334PEDAGOGISCHE

STUDIËN

2009 (86) 334-349

Samenvatting

Uit recent onderzoek blijkt dat executieve

functies belangrijke voorspellers zijn voor in-

dividuele verschillen in de ontwikkeling van

(voorbereidende) rekenvaardigheid van kinde-

ren. Executieve functies vormen een contai-

nerbegrip voor verschillende complexe vaar-

digheden die nodig zijn voor een doelgerichte

uitvoering van taken, zoals 1) de inhibitie van

dominante reacties, 2) het wisselen (shifting)

tussen verschillende responssets en 3) up-

dating voor de opslag van tijdelijke gegevens

en het herzien van deze informatie als nieuwe

input dit vereist. In deze bijdrage wordt nader

ingegaan op de rol van de drie executieve

functies in de ontwikkeling van vroege reken-

vaardigheid. Dit wordt toegelicht aan de hand

van twee studies onder respectievelijk 93

kleuters en 26 leerlingen uit groep 3. De resul-

taten van dit onderzoek laten zien dat de up-

dating factor de belangrijkste voorspeller is

van rekenvaardigheid in groep 1 tot 3. De con-

clusies worden besproken in het licht van de

validiteit van het gemaakte onderscheid tus-

sen de onderscheiden executieve functies.

1 Theoretische en methodologischeuitgangspunten

1.1 De ontwikkeling van reken-vaardigheidReeds lang voordat het formele rekenonder-wijs begint, doen kinderen kennis op die debasis vormt voor de latere rekenontwikke-ling. Volgens sommigen komen kinderenzelfs al ter wereld met een aangeboren gevoelvoor aantallen (number sense, Dehaene,2001). Gedurende de kindertijd krijgen kin-deren steeds meer kennis en begrip van aan-tallen, wat zich uit in de ontwikkeling vaneen ‘mentale getallenlijn’. De representatievan getallen op een dergelijke getallenlijnbrengt met zich mee dat kinderen kennis heb-

ben van wat nabijgelegen getallen zijn (6 isvlakbij 7) en aantallen kunnen vergelijken (6is minder dan 7). Dit betreft in termen van hettriple code-model van Dehaene (1992) deanaloge magnitude-code. Dehaene maakt on-derscheid tussen drie codes waarin aantallen gerepresenteerd worden. Naast de analogecode, is er ook de auditief verbale code: hetkennen van het woord dat bij elk aantal hoort( | | | | is vier) en daaraan gerelateerd ook hetkennen van de telrij. Als derde is er de vi-suele code: bij ons het Arabische numeriekesysteem.

Hoewel de ontwikkeling begint met deanaloge code, blijft deze in ontwikkeling ookals de tweede en derde code zich reeds ont-wikkelen. Met andere woorden, de mentalegetallenlijn van kinderen wordt gedurende dekindertijd steeds nauwkeuriger, als zij begin-nen te tellen en de bijbehorende symbolenleren. Siegler en Booth (2004) onderzochtenbijvoorbeeld hoe goed kleuters en kinderen ingroep 3 en 4 getallen konden weergeven opeen lege getallenlijn tot 100. Zij ontdektendat kleuters en kinderen in groep 3 kleine ge-tallen accurater konden schatten dan grotegetallen: zij onderschatten de verschillen tus-sen de grotere getallen op de getallenlijn. Deschattingen van deze kinderen pasten daar-door beter bij een logaritmische dan bij eenlineaire functie. Kinderen in groep 4 warenbeter in staat om de correcte posities van ge-tallen te schatten en hun schattingen pastenwel bij een lineaire functie. De schattingsre-sultaten correleerden in alledrie de leerjarenmet (voorbereidende) rekenprestaties.

Voor een goede rekenontwikkeling, isnaast deze mentale representatie, ook hetleren tellen van belang (Gelman & Gallistel,1978; Van de Rijt & Van Luit, 1998). In depeutertijd beginnen kinderen met het lerenvan de telrij en het tellen van voorwerpen.Van de Rijt en Van Luit onderscheiden daar-bij 1) het gebruik van telwoorden, 2) gestruc-tureerd tellen, 3) resultatief tellen en 4) het

Executieve functies en de ontwikkelingvan (voorbereidende) rekenvaardigheid

E. H. Kroesbergen, S. H .G. van der Ven, M. E. Kolkman, J. E. H. van Luit

en P. P. M. Leseman

335PEDAGOGISCHE

STUDIËN

toepassen van algemene kennis van getallen.Tezamen met vergelijken, hoeveelheden kop-pelen, één-één-correspondentie en ordenen,vormen deze volgens hen de belangrijkstecomponenten van de voorbereidende reken-vaardigheden waar kinderen in de eerste jarenvan de basisschool voornamelijk mee bezigzijn. De verschillende componenten – men-tale getallenlijn, tellen en voorbereidende re-kenvaardigheden – vormen het ‘getalbegrip’.Kinderen leren getallen lezen en schrijven envanaf groep 3 (in Nederland) krijgen kinde-ren instructie in de elementaire bewerkingen,te beginnen met optellen en aftrekken, waar-na andere bewerkingen volgen. Het doel isdat kinderen bij gemakkelijke sommen uit-eindelijk gebruik weten te maken van retrie-val, oftewel het direct ophalen van het ant-woord uit het lange termijn geheugen. Voordie tijd leren kinderen om bij het uitrekenenvan sommen handig gebruik te maken vanverschillende oplossingsstrategieën. Wanneerde uitkomst van een som de 10 overschrijdtkan er bijvoorbeeld gebruik gemaakt wordenvan de aanvullen-tot-10-strategie, bijvoor-beeld 7 + 8 = 7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15. Hetgetal 8 wordt in dit geval dus opgesplitst in 3en 5, om zo een “sprong” naar de 10 te kun-nen maken. In sommige gevallen is echtereen andere strategie gemakkelijker. Het blijktdat de zogenaamde dubbelen, waarbij er tweekeer hetzelfde getal wordt opgeteld, zoals 6 +6, relatief snel gememoriseerd worden(Wheeler, 1939). Wanneer een dubbele als 7+ 7 = 14 gememoriseerd is, kan deze kennisbovendien gebruikt worden bij bijna-dubbe-len: 7 + 8 = 14 + 1 = 15. Deze strategie blijktbij dergelijke opgaven iets sneller uitgevoerdte kunnen worden dan de aanvullen-tot-10 strategie (Torbeyns, Verschaffel, & Ghes-quière, 2005).

Niet bij alle kinderen verloopt het leren re-kenen probleemloos. Ongeveer vijf tot tienprocent van de kinderen ondervindt proble-men bij het verwerven van rekenvaardigheid(Geary, Hoard, Nugent, & Byrd-Craven,2008). Deze problemen worden vaak duide-lijk als kinderen formeel rekenonderwijsgaan volgen, maar de oorzaak ervan moetwaarschijnlijk al eerder worden gezocht. Hetis van belang om in een vroeg stadium pro-blemen te signaleren en waar mogelijk te re-

mediëren. Het blijkt dat kinderen die mindergoed kunnen tellen in de voorschoolse perio-de, later gemiddeld meer problemen met re-kenen hebben (Aunio, 2006; Jordan, Kaplan,Locuniak, & Ramineni, 2007).

Naast voorspellers in de vorm van proble-men in de vroege of voorbereidende reken-vaardigheid, kan er ook gekeken worden naarde cognitieve factoren die mogelijk aan dezeproblemen ten grondslag liggen. In recente literatuur worden vaak het werkgeheugen ofde executieve functies als onderliggende factor genoemd (Bull, Espy, & Wiebe, 2008;Mazzocco, 2008; Passolunghi, Mammarella,& Altoè, 2008). In deze bijdrage wordt naderingegaan op de relatie tussen deze onderlig-gende cognitieve factoren en de ontwikkelingvan rekenvaardigheid.

