Gebruiken

1Van planning naar SAT

Oplossen van SATDrie klassieke

algoritmen

Planning

Gebruiken



algoritmen

Planning

Opdracht 2

Deadline:

Vandaag, om 12u!



algoritmen

Planning

Waar zijn we nu?



algoritmen

Planning

Blokjeswereld

Blokjes: A, B, C

Greep G die één blokje kan verplaatsen

Wat moeten we doen om het doel te bereiken?



algoritmen

Planning

Gebruiken van kennis om een doel te bereiken: planning

• Kennis:– I: initiële toestand(en)– D: doeltoestand(en)– acties (overgangregels tussen de toestanden)

• Vind: een plan = lineaire reeks acties die van (een van) I naar (een van) D leiden – een pad in een toestandsruimte



algoritmen

Planning

Aannames: klassiek planning

• Toestandsruimte is– eindig– discreet– zichtbaar

• we hebben een volledige kennis over het toestand

• Toestandovergangen zijn– deterministisch– veroorzaakt alleen door het plan– momenteel



algoritmen

Planning

Blokjeswereld: predicaten

• Blokjes– opTafel(X), op(X,Y), vrij(X)

• Greep– leeg(X)

• Greep en blokje– houdtVast(X,Y)

• Geen functiesymbolen



algoritmen

Planning

Blokjeswereld

• Acties: naam + parameters

{opTafel(A), opTafel(B),

op(C, A), leeg(G),

vrij(C), vrij(B)}

• Verzameling van atomen zonder variabelen



algoritmen

Planning

Naïeve aanpak

• Probeer alle mogelijke overgangen totdat het doel bereikt is!



algoritmen

Planning

Beter idee: voor iedere actie

• naam: zetNeerOpTafel(X, Y)• parameters: X (greep), Y (blokje)

• literaal: atoom of negatie van een atoom

• pre: verzameling van literalen – {houdtVast(X,Y)}

• effect : verzameling van literalen– {houdtVast(X,Y), leeg(X), vrij(Y), opTafel(Y)}



algoritmen

Planning

Toepassing van acties

• Voor een verzameling literalen : + - deelverzameling van atomen - - deelverzameling van de negaties van atomen

• Actie a is toepasbaar op toestand s als– pre+(a) s, pre-(a) s =

• Toepassing van a op s is

(s,a) = s \ effect-(a) effect+(a)



algoritmen

Planning

Plan

• Plan = <a1, …, an>

– a1, …, an zijn acties

(s,<a1, …, an>) = – s, als n = 0 ((s, a1), <a2, …, an>), als n > 0 en a1 toepasbaar is op s

is toepasbaar op s als (s,) gedefinieerd is



algoritmen

Planning

(s) = { | is toepasbaar op s}

(s) = {(s,) | (s)}

Welke stelling is waar?

A. (s) is een eindige verzameling

B. (s) is een eindige verzameling

C. A en B zijn waar

D. Nog A nog B is waar



algoritmen

Planning

Plan

• Gegeven I en D, er bestaat een plan als

• Dus, bereken (s) voor alle sI en controleer (*)

Is

sD )( (*)



algoritmen

Planning

Het bestaan van een plan

• Toestandsruimte is eindig– het bestaan van een plan is beslisbaar

• Gegeven verzameling acties– Zonder negatieve effecten

• met negatieve pre: NP• alleen positieve pre: P

– Met negatieve effecten: PSPACE



algoritmen

Planning



algoritmen

Planning

Plan: Voorwaarts zoeken

Kies s uit I := lege planHerhaal

Als sD, stop, is een oplossingAnders,

Kies (niet deterministisch) aA toepasbaar op sAls er geen zijn, faal

Anders,s := (s,a) := .a

Invoer: A, I, D

Uitvoer:



algoritmen

Planning

I = {{waarde(v1,’Ma’), waarde(v2,’Di’), waarde(v3,’Wo’)}}

D = {{waarde(v1,’Di’), waarde(v2,’Ma’}}

A = {toekenning(v,w,x,y) | v,w{v1,v2,v3}, x,y {‘Ma’,’Di’,’Wo’}}, waar

• naam: toekenning(v,w,x,y)

• pre: waarde(v,x), waarde(w,y)

• effect: waarde(v,x), waarde(v,y)

Wat is het minimale aantal stappen die “V.z.” nodig heeft om een plan te vinden?



algoritmen

Planning

Eindigheid van het “voorwaarts zoeken” is niet gegarandeerd:

Hoe passen jullie het algoritme aan om dit probleem te vermijden?



algoritmen

Planning

Plan: Achterwaarts zoeken

Kies s uit D := lege planHerhaal

Als sI, stop, is een oplossingAnders,

Kies aA relevant is voor sAls er geen zijn, faal

Anders,s := -1(s,a) := a.

Invoer: A, I, D

Uitvoer:



algoritmen

Planning

Relevant? -1?

