsmethode vertaald hebben naar het hedendaagse begrip limiet, zie Deel Rijen. De notatie π werd ingevoerd doorWilliam Jones 1706 als afkorting voor perimeter, een synoniem voor omtrek.

6Nemen we in de linkerongelijkheid de limiet voor n → +∞ dan verwijst dit naar het belangrijk resultaat limx→0

sinx

x= 1, een stelling

die in Deel Rijen formeel bewezen wordt.

II-84

Page 100: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

In de eeuwen daarna werd π berekend in India en China. Rond 265 gebruikte ook de Chinese wiskundige Liu Huiveelhoeken. Hij bedacht dat het verschil tussen de oppervlakte van een ingeschreven n-hoek en een ingeschreven

n/2-hoek ongeveer gelijk is aan 1/4 en dat hielp hem om π te schatten op 3,1416, een resultaat die hij controleerdemet de methode van Archimedes voor de in- en omgeschreven regelmatige 3072-hoek.

Tijdens de middeleeuwen bleken alle pogingen om deze benadering van π te verbeteren vruchteloos. Uiteindelijkslaagde Francois Viete 1579 er in om π te benaderen tot op 9 decimalen. Hij deed dit door de methode vanArchimedes toe te passen voor de regelmatige 393 216-hoek. Vermeldenswaardig is ook zijn ontdekking uit 1593 dat

π = 2 · 2√2· 2√

2 +√

2· 2√

2 +√

2 +√

2

· 2√2 +

√2 +

√2 +√

2

· . . .

wat bekend staat als het eerste ‘oneindig product’ in de geschiedenis van de wiskunde (zie Deel Reeksen).

In 1580 vond7 Adriaan van Roomen na jaren van rekenwerk een benadering tot op 20 decimalen. Hiervoorgebruikte hij een regelmatige 230-hoek. Zijn interesse in π was mede te danken aan het werk van zijn vriend Ludolphvan Ceulen , degene die de methode van Archimes tot een climax bracht door met behulp van de regelmatige6 · 260-hoek het getal π te bepalen tot op 35 decimalen (1596, 1616). Na zijn dood heeft zijn vrouw de 35 decimalenin zijn grafsteen in de Leidse Pieterskerk laten beitelen, wat meteen de eerste wetenschappelijke publicatie op eengrafsteen was. In de oudere Duitse literatuur en tot op heden in Tsjechie en Slowakije, wordt het getal π aangeduidals ’getal van Ludolph’ ter ere van zijn levenswerk.

Elk van bovenstaande benaderingen zijn gebaseerd op ongelijkheden zoals (1) op de vorige pagina, een streling voorhet oog maar een nachmerrie voor de pen: men moest bij elke stap handmatig een vierkantswortel berekenen. Voorvan Ceulen betekende dat 60 vierkantswortels berekenen, elk van hen nauwkeurig tot op 35 plaatsen na de komma.

Een alternatieve en meer efficiente methode liet op zich wachten tot de verdere ontwikkeling van de wiskunde. In 1671bewees8 James Gregory dat de boogtangens kan geschreven worden als een ‘oneindige som’ (zie Deel Reeksen)

Arctanx = x− x3

3+x5

5− x7

7+x9

9− x11

11+x13

13− . . . voor x ∈ [−1, 1]. (2)

Stellen we x = 1 dan vinden we de zogenaamde reeks van Leibniz9

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− 1

11+

1

13− . . .

Hoe merkwaardig dit resultaat ook moge zijn, omwille van de zogenaamde trage convergentie doet het geen dienstom het getal π te benaderen: het optellen van de eerste 300 termen in het rechterlid geeft een slechts een benaderingvan π nauwkeurig tot op een cijfer na de komma.Het was Leonhard Euler die in 1779 een algemene techniek bedacht om de reeksontwikkeling van de boogtangens(2) erg zinvol aan te wenden. Naarmate x dichter bij 0 ligt, zal de reeks sneller convergeren. Anderzijds is hetvermijden van vierkantswortels wenselijk, zodat de berekeningen tot een minimum herleid worden. Dat kan alsvolgt: nemen we twee hoeken α, β ∈]− π/2, π/2[ en stellen we x = tanα, y = tanβ dan geeft de somformule

tan (α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ⇒ tan(Arctanx+ Arctan y) =

x+ y

1− xy .

