EL EMPLEO DE LA SIMULACIÓN EN LA OPTIMIZACIÓN DE …
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MIM-2004-II-12 i EL EMPLEO DE LA SIMULACIÓN EN LA OPTIMIZACIÓN DE POLÍTICAS DE MANTENIMIENTO LEONCIO ANDRÉS NAVARRO DULCEY UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENERÍAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C. 2004
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EL EMPLEO DE LA SIMULACIÓN EN LA OPTIMIZACIÓN DE POLÍTICAS DE MANTENIMIENTO
LEONCIO ANDRÉS NAVARRO DULCEY
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENERÍAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C.
2004
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EL EMPLEO DE LA SIMULACIÓN EN LA OPTIMIZACIÓN DE POLITICAS DE MANTENIMIENTO
LEONCIO ANDRÉS NAVARRO DULCEY
Proyecto para optar al titulo de Magíster en Ingeniería Mecánica
Asesor Rafael Beltrán Pulido
M. Sc. Ingeniería Mecánica
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENERÍAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C.
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Nota de Aceptación
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__________________________________ Rafael Beltrán Pulido
M. Sc. Ingeniería Mecánica.
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Bogotá D.C., 17 de Enero de 2005 Doctor Álvaro Pinilla Director Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes Ciudad
Reciba un cordial saludo.
Presento a usted el informe de la tesis de grado “El Empleo de la Simulación en la Optimización de Políticas de Mantenimiento” elaborado por Leoncio Andrés Navarro Dulcey, como requisito parcial para optar por el titulo de Magíster en Ingeniería Mecánica. Cordialmente, _______________________________ Rafael Beltrán Pulido Asesor
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Bogotá D.C., 17 de Enero de 2005. Doctor Álvaro Pinilla Director Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes Ciudad Reciba un cordial saludo. Presento a usted el informe de la tesis de grado “El Empleo de la Simulación en la Optimización de Políticas de Mantenimiento”, como requisito parcial para optar por el titulo de Magíster en Ingeniería Mecánica. Este proyecto cumple con los objetivos planteados y representa un primer paso en el campo estudiado de la simulación de eventos en ingeniería de la Confiabilidad. Cordialmente, _______________________________ Leoncio Andrés Navarro Dulcey
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AGRADECIMIENTOS El autor expresa sus agradecimientos a: Rafael Beltrán Pulido, M. Sc. Ingeniería Mecánica, Profesor Titular, Universidad de los Andes, por todo el apoyo prestado. Andrés Medaglia, Ingeniería Industrial, Profesor Titular, Universidad de los Andes, por la asesoría, y el respaldo brindado
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TABLA DE CONTENIDO
Pág. 1 ASPECTOS TEORICOS ............................................................................................ 2
1.1 TRABAJO PREVIO AL TEMA ........................................................................ 2 1.1.1 Nacional ........................................................................................................ 2 1.1.2 Internacional ................................................................................................ 2
2 CONCEPTOS BÁSICOS ............................................................................................ 3 2.1 DEFINICIÓN DEL MANTENIMIENTO ......................................................... 3
2.1.1 Mantenimiento Correctivo .......................................................................... 3 2.1.2 Mantenimiento Preventivo .......................................................................... 4
2.2 INDICADORES DEL DESEMPEÑO................................................................ 5 2.2.1 Número de Fallos ......................................................................................... 5 2.2.2 Disponibilidad .............................................................................................. 5 2.2.3 Confiabilidad ................................................................................................ 7 2.2.4 Funciones de Costo ...................................................................................... 7
3 ANÁLISIS DE SISTEMAS REPARABLES ............................................................. 8 3.1 PROCESOS DE CONTEO ................................................................................. 8 3.2 TEORÍA DE LA RENOVACIÓN ...................................................................... 8 3.3 POLÍTICA DE MANTENIMIENTO PREVENTIVO BASADA EN EL TIEMPO DE OPERACIÓN ......................................................................................... 10 3.4 OPTIMIZACIÓN DEL MANTENIMIENTO ................................................ 11
4 METODOLOGÍA GENERAL PARA LA OPTIMIZACIÓN DEL MANTENIMIENTO.......................................................................................................... 13
4.1 CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO QUE REPRESENTE UN EQUIPO O SISTEMA........................................................................................................................ 13
4.1.1 Diagrama de Bloques de Confiabilidad ................................................... 14 4.2 ANÁLISIS ESTADISTICO SOBRE DATOS DE VIDA UTIL RECOLECTADOS EN CAMPO ................................................................................. 15
4.2.1 Determinación de modelos de funciones de Distribución....................... 16 4.2.2 Estimación de Parámetros de la distribución Weibull ........................... 17 4.2.3 Pruebas de ajuste de los modelos.............................................................. 19
5 GENERACIÓN DE DISTRIBUCIONES ESTADISTICAS POR COMPUTADOR ................................................................................................................ 21
5.1 GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS .......................................... 21 5.2 NÚMEROS ALEATORIOS AJUSTADOS A UNA DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA .............................................................................................................. 23
5.2.1 Transformación Inversa ............................................................................ 23
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5.2.2 Composición ............................................................................................... 26 5.2.3 Convolución ................................................................................................ 26 5.2.4 Aceptación y Rechazo ................................................................................ 26
5.3 SIMULACIÓN DE MONTECARLO PARA EVALUACIONES DE CONFIABILIDAD......................................................................................................... 27
5.3.1 Análisis de la confiabilidad y disponibilidad por medio de la Simulación 27 5.3.2 Tipo de simulación de acuerdo con el análisis de los resultados............ 27 5.3.3 Análisis estadístico para Simulaciones Con Recorrido de Tiempo Finito 27 5.3.4 Cantidad de réplicas requeridas por cada simulación ........................... 28 5.3.5 Certidumbre en los resultados obtenidos ................................................ 30 5.3.6 Tiempo de ejecución de máquina ............................................................. 30 5.3.7 Presentación de resultados ........................................................................ 31
6 SIMULACIÓN EN EXCEL...................................................................................... 31 6.1 LÓGICA DE PROGRAMACIÓN ................................................................... 32
6.1.1 Variables generales generadas a partir de contadores ........................... 32 6.1.2 Conjugación de tiempos operativos de componentes ............................. 34
6.2 IMPLEMENTACIÓN DEL MÓDULO DE OPTIMIZACIÓN PARA LA POLÍTICA DEL MANTENIMIENTO........................................................................ 37
7 APLICACIÓN CONCRETA DE LA METODOLOGIA A UN GRUPO DE DATOS REALES DE CAMPO ........................................................................................ 38
7.1 ANÁLISIS DE DATOS DE CAMPO............................................................... 38 7.1.1 Análisis preliminar de la información recolectada ................................. 38 7.1.2 Descripción del sistema.............................................................................. 39 7.1.3 Grupos de Fallas identificados por componentes ................................... 39
7.2 AJUSTE DE LOS DATOS A UNA DISTRIBUCIÓN DEFINIDA DE OCURRENCIA DE FALLAS....................................................................................... 40 7.3 ANÁLISIS ECONÓMICO: COSTOS DEL MANTENIMIENTO ............... 42 7.4 SIMULACIÓN DE POLITICAS DE MANTENIMIENTO ÓPTIMAS ...... 43
7.4.1 Determinación del número de réplicas .................................................... 43 7.4.2 Resultados de la implementación de las políticas de Mantenimiento Preventivo ................................................................................................................... 45
7.5 VALIDACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE SIMULACIÓN ............................................................................................................... 47
7.5.1 Validación frente a modelos matemáticos ............................................... 47 8 CONCLUSIONES...................................................................................................... 50 REFERENCIAS ................................................................................................................. 51 ANEXOS ............................................................................................................................. 53
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LISTA DE TABLAS
Pág. Tabla 1 Estadísticos descriptivos para la regresión para los datos de MCUL ..................... 40 Tabla 2 Comparación de parámetros obtenidos por el Método de Mínimos Cuadrados y el
de Máxima Verosimilitud ............................................................................................ 40 Tabla 3 Valores intermedios para la Prueba de bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov
para Weibull, agrupación de datos MCUL .................................................................. 41 Tabla 4 Valores de estadísticos KS obtenidos para MSEL y MREST ................................ 41 Tabla 5 Parámetros de las distribuciones correspondientes a duraciones de intervenciones
de mantenimiento por componentes. ........................................................................... 42 Tabla 6 Costos estimados en que se incurre de acuerdo con el tipo de intervención de
mantenimiento.............................................................................................................. 42 Tabla 7 Tiempos política optima del mantenimiento preventivo sobre la base de los costos
y la No confiabilidad presentada por componentes. .................................................... 42 Tabla 8 Comparación de los valores obtenidos de intervalos de confianza para los
indicadores de Confiabilidad y Disponibilidad del sistema bajo análisis.................... 44 Tabla 9 Comparación de los valores obtenidos en el estadístico Tiempo medio para la
aparición de la primera falla, MTTF, vs. El Tiempo Medio para la aparición de Falla obtenido por solución analítica. ................................................................................... 49
Tabla 10 Intervalos de Confianza obtenidos para componente MCUL de acuerdo con incrementos presentados el Tiempo Meta de la Simulación........................................ 49
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LISTA DE FIGURAS
Pág. Figura 1 Representación de un proceso de renovación alternativo........................................ 9 Figura 2 Representación del tiempo fuera de un sistema como función de los tiempos fuera
de cada uno de los componentes. ................................................................................. 10 Figura 3 Representación del comportamiento de un Sistema Reparable bajo una política de
Mantenimiento Preventivo, basada en la duración de su funcionamiento................... 11 Figura 4 Desglose de la máquina o equipo en evaluación en sus respectivos componentes14 Figura 5. Asignación de funciones por componente y modos de falla correspondientes. ... 14 Figura 6. Identificación de causas correspondientes............................................................ 14 Fig. 7. Diagrama de Bloque De Confiabilidad .................................................................... 15 Figura 8 Procedimiento de “barajado” empleado para romper las correlaciones en el
generador de Estándar Mínimo. ................................................................................... 22 Figura 9. Método de transformación inversa ....................................................................... 24 Figura 11. Gráfica de los costos por unidad de tiempo incurridos vs. el tiempo de
intervención de mantenimiento para el componente MREST. .................................... 43 Figura 12 Comparación gráfica de los valores obtenidos en Confiabilidad y Disponibilidad
Media para el sistema Completo, a partir de la implementación de las Políticas de Mantenimiento Preventivo........................................................................................... 45
Figura 13 Comparación gráfica de los variaciones en Confiabilidad y Disponibilidad Puntual para el sistema Completo, frente a la implantación de las Políticas de Mantenimiento Preventivo........................................................................................... 46
Figura 14 Confiabilidad por componentes, comparación entre los resultados del modelo analítico vs. el método de Monte Carlo ....................................................................... 47
Figura 15 Confiabilidad resultante de la conjugación de los datos de falla de cada uno de los componentes de la unidad productiva, comparación entre los resultados del modelo analítico vs. el método de Monte Carlo ....................................................................... 48
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LISTA DE ANEXOS
Pág. Anexo 1. Tiempos de falla unidad de bombeo. ................................................................ 54 Anexo 2. Valores Críticos Del Estadístico De Kolmogorov-Smirnov............................ 56 Anexo 3. Diagrama lógico para la implantación de la política de Mantenimiento
Preventivo ................................................................................................................... 57 Anexo 4. Ejemplo de lógica de programación para Simulación del sistema en análisis
siguiendo Mantenimiento Correctivo....................................................................... 58 Anexo 5. Ejemplo de lógica de programación para Simulación del sistema en análisis
siguiendo Mantenimiento Preventivo....................................................................... 59 Anexo 6. Código para el Generador de números aleatorios empleado en las rutinas de
Simulación en Excel ................................................................................................... 60 Anexo 7. Código para Solución de integrales en Excel................................................... 62
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INTRODUCCIÓN El departamento de mantenimiento comprende uno de los pilares fundamentales de cualquier empresa productiva cuyas unidades operativas comprendan sistemas reparables. Los gerentes hoy en día tienen la necesidad no solo de tener control sobre desempeño del negocio, sino que también requieren asegurar la máxima capacidad productiva con una mínima inversión de capital. El departamento de mantenimiento en muchas empresas es un área donde el pensamiento tradicional esta firmemente arraigado, y a menudo las actividades se encuentran fijadas o desarrolladas empleando programas estáticos o de lentitud considerable para responder a las necesidades cambiantes. Es ahí donde radica la importancia de desarrollar una generación nueva de herramientas para apoyar la toma de decisiones que asegure que una de las áreas más grandes en el presupuesto de operación sea optimizada. En el diseño de políticas de mantenimiento óptimo es necesario establecer valores óptimos para todos los parámetros de decisión del sistema. Desafortunadamente, la mayoría de los factores que afectan el desempeño de las políticas de mantenimiento son inherentes al sistema y no pueden ser empleadas como variables de decisión. De los pocos factores que juegan un papel importante en el desempeño y a la vez pueden ser considerados como parámetros de diseño para dichas políticas de mantenimiento son la extensión del intervalo de las intervenciones de mantenimiento programadas y las intervenciones de inspección En este trabajo de investigación se propone un método sistemático para la construcción de un modelo generalizado de optimización del intervalo de mantenimiento preventivo, como herramienta para el control futuro adecuado en la gestión y operación del mantenimiento de equipos con alta criticidad o con una significativa importancia técnica y /o económica para la industria.
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1 ASPECTOS TEORICOS
1.1 TRABAJO PREVIO AL TEMA En la Universidad de Los Andes se ha venido desde hace algún tiempo realizando estudios en campo de la optimización del mantenimiento cuyo enfoque se ha concentrado en definir metodologías para aprovechar los beneficios de identificar modelos estadísticos adecuados para el manejo de los datos de falla del mantenimiento.
1.1.1 Nacional A nivel nacional son varias las Universidades e Instituciones que se han interesado por el tema de la investigación en el campo del mantenimiento, Universidades como Los Andes, y la EAFIT, Norte, y entidades como COLCIENCIAS donde se manejan grupos de investigación en los cuales se experimentan avanzados modelos para el análisis de fallos y reparaciones, tratando de modelar el comportamiento futuro de los equipos estudiados.
1.1.2 Internacional A nivel internacional son diversos los estudios que se realizan, no solamente a nivel Universitario, sino también a nivel de grandes organizaciones empresariales. Son igualmente numerosas las comunidades de científicos, ingenieros, que se centran en aportar sus conocimientos en pro de desarrollos compartidos en los campos de la confiabilidad de los sistemas. Grandes asociaciones reconocidas como la SAE, el API, entre otras, centran mucho de sus esfuerzos en definir avances investigativos centrados en el estudio del mantenimiento y sus posibles mejoras.