• Herh: actie a is toepasbaar op toestand s als– pre+(a) s, pre-(a) s =

• Actie a is relevant op toestand s als– effect+(a) s ≠ , effect-(a) s =

• Herh: toepassing van een toepasbare a op s is

(s,a) = s \ effect-(a) effect+(a)• Regressie van s voor a is

-1(s,a) = s \ effect(a) pre(a)



algoritmen

Planning

Als de niet deterministische keuze alle mogelijkheden doorloopt, dan

A. vindt “voorwaarts zoeken” alle plannen.

B. vindt “achterwaarts zoeken” alle plannen.

C. A en B zijn waar.

D. nog A nog B is waar.



algoritmen

Planning

Probleem

• Zoekruimte kan enorm zijn

• Doel:– zoekruimte verkleinen– maar dan kunnen we ook sommige plans

missen…• volledigheid wordt opgeofferd



algoritmen

Planning

(1) Kies s uit D(2) := lege plan(3) Herhaal(4) Als sI, stop, is een oplossing(5) Anders, (6) Kies aA relevant voor s(7) Als er geen zijn, faal(8) Anders,(9) D’ := alle toestanden z.d. pre(a)

geldt(10) ’:= STRIPS(I,A,D’)(11) Als ’ faalt, faal(12) Anders(13) s := ((s, ’),a)(14) := . ’.a

Achterwaarts – volledigheid = STRIPS



algoritmen

Planning

• Acties: blokje nemen, blokje neerzetten.

• Hoeveel stappen telt door STRIPS gevonden plan voor?



algoritmen

Planning

Antwoord…

KBS/planningVideo.avi



algoritmen

Planning

STRIPS vs. Achterwaarts zoeken

• Recursieve oproep: één onderdeel van de doel-conjunctie.

• Eenmaal ’ gevonden is, kan die niet meer herzien worden.

• Beide:– beperken de zoekruimte – maar leiden tot onvolledigheid



algoritmen

Planning

Probleem met STRIPS



algoritmen

Planning



algoritmen

Planning

Andere aanpakken

• Reducties– SAT: vervulbaarheid van prepositionele

formules – CSP veralgemening van SAT voor domeinen

andere dan {false, true}

• Planninggrafen• Heuristieken• en veel meer!



algoritmen

Planning

Reductie naar SAT

• SAT: vervulbaarheid van CNF formules– CNF: C1 … Cn

– Ci: D1,i … D mi,i

– D: x of x– x – variabel

• SAT is NP-volledig

• Twee praktisch efficiënte algoritmen



algoritmen

Planning

Reductie naar SAT

Plan

Oplossen

CNFcoderen

Variabel-toekenning

extraheren

Invoer:Acties,

Initiële Toestanden, Doeltoestanden



algoritmen

Planning

• Atoom uniek variabel– opTafel(A) xopTafel(A).

• Toestand conjunctie van variabelen voor de geldige atomen– xopTafel(A) xopTafel(B) xop(C,A) …

CNFcoderenInvoer:Acties,




algoritmen

Planning

• xopTafel(A) betekent dat xop(A,B) xop(A,C).

• Hoe kunnen we het coderen? – Toestand = conjunctie

• van variabelen voor de geldige atomen• van negaties van variabelen voor de niet geldige

atomen





algoritmen

Planning

• Hoeveel conjuncten telt de voorstelling van



{opTafel(A), opTafel(B),

op(C, A), vrij(C), vrij(B)}

als er geen andere predicaten en constanten zijn?

A. 6 B. 13 C. 20



algoritmen

Planning

• Maar, wat betekent xopTafel(A)?

– nu? morgen?

• Stel dat onze plan n stappen telt…– uniek variabel per atoom en stap!

– dus: x(opTafel(A), 0), …, x(opTafel(A), n)





algoritmen

Planning

• Initiële toestand: alle variabelen in 0.– x(opTafel(A), 0) x(opTafel(B), 0) x(opTafel(B), 0) …

• Doeltoestand– x(op(A,B), n) x(op(B,C), n) x(op(B,A), n) …

• Acties: unieke variabel per actie en per stap:– ai (pi ei+1)

– p pre(a), e effect(a)





algoritmen

Planning

• zetNeerOpTafel(greep, blokje)

• Hoeveel variabelen hebben we nodig om deze actie voor te stellen?

A. n B. 2n C. 3n





algoritmen

Planning

• Initiële en doeltoestanden en acties– het is niet voldoende!

• Twee extra eisen:– er is maar één actie per stap– atomen die niet bij de effecten horen veranderen

niet





algoritmen

Planning

• Een actie per stap – Voor alle acties a, b en alle 0 i n-1:

ai bi

• Raamaxioom: atomen die niet bij de effecten horen veranderen niet x(atoom, i) x(atoom, i+1) ( ai) x(atoom,

i) x(atoom, i+1) ( bi).– a z.d. atoom effect+(a)– b z.d. atoom effect-(b)





algoritmen

Planning

• Planningprobleem:

initiële toestanden doeltoestanden acties een actie per stap raamaxioom

CNF

code

ren



algoritmen

Planning

• Aanname: plan heeft n stappen. Hoe weten we wat n is?