Indien |Arctanx+ Arctan y| < π/2 dan volgt hieruit samenstellingsformule

Arctanx+ Arctan y = Arctan

(x+ y

1− xy

). (3)

Hierin koos Euler zorgvuldig de volgende waarden voor x en y:

. x = 1/2 en y = 1/3 zodat Arctan(12

)+ Arctan

(13

)= π

4

. x = 1/2 en y = −1/7 zodat Arctan(12

)−Arctan

(17

)= Arctan

(13

)

. x = 1/3 en y = −1/7 zodat Arctan(13

)−Arctan

(17

)= Arctan

(211

)

. x = 2/11 en y = −1/7 zodat Arctan(

211

)−Arctan

(17

)= Arctan

(379

)

Aan elkaar rijgen van deze vier formules resulteert in de volgende formule van Euler

π = 20 Arctan

(1

7

)+ 8 Arctan

(3

79

).

Gebruiken we slechts zes termen van de reeksontwikkeling van de boogtangens (2), dan verkrijgen we een benadering

9Adriaan van Roomen was een Vlaamse arts en wiskundige, die ook bekend is onder zijn Latijnse naam Adrianus Romanus.10Deze reeksontwikkeling voor Arctanx werd eerder in versvorm beschreven door de Indische wiskundige Nilakantha Somayaji 1501.11Genoemd naar Gottfried Wilhelm Leibniz die in 1674 deze reeks vond, onafhankelijk van de resultaten van Gregory en Nilakantha.

II-85

Page 101: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

die correct is tot op 10 decimalen, beter dan Viete die daarvoor 17 genestte vierkantswortels moest berekenen:

π=20 Arctan

(1

7

)+ 8 Arctan

(3

79

)

≈20

[1

7− (1/7)3

3+

(1/7)5

5− (1/7)7

7+

(1/7)9

9− (1/7)11

11

]+8

[3

79− (3/79)3

3+

(3/79)5

5− (3/79)7

7+

(3/79)9

9− (3/79)11

11

]

=3,141 592 653 574 . . .

Op deze manier kon Euler in slechts een uur tijd 20 decimalen van π berekenen en deed daarmee zijn bijnaam deincarnatie van efficientie alle eer aan. Eerder vond John Machin 1706 op een soortgelijke maar specifieke manier debekende formule van Machin (hoewel deze trager convergeert dan de voorgenoemde reeks van Euler), waarmee hij πbepaalde tot op 100 decimalen

π = 16 Arctan

(1

5

)− 8 Arctan

(1

239

)

Later kwamen soortgelijke, meer efficiente formules aan het licht. In 1948, vlak voor de komst van computeralgebra,was π bekend tot op 808 decimalen. In 1949 gebruikten John Wrench and Levi Smith een rekenmachine om zo1120 decimalen te verkrijgen. Later in dat jaar berekende de eerste computer ENIAC, onder leiding van Johnvon Neumann , na 70 uur werktijd 2037 decimalen van π. De records, waarvoor men nog steeds steunde op dereeksontwikkeling van de boogtangens (2), volgden elkaar snel op: 7480 decimalen in 1957, 10 000 decimalen in 1958,100 000 decimalen in 1961, 1 000 000 decimalen in 1973. Rond 1980 vond men nieuwe formules om π te berekenen.Onderstaande figuur heeft de evolutie van deze records weer.

In 2011 berekenden Alexander Yee and Shigeru Kondo π tot op 10 biljoen (1013) decimalen. De berekening duurde371 dagen en het werkgeheugen nam 44 terrabyte in beslag. De computer maakte gebruik van de formule vanChudnovsky, gevonden door broers David en Gregory Chudnovsky in 1987:

1

π=

√10005

4270934400

+∞∑

k=0

(−1)k(6k)!

(k!)3(3k)!

(13591409 + 545140134k)

6403203k.

en de decimale ontwikkeling werd geverifieerd door onder andere de formule van Plouffe, ontdekt door12 SimonPlouffe in 2006:

π =

+∞∑

k=0

1

16k

(4

8k + 1− 2

8k + 4− 1

8k + 5− 1

8k + 6

).