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2 CONCEPTOS BÁSICOS
A continuación se presenta una serie de conceptos que son ampliamente aceptados dentro de la comunidad investigativa de la ingeniería de la confiabilidad y que son de relevancia para el objeto de la presente investigación
2.1 DEFINICIÓN DEL MANTENIMIENTO
En general el mantenimiento es una acción que repone la condición operacional de una unidad que ha fallado, o asegura el estado operacional de unidades que no han fallado a un tiempo determinado. Para los Sistemas Reparables (SR), el mantenimiento juega un papel fundamental en la vida útil de un componente o sistema. La administración del mantenimiento tiene influencia en indicadores de desempeño de los sistemas, tales como la confiabilidad general, la disponibilidad, el tiempo fuera, y los costos de operación. Generalmente las acciones de mantenimiento pueden ser divididas en varios tipos, de las cuales nos interesan: el mantenimiento correctivo, y el mantenimiento preventivo. Existen otras varias clasificaciones para el mantenimiento, como el predictivo, o el mejorativo por ejemplo, pero estas no se tendrán en cuenta dentro del objeto de este trabajo.
2.1.1 Mantenimiento Correctivo Las acciones de Mantenimiento Correctivo (CO) consisten en devolverle el estado operacional a un sistema que ha fallado. Esto usualmente tiene que ver con reponer o reparar componentes cuya falla (desviación o falta a presentar el comportamiento o función para la cual fueron diseñados) que de manera imprevista se ha presentado, ha interrumpido la funcionalidad general del sistema al cual estos componentes pertenecen. El mantenimiento correctivo, por tanto es realizado a intervalos aleatorios, dado que el comportamiento del tiempo para presentarse la falla no es conocido a priori. El objetivo del mantenimiento correctivo es reponer la operación satisfactoria de un equipo en el menor tiempo posible. Esto, en la mayoría de las veces no se cumple a cabalidad, dado que generalmente, las fallas que no avisan suelen ser más dramáticas, costosas, y acostumbran presentarse en los momentos de mayor exigencia de los equipos, y que suponen regimenes de alta productividad requeridos. Igualmente, el equipo, la herramienta y repuestos, además del recurso de personal de emergencia para atender estas fallas imprevistas, representan un costo mayor, dado la característica de urgencia frente a un paro crucial de la productividad, y más en aquellas empresas, donde la efectividad y el cumplimiento con la entrega de productos son imperativos (Cuatrecasas, 2000).
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2.1.2 Mantenimiento Preventivo A diferencia del mantenimiento correctivo, esta práctica se concentra en la reposición o cambio de elementos de componentes, o subsistemas antes que estos elementos fallen, con la finalidad de promover la operación continuada del sistema intervenido. La programación del Mantenimiento Preventivo (MP) debe ser realizada sobre la base del comportamiento observado de los equipos en operación, los mecanismos de desgaste de los componentes, y el conocimiento de cuales componentes son vitales para asegurar la operación continuada del sistema. El costo es siempre un factor importante para la programación del mantenimiento preventivo. Cabe anotar que la confiabilidad puede ser también un factor fundamental, pero el costo es un término más general debido a que la confiabilidad y el riesgo pueden ser expresados en términos de costos. En muchas circunstancias, es financieramente mas adecuado reemplazar piezas o componentes que no han fallado, esto a intervalos previamente definidos, que esperar que el sistema falle con implicaciones de seguridad, y con interrupción extendida de la operatividad, dependiendo de la extensión e importancia de la falla inesperada. Al revisar y comparar costos de planificar intervenciones de mantenimiento, uno debe revisar los beneficios a largo plazo y ahorros asociados con el mantenimiento preventivo. Sin mantenimiento preventivo se puede eventualmente incurrir en costos por tiempos perdidos de producción resultantes de la aparición de una falla inesperada. Los ahorros a largo plazo, son resultado del incremento en la vida útil efectiva de los sistemas y equipos. Los beneficios a largo plazo de un mantenimiento preventivo incluyen:
• Confiabilidad mejorada del sistema • Costo decreciente de repuestos en reparaciones críticas. • Menores tiempos no operativos del sistema. • Mejor administración de inventarios de repuestos.
La comparación de los efectos a largo plazo, y de costos incurridos, usualmente favorecen a las intervenciones programadas sobre las intervenciones correctivas. (Cuatrecasas, 2000) La decisión de implantar mantenimientos preventivos se sustenta fundamentalmente si se cumplen las siguientes condiciones:
• Que el componente en cuestión, presente una tasa incremental de fallos, es decir que exhiba un comportamiento de desgaste con el tiempo.
• Que el costo total de la acción de mantenimiento preventivo sea menor que el costo total de una acción correctiva. Para los costos incurridos de una intervención correctiva, deben incluirse todos aquellos costos tangibles o intangibles, tales como costos por tiempo fuera, costos de perdida de producción, demandas por faltas frente a compromisos de entrega, costos perdidos de oportunidad, perdida de imagen frente al cliente, etc.
Si ambas condiciones se cumplen, luego el mantenimiento preventivo tiene sentido.
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2.2 INDICADORES DEL DESEMPEÑO
El desempeño de un Sistema Reparable (SR) puede ser medido de varias formas. Se consideran tres categorías para los indicadores de desempeño de un SR (Cassady, 2002):
(1) Número de Fallos. (2) Indicadores de disponibilidad y confiabilidad. (3) Indicadores de costo.
2.2.1 Número de Fallos Se expresa por medio de N(t) el número de fallos en las primeras t unidades de la operación de un SR. Debido a la naturaleza estocástica (aleatoria) del comportamiento de un SR, N(t) es una variable aleatoria. Por tanto, la atención se enfocará en determinar el valor esperado, la varianza y la distribución de probabilidad de N(t).
2.2.2 Disponibilidad Esta puede ser definida de forma sencilla como la proporción de tiempo en la cual un Sistema Reparable SR se encuentra en la condición de funcionamiento. Las definiciones específicas para la disponibilidad encontradas en la literatura de SR están basadas en la función de estado del SR dada por una variable binaria según Barlow (1965):
( ) 1=tX , si el sistema está operando dentro de las tolerancias a un tiempo t, mientras que valdrá 0 de cualquier otra manera. Existen varias definiciones para la disponibilidad. Esta variedad depende básicamente de que clase de tiempos no operativos sean seleccionados a considerar dentro del análisis y calculo de la misma. Las definiciones de disponibilidad escogidas para el presente trabajo de investigación son:
• Disponibilidad puntual • Disponibilidad de tiempo operativo promedio, o Disponibilidad media. • Disponibilidad Inherente • Disponibilidad alcanzada
2.2.2.1 Disponibilidad Puntual o Instantánea G(t) La disponibilidad puntual o instantánea es aquella que comprende la probabilidad que un sistema o un componente se encuentren operativos (en funcionamiento) a un tiempo definido t, (Cassady, 2002)
( ) [ ]1)( == tXPtG (2.1)
Es muy similar a la función de confiabilidad (Confiabilidad denotada como R(t))en el sentido que describe la probabilidad de que un sistema se encuentre funcionando a un tiempo dado t. Se diferencian en que la disponibilidad puntual acumula la información de mantenibilidad. La mantenibilidad se expresa como la probabilidad que el elemento funcione correctamente desde la última reparación a un tiempo u, con 0 < u < t de acuerdo con la siguiente ecuación:
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Mantenibilidad = � ⋅−t
duumutR0
)()( (2.2)
Con m(u) siendo la función de densidad de renovación del sistema. Luego la disponibilidad puntual es la suma de la confiabilidad R(t) y la Mantenibilidad
� ⋅−+=t
duumutRtRtG0
)()()()( (2.3)
Esta medida es típicamente difícil de obtener y rara vez empleada en la práctica.
2.2.2.2 Disponibilidad de tiempo operativo promedio o Disponibilidad Media H(t) La disponibilidad media es la proporción de tiempo (dentro de un tiempo meta) que el sistema se encuentra habilitado para su uso. Representa el valor medio de la función de Disponibilidad puntual sobre el periodo (0,t] y está dada por
�=t
duuGt
tH0
)(1
)( (2.4)
Dado que está basada en G(t), la disponibilidad de intervalo o disponibilidad promedio, es también rara vez empleada en la práctica. (Cassady, 2002)
2.2.2.3 Disponibilidad Límite La medida de la disponibilidad más comúnmente empleada es la Disponibilidad límite, A
)(lim tGAT ∞→
= (2.5)
La disponibilidad límite es a menudo, fácil de obtener. Sin embargo existen casos en los cuales la Disponibilidad límite no existe (Cassady, 2002). Dependiendo de que política de mantenimiento se emplee, la disponibilidad límite puede tomar dos expresiones, la disponibilidad límite inherente, y la disponibilidad límite alcanzada. Disponibilidad Límite Inherente, AI La disponibilidad inherente es la disponibilidad de estado estable cuando solamente se considera el tiempo correctivo de un sistema. Para un componente simple, esta disponibilidad se calcula como
MTTRMTTFMTTF
AI += (2.6)
Donde MTTF es el tiempo promedio para la falla, y MTTR es el tiempo promedio para la reparación (Cassady, 2002). Si se habla de sistemas, uno no trabaja el tiempo promedio para la aparición de falla, sino, el tiempo promedio entre fallas, MTBF, como se describe a continuación:
MTTRMTBFMTBF
AI += (2.7)
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Disponibilidad Límite Alcanzada AA La disponibilidad alcanzada u obtenida es muy similar a la disponibilidad inherente, con la excepción que esta incluye los tiempos por fuera debidos al Mantenimiento Preventivo (MP). Específicamente, es la disponibilidad de estado estable cuando se consideran los tiempos fuera por intervenciones correctivas y preventivas de un sistema. Esta puede ser calculada al revisar el tiempo promedio entre intervenciones de mantenimiento MTBM, y la duración promedio de las intervenciones de mantenimiento, M, o
MMTBMMTBM
AA +=
(2.8)
2.2.3 Confiabilidad La confiabilidad es la probabilidad de que los equipos o procesos funcionen sin fallar, cuando son operados correctamente por un intervalo dado de tiempo, bajo unas condiciones establecidas (Lawless, 1993) y que viene dada por la siguiente ecuación
)()(1)( tTPtFtR >=−= (2.9)
Donde F(t) es la función de distribución acumulativa de las fallas que presente el sistema analizado en cuestión, mientras que T es una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida (I.I.D.), que representa el tiempo para la aparición de una falla, y que sigue la misma función de densidad de probabilidad definida anteriormente. Las fallas en los equipos y en los procesos consumen dinero por problemas de no confiabilidad. El problema del manejo de la confiabilidad es el control de las fallas para reducir los costos y mejorar las operaciones aumentando el desempeño del negocio, con niveles adecuados de confiabilidad.
2.2.4 Funciones de Costo Son frecuentemente empleadas para evaluar el desempeño de un SR. La forma de estas funciones depende de las características de confiabilidad y mantenibilidad del SR de interés (Cassady, 2002). Sin embargo, estas funciones típicamente incluyen un grupo de los siguientes parámetros de costo: cf costo de una falla cd costo (por unidad de tiempo) del Tiempo Fuera cCO costo (por unidad de tiempo) del Correctivo (CO) cMP costo (por unidad de tiempo) del Preventivo (MP) ca costo de reemplazar el SR
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3 ANÁLISIS DE SISTEMAS REPARABLES
3.1 PROCESOS DE CONTEO Se considera un Sistema Reparable SR (sistema, subsistema o componente) puesto en operación a un tiempo t = 0. La primera falla ocurre a un tiempo S1. Se repara y se repone a su estado funcional nuevamente. La segunda falla ocurre a un tiempo S2, y así sucesivamente. Se tiene una secuencia de tiempos de falla S1, S2, S3,… Denotando Tj para j = 1,2,… como el tiempo entre la falla j -1 y la falla j, donde S0 es tomado como 0, Tj se denominará el tiempo entre ocurrencia j para j=1, 2,…n. Se asume que la secuencia de los tiempos entre ocurrencia, T1, T2, T3,…será generalmente independiente e idénticamente distribuida (I.I.D.), dado que se asume a su vez que el sistema es repuesto o llevado nuevamente a su condición de “tan bueno cómo nuevo”, y las condiciones operacionales se mantienen constantes a lo largo del periodo. Una variable aleatoria de especial interés es N(t), la cual representa el número de fallas en el intervalo de tiempo (0, t]. El proceso {N(t), t>=0 } es denominado un proceso estocástico, o más específicamente un proceso de conteo (Crowder, 1991) Definición: Un proceso estocástico {N(t), t>=0 } es llamado un proceso de conteo si N(t) satisface:
1. N(t) >=0 2. N(t) es un valorado en números enteros. 3. Si s < t luego N(s) <= N(t) 4. Para s < t, [N(t)-N(s)] representa el número de fallas que han ocurrido en el
intervalo (s, t] El análisis de datos de vida útil de un Sistema Reparable debería comenzarse siempre estableciendo una gráfica de N(t). Si N(t) como una función del tiempo t es no lineal, cualquier método basado en la suposición de tiempos independientes e idénticamente distribuidos entre fallas es obviamente no apropiado para tal fin. No es seguro, sin embargo, que tales métodos sean apropiados aún cuando la curva de N(t) esté muy cercana a una línea recta. Los tiempos entre ocurrencias por ejemplo, pueden estar fuertemente correlacionados, lo cual merece un análisis más profundo a nivel estadístico, con conocimiento pleno de la mecánica de los fenómenos observados.
3.2 TEORÍA DE LA RENOVACIÓN
Para un sistema reparable, el tiempo de operación no es continuo. En otras palabras, el ciclo de vida de un SR puede ser definido como una secuencia de estados operativos y no operativos. Atendiendo un mantenimiento exclusivamente correctivo, un sistema opera
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hasta que falle. A partir de la falla es reparado, y es nuevamente llevado a su estado operativo original. Eventualmente volverá a fallar, y así sucesivamente. Esto es denominado un proceso de renovación simple y es definido en otras palabras como una secuencia de variables aleatorias independientes y no negativas. En este caso, las variables aleatorias representan tiempos para la presentación de una falla, y tiempo para ejecutar la reparación o intervención correctiva respectiva. Se describe a Ti como la duración del i-ésimo intervalo de funcionamiento del SR. Debido a la suposición de “como nuevo”, {T1, T2,….} es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas I.I.D. Se describe Di como la duración de la i-ésima acción de Mantenimiento Correctivo CO. En este caso {D1, D2,….} es una secuencia de variables aleatorias I.I.D. Por tanto, cada ciclo (Funcionamiento, Intervención de Mantenimiento CO) tiene un comportamiento probabilístico idéntico, y la culminación de una intervención de CO es un punto de renovación para el proceso estocástico { }0),( ≥ttX . El tipo de proceso de renovación que se presenta para los sistemas reparables es un proceso de renovación alternativo, dado que el estado del componente, alterna entre el estado de funcionamiento, y el estado de reparación, como muestra la Figura 1.