1.2 De rol van executieve functiesIn huidig onderzoek en literatuur wordt hetwerkgeheugenmodel van Baddeley (1996,2000) veelvuldig als uitgangspunt genomen.In dit model wordt onderscheid gemaakt tus-sen het centraal executief systeem en eendrietal slaafsystemen: de fonologische lus,het visueel-ruimtelijke schetsblok en de lateraan het model toegevoegde episodischebuffer voor de integratie van verschillendesoorten informatie. Het centrale executievesysteem fungeert als een controlesysteem datbinnenkomende informatie en de slaafsyste-men coördineert. Dit centrale systeem zou uitverschillende executieve functies bestaan(Miyake, Friedman, Emerson, Witzki, & Howerter, 2000), zoals de inhibitie van domi-nante reacties, het wisselen tussen verschil-lende responssets (shifting) en het opslaan en bijwerken van informatie in het werkge-heugen, ook wel updating genoemd (Miyakee.a., 2000; Welsh, 2002). Verschillende on-derzoekers hebben de genoemde drie execu-tieve functies gevonden (Espy, e.a., 2004;Hughes, 1998). Hierbij wordt veelal gebruikgemaakt van factoranalytische methoden. Ditwordt gedaan om tegemoet te komen aan hetprobleem van de onzuivere meting (impurityproblem), dat betrekking heeft op het feit datexecutieve functies niet direct te meten zijn,maar altijd gemeten worden in een cognitievecontext waarin bijvoorbeeld aandacht, reac-tiesnelheid, maar ook domeinspecifieke vaar-

336PEDAGOGISCHE

STUDIËN

digheden als bijvoorbeeld lezen, een rol kun-nen spelen. Het is daardoor onvermijdelijkdat andere cognitieve processen de uitkom-sten beïnvloeden (Miyake e.a., 2000). Factor-analyse minimaliseert dit probleem. Hoewelde genoemde driedeling in verschillende fac-toranalytische studies is bevestigd, is er delaatste tijd ook een aantal studies verricht datdeze indeling niet of slechts gedeeltelijk on-dersteunt (St Clair-Thompson & Gathercole,2006; Van der Sluis, De Jong, & Van der Leij,2007; Wiebe, Espy, & Charak, 2008). Eenmogelijke verklaring kan liggen in diezelfdefactoranalyse. Zoals Van der Maas e.a. (2006)hebben aangetoond, is het statistisch vindenvan factoren geen definitief bewijs dat erneurobiologische systemen bestaan die aande gevonden factoren ten grondslag liggen.Bovendien verklaren de gevonden factorop-lossingen de empirische data altijd maar tendele: er blijft veel onverklaarde variantie. Eenlaatste punt van kritiek betreft de meetinstru-menten voor executieve functies, die in elkonderzoek weer anders gekozen zijn en bo-vendien, zeker voor jonge kinderen, vaak nogonvoldoende betrouwbaar en valide zijn.

Hoewel het concept executieve functiesniet eenduidig is, is wel aangetoond dat der-gelijke executieve functies of executieve con-trole processen samenhangen met rekenen(zie paragraaf 2). Inhibitie is belangrijk inalle taken waarbij het kind irrelevante prik-kels moet negeren. Kinderen met lagere inhi-bitiecontrole hebben bijvoorbeeld moeite omeen eerste reactie te onderdrukken. Als de tel-rij goed geautomatiseerd is, zal bijvoorbeeldbij een opgave als 3 + 4 automatisch 5 opge-roepen worden. Deze automatische responsmoet echter onderdrukt worden, omdat hetkind een optelsom moet gaan maken in plaatsvan de telrij verder op te zeggen (3, 4, …5).Doordat het kind meer fouten maakt, zal hetook langer duren voordat rekenfeiten geauto-matiseerd worden (Siegler, 1996). Shifting,het vermogen om te wisselen tussen taken ofstrategieën, wordt vooral belangrijk als kin-deren meer complexe taken moeten gaan uit-voeren, bijvoorbeeld wisselen tussen optellenen aftrekken, of het combineren van retrievalen een minder geavanceerde strategie (bij eenopgave als 6 x 4 wordt 5 x 4 = 20 uit het ge-heugen opgehaald, om er vervolgens nog 4 bij

op te tellen). Updating is belangrijk bij hetverwerken en bewerken van informatie in hetwerkgeheugen, bijvoorbeeld bij het vasthou-den van tussenoplossingen (8 + 7: 8 + 2 = 10,7 splitsen in 2 en 5, 10 + 5 = 15). Een zwakupdatingvermogen kan er daardoor ook voorzorgen dat het kind noodgedwongen op devingers blijft tellen. Het kind is daardoor tra-ger en maakt meer fouten. Dit leidt dan weertot een vertraagde automatisering (Siegler,1996). Executieve functies blijken een rol tespelen, zowel bij het ophalen van gememori-seerde feiten als bij het uitvoeren van strate-gieën (Imbo & Vandierendonck, 2008). Pro-blemen met executief functioneren kunnendaardoor leiden tot (ernstige) rekenproble-men. Door het zoeken naar mogelijke oorza-ken van rekenproblemen in de executievefuncties, wordt niet alleen een verklaring ge-boden voor deze problemen, maar ook eenrichting geboden aan mogelijke interventies.

2 Overzicht van eerder onderzoek

Inderdaad is er in een groot aantal studies eenverband tussen executieve functies en reke-nen gevonden. Hoewel de meerderheid vande studies zich richt op rekenprestaties bij oudere leerlingen, is ook enig onderzoek ge-daan naar de relatie tussen executieve func-ties en voorbereidende rekenvaardigheden.Blair en Razza (2007) vonden in een groep 3-tot 5-jarigen een verband tussen inhibitie- enshiftingtaken en voorbereidende rekenvaar-digheid. Espy e.a. (2004) vonden ook verban-den tussen updating en inhibitie en voorbe-reidend rekenen, maar shifting bleek geensignificante voorspeller bij kinderen van 2 tot5 jaar. Verschillende studies uit onze eigengroep (Kroesbergen, Kolkman, & Bolier,2009; Kroesbergen, Van de Rijt, & Van Luit,2007; Kroesbergen, Van Luit, Van Lieshout,Van Loosbroek, & Van de Rijt, 2009) hebbensignificante correlaties tussen inhibitie, shif-ting en updating met getalbegrip aangetoondbij kinderen in groep 2. Deze relaties moetenechter uitvoeriger, en met name specifieker,onderzocht worden. Belangrijk is daarbij tekijken naar de onderliggende aspecten vanrekenen, zoals de mentale getallenlijn. Aan-gezien verschillende cognitieve processen

337PEDAGOGISCHE

STUDIËN

betrokken zijn bij de ontwikkeling van getal-begrip, lijkt het aannemelijk dat ook execu-tieve functies hierin een rol spelen. In een on-derzoek van Geary e.a. (2008) komt naarvoren dat er een duidelijke relatie is tussenupdating en lineaire representaties van eenmentale getallenlijn. Dit onderzoek is echtergedaan bij 7-jarigen, terwijl de ontwikkelingvan deze representaties al op jongere leeftijdplaatsvindt.

Meer onderzoek is gedaan naar de relatietussen executieve functies en rekenvaardig-heid op latere leeftijd. In sommige van dezestudies is gezocht naar verbanden in eendwarsdoorsnede van de populatie. Bull, Epsyen Wiebe (2008) vonden een verband tussenrekenvaardigheid en alle drie de executievefuncties. Met name updating blijkt een be-langrijke voorspeller voor rekenprestaties(Passolunghi e.a., 2008; Rasmussen & Bi-sanz, 2005; Swanson, 2006). Andere studiesvonden een relatie tussen meer specifieke re-kenvaardigheden, zoals optellen of gebruikvan retrieval, en updating (Adams & Hitch,1997; Barouillet & Lépine, 2005, Wu e.a.,2008). Ook studies die een vergelijkingmaakten tussen rekenzwakke en gemiddeldpresterende kinderen vonden relaties metexecutief functioneren. Rekenzwakke kinde-ren blijken lager te scoren op inhibitie (Siko-ra, Haley, Edwards, & Butler, 2002), shifting(McLean & Hitch, 1999) en updating(Swanson & Beebe-Frankenberger, 2004).Echter, voor elke executieve functie zijn erook studies die geen verschil vinden tussenzwakke en normale rekenaars: inhibitie (Ras-mussen & Bisanz, 2005), shifting (Van derSluis e.a., 2007) en updating (Van der Sluis,Van der Leij, & De Jong, 2005).

