Eerste orde filters Bandbreedte en kantelpunt Principe benadering eerste orde filters RC laagdoorlaatfilter CR hoogdoorlaatfilter LR laagdoorlaatfilter RL hoogdoorlaatfilter Samenvatting (formules)

Versie 1.0

Bandbreedte en kantelpunt Onder bandbreedte wordt het frequentiegebied bedoeld waarbij, over dat frequentiegebied, de sterkte van het signaal (amplitude) binnen afgesproken grenzen ligt. Hierbij is meestal de afgesproken grens bepaald op 70% van de sterkte van een standaardfrequentie. Deze standaardfrequenties zijn meestal de middenfrequenties in de bandbreedte. Er is altijd een ondergrensfrequentie en een bovengrensfrequentie waarbij de signaalsterkte gaat dalen onder de 70% waarde. Dit worden de kantelpunten of kantelfrequenties genoemd. Het gebied tussen deze kantelpunten is dan de bandbreedte.2

Bandbreedte en kantelpuntkantelpunten (-3 dB)signaalsterkte100 %

middenfrequenties

70 %50 %

kantelfrequentiesf1 f2

10 Hz

100 Hz

1 kHz

10 kHz

100 kHz

1 MHz3

Brandbreedte B = f2 f1

Bandbreedte en kantelpuntHoe komt het dat het kantelpunt is bepaald op 70%? Het kantelpunt van 70% heeft ook betrekking op filters. Omdat filters bestaan uit componenten waarvan de demping frequentieafhankelijk is (spoelen, condensatoren), is er ook hierbij sprake van een kantelfrequentie D.w.z. dat bij de kantelfrequentie de uitgangsspanning van een filterschakeling, 70% van de ingangsspanning bedraagt. Als voorbeeld nemen we hierbij een RC filter

4

Bandbreedte en kantelpuntHoe komt het dat het kantelpunt is bepaald op 70%? Er is afgesproken dat bij de kantelfrequentie de waarde van de reactantie van de condensator (wisselstroomweerstand) gelijk is aan de (ohmse) weerstand. Voor onderstaande schakeling geldt dus bij de kantelfrequentie (fk); R= Xc.

R Xc

5

Bandbreedte en kantelpuntHoe komt het dat het kantelpunt is bepaald op 70%?R Uuit Xc

Uin

R= Xc1Uin

Let op; we hebben het hier over wisselspanning met bijbehorende faseverschuivingen. De deelspanningen over R en Xc mogen niet zo maar worden opgeteld. De totaal spanning ( Uin) moet dus worden berekend m.b.v. vectordiagrammen of complexe rekenwijze. Wat krijgen we dan; R=Xc dus UR=UXc.

2

UR

Stel deze spanningen zijn 1(V). De totale spanning (Uin) berekenen we met Pythagoras.Uin =

V U R2 +U uit Uin =

UXc2 1

Uin = V 12 + 12 =V2 = 0,707 (V) = 70,7%6

1

UXc = U uit

V2

Bandbreedte en kantelpuntR Xc

Bij de kantelfrequentie (fk) geldt; R= Xc Zojuist hebben we gezien dat dan de uitgangsspanning 70,7% bedraagt van de ingangsspanning.

De spanningsverhouding tussen Uuit en Uin ook wel overdracht genoemd, wordt aangegeven met de letter H. H=U uit Uin

Wanneer we deze spanningsverhouding in dB willen uitdrukken, gebruiken we de volgende formule. H = 20 log HdB

Bij de kantelfrequentie is HdB = 20 log 0,707 = 20 x -0,15 = -3 dB7

Principebenadering eerste orde filtersOm de verbanden tussen de verschillende spanningen en de componentwaarden beter te begrijpen, gaan we eerst kijken naar een ohms netwerk.R1

Hiervoor geldt dat:Uin R2 Uuit

Uin =UR1 + UR2 en Uuit = UR2

De overdracht H is de verhouding tussen uitgangsspanning en ingangsspanning:

UuitH= Uin

UR2

R2

=

UR1 + UR2

=

R1 + R28

RC laagdoorlaat filterVoorgaande benadering mogen we ook loslaten op een wisselstroomnetwerk met condensatoren en spoelen. Dat betekent echter dat spanningen, stromen en impedanties niet zomaar rekenkundig bij elkaar mogen worden opgeteld. Deze zullen moeten worden berekend met vectordiagrammen of de complexe rekenwijze. UinR Xc

Uuit

Uin =UR + jUXc Xc = UXc1 jC

en Uuit = UXcwaarbij = 2p f 1

UuitOverdracht H = Uin

Xc =R + jXc =

=

jC

UR + jUXc

R+

1 jC9

RC laagdoorlaat filterUinR Xc

UuitH=

1

Uuit Uin =

jC

R+

1 jC

We gaan deze formule vereenvoudigen door teller en noemer te vermenigvuldigen met: jC1jC jC

jC1 x

jC

1jC jC

H=

R+

jC

jC

= jCR +

= jRC + 1

UuitVoor een RC laagdoorlaat filter geldt dus: H =waarbij = 2p f

1 = 1 + jRC10

Uin

RC laagdoorlaat filterR Xc

We hebben gezien dat bij de kantelfrequentie (fk) geldt; R= Xc. 1 1 RC=1 R= Xc = C C2p f RC=1