Figura 1 Representación de un proceso de renovación alternativo Un proceso de renovación de un sistema es determinado por los procesos de renovación de sus componentes. Por ejemplo, considere un sistema en serie de tres componentes, estadísticamente independientes. Esto quiere decir que cada componente tiene su propia distribución de fallos y su propia distribución de tiempos para la reparación. Dado que los componentes se encuentran en serie, si uno de los componentes falla, el sistema entero falla. El sistema se encontrará por fuera de línea, en estado No Operativo, por tanto tiempo mientras dure la reparación del componente o de los componentes que hayan fallado. La Figura 2 muestra en términos gráficos lo expuesto anteriormente. Los elementos A, B. y C se encuentran dispuestos en serie en el bloque de Confiabilidad:
Escala de tiempo
Operativo Operativo Operativo
En reparación En reparación
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Figura 2 Representación del tiempo fuera de un sistema como función de los tiempos fuera de cada uno de los componentes.
3.3 POLÍTICA DE MANTENIMIENTO PREVENTIVO BASADA EN EL TIEMPO DE OPERACIÓN
Se asume que el Sistema Reparable SR en consideración tiene una distribución con tasa incremental de fallo. El tiempo para la presentación de una Falla, representado por Ti , puede ser una variable aleatoria siguiendo una distribución Weibull con parámetro de forma )1( >ββ y parámetro de escala α . Añadiendo, se asume que el SR puede ser restaurado a su condición “Como nuevo” con una intervención de Mantenimiento Correctivo CO, o una intervención de Mantenimiento Preventivo MP. Se asume que el MP es más rápido y/o más económico que el Mantenimiento Correctivo CO. En una situación como ésta, es de interés desarrollar una política optimizada de MP para el SR (Barlow, 1965). Considere un SR del tipo descrito en el párrafo anterior, y asuma que se desea identificar una política de MP óptima basada en el tiempo de funcionamiento del SR. Una política de MP basada en el tiempo de funcionamiento será representada por τ e implica que los MP´s son llevados a cabo si el SR funciona sin fallos por un periodo de τ unidades de tiempo, seleccionado con anterioridad. En otras palabras, la intervención de Mantenimiento ocurre a la presentación de una falla (CO), o al tiempo definido τ (MP), cualquiera ocurra primero. A menos que se especifique lo contrario, el valor de τ se asume como constante. Se pueden modificar los modelos de probabilidad existentes para identificar el valor de τ que maximice la disponibilidad límite (A) del SR.
ESCALA DE TIEMPO
SISTEMA
Componente C
Componente B
Componente A
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Se describe el tiempo T como la duración de un intervalo de funcionamiento dentro de los límites de tolerancia del SR. Se describe a DMP como la duración de una acción de MP, y DCO como la duración de una acción de CO. La Figura 3 contiene una descripción gráfica de las condiciones que intervienen el comportamiento de un SR bajo una política de MP basada en la duración del funcionamiento (Tiempo Operativo).
Figura 3 Representación del comportamiento de un Sistema Reparable bajo una política de Mantenimiento Preventivo, basada en la duración de su funcionamiento
3.4 OPTIMIZACIÓN DEL MANTENIMIENTO Se considera para la optimización, la política de reemplazo basada en el Tiempo Operativo, descrita en el numeral anterior. En un modelo de reemplazo (o reparación como nuevo) con recorrido de tiempo finito, se apunta hacia una optimización al tratar de minimizar el costo esperado C(τ ), incurrido en el intervalo [0, τ ], donde el costo puede ser computado en unidades monetarias, de tiempo, o una combinación de ambos. Para un recorrido de tiempo infinito, una función objetivo apropiada es el costo esperado por unidad de tiempo, expresado como
τττγ )(
)( lim0
C
∞→≡ (3.1)
Notación τ Tiempo de intervención planeada γ Costo esperado unitario sobre el tiempo τ
Al denotar N1(τ ) como el número de fallas incurridas durante [0, τ ], y N2(τ ) como el número de intervenciones de mantenimiento preventivo durante [0, τ ], se puede expresar el costo esperado durante el periodo [0, τ ] como
{ } { })()()( 2211 τττ NEcNEcC +≡ (3.2)
donde c1 es el costo de una falla crítica y c2 es el costo para una intervención programada. Solamente se consideran reemplazos por Tiempo Operativo no aleatorios en la búsqueda de la política que minimice el costo especifico de )(τγ para un recorrido de tiempo infinito.
SR en funcionamiento
Si τ>T luego τ DMP
Ejecución del MP Ejecución del CO
DCO
Si τ≤T
luego T
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Partiendo de la definición de costo específico:
{ } { }��
���
� +≡∞→ τ
ττ
ττγ )()()( 2
21
10lim
NEc
NEc (3.3)
Barlow y Proschan (Barlow, 1965) demostraron que:
dttR
RcFc
�
+≡ τ
τττγ
0
21
)(
)()()( (3.4)
donde F y R son la función de distribución acumulativa y la función de confiabilidad respectivamente.
Con ∞=)0(γ y �=∞τ
γ0
1 )(/)( dttRc , y diferenciando γ para encontrar el óptimo
0)( =
ττγ
dd
, se llega a la ecuación:
21
2
0
)()()(cc
cFdttRh
−=−� ττ
τ
(3.5)
donde )(τh representa la tasa de fallos que presenta el sistema. Cuando la función de distribución acumulativa Fx(x) tiene una tasa incremental de fallos, el tiempo de reemplazo óptimo oτ es la única solución para la anterior ecuación. Para una variable aleatoria, con tasa de fallos constante, o una tasa decreciente de fallos, el costo específico no tiene un óptimo, por lo tanto, este tipo de política de mantenimiento no es apropiada para tal variable aleatoria.
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4 METODOLOGÍA GENERAL PARA LA OPTIMIZACIÓN DEL MANTENIMIENTO
El objetivo principal de este trabajo de investigación es establecer una metodología general que sirva de marco para optimizar el mantenimiento de equipos en empresas productivas cuyos equipos exigen altos niveles de confiabilidad y disponibilidad. Para realizar una optimización del mantenimiento de equipos, se emplearán herramientas matemáticas y estadísticas con el afán de poder describir de la manera más cercana a la realidad, el comportamiento real de los equipos, y la respuesta más factible frente a diferentes escenarios de aplicación de estrategias para el mantenimiento basadas en el tiempo de operación y los costos de intervenciones correctivas frente a los costos de las intervenciones programadas. Se presenta a continuación el procedimiento sobre el cual se desarrollará el plan optimizado de mantenimiento para un equipo individual, y que comprende: • Definición de objetivos: Modelo del equipo a analizar. • Predicción del comportamiento • Identificación de las soluciones de mantenimiento. • Implementación
4.1 CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO QUE REPRESENTE UN EQUIPO O SISTEMA
En situaciones prácticas se pueden derivar modelos estocásticos o al menos escoger uno de varios modelos posibles. Para que el modelo sea “realista” debe describir las características esenciales del sistema; los detalles no tienen que ser necesariamente exactos. En estudios de confiabilidad y seguridad, se tiene que trabajar con modelos de sistemas. Según Hoyland (1994) estos modelos puedes ser gráficos (redes de diferentes tipos) o matemáticos. Un modelo matemático es necesario para analizar los datos existentes y emplear modelos matemáticos y estadísticos para estimar los parámetros de confiabilidad, seguridad, o de riesgo. El modelo debe por una parte, ser suficientemente simple para ser manejado por medio de métodos matemáticos y estadísticos disponibles, mientras que debe ser suficientemente “realista” tal que los resultados obtenidos sean de relevancia práctica, es decir aplicables a situaciones reales. Para poder realizar el modelo realista, se debe tener en cuenta entre otras cosas, lo siguiente:
• Se requiere de un conocimiento técnico del sistema, al igual que de los fenómenos físicos que pueden conllevar a una falla. • Es un requisito manejar los conceptos estadísticos y matemáticos, • Debe existir una cantidad determinada de información y de datos a la mano, para la estimación de parámetros, y la revisión de los modelos,
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En la definición de objetivos se trabajarán las máquinas o equipos a evaluar como módulos singulares. La meta es definir los subsistemas involucrados mediante bloques que conforman una unidad completa en conjunto, es decir, se manejarán los bloques como componentes.
Figura 4 Desglose de la máquina o equipo en evaluación en sus respectivos componentes A cada bloque se le debe identificar una o múltiples funciones según sea el caso, para las cuales a su vez, existirán modos de falla únicos o múltiples, identificados de la observación del comportamiento específico del equipo acumulado hasta la fecha. En la medida que la información consignada en el histórico del mantenimiento sea más completa, y de calidad, el modelo propuesto será más realista.
Figura 5. Asignación de funciones por componente y modos de falla correspondientes.
Figura 6. Identificación de causas correspondientes.
4.1.1 Diagrama de Bloques de Confiabilidad Se asume que un SR está compuesto de componentes independientes y se modelan las posibles fallas e intervenciones de mantenimiento a nivel de componentes. En tal situación se pueden emplear las disponibilidades límite de los componentes para calcular la disponibilidad del sistema y de los subsistemas, tal cual se trabaja con la confiabilidad de los componentes, sistemas y subsistemas (Cassady, 2002).
Modo de falla 1
Causa 1
Causa 2
Función 1
Modo de falla 1
Modo de falla 2
Función 2
Componente A
Maquina X
Componente A
Componente B
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Las funciones de disponibilidad promedio de sistemas y subsistemas deben ser obtenidas al integrar la función de disponibilidad del sistema y subsistemas. Por ejemplo, considere un sistema de tres componentes que puede ser descrito empleando un diagrama de bloques como en la Figura 7.
Fig. 7. Diagrama de Bloque De Confiabilidad El componente 1 se encuentra en serie con la conjugación de los componentes 2, y 3 que se encuentran dispuestos en paralelo. La configuración en paralelo es empleada para sistemas que requieran unidades redundantes para aumentar la disponibilidad en caso de presentarse una falla en cualquiera de las unidades respaldadas. Se describe G23(t) como la función de disponibilidad para el subsistema comprendido por los componentes 2 y 3 que se encuentran en paralelo. A su vez se describe A23 como la disponibilidad límite correspondiente. Se tiene:
G23(t) =1 - (1 - G2(t)) (1 – G3(t)) (4.1)
A23 =1 - (1 - A2) (1 – A3) (4.2)
Se describe G(t) como la función de disponibilidad para el Sistema Reparable completo, y la disponibilidad límite correspondiente se representa por medio de A. Se tiene:
G(t) =G1(t) G23(t) (4.3)
A =A1 A23 (4.4)
4.2 ANÁLISIS ESTADISTICO SOBRE DATOS DE VIDA UTIL RECOLECTADOS EN CAMPO
Para seleccionar el intervalo óptimo de Mantenimiento Preventivo MP, es esencial recolectar datos que permitan un análisis apropiado. Sin embargo, muchas compañías no recolectan los datos o si lo hacen, la calidad de los datos es dudosa. Aun cuando los datos sean precisos estos son usualmente pocos, cuando se habla de componentes individuales. Una de las paradojas del MP es que entre mas efectivo sea este, es menor el número de datos de fallas para recolectar. Para sistemas con un gran número de componentes sujetos a MP, los datos recolectados sobre un relativamente largo periodo de tiempo (sobrepasando los 10 años) indican que en promedio el tamaño de la muestra es de alrededor de los 9 a los 10 eventos para un sistema muy bien mantenido. Por lo mismo, es esencial encontrar un método de análisis efectivo para aprovechar agrupaciones de datos de tamaño reducido. El
1
2
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concepto principal aquí es identificar la distribución más adecuada para las variables siguiendo un mantenimiento preventivo MP o un correctivo CO. Un cierto número de criterios puede ser empleado para seleccionar la distribución que mejor se ajuste a una agrupación de datos (Kobbacy, 2002)
4.2.1 Determinación de modelos de funciones de Distribución Empresas con programas de confiabilidad ya avanzados pueden tener ya definidas las distribuciones estadísticas de los posibles eventos de mantenimiento de sus equipos (Tiempo para la aparición de una falla, duraciones para las intervenciones, etc.). Sin embargo, cuando la información no se encuentra disponible con anterioridad, las distribuciones apropiadas de los eventos más importantes en mantenimiento pueden ser determinadas por medio del ajuste dentro de una curva de los eventos de aparición de falla y duración de intervenciones, por medio de paquetes de software disponibles en el mercado actual de la ingeniería de confiabilidad. Para determinar a que distribución se ajustan los datos de un grupo de tiempos de falla recolectados, inicialmente se realizan una serie de pruebas preliminares. La primera tiene que ver con la representación gráfica de los datos de falla, dentro de un histograma, útil para la exploración inicial de los datos. Un histograma es una gráfica en donde la abscisa representa la variable que para nuestro caso es el tiempo de aparición de fallas y la ordenada, la probabilidad o densidad de esta. Un histograma provee una vista general de las tendencias de asimetría (tercer momento), el comportamiento de las colas, y la tendencia central y dispersión, entre otras, y puede ser comparado con las formas básicas asociadas con las distribuciones analíticas estándar, como por ejemplo Normal, Log-Normal, Gamma y Weibull. En el mundo real no es común tener a la mano el conocimiento de las distribuciones reales de ocurrencia de falla. Por tanto, es generalmente recomendado que cuando se tengan a la mano pocos datos de falla disponibles de campo de un equipo o sistema, se opte inicialmente por elegir enmarcar los datos de falla dentro de una distribución de Weibull, como se muestra en el desarrollo realizado por Kobbacy (2002) y lo cual también es explicado por el hecho que la distribución Weibull es considerada como un modelo generalmente aplicable. Los modelos de Fallas se conciben mejor a través del empleo de la distribución Weibull, mientras que la distribución Log- Normal es usualmente mejor empleada para modelar procesos de reparación en varios casos aplicables. Adicionalmente, se consume más tiempo en seleccionar las distribuciones que mejor se ajustan por diversos métodos como por ejemplo el método del Criterio de Información de Akaike (Akaike, 1973) o por cualquier otro método, y que ese esfuerzo no tenga retribución, en términos de una estimación mejorada de la disponibilidad.
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4.2.2 Estimación de Parámetros de la distribución Weibull
4.2.2.1 Parámetros de la distribución Weibull
El parámetro de forma Weibull, comúnmente mostrado como β , indica si la tasa de fallo es incremental, constante o decreciente. (Abernethy, 1998)
β <1.0 indica que el componente tiene una tasa decreciente de fallos. Este escenario es típico de “mortalidad infantil” e indica que el componente está fallando durante su etapa de emplazamiento.