Er zijn verschillende verklaringen voordeze tegenstrijdige resultaten. Ten eerste isveelal gebruik gemaakt van surveyonder-zoek, waarbij slechts één meting werd uitge-voerd. Longitudinale en (quasi-)experimen-tele designs zijn wenselijk om meer zekerheidover de oorzakelijke verbanden te geven enbovendien maakt dit het mogelijk om de ont-wikkeling van executieve functies in relatietot rekenvaardigheid na te gaan. Ten tweede,de meeste gepubliceerde onderzoeken zijngericht op een algemene operationaliseringvan rekenvaardigheid. Hierbij is veelal ge-

bruik gemaakt van relatief eenvoudige reken-opgaven, vaak met een tijdslimiet. Dit typeopgaven vereist wellicht andere vaardighedendan de vaardigheden die nodig zijn om daad-werkelijk rekenvaardigheden te verwerven.De rol van executieve functies wordt daarmeewellicht ondergewaardeerd. Ten derde is ereen grote variatie in executieve taken. Eenkritische beschouwing van de taken in devoornoemde studies laat zien dat in diversestudies executieve taken worden gebruikt dieook een beroep doen op rekenvaardigheden.Een voorbeeld is de studie van Bull en Scerif(2001), waarin een relatie met rekenen is ge-vonden van een inhibitie taak waarin getallenwerden gebruikt, maar niet van een vergelijk-bare inhibitietaak met letters.

Concluderend kan gesteld worden dat,hoewel er de laatste tijd veel onderzoek naarde relatie tussen executieve functies en reke-nen uitgevoerd is, dit de rol van executievefuncties nog niet helder heeft gemaakt. Omde rol van executieve functies in de ontwik-keling van rekenvaardigheid te verduide-lijken, hebben wij twee studies uitgevoerd.Beide studies richten zich – in tegenstellingtot eerder onderzoek – op een specifiek ele-ment van rekenvaardigheden. In de eerste stu-die zijn de executieve functies onderzocht inrelatie tot getalbegrip, in het bijzonder de re-presentatie van de mentale getallenlijn, om zomeer kennis te krijgen over dit specifieke,voorwaardelijke, aspect van rekenvaardig-heid. In de tweede studie is de relatie tot dedubbelen (zoals 7 + 7) onderzocht. We heb-ben voor deze specifieke vaardigheid geko-zen omdat we op zoek waren naar een afge-bakende vaardigheid binnen het aanvankelijkrekenen die zich in een korte periode ontwik-kelt. In deze tweede studie is bovendien veelaandacht besteed aan een goede selectie vanexecutieve taken. Tezamen geven de studiesdaarom inzicht in de rol van executieve func-ties in zowel het voorbereidend als het aan-vankelijk rekenen. Voorts is in beide studieseen quasi-experimenteel design gehanteerd,om meer zicht te krijgen op de oorzakelijkerol van executieve functies in de ontwikke-ling van rekenvaardigheid. In de eerste studieheeft daartoe een interventie plaatsgevonden.In de tweede studie is de “natuurlijke” voor-uitgang in rekenvaardigheid gedurende een

338PEDAGOGISCHE

STUDIËN

aantal weken gevolgd, om de rol van execu-tieve functies in de ontwikkeling te meten.Dit doet meer recht aan het ontwikkelingsas-pect van rekenen, wat in eerder onderzoekvaak niet betrokken is.

3 Studie 1: Executieve functies invoorbereidende rekenvaardigheid

In dit onderzoek is nagegaan wat de rol vanexecutieve functies is in voorbereidend reke-nen. Omdat uit eerder onderzoek blijkt datexecutieve functies grote samenhang verto-nen met rekenvaardigheid, was de verwach-ting dat deze functies ook een rol spelen bijeen specifieke voorwaarde voor het rekenen,de representatie van aantallen op een mentalegetallenlijn, hier verder getalbegrip genoemd.Om dit te toetsen is onderzocht of kleutersmet verschillende niveaus van executief func-tioneren inderdaad ook verschillend presterenop getalbegrip taken. Vervolgens is ook devoorspellende waarde van het executief func-tioneren op de vooruitgang nagegaan, tijdenseen training gericht op het verbeteren van ge-talbegrip. Als executieve functies belangrijkzijn bij de ontwikkeling van getalbegrip, zou-den kinderen met betere executieve functiesmeer vooruit moeten gaan tijdens een trai-ning gericht op getalbegrip.

3.1 MethodeAan dit onderzoek hebben 93 kinderen uitgroep 1 (N = 46) en groep 2 (N = 47) van zesverschillende reguliere basisscholen in Ne-derland meegedaan. De steekproef bestonduit 44 meisjes en 49 jongens met een gemid-delde leeftijd van 5,4 jaar (SD = 0,7). In totaalzijn drie taken afgenomen om de executievefuncties te meten en drie taken op het gebiedvan getalbegrip. De helft van de kinderen israndom geselecteerd om deel te nemen aande training.

Om het niveau van executief functionerenin kaart te brengen, is een drietal taken afge-nomen. Om inhibitie te meten, is gebruik ge-maakt van de Day/Night Stroop (Gerstadt,Hong, & Diamond, 1994). Het kind kreeg eenaantal kaarten te zien met de afbeelding vaneen zon of een maan, en moest bij kaartjesmet een zon nacht en bij kaartjes met een

maan dag zeggen. Net als bij de Stroop-taakvoor volwassenen moeten kinderen bij deDay/Night Stroop hun automatische responsinhiberen om tot een goed antwoord tekomen.

Om updating te meten, is gebruik gemaaktvan Listening recall uit de Automated Wor-king Memory Assessment Battery (Alloway,2007). Bij deze taak werden één of meerderezinnen voorgelezen aan de kinderen. De kin-deren moesten elke keer aangeven of de zinjuist of onjuist was en zij moesten het eerstewoord van elke zin herhalen. In deze taakwordt zowel een beroep gedaan op het ont-houden van informatie als het bewerken vaninformatie en wordt daarom beschouwd alseen goede maat voor het meten van updaten.

Om shifting te meten, is gebruik gemaaktvan de Dimensional Change Card Sorting-taak (Zelazo, 2006). Hierbij kregen de kinde-ren kaartjes te zien met een blauwe boot ofeen rood konijn erop afgebeeld. In de eerstefase van de taak moesten de kinderen dekaartjes sorteren op kleur en in de tweedefase op vorm. In de derde fase moesten dekinderen het sorteren op kleur en op vorm af-wisselen afhankelijk van een zwarte rand dieop een aantal kaartjes getoond werd. De sco-res op dit laatste onderdeel werden gebruiktvoor de analyses. De prestaties van kinderenop deze taak worden verklaard door hun ver-mogen om flexibel om te gaan met verschil-lende regels en kan daarom goed gebruiktworden als maat voor shifting.

De taken op het gebied van getalbegripzijn overgenomen uit de studie van Laski enSiegler (2007). De eerste twee taken betrof-fen getallenlijnen; een getallenlijn van 0 tot10 (groep 1) en een getallenlijn van 0 tot 100(groep 2). De kinderen kregen respectievelijk5 en 22 getallenlijnen van 0 tot 10 en 0 tot100 te zien. De kinderen moesten een gege-ven getal op de juiste plek op de getallenlijnaangeven. Voor ieder kind is gekeken in hoe-verre de geschatte waarden een lineair ver-band lieten zien met de werkelijke waarden(uitgedrukt in r2). Deze maat geeft dus aan inhoeverre er op individueel niveau al sprake isvan een lineaire representatie (zie ook Gearye.a., 2008).