Men kan zich de vraag stellen welk nut het heeft om zoveel decimalen van π te kennen. Voor dagelijks gebruikvolstaat een handvol cijfers na de komma en volgens Jorg Arndt and Christoph Haenel zijn 39 decimalen voldoendeom de meeste kosmologische berekeningen uit te voeren: 39 decimalen volstaan om het volume van het universum teberekenen met een nauwkeurigheid tot op atoomschaal. Het berekenen van decimalen vindt dan ook zijn motivatiein het testen van supercomputers, numerieke algoritmen en het voorzien van data om de willekeur in de decimalenvan π te begrijpen. Zo is het tot op heden onbekend of π een zogenaamd13 normaal getal (in basis 10) is: komt inde decimale voorstelling van π elk cijfer voor met frequentie 1/10, elk tweetal cijfers voor met frequentie 1/100, elkdrietal cijfers voor met frequentie 1/1000, . . . ? In feite weten we zelfs niet of in de decimale voorstelling van π hetcijfer 2 oneindig veel keer voorkomt.

13Het geniale van de formule van Plouffe is dat het toelaat om in het binaire talstelsel een cijfer te berekenen zonder de voorafgaandecijfers te kennen. Plouffe is ook bekend voor zijn web-site Plouffe’s Inverter , een database dat meer dan 215 miljoen constanten uit dewiskunde bevat.

14Het begrip normaal getal werd ingevoerd door Emile Borel in 1909.

II-86

Page 102: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 103: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Bijlage A

Formules van de goniometrie - Overzicht

definities tanαdef=

sinα

cosαcotα

def=

cosα

sinα

secαdef=

1

cosαcosecα

def=

1

sinα

grondformule sin2 α+ cos2 α = 1

aanverwanten 1 + tan2 α =1

cos2 α1 + cot2 α =

1

sin2 α

som- en verschilformules sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

tan(α± β) =tanα± tanβ

1∓ tanα tanβ

verdubbelingsformules sin(2α) = 2 sinα cosα cos(2α) = cos2 α− sin2 α

tan(2α) =2 tanα

1− tan2 α

formules van Carnot sin2 α =1− cos(2α)

2cos2 α =

1 + cos(2α)

2

halveringsformules sin(a

2

)= ±

√1− cos a

2cos(a

2

)= ±

√1 + cos a

2

t-formules sinα =2t

1 + t2

cosα =1− t21 + t2

met t = tan(α

2

)

tanα =2t

1− t2

som-naar-product formules sin a+ sin b = 2 sin

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)sin a− sin b = 2 sin

(a− b

2

)cos

(a+ b

2

)

(formules van Simpson)

cos a+ cos b = 2 cos

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

)cos a− cos b = −2 sin

(a− b

2

)sin

(a+ b

2

)

product-naar-som formules sin p cos q =1

2

(sin(p+ q) + sin(p− q)

)cos p sin q =

1

2

(sin(p+ q)− sin(p− q)

)

(omgekeerde formules van

Simpson) cos p cos q =1

2

(cos(p+ q) + cos(p− q)

)sin p sin q = −1

2

(cos(p+ q)− cos(p− q)

)

II-87

Page 104: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)
Page 105: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Hoofdstuk 1

(1) 0 (de nulhoek) en ω (de gestrekte hoek)

(4) (a) α = π

(b) β = −3π

4

(c) γ =5π

36

(d) θ =6017π

10 800

(5) (a) α = 17, 4680308 . . .

(b) β = 1, 09977559 . . .

(6) α (in graden) 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

α (in radialen) 0π

6

π

4

π

3

π

2

(7) (a) α = 57◦17′44, 80 . . .′′

(b) β = 423◦59′19, 56 . . .′′

(8) (a) α = 270◦

(b) β = −120◦

(c) γ = 15◦

(d) θ = 78◦45′

(9) α = π/3, β = π/2, γ = π/4, δ = 2π/3, ε = π/6

(10) (a) 55, 1873 . . . cm

(b) 3, 4862 . . . cm

(11) (a) In een zeemijl gaan er 1, 85 . . . kilometer.