β =1.0 indica una tasa constante de fallo. Frecuentemente, componentes que han sobrevivido la etapa del emplazamiento exhibirán subsecuentemente una tasa constante de fallos.
β >1.0 indica una tasa incremental de fallos. Esto es típico de elementos que se encuentran en su fase de desgaste. Componentes que fallan debido a la fatiga, suceso muy común en elementos mecánicos, son un claro ejemplo de la fase de desgaste.
La vida característica de Weibull, denominada comúnmenteα , es una medida de la escala, o de extensión en la distribución de los datos. Es importante anotar que α equivale al número de horas al cual un 63.2 por ciento de los componentes con dicha distribución, han fallado. En otras palabras, para una distribución Weibull R(α ) =0.368, independientemente del valor del parámetro de forma β . La formula de la confiabilidad asumiendo una distribución Weibull es:
( ) ])/(exp[ βαxtR −= (4.5)
donde x es el tiempo transcurrido en operación de un componente hasta la falla.
La función de densidad de Weibull [Mann et al. (1974)], está dada por:
���
�
���
��
��
−−−= −β
β
αγ
αγ
αβ tt
tf exp)()( 1 (4.6)
con parámetro de forma β >0, parámetro de escala α >0, y parámetro de ubicación 0≥≥ γx ,
Así mismo, la función de distribución acumulativa está dada por:
���
�
���
��
��
−−−=β
αγt
tF exp1)( (4.7)
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Tras una doble transformación logarítmica de la distribución acumulativa se obtiene la ecuación lineal:
ln[-ln(1-F(t)]= β ln (t-γ ) - )ln(αβ (4.8)
4.2.2.2 Método de los Mínimos Cuadrados. En Excel, se emplea la aproximación de Benard’s [Tarum (1999)] para estimar la distribución acumulativa F (t), Dicho método, (j-0,3) / (N + 0,4) es a menudo empleado para aproximar los rangos de medianas, y es empleado por varios software de simulación aplicada al mantenimiento. Excel desarrolla el método de los mínimos cuadrados para establecer la regresión lineal de las variables implicadas en la ecuación lineal (4.8), concediéndole una alta validez en la estimación parámetros debido a que se realiza la regresión de las vidas útiles transformadas (X) sobre los rangos de mediana transformados (Y), lo cual produce menor sesgo, y adicionalmente se genera la gráfica directamente en el formato estándar del ln (tiempo entre fallas) en el eje horizontal.
4.2.2.3 Método de Máxima Verosimilitud Para realizar la confirmación de los parámetros de la distribución de Weibull obtenidos por medio de métodos menos refinados, como el método gráfico, especialmente en los casos donde se tiene una reducida cantidad de datos y coeficiente de determinación R2 es bajo, se emplea dentro de la presente metodología, la estimación de máxima similitud empleando la ecuación siguiente integrada dentro de la hoja Excel:
��
�
=
=
= =−−n
iin
ii
n
iii
xnx
xx
1
1
1 0ln11
ln
ββ
β
(4.9)
La ecuación anterior puede ser resuelta para obtener el estimado del parámetro de forma βµ =Kˆ . Esto puede ser logrado mediante procedimientos iterativos estándar como por ejemplo el método de Newton-Raphson (Al-Fawzan, 2000). Una vez determinado dicho parámetro, se puede estimar el parámetro de escala α , por medio de la ecuación:
n
xn
ii�
== 1
β
αn
xn
ii�
== 1
β
α (4.10)
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4.2.3 Pruebas de ajuste de los modelos
4.2.3.1 Determinación del Coeficiente de Correlación Critico para establecer la bondad del ajuste para Distribuciones de Falla Weibull y Log-Normal Los textos tradicionales en estadística sugieren el empleo de valores altos para el Coeficiente de Determinación R2, como criterio para definir la bondad del ajuste, pero es dejado a expensas de los evaluadores determinar cuan alto en realidad es dicho valor. Por medio del método expuesto por Tarum (1999) se puede identificar sobre la base de los resultados de la regresión lineal efectuada con ayuda del Método de los Mínimos Cuadrados explicado en el numeral 4.2.2.1., si el ajuste a la distribución de fallas es el adecuado, dependiendo del número de muestras empleado en el análisis. Para que un ajuste a datos recolectados de falla sea considerado como bueno, debe tener un Coeficiente de Correlación R, mayor al 10% de las simulaciones de Monte Carlo, propuestas por Tarum. Si el coeficiente de correlación R es solamente mayor que el 5% de las simulaciones, luego el ajuste es marginal. El Coeficiente de Correlación Critico (CCC) es expresado de la siguiente forma:
])/(exp[1 βαnCCC −−= (4.11)
donde n es el número de fallas, y alfa y beta son los parámetros seleccionados de las tablas obtenidas por Tarum, sobre la base de percentiles de 1, 5, 10, 20, 50 y 60%, para las distribuciones Weibull de dos parámetros, Weibull de tres parámetros, y Log-Normal. Ejemplo de aplicación: Se considera una agrupación de datos con n = 50 fallas que fueron analizadas con distribución Weibull y tienen un valor de R2 = 0.9216. Empleando la ecuación (4.10) y la Tabla 1 de Tarum (1999) para el percentil P=10%, el CCC es calculado como 0.9708. La raíz cuadrada del Coeficiente de Determinación es R = 0.9600. Dado que el R obtenido de las muestras, es menor que el CCC, el ajuste no muestra la bondad suficiente, luego no representa un buen ajuste. El valor del coeficiente de correlación múltiple obtenido de la regresión lineal de los datos evaluados debe ser como mínimo mayor al valor de CCC para un Percentil de 10%
4.2.3.2 Prueba de Kolmogorov-Smirnov La prueba de ajuste de bondad Kolmogorov-Smirnov KS es ampliamente empleada en la práctica (Law & Kelton, 2000). Es muy versátil (cualquier distribución continua puede ser ajustada por medio de ella), trabaja bien con muestras pequeñas (por lo cual es preferida en esta metodología frente a la prueba de Chi Cuadrado, que trabaja mejor para muestras grandes).
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Se basa en la comparación de las funciones de distribución teórica y la empírica (obtenida a partir de los datos observados). Primero que todo, deben ser ordenados los datos de falla analizados de menor a mayor. Se establece una distribución asumida (hipótesis nula) y se estiman sus parámetros. Luego, se obtienen tanto las funciones de distribución acumulativa teórica (F0), como la empírica (Fn) para cada punto de dato. Dado que la prueba KS es una prueba de distancia, se requiere definir la máxima distancia | F0 – Fn | entre las distribuciones teórica y empírica. Sus dos funciones básicas se definen como sigue:
F0(Xi) = P0 (X ≤ Xi) = CDF(Xi); (4.12)
Donde F0(Xi) es la función de distribución acumulativa evaluada a Xi, y
nini
nXisdeX
XiFn ,..2,1;'#
)( ==≤= (4.13)
Fn(Xi) es la función de distribución empírica obtenida por la proporción de los datos menores que Xi en la agrupación de datos de tamaño n. Luego, se define: D+=Fn-Fo y D-= Fo-Fn-1 para cada punto Xi. El estadístico KS es: D= Máximo de todos los D+ y D- ( ≥ 0); para i = 1,…,n Este estadístico es comparado contra las Tablas de valor Crítico del estadístico Kolmogorov-Smirnov para un valor de error α =0,05. Si el estadístico de KS tiene un valor menor que el valor Crítico de la tabla, no se rechaza la hipótesis de que la distribución corresponda a la distribución asumida.
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5 GENERACIÓN DE DISTRIBUCIONES ESTADISTICAS POR COMPUTADOR
5.1 GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS Los números aleatorios uniformemente distribuidos, son expresamente números aleatorios que se encuentran en un rango específico (normalmente entre 0 y 1), donde cualquier número en el rango tiene la misma probabilidad de aparecer que cualquier otro. Una fuente confiable de números aleatorios uniformemente distribuidos, es pilar fundamental en cualquier modelamiento estocástico, o trabajo de simulación de Monte Carlo realizada por computador. Las secuencias de números aleatorios generados deben tener dos propiedades estadísticas importantes: uniformidad e independencia (Torres, 2000). La generación de los números aleatorios uniformemente distribuidos, a partir de funciones o subrutinas ejecutadas por programas de computador, emplean un número específico, denominado valor semilla, a partir del cual se generan recursivamente los demás números. Debido a esta recursividad, usualmente se entiende que los números de secuencias generadas por computador, son pseudo-aleatorios, mientras que la palabra aleatorio es reservada para los resultados de procesos físicos intrínsecamente aleatorios, como por ejemplo el tiempo transcurrido entre clicks de un contador Geiger colocado frente a una muestra radioactiva. Los generadores de números aleatorios (GNA) suministrados por los sistemas de lenguaje de uso común, son casi siempre generadores lineales congruenciales, los cuales generan una secuencia de números enteros I1, I2, I3, … cada uno entre 0 y m – 1 por la siguiente relación de recurrencia
caII jj +=+1 (mod m) (5.1)
donde m es denominado el modulo, y a y c son enteros positivos llamados el multiplicador y el incremento respectivamente. Una manera sencilla de explicar este método es presentada por Torres (2000): El multiplicador a es un número escogido entre 1 y m; m es un número primo o una potencia entera de un número primo. La ecuación anterior significa que se realiza el producto de a por Ij, se divide por m y se toma Ij+1 como el residuo de la división. La recurrencia (5.1) se repetirá eventualmente a sí misma con un periodo no mayor que m, por tanto la generación es realmente pseudo-aleatoria. Existen múltiples métodos para generación de números aleatorios comprobados, entre los cuales se encuentran aquellos como los algoritmos multiplicativos congruenciales simples definidos como
jj aII =+1 (mod m) (5.2)
que pueden ser tan buenos como cualquier generador congruencial lineal más general que tenga 0≠c (ecuación 4.2) – si el multiplicador a y el modulo m son escogidos de forma
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extremadamente cuidadosa. Park and Miller proponen un generador de “Estándar Mínimo” basado en las opciones:
a = 75 = 16807 m = 231 – 1 = 2147483647 (5.3)
Para que se pueda implementar el generador de Estándar Mínimo en cualquier lenguaje de programación en esencialmente cualquier máquina, Schrage (1983) propuso el algoritmo basado en la factorización aproximada de m, m = aq + r, es decir q = [m / a], r = m mod a (5.4) con los paréntesis denotando la parte entera. La aplicación de el algoritmo de Schrage a las constantes (5.3) emplea los valores q = 127773, r = 2836. En la elaboración de las simulaciones pertinentes a esta investigación se empleó un método que combina un algoritmo de “barajado” propuesto por Bays y Durham ilustrado en la Figura 8. Los números encerrados en círculos indican la secuencia de los eventos. En cada llamada, el número aleatorio en iy es empleando para escoger un elemento en el arreglo iv. Aquel elemento se convierte en el número aleatorio resultante, y también el próximo iy. Su casilla en iv será rellenada de la rutina de Estándar Mínimo. Se implementa adicionalmente, el uso recomendado por L’Ecuyer de dos generadores m1 = 2147483399 (con a1 = 40014, q1 = 53668, r1 = 12211) y m2 = 2147483399 (con a2 = 40692, q2 = 52774, r2 = 3791). El periodo del generador combinado es ≈ 2.3 x 1018
La combinación de los dos generadores rompe con las correlaciones en serie hasta un alcance considerable. Se añade un nuevo “barajado” dentro de la rutina, aparte del propuesto por Bayes y Durham, como recomendación. La rutina corresponde a ran2, presentada en Press (1992), en lenguaje C, la cual fue traducida en Visual Basic, e implementada en los módulos de las hojas en Excel preparadas para el presente trabajo.
Figura 8 Procedimiento de “barajado” empleado para romper las correlaciones en el generador de Estándar Mínimo.
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5.2 NÚMEROS ALEATORIOS AJUSTADOS A UNA DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA
Una variable aleatoria extraída de una distribución en particular, por ejemplo una distribución Normal, con media y desviación estándar definidas, presenta ya un comportamiento sesgado, desde el punto de vista estadístico, y los valores presentados por dicha variable aleatoria se agruparan de acuerdo a la distribución a la cual pertenece. En la estadística computacional, la generación de variables aleatorias siguiendo una distribución estadística definida, es decir, la generación de variables aleatorias, x, que pertenezcan a algún dominio x ∈[xmin, xmax], de una manera tal que su frecuencia de ocurrencia, o densidad de probabilidad, dependa del valor de x en la forma funcional prescrita f (x), es generalmente realizada en dos pasos:
1. Generación de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (I.I.D.) con una distribución uniforme sobre el intervalo (0,1), y
2. Aplicación de transformaciones a estas variables aleatorias I.I.D. U(0,1) con la finalidad de generar (o imitar) variables aleatorias y vectores aleatorios de distribuciones arbitrarias (Law and Kelton 2000)
A continuación se describen varias técnicas para realizar esta generación de variables aleatorias. El método adoptado en el desarrollo del presente trabajo corresponde al de Transformación inversa, por tanto, será descrito en detalle. Cabe anotar que en todos estos métodos se asume el suministro de números aleatorios uniformemente distribuidos (desarrollo descrito en la sección anterior) en el intervalo unitario medio cerrado [0, 1). Se recuerda que f (x) es empleada para denotar la función de densidad de probabilidad y F(x), para denotar la función de distribución acumulativa.
5.2.1 Transformación Inversa En principio, el camino más fácil para generar una variable aleatoria X con función de distribución F de una variable aleatoria U (U(0,1)) es aplicar la inversa de F a U:
( ) { }UxFxUFXdef
≥== − )(min1 (5.5)
Este es el método de inversión. Es evidente que X tiene la distribución deseada: [ ] [ ] [ ] )()()(1 xFxFUPxUFPxXP =≤=≤=≤ − . Otros métodos son preferibles a veces
cuando 1−F es muy dificultosa o costosa para el cómputo. Asumiendo f(t) como la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria Ti, y que F(t0) es su función de distribución acumulativa (CDF), se observa que t puede tomar cualquier valor positivo, mientras que la función de distribución acumulativa F(t), también denominada No Confiabilidad, expresada como
( ) ( )�= 0
00
tdttftF (5.6)
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puede variar su valor entre 0 y 1. Si se le asigna a F(t) (CDF) un número aleatorio uniformemente distribuido para resolver el tiempo t, se llega a un número aleatorio representando el tiempo t con una función de densidad de probabilidad f(t) (PDF). El algoritmo general para la técnica de la transformación inversa es: (1) Generación de U ~ U(0, 1). (2) Resultado X = F−1(U). La transformación se muestra en la Figura 9 Tomando un valor aleatorio entre 0 y 1, equivale a tomar muestras uniformemente distribuidas en el eje y entre 0 y 1. Este valor es alimentado en la función de inversión de F(x) para obtener una muestra aleatoria de la distribución escogida. Se puede observar de la Figura 9. que los eventos se acumulan donde la pendiente de F(x) es relativamente empinada. La mayor densidad de puntos en el eje de las x de F(x), arroja valores mas altos en f (x), sucediendo lo contrario si la pendiente de F(x) es menos empinada.