De tweede taak was een vergelijkingstaak.De kinderen kregen 20 maal twee kaartjes te

339PEDAGOGISCHE

STUDIËN

zien met een getal erop (tussen 0 en 100). Dekinderen moesten aangeven welk getal hetgrootst was van de twee (sets 1-10) respectie-velijk het getal dat het kleinst was (sets 11-20). Scores zijn uitgedrukt in het aantal goedbeantwoorde items van beide onderdelen.

De derde taak was een categorisatietaak.Bij deze test is gebruik gemaakt van vijfdoosjes die gelabeld waren met heel klein(1-20), klein (21-40), gemiddeld (41-60),groot (61-80) en heel groot (81-100). De kin-deren moesten 22 getallen (ieder getal wasafgebeeld op een kaartje) tussen de 0 en 100categoriseren door de getallen in het juistedoosje te leggen. Voor de score op deze taakis gebruik gemaakt van het aantal goed geca-tegoriseerde kaartjes.

De training bestond uit vier sessies van 30minuten. Tijdens deze sessies zijn in totaaldrie verschillende taken met de kinderen ge-oefend (zie Laski & Siegler, 2007). Per trai-ning zijn telkens twee van de drie taken ge-bruikt. De eerste taak betrof de midpointcategorization task. Hierbij kregen de kinde-ren dertig kaartjes te zien met een getal erop.Zij moesten de getallen categoriseren door zein doosjes te leggen die gelabeld waren vanheel klein tot heel groot. In tegenstelling totde voor- en nameting (waarbij deze taak ookongeveer hetzelfde werd uitgevoerd) werd nuuitgebreide uitleg gegeven met betrekking tothet begin- en eindpunt (respectievelijk de ge-tallen 0 en 100) en de middelpunten van decategorieën (10, 30, 50, 70 en 90). Als in-structie werd een kleutervriendelijk verhaal-tje over beren verteld waarin de bedoelingvan de taak duidelijk werd. De proefleidergaf bij elke oefening feedback op de presta-ties van het kind. De tweede taak betrof detriad task. Bij deze taak werden telkens driegetallen getoond aan de kinderen. Eén getalwas elke keer een middelpunt van een cate-gorie. Een tweede getal was elke keer eenander getal dan het middelpunt, maar wel eengetal uit dezelfde categorie. Het derde getalwas een getal uit een andere categorie. Ge-vraagd werd aan de kinderen welk getal hetmeest bij het middelpunt zou passen. Dederde taak betrof de variable categorizationtask. De procedure en de gebruikte materia-len waren bij deze taak hetzelfde als bij demidpoint categorization task echter werden

nu niet de middelpunten gesorteerd maar wil-lekeurige getallen uit de range van 1-100.

3.2 ResultatenDe kinderen uit groep 1 hadden moeite methet aangeven van getalposities op de getal-lenlijnen, zij begrepen niet wat de bedoelingvan de taak was. De betrouwbaarheid van deresultaten op de getallenlijn is daarom nietgroot, en deze zijn dus ook niet geanalyseerd.Daarnaast zijn de resultaten van twee leer-lingen, wegens sterk wisselende resultaten opde verschillende taken, niet meegenomen inde analyses. In de analyses is allereerst de samenhang tussen de verschillende taken be-keken (zie Tabel 1). Vervolgens is het ver-band tussen executieve functies en getalbe-grip nagegaan. Hiervoor zijn alleen degegevens van de voormeting gebruikt (zieTabel 2). Standaard multipele regressie-ana-lyses zijn toegepast om het effect van de ver-schillende executieve functies te meten. Deinvloed van de drie executieve functies is te-gelijk in één model getoetst. Voor de catego-risatie taak werden geen significante effectengevonden van executieve functies. Op demate van lineariteit en de vergelijkingstakenis echter wel een positief effect gevonden vanexecutieve functies. Updating heeft een posi-tieve invloed op de mate van lineariteit en hettotale model verklaart 33% van de variantiein deze variabele. Zowel updating als shiftinghangen samen met de accuratesse op de ver-gelijkingstaak. Dit gehele model verklaart44% van de variantie in vergelijkingstaken.

Vervolgens is getoetst of de kinderen dieeen training hebben gevolgd, ook daadwerke-lijk een vooruitgang in getalbegrip laten zien(zie Tabel 3). Het blijkt dat alleen het effectop categorisatie significant is (F(1,88) =4,58; p < 0,05). Op de andere, niet-getrainde,getalbegrip taken is geen effect van de trai-ning gevonden (p > 0,05).

Tot slot is nagegaan wat de differentiëleeffecten waren van de executieve functies opde vooruitgang tijdens de training (Tabel 4).Hierbij is alleen gebruik gemaakt van de datavan de kinderen die de training hebben ge-volgd. Hier blijkt geen effect te zijn van hetexecutief functioneren op de mate van voor-uitgang op de vergelijkingstaken. Op de an-dere taken, getallenlijnen en categorisatie,

340PEDAGOGISCHE

STUDIËN

zijn positieve effecten gevonden van upda-ting. De kinderen met betere updating-vaar-digheden, gingen gedurende de training meervooruit. Updating verklaart 18% van de va-riantie in de mate van lineariteit en 18% vande variantie in de categorisatie taak.

3.3 Conclusies studie 1In studie 1 bleek inhibitie geen significante

predictor van getalbegrip vaardigheden. Shif-ting bleek samen te hangen met de vergelij-kingstaak, waarbij kinderen de verbale codemoeten omzetten in een hoeveelheidrepre-sentatie. De verklaring voor deze samenhangmoet dan ook gezocht worden in het feit datshifting waarschijnlijk nodig is om tussenverbale en numerieke representaties te kun-nen wisselen. Updating hing het sterkst

Tabel 1

Correlaties tussen de verschillende taken

Tabel 2

Regressie coëfficiënten voor de voorspellers (EFs) van de getalbegrip taken

341PEDAGOGISCHE

STUDIËN

samen met de mate van lineariteit en de cate-gorisatietaak, en was bovendien de bestevoorspeller voor de vooruitgang tijdens detraining, zowel op de getallenlijn als op decategorisatietaak. Blijkbaar hadden de kinde-ren met betere updating-vaardigheden, meerprofijt van de training. Zij waren beter in staatmeer informatie tegelijkertijd vast te houdenom die vervolgens te gebruiken bij het uit-voeren van de taak. Vastgehouden kennisspeelt een belangrijke rol bij de getallenlijnenen de categorisatietaak waar kinderen eengetal moeten herkennen, vervolgens moetenvergelijken met een mentale getallenlijn omtenslotte het getal een juiste positie te gevenof het kaartje in het juiste bakje te sorteren.Tijdens de training kregen de kinderen feed-back op hun prestaties. Kinderen die de feed-back beter konden onthouden, waren wellicht

beter in staat deze toe te passen in een nieuwetrainingsessie waardoor zij meer konden pro-fiteren dan kinderen met minder goede up-dating-vaardigheden.

De resultaten van deze studie wijzen eropdat updating-vaardigheden een belangrijkevoorspeller zijn voor getalbegrip. Dit is in lijnmet het onderzoek van Geary e.a. (2008), diebij oudere kinderen ook hebben gevonden datupdating samenhangt met een accurate posi-tionering op de getallenlijn. De voorspellen-de waarde van de resultaten van de huidigestudie moeten echter voorzichtig wordengeïnterpreteerd, omdat de steekproef klein isen de trainingsperiode kort, waardoor de re-sultaten niet zonder meer generaliseerbaarzijn naar een grotere populatie en een lang-duriger ontwikkelingsverloop.