(b) Het vliegtuig legt een afstand af van 9456, 10 . . . km.

(12) (a) α =π

3+ k 2π (k ∈ Z)

(b) β =π

9+ k

3(k ∈ Z)

(13) Dan is het achterste tandwiel gedraaid over een hoek van 12, 33 . . . radialen.

(15) (C)

(17) cosα = ±4

5en tanα = ±3

4

(18) tanβ = −4

3en cosβ = ±3

5

(19) cosecα+ cotα =29

15

(21) (D)

II-88

Page 106: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Hoofdstuk 2

(2) (B)

(3) (a) −1

2(b) 1

(c) −1

2

(d) −1

2

(e) − 1√3

(f) −1

(g) −√

3

2

(h) − 2√3

(i) −√

3

2

(j) −√

2

2

(4) (a) sinα

(b) 0

(5) (a) cos 45◦ of ook sin 45◦

(b) − sin 85◦ of ook − cos 5◦

(c) − tan 20◦ of ook − cot 80◦

(d) cos 26◦ of ook sin 64◦

(e) sin

(2π

7

)of ook cos

(3π

14

)

(f) sin

(3π

7

)of ook cos

( π14

)

(g) cot(π

5

)of ook tan

(3π

10

)

(h) tan

(2π

17

)of ook cot

(13π

17

)

(i) − cos 86◦ of ook − sin 4◦

(j) − sec(π

5

)of ook − cosec

(3π

10

)

(6) (B)

(7) 1

(8) 1

(9) (A)

(12) (a)

√2 +√

6

4

(b)1 +√

3

1−√

3

(c) −√

2

2

(d)

√2−√

6

4

(e)

√6−√

2

4

(f)3 +√

3

3−√

3of ook

√3 + 1√3− 1

II-89

Page 107: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

(14) secx

(15) (B)

(16)1

2sinx

(17) 150

(18) 2

(21) tan θ =x

x2 + 2, 8125

(22) α = 43◦

(23) q

(25) sin(α+ β + γ) = sinα cosβ cos γ + cosα sinβ cos γ + cosα cosβ sin γ − sinα sinβ sin γcos(α+ β + γ) = cosα cosβ cos γ − sinα sinβ cos γ − sinα cosβ sin γ − cosα sinβ sin γ

(27) (a)1 + t2

2(1 + t+ t2)waarbij t = tan

(α2

)

(b)1− t2

2waarbij t = tan

(α2

)

(c)1 + t2

2t(3 + 2t)waarbij t = tan

(α2

)

(28) (a) ±√

6

6

(b) ±√

30

6

(c) −√

5

5

(29) (a) −24

25

(b)7

25

(c) −24

7

(d) −336

625

(30)

√2−√

2

2 +√

2

(31) 1/3

(32)1

289

(36) (a) 2 sin(5a) cos(2a)

(b) −2 sin(3a) sin(2a)

(c)√

2 cos(π

4− a)

(d) 4 sin(2a) cos

(3a+ π

6

)cos

(3a− π

6

)

(e) 4 cos(5a) cos

(3a+ π

6

)cos

(3a− π

6

)

(f) 2 tan a cos2(a

2

)

(37) (a)1

4

(b)1

4

(c)3

16

II-90

Page 108: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

(39) 3

(40) − cot(4a)

(43) 3/4

(45) 2 tan(2a) cos a of ook4 sin a

1− tan2 a

(48)

√2 +√

2

2−√

2

(49) a = 3 en b = 11/4

Hoofdstuk 3

(1) (a) x =5π

6+ k 2π of x = −5π

6+ k 2π (k ∈ Z)

(b) x =π

4+ k π (k ∈ Z)

(c) geen oplossingen

(d) x =π

6+ k

3of x = −π

6+ k

3(k ∈ Z)

(e) x = −π6

+ kπ

2(k ∈ Z)

(f) x =8π

3− k 4π (k ∈ Z)

(g) x =π

4+ k π (k ∈ Z)

(h) x =5π

12+ k

π

2(k ∈ Z)

(2) (a) x = 0, 1489 . . .+ k2π

3of x = 0, 8982 . . .+ k

3(k ∈ Z)

(b) x = −0, 8480 . . .+ k 2π of x = 3, 9896 . . .+ k 2π (k ∈ Z)

(c) x = 0, 1224 . . .+ kπ

4(k ∈ Z)

(d) x = ±9, 5531 . . .− k 10π (k ∈ Z)

(3) (a) x = ±2π

3+ k 2π (k ∈ Z)

(b) x =7π

2+ k 6π of x = −π + k 6π (k ∈ Z)

(c) x =π

5+ k

5of x = π − k 2π (k ∈ Z)

(d) x =π

3+ k π (k ∈ Z)

(e) x = kπ

4(k ∈ Z \ {±2,±4,±6, . . .})

(4) (a) x = ±π2

+ k 2π of x = π + k 2π (k ∈ Z)

(b) x = 1, 1483 . . .+ k π of x = −0, 2210 . . .+ k π (k ∈ Z)

(c) x = ±π2

+ k 2π of x = 0, 4636 . . .+ k π (k ∈ Z)

(d) x = ±π2

+ k 2π of x =π

3+ k 2π of x =

3+ k 2π (k ∈ Z)

(e) geen oplossingen

(f) x = − π

12+ kπ (k ∈ Z)

(g) x = ±0, 8397 . . .+ k 2π of x = ±2, 3018 . . .+ k 2π (k ∈ Z)

(h) x = ±π6

+ k π (k ∈ Z)

(i) x = ±π4

+ k π of x = ±π3

+ k π (k ∈ Z)

(j) x =π

4+ k π (k ∈ Z)

II-91

Page 109: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

(5) (a) x = −π2

+ k 2π of x = π + k 2π (k ∈ Z)

(b) x = ±π2

+ k 4π (k ∈ Z)

(c) x = ±π2

+ k 2π of x = 1, 1071 . . .+ k π of x = 0, 4636 . . .+ k π (k ∈ Z)

(d) x = ±π4

+ k 2π of x = ±3π

4+ k 2π (k ∈ Z)

(e) x = k π of x =π

2+ k π of x = ±0, 6154 . . .+ k π (k ∈ Z)

(f) x = k π of x = kπ

5(k ∈ Z)

(g) x = ±π6

+ k 2π of x =5π

6+ k 2π of x =

6+ k 2π of x =

π

2+ k 2π (k ∈ Z)

(h) x = −0, 2578 . . .+ k 2π of x = 0, 9013 . . .+ k 2π (k ∈ Z)

(i) x = ±π2

+ k 2π of x = k π (k ∈ Z)

(j) geen oplossingen

(6) x = ±π8

+ kπ

2of x = k

π

2of x =

π

6+ k

π

3(k ∈ Z)

(7) x = ±π6

+ k2π

3of x = ± π

12+ k

3of x =

12+ k

3(k ∈ Z)

(8) x = −15◦ + k 120◦ of x = 45◦ + k 120◦ (k ∈ Z)1155◦, 1185◦, 1275◦, 1305◦, 1395◦, 1425◦

(10) x = −0, 6482 . . . + k 2π of x = 1, 1439 . . . + k 2π of x = 1, 9976 . . . + k 2π of x = 4, 6858 . . . + k 2πof x = −1, 7231 . . .+k 2π of x = 0, 0689 . . .+k 2π of x = 3, 0726 . . .+k 2π of x = 4, 8647 . . .+k 2π(k ∈ Z)

(11) x = ±π6

+ kπ (k ∈ Z)

(12) x = −π2

+ k 2π of x = π + k 2π (k ∈ Z)

(13) (a) −π3

+ k 2π ≤ x ≤ 4π

3+ k 2π (k ∈ Z)

(b) −π4

+ kπ

2< x < 0, 1608 . . .+ k

π

2(k ∈ Z)

(c)3π

4+ k π < x <

13π

12+ k π (k ∈ Z)

(d) k 4π < x < 3π + k 4π (k ∈ Z)

(e) geen oplossingen

(f) −14π

45+ k

3< x < −4π

45+ k

3(k ∈ Z)

(g)π

6+ k

π

2< x <

12+ k

π

2(k ∈ Z)

(h)5π

12+ k π < x <

π

2+ k π of

π

2+ k π < x <

12+ k π (k ∈ Z)

(14) −π6

+k 2π < x < 0, 3747 . . .+k 2π of 2, 7668 . . .+k 2π < x <7π

6+k 2π of

π

6+k 2π < x <

6+k 2π (k ∈ Z)

(15)3π

4+ k 2π ≤ α ≤ 5π

6+ k 2π (k ∈ Z)

Hoofdstuk 4

(1) (a) halfperiodiek

(b) periodiek, periode 1

(c) Deze grafiek stelt niet de grafiek van een functie voor.

(d) halfperiodiek

II-92

Page 110: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

(2) (a) vals

(b) vals

(c) waar

(d) waar

(e) vals

(4) 63 snijpunten

(5) f(x) = 1, 75 sin

(5

4

(x− 3π

5

))− 2, 23

(6) (a) f(x) = 2 sin(3x)

(b) f(x) = 4 sin(

2x+π

2

)+ 2

(7) (a) f(x) = 3 sin

(2

(x− 10− π

4

))

(b) f(x) = 3 sin

(2

(x− 5− π

2

))

(c) f(x) = 3 sin

(2

(x− 5− π

2

))

(d) f(x) =√

2 sin(x+

π

4

)

(e) f(x) =2√3

sin

(2(x+

π

12

))

(f) f(x) =3

2sin(10x)− 1

(8) (a) f(x) =1

3sin

(2π

3x

)− 2

(b) f(x) = 2 sin(4x− π) + 1

(10) (b) ongeveer 12 uur, 4 minuten en 59 seconden

(12) (a) 2, 3m

(c) De tas dreigt niet verpletterd te worden.

(d) 2, 237 . . . seconden

(13) (a) f(t) = 11 sin (π(t− 1)) + 38

(b) 18km/u

(17) De lengte van de weg is minimaal voor α = 36◦52′12, 03 . . .′′.

(18) De jager bereikt de uitkijktoren het snelst als hij onder een hoek van α = 73◦23′54, 66 . . .′′ het bos ingaat.

(19) (b) 377, 06917 . . . dagen

(c) 16 uur en 21, 9 . . . minuten

(21) (a) periodiek met periode 1

(b) periodiek met periode π/√

5

(c) periodiek met periode 4

(d) periodiek met periode π/6

(e) niet periodiek

(f) periodiek met periode 2π

(22) (a) periode 1, 4185 . . . seconden, frequentie 0, 7049 . . .Hz

(b) periode 2, 0060 . . . seconden, frequentie 0, 4984 . . .Hz

(23) f = 0, 3183 . . .m−1, ν = 95, 4929 . . .Hz, v = 300m/s, λ = 3, 14 . . .m

(24) F (x, t) = 0, 15 sin

(10π

3x− 1100πt

)

II-93

Page 111: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

(25) (a) F (x, t) = A sin

(2π(x

3− 108t

))

(b) λ = 3m

(26) λ = 0, 001m

(27) (a) De periode is ongeveer 2, 00 seconden en de frequentie is ongeveer 0, 50Hz.

(b) De uitwijking is maximaal op tijdstippen t = 0, 375 . . .+ k · 2, 001 . . . seconden (k ∈ Z).De uitwijking is minimaal op tijdstippen t = 1, 375 . . .+ k · 2, 001 . . . seconden (k ∈ Z).

(28) (a) f = 2, 666 . . .Hz

(b) y(t) = A sin

(0, 16π − 16π

3t

)

(29) T = 1, 0987 . . . seconden

(30) (a) De som van beide golfbewegingen is opnieuw een harmonische golfbeweging als en slechts als het faseverschilniet gelijk is aan π.