Figura 9. Método de transformación inversa
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Formalmente, si ),(1 yFx −= donde F(x) es la integral indefinida dttfxFx
�∞−
= )()( de la
función de densidad deseada f (x), luego y = F(x) y
)(xfdxdy = (5.7)
Con este método se pueden generar la distribución Exponencial, Weibull, Gumbel, la distribución uniforme, en cualquier intervalo y otras.
5.2.1.1 Generación de números aleatorios con Distribución Weibull. Para la distribución Weibull con dos parámetros la función de densidad de probabilidad y la función de probabilidad acumulativa son:
( )[ ]ββ λλλβ tttf −= − exp)()( 1 t > 0 (5.8)
( )[ ]βλttF −−= exp1)( t > 0 (5.9)
donde α
λ 1=
Si U ~ U (0, 1) y U = F(X), despejando X y se obtiene que [ ] βα /1)1ln( UX −−= .
Como 1 – U tiene precisamente la misma distribución que U se emplea [ ] βα /1)ln(UX −= , para ahorrar una sustracción y por tanto tiempo de cómputo. De igual forma, para la distribución de Weibull con trés parámetros, con parámetro de ubicación γ , se obtiene:
[ ] βαγ /1)ln(UX −+= (5.10)
5.2.1.2 Generación de números aleatorios con Distribución Exponencial. Para la distribución Exponencial la función de densidad de probabilidad y la función de probabilidad acumulativa son:
( )[ ]ttf λλ −= exp)( t > 0 (5.11)
( )[ ]ttF λ−−= exp1)( t > 0 (5.12)
Si U ~ U (0, 1) y U = F(X), despejando X y se obtiene que [ ])1ln(1
UX −−=λ
.
Como 1 – U tiene precisamente la misma distribución que U se emplea [ ])ln(1
UX −=λ
.
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5.2.1.3 Generación de números aleatorios con Distribución Normal y Log-Normal. Excel ofrece la función DISTR.NORM.INV que toma un número aleatorio entre 0 y 1, asumido como una Probabilidad correspondiente a una distribución normal, dadas la media, y la varianza, y devuelve la inversa de la distribución acumulativa normal para los términos anteriores. También ofrece la función DISTR.LOG.INV para devolver el inverso de la distribución logarítmico-normal.
5.2.2 Composición Esta técnica es una extensión simple de la técnica de transformación inversa. Aplica a la situación donde la función de densidad de probabilidad puede ser escrita como una combinación lineal de funciones de composición más simples y donde cada una de las funciones de composición tiene una integral indefinida que es invertible.
5.2.3 Convolución Si X y Y son variables aleatorias independientes de funciones de densidad conocidas fX (x) y fY (y), se pueden generar nuevas distribuciones al formar varias combinaciones algebraicas de X y Y. Así por ejemplo, una variable aleatoria con distribución Erlang (caso especial de la distribución Gamma) se obtiene de la suma de variables aleatorias con distribución exponencial. Igualmente, la generación de números aleatorios con distribución Chi-Cuadrado, con n grados de libertas, se puede obtener con la suma de los cuadrados de n variables normales N (0,1).
5.2.4 Aceptación y Rechazo Este es un método indirecto, útil cuando los métodos directos anteriormente presentados fallan o son ineficientes. Se debe a Von Newmann y consiste en muestrear una variable aleatoria a partir de una distribución apropiada y someterla a una prueba para determinar si es o no aceptable. El procedimiento es generar un valor de X a partir de fX (x). Se representa f(x) como f(x) = c h(x) g(x), en donde c es mayor o igual a 1, h(x) es también otra función de densidad y x está en el intervalo (0,1). Luego, se generan dos variables aleatorias U (0,1) y Y a partir de f(y) y se hace la prueba de la desigualdad U ≤ g(y). Si la desigualdad se cumple entonces se acepta que Y es una variable aleatoria de f(x) y si no se cumple, se rechaza el par U,Y y se generan de nuevo.
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5.3 SIMULACIÓN DE MONTECARLO PARA EVALUACIONES DE CONFIABILIDAD
5.3.1 Análisis de la confiabilidad y disponibilidad por medio de la Simulación Históricamente, el análisis de Monte Carlo es un método basado en computador desarrollado en los 1940’s que emplea las técnicas de muestreo estadístico en la obtención de una aproximación probabilística de la solución de una ecuación o modelo matemático. El análisis de Monte Carlo es por tanto, una herramienta poderosa para la realización de modelos de la confiabilidad de los sistemas. Este análisis se apoya en la estadística para la construcción de un modelo que represente procesos lo más cercanos posibles a las condiciones reales de operación y así poder estimar la ocurrencia de los resultados posibles a esperar. La simulación de Monte Carlo aplicada al análisis de la confiabilidad, emplea las distribuciones estadísticas de los períodos de falla y reparación para poder modelar el comportamiento de un sistema a través del tiempo. La combinación de unidades individuales para formar sistemas de mayor envergadura, pueden simular plantas completas. Se siguen las mismas reglas lógicas que aplican para los diagramas bloques de confiabilidad. Para componentes en paralelo, el tiempo de falla registrado para el sistema compuesto, es el del componente cuyo tiempo de aparición de falla sea el mayor de todos. Para componentes en serie, el tiempo de falla conjugado que se registra para todo el sistema, es el del componente que presentó el menor de todos los tiempos de falla. Cuando las consideraciones económicas tales como pérdida de ganancias y los costos de reparación, son incluidas en los modelos de sistemas productivos, las simulaciones de Monte Carlo pueden constituirse en una herramienta poderosa para la optimización de las políticas de mantenimiento de los mismos.
5.3.2 Tipo de simulación de acuerdo con el análisis de los resultados El tipo de análisis en la ingeniería de la confiabilidad corresponde a una simulación de tipo “Finita”. Es decir, que existe un evento “natural” o un tiempo meta que especifica la duración para cada corrida o réplica de simulación. Dado que diferentes corridas emplean números aleatorios que surgen de la misma regla de inicialización, esto implica que las variables aleatorias obtenidas en las diferentes corridas o réplicas son independientes e idénticamente distribuidas (I.I.D.).
5.3.3 Análisis estadístico para Simulaciones Con Recorrido de Tiempo Finito El punto de partida de la simulación de Monte Carlo es una corriente generada de números aleatorios. Dado que esta es una selección aleatoria, existe siempre la posibilidad que números extremos sean seleccionados (por ejemplo 0,00001). Se dan n réplicas independientes de una simulación con recorrido de tiempo finito, donde
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cada réplica es finalizada de acuerdo con un evento natural, o un tiempo meta predefinido, e iniciada con las “mismas” condiciones iniciales. La independencia de las réplicas es obtenida por medio del empleo de números aleatorios diferentes para cada réplica. La manera para reducir los efectos de cualquier extremosidad en la generación de números aleatorios radica en el correr simulaciones múltiples y promediar las estadísticas. Por tanto para indicadores de desempeño del mantenimiento como por ejemplo la disponibilidad existente del modelo, es empleada la disponibilidad promedio o media de n número de simulaciones.
5.3.4 Cantidad de réplicas requeridas por cada simulación El número de veces que se repite la generación de una lista de tiempos alternando entre tiempos para la aparición de falla y duración de intervenciones, es decir, el número de veces que se deben efectuar corridas singulares de simulación, depende de la precisión que se quiera obtener y de la precisión de las rutinas que generan los números aleatorios, en cuanto a la misma aleatoriedad de estos. Si se supone que estas rutinas dan números perfectamente aleatorios, uniformemente distribuidos e independientes, el error de la simulación depende del inverso de la raíz de n, donde n es el número de repeticiones o corridas singulares de simulación (Torres (2000)). El número de experimentos deberá estar en concordancia con el tiempo de simulación, la precisión requerida, y el nivel de confianza de los resultados. Otros enfoques tienen como recomendación la presentación de las estadísticas de los datos de salida de las simulaciones en tiempo real, tales como la media y la desviación estándar, mientras la corrida de las simulaciones se encuentra en desarrollo. A medida que el número de simulaciones va incrementándose los estadísticos muy seguramente se asentaran en un valor estable. Para varios de los indicadores de desempeño del comportamiento de un sistema a la luz de la ingeniería de la confiabilidad es necesario obtener un estimado puntual y un intervalo de confianza para su valor medio )(XE=µ , donde X es la variable aleatoria de interés definida en cada réplica, y que puede ser por ejemplo tiempo operativo dentro del tiempo total determinado con anterioridad para una simulación en específico. Con n réplicas independientes de la simulación y teniendo a X1, X2,…, Xn como las variables aleatorias IID, se hace empleo de la ecuación siguiente para determinar la media de una muestra:
n
XnX
n
ii�
== 1)( (5.13)
la cual es un estimado puntual (no sesgado) de µ , es decir [ ] µ=)(nXE
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Similarmente, la varianza de una muestra
[ ]1
)()(
2
12
−
−=�
=
n
nXXnS
n
ii
(5.14)
es un estimador imparcial de 2σ , dado que [ ] 22 )( σ=nSE . Para desarrollar una expresión alternativa del intervalo de confianza, se tiene que si las Xi’s
son variables aleatorias normales, la variable aleatoria [ ] nnSnXt n /)(/)( 2µ−= tiene una distribución t de Student con n-1 grados de libertad, y un intervalo de confianza exacto de 100(1-α ) por ciento para µ está dado por
nnS
tnXn
)()(
2
21,1
α−−
± (5.15)
donde 2
1,1α
−−nt es el punto crítico superior 1 -
2α
para la distribución Student con n - 1
grados de libertad. Para el presente trabajo se hace uso de la bondad del procedimiento secuencial, expuesto en Law & Kelton, 2000, en el cual se pueden ir añadiendo nuevas réplicas cada vez para ir refinando la calidad de los resultados obtenidos. Por medio de este método se puede obtener un valor estimado de µ con un valor de error relativo específico que toma solamente tantas réplicas como sea necesario. El objetivo específico del procedimiento es obtener un estimado de µ con un error relativo de )10( << γγ y un nivel de confianza del 100(1-α ) por ciento. Se define un error relativo ajustado como )1/( γγγ +=′ para poder obtener el error real relativo γ . Eligiendo cualquier número inicial de réplicas n0 ≥ 2, y teniendo que
nnS
tnn
)(),(
2
21,1
ααδ−−
= (5.16)
es la longitud por mitad del intervalo de confianza usual. Luego el procedimiento secuencial es como sigue:
0. Realice n0 réplicas de la simulación y ajuste n=n0. 1. Calcule )(nX y ),( αδ n de X1, X2,..., Xn.
2. Si γαδ ′≤)(/),( nXn , emplee el )(nX como el estimado puntual para µ y
finalice.
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Equivalentemente
[ ]),()(),,()(),( αδαδγα nnXnnXI +−= (5.17)
es un intervalo de confianza aproximado de 100(1-α ) por ciento para µ con la precisión deseada. De otra manera, reemplace n por n+1, realice una simulación adicional, y regrese al paso 1.
Debido a que en el presente trabajo de investigación se relacionan tal cantidad de variables aleatorias, la simulación es un procedimiento algo más complejo, y por tanto, es requerido realizar saltos de mayor cantidad de réplicas en la búsqueda de los resultados esperados.
5.3.5 Certidumbre en los resultados obtenidos Es ciertamente importante conocer el nivel de certidumbre alrededor de las estadísticas resultantes, y es posible emplear varias técnicas estadísticas para estimar este nivel de certidumbre. Para hacer uso de la función preinstalada en EXCEL, denominada INTERVALO.CONFIANZA, y que devuelve el intervalo de confianza para la media de una población es necesario suministrar los siguientes datos:
• Alfa α : es el nivel de significación utilizado para calcular el nivel de confianza, que es igual a 100(1-α )por ciento, es decir, un α de 0,05 indica un nivel de confianza de 95%
• Desviación estándar, de la población para el rango de datos, ya despejada con anterioridad, y
• Tamaño de la muestra. Con estos datos ingresados, la función devuelve el valor de la mitad de la extensión del intervalo de confianza, de acuerdo con el nivel de significancia seleccionado para la muestra.
5.3.6 Tiempo de ejecución de máquina La necesidad de realizar miles de iteraciones durante el proceso de simulación de Monte Carlo es una característica crítica, desde el punto de vista que el tiempo requerido por la máquina para correr las simulaciones puede tornarse un asunto bastante serio, al momento de evaluar la rapidez de obtención de resultados. El procedimiento aumenta el tiempo de maquina a medida que los tiempos meta de la simulación se ven incrementados para poder cubrir una mayor proyección hacia el futuro. Es decir, para un tiempo meta de 100 horas, la cantidad de eventos a presentarse por componentes será menor obviamente que la cantidad que se pueda presentar a las 200 horas, o a las 1000 horas. Esto también incrementa el tiempo de máquina, no solamente tras generar mayor cantidad de datos, sino también en la conjugación de eventos para el arreglo o disposición en serie presentados por los componentes en el diagrama de bloques de confiabilidad.
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5.3.7 Presentación de resultados Los resultados de la simulación de Monte Carlo para la optimización de políticas de mantenimiento atendiendo los objetivos de confiabilidad y disponibilidad trazados pueden ser analizados mediante:
• Presentación gráfica Se grafican los resultados obtenidos tras modificar las políticas de mantenimiento de acuerdo a los criterios seleccionados, presentado las posibles mejoras o variaciones inducidas al modelo comparándolas con las curvas de indicadores de desempeño iniciales. • Medidas estadísticas La posibilidad para definir los valores medios, y la desviación estándar, acompañados del cálculo de intervalo de confianza, dan un mejor panorama de la variabilidad o no de los resultados.