Tabel 3

Gemiddelde scores en effectgroottes voor de scores op de voor- en nameting van de getalbegrip taken

Tabel 4

Regressie coëfficiënten voor de voorspellers (EFs) van de groei op de getalbegrip taken in de trainingsgroep

342PEDAGOGISCHE

STUDIËN

4 Studie 2: Executieve functies en leren optellen

In de tweede studie is de structuur van execu-tieve functies nader onderzocht in relatie totaanvankelijk rekenen. Hierbij is naar een spe-cifiek onderdeel van het rekenen gekeken, na-melijk het optellen van ‘dubbelen’ over hettiental (van 6 + 6 tot 9 + 9). Hiervoor is ge-kozen omdat de onderzoeksperiode relatiefkort is en de dubbelen, zoals eerder genoemd,snel worden geleerd. Dit maximaliseerde dekansen om een significante vooruitgang tevinden in vier weken. Gedurende de vierweken waarin het onderzoek plaatsvond, is erin de klas extra aandacht besteed aan het op-tellen van dubbelen. Er is gekeken naar ver-banden tussen executieve functies en ver-schillende aspecten van het leren rekenen: hetaanvankelijke niveau van de kinderen, devooruitgang gedurende de testperiode en ge-neralisatie naar andere rekensommen: dezelf-de dubbelen gepresenteerd als aftreksom, bij-voorbeeld 12 – 6. De verwachting was dat deexecutieve functies een snellere en betereontwikkeling bevorderen, wat zich uit in eenhoger beginniveau, omdat het beginniveau deontwikkeling in de voorafgaande periode re-presenteert, meer vooruitgang tijdens de trai-ning en generalisatie naar een ander domein.Bij dit laatste werd met name een effect vanshifting verwacht, omdat er van strategie ge-wisseld moet worden (12 – 6 wordt vertaaldnaar of verbonden aan 6 + 6). Van kinderenmet relatief zwakke inhibitievaardigheden,werd verwacht dat zij meer fouten maakten,omdat zij kennis minder goed geautomati-seerd hebben (zie paragraaf 1) en foute respon-sen onvoldoende kunnen onderdrukken.

4.1 MethodeAan het onderzoek namen 26 kinderen uitgroep 3 deel (13 jongens en 13 meisjes). Dekinderen waren 6,5 tot 7,8 jaar oud (M = 7,0,SD = 0,4). Allen kwamen uit dezelfde klas ineen Nederlandse basisschool in een middel-groot dorp. Aan het begin van de studie warende kinderen bekend met optel- en aftreksom-men, maar in de methode waren rekenopga-ven waarbij het antwoord groter is dan 10 nogniet systematisch aan de orde gekomen. Ge-durende de studie kregen ze instructie en oe-

fening op dit gebied, volgens de rekenmetho-de Pluspunt (groep 3, blok 8), een veelge-bruikte rekenmethode in Nederland. Boven-dien besteedde de leerkracht extra aandachtaan de dubbelen. Twee keer per week, gedu-rende vier weken, kregen de kinderen een re-kentaakje van 3 minuten waarin zij zo veelmogelijk dubbelsommen moesten oplossen.De executieve taken zijn in twee aparte ses-sies in week 1 en 2 afgenomen.

Per executieve functie (inhibitie, shiftingen updating), werden er twee taken afgeno-men. Wanneer de aard van de taak dat toeliet,werden er ook controletaken afgenomen omzo te corrigeren voor niet-executieve aspec-ten die een rol spelen bij de taak. Helaas zijner vrijwel geen gegevens van betrouwbaar-heid en validiteit van de taken beschikbaar.Dit is het geval omdat het opsplitsen van executieve functies in aparte processen eenrelatief nieuw onderzoeksgebied is. Om mo-gelijke problemen met betrouwbaarheid envaliditeit te minimaliseren, is ervoor gekozenom meerdere taken per executieve functie afte nemen en een factoranalyse uit te voeren.

InhibitieBij de Selectieve Aandacht taak (Van Luit &Kroesbergen, 1998), moet het kind de waregrootte (groot of klein) van dieren benoemenen daarbij de grootte van het plaatje negeren.In de controletaak zijn alle dieren even groot,maar in de inhibitietaak zijn de meeste grotedieren klein getekend en vice versa. Een in-terferentiescore werd berekend op basis vantijd en aantal fouten. Ook de Tower of Lon-don meet inhibitievaardigheden (Bull, Espy,& Senn, 2004). De taak bestaat uit een confi-guratie met drie staafjes, waarover respectie-velijk drie, twee en één bal geschoven kanworden. De kinderen krijgen de taak om bin-nen een gestelde tijd in een minimaal aantalzetten een doelconfiguratie te bereiken. Detest bestaat uit twintig steeds moeilijkere op-gaven en wordt afgebroken na vier opeenvol-gende fouten.

ShiftingEen gecomputeriseerde aanpassing van deChildren’s Color Trail Test (Llorente, Wil-liams, Satz, & D’Elia, 2003) is afgenomen.Deze taak bestaat uit gekleurde cirkels met

343PEDAGOGISCHE

STUDIËN

getallen erin: blauwe en groene cirkels metde cijfers 1 tot 15 aanwezig in beide kleuren.De cirkels zijn verspreid over het computer-scherm en het kind moet ze verbinden van 1 t/m 15, daarbij de kleuren afwisselend. Detaak werd voorafgegaan door een controle-taak waar het kind niet hoefde te wisselentussen de kleuren. Een score werd bepaalddoor de tijd van de shiftingtaak te delen doorde tijd van de controletaak. Verder is een aan-gepaste versie van de Symbol Shifting-taak(Van der Sluis e.a., 2007) gebruikt. Op eenvel papier staan veertig blauwe en gele recht-hoekjes met erin een letter en een cijfer. Hetkind moet zo snel mogelijk de letter benoe-men wanneer de rechthoek blauw is en hetcijfer wanneer de rechthoek geel is. Vooraf-gaand aan deze taak zijn er twee controle-taken: een met uitsluitend letters en een metuitsluitend cijfers. Een eindscore werd be-paald door voor elke fout vijf seconden aande totale tijd toe te voegen en dit te delendoor de gemiddelde controletijd.

UpdatingKeep Track is een gecomputeriseerde en aan-gepaste versie van de taak van Van der Sluise.a. (2007). Het kind kreeg een serie van tienplaatjes te zien uit vijf categorieën: letters,cijfers, vormen, dieren en voertuigen. Hetkind moest elk plaatje benoemen en daar-naast kreeg het van tevoren te horen uit welkecategorie(ën) het kind na afloop het laatsteplaatje moest noemen. Het aantal categorieënvarieerde van één tot drie. Elk correct ont-houden plaatje werd genoteerd als een goedantwoord. Tot slot werd de Nederlandse ver-sie van de Digit Span Backwards-taak van deAutomated Working Memory Assessment(Alloway, 2007) gebruikt.

VerwerkingssnelheidEen maat van basale verwerkingssnelheidwerd verkregen door het gemiddelde tenemen van de gestandaardiseerde scores opde controlecondities van de drie snelheids-taken: selectieve aandacht, symbol shifting entrail making. Deze maat werd niet gezien alsexecutief, maar gebruikt als een controlemaat.

Rekentaken.De opteltaak werd acht keer afgenomen en

bestond uit de vier dubbelsommen (6 + 6, 7 +7, 8 + 8, en 9 + 9), steeds gepresenteerd ineen visuele context. De kinderen probeerdenzo veel mogelijk sommen op te lossen in drieminuten; bij kinderen die eerder klaar waren,werd de tijd genoteerd. De taak bestond uitvijf pagina’s. Elke pagina bevatte drie dub-belsommen en een simpele optelsom onderde 10 om zo enige variatie in de sommen aante brengen. In elke sessie was de lay-out vande sommen verschillend. De score op dezetaak werd gevormd door het aantal correctbeantwoorde opgaven per minuut. Naast deopteltaak, werd in de eerste en laatste sessieook een taak met aftreksommen afgenomen.Deze taak bevatte dezelfde opgaven als dedubbelen, maar nu gepresenteerd als aftrek-sommen. De kinderen maakten weer zo veelmogelijk sommen in drie minuten. Ook hierwaren er vijf pagina’s, met elk drie dubbel-sommen en een simpele aftreksom onder de10. De score op deze taak werd gevormd doorhet aantal correct beantwoorde opgaven perminuut.