1 H(k) = dus 1 + jRC

1

1 =

H(k) =

1 + j1

V 12 + 1 2

=

1

V2

= 0,707

We zien hier dus (wat we al eerder hebben gezien) dat bij de kantelfrequentie; Uuit

de overdracht H(k) =

Uin

= 0,70711

CR hoogdoorlaat filterOok hier gaan we bekijken welke factoren bepalend zijn voor de overdracht verhouding H tussen uitgangsspanning en ingangsspanning: Uin = jUXc + UR en Uuit = UR Xc

UinR

Uuit Xc =

1 jC

waarbij = 2p f

Uuit Overdracht H = Uin =

UR jUXc + UR =

R = jXc + R1

RjC

+R12

CR hoogdoorlaat filterXc

UinR

Uuit

Uuit Overdracht H = Uin =1

URjC

+R

We gaan deze formule vereenvoudigen door teller en noemer te vermenigvuldigen met: jC

R

jCx

jRC =jC jC

H=

jRC = 1 + jRC jRC = 1 + jRC13

1 jC

+R

jC

+ jCRUuit

Voor een CR hoogdoorlaat filter geldt dus: H =waarbij = 2p f

Uin

CR hoogdoorlaat filterXc

R

We hebben gezien dat bij de kantelfrequentie (fk) geldt; R= Xc. 1 1 RC=1 R= Xc = C C2p f RC=1

H(k) =

jRC 1 + jRC

dus

1

1 =

H(k) =

1 + j1

V 12 + 1 2

=

1

V2

= 0,707

We zien hier dus (wat we al eerder hebben gezien) dat bij de kantelfrequentie; Uuit

de overdracht H(k) =

Uin

= 0,70714

LR laagdoorlaat filterNet als bij de voorgaande filters gaan we bekijken welke factoren bepalend zijn voor de overdracht verhouding H tussen uitgangsspanning en ingangsspanning:XL

Uin = jUXL + UR Uuit XL = jLR

en Uuit = URwaarbij = 2p f

Uin

Uuit

Overdracht H = Uin

UR =

R = jXL+R =

R

j UXL + UR

jL + R15

LR laagdoorlaat filterXL

UinR

Uuit Overdracht H =

UuitUin

R

=jL + R

Wanneer we zowel teller als noemer delen door R, krijgen we:

R

1 x R 1 R

H = jL + R

1 =jL R

+1Uuit

1=jL R

Voor een LR laagdoorlaat filter geldt dus:waarbij = 2p f

H=

Uin

+1

16

LR laagdoorlaat filterOok voor een LR filter geldt dat bij de kantelfrequentie de waarde van de reactantie van de spoel (wisselstroomweerstand) gelijk is aan de weerstand. Voor onderstaande schakeling geldt dan bij de kantelfrequentie

Uin

XL

(fk); R= XL UuitR

XL = jL 1 H(k) = 1 + j1

R = jL 11

jL =1 R= 0,707

H(k) =

1jL R

dus +1

=

V 1 2 + 12

=

V2

Ook hier geldt dus dat Uuit bij de kantelfrequentie de overdracht H(k) = Uin

= 0,707

17

RL hoogdoorlaat filterDe bepalende factoren voor de overdracht verhouding H tussen uitgangsspanning en ingangsspanning zijn :R

UinXL

Uuit

Uin = UR + jUXL XL = jL

en Uuit = URwaarbij = 2p f

Uuit

Overdracht H = Uin

=

j UXL

jXL = jXL+R

j UXL + UR

=

jL

jL + R18

R

RL hoogdoorlaat filterUuitXL

Uin

UuitOverdracht H = Uin =

jLjL + R

Wanneer we zowel teller als noemer delen door jL , krijgen we:

H =

jL

x

1 jL 1 jL

1 = 1+R jL

jL + R

UuitVoor een RL hoogdoorlaat filter geldt dus:waarbij = 2p f

1

H=

=Uin 1+

R jL

19

RL hoogdoorlaat filterOok voor een LR filter geldt dat bij de kantelfrequentie de waarde van de reactantie van de spoel (wisselstroomweerstand) gelijk is aan de weerstand. Voor onderstaande schakeling geldt dan bij de kantelfrequentieR

(fk); R= XL UuitXL

Uin

XL = jL 1 1+R jL

R = jL 11

R =1 jL= 0,707

H(k) =

dus

1 H(k) = 1 + j1

=

V 1 2 + 12

=

V2

Ook hier geldt dus dat Uuit bij de kantelfrequentie de overdracht H(k) = Uin

= 0,707

20

21

Samenvatting formules (1)Bij de kantelfrequentie (fk) geldt: R = Xc

1

1R= C

Xc =

C

RC=1

2pfkRC=1 1 fk = 2pRC 2pfkL =1 R R fk = 2pL

Bij de kantelfrequentie (fk) geldt: R = XL

XL = jL

R = jL

jL =1 R

De spanningsverhouding tussen Uuit en Uin ook wel overdracht genoemd, wordt aangegeven met de letter H.

H=

U uitUin

Wanneer we deze spanningsverhouding in dB willen uitdrukken, gebruiken we de volgende formule.

HdB = 20 log H

22

Samenvatting formules (2)UuitVoor een RC laagdoorlaat filter geldt:

1 = 1 + jRC jRC = 1 + jRC

H=

Uin Uuit

Voor een CR hoogdoorlaat filter geldt:

H=

Uin

Voor een LR laagdoorlaat filter geldt:

UuitH= = Uin

RjL + R jL

UuitVoor een RL hoogdoorlaat filter geldt:

H=

Uin

=

jL + R23

Aandachtspunten/aanvullingen amplitude frequentiekarakteristieken (asymptoten vs werkelijke karakteristiek)

24