6 SIMULACIÓN EN EXCEL
La herramienta objetivo del desarrollo en Excel apunta hacia un enfoque total del sistema mientras se trabaja con sistemas o componentes individuales. Esto le permite al usuario diseñar objetivos puntuales por separado, con respecto a la selección de componentes, incrementar la seguridad, sin comprometer la operatividad. El usuario puede analizar la confiabilidad y la disponibilidad a nivel de componentes o del sistema completo y revisar el proyecto completo. Una ventaja adicional que presenta la herramienta es que integra las predicciones basadas en datos de campo. A partir de los nuevos datos de campo ingresados a los modelos estadísticos, se actualizan los valores de parámetros, y por tanto, el comportamiento a futuro del sistema completo. Lo que se busca constituir mediante las simulaciones realizadas desde Excel, consiste básicamente en definir una herramienta de soporte para la decisión en las políticas de mantenimiento. El proceso de las programaciones de mantenimiento que previamente se realizaba mediante apreciaciones aproximadas, puede verse ahora respaldado sobre la base de un análisis científico de los datos históricos de mantenimiento. El programa desarrollado tiene la versatilidad suficiente para introducir cualquier tiempo de programación de trabajos preventivos. Puede generar los contadores para las variables implicadas en el sistema sobre cualquier tiempo meta, o total que se introduzca para la simulación. El módulo completo puede conjugar varios componentes en un solo bloque o máquina para tener presente las interacciones entre todos, y los tiempos operativos que cada uno aporta al total de tiempos en operación y tiempos de no operatividad por la aparición de fallas aleatorias.
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6.1 LÓGICA DE PROGRAMACIÓN
Sobre la base de unas distribuciones estadísticas identificadas para la ocurrencia de falla por componentes, se procede a la fase de la simulación de Monte Carlo. Una fuente confiable de números aleatorios, es esencial para construir cualquier tipo de modelo estocástico o trabajo en computador de Monte Carlo. Para poder adelantar la simulación, un número aleatorio entre 0 y 1 es generado para representar la probabilidad de un evento de falla ocurriendo a un tiempo dado. Desde el punto de vista de la probabilidad, el tiempo para la ocurrencia de un evento de falla puede ser calculado empleando la distribución estadística elegida para modelar el proceso. Por ejemplo, si un número aleatorio de 0.7785 fuera generado, y asignado a un proceso de falla, la simulación de Monte Carlo procedería a determinar el Tiempo para aparición de la falla correspondiente a un 77,85 por ciento de probabilidad. En este sentido, las simulaciones de Monte Carlo trabajan a la inversa desde la probabilidad resultante para poder determinar el tiempo para un evento, de acuerdo con lo expuesto en la sección anterior. Para alimentar las variables aleatorias se generan los números aleatorios llamando a la función ran2(), subrutina implementada dentro de la hoja de Excel en Visual Basic, e inmediatamente se implementan dentro de las casillas generadoras de valores de variables aleatorias acudiendo al método de transformación inversa. Estas casillas generadoras pueden ser de Tiempo para la Falla (TTF), de Duración de Intervenciones Correctivas (TTR “CO”), o de Duración de Intervenciones Preventivas (TTR “MP”). El contador del tiempo se actualiza permanentemente y la simulación continúa moviéndose entre tiempos para la aparición de fallas y tiempos para reparar dichas fallas, hacia nuevas apariciones de fallas y así sucesivamente. La simulación continuaría si el tiempo especificado para la corrida fuera mayor que el tiempo total acumulado en un punto dado. De lo contrario, se detiene la simulación. Cada componente maneja su propio libro. Se genera una hoja con los datos de tiempos para falla, seguidos de tiempos de reparación atendiendo exclusivamente a la política de operación hasta la falla, en el caso del modulo para mantenimiento correctivo y eventualmente se generan y se incluyen los tiempos de duración del mantenimiento preventivo si el entra el valor de la política del preventivo antes que ocurra la falla. Ver Anexo 3, donde se describe la lógica para la creación de las variables relacionadas con la implementación del mantenimiento preventivo
6.1.1 Variables generales generadas a partir de contadores MTTFF Al dividir todos los tiempos para la aparición de la primera falla recolectados en una corrida de simulación con múltiples réplicas simultáneas, por el número de las réplicas seleccionado, se puede obtener el Tiempo Promedio para la aparición de la Primera Falla, sus siglas en inglés MTTFF (Mean Time to First Failure), el cual es tan representativo
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como el Tiempo Promedio para la aparición de Fallas determinado por método matemático, MTTF (Mean Time to Failure). Dentro de la lógica de la programación, este indicador es muy fácil de obtener, al establecer el promedio del total de la muestra integrada por cada primer valor de cada una de las réplicas de la simulación y que corresponde al tiempo de aparición de la primera falla siguiendo una distribución estadística definida. Solamente debe aplicarse para la hoja de los datos de un sistema o componente siguiendo una política de intervenciones Correctivas, dado que al implantar una Política de Mantenimiento programado, no se pueden promediar los valores de tiempo para la presentación de una falla con el tiempo adoptado para el Mantenimiento Preventivo. Confiabilidad puntual Para poder establecer la confiabilidad puntual en una simulación se define un tiempo meta de observación, tiempo al transcurso del cual se evalúa la condición de confiabilidad del equipo. Se genera un contador que indique cada vez que la variable aleatoria representando el Tiempo para la aparición de la Primera Falla, sobrepase el tiempo meta de observación. Si al alcanzar el tiempo meta no se haya presentado ni una sola falla, la confiabilidad puntual será igual a uno (1), de acuerdo con la función presentada en la ecuación (2.9). Si se ha presentado alguna falla antes de cumplir el tiempo meta de observación, a pesar de estar la unidad disponible en el momento de la simulación, la Confiabilidad será igual a cero (0). Las paradas programadas no se cuentan como una falla, a pesar que el sistema o el componente no se encuentren operativos durante la intervención preventiva. Un ejemplo de la lógica de este contador se puede apreciar en los Anexos 4 y 5. Número esperado de Fallas Este número esperado de fallas se puede determinar de acuerdo con la distribución de fallas que aplique, para el caso sencillo de renovación, la que ofrezca el mantenimiento puramente correctivo, adoptando la distribución del tiempo de reparación inmediatamente ocurre la falla. En una simulación de estos tiempos de falla y duraciones de reparación se divide el tiempo objetivo arrojando las fallas presentadas en la simulación al promediar entre el número de corridas. Se contabilizan todas las fallas presentadas en el tiempo meta de observación, sumando y dividiendo sobre el total réplicas definidas para la simulación. Disponibilidad Puntual Se genera un contador con sumatoria para cada vez que el sistema se encuentre disponible por cada réplica de la simulación al tiempo objetivo de observación. Luego se divide este acumulado entre el número de simulaciones, para promediar el valor de la disponibilidad puntual. Disponibilidad Promedio Es la relación del tiempo durante el cual el sistema se encuentra en su estado operativo frente al tiempo meta de observación definido para el proceso de simulación. Se contabilizan todos los tiempos por fuera de la máquina, así correspondan a intervenciones críticas (Mantenimiento Correctivo) o a intervenciones programadas (Mantenimiento Preventivo). Al igual que los demás indicadores, el indicador de Disponibilidad Media,
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cuenta con un contador especial para determinar la proporción del tiempo operativo sobre el tiempo objetivo de observación. Este contador es efectivo para cada una de las réplicas generadas dentro de la simulación. El contador va acumulando los valores obtenidos por cada una de las réplicas en una columna a la cual finalmente se le realiza un promedio, con su respectivo análisis de varianza de la muestra, e intervalo de confianza obtenido. Tiempo operativo Este es el tiempo promedio durante el cual el sistema se encuentra en operación. Este es obtenido tras sumar para cada una de las réplicas de una simulación dada, la cantidad de horas que el sistema presenta su calidad operativa. Este valor obtenido por cada réplica es sumado para el total de las réplicas obtenidas en la simulación y finalmente divido entre el número de réplicas que haya sido empleado para la simulación respectiva. Se recuerda que se encuentran excluidas las duraciones tanto de intervenciones correctivas como de intervenciones programadas del tiempo total de observación del sistema, para poder despejar el tiempo operativo neto del sistema bajo análisis.
6.1.2 Conjugación de tiempos operativos de componentes Para realizar el modelamiento de una configuración de sistemas o unidades complejas, que comprendan la inclusión de componentes es necesario desarrollar una lógica que facilite la relación de los tiempos operativos que aporte cada componente de acuerdo con las reglas que se presenten en el Diagrama de Bloques de Confiabilidad que represente de manera más fidedigna al proceso o sistema real siendo modelado. Para una configuración de unidades en serie, los componentes aportan sus tiempos operativos de una manera tal que en el momento que uno solo de los componentes falle, todo el sistema se encontrará por fuera de su estado operativo normal, hasta tanto no se repare la falla. A nivel de programación, lo que se busca básicamente es reproducir lo expresado gráficamente en la Figura 2, que se muestra nuevamente a continuación.
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Figura 2 Representación del tiempo fuera de un sistema como función de los tiempos fuera de cada uno de los componentes. Para lograr este cometido, se transforman todos los tiempos involucrados en la cadena de eventos de mantenimiento para cada componente, en un equivalente binario. Los tiempos de duración de cada evento para cada componente se pasan a números representados por cadenas de unos (1’s), cuya extensión depende del valor de la parte entera de los mismos acompañados de sus correspondientes partes decimales al final de dicha cadenas de 1’s. Se describe igualmente un proceso lógico para determinar si los tiempos corresponden a Tiempos para la ocurrencia de una Falla, o a Duraciones de intervenciones, ya sean de Mantenimiento Programado o de Mantenimiento Correctivo. Los tiempos que corresponden a Duraciones de Intervenciones de Mantenimiento obviamente corresponden a interrupciones del estado operativo normal de los componentes y por tanto se deben diferenciar de los tiempos de operación de los componentes por separado. Esta diferenciación se obtiene al asignar a estas duraciones de tiempo fuera, cadenas de ceros cuya extensión coincida con la extensión del correspondiente valor de duración transformado en 1’s y decimales, mientras que los Tiempos para la ocurrencia de una falla reciben una cadena de 1’s equivalente por cada uno de sus valores representados. Todo esto con el fin de que se anulen los tiempos operativos de un componente, con los valores de los tiempos fuera de su componente compañero.
ESCALA DE TIEMPO
SISTEMA
Componente C
Componente B
Componente A
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Una ilustración de dicho método es presentada para una comparación de los tiempos operativos de dos componentes en serie: Tiempos operativos del componente A
Tiempo para la falla #1 Tiempo para intervención Tiempo para falla #2 5,3 3,8 1,6
Tiempos operativos del componente B
Tiempo para la falla #1 Tiempo para intervención Tiempo para falla #2 2,3 4,5 6,6
Una vez transformados sus valores en vectores pseudos-binarios enfrentados y con su respectiva cadena de unos o ceros para identificación del tipo de evento
Componente A Componente B Conjugación A, B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,3 1 0,3 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0
0,3 1 1 0 0,3 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0,5 0 1 0 1 0 1 1 1 0
0,8 0 1 1 0,8 0 1 1 1 1 1 1
0,6 1 1 1 0,6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,6 1 0,6 1
Se hace la transformación nuevamente a números convencionales para que se haga legible la conjugación de los tiempos operativos aportados por cada componente de la siguiente manera Tiempos operativos del sistema compuesto por los componentes A y B
Tiempo para la falla #1 Tiempo para intervención Tiempo para falla #2 2,3 6,1 4,2
Se genera el módulo para la política de Mantenimiento Correctivo y el Modulo que atiende las políticas de Mantenimiento Preventivo, a su vez, por cada uno de los componentes, y sobre el mismo libro de Excel, se conjugan los datos de cada componente, y así describir el comportamiento real del equipo como unidad.
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6.2 IMPLEMENTACIÓN DEL MÓDULO DE OPTIMIZACIÓN PARA LA POLÍTICA DEL MANTENIMIENTO
En el campo de la simulación una contribución directa al negocio puede ser medida en pesos por ocurrencia de un evento de falla o pesos por hora de tiempo no operativo. El impacto del costo puede ser una reflexión de los costos directos tales como penalidades por contrato o demandas, desperdicios, calidad pobre, o el costo del daño a otro equipo, o pérdidas indirectas tales como pérdida de ganancia ocasional, impacto de eficiencia sobre el capital utilizado, desperdicios, penalidades. Una corrida de simulación puede predecir el costo esperado de una falla sobre cualquier tiempo de vida útil. Dentro del programa Excel, se implementa un módulo para realizar la optimización de la política de mantenimiento preventivo sobre la base de los costos, de acuerdo a los fundamentos expuestos en el numeral 3.4 Para ello fue necesario definir la forma de resolver integrales en Excel, empleando métodos numéricos. Varios de estos métodos se encuentran apropiadamente explicados en Press (1992), en el capítulo de Integración de Funciones. Entre los varios métodos de resolución de integrales por métodos numéricos, se encuentran incluidos la Integración de Romberg, Cuadraturas Gaussianas, y Polinomios Ortogonales, la Regla trapezoidal, la integración por el método Monte Carlo, entre otros. Para la aplicación en particular se emplea la regla de Simpson. La regla de Simpson requiere que el recorrido de la integral se divida en varios intervalos. Dado que la integral evalúa el área bajo la función evaluada, el método primero calcula el valor máximo de la variable, y lo divide en el número de intervalos, y luego, evalúa la función para cada valor de x. Para resolver la Regla de Simpson se generó un código en Visual Basic, dentro del mismo libro de Excel. Se emplearon intervalos extremadamente pequeños para que diera un resultado consistente, y de paso aumentar la exactitud del método implementado. El incremento de los intervalos se fijo en 0,1 horas, con una extensión de 1000 horas para realizar la integral de la ecuación (3.4).
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7 APLICACIÓN CONCRETA DE LA METODOLOGIA A UN GRUPO DE DATOS REALES DE CAMPO
7.1 ANÁLISIS DE DATOS DE CAMPO Para validar la metodología general de optimización de las políticas de mantenimiento por medio de la simulación, se procede a trabajar con un grupo de datos reales de campo y que representan los datos de falla de una unidad de Bombeo de crudo operando en régimen de plena capacidad. Dichos datos se recolectaron en un periodo comprendido entre los años 2001 a 2004. En total se manejan cuarenta (40) datos de falla sobre el sistema compuesto. Afortunadamente, las fallas traen en su registro de información en el sistema de administración del mantenimiento, la identificación completa del componente sobre el cual se efectuaron, el modo de falla y los costos incurridos por reparación.
7.1.1 Análisis preliminar de la información recolectada Se denota con N(t) al número de fallas en función del tiempo t presentadas en el equipo materia de análisis, como un sistema compuesto. La variable t denota el tiempo de operación a plena capacidad de la maquina, la cual se asume operativa inicialmente.
R2 = 0,9842
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Tiempo Calendario Sj acumulado (horas)
Núm
ero
de F
alla
s N
(t)
Figura 10 . Gráfica del numero de fallas N(t) vs el tiempo calendario acumulado en horas (Sj) hasta la aparición de las fallas como prueba de la independencia entre los tiempos entre ocurrencia de falla Tj.