4.2 ResultatenOm het aantal variabelen te reduceren enmeer betrouwbare maten te verkrijgen, is eenexploratieve factoranalyse met oblimin-rota-tie uitgevoerd op de zes executieve taken.1 Defactorstructuur werd gevonden zoals ver-wacht (zie Tabel 5). De eerste factor is de up-dating-factor: deze verklaarde 35% van devariantie. De tweede factor, inhibitie, ver-klaarde 21% en de derde factor, shifting,16%. De factorscores zijn vervolgens verdergeanalyseerd.

De scores van de eerste twee meetmomen-ten werden samengenomen als maat van be-ginniveau. Vervolgens werden correlaties berekend tussen deze score en de executievefuncties. Hieruit bleek dat updating en shif-ting samenhangen met het beginniveau, maarinhibitie niet (zie Tabel 6). Als maat vanvooruitgang werd het verschil tussen de laat-ste twee en de eerste twee sessies gebruikt.Ook deze verschilscore werd gecorreleerdmet de executieve functies. Alleen updatingbleek significant samen te hangen met voor-uitgang.

De scores van de aftreksommen werdengebruikt als maat van generalisatie. Ook hier-

344PEDAGOGISCHE

STUDIËN

van werd een vooruitgangsmaat genomen: deverschilscore van het laatste en eerste meet-moment. Deze scores werden gecorreleerdmet de executieve functies. De resultaten zijnvergelijkbaar met de opteltaken: er werdenmet name verbanden gevonden met updating,in een mindere mate ook met shifting, maarniet met inhibitie (zie Tabel 6).

Als laatste werd er gekeken naar de fou-tenpercentages van de kinderen. Omdat erweinig fouten werden gemaakt, is het gemid-delde foutenpercentage over alle sessies be-rekend, om zo voldoende variatie te verkrij-gen. Dit bleek niet samen te hangen met exe-cutieve functies. Fouten bleken ook zeer sterksamen te hangen met beginniveau (r = -0,70,p < 0,01). Wanneer hiervoor werd gecorri-geerd, bleek er een verwachte samenhangmet inhibitie (r = -0,35, p < 0,05), maar nietmet shifting of updating.

4.3 Conclusies studie 2Er zijn in deze studie duidelijke relaties tus-sen executieve functies en rekenen gevonden.

Evenals in studie 1 is hier het verband tussenupdating en ontwikkeling in rekenvaardig-heid het grootst: kinderen met betere updating-vaardigheden, hebben niet alleen gemiddeldeen hoger beginniveau, wat de ontwikkelingin de voorafgaande periode representeert,maar gaan ook meer vooruit tijdens het on-derzoek. Bovendien is gebleken dat kinderenmet betere updating-vaardigheden ook beterin staat zijn het geleerde te generaliseren naarverwante taken, in dit geval aftrekopgaven.Ook shifting lijkt van belang in het leren re-kenen; deze executieve functie hangt samenmet het beginniveau, maar het verwachte ef-fect op de generalisatie is niet gevonden. In-hibitie lijkt van minder belang, omdat er geendirect verband werd gevonden met de presta-ties op de optel- en aftrekopgaven. Alleen bijde gemaakte fouten, en dan nog alleen wan-neer er wordt gecorrigeerd voor beginniveau,wordt er een verband met rekenen gevonden.

Tabel 5

Factorstructuur van executieve functies met Oblimin-rotatie

Tabel 6

Partiële correlatiecoëfficiënten tussen de executieve functies en beginniveau en vooruitgang op de rekentaken,

gecorrigeerd voor basale verwerkingssnelheid

345PEDAGOGISCHE

STUDIËN

5 Discussie

Er kan dus worden geconcludeerd dat de exe-cutieve functies samenhangen met rekenen enzelfs de rekenvaardigheid van kinderen ge-deeltelijk kunnen voorspellen. De bevindingbij twee specifieke gebieden – getalbegrip endubbelen – ondersteunen de hypothese datexecutieve functies een belangrijke rol spelenin de rekenontwikkeling. De geïdentificeerdeexecutieve functies verklaren voor een deelindividuele verschillen tussen kinderen ophet gebied van rekenen. Daarmee geven zijniet alleen een verklaring voor verschillentussen kinderen en voor de rekenproblemendie kinderen kunnen ervaren, maar biedenook aanknopingspunten voor instructie enmogelijkheden voor interventies. Recentestudies (Ten Voorde, 2008; Van der Molen,2009) hebben aangetoond dat werkgeheugen,in het bijzonder updating, te trainen is, en dateen dergelijke training zelfs een positief ef-fect lijkt te hebben op de rekenvaardigheid.Hoewel meer onderzoek op dit terrein nood-zakelijk is, opent deze bevinding nieuwepaden op de zoektocht naar effectieve inter-venties voor zwakke rekenaars.

In de beschreven studies hebben wij aan-getoond dat met name updating sterk samen-hangt met rekenen, en de beste voorspellerhiervan lijkt te zijn. Het gaat hierbij om degecontroleerde verwerking van informatie inhet werkgeheugen. Dit betreft volgens Bad-deley (1996) de belangrijkste rol van hetwerkgeheugen. Het bevordert de korteter-mijnopslag en verwerking van informatie.Daarom zou juist dit deel van het werkgeheu-gen in toekomstig onderzoek beter bestu-deerd moeten worden. Deze factor lijkt nietalleen het meest belangrijk in rekenen, maaris ook relatief gemakkelijk te meten, althanshet lijkt erop dat deze het gemakkelijkst teextraheren is uit verschillende taken (Van der Ven, Kroesbergen, Leseman, & Boom,2008). Een diepere analyse in toekomstig on-derzoek is evenwel noodzakelijk om te ver-klaren welke onderliggende processen/func-ties een rol spelen.

Er blijft namelijk nog veel onverklaardevariantie over. Vanzelfsprekend spelen diver-se processen een rol in de ontwikkeling vanrekenvaardigheid, maar de verwachting is dat

als de executieve controleprocessen beter ge-definieerd kunnen worden, dit een betere ver-klaring kan bieden voor rekenontwikkeling.Eerder genoemde kwesties als het impurity-probleem en de rol van getallen in diverseexecutieve taken, maken het meten van exe-cutieve functies, onafhankelijk van rekenenof andere cognitieve taken die als afhanke-lijke variabelen fungeren, erg lastig. De va-liditeit van de taken staat daarmee nog steedster discussie.