1. Als we een plan van lengte n weten te vinden, hoe kunnen we alle plannen vinden die niet langer zijn dan n?



algoritmen

Planning

• Aanname: plan heeft n stappen. Hoe weten we wat n is?

2. Als we alle plannen kunnen vinden die niet langer zijn dan n, hoe vinden we alle plans?

Wat is de maximale lengte van een plan?



algoritmen

Planning

Reductie naar SAT

Plan

Oplossen

CNFcoderen

Variabel-toekenning

extraheren

Invoer:Acties,




algoritmen

Planning

Hoe los je SAT op?

• Davis-Putnam– voor een probleem van lengte n

• geeft een oplossing desda een oplossing bestaat

• Stochastische procedure– “desda” geldt niet– soms beter geschikt voor grotere problemen



algoritmen

Planning

Davis Putnam (1)

• Opmerking 1: x (x y z) – x is true en (y z)

• Opmerking 2: x (x y z) – x is false

• Opmerking 3: (x y) (x z)– of x is true en z– of x is false en y



algoritmen

Planning

Davis Putnam (2)

Davis-Putnam(, oplossing)1. = true return oplossing

2. = false fail

3. = x ’ Davis-Putnam(’[x/true], oplossing {x/true})

4. = x ’ Davis-Putnam(’[x/false], oplossing {x/false})

5. anders kies een variabel y in ,a. Davis-Putnam(y , oplossing)

b. Davis-Putnam(y , oplossing)



algoritmen

Planning

Davis Putnam: Boomx (x y z) (x y z) (x

y z) (x y)

(y z) ( y z) (y z)

{x/true}

y (y z) ( y z) (y

z)

y (y z) ( y z) (y

z)

z z

{y/true}

z

{y/false}

fail

{z/false}

true

{z/false}



algoritmen

Planning

• Wat is de maximale diepte van zo’n Davis Putnam boom?



algoritmen

Planning

Davis Putnam: voor- en nadelen

Een oplossing wordt gevonden desda er een bestaat.

Zoekproces kan te lang duren



algoritmen

Planning

Stochastische processen

• Idee: probeer een oplossing te raden

• Dus, gegeven :– Kies een willekeurige toekenning – Als = true, stop.– Anders, herhaal.

• Niet praktisch…



algoritmen

Planning

Beter idee (GSAT)

• Kies een willekeurige toekenning • Als = true, stop.

is een oplossing

• Anders pas aan:– m(x) = het aantal conjuncten c in zodanig dat

c[x/(x)] = false– kies x zodanig dat m(x) het kleinste is. ’ = [x/(x)]

• Herhaal



algoritmen

Planning

= x (x y z) (x y z) (x y z) (x y)

= {x/false, y/false, z/false}

Wat is ’?

A. {x/true, y/false, z/false}

B. {x/false, y/true, z/false}

C. {x/false, y/false, z/true}



algoritmen

Planning

Stochastische methoden: voor- en nadelen

Zoekproces is meestal efficiënter

Oplossingen kunnen gemist wordenEindigheid is niet gegarandeerd



algoritmen

Planning

Huiswerk 18

• In plaats van reductie naar SAT, kunnen we constraints satisfaction problems (CSP) gebruiken

• Wat is een constraints satisfaction problem?• Hoe stel je een planningprobleem als CSP?• Hoe los je een CSP op?• Geef voorbeeld van een planningprobleem en toon aan

hoe je die 1) naar CSP vertaald, 2) oplost en 3) een plan extraheert.

• In te leveren ten laatste op 19 juni 2007



algoritmen

Planning

Wat hebben we gedaan?

• Planning• Rechtstreekse aanpakken:

– Voorwaarts zoeken,– Achterwaarts zoeken– STRIPS

• Reductie naar SAT– SAT:

• Davis Putnam• Stochastische methoden



algoritmen

Planning

Opdracht 3: Procesmining

• Doel: integreren van MINEPI in ProM.• Middelen:

– MINEPI: • presentatie van Toon Calders• paper van Manilla, Toivonen en Verkamo• presentatie van Klemettinen en Moen

– ProM: Eric

• In te leveren tot 4 juli:– software + verslag



algoritmen

Planning

Opdracht 3

• Lees het artikel– Beantwoord de vragen in de opgave

• Implementeer een ProM plugin– Besprek de implementatie

• Voer een reeks experimenten– Besprek de experimenten

• Is MINEPI geschikt voor procesmining?



algoritmen

Planning

Gebruiken

Documents

Transcript of Gebruiken