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Una gráfica de N(t) con respecto a las fallas críticas es presentada en la Figura 10. En este caso la gráfica de N(t) se aprecia como lineal, con un coeficiente R2 de 0,9842. El tiempo entre las fallas críticas no parece incrementarse con el tiempo en operación, e igualmente no se evidencia la aparición de numerosas fallas ocurridas en intervalos cortos. Si se presentaran varias fallas en cortos periodos de tiempo, esto puede indicar que las fallas son dependientes o que el cuerpo de mantenimiento no ha logrado corregir de manera apropiada las fallas en el primer intento. Pero esto no es lo que sucede en este caso, por tanto, los tiempos entre fallas parecen efectivamente ser independientes e idénticamente distribuidos.
7.1.2 Descripción del sistema La unidad de bombeo como sistema productivo está compuesta por tres elementos y que corresponden a:
• Motor de combustión interna • Acople-Reductor • Bomba centrifuga
Cada uno tiene su función y su modo de falla inidentificable de acuerdo al historial de mantenimiento.
7.1.3 Grupos de Fallas identificados por componentes Componente: Motor Función: Mover eje bomba centrífuga por medio de combustión interna efectuada en los cilindros. Modo de Falla característico: Descompresión por Culatas Las fallas más frecuentes ocurridas en el motor se presentan en las culatas con una agrupación de diez (10) datos de falla, cuya notación se realizará mediante la sigla MCUL. Componente: Bomba centrífuga Función: Bombear fluido con pérdidas volumétricas ínfimas. Modo de Falla: Fugas fluido bombeado por Sellos mecánicos Las fallas de los sellos mecánicos presentaron una agrupación de cinco (5) datos de falla, representada por la sigla MSEL. El grupo restante de fallas corresponden a Modos de Falla cuya repetibilidad no es representativa para poder ajustar la aparición de acuerdo al modo, según una distribución estadística. Por tanto, se trabajan como un bloque completo, con la sigla MREST. Se trabaja con una agrupación de 28 datos de falla, de los cuales coinciden en oportunidad con MCUL y MSEL en 3 oportunidades, pero la falla en el sistema se cuenta por una sola dada la característica de bloques de confiabilidad en serie de estos elementos dentro del sistema. Las tablas con los valores de falla se pueden consultar en el Anexo 1.
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7.2 AJUSTE DE LOS DATOS A UNA DISTRIBUCIÓN DEFINIDA DE OCURRENCIA DE FALLAS
Se realiza para todas las agrupaciones de datos MCUL, MSEL y MREST la estimación de parámetros por el Método de los Mínimos cuadrados. Tabla 1 Estadísticos descriptivos para la regresión para los datos de MCUL
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,964921683 Coeficiente de determinación R^2 0,931073854 R^2 ajustado 0,922458085 Error típico 0,31049614 Observaciones 10
De acuerdo con el Coeficiente de Correlación Crítico para una distribución Weibull de dos parámetros, y 10 muestras, el CCC calculado corresponde a 0,9298. Dado que el coeficiente de correlación múltiple arrojó un valor de 0,9649, mayor que el CCC de 0,9298, se considera que el ajuste es un buen ajuste. En el caso de MSEL, el Coeficiente de correlación múltiple arrojó un valor de 0,9513, mayor también en esta ocasión que el valor crítico de CCC, calculado en 0,90468. Para MREST, se obtuvo un Coeficiente de correlación múltiple r = 0,98911, que para 28 datos, también supera el valor calculado de CCC, igual a 0,95875 Se aceptan los parámetros de forma y escala obtenidos por medio del método de los Mínimos cuadrados dentro de la regresión efectuada por el programa Excel, pero se les realiza la comprobación por medio de la rutina implementada de Método de máxima Verosilimitud. Se puede observar la variación de los valores de los parámetros de acuerdo al método de estimación en la tabla a continuación Tabla 2 Comparación de parámetros obtenidos por el Método de Mínimos Cuadrados y el de Máxima Verosimilitud
Agrupación de datos MCUL Método Parámetro de escala α Parámetro de Forma β
Mínimos Cuadrados 497 1,24 Máxima Verosimilitud 488,09 1,35419
Agrupación de datos MSEL Método Parámetro de escala α Parámetro de Forma β
Mínimos Cuadrados 1418 1,06 Máxima Verosimilitud 1017,76602 1,45727
Agrupación de datos MREST Método Parámetro de escala α Parámetro de Forma β
Mínimos Cuadrados 276 1,05 Máxima Verosimilitud 267,925 1,215
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Se evidencia alta variación entre los valores obtenidos por el Método de los Mínimos cuadrados frente a los obtenidos por el Método de máxima verosimilitud. Por lo tanto, es necesario realizar una prueba de bondad de ajuste, de preferencia sobre los valores presentados por el Método de Máxima verosimilitud, siendo conocida su superioridad en precisión frente al de los Mínimos Cuadrados. Se realizan los correspondientes análisis de ajuste por medio de la prueba de bondad de Kolmogorov-Smirnov, con los siguientes resultados presentados en la Tabla 3. Tabla 3 Valores intermedios para la Prueba de bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov para Weibull, agrupación de datos MCUL
Fila Xi Fo Fn D+ D- 1 77 0,07874742 0,1 0,02125258 0,07874742 2 132 0,15649029 0,2 0,04350971 0,05649029 3 134 0,1594384 0,3 0,1405616 -0,0405616 4 339 0,45687786 0,4 -0,05687786 0,15687786 5 370 0,49702417 0,5 0,00297583 0,09702417 6 385 0,51577685 0,6 0,08422315 0,01577685 7 393 0,52559356 0,7 0,17440644 -0,07440644 8 460 0,60262127 0,8 0,19737873 -0,09737873 9 940 0,91188044 0,9 -0,01188044 0,11188044 10 1219 0,9683739 1 0,0316261 0,0683739 max 0,19737873 0,15687786
Se demuestra que el valor del estadístico de la prueba de bondad de ajuste KS para los datos de MCUL (0,19737) es menor que el valor Critico de la tabla KS (0,4925) para un α = 0.05 y una muestra de tamaño n=10. Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis que la población de la cual provienen los datos, tiene una distribución Weibull con parámetros α = 488,91 y β =1,35419. Igual sucede con MSEL y MREST, cuyos valores críticos se presentan a continuación Tabla 4 Valores de estadísticos KS obtenidos para MSEL y MREST
Agrupación de datos Valor estadístico KS Valor crítico de la Tabla KS α =0,05
MSEL (n = 5) 0,28093481 0,56328 MREST (n = 28) 0,11943003 0,24993
Una vez definidas las distribuciones identificadas, por cada componente con respecto a la falla, se procede a determinar mediante registros, las duraciones de las intervenciones de mantenimiento, correctivas y programadas igualmente para cada uno de los componentes. La duración de las intervenciones de mantenimiento, sea correctivo o preventivo se enmarca igualmente dentro de una función de distribución Weibull para su empleo dentro de las simulaciones, cuyos parámetros característicos se tabulan a continuación:
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Tabla 5 Parámetros de las distribuciones correspondientes a duraciones de intervenciones de mantenimiento por componentes.
Duración Mantenimiento Correctivo Duración Mantenimiento Preventivo Componente Parámetro de
escala α Parámetro de Forma
β Parámetro de
escala α Parámetro de Forma
β MCUL 37,073 1,69 11,024 1,20 MSEL 48 1,69 12 1,51
MREST 15,075 1,63 6,22 1,32
7.3 ANÁLISIS ECONÓMICO: COSTOS DEL MANTENIMIENTO
Los costos involucrados en la ejecución del mantenimiento, pueden ser aproximados de acuerdo con el historial de intervenciones realizadas en los componentes bajo análisis, y los factores externos que añadirían a las implicaciones económicas relacionadas. En la Tabla 6 se presenta una comparación de los costos estimados en que se incurriría por componente de acuerdo al tipo de mantenimiento a aplicar. Tabla 6 Costos estimados en que se incurre de acuerdo con el tipo de intervención de mantenimiento.
Componente Costo estimado de intervención Correctiva (pesos colombianos)
Costo estimado de intervención preventiva (pesos colombianos)
MCUL $ 15.356.747 $ 3.005.847 MSEL $ 46.070.241 $ 9.017.542
MREST $ 15.356.747 $ 1.800.000 Para facilitar la identificación del punto de costo mínimo se implementó la ecuación (3.5), para ir comparando frente al valor obtenido de c2/(c1-c2). Los tiempos para la política óptima de mantenimiento por componentes resultantes se presentan en la Tabla 7. Tabla 7 Tiempos política optima del mantenimiento preventivo sobre la base de los costos y la No confiabilidad presentada por componentes.
Componente Política optima de intervención Mantenimiento Preventivo (horas)
Costo mínimo unitario por intervención programada ($/h)
MCUL 446 ≈ 450 33191,25662 MSEL 714 45112,58126
MREST 203 ≈ 200 57974,87362 Una representación gráfica de este método de optimización se aprecia en la Figura 11, que muestra los resultados de la optimización para intervenciones realizadas sobre el componente MREST. Se observa el punto optimo a un t=200 horas a un costo mínimo total por intervención de $11.821.076,7 pesos
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5,0E+04
5,5E+04
6,0E+04
6,5E+04
7,0E+04
7,5E+04
8,0E+04
8,5E+04
9,0E+04
9,5E+04
1,0E+05
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900Tiempo (t)
Cos
to p
or ti
empo
uni
tari
o
Figura 11. Gráfica de los costos por unidad de tiempo incurridos vs. el tiempo de intervención de mantenimiento para el componente MREST.
7.4 SIMULACIÓN DE POLITICAS DE MANTENIMIENTO ÓPTIMAS
7.4.1 Determinación del número de réplicas Se hace empleo del procedimiento secuencial para poder especificar el número de replicas. Como los dos indicadores estrella del análisis presente son la confiabilidad y la disponibilidad, se establece como límites máximos, un error relativo γ para el indicador de Confiabilidad máximo de 0,020, es decir 2%, con un nivel de confianza del 95%, y un error relativo para el indicador de disponibilidad de máximo 0,010, es decir 1% con un nivel de confianza del 95% igualmente. Se verifica tanto para los indicadores de mantenimiento correctivo como para los indicadores de mantenimiento preventivo. Se observa como las varianzas presentadas para los tiempos son mayores para los indicadores en la política de mantenimiento preventivo. Se toma la decisión del tamaño de muestra sobre la base de los resultados de la simulación del tiempo objetivo más extenso, dado que pueden existir más variaciones a medida que el tiempo de observación crece, fundamentalmente por la mayor cantidad de conjugaciones de eventos requeridas.
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Se muestra en la tabla a continuación las memorias de los cálculos para definir el número de réplicas para la simulación del tiempo meta de observación de 500 horas Tabla 8 Comparación de los valores obtenidos de intervalos de confianza para los indicadores de Confiabilidad y Disponibilidad del sistema bajo análisis. Numero de replicas alcanzadas Mitad del intervalo de confianza
para Disponibilidad Media Sistema completo en
Mantenimiento Correctivo
Mitad del intervalo de confianza para Disponibilidad Media Sistema completo en Mantenimiento
Preventivo 250 0,0078 0,0150 500 0,0058 0,0108 750 0,0046 0,0877
1000 0,0041 0,0076 *aplicando intervalo de confianza con un 0,05 de nivel de significación
Numero de replicas alcanzadas Mitad del intervalo de confianza
para Confiabilidad Sistema completo en Mantenimiento
Correctivo
Mitad del intervalo de confianza para Confiabilidad Sistema completo en
Mantenimiento Preventivo
250 0,0190 0,0415 500 0,0134 0,0277 750 0,0115 0,0232
1000 0,0097 0,0196 *aplicando intervalo de confianza con un 0,05 de nivel de significación
El valor máximo del error relativo contra el cual se comparan los resultados presentados es el del error relativo ajustado γ ′ , que para el indicador de Confiabilidad quedaría en 0,0196 y para el indicador de Disponibilidad en 0,0079. Por tanto se determina el número de las replicas necesarias para que los resultados se encuentren dentro del intervalo de confianza exigido, con un nivel de confianza igual a 95%. Se programan las simulaciones para que los tiempos de las políticas de intervención de mantenimiento por componente coincidan, para aprovechar tiempos fuera y ejecutar las reparaciones pertinentes en una sola parada. Las políticas propuestas por simulación corresponden a 200 horas para intervención preventiva de todas las fallas que se pueden agrupar en MREST, como la revisión del sistema de lubricación, el sistema eléctrico, y los sistemas de controles del motor, que es el grupo más representativo de modos de falla dentro de esta agrupación particular. Para coincidir con las 200 horas de la intervención sobre MREST, se programan las intervenciones de preventivo a 400 horas para MCUL y a 800 horas para MSEL.
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7.4.2 Resultados de la implementación de las políticas de Mantenimiento Preventivo Se observa de las Figuras presentadas a continuación que se puede realizar de una forma clara e inmediata la comparación de los posibles resultados de la introducción de una o varias políticas de mantenimiento preventivo, frente a los indicadores de desempeño de los equipos en mantenimiento correctivo. El módulo de simulación implementado en Excel puede presentar los resultados por componente separado o también con el análisis lógico que suponga la disposición de los Bloques en el diagrama de confiabilidad en serie, para poder realizar la conjugación de los componentes, integrados en una sola unidad productiva.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
45 95 145 195 245 295 345 395 445 495
Tiempos meta de evaluación
Disponibilidad Media Mantenimiento Correctivo
Disponibilidad Media Políticas Mantenimiento Preventivo
Confiabilidad Mantenimiento Correctivo
Confiabilidad Politicas Mantenimiento Preventivo
Figura 12 Comparación gráfica de los valores obtenidos en Confiabilidad y Disponibilidad Media para el sistema Completo, a partir de la implementación de las Políticas de Mantenimiento Preventivo. En la Figura 12 se aprecia como se gana casi un 10% (9,6%) de confiabilidad a la altura de las 450 horas de operación, como resultado de la implantación de las políticas de mantenimientos preventivos, a las 200 horas para MREST, y a las 400 horas para MCUL. Los beneficios de la intervención programada de MSEL no se aprecian en esta gráfica por el detalle de la misma, pero atienden más que todo a aumentar la disponibilidad puntual del sistema completo.