Recent wordt het concept van de centralexecutive steeds vaker aan de kaak gesteld.Volgens Vandierendonck, Szmalec, Deschuy-teneer en Depoorter (2007) bestaat er nietzoiets als een centraal executief systeem, ofeen beperkt aantal executieve functies. Netals het begrip central executive, lijken dezeexecutieve functies nauwelijks een verbete-ring in te houden ten opzichte van voorwe-tenschappelijke begrippen als vrije wil of be-wuste keuze. Het is onduidelijk wat hetexecutieve systeem precies is en de functiesdie eraan worden toegeschreven zijn zeer di-vers en complex (Berch, 2008). De moeilijk-heden met het repliceren van de factorstruc-tuur van executieve functies, die we hiervooral uitvoerig hebben beschreven, wijzen daarmisschien ook op. Zitten we op het verkeerdespoor door te zoeken naar een beperkt aantalalgemene, haast abstracte executieve func-ties, die als hogere orde cognitieve vaardig-heden op uiteenlopende domeinen van cogni-tieve activiteit werkzaam zouden moetenzijn? Gaat het niet veeleer om eenvoudige,concrete, lagere orde controleprocessen die – neurobiologisch gedistribueerd – op een lo-cale manier de uitvoering van specifieketaken reguleren? Volgens Vandierendoncke.a. (2007) gaat het bij elke cognitieve taak inde kern om de voortdurende vergelijking –control monitoring of conflictdetectie ge-noemd – van verschillende representaties dietijdelijk zijn opgeslagen in het werkgeheu-gen, namelijk van de doelsituatie (dat wat be-reikt moet worden), van de beperkingen diede taaksituatie oplegt (bijvoorbeeld in welkemodaliteit de respons moet worden gegevenen uit welke verzameling van responsen gekozen moet worden) en van de actuele si-tuatie (bijvoorbeeld een bepaalde stimulus).De relatie tussen stimulus en respons wordt

346PEDAGOGISCHE

STUDIËN

door deze representaties als het ware auto-matisch gemoduleerd: zo worden bepaalderoutes geactiveerd door de representaties vantaakdoel en taakbeperkingen, en andere on-derdrukt. Effecten als responsinhibitie enshifting, gerekend tot de centrale executievefuncties, kunnen, aldus Vandierendonck encollega’s, even goed verklaard worden uit automatische processen in associatieve net-werken met geactiveerde en gedeactiveerderelaties tussen de componenten van de taak-uitvoering. Het is een interessante, maarvooralsnog speculatieve gedachte dat onzebevinding dat vooral updating (het represen-teren van de voortgang van de taakuitvoeringten opzichte van de doelrepresentatie) van be-lang lijkt voor rekenvaardigheid, in principegoed past bij dit model. Onze taken om up-dating te meten (listening recall in studie 1,backwards digit recall in studie 2) zoudendan wijzen op (individuele verschillen in) decapaciteit om (complexe) taakrepresentatiesvoldoende lang en accuraat in het geheugenvast te houden, opdat basale automatischecontrole- en responsselectieprocessen hunwerk kunnen doen. De eerder gesuggereerdetrainbaarheid van updating wijst er dan mis-schien vooral op dat het proces van represen-teren van de taak (encoderen) didactisch on-dersteund kan worden.

Het belang van onze beide studies voorhet rekenonderwijs is dat ze inzicht bieden inde relatie tussen cognitieve variabelen vankinderen en hun mogelijkheden het rekenente begrijpen en ermee om te gaan. Bij reken-vaardigheid is het voor een effectieve taakuit-voering belangrijk dat representaties van detaak in verschillende codes met elkaar wor-den verbonden, van een doorgaans verbaleinput naar een kernoplossing op het niveauvan de getallenlijn en weer terug naar eenverbale output. Op al deze niveaus zouden debasale mechanismen van responsactivatie, re-sponsselectie en conflict monitoring hun rolspelen, waarbij naast mogelijke individueleverschillen in de efficiëntie van deze basaleprocessen, de kwaliteit van de representatiesen de capaciteit van het geheugen in de ver-schillende codes de resultaten van de taak-uitvoering beïnvloeden. Aanknopingspuntenvoor reken(ortho)didactiek zijn dan primairte vinden in het expliciet ondersteunen van

leerlingen in het encoderen van de taak en inhet verbinden van representaties in de ver-schillende codes. Hierbij kan gedacht wordenaan het opdelen in kleine stapjes voor kinde-ren die moeite hebben met updating, of hetverbaal of visueel ondersteunen van de shifttussen verbale en numerieke representaties inopgaven.

Noot

1 In deze studie is gebruik gemaakt van factor-

analyse, hoewel de steekproefgrootte relatief

klein is. Dit is mogelijk omdat 1) het alleen ge-

bruikt wordt om het aantal variabelen te redu-

ceren, niet om iets over de populatie te zeg-

gen, en 2) factoranalyse bij een steekproef

vanaf N = 20 mogelijk is, mits de communali-

ties relatief hoog zijn, wat hier het geval is

(Preacher & MacCallum, 2002).

Literatuur

Adams, J. W., & Hitch, G. J. (1997). Working me-

mory and children’s mental addition. Journal

of Experimental Child Psychology, 67, 21-38.

Alloway, T. P. (2007). Automated Working Memory

Assessment. London: Pearson Assessment.

Aunio, P. (2006). Number sense in young child-

ren. Helsinki, Finland: University of Helsinki.

Baddeley, A. D. (1996). Exploring the central exe-

cutive. The Quarterly Journal of Experimental

Psychology, 49A, 5-28.

Baddeley, A. D. (2000). The episodic buffer: A new

component of working memory? Trends in

Cognitive Sciences, 4, 417-423.

Barouillet, P., & Lépine, R. (2005). Working me-

mory and children’s use of retrieval to solve

addition problems. Journal of Experimental

Child Psychology, 91, 183-204.

Berch, D. B. (2008). Working memory and mathe-

matical cognitive development: Limitations of

limited-capacity resource models. Develop-

mental Neuropsychology, 33, 427-446.

Blair, C., & Razza, R. P. (2007). Relating effortful

control, executive function, and false belief un-

derstanding to emerging math and literacy

ability in kindergarten. Child Development, 78,

647-663.

Bull, R., Espy, K. A., & Senn, T. E. (2004). A com-

347PEDAGOGISCHE

STUDIËN

parison of performance on the Towers of Lon-

don and Hanoi in young children. Journal of

Child Psychology and Psychiatry, 45, 743-

754.

Bull, R., Espy, K. A., & Wiebe, S. A. (2008). Short-

term memory, working memory, and executive

functioning in preschoolers: Longitudinal pre-

dictors of mathematical achievement at age 7

years. Developmental Neuropsychology, 33,

205-228.

Bull, R., & Scerif, G. (2001). Executive functions

as a predictor of children’s mathematical abili-

ty: Inhibition, switching, and working memory.

Developmental Neuropsychology, 19, 273-293.

Dehaene, S. (1992). Varieties of numerical abili-

ties. Cognition, 44, 1-42.

Dehaene, S. (2001). Précis of the number sense.

Mind and Language, 16, 16-36.

Espy, K. A., McDiarmid, M. M., Cwik, M. F., Sta-

lets, M. M., Hamby, A., & Senn, T. (2004). The

contribution of executive functions to emer-

gent mathematic skills in preschool children.

Developmental Neuropsychology, 26, 465-

486.

Geary, D. C., Hoard, M. K., Nugent, L., & Byrd-

Craven, J. (2008). Development of number

line representations in children with mathema-

tical learning disability. Developmental Neuro-

psychology, 33, 277-299.

Gelman, R., & Gallistel, C. R. (1978). The child’s

understanding of number. Cambridge, MA:

Harvard University Press.

Gerstadt, C. L., Hong, Y. J., & Diamond, A. (1994).

The relationship between cognition and ac-

tion: Performance of children 3 1/2-7 years old

on a stroop-like day-night test. Cognition, 53,

129-153.

Hughes, C. (1998). Executive function in pre-

schoolers: Links with theory of mind and ver-

bal ability. British Journal of Developmental

Psychology, 16, 233-253.

Imbo, I., & Vandierendonck, A. (2008). Practice ef-

fects on strategy selection and strategy effi-

ciency in simple mental arithmetic. Psycholo-

gical Research, 72, 529-541.

Jordan, N. C., Kaplan, D., Locuniak, M. N., & Ra-

mineni, C. (2007). Predicting first-grade math

achievement from developmental number

sense trajectories. Learning Disabilities Re-

search & Practice, 22, 36-46.

Kroesbergen, E. H., Kolkman, M. E., & Bolier, W.

(2009). Early learning-related skills in relation

to preparatory mathematics. In J. B. Mottely &

A. R. Randall (Eds.), Early education: Lear-

ning, assessment and development (pp 113-

139). New York: Nova Science Publishers.

Kroesbergen, E. H., Luit, J. E. H. van, Lieshout, E.

C. D. M. van, Loosbroek, E. van, & Rijt, B. A.

M. van de. (2009). Young children at risk for

math disabilities: Counting skills and executive

functions. Journal of Psychoeducational As-

sessment, 27, 226-236..