Hoofdstuk 5

(1) (a) vals

(b) vals

(c) vals

(d) vals

(2) (a)5π

6

(b) − 1√3

(c)

√3

2

(d)

√2

2

(e)3π

4

(f)17

25

(3)1

5

(4) (a) 0

(b) 1

(c) 0

(d) − 83

3445

(e) −78

89

(f) −7

(5) (a)

[−1

5,

1

5

]

(b) R(c) ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[

(d)[−2,−

√2]∪[√

2, 2]

(e)

[−1

2,

1

2

]

(f)

[−√

2

4,

1

2

]

II-94

Page 112: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

(6) (a)2π

5

(b) −π5

(c) −2π

5

(d)4π

5

(7) (a) a ∈]0,

2

π

]

(b) a =π

6

(12) (a) OplV =

{4

5

}

(b) OplV =

{−3 +

√17

4

}

(c) OplV =

{−3 +

√17

2

}

(d) OplV = ∅

(e) OplV =

{−5

2, 1

}

(f) OplV =

{−7 +

√273

8

}

(13) OplV =

√17 + 4

√3

241

II-95

Page 113: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[6] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[7] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[8] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[9] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[10] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2000.

[11] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[12] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[13] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[14] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, (2014) 360 pagina’s.

[15] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007).

[16] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

[17] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3 (2014), 4-15.

[18] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[19] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[20] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.

[21] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002.

[22] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002.

[23] H.G. Dehling, J.N. Kalma Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, 2005.

[24] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9 (2006).

[25] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand onlinepublishing Lulu.com (2012) 110 pagina’s.

[26] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demandonline publishing Lulu.com (2013) 188 pagina’s.

xxii

Page 114: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

[27] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, 15 augustus 2013(aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[28] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1 (2014), 2-7.

[29] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014.

[30] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014.

[31] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[32] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[33] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[34] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[35] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49 (2007).

[36] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge.

[37] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

[38] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[39] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[40] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[41] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.

[42] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[43] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[44] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[45] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

[46] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn)(2006).

[47] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[48] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[49] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[50] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[51] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[52] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[53] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[54] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[55] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[56] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[57] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[58] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

xxiii

Page 115: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

[59] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005.

[60] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[61] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990.

[62] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[63] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[64] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[65] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[66] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

[67] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[68] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

[69] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[70] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

[71] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN978-90-357-1800-5, 2011.

[72] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[73] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[74] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[75] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[76] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015.

[77] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[78] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002.

[79] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005.

[80] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[81] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86 (1993), pp. 161-163.

[82] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.

[83] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[84] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[85] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.

[86] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[87] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[88] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010.

[89] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[90] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[91] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[92] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[93] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938.

[94] N.J. Schons en C. De Cock, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962.

xxiv

Page 116: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

[95] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[96] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[97] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[98] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[99] K. Sydsæter, P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[100] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[101] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[102] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[103] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[104] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn , Mechelen, 2014.

[105] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[106] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997.

[107] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

[108] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

[109] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[110] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 443-551.

[111] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[112] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[113] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

[114] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[115] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[116] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/ .

[117] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[118] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[119] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[120] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[121] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[122] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[123] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/ .

[124] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[125] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[126] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[127] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[128] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/ .

[129] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ .

xxv

Page 117: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

[130] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[131] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[132] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[133] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[134] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[135] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxvi

Page 118: Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto-verso)

c© 2013 Koen De Naeghelroyalty percentage: 0%

0610987813269

ISBN 978-1-326-06109-890000

Wiskunde In zicht is een cursus wiskunde bestemd voor leerlingen vande derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen metzes of acht wekelijkse lestijden wiskunde. Het werd ontworpen vanuit debehoefte aan een natuurlijke en correcte, maar toch haalbare benaderingvan basisconcepten in de wiskunde. Er werd bewust gekozen voor

3 een invulcursus, zodat de leerling ervaart hoe bepaalde oplossingsme-thoden opgebouwd worden, terwijl de leerkracht nog voldoende vrijheidheeft die methoden op zijn of haar eigen manier aan te brengen;

3 differentiatie door de oefeningen in verschillende niveaus op te delen,zodat de leerling zelfstandig kan werken, afgestemd op eigen niveau enwerktempo (Deel Portfolio wiskunde);

3 ontwikkelen van vaardigheden en attitudes waarbij getracht werdde kwaliteit van de wiskunde te respecteren (Deel Problem Solvingwiskunde, Deel Practicum wiskunde, Deel GeoGebra en Deel Maple).