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Se identifica a partir de la misma Figura 12, que la Disponibilidad Media, sobre el intervalo de evaluación puede disminuirse hasta un máximo de 6,1257% a la altura de las 500 horas, lo cual indica que se sacrifica un poco de tiempo de operación en las intervenciones preventivas, pero a costa de una mejor confiabilidad y operación segura de los equipos.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
45 95 145 195 245 295 345 395 445 495
Tiempos meta de evaluación
Confiabilidad R(t) Mantenimiento Correctivo
Confiabilidad R(t) Politicas Mantenimiento Preventivo
Disponibilidad Puntual Mantenimiento Correctivo
Disponibilidad Puntual Políticas MantenimientoPreventivo
Figura 13 Comparación gráfica de los variaciones en Confiabilidad y Disponibilidad Puntual para el sistema Completo, frente a la implantación de las Políticas de Mantenimiento Preventivo. En la Figura 13 se evidencia que la Disponibilidad Puntual en efecto aumenta, respaldada por el aumento presentado en la Confiabilidad, hasta en un 6,60%, que es lo que en términos operativos importaría más que la Disponibilidad Media, para el caso de un sistema con unidades redundantes.
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7.5 VALIDACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE SIMULACIÓN
7.5.1 Validación frente a modelos matemáticos La solución analítica para la función de confiabilidad R(t) para una distribución Weibull de dos parámetros, está dada por:
���
�
���
��
��
−=>=β
αt
tTPtR i exp)()( (7.1)
Donde t es el tiempo transcurrido en operación de un componente hasta la falla. La comparación con los resultados de la simulación para cada componente y para el sistema completo se puede realizar directamente sobre las gráficas, para identificar que tan fielmente se reproducen los valores generados a lo largo del tiempo por medio de contadores lógicos y la herramienta de simulación del Método de Monte Carlo, contrastándolos con las curvas generadas a partir los datos originales de falla y la ayuda de las fórmulas establecidas en la ingeniería de la confiabilidad.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Edad al Momento de Falla, horas
Con
fiabi
lidad
, P[V
ida
> t]
MSEL Monte Carlo
MSEL Método Analítico
MCUL Monte Carlo
MCUL Método Analítico
MREST Monte Carlo
MREST Método Analítico
Figura 14 Confiabilidad por componentes, comparación entre los resultados del modelo analítico vs. el método de Monte Carlo
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48
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 100 200 300 400 500 600
Edad al Momento de Falla, horas
Con
fiabi
lidad
, P[V
ida
> t]
Método Analítico Método Monte Carlo
Figura 15 Confiabilidad resultante de la conjugación de los datos de falla de cada uno de los componentes de la unidad productiva, comparación entre los resultados del modelo analítico vs. el método de Monte Carlo Las anteriores fueron comparaciones gráficas de los resultados obtenibles por medio del Método de simulación de Monte Carlo. Igualmente, se pueden igualmente comparar los valores de otras variables generales generadas por medio de los contadores lógicos descritos en la lógica de la programación, con los valores obtenidos de manera analítica de indicadores del comportamiento del sistema tales como el Tiempo Medio para la Aparición de Falla, o MTTF, descrito por medio de la siguiente ecuación para datos que se ajusten a una distribución Weibull:
��
���
+Γ⋅=β
α 11MTTF (7.2)
Según Press (1992), existen una variedad de métodos para calcular la función Gamma numéricamente, pero ninguno tan preciso como la aproximación derivada por Lanczos, (página 213 Press (1992)). Este método numérico se integró igualmente dentro de la hoja de cálculo en Excel para comparar con los resultados provenientes del proceso de simulación. Los resultados obtenidos para cada uno de los componentes, así tanto como del sistema completo son presentados en la Tabla 9.
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Tabla 9 Comparación de los valores obtenidos en el estadístico Tiempo medio para la aparición de la primera falla, MTTF, vs. El Tiempo Medio para la aparición de Falla obtenido por solución analítica.
Componente MTTFF Método Monte Carlo*
MTTF Método Analítico
MCUL 445,43+/-2,01 447,33 MSEL 918,9+/-5,21 922,19
MREST 248,6+/-1,8 251,22 Sistema completo 174,1+/-3,8 177,69
*aplicando intervalo de confianza con un 0,05 de nivel de significación La posibilidad para definir los valores medios, y la desviación estándar, acompañados del cálculo de intervalo de confianza, dan un mejor panorama de la variabilidad o no de los resultados. Para cada tiempo meta de simulación se almacena el valor de desviación estándar de los indicadores deseados, para su evaluación posterior. Por ejemplo para los valores de disponibilidad media, tanto en correctivo como en preventivo se presentaron los siguientes valores de desviación estándar para simulaciones con 1000 repeticiones, para el componente MCUL como se muestra en la Tabla 10. Tabla 10 Intervalos de Confianza obtenidos para componente MCUL de acuerdo con incrementos presentados el Tiempo Meta de la Simulación.
Tiempo meta de la simulación
(horas)
Disponibilidad Media.
Componente MREST
Desviación Disponibilidad
Media.
Intervalo de Confianza
50 0,9662 0,1076 0,0067 100 0,9624 0,0778 0,0048 150 0,9595 0,0642 0,0040 200 0,9583 0,0570 0,0035 250 0,9564 0,0514 0,0032 300 0,9544 0,0481 0,0030 350 0,9536 0,0450 0,0028 400 0,9536 0,0413 0,0026 450 0,9533 0,0385 0,0024 500 0,9523 0,0362 0,0022
*aplicando intervalo de confianza con un 0,05 de nivel de significación Esto representa una variabilidad de los datos de máximo el 0,7%, frente al valor medio presentado por la muestra de n simulaciones. Se demuestra por otra parte, que los indicadores de desempeño ampliamente utilizado aún hoy en día se ven ciertamente reducidos en su efectividad y su extensión de aplicación, dado su carácter estático, sin tener en cuenta las variables del entorno. Por tanto, el calcular una Disponibilidad límite con parámetros estáticos no refleja fielmente la realidad, como si lo hace una herramienta de simulación, mientras que los parámetros del modelo materia de la simulación sean bien definidos desde el inicio y describan cercanamente el comportamiento de los equipos o sistemas evaluados.
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8 CONCLUSIONES
Mediante el presente trabajo desarrollado se cumple el objetivo de dejar planteada una metodología general para el empleo de la simulación en la optimización de un plan de mantenimiento preventivo. Se comprueba que el método de la Simulación de Monte Carlo se maneja bien para describir los posibles escenarios de particular interés para la confiabilidad y disponibilidad deseadas en la administración del mantenimiento y se demuestra que por medio de una adecuada programación, este método es ejecutable de manera fácil desde una aplicación de hoja de cálculo como lo es el Excel. La capacidad de recrear escenarios de “¿que tal si…?” de aplicaciones que recurran al gerenciamiento del riesgo, permite que las nuevas propuestas en la administración del mantenimiento sean simuladas en los ambientes mas favorable en términos de seguridad en la operación y máxima productividad, y básicamente con el menor costo implicado. La ventaja de esta herramienta radica en la facilidad del acceso que se presenta hoy día por parte del personal responsable de la administración de las tareas de mantenimiento, a la información y conocimiento generado en cuanto al desempeño de los equipos se refiere, por parte de talleres de trabajo, de equipos de reparación en campo, operadores, inspectores, supervisores, e ingenieros, ya en formato electrónico. La simulación a su vez, provee los medios para que este conocimiento se acumule y crezca. El empleo de los parámetros de Weibull para reflejar modelos de envejecimiento, permite el uso inmediato de datos de desempeño para actualizar las predicciones. Los regimenes de mantenimiento Preventivo pueden ser rápidamente revisados para asegurar que las acciones fijas en el tiempo son efectivas en la reducción de costos o en la extensión del periodo libre de fallas. Similarmente programas de monitoreo de condición pueden ser colocadas en un objetivo de frecuencias optimas asegurando un efectivo aviso para evitar los efectos detrimentales de una falla. Cuando se piensa en migrar hacia esta nueva metodología de soporte, se sospecha siempre de la bondad y el beneficio que los escenarios probabilísticos generados por medio del análisis de Monte Carlo puede traer. Mientras la cantidad de datos sea la suficiente (tamaño adecuado de población de datos), y se hayan registrado de manera juiciosa y adecuada, las decisiones basadas en el análisis estadístico siguen representando un soporte bastante sólido para la planificación de estrategias en el mantenimiento. Los resultados de la simulación pueden ser empleados para realizar decisiones más acertadas para mejorar la confiabilidad de un sistema.
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REFERENCIAS
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ANEXOS
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Anexo 1. Tiempos de falla unidad de bombeo. Tiempo transcurrido
entre llegadas Código de falla
90 MREST 36 MREST
603 MREST 374 MREST 235 MREST 83 MREST 64 MSEL 63 MREST
227 MREST 230 MREST 446 MREST 53 MREST
144 MCUL 80 MREST 10 MREST
303 MCUL 166 MREST 204 MSEL
MCUL MREST
219 MREST 241 MCUL 63 MREST
MSEL 64 MCUL 98 MREST 85 MREST
MREST 21 MREST
135 MCUL 30 MSEL
253 MSEL MREST
102 MCUL 173 MREST 305 MREST 462 MCUL
MREST 100 MREST 301 MSEL 535 MREST 267 MREST 16 MCUL
MREST 77 MCUL 93 MREST 41 MCUL
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Tiempo transcurrido
entre llegadas Componente
MREST 10 16 21 36 53 83 85 90 100 127 170 204 219 224 227 230 235 267 275 305 374 418
Tiempo transcurrido
entre llegadas Componente MCUL
77 132 134 339 370 385 393 460 940 1219
Tiempo transcurrido
entre llegadas Componente MSEL
253 433 528 1443 1926
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Anexo 2. Valores Críticos Del Estadístico De Kolmogorov-Smirnov
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Anexo 3. Diagrama lógico para la implantación de la política de Mantenimiento Preventivo
ACUM=ACUM+TTF
ACUM<TSIM
n=Columnas +1
TTF>τ
TTF>τ
TTF=T
ACUM=ACUM+TTF
TTR=DCO
ACUM=ACUM+TTR
ACUM<TSIM
n=Columnas +1
TTR=DMP
ACUM=ACUM+TTR
n=1 COLUMNAS 1
ACM<TSIM
n=Columnas +1
ACM=0 ACUM=0
1
a=5 FILAS 1 1 FIN
MIM
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Anexo 6. Código para el Generador de números aleatorios empleado en las rutinas de Simulación en Excel Option Explicit Global bInitialize As Boolean Const IM1 As Long = 2147483563 Const IM2 As Long = 2147483399 Const AM As Double = (1# / IM1) Const IMM1 As Long = (IM1 - 1) Const IA1 As Long = 40014 Const IA2 As Long = 40692 Const IQ1 As Long = 53668 Const IQ2 As Long = 52774 Const IR1 As Long = 12211 Const IR2 As Long = 3791 Const NTAB As Integer = 32 Const NDIV As Long = (1 + IMM1 / NTAB) Const EPS As Double = 1.2E-300 Const RNMX As Double = (1# - EPS) '//Generador de números aleatorios de periodo largo (> 2 × 1018) de L’Ecuyer con barajado de Bays-Durham y salvaguardas adicionales. '//Devuelve una variable aleatoria entre 0.0 y 1.0 (exclusiva de '//los valores de puntos extremos). Llama con idum, a un entero negativo para inicializar; por lo tanto, no alterar '//idum entre variables sucesivas en una secuencia. RNMX debe aproximar el mas grande valor '//flotante que sea menor que 1. Function ran2(Optional idum As Long = -1) As Double Dim j As Integer Dim k As Long Static idum2 As Long Static iy As Long Static iv(NTAB) As Long Dim temp As Double If bInitialize Then 'Initialize static variables MsgBox "Initializing ran2()" bInitialize = False idum2 = 123456789
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idum = 0 - (Abs(idum)) iy = 0 End If If idum <= 0 Then If -idum < 1 Then idum = 1 Else idum = 0 - idum End If idum2 = idum For j = NTAB + 7 To 0 Step -1 'Carga la tabla de barajado (tras 8 precalentamientos). k = (idum) / IQ1 idum = IA1 * (idum - k * IQ1) - k * IR1 If (idum < 0) Then idum = idum + IM1 If (j < NTAB) Then iv(j) = idum Next j iy = iv(0) End If k = (idum) / IQ1 ' //Inicia aquí cuando no se esté inicializando. idum = IA1 * (idum - k * IQ1) - k * IR1 ' //Computa idum=(IA1*idum) % IM1 sin desbordes por el método de Schrage’s. If (idum < 0) Then idum = idum + IM1 k = idum2 / IQ2 idum2 = IA2 * (idum2 - k * IQ2) - k * IR2 ' //Computa idum2=(IA2*idum) % IM2 igualmente. If (idum2 < 0) Then idum2 = idum2 + IM2 j = iy / NDIV ' //Estará en el rango 0..NTAB-1. iy = iv(j) - idum2 ' //Aquí idum es barajado, idum e idum2 se combinan para generar el dato de salida. iv(j) = idum If (iy < 1) Then iy = iy + IMM1 temp = AM * iy If (temp > RNMX) Then ran2 = RNMX ' //Debido a que los usuarios no esperar valores de puntos extremos. Else ran2 = temp End If End Function
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Anexo 7. Código para Solución de integrales en Excel Option Explicit Global bInitialize As Boolean Function Weibint() As Double 'Solución de integrales en Excel empleando la Regla de Simpson Dim interval As Double Dim i As Integer Dim n As Double, alfa As Double, beta As Double Dim X As Double, xmax As Double Dim steps As Integer Dim func As Double, sumfunc As Double On Error GoTo err_WeibintV1 steps = 1000 //Definición del número de pasos. Entre más pasos, mejor _______________________________________________________________________ 'Procedimiento: ' Este procedimiento es para la integración de la función de Confiabilidad de Weibull: ' R(t)=exp[-(t/alfa)^beta] ' evalúa el valor máximo para x (valor mínimo=0) ' para cada valor de x desde el min hasta el max, a cada intervalo, ' calcula n ' calcula la función ' suma los resultados de acuerdo con la Regla de Simpson ' calcula el resultado y lo retorna '________________________________________________________________________ ' ' alfa = Worksheets("Weibullint").Range("b2").Value 'parámetro de escala definido por el usuario beta = Worksheets("Weibullint").Range("b3").Value 'parámetro de forma definido por el usuario ' valor máximo de x xmax = Worksheets("Weibullint").Range("b1").Value 'user defined time interval = xmax / steps sumfunc = 0 X = 0 For i = 0 To steps n = (X / alfa) ^ beta
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func = Exp(-n) sumfunc = sumfunc + func If i > 0 And i < steps Then If (i / 2) = Int(i / 2) Then sumfunc = sumfunc + func Else sumfunc = sumfunc + 3 * func End If X = X + interval If X > xmax Then X = xmax Next i Weibint = sumfunc * interval / 3 Exit Function err_WeibintV1: Weibint = 0 End Function