Kroesbergen, E. H., Rijt, B. A. M. van de, & Luit,

J. E. H. van. (2007). Working memory and

early mathematics: Possibilities for early iden-

tification of mathematics learning disabilities.

Advances in Learning and Behavioral Disabi-

lities, 20, 1-19.

Laski, A. V., & Siegler, R. S. (2007). Is 27 a big

number? Correlational and causal connec-

tions among numerical categorization, num-

ber line estimation, and numerical magnitude

comparison. Child Development, 78, 1723-

1743.

Llorente, A. M., Williams, J., Satz, P., & D’Elia, L.

F. (2003). Children’s Color Trail Test. Lutz, Fl:

Psychological Assessment Resources.

Luit, J. E. H. van & Kroesbergen, E. H. (1998).

Cognitive Assessment System (Dutch adapta-

tion). Utrecht, Nederland: Universiteit Utrecht.

Maas, H. L. J. van der, Dolan, C. V., Grasman, R.

P. P. P., Wicherts, J. M., Huizenga, H. M., & Ra-

ijmakers, M. E. J. (2006). A dynamic model of

general intelligence: the positive manifold of

intelligence by mutualism. Psychological Re-

view, 113, 842-861.

Mazzocco, M. M. M. (2008). Introduction: Mathe-

matics ability, performance, and achievement.

Developmental Neuropsychology, 33, 197-

204.

McLean, J. F., & Hitch, G. J. (1999). Working me-

mory impairments in children with specific

arithmetic learning difficulties. Journal of Ex-

perimental Child Psychology, 74, 240-260.

Miyake, A., Friedman, N. P., Emerson, M. J., Witz-

ki, A. H., & Howerter, A. (2000). The unity and

diversity of executive functions and their con-

tributions to complex “frontal lobe” tasks: A la-

tent variable analysis. Cognitive Psychology,

41, 49-100.

Molen, M. van der. (2009). Working memory in

children with mild intellectual disabilities: Abili-

tes and training potential. Dissertatie. Univer-

siteit Utrecht, Utrecht, Nederland.

348PEDAGOGISCHE

STUDIËN

Passolunghi, M. C., Mammarella, I. C., & Altoè, G.

(2008). Cognitive abilities as precursors of the

early acquisition of mathematical skills during

first through second grades. Developmental

Neuropsychology, 33, 229-250.

Preacher, K. J., & MacCallum, R. C. (2002). Ex-

ploratory factor analysis in behavior genetics

research: Factor recovery with small sample

sizes. Behavior Genetics, 32, 153-161.

Rasmussen, C., & Bisanz, J. (2005). Representa-

tion and working memory in early arithmetic.

Journal of Experimental Child Psychology, 91,

137-157.

Rijt, B. A. M. van de, & Luit, J. E. H. van. (1998).

Effectiveness of the additional early mathe-

matics program for teaching children early

mathematics. Instructional Science, 26, 337-

358.

Siegler, R. S. (1996). Emerging minds, the pro-

cess of change in children’s thinking. New

York: Oxford University Press.

Siegler, R. S., & Booth, J. L. (2004). Development

of numerical estimation in young children.

Child Development, 75, 428-444.

Sikora, D. M., Haley, P., Edwards, J., & Butler, R.

W. (2002). Tower of London test performance

in children with poor arithmetical skills. Deve-

lopmental Neuropsychology, 21, 243-254.

Sluis, S. van der, Jong, P. F. de, & Leij, A. van der.

(2007). Executive functioning in children, and

its relations with reasoning, reading, and arith-

metic. Intelligence, 427-449.

Sluis, S. van der, Leij, A. van der, & Jong, P. F. de.

(2005). Working memory in Dutch children

with reading and arithmetic related learning

deficits. Journal of Learning Disabilities, 38,

207-221.

St Clair-Thompson, H. L., & Gathercole, S. E.

(2006). Executive functions and achievements

in school: shifting, updating, inhibition, and

working memory. The Quarterly Journal of Ex-

perimental Psychology, 59, 745-759.

Swanson, H. L. (2006). Cognitive processes that

underlie mathematical precociousness in

young children. Journal of Experimental Child

Psychology, 93, 239-264.

Swanson, H. L., & Beebe-Frankenberger, M.

(2004). The relationship between working me-

mory and mathematical problem solving in

children at risk and not at risk for serious math

difficulties. Journal of Educational Psychology,

3, 471-491.

Torbeyns, J., Verschaffel, L., & Ghesquière, P.

(2005). Simple addition strategies in a first-

grade class with multiple strategy instruction.

Cognition and Instruction, 23, 1-21.

Vandierendonck, A., Szmalec, A., Deschuyte-

neer, M., & Depoorter, A. (2007). Towards a

multicomponential view of executive control.

The case of response selection. In N. Osaka,

R. H. Logie & M. D’Esposito (Eds.), The cog-

nitive neuroscience of working memory (pp.

247-259). Oxford: Oxford University Press.

Ven, S. H. G. van der, Kroesbergen, E. H., Lese-

man, P. P. M., & Boom, J. (2008, juli). Execu-

tive functions and math learning. Paper ge-

presenteerd op de Jean Piaget Society 18th

Advanced course: Cognitive development:

Mechanisms and constraints, Geneve, Zwit-

serland.

Voorde, R. ten. (2008). De invloed van een inter-

ventie op de rekenvaardigheid van reken-

zwakke kleuters: Tellen versus werkgeheu-

gen. Masterthesis. Universiteit Utrecht, Utrecht,

Nederland.

Welsh, M. C. (2002). Development and clinical va-

riations in executive functions. In D.L. Molfese

& V.J. Molfese (Eds.), Developmental varia-

tions in learning. Applications to social, execu-

tive function, language, and reading skills (pp.

139-185). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Wheeler, L. R. (1939). A comparative study of the

difficulty of the 100 addition combinations.

The Journal of Genetic Psychology, 54, 295-

312.

Wiebe, S. A., Espy, K. A., & Charak, D. (2008).

Using confirmatory factor analysis to under-

stand executive control in preschool children:

I. Latent structure. Developmental Psychology,

44, 575-587.

Wu, S. S., Meyer, M. L., Maeda, U., Salimpoor, V.,

Tomiyama, S., Geary, D. C., et al. (2008).

Standardized assessment of strategy use and

working memory in early mental arithmetic

performance. Developmental Neuropsycholo-

gy, 33, 365-393.

Zelazo, P. D. (2006). The dimensional change

card sort (dccs): A method of assessing exe-

cutive function in children. Nature Protocols,

1, 297-301.

Manuscript aanvaard: 28 juli 2009

349PEDAGOGISCHE

STUDIËN

Auteurs

Evelyn Kroesbergen is universitair docent ortho-

pedagogiek aan de Universiteit Utrecht. Sanne

van der Ven en Meijke Kolkman werken als aio

en Hans van Luit en Paul Leseman als respec-

tievelijk hoogleraar Dyscalculie en hoogleraar

Orthopedagogiek bij deze universiteit.

Correspondentieadres: Dr. E. H. Kroesbergen,

Universiteit Utrecht, Langeveld Instituut, Postbus

80140, 3508 TC Utrecht. E-mail: e.h.kroesbergen@

uu.nl.

Abstract

Executive functions and the development

of (preparatory) Math skills

Recent studies have given empirical evidence

that executive functions are important predictors

of individual differences in the development of

(preparatory) math skills. Executive functions are

an umbrella term for different complex skills

necessary for the adequate execution of goal-

directed activities, such as inhibition of dominant

automatic responses, shifting between different

response sets and updating for temporary sto-

rage and processing of information. The role of

the three executive functions in the development

of early mathematics is discussed. Two studies of

our research group are described, which show

that updating is the most important predictor in

early mathematical development. The conclu-

sions are discussed in terms of the validity of the

often made distinction between different executive

